›
›

Bài giảng giải tích (Toán I-II, dành cho khối ngành kinh tế)

pdf 188 trang Đức Chiến 03/01/2024 1060
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng giải tích (Toán I-II, dành cho khối ngành kinh tế)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_toan_i_ii_danh_cho_khoi_nganh_kinh_te.pdf

Nội dung text: Bài giảng giải tích (Toán I-II, dành cho khối ngành kinh tế)

  1. B MÔN TOÁN H C CH BIÊN : NGUY N V N C BÀI GI NG GI I TÍCH (Toán I – II, dành cho kh i ngành kinh t ) 1
  2. MÔN H C: TOÁN I - II (Gi i tích) - S tín ch : 4 (3.1.0) - S ti t : 60 ti t ; LT: 45 ti t ; BT: 15 ti t . - Ch ng trình ào t o ngành: Dành cho các ngành kinh t - ánh giá: im quá trình : 40% im thi k t thúc: 60% ( thi cu i k - hình th c thi: vi t, 90 phút ) - Tài li u chính th c: + James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University . + Toán cao c p (Nguy n ình Trí ch biên) t p 2, t p 3. + Toán cao c p ph n gi i tích dành cho các nhóm ngành kinh t ca các tr ng kinh t . LCH TRÌNH GI NG D Y LÝ THUY T (Syllabus) Bu i Ni dung lý thuy t (2 ti t / 1 bu i) 1 + Ph bi n cơng và thông báo các quy nh c a B môn v môn h c. + Hàm s : các hàm c ơ b n và cách thi t l p hàm m i t các hàm ã bi t. + M t s hàm trong kinh t . 2 + Gi i h n c a dãy s . + Gi i h n c a hàm s . + Các d ng vô nh. 3 + Vô cùng bé- Vô cùng l n. + Kh các d ng vô nh b ng VCL – VCB. + Tính liên t c c a hàm s . 4 + o hàm và ý ngh a trong kinh t . + Các quy t c tính o hàm và b ng o hàm c a các hàm s ơ c p c ơ b n. + Quy t c L’Hopital kh dng vô nh. 5 + Vi phân c a hàm s và ng d ng- Các quy t c tính vi phân. + o hàm c p cao và vi phân c p cao. + M t s nh lý v hàm kh vi. 6 + Khai triên Taylor và ng d ng. + ng d ng o hàm trong vi c kh o sát hàm s . + ng d ng trong kinh t : Giá tr cn biên, h s co giãn, quy t nh t i u. 7 + Hàm hai bi n và ví d . + Gi i h n c a hàm hai bi n. + Tính liên t c. 8 + o hàm riêng. + Vi phân toàn ph n. + o hàm riêng c a hàm h p. 2
  3. 9 + Hàm n hai bi n và o hàm riêng c a hàm n. + Vi phân toàn ph n c p cao. + ng d ng o hàm riêng trong kinh t . 10 + C c tr t do và ng d ng: Khái ni m, cách tìm, ng d ng trong kinh t . 11 + C c tr có iu ki n ràng bu c. + C c tr trên mi n óng và b ch n. + M t s ví d trong kinh t . 12 + Hàm c u Marshall và hàm c u Hick. + Ki m tra gi a k ti l p lý thuy t. 13 + Khái ni m nguyên hàm (Tích phân b t nh). + Các nh lý. + Cách tìm nguyên hàm c a m t s lp hàm. 14 + Khái ni m tích phân xác nh. + M t s nh lý c ơ b n v tích phân xác nh. + Cách tính. 15 + Tích phân suy r ng v i c n vô h n. + Tích phân suy r ng v i c n h u h n. + M t s ví d v ng d ng tích phân trong kinh t . 16 Tích phân hai l p: + Khái ni m. + Tính ch t. + Các cách tính. 17 + Các khái ni m m u v ph ơ ng trình vi phân. + M t s dng ph ơ ng trình vi phân c p I: Phân ly bin s ; thu n nh t; tuy n tính; Bernoulli. 18 + Ph ơ ng trình vi phân c p 2 có th h cp + Ph ơ ng trình vi phân c p 2 h s hng. 19 Chu i s : + nh ngh a và m t s tính ch t. + M t s chu i th ng g p. + M t s tiêu chu n và d u hi u h i t ca chu i dơ ng. 20 + Chu i an d u. + Chu i có s hng v i d u b t k . 21 + Chu i l y th a. + o hàm và tích phân chu i l y th a. + Chu i taylor và Maclaurin. 22 Ôn t p và gi i áp th c m c 3
  4. LCH TRÌNH GI NG D Y BÀI T P (Syllabus) Bu i Ni dung bài t p (2 ti t / 1 bu i) 1 Hàm s , gi i h n và s liên t c c a hàm s 2 o hàm, vi phân hàm m t bi n và các ng d ng 3 Hàm s hai bi n, o hàm riêng, vi phân toàn ph n, o hàm hàm h p, hàm n. 4 Cc tr t do, c c tr có iu ki n, giá tr ln nh t nh nh t và các ng d ng 5 Hàm c u Marshall, hàm c u Hick. Nguyên hàm, tích phân xác nh, tích phân suy r ng. 6 Tích phân hai l p và ph ơ ng trình vi phân 7 Chu i s , chu i hàm CU TRÚC THI K T THÚC MÔN H C Môn h c: TOÁN I - II (Gi i tích, dành cho kinh t) Hình th c thi: T lu n - (Th i gian 90 phút) Câu 1 (2 im) Gi i h n, hàm s và o hàm + Tính gi i h n. + Hàm liên t c, gián on, kh vi, hàm ng c. + ng d ng c a o hàm trong kinh t . Câu 2 (2 im) Hàm nhi u bi n + Tính o hàm riêng hàm 2 bi n. + C c tr hàm 2 bi n và ng d ng trong kinh t . Câu 3 (2 im) Tính tích phân + Tích phân 1 l p. + Tích phân 2 l p. Câu 4 (2 im) Ph ng trình vi phân + Gi i ph ơ ng trình vi phân c p 1. + Gi i ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p 2, h s hng s vi v ph i c bi t. Câu 5 (2 im) Chu i + Tìm t ng c a chu i; kh o sát s hi t ca chu i s . + Tìm mi n h i t ca chu i lu th a. + Khai tri n hàm thành chu i lu th a. 4
  5. $1. HÀM M T BI N i t ng chính c a gi i tích toán h c là hàm s . Ch ơ ng này cp n nh ng khái ni m c ơ b n nh t v hàm s mt bi n, c n nh n m nh là có b n cách bi u th mt hàm s : B ng ph ơ ng trình, b ng b ng, b ng th và b ng l i. Ngoài ra, có nh c l i m t s hàm ã h c ch ơ ng trình ph thông và cách xây d ng hàm mi t các hàm ã cho, c bi t l u ý v các hàm ng c. Cu i cùng là khái ni m v mô hình toán và m t s mi quan h hàm trong phân tích kinh t . Các m c chính: 1.1. Các khái ni m c b n v hàm s mt bi n 1.2. L p hàm s mi t các hàm s ã bi t 1.3. Mô hình toán h c 1.1. CÁC KHÁI NI M C B N V HÀM M T BI N 1. nh ngh a hàm m t bi n Khái ni m hàm s xu t hi n khi có mt i l ng ph thu c vào mt i l ng khác. Ta xét các tình hu ng sau ây: A. Di n tích S ca m t ng tròn thì ph thu c vào bán kính r ca nó, quy t c k t n i gi a r vi S c cho b i ph ơ ng trình . M i s dơ ng r c n nh v i m t giá tr duy nh t c a S, ta nói S là hàm c a r. B. Dân s th gi i P thì ph thu c vào th i gian t. B ng sau ây ghi l i giá tr gn úng ca dân s th gi i P(t) t i th i im t. Ch ng h n . Nh ng ch c ch n r ng v i m i t cho tr c thì ch có duy nh t m t giá tr P(t) t ơ ng ng. Ta nói P là hàm c a t. C. Chi phí v n chuy n b u ph m C thì ph thu c vào cân n ng w ca bu ph m. M c dù không có m t công th c ơ n gi n xác l p m i quan h ca C theo w nh ng b u in v n có m t quy t c xác nh c duy nh t m t giá tr ca C khi ã bi t w. Nh th , C là hàm c a w. D. Gia t c chuy n ng th ng ng a ca b mt trái t c o b i máy ghi a ch n trong m t tr n ng t là m t hàm c a th i gian t. Hình 1 là th c t o ra b i máy o a ch n trong su t tr n ng t t i Los Angeles vào n m 1994. Hình 1 Vi m i giá tr t cho tr c, d a vào th ta tìm c duy nht m t giá tr a tơ ng ng. Mi ví d trên mô t mt quy t c, mà theo ó c mi giá tr c cho tr c ( r, t, w ho c t) ta xác nh c duy nh t m t s tơ ng ng ( S, P, C ho c a). Trong m i tr ng h p ó ta nói s sau là hàm c a s tr c. T ng quát ta có nh ngh a. 5
  6. nh ngh a hàm m t bi n s Cho D là m t t p con khác ca t p s th c . Mt hàm f là mt quy t c n nh m i s cho tr c thu c t p D vi duy nh t m t s , ký hi u là f(x), trong t p E. • D c g i là tp xác nh ca f. • S f(x) c g i là giá tr ca f ti x, c là “ f ti x ”. • Tp g m các giá tr ca f ti x,v i x ch y kh p t p xác nh, c g i là tp giá tr ca f. • Ký hi u c dùng bi u th cho s bt k trong t p xác nh c a f c g i là bi n c lp, ký hi u dùng bi u th cho s bt k trong t p giá tr ca f thì c g i là bi n ph thu c. Trong Ví d A, r là bi n c l p và S là bi n ph thu c. Vi c hình dung m t hàm nh mt chi c máy là vi c r t có ích xem Hình 2. Hình 2 Mô hình chi c máy cho hàm s Nu x nm trong t p xác nh c a hàm f , khi bi n u vào x c a vào máy thì nó c ch p nh n và máy s to ra, theo quy t c c a f, “s n ph m” là bi n u ra f(x). Nh th , ta có th hình dung t p xác nh là t p các bi n u vào và t p giá tr là t p g m các bi n u ra. Mt cách khác hình dung v mt hàm s là dùng bi u mi tên nh Hình 3. Hình 3 Bi u mi tên cho hàm f. Mi m i tên k t n i m t s thu c t p xác nh v i giá tr c n nh cho nó theo quy t c f. Nh th , f(x) là s c n nh cho x, f(a) c n nh cho a, và c th . Ph ơ ng pháp ph bi n nh t hình dung m t hàm s là xét th ca nó. N u f là m t hàm s vi t p xác nh là D, thì th ca nó là t p g m các c p s có th t (L u ý, ây chính là c p bi n u ra-u vào.) Nói khác i, th ca f là t p g m các im (x, y ) trên m t ph ng t a vi y = f (x) và x thu c t p xác nh c a f. th ca hàm f cho ta m t bc tranh t ng th v c im c a hàm s . B i vì tung y ca im ( x,y ) trên th là s sao cho y = f(x) nên ta có th th y giá tr ca hàm s là kho ng cách i s t im ó n tr c hoành (xem Hình 4). Hình chi u c a th trên tr c hoành chính là t p xác nh và hình chi u c a nó trên tr c tung là t p giá tr (xem Hình 5). Hình 4 Hình 5 6
  7. VÍ D 1 th ca hàm f c cho Hình 6. Hình 6 (a) Tìm giá tr ca f(1) và f(5). (b) Tìm t p xác nh và t p giá tr ca hàm f. Gi i (a) T Hình6, ta có im (1, 3) n m trên th ca hàm s , nên giá tr ca hàm t i 1 là f(1) = 3. Khi x = 5, im n m trên th tơ ng ng n m phía d i tr c hoành và cách tr c hoành kho ng 0,7 ơ n v vì th , ta c oán giá tr . (b) Hình chi u c a th hàm s trên tr c hoành là [0, 7] và tr c tung là [-2; 4] nên ta có Tp xác nh là [0, 7] và t p giá tr là . VÍ D 2 Cho hàm s và , hãy tính theo a và h. Gi i Tr c tiên tính bng cách thay th x trong công th c f(x) b i a + h : Thay vào bi u th c ã cho và ơn gi n hóa, ta c Bi u th c trong Ví d 2, ch ng h n ta s xét nó bài 2, nó bi u th t l thay i trung bình c a hàm f gi a hai giá tr x = a và x = a + h . th ca m t hàm s là m t ng trong m t ph ng t a . V n c t ra là m t ng có c im nh th nào thì là th ca m t hàm s . tr li câu h i này, ta dùng tiêu chu n sau ây. TIÊU CHU N CÁC NG TH NG NG Mt ng trong m t ph ng xy là th ca m t hàm khi và ch khi không có ng th ng ng nào c t ng ó t i hai im phân bi t. Quan sát Hình sau th mt hàm s Không là th hàm s Nu m i ng th ng ng x = a ct ng ã cho t i duy nh t m t im ( a; b) (Hình b n trái), thì xác nh m t hàm f theo quy t c f(a) = b. Nh ng n u t n t i ng x = a c t th ti quá hai im 7
