›
›

Kinh tế lượng - Chương 7: Phương sai thay đổi

ppt 57 trang vanle 2470
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kinh tế lượng - Chương 7: Phương sai thay đổi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptkinh_te_luong_chuong_7_phuong_sai_thay_doi.ppt

Nội dung text: Kinh tế lượng - Chương 7: Phương sai thay đổi

  1. KINH TẾ LƯỢNG Econometrics Chương 7 PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI 1
  2. 7.1. Bản chất của phương sai thay đổi Giả định của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là phương sai của sai số hồi quy không đổi qua các quan sát. Trong thực tế sai số hồi quy có thể tăng lên hoặc giảm đi khi giá trị biến độc lập X tăng lên => Phương sai thay đổi. 2
  3. Hình 7.1: Phương sai đồng đều (Homoscedasticity) f(Y) E(Y/Xi) X
  4. Hình 7.2: Phương sai không đồng đều (heteroscedasticity) f(Y) E(Y/Xi) X
  5. Tại sao phương sai Ui có thể thay đổi? - Do bản chất của mối quan hệ kinh tế: Khi thu nhập tăng người ta có nhiều lựa chọn hơn trong việc tiêu dùng. Khi hồi qui tiết kiệm theo thu nhập, dường như phương sai tăng theo thu nhập. - Do công cụ và kỹ thuật thu thập, xử lý số liệu được cải tiến: Sai số đo lường và sai số khi tính toán có xu hướng giảm dần nên phương sai có khả năng giảm. 5
  6. - Do việc tích lũy kinh nghiệm: Sai số theo thời gian ngày càng giảm. Chẳng hạn lỗi của người đánh máy càng ít nếu thời gian thực hành càng tăng, do đó phương sai có khuynh hướng giảm dần. - Khi trong mẫu có sự xuất hiện của điểm nằm ngoài (một giá trị có thể rất nhỏ hoặc rất lớn so với giá trị của các quan sát khác trong mẫu – outlier). - Khi mô hình hồi qui xác định sai (dạng hàm sai, thiếu biến quan trọng). 6
  7. Hình 7.3 30 25 20 15 Stock prices (% change) (% prices Stock 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 Consumer prices (% change) Nguồn: Damodar N. Gujarati, 2004, p.390 7
  8. 7.2 Ước lượng OLS khi có phương sai thay đổi: Giả sử có mô hình hồi quy hai biến: Yi = β1 + β2Xi + Ui Áp dụng công thức thông thường, ước lượng OLS của β2 là: n n n n n  xiyi  xi(Yi −Y )  xiYi −Y  xi  xiYi i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 ˆ 2  = n = n = n = n 2 2 2 2 xi xi xi xi i=1 i=1 i=1 i=1 1 n Do đó: ˆ 2 i i Var( ) = 2 Var( x Y ) n 2 i=1 (  xi ) i=1 8
  9. Theo tính chất của phương sai, ta có: n n n n n n 2 2 2 2 2 Var( xiYi) = Var(xiYi) = var(Yi) = var( 1 +  2 Xi +Ui) = var(Ui) =   xi xi xi xi i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Do đó: n 2 2  xi i i=1 ˆ 2 var( ) = 2 n 2  xi i=1 2 2 = 2) (i  ˆ 2  Nếu phương sai không đổi , , ta có var( ) = 2 như đã biết trước đây. xi ˆ Có thể chứng minh rằng  2 là ước lượng không chệch của β2, nhưng nó có còn là ước lượng hiệu quả không? Phương sai của nó có là phương sai cực tiểu không? 9
  10. 7.3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số Xét mô hình hồi quy hai biến: Yi = β1 + β2Xi + Ui β1, β2 thỏa mãn điều kiện: tổng bình phương các phần dư cực tiểu, tức: n n 2 2 = ˆ ˆ → min ei (Yi − 1− 2 Xi) i=1 i=1 Đối với phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số: n n 2 2 = * * → min Wiei Wi(Yi − 1 − 2 Xi) i=1 i=1 10
  11. Các trọng số tỷ lệ nghịch với phương sai của Ui: 1 2 Wi = ,i,( 0) 2 i i 2 var(Ui / Xi) = var(Yi / Xi) = i Ta có: n 2  Wi  ei n i=1 * * i i i * = 2W (Y −  1 −  2 X )(−1)   1 i=1 n 2  Wi  ei n i=1 * * i i i i * = 2W (Y −  1 −  2 X )(−X )   2 i=1 11
  12. Cho các đạo hàm riêng bằng 0, ta được hệ phương trình chuẩn: n * n * n WiYi =  1 Wi +  2 WiXi i=1 i=1 i=1 n n n * * 2 WiXiYi = WiXi +   1   2 W i X i i=1 i=1 i=1 Giải hệ phương trình trên, ta được: * * * * = −  1 Y  2 X n n n n Wi WiXiYi − WiXi WiYi *     = i=1 i=1 i=1 i=1  2 n n n 2 − W i W i X i W i X i i=1 i=1 i=1 12
  13. Trong đó: n n WiYi WiXi *  *  = i=1 ; = i=1 Y n X n Wi Wi i=1 i=1 1 Nhận thấy khi Wi = (i)  2 thì trung bình có trọng số bằng trung bình thông thường. 13
  14. 7.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát Xét mô hình hai biến: Yi = β1 + β2Xi + Ui, trong đó tất cả các giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính đều thỏa mãn, trừ giả thiết phương sai của sai số không đổi. 14
  15. Với mỗi i, chia cả hai vế của phương trình trên cho σi (σi > 0), ta được: Yi 1 Xi Ui =  1 +  2 + i i i i 15
  16. Ta có: Ui 1 2 var( ) = =1 2 i i i Vì các giả thiết khác của mô hình hồi quy tuyến tính thỏa và thêm phương sai của phần dư không đổi nên áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất ta sẽ được các ước lượng tuyến tính không chệch và phương sai nhỏ nhất. 16
  17. Phương pháp trên được gọi là phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát. * * Thủ tục ước lượng β 1và β 2 như sau: Yi * X 0i * Xi ei = ˆ + ˆ +  1  2 i i i i * * Hay : * = ˆ + * + * Yi  1  2 Xi ei 17
  18. Để tìm được các ước lượng OLS tổng quát, ta cực tiểu hàm: n 2 n * * 2 * = * ˆ ˆ * (ei ) (Yi − 1 − 2 Xi ) i=1 i=1 2 2 n n Yi * X 0i * Xi hay : ei = ˆ ˆ  2  − 1 − 2 i=1 i=1 i i i i n 1 * * 2 = *  Yi − ˆ − ˆ i i (  1  2 X ) i=1  18
  19. Đặt Wi = 1/σi, ta được: * * * * ˆ = − ˆ  1 Y  2 X n n n n Wi WiXiYi − WiXi WiYi *     ˆ = i i=1 i=1 i=1 i=1  2 2 n n 2 n −  W i W i X i W i X i i=1 i=1 i=1 n Wi *  var( ˆ ) = i=1  2 2 n n 2 n −  W i W i X i W i X i i=1 i=1 i=1 19
  20. 7.5 Hậu quả của phương sai của sai số thay đổi: - Các ước lượng bình phương bé nhất vẫn là ước lượng không chệch nhưng không phải là ước lượng hiệu quả (ước lượng có phương sai nhỏ nhất). - Ước lượng của các phương sai sẽ bị chệch, do đó các kiểm định mức ý nghĩa và khoảng tin cậy dựa theo phân phối t và F không còn đáng tin cậy nữa. 20
  21. Xét mô hình không có hệ số chặn: Yi = β2Xi + Ui Ui là sai số ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện: 2 E(Ui) = 0; cov(Ui, Uj) = 0; var(Ui) = σ i Theo phương pháp OLS: n XiYi  n Xi i=1 ˆ 2 i i ki =  = n = k Y n 2 i=1 2  Xi  Xi i=1 i=1 21
  22. ˆ Vậy  2 vẫn tuyến tính theo Yi. Mặt khác Yi = β2Xi + Ui n n n  XiYi  Xi( 2 Xi +Ui)  XiUi i=1 i=1 i=1 ˆ 2 2 =  = n = n =  + n 2 2 2  Xi  Xi  Xi i=1 i=1 i=1 ˆ Vì E(Ui) = 0 và X phi ngẫu nhiên, nên E( 2) =  2 ˆ Vậy  2 là ước lượng không chệch của β2. 22
  23. Ở trang 9 (ước lượng khi có phương sai thay đổi) chúng ta đã chứng minh được: n 2 2  xi i i=1 ˆ 2 var( ) = 2 n 2  xi i=1 Thực hiện đánh trọng số cho quan sát thứ i là 1/Zi, trong đó Zi thỏa mãn điều kiện: * 2 2 2 2 ˆ Z i = σ i/σ (σ là hằng số). Ta sử dụng 2 để chỉ ước lượng của β2. 23
  24. Hàm số có thể viết lại dưới dạng: Yi Xi Ui =  2 + Zi Zi Zi Đặt Vi = Ui/Zi, khi đó: 2 2 2 2 Ui E( ) 2 E = E = Ui = i = (Vi) 2 2  Zi Zi Zi Hàm hồi qui mẫu có dạng: Yi * Xi = ˆ +Vi Zi 2 Zi 24
  25. n n (Yi / Zi)( Xi / Zi) (Xi / Zi)Vi *   i=1 i=1 2 = ˆ = n =  + n  2 2 2 (Xi / Zi) (Xi / Zi) i=1 i=1 * E( ˆ ) =  2  2 ˆ * Như vậy  2 là ước lượng không chệch của β2. Chúng ta sẽ chứng minh hiệu quả hơn ˆ 2 25
  26. Chúng ta có: 2 *  var( ˆ ) = n  2 2 (Xi / Zi) i=1 2 2 Thay σ i = σ Zi, ta được: n 2 2 2   Xi Zi i=1 ˆ 2 var( ) = 2 n 2  Xi i=1 26
  27. Lập tỉ số: 2 n *  2 var( ˆ ) Xi  i=1 2 = ˆ n n var( 2) ( 2 2) 2 2  Xi Zi  Xi Zi i=1 i=1 Đặt ai = XiZi; bi = Xi/Zi 2 n *  i i var( ˆ ) ab  2 i=1 = n n var(ˆ 2) 2 2 ai bi i=1 i=1 27
  28. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho n số tùy ý: 2 n n n 2 2 ai bi  aibi i=1 i=1 i=1 và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 an = = = b1 b2 bn 28
  29. Do đó: * var(ˆ ) 2 1 var( ˆ )  2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: ai XiZi 2 = = = const Zi bi Xi / Zi 2 ˆ nghĩa là σ i không đổi, vậy ước lượng  2 không hiệu quả. 29
  30. Phương sai của  ˆ 2 được ước lượng bởi công thức: RSS n (n −1) 2  Xi i=1 n n n 2 2 2 2 − i  Xi i Xi Ta có: RSS i=1 i=1 i=1 E n = 2 2 (n −1) n 2  Xi (n −1)  i=1 Xi i=1 n 2 2 1 Trong khi phương sai thực của nó là: i Xi i=1 2 n 2  Xi i=1 Xem chứng minh ở mục 7.2 30
  31. Như vậy phương sai đã được ước lượng chệch. 2 2 Nếu chúng ta giả thiết rằng σ i và X i có tương quan dương (điều này thường xảy ra đối với các số liệu kinh tế) và thỏa điều kiện: n n n 2 2 1 2 2 i Xi i  Xi i=1 n i=1 i=1 thì giá trị kỳ vọng của phương sai đã được ước lượng nhỏ hơn phương sai thực. 31
  32. 7.6 Phát hiện phương sai thay đổi Trong thực tế việc phát hiện ra phương sai thay đổi không phải là việc dễ dàng. Bởi vì 2 chúng ta chỉ có thể biết được σ i khi ta nghiên cứu toàn bộ các phần tử của tổng thể. Chúng ta không có một phương pháp chắc chắn để phát hiện phương sai thay đổi, mà chỉ có thể đưa ra một vài “công cụ chẩn đoán” có thể giúp ta phát hiện ra hiện tượng này. 32
  33. 7.6.1 Bản chất của vấn đề nghiên cứu Thông thường bản chất của vấn đề nghiên cứu gợi ý cho chúng ta biết có xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi hay không. Trong thực tế thường thì ở số liệu chéo liên quan đến những đơn vị không thuần nhất hay xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi. Chẳng hạn khi nghiên cứu số liệu chéo của chi phí sản xuất và sản lượng của sản phẩm được sx ra, trong mẫu gồm những DN có qui mô khác nhau, người ta thấy rằng dường như phương sai thay đổi. 33
  34. 7.6.2 Xem xét đồ thị của phần dư Đồ thị của phần dư đối với giá trị của biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán Yˆ sẽ cho chúng ta biết phương sai của sai số có thay đổi hay không. Phương sai của phần dư được biểu thị bởi độ rộng của biểu đồ rải của phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết phương sai không đổi có thể không thỏa mãn. 34
  35. Ví dụ 7.1: Cho các số liệu quan sát về chi tiêu cho tiêu dùng (Y) và thu nhập (X) hàng tháng của 20 hộ gia đình ở một vùng nông thôn (đơn vị: 10.000 đ). 35
  36. Bảng 7.1 Y X Y X 19.9 22.3 8 8.1 31.2 32.3 33.1 34.5 31.8 33.6 33.5 38 12.1 12.1 13.1 14.1 40.7 42.3 14.8 16.4 6.1 6.2 21.6 24.1 38.6 44.7 29.3 30.1 25.5 26.1 25 28.3 10.3 10.3 17.9 18.2 38.8 40.2 19.8 20.1 36
  37. Hình 7.4 Kết quả hồi quy: 2 Yˆi = 0,707476 + 0,91026Xi 1 Đồ thị phần dư (ei) đối với X: 0 D I S E R -1 Độ rộng của biểu đồ rải tăng khi X tăng, do đó có bằng chứng để cho -2 rằng phương sai thay đổi. Đối với mô hình hồi quy bội, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư -3 (hoặc phần dư bình phương) đối 0 10 20 30 40 50 với Yˆi vì là tổ hợp tuyến X tính các giá trị của X. 37
  38. 7.6.3 Kiểm định Park Park đã hình thức hóa phương pháp đồ thị, cho 2 rằng σ i là một hàm của X. Dạng hàm ông đề nghị là: * = 2  2 vi i  X i e 2 2 ln = ln +  2 ln Xi + vi  i  vi là sai số ngẫu nhiên. 38
  39. 2 Vì σ i chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng 2 2 e i thay cho σ i và ước lượng hàm hồi quy sau: 2 2 lne i = lnσ + β2lnXi + vi = β1 + β2lnXi + vi 2 2 trong đó: β1 = lnσ và e i tính được từ hồi quy gốc. 39
  40. Các bước của kiểm định Park: B1: Ước lượng hồi quy gốc dù có tồn tại phương sai thay đổi. 2 B2: Tính Lne i từ ei của mô hình hồi quy gốc 2 B3: Ước lượng mô hình: Lne i = 1 + 2LnXi + vi Xi là biến giải thích của mô hình hồi quy gốc. Trong 2 mô hình đa biến sẽ tiến hành hồi quy Lne i theo từng biến Xi, hoặc có thể sử dụng Yˆ làm biến giải thích. B4: Kiểm định giả thiết H0: 2=0 : Không có hiện tượng phương sai thay đổi. 40
  41. Ví dụ 7.2: Với số liệu cho ở bảng 7.1, ước lượng hồi quy ta được kết quả: 2 lne i = -8,529467 + 2,58155lnXi se = (1,03897) (0,33097) t = (-8,21) (7,8) p = (0,000) (0,000) Ta thấy có hiện tượng phương sai thay đổi. 41
  42. 7.6.4 Kiểm định Glejser B1: Ước lượng hồi quy gốc dù có tồn tại phương sai thay đổi. B2: Ước lượng các mô hình: ei = 1 + 2 Xi + vi ei = 1 + 2 X i + vi 1 ei = 1 + 2 + vi X i 1 e =  +  + v i 1 2 X i i 42
  43. Xi là biến giải thích của mô hình hồi quy gốc. Trong mô hình đa biến sẽ tiến hành hồi quy |ei| theo từng biến Xi. B3: Kiểm định giả thiết H0: 2=0 : Không có hiện tượng phương sai thay đổi. VD 7.3: Từ số liệu cho ở bảng 7.1, ta thấy có hiện tượng phương sai thay đổi do chúng ta bác bỏ H0 trong 2 trường hợp sau: ei = −0.17 +0.046Xi +vi ei = −1.07 + 0.423 X i + vi 43
  44. 7.6.5 Kiểm định White Xét mô hình hồi quy 3 biến: Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ei Bước 1: Ước lượng phương trình trên, thu được ei Bước 2: Ước lượng mô hình sau: 2 2 2 ei = 1 + 2 X 2i + 3 X 3i + 4 X 2i + 5 X 3i + 6 X 2i X 3i + vi Phương trình trên có thể có số mũ cao hơn và nhất thiết phải có hệ số chặn bất kể mô hình hồi quy gốc có hệ số chặn hay không. R2 là hệ số xác định thu được từ phương trình trên. 44
  45. Bước 3: Kiểm định giả thuyết H0: Phương sai của sai số không đổi. - Nếu n.R2 chấp nhận H0. 2 2 -Nếu n.R χ : Bác bỏ H0, tức phương sai của sai số thay đổi. 45
  46. Y X2 X3 Y X2 X3 Ví dụ 7.4: Giả sử 4.71 0 6 12.8 25 2 chúng ta có số liệu 3.6 1 3 5.2 25 0 như bảng sau: 4.37 2 0 8.12 27 4 4.64 2 4 17.54 28 7 3.27 3 1 22.52 28 4 4.26 5 0 5.47 30 3 6.14 6 7 13.67 31 1 Bảng 7.2 6.74 7 5 4.84 32 0 6.11 8 0 38.52 34 5 5.53 8 2 9.98 34 2 5.53 8 6 27.73 37 6 5.36 10 1 5.06 37 0 8.73 11 7 4.36 37 1 5.85 13 0 23.96 38 7 6.88 15 0 30.77 38 4 7.17 15 2 20.68 39 0 10.8 15 7 50.9 40 2 5.06 18 0 3.96 42 3 13.69 19 6 7.58 42 0 8.01 21 0 6.18 43 4 17.13 21 2 43.25 44 3 7.75 23 1 32.04 44 1 6.2 24 0 3.35 45 0 17.72 24 5 18.35 45 2 8.8 24 3 4.95 46 0 46
  47. White Heteroskedasticity Test: F-statistic 3.664660 Probability 0.007381 Obs*R-squared 14.70020 Probability 0.011723 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 11/24/10 Time: 15:38 Sample: 1 50 Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.880149 90.51368 0.042868 0.9660 X2 -6.164398 7.181977 -0.858315 0.3954 X2^2 0.234514 0.135770 1.727294 0.0911 X2*X3 0.175746 0.722439 0.243267 0.8089 X3 47.81948 38.04095 1.257052 0.2154 X3^2 -7.498671 4.835527 -1.550745 0.1281 R-squared 0.294004 Mean dependent var 79.51277 Adjusted R-squared 0.213777 S.D. dependent var 178.5604 S.E. of regression 158.3281 Akaike info criterion 13.07938 Sum squared resid 1102982. Schwarz criterion 13.30883 Log likelihood -320.9846 F-statistic 3.664660 47 Durbin-Watson stat 2.062843 Prob(F-statistic) 0.007381
  48. Từ số liệu trên, Eviews cho ta kết quả Y = -1.5999 + 0.409704*X2 + 1.460808*X3 + ei Từ phương trình trên ta thu được ei Tiến hành hồi quy 2 2 2 ei = 1 + 2 X 2i + 3 X 3i + 4 X 2i + 5 X 3i + 6 X 2i X 3i + vi Ta thu được kết quả: => n.R2 = 50 x 0.294004 = 14.7002 2 Mà χ 0.05 (5) = 11.1 => Bác bỏ H0, tức phương sai của sai số thay đổi. 48
  49. 7.6.6. Kiểm định Goldfeld-Quandt Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của biến X. Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa: c = 4 nếu n ≈ 30, c = 10 nếu n ≈ 60. Và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, mỗi nhóm có (n-c)/2 quan sát. Bước 3: Ước lượng tham số của các hồi quy đối với (n-c)/2 quan sát đầu và quan sát cuối, thu được RSS1 và RSS2, với bậc tự do là (n-c)/2-k. 49
  50. Bước 4: Tính: RSS 2 df F = RSS1 df Bước 5: Quy tắc quyết định H0: Phương sai của sai số không đổi. - F ≥ F(df,df): Bác bỏ H0 - F < F(df,df): Chấp chấp H0 50
  51. Các kiểm định khác: - Kiểm định tương quan hạng của Spearman - Kiểm định Breusch-Pagan-Godfrey 51
  52. 7.7 Biện pháp khắc phục 2 7.7.1 Nếu đã biết σ i Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số 2 7.7.2 Nếu chưa biết σ i Xét phương trình: Yi = 1 + 2 X i + ui Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương biến giải thích 2 2 2 E(ui ) =  X i Chia cả hai vế của mô hình gốc cho Xi Yi 1 ui 1 = + 2 + = + 2 + vi 52 X i X i Xi X i
  53. Ta chứng minh được: 2 ui 2 1 2 2 E(vi ) = E( ) = 2 E(ui ) =  X i X i Như vậy phương trình không còn hiện tượng phương sai thay đổi là: Yi 1 = + 2 + vi X i X i Lưu ý: trong phương trình trên, hệ số chặn chính là hệ số góc của mô hình hồi quy gốc, và ngược lại. Để trở lại mô hình hồi quy gốc ta phải nhân 2 vế của phương trình trên với Xi. 53
  54. Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỷ lệ với biến giải 2 2 thích E(ui ) =  X i Chia cả hai vế của mô hình gốc cho X i Yi 1 ui 1 = + 2 X i + = + 2 X i + vi X i X i X i X i Và ta có: u 1 E(v2 ) = E( i )2 = E(u 2 ) =  2 i i X i X i Như vậy phương trình trên không còn hiện tượng phương sai thay đổi, có thể áp dụng OLS để tìm các tham số hồi quy. 54
  55. Lưu ý: Phương trình trên không có hệ số tự do nên ta phải sử dụng mô hình hồi quy đi qua gốc tọa độ để ước lượng các tham số, sau đó nhân cả 2 vế với X i để trở lại mô hình ban đầu. Giả thiết 3: Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương giá trị trung bình của Y 2 2 2 E(ui ) =  [E(Yi )] Ta biến đổi như sau Yi 1 2 X i ui 1 2 X i = + + = + + vi E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) 55
  56. Và u 1 E(v2 ) = E( i )2 = E(u 2 ) =  2 i 2 i E(Yi ) [E(Yi )] Như vậy phương trình trên không còn hiện tượng phương sai thay đổi, thỏa mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển và ta có thể áp dụng OLS để tìm các tham số hồi quy. Tuy nhiên, do E(Yi) chưa biết (vì 1 và 2 chưa có), chúng ta sẽ dùng ước lượng điểm của chúng là: ˆ và phương trình sẽ được viết lại là: Yi Yi 1 2 X i = + + vi ˆ ˆ ˆ 56 Yi Yi Yi
  57. Giả thiết 4: Phép biến đổi logarit LnYi = 1 + 2LnXi + ui Lưu ý: Phép biến đổi Logarit không dùng được nếu có 1 số giá trị của X (hoặc Y) là âm. 57