Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác

pdf

101 trang Đức Chiến 03/01/2024 1160

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyendebatdang_thucluonggiac.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác

www.laisac.page.tl Chuyên Đề : BB Ấ ẤẤ TT Đ ĐĐ Ẳ ẲẲ N NN G G TTH HH ỨỨ C C LLƯ Ư Ợ Ợ Ợ N NN G G G GG IIÁ ÁÁ C C THPT Chuyên Lý Tự Trọng. Cần Thơ Chương 1 : CÁC BƯC ðU CƠ S ð bt đu mt cuc hành trình, ta khơng th khơng chun b hành trang đ lên đưng. Tốn hc cũng vy. Mun khám phá đưc cái hay và cái đp ca bt đng thc lưng giác, ta cn cĩ nhng “vt dng” chc chn và hu dng, đĩ chính là chương 1: “Các bưc đu cơ s”. Chương này tng quát nhng kin thc cơ bn cn cĩ đ chng minh bt đng thc lưng giác. Theo kinh nghim cá nhân ca mình, tác gi cho rng nhng kin thc này là đy đ cho mt cuc “hành trình”. Trưc ht là các bt đng thc đi s cơ bn ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev ) Tip theo là các đng thc, bt đng thc liên quan cơ bn trong tam giác. Cui cùng là mt s đnh lý khác là cơng c đc lc trong vic chng minh bt đng thc (đnh lý Largare, đnh lý v du ca tam thc bc hai, đnh lý v hàm tuyn tính ) Mc lc : 1.1. Các bt đng thc đi s cơ bn 4 1.1.1. Bt đng thc AM – GM 4 1.1.2. Bt đng thc BCS 8 1.1.3. Bt đng thc Jensen 13 1.1.4. Bt đng thc Chebyshev 16 1.2. Các đng thc, bt đng thc trong tam giác 19 1.2.1. ðng thc 19 1.2.2. Bt đng thc 21 1.3. Mt sđnh lýkhác . 22 1.3.1. ðnh lýLargare . 22 1.3.2. ðnh lývdu ca tam thc bc hai 25 1.3.3. ðnh lývhàm tuyn tính 28 1.4. Bài tp 29 The Inequalities Trigonometry 3
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s 1.1. Cá c b t đng th c đi s cơ b n : 1.1.1. B t đng th c AM – GM : Vi m i s th c khơng âm a1 ,a2 , , an ta luơn cĩ a + a + + a 1 2 n ≥ n a a a n 1 2 n Bt đng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là mt b t đng th c quen thu c vàcĩ ng d ng r t r ng rã i. ðây là bt đng th c màb n đc c n ghi nh rõ rà ng nh t, nĩslà cơng chồ n h o cho vi c ch ng minh cá c b t đng th c. Sau đây là hai cá ch ch ng minh b t đng th c nà y mà theo ý kin ch quan c a mì nh, tá c gi cho rng là ng n g n và hay nh t. Ch ng minh : Cá ch 1 : Quy n p ki u Cauchy V i n = 1 b t đng th c hi n nhiên đúng. Khi n = 2 b t đng th c tr thà nh 2 a1 + a2 ≥ a1a2 ⇔ ( a1 − a2 ) ≥ 0 ( đúng!) 2 Gi s bt đng th c đúng đ n n = k t c là : a + a + + a 1 2 k ≥ k a a a k 1 2 k Ta s ch ng minh nĩđúng v i n = 2k . Th t v y ta cĩ : (a + a + + a )+ (a + a + + a ) (a + a + + ak )(ak + ak + + a k ) 1 2 k k+1 k +2 2k ≥ 1 2 +1 +2 2 2k k k k ()k a1a2 ak ()k ak +1ak +2 a2k ≥ k 2k = a1a2 ak ak +1 a2k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k −1. Khi đĩ : k −1 k k −1 a1 + a2 + + ak−1 + a1a2 ak =1 ≥ k a1a2 ak −1 a1a2 ak −1 k −1 = k a1a2 ak −1 k−1 ⇒ a1 + a2 + + ak−1 ≥ ()k −1 a1a2 ak−1 Nh ư v y b t đng th c đư c ch ng minh hồ n tồ n. ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = = an Cá ch 2 : ( li gi i c a Polya ) The Inequalities Trigonometry 4
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s a 1 + a 2 + + a n G i A = n Khi đĩ bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i n a1a2 an ≤ A (*) Rõrà ng n u a1 = a2 = = an = A thì (*) cĩ du đng th c. Gi schú ng khơng b ng nhau. Nh ư v y ph i cĩí t nh t m t s , gi slà a1 A tc là a1 0 ⇒ a'1 a'2 > a1a2 ⇒ a1a2 a3 an < a'1 a'2 a3 an Trong tí ch P '= a'1 a'2 a3 an cĩ thêm th a s bng A . Nu trong P ' cị n th a s khá c A thì ta ti p t c bi n đi đcĩ thêm m t th a s na b ng A . Ti p t c nh ư v y t i đa n −1 l n bi n đi ta đã thay m i th a s P b ng A vàđư c tí ch An . Vì trong quátrì nh bi n đití ch cá c th a s tăng d n. ⇒ P < An .⇒ đpcm. Víd 1.1.1.1. Cho A,B,C là ba gĩ c c a m t tam giá c nh n. CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 Li gi i : tan A + tan B Vì tan ()A + B = − tan C ⇔ = − tan C 1− tan Atan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giá c ABC nh n nên tanA,tanB,tanC d ươ ng. Theo AM – GM ta cĩ : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan Atan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C ⇒ ()()tan A + tan B + tan C 2 ≥ 27 tan A + tan B + tan C ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 ð ng th c x y ra ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC đ u. Víd 1.1.1.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : cot A + cot B + cot C ≥ 3 The Inequalities Trigonometry 5
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Li gi i : Ta luơn cĩ : cot (A + B) = −cot C cot Acot B −1 ⇔ = −cot C cot A + cot B ⇔ cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 Khi đĩ : (cot A − cot B)2 + (cot B − cot C)2 + (cot C − cot A)2 ≥ 0 ⇔ ()()cot A + cot B + cot C 2 ≥ 3 cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 3 ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ 3 D u b ng x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.1.3. CMR v i m i ∆ABC nh n và n ∈ N *ta luơn cĩ : tan n A + tan n B + tan n C n−1 ≥ 3 2 tan A + tan B + tan C Li gi i : Theo AM – GM ta cĩ : tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 ()tan Atan B tan C n = 33 ()tan A + tan B + tan C n n n n n−1 tan A + tan B + tan C n−3 ⇒ ≥ 33 ()tan A + tan B + tan C n−3 ≥ 33 ()3 3 = 3 2 tan A + tan B + tan C ⇒ đpcm. Víd 1.1.1.4. Cho a,b là hai s th c th a : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 CMR : cos a + cos b ≥ 0 Li gi i : Ta cĩ : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 ⇔ (1+ cos a )(1+ cos b ) ≥ 1 Theo AM – GM thì : The Inequalities Trigonometry 6
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s (1+ cos a)+ (1+ cos b) ≥ (1+ cos a )(1+ cos b ) ≥ 1 2 ⇒ cos a + cos b ≥ 0 Víd 1.1.1.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta cĩ : cos Acos B cos B cos C cos C cos A 2  A B B C C A  3 + + ≤ sin sin + sin sin + sin sin  + A B B C C A  2 2 2 2 2 2  2 cos cos cos cos cos cos 3 2 2 2 2 2 2 Li gi i : Ta cĩ cos A A A = sin cot A 2 2 2cos 2 3 cos Acos B  A B  3  4 = sin sin  cot Acot B A B  2 2  4  4cos cos 2 2 Theo AM – GM thì : 3  A B 3 2 cos Acos B  sin sin + cot Acot B  4 ≤  2 2 4  A B  2  4cos cos   2 2   cos Acos B 2  A B 3  ⇒ ≤ sin sin + cot Acot B A B  2 2 4  cos cos 3 2 2 T ươ ng t ta cĩ : cos B cos C 2  B C 3  ≤ sin sin + cot B cot C  B C  2 2 4  cos cos 3 2 2 cos C cos A 2  C A 3  ≤ sin sin + cot C cot A C A  2 2 4  cos cos 3 2 2 C ng v theo v cá c b t đng th c trên ta đư c : The Inequalities Trigonometry 7
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s cos Acos B cos Bcos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A  3 ≤ sin sin + sin sin + sin sin  + ()cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A 3  2 2 2 2 2 2  2 2  A B B C C A  3 = sin sin + sin sin + sin sin  + ⇒ đpcm. 3  2 2 2 2 2 2  2 B ư c đu ta m i chcĩ bt đng th c AM – GM cù ng cá c đng th c l ư ng giá c nên sc nh h ư ng đ n cá c b t đng th c cị n h n ch . Khi ta k t h p AM – GM cù ng BCS, Jensen hay Chebyshev thìnĩ th c s là mt vũkhíđáng g m cho cá c b t đng th c lư ng giá c. 1.1.2. Bt đng th c BCS : Vi hai b s (a1 ,a2 , , an )và (b1 ,b2 , , bn ) ta luơn cĩ : 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) Nu nh ư AM – GM là “cá nh chim đu đàn” trong vi c ch ng minh b t đng th c thì BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i là “cá nh tay ph i” h t s c đc l c. Vi AM – GM ta luơn ph i chúýđiu ki n cá c bi n là khơng âm, nh ưng đi v i BCS cá c bi n khơng brà ng bu c b i điu ki n đĩ, ch cn là s th c cũ ng đúng. Ch ng minh b t đng th c nà y cũ ng r t đơ n gi n. Ch ng minh : Cá ch 1 : Xé t tam th c : 2 2 2 f (x) = (a1 x − b1 ) + (a2 x − b2 ) + + (an x − bn ) Sau khi khai tri n ta cĩ : 2 2 2 2 2 2 2 f (x) = (a1 + a2 + + an )x − 2(a1b1 + a2b2 + + anbn )x + (b1 + b2 + + bn ) M t khá c vì f (x) ≥ 0∀x ∈ R nên : 2 2 2 2 2 2 2 ∆ f ≤ 0 ⇔ (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) ⇒ đpcm. a1 a2 an ð ng th c x y ra ⇔ = = = (quy ư c n u bi = 0 thì ai = 0 ) b1 b2 bn Cá ch 2 : The Inequalities Trigonometry 8
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s S d ng b t đng th c AM – GM ta cĩ : a 2 b 2 2 a b i + i ≥ i i a 2 + a 2 + + a 2 b 2 + b 2 + + b 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) Cho ich y t 1 đ n n r i c ng v c n bt đng th c l i ta cĩđpcm. ðây cũ ng làcá ch ch ng minh h t s c ng n g n màb n đc nên ghi nh ! Bây gi vi s ti p s c c a BCS , AM – GM nh ư đư c ti p thêm ngu n s c m nh, nh ư hm c thêm cá nh, nh ư r ng m c thêm vây, phá t huy hi u qu tm nh h ư ng c a mì nh. Hai b t đng th c nà y bùđp b sung h tr cho nhau trong vi c ch ng minh b t đng th c. Chú ng đã “l ư ng long nh t th ”, “song ki m h p bí ch” cơng pháthà nh cơng nhi u bà i tố n khĩ . “Tr ăm nghe khơng b ng m t th y”, ta hã y xé t cá c vídđ th y rõđiu nà y. Víd 1.1.2.1. CMR v i m i a,b,α ta cĩ :  a + b 2 (sin α + a cos α )(sin α + bcos α ) ≤ 1+    2  Li gi i : Ta cĩ : (sin α + a cos α )(sin α + bcos α ) = sin 2 α + (a + b)sin α cos α + ab cos 2 α 1− cos 2α ()a + b 1+ cos 2α = + sin 2α + ab 2 2 2 1 = ()()1+ ab + ()()a + b sin 2α + ab −1 cos 2α 1 2 Theo BCS ta cĩ : Asin x + B cos x ≤ A2 + B 2 ()2 Á p d ng (2) ta cĩ : ()()()()a + b sin 2α + ab −1 cos 2α ≤ a + b 2 + ab −1 2 = (a 2 +1)(b 2 +1) ()3 Thay (3)và o (1) ta đư c : 1 (sin α + a cos α )(sin α + bcos α ) ≤ (1+ ab + (a 2 +1)(b 2 +1)) ()4 2 Ta s ch ng minh b t đng th c sau đây v i m i a, b : 1  a + b 2 (1+ ab + (a 2 +1 )(b 2 +1 ))≤ 1+   ()5 2  2  The Inequalities Trigonometry 9
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Th t v y : 1 ab 1 a 2 + b 2 ab ()5 ⇔ + + (a 2 +1 )(b 2 +1 ) ≤ 1+ + 2 2 2 4 2 a 2 + b 2 + 2 ⇔ (a 2 +1 )(b 2 +1 ) ≤ 2 2 2 2 2 (a +1)+ (b +1) ⇔ (a +1 )(b +1 ) ≤ ()6 2 Theo AM – GM thì (6) hi n nhiên đúng ⇒ (5) đúng. T (1) và (5) suy ra v i m i a,b,α ta cĩ :  a + b 2 (sin α + a cos α )(sin α + bcos α ) ≤ 1+    2  ð ng th c x y ra khi x y ra đng th i d u b ng (1) và (6) a 2 = b 2  a = b  a = b    ⇔  a + b ab −1 ⇔  a + b ⇔  1 a + b π  = tg α = α = arctg + k ()k ∈ Z sin 2α cos 2α  ab −1  2 ab −1 2 Víd 1.1.2.2. Cho a,b,c > 0 và a sin x + bcos y = c . CMR : cos 2 x sin 2 y 1 1 c 2 + ≤ + − a b a b a 3 + b3 Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 1− sin 2 x 1− cos 2 y 1 1 c 2 + ≤ + − a b a b a 3 + b3 sin 2 x cos 2 y c 2 ⇔ + ≥ ()* a b a 3 + b3 Theo BCS thì : 2 2 2 2 2 (a1b1 + a2b2 ) ≤ (a1 + a2 )(b1 + b2 )  sin x cos y a1 = ; a2 = v i  a b  b1 = a a ; b2 = b b 2 2  sin x cos y  3 3 2 ⇒  + ()a + b ≥ ()asin x + bcos y  a b  do a 3 + b3 > 0 và asin x + bcos y = c ⇒ (*) đúng ⇒ đpcm. The Inequalities Trigonometry 10
