›
›

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

pdf 70 trang Đức Chiến 05/01/2024 530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_2_dao_ham_rieng_v.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung 0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Cơng thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng
  3. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Định nghĩa đạo hàm riêng theo x. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm M0(,) x 0 y 0 cố định. Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x. Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x của f(x,y) tại M0(,) x 0 y 0 , ký hiệu f(,)()() x0 y 0' F x 0 x F x 0 fx ( x0 , y 0 ) lim x x 0 x f(,)(,) x y f x y lim 0 0 0 0 x 0 x
  4. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Định nghĩa đạo hàm riêng theo y. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm M0(,) x 0 y 0 cố định. Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y. Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 được gọi là đạo hàm riêng theo y của f(x,y) tại M0(,) x 0 y 0 , ký hiệu f(,)()() x0 y 0' F y 0 y F y 0 fy ( x0 , y 0 ) lim y y 0 y f(,)(,) x y y f x y lim 0 0 0 0 y 0 y
  5. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ghi nhớ. Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại M0(,) x 0 y 0 theo x là đạo hàm của hàm một biến f = f(x,y0). Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại M0(,) x 0 y 0 theo y là đạo hàm của hàm một biến f = f(x0,y). Qui tắc tìm đạo hàm riêng. Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến cịn lại y là hằng số.
  6. f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh) Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S. Cố định y = b. Đường cong C1 là giao của S và mặt phẳng y = b. Phương trình của đường cong C1 là g(x) = f(x, b). Hệ số gĩc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 là '' g()(,) a fx a b Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số gĩc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c). Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số gĩc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 tại P(a,b,c).
  7. 2 2 ' Ví dụ. Cho hàm f( x , y ) 4 x 2 y . Tìm fx (1,1) và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. ' 2 2 ' fx( x , y ) (4 x 2y ) x 2x ' fx (1,1) 2.1 2 Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh. Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được đường cong C1. Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số gĩc của tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
  8. ' 2 2 Biễu diễn hình học của fx (1,1) với f ( x , y ) 4 x 2 y
  9. 2 2 ' Ví dụ. Cho hàm f( x , y ) 4 x 2 y . Tìm f y (1,1) và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. '2 2 ' fy( x , y ) (4 x 2 y ) y 4 y ' f y (1,1) 4.1 4 Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh. Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2. Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số gĩc của tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
  10. ' 2 2 Biễu diễn hình học của fy (1,1) với f ( x , y ) 4 x 2 y
  11. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Tính chất của đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến. '' ''' 1) ( f )x f x 2) (f g )x f x g x ' '' ' '' gf fg 3) f g f  g f  g f x x x x x 4) 2 g x g Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm cĩ đạo hàm cấp 1 tại x0. Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng khơng liên tục tại điểm này. Giải thích!
