›
›

Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

pdf 95 trang Đức Chiến 04/01/2024 890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_kinh_te_chuong_2_dao_ham_va_ung_dung.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

  1. ĐẠO HÀM VÀ CHƯƠNG ỨNG DỤNG 2
  2. CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm 2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị 2.4 Ứng dụng kinh tế 2.5 Độ cong và ứng dụng 2.6 Hệ số co dãn
  3. HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tổng quát: Ax By C Dạng đặc biệt: y ax b Với a, b là??? Gọi a là hệ số góc của đường thẳng D y y y a 2 1 tan x x2 x 1
  4. NHẬN XÉT • Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị. • Đường thẳng D như thế nào nếu: • a>0 • a<0 • a=0 • a=∞
  5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG Tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ.
  6. HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG Hệ số góc cát tuyến y y f a h f a k 2 1 x2 x 1 a h a f a h f a k h
  7. VÍ DỤ 1 Cho hàm số y=x2 a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồ thị f(x) và hai cát tuyến trên. b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h khác 0 bất kỳ. c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ý nghĩa.
  8. HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1
  9. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi: f a h f a lim h 0 h (nếu giới hạn này tồn tại) Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi công thức trên.
  10. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số tại x định nghĩa như sau: f( x+ h) - f( x ) f'( x )= lim h ® 0 h (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì ta nói hàm số khả vi trên (a,b) Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạo hàm hay không khả vi.
  11. VÍ DỤ 2 Tìm đạo hàm của hàm: f( x)= x2 -8 x + 9 tại x=2 theo định nghĩa. f(2+ h) - f ( 2) Ta xét giới hạn sau: lim h ® 0 h 2 (2+h) - 8( 2 + h) + 9 + 3 h2 - 4 h lim= lim = - 4 h®0h h ® 0 h Vậy: f '( 2)= - 4
  12. VÍ DỤ 3. Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t tháng được cho bởi công thức sau: S t t 2 a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25) b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng.
  13. VÍ DỤ 4. Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố định. Chi phí sản xuất x (mét) vải là: C f x $ A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x) B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?
  14. VÍ DỤ 5. Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000. Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990) T 1980 1985 1990 1995 2000 D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2
  15. ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI Đạo hàm trái của f(x) tại a là: f( x)- f( a) f( a + h) - f( a ) f'( a - )= lim = lim x® a x- a h ® 0 h Đạo hàm phải của f(x) tại a là: f( x)- f( a) f( a + h) - f( a ) f'( a + )= lim = lim x® a+x- a h ® 0 + h
  16. ĐỊNH LÝ Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. f'''( a)= L Û f( a-) = f( a + ) = L Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng. f' a= L Û lim f x = f a ( ) x® a ( ) ( )
  17. VÍ DỤ 6 Cho hàm số: ì 1/ x - + ï e, x ¹ 0 Tìm f'( 0) ; f '( 0 ) f( x )= íï ï 0 ,x = 0 îï Ta có: f(0+ h) - f ( 0) e1/ h 0 u f '0( - )= lim = lim = lim = 0 h®0 h h ® 0 h u ® + ¥ e u f(0+ h) - f ( 0) e 1/ h - 0 f '( 0+ )= lim = lim = + ¥ h®0+h h ® 0 + h Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.
  18. HÀM SỐ ĐẠO HÀM Với a cố định ta có: f( a+ h) - f( a ) f'( a )= lim h ® 0 h Thay a bằng x ta có: f( x+ h) - f( x ) f'( x )= lim h ® 0 h Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f.
  19. HÀM SỐ ĐẠO HÀM Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). Ký hiệu: df dy d f'; y '; ; ; f( x ) dx dx dx Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).