  8. phân bi t(Hình bên ph i), ch ng h n là t i ( a, b ) và ( a, c ), thì ng ó không là th hàm s bi vì hàm s không th n nh hai giá tr khác nhau cho cung m t s a. Bi u th mt hàm s Có b n cách bi u th : • Bng l i (dùng ngôn ng mô t ) • Bng các con s (dùng b ng các giá tr ) • Bng th . • Bng i s (bi u th bng m t công th c hi n) Nu m t hàm có th bi u th bng nhi u cách thì ta s d dàng hi u bi t v nó m t cách sâu s c, ch ng h n nh nh ng hàm s ph thông ta u b t u t hàm cho b i công th c r i sau ó là xác nh c th ca nó. Tuy nhiên, có nh ng hàm s thì bi u th bng cách này là ti n s dng h ơn so v i cách khác ho c khó mà bi u th bng cách khác, ch ng h n di n tích S = có th bi u th bng th (m t n a c a parabol) nh ng dng th thì không ti n dùng. Trong khi ó gia t c chuy n ng theo ph ơ ng th ng ng c a v trái t trong m t tr n ng t nh Hình 1, thì khó có th biu th bng i s . Trong ví d di ây, ta cho m t hàm b ng cách dùng ngôn ng mô t và yêu c u bi u th hàm ó b ng i s . VÍ D 3 Mt container hình h p ch nh t không có n p phía trên v i th tích là 10m 3. Chi u dài ca áy b ng hai l n chi u r ng. Nguyên li u làm áy là 10$ m t m 2; nguyên li u làm các m t bên là 6$ m t m 2. Giá nguyên li u làm chi c container là m t hàm c a chi u r ng m t áy, hãy bi u th hàm này b ng m t công th c. Gi i t w là chi u r ng c a m t áy, thì chi u dài c a mt áy là 2 w; và t h là chi u cao c a container. Di n tích c a m t áy là nên giá nguyên li u làm m t áy là $. Hai m t bên có di n tích là và hai m t bên còn l i có di n tích là nên giá nguyên li u làm các m t bên là $. Nh v y, giá nguyên li u t ng c ng là 3 Mt khác, th tích c a nó là 10m nên ta có Thay vào công th c tính C, ta c Vy, giá nguyên li u c bi u th theo chi u dài c nh áy b i công th c sau Mt hàm s cho b i công th c, n u không nói gì thêm thì quy ưc t p xác nh c a hàm s là t p các giá tr ca bi n c l p làm cho công th c có ngh a. Tuy nhiên: y = sin x vi , thì ph i hi u t p xác nh là [ ]. VÍ D 4 Tìm t p xác nh c a m i hàm s sau. (a) (b) . Gi i (a) có ngh a khi , nên t p xác nh là [2; + ). (b) có ngh a khi và , nên t p xác nh là . Hàm xác nh trên t ng kho ng 8
  9. Xét hàm cho b ng l i: C(w) là chi phí v n chuy n b u ph m có cân n ng là w. Ngành b u in a ra quy t c tính nh sau: 39 cents n u cân n ng không quá 1ounce, m i ounce ti p theo có chi phí vn chuy n là 24 cents và b u ph m ch c có cân n ng t i a là 13 ounce. Hàm này c trình bày dng b ng thì s dng thu n ti n h ơn, b ng các giá tr nh bên l . T bng giá tr , thì c d ng công th c c a hàm nh sau: th trong hình d i ây: th nh ư hình b c thang ta th y t p xác nh c a hàm s là (0; 13] và trên m i kho ng xác nh thì quy t c tính giá tr ca hàm s li khác nhau. M t hàm nh v y c g i là hàm xác nh trên t ng kho ng. M t cách t ng quát, hàm s c g i là xác nh trên t ng kho ng n u quy t c xác nh c a hàm s trên m i kho ng xác nh là khác nhau. Ch ng h n các hàm sau là hàm xác nh trên t ng kho ng 2. Hàm s ch n – Hàm s l • Nu hàm f th a mãn f(-x) = f(x) v i m i x thu c t p xác nh thì f c g i là hàm s ch n. th hàm ch n nh n tr c tung làm tr c i x ng, do ó ch cn v th ng v i ph n sau ó l y thêm hình i x ng qua tr c tung ta c toàn b th . • N u hàm f th a mãn f(-x) = - f(x) v i m i x thu c t p xác nh thì f c g i là hàm s l. th hàm l nh n g c t a làm tâm i x ng, do ó ch cn v th ng vi ph n sau ó l y thêm hình thu c b ng cách ly i x ng qua g c t a . Hàm ch n Hàm l 9
  10. 3. Dáng iu c a hàm s th ca hàm f trong hình d i ây i lên t A n B, i xu ng t B n C, và l i i lên t C n D. Ta nói hàm f ng bi n trên kho ng [ a; b ] và ngh ch bi n trên kho ng [ b; c ] và l i ng bi n trên kho ng [ c; d ]. L u ý r ng v i hai s bt k nm gi a hai s a và b vi , thì . Ta s dng iu này nh ngh a hàm s ng bi n. Mt hàm s f c g i là ng bi n trên kho ng I ( ây c hi u là m t trong các d ng: [a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi: vi trong I. Mt hàm s f c g i là ngh ch bin trên kho ng I khi: vi trong I. Lu ý r ng b t ng th c ph i x y ra v i m i c p s trong I vi . 4. Mt vài hàm s ã h c i) Hàm tuy n tính là hàm có d ng y = mx + b trong ó m và b là các s ã cho; m là h s góc và b là tung gc. Hàm này có nét c bi t là: N u m = 0 thì giá tr ca nó không thay i khi x thay i và g i là hàm hng. N u thì giá tr ca nó thay i m t m c c nh khi x thay i m t m c c nh, ch ng hn hàm có h s góc là 3 nên m i khi x tng 0,1 ơ n v thì giá tr ca hàm t ng 0,3 ơ n v . D i ây là th hàm s và b ng giá tr hàm s ti m t vài im. ii ) Hàm a th c Hàm P c g i là m t a th c n u nó c cho b i công th c có d ng trong ó n là s nguyên d ơng và là các h ng s và ta g i là các h s ca a th c. Tp xác nh c a m t a th c b t k là . N u thì ta nói P là a th c b c n. Ch ng h n, ta ã h c a th c b c 1: ây chính m t hàm tuy n tính; a th c b c hai: là m t tam th c bc hai; a th c b c ba; a th c b c b n trùng ph ơ ng. a th c là a th c b c sáu. Nói chung các a th c c s dng nhi u trong ng d ng toán h c, c bi t trong vi c tính g n úng và l p mô hình toán. iii ) Hàm l y th a là hàm cho có d ng trong ó a là m t h ng s . Hàm này ã c trình bày ch ơ ng trình ph thông trung h c. Tr ng h p c bi t là a s nguyên d ơ ng thì ta c hàm a th c. 10
  11. th ca hàm nói trên trong m t s tr ng h p riêng: iv ) Hàm phân th c là th ơ ng c a hai a th c: . T p xác nh là t p các giá tr ca x làm cho . Ta ã h c v phân th c: b c 1 / b c 1 và b c 2/b c 1. v) Hàm l ng giác: . M i hàm u là hàm tu n hoàn. là hai hàm có t p xác nh là và t p giá tr là [-1; 1]. Hàm có t p xác nh là } và t p giá tr là . vi ) Hàm m là hàm có d ng , trong ó a là m t s dơ ng khác 1 và g i là c ơ s . th ca hai hàm và c v hình d i ây, c hai hàm u có t p xác nh là , t p giá tr là . 11
  12. vii ) Hàm logarit là hàm có d ng , trong ó a là s dơ ng khác 1. th ca m t s hàm logarit c th c v trong hình d i ây. M i hàm u là hàm có t p xác nh là và tp giá tr là . Hàm logarit là hàm ng c c a hàm s m (xem mc sau). Các hàm l ng giác, hàm m , hàm logarit thu c t p h p các hàm siêu vi t, t p h p các hàm siêu vi t còn có hàm xác nh b i t ng c a m t chu i và các hàm khác mà ta ch a bi t tên. 1.2 Lp hàm s mi t các hàm s ã bi t 1. Phép bi n i các hàm Mc này ta s xây d ng các hàm m i t các hàm ã h c ưc lit kê Mc I b ng cách t nh ti n th . Tnh ti n theo ph ư ng th ng ng và ph ư ng ngang Gi s c là s dơ ng, thì th hàm y = f(x) + c thu c b ng cách tnh ti n th hàm y = f (x) lên trên c ơ n v (b i vì hoành gi nguyên còn tung thì t ng lên c ơ n v ). Tơ ng t , n u g(x) = f(x – c), thì giá tr ca g ti x bng giá tr ca f ti x – c(c ơ n v v phía trái c a x) do ó th ca y = f (x - c) thu c b ng cách d ch chuy n th ca y = f (x) v phía ph i c ơ n v. Xem Hình v 12
  13. Tng quát ta có. Cho c > 0. Ta nh n c th ca hàm , b ng cách t nh ti n th hàm lên trên ơ n v , b ng cách t nh ti n th hàm xu ng d i ơ n v , b ng cách t nh ti n th hàm sang trái ơn v , b ng cách t nh ti n th hàm sang ph i ơ n v 2. Phép toán gi a các hàm s Hai hàm s f và g có th ưc t hp l i ưc các hàm m i f + g, f – g. fg và f/g theo ki u t ươ ng t nh ư là ta c ng, tr , nhân, chia hai con s . Tr c tiên, ta a ra khái ni m hai hàm s bng nhau: Hai hàm f , g c g i là bng nhau nu th a mãn c hai iu ki n là có t p xác nh b ng nhau và f(x) = g(x) v i m i x thu c t p xác nh. Các hàm s nào sau ây b ng nhau: Cho hai hàm . Tng, hi u hai hàm c xác nh t ơ ng ng nh sau Nu t p xác nh c a là A và c a là B , thì t p xác nh c a và u là bi vì c u có ngh a. Mt cách t ơ ng t , tích và th ơ ng c a các hàm c nh ngh a nh sau: Tp xác nh c a hàm là . Tuy nhiên, ta không th chia cho s 0 nên t p xác nh c a hàm là . 3. Phép h p hai hàm s Có m t cách khác t hp hai hàm cho tr c c m t hàm m i. Ví d , cho hai hàm s và . Do là hàm c a u và u là hàm c a x, t ó c y là hàm c a x. Ta xác nh b ng cách thay th : Th tc tìm ra hàm m i này c g i là phép h p thành b i vì hàm m i c t o thành t hai hàm ã cho. M t cách t ng quát, cho tr c hai hàm b t k ly m t s bt k x nm trong t p xác nh c a hàm và tìm c . N u nm trong t p xác nh c a hàm , thì ta l i tính c . K t qu là ta c m t hàm m i , hàm này nh n c b ng cách th g vào f . Ta g i hàm m i này là hàm h p c a và ký hi u b i (c là “ o tròn ”) nh ngh a Cho tr c hai hàm , hàm h p ca là m t hàm c ký hi u là và c xác nh nh sau: Chú ý: Tp xác nh c a hàm là t p g m các s thu c t p xác nh c a hàm sao cho thu c t p xác nh c a hàm , ngh a là xác nh khi c và u xác nh. VÍ D 5 Nu và . Hãy tìm hàm và . Gi i Ta có Và Nh n xét: Nói chung . Lu ý r ng: Ký hi u ngh a là tác ng tr c r i sau ó m i n 13
  14. Mô hình chi c máy cho hàm h p 4. Hàm ng ưc Quan sát th tr ng vàng mt qu n t i Hà N i vào m t th i im nào ó, ng i ta ghi nh n c thông tin sau: Giá 1ch (tri u ng)=: P Lng c u(kg)=: Qd 1,5 5 1,4 10 1,3 20 1,0 30 0,9 50 0,8 60 Lưng c u là hàm c a Giá c t Qd là lưng c u(Quantity Demanded) và P(Price) là giá m t ch vàng vào th i im ang xét, ta th y b ng trên cho ta th y Qd là m t hàm c a P: Qd = f(P) và l ng c u t ng khi giá gi m. Nhà kinh doanh có th quan tâm n vi c P ph thu c vào Qd nh th nào, nói cách khác ng i này có th xem P là hàm c a Qd, hàm này c g i là hàm ng ưc ca hàm f, c ký hi u b i c là ngh ch o. Nh v y là m c giá t i l ng c u Qd. Giá tr ca có th c tìm t bng trên b ng cách t t ơ ng ng t ph i sang trái, cho ti n ta có th xây d ng b ng nh di ây b ng cách o hai c t trong b ng trên. Ch ng h n bi vì Lng c u(kg) Giá 1ch (tri u ng) 5 1,5 10 1,4 20 1,3 30 1,0 50 0,9 60 0,8 Giá c là hàm c a L ưng c u Không ph i hàm nào c ng có hàm ng c, xét hai hàm và có s ơ mi tên nh sau: ý r ng không nh n m t giá tr nào ó hai l n(hai bi n u vào khác nhau thì hai bi n u ra khác nhau) trong khi ó ly giá tr 4 hai l n(c 2 và 3 u có giá tr u ra là 4): trong khi ó nu . Các hàm có tính ch t nh hàm u c g i là hàm tơ ng ng 1-1 gi a t p xác nh và t p giá tr . nh ngh a Mt hàm c g i là t ng ng 1-1 gi a t p xác nh và t p giá tr (g i t t là hàm 1-1) nu nó không l y m t giá tr nào ó c a nó hai l n; t c là, 14
  15. Nu m t ng n m ngang giao v i th ca hàm ti nhi u h ơn m t im, thì t hình sau ta th y ngay là t n t i hai s và sao cho . iu này ngh a là f không ph i là hàm 1-1. Có m t ph ơ ng pháp hình h c xác nh xem m t hàm có là hàm 1-1 hay không, Du hi u ưng n m ngang Mt hàm là hàm 1-1 khi và ch khi không t n t i ng n m ngang nào giao v i th ca nó t i quá m t im. VÍ D 6 Hàm có ph i là m t hàm 1-1 không? Li gi i 1: Nu thì (Hai s khác nhau không th có cùng m t l y th a b c ba). Li gi i 2: T th c a hàm s ta th y, không t n t i m t ng n m ngang nào c t th hàm s ti hai l n, theo d u hi u ng n m ngang ta c hàm ã cho là hàm 1-1. VÍ D 7 Hàm có ph i là m t hàm 1-1 không? Li gi i1: Ta có nên hàm này không ph i là hàm 1-1. Li gi i 2: T th ca hàm s ta th y có m t ng n m ngang c t th ti hai im phân bi t nên hàm ã cho không ph i là hàm 1-1. Nh n xét: Mt hàm n iu trên kho ng xác nh thì là hàm 1-1. Ch có hàm 1-1 thì m i có hàm ng c, c xây d ng theo nh ngh a sau ây: nh ngh a Cho là hàm 1-1 v i t p xác nh là A và t p giá tr là B. Khi ó hàm ng c là hàm có t p xác nh là B, t p giá tr là A và c xác nh nh sau: vi m i y nm trong B. Chú ý: Không c nh m l n s -1 trong là l y th a. T c là không có ngh a là . có th c vi t l i là . VÍ D 8 Cho hàm 1-1 f, bit Tìm . Gi i vì ; vì ; vì . Nh n xét: T nh ngh a ta th y r ng, v i m i x và , thì . Bi u mô t hi n t ng này 15
  16. Ti p theo, ta tìm hi u cách xây d ng hàm ng c. N u ta có hàm và là hàm mà ta có th gi i ph ơ ng trình tìm c x theo y, theo nh ngh a v hàm ng c ta có hàm ng c là . N u ta mu n g i bi n c l p là x và bi n ph thu c là y, thì ta ph i hoán i x và y cho nhau, ta c . Cách tìm hàm ng ưc c a hàm 1-1 Bưc 1 Vi t . Bưc 2 Gi i ph ơ ng trình tìm x theo y (n u có th ) Bưc 3 Bi u th hàm theo bin c l p là x, b ng cách i ch x và y cho nhau. K t qu là ta c hàm ng c là . VÍ D 9 Tìm hàm ng c c a hàm . Gi i Tr c tiên, ta có . Gi i ph ơ ng trình tìm x theo y : i ch x và y: Vy hàm c n tìm là . Nguyên t c i ch x và y tìm vi t hàm ng c theo bi n x làm c ơ s cho ta có m t ph ơ ng pháp tìm th ca hàm t th ca hàm . Ta có: thu c th hàm khi và ch khi khi và ch khi , t c là im thu c th hàm . Nh ng ta thu c im t im b ng cách l y i x ng qua ng y = x . Xem hình d i ây th hàm nh n c t th hàm f bng cách l y i x ng qua ng y = x . Mt s hàm ng ưc c a hàm ã h c i) Ta có là m t hàm m , khi ó Nên hàm chính hàm ng c c a hàm m. ii ) Hàm , v i là hàm có t p xác nh ch là và th là T cách tìm hàm ng c, ta c: Ta c hàm ngc c a hàm ã cho là v i t p xác nh là [-1; 1] và t p giá tr là . Ta còn ký hi u . 16
  17. th hàm . th hàm . iii ) Tơ ng t , hàm có th nh hình v trên, là hàm 1-1, hàm ng c c a nó là , hàm này có t p xác nh là [-1; 1]. th nh sau. th hàm . th hàm iv ) Hàm ng c c a hàm . Hàm này có th hình trên. Là hàm 1-1. Hàm ng c c a nó c ký hi u là hoc là và xác nh nh sau: Hàm này có t p giá tr là và t p xác nh là th hàm v) Hàm ng c c a hàm vi là hàm c ký hi u là ho c , và c xác nh nh sau Hàm này có t p giá tr là và t p xác nh là . Hàm s c p * Hàm s ơ cp c ơ b n là các lo i hàm s sau: hàm h ng, hàm l y th a, hàm m , hàm logarit, hàm l ng giác và hàm l ng giác ng c. * Hàm s ơ c p là hàm c t o thành t các hàm s ơ c p c ơ b n b i m t s hu h n các phép toán s hc và phép l y hàm h p. 17
  18. 1.3 Mô hình toán h c Xem xét l i ví d v s tng tr ng dân s : Dân s th gi i P thì ph thu c vào th i gian t. B ng sau ây ghi l i giá tr gn úng c a dân s th gi i P(t) t i th i im t. Vn là: Hãy tìm cách bi u di n hàm này b ng cách dùng công th c? Rõ ràng là vi c a ra m t công th c bi u di n chính xác s ng i t i m t th i im b t k t là không th làm c. Nhng có th tìm c m t hàm cho b i công th c mà hàm ó xp x P(t). Ch ng h n, ng i ta ã nh n c Hình d i ây cho th y s “n kh p” rt t t gi a và . Hàm nh th c g i là mô hình toán h c cho s tng tr ng dân s . ó là m t ví d cho khái ni m sau ây: Mt mô hình toán h c là m t mô t toán h c(th ng là b ng m t hàm s ho c ph ơ ng trình) cho hi n t ng trong th c t , ch ng h n nh dân s , l ng c u c a m t s n ph m, t c rơi c a m t vt, t l sng c a tr sơ sinh. Tên g i c a m t s bi n trong phân tích kinh t Trong phân tích kinh t ng i ta ph i xem xét các i l ng nh là: L ng cung, l ng c u, giá, chi phí, doanh thu, t ng chi phí, t ng doanh thu, l ng lao ng, l ng v n, cho ti n ng i ta dùng các ti p u t ca t ti ng anh t ơ ng ng làm bi n s bi u th i l ng ó. Nh v y, ta có các bi n kinh t nh sau: Tên ti ng Vi t Tên ti ng Anh Ký hi u Lng cung Quantity Supplied Qs Lng c u Quantity Demanded Qd Giá hàng hóa Price P Lng chi phí,L ng tiêu dùng Cost, Consumption C Tng chi phí Total Cost TC Doanh thu Revenue R Tng doanh thu Total Revenue TR Li nhu n Profit Pr Lng v n Capital K Lng lao ng Labour L Chi phí c nh= nh phí Fix Cost FC Chi phí ph thu c s n ph m=Bi n phí Variable Cost VC Ti t ki m Saving S Thu nh p Income I 18
  19. i) Hàm cung và hàm c u. Hàm cung là hàm s c dùng bi u di n (mô hình toán dng hàm s ) s ph thu c c a lưng cung mt lo i hàng hóa nào ó vào giá ca nó trong iu ki n các y u t khác không i. Nh v y, hàm cung có d ng Qs = S(P). (l ng cung là l ng hàng hóa mà ng i bán b ng lòng bán mi m c giá.) Hàm c u là hàm s c dùng bi u di n s ph thu c c a lưng c u mt lo i hàng hóa nào ó vào giá ca nó trong iu ki n các y u t khác không i. Nh v y, hàm c u có d ng Qd = D(P).(l ng c u là l ng hàng hóa mà ng i mua b ng lòng mua mi m c giá.) Quy lu t th tr ng trong kinh t hc phát bi u r ng: Trong iu ki n các y u t khác không thay i, hàm cung là hàm ng bi n; hàm c u là hàm ngh ch bi n. Ngh a là khi các y u t khác gi nguyên, giá hàng hóa t ng thì ng i bán s mu n bàn nhi u h ơn còn ng i mua s mua ít i. Các nhà kinh t gi th ca hàm cung, hàm c u l n l t là ng cung và ng c u. Giao im ca hai ng c g i là im cân b ng ca th tr ng. T i im cân b ng c a th tr ng, ta có: vi m c giá cân b ng thì ng i bán bán h t và ng i mua mua , không có hi n t ng khan hi m và d th a hàng hóa. T quy lu t trên, ta th y n u mu n dùng mô hình tuy n tính cho hàm cung ta ph i có: u có d ng . VChú ý: Hàm cung và hàm c u u có hàm ng c, trong các tài li u kinh t ng i ta th ng bi u th s ph thu c c a giá c vào l ng cung, l ng c u thành ra ng i ta c ng gi các hàm ng ưc c a các hàm cung và hàm c u nh ã nói trên là hàm cung và hàm c u tơ ng ng th là ng cung và ng c u. ii ) Hàm s n xu t ng n h n. Hàm s n xu t là hàm bi u di n s ph thu c c a s n lng hàng hóa c a m t nhà s n xu t vào các y u t sn xu t, nh là: v n, lao ng, (là các y u t u vào c a s n xu t). Trong kinh t hc, khái ni m ng n h n và dài h n không c xác nh b i kho ng th i gian c th mà c hi u là nh sau: Ng n h n là kho ng th i gian mà ít nh t mt trong các y u t sn xu t không i. Dài h n là kho ng th i gian mà t t c các y u t sn xu t có th thay i. Khi phân tích s n xu t thì ng i ta th ng quan tâm n hai yu t sn xu t quan tr ng là: v n ( K) và lng lao ng ( L). Trong ng n h n, thì K c cho là không thay i. Nh v y hàm s n xu t ng n h n có d ng: trong ó Q là m c s n l ng. iii ) Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n • Hàm doanh thu là hàm bi u di n s ph thu c c a t ng doanh thu vào s n l ng: • Hàm chi phí là hàm bi u di n s ph thu c c a t ng chi phí vào s n l ng: • Hàm l i nhu n là hàm bi u di n s ph thu c c a t ng l i nhu n (Ký hi u là ) vào s n lng: iv ) Hàm tiêu dùng và hàm ti t ki m • Hàm tiêu dùng là hàm bi u di n s ph thu c c a l ng ti n dành cho mua s m hàng hóa C (Consumption) c a ng i tiêu dùng vào thu nh p I: • Hàm ti t kim là hàm bi u di n s ph thu c c a bi n ti t ki m S vào bi n thu nh p: 19
  20. c thêm : M c ích c a mô hình là nh m hi u bi t v các hi n t ng trong th c t và có th a ra d oán cho t ơ ng lai. Hình sau ây mô t quá trình c a vi c mô hình hóa toán h c cho m t hi n t ng trong th c t a vào công th c Gi i Bài toán Mô hình Kt lu n Gi i thích cho D oán th c t th c t toán h c toán h c cho v n th c t Ki m tra l i Mt bài toán th c t c t ra, nhi m v ca ta là a vào m t mô hình toán h c b ng cách xác nh và t tên bi n c l p, bi n ph thu c và s dng gi thi t ơ n gi n hóa hi n t ng th c t nh m d vn d ng toán h c. Sau ó v n d ng nh ng hi u bi t c a mình v lnh v c có liên quan và k nng toán h c liên k t các bi n nh n c ph ơ ng trình. Trong tình hu ng không có nh ng k t lu n v lnh v c ang xét ta bu c ph i dùng cách thu thp s li u và l p b ng giá tr , v th im th y xu h ng c a các bi n. T ó có th nh n th y c dùng hàm s nào(trong nh ng hàm ã bi t) làm mô hình toán cho hi n t ng ang xét. Giai on th hai là áp d ng ki n th c toán h c(nh là các ki n th c s c trình bày trong giáo trình này) vào mô hình toán h c thu c các k t lu n toán h c. Sau ó, giai on th ba, ta gi i thích các k t lu n toán h c thành các thông tin v bài toán ban u t ó a ra s gi i thích cho th c t ho c a ra d oán cho hi n t ng. B c cu i là ki m tra các d oán b ng các s li u th c t mi. N u d oán không th c s tt, thì ta có th ph i th c hi n l i quá trình tìm ra m t môt hình phù h p h ơn. 20
  21. $2. GI I H N C A DÃY S VÀ HÀM S Biên so n: NGUY N V N C 2.1 DÃY S VÀ GI I H N C A DÃY S 1. nh ngh a v dãy s và ví d Mt dãy s c hi u là m t lo t các con s c vi t theo m t th t xác nh: S c g i là s hng th nh t, là s h ng th hai , và m t cách t ng quát là s hng th n. Lu ý r ng, v i m i s nguyên d ơ ng n thì có t ơ ng ng duy nh t m t s và do ó m t dãy có th nh ngh a là mt hàm s có t p xác nh là t p s nguyên d ng. Tuy nhiên, ta th ng vi t thay vì f(n) cho giá tr ca hàm t i n. L U Ý: Dãy { còn c ký hi u b i c VÍ D 1 Mt s dãy c xác nh b ng cách a ra công th c t ng quát cho s hng th n. Trong các ví d sau ây, chúng ta a ra ba cách trình bày m t dãy s : Dùng cách vi t nh ã nói trên, cách khác là a ra s hng t ng quát, và cu i cùng là li t kê ra các s hng u tiên trong dãy. L u ý r ng, s n trong các ví d di ây không nh t thi t ph i b t u là 1. (a) (b) (c) (d) VÍ D 2 Di ây là m t s dãy có s xác nh không ơ n gi n nh nh ng dãy trên. (a) Dãy , trong ó là dân s ca th gi i tính n ngày 01 tháng M t c a n m th n. (b) N u ta t là s th n sau d u ph y khi vi t s e dng th p phân, thì là m t dãy s c nhi u ng i bi t n, dãy ó có các s hng u tiên là VÍ D 3 (Bài toán lãi n) Nu ta cho vay m t s ti n là v0 vi lãi su t m i k là r. Cu i m i k lãi c rút ra, ch li v n cho k sau(g i là lãi ơ n). H i sau n k s ti n có c là bao nhiêu? Gi i Sau k u thì s ti n lãi là v0r nên s ti n có c là: v0 + v0r. Sau k th hai s ti n lãi là 2 v0r nên s ti n có c là: v0 + 2( v0r). Tng quát, sau n k s ti n lãi thu c là nv 0r nên s ti n có c là: v0 + n(v0r). Nh n xét: S ti n có c sau n k là an = v0 + nv 0r trong ó v0 và r ã bi t nên ta c m t dãy s , dãy này có c im là m i s hng ng sau b ng s hng ng tr c c ng v i m t s c nh v0r. Các dãy nh th c g i là c p s cng . VÍ D 4 (Bài toán lãi g p) N u ta cho vay m t s ti n là v0 (g i là v n) v i lãi su t m i k là r. Cu i m i k lãi c nh p vào v n to thành v n m i và tính lãi cho k sau(g i là lãi g p ho c lãi kép). H i sau n k s ti n có c là bao nhiêu? Gi i Sau m t k thì s ti n lãi là v0r, nên s ti n có c là: v1 = v0 + v0r = v0 (1 + r). 2 Sau hai k thì s có c là: v2 = v1 + rv 1 = v0 (1 + r) + rv 0 (1 + r) = v0 (1 + r) . 2 2 3 Sau ba k thì s ti n có c là: v3 = v2 + rv 2 = v0 (1 + r) + rv 0 (1 + r) = v0 (1 + r) . 21
  22. n -1 n - 1 Tng quát, sau n k thì s ti n thu c là: vn = vn-1 + rv n -1 = v0 (1 + r) + rv 0 (1 + r) n = v0 (1 + r) . Nh n xét: S ti n có c sau n k là m t dãy s vi c im s ng sau b ng s ng li n tr c nhân v i s c nh (1 + r). Nh ng dãy s nh v y c g i là c p s nhân . LU Ý Lãi su t r/ k có th i qua các k khác. Ch ng h n, n u r = 7%/n m thì ta có: - Lãi su t theo k na n m: r = %/n a n m. - Lãi su t theo k là quý: r = %/quý. - Lãi su t theo k là tháng: r = %/tháng. - Lãi su t theo k là ngày: r = %/ngày. VÍ D 5 Nu m t ng i cho vay s ti n 1000USD v i lãi g p 8%/ n m tính theo quý thì sau 5 n m s ti n ng i này có c là bao nhiêu? Gi i S ti n ng i này có c tính theo k t qu Ví d 4 v i v0 = 1000, r = %/quý = 2% và sau 5 nm, t c là sau s k là n = (5)(4) = 20. 20 Vy, s ti n có c là v20 = 1000(1+0,02) 1485,95USD. 2. Gi i h n là s th c c a dãy s a) nh ngh a Vi m i dãy, ch ng h n nh dãy trong Ví d 1 (a), , u có th bi u di n hình h c bng cách bi u th các s hng c a dãy trên ng thng th c, nh Hình 1, ho c b ng cách v th , nh Hình 2. HÌNH 1 HÌNH 2 Lu ý r ng, m t dãy chính là m t hàm s vi t p xác nh là t p các s nguyên d ơ ng, th ca nó là t p các im có t a nh sau T Hình 1 ho c Hình 2, ta th y d ng nh các s hng c a dãy ngày càng ti n d n n s 1 khi n càng l n. Th c t là, hi u s có th làm nh tùy ý b ng cách ta ch n s n l n. Ta nói ng n g n v s ki n này b ng cách vi t . Tng quát, ta nói dãy có gi i h n là s th c L và vi t là ho c khi nu ta có th làm cho tr tuy t i c a hiu s gi a và L nh bao nhiêu tùy ý mi n là n ln. Nu t n t i , ta nói dãy hi t . Trong tr ng h p ng c l i, thì g i là phân k . Mt cách chính xác, ta có nh ngh a sau: 22
  23. NH NGH A Cho là m t dãy, n u có s th c L mà v i mi s u có m t s nguyên dơ ng N sao cho khi n > N. thì ta nói r ng dãy hi t n L và vit là ho c khi nh ngh a trên c minh h a trong Hình 3. Các im trong th ca dãy ph i n m gi a hai ng n m ngang y = L + và y = L - nu n > N. iu này ph i úng v i mi s nh tùy ý, nh ng thông th ng càng nh thì N càng l n. Hình 3 VÍ D 6 Ch ng minh r ng . Gi i -Vi m i s , cho tr c. Ta có tơ ng ơ ng v i . T ó th y r ng c n ch n s t nhiên N > có c n > N thì . -T ó, V i m i s ta ch n s t nhiên N sao cho N , ta c: khi n > N thì . Ta nh n th y phép ch ng minh trên g m hai ph n. Th nh t là phân tích ch n ra s N phù h p, th hai là a ra phép ch ng minh theo nh ngh a. VÍ D 7 Ch ng minh . Gi i - Phân tích bài toán tìm s N. V i m i s , cho tr c. Ta có tơ ng ơ ng v i , t ó ta s ch n N là s t nhiên sao cho N > . Ch ng minh: V i m i s , cho tr c. Ta ch n s t nhiên N sao cho N > , khi ó c n > N thì n > N > tc là . Vy, b) Tính ch t + Tính duy nh t nh lý 1. Nu dãy có gi i h n là L, thì gi i h n ó là duy nh t. + Tính b chn nh lý 2. Mi dãy h i t u b ch n, ngh a là t n t i s dơ ng M sao cho vi m i n. + Tính b o toàn th t nh lý 3. Nu , vi L, K là các s th c và vi , thì . c) Các phép tính gi i h n nh lý 4. Nu và là các dãy h i t và c là m t h ng s , thì 23
  24. Nh n xét: vi m i k là s t nhiên. VÍ D 8 Tìm Gi i Nh vy, ta có th tìm gi i h n dãy s bng cách phân tích dãy ã cho thành t ng, hi u, tích, th ơ ng c a các dãy h i t và ã bi t gi i h n. Vn c t ra là: Khi nào thì dãy s hi t ? Ph n ti p theo s cung c p cho ta các iu ki n nh n bi t m t dãy có h i t hay không. d) Các iu ki n h i t iu ki n 1. (ơ n iu và b ch n) + Dãy c g i là t ng n u vi m i , t c là . Nó c g i là dãy gim n u vi m i . M t dãy là t ng ho c là gi m thì c g i chung là dãy n iu. + M t dãy c g i là b ch n trên nu có m t s M sao cho vi m i 1 Nó c g i là b ch n d i nu có m t s m sao cho vi m i 1 Khi dãy v a b ch n trên, v a b ch n d i, thì ta nói là dãy b ch n. + nh lý 5. Mi dãy t ng(gi m) và b ch n trên(d i) u h i t . VÍ D 9 Hãy tìm hi u v tính h i t và tìm gi i h n c a dãy s c xác nh nh sau: vi n = 1, 2, 3, Gi i Tr c tiên ta tính toán và li t kê các s hng u tiên trong dãy ã cho Các s hng nói trên là c ơ s ta c oán r ng dãy ã cho là dãy t ng và ti n d n n 6. kh ng nh dãy trên là t ng, ta ph i dùng ph ơ ng pháp quy n p toán h c ch ng minh vi m i . Th t v y, v i n = 1 ta có tc là iu ph i ch ng minh úng v i n = 1. Gi s i u ph i ch ng minh úng v i n = k , t c là ta có nên tơ ng ơ ng suy ra Ta ã ch ra c r ng là úng v i k = n+ 1. Ta c iu ph i ch ng minh. Ti p theo, ta s ch ng minh b ch n b ng cách ch ra r ng < 6 v i m i n.(Vì dãy ã cho là dãy t ng nên nó ã b ch n d i b i a1 = 2). Ta có , t c là < 6 úng khi n = 1. Gi s rng nó úng v i n = k . Khi ó 24
  25. Theo nguyên lý quy n p toán h c, ta c N ta u có . Nu , thì: tơ ng ơ ng tc là . Nh v y, ta chn N là s t nhiên nào ó th a mãn khi ó c u c . Tóm l i, ta c kéo theo . iu ki n c n và 3. (Dãy Cô-si) Dãy c g i là dãy cô-si n u v i m i s cho tr c luôn t n t i s t nhiên N sao cho v i mi m, n ln h ơn N ta u có . nh lý 7. Dãy hi t khi và ch khi nó là dãy cô-si. VÍ D 12 Xét tính hi t ca dãy: . Gi i Nu ta ch n , thì vi m i s t nhiên N ta luôn ch n c hai s m, n vi m là s ch n và n là s l và u ln h ơn N và . V y dãy ã cho không ph i là dãy cô-si nên dãy này phân k . 3) Gi i h n là vô c c c a dãy Trong s nh ng dãy phân k , có nh ng dãy mà c cho tr c m t s dơ ng thì k t mt s hng nào ó m i s hng c a dãy u l n h ơn s dơ ng ó ch ng h n nh dãy , nh ng dãy nh th c g i là dãy có gi i h n . Có nh ng dãy mà c cho tr c m t s âm thì m i s hng c a 25
  26. dãy k t mt s hng nào ó u nh hơn s âm ó ch ng h n nh dãy {- n}, nh ng dãy nh th c g i là dãy có gi i h n . Dãy có gi i h n , c vi t là . Dãy có gi i h n , c vi t là . LU Ý: Các k t qu trong nh lý 4 không s d ng c mà ph i tuân theo các quy t c v gi i h n vô c c ã h c ch ơ ng trình ph thông. VÍ D 13. Ch ng minh r ng khi . Gi i t r = 1 + a thì a > 0(do r > 1). Dùng khai tri n nh th c Newton, ta c ( vì các s hng không vi t ra u là s dơ ng) C cho tr c s dơ ng M ln tùy ý nu ta ch n N , thì Do ó, v i m i s dơ ng M ln tùy ý cho tr c, ch n N là s t nhiên sao cho N thì v i m i n th a mãn ta u có: . V y ta c iu ph i ch ng minh. Các k t qu gi i h n ca dãy c t ng h p d i ây sau này dùng mà không ch ng minh l i: , , , không t n t i . 2.1 Gi i h n c a hàm s 1. Khái ni m gi i h n c a hàm s a) Gi i h n t i m t s th c Bài toán tìm ti p tuy n Ta s th y gi i h n ny sinh trong khi ta c gng tìm ti p tuy n ca m t ng cong. Ti p tuy n là m t t có ngu n g c trong ngôn ng Latin là tangens , ngh a là “ti p xúc”. Nh th , có th hi u ti p tuy n là mt ng th ng ti p xúc v i m t ng cong. Làm th nào a ra m t khái ni m chính xác? i v i ng tròn thì r t ơ n gi n, ti p tuy n v i ng tròn là mt ng th ng c t ng tròn t i duy nh t m t im (Hình d i) i v i ng cong nói chung, nh ngh a ki u nh trên là không c. Nó ph c t p h ơn. Hãy quan sát hình d i ây. Ta th y, ng th ng l và t u i qua im P trên ng cong C. ng l ch ct ng cong C ti duy nh t m t im, nh ng nó không ph i là m t ng ti p xúc v i ng cong. V i ng t, mc dù nó c t C ti hai im nh ng nó l i ti p xúc v i C. c c th hơn, ta xét bài toán tìm ti p tuy n v i parabol ti im P(1; 1). có c ti p tuy n c a parabol t i im P, ta ph i tìm c h s góc c a m nó b i ã bi t P nm trên ti p tuy n r i. Khó kh n nm ch mu n tính h s góc c a ng th ng thì c n ph i bi t hai im phân biêt n m trên nó, trong khi ó ta m i có m t im. Tuy nhiên, ta có th tính g n úng giá tr ca m bng cách ch n mt im trên parabol, g n im P và tính h s góc ca cát tuy n PQ . 26
  27. Ta ch n thì nên Ch ng h n, v i ta có Bng d i ây li t kê giá tr ti m t vài giá tr ca x ti các im g n 1. Ta th y: Q càng g n P tơ ng ng xn càng g n 1, t bng trên, càng g n 2. iu này g i ý r ng h s góc c a ti p tuy n c n tìm m = 2. Ta nói r ng h s góc c a ti p tuy n là gi i h n ca các h s góc c a các cát tuy n, ta di n t iu này b ng ký hi u nh sau: Gi s rng h s góc c a ti p tuy n úng là b ng 2, thì ti p tuy n c n tìm là ) t c là . Nh v y, trong tr ng h p này ta quan tâm n giá tr ca mt hàm s khi bi n s nh n các giá tr gn m t s cho tr c. Ti p theo, ta xét c im v mt giá tr ca hàm f c xác nh nh sau ti các im x gn 2, nh ng không b ng 2. B ng sau ây cho ta giá tr ca f ti nhng i m g n 2. Ta l i có th ca hàm ã cho hình bên. T bng giá tr và th ca hàm s cho ta th y các s càng g n 2(v c hai phía) thì giá tr ti n d n v s 4. iu này cho th y, ta có th làm cho giá tr ca hàm s gn s 4 m t cách tùy ý mi n là l y giá tr ca x gn 2, ta nói “4 là gi i h n c a hàm s khi x ti n n 2” và ký hi u . 27
  28. Mt cách chính xác, ta có nh ngh a sau NH NGH A 1 Cho là hàm xác nh trên kho ng m I nào ó ch a im a, có th không xác nh t i a. Khi ó ta nói r ng gi i h n c a f(x) khi x ti n n a là s th c L , và vi t nu v i m i dãy s nm trong I\{a} và u kéo theo Sau ây là hình minh h a v các hàm s ti n n L khi x ti n n a. LU Ý: + Nói t i gi i h n c a hàm s khi x ti n n a ta không xét hàm s ti a. Ch ng h n hình (b) thì , hình (c) thì ta th y không xác nh. + N u khi thì ,mi n là m t trong hai gi i h n t n t i. + T nh ngh a nói trên ta th y, mu n ch ng minh không t n t i gi i h n c a hàm s khi x ti n n a ta ch cn nêu ra c hai dãy s khác nhau cùng ti n n a ng th i hai dãy hàm t ơ ng ng ti n n hai s khác nhau. VÍ D 14 Xét s tn t i c a . Gi i Ch n hai dãy và . Ta th y: c hai dãy u thu c (-1; 1) \{0} và u có gi i hn là 0 khi n ti n n . Tuy nhiên, còn . Theo nh ngh a, là không t n t i. th ca hàm Ng i ta còn ch ng minh c r ng nh ngh a trên t ơ ng ơ ng v i nh ngh a sau: Cho là hàm xác nh trên kho ng m nào ó ch a im a, có th không xác nh t i a. Khi ó ta nói r ng gi i h n c a f(x) khi x ti n n a là s th c L , và vi t nu v i m i s dơ ng cho tr c u có m t s sao cho : 28
  29. Minh ha hình h c: nh ngh a này có hình nh t ơ ng t nh nh ngh a gi i h n c a dãy s . VÍ D 15 Ch ng minh r ng . Gi i I. Phân tích bài toán oán giá tr . Cho là s dơ ng nào ó. Ta mu n tìm s sao cho: n u thì . Ta có . Do ó, ta mu n: n u thì , t c là n u thì ta ch cn ch n . II. Ch ng minh C cho tr c s dơ ng , ta ch n , thì s có: Nu thì . Theo nh ngh a, ta c Nh n xét: Li gi i cho ví d có giai o n suy oán và ch ng minh. Suy oán là giai on phân tích có c giá tr ca sau ó là ch ng minh m t cách c n th n theo úng phát bi u c a nh ngh a. VÍ D 16 Cho hàm s [Hàm s này c g i là hàm Heaviside, t theo tên c a m t k s in Oliver Heaviside(1850- 1925), nó c dùng mô t dòng in b ng t t i t = 0]. Hãy xét s tn t i . Gi i Ch n hai dãy và , ta th y c hai u ti n n 0 khi n ti n ra d ơ ng vô c c. Th nh ng: và . T ó, theo nh ngh a là không t n t i. th hàm Heaviside Tuy nhiên, ta th y r ng v i m i dãy vi và ti n n 0 thì ta u có , ta nói hàm này có gi i h n ph i t i 0 là 1, ký hi u là . T ơ ng t , v i mi dãy vi và tin n 0 thì ta u có , ta nói hàm này có gi i h n trái t i 0 là 0, ký hi u là . 29
  30. Mt cách t ng quát, ta có nh ngh a NH NGH A 2 (GI I H N M T PHÍA) • Cho là hàm xác nh trên kho ng m (a; x0) nào ó. Khi ó ta nói r ng f(x) có gi i h n bên ph i là s th c L khi x ti n n a , và vi t ho c khi nu v i m i dãy s nm trong (a; x0) và u kéo theo • Cho là hàm xác nh trên kho ng m ( x0; a) nào ó. Khi ó ta nói r ng f(x) có gi i h n bên trái là s th c L khi x ti n n a , và vi t ho c khi nu v i m i dãy s nm trong (x0;a) và u kéo theo Minh h a hình h c cho nh ngh a trên: LU Ý: + Ký hi u ngh a là ta ch xét x > a. Ký hi u ngh a là ta ch xét x < a. + nh ngh a 2 ch khác nh ngh a 1 mt iu là: trong nh ngh a 1 thì dãy { có th nm v hai phía c a s a, trong nh ngh a 2 thì dãy { ch c phép n m v mt phía c a s a. + Ng i ta ch ng minh c: • nu v i m i s thì u có m t s sao cho: khi , ta c . • n u v i m i s thì u có m t s sao cho: khi ta c . Gi i h n m t phía và gii h n t i m t im c a hàm s liên h vi nhau trong nh lý sau: nh lý 8. Gi i h n tn t i khi và ch khi tn t i , và = . VÍ D 17 th ca hàm g c cho trong hình d i ây S dng nó tìm các gi i h n(n u t n t i) sau: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Gi i T th , ta th y giá tr ca g(x) ti n n 3 khi x ti n n 2 t bên trái nh ng nó l i ti n n 1 khi x ti n n 2 t bên ph i. Do ó (a) (b) (c) 30
  31. nên không t n t i. T th , ta có (d) (e) (f) mc dù g(5) không xác nh. VÍ D 18 Tìm nu nó t n t i. 2 2 Gi i Khi xn rt g n 0 thì xn là s dơ ng và c ng r t g n 0, do ó 1/ xn là s rt l n. Bng giá tr ca hàm t i m t s im th hàm s Nh th , giá tr ca hàm s có th ln tùy ý mi n là x gn 0 t c là gi i h n trên không t n t i. di n t tình hu ng trong Ví d trên, ng i ta dùng ký hi u iu này không có ngh a là ta coi là m t s, c ng không có ngh a là gi i h n t n t i nó ch là mt tr ng h p riêng c a tình hu ng không t n t i gi i h n, ó là tình hu ng giá tr ca hàm l n tùy ý mi n là giá tr x gn 0. Mt cách t ng quát, ta có nh ngh a: NH NGH A 3 (GI I H N LÀ VÔ C C) • Cho là hàm xác nh trên kho ng m I nào ó ch a im a, có th không xác nh t i a. Khi ó ta nói r ng gi i h n c a f(x) khi x ti n n a là ký hi u + , và vi t nu v i m i dãy s nm trong I\{a} và u kéo theo • Cho là hàm xác nh trên kho ng m I nào ó ch a im a, có th không xác nh t i a. Khi ó ta nói r ng gi i h n c a f(x) khi x ti n n a là ký hi u , và vi t nu v i m i dãy s nm trong I\{a} và u kéo theo Minh h a hình h c cho nh ngh a: 31
  32. Tơ ng t, ta a ra nh ngh a là vô c c khi x ti n n bên trái, bên ph i c a s a. Minh h a hình h c: Nh c l i r ng: “ ” ngh a là ch xét x > a ; “ ” ngh a là ch xét x < a . Ng i ta ch ng minh c: Nu v i m i s dơ ng M u tn ti s sao cho: khi . Minh h a hình h c: Ta c ng có các k t qu tơ ng t cho gi i h n là , gi i h n là vô cc khi x ti n v bên trái, bên ph i s a. b) Gi i h n t i vô c c Trong ph n (a) ta ã tìm hi u v giá tr ca hàm s khi x ti n d n n m t s th c xác nh. Trong ph n này ta tìm hi u xem iu gì s xy ra v giá tr ca hàm s khi x ti n d n ra vô c c(n u c). Tr c tiên ta xét c im v mt giá tr ca hàm khi x ti n d n ra vô c c. B ng m t s giá tr và th ca nó nh sau: 32
  33. Khi các giá tr ca xn ti n d n n , ta th y dãy hàm t ơ ng ng ti n n 1. Th c t là ta có th làm cho giá tr ca hàm s gn 1 m t cách tùy ý b ng cách l y x ln. di n t iu này, ta dùng ký hi u . T ng quát, vi t vi L là s th c thì hi u là f(x) có th làm cho g n L mt cách tùy ý b ng cách l y x ln. M t cách chính xác, ta có nh ngh a NH NGH A 4 • Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. N u m i dãy s nm trong và ti n n ta u có , thì ta nói “ f(x) có gi i h n là L khi x ti n n d ơ ng vô c c” và ký hi u là . • Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. N u m i dãy s nm trong và ti n n ta u có , thì ta nói “ f(x) có gi i h n là L khi x ti n n âm vô c c” và ký hi u là . Minh h a hình h c cho nh ngh a: Các nh ngh a trên t ơ ng ơ ng v i: • Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. Khi ó Ngh a là v i m i s cho tr c u có mt s N sao cho: nu x > N thì 33
  34. Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. Khi ó Ngh a là v i m i s cho tr c u có mt s N sao cho: nu x < N thì Cng có th khi x ti n d n n vô c c thì giá tr ca hàm t ơ ng ng c ng ti n n vô c c, ch ng hn v i hàm thì x càng t ng kéo theo giá tr ca hàm s càng t ng. Ta nói hàm này ti n n dơ ng vô c c khi x ti n n d ơ ng vô c c. Di n t tình hu ng này b ng ký hi u nh sau: Và hi u là giá tr ca hàm s có th ln tùy ý khi ly x ln. Mt cách t ng quát, ta có nh ngh a NH NGH A 5 • Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. N u m i dãy s nm trong và ti n n ta u có , thì ta nói “ f(x) có gi i h n là + khi x ti n n d ơ ng vô c c” và ký hi u là . • Cho f là hàm s xác nh trên kho ng nào ó. N u m i dãy s nm trong và ti n n ta u có , thì ta nói “ f(x) có gi i h n là khi x ti n n âm vô c c” và ký hi u là . Minh h a hình h c cho nh ngh a: Tơ ng t , ta c ng có các nh ngh a t ơ ng ơ ng nh là các nh ngh a trên. 2. Gi i h n c a m t s hàm s c p Nh c l i: * Hàm s ơ c p c ơ b n là các lo i hàm s sau: hàm h ng, hàm l y th a, hàm m , hàm logarit, hàm 34
  35. lng giác và hàm l ng giác ng c. * Hàm s ơ c p là hàm c t o thành t các hàm s ơ c p c ơ b n b i m t s hu h n các phép toán s hc và phép l y hàm h p. + N u f là hàm s ơ c p c ơ b n và a thu c kho ng xác nh c a f thì + Hàm l y th a • • + Hàm m • • + Hàm logarit • • +Hàm l ng giác: + Hàm l ng giác ng c: th ca hàm y = arctanx và y = arccot x 3. Các nh lý c b n v gi i h n c a hàm a) Các tính ch t c ơ b n c a hàm s có gi i h n h u h n Tính ch t 1 (Tính duy nh t) Nu hàm s có gi i h n h u h n khi , thì gi i h n ó là duy nh t. 35
  36. LU Ý: Tính ch t 1 v n úng khi thay quá trình bi m t trong các quá trình . Tính ch t 2 Nu hàm s f có gi i h n h u h n L khi và L > p (L < p ), thì t n t i m t kho ng ( c; d ) ch a a sao cho LU Ý: Tính ch t 2 v n úng khi thay b i m t trong các quá trình và khi ó kho ng ( c; d ) c thay b i ( c; a ) ( a; d ) ( (d; . H qu : N u hàm s f có gi i h n h u h n L khi , thì t n t i kho ng ( c; d ) ch a a mà f b ch n trong . LU Ý: H qu vn úng khi thay bi m t trong các quá trình và khi ó kho ng ( c; d ) c thay b i ( c; a ) ( a; d ) ( (d; . b) Các phép toán v gi i h n nh lý 9 . Gi s: vi L và M hu h n. Khi ó: 1) 2) 3) c bi t 4) n u thì LU Ý: nh lý 9 vn úng khi thay bi m t trong các quá trình . N u ta bi t gi i h n c a hàm f ti a là và gi i h n c a hàm g ti a là L (h u h n), thì f + g có gi i h n là , m t cách hình th c ta ghi là . Theo cách ghi này ta có: nh lý 9’ (Quy t c cho gi i h n là vô c c) nh lý 10. (Gi i h n c a hàm h p) Gi s: 1) 2) T n t i kho ng ( c; d ) ch a b sao cho . Khi ó: . LU Ý: nh lý 10 vn úng khi thay bi m t trong các quá trình và khi ó kho ng ( c; d ) c thay b i ( c; b ) ( b; d ) ( (d; . H qu . Gi s: vi L và M hu h n. Khi ó: LU Ý: H qu vn úng khi thay bi m t trong các quá trình . VÍ D 19 . c) Chuy n b t ng thc qua gi i h n nh lý 11. Nu trong m t kho ng ( c; d ) ch a a ta có: và , là hai s hu h n thì 36
  37. LU Ý: nh lý 11 v n úng khi thay bi m t trong các quá trình và khi ó kho ng ( c; d ) c thay b i ( c; a ) ( a; d ) ( (d; . nh lý 12. (nh lý k p) Nu trong m t kho ng ( c; d ) ch a a ta có và thì LU Ý: nh lý 12 v n úng khi thay bi m t trong các quá trình và khi ó kho ng ( c; d ) c thay b i ( c; a ) ( a; d ) ( (d; . Minh h a hình h c cho nh lý 12: VÍ D 20 Ch ng minh r ng . Gi i Ta có: v i m i , thì . Nên . Mt khác : và . Theo nh lý k p: Minh h a hình h c cho Ví d : Chú ý r ng không th s dng bi vì là không t n t i. 37
  38. $3. GI I H N VÔ NH VÀ HÀM S LIÊN T C Biên so n: NGUY N V N C 3.1. Các d ng vô nh Khi gi i các bài toán v gi i h n, ta có g p m t s tr ng h p c bi t sau ây. Ta c n tìm: 1) mà: lim f(x) = lim g(x) = 0 ho c lim f(x) = lim g(x) = ±∞. 2) mà lim f(x) = 0 và lim g(x) = ±∞. 3) mà lim f(x) = lim g(x) = + ∞ ho c lim f(x) = lim g(x) = - ∞. 4) mà f(x) là hàm d ơ ng và • ho c lim f(x) = 1, lim g(x) = ∞. • ho c lim f(x) = lim g(x) = 0. • ho c lim f(x) = + ∞, limg(x) = 0. Khi ó, ta không áp d ng c các nh lý v gi i h n và c ng ch a xác nh c gi i h n ó t n ti hay không và n u t n t i thì gi i h n ó b ng bao nhiêu. Khi các tr ng h p k trên x y ra, ta nói r ng ó là nh ng dng vô nh và ta ký hi u chúng theo th t là tìm gi i h n trong tr ng h p này (g i chung là kh dng vô nh ) ta ph i bi n i các bi u th c f(x) và g(x) có th áp d ng c các nh lý v gi i h n. VÍ D 21 Tìm các gi i h n sau a) b) c) d) Ph ng pháp kh dng vô nh 1 ∞∞∞ Gi s ta c n tìm mà lim f(x) = 1 và lim g(x) = ∞. Ta d a vào k t qu Bi n i Vì Nên VÍ D 22 Tìm . Các k thu t kh các d ng vô nh s c trình bày các bài ti p theo. 38
  39. 3.2. Vô cùng bé-vô cùng l n VÔ CÙNG BÉ Trong ph n tr c ta ã bi t a ra các d ng vô nh trong ó có d ng , kh dng vô nh này trong m t s tr ng h p ta ph i dùng n quy t c thay th vô cùng bé t ng ng . Mu n n m c quy t c này, tr c tiên ta ph i hi u th nào là m t vô cùng bé. Ta dùng khái ni m gi i h n a ra nh ngh a NH NGH A Hàm s α(x) c g i là mt vô cùng bé (VCB ) trong m t quá trình, n u α(x) → 0 trong quá trình ó. VÍ D 16 T gi i h n c a các hàm s ơ c p c ơ b n ta có: • sin x, arcsinx, tan x, arctanx, 1 - cos x, ax – 1, (1 + x)β - 1 là các VCB trong quá trình x → 0. • xβ (β > 0) là VCB trong quá trình x → 0+. • xβ (β 1) là VCB trong quá trình x → -∞. NH N XÉT T nh ngh a v vô cùng bé và các nh lý v gi i h n, ta c các k t qu sau ây: 1. Tng c a hai VCB là m t VCB. 2. Tích c a hai VCB là m t VCB. 3. Tích c a m t VCB và m t hàm b ch n là m t VCB. 4. là m t VCB. Ta th y r ng x2, x4 u là hai vô cùng bé trong quá trình x → 0 nh ng ta th y r ng khi x rt g n 0 thì: 0 µ > 0, thì trong quá trình x → 0+ ta có xλ = o(xµ). • Trong quá trình x → 0: sin x ∼ x, tan x ∼ x, arcsin x ∼ x, arctan x∼ x, 1 – cos x ∼ , x µ log a(1 + x) ∼ , a – 1 ∼ xln a, (1 + x) - 1 ∼ µx. LU Ý: α1(x) ∼ β1(x) và α2(x) ∼ β2(x) không th suy ra c α1(x) + α2(x) ∼ β1(x) + β2(x). Ta có nh lý sau v VCB t ơ ng ơ ng: nh lý 7 Trong m t quá trình β(x) + o(β(x)) ∼ β(x) Ch ng minh dành cho ng ưi c 39
  40. VÍ D 17 Trong quá trình x → 0: 2x ∼ 2x + 3 x2 – 5x3 + 7 x4 vì 3 x2 – 5x3 + 7 x4 = o(2 x), 3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3 x4 + 4 x5 vì - 9x2 + x3 + 3 x4 + 4 x5 = o(3 x). ng d ng c a khái ni m VCB trong vi c kh dng vô nh 0/0 c th hi n qua nh lý sau: nh lý 8 Trong m t quá trình, n u ta có hai c p VCB t ơ ng ơ ng: α(x) ∼ α*(x), β(x) ∼β*( x), và tn t i , thì µ LU Ý Nu thu c d ng vô nh , ta hay thay th α(x) và β(x) b i các VCB d ng ax . VÍ D 18 Tìm các gi i h n sau: Gi i a) T ví d trên ta có: trong quá trình x → 0 thì 2x ∼ 2x + 3 x2 – 5x3 + 7 x4 và 3 x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3 x4 + 4 x5 nên b) Theo k t qu nêu trên, ta có: trong quá trình x → 0 thì Nên: c) Ta có nên: Mt khác: tc là Vy d) Trong quá trình tc là quá trình : nên . VÔ CÙNG L N NH NGH A Hàm s c g i là vô cùng l n (VCL) trong quá trình (a là s th c ho c vô c c) n u ta có NH N XÉT: 1. Nu là m t VCL thì là m t VCB; Nu là m t VCB và , thì là m t VCL. T ó, các k t qu vi VCB có th suy ra k t qu i v i VCL và VCL có th chuy n sang VCB. 40
  41. 2. Tng c a m t VCL và m t hàm b ch n là m t VCL. 3. Tng hai VCL cùng d u là m t VCL. 4. Tích c a hai VCL là m t VCL. VÍ D 19 Vi 0 1), x (m > 0) và log ax (a > 1) là các VCL. Vn t ra là: tng c a hàm nào nhanh h ơn? N i dung các nh lý sau cho ta câu tr li. nh lý 9. Nu a > 1 và m > 0 là các s cho tr c, thì m x nh lý trên cho th y dù v i m r t l n, x tng r t nhanh nh ng a vi a > 1 còn t ng nhanh h ơn. iu này có ngh a là a x là VCL c p cao h ơn so v i xm. H qu vi 0 0 thì Th t v y, t a’ = 1/a thì ta c a’ > 1 và do ó: nh lý 10. Nu a > 1 và m > 0 thì nh lý này cho th y tng ch m h ơn c khi x → +∞. m Nh n xét quan tr ng Nh v y, trong ba VCL (v i a > 1), x (m > 0) và log ax (a > 1) khi x → +∞ thì hàm m t ng ra vô cùng nhanh nh t sau ó n hàm l y th a và cu i cùng là hàm logarit. Do ó, trong các bi u th c vô nh là tích c a các i l ng d ng: hàm m , hàm l y th a, hàm logarit; mà có m t i l ng kéo v 0 m t i l ng kéo ra thì tác d ng c a hàm m l n át tác d ng c a hai i l ng còn li, tác d ng c a hàm l y th a l n át tác d ng c a hàm loga. Ch ng h n: , v i m > 0 và a > 1 ta th y kéo tích v 0 còn kéo tích ra vô cc và ta có th oán ngay c là k t qu ca gi i h n b ng 0. Th t v y: t , ta c . VÍ D 20 Tìm Gi i 3.3 HÀM S LIÊN T C 1. Khái ni m hàm s liên t c a) Hàm s liên t c t i m t im Trong các k t qu v gi i h n c a hàm s sơ c p c ơ b n t i m t im thu c t p xác nh c a nó, ta th y có kt qu là: N u f là hàm s ơ c p c ơ b n và a thu c kho ng xác nh c a f thì Hàm s vi tính ch t này thì c g i là liên t c t i a. Nói nh th là vì ta có nh ngh a sau ây. NH NGH A Hàm s f c g i là liên t c t i s a nu 41
  42. Lu ý r ng: theo nh ngh a trên, m t hàm s liên t c t i s a khi nó th a mãn ba iu ki n 1. f(a) ph i t n t i, ngh a là a là s thu c t p xác nh c a hàm f. 2. Tn t i . 3. . Ch mt trong ba iu ki n trên b vi ph m thì ta nói f không liên t c t i a. nh ngh a trên nói r ng f liên t c t i a nu f(x) ti n n f(a) khi x ti n n a, th nên hàm f liên t c ti a thì s có c im là: khi x thay i r t ít thì giá tr ca hàm s cng thay i r t nh . Ý ngh a hình h c: Hàm s liên t c t i a thì th hàm s không b t t i ( a; f(a)). T nh ngh a trên và k t qu v gi i h n c a hàm s ơ c p ta có: N u m t hàm s ơ c p xác nh trên kho ng (c; d) ch a im a, thì liên t c t i a. Nu hàm f xác nh t i các im g n a (nói cách khác là hàm s xác nh trên m t kho ng m nào ó ch a a và không nh t thi t ph i xác nh t i a) ng th i f không liên t c t i a, thì ta g i a là im gián on c a f ho c f gián on t i a. VÍ D 21 Cho hàm s f vi th Hãy gi i thích t i sao hàm s gián on t i 1, 3 và 5. Gi i T th ta có: f(1) không t n t i nên hàm không liên t c t i 1, f không có gi i h n t i 3, gi i hn c a hàm s ti 5 khác v i f(5) Nh v y hàm s không liên t c t i 1, 3 và 5. M t khác hàm s u xác nh t i các im g n v i các s 1, 3 và 5. Theo nh ngh a im gián on thì:1, 3 và 5 là các im gián on c a f. Sau ây là th ca m t vài hàm s : 42
  43. Trong m i hình trên, v th ta b t bu c ph i nh c ngòi bút kh i m t t gi y b i vì có l th ng ho c b v ho c xu t hi n các b c nh y. hình (a) và (c) cho th y ta có th b xung các giá tr hàm s ti im gián on có m t hàm m i liên t c, ch ng h n thì ta c g(x) liên t c t i 2, im gián on nh th c g i là im gián on b c. im gián on hình (b) c g i là im gián on vô c c . im gián on hình (d) c g i là im gián on b c nh y. b) Hàm liên t c m t phía NH NGH A • Hàm f liên t c bên ph i t i im a nu . • Hàm f liên t c bên trái t i im a nu . VÍ D 22 Hàm s f(x) = [ x ] (ph n nguyên c a x vi giá tr là s nguyên l n nh t bé h ơn ho c b ng x) có th Ti m i s nguyên n hàm này có: và nh th hàm liên t c ph i t i n và không liên t c trái t i n. LU Ý T các nh ngh a ta th y: Hàm s f liên t c t i a khi và ch khi liên tc trái và liên t c ph i ti a. c) Hàm s liên t c trên m t kho ng NH NGH A Hàm s c g i là liên t c trên m t kho ng n u nó liên t c t i m i im thu c kho ng ó (n u kho ng có ch a u mút thì hi u liên t c là liên t c m t phía). VÍ D 23 Ch ng minh r ng hàm s liên t c trên [-1; 1]. Gi i Nu -1 < a < 1 thì s dng các nh lý v gi i h n t i m t im ta c: tc là hàm f liên t c t i m i im thu c (-1; 1). 43
  44. Nu a = -1 thì . T ơ ng t : Nu a = 1 thì . Nh th , ta c hàm liên t c ph i t i -1 và liên t c trái t i 1. Theo nh ngh a trên, hàm ã cho liên t c trên [-1; 1]. d) M t vài nh lý v phép tính các hàm liên t c nh lý 11 Nu các hàm s f và g liên t c t i im a, thì các hàm s f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x)⋅g(x) cng liên t c t i a và f(x)/ g(x) c ng liên t c t i a nu g(a) ≠ 0. nh lý 18 Nu hàm s f liên t c t i im a và , thì . Nói cách khác H qu Nu hàm s f liên t c t i im a và hàm s g liên t c t i im b = f(a), thì hàm s g(f(x)) cng liên tc t i a. 2. Tính ch t c a hàm liên t c trên m t kho ng óng [ a; b ] nh lý v t min, max Hàm s f liên t c trên kho ng óng [ a; b] thì t min và max trên kho ng ó. Chú ý Hàm s f liên t c trên m t kho ng không ph i là kho ng óng, thì ch a ch c t min và max trên kho ng ó. VÍ D 24 f(x) = 1/ x liên t c trên (0; 1], t min = f(1) nh ng không t max trên (0; 1]. f(x) = x liên t c trên (0; 1), nh ng không t min và max trên (0; 1). nh lý v giá tr trung gian Gi s hàm s f liên t c trên kho ng óng [ a; b] và f(a) f(b). Khi ó t n t i v i m i s N nm gi a f(a) và f(b), thì t n t i ít nh t m t im c∈(a; b) sao cho f(c) = N Minh h a hình h c H qu Gi s hàm s f liên t c trên kho ng óng [ a; b] và f(a) f(b) < 0. Khi ó t n ti ít nh t m t im c∈(a; b) sao cho f(c) = 0. VÍ D 25 Hãy ch ra r ng ph ơ ng trình 4x3 – 6x2 + 3 x – 2 = 0 có m t nghi m n m gi a 1 và 2. 44
  45. $4 O HÀM VÀ VI PHÂN C A HÀM M T BI N Biên so n: NGUY N V N C 4.1 nh ngh a o hàm c a hàm s Bài toán tìm ti p tuy n v i ng cong t i m t im và bài toán tìm v n t c t c th i c a m t v t chuy n ng cùng d n n vi c ph i tìm gi i h n cùng ki u. Gi i h n ki u ó n u t n t i c g i là o hàm . Ti p tuy n c a m t ng cong: Cho th (C) c a hàm s y = f(x), ta mu n tìm ti p tuy n v i ( C) t i P(a, f(a)), tr c h t ta xét m t im Q(x, f(x)) g n im P và i tính h s góc c a cát tuy n PQ : Cho Q ti n n P dc theo ng cong b ng cách cho x ti n n a. N u ti n n s m, thì ta xác nh c ti p tuy n là ng th ng i qua P vi h s góc là m. Nh v y, xác nh c ti p tuy n ta ph i i tìm gi i h n: t , chính là l ng thay i c a bi n c l p, và g i là s gia bi n c l p thì ta có Vn t c t c th i: Mt v t chuy n ng trên m t ng th ng v i ph ơ ng trình chuy n ng là s = f (t), trong ó s là quãng ng v t i c sau kho ng th i gian là t. Hàm f mô t quãng ng ca v t i c sau kho ng th i gian là t và c g i là hàm nh v ca v t. Trong kho ng th i gian t t = a n t = a + vt i c m t quãng ng là f(a + ) – f(a). Vn t c trung bình trong kho ng th i gian này là: ư ư 45
  46. Nu ta tính v n t c trung bình trong kho ng th i gian [ a, a + ] ngày càng ng n, ngh a là càng gn 0, thì ta càng th y rõ c v n tc c a v t t i th i im g n th i im a. Ta g i v t t c t i th i im a, ký hi u b i v(a), là gi i h n , n u t n t i. t , ta c: Trong c hai tình hu ng trên u d n n cùng m t kiu gi i h n, ki u gi i h n này còn xu t hi n trong hóa h c, kinh t , t ó n y sinh nhu c u tìm hi u v gi i h n ca m t hàm nói chung, n u gi i h n này t n ti thì c g i là o hàm c a hàm s ti a. Khái ni m này c phát bi u trong nh ngh a sau ây. NH NGH A o hàm c a hàm s y = f(x) t i s a, c ký hi u là f’ (a), là nu gi i h n t n t i. T nh ngh a o hàm c a hàm s ta th y: H s góc c a ti p tuy n v i ng cong ( C) t i P(a, f (a)) chính là b ng o hàm c a f ti a: f’ (a); v n t c t i th i im a ca v t chuy n ng theo ph ơ ng trình s = f (t) chính là v(a) = f’ (a). CHÚ Ý: t , ta c Tìm hi u thêm v khái ni m o hàm Tc thay i: Gi s rng y là m t i l ng ph thu c vào i l ng x, c th y là hàm c a x c bi u th bi y = f(x). N u x bi n thiên t x1 n x2, thì x ã thay i m t l ng (g i là s gia ca x) là Khi ó y thay i m t l ng t ng ng là , g i là s gia c a hàm s T s c g i là t c thay i trung bình c a y tơ ng ng vi x trên kho ng và nó c ng chính là h s góc c a cát tuy n PQ (Hình trên). Tơ ng t nh v i v n t c, ta xét t c thay i trung bình trên các kho ng r t nh bng cách cho x2 ti n n x1, t c là cho ti n n 0. Gi i h n c a t c thay i trung bình khi ti n n 0 46
  47. c g i là tc thay i t c th i c a y i v i x ti x = x 1 (g i t t là t c thay i c a y i vi x ti x1). Nh v y, tr c ây ta hi u o hàm f’( a) là h s góc c a ti p tuy n v i th ti im có hoành là a, bây gi ta còn th y r ng: f ’(a) chính là t c thay i t c th i c a y i v i x t i x = a. Hai cách hi u này có quan h mt thi t n nhau. Giá tr ca y bi n i r t nhanh t i P và ch m t i Q Khi h s góc l n thì dc c a ng cong l n và do ó giá tr ca hàm s thay i nhanh, còn khi h s góc nh thì ng cong t ơ ng i b ng ph ng t c là giá tr ca hàm s tng không l n. Giá tr cn biên trong kinh t : Gi s C(x) là chi phí mà m t công ty ph i b ra khi s n xu t x sn ph m. Hàm C c g i là hàm chi phí . N u s sn ph m c s n xu t t ng t x1 n x2, thì t ng chi phí phát sinh thêm là và t c thay i trung bình ca t ng chi phí theo s s n phm là Gi i h n c a bi u th c này khi chính là t c thay i t c th i c a t ng chi phí i v i s sn ph m làm ra t i x = x1, các nhà kinh t gi là chi phí c n biên , nh v y Tng chi phí c n biên = C Khi ch n và s n xu t ra n sn ph m ( n ln là nh khi so v i n), ta có t ng chi phí cn biên m c n sn ph m là: ngh a là t ng chi phí c n biên mc n sn ph m thì cho ta th y m c t ng chi phí t ng khi làm thêm sn ph m th n +1 ng th i c ng cho phép ta c oán chi phí làm s n ph m th n + 1. Các nhà kinh t còn tìm hi u v : Lng c u c n biên, doanh thu c n biên, l i nhu n c n biên, ó là o hàm c a hàm c u, hàm doanh thu, hàm l i nhu n, t ơ ng ng. LU Ý: Nu hàm chi phí là C = C (Q) thì chi phí c n biên c ký hi u là MC( Q) = C’( Q) (MC vi t t t c a t marginal cost); n u hàm doanh thu là R = R (Q) thì doanh thu c n biên là MR( Q) = R’( Q) ; và c nh v y. VÍ D 1 Quan h gi a s vé bán c Qd (l ng c u) và giá m t vé P ca m t hãng xe buýt là nh sau: Qd = 10 000 - 125 P. Hãy tìm l ng c u c n biên khi P = 30. 47
  48. Gi i Lng c u c n biên khi P = 30 là: MQ Q d = d’(30) = . iu này ngh a là: N u t ng giá vé t 30 ( ơ n v ) lên 31( ơ n v ) thì s vé bán c s gi m 125 vé. Bi vì o hàm c a hàm s ti m t s th c c nh ngh a d a vào gi i h n c a hàm s nên ta có khái ni m o hàm trái, o hàm ph i và iu ki n c n có o hàm: NH NGH A O HÀM M T PHÍA * o hàm bên ph i c a hàm s y = f(x) t i s a, c ký hi u là f’ (a+), là nu gi i h n t n t i. * o hàm bên trái c a hàm s y = f(x) t i s a, c ký hi u là f’ (a-), là nu gi i h n t n t i. T nh ngh a này ta hi u hàm s có o hàm trên kho ng (a; b) ngh a là có o hàm t i m i im thu c (a; b) và hàm s có o hàm trên [a; b] ngh a là hàm s có o hàm trên (a; b), có o hàm trái t i b và o hàm ph i t i a. nh lý 1. Hàm s có o hàm t i a khi và ch khi t n t i o hàm trái, o hàm ph i và hai o hàm b ng nhau. Nu bi t hàm s liên t c t i a thì li u hàm s có o hàm t i a hay không và ng c l i? nh lý sau tr li câu h i ó. nh lý 2. Nu hàm s có o hàm t i a thì liên t c t i ó. CHÚ Ý: iu ng c l i không ph i lúc nào c ng úng. Ch ng h n hàm f(x) = | x | liên t c t i 0. Tuy nhiên , t c là hàm s không có o hàm t i 0. 4.2 CÁC CÔNG TH C VÀ QUY T C TÍNH O HÀM 1. o hàm c a các hàm s c p c b n • (C)’ = 0 • (ax)’ = axln a 1 • (log a|x| )’ = (x ≠ 0) x ln a • (x)’ = 1 ∀x∈ R • (xα)’ = αxα - 1 vi α ≠ 1 và * x ∈ R, n u α là s nguyên ≥ 2; * x ∈ R*, n u α là s nguyên âm; * x ∈(0; + ∞), n u α∈ R\Z. • ( )’ = vi + x > 0 n u n chn; + ∀x∈ R* n u n l. • (sin x)’ = cos x 48
  49. • (cos x)’ = -sin x • (tan x)’ = ∀x ≠ • (cot x)’ = ∀x ≠ • (arcsin x)’ = , ∀x∈(-1; 1) • (arccos x)’ = , ∀x∈(-1; 1) • (arctan x)’ = • (arccot x)’ = 2. Các quy t c tính o hàm nh lý 3 Nu f và g u có o hàm t i a, thì • (f + g)’( a) = f ’( a) + g’( a); • (f - g)’( a) = f ’( a) - g’( a); • (f⋅g)( a)’ = f ’ (a)⋅g(a) + f(a)⋅g’ (a); • Vi g(a) ≠ 0, thì nh lý 4 Nu hàm s u(x) có o hàm t i x = a và hàm s f(u) có o hàm t i u = u(a), thì h(x) = f(u(x)) có o hàm t i x = a, và h’( a) = f ’( u)u’ (a). Nh v y, dùng nh lý 3 và nh lý 4 cùng v i b ng o hàm c a các hàm s ơ c p ta có th tính o hàm c a r t nhi u hàm s khác. VÍ D 2 Tìm o hàm c a các hàm s : a) b) c) vi x > 0 d) f(x) = ti x = 0. VÍ D 3 Cho chi phí trung bình sn xu t m t ơ n v sn ph m khi s n xu t Q sn ph m là: Tìm chi phí c n biên i v i Q. Chi phí c n biên là bao nhiêu khi m c s n xu t Q = 500. 3. Quy t c L’Hospital kh dng vô nh khi tính gi i h n Trong bài tr c ta ã dùng ph ơ ng pháp thay th các VCB kh dng các vô nh. Trong m c này, ta xét m t ph ơ ng pháp dùng o hàm kh dng vô nh và . nh lý 5 (Quy t c L’Hospital) Gi s: các hàm s f và g có o hàm t i các im trong mt kho ng I ch a a(có th không xác nh t i a) và g’ (x) ; t n t i ho c là vô c c. Nu và ho c và , thì CHÚ Ý 1: Quy t c L’Hospital phát bi n r ng gi i h n c a th ơ ng hai hàm s bng gi i h n c a th ơ ng hai o hàm c a chúng, mi n là các iu ki n trong gi thi t c a quy t c ph i th a mãn. c bi t ph i xác nh c d ng vô nh c a gi i h n tr c khi s dng quy t c. 49
  50. CHÚ Ý 2: Quy t c L’Hospital v n úng khi thay quá trình bi m t trong các quá trình . CHÚ Ý 3: Ta có th áp d ng quy t c này nhi u l n trong khi tìm m t gi i h n. CHÚ Ý 4: Nu có thì không th kt lu n . VÍ D 4 Tìm gi i h n . Gi i Gi i h n có d ng . Ta i tính . Theo quy t c L’Hospital, ta c . VÍ D 5 Tìm gi i h n . Gi i Gi i h n ph i tìm có d ng . Ta i tính . Ta l i c d ng , ta li tính . Nh v y . VÍ D 6 Tìm gi i h n . Gi i Gi i h n ph i tìm có d ng . Ta có . Theo quy t c L’Hospital, ta c . LU Ý: Các d ng vô nh khác u có th chuy n qua d ng ho c bng cách bi n i bi u th c di d u gi i h n. M t cách hình th c: • Dng . • Dng : , thành d ng • Dng : , thành vi c i tìm gi i h n vô nh d ng: . VÍ D 7 Tìm các gi i h n: . Tuy nhiên có tr ng h p không áp d ng c quy t c L’Hospital, ch ng h n nh trong ví d sau. VÍ D 8 Tìm gi i h n . Gi i Nh n th y gi i h n ph i tìm là d ng , ta xét . Gi i h n này không t n t i (Hãy gi i thích?) nên không áp d ng c quy t c L’Hospital. Kh bng cách chia c t và m u cho x, ta c . Bn có bi t? Quy t c L’Hospital th c ra là c a Johann Bernoulli. N m 1694 Bernoulli ng ý nh n ti n công mi n m 300 b ng t L’Hospital (h c trò c c a Bernoulli) gi i m t s bài toán cho L’Hospital, trong ó có bài toán tìm gi i h n 0/0. Sau ó, n m 1696 L’Hospital công b mt cu n sách trong ó có quy t c tìm gi i h n d ng 0/0, nh ng không ghi rõ ai là tác gi . 50
  51. $5 O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO Biên so n: NGUY N V N C 5.1 Khái ni m vi phân 1. nh ngh a Gi s hàm y = f(x) có o hàm t i im a. Khi ó, t (s gia i s ) và (s gia hàm s tơ ng ng) thì ta c: tơ ng ơ ng v i tc là hay . Ta g i giá tr x p x cho bng cách b i , là vi phân c a hàm s ti a. Nh v y, là vi phân c a hàm t i a. M t cách t ng quát, ta có nh ngh a sau ây: NH NGH A Cho hàm f xác nh trong m t kho ng ch a a. + Ta nói f kh vi t i im a nu t n t i s th c A sao cho + Khi ó, bi u th c c g i là vi phân c a hàm f t i a , bi u th c ó c ký hi u là df (a) ho c df ho c dy . VÍ D 1 Ch ng minh r ng hàm kh vi t i x = 1. Tìm vi phân df (1). Gi i Ta có + Theo nh ngh a hàm ã cho kh vi t i 1. + df (1) = . 2. Quan h gi a o hàm và vi phân T mc trên ta th y: Hàm s có o hàm t i a, thì hàm kh vi t i a và vi phân c a hàm s là . Ng c l i: “Hàm kh vi t i a, thì có o hàm t i a” có úng không? Ta có: hàm kh vi t i a thì t n t i s th c A sao cho Nên , t c là t n t i o hàm t i a và f’( a) = . T trên ta c nh lý nh sau: nh lý 1 Hàm s kh vi t i a khi và ch khi t n t i f’( a). Khi ó: df (a) = f’( a) . Nh n xét: Khi g(x) = x, thì g’( x) = 1 nên dg (x) = dx = . Nh v y, df (a) = f’( a) suy ra . 51
  52. 3. ng d ng c a vi phân tính g n úng Ta có , t c là Công th c x p x này cho phép ta tìm giá tr gn úng c a hàm f ti theo các thông tin t i a. Tt nhiên ta ch dùng công th c này trong khi vi c tính giá tr ca hàm s ti gp khó kh n. VÍ D 2 Tính g n úng n là s t nhiên l n h ơn ho c b ng 2. Gi i Xét hàm , ch n . Ta có , nên . M t khác . Theo công th c tính g n úng: 4. Các quy t c tính vi phân T quan h gi a o hàm và vi phân và các quy t c tính o hàm ta c các quy t c tính vi phân c phát bi u trong nh lý sau. nh lý 2 Nu các hàm s f và g kh vi t i im a, thì t i im ó ta có d(f + g)( a) = df (a) + dg (a); d(f - g)( a) = df (a) - dg (a); d(f g)( a) = g(a)df (a) + f(a)dg (a); 5.2 o hàm c p cao và vi phân c p cao 1. o hàm c p cao * Gi s là m t hàm s có o hàm t i m i x thu c ( c; d ). Khi ó v i m i x (c; d ) ta xác nh c duy nh t m t s là , t c là ta có m t hàm s f’ xác nh trên ( c; d ). N u t i hàm s này có o hàm thì ta g i o hàm này là o hàm c p 2 c a f t i a , ký hi u b i ho c ho c . * M t cách t ng quát: Gi s tn t i o hàm c p n -1 ( n ) c a hàm f và ký hi u là . o hàm c p n ca hàm f ti a là o hàm c a ti a, c ký hi u là ho c . VÍ D 3 a) f(x) = ax có f(n)(x) = ax(ln a)n. b) f(x) = xα (α∈R) có f (n)(x) = α(α-1)( α-2) ⋅⋅⋅(α-n+1) xα-n. c) f(x) = ln| x| có f (n)(x) = (-1) n(n - 1)! x-n. (n) d) f(x) = sin x có f (x) = . (n) e) f(x) = cos x có f (x) = . 2. Vi phân c p cao Ta còn g i df = f ’( x)dx là vi phân c p 1 ca f ti x. V i dx không i, khi im x thay i, df cng thay i theo, do ó nó là m t hàm s ca x. N u hàm s này c ng có vi phân t i x, thì vi phân ó c g i là vi phân c p 2 ca f ti x, ký hi u là d2f ho c d2y. C th , ta có d2f = d(df ) = d(f ’( x)dx ) = d(f ’( x)) dx = f ”( x)dxdx = f ”(x)( dx )2. Mt cách t ng quát, vi phân c p n ca f ti x là vi phân c a vi phân c p n – 1 c a nó (n u chúng t n ti), ký hi u là dnf ho c dny dnf (x) = d(d(n-1) f) = f(n)(x)( dx )n. 52
  53. 5.3 M T S NH LÝ C B N V HÀM KH VI 1. nh lý FERMAT Xét hàm s vi th nh hình sau: Hàm s xác nh trên m t kho ng nh ch a im c và v i m i x thu c kho ng ó và thì f(x) f(d). Ta nói d là im c c ti u c a hàm s . im cc i, im c c ti u c g i chung là im c c tr . nh lý Fermat (v iu ki n c n c a c c tr ) Cho hàm s xác nh trên kho ng ( a; b ). N u f(x) t c c tr ti im và tn t i , thì . Fermat là tên c a m t nhà toán h c ng i Pháp. V n ông là m t lu t s , ông coi làm toán ch là m t thú vui. M c dù v y, ông ã có nh ng k t qu nghiên c u ki t xu t. Ông c coi là m t trong hai ng i(ng i kia là Descartes) sáng t o ra hình h c gi i tích. V mt hình h c, nh lý trên cho bi t n u hàm t c c tr ti im c và t n t i o hàm t i im ó, thì ti p tuy n v i th ti ( c; f(c)) song song v i tr c hoành. LU Ý: Mnh o c a nh lý trên không úng, ch ng h n xét hàm y = x3 ti x = 0! 2. nh lý ROLLE nh lý quan tr ng trong bài này là nh lý Giá tr Trung bình, nh ng có c nó ta ph i bi t c nh lý sau. nh lý Rolle Nu hàm f th a mãn c ba gi thi t sau ây: a. f liên t c trên kho ng óng [ a; b ], b. f kh vi trên kho ng m (a; b ), c. f(a) = f(b). thì t n t i m t s c trong kho ng ( a; b) sao cho . nh lý Rolle xu t hi n l n u tiên vào n m 1691 trong m t cu n sánh có tên Méthode pour resoudre les égalité , nh lý này ưc nhà toán h c ng ưi Pháp Michel Rolle (1652-1719) tìm ra. V mt hình h c: Nu các gi thi t c a nh lý c th a mãn, thì t n t i m t im c trong (a; b ) sao cho ti p tuy n t i ( c; f (c)) song song v i tr c hoành. VÍ D 1 Áp d ng nh lý Rolle cho ph ơ ng trình chuy n ng s = f (t) c a m t v t. N u v t ó cùng m t v trí t i hai th i im khác nhau t = a và t = b , thì f(a) = f(b). nh lý Rolle nói r ng có mt th i im nào ó là t = c nm gi a a và b; v n t c c a chuy n ng b ng 0.(Tr ng c bi t, ta có th th y iu này là úng khi m t qu bóng c ném theo ph ơ ng th ng ng.) 53
  54. 3. nh lý Lagrange ( nh lý Giá tr Trung bình) ây là nh lý quan tr ng, ta dùng nh lý Rolle ch ng minh. nh lý này c nhà toán h c ng i Pháp, Joseph-Louis Lagrange, a ra. nh lý Giá tr Trung bình Gi s f là m t hàm th a mãn các gi thi t sau ây: a. f liên t c trên kho ng óng [ a; b ], b. f kh vi trên kho ng m (a; b ), thì t n t i m t s c trong kho ng ( a; b ) sao cho: ho c t ơ ng ơ ng là Tr c khi ch ng minh, ta quan sát hình v sau th y c v mt hình h c, nó là nh th nào. Các hình trên cho th y, h s góc c a cát tuy n AB là: Mt khác: là h s góc c a ti p tuyn vi th ti im ( c, f (c)). nh lý Giá tr Trung bình phát cho th y có ít nh t m t im P(c, f (c)) trên th mà ti p tuy n t i ó song song v i cát tuy n AB . Ch ng minh Xét hàm s , 54