  12. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ '' f( x , y ) ln( x2 2 y 2 ) Tìm đạo hàm riêng fx(1,2), f y (1,2) , biết ' Giải. f'( x , y ) ln( x 2 2 y 2 ) x x ' 2x ' 2 fx (,) x y f (1,2) x2 2 y 2 x 9 ' f'( x , y ) ln( x 2 2 y 2 ) y y ' 4y ' 8 fy (,) x y f (1,2) x2 2 y 2 y 9
  13. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ '' f( x , y ) ( x 2 y ) y Tìm đạo hàm riêng fx(1,2), f y (1,2) , biết ' Giải. f' ( x , y ) ( x 2 y ) y x x 'y 1 ' fx ( x , y ) y ( x 2 y ) fx (1,2) 10 lnf y ln( x 2 y ) ' f 2 Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta cĩ y ln(x 2 y ) y  f x 2 y ' y 2 fy (,) x y ( x 2) y ln( x 2) y y  x 2 y 4 f' ( x , y ) 25(ln5 ) y 5
  14. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Cho f(,) x y x2 y 3 . ' ' ' 1) Tìm fx (1,1) 2) Tìm fx (0,0) 3) Tìm f y (0,0) ' x ' 1 Giải. 1) f' ( x , y ) x 2 y 3 f (1,1) x x x x2 y 3 2 ' 2) Khơng thể thay (0,0) vào cơng thức để tìm fx (0,0) . Ta sử dụng định nghĩa 2 ' f(0 x ,0) f (0,0) ( x ) 0 0 | x | fx (0,0) lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x Khơng tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải khơng bằng nhau. 3 ' f(0,0 y ) f (0,0) ( y ) 0 Tương tự f y (0,0) lim lim 0 y 0 y y 0 y
  15. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ 2 2 x y t2 Cho f(,) x y e dt 1 '' Tìm fx( x , y ), f y ( x , y ). Giải. ' 2 2 2 x y 2 x2 y 2 ' ' t 2 2 x2 y 2 x f(,) x y e dt e  x y e  x 2 2 1 x x y x Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y. ' x2 y 2 y fy (,) x y e  x2 y 2
  16. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ 2 2 e 1/(x y ),nếu x 2 y 2 0 Cho f(,) x y 2 2 0,nếu x y 0 ' Tìm fx (0,0). Giải. 1/( x )2 ' f(0 x ,0) f (0,0) e fx (0,0) lim lim x 0 x x 0 x 1 Đặt t , suy ra t . x ' t2 fx (0,0) lim te 0 (sử dụng qui tắc Lopital) t
  17. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Cho hàm hai biến f = f(x,y). Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y: ' Ta cĩ thể lấy đạo hàm riêng của hàm fx (,) x y : 2 ' 2 '  f ' ''  f f'(,)(,)(,) x y f '' x y x y fx(,)(,)(,) x y f xx x y 2 x y x xy x x y x  y ' Tương tự cĩ thể lấy đạo hàm riêng của hàm fy (,) x y : 2 ' 2 '' ''  f ' ''  f f(,)(,)(,) x y f x y x y fy(,)(,)(,) x y f yy x y 2 x y y x yx y  x y y Tiếp tục quá trình, ta cĩ khái niệm các đạo hàm cấp cao. Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng cơng thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thơng dụng.
  18. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Chú ý. 2f  2 f Nĩi chung (,)(,)x y x y , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp x y0 0  y x 0 0 cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm. Định lý ' ' '' '' Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng fx,,, f y f xy f yx xác định trong lân cận của (,)x0 y 0 và liên tục tại điểm này. Khi đĩ 2f  2 f (,)(,)x y x y x y0 0  y x 0 0 Chứng minh:
  19. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm f( x , y ) ex sin y thỏa phương trình Laplace 2f  2 f 0 x2  y 2 ' x '' x Giải. fx ( x , y ) e sin y fxx esin y ' x '' x fy ( x , y ) e cos y fyy esin y 2f  2 f exsin y e x sin y 0 x2  y 2 Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hịa. Hàm điều hịa đĩng vai trị quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential, .
  20. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm u( x , t ) sin( x at ) thỏa phương trình sĩng 2u  2 u a2 t2  x 2 ' '' 2 Giải. ut ( x , t ) a cos( x at ) utt asin( x at ) ' u'' sin( x at ) ux ( x , t ) cos( x at ) xx 2u  2 u a2 a 2 sin( x at ) t2  x 2 Phương trình sĩng mơ tả sự chuyển động của các loại sĩng: sĩng biển, sĩng âm thanh hay sĩng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.
