Luyện kỹ năng vận dụng kiến thức tổng hợp các đường trong tam giác

Nội dung text: Luyện kỹ năng vận dụng kiến thức tổng hợp các đường trong tam giác

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
3. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, kẻ phõn giỏc BD của gúc B, kẻ , AI cắt BC tại E. a. Chứng minh BE = BA. b. Chứng minh tam giỏc BED là tam giỏc vuụng. c. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC. Xem lời giải tại: 2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm. a. Tớnh BC b. Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng c. Tờn tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giỏc BCE vuụng. Suy ra FD là phõn giỏc của d. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 3. Cho tam giỏc ABC, trờn nửa mặt phẳng bờ AB, khụng chứa điểm C vẽ tia và lấy trờn đú một điểm E sao cho AE=AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AC, khụng chứa điểm B, vẽ tia và lấy trờn đú một điểm F sao cho AF=AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD a. Chứng minh rằng b. Chứng minh EF=2AD c. Chứng minh d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng.
4. Xem lời giải tại: 4. Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong của gúc B cắt phõn giỏc trong của gúc C tại điểm I. Phõn giỏc ngoài của gúc B cắt phõn giỏc ngoài của gúc C tại điểm J. Tia phõn giỏc trong của gúc B cắt tia phõn giỏc ngoài của gúc C tại điểm K. a. Chứng minh rằng . b. Tớnh cỏc gúc theo gúc A. c. Áp dụng, tớnh cỏc gúc trờn với d. Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng. Xem lời giải tại: 5. Cho tam giỏc ABC, kẻ phõn giỏc BD. Từ A kẻ tia Ax vuụng gúc với BD, cắt BD ở E và BC ở F. Gọi M, N là cỏc trung điểm của cỏc cạnh AB, AC. a. Chứng minh rằng AB=BF b. Chứng minh ME//BC c. Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng. d. Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và FM đồng quy. Xem lời giải tại: 6. Cho tam giỏc ABC, AB < BC; AC < BC. Trờn cạnh BC cú hai điểm D, E sao cho BD=AB; CE=AC, kẻ , BK cắt AE ở điểm N, kẻ , CP cắt AD ở điểm F. a. BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phõn giỏc của gúc BAC. b. Chứng minh c. Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hóy tớnh độ dài KP theo (cm). Xem lời giải tại: 7. Cho tam giỏc ABC; AD và AH theo thứ tự là phõn giỏc và đường cao kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thỡ a.
5. b. c. Điểm H nằm trờn tia DC Xem lời giải tại: 8. Từ cỏc trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giỏc ABC, ta kẻ cỏc đường trung trực, và trờn cỏc đường trung trực ấy, về phớa ngoài của tam giỏc theo thứ tự ta lấy cỏc điểm M, N, P sao cho . a. Chứng minh MK=KP và b. Chứng minh MC=NP c. Chứng minh d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy. Xem lời giải tại: 9. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, phõn giỏc trong tại đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuụng gúc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt nhau tại điểm F. a. So sỏnh DA và DC b. Chứng minh c. Chứng minh BC=BF d. Chứng minh AE//FC Xem lời giải tại: 10. Cho tam giỏc ABC, kẻ tia phõn giỏc trong BD, CE; BD và CE cắt nhau tại điểm I. Biết . a. Tớnh gúc A b. Chứng minh Xem lời giải tại: 11. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trờn
6. AB và lấy điểm N trờn AC sao cho BM=BC, CN=CH. a. Chứng minh b. Từ kết quả trờn suy ra mệnh đề “ Trong một tam giỏc vuụng, tổng hai cạnh gúc vuụng bộ hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh huyền” Xem lời giải tại: 12. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cựng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ cỏc tia Ax, By cựng vuụng gúc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là một điểm bất kỳ nằm trong cựng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa cỏc tia Ax, By sao cho OC=OA, đường vuụng gúc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q. Chứng minh rằng: a. b. Tam giỏc POQ là tam giỏc vuụng. c. Tam giỏc ACB là tam giỏc vuụng. d. AC//OQ và BC//OP Xem lời giải tại: 13. Cho hai gúc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phõn giỏc Om của gúc xOy và On của gúc yOz lấy trờn cỏc tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự cỏc điểm A, B, C, D, E sao cho . a. So sỏnh cỏc đoạn thẳng AB, BC, CD, DE b. So sỏnh cỏc gúc BAC và DCE c. So sỏnh cỏc đoạn thẳng AD và BE d. Chứng minh rằng Xem lời giải tại: 14. Cho tam giỏc vuụng cõn ABC, đỉnh A. Cạnh gúc vuụng AB=AC =a, trờn tia AB lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trờn tia CA lấy điểm F sao cho AF=2a. Kẻ tia (trong nửa mặt phẳng bờ AB khụng chứa điểm C) Bx cắt đường thẳng vuụng gúc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng: a.
