Phương pháp tính - Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Nội dung text: Phương pháp tính - Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

1. BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHƯƠNG 4 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006)
2. NỘI DUNG A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN 2 ĐIỂM TIẾN – LÙI, 3 ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM 2 - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 1- HỆ SỐ NEWTON-COTES 2- CƠNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON 3- GIẢM SAI SỐ
3. MINH HOẠ Ý TƯỞNG Hàm y = f(x), hoặc xác định qua bảng giá trị, hoặc biểu thức phức tạp (khơng dễ tìm f’hay ) → Thay bằng bảng Mốc xk 0.3 0.4 0.6 Giá Trị yk = f(xk) 0.355 0.36 0.4 0.6 Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’tại mốc x : f’(0.4) 1 b / f (x)dx 0.3 Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng ( xk, f(xk) ), k = 0 2 L(x) = ax2 + bx + c L(0.3) = 0.355, L(0.4) = 0.36
4. MINH HOẠ CƠNG THỨC ĐẠO HÀM 2 ĐIỂM 2 điểm (x0, f(x0)) , (x0+h, f(x0+h)) Mốc x0 x0 + h Giá trị f(x0) f(x0 + h) f (x0 + h) − f (x0 ) M 2h f '(x0 ) , = , M 2 = max f '' h 2 x0 ,x0 +h Cơng thức xấp xỉ Sai số h h x0 – h x0 x0 + h VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) = h Xấp xỉ C/xác f’(x0) lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001 0.1 0.5555556 0.01 0.001
5. TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM −3 f (x ) + 4 f (x + h) − f (x + 2h) M h2 3 điểm: f '(x ) 0 0 0 , = 3 0 2h 3 Xấp xỉ f (x + h) − f (x ) M h 2 điểm: f '(x ) 0 0 , = 2 đạo hàm 0 h 2 cấp 1 f (x + h) − f (x − h) M h2 Hướng tâm: f '(x ) 0 0 , = 3 0 2h 6 2 f (x0 + h)− 2 f (x0 )+ f (x0 − h) M 4h Xấp xỉ f’’(x0): f ''(x ) , = 0 h2 12
6. CƠNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN n−1 Hình thang, n đoạn chia: h I f (x0 ) + 2 f (xk )+ f (xn ) 2 k=1 Sai số: 2 = (b − a)M 2h 12 Xấp xỉ b − a M h3 Hình thang: I  f (a) + f (b), = 2 tích phân 2 12 b I = f (x)dx b − a b + a Simpson: I f (a)+ 4 f + f (b) a 6 2 b − a h = Sai số: = M h5 90 n 4 C/t Simpson, n: chẵn h (b − a)M h4 I f (x ) + 4 f (x )+ 2 f (x )+ f (x ), = 4 3 0  2k+1  2k n 180
7. CƠNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n (n+1) điểm chia: x0 = a < x1 = a + h < x2 = a + 2h < < xn = b h x b a x1 x2 n−1 b h n−1 Cơng thức hình thang: f (x)dx f (x ) + 2 f x + f x 0  ( k ) ( n ) a 2 k =1 M b − a h2 2 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm cịn Sai số: 2 ( ) 12 lại: Hệ số 2
8. CƠNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU Cơng thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia bằng nhau) h b a x1 x2 xn−1 b h f (x)dx =  f (x0 ) + 4 f (x2k+1)+ 2 f (x2k )+ f (xn ) a 3 M (b − a)h4 Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4; 2 Sai số: 4 180 đầu: hệ số 1; Cịn lại: Hệ số 2
9. VÍ DỤ sin x 1 , x 0 Tính tích phân I = f (x)dx a/ CT hình Xét f (x) = x thang, h = 0.2 b/ Simpson,0 h = 0.25 1, x = 0
10. TÌM SỐ ĐOẠN CHIA Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10-6 tích phân sau bằng 2 dx I = a/ Cơng thức hình thang b/ Cơng thức Simpson 0 x + 4