  20. VÍ DỤ 7 Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2. Ta có: 2 f( x+ h) - f( x) ( x + h) - x 2 lim= lim = 2x h®0h h ® 0 h Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ. Vậy đạo hàm của hàm số: y'= 2 x
  21. VÍ DỤ 8 Tìm đạo hàm của hàm: f( x)= x Ta có: f( x+ h) - f( x ) x+ h - x 1 f'( x )= lim = lim = h®0h h ® 0 h 2 x Vậy: 1 f'( x)= . T X D :( 0; + ¥ ) 2 x Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )
  22. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1 Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là: iuv.'''.'.'( ±) = uv ± iiku( ) = ku æu ö¢ u' ' v- u v iiiuv '' '.= uvuv + iv ç ÷ = ( ) ç ÷ 2 èçv ø÷ v Đạo hàm dạng:uv ¢ éu ' ù uv= u v ê v'. ln u + v . ú ( ) ê ú ëu û Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y= u v
  23. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2 Đạo hàm của hàm hợp: ¢ ¢ ¢ y= f0 g( x) Þ yx = f g. g x Ví dụ: Hàm y= ln( cos x ) là hàm hợp của 2 hàm: f( x)=ln( x) ; g( x) = cos ( x ) Vậy: 1 y¢= f ¢. g ¢ = .( - sin x) = - t an x x g x cos x
  24. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1 ¢ 1.C¢= 0 2.( xa) = a . x a - 1 Đạo hàm hàm hợp x¢ x ¢ 3.(e) = e 3.(eu) = e u . u ' ¢ 1 1 4.( ln x ) = 4.( lnu)¢ = . u ' x u ¢ ¢ 5.( sinx) = cos x 5.( sinu) = u '. cos u ¢ ¢ 6.( cosx) = - sin x 6.( cosu) = - u '. sin u ¢ 1 7. t an x = ¢ 1 ( ) 2 7.( t anu) = . u ' cos x cos2 u ¢ - 1 8. cot x = ¢ - 1 ( ) 2 8.( cotu ) = .u ' sin x sin 2 u
  25. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 2 Đạo hàm hàm hợp x¢ x ¢ 9.(a) = a . ln a 9.(au ) = ¢ 1 10. log x = ¢ ( a ) x. ln a 10.( loga u ) = ¢ 1 11.( arcsin x ) = ¢ 1 - x 2 11.( arcsin u) = ¢ - 1 12.( arccos x ) = ¢ 1 - x 2 12.( arccosu) = ¢ 1 13.( arct an x ) = 13. arctan u ¢= 1 + x 2 ( ) ¢ - 1 ¢ 14.( arc cot x ) = 14. arc cot u = 1 + x 2 ( )
  26. VÍ DỤ 9 Tìm f’(x) biết: e x f( x )= ln 3 1+ cos x Ta có: 1 y=é x -ln( 1 + cos x ) ù 3 ëê ûú 1é- sinx ù 1 æ sin x ö y '=ê 1 - ú =ç 1 + ÷ ê ú ç ÷ 3ë 1+ cosx û 3èç 1 + cos x ø÷
  27. VÍ DỤ 10 Tìm f’(x) biết: 1 + x 2 f( x)= = y Ta có: 3 x4. sin 7 x 4 lny= ln1 + x2 - ln x - 7lnsin( x ) ( ) 3 y' 2 x 4 7 cos x = - - y1 + x 2 3 x sin x Vậy: 2 1 + x æ2x 4 7 cos x ÷ ö y '.=ç - - ÷ 3 ç 2 ÷ x 4. sin 7 x èç1 + x 3xs in x ÷ ø
  28. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ CHO BỞI THAM SỐ Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện: ì ï x= x( t ) íï ï y= y t îï ( ) Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình tham số. ln x Ví dụ: Cho hàm y = có thể tham số hóa như sau x ì t ï x= e ï Đặt: x= e t ta có dạng tham số sau: í t ï y = îï e t
  29. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THAM SỐ ì ï x= x( t ) Cho hàm y=f(x) dạng tham số: íï ï y= y t îï ( ) dy dy/ dt y ¢ Khi đó: y ¢ = = = t x ¢ Ví dụ: dx dx/ dt x t ïì x= e t ïì ¢ t ï ï xt = e ln x ï ï y = Û í í 1 - t t ï ¢ x ï y = ï y t = ï t ï t îï e îï e 1 - t t 1 t 1 ln x Þy ¢ =e = = x et e2 t x 2
  30. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC - 1 Hàm số y= f( x ) có hàm ngược là: x= f( y ) Khi đó: 1 1 x¢= y ¢ = y¢ x ¢ yx x y Ví dụ: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany 1 1 1 y ¢ = = = x ¢ 2 2 x y 1+ t any 1 + x
  31. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC Ví dụ: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny 1 1 1 1 y ¢ = = = = x ¢ 2 2 xy cos y 1 siny 1 x æ ö ç p p ÷ çdo- £ y £ ÷ èç 2 2 ÷ ø Ví dụ: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy 1 1 1 1 y ¢ = = = = x ¢ 2 2 xy - sin y 1 cosy 1 x (do0 £ y £ p )
  32. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Hàm y=f(x) với x (a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng. Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x (a;b). Ví dụ: Phương trình: F( x, y)= x2 + y 2 = 1 xác định hai hàm ẩn: y=1 - x2 , x Îé - 1;1 ù 1 ëê ûú y= -1 - x2 , x Îé - 1;1 ù 2 ëê ûú
  33. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Cho phương trình: F(x;y)=0 Để tính: y’x B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm theo x. B2. Giải phương trình tìm y’. B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: x3+ln y - x 2 e y = 0 Tính đạo hàm của y theo x.