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s a1 a2 sin x cos y ð ng th c x y ra ⇔ = ⇔ 2 = 2 b1 b2 a b sin x cos y  = ⇔  a 2 b 2 asin x + bcos y = c  a 2c sin x =  a 3 + b3 ⇔   b 2c cos y =  a 3 + b3 Víd 1.1.2.3. CMR v i m i ∆ABC ta cĩ : a 2 + b 2 + c 2 x + y + z ≤ 2R vi x, y, z là kho ng cá ch t đim M b t kỳ nm bên trong ∆ABC đ n ba c nh BC ,CA , AB . Li gi i : A Ta cĩ : P Q y S ABC = S MAB + S MBC + S MCA z S S S ⇔ MAB + MBC + MCA = 1 ha M S ABC S ABC S ABC x B C z y x ⇔ + + = 1 N hc hb ha  x y z  ⇒   ha + hb + hc = ()ha + hb + hc  + +   ha hb hc  Theo BCS thì : y   x z  x y z  x + y + z = ha + hb + hc ≤ ()ha + hb + hc  + +  = ha + hb + hc ha hb hc  ha hb hc  1 1 mà S = ah = ab sin C ⇒ h = bsin C , h = csin A , h = asin B 2 a 2 a b c ab bc ca ⇒ h + h + h = ()asin B + bsin C + csin A = + + a b c 2R 2R 2R T đĩ suy ra : ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 x + y + z ≤ ≤ ⇒ đpcm. 2R 2R The Inequalities Trigonometry 11
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s a = b = c ð ng th c x y ra khi vàch khi  ⇔ ∆ABC đ u và M là tâm n i ti p ∆ABC . x = y = z Víd 1.1.2.4. Ch ng minh r ng :  π  cos x + sin x ≤ 4 8 ∀x ∈ ;0   2  Li gi i : Á p d ng b t đng th c BCS liên ti p 2 l n ta cĩ : 4 2 ( cos x + sin x ) ≤ ((12 +12 )()cos x + sin x ) 2 ≤ (12 +12 ) (12 +12 )(cos 2 x + sin 2 x ) = 8 ⇒ cos x + sin x ≤ 4 8 π ð ng th c x y ra khi vàch khi x = . 4 Víd 1.1.2.5. Ch ng minh r ng v i m i s th c a và x ta cĩ (1− x 2 )sin a + 2x cos a ≤ 1 1+ x 2 Li gi i : Theo BCS ta cĩ : 2 2 ((1− x 2 )sin a + 2x cos a) ≤ ((1− x 2 ) + (2x)2 )(sin 2 a + cos 2 a) = 1− 2x 2 + x 4 + 4x 2 = 1+ 2x 2 + x 4 2 2 ⇒ ()()()1− x 2 sin a + 2x cos a ≤ 1+ x 2 ()1− a 2 sin a + 2x cos a ⇔ ≤ 1 1+ x 2 ⇒ đpcm. The Inequalities Trigonometry 12
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s 1.1.3. Bt đng th c Jensen : Hà m s y = f (x) liên t c trên đo n [a,b] và n đim x1 , x2 , , xn tù y ý trên đo n [a,b] ta cĩ : i) f ('' x) > 0 trong kho ng (a,b)thì :  x + x + + x  f (x ) + f (x ) + + f (x ) ≥ nf  1 2 n  1 2 n  n  ii) f ('' x) < 0 trong kho ng (a,b)thì :  x + x + + x  f (x ) + f (x ) + + f (x ) ≥ nf  1 2 n  1 2 n  n  Bt đng th c AM – GM và bt đng th c BCS th t s làcá c đi gia trong vi c ch ng minh b t đng th c nĩ i chung. Nh ưng riêng đi v i chuyên m c b t đng th c l ư ng giá c thìđĩl i tr thà nh sân ch ơi riêng cho b t đng th c Jensen . Dùcĩv hơi khĩ tin nh ưng đĩ là s th t, đ n 75% bt đng th c l ư ng giá c ta ch cn nĩ i “theo b t đng th c Jensen hi n nhiên ta cĩđpcm”. Trong phá t bi u c a mì nh, bt đng th c Jensen cĩ đ cp đ n đo hà m b c hai, nh ưng đĩlà ki n th c c a l p 12 THPT. Vì vy nĩs khơng thí ch h p cho m t s đi tư ng b n đc. Cho nên ta sphá t bi u b t đng th c Jensen dư i m t d ng khá c :  x + y  Cho f : R + → R th a mã n f (x) + f (y) ≥ 2 f   ∀x, y ∈ R + Khi đĩ vi m i  2  + x1 , x2 , , xn ∈ R ta cĩ bt đng th c :  x + x + + x  f (x ) + f (x ) + + f (x ) ≥ nf  1 2 n  1 2 n  n  S th t làtá c gi ch ưa t ng ti p xú c v i m t ch ng minh chí nh th c c a b t đng th c Jensen trong phá t bi u cĩ f ('' x). Cị n vi c ch ng minh phá t bi u khơng s d ng đo hà m thì rt đơ n gi n. Nĩ sd ng ph ươ ng phá p quy n p Cauchy t ươ ng t nh ư khi ch ng minh b t đng th c AM – GM . Do đĩtá c gis khơng trì nh bà y ch ng minh đây. Ngồ i ra, mt s tà i li u cĩ th b n đc g p khá i ni m l i lõ m khi nh c t i b t đng th c Jensen . Nh ưng hi n nay trong c ng đng tố n h c v n ch ưa quy ư c rõrà ng đâu là li, đâu làlõ m. Cho nên b n đc khơng nh t thi t quan tâm đ n điu đĩ. Khi ch ng minh ta ch cn xé t f ('' x)làđđ sd ng b t đng th c Jensen . Ok! Mc dù bt đng th c Jensen khơng ph i là mt b t đng th c ch t, nh ưng khi cĩ du hi u manh nha c a nĩ thìb n đc c tù y nghi s d ng . The Inequalities Trigonometry 13
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Víd 1.1.3.1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ : 3 3 sin A+ sin B + sin C ≤ 2 Li gi i : Xé t f (x) = sin x v i x ∈ ( ;0 π ) Ta cĩ f ('' x) = −sin x 0 ∀x ∈ ;0  . Tđĩ theo Jensen thì : cos 3 x  2   A B C   + +   A   B   C  π f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3sin = 3 ⇒ đpcm.  2   2   2   3  6     ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.3.3. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ :  A 2 2  B 2 2  C 2 2  tan  + tan  + tan  ≥ 31− 2  2   2   2  Li gi i : The Inequalities Trigonometry 14
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s  π  Xé t f ()()x = tan x 2 2 v i x ∈ ;0   2  Ta cĩ f '()x = 2 2(1+ tan 2 x)()tan x 2 2 −1 = 2 2(()tan x 2 2−1 + ()tan x 2 2 +1 ) f '' ()x = 2 2((2 2 −1)(1+ tan 2 x)()tan x 2 2−2 + (2 2 +1)(1+ tan 2 x)()tan x 2 2 )> 0 Theo Jensen ta cĩ :  A B C   + +  2 2  A   B   C   π  f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3tg  = 31− 2 ⇒ đpcm.  2   2   2   3   6      ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.3.4. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ : A B C A B C 3 sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3 2 2 2 2 2 2 2 Li gi i :  π  Xé t f (x) = sin x + tan x v i x ∈ ;0   2  sin x(1− cos 4 x)  π  Ta cĩ f '' ()x = > 0 ∀x ∈ ;0  cos 4 x  2  Khi đĩ theo Jensen thì :  A B C   + +   A   B   C   π π  3 f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3sin + tan  = + 3 ⇒ đpcm.  2   2   2   3   6 6  2     ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.3.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta cĩ : 3 3  2  2 ()()()sin Asin A sin B sin B sin C sin C ≥    3  Li gi i : Ta cĩ The Inequalities Trigonometry 15
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cos Acos B cos C  sin A + sin B + sin C ≥ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 3 3 và sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 ⇒ 2 0 ∀x ∈ ( 1;0 ] x Bây gi vi Jensen ta đư c : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A)+ sin B(ln sin B)+ sin C(ln sin C) ln   ≤ 3  3  3  sin A + sin B + sin C sin A+sin B+sin C ⇔ ln   ≤ ln ()()()sin A sin A + ln sin B sin B + ln sin C sin C  3   sin A + sin B + sin C sin A+sin B+sin C  ⇔ ln    ≤ ln []()()()sin A sin A sin B sin B sin C sin C  3   sin A+sin B+sin C ()sin A + sin B + sin C sin A sin B sin C ⇔ ≤ ()()()sin A sin B sin C 3sin A+sin B+sin C 3 3 sin A+sin B+sin C sin A+sin B+sin C 2  2   2  2 ⇒ ()()()sin A sin A sin B sin B sin C sin C ≥ =   ≥   3sin A+sin B+sin C  3   3  ⇒ đpcm. 1.1.4. Bt đng th c Chebyshev : Vi hai dã y s th c đơ n điu cù ng chi u a1 ,a2 , , an và b1 ,b2 , , bn thì ta cĩ : 1 a b + a b + + a b ≥ (a + a + + a )(b + b + + b ) 1 1 2 2 n n n 1 2 n 1 2 n Theo kh năng c a mì nh thìtá c gi rt ít khi s d ng b t đng th c nà y. Vì tr ư c h t ta c n đý ti chi u c a cá c bi n, th ư ng ph i s p l i th tcá c bi n. Do đĩbà i tố n cn cĩ yêu c u đi x ng hồ n tồ n gi a cá c bi n, vi c s p x p th ts khơng là m m t tí nh t ng quá t c a bà i tố n. Nh ưng khơng vì th màl i ph nh n t m nh h ư ng c a b t đng th c Chebyshev trong vi c ch ng minh b t đng th c l ư ng giá c, mc dùnĩcĩ mt ch ng minh h t s c đơ n gi n và ng n g n. The Inequalities Trigonometry 16
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Ch ng minh : B ng phân tí ch tr c ti p, ta cĩđng th c : n n(a1b1 + a2b2 + + anbn )− (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) = ∑(ai − a j )(bi − b j ) ≥ 0 i, j=1 Vì hai dã y a1 ,a2 , , an và b1 ,b2 , , bn đơ n điu cù ng chi u nên (ai − a j )(bi − b j ) ≥ 0 Nu 2 dã y a1 ,a2 , , an và b1 ,b2 , , bn đơ n điu ng ư c chi u thì bt đng th c đi chi u. Víd 1.1.4.1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ : aA + bB + cC π ≥ a + b + c 3 Li gi i : Khơng m t tí nh t ng quá t gi s : a ≤ b ≤ c ⇔ A ≤ B ≤ C Theo Chebyshev thì :  a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC    ≤  3  3  3 aA + bB + cC A + B + C π ⇒ ≥ = a + b + c 3 3 ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.4.2. Cho ∆ABC khơng cĩgĩ c tùvà A, B, C đo b ng radian. CMR :  sin A sin B sin C  3()()sin A + sin B + sin C ≤ A + B + C  + +   A B C  Li gi i : sin x  π  Xé t f ()x = v i x ∈ ;0 x  2  cos x(x − tan x)  π   Ta cĩ f '()x = 2 ≤ 0 ∀x ∈ ;0  x  2  The Inequalities Trigonometry 17
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s  π  Vy f (x) ngh ch bi n trên  ;0  2  Khơng m t t ng quá t gi s : sin A sin B sin C A ≥ B ≥ C ⇒ ≤ ≤ A B C Á p d ng b t đng th c Chebyshev ta cĩ :  sin A sin B sin C  ()A + B + C  + +  ≥ 3()sin A + sin B + sin C ⇒ đpcm.  A B C  ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.4.3. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ : sin A + sin B + sin C tan Atan B tan C ≤ cos A + cos B + cos C 3 Li gi i : Khơng m t t ng quá t gi s A ≥ B ≥ C tan A ≥ tan B ≥ tan C ⇒  cos A ≤ cos B ≤ cos C Á p d ng Chebyshev ta cĩ :  tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan Acos A + tan B cos B + tan C cos C    ≥  3  3  3 sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ⇔ ≤ cos A + cos B + cos C 3 Mà ta l i cĩ tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 1.1.4.4. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta cĩ : 3 sin 2A + sin 2B + sin 2C 2()sin A + sin B + sin C ≥ 2 cos A + cos B + cos C Li gi i : Khơng m t t ng quá t gi s a ≤ b ≤ c The Inequalities Trigonometry 18
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s sin A ≤ sin B ≤ sin C ⇒  cos A ≥ cos B ≥ cos C Khi đĩ theo Chebyshev thì :  sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin Acos A + sin B cos B + sin C cos C    ≥  3  3  3 3 sin 2A + sin 2B + sin 2C ⇔ 2()sin A + sin B + sin C ≥ 2 cos A + cos B + cos C ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. 1.2. Cá c đng th c b t đng th c trong tam giá c : Sau đây là hu h t nh ng đng th c, bt đng th c quen thu c trong tam giá c và trong lư ng giá c đư c dù ng trong chuyên đnà y ho c r t c n thi t cho quátrì nh h c tố n c a b n đc. Cá c b n cĩ th dù ng ph n nà y nh ư m t t đin nhđ tra c u khi c n thi t.Hay b n đc cũ ng cĩ th ch ng minh t t ccá c k t qu nh ư làbà i t p rè n luy n. Ngồ i ra tơi cũ ng xin nh c v i b n đc r ng nh ng ki n th c trong ph n nà y khi ápd ng và o bà i t p đ u c n thi t đư c ch ng minh l i. 1.2.1. ð ng th c : a b c = = = 2R sin A sin B sin C a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A a = b cos C + ccos B b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B b = c cos A + a cos C c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C c = a cos B + bcos A 1 1 1 S = a.h = b.h = c.h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc = = 2R 2 sin A sin Bsin C = pr 4R = ()()()p − a ra = p − b rb = p − c rc = p(p − a )(p − b )(p − c ) The Inequalities Trigonometry 19
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s A 2bc cos 2 A 2 2 2 la = r = ()p − a tan 2 2b + 2c − a b + c 2 ma = 4 B B 2 2 2 2ca cos = ()p − b tan 2 2c + 2a − b 2 m = l = 2 b 4 b c + a C = ()p − c tan 2a 2 + 2b 2 − c 2 C 2 m 2 = 2ab cos c 4 2 A B C lc = = 4Rsin sin sin a + b 2 2 2  A − B  tan   a − b  2  = a + b  A + B  b 2 + c 2 − a 2 tan   cot A =  2  4S  B − C  c 2 + a 2 − b 2 tan   cot B = b − c  2  4S = b + c  B + C  a 2 + b 2 − c 2 tan   cot C =  2  4S  C − A  a 2 + b 2 + c 2 tan   cot A + cot B + cot C = c − a  2  4S = c + a  C + A  tan    2  A (p − b)(p − c) A p(p − a) A (p − b)(p − c) sin = cos = tan = 2 bc 2 bc 2 p()p − a B (p − c )(p − a ) B p()p − b B (p − c )(p − a ) sin = cos = tan = 2 ca 2 ca 2 p()p − b C (p − a )(p − b ) C p()p − c C (p − a )(p − b ) sin = cos = tan = 2 ab 2 ab 2 p()p − c A B C p sin A + sin B + sin C = 4cos cos cos = 2 2 2 R sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin Bsin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2()1+ cos Acos B cos C A B C r cos A + cos B + cos C = 1+ 4sin sin sin = 1+ 2 2 2 R cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1− 2cos Acos B cos C The Inequalities Trigonometry 20