7. b. Tam giỏc CDG là tam giỏc vuụng cõn c. Xem lời giải tại: 15. Cho tam giỏc ABC, cõn tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm. a. Tớnh độ dài đoạn thẳng BH và AH. b. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng. c. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 16. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao BH, trờn đỏy BC lấy điểm M, vẽ . a. Chứng minh rằng ME=FH b. Chứng minh tam giỏc c. Chứng minh khi M chạy trờn BC thỡ tổng MD+ME cú giỏ trị khụng đổi d. Trờn tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung điểm của KD nằm trờn cạnh BC Xem lời giải tại: 17. Cho tam giỏc ABC, gọi E, F theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc cạnh AB, AC. Trờn tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trờn tia đối của tia EC, ta lấy điểm Q sao cho QE=CE. a. Chứng minh AP=AQ b. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng c. Chứng minh BQ//AC và CP//AB d. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng Chu vi của tam giỏc PQR bằng hai lần chu vi của tam giỏc ABC. e. Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy. Xem lời giải tại:
8. 18. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và p’ lần lượt tại cỏc điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại cỏc điểm D, C. a. Chứng minh AD=BC; AB=DC. b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng thời cũng là trung điểm của BD. c. Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP. Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP. d. Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP. Xem lời giải tại: 19. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ a. Chứng minh rằng b. Chứng minh IK=AH c. Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH d. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh Xem lời giải tại: 20. Cho tam giỏc ABC, vuụng tại A, , trờn BC lấy điểm E sao cho . a. Chứng minh rằng đều. b. Chứng minh . c. Từ E kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, cắt AB tại F. Chứng minh F là trung điểm của AB. d. Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. Chứng minh Xem lời giải tại: 21. Cho cú ; , đường cao BH . a. So sỏnh cỏc gúc
9. b. Tớnh ? c. Vẽ AD là phõn giỏc của gúc A ( ), vẽ tại I. Chứng minh rằng . d. Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh đều. e. Chứng minh . Xem lời giải tại: 22. Cho tam giỏc đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a. b. c. AH là đường trung trực của BC. d. Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. Chứng minh rằng cõn. Xem lời giải tại: 23. Cho vuụng tại A. Đường phõn giỏc của gúc cắt AC tại D. Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho . a. Chứng minh b. Từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với AC cắt BD tại K. Chứng minh tam giỏc BCK cõn tại C. c. Vẽ CH vuụng gúc với BK. Chứng minh . Xem lời giải tại: 24. Cho tam giỏc ABC, cõn tại A . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I. a. Chứng minh rằng: b. Chứng minh I là trung điểm của BC. c. Từ C kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng CB là tia phõn giỏc của . d. Giả sử và . Tớnh khoảng cỏch từ B đến đường thẳng CF.
10. Xem lời giải tại: 25. Cho tam giỏc ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trờn tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho . Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CD và AB. Cỏc đường AM, AN cắt BD theo thứ tự G; K. Chứng minh rằng: a. Ba điểm C; G ;P thẳng hàng. b. BG = GK = KD. Xem lời giải tại: 26. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú , đường cao AH. Trờn tia HA lấy điểm P sao cho và trờn HC lấy điểm M sao cho . Chứng minh rằng: a. b. P là trực tõm của Xem lời giải tại: 27. Cho cú ba gúc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc , cỏc tam giỏc ABD vuụng cõn tại B và ACE vuụng cõn tại E. trờn tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng: a. b. c. CD, KH, BE đồng quy tại một điểm. Xem lời giải tại: 28. Cho cú ba gúc nhọn, vẽ ra phớa ngoài của cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi H là trọng tõm của tam giỏc ABD, I là trung điểm của BC, Dựng điểm K sao cho I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng: a. . b. đều. Xem lời giải tại: 29. Cho tam giỏc ABC , , hai đường cao BH, CK .
11. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: a. Tam giỏc BEH và tam giỏc CKF là cỏc tam giỏc đều. b. Xem lời giải tại: 30. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, . D là một điểm trờn cạnh AC sao cho , E là một điểm trờn cạnh AB sao cho . Gọi F là giao điểm của BD và CE, I và K là hỡnh chiếu của điểm F lờn BC và AC. Lấy điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH. a. Tớnh b. Chứng minh rằng:∆CHG đều c. Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng d. Chứng minh rằng:Tam giỏc DEF là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 31. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Trờn cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho và . Gọi I là giao điểm của cỏc phõn giỏc của . a. Chứng minh rằng I là giao điểm cỏc đường trung trực của . b. Gọi m là khoảng cỏch từ I đến cỏc cạnh của . Tớnh DE theo m. c. Tớnh ? Xem lời giải tại: 32. Cho cõn tại A, đường cao AH. Kẻ Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh: a. b. Xem lời giải tại: 33. Cho , cỏc trung tuyến BE và CD. Trờn tia đối của tia EB lấy điểm I sao cho . Trờn tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho .
12. a. Chứng minh A là trung điểm của KI. b. BK cắt CI tại F. Chứng minh BI, CK, FA đồng quy tại G(là trọng tõm của tam giỏc ABC). c. FA cắt BC tại P. Chứng minh . Xem lời giải tại: 34. Cho tam giỏc đều AOB. Trờn tia đối của cỏc tia OA, OB lấy theo thứ tự hai điểm C, D sao cho . Từ B và C kẻ . Gọi P là trung điểm của BC. Chứng minh: a. đều. b. . c. đều. Xem lời giải tại: 35. Cho tam giỏc nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong cỏc đường cao của tam giỏc đú, BE là trung tuyến. Biết AH=BE. a. Chứng minh rằng b. Với điều kiện nào của tam giỏc ABC để Xem lời giải tại: 36. Cho tam giỏc ABC và tam giỏc A’B’C’ cú . Chứng minh rằng: a. Nếu thỡ b. Nếu thỡ Xem lời giải tại: 37. Cho ABC nhọn, , đường cao AH. a. Chứng minh b. Trờn đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho , chứng minh rằng ABD là tam giỏc cõn. c. Từ D kẻ từ C kẻ . Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,
13. CE, DF cựng đi qua một điểm. Xem lời giải tại: 38. Cho gúc xOy khỏc gúc bẹt. A và B là hai điểm theo thứ tự trờn hai cạnh Ox, Oy. a. Hóy tỡm điểm M cỏch đều hai cạnh của gúc xOy và cỏch đều hai điểm A và B. b. Nếu thỡ cú bao nhiờu điểm M thỏa món điều kiện cõu a. Xem lời giải tại: 39. Cho ABC nhọn , hai đường cao BN, CM. Trờn tia đối của tia BN lấy điểm D sao cho , trờn tia đối của tia CM lấy điểm E sao cho . Chứng minh: a. b. c. Tam giỏc AED là tam giỏc vuụng cõn Xem lời giải tại: 40. Cho tam giỏc ABC cú . Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc BAC, đường thẳng đú cắt tia AB, AC theo thứ tự ở M và N. a. Chứng minh rằng tam giỏc AMN là tam giỏc cõn. b. Chứng minh c. Cho . Tớnh AN và BM theo c và b. Xem lời giải tại: 41. Cho cú ABC (AB < AC). Gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A và C, sao cho ; M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, DE, và BE. a. Chứng minh MIN là tam giỏc cõn b. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P, cắt đường thẳng AC ở Q. chứng minh APQ là tam giỏc cõn. c. Kẻ phõn giỏc AF của ABC. Chứng minh MN//AF.