  21. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ 1 2 2 Chứng tỏ rằng u(,) t x e x/(4 a t ) thỏa phương trình truyền nhiệt 2a t u 2 u a2 t x2 2 2 12 2 2x x 2 a t 2 2 Giải. ' x /(4 a t ) '' x /(4 a t ) ux (,) x t e  2 uxx (,) x t 5 2 e 2a t 4a t ) 8a t t ' 2 2 u 1 2 2 x 2 a t 2 2 e x/(4 a t ) x/(4 a t ) 3 2 e t 2a t t 8a t t u 2 u a2 t x2
  22. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ xy 2 2 2 2 ,nếu x y 0 Cho f(,) x y x y 2 2 0,nếu x y 0 '' Tìm fxx (0,0). Giải. 0 0 ' f(0 x ,0) f (0,0) lim 0 fx (0,0) lim x 0 x x 0 x 3 2 y yx 2 2 ,nếu x y 0 ' 2 2 2 h(,)(,) x y fx x y x y 2 2 0,nếu x y 0
  23. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Tìm đạo hàm riêng cấp hai '' ' h(0 x ,0) h (0,0) fxx(0,0) h x (0,0) lim x 0 x '' 0 0 fxx (0,0) lim 0 x 0 x '' '' '' Tương tự tìm được f yy (0,0) 0 và fxy(0,0);  f yx (0,0) Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm ' ' riêng cấp một fx (,) x y tại mọi điểm (tức là tìm hàm fx (,) x y ). Hàm này cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng khơng liên tục tại đây.
  24. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ 100 f Cho hàm u( x , y ) (2 x 3 y )ln( x 2 y ) . Tìm (1,2). x100 Giải. Sử dụng cơng thức Leibnitz, coi f(x,y) là hàm một biến theo x. Đặt ufgfxy . ; ( , ) 2 x 3 ygxy ; ( , ) ln( x 2 y ) 100 f (xyCfg , ) 0 (0) (100) Cfg 1 ' (99) Cfg 2 '' (98) x100 100x x 100 x x 100 x x 1 f' 2; f '' 0; g(n ) ln( x 2) y ()n (1) n 1 ( n 1)! x xx x x (x 2 y )n 100f ( 1) 99  99! ( 1) 98  98! (x , y ) C0 (2 x 3 y )  C 1 2  0 x100100( x 2 y ) 100 100 ( x 2 y ) 99
  25. Cho f cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục C và C là hai đường cong tạo 1 2 n nên do hai mặt y = b và x =a cắt S Điểm P nằm trên cả hai đường này. Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến với hai đường cong C1 và C2 tại P. Mặt phẳng () chứa T1 và T2 gọi là mặt phẳng tiếp diện với mặt S tại P. Tiếp tuyến với mọi đường cong nằm trong S, qua P đều nằm trong () . Phương trình mặt tiếp diện với S tại (x0, y0, z0) là: '' zz 0 fxyxxx( 0 , 0 )( 0 ) fxyyy y ( 0 , 0 )( 0 )
  26. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic z 2 x2 y 2 tại điểm (1,1,3). '' Giải. fx 4 x f x (1,1) 4. '' fy 2 y f y (1,1) 2. Phương trình mặt phẳng tiếp diện: '' zz 0 fxyxxx( 0 , 0 )( 0 ) fxyyy y ( 0 , 0 )( 0 ) z 3 4( x 1) 2( y 1) z 4 x 2 y 3 L ( x , y )
  27. Nếu tại điểm tiếp xúc ta phĩng to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện.
  28. Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2 khi mà (x,y) gần với điểm (1,1). f( x , y ) 4 x 2 y 3 (1.1,0.95) f (1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3 Gần bằng với giá trị thực: f (1.1,0.5) 2(1.1)2 (0.95) 2 3.3225 Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả khơng cịn đúng nữa. (2,3) f (2,3) 4(2) 2(3) 3 11 Khác xa với giá trị thực: f (2,3) 2(2)2 (3) 2 17
  29. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Định nghĩa Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định. Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia tồn phần fxy(,)(,)(,)0 0 fx 0 xy 0 y fxy 0 0 cĩ thể biễu diễn được ở dạng f(,) x0 y 0 A x B y x  y trong đĩ A, B là các hằng số, ,  0, khi x , y 0. Định nghĩa Đại lượng df(,) x0 y 0 A x B y gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).