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 A B C sin ()()()()()2k +1 A + sin 2k +1 B + sin 2k +1 C = −1 k 4cos 2k +1 cos ()2k +1 cos ()2k +1 2 2 2 sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = ()−1 k+1 4sin kA sin kB sin kC A B C cos ()()()()()2k +1 A + cos 2k +1 B + cos 2k +1 C = 1+ −1 k 4sin 2k +1 sin ()2k +1 sin ()2k +1 2 2 2 cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1+ ()−1 k 4cos kA cos kB cos kC tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = 1 A B B C C A tan ()2k +1 tan ()2k +1 + tan ()2k +1 tan ()2k +1 + tan ()2k +1 tan ()2k +1 = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C cot ()2k +1 + cot ()2k +1 + cot ()2k +1 = cot ()2k +1 cot ()2k +1 cot ()2k +1 2 2 2 2 2 2 cos 2 kA + cos 2 kB + cos 2 kC = 1+ ()−1 k 2cos kA cos kB cos kC sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + ()−1 k+1 2cos kA cos kB cos kC 1.2.2. Bt đng th c : a − b < c < a + b a ≤ b ⇔ A ≤ B b − c < a < b + c b ≤ c ⇔ B ≤ C c − a < b < c + a c ≤ a ⇔ C ≤ A A B C 3 3 3 cos + cos + cos ≤ cos A + cos B + cos C ≤ 2 2 2 2 2 A B C 3 3 3 sin + sin + sin ≤ sin A + sin B + sin C ≤ 2 2 2 2 2 A B C tan + tan + tan ≥ 3 tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 2 2 2 A B C cot A + cot B + cot C ≥ 3 cot + cot + cot ≥ 3 3 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 21
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s A B C cos 2 + cos 2 + cos 2 3 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 2 2 2 4 A B C sin 2 + sin 2 + sin 2 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2 2 2 4 A B C tan 2 + tan 2 + tan 2 ≥ 1 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 9 2 2 2 2 2 2 A B C cot A + cot B + cot C ≥1 cot 2 + cot 2 + cot 2 2 2 2 1 A B C 3 3 cos Acos B cos C ≤ cos cos cos ≤ 8 2 2 2 8 3 3 A B C 1 sin Asin Bsin C ≤ sin sin sin ≤ 8 2 2 2 8 A A A 1 tan Atan B tan C ≥ 3 3 tan tan tan ≤ 2 2 2 3 3 1 cot Acot B cot C ≤ A A A 3 3 cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 1.3. Mt s đnh lýkhá c : 1.3.1. ðnh lý Lagrange : Nu hà m s y = f (x) liên t c trên đo n [a;b]vàcĩđo hà m trên kho ng (a;b) thì tn t i 1 đim c ∈ (a;b) sao cho : f (b)− f (a) = f '(c)(b − a) Nĩ i chung v i ki n th c THPT, ta chcĩ cơng nh n đnh lýnà y mà khơng ch ng minh. Ví ch ng minh c a nĩ cn đn m t s ki n th c c a tố n cao c p. Ta ch cn hi u cá ch dù ng nĩcù ng nh ng điu ki n đi kè m trong cá c tr ư ng h p ch ng minh. Víd 1.3.1.1. Ch ng minh r ng ∀a,b ∈ R, a < b thì ta cĩ : sin b − sin a ≤ b − a Li gi i : The Inequalities Trigonometry 22
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Xé t f (x) = sin x ⇒ f '(x) = cos x Khi đĩ theo đnh lý Lagrange ta cĩ ∃c ∈ (a;b): f (b)− f (a) = (b − a)cos c : ⇒ sin b − sin a ≤ b − a cos c ≤ b − a ⇒ đpcm. Víd 1.3.1.2. V i 0 < a < b . CMR : b − a b b − a < ln< b a a Li gi i : Xé t f (x) = ln x , khi đĩ f (x) liên t c trên [a;b]kh vi trên (a;b) nên : ln b − ln a 1 1 1 1 ∃c ∈ ()a;b : = f '()c = vì a < c < b nên < < b − a c b c a 1 ln b − ln a 1 b − a b b − a T đĩ < < ⇒ < ln < ⇒ đpcm. b b − a a b a a Víd 1.3.1.3. π Cho 0 < β < α < . CMR : 2 α − β α − β < tan α − tan β < cos 2 β cos 2 α Li gi i : Xé t f (x) = tan x liên t c trên [β ;α]kh vi trên (β ;α ) nên theo đnh lý Lagrange f (α )− f (β ) tan α − tan β 1 ∃c ∈ ()β ;α : = f '()c ⇒ = ()1 α − β α − β cos 2 c 1 1 1 Vì β < c < α nên < < ()2 cos 2 β cos 2 c cos 2 α T (1)(2) ⇒ đpcm. Víd 1.3.1.4. The Inequalities Trigonometry 23
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s  1  x+1  1  x CMR n u x > 0thì 1+  > 1+   x +1  x  Li gi i :  1  Xé t f ()x = x ln 1+  = x()ln ()x +1 − ln x ∀x > 0  x  1 Ta cĩ f '()()x = ln x +1 − ln x − x +1 Xé t g(t) = ln t liên t c trên [x; x +1]kh vi trên (x; x +1) nên theo Lagrange thì : ln (x +1)− ln x 1 ∃c ∈ ()x; x +1 : = g '()c > ()x +1 − x x +1 1 ⇒ f '()()x = ln x +1 − ln x − > 0 x +1 v i x > 0 ⇒ f (x) tăng trên ( ;0 + ∞)  1  x+1  1  x ⇒ f ()()x +1 > f x ⇒ ln 1+  > ln 1+   x +1  x   1  x+1  1  x ⇒ 1+  > 1+   x +1  x  ⇒ đpcm. Víd 1.3.1.5. Ch ng minh r ng ∀n ∈ Z + ta cĩ : 1  1  1 ≤ arctan   ≤ n 2 + 2n + 2  n 2 + n +1 n 2 +1 Li gi i : Xé t f (x) = arctan x liên t c trên [n;n +1] 1 ⇒ f '()x = trên (n;n +1) ∀n ∈ Z + 1+ x 2 Theo đnh lý Lagrange ta cĩ : f (n +1)− f (n) ∃c ∈ ()()n;n +1 : f ' c = ()n +1 − n 1  n +1− n  ⇒ = arctan ()n +1 − arctan n = arctan   1+ c 2 1+ ()n +1 n  1  1  ⇒ = arctan   1+ c 2  n 2 + n +1 The Inequalities Trigonometry 24
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s ðý c ∈ (n;n +1) ⇒ 1 ≤ n 0 thì f (x) cĩ hai nghi m x1 , x2 vàgi s x1 x2 ) và f (x) trá i d u vi a khi x trong kho ng hai nghi m (tc là x1 0 . Víd 1.3.2.1. CMR ∀x, y, z ∈ R + và ∆ABC bt kỳ ta cĩ : cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2 + + ≤ x y z 2xyz Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : x 2 − 2x(y cos C + z cos B)+ (y 2 + z 2 − 2yz cos A) ≥ 0 Coi đây nh ư là tam th c b c hai theo bi n x. ∆'= (y cos C + z cos B)2 − (y 2 + z 2 − 2yz cos A) = −()y sin C − z sin B 2 ≤ 0 V y b t đng th c trên đúng. The Inequalities Trigonometry 25
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s ð ng th c x y ra khi vàch khi : ysin C = z sin B  ⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c x = y cos C + z cos B tc x, y, z là ba c nh c a tam giá c t ươ ng đươ ng v i ∆ABC . Víd 1.3.2.2. CMR ∀x ∈ R và ∆ABC bt kỳ ta cĩ : 1 1+ x 2 ≥ cos A + x()cos B + cos C 2 Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : x 2 − 2x(cos B + cos C)+ 2 − 2cos A ≥ 0 ∆'= ()()cos B + cos C 2 − 2 1− cos A  B + C B − C 2 A = 2cos cos  − 4sin 2  2 2  2 A  B − C  = 4sin 2 cos 2 −1 2  2  A B − C = −4sin 2 sin 2 ≤ 0 2 2 Vy b t đng th c trên đúng. ð ng th cx y ra khi vàch khi : ∆ = 0 B = C  ⇔  x = cos B + cos C x = 2cos B = 2cos C Víd 1.3.2.4. CMR trong m i ∆ABC ta đ u cĩ :  a + b + c 2 ab sin 2 A + bc sin 2 B + ca sin 2 C ≤    2  Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : a 2 + 2a(bcos 2A + ccos 2C)+ b 2 + c 2 + 2bc cos 2B ≥ 0 ∆'= ()bcos 2A + c cos 2C 2 − ()b 2 + c 2 + 2bc cos 2B The Inequalities Trigonometry 26
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s = −(bsin 2A + csin 2C)2 ≤ 0 V y b t đng th c đư c ch ng minh xong. Víd 1.3.2.4. Cho ∆ABC bt kỳ . CMR : 3 cos A+ cos B + cos C ≤ 2 Li gi i : B + C B − C ð t k = cos A + cos B + cos C = 2cos cos − cos ()A + B 2 2 A + B A − B A + B ⇔ 2cos 2 − 2cos cos + k −1 = 0 2 2 2 A + B Do đĩ cos là nghi m c a ph ươ ng trì nh : 2 A − B 2x 2 − 2cos x + k −1 = 0 2 A + B Xé t ∆'= cos 2 − 2()k −1 . ð tn t i nghi m thì : 2 A − B 3 ∆'≥ 0 ⇔ 2()k −1 ≤ cos 2 ≤ 1 ⇒ k ≤ 2 2 3 ⇒ cos A + cos B + cos C ≤ 2 ⇒ đpcm. Víd 1.3.2.5. CMR ∀x, y ∈ R ta cĩ : 3 sin x+ sin y + cos ()x + y ≤ 2 Li gi i : x + y x − y x + y ð t k = sin x + sin y + cos ()x + y = 2sin cos +1− 2sin 2 2 2 2 x + y Khi đĩ sin là nghi m c a ph ươ ng trì nh : 2 x − y 2x 2 − 2cos x + k −1 = 0 2 The Inequalities Trigonometry 27
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s ⇒ ∆'= 1− 2(k −1) ≥ 0 3 ⇒ k ≤ 2 ⇒ đpcm. 1.3.3. ðnh lý vhà m tuy n tí nh : Xé t hà m f (x) = ax + b xá c đnh trên đo n [α ;β ]  f (α ) ≥ k N u  ()k ∈ R  f ()β ≥ k thì f (x) ≥ k ∀x ∈[α ;β ]. ðây là mt đnh lýkhá hay. Trong m t s tr ư ng h p, khi mà AM – GM đãbĩ tay, BCS đãđu hà ng vơ điu ki n thìđnh lý vhà m tuy n tí nh m i phá t huy h t s c m nh c a mì nh. Mt phá t bi u h t s c đơ n gi n nh ưng đĩl i là li ra cho nhi u bà i b t đng th c khĩ . Víd 1.3.3.1. Cho a,b,c là nh ng s th c khơng âm th a : a 2 + b 2 + c 2 = 4 1 CMR : a+ b + c ≤ abc + 8 2 Li gi i : Ta vi t l i b t đng th c c n ch ng minh d ư i d ng :  1  1− bc a + b + c − 8 ≤ 0  2   1  Xé t f ()a = 1− bc a + b + c − 8 v i a ∈[ 2;0 ].  2  Khi đĩ : f (0) = b + c − 8 ≤ 2(b 2 + c 2 ) − 8 = 8 − 8 = 0 f ()2 = 2 − bc + b + c − 8 = 2 − 8 < 8 − 8 = 0 (vì a = 2 ⇔ b = c = 0 ) V y f (a) ≤ 0 ∀a ∈[ 2;0 ]⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi a = ,0 b = c = 0 vàcá c hố n v . The Inequalities Trigonometry 28
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s Víd 1.3.3.2. CMR ∀a,b,c khơng âm ta cĩ : 7(ab + bc + ca )(a + b + c) ≤ 9abc + 2(a + b + c)3 Li gi i : a b c ð t x = ;y = ; z = . Khi đĩbà i tố n tr thà nh : a + b + c a + b + c a + b + c Ch ng minh 7(xy + yz + zx ) ≤ 9xyz + 2 v i x + y + z = 1 Khơng m t tí nh t ng quá t gi s x = max {x, y, z}. 1  Xé t f (x) = (7y + 7z − 9yz )x + 7yz − 2 v i x ∈ 1; 3  Ta cĩ :  1  f   = 0 ; f ()1 = −2 < 0  3 1  ⇒ f ()x ≤ 0∀x ∈  1;  3  V y b t đng th c ch ng minh xong. 1 ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c . 3 ðây là ph n duy nh t c a chuyên đ khơng đ cpđ n l ư ng giá c. Nĩch mang tí nh gi i thi u cho b n đc m t đnh lý hay đ ch ng minh b t đng th c. Nh ưng th c ra trong m t s bà i b t đng th c l ư ng giá c, ta v n cĩ th á p d ng đnh lýnà y. Chcĩđiu cá c b n nên chúýlà du b ng c a b t đng th c x y ra ph i phù hp v i t p xá c đnh c a cá c hà m l ư ng giá c. 1.4. Bà i t p : Cho ∆ABC . CMR : 1 1.4.1. cot 3 A + cot 3 B + cot 3 C ≥ vi ∆ABC nh n. 3 A B C 3 2 − 3 1.4.2. sin + sin + sin ≤ 4 4 4 2 1 1 1 1.4.3. + + ≥ 2 3 sin A sin B sin C A B C A B C 7 1.4.4. sin 2 + sin 2 + sin 2 + sin sin sin ≥ 2 2 2 2 2 2 8 The Inequalities Trigonometry 29
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 1 Cá c b ư c đu c ơ s 9 1.4.5. cot A + cot B + cot C ≤ 8sin Asin Bsin C A − B B − C C − A 1.4.6. cos cos cos ≥ 8sin A sin Bsin C 2 2 2 1.4.7. 1+ cos Acos B cos C ≥ sin Asin B sin C 1 1 1 34 3 1.4.8. + + ≥ a + b − c b + c − a c + a − b 2 S a b c 1.4.9. + + ≥ 2 3 ma mb mc m m m 3 3 1.4.10. a + b + c ≥ a b c 2 2 1.4.11. mala + mblb + mclc ≥ p 1 1 1 3 1.4.12. 2 + 2 + 2 > a ma b mb c mc abc abc 1.4.13. (p − a )(p − b )(p − c ) ≤ 8 1.4.14. ha + hb + hc ≥ 9r  A + 3B   B + 3C   C + 3A  1.4.15. sin Asin Bsin C ≤ sin  sin  sin    4   4   4  The Inequalities Trigonometry 30
Trưng THPT chuyên LýTTrng – Cn Thơ Bt đng thc lưng giác Chương 2 Các phương pháp chng minh Chương 2 : Các phương pháp chng minh Chng minh bt đng thc địi hi knăng vàkinh nghim. Khơng thkhơi khơi màta đâm đu vào chng minh khi gp mt bài bt đng thc. Ta sxem xét nĩthuc dng bài nào, nêndùng phương pháp nào đchng minh. Lúc đĩvic chng minh bt đng thc mi thành cơng đưc. Như vy, đcĩthđương đu vi các bt đng thc lưng giác, bn đc cn nm vng các phương pháp chng minh. ðĩslà kim chnam cho các bài bt đng thc. Nhng phương pháp đĩcũng rt phong phúvàđa dng : tng hp, phân tích, quy ưc đúng, ưc lưng non già, đi bin, chn phn tcc tr Nhưng theo ýkin chquan ca mình, nhng phương pháp tht s cn thit và thơng dng s đưc tác gi gii thiu trong chương 2 : “Các phương pháp chng minh”. Mc lc : 2.1. Bin đi lưng giác tương đương 32 2.2. Sdng các bưc đu cơ s 38 2.3. ðưa vvector vàtích vơ hưng 46 2.4. Kt hp các bt đng thc cđin 48 2.5. Tn dng tính đơn diuca hàm s 57 2.6. Bài tp . 64 The Inequalities Trigonometry 31
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 2.1. Bi n đi l ư ng giá c t ươ ng đươ ng : Cĩ th nĩ i ph ươ ng phá p nà y là mt ph ươ ng phá p “x ưa nh ư Trá i ð t”. Nĩ sd ng cá c cơng th c l ư ng giá c và s bi n đi qua l i gi a cá c b t đng th c. ðcĩ th sd ng tt ph ươ ng phá p nà y b n đc c n trang b cho mì nh nh ng ki n th c c n thi t v bi n đi lư ng giá c (b n đc cĩ th tham kh o thêm ph n 1.2. Cá c đng th c,bt đng th c trong tam giá c). Thơng th ư ng thì vi ph ươ ng phá p nà y, ta sđư a b t đng th c c n ch ng minh v d ng b t đng th c đúng hay quen thu c. Ngồ i ra, ta cũ ng cĩ th sd ng hai k t qu quen thu c sin x ≤ ;1 cos x ≤ 1. Víd 2.1.1. π 1− sin π CMR : 14 > 3cos π 7 2sin 14 Li gi i : Ta cĩ : π 3π π 5π 3π 7π 5π 1− sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π  π 2π 3π  = 2sin cos + cos + cos  14  7 7 7  π 1− sin π 2π 3π ⇒ 14 = cos + cos + cos ()1 π 7 7 7 2sin 14 M t khá c ta cĩ : π 1  π 3π 5π π 4π 2π  cos = cos + cos + cos + cos + cos + cos  7 2  7 7 7 7 7 7  π 2π 2π 3π 3π π = cos cos + cos cos + cos cos ()2 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π ð t x = cos ; y = cos ; z = cos 7 7 7 Khi đĩ t ( ),1 (2) ta cĩ bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : x + y + z > 3(xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > 0 nên : (3) ⇔ (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 > 0 (4) The Inequalities Trigonometry 32
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh V ì x, y, z đơi m t khá c nhau nên (4) đúng ⇒ đpcm. Nh ư v y, vi cá c b t đng th c nh ư trên thì vi c bi n đi l ư ng giá c là quy t đnh sng cị n v i vi c ch ng minh b t đng th c. Sau khi s d ng cá c bi n đi thì vi c gi i quy t b t đng th c tr nên d dà ng th m chílà hi n nhiên (!). Víd 2.1.2. CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2x − bc sin x) Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : a 2 (sin 2 2x + cos 2 2x)+ b 2 (sin 2 x + cos 2 x)+ c 2 ≥ 2ab (sin xcos 2x + sin 2x cos x)+ + 2ca cos 2x − 2bc sin x ⇔ (a 2 cos 2 2x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2xsin x − 2ca cos 2x + 2bc sin x) + ()a 2 sin 2 2x − 2ab sin 2x cos x + b 2 cos 2 x ≥ 0 2 ⇔ ()a cos 2x − bsin x − c 2 + ()a sin 2x − bcos x ≥ 0 B t đng th c cu i cù ng luơn đúng nên ta cĩđpcm. Víd 2.1.3. CMR v i ∆ABC bt kỳ ta cĩ : 9 sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 Li gi i : B t đng th c cn ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 1− cos 2B 1− cos 2C 9 1− cos 2 A + + ≤ 2 2 4 1 1 ⇔ cos 2 A + ()cos 2B + cos 2C + ≥ 0 2 4 1 ⇔ cos 2 A − cos Acos ()B − C + ≥ 0 4  cos ()B − C 2 1 ⇔ cos A −  + sin 2 ()B − C ≥ 0  2  4 ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. The Inequalities Trigonometry 33
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Víd 2.1.4. π Cho α, β,γ ≠ + kπ ()k ∈ Z là ba gĩ c th a sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1. CMR : 2  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2   ≤ 1− 2 tan 2 α tan 2 β tan 2 γ  3  Li gi i : Ta cĩ : sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ =1 ⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 1 1 1 ⇔ + + = 2 1+ tan 2 α 1+ tan 2 β 1+ tan 2 γ ⇔ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α =1− 2tan 2 α tan 2 β tan 2 γ Khi đĩ bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i :  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2   ≤ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α  3  ⇔ ()()()tan α tan β − tan β tan γ 2 + tan β tan γ − tan γ tan α 2 + tan γ tan α − tan α tan β 2 ≥ 0 ⇒ đpcm. tan α tan β = tan β tan γ  ð ng th c x y ra ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ  tan γ tan α = tan α tan β Víd 2.1.5. CMR trong ∆ABC bt kỳ ta cĩ : A B C  A B C  cot + cot + cot ≥ 3tan + tan + tan  2 2 2  2 2 2  Li gi i : Ta cĩ : A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C x, y, z > 0 ð t x = cot ; y = cot ; z = cot thì  2 2 2 x + y + z = xyz Khi đĩ bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : The Inequalities Trigonometry 34
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh  1 1 1  x + y + z ≥ 3 + +   x y z  3()xy + yz + zx ⇔ ()x + y + z ≥ xyz ⇔ ()()x + y + z 2 ≥ 3 xy + yz + zx ⇔ ()()()x − y 2 + y − z 2 + z − x 2 ≥ 0 ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra ⇔ cot A = cot B = cot C ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC đ u. Víd 2.1.6. 1 1 2 CMR : + ≤ 3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x Li gi i : Vì −1 ≤ sin x ≤ 1và cos x ≥ −1 nên : 3 + sin x > 0 ; 3 − sin x > 0 và 2 + cos > 0 Khi đĩ bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 6(2 + cos x) ≤ 2(9 − sin 2 x) ⇔ 12 + 6cos x ≤ 18 − 2()1− cos 2 x ⇔ 2cos 2 x − 6cos x + 4 ≥ 0 ⇔ (cos x −1 )(cos x − 2 ) ≥ 0 do cos x ≤ 1 nên b t đng th c cu i cù ng luơn đúng ⇒ đpcm. Víd 2.1.7. π π CMR ∀ ≤ α ; β < ta cĩ : 3 2 2  1  1  −1 ≤  −1 −1 cos α + cos β  cos α  cos β  Li gi i : π π 1 T ∀ ≤ α ; β < ⇒ 0 < cos α ;cos β ≤ 3 2 2 The Inequalities Trigonometry 35
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 0 0 nên cĩ th chia hai v cho 2sin a sin b ) π B t đng th c sau cù ng hi n nhiên đúng do 0 < a + b < ⇒ đpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 36
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Víd 2.1.9. Cho ∆ABC khơng vuơng. CMR : 3tan 2 Atan 2 B tan 2 C − 5(tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C) ≤ 9 + tan 2 Atan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 4 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 4(tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C)− 8 ≤ (1+ tan 2 A)(1+ tan 2 B)(1+ tan 2 C)  1  1  1   1 1 1  1 ⇔ 4 −1 −1 −1 − 4 + + − 3 − 8 ≤  cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C   cos 2 A cos 2 B cos 2 C  cos 2 Acos 2 B cos 2 C 4  1 1 1  1 ⇔ −  + +  ≤ cos 2 Acos 2 B cos 2 C  cos 2 Acos 2 B cos 2 B cos 2 C cos 2 C cos 2 A  cos 2 Acos 2 B cos 2 C 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 1+ cos 2A 1+ cos 2B 3 ⇔ + + cos 2 C ≥ 2 2 4 ⇔ 2()cos 2A + cos 2B + 4 cos 2 C +1 ≥ 0 ⇔ 2 cos ()()A + B cos A − B + 4 cos 2 C +1 ≥ 0 ⇔ 4 cos 2 C − 4 cos C cos ()A − B +1 ≥ 0 ⇔ ()()2 cos C − cos ()A − B 2 + sin 2 A − B ≥ 0 ⇒ đpcm. Víd sau đây, theo ý kin ch quan c a tá c gi , thì li gi i c a nĩ xng đáng là bc th y v bi n đi l ư ng giá c. Nh ng bi n đi th t s lt lé o k t h p cù ng b t đng th c mt cá ch h p lýđúng ch đã mang đ n cho chú ng ta m t bà i tố n th t s đc s c !!! Víd 2.1.10. Cho n a đư ng trị n bá n kí nh R , C là mt đim tù y ý trên n a đư ng trị n. Trong hai hì nh qu t n i ti p hai đư ng trị n, g i M và N là hai ti p đim c a hai đư ng trị n v i đư ng kí nh c a n a đư ng trị n đã cho. CMR : MN ≥ 2R( 2 −1) Li gi i : π G i O ,O là tâm c a hai đư ng trị n. ð t ∠CON = 2α (nh ư v y 0 < α < ) 1 2 2 và OO 1 = R1 ; OO 2 = R2 Ta cĩ : ∠O2ON = α π ∠O OM = − α 1 2 The Inequalities Trigonometry 37
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh V y :  π  MN = MO + ON = R cot  −α  + R cot α = R tan α + R cot α 1  2  2 1 2 Trong ∆ vuơng O1MO cĩ :  π  R = O O sin  −α  = ()R − R cos α 1 1  2  1 R cos α R ()1+ cos α = R cos α ⇒ R = 1 1 1+ cos α T ươ ng t : Rsin α R = OO sin α = ()R − R sin α ⇒ R = 2 2 2 2 1+ sin α Do đĩ : Rcos α sin α Rsin α cos α MN = ⋅ + ⋅ 1+ cos α cos α 1+ sin α sin α Rsin α R cos α = + C 1+ cos α 1+ sin α sin α + cos α +1 = R (1+ sin α )(1+ cos α ) O1 O α  α α  2 2cos sin + cos  2  2 2  = R M O N  α α  2 α sin + cos  2. cos 2  2 2  2 1 = R α  α α  cos sin + cos  2  2 2  2R = sin α + cos α +1  π  2R mà sin α + cos α ≤ 2α −  ≤ 2 ⇒ MN ≥ = 2R( 2 −1)⇒ đpcm.  4  2 +1 π ð ng th c x y ra ⇔ α = ⇔ OC ⊥ MN . 4 2.2. Sd ng cá c b ư c đu c ơ s : Cá c b ư c đu c ơ s màtá c gi mu n nh c đ n đây là ph n 1.2. Cá c đng th c, bt đng th c trong tam giá c. Ta sđư a cá c b t đng th c c n ch ng minh v cá c b t đng th c c ơ b n b ng cá ch bi n đi và sd ng cá c đng th c c ơ b n. Ngồ i ra, khi tham gia cá ckỳ thi, tá c gi khuyên b n đc nên ch ng minh cá c đng th c, bt đng th c c ơ b n sd ng nh ư m t b đ cho bà i tố n. The Inequalities Trigonometry 38
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Víd 2.2.1. Cho ∆ABC . ðư ng phân giá c trong cá c gĩ c A, B,C c t đưng trị n ngo i ti p ∆ABC ln l ư t t i A1 , B1 ,C1 . CMR : S ≤ S ABC A1B1C1 Li gi i : G i R làbá n kí nh đư ng trị n ngo i ti p ∆ABC thìnĩcũ ng làbá n kí nh đư ng trị n ngo i ti p ∆A B C . A 1 1 1 B B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 1 2 2 2R sin Asin Bsin C ≤ 2R sin A1 sin B1 sin C1 (1) C1 B + C C + A A + B Do A = ; B = ; C = nên : 1 2 1 2 1 2 B + C C + A A + B ()1 ⇔ sin A sin Bsin C ≤ sin sin sin 2 2 2 B C A B C A B C A B C ⇔ 8sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos ()2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C Vì cos cos cos > 0 nên : A1 2 2 2 A B C 1 ()2 ⇔ sin sin sin ≤ ⇒ đpcm. 2 2 2 8 ð ng th c x y ra ⇔ ∆ABC đ u. Víd 2.2.2. CMR trong m i tam giá c ta đ u cĩ : 7 A B C sin Asin B + sin Bsin C + sin C sin A ≤ + 4sin sin sin 4 2 2 2 Li gi i : A B C Ta cĩ : cos A + cos B + cos C = 1+ 4sin sin sin 2 2 2 B t đng th c đã cho t ươ ng đươ ng v i : 3 sin Asin B + sin Bsin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C ()1 4 mà : The Inequalities Trigonometry 39
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh cos A = sin Bsin C − cos B cos C cos B = sin C sin A − cos C cos A cos C = sin Asin B − cos Acos B nên : 3 ()1 ⇔ cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ ()2 4 Th t v y hi n nhiên ta cĩ : 1 cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ ()()cos A + cos B + cos C 2 3 3 3 M t khá c ta cĩ : cos A + cos B + cos C ≤ 2 ⇒ (3) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 2.2.3. Cho ∆ABC b t kỳ . CMR : 1 1 1 + + ≥ 1 1+ 2cos A + 4cos Acos B 1+ 2cos B + 4cos B cos C 1+ 2cos C + 4cos C cos A Li gi i : ð t v trá i b t đng th c c n ch ng minh là T. Theo AM – GM ta cĩ : T[3 + 2(cos A + cos B + cos C)+ 4(cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ 9 (1) 3 mà : cos A + cos B + cos C ≤ 2 (cos A + cos B + cos C)2 3 và hi n nhiên : cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ ≤ 3 4 ⇒ 3 + 2(cos A + cos B + cos C)+ 4(cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ 9 (2) T ( ),1 (2) suy ra T ≥ 1 ⇒ đpcm. Víd 2.2.4. CMR v i m i ∆ABC b t kỳ , ta cĩ : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : The Inequalities Trigonometry 40
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 2(ab + bc + ca ) ≥ 4 3S + a 2 + b 2 + c 2 (1) Ta cĩ : b 2 + c 2 − a 2 cot A = 4S c 2 + a 2 − b 2 cot B = 4S a 2 + b 2 − c 2 cot C = 4S Khi đĩ :  1 1 1  ()1 ⇔ 4S + +  ≥ 4 3S + 4S()cot A + cot B + cot C  sin A sin B sin C   1   1   1  ⇔  − cot A +  − cot B +  − cot C  ≥ 3  sin A   sin B   sin C  A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u. Víd 2.2.5. CMR trong m i tam giá c, ta cĩ : A B B C C A 5 r sin sin + sin sin + sin sin ≤ + 2 2 2 2 2 2 8 4R Li gi i : A B C Á p d ng cơng th c : r = 4Rsin sin sin , ta đư a b t đng th c đã cho v d ng 2 2 2 tươ ng đươ ng sau : A B B C C A A B C 5 sin sin + sin sin + sin sin − sin sin sin ≤ ()1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 A B C Ta cĩ : cos A + cos B + cos C =1+ 4sin sin sin 2 2 2 Do đĩ : A B B C C A 1 5 ()1 ⇔ sin sin + sin sin + sin sin − ()cos A + cos B + cos C −1 ≤ ()2 2 2 2 2 2 2 4 8 Theo AM – GM , ta cĩ : A B  A B  cos cos  cos cos  A B A B 2 + 2 ≥ 2 ⇒ sin sin  2 + 2  ≥ 2sin sin B A 2 2  B A  2 2 cos cos  cos cos  2 2  2 2  The Inequalities Trigonometry 41
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh A B 1  B A  ⇒ 2sin sin ≤ sin Atan + sin B tan  2 2 2  2 2  T ươ ng t ta cĩ : B C 1  C B  2sin sin ≤ sin B tan + sin C tan  2 2 2  2 2  C A 1  A C  2sin sin ≤ sin C tan + sin Atan  2 2 2  2 2  T đĩ suy ra :  A B B C C A  2sin sin + sin sin + sin sin  ≤  2 2 2 2 2 2  1  A B C  ≤ tan ()sin B + sin C + tan ()sin C + sin A + tan ()sin A + sin B  2  2 2 2   A B B C C A  ⇒ cos A + cos B + cos C ≥ 2sin sin + sin sin + sin sin   2 2 2 2 2 2  Khi đĩ : A B B C C A 1 sin sin + sin sin + sin sin − ()cos A + cos B + cos C −1 ≤ 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ≤ ()cos A + cos B + cos C − ()cos A + cos B + cos C −1 = ()cos A + cos B + cos C = 2 4 4 4 3 mà cos A + cos B + cos C ≤ 2 A B B C C A 1 5 ⇒ sin sin + sin sin + sin sin − ()cos A + cos B + cos C −1 ≤ 2 2 2 2 2 2 4 8 ⇒ (2) đúng ⇒ đpcm. Víd 2.2.6. Cho ∆ABC bt kỳ . CMR : 3  a 2 + b 2 + c 2  a 2b 2c 2   ≤ cot A + cot B + cot C A B C   tan tan tan 2 2 2 Li gi i : Ta cĩ : a 2 + b 2 + c 2 = 4S cot A + cot B + cot C nên b t đng th c đã cho t ươ ng đươ ng v i : The Inequalities Trigonometry 42
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh a 2b 2c 2 64 S 3 ≤ ()1 A B C tan tan tan 2 2 2 M t khá c ta cũ ng cĩ : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ a 2 ≥ 2bc − 2bc cos A A ⇒ a 2 ≥ 4bc sin 2 2 A 4bc sin 2 a 2 ⇒ ≥ 2 = 2bc sin A = 4S A A tan tan 2 2 T ươ ng t ta cũ ng cĩ : b 2 c 2 ≥ 4S ; ≥ 4S B C tan tan 2 2 ⇒ (1) đúng ⇒ đpcm. Víd 2.2.7. CMR trong m i tam giá c ta cĩ : (1+ b + c − bc )cos A + (1+ c + a − ca )cos B + (1+ a + b − ab )cos C ≤ 3 Li gi i : Ta cĩ vtrá i c a b t đng th c c n ch ng minh b ng : (cos A + cos B + cos C)+ [(b + c)cos A + (c + a)cos B + (a + b)cos C]− (ab cos C + bc cos A + ca cos B) ð t : P = cos A + cos B + cos C Q = ()()()b + c cos A + c + a cos B + a + b cos C R = ab cos C + bc cos A + ca cos B 3 D th y P ≤ 2 M t khá c ta c ĩ : bcos C + c cos B = 2R(sin B cos C + sin C cos B) = 2Rsin (B + C) = 2Rsin A = a T ươ ng t : ccos A + a cos C = b a cos B + bcos A = c ⇒ Q = a + b + c Và ta l i cĩ : The Inequalities Trigonometry 43
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh a 2 + b 2 − c 2 b 2 + c 2 − a 2 c 2 + a 2 − b 2 ab cos C + bc cos A + ca cos B = + + 2 2 2 a 2 + b 2 + c 2 ⇒ R = 2 3 a 2 + b 2 + c 2 (a −1)2 + (b −1)2 + (c −1)2 ⇒ P + Q + R ≤ + ()a + b + c − = 3 − ≤ 3 2 2 3 ⇒ đpcm. Víd 2.2.8. Cho ∆ABC bt kỳ . CMR : R + r ≥ 4 3 S Li gi i : Ta cĩ : abc 2R 3 sin A sin Bsin C S R = = = 4S 8 2sin A sin Bsin C S S 8 2sin A sin Bsin C r = = = p R()sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin C V y : 1 S 1 S 8 2sin Asin Bsin C R + r = + + 2 2sin Asin Bsin C 2 2sin Asin Bsin C sin A + sin B + sin C Theo AM – GM ta cĩ : R + r S S sin A sin Bsin C ≥ 3 3 8sin Asin Bsin C()sin A + sin B + sin C mà : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 sin Asin Bsin C ≤ 8 4S S ⇒ R + r ≥ 3 = 4 3 S ⇒ đpcm. 44 27 3. 3 Víd 2.2.9. CMR trong m i tam giá c ta cĩ : The Inequalities Trigonometry 44
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 8  S 2 ab ab bc bc ca ca 8  S 2   ≥ + + ≥   3 2r  a + b b + c c + a 3 R  Li gi i : Theo AM – GM ta cĩ : ab ab bc bc ca ca ab + bc + ca + + ≤ a + b b + c c + a 2 8  S  2 (a + b + c)2 Do S = pr ⇒   = 3  2r  6 L i cĩ : ab + bc + ca (a + b + c)2 ≤ 2 6 8  S 2 ab ab bc bc ca ca ⇒   ≥ + + ⇒ vtrá i đư c ch ng minh xong. 3  2r  a + b b + c c + a Ta cĩ : a + b + c = 2R(sin A + sin B + sin C) 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 ⇒ a + b + c ≤ 3R 3 Theo AM – GM ta cĩ : abc S 2 = p (p − a )(p − b ) (p − b )(p − c ) (p − c )(p − a ) ≤ p 8 abc 2 p 8  S  8 9 abc 9abc ⇒   8 ≤ ⋅ 2 = ⋅ = 3  R  3  a + b + c  2 a + b + c ()()()a + b + b + c + c + a    3 3  M t l n n a theo AM – GM ta cĩ : 9abc 9abc ab ab bc bc ca ca ≤ ≤ + + ()()()a + b + b + c + c + a .3 3 (a + b )(b + c )(c + a ) a + b b + c c + a ⇒ vph i ch ng minh xong ⇒ Bt đng th c đư c ch ng minh hồ n tồ n. Víd 2.2.10. Cho ∆ABC bt kỳ . CMR : 4 8 8 8   a b c  abc 6  + + ≥   2 A 2 B 2 C 3R cos cos cos   2 2 2 The Inequalities Trigonometry 45
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Li gi i : Á p d ng BCS ta cĩ : 2 a 8 b8 c8 a 4 + b 4 + c 4 + + ≥ ( ) A B C A B C cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 2 2 2 2 2 2 mà : A B C 9 cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤ 2 2 2 4 4  abc  2   = ()16 S 2  R  Vì th ta ch cn ch ng minh : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16 S 2 Tr ư c h t ra cĩ : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc (a + b + c) (1) Th t v y : (1) ⇔ a 2 (a 2 − bc )+ b 2 (b 2 − ca )+ c 2 (c 2 − ab ) ≥ 0 ⇔ [a 2 + (b + c)2 ](b − c)2 + [b 2 + (c + a)2 ](c − a)2 + [c 2 + (a + b)2 ](a − b)2 ≥ 0 (đúng!) M t khá c ta cũ ng cĩ : 16 S 2 = 16 p(p − a)(p − b)(p − c) = (a + b + c)(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (2) T ( ),1 (2) th ì suy ra ta ph i ch ng minh : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (3) ð t : x = a + b − c y = b + c − a z = c + a − b vì a,b,c là ba c nh c a m t tam giá c nên x, y, z > 0 Khi đĩ theo AM – GM thì : (x + y)(y + z)(z + x) (2 xy )(2 yz )(2 zx ) abc = ≥ = xyz = (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) 8 8 ⇒ (3) đúng ⇒ đpcm. 2.3 ðư a v vector vàtí ch vơ h ư ng : Ph ươ ng phá p nà y luơn đư a ra cho b n đc nh ng l i gi i b t ng vàthúv . Nĩđc tr ưng cho s kt h p hồ n gi a đi s vàhì nh h c. Nh ng tí nh ch t c a vector l i mang đ n l i gi i th t sá ng s a vàđp m t. Nh ưng s lư ng cá c bà i tố n c a ph ươ ng phá p nà y khơng nhi u. Víd 2.3.1. The Inequalities Trigonometry 46
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh CMR trong m i tam giá c ta cĩ : 3 cos A+ cos B + cos C ≤ 2 Li gi i : L y cá c vector đơ n v e1 ,e2 ,e3 l n l ư t trên cá c c nh AB , BC ,CA . Hi n nhiên ta cĩ : A 2 e (e1 + e2 + e3 ) ≥ 0 1 ⇔ 3 + 2cos ()e1 ,e2 + 2cos ()e2 ,e3 + 2cos ()e3 ,e1 ≥ 0 ⇔ 3 − 2()cos A + cos B + cos C ≥ 0 e 3 3 ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ B C 2 e 2 ⇒ đpcm. Víd 2.3.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : 3 cos 2A+ cos 2B + cos 2C ≥ − 2 Li gi i : G i O, G l n l ư t là tâm đư ng trị n ngo i ti p vàtr ng tâm ∆ABC . A Ta cĩ : OA + OB + OC = 3OG Hi n nhiên : 2 (OA + OB + OC ) ≥ 0 ⇔ 3R 2 + 2R 2 [cos ()OA ,OB + cos ()OB ,OC + cos ()OC ,OA ]≥ 0 O 2 2 ⇔ 3R + 2R ()cos 2C + cos 2A + cos 2B ≥ 0 B C 3 ⇔ cos 2A + cos 2B + cos 2C ≥ − 2 ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra ⇔ OA + OB + OC = 0 ⇔ OG = 0 ⇔ O ≡ G ⇔ ∆ABC đ u. Víd 2.3.3. The Inequalities Trigonometry 47
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Cho ∆ABC nh n. CMR ∀x, y, z ∈ R ta cĩ : 1 yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 A Li gi i : G i O là tâm đư ng trị n ngo i ti p ∆ABC . Ta cĩ : 2 O (xOA + yOB + zOC ) ≥ 0 B C ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy OA .OB + 2yz OB .OC + 2zx OC .OA ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy cos 2C + 2yz cos 2A + 2zx cos 2B ≥ 0 1 ⇔ yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − ()x 2 + y 2 + z 2 2 ⇒ đpcm. 2.4. K t h p cá c b t đng th c c đin : V ni dung cũ ng nh ư cá ch th c s d ng cá c b t đng th c chú ng ta đãbà n ch ươ ng 1: “Các b ưc đ u c ơ s ”. Vì th ph n nà y, ta s khơng nh c l i màxé t thêm m t s ví d ph c t p h ơn, thúv hơn. Víd 2.4.1. CMR ∀∆ABC ta cĩ :  A B C  A B C  9 3 sin + sin + sin cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2  2 Li gi i : Theo AM – GM ta cĩ : A B C sin + sin + sin A B C 2 2 2 ≥ 3 sin sin sin 3 2 2 2 Mt khá c : A B C cos cos cos A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 48
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 1 A A B B C C ()sin A + sin B + sin C sin cos + sin cos + sin cos = 4 = 2 2 2 2 2 2 A B C A B C sin sin sin 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A A B B C C 3 sin cos sin cos sin cos 3 ≥ ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 Suy ra :  A B C  A B C  sin + sin + sin cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2  A B C A A B B C C 3 sin sin sin sin cos sin cos sin cos 9 ≥ ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 9 A B C = 3 cot cot cot ()1 2 2 2 2 A B C mà ta cũ ng cĩ : cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 9 A B C 9 9 3 ⇒ ⋅ 3 cot cot cot ≥ ⋅ 3 3 3 = ()2 2 2 2 2 2 2 T (1) và (2) :  A B C  A B C  9 3 ⇒ sin + sin + sin cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2  2 ⇒ đpcm. Víd 2.4.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : 9 3 (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 2 Li gi i : Vì ∆ABC nh n nên cos A,cos B,cos C, tan A, tan B, tan C đ u d ươ ng. cos A + cos B + cos C Theo AM – GM ta cĩ : ≥ 3 cos Acos B cos C 3 sin A sin Bsin C tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C = cos Acos B cos C The Inequalities Trigonometry 49
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 1 sin 2A + sin 2B + sin 2C () sin Acos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = cos Acos B cos C 2cos Acos B cos C 3 3 sin Acos Asin B cos Bsin C cos C ≥ ⋅ 2 2cos Acos B cos C Suy ra : 9 3 cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ ⋅ 2 cos A cos B cos C 9 = 3 tan A tan B tan C ()1 2 M t khá c : tan Atan B tan C ≥ 3 3 9 9 9 3 ⇒ ⋅ 3 tan Atan B tan C ≥ ⋅ 3 3 3 = ()2 2 2 2 T (1) và (2) suy ra : 9 3 (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 2 ⇒ đpcm. Víd 2.4.3. Cho ∆ABC tù y ý. CMR :             A 1 B 1 C 1  tan +  +  tan +  +  tan +  ≥ 4 3  2 A   2 B   2 C   tan   tan   tan   2   2   2  Li gi i :  π  Xé t f ()x = tan x ∀x ∈ ;0   2  Khi đĩ : f '' (x) = A B C Theo Jensen thì : tan + tan + tan ≥ 3 ()1 2 2 2  π  Xé t g()x = cot x ∀x ∈ ;0   2   π  Và g '' ()x = 2()1+ cot 2 x cot x > 0 ∀x ∈ ;0   2  A B C Theo Jensen thì : cot + cot + cot ≥ 3 3 ()2 2 2 2 V y (1)+ (2)⇒ đpcm. The Inequalities Trigonometry 50
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Víd 2.4.4. CMR trong m i tam giá c ta cĩ : 3  1  1  1   2  1+ 1+ 1+  ≥ 1+   sin A  sin B  sin C   3  Li gi i : Ta s d ng b đ sau : Bđ : Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ S thì :  1  1  1   2 3 1+ 1+ 1+  ≥ 1+  ()1  x  y  z   S  Ch ng minh b đ : Ta cĩ :  1 1 1   1 1 1  1 VT ()1 = 1+  + +  +  + +  + ()2  x y z   xy yz zx  xyz Theo AM – GM ta cĩ : 1 1 1 9 9 + + ≥ ≥ ()3 x y z x + y + z S S D u b ng x y ra trong ()3 ⇔ x = y = z = 3 Ti p t c theo AM –GM thì : S ≥ x + y + z ≥ 33 xyz S 3 1 27 ⇒ ≥ xyz ⇒ ≥ ()4 27 xyz S 3 S D u b ng trong (4)x y ra ⇔ x = y = z = 3 V n theo AM – GM ta l i cĩ : 2 1 1 1  1  + + ≥ 33   ()5 xy yz zx  xyz  S Du b ng trong (5)x y ra ⇔ x = y = z = 3 T (4)(5) suy ra : 1 1 1 27 + + ≥ ()6 xy yz zx S 2 S D u b ng trong (6) x y ra ⇔ đng th i cĩ du b ng trong (4 )(5 ) ⇔ x = y = z = 3 T (2)(3)(4)(6) ta cĩ : The Inequalities Trigonometry 51
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 9 27 27  3 3 VT ()1 ≥ 1+ + + = 1+  S S 2 S 3  S  B đđư c ch ng minh. Du b ng x y ra ⇔ đng th i cĩ du b ng trong (3)(4)(6) S ⇔ x = y = z = 3 Á p d ng v i x = sin A > ,0 y = sin B > ,0 z = sin C > 0 3 3 3 3 mà ta cĩ sin A + sin B + sin C ≤ v y đây S = 2 2 Theo b đ suy ra ngay : 3  1  1  1   2  1+ 1+ 1+  ≥ 1+   sin A  sin B  sin C   3  3 D u b ng x y ra ⇔ sin A = sin B = sin C = 2 ⇔ ∆ABC đ u. Víd 2.4.5. CMR trong m i tam giá c ta cĩ : la + lb + lc ≤ p 3 Li gi i : A 2bc cos 2bc p()p − a 2 bc Ta cĩ : l = 2 = = p()p − a ()1 a b + c b + c bc b + c 2 bc Theo AM – GM ta cĩ ≤ 1 nên t (1) suy ra : b + c la ≤ p(p − a) (2) D u b ng trong (2)x y ra ⇔ b = c Hồ n tồ n t ươ ng t ta cĩ : l ≤ p(p − b) (3) b lc ≤ p()p − c ()4 D u b ng trong (3)(4) t ươ ng ng x y ra ⇔ a = b = c T (2)(3)(4) suy ra : la + lb + lc ≤ p( p − a + p − b + p − c ) (5) D u b ng trong (5)x y ra ⇔ đng th i cĩ du b ng trong (2)(3)(4) ⇔ a = b = c Á p d ng BCS ta cĩ : The Inequalities Trigonometry 52
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 2 ( p − a + p − b + p − c ) ≤ 3()3p − a − b − c ⇒ p − a + p − b + p − c ≤ 3p ()6 D u b ng trong (6) x y ra ⇔ a = b = c T (5)(6) ta cĩ : la + lb + lc ≤ p 3 (7) ð ng th c trong (7)x y ra ⇔ đng th i cĩ du b ng trong (5)(6) ⇔ a = b = c ⇔ ∆ABC đ u. Víd 2.4.6. Cho ∆ABC bt kỳ . CMR : a 3 + b3 + c3 2r ≥ 4 − abc R Li gi i : abc Ta cĩ : S = = pr = p(p − a )(p − b )(p − c ) 4R 2r 8S 2 8p(p − a)(p − b)(p − c) (2 p − 2a)(2 p − 2b)(2 p − 2c) ⇒ = = = R pabc pabc abc (b + c − a )(c + a − b )(a + b − c ) a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + c 2 a + ca 2 − a 3 − b3 − c3 − 2abc = = abc abc 2r a 3 + b3 + c3  a b b c c a  a 3 + b3 + c3 ⇒ 4 − = + 6 −  + + + + +  ≤ R abc  b a c b a c  abc ⇒ đpcm. Víd 2.4.7. Cho ∆ABC nh n. CMR :  a b  b c  c a   + − c + − a + − b ≥ 27 abc  cos A cos B  cos B cos C  cos C cos A  Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i :  sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A   + − sin C  + − sin A + − sin B ≥ 27 sin Asin Bsin C  cos A cos B  cos B cos C  cos C cos A  The Inequalities Trigonometry 53
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh  sin C  sin A  sin B  ⇔  − sin C  − sin A − sin B ≥ 27 sin Asin Bsin C  cos Acos B  cos B cos C  cos C cos A  1− cos Acos B 1− cos B cos C 1− cos C cos A ⇔ ⋅ ⋅ ≥ 27 cos Acos B cos B cos C cos C cos A  A  2 x = tan 1− x  2x 2 cos A = 2 tan A =   1+ x 1− x 2  B  y = tan  1− y 2  2y ð t  2 ⇒ cos B = và tan B = 1+ y 2 1− y 2  C   z = tan  1− z 2  2z  2 cos C = tan C = 2  2 0 < x, y, z < 1  1+ z 1− z 1− x 2 1− y 2 1− ( )( ) 1− cos Acos B 1+ x 2 1+ y 2 2()x 2 + y 2 Ta cĩ : = ( )( ) = cos Acos B (1− x 2 )(1− y 2 ) (1− x 2 )(1− y 2 ) (1+ x 2 )(1+ y 2 ) M t khá c ta cĩ : x 2 + y 2 ≥ 2xy 1− cos Acos B 2x 2y ⇒ ≥ ⋅ = tan Atan B ()1 cos Acos B 1− x 2 1− y 2 1− cos B cos C T ươ ng t : ≥ tan B tan C ()2 cos B cos C 1− cos C cos A ≥ tan C tan A ()3 cos C cos A Nhân v theo v ba b t đng th c (1)(2)(3) ta đư c : 1− cos Acos B 1− cos B cos C 1− cos C cos A ⋅ ⋅ ≥ tan 2 Atan 2 B tan 2 C cos Acos B cos B cos C cos C cos A Ta đã bi t : tan Atan B tan C ≥ 3 3 ⇒ tan 2 Atan 2 B tan 2 C ≥ 27 Suy ra : 1− cos Acos B 1− cos B cos C 1− cos C cos A ⋅ ⋅ ≥ 27 cos Acos B cos B cos C cos C cos A ⇒ đpcm. Víd 2.4.8. CMR ∀∆ABC ta cĩ : 2 2 2 36  2 abc  a + b + c ≥  p +  35  p  The Inequalities Trigonometry 54
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng d ươ ng v i : 36  (a + b + c)2 2abc  a 2 + b 2 + c 2 ≥  +  35  4 a + b + c    72 abc ⇔ 35 ()a 2 + b 2 + c 2 ≥ 9()a + b + c 2 + a + b + c Theo BCS thì : (a + b + c)2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ⇒ 9(a + b + c)2 ≤ 27 (a 2 + b 2 + c 2 ) (1) a + b + c 3  ≥ abc  3 L i cĩ :  a 2 + b 2 + c 2  ≥ 3a 2b 2c 2  3 ⇒ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 9abc ⇔ 8()a + b + c ()a 2 + b 2 + c 2 ≥ 72 abc 72 abc ⇔ 8()a 2 + b 2 + c 2 ≥ ()2 a + b + c L y (1) c ng (2) ta đư c : 72 abc 27 ()()a 2 + b 2 + c 2 + 8 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 9()a + b + c 2 + a + b + c 72 abc ⇔ 35 ()a 2 + b 2 + c 2 ≥ 9()a + b + c 2 + a + b + c ⇒ đpcm. Víd 2.4.9. CMR trong ∆ABC ta cĩ : B − C C − A A − B cos cos cos 2 + 2 + 2 ≥ 6 A B C sin sin sin 2 2 2 Li gi i : Theo AM – GM ta cĩ : B − C C − A A − B B − C C − A A − B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 + + ≥ 33 ⋅ ⋅ ()1 A B C A B C sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 55
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh mà : B − C C − A A − B B + C B − C C + A C − A A + B A − B cos cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 A B C A A B B C C sin sin sin 2cos sin 2 cos sin 2 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (sin B + sin C )(sin C + sin A )(sin A + sin B ) = sin Asin B sin C L i theo AM – GM ta cĩ : sin A + sin B ≥ 2 sin Asin B  sin B + sin C ≥ 2 sin Bsin C  sin C + sin A ≥ 2 sin C sin A ⇒ (sin B + sin C)(sin C + sin A)(sin A + sin B) ≥ 8sin Asin Bsin C (sin B + sin C )(sin C + sin A )(sin A + sin B ) ⇒ ≥ 8 ()2 sin Asin Bsin C T (1)(2) suy ra : B − C C − A A − B cos cos cos 2 + 2 + 2 ≥ 33 8 = 6 A B C sin sin sin 2 2 2 ⇒ đpcm. Víd 2.4.10. CMR trong m i ∆ABC ta cĩ :  r 2 sin Asin B + sin Bsin C + sin C sin A ≥ 9   R  Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : Rsin Asin B + Rsin Bsin C + Rsin C sin A ≥ 9r 2 a b b c c a ⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ 9r 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 36 r 2 Theo cơng th c hì nh chi u :  B C   C A   A B  a = rcot + cot  ; b = rcot + cot  ; c = rcot + cot   2 a   2 a   2 a  The Inequalities Trigonometry 56
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh  B C  C A   C A  A B  ⇒ ab + bc + ca = r 2 cot + cot cot + cot  + r 2 cot + cot cot + cot  +  2 2  2 2   2 2  2 2   A B  B C  + r 2 cot + cot cot + cot   2 2  2 2  Theo AM – GM ta cĩ :       B C C A  B C  C A  2 cot + cot cot + cot  ≥ 2 cot cot 2 cot cot  = 4 cot C cot Acot B ()1  2 2  2 2   2 2  2 2  Tươ ng t :  C A  A B  cot + cot cot + cot  ≥ 4 cot 2 Acot B cot C ()2  2 2  2 2   A B  B C  cot + cot cot + cot  ≥ 4 cot 2 B cot C cot A ()3  2 2  2 2  T (1)(2)(3) suy ra :  C A  A B   C A  A B  cot + cot cot + cot  + cot + cot cot + cot  +  2 2  2 2   2 2  2 2   C A  A B  A B C + cot + cot cot + cot  ≥ 12 3 cot 2 cot 2 cot 2 ()4  2 2  2 2  2 2 2 A B C A B C M t khá c ta cĩ : cot cot cot ≥ 3 3 ⇒ cot 2 cot 2 cot 2 ≥ 27 ()5 2 2 2 2 2 2 A B C T (4)(5) suy ra : 12 3 cot 2 cot 2 cot 2 ≥ 12 3. = 36 ()6 2 2 2 T (4)(6) suy ra đpcm. 2.5. Tn d ng tí nh đơ n điu c a hà m s : Ch ươ ng nà y khi đc thìb n đc c n cĩ ki n th c c ơ b n v đo hà m, kh o sá t hà m s c a ch ươ ng trì nh 12 THPT. Ph ươ ng phá p nà y th c s cĩ hi u qu trong cá c bà i b t đng thc l ư ng giá c. ðcĩ th sd ng t t ph ươ ng phá p nà y thìb n đc c n đ n nh ng kinh nghi m gi i tố n cá c ph ươ ng phá p đã nêu cá c phân tr ư c. Víd 2.5.1. 2x  π  CMR : sin x > v i x ∈ ;0  π  2  Li gi i : The Inequalities Trigonometry 57
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh sin x 2  π  Xé t f ()x = − v i x ∈ ;0  x π  2  xcos x − sin x ⇒ f '()x = x 2  π  Xé t g(x) = x cos x − sin x v i x ∈ ;0   2   π  ⇒ g '()x = −xsin x f   = 0 ⇒ đpcm.  2  Víd 2.5.2.  sin x 3  π  CMR :   > cos x v i  ;0   x   2  Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : sin x 1 > ()cos 3 x 1 − ⇔ sin x()cos 3 − x > 0 1 −  π  Xé t f ()()x = sinx cos x 3 − x v i x ∈ ;0   2  2 4 1 2 − Ta cĩ : f '()()x = cos x 3 − sin x()cos x 3 −1 3 1 7 2 − 4 3 −  π  f '' ()x = ()cos x 3 ()1− sin x + sin x()cos x 4 > 0 ∀x ∈ ;0  3 9  2  ⇒ f '(x) đng bi n trong kho ng đĩ⇒ f '(x) > f '(0) = 0 ⇒ f (x)cũ ng đng bi n trong kho ng đĩ ⇒ f (x) > f (0) = 0 ⇒ đpcm. Víd 2.5.3. CMR n u a làgĩ c nh n hay a = 0 thì ta cĩ : 2sin a + 2 tan a ≥ 2a+1 Li gi i : The Inequalities Trigonometry 58
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Á p d ng AM – GM cho hai s dươ ng 2sin a và 2 tan a ta cĩ : 2sin a + 2 tan a ≥ 2 2sin a 2 tan a = 2 2sin a+tan a π Nh ư v y ta ch cn ch ng minh : sin a + tan a > 2a v i 0 0 ∀x ∈ ;0  cos 2 x cos 2 x cos 2 x  2   π  ⇒ f (x) đng bi n trên kho ng đĩ ⇒ f (a) > f (0) v i a ∈  ;0  ⇒ sin a + tan a > 2a  2  ⇒ 2 2sin a+tan a ≥ 2 22a = 2a+1 ⇒ 2sin a + 2 tan a ≥ 2a+1 (khi a = 0 ta cĩ du đng th c x y ra). Víd 2.5.4. CMR trong m i tam giá c ta đ u cĩ : 13 1+ cos Acos B + cos Acos B + cos Acos B ≤ ()cos A + cos B + cos C + cos Acos B cos C 12 Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 13 1− 2cos Acos B cos C + 2()cos Acos B + cos Acos B + cos Acos B +1 ≥ ()cos A + cos B + cos C 6 13 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2()cos Acos B + cos Acos B + cos Acos B +1 ≥ ()cos A + cos B + cos C 6 13 ⇔ ()cos A + cos B + cos C 2 +1 ≤ ()cos A + cos B + cos C 6 1 13 ⇔ cos A + cos B + cos C + ≤ cos A + cos B + cos C 6 3 ð t t = cos A + cos B + cos C ⇒ 1 0 ∀t ∈ ;1  f ()x đng bi n trên kho ng đĩ. x  2  3  13 ⇒ f ()x ≤ f   = ⇒ đpcm.  2  6 The Inequalities Trigonometry 59
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Víd 2.5.5. Cho ∆ABC cĩ chu vi b ng 3. CMR : 13 3(sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C)+ 8Rsin Asin Bsin C ≥ 4R 2 Li gi i : Bt đng th c c n ch ng minh t ươ ng đương v i : 4.3 R 2 sin 2 A + 4.3 R 2 sin 2 B + 4.3 R 2 sin 2 C + 4(2Rsin A)(2Rsin B)(2Rsin C) ≥ 13 ⇔ 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 Do vai trị c a a,b,c là nh ư nhau nên ta cĩ th gi s a ≤ b ≤ c 3 Theo gi thi t : a + b + c = 3 ⇒ a + b > c ⇒ 3 − c > c ⇒ 1 ≤ c 0 2  a + b 2  3 − c 2  3 − c 2 và ab ≤   =   ⇒ −2ab ≥ −2   2   2   2   3 − c 2 Do đĩ : T ≥ 3()3 − c 2 + 3c 2 − 2  ()3 − 2c  2  3 27 = c3 − c 2 + = f ()c 2 2 3 27 3 Xét f ()c = c3 − c 2 + v i 1 ≤ c < 2 2 2 2  3  ⇒ f '()c = 3c − 3c ≥ 0 ∀c ∈  ;1  ⇒ f ()c đng bi n trên kho ng đĩ.  2  ⇒ f (c) ≥ f (1) = 13 ⇒ đpcm. Ví d 2.5.6. r 2 p 28 Cho ∆ABC bt k ỳ. CMR : + ≥ S r 3 3 The Inequalities Trigonometry 60
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Li gi i : Ta cĩ :  A (p − b)(p − c) tan =  2 p()p − a   B (p − c )(p − a ) A B C p − a p − b p − c tan = ⇒ tan tan tan = ⋅ ⋅  2 p()p − b 2 2 2 p p p  C (p − a )(p − b ) tan =  2 p()p − c r 2 S p(p − a)(p − b)(p − c) p − a p − b p − c và = = = ⋅ ⋅ S p 2 p 2 p p p r 2 A B C Do đĩ : = tan tan tan S 2 2 2 M t khác : p a + b + c a + b + c 2R(sin A + sin B + sin C) = = = r A A A 2()p − a tan ()b + c − a tan 2R()sin B + sin C − sin A tan 2 2 2 A B C cos cos cos A B C = 2 2 2 = cot cot cot A 2 2 2 sin A B C cos sin sin 2 2 2 2 A cos 2 Khi đĩ b t đ ng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : A B C A B C 28 tan tan tan + cot cot cot ≥ 2 2 2 2 2 2 3 3 1 A B C 28 ⇔ + cot cot cot ≥ A B C 2 2 2 cot cot cot 3 3 2 2 2 A B C ðt t = cot cot cot ⇒ t ≥ 3 3 2 2 2 1 Xét f ()t = t + v i t ≥ 3 3 t 1 ⇒ f '()t = 1− > 0 ∀t ≥ 3 3 t 2 1 28 ⇒ min f ()t = f (3 3) = 3 3 + = ⇒ đpcm. 3 3 3 3 Ví d 2.5.7. The Inequalities Trigonometry 61
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh CMR v i m i ∆ABC ta cĩ : 3 3 (2R + a )(2R + b )(2R + c ) < 8R 3e 2 Li gi i : B t đng th c c n ch ng minh t ươ ng đươ ng v i : 2R + a 2R + b 2R + c 3 3 ⋅ ⋅ < e 2 2R 2R R  a  b  c  3 3 ⇔ 1+ 1+ 1+  < e 2  2R  2R  2R  3 3 ⇔ (1+ sin A )(1+ sin B )(1+ sin C ) < e 2 Xét f (x) = ln (1+ x)− x v i 0 < x < 1 1 x ⇒ f '()x = −1 = − < 0 ∀x ∈ ()1;0 1+ x 1+ x ⇒ f (x) ngh ch bi n trên kho ng đĩ ⇒ f (x) < f (0) = 0 ⇒ ln (1+ x) < x L n l ưt thay x = {sin A,sin B,sin C} vào b t đ ng th c trên r i c ng l i ta đưc : ln (1+ sin A)+ ln (1+ sin B)+ ln (1+ sin C) < sin A + sin B + sin C ⇔ ln [](1+ sin A )(1+ sin B )(1+ sin C ) < sin A + sin B + sin C ⇔ (1+ sin A )(1+ sin B )(1+ sin C ) < esin A+sin B+sin C 3 3 3 3 mà sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ (1+ sin A )(1+ sin B )(1+ sin C ) < e 2 ⇒ đpcm. 2 Ví d 2.5.8. Cho ∆ABC . CMR : 125 (1+ cos 2 A)(1+ cos 2 B)(1+ cos 2 C)≥ 16 Li gi i : Khơng m t t ng quát gi s C = min {A, B,C}.Ta cĩ :  1+ cos 2A  1+ cos 2B  (1+ cos 2 A )(1+ cos 2 B ) = 1+ 1+   2  2  Xét P = 4(1+ cos 2 A)(1+ cos 2 B) = (3 + cos 2A)(3 + cos 2B) ⇒ P = 9 + 3(cos 2A + cos 2B)+ cos 2Acos 2B 1 = 9 + 6cos ()()A + B cos A − B + []cos ()()2A + 2B + cos 2A − 2B 2 The Inequalities Trigonometry 62
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 1 = 9 − 6cos C cos ()A − B + [2cos 2 ()()A + B + 2cos 2 A + B − 2] 2 = 9 − 6cos C cos ()()A − B + cos 2 C + cos 2 A + B −1 do cos (A − B) ≤ 1 ⇒ P ≥ 9 − 6cos C + cos 2 C = (3 − cos C)2 mà cos C > 0 ⇒ P(1+ cos 2 C) ≥ (3 − cos C)2 (1+ cos 2 C) 1 M t khác ta cĩ : 0 < C ≤ 60 0 ⇒ cos C ≥ 2 2 2 1  Xét f (x) = (3 − x) (1+ x ) v i x ∈  1;  2  1  ⇒ f '(x )= 2 (x − 3 )(x −1 )(2x −1 ) ≥ 0 ∀x ∈  1;  2  ⇒ f (x) đng bi n trên kho ng đĩ.  1  125 125 ⇒ f ()x ≥ f   = ⇒ (1+ cos 2 A )(1+ cos 2 B )(1+ cos 2 C ) ≥ ⇒ đpcm.  2  16 16 Ví d 2.5.9. Cho ∆ABC b t k ỳ. CMR :  1 1  2 +  − ()cot B + cot C ≤ 2 3  sin B sin C  Li gi i : 2 Xét f ()x = − cot x v i x ∈ ( ;0 π ) sin x 2cos x 1 1− 2cos x π ⇒ f '()x = − + = ⇒ f '()x = 0 ⇔ x = sin 2 x sin 2 x sin 2 x 3  π  2 ⇒ max f ()x = f   = 3 ⇒ − cot x ≤ 3  3  sin x Thay x b i B,C trong b t đ ng th c trên ta đưc :  2  − cot B ≤ 3 sin B  ⇒ đpcm. 2  − cot C ≤ 3 sin C The Inequalities Trigonometry 63
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh Ví d 2.5.10. 1 7 CMR : 0 ⇒ f ()()−1 f 0 0   3 54  1   7  L i cĩ :  ⇒ f   f   0 ⇒ f   f ()1 < 0  2  2 2  2   1  ⇒ đa th c f (x) cĩ m t nghi m th c trên kho ng  1;   2   1   1 7  B i vì a ∈  ;0  ⇒ a là nghi m th c trên kho ng  ;  ⇒ đpcm.  2   3 20  2.6. Bài t p : Cho ∆ABC . CMR : The Inequalities Trigonometry 64
Tr ư ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ Bt đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 2 Cá c ph ươ ng phá p ch ng minh 5 2.6.1. 3()cos 2A − cos 2C + cos B ≤ 2 2.6.2. 3 cos 2A + 2cos 2B + 2 3 cos 2C ≥ −4 2.6.3. ( 5 +1)(cos 2A + cos 2B)− (3 + 5)cos 2C ≤ 4 + 5 A B C 2π 2.6.4. tan + tan + tan ≥ 4 − 3 vi ∆ABC cĩ m t gĩc ≥ 2 2 2 3 1 1 1 1 2.6.5. + + ≤ a 2 b 2 c 2 4r 2 abc a 3 b3 c3 2.6.6. ≥ + + r ra rb rc a b c 3abc 2.6.7. + + + < 2 b + c c + a a + b (a + b )(b + c )(c + a ) 1 1 1 3 1 2.6.8. + + ≥ + tan Atan B tan C sin 2A sin 2B sin 2C 2 2 A B C a + b + c 2.6.9. a tan + b tan + c tan ≥ 2 2 2 3 sin Asin Bsin C 1 2.6.10. ≤ ()sin A + sin B + sin C 2 6 3 A B C 2.6.11. 1+ cos Acos B cos C ≥ 9sin sin sin 2 2 2 2.6.12. ma + mb + mc ≤ 4R + r 2 2.6.13. ha hb + hb hc + hc ha ≤ p 2.6.14. a 2 (p − b)(p − c)+ b 2 (p − c)(p − a)+ c 2 (p − a)(p − b) ≤ p 2 R 2 2.6.15. (1− cos A)(1− cos B)(1− cos C) ≥ cos Acos B cos C The Inequalities Trigonometry 65
Truịng THPT chuyên LýTTrng Bt đng thc lưng giác Chương 3 Áp dng vào mt svn đkhác Chương 3 : Áp dng vào mt svn đkhác “Cĩ hc thì phi cĩ hành” Sau khi đã xem xét các bt đng thc lưng giác cùng các phương pháp chng minh thì ta phi bit vn dng nhng kt qu đĩ vào các vn đ khác. Trong các chương trưc ta cĩ các ví d v bt đng thc lưng giác mà du bng thưng xy ra trưng hp đc bit : tam giác đu, cân hay vuơng Vì th li phát sinh ra mt dng bài mi : đnh tính tam giác da vào điu kin cho trưc. Mt khác vi nhng kt qu ca các chương trưc ta cũng cĩ th dn đn dng tốn tìm cc tr lưng giác nh bt đng thc. Dng bài này rt hay : kt qu đưc “giu” đi, bt buc ngưi làm phi t “mị mm” đi tìm đáp án cho riêng mình. Cơng vic đĩ tht thú v ! Và tt nhiên mun gii quyt tt vn đ này thì ta cn cĩ mt “vn” bt đng thc “kha khá”. Bây gi chúng ta s cùng kim tra hiu qu ca các bt đng thc lưng giác trong chương 3 : “Áp dng vào mt s vn đ khác” Mc lc : 3.1. ðnh tính tam giác 67 3.1.1. Tam giác đu 67 3.1.2. Tam giác cân 70 3.1.3. Tam giác vuơng 72 3.2. Cc tr lưng giác 73 3.3. Bài tp 76 The Inequalities Trigonometry 66
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c 3.1. ðnh tính tam giác : 3.1.1. Tam giá c đ u : Tam giá c đ u cĩ th nĩ i là tam giá c đp nh t trong cá c tam giá c. nĩ ta cĩđư c s đng nh t gi a cá c tí nh ch t c a cá c đư ng cao, đư ng trung tuy n, đư ng phân giá c, tâm ngo i ti p, tâm n i ti p, tâm bà ng ti p tam giá c Vàcá c d ki n đĩl i cũ ng trù ng hp v i điu ki n x y ra d u b ng cá c b t đng th c l ư ng g iá c đi x ng trong tam giá c. Do đĩ sau khi gi i đư c cá c b t đng th c l ư ng giá c thì ta c n ph i nghĩđ n vi c vn d ng nĩ tr thà nh m t ph ươ ng phá p khi nh n d ng tam giá c đ u. Víd 3.1.1.1. 9 CMR ∆ABC đ u khi th a : m + m + m = R a b c 2 Li gi i : Theo BCS ta cĩ : 2 2 2 2 (ma + mb + mc ) ≤ 3(ma + mb + mc ) 9 ⇔ ()m + m + m 2 ≤ ()a 2 + b 2 + c 2 a b c 4 2 2 2 2 2 ⇔ ()ma + mb + mc ≤ 9R ()sin A + sin B + sin C 9 mà : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 2 2 9 81 2 ⇒ ()ma + mb + mc ≤ 9R ⋅ = R 4 4 9 ⇒ m + m + m ≤ R a b c 2 ð ng th c x y ra khi vàch khi ∆ABC đ u ⇒ đpcm. Víd 3.1.1.2. A B ab CMR n u th a sin sin = thì ∆ABC đ u. 2 2 4c Li gi i : Ta cĩ : The Inequalities Trigonometry 67
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c A + B A − B A − B 2R 2. sin cos cos ab a + b 2R()sin A + sin B 1 ≤ = = 2 2 = 2 ≤ 4c 8c 2R 8. sin C C C C A + B 2R 2.8. sin cos 8sin 8cos 2 2 2 2 A B 1 ⇒ sin sin ≤ 2 2 A + B 8cos 2 A + B A B ⇔ 8cos sin sin ≤ 1 2 2 2 A + B  A − B A + B  ⇔ 4cos cos − cos  −1 ≤ 0 2  2 2  A + B A + B A − B ⇔ 4cos 2 − 4cos cos +1 ≥ 0 2 2 2  A + B A − B 2 A − B ⇔ 2cos − cos  + sin 2 ≥ 0  2 2  2 ⇒ đpcm. Víd 3.1.1.3. CMR ∆ABC đ u khi nĩth a : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c) 3 Li gi i : ðiu ki n đbà i t ươ ng đươ ng v i :  r r r  2.2 p + +  = ()a + b + c 3  a b c  r r r 3 ⇔ + + = a b c 2 1 1 1 3 ⇔ + + = A B B C C A 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 M t khá c ta cĩ :     1 1 1 1 1  A B  ≤  +  = tan + tan  A B 4  A B  4  2 2  cot + cot  cot cot  2 2  2 2  T ươ ng t : The Inequalities Trigonometry 68
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c 1 1  B C  ≤ tan + tan  B C 4  2 2  cot + cot 2 2 1 1  C A  ≤ tan + tan  C A 4  2 2  cot + cot 2 2 1 1 1 1  A B C  ⇒ + + ≤  tan + tan + tan  A B B C C A 2  2 2 2  cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 3 1  A B C  A B C ⇒ ≤  tan + tan + tan  ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2  2 2 2  2 2 2 ⇒ đpcm. Víd 3.1.1.4. 3 CMR n u th a S = 3Rr thì ∆ABC đ u. 2 Li gi i : Ta cĩ : A B C A B C S = 2R 2 sin A sin Bsin C = 2R 2 .2.2.2.sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C = 4Rsin sin sin 4R cos cos cos = r4R cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ≤ r4R = Rr 8 2 ⇒ đpcm. Víd 3.1.1.5. CMR ∆ABC đ u khi nĩth a ma mb mc = pS Li gi i : Ta cĩ : 1 1 1 A m 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) = (b 2 + c 2 + 2bc cos A)≥ bc ()1+ cos A = bc cos 2 a 4 4 2 2 mà : The Inequalities Trigonometry 69
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c b 2 + c 2 − a 2 A b 2 + c 2 − a 2 cos A = ⇒ 2cos 2 −1 = 2bc 2 2bc b 2 + c 2 − a 2 + 2bc ()b + c 2 − a 2 p()p − a ⇒ cos 2 A = = = 4bc 4bc bc ⇒ ma ≥ p()p − a T ươ ng t : m ≥ p(p − b)  b mc ≥ p()p − c ⇒ ma mb mc ≥ p p(p − a )(p − b )(p − c ) = pS ⇒ đpcm. 3.1.2. Tam giá c cân : Sau tam giá c đ u thì tam giá c cân cũ ng đp khơng ké m. Vàđây thìchú ng ta sxé t nh ng b t đng th c cĩ du b ng x y ra khi hai bi n b ng nhau vàkhá c bi n th ba. Ví π 2π d A= B = ;C = . Vì th nĩkhĩ hơn tr ư ng h p xá c đnh tam giá c đ u. 6 3 Víd 3.1.2.1. A + B CMR ∆ABC cân khi nĩth a điu ki n tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2 vành n. 2 Li gi i : sin (A + B) 2sin (A + B) 2sin C Ta cĩ : tan A + tan B = = = cos Acos B cos ()()A + B + cos A − B cos ()A − B − cos C C vì cos ()()A − B ≤ 1 ⇒ cos A − B − cos C ≤ 1− cos C = 2sin 2 2 C C 4sin cos 2sin C 2sin C C A + B ⇒ ≥ = 2 2 = 2cot = 2 tan cos A − B − cos C 2 C 2 C 2 2 () 2sin 2sin 2 2 A + B ⇒ tan A + tan B ≥ 2 tan 2 A + B  tan A + tan B 2 T gi thi t : tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2 ≤ 2  2  2  ⇔ 2(tan 2 A + tan 2 B) ≤ tan 2 A + tan 2 B + 2 tan Atan B The Inequalities Trigonometry 70
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c ⇔ (tan A − tan B)2 ≤ 0 ⇔ tan A = tan B ⇔ A = B ⇒ đpcm. Víd 3.1.2.2. A CMR ∆ABC cân khi th a h = bc cos a 2 Li gi i : 2bc A Trong m i tam giá c ta luơn cĩ : h ≤ l = cos a a b + c 2 2bc bc mà b + c ≥ 2bc ⇒ ≤ = bc b + c bc 2bc A A A ⇒ cos ≤ bc cos ⇒ h ≤ bc cos b + c 2 2 a 2 ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ đpcm. Víd 3.1.2.3. B CMR n u th a r + r = 4Rsin thì ∆ABC cân. a 2 Li gi i : Ta cĩ : B sin B B B B r + r = ()p − b tan + p tan = ()2 p − b tan = ()a + c tan = 2R()sin A + sin C 2 a 2 2 2 2 B cos 2 B B sin sin A + C A − C B A − C B A − C B = 4Rsin cos ⋅ 2 = 4R cos cos ⋅ 2 = 4Rsin cos ≤ 4Rsin 2 2 B 2 2 B 2 2 2 cos cos 2 2 B ⇒ r + r ≤ 4Rsin ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ đpcm. a 2 The Inequalities Trigonometry 71
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c Víd 3.1.2.4. 1 CMR n u S = (a 2 + b 2 )thì ∆ABC cân. 4 Li gi i : 1 1 1 Ta cĩ : a 2 + b 2 ≤ 2ab ⇒ (a 2 + b 2 )≥ ab ≥ ab sin C = S 4 2 2 1 ⇒ (a 2 + b 2 ) ≥ S ⇒ ∆ABC cân n u th a điu ki n đbà i. 4 Víd 3.1.2.5. 9 CMR ∆ABC cân khi th a 2cos A+ cos B + cos C = 4 Li gi i : Ta cĩ :  A  B + C B − C 2cos A + cos B + cos C = 21− 2sin 2  + 2cos cos  2  2 2 A A B − C 1 9  A 1 B − C 2 1 B − C 1 9 = −4sin 2 + 2sin cos − + = −2sin − cos  + cos 2 − + 2 2 2 4 4  2 2 2  4 2 4 4  A 1 B − C 2 1 B − C 9 9 = −2sin − cos  − sin 2 + ≤  2 2 2  4 2 4 4 ð ng th c x y ra khi B = C ⇒ đpcm. 3.1.3. Tam giá c vuơng : Cu i cù ng ta xé t đ n tam giá c vuơng, đi di n khĩtí nh nh t c a tam giá c đi v i b t đng th c l ư ng giá c. Dư ng nh ư khi nh n di n tam giá c vuơng, ph ươ ng phá p bi n đi tươ ng đươ ng cá c đng th c làđư c dù ng h ơn c . Và ta hi m khi g p bà i tố n nh n di n tam giá c vuơng mà cn dù ng đ n b t đng th c l ư ng giá c. Víd 3.1.3.1. CMR ∆ABC vuơng khi th a 3cos B + 6sin C + 4sin B + 8cos C = 15 Li gi i : The Inequalities Trigonometry 72
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c Theo BCS ta cĩ : 3cos B + 4sin B ≤ (32 + 42 )(cos 2 B + sin 2 B) = 5  6sin C + 8cos C ≤ (62 + 82 )(sin 2 C + cos 2 C ) = 10 ⇒ 3cos B + 4sin B + 6sin C + 8cos C ≤ 15 ð ng th c x y ra khi vàch khi : cos B sin B  4  = tan B = 3cos B + 4sin B = 5  3 4  3 π  ⇔  ⇔  ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C = 6sin C + 8cos C = 10 sin C cos C 4 2  = cot C =  6 8  3 ⇒ đpcm. 3.2. Cc tr l ư ng giá c : ðây làlĩ nh v c v n d ng thà nh cơng và tri t đ bt đng th c l ư ng giá c và o gi i tố n. ð c bi t trong d ng bà i nà y, gn nh ư ta là ng ư i đi trong sa m c khơng bi t ph ươ ng h ư ng đư ng đi, ta s khơng bi t tr ư c k t qumàph i t mì nh dù ng cá c b t đng th c đã bi t đtì m ra đáp án cu i cù ng. Vìlđĩmàd ng tố n nà y th ư ng r t “ khĩ xơi”, nĩđịi h i ta ph i bi t khé o lé o s d ng cá c b t đng th c cũ ng nh ư c n m t v n li ng kinh nghi m v bt đng th c khơng nh . Víd 3.2.1. Tì m giátrnh nh t c a hà m s : a sin 4 x + bcos 4 y a cos 4 x + bsin 4 y f ()x, y = + csin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y v i a,b,c, d làcá c h ng s dươ ng. Li gi i : sin 4 x cos 4 x ð t f (x, y) = af + bf v i f = + 1 2 1 csin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y cos 4 x sin 4 x f = + 2 csin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y Ta cĩ : c + d = c(sin 2 x + cos 2 x)+ d(sin 2 y + cos 2 y) Do đĩ : The Inequalities Trigonometry 73
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c 4 4 2 2 2 2  sin x cos x  ()c + d f1 = [()()csin x + d cos y + c cos x + d sin y ] +  csin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y  2  sin 2 x cos 2 x  ≥  csin 2 x + d cos 2 y + c cos 2 x + d sin 2 y  = 1  2 2 2 2   csin x + d cos y c cos x + d sin y  1 1 a + b ⇒ f ≥ T ươ ng t : f ≥ . Vy f ()x,y = af + bf ≥ 1 c + d 2 c + d 1 2 c + d Víd 3.2.2. Tì m giátrnh nh t c a bi u th c : P = cos 3A + cos 3B − cos 3C Li gi i : Ta cĩ : cos 3C = cos 3[π − (A + B)] = cos [3π − 3(A + B)] = −cos 3(A + B) nên  A + B   A − B   A + B  P = cos 3A + cos 3B + cos 3()A + B = 2cos 3 cos 3  + 2cos 2 3  −1  2   2   2  3  A + B   A − B   A + B  1 ⇒ P + = 2cos 2 3  + 2cos 3 cos 3  + = f ()x, y 2  2   2   2  2  A − B  3 ∆'= cos 2 3  −1 ≤ 0 ⇒ P ≥ −  2  2 ∆'= 0 3  P = − ⇔   A + B  1  A − B  2 cos 3  = − cos 3    2  2  2   2  A − B  cos 3  = 1   2  ⇔   A + B  1  A − B  cos 3  = − cos 3    2  2  2  A = B  A = B  2π  A = ⇔  1 ⇔  9 cos 3A = −   2  4π  A =  9  2π 5π A = B = ,C = 3 9 9 V y Pmin = − ⇔  2  4π π A = B = ,C =  9 9 The Inequalities Trigonometry 74
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c Víd 3.2.3. Tì m giátr ln nh t c a bi u th c : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C P = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C Li gi i : Ta cĩ : 3 P = −1 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C 3 = −1 3 − ()sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 3 ≤ −1 = 3 9 3 − 4 Do đĩ : Pmax = 3 ⇔ ∆ABC đ u. Víd 3.2.4. Tì m giátr ln nh t nh nh t c a y = 4 sin x − cos x Li gi i : ðiu ki n : sin x ≥ ,0 cos x ≥ 0 Ta cĩ : y = 4 sin x − cos x ≤ 4 sin x ≤ 1 sin x = 1 π D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = + k2π cos x = 0 2 M t khá c : y = 4 sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 sin x = 0 D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = k2π cos x = 1  π y = 1 ⇔ x = + k2π V y  max 2  ymin = −1 ⇔ x = k2π Víd 3.2.5. 2 + cos x Cho hà m s y= . Hã y tì m Max y trên mi n xá c đnh c a nĩ . sin x + cos x − 2 The Inequalities Trigonometry 75
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 3 Áp d ng và o m t s vn đkhá c Li gi i : Vì sinx và cosx khơng đng th i b ng 1 nên y xá c đnh trên R. 2 + cos x Y thu c mi n giátrc a hà m s khi vàch khi Y = cĩ nghi m. 0 0 sin x + cos x − 2 ⇔ Y0 sin x + (Y0 −1)cos x = 2Y0 + 2 cĩ nghi m. 2 2 2 (2Y0 + 2) ≤ Y0 + (Y0 −1) 2 ⇔ 2Y0 +10 Y0 + 3 ≤ 0 − 5 − 19 − 5 + 19 ⇔ ≤ Y ≤ 2 0 2 − 5 + 19 V y y = max 2 3.3. Bà i t p : CMR ∆ABC đ u n u nĩth a m t trong cá c đng th c sau : 3 3.3.1. cos Acos B + cos B cos C + cos C cos A = 4 3.3.2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 3.3.3. + + = + tan Atan B tan C sin 2A sin 2B sin 2C 2 2 2  a 2 + b 2 + c 2  a 2b 2c 2 3.3.4.   = cot A + cot B + cot C A B C   tan tan tan 2 2 2 a cos A + bcos B + c cos C 1 3.3.5. = a + b + c 2 A B C 3.3.6. m m m = abc cos cos cos a b c 2 2 2 A B C 3.3.7. lll = abc cos cos cos a b c 2 2 2 A B C 3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot = 12 S 2 2 2  1  1  1  26 3 3.3.9. 1+ 1+ 1+  = 5 +  sin A  sin B  sin C  9 sin Asin Bsin C 1 3.3.10. = ()sin A + sin B + sin C 2 6 3 The Inequalities Trigonometry 76
Truịng THPT chuyên LýTTrng – Cn Thơ Bt đng thc lưng giác Chương 4 Mt schuyên đbài vit hay,thúv liên quan đn bt đng thc vàlưng giác Chương 4 : Mt schuyên đbài vit hay, thúvliên quan đn bt đng thcvà lưng giác ðúng như tên gi ca mình, chương này sbao gm các bài vit chuyên đvbt đng thc vàlưng giác. Tác gica chúngđu làcác giáo viên, hc sinh gii tốn màtác gi đánh giárt cao. Ni dung ca các bài vit chuyên đđu dhiu vàmch lc. Bn đc cĩththam kho nhiu kin thc bích tchúng. Vìkhuơn khchuyên đnêntác gi chtp hp đưc mt sbài vit tht slàhay vàthúv: Mc lc : Xung quanh bài tốn Ecdơs trong tam giác .78 ng dng ca đi s vào vic phát hin và chng minh bt đng thc trong tam giác 82 Th tr v ci ngun ca mơn Lưng giác 91 Phương pháp gii mt dng bt đng thc lưng giác trong tam giác 94 The Inequalities Trigonometry 77
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 4 Mt s chuyên đbà i vi t hay,thúv liên quan đ n b t đng th c và lư ng giá c Xung quanh bà i tố n Ecdơs trong tam giá c Nguy n V ăn Hi n (Thá i Bì nh) Bt đng th c trong tam giá c luơn làđtà i r t hay. Trong bà i vi t nhnà y, chú ng ta cù ng trao đi v mt b t đng th c quen thu c : Bt đng th c Ecdơs . Bà itố n 1 : Cho m t đim M trong ∆ABC . G i Ra , Rb , Rc làkho ng cá ch t M đ n A, B,C và d a ,d b ,d c làkho ng cá ch t M đ n BC ,CA , AB thì : Ra + Rb + Rc ≥ 2(d a + d b + d c ) (E) Gi i : Ta cĩ : 2S − 2S R ≥ h − d = ABC BMC a a a a 2S + 2S = AMB AMC a cd + bd = c b a Bng cá ch l y đi x ng M qua phân giá c gĩ c A bd + cd  ⇒ R ≥ c b a a   ad c + cd a  Tươ ng t : Rb ≥  ()1 b  ad b + bd a  Rc ≥  c   b c   a c   a b  ⇒ Ra + Rb + Rc ≥ d a  +  + db  +  + d c  +  ≥ 2()d a + db + d c ⇒ đpcm.  c b   c a   b a  Th c ra (E)chlà tr ư ng h p riêng c a t ng quá t sau : Bà i tố n 2 : Ch ng minh r ng : k k k k k k k Ra + Rb + Rc ≥ 2 (d a + db + d c ) (2) vi 1 ≥ k > 0 Gi i : Tr ư c h t ta ch ng minh : Bđ 1 : ∀x, y > 0 và 1 ≥ k > 0 thì : (x + y)k ≥ 2k −1 (x k + y k ) (H ) Ch ng minh : k  x   x k  x H ⇔  +1 ≥ 2k −1  +1 ⇔ f a = a +1 k − 2 k−1 a k +1 ≥ 0 v i = a > 0 ()    k  ()() ()  y   y  y Vì f '(a) = k[(a +1)k−1 − (2a)k−1 ]= 0 ⇔ a = 1 ho c k = 1. Vi k = 1thì (H )làđng th c đúng. Do a > 0 và 1 > k > 0 thì ta cĩ : f (a) ≥ 0 ∀a > 0 và 1 > k > 0 The Inequalities Trigonometry 78
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 4 Mt s chuyên đbà i vi t hay,thúv liên quan đ n b t đng th c và lư ng giá c ⇒ (H ) đư c ch ng minh. Tr l i bà i tố n 2 : T h (1) ta cĩ : k  k k  k  bd c cd b  k−1  bd c   cd b  Ra ≥  +  ≥ 2  +     a a   a   a   bd cd ( Áp d ng b đ (H ) v i x = c ; y = b ) a a Tươ ng t :  k k  k k −1  ad c   cd a  Rb ≥ 2   +     b   b    k k  k k −1  ad b   bd a  Rc ≥ 2   +     c   c     k k   k k   k k  k k k k −1  k  b   c  k  a   c  k  a   b   ⇒ Ra + Rb + Rc ≥ 2 d a   +    + db   +    + d c   +      c   b    c   a    b   a   k k k k ≥ 2 ()d a + db + d c ⇒ đpcm. ð ng th c x y ra khi ∆ABC đ u và M là tâm tam giá c. Áp d ng (E) ta chng minh đư c bà i tố n sau : Bà i tố n 3 : Ch ng minh r ng : 1 1 1  1 1 1  + + ≥ 2 + +  ()3 d a db d c  Ra Rb Rc  Gi i : Th c hi n phé p ngh ch đo tâm M, ph ươ ng tí ch đơ n v ta đư c :  1  1 MA * = MA '' =  Ra  d a  1  1 MB * = và MB '' =  Rb  db  1  1 MC * = MC '' =  Rc  d c Áp d ng (E) trong ∆A '' B '' C '' : MA '' +MB '' +MC '' ≥ 2(MA * +MB * +MC *) 1 1 1  1 1 1  ⇔ + + ≥ 2 + +  d a db d c  Ra Rb Rc  ⇒ đpcm. M rng k t qunà y ta cĩbà i tố n sau : Bà i tố n 4 : Ch ng minh r ng : k k k k k k k 2 (d a + db + dc )≥ Ra + Rb + Rc (4) The Inequalities Trigonometry 79
Truị ng THPT chuyên Lý TTr ng – C n Th ơ B t đng th c l ư ng giá c Ch ươ ng 4 Mt s chuyên đbà i vi t hay,thúv liên quan đ n b t đng th c và lư ng giá c vi 0 > k ≥ −1 Hư ng d n cá ch gi i : Ta th y (4) d dà ng đư c ch ng minh nh á p d ng (2) trong phé p bi n hì nh ngh ch đo tâm M, ph ươ ng tí ch đơ n v . ð ng th c x y ra khi ∆ABC đ u và M là tâm tam giá c. Bây gi vi k > 1thì t h (1) ta thu đư c ngay : Bà i tố n 5 : Ch ng minh r ng : 2 2 2 2 2 2 Ra + Rb + Rc > 2(d a + db + d c ) (5) Xu t phá t t bà i tố n nà y, ta thu đư c nh ng k t qu tng quá t sau : Bà i tố n 6 : Ch ng minh r ng : k k k k k k Ra + Rb + Rc > 2(d a + db + dc ) (6) vi k > 1 Gi i : Chú ng ta cũ ng ch ng minh m t b đ : Bđ 2 : ∀x, y > 0 và k > 1thì : (x + y)k ≥ x k + y k (G) Ch ng minh : k  x  x k x G   g a a k a k đ a () ⇔  +1 > k +1 ⇔ ()()= +1 − −1 > 0 ( t = > 0)  y  y y Vì g '(a) = k[(a +1)k −1 − a k −1 ]> 0 ∀a > 0 ; k > 1 ⇒ g(a) > 0 ∀a > 0 ; k > 1 ⇒ (G) đư c ch ng minh xong. Sd ng b đ (G) và o bà i tố n (6) : T h (1) : k k k k  bd c cd b   bd c   cd b  bd c cd b Ra ≥  +  >   +   ( đt x = ; y = )  a a   a   a  a a Tươ ng t : k k k  ad c   cd a  Rb >   +    b   b  k k k  ad b   bd a  Rc >   +    c   c  k k k k k k k k k k  b   c   k  a   c   k  a   b   ⇒ Ra + Rb + Rc > d a   +    + d b   +    + d c   +     c   b    c   a    b   a   k k k ≥ 2()d a + d b + d c ⇒ đpcm. Bà i tố n 7 : Ch ng minh r ng : k k k k k k d a + d a + d a > 2(Ra + Ra + Ra ) (7) vi k < −1 The Inequalities Trigonometry 80