Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất và công thức tính xác suất

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất và công thức tính xác suất

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN HỌC MÔN HỌC: XÁC SUẤT THỐNG KÊ GVHD: ThS Trần Minh Tâm Email: tmtam@tvu.edu.vn Phone: 0919. 718.095 Đơn vị công tác: BM Toán học, Khoa KHCB, ĐHTV
2. NỘI DUNG MÔN HỌC CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ CHƯƠNG 4: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ CHƯƠNG 5: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI
3. CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT NỘI DUNG: I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
4. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Mô hình bài toán của giải tích tổ hợp Từ tập hợp chọn ngẫu nhiên k phần tử (lập nhóm gồm k phần tử) thỏa điều kiện nào đó Số cách thực hiện?
5. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta được nhóm khác. l Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. l Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. l Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có thể có mặt một lần trong nhóm.
6. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Tổ hợp Tổ hợp chập k từ n phần tử là nhóm không lặp, không có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp
7. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Ví dụ Một hộp có 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra a) 3 quả cầu đỏ. b) 4 quả cầu mà có 3 xanh, 1 đỏ.
8. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Chỉnh hợp Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là nhóm không lặp, có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho. Số chỉnh hợp
9. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Ví dụ Một lớp học có 12 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 lớp trưởng và 2 lớp phó.  Một cách chọn 1 lớp trưởng và 2 lớp phó là một nhóm có 3 phần tử có thứ tự. Tổng số cách là
10. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Chỉnh hợp lặp Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là nhóm có lặp, có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho. Số chỉnh hợp lặp
11. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Quy tắc cộng Nếu công việc 1 có n1 cách thực hiện, công việc 2 có n2 cách thực hiện và các cách thực hiện công việc 1 không trùng với bất cứ cách thực hiện công việc 2 nào thì có n1 + n2 cách thực hiện “công việc 1 hoặc công việc 2”.
12. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Ví dụ Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau?  Các số có 1 chữ số: 3 cách {1,2,3} Các số có 2 chữ số: 6 cách {12,21,13,31,23,32} Các số có 3 chữ số: 6 cách {123,132,213,231,312,321} Các cách trên đôi một không trùng nhau, vậy theo quy tắc cộng, có 3+6+6=15 cách lập các số có chữ số khác nhau từ 3 chữ số 1,2,3.
13. I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP l Quy tắc nhân Nếu công việc 1 có n1 cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n2 cách thực hiện công việc 2 thì có n1xn2 cách thực hiện “công việc 1 rồi công việc 2”. l Ví dụ Giả sử để đi từ A đến C phải đi qua B theo sơ đồ A B C Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C?
14. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Khái niệm l Phép thử ngẫu nhiên Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần.
15. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Khái niệm l Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp) Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu . l Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp. l Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố.
16. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Khái niệm l Các ký hiệu - : không gian mẫu. - : biến cố sơ cấp - A, B, C, : biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A
17. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Khái niệm l Ví dụ - Tung đồng xu  ={S,N}; 1=“S”, 2=“N” - Tung con xúc sắc  ={1, , 6} i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1, ,6 - Đo chiều cao (đv: cm)
18. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố l Tổng 2 biến cố Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu (AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B.  A B A  B
19. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố l Tích của hai biến cố Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu (AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B.  A A  B B
20. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố l Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu A  B=.  A  B=  A B
21. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố l Biến cố đối lập Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu .  A l Biến cố chắc chắn - . l Biến cố không thể - .
22. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố l Ví dụ. Tung một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Không gian mẫu:  ={1,2,3,4,5,6} Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn” B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4” A = {2,4,6}; B={4,5,6}
23. II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2. Quan hệ giữa các biến cố  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Biến cố đối lập: Biến cố tích: Biến cố tổng:
24. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo cổ điển) l Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu . Giả sử tất cả các kết quả trong  đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A
25. II. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo cổ điển) l Ví dụ 1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ. 2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ. 2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.
26. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo cổ điển) l Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau: - Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra. - Không gian mẫu  phải hữu hạn.
27. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo thống kê) l Định nghĩa theo quan điểm thống kê Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu  và A  . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.
28. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo thống kê) l Ví dụ. Tung đồng xu. Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2 Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2 Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng. Người thí nghiệm Số lần tung Số lần Tần suất sấp Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005
29. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo hình học) l Định nghĩa theo quan điểm hình học Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A   được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A
30. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo hình học) l Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến) Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.
31. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Theo hình học) l Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến) x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến. y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến. A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến” Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ y – x 4 Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ x – y 6 Vậy A xảy ra khi -4 x – y 6, thể hiện ở miền gạch chéo Vậy
32. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (tính chất cơ bản của xác suất) 1 Chắc 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1  A   chắn xảy ra .5 0 Không thể xảy ra
33. III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (tính chất cơ bản của xác suất) 2.Nếu A  B thì 3. 4.
34. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1. Công thức cộng xác suất l Ví dụ. Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá ♥ ♣ ♦ ♠ Đặt: A = “Rút được con át” B = “Rút được lá đỏ”
35. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1. Công thức cộng xác suất P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 Phần dư khi giao 2 Màu biến cố Loại Đỏ Đen Tổng Át 2 2 4 Khác 24 24 48 Tổng 26 26 52
36. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 2. Công thức xác suất có điều kiện l Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra Xác suất xảy ra A với điều kiện B đã xảy ra Xác suất xảy ra B với điều kiện A đã xảy ra
37. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 2. Công thức xác suất có điều kiện l Ví dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố, thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và 40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa, hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao nhiêu? Gọi: AC = “Chọn được xe có điều hòa” CD = “Chọn được xe có dàn CD” Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?
38. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 2. Công thức xác suất có điều kiện 40% có dàn 70% có điều CD 20% có điều hòa hòa + CD CD Không CD Tổng AC .2 .5 .7 Không AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0
39. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 2. Công thức xác suất có điều kiện l Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe có điều hòa. Do đó, 20% số xe có dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%. CD Không CD Tổng AC .2 .5 .7 Không AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0
40. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Công thức nhân xác suất cho hai biến cố A và B l Ta cũng có
41. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Công thức nhân xác suất cho n biến cố A1,A2, ,An
42. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Ví dụ P(“Át” ∩“Đỏ") = P(“Át”)P(“Đỏ”|“Át”)
43. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Ví dụ Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 4 sản phẩm.Nếu thấy có bất kỳ sản phẩm kém chất lượng nào thì loại lô hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận lô hàng.
44. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Hai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi: l Biến cố A độc lập với biến có B khi xác suất của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia l Nếu A và B độc lập, thì
45. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Ví dụ Trong khảo sát về nội thất xe ô-tô trong thành phố, 70% xe có máy điều hòa (AC), 40% có máy chơi nhạc(CD), và 20% có cả hai. Hỏi AC và CD có độc lập hay không?
46. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất CD Không CD Tổng AC .2 .5 .7 Không AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0 P(AC ∩ CD) = 0.2 P(AC) = 0.7 P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28 P(CD) = 0.4 P(AC ∩ CD) = 0.2 ≠ P(AC)P(CD) = 0.28 Do đó hai biến cố AC và CD không độc lập.
47. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3. Công thức nhân xác suất l Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất. Không gian mẫu:  ={1,2,3,4,5,6} Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn” B = “ Xuất hiện mặt có số điểm bé hơn 4” C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm” D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm” A = {2,4,6}; B={1,2,3}; C={1,2}; D={1,6} Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.
48. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4. Công thức xác suất đầy đủ l Hệ đầy đủ các biến cố Hệ A1,A2, ,An gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu A1 A2 A4 A3
49. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4. Công thức xác suất đẩy đủ l xét A1,A2, ,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan l Cho là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một biến cố có liên quan đến hệ này. Xác suất xảy ra B
50. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4. Công thức xác suất đẩy đủ
51. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4. Công thức xác suất đẩy đủ l Ví dụ Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sx có công suất làm ra bóng đèn như nhau. Biết rằng tỷ lệ bóng bị lỗi do từng phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 7% và 10%. Một khách hàng mua bóng đèn của nhà máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua nhằm bóng bị lỗi.
52. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 5. Công thức Bayes l Xét A1,A2, ,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan. l Công thức Bayes
53. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 5. Công thức Bayes l Ví dụ Một học sinh đi học từ nhà đến trường có thể đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng nếu học sinh đi theo con đường thứ nhất thì khả năng bị kẹt xe là 15% và đi theo con đường thứ hai bằng 20%. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe, hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất là bao nhiêu?
54. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 6. Công thức Bernuolli l Phép thử Bernoulli: là phép thử ngẫu nhiên chỉ có 2 kết quả xãy ra đối lập nhau là và đã biết. • Công thức Bernoulli: Thực hiện phép thử Bernoulli n lần độc lập, tính xác suất để có k lần xãy ra biến cố A
55. IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 6. Công thức Bernuolli • Ví dụ: Giả sử trả lời ngẫu nhiên 10 câu hỏi trắc nghiệm (4 phương án lựa chọn). Tính xác suất để trả lời đúng được 5 câu