  30. '' z f(,)()() a b fx x a f y y b Mặt tiếp diện
  31. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Định lý (điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì: 1) f liên tục tại (x0, y0), '' 2) f cĩ các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và A fx( x0 , y 0 ), B f y ( x 0 , y 0 ) Chứng minh. Định lý (điều kiện đủ) Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và cĩ các đạo hàm riêng '' fx, f y liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Chứng minh.
  32. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ghi nhớ '' Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0): df(,)(,)(,) x0 y 0 fx x 0 y 0 dx f y x 0 y 0 dy Tính chất của vi phân Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đĩ 1) d ( f ) df 2) d ( f g ) df dg 3) d ( fg ) gdf fdg f gdf fdg 4) d ( ) g g 2
  33. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đĩ ta cĩ: '' f(,)(,)(,)(,) x0 x y 0 y f x 0 y 0 fx x 0 y 0 dx f y x 0 y 0 dy x  y '' f(,)(,)(,)(,) x y f x0 y 0 fx x 0 y 0 dx f y x 0 y 0 dy x  y '' f(,)(,)(,)(,) x y f x0 y 0 fx x 0 y 0 dx f y x 0 y 0 dy (1) Cơng thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y). '' Cơng thức (1) cĩ thể viết lại: f(,)(,)(,)(,) x y f x0 y 0 fx x 0 y 0 dx f y x 0 y 0 dy hay ta cĩ: f df
  34. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y). Ta thực hiện 1) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng '' 2) Tính giá trị xxx 0, yyyfxyfxy 0 ,x ( 0 , 0 ), y ( 0 , 0 ). 3) Sử dụng cơng thức: '' fxy(,)(,)(,)(,) fxy0 0 fxyx 0 0 xfxy y 0 0 y (1) Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được khơng phù hợp.
  35. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Chứng tỏ f = xexy khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá trị f (1.1, 0.1) Giải. xy xy2 xy fx(,);(,) x y e xye f y x y x e Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của (1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0). Chọn x0 1; y 0 0 x x x0 1.1 1.0 0.1 y y y0 0.1 0 0.1 '' f(1.1, 0.1) f (1,0) fx (1,0) x f y (1,0) y 1 1(0.1) 1( 0 .1) 1 So sánh với giá trị thực: f(1.1, 0.1) (1.1) e 0.11 0. 9 8542
  36. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Cho f( x , y ) x2 3 xy y 2 1) Tìm df(,) x y 2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f '' Giải. 1) df(,) x y fx dx f y dy dfxy( , ) (2 x 3 ydx ) (3 x 2 ydy ) 2) Cho x0 = 2, y0 = 3 x 0.05, y 0.04, x 2.05, y 2.96 df (2,3) (2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3)( 0.04) 0.65 f(2,3) f (2.05,2.96) f (2,3) 2 2 2 2 0.6449 f (2,3) 2.05) 3  (2.5)  (2.96) (2.96) 2 3  2  3 3 Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.
  37. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Định nghĩa vi phân cấp cao Cho hàm f = f(x,y) khi đĩ df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y. Vi phân (nếu cĩ) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2. 2 '' '' d f( x , y ) d ( df ( x , y )) d() fx dx f y dy d()() fx dx d f y dy dxd()() f'' dyd f '''''''' x y dx ()()()() fx x dx f x y dy dy f y x dx f y y dy '' '' '' '' fxx dxdx f xy dxdy f yx dxdy f yy dydy 2 '' 2 '' '' 2 d f( x , y ) fxx dx 2 f xy dxdy f yy dy Một cách hình thức, cĩ cơng thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton n n   d f dx dy f x  y
  38. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Cơng thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y) 3 3   d f dx dy f x  y 3 2 2 3       f 3 dx dy f 3 dx dy f dy f x  x  y  x  y  y 3f  3 f  3 f  3 f d3 f dx 3 3 dx 2 dy 3 dxdy 2 dy 3 x3  x 2  y  x  y 2  y 3 4 4   Cơng thức vi phân cấp 4: d f dx dy f x  y 4 4 4 4 4 041f  f 32  f 223  f 344  f C4 dx C 4 dx dy C 4 dx dy C 4 dxdy C 4 dy x4  x 3  y  x 2  y 2  x  y 3  y 4
  39. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Tìm vi phân cấp hai d2 f (1,1), biết f(,) x y exy 'xy '' 2 xy '' xy Giải. fx ye f xx y e, f xy e (1 xy ) 'xy '' 2 xy fy xe f yy x e . Vi phân cấp hai 2 '' 2 '' '' 2 d f fxx dx 2 f xy dxdy f yy dy d2 f( x , y ) exy y 2 dx 2 2 (1 xy ) dxdy x 2 dy 2 d2 f(1,1) e dx 2 4 dxdy dy 2
  40. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Tìm vi phân cấp hai d2 f (1,1), biết y f(,) x y x y2 y 1 Giải. f' f '' , f '' xx2 xx x 3 xy x 2 1 f' f '' 0. yx yy Vi phân cấp hai 2 '' 2 '' '' 2 d f fxx dx 2 f xy dxdy f yy dy y4 y d2 f( x , y ) dx 2 dxdy 0 dy 2 x2 x 3 d2 f(1,1) dx 2 4 dxdy
  41. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng A (1.03)2 (1.98) 3 Giải. Chọn hàm f(,) x y x2 y 3 Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98: x0 1, y 0 2 dx x x x0 1.03 1 0.03 dy y y y0 1.98 2 0.02 2 '' 2x 3 y f f(,)(,) x y f x0 y 0 df fx dx f y dy dx dy x2 y 32 x 2 y 3 '' f(1.03,1.98) f (1,2) fx (1,2).(0.03) f y (1,2)( 0.02) 2 3.4 A (1.03)2 (1.98) 3 f (1.03,1.98) 3 (0.03) ( 0.02) 2.98 3 2.3
  42. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Hàm một biến f f() u ''' f()()() x f u  u x u u() x Hàm hai biến: trường hợp 1 f f() u '''''' fx f();() u  ux f y f u  uy u u(,)x y Trường hợp 2. f f(,) u v ''''' uux ()()()() fx fuxu  fvx v  v v() x
  43. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ 2 Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp f f( u ) eu , u sin( xy ) 2 Giải. f f(,) x y esin (xy ) ''' u2 sin2 (xy ) fx f( u )  u x 2 ue . y cos( xy ) 2sin(xy ) e . y cos( xy ) ''' u2 sin2 (xy ) fy f( u )  u y 2 ue . x cos( xy ) 2sin(xy ) e . x cos( xy ) Ví dụ ' 3x 2 Tìm fx , biết f f( u , v ) u v ln( uv ), u e , v sin x df ''''' 21 x 3 1 Giải. f()()() x f  u x f  v x 3u v e u sin(2 x ) dx u v u v
  44. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Trường hợp 3 f f(,) u v ''''' fx fu  u x f v  v x u u(,) x y ''''' fy fu  uy fv  v y v v(,) x y ' f = f(u,v) fx u = u(x,y) v = v(x,y) ' f y x y x y
  45. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ '' uv 2 2 Tìm fx, f y của hàm hợp f fuv(,),(,),(,) euxy x yvxy xy 2 2 Giải. f f(,) x y e()x y xy ''''' uv uv fx fu u  x fv v  x ve.2 xuey . ' (x2 y 2 ) xy 2 2 ( x 2 y 2 ) xy fx xye.2 x ( x y ) e . y ''''' uv uv fy f u  u y f v  v y ve.2 y ue . x ' (x2 y 2 ) xy 2 2 ( x 2 y 2 ) xy fy xye.2 y ( x y ) e . x
  46. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Trường hợp 4 f f(,) x y y y() x f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đĩ ta cĩ khái niệm đạo hàm riêng theo x: f f ' x x Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x: df f dx  f dy f  f dy    dx x dx  y dx x  y dx Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm df của f theo x như là đạo hàm dx f của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x. x
  47. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ f df xy 2 2 Tìm , của hàm ffxye ( , ) xyyyx , ( ) ln x 1 x x dx f ' exy x2 y ye xy 2 xy x x f ' exy x2 y xe xy x 2 y y dy ' 1 y'( x ) ln x 1 x 2 2 dx 1 x df f  f dy 1  yexy 2 xy ( xe xy x2 )  dx x  y dx 1 x2
  48. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Đạo hàm cấp hai của hàm hợp '' ''''' '' ' ' ' ' ' f f  u f  v fxx f x f u  u x f v  v x f f(,) u v x u x v x x x u u(,) x y ' fu là hàm v v(,) x y hợp hai biến u,v ' ''' '''''' ' ' '''''' f  u f  v fu ux f u u x fv  v x f v v x u x x v x x x x x x '' ' ' f''' u f v' u' f ' u '' f'  u''' f v v ' f '  v '' u u x u v x x u xx v u x v v x x v xx '' '2 '''' ''' '''' '' ' 2 ''' fuuu x     fvufu uv x x u xx fvufv vu x x vv x  fv v xx
  49. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ '' 2 2 Tìm fxy của hàm hợp f f(,) u v u 2,(,) v u x y xy ,(,) v x y x 3 y '' f' f '  u ' f '  v ' 2 u . y 2 2.1 f'' f ' 2 u . y 2 2 x u x v x xy x y y ' f'' 2 u . y 2 2 u ' . y 2 2 u .2 y xy y y Ví dụ '' uv 2 Tìm fxy của hàm hợp f f(,) u v e ,(,) u x y xy y ,(,)2 v x y x y ''''' uv uv '' uv uv ' fx f u  u x f v  v x ve. y ue .2 f ve. y ue .2 xy y '' euv. y veuv . y ve uv 2( x 2 y )euv 2 u e uv y y ' '' euv euv u'' e uv v veuv.( x 2 y ) ue uv .1 y uy v y
  50. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Đạo hàm cấp hai của hàm hợp f'() u là hàm f f() u ''' hợp một biến u fx f() u  u x u u(,) x y '' ' ' f'' f ' f '() u  u ' f'( u) u' f''( u)  u xx x x x x x x x x ' 2 f ''()()u u u u' f '() u u '' f''()() u  u ' f ' u  u '' x x xx x xx '' ' ' f'' f ' f '() u  u ' f'( u) u' f''( u)  u xy x y x y y x x y ''' ' ' '' '' ' ' ' '' f ()()u u u u f() u u f()() u  ux  u y f u  u xy y x xy
  51. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ '' 2 y Tìm fxy của hàm hợp f f( u ) ln u , u ( x , y ) xy e ' ' ' '1 2 '' '' 1 2 fx f(). u  u x y f f . y xy x y u u y ' '' 1 2 1 1y 2 1 fxy . y .2 y 2 (2xy e ). y .2 y u y u u u Ví dụ '' 2 y Tìm fxy của hàm hợp f f() x e 2 y '''' Đặt u(,) x y x e fx f( u )  u x f ( u ).2 x ' f'' f '( u ).2 x 2x . f'' ( u ). e y xy y
  52. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Vi phân cấp một của hàm hợp f f(,) u v u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập. u u(,) x y Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến v v(,) x y x, y độc lập. '' '''''''' df fx dx f y  dy fu  u x f v  v x dx f u  u y f v  v y dy '''''' '' fu u x dx u y dy f v v x dx v y dy fu du f v dv '' (1) df fu du f v dv Tùy theo bài tốn mà ta dùng cơng thức (1) hoặc '' (2). Thường dùng cơng thức số (1) df fx dx f y dy (2) Hai cơng thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập. Nên ta nĩi: vi phân cấp một cĩ tính bất biến.
  53. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ Tìm df của hàm hợp f f(,) u v euv ,(,) u x y xy2 ;(,)2 v x y x 3 y '' 2 df fu du f v dv du y dx 2 xydy dv 2 dx 3 dy df veuv( y2 dx 2 xydy ) ue uv (2 dx 3 dy ) euv( vy2 2 u ) dx e uv (2 vxy 3 u ) dy Ví dụ 1 Tìm df của hàm hợp f f( u ) , u ( x , y ) ln( x 2 y ) u 1 1 1 2 df f'() u du '' 2 ux dx u y dy 2 dx dy u u x 2 y x 2 y '' Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều cĩ thể dùng df fx dx f y dy nhưng việc tính tốn phức tạp hơn.
  54. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ Tìm df của hàm hợp f f( x2 2 y , exy ) Đặt u x2 2 y ; v exy Ta cĩ f fuvuxy(,);(,) x2 2,(,) yvxy exy du 2 xdx 2 dy dv yexy dx xe xy dy '' df fu du f v dv '' xy xy df fu(2 xdx 2 dy ) f v ( ye dx xe dy ) '' Chú ý: Cĩ thể dùng df fx dx f y dy
  55. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Vi phân cấp hai của hàm hợp f f(,) u v d2 f d() df d() f'' du f dv u u(,) x y u v '' v v(,) x y d fu du d f v dv Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv khơng là hằng số 2 ' ' ' ' d f d fu  du f u  d()() du d f v  dv f v  d dv '' fu, f v là những hàm hợp hai biến '' '' d f''' f du f dv d f''' f du f dv u u u u v v v u v v d du d2 u, d dv d 2 v Vi phân cấp hai khơng cịn tính bất biến.
  56. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Vi phân cấp hai của hàm hợp 2 ' f f() u d f d() df d(()) f u du u u(,) x y d f''()() u  du f u  d du ' d2 f f '()()() u u  du  du f ' u d 2 u f''()() u  du 2 f ' u d 2 u Tĩm lại: Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy biến.
  57. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ Tìm d2 f của hàm hợp f f(,)2 u v u v2 ;(,) u x y xy 2;(,) x v x y x 2 y 2 ' ' df fudu fvdv 2(y 2) dx xdy 2v2xdx 2 ydy d2 f d( df ) d 2 ( y 2) dx xdy 2 v 2 xdx 2 ydy d2 f d2 ( y 2) dx xdy  d 2 v 2 xdx 2 ydy  d2 f 2 d ( y 2) dx ) 2 d ( xdy 2 2 xdx 2 ydy dv 2 vd 2 xdx 2 ydy d(( y 2) dx ) dxd( y 2) dxdy d() xdy dxdy d 2 xdx 2 ydy d(2 xdx ) d (2 ydy ) 2dx2 2 dy 2
  58. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Ví dụ 2 Tìm d2 f của hàm hợp f f( x 3 y ) Đặt u x2 3 y Ta cĩ f f( u ); u ( x , y ) x2 3 y df f'() u du ú f'( u )(2 xdx 3 dy ) d2 f d( df ) d ( f ' ( u )(2 xdx 3 dy )) d2 f (2 xdx 3 dy )  d ( f ' ( u )) f ' ( u )  d (2 xdx 3 dy ) d( f' ( u )) f''() u du f''( u )  (2 xdx 3 dy ) d(2 xdx 3 dy ) d(2 xdx ) d (3 dy ) 2dxdx 0 2dx2
  59. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Giả sử phương trình F( x , y ) 0 xác định một hàm ẩn y y() x sao cho F( x , y ( x )) 0 với mọi x thuộc miền xác định của f. Sử dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp: F dx  F dy F  F dy   0  0 x dx  y dx x  y dx ' dy F/  x Fx ' dx F/  y Fy
  60. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Ví dụ Tìm y'() x biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình xy x2 y 2 exy Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x. yexy 2 x y y x  y''' 2 x 2 y  y exy ( y x  y ) y' () x x 2 y xexy Cách 2. Sử dụng cơng thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng! 2 2 xy F( x , y ) xy x y e  0 F ' y 2 x yexy y' () x x F' x 2 y xexy ''xy xy y Fx y 2 x ye ; F y x 2 y xe Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
  61. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Giả sử phương trình F( x , y , z ) 0 xác định một hàm ẩn z z(,) x y . sao cho F( x , y , z ( x , y )) 0 với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z. Sử dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z là hàm theo x, y F dx  F  z F  F  z   0  0 x dx  z  x x  z  x ' ' z F/  x Fx z F/  y Fy ' ' x F/  z Fz y F/  z Fz
  62. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Ví dụ ' Tìm zx , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình x y z ez x y Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x. 1 ez x y 1 z'' ez x y ( z 1) z' 1 x x x 1 ez x y Cách 2. Sử dụng cơng thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng! z x y F( x , y , z ) x y z e  0 ' z x y ' Fx 1 e zx ' z x y 1 ''z x y z x y Fz 1 e Fx 1 e ; F z 1 e Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
  63. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Định lý (về hàm ẩn) . Cho hàm F(,) x y thỏa các điều kiện sau: 1) Xác định, liên tục trong hình trịn mở B(,) M0 r tâm M0(,) x 0 y 0 bán kính r F(,) x y 2) F(( x , y )) 0 3) 0 0 0 0 0 y FF  4) Tồn tại trong B(,) M r các đạo hàm riêng liên tục , 0 x  y Khi đĩ F( x , y ) 0 xác định trong lân cận U của x0 một hàm y y() x thỏa y0 y() x 0 và F( x , y ( x )) 0 trong U. Ngồi ra y = y(x) khả vi, liên tục trong U ' dy F/  x Fx ' dx F/  y Fy Chứng minh.
  64. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y) 1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách) ' ' ' F 2) z'' z ' x . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y. xy x y ' Fz y '' Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): dz zx dx z y dy Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y) 2 '' 2 '' '' 2 d z zxx dx 2 z xy dxdy z yy dy Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I.
  65. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Ví dụ Tìm dz(1,1) , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình x3 2 y 3 z 3 3 xyz 2 y 3 0, z (1,1) 2. F( x , y , z ) x3 2 y 3 z 3 3 xyz 2 y 3  0 ' 2 ' 2 ' 2 Fx 3 x 3 yz Fy 6 y 3 xz 2 Fz 3 z 3 xy ' 2 2 ' Fx 3x 3 yz yz x ' 1.( 2) 1.1 zx ' 2 2 zx (1,1) 1 Fz 3 z 3 xy z xy 4 1 F ' 6y2 3 xz 2 14 ' y z' (1,1) zy ' 2 y Fz 3 z 3 xy 9 14 Vi phân cấp 1: dz z'' dx z dy dx dy x y 9
  66. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Ví dụ '' Tìm zxy, biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình x2 y 2 z 2 ex y z F( x , y , z ) x2 y 2 z 2 ex y z  0 'x y z 2 2 2 'x y z 2 2 2 Fx 2 x e 2 x x y z Fz 2 z e 2 z x y z F ' 2x x2 y 2 z 2 Đạo hàm theo y, coi x là hằng, z' x x ' 2 2 2 y là biến, z là hàm theo y! Fz x y z 2 z 2 2 2 ' '' 2x x y z zxy 2 2 2 x y z 2 z y ''' ( 2y 2 z  zy ) mẫu tử  (2 y 2 z  z y 2  z y ) 2 x2 y 2 z 2 2 z
  67. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn Ví dụ 2 Tìm  z , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình x  y xyz x2 y 2 2 z 3 F( x , y , z ) xyz x2 y 2 2 z 3  0 ' ' ' Fx yz 2 x Fy xz 2 y Fz xy 2 ' ' Fx yz 2 x yz 2 x zx Coi x là hằng, y là biến, F' xy 2 2 xy z z là hàm theo y ' ' ' '' Fx yz 2 x zxy ' Fz y 2 xy y (z yz' )  2 xy ( yz 2 x )  ( x ) y 2 xy 2
  68. II. Bài tập
  69. II. Bài tập
  70. II. Bài tập