  34. ĐẠO HÀM HÀM ẨN B1. Lấy đạo hàm theo x ¢ x3+ln y - x 2 e y = 0 ( ) x y ' Û3x2 + -2 x .e y + e y .y ' . x 2 = 0( *) y ( ) B2. Giải tìm y’ (*) Û 3x2 y +y' -( 2 xy . ey + x 2 ye y . y ') = 0 Û(3x2 y - 2 xy . ey) +y '( 1 - x 2ye y ) = 0 (3x2 y- 2 xy . e y ) Ûy ' = (x2 ye y - 1)
  35. ĐẠO HÀM HÀM ẨN B3. Tính y’(0). x3+ln y - x 2 e y = 0 x=0 Þ ln y = 0 Û y = 1 = y ( 0) Ta có: (3x2 y- 2 xy . e y ) y ' = (x2 ye y - 1) Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có: (3.0 .1- 2. 0 . 1 .e 1 ) y '( 0)= = 0 (0.1.e 1 - 1)
  36. ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). Ký hiệu: ¢ dæ df ö d2 f f¢¢= f ¢ =ç ÷ = ( ) ç ÷ 2 dxèç dx ÷ ø dx Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2. æ2 ö 3 ¢ dç d f÷ d f f¢¢=( f ¢¢) =ç ÷ = dx èçdx2 ø÷ dx 3
  37. ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1). æn- 1 ö n (n) ( n - 1) ¢ dç d f÷ d f f= f =ç ÷ = ( ) dx èçdxn- 1 ø÷ dx n Ví dụ: Cho hàm: f( x)= x. e x Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải: ¢ x x¢ x x x fx¢( )=( xexe) . + .( ) = exe + . =( x + 1) e
  38. ĐẠO HÀM CẤP CAO Ta có: ¢ f¢¢ x=é x +1 ex ù = e x + x + 1 e x = x + 2 e x ( ) ëê( ) ûú ( ) ( ) Tương tự: f¢¢¢( x)=( x +3) ex ; f(4)( x) =( x + 4) e x Tổng quát: f(n )( x)=( x + n) e x
  39. ĐẠO HÀM CẤP CAO THƯỜNG GẶP (n ) éa ù a - n i)ê( x+ a) ú =a( a - 1) ( a - n + 1)( x + a ) ëê ûú (n ) æ1 ö n 1 ii)ç ÷ = - 1 n ! ç ÷ ( ) n + 1 èçx+ a ø (x+ a ) (n ) iii).( eax) = a n e ax (n) n - 1 (n - 1) ! iv)( ln x ) =( - 1) x n n æ ö ( ) n ç p ÷ v)( sin ax) = a . sin ç ax + n ÷ èç 2 ÷ ø n æ ö ( ) n ç p ÷ vi)( cos ax) = a . cos ç ax + n ÷ èç 2 ø÷
  40. CHÚ Ý (n ) éa ù a - n i)ê( ax+ b) ú =a( a - 1) ( a - n + 1)( ax + b) .a n ëê ûú (n ) n - 1 (n - 1) ! iv) ln ax+ b = - 1 .a n ( ( )) ( ) n (ax+ b) (n ) æ ö n ç p ÷ v)( sin( ax+ b)) = a . sin ç ax + b + n ÷ èç 2 ø÷ (n ) æ ö n ç p ÷ vi)( cos( ax+ b)) = a . cos ç ax + b + n ÷ èç 2 ø÷
  41. VÍ DỤ 12 Tính đạo hàm cấp n của: 1 1 a)) f( x)= b g( x ) = x(1 - x ) x2 -3 x + 2
  42. ĐẠO HÀM CẤP CAO HÀM ẨN 2 4 4 48x Biết: x+ y = 16 . CM: y ¢¢= - y 7 Đạo hàm 2 vế theo x: x 3 4x3+ 4 y 3 . y ' = 0 Þ y ' = - 3 Do đó: y æ3 ö¢ 2 3 3 2 2 ç x÷ 3 x y- 3 x y . y ' 3x( xy '- y ) y ¢¢=ç -÷ = - = èç y3 ø÷ y 6 y 4 Thay y’ vào: æ3 ö 2 ç - x ÷ 3xç x- y ÷ 2 4 4 èç y 3 ÷ ø -3x( x + y ) - 48x 2 y ¢¢= = = y4 y 7y 7
  43. CÔNG THỨC LEIBNITZ Dễ thấy: (f g)¢ = f¢ g + g ¢ f (fg.)¢¢=( fggf¢ . + ¢ .) ¢ = fg ¢¢ . + 2 fg ¢ ¢ + fg . ¢¢ Mở rộng: (n ) n f g= Ck f(k) g( n- k ) ( ) å n k = 0 Gần giống khai triển nhị thức Newton
  44. VÍ DỤ 13 (3) (f. g) = f(3) g + 3 f¢ . g( 2) + 3 f( 2) . g ¢ + g( 3) f (3) (fg.) = fg(4) + 4 fg( 3) .¢ + 6 fg( 2) .( 2) + 4 fg ¢ . ( 3) + gf( 4) Tính đạo hàm: f( x)=( x2 +1) sin x f(10)( x ) = ???
  45. VI PHÂN Vi phân tại một điểm Vi phân trên một khoảng Ứng dụng vi phân tính gần đúng
  46. SỐ GIA Cho hàm số y=f(x), ta nghiên cứu sự thay đổi của y khi x thay đổi một lượng rất nhỏ . Sự biến thiên của x gọi là số gia của x, ký hiệu ∆x . Sự biến thiên của y gọi là số gia của y, ký hiệu ∆y Ví dụ. Cho hàm số y=x3 Khi x thay đổi từ 2 lên 2,1 thì y thay đổi từ 8 lên 9,621 Ta có: x 2,1 2 0,1 y f 2,1 f 2 2,13 2 2 1,261
  47. SỐ GIA Định nghĩa. Cho y f x và x x2 x 1 ta có: y y2 y 1 f x 1 x f x 1 . y biểu thị sự biến thiên của y tương ứng với sự biến thiên x của biến x. . Số gia x có thể âm hoặc dương . y phụ thuộc vào hàm số f, giá trị x1 và số gia x
  48. SỐ GIA VÀ ĐẠO HÀM Chú ý. Trong công thức tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x ta có: f x h f x f x x f x y f' x lim lim lim h 0h x 0 x x 0 x Nếu giới hạn tồn tại, tức hàm số có đạo hàm thì với sự biến đổi rất nhỏ của x ta có: y y f' x lim x 0 x x
  49. VI PHÂN Như vậy nếu ∆x≠0 và rất nhỏ thì: y y f' x lim x 0 x x Nên ta có: y f'. x x Ta có thể xấp xỉ độ biến thiên của y bằng biểu thức VP. Biểu thức này được đặt tên là vi phân, ký hiệu dy hay df. dy f'. x x
  50. ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN Định nghĩa vi phân. Cho hàm số khả vi y f x khi này vi phân của hàm số, ký hiệu dy hay df xác định bởi: dy f'.'. x dx hay df f x dx trong đó dx x . Chú ý. Vi phân dy hay df là một hàm số bao gồm 2 biến độc lập đó là x và dx Xấp xỉ bằng vi phân. y dy
  51. VÍ DỤ 14 Ví dụ. Xét hàm số y f x 6 x x2 Khi x=2 ta có: y f 2 x f 2 2 x x 2 ; dy f ' 2 dx 6 2.2 x 2 x Bảng so sánh vi phân và số gia tại x=2 x y dy 0,1 0,19 0,2 0,2 0,36 0,4 0,3 0,51 0,6 Điều này cho thấy khi số gia của x càng nhỏ thì sự khác biệt giữa số gia và vi phân của y càng nhỏ. Ta có thể sử dụng vi phân để xấp xỉ cho số gia của y.
  52. VÍ DỤ 15 Ví dụ. Một công ty sản xuất và bán x sản phẩm một tuần. Giả sử chi phí và doanh thu hàng tuần của công ty là: x2 C x 5000 2 x R x 10 x 0 x 8000 1000 Hãy sử dụng vi phân để xấp xỉ cho sự biến thiên của doanh thu và lợi nhuận khi sản lượng tăng từ 2000 lên 2010 sản phẩm một tuần.
  53. ỨNG DỤNG VI PHÂN y f( x0+ D x) - f( x 0 ) f( x0 + D x ) D f f'.( x0 ) D x f( x 0 ) D x x x+ D x 0 0 0 Df » f'( x0 ) . D x khi D x ® 0
  54. ỨNG DỤNG VI PHÂN TÍNH GẦN ĐÚNG Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có: f( x0+ D x) » f( x 0) + f'.( x 0 ) D x Hay công thức: f( x)» f( x0) + f'.( x 0) ( x - x 0 )
  55. VÍ DỤ 16 Cho hàm số: f( x)= x + 3 a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: 1 1 f¢( x)= Þ df( x) = dx 2x+ 3 2 x + 3 1 1 1 df(1)= dx = dx =( x - 1) 2 1+ 3 4 4
  56. VÍ DỤ 17 Cho hàm số: f( x)= x + 3 a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: 1 f( x)» f(1) +( x - 1) 4 1 0, 03 4,03=f( 1,03) » f ( 1) +( 1,03 - 1) = 2 + = 2,0075 4 4 Nếu tính bằng máy tính: 4,03= 2,00748599
  57. CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI Định lý về giá trị trung bình (tham khảo) Công thức Taylor Qui tắc L’ Hospitale
  58. ĐỊNH LÝ FERMAT Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0. Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì: f'( x 0 )= 0
  59. ĐỊNH LÝ ROLLE Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm.
  60. ĐỊNH LÝ LAGRANGE Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: f( b)- f( a ) = f'( c) b- a
  61. ĐỊNH LÝ CAUCHY Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: f( b)- f( a) f'( c ) = g( b)- g( a) g'( c )
  62. CÔNG THỨC TAYLOR Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0 2 5 2n - 1 x xn - 1 x arctanx= x - + + +( - 1) + 0 ( x 2n ) 3 5 2n - 1 x2 x 3 x n ex=1 + x + + + + + 0 x n 2 ! 3 !n ! ( )
  63. CÔNG THỨC TAYLOR Cho hàm số f(x): Liên tục trên [a,b] Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) Xét x0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: f'"( x) f( x ) 2 f( x)= f( x) +0( x - x) + 0 ( x - x ) 01! 0 2 ! 0 (n) ( n + 1) f( x) n f( c ) n + 1 + +0 (x - x) +( x - x ) n ! 0(n + 1) ! 0
  64. PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR Dạng Lagrange: (n + 1) f( c) n + 1 R=( x - x ) n (n + 1) ! 0 Dạng Peano: (thường dùng hơn) R n limn = 0 R=0 x - x x ® ¥ n n ( 0 ) (x- x 0 )
  65. CÔNG THỨC MACLAURIN Cho hàm số f(x): Liên tục trên [a,b] Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: f( x )= f'( 0) f "( 0) f (n )( 0) f(0)+ x + x2 + + xn + 0 ( x n ) 1! 2 !n !
  66. CÔNG THỨC L’HOSPITAL 0 ¥ ; Áp dùng tìm giới hạn dạng: 0 ¥ f( x ) 0 ¥ Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: lim coù daïng ; x® a g( x ) 0 ¥ f¢( x) f( x ) Neáu lim=LL thì lim = x® ag¢( x) x ® a g( x ) f( x) f¢( x ) lim= lim = L x® ag( x) x ® a g¢( x )
  67. ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Định lý Weierstrass Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], tức là tồn tại x1, x2 ∈ ; sao cho: f()max() x1 f x f ()min() x 2 f x x [,] a b x [,] a b
  68. ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Định lý giá trị trung gian Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b). Khi đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0 ∈ (; )sao f x0 c
  69. ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Hệ quả Định lý giá trị trung gian Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0 ∈ (; ) sao cho f(x0)=0. Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)
  70. ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó: 50 QPPQ 0,12 5 10; . SD P 2 Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5)
  71. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Ý nghĩa của đạo hàm 2. Giá trị cận biên 3. Hệ số co dãn 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế
  72. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, nghĩa là đạo hàm. Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) và thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí theo số lượng sản phẩm. Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm tổng doanh thu và lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận.
  73. CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra trong một khoảng thời gian. Khi đó, ta có các hàm kinh tế sau: Hàm kinh tế Hàm cận biên Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x) Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x) Tổng lợi nhuận: Lợi nhuận cận biên: P(x)=R(x)-C(x) P’(x)=R’(x)-C’(x) Các hàm cận biên thể hiện tốc độ biến thiên tức thời theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước
  74. HÀM CHI PHÍ C(X) - Là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm, - Không phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm. Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể sử dụng 2 giá trị của hàm chi phí như sau: Tổng chi phí sản xuất ra (x+1) sản phẩm: C(x+1) Tổng chi phí sản xuất ra x sản phẩm: C(x) Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x) Tương tự cho các hàm còn lại
  75. VÍ DỤ 18. (PHÂN TÍCH CHI PHÍ) Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi. Tổng chi phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi: C x 10000 90 x 0,05 x2 a) Tìm hàm chi phí cận biên b) Tìm chi phí cận biên tại mức sản xuất 500 bình một tuần và giải thích ý nghĩa c) Tìm chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ 501.
  76. HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM BÌNH QUÂN CẬN BIÊN Chi phí Doanh thu Lợi nhuận Tổng chi phí Tổng doanh thu Tổng lợi nhuận T ng ổ TC C x TR R x TP P x Chi phí cận biên Doanh thu cận biên Lợi nhuận cận biên Cận biên MC C' x MR R' x MP P' x Bình quân C x R x P x (trung AC C x AR R x AP P x x bình) x x Trung bình cận MAC C' x MAR R' x MAP P' x biên
  77. VÍ DỤ 19. Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất các mũi khoan được sử dụng trong ngành công nghiệp dầu khí. Giám đốc ước tính rằng tổng chi phí hàng ngày ($) để sản xuất x mũi khoan là: C x 1.000 25 x 0,1 x2 A) Tìm AC và MAC B) Tính giá trị AC và MAC tại x=10 và giải thích ý nghĩa C) Sử dụng kết quả câu b) ước lượng chi phí trung bình cho mỗi mũi khoan tại mức sản lượng 11 mũi khoan một ngày.
  78. GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA CHI PHÍ Cho hàm chi phí C=C(Q) Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị
  79. VÍ DỤ 20 Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là: 500 CQQ=0,00012 - 0,02 + 5 + Q A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm. B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi Q=50.
  80. GIẢI Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm: CQCQQQ=. = 0,00013 - 0,02 2 + 5 + 500 Giá trị cận biên của chi phí: dC MCQQ= =0,00032 - 0,04 + 5 dQ Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị
  81. GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA DOANH THU Cho hàm doanh thu R=R(Q) Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị
  82. VÍ DỤ 21 Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe bus được cho bởi công thức: Q=10000 - 125 p A) Xác định hàm tổng doanh thu B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và p=32
  83. TIÊU DÙNG VÀ TIẾT KIỆM CẬN BIÊN Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu nhập kinh tế quốc dân. Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập. Hàm tiết kiệm: S=I-C. Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)
  84. VÍ DỤ 22 Cho hàm tiêu dùng là: 5( 2I 3 + 3) C = I + 10 Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm cận biên khi I=100.
  85. GIẢI Ta có: é3 ù 5êII+ 30 - 3 ú MCI = ë û ( ) 2 (I + 10) Khi I=100 ta có: MCMS(100)»» 0,536( 100) 0,464
  86. TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN, CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ Khảo sát sự biến thiên của hàm số Cực trị của hàm số
  87. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (ĐL Fermat) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng hoặc các điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm được gọi là điểm tới hạn của hàm số. Để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta tìm các điểm tới hạn của hàm số dùng điều kiện đủ để kiểm tra cho từng điểm tới hạn.
  88. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ' Định lý. Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f() x và f() x có đạo hàm f() x mang dấu xác định trong mỗi khoảng x0 , x 0 và x 0 , x 0  . Khi đó, ' . Nếu f() x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f() x đạt cực tiểu tại x0 ' . Nếu f() x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f() x đạt cực đại tại x0 ' . Nếu f() x không đổi dấu khi x đi qua x0 thì f() x không đạt cực trị tại x0
  89. ĐIỀU KIỆN ĐỦ Định lý. Giả sử hàm số f() x khả vi đến cấp n (n 2) trên (,)a b và x0 là điểm dừng ' '' (n 1) ()n của f() x sao cho f( x0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 và f( x0 ) 0 . Khi đó, . Nếu n là số chẵn thì f() x đạt cực trị tại x0 , cụ thể ()n o f() x đạt cực đại tại x0 nếu f( x0 ) 0 ()n o f() x đạt cực tiểu tại x0 nếu f( x0 ) 0 . Nếu n là số lẻ thì f() x không đạt cực trị tại x0 .
  90. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Giả sử hàm số f() x liên tục trên đoạn [,]a b , khả vi trên khoảng (,)a b thì f() x đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [,]a b . Sau đây là quy tắc tìm . Tính các giá trị f( a ), f ( b ) . Tinh các giá trị của f() x tại các điểm tới hạn trong (,)a b . So sánh giá trị của f() x tại các điểm tới hạn trong (,)a b và f( a ), f ( b ) để tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
  91. VÍ DỤ 23 Ví dụ 13. Cho hàm sản xuất QLLL 1202 3 ( 0). Hãy xác định mức sản lượng lao động để sản lượng tối đa Ví dụ 14. Cho hàm sản xuất ngắn hạn QLL 1005 3 ( 0) và giá của sản phẩm là p 5 USD ; giá thuê lao động là pL 3 USD . Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa Ví dụ 15. Cho hàm chi phí TC Q3 130 Q 2 12 Q ( Q 0) . Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. Ví dụ 16. Cho hàm chi phí TC Q3 8 Q 2 57 Q 2( Q 0) và hàm cầu đảo là p 45 0,5 Q . Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận cực đại.
  92. ĐỘ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI VÀ TƯƠNG ĐỐI Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng Δx thì ta nói: Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x ∆ Tỷ số . 100% gọi là độ thay đổi tương đối của x Ví dụ. Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng. Nếu tăng thêm 1 triệu thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu, độ thay đổi tương đối là 0,5% Không phụ thuộc đơn vị tính và cho thấy ngay tỷ lệ thay đổi
  93. HỆ SỐ CO DÃN Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối của x ( khi x thay đổi một lượng Δx). Ký hiệu: DDy/ y y x f'( x ) ey = = » x x DDx/ x x y f( x ) Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.
  94. VÍ DỤ 24 Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi P=3 Giải 2PP 2 + Q 4 2P ( ) Ta có: e =P = P 30- 4PPPP -2 2 + 4 - 30 Q eP (3)= - 3, 333 Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu giảm 3,3%.
  95. VÍ DỤ 25 Ví dụ. Giá p và lượng cầu x cho một sản phẩm có mỗi quan hệ như sau: x 500 p 10.000 Tìm độ co giãn của cầu, E(p) và giải thích ý nghĩa trong các trường hợp sau: E(4); E(16); E(10)