Ôn luyện kiến thức về đường trung trực, đường cao

Nội dung text: Ôn luyện kiến thức về đường trung trực, đường cao

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
3. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC BÀI TẬP ễN TẬP 1. Cho và điểm A nằm trong gúc đú. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC. a. Chứng minh BOC cõn ở O. b. Tớnh số đo gúc BOC. Xem lời giải tại: 2. Chứng minh trong một tam giỏc vuụng giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh chớnh là trung điểm của cạnh huyền. Xem lời giải tại: 3. Cho và đường phõn giỏc AK của gúc A. Biết rằng giao điểm của ba đường phõn giỏc của trựng với giao điểm ba đường trung trực của . Tớnh số đo cỏc gúc của . Xem lời giải tại: 4. Cho vuụng tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: Xem lời giải tại: 5. Cho điểm A nằm trong gúc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trờn Ox và Oy. Tỡm vị trớ của B và C để chu vi tam giỏc ABC là nhỏ nhất.
4. Xem lời giải tại: 6. Cho ABC cú . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trờn tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE. Xem lời giải tại: 7. Cho ABC, , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh: a. BEH và CKF là cỏc tam giỏc đều. b. . Xem lời giải tại: 8. Cho ABC cõn tại A, . Vẽ đường phõn giỏc AD. Đường trung trực của AB cắt AC tại M. Trờn cạnh AB lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy. Xem lời giải tại: 9. Cho ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH. a. Chứng minh . b. Trờn đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: ABD là tam giỏc cõn. c. Từ D kẻ , từ C kẻ . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cựng đi qua một điểm. Xem lời giải tại: 10. Cho ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một điểm bất kỡ trờn đường thẳng m. Hóy xỏc định vi trớ của M để chu vi tam giỏc AMB nhỏ nhất.
5. Xem lời giải tại: 11. Cho H là trực tõm của ABC. CMR: . Xem lời giải tại: 12. Cho cõn tại A, cạnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. a. là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? b. cho trước phải cú điều kiện gỡ ? Xem lời giải tại: BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
6. BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO BÀI TẬP LUYỆN TẬP 13. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm. a. Tớnh BC b. Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng c. Tờn tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giỏc BCE vuụng. Suy ra FD là phõn giỏc của d. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 14. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, phõn giỏc trong tại đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuụng gúc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt nhau tại điểm F. a. So sỏnh DA và DC b. Chứng minh c. Chứng minh BC=BF d. Chứng minh AE//FC Xem lời giải tại: 15. Từ cỏc trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giỏc ABC, ta kẻ cỏc đường trung trực, và trờn cỏc đường trung trực ấy, về phớa ngoài của tam giỏc theo thứ tự ta lấy cỏc điểm M, N, P sao cho . a. Chứng minh MK=KP và b. Chứng minh MC=NP c. Chứng minh d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
7. Xem lời giải tại: 16. Cho tam giỏc ABC, trờn nửa mặt phẳng bờ AB, khụng chứa điểm C vẽ tia và lấy trờn đú một điểm E sao cho AE=AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AC, khụng chứa điểm B, vẽ tia và lấy trờn đú một điểm F sao cho AF=AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD a. Chứng minh rằng b. Chứng minh EF=2AD c. Chứng minh d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng. Xem lời giải tại: 17. Cho tam giỏc ABC, AB < BC; AC < BC. Trờn cạnh BC cú hai điểm D, E sao cho BD=AB; CE=AC, kẻ , BK cắt AE ở điểm N, kẻ , CP cắt AD ở điểm F. a. BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phõn giỏc của gúc BAC. b. Chứng minh c. Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hóy tớnh độ dài KP theo (cm). Xem lời giải tại: 18. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trờn AB và lấy điểm N trờn AC sao cho BM=BC, CN=CH. a. Chứng minh b. Từ kết quả trờn suy ra mệnh đề “ Trong một tam giỏc vuụng, tổng hai cạnh gúc vuụng bộ hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh huyền” Xem lời giải tại:
8. 19. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cựng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ cỏc tia Ax, By cựng vuụng gúc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là một điểm bất kỳ nằm trong cựng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa cỏc tia Ax, By sao cho OC=OA, đường vuụng gúc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q. Chứng minh rằng: a. b. Tam giỏc POQ là tam giỏc vuụng. c. Tam giỏc ACB là tam giỏc vuụng. d. AC//OQ và BC//OP Xem lời giải tại: 20. Cho tam giỏc vuụng cõn ABC, đỉnh A. Cạnh gúc vuụng AB=AC =a, trờn tia AB lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trờn tia CA lấy điểm F sao cho AF=2a. Kẻ tia (trong nửa mặt phẳng bờ AB khụng chứa điểm C) Bx cắt đường thẳng vuụng gúc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng: a. b. Tam giỏc CDG là tam giỏc vuụng cõn c. Xem lời giải tại: 21. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao BH, trờn đỏy BC lấy điểm M, vẽ . a. Chứng minh rằng ME=FH b. Chứng minh tam giỏc c. Chứng minh khi M chạy trờn BC thỡ tổng MD+ME cú giỏ trị khụng đổi d. Trờn tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung điểm của KD nằm trờn cạnh BC Xem lời giải tại: 22. Cho tam giỏc ABC, vuụng tại A, , trờn BC lấy điểm E sao cho . a. Chứng minh rằng đều.
9. b. Chứng minh . c. Từ E kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, cắt AB tại F. Chứng minh F là trung điểm của AB. d. Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. Chứng minh Xem lời giải tại: 23. Cho cú ; , đường cao BH . a. So sỏnh cỏc gúc b. Tớnh ? c. Vẽ AD là phõn giỏc của gúc A ( ), vẽ tại I. Chứng minh rằng . d. Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh đều. e. Chứng minh . Xem lời giải tại: 24. Cho tam giỏc đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a. b. c. AH là đường trung trực của BC. d. Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. Chứng minh rằng cõn. Xem lời giải tại: 25. Cho vuụng tại A. Đường phõn giỏc của gúc cắt AC tại D. Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho . a. Chứng minh b. Từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với AC cắt BD tại K. Chứng minh tam giỏc BCK cõn tại C. c. Vẽ CH vuụng gúc với BK. Chứng minh . Xem lời giải tại:
10. 26. Cho tam giỏc ABC, cõn tại A . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I. a. Chứng minh rằng: b. Chứng minh I là trung điểm của BC. c. Từ C kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng CB là tia phõn giỏc của . d. Giả sử và . Tớnh khoảng cỏch từ B đến đường thẳng CF. Xem lời giải tại: 27. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú , đường cao AH. Trờn tia HA lấy điểm P sao cho và trờn HC lấy điểm M sao cho . Chứng minh rằng: a. b. P là trực tõm của Xem lời giải tại: 28. Cho cú ba gúc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc , cỏc tam giỏc ABD vuụng cõn tại B và ACE vuụng cõn tại E. trờn tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng: a. b. c. CD, KH, BE đồng quy tại một điểm. Xem lời giải tại: 29. Cho tam giỏc ABC , , hai đường cao BH, CK . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: a. Tam giỏc BEH và tam giỏc CKF là cỏc tam giỏc đều. b.
11. Xem lời giải tại: 30. Cho tam giỏc đều AOB. Trờn tia đối của cỏc tia OA, OB lấy theo thứ tự hai điểm C, D sao cho . Từ B và C kẻ . Gọi P là trung điểm của BC. Chứng minh: a. đều. b. . c. đều. Xem lời giải tại: 31. Cho cõn tại A, đường cao AH. Kẻ Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh: a. b. Xem lời giải tại: 32. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, . D là một điểm trờn cạnh AC sao cho , E là một điểm trờn cạnh AB sao cho . Gọi F là giao điểm của BD và CE, I và K là hỡnh chiếu của điểm F lờn BC và AC. Lấy điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH. a. Tớnh b. Chứng minh rằng:∆CHG đều c. Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng d. Chứng minh rằng:Tam giỏc DEF là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 33. Cho ABC nhọn, , đường cao AH. a. Chứng minh b. Trờn đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho , chứng minh rằng ABD là tam giỏc cõn. c. Từ D kẻ từ C kẻ . Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,
12. CE, DF cựng đi qua một điểm. Xem lời giải tại: 34. Cho ABC nhọn , hai đường cao BN, CM. Trờn tia đối của tia BN lấy điểm D sao cho , trờn tia đối của tia CM lấy điểm E sao cho . Chứng minh: a. b. c. Tam giỏc AED là tam giỏc vuụng cõn Xem lời giải tại: 35. Cho ABC cõn ở A. gọi O là giao điểm của cỏc đường trung trực của ABC. Trờn tia đối của tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho . a. Chứng minh b. Chứng minh c. Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phõn giỏc của gúc MON. Xem lời giải tại: 36. Cho DEC cõn . Đường trung trực của DC cắt đường thẳng EC tại A. trờn tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh rằng: a. b. ABC là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 37. Cho tam giỏc nhọn ABC đường cao AH, vẽ điểm D sao cho AB là trung trực của HD, vẽ điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh: a. Tam giỏc ADE là tam giỏc cõn. b. HA là tia phõn giỏc của gúc MHN
13. Xem lời giải tại: 38. Cho tam giỏc ABC. Lấy điểm P nằm trong tam giỏc sao cho . Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu của P trờn AC và BC; D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AP, BP. Chứng minh: a. . b. Tam giỏc MND là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 39. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AH. Trờn tia AH lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Trờn tia BC lấy điểm E sao cho C là trung điểm của BE. Gọi M là trung điểm của DE. a. Chứng minh ba điểm A, C, M thẳng hàng. b. Chứng minh HM // AE. Xem lời giải tại: 40. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cỏc điểm E và D theo thứ tự di chuyển trờn hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua một điểm cố định. Xem lời giải tại: 41. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH CM tại H. Kẻ HE AB tại E. Chứng minh rằng tam giỏc ABH cõn và HM là phõn giỏc của gúc BHE. Xem lời giải tại: 42. Cho tam giỏc ABC nhọn. Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất.
14. Xem lời giải tại: 43. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 44. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh a. b. Xem lời giải tại: