Bài giảng Toán tài chính - Chương 5A: Đại số tuyến tính và ứng dụng

106 trang Đức Chiến 04/01/2024 760

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán tài chính - Chương 5A: Đại số tuyến tính và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_tai_chinh_chuong_5a_dai_so_tuyen_tinh_va_ung.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 5A: Đại số tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 5A
CHƯƠNG 5 Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng 5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến 5.2 Ma trận 5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử 5.4 Định thức 5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output 5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN æa aK a ö Một ma trận A cấp ç 11 12 1n ÷ ç ÷ mxn là một bảng số ça aL a ÷ hình chữ nhật gồm A = ç 21 22 2n ÷ mxn phần tử, gồm m ç MMOM ÷ ç ÷ hàng và n cột. ça aL a ÷ èç m1 m 2 m n ø÷ éa aK a ù ê11 12 1n ú êa aL a ú ê21 22 2n ú hay A = ê ú êMMOM ú êa aL a ú ëêm1 m 2 m n ûú
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận: A= é a ù ëêij ûúm´ n Ví dụ: æ ö ç1 2- 7 0 ÷ ç ÷ ç ÷ A =ç4 5 7 - 1÷ ç÷ èç0 2 8 9÷ ø
MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. æa aK a ö ç 11 12 1n ÷ ç ÷ ça aL a ÷ A=ç 21 22 2n ÷ = é a ù ç ÷ êij ú ç MMOM ÷ ë ûn´ n ç ÷ ça aL a ÷ èç n1 n 2 nn ÷ ø Đường chéo chính gồm các phần tử: a11, a 22 , , a nn
CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang
MA TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hay 0mxn æ0 0L 0 ö ç ÷ ç ÷ ç0 0L 0÷ 0=ç ÷ = 0 m´ n çM MO M ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0L 0 ø÷
MA TRẬN HÀNG, CỘT Ma trận hàng: chỉ có một hàng Ma trận cột: chỉ có một cột æ1 ö ç ÷ ç ÷ ç 2 ÷ AB=1 2 3 - 4 5 = ç ÷ ( ) ç- 4 ÷ ç ÷ ç ÷ èç 5÷ ø
MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN æ1 2 3 4÷ ö æ1 2 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0 0 2 1÷ AB=ç0 4 5 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 0 8 9 ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0 6 ø÷ ç ÷ èç0 0 0 4 ÷ ø Ma trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0
MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI æ ö ç1 0 0 0÷ æ1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2 0 0 0÷ AB=ç3 4 0 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 6 8 0 ÷ ç÷ ç ÷ èç5 0 6 ÷ ø ç ÷ èç9 3 1 4 ø÷ Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0
MA TRẬN CHÉO æ1 0 0 0 ÷ ö æ1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ ö ç ÷ ç0 0 0 0÷ ça 0÷ ABC=ç0 4 0 ÷ =ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 0 8 0 ÷ ç 0 b ÷ ç÷ ç ÷ èç ø èç0 0 6 ÷ ø ç ÷ èç0 0 0 4 ÷ ø Ma trận vuông Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0
MA TRẬN ĐƠN VỊ æ1 0 0 0÷ ö æ1 0 0 ö ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç1 0÷ ç ÷ ç 0 1 0 0÷ III=ç ÷ =ç0 1 0÷ = ç ÷ 2ç0 1÷ 3ç ÷ 4 ç 0 0 1 0 ÷ èç ø ç÷ ç ÷ èç0 0 1 ÷ ø ç ÷ èç0 0 0 1÷ ø Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n
MA TRẬN BẬC THANG Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Ma trận bậc thang:  Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.  Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
VÍ DỤ 1 æ2 1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç0 0 7- 1 ÷ Không là bậc A = ç ÷ ç0 4 8 9 ÷ thang ç ÷ ç ÷ èç0 0 0 9÷ ø æ ö ç3 1 0 0 3÷ ç ÷ ç ÷ Không là bậc B = ç0 0 0 1 2÷ ç÷ thang èç0 0 0 9- 1 ÷ ø
VÍ DỤ 2 æ2 1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ bậc thang ç0 4 8 9÷ C = ç ÷ ç0 0 7- 1 ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0 0 0 ø÷ æ ö ç3 1 0 0 3÷ ç ÷ D = ç0 0 3 1 2÷ ç ÷ bậc thang ç÷ èç0 0 0 9- 1 ÷ ø
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận
HAI MA TRẬN BẰNG NHAU Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau. æa1 ö÷ æ- 2 d ö÷ AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c ø÷ èç 4 5 ø÷ ïì a = - 2 ï ï 1 = d AB= Û íï ï b = 4 ï ï c = 5 îï
CỘNG HAI MA TRẬN Cộng các phần tử tương ứng với nhau æa1÷ ö æ- 2 d ÷ö AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c ÷ ø çè4 5 ÷ø æa-2 1 + d ö÷ AB+ = ç ÷ ç ÷ èçb+4 c + 5 ø÷ Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN Nhân số đó vào tất cả các phần tử æa1÷ ö æ- 2 d 6 ÷ö AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c÷ ø èç 4 5 f ÷ø æ2a 2 ÷ ö 2A = ç ÷ ç ÷ èç2b 2 c÷ ø æ- 2k dk 6 k ö÷ kB = ç ÷ ç ÷ èç 4k 5 k fk ø÷
VÍ DỤ 3 æ ö æ ö ç1 2 3 4÷ ç 0 2 10 4 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ AB=ç8 7 5 3÷ = ç - 1 7 6 0 ÷ ç ÷ ç ÷ èç2 3 0 1 ø÷ èç 2 3 2 4 ø÷ a) A+ B b) 2 A- 3 B 1 2 c) A+ B 3 7
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho 2 ma trận: ABm´ n; n ´ k Khi này ma trận A nhân được với ma trận B ABCm´n . n ´ k= m ´ k Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau.
QUI TẮC NHÂN Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. cij = (hang i)( cot j ) CAB
VÍ DỤ 4 Các ma trận nào nhân được với nhau? æ ö æ ö ç1 2 3 4÷ ç 0 2 10 4 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ AB=ç8 7 5 3÷ = ç - 1 7 6 0 ÷ ç÷ ç ÷ èç2 3 0 1÷ ø çè 2 3 2 4 ÷ø æ1- 2 ö ç ÷ ç ÷ æ ö ç2 4÷ ç 1 2 3÷ CD=ç ÷ = ç ÷ ç0 1 ÷ ç 2 4 1÷ ç ÷ èç ø ç ÷ èç3 7÷ ø
ĐỊNH THỨC Cho ma trận A vuông, cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu: det (A) hay A Đây là một số thực, được xác định như sau: A= a thìdet A = a ( 11)1´ 1 ( ) 11 æ ö ça11 a 12 ÷ A=ç ÷ thìdet( A) = a . a - a . a ça a ÷ 11 22 21 12 è21 22 ø2´ 2
ĐỊNH THỨC CẤP N≥3 Dùng phần bù đại số æa a a ö ç 11 12 1n ÷ ç ÷ ça a a ÷ A = ç 21 22 2n ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çan1 a n 2 a nn ÷ è øn´ n Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.
VÍ DỤ 5 Cho ma trận: æ3 21 0 9 ö ç ÷ ç ÷ ç1 7 1 2÷ A = ç ÷ ç2 14 0 6 ÷ M23=??? ç ÷ ç ÷ ç6 42- 1 13 ÷ è ø4´ 4 æ ö ç3 21 9÷ ç ÷ MM=boûhaøng 2 vaø coät 3 Þ = ç2 14 6÷ 23( ) 23 ç ÷ ç ÷ èç6 42 13 ø÷
PHẦN BÙ ĐẠI SỐ Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: i+ j AMij=( - 1) det ( ij ) i+ j AMij=( - 1) ij
KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n: det(A)= a11 . A 11 + a 12 . A 12 + + a 1n A 1 n Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ. det(A)= ai1 . A i 1 + a i 2 . A i 2 + + a in A in
VÍ DỤ 6 Tính định thức ma trận sau: æ1 2 3 4 ö÷ æ1 2 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 5 7 6÷ AB=ç 0 5 7 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç- 1 2 8 5 ÷ ç ÷ ç ÷ èç- 1 2 8 ø÷ ç ÷ èç 0 0 0 2 ø÷
ĐỊNH THỨC CẤP 3 Ta dùng qui tắc sau: det(A)=( a11 . a 22 . a 33 + a 12 . a 23 . a 31 + a 13 . a 21 . a 32 ) -(a31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) æa a a ö a a ç 11 12 13÷ 11 12 ç ÷ A= ç a a a÷ a a ç 21 22 23÷ 21 22 ça a a ÷ a a èç 31 32 33 ø÷ 31 32
VÍ DỤ 7 Tính lại định thức ma trận sau: æ ö æ ö ç 1 2 3÷ ç 1 2 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ AC=ç 0 5 7÷ = ç 0 1 0 ÷ ç÷ ç÷ èç- 1 2 8 ÷ ø èçm(2 m - 2) 2 ÷ ø æ ö æ ö ç5 7 6÷ ç 0(m + 1) 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ BD=ç -1 2 5÷ = ç - 1 2 2 ÷ ç÷ ç ÷ èç0 3 9÷ ø èç 3m 3 ÷ø
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần.
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11. Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Các phép biến đổi trên dòng xem phía sau (phần tìm hạng ma trận)
TÍNH CHẤT Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức 12+ 6 3 1 2 3 1 6 3 05+14 7 = 0 5 7 + 0 14 7 -12 +16 8 - 12 8 - 1 16 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2+ 3 4 + 6 5 + 7 =2 4 5 + 3 6 7 10 12 5 10 12 5 10 12 5
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: ïì ABI. = ï n í ï BAI. = îï n Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1
TÍNH CHẤT i)A khaûnghòchÛ toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A - 1 1 1 ii) AAAAI = = n iii) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: - 1 (A - 1 ) = A
TÍNH CHẤT iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì: - 1 (ABBA) = 1.; 1 - 1 (ABCCBA) = 1 1 1 v) Neáu A khaû nghòch thì AT cuõng khaû nghòch: - 1 T (AAT ) = ( - 1 ) 1 vi) det (A - 1 )= det (A )
ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: i)AAI khaûnghòch Û : n ii)A khaûnghòch Û r( A) = n iii)AA khaûnghòch Ûdet( ) ¹ 0 iv)AA khoâng khaûnghòch Ûdet( ) = 0
HẠNG CỦA MA TRẬN Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Chọn k dòng - Chọn k cột
VÍ DỤ 8 Cho ma trận A. 1 0 1 2 A 0 1 2 1 1 1 3 3 Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất?
HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.
VÍ DỤ 9 Tìm hạng của ma trận sau: 1 0 3 2 2 0 1 2 AB 0 1 2 1 0 1 2 3 2 0 6 4 5 0 6 4
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau di« d j 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 di® k. d i 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. di® d i + l . d j 4. Tổng hợp: di® k d i + l d j
VÍ DỤ 10 Thực hiện phép biến đổi ma trận: æ1 2 3 4 ö ç ÷ ç ÷ d« d d® d - 2 d A =ç8 7 5 3÷ ¾¾¾¾®2 3 ? ¾¾¾¾¾®2 2 1 ?? ç ÷ d3® d 3 - 8 d 1 ç÷ èç2 3 0 1 ÷ ø d® - d+ 9 d ??'¾ ¾3 ¾ ¾ 3 ¾ 2 ® A Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A
HẠNG CỦA MA TRẬN Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. Ký hiệu: r(A) hay rank(A) Ma trận bậc thang của A: A→ bđsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang)
VÍ DỤ 11 Tìm hạng của ma trận æ3 21 0 9 0 ö ç ÷ ç ÷ ç1 7 1 2 1÷ A = ç ÷ ç2 14 0 6 1 ÷ ç ÷ ç ÷ èç6 42- 1 13 0÷ ø
TÍNH CHẤT i) r( A)= r( A T ) ii) A: BthìrA( )= rB( ) iiiA)=é a ù thìrA( ) £ m in( mn , ) ëêij ûúm´ n
CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Định thức
PP GAUSS JORDAN Bước 1: Lập ma trận [A|In] bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị In. Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [A|In] về dạng [In|B] Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và B=A-1 Chú ý: Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dòng 0 thì A không khả nghịch. Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo.
VÍ DỤ 12 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 2 2 3 AB 3 7 4 6 1 2 3 C 2 5 3 1 0 8
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC Ta có: 1 1 ACP- 1 =T = detAA det A Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A i+ j cij= Aij =( - 1) det M ij
VÍ DỤ 13 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có æ ö ç- 3 4 6 ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç 0 1 1 ÷ ç÷ èç 2 3 4÷ ø det(A )= ???
VÍ DỤ 13 Tìm ma trận phụ hợp của A: 1 1 0 1 0 1 c= + = c = - = c = + = 11 3 4 12 2 4 13 2 3 4 6 3 6 3 4 c= - = c = + = c = - = 21 3 4 22 2 4 23 2 3 4 6 3 6 3 4 c= + = c = - = c = + = 311 1 32 0 1 33 0 1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình.
VÍ DỤ 14 Giải các phương trình sau: æ1 2÷ ö æ 3 5 ÷ö a).ç÷ X = ç ÷ ç÷ ç ÷ èç3 4÷ ø èç 5 9 ÷ø æ3- 10÷ ö æ 5 6 ÷ö æ 4 16 ÷ö b) ç÷ X ç ÷= ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ èç5 2÷ ø çè 7 8 ÷ø çè 9 10 ÷ø
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát ïì a x+ a x + + a x = b ï 11 1 12 2 1n n 1 ï a x+ a x + + a x = b íï 21 1 22 2 2n n 2 ï ï ï a x+ a x + + a x = b îï m1 1 m 2 2 m n n m
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận æa a a ö æ x ö æ b ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a a÷ ç x ÷ ç b ÷ ç21 22 2n ÷´ ç 2 ÷ = ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a a÷ ç x ÷ ç b ÷ èçm1 m 2 m n ø÷ èç n ø÷ èç m ø÷ AXB´ =
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận AXB´ = Ma trận A gọi là ma trận hệ số. X: ma trận cột các ẩn số B: ma trận cột các hệ số tự do Nghiệm của phương trình là một bộ số: (x1, x 2 , , xn)= ( c 1 , c 2 , , c n ) Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.
ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI Cho phöông trình: AXB´ = Ñaët : AAB= ( ): ma traän boå sung cuûa ma traän A Tìm haïng cuûa ma traän AA;
ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát Ûr( A) = r( A) = n ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm Ûr( A) = r( A) < n iii) Heä pt voâ nghieäm Ûr( A) ¹ r( A ) iv) Heä pt coù nghieäm Ûr( A) = r( A )
VÍ DỤ 15 Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm ïì x-2 x + x = 2 ï 1 2 3 ï 2x+ x - 4 x = - 1 íï 1 2 3 ï 3x- 4 x - x = 0 ï 1 2 3 ï x+2 x + 4 x = 1 îï 1 2 3
CÁCH GIẢI HPT TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo
PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS – JORDAN i) L aäp ma traän boå sung AAB= ( ) . ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng. bdsc dong ¢ AABAAB=( ) ¾ ¾ ¾ ¾®r = ( r ) iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu. iv) Giaûi nghieäm töø döôùi leân treân.
VÍ DỤ 16 Giải hệ phương trình sau: ïìx-2 x + x = 2 ïì 3 x + 2 y - 4 z = 8 ï1 2 3 ï ï2x+ x - 4 x = - 1 ï 2 x + 4 y - 5 z = 11 a))íï1 2 3 b íï ï3x- 4 x - x = 0 ï 4 x - 3 y + 2 z = 1 ï1 2 3 ï ïx+2 x + 4 x = 1 ï 6 x + 7 y - z = 10 îï1 2 3 îï
PHƯƠNG PHÁP CRAMER Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình æa a a ö æ x ö æ b ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a a÷ ç x ÷ ç b ÷ ç21 22 2n ÷´ ç 2 ÷ = ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a a÷ ç x ÷ ç b ÷ èçn1 n 2 nn ø÷ èç m ø÷ èç n ø÷ Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.
PHƯƠNG PHÁP CRAMER Ví dụ: A1 æa a a ö æ b ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ Thay cột 1 ç÷ ç ÷ ça a a÷ ç b ÷ bằng cột hệ số AB=ç21 22 2n ÷ = ç 2 ÷ tự do ç ÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ ça a a÷ ç b ÷ èçn1 n 2 nn÷ ø èç n ÷ø æb a a ö ç 1 12 1n ÷ ç ÷ çb a a ÷ A = ç 2 22 2n ÷ 1 ç ÷ ç ÷ çb a a ÷ èç n n2 nn ø÷
PHƯƠNG PHÁP CRAMER Ñaët: D =det(AAA) ; D1 = det( 1 ) ; ; Dn = det ( n ) i)NeáuD ¹ 0 thì heä coù nghieäm duy nhaát: D x = i i D ii)Neáu D = 0 vaø toàn taïi Di ¹ 0 thì heä voâ nghieäm. ii)Neáu D = D1 = = Dn = 0 thìheä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp baèng phöông phaùp Gauss.
VÍ DỤ 17 Giải và biện luận hệ phương trình sau ïì ïì ï mx1+ x 2 + x 3 =1ï ax + y + z = 4 ï ï ax)í+ mx + x = m bxbyz ) íï + + = 8 ï1 2 3 ï ïx+ x + mx = m 2 ï x+2 by + z = 4 îï1 2 3 ïî
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. AXB. = Nếu ma trận A khả nghịch thì: AXBXAB = Û = - 1
VÍ DỤ 18 Giải phương trình sau ïì x+2 x + 2 x = 1 ï 1 2 3 íï 2x+ 3 x + 6 x = 1 ï 1 2 3 ï x- x +7 x = m îï 1 2 3
MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH Mô hình Input-Output Leontief Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội.
BẢNG VÀO RA (I/O) Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu
MÔ HÌNH I/O Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành  Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào  Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào  Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế
CÁC GIẢ THUYẾT Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định. Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu ra. Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần.
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa loại I Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì?
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật. Đầu ra 1 2 n 1 a11 a 12 a 1n 2 a a a Đầu vào 21 22 2n A n n an1 a n 2 a nn aij 1 , j 1,2, ,n i 1 Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?
TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng); xij i) xi x i1 x i 2  x in b i ii ) a ij x j
BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ Mua của ngành 1 Ta có: Bán của ngành 1 Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng x1 x11 x12 x1n b1 x2 x21 x22 x2n b2 xn xn1 xn2 xnn bn Công thức: xik i) xi x i1 x i 2  x in b i ii ) a ik xk
MÔ HÌNH I-O Ta có mô hình I-O: xaxax1 11 1 12 2  axb 1n n 1 x1 aa 11 12 a 1 n x 1 b1 xaxax2 21 1 22 2  axb 2n n 2 xaa 2 21 22 ax 2 n 2 b2 hay  xaxaxnnn 1 1 2 2  axb nnnn xn aa nn 1 2 a nn xn b n Dạng ma trận: XAXBXAXBIAXB XIAB 1
MỘT SỐ THUẬT NGỮ A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) B là ma trận cầu cuối cùng T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij
VÍ DỤ 19 Cho bảng I/0: Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng 1 100 20 10 8 62 2 50 10 16 14 3 40 10 10 8 12 GTGT 60 88 GTSX 100 50 40 A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21
ĐÁP ÁN Ta có: 0,2 0,2 0,2 A 0,1 0,2 0,4 0,1 0,2 0,2 1,3681 0,495 0,594 1 CIA 0,297 1,5346 0,8415 0,2475 0,4455 1,5346 a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 0,2
ĐÁP ÁN Ta có: 1,3681 0,495 0,594 1 CIA 0,297 1,5346 0,8415 0,2475 0,4455 1,5346 c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là 0,297
VÍ DỤ 20 Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật: 0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
GIẢI a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2 b) Ta có: 0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24 1 1 IAIA 0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24 0,384 0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60
GIẢI Ma trận tổng cầu: 0,66 0,30 0,24 10 24,84 1 1 XIAB 0,34 0,62 0,24 5 20,68 0,384 0,21 0,27 0,60 6 18,36 Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)
PHÂN TÍCH THÊM Với j=2 ta có: 3 1 ai2 1 0,30,10,3 0,3 a 02 0 i 1 Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0,3$. Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2).
PHÂN TÍCH THÊM Ta có: 28,84 a01 0,3 1 X I A. B 20,68 ; a 0,3 02 18,36 a03 0,4 Mức lương ngành 1: a01. x 1 0,3.28,84 8,65($) Mức lương cả nền kinh tế: 3  a0 j. x j 0,3.28,84 0,3.20,68 0,4.18,36 21($) j 1
DẠNG BÀI TẬP Xác định ma trận tổng cầu X Xác định tổng chi phí mỗi ngành Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES 1. Nhập ma trận. Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. Nhập kết quả vào bằng phím =, Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB) Lập lại tương tự cho MatC.
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 x MatB để cho kết quả của X.
MỘT SỐ BÀI TẬP
BÀI 1 Cho hai ma trận: 1 2 3 1 2 1 AB 3 2 4 3 1 0 2 1 0 2 1 1 Tìm ma trận nghịch đảo của A. Tìm X biết: X.A=3B
BÀI 2 Giải hệ phương trình sau x1 -x 2 x 3 -x 4 0 3x1 x 2 -x 3 2x 4 5 5x1 -x 2 x 3 4 7x1 x 2 -x 3 3x 4 10
BÀI 3 Giải hệ phương trình sau 2x y 3z 9 x y z 6 a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21 4x 7y z 5 7x y 3z 6 2x1 2x 2 x 3 x 4 4 4x1 3x 2 x 3 2x 4 6 c) 8x1 5x 2 3x 3 4x 4 12 3x1 3x 2 11x 3 5x 4 6
BÀI 4 Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 m A 1 m 1 1m 1 m 1
BÀI 5 Tìm m để hệ là hệ Crammer Giải nghiệm của hệ mx y z 1 x my z 1 x y mz 1
BÀI 6 Giải và biện luận theo m mx y z 1 a) x my z 1 x y mz 1 mx y z m b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1 x y mz 1
BÀI 7 Tìm để hệ có nghiệm duy nhất x y mz 1 x my z a x (m 1)y (m 1)z b Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m
BÀI 8 Giải và biện luận x x mx m 1 2 3 mx1 2 x 2 2 m 2 x 3 4 2 x1 x 2 3 x 3 m 3 m 3
BÀI 9 Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ thuật: 0,2 0,3 A 0,4 0,1 Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
BÀI 10 Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: 0,2 0,3 0,2 A 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng) a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp.
BÀI 11 Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ thuật: 0,4 0,1 0,2 A 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3 Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 40, 110 Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx tương ứng.
BÀI 12 Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau: Ngành cung ứng sp Ngành sử dụng sp (Input) (Out) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40 Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành Lập ma trận hệ số kỹ thuật A
BÀI 13 Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng. a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế trên. b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở.
BÀI 14 Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: 0,05 0,25 0,34 A 0,33 0,10 0,12 0,19 0,38 0 Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng) a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma trận A b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp.