›
›

Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 2: Bài toán khuếch tán

pdf 18 trang vanle 2200
Download
Bạn đang xem tài liệu "Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 2: Bài toán khuếch tán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfphuong_phap_sai_so_ung_dung_chuong_2_bai_toan_khuech_tan.pdf

Nội dung text: Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 2: Bài toán khuếch tán

  1. TRƯỜNGPHƯƠNG ĐẠI HỌC PHÁP BÁCH SỐ KHOA ỨNG DỤNGTP. HCM PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Khoa ChươngKỹ Thuật 2 :Xây Bài Dựngtốn khuếch - BM KTTNN tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn. CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán. CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán. CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm. CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở. CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp. Phần tử hũu hạn. Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn. E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn. Web: CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến 1 dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu2 PGS. TS. Nguyễn Thống Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễnuốn) Thống. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 BÀI TỐN 2. Water Resources systems analysis. Mohamad Karamouz and all. 2003 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB KHUẾCH TÁN KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Khuếch tán chất Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. 5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT Khuếch tán nhiệt 1997 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 3 4 PGS.7. TS.Bài Nguyễn giảng Thống PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Giới thiệu hiện tượng & cơ Quá trình vật lý quan sát mơ sở lý thuyết tả thực nghiệm biểu diễn bằng các phương trình tốn học Phương pháp giải SPHH Kiểm tra tính hiệu lực về mặt vật Sơ đồ khối bài tốn lý của nghiên cứu từ phương trình tốn học 5 6 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 1
  2. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán KHUẾCH 7 6 TÁN NHIỆT 5 X-Y 4 3 2 1 7 8 0 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 0 1 2 3 4 5 6 7 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán KHUẾCH TÁN NHIỆT X-Z CÁC HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN 3 CƠ BẢN Khuếch tán nhiệt Định luật 2 Fourier về truyền nhiệt (1822) Trong một mơi trường dẫn nhiệt 1 (khơng khí, nước, kim loại, .) khi cĩ sự khác biệt về nhiệt độ trong khơng 0 gian Hiện tượng khuếch tán nhiệt. 0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán ĐỊNH LUẬT FOURIER “Flux nhiệt đi ngang qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian KHUẾCH TÁN theo phương cho trước thì tỷ lệ với gradient của nhiệt theo phương CHẤT đĩ” . 11 12 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 2
  3. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Hiện tượng khuếch tán chất Định ĐỊNH LUẬT FICK VỀ QUÁ TRÌNH luật Fick (1855). KHUẾCH TÁN PHÂN TỬ Trong một mơi trường lan truyền “Khối lượng chất đi ngang qua một chất (chất lỏng, khơng khí, .) khi đơn vị diện tích trong một đơn vị cĩ sự khác biệt về nồng độ chất thời gian theo phương cho trước trong khơng gian Hiện tượng thì tỷ lệ với gradient của nồng độ khuếch tán chất. chất theo phương đĩ” . 13 14 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Định luật Flick C nồng độ chất (khối lượng chất trong (Khuếch tán 1D theo phương x) 1 đv thề tích (kg/m3, mg/l, ) C 2 C0 q D D(m /s) hệ số tỷ lệ = hệ số khuếch tán Nồng phân tử. Flux q x độ chất C1 Chú ý: Cần phân biệt với “hệ số khuếch C0 > C1 X tán” do các nguyên nhân khác gây nên x như: khuếch tán số, khuếch tán rối, q khối lượng chất đi qua 1 đvdt trong khuếch tán do vận tốc dịng chảy phân 2 1 đơn vị thời gian (kg/m /s) phối khơng đều trong mặt cắt ngang, 15 16 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán NOTES THIẾT LẬP PT. KHUẾCH TÁN 1D Giá trị hệ số khuếch tán (diffusion Gọi C(x,t) khối lượng chất trong 1 đv thể tích coefficient): Khảo sát thể tích kiểm sốt vi phân sau: D của các ions với nhiệt độ trong C G phịng: Thể tích q B F q (q / x) x (0.6.10-9 2.0.10-9) m2/s kiểm sốt D của các phân tử sinh học: D 1 Đơn vị diện tích -11 -10 2 A H (10 10 ) m /s 17 18 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống X E X 3
  4. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Ta cĩ: Xét trong 1 đv thời gian: Tổng khối lượng chất cĩ trong thể tích Khối lượng chất đi qua mp tại x: kiểm sốt: q(x,t) C(x,t)* x*1 Khối lượng chất đi qua mp tại Tốc độ thay đổi chất trong thể tích (x+ x): kiểm sốt: (C / t). x q(x, t) (q / x). x Tốc độ thay đổi tính cho 1 đv thể tích Volume19 20 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chênh lệch chất khi đi qua mp tại x & Áp dụng định luật Flick, q, vào pt tại (x+ x) (q / x). x C  C D Điều kiện bảo tồn khối lượng vật t x x chất trong thể tích kiểm sốt: (q / x). x (C / t). x Phương trình mơ tả chất được vận chuyển như thế nào bởi quá trình q C 0 khuếch tán Flick (Flick’s second law). x t 21 22 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Giả thiết D là hằng số theo BÀI TỐN KHUẾCH TÁN 2D & 3D C C C phương x Ta định nghĩa: q D ; q D ; q D x x y y z z 2 C  C Với qx, qy, qz khối lượng chất đi qua D 2 1 đv thể tích trong 1 đv thời gian. t x C  2C  2C 2D D 2 2 t x y C  2C  2C  2C 3D D 23 2 2 224 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống t x y z 4
  5. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán BÀI TỐN KHUẾCH TÁN 2D & 3D Viết dưới dạng tốn tử: C D2C KHUẾCH TÁN t Với tốn tử Nabla: NHIỆT     i j k x y z 25 26 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Định luật Fourier KHUẾCH TÁN NHIỆT dT q K Về các bước giống như thiết lập x dx bài tốn khuếch tán chất. q flux nhiệt – Flux head (W/m2) Dùng định luật Fourier cho x T nhiệt độ khuếch tán nhiệt. K thermal conductivity W/(m-0C) 27 28 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Tương tự bài tốn khuếch tán chất ta cĩ: T 2T 2T 2T q 2 2 2 t x y z THIẾT LẬP Phương trình đạo hàm riêng dạng Parabol. PHƯƠNG TRÌNH q nội năng T(x,y,z,t) nhiệt độ theo khơng gian & thời gian 29 30 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 5
  6. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán LỜI GIẢI GIẢI TÍCH BÀI TỐN LAN Với: TRUYỀN CHẤT 1D 2 Dt chiều dài khuếch tán Xét bài tốn 1D (trục x) & gọi C(x,t) là (diffusion length) nồng độ chất tại vị trí x ở thời điểm t. 2 x 2 Tại x=0, duy trì một nồng độ chất erf(x) e t dt khơng đổi C(0). 0 Nồng độ chất tại một vị trí bất kỳ x và thời điểm t là: 2 t 2 x C(x, t) C(0).erfc erfc(x) 1 erf(x) e dt 31 x 32 PGS. TS. Nguyễn Thống 2 Dt PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán HÀM erf(x) ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN Biên hở T Phương giải bài tốn theo t t=n t Miền tìm lời giải C? t x 0 X0 33 Đ/k biên 34 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống Đ/k ban đầu PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Bước giải PHƯƠNG PHÁP Biết C(x,0) - Điều kiện ban đầu – Và C(0, t), C(X0, t) - Điều kiện biên SPHH GIẢI Tìm C(x, t) Dùng kết quả C(x, t) & điều kiện biên BÀI TỐN C(0,2 t), C(x,2 t) Tìm C(x,2 t). Tiếp tục với 3 t, 4 t, , n t, , T (T KHUẾCH TÁN 1D là thời gian cần mơ phỏng hiện tượng) 35 36 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 6
  7. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Phương trình lý thuyết (kết SƠ ĐỒ SAI PHÂN quả trước): Sai phân sơ đồ HIỆN - Sơ đồ cơ bản C 2C - Sai phân sơ đồ Richardson (nhảy cĩc – Leapfrog) D 2 t x - Sai phân sơ đồ Dufort – Frankel Sai phân sơ đồ ẨN 37 38 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán SƠ ĐỒ SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN SAI PHÂN HIỆN Sai phân tiến theo thời gian Sai phân trung tâm theo khơng gian 39 40 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t): Đặt: 2 hệ số khuếch tán  D. t / x (khơng thứ nguyên) t 1 t t t t t 1 t t t t C j C j C j 1 2C j C j 1 C j C j  C j 1 2C j C j 1 D 2 t x t t t C j 1 (1 2)C j C j 1 (t+1) t 1 Sơ đồ hiện tính C j dựa trực tiếp từ các giá trị trong quá khứ của t bản thân & của các nút lân cận ! 1 (j-1) x j x (j+1) 41 42 PGS. TS. Nguyễn Thống N PGS. TS. Nguyễn Thống 7
  8. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán TRÌNH TỰ GIẢI C(j,t) Bước 1: C(j,0) đã biết từ đ/k ban đầu với mọi j Bước 2: Với giá trị biên đã cĩ C(1,1) & C(N,1) và các giá trị Bước 1 Tính C(j,1) với j=2,(N-1). Bước 3: Với giá trị biên đã cĩ C(1,2) & C(N,2) và các giá trị Bước 2 Tính C(j,2) với j=2,(N-1). Bước k: Với giá trị biên đã cĩ C(1,k) & C(N,k) và các giá trị Bước (k-1) Tính C(j,k) với j=2,(N-1). Tiếp tục cho đến k=T thời gian cần mơ phỏng 43 44 PGS.hiện TS. Nguyễntượng Thống. PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH PHÂN TÍCH Sơ đồ nêu trên chỉ ổn LÝ THUYẾT TÍNH định khi : t ỔN ĐỊNH SƠ ĐỒ  D. 0.5 x 2 SAI PHÂN HIỆN 45 46 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán n 1 lời giải đúng tại điểm i, n 1 n 1 n 1 Ti Đặt:  T t thời điểm n+1 i i i n 1 n n n n 1 n 1 2 n n Ti Ti 1 1 2 Ti Ti 1 i i 1 i i 1 n 1 lời giải thực tại điểm i, ti Sai số ở nút i vào thời điểm n viết thời điểm n+1 (do sai số dưới dạng: n G ne j i làm trịn) t n 1 t n 1 2 t n t n i i i 1 i i 1 Với G là hàm phức chứa thời gian, t j số phức với j2=-1 và = x with  2 47 48 PGS. TS. Nguyễn Thống x PGS. TS. Nguyễn Thống 8
  9. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán G n 1e ji G ne j i 1  G n 1e ji G ne ji 1 2 1 cos  n j i  n j i 1  1 2 G e G e n ji 2  G e 1 4sin 2 n 1 ji n ji j j G e G e  e e 1 2 n 1   G  G 1 4sin 2 n 2cos G 2 49 50 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán n 1 n 1  G  vế trái (1) luơn luơn thoả, vế phải G 1 4sin 2 chỉ thoả khi: n n  G 2 2  1 1 4sin Các sai số sẽ bị chận nếu abs(G) 2 <=1, với mọi   1 4sin 2 2    2 2 1 1 4sin 2 1 1 2 51 52 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Kết luận: Sơ đồ sai phân hiện chỉ XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN ổn định khi: 1 t 1  TRONG PHƯƠNG 2 x 2 2 x 2 TRÌNH SAI PHÂN t 2 Loại Dirichlet Điều kiện Courant – Loại Neumann Féderich – Lévy CFL 53 54 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 9
  10. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán BIÊN DẠNG DIRICHLET BIÊN DẠNG NEUMANN Đĩ là dạng C(N,t) =giá trị Tại vị trí biên, phương đã biết với mọi thời điểm t trình của C cĩ dạng : tại vị trí biên N C f (know) [1] Áp dụng trực tiếp vào x phương trình sai phân 55 Cĩ thể xử lý như sau: 56 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Cách 1: Tính C(N,t+1) Cách 2: Tính C(N,t+1) Sai phân lùi theo khơng gian hàm Sử dụng thêm nút ảo (N+1) nằm ngồi [1] với giả thiết giá trị f đã biết và miền tính tốn. Sai phân trung tâm C(N-1,t+1) đã biết: theo khơng gian hàm [1] với giả thiết giá trị f đã biết tại t C(N,t+1) Ct Ct N 1 N 1 f Tính C(N+1,t) 2 x Tính C(N,t+1) theo p/t sai phân 57 58 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Tại thời điểm t tính C(N+1,t) Bài tập: Xét bài tốn lan truyền chất 1D. theo C(N,t) & C(N-1,t) theo sơ đồ Dùng phương trình sai phân theo sơ trung tâm khơng gian đồ hiện để xác định lời giải tại các thời điểm t= t, 2 t, 3 t, 4 t, 5 t với các các giá trị khác nhau của =1/4, 1/2. Giá C(N,t+1) (t+1) trị biên của C tại x=0 & x=4 là C=0. Nút ảo Giá trị của hàm C tại thời điểm t=0, tại t các vị trí x=0, x=1, x=2, x=3, x=4 như sau : 1 (N-1) x N (N+1) 59 60 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 10
  11. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Sơ đồ lưới sai phân 1D & lời giải ban DẠNG LỜI GIẢI đầu như sau: t Điều kiện Giá trị hàm C biên tại t=0 C=1.0 C=0.5 C=0.5 0 1 2 3 4 X C(x=0,t)=0 C(x=4,t)=0 61 62 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Để nghiên cưú vấn đề, ta sử dụng khai triển chuỗi Taylor cho hàm  :  t 22 PHÂN TÍCH ĐỘ tt 13 tt0() jjtt2! 2 CHÍNH XÁC     xxx223344 tt xx0() 5 jj 1 xxxx 2!3!4! 234     xxx223344 tt xx0() 5 jj 1 xxxx 2!3!4! 234 63 64 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Từ 3 phương trình trên ta cĩ: & 22 2 24 4 t 13 t t t t  t  ttt xx    6 j  j   j 11 2  j  j tt 2 0( ) jjj 11  240() x tt2! 112xx 2 2 4 4 xx   6 -  24 0( x ) 1xx 12  tx 2   2  2  4  = t 2 K 2 K 4 t2  t  x 12  x 65 66 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 11
  12. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Thay vào ta cĩ: Pt. sai phân ttttt 1 2 = jjjjj 11 ttttt 1 Cắt bỏ jjjjj 112    2224 tx 2 2 4 tKK 224   Kx   txtx 212 t K24 K t Pt. gốc t  x26  x Ngồi ra: Từ phương trình trên thấy sơ đồ 222224 2 KKKKK 2 cĩ K t- x /6=0 (hay =1/6) ta cĩ 222224 ttttxxtxxx sai số cắt bỏ là nhỏ nhất 67 68 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN Ct 1 Ct 1 Ct 2Ct Ct j j D j 1 j j 1 Sơ đồ Richardson (Leapfrog 2 t x 2 - nhảy cĩc) (t+1) Sơ đồ hiện với 3 thời điểm. Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t): t (t-1) 69 1 (j-1) x j x (j+1) 70 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống N PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Sai số cắt bỏ của sơ đồ SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN Richardson là: Sơ đồ Dufort - Frankel t 2 2 Thay thế Cj trong sơ đồ Richardson 0 t , x  bởi giá trị trung bình theo thời gian tại nút j: t+1 t-1 (Cj +Cj )/2 Sơ đồ hiện 3 thời Sơ đồ KHƠNG ỔN ĐỊNH VƠ điểm. ĐIỀU KIỆN Phương trình sai phân viết tại điểm 71 72 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS.(j,t) TS. Nguyễn: Thống 12
  13. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán t 1 t 1 t t 1 t 1 t Bài tập C j C j C j 1 C j C j C j 1 D 2 Hãy chứng minh sai số cắt bỏ của 2 t x sơ đồ Dufort – Frankel là: (t+1) x 2 t 2  4C D D3 12 x 2 x 4 t t 2 6C (t-1) D3 6 3 x 1 (j-1) x j x (j+1) 73 74 PGS. TS. Nguyễn Thống N PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán NHẬN XÉT Sai số cắt bỏ 0[( t)2,( x)2, ( t/ x)2] SƠ ĐỒ Sơ đồ Dufort – Frankel KHƠNG THỎA MÃN TÍNH NHẤT QUÁN vì t 0 & x 0 thì tỷ số t/ x BẤT ĐỊNH SAI PHÂN ẨN Phương trình sai phân theo sơ đồ Dufort (Sơ đồ Preissmann) – Frankel KHƠNG XẤP XỈ một cách nhất quán p/t khuếch tán nguyên thủy. Sơ đồ Dufort – Frankel ổn định vơ điều kiện. 75 76 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t): Quan hệ dạng đồ thị: t 1 t 1 t 1 (t+1) C j 1 2C j C j 1  Ct 1 Ct x 2 j j D  tăng t Ct 2Ct Ct j 1 j j 1 t (1 ) 2 x x (j+1) x (j-1) j 0<=  <= 1 hệ số gia trọng77 78 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 13
  14. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Ý NGHĨA Ý NGHĨA  > 0.5 Đặt trọng số chủ yếu vào =0 Đặt tồn bộ trọng số vào thời điểm mới (t+1) thời điểm cũ Sơ đồ sai  0 Phương trình sai phân ẩn tại Khi x=constant, các hệ số A , B , C (j,t) chứa 3 ẩn số cĩ dạng tuyến tính: j j j t 1 t 1 t 1 là giống nhau đối với mọi nút j ngoại A jC j 1 B jC j C jC j 1 E j trừ nút kề biên với điều kiện: A  ; B 1 2 ; C  C j j j cho trước t t x E j (1 )C j 1 [1 2(1 )]C j t (1 )C j 1 81 82 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán XÁC ĐỊNH C(j,t+1) ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH Tại mỗi nút j, viết phương trình sai 0.5 <=  <= 1 Sơ đồ ổn định vơ điều phân (khơng kể tại vị trí biên) kiện Bổ sung phương trình biểu thị tại 0 <=  < 0.5 Sơ đồ ổn định cĩ điều các biên (điều kiện biên) kiện với điều kiện sau: Nhận được hệ N phương trình x 2 tuyến tính với N ẩn số Giải hệ t phương trình xác định C(j,t+1). 2D(1 2) 83 84 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 14
  15. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Sai số cắt bỏ: PHÂN TÍCH TÍNH 2  0.5 0 t, x  ỔN ĐỊNH  0.5: Crank Nicolson shema SƠ ĐỒ 0 t 2 , x 2  SAI PHÂN ẨN 85 86 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán n 1 lời giải đúng tại điểm i, n 1 n 1 n 1 Ti Đặt:  T t thời điểm n+1 i i i n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n  n 1 2n 1 n 1 Ti Ti Ti 1 2Ti Ti 1  i i  i 1 i i 1  n 1 lời giải thực tại điểm i, ti Sai số ở nút i vào thời điểm n viết thời điểm n+1 (do sai số làm dưới dạng: n G ne j i trịn) tn 1 tn  tn 1 2tn 1 tn 1 i i i  i 1 i i 1  Với G là hàm phức chứa thời gian, t j số phức với j2=-1 và = x with  2 87 88 PGS. TS. Nguyễn Thống x PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán G n 1e ji G ne ji 1 2 1 cos G n 1 G n G n 1e j i 1  2G n 1e j i  G n 1e j i 1   G n 1 n 1 1 G G n n 1 2 1 cos  1 2 G n 1 G n G n 1e j e j  Với mọi >0 ta thấy abs(G) <=1 Sơ đồ ẩn luơn luơn ổn định. 2cos 89 90 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 15
  16. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Bài tập 1: Xét một thanh kim loại dài L chia I a. Dùng phương pháp SPHH với nút thành (I-1) đoạn dài bằng nhau L/(I- sơ đồ hiện, tính nhiệt độ thanh 1). Phương trình tuyền nhiệt 1D như sau: sau 10s. Vẽ kết quả lên đồ thị. T 2T t x 2 b. Tương tự câu (a) và dùng sơ đồ Cho biết =0.2m2/s, I=5 nút, x=1m, t=1s hồn tồn ẩn (=1). Nhiệt độ ban đầu tồn thanh là 300C , nhiệt độ biên đầu thanh là 600C và cuối thanh là 300C. 91 92 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán t 1 t t t Tt 1 (1 2)T t 1 T t 1 T t HD: Ti 0.2Ti 1 0.6Ti 0.2Ti 1 HD: i 1 i i 1 i T1 0.2.60 0.6.30 0.2.30 36 t t 1. t 2  1 1 2 1.4 0.2 0 T2 42 T3 0.2.30 0.6.30 0.2.30 30 x 1 T1 0.2.30 0.6.30 0.2.30 30 0.2 1.4 0.2 T 30 4 t 1. t : 3 T2 0.2.60 0.6.36 0.2.30 39.6 1 t 2. t 2 0 0.2 1.4 T4 36 2 T3 0.2.36 0.6.30 0.2.30 31.2 1 1 1 2 T2 34,38 ;T3 30,64 ;T4 30,09 T4 0.2.30 0.6.30 0.2.30 30 Tiếp tục tăng t cho đến Tiếp tục tăng t cho đến khi nhiệt độ T ổn định. 93 94 PGS. TS. Nguyễn Thống khi nhiệt độ T ổn định. PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Bài tập 2: Dùng phương trình sai Sơ đồ lưới sai phân 1d & lời giải ban phân theo sơ đồ ẩn Preissmann đầu như sau: (=2/3) để xác định lời giải tại t Giá trị hàm C các thời điểm t=1, 2, 3, 4. Cho tại t=0 biết =1/2. Giá trị của hàm C tại C=1.0 C=0.5 C=0.5 thời điểm t=0 như sau. Giá trị biên tại x=0 & x=4 là C=0: 0 1 2 3 4 X 95 96 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 16
  17. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Bài tập 3: Xét hiện tượng khuếch tán chất 1D Bài tập 4: Trong một kênh một chiều cĩ chiều trong 1 kênh. Kênh cĩ L=1000m, tại x=0 nồng độ dài vơ hạn và mặt cắt ngang là A. Một nguồn chất bẩn khơng đổi C=1000g/m3. Tại cuối kênh chất bẩn dạng điểm và liên tục chảy vào với luơn cĩ C=0. Nồng độ chất bẩn ban đầu của lưu lượng Q (m3/s), nồng độ c* (mg/l). Yêu cầu kênh là C=0. Giả thiết D=25m2/s. Dùng x=250m, tính C(x,t). t=250s. Dùng sai phân sơ đồ ẩn hồn tồn, sai • Giả sử nguồn điểm cĩ nồng độ hịa tan hồn phân trung tâm theo khơng gian. tồn trong thời đoạn t và phân bố đều trong a. Tính nồng độ bẩn trong kênh tại các thời điểm thể tích lịng dẫn : C*Q t t, 2 t, 3 t. C (mg / l) b. Trình bày kết quả lên đồ thị A. x tạo thành nguồn tại i=0 (xem ghi chú ở cuối). 97 98 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Cho A=200 m2, C*=10000 mg/l, x=250 m, K=100 Điều kiện biên lấy như sau : m2/s, Q=1 m3/s, C(x,0) =0. • Nguồn chất bẩn (i=1) khuếch tán đối xứng theo phương X. • Tại biên xa phía bên phải lấy C=0 cho mọi t. • Sử dụng sơ đồ sai phân tiến theo t, sai phân trung tâm theo x, trình bày thuật tốn số. Tính nồng độ cho 6 bước khoảng cách , x và 6 bước thời gian , t (giả thiết đối xứng với trục trung tâm). Chọn để cho kết quả cĩ độ chính xác cao nhất. 99 • Vẽ kết quả và nhận xét. 100 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán Chương 2: Bài tốn khuếch tán Ghi chú : Bài tập Khoảng cách để chất tải hồn 1.Lập sơ đồ khối giải bài tốn tồn hịa lẫn khi xã 1 bên là khuếch tán theo sơ đồ hiện. Lm=2.6UB2/H (đơn vị ft, sec), U vận tốc, B chiều rộng, H chiều 2.Lập sơ đồ khối giải bài tốn sâu. khuếch tán theo sơ đồ ẩn. Trường hợp xã 2 bên : 2 Lm=1.3UB /H 101 102 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 17
  18. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 2: Bài tốn khuếch tán HẾT CHƯƠNG 103 PGS. TS. Nguyễn Thống 18