14. Xem lời giải tại: 42. Cho DEC cõn . Đường trung trực của DC cắt đường thẳng EC tại A. trờn tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh rằng: a. b. ABC là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 43. Cho ABC. Đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam giỏc cắt nhau tại O. Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuụng gúc với hai phõn giỏc trờn, cắt đường thẳng BC ở M và N. chứng minh rằng: a. Chu vi ABC bằng MN. b. Đường trung trực của MN đi qua O. c. AO là tia phõn giỏc của gúc Xem lời giải tại: 44. Cho ABC cõn ở A. gọi O là giao điểm của cỏc đường trung trực của ABC. Trờn tia đối của tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho . a. Chứng minh b. Chứng minh c. Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phõn giỏc của gúc MON. Xem lời giải tại: 45. Cho ABC cõn, cú gúc , phõn giỏc AD. Kẻ trờn đoạn EB và FC lấy hai điểm I và K sao cho a. Chứng minh DEF là tam giỏc đều. b. Chứng minh DIK là tam giỏc cõn. c. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở M. chứng minh MAC là
15. tam giỏc đều. d. Tớnh AD biết và Xem lời giải tại: 46. Cho tam giỏc ABC, gọi O là giao điểm của cỏc phõn giỏc của tam giỏc đú, từ O kẻ OD, OE, OF lần lượt vuụng gúc với BC, CA, AB. Trờn tia đối của cỏc tia AC, BA, CB lấy theo thứ tự ba điểm A’, B’, C’ sao cho . Chứng minh rằng: a. . b. c. O là giao điểm của cỏc đường trung trực của tam giỏc A’B’C’. Xem lời giải tại: 47. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Phõn giỏc CD, gọi H là hỡnh chiếu của điểm B trờn đường thẳng CD. Trờn CD lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F là giao điểm của BH và CA. Chứng minh rằng: a. b. c. Xem lời giải tại: 48. Cho tam giỏc ABC. Lấy điểm P nằm trong tam giỏc sao cho . Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu của P trờn AC và BC; D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AP, BP. Chứng minh: a. . b. Tam giỏc MND là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 49. Cho tam giỏc nhọn ABC đường cao AH, vẽ điểm D sao cho AB là trung trực của HD, vẽ điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh: a. Tam giỏc ADE là tam giỏc cõn. b. HA là tia phõn giỏc của gúc MHN
16. Xem lời giải tại: MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG
17. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG BÀI TOÁN TỰ LUYỆN CHO HỌC SINH GIỎI 50. Cho tam giỏc nhọn ABC. Điểm I là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong của tam giỏc. Chứng minh rằng nếu thỡ tam giỏc ABC cõn. Xem lời giải tại: 51. Cho tam giỏc ABC cú . Gọi Ax là tia đối của tia AB, đường phõn giỏc của gúc cắt phõn giỏc tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. So sỏnh độ dài AC và CE. Xem lời giải tại: 52. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giỏc lớn hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giỏc ấy. Xem lời giải tại: 53. Cho tam giỏc ABC cú . Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho . Đường vuụng gúc với DC tại C cắt tia phõn giỏc của gúc tại E. Tớnh . Xem lời giải tại: 54. Cho tam giỏc ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC, vẽ cỏc điểm MN sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM, chứng minh N, E, K thẳng hàng.
18. Xem lời giải tại: 55. Cho tam giỏc ABC nhọn. Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 56. Cho tam giỏc ABC. Tỡm điểm E thuộc phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giỏc EBC cú chu vi nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 57. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AH. Trờn tia AH lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Trờn tia BC lấy điểm E sao cho C là trung điểm của BE. Gọi M là trung điểm của DE. a. Chứng minh ba điểm A, C, M thẳng hàng. b. Chứng minh HM // AE. Xem lời giải tại: 58. Cho tam giỏc ABC cú . Trờn cạnh AC, AB lần lượt lấy điểm D, E sao cho . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc KDE. Xem lời giải tại: 59. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cỏc điểm E và D theo thứ tự di chuyển trờn hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua một điểm cố định. Xem lời giải tại:
19. 60. Cho A nằm trong nhọn. Tỡm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giỏc ABC cú chu vi nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 61. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh a. b. Xem lời giải tại: 62. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 63. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH CM tại H. Kẻ HE AB tại E. Chứng minh rằng tam giỏc ABH cõn và HM là phõn giỏc của gúc BHE. Xem lời giải tại: 64. Cho tam giỏc ABC cú . Đường phõn giỏc AD, đường phõn giỏc ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tớnh số đo gúc Xem lời giải tại: 65. Cho tam giỏc ABC cú K là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc, O là giao điểm của cỏc đường trung trực thỏa món BC là đường trung trực của KO. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC.
20. Xem lời giải tại: 66. Cho ABC cú BC = a, AC = b và AB = c. Tỡm điểm M nằm trong ABC sao cho đạt giỏ trị nhỏ nhất, trong đú x, y, z lần lượt là khoảng cỏch từ điểm M tới cỏc cạnh BC, AC, AB. Xem lời giải tại: 67. Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thoả món điều kiện thỡ c là độ dài cạnh nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 68. Cho ABC vuụng tại A. Kẻ AH BC (H BC). Tia phõn giỏc của gúc HAB cắt BC tại D. Tia phõn giỏc của gúc HAC cắt BC tại E. CMR : điểm cỏch đều ba cạnh của ABC chớnh là điểm cỏch đều ba đỉnh của ADE. Xem lời giải tại: