›
›

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Giới hạn và liên tục

pdf 63 trang Đức Chiến 05/01/2024 1340
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Giới hạn và liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_1_gioi_han_va_lie.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Giới hạn và liên tục

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Mục tiêu của mơn học Tốn 3 Mơn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến. Sinh viên sau khi kết thúc mơn học nắm vững các kiến thức nền tảng: hàm nhiều biến, giới hạn kép và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor, Maclaurint của hàm nhiều biến, ứng dụng của đạo hàm riêng: phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, ứng dụng tìm cực trị; cách tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đường: loại 1, loại 2; tích phân mặt: loại 1, loại 2 và các ứng dụng hình học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ.
  3. Giới hạn và liên tục Đạo hàm theo hướng Ứng dụng của đạo hàm riêng Tích phân kép Tích phân bội ba Tích phân đường loại 1 và loại 2 Tích phân mặt loại 1 và loại 2 Trường véctơ Tích phân phụ thuộc tham số
  4. Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!). Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điền kết quả (80%)
  5. Tài liệu tham khảo 1. Đỗ Cơng Khanh, Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia 2. Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập tốn cao cấp 3. 3. Đỗ Cơng Khanh. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia 4. James Stewart. Calculus, second edition, 2000. 5. www.tanbachkhoa.edu.vn
  6. Nội dung 0.1 – Hàm hai biến 0.2 – Các khái niệm tơpơ trong Rn 0.3 – Các mặt bậc hai 0.4 – Giới hạn 0.5 – liên tục
  7. I. Hàm hai biến Ví dụ Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm này. Chúng ta cĩ thể coi T là một hàm theo hai biến x và y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h. Thực tế ta biết V r2 h . Khi đĩ V là một hàm hai biến theo r và h: V(,). r h r2 h
  8. I. Hàm hai biến Định nghĩa hàm hai biến Cho DR 2. Hàm hai biến là một ánh xạ f: D R (,)(,)x y f x y Ký hiệu: f f( x , y ). D được gọi là miền xác định của f. Miền giá trị của f: E { a R |  ( x , y ) D : a f ( x , y )} Nếu f cho bởi biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x và y, sao cho biểu thức cĩ nghĩa. Miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực mà hàm cĩ thể nhận được.
  9. I. Hàm hai biến x y 1 Ví dụ. Hàm hai biến f(,) x y x y Miền xác định: D {}( x , y ) R2 | x y 1 0, x y 3 2 1 f (3,2) 6 3 2 Ví dụ. Hàm hai biến f(,) x y x2 y 2 Miền xác định: DR 2 Miền giá trị: ERf [0, ) fxyxy( , ) ( xy )2 ( xy ) 2 2( xy 2 2 ) f( x , x ) x2 x 2 2 x 2
  10. I. Hàm hai biến x Ví dụ. Hàm hai biến f(,) x y y 1 Miền xác định: D {}( x , y ) R2 | y 1 Miền giá trị: ERf 1 Ví dụ. Hàm hai biến f(,) x y y 1 Miền xác định: D {}( x , y ) R2 | y 1 Miền giá trị: ERf \ { 0} 1 x2 y 2 Ví dụ. Hàm hai biến f(,) x y e,nếu ( x , y ) (0,0) 0, nếu (x , y ) (0,0) Miền xác định: DR 2 Miền giá trị: Ef [0,1)
  11. II. Tơpơ trong R2 Hình trịn mở tâm , bán kính M0(,) x 0 y 0 r 0 2 BMr(0 , ) {)} Mxy ( , ) RdMM | ( , 0 r 2 2 2 {}(x , y ) R | ( x x0 ) ( y y 0 ) r 2 Hình trịn mở này cũng gọi là một r-lân cận của M0 và mọi tập con của R chứa một r-lân cận nào đĩ của M0 gọi là một lân cận của M0. 2 2 Xét một điểm MR0 và một tập AR . Cĩ thể xảy ra ba trường hợp loại trừ nhau sau đây: Cĩ một lân cận của M0 nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của A. Khi đĩ M0 được gọi là điểm trong của tập A. Cĩ một lân cận của M0 nằm trọn ngồi A, nghĩa là hồn tồn khơng chứa điểm nào của A. Khi đĩ M0 là một điểm trong của phần bù của A. Bất kỳ lân cận nào của M0 cũng cĩ cả những điểm của A và những điểm khơng thuộc A. Khi đĩ M0 là một điểm biên của A.
  12. II. Tơpơ trong R2 Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A. 2) Điểm biên của A cĩ thể thuộc hoặc khơng thuộc A. Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nĩ đều là điểm trong của nĩ. Một tập hợp được gọi là đĩng nếu mọi điểm khơng thuộc nĩ đều là điểm trong của phần bù của nĩ. Một tập hợp là đĩng nếu phần bù của nĩ là mở. Một tập hợp là mở nếu nĩ khơng chứa điểm biên nào của nĩ.
  13. II. Tơpơ trong R2 Một tập hợp là đĩng nếu nĩ chứa tất cả các điểm biên của nĩ. Điểm M0 được gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M0 đều chứa vơ số điểm của A. Điểm M0 là điểm tụ của tập A, nếu mọi lân cận của nĩ cĩ chứa ít nhất một điểm của A khác với M0. Chú ý. 1) Điểm tụ cĩ thể thuộc A, cĩ thể khơng thuộc A. 2) Cĩ những tập hợp khơng là tập đĩng, cũng khơng là tập mở.
  14. II. Tơpơ trong R2 Ví dụ. Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A A x, y R2 x 2 y 2 1 1.Tất cả các điểm trong của A: x, y R2 x 2 y 2 1 2. Tất cả các điểm biên của A: x, y R2 x 2 y 2 1 3. Tất cả các điểm tụ của A: x, y R2 x 2 y 2 1 4. Tập A là tập mở.
  15. II. Tơpơ trong R2 Ví dụ. Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho A là tập hợp các điểm nằm trong hình trịn đơn vị mà tọa độ các điểm là các số hữu tỉ. A {}( x , y ) Q 2 | x 2 y 2 1 1. Tìm tất cả các điểm trong của A. 2. Tìm tất cả các điểm biên của A. 3. Tìm tất cả các điểm tụ của A. 4. Tập A đĩng hay mở. Đáp số: 1) Khơng cĩ điểm trong 2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau Tập điểm biên A {}( x , y ) R2 | x2 y 2 1 4) A khơng đĩng, khơng mở.
  16. II. Tơpơ trong R2 Ví dụ. Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A 1 2n+3 2  AR 1 ,  n n+1  1. Tìm tất cả các điểm trong của A. 2. Tìm tất cả các điểm biên của A. 3. Tìm tất cả các điểm tụ của A. 4. Tập A đĩng hay mở. Đáp số: 1) Khơng cĩ điểm trong 2) Cĩ một điểm biên là (1,2). 3) Cĩ một điểm tụ là (1,2). 4) A khơng đĩng, khơng mở.
  17. III. Các mặt bậc hai Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là Ax2 By 2 Cz 2 2 Dxy 2 Exz 2 Fyz Gx Hy Kz L 0 Từ chương trình tốn A2, để vẽ mặt bậc hai: 1) Đưa dạng tồn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới. 3) Vẽ hình.
  18. III. Các mặt bậc hai Xét đồ thị của hàm số: z x2 y 2 Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là đường mức, trong đĩ k là hằng số cho trước. k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4
  19. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 Mặt paraboloid elliptic z a2 b 2
  20. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 Mặt paraboloid elliptic z a2 b 2
  21. III. Các mặt bậc hai Mặt paraboloid elliptic z ( x 1)2 ( y 3) 2 4
  22. III. Các mặt bậc hai Mặt paraboloid elliptic y x2 z 2
  23. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 z 2 Mặt ellipsoid 1 a2 b 2 c 2
  24. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 Mặt Paraboloid hyperbolic z a2 b 2
  25. III. Các mặt bậc hai Mặt Paraboloid hyperbolic
  26. III. Các mặt bậc hai Mặt Paraboloid hyperbolic y z2 x 2
  27. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 z 2 Mặt Hyperboloid 1 tầng 1 a2 b 2 c 2
  28. III. Các mặt bậc hai x2 y 2 z 2 Mặt Hyperboloid hai tầng 1 a2 b 2 c 2
  29. III. Các mặt bậc hai Xét đồ thị của hàm số: x2 y 2 1 Ta thấy với mọi k, đường mức luơn là đường trịn bán kính bằng 1. k = 2 k = 1 k = 0 k = -1 k = -2
  30. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z. x2 y 2 1 a2 b 2
  31. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ: x2 z 2 4
  32. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ y x 2 z x
  33. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ z x 2
  34. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ z 2 x 2
  35. III. Các mặt bậc hai Mặt trụ z 2 x 2
  36. III. Các mặt bậc hai x2 x 2 x 2 Mặt nĩn hai phía a2 b 2 c 2
  37. III. Các mặt bậc hai Mặt nĩn hai phía
  38. IV. Giới hạn Định nghĩa giới hạn kép Cho hàm hai biến , 2 sao cho là điểm tụ của D . f f(,) x y M0(,) x 0 y 0 R M 0 f Ta nĩi giới hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng a, nếu giá trị của f(x,y) tiến gần đến a tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng khơng trùng với M0. limf ( x , y ) a (,)(,)x y x0 y 0 2 2    0,  0:(,)xyDxyf ,(,)(,),( xy0 0 xx 0 ) ( yy 0 )  Khi đĩ f(,). x y a  limf ( x , y ) a Ký hiệu khác của giới hạn kép: x x0 y x0
  39. IV. Giới hạn Tính chất của giới hạn 1. lim [(,)f x y g (,)] x y lim f lim g (,)(,)(,)(,)(,)(,)xyab xyab xyab 2. lim [(,)f x y g (,)] x y lim f  lim g (,)(,)(,)(,)(,)(,)xyab xyab xyab limf ( x , y ) f(,) x y 3. lim (,)(,)x y a b , nếu limg 0 (,)(,)(,)(,)x y a bg( x , y ) lim g ( x , y ) x y a b (,)(,)x y a b 4. nếu f(,)(,)(,) x y g x y h x y và limf lim h M , thì lim g M . (,)(,)(,)(,)(,)(,)xyab xyab xyab
  40. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn nếu tồn tại hoặc chứng minh khơng tồn tại. 1 I lim x y sin (x , y ) (0,0) x 1 1 0 |f ( x , y ) | x y sin | x | y sin | x | y x x 0 1 lim x y sin 0. (x , y ) (0,0) x
  41. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn nếu tồn tại, hoặc chứng tỏ giới hạn khơng tồn tại. 3x2 y I lim (x , y ) (0,0) x2 y 2 3x2 y x 2 0 |f ( x , y ) | 3| y |, vì 1. x2 y 2 x 2 y 2 0 3x2 y lim 0. (x , y ) (0,0) x2 y 2
  42. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. x2 2 y 2 I lim (x , y ) (0,0) x2 y 2 Chọn dãy 1 n (xn , y n ) ,0  (0,0) n 1 Khi đĩ f( xn , y n ) f ,0 1. n Chọn dãy thứ hai '' 1 n (xn , y n ) 0,  (0,0) n 1 Khi đĩ '' f( xn , y n ) f 0, 2. n Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho.
  43. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. xy I lim (x , y ) (0,0) x2 y 2 Chọn y kx k Khi đĩ f(,),. x y f x kx 1 k f(x,y) là một đại lượng phụ thuộc vào k, mà k thay đổi nên khơng tồn tại giới hạn. Chú ý. Chọn y = kx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thẳng. Phương pháp này khơng thể dùng để tìm giới hạn của dãy.
  44. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. xy3 I lim (x , y ) (0,0) x2 y 6 Chọn dãy 1 n (xn , y n ) ,0  (0,0) n 1 Khi đĩ f( xn , y n ) f ,0 1. n Chọn dãy thứ hai '' 1 1 n (xn , y n ) ,  (0,0) n3 n 1 1 1 Khi đĩ '' f(,),. xn y n f n3 n 2 Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho.
  45. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. x2 y 2 I lim (x , y ) (0,0) x2 y 2 () x y 2 Chọn dãy 1 n (xn , y n ) ,0  (0,0) n 1 Khi đĩ f( xn , y n ) f ,0 0. n Chọn dãy thứ hai '' 1 1 1 n (xn , y n ) ,  (0,0) n n n2 1 1 1 1 Khi đĩ '' f(,),. xn y n f n n n2 2 Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho.
  46. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. xy I lim (x , y ) (0,0)1 3 1 xy Đặt t xy Khi đĩ t 0 t I lim 3 t 01 3 1 t
  47. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. x2 y I lim (x , y ) (0,0) x2 y 9 3 Đặt t x2 y Khi đĩ t 0 t I lim 6 t 0 t 9 3
  48. IV. Giới hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. xy4 I lim (x , y ) (0,0) ()x2 y 2 2 Sử dụng hệ tọa độ cực, đặt x rcos t ; y r sin t Khi x 0; y 0 thì r 0 rcos t r4 sin 4 t I lim r 0 r4 I lim( r cos t  sin4 t ) r 0 I 0
  49. V. Liên tục Định nghĩa Hàm số f(x,y) được gọi là liên tục tại (,)x0 y 0 , nếu limf ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) (,)(,)x y x0 y 0 Hàm được gọi là liên tục nếu nĩ liên tục tại mọi điểm mà nĩ xác định Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là liên tục. Thương của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0. Hợp của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợp).
  50. V. Liên tục Định nghĩa Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit. Định nghĩa Hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn được gọi là hàm sơ cấp. Định lý Hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nĩ xác định.
  51. V. Liên tục Ví dụ Tìm các điểm gián đoạn của hàm sau xy f(,) x y x y Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nĩ xác định. Suy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đường thẳng x + y = 0.
  52. V. Liên tục Ví dụ Khảo sát tính liên tục của hàm sau: sin(x3 y 3 ) , (x , y ) (0, 0) f(,) x y x2 y 2 0, (x , y ) (0, 0) sin(x3 y 3 ) sin t sin(x3 y 3 ) sin( x 3 y 3 ) x 3 y 3  t 0 1  x3 y 3 t x2 y 2 x 3 y 3 x 2 y 2 x3 y 3 0 |x | | y | limf ( x , y ) 1.0 0 f (0,0) x2 y 2 (x , y ) (0,0) Suy ra f liên tục tại (0,0). Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng.
  53. V. Liên tục Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm (0,0) x2 y 2 , (x , y ) (0, 0) f(,) x y x2 y 2 a, ( x , y ) (0, 0) Ta cĩ limf ( x , y ) khơng tồn tại. (x , y ) (0,0) Vậy hàm khơng liên tục tại (0,0). Khơng tồn tại a.
  54. VI. Bài tập 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm 1) f ( x , y ) 4 x2 y 2 2 2) f ( x , y ) ex y 1 2 2 3) f ( x , y ) e x y 4) f ( x , y ) ln( y2 4 x 8) y 5) f ( x , y ) arcsin x 1 6) f ( x , y ) x2 y
  55. VI. Bài tập 2. Vẽ các mặt bậc hai sau: 2 2 1) z 3 8) z 1 x y 2 2 2) z x2 2 y 2 9) z 1 x y 3) z 1 x2 y 2 10) x y z 1 4) z x2 11) z 2 x 5) z 1 y2 12) x2 y 2 2 x 2 y 2 2 x y 2 2 6) 1 13) x y z 2 9 4 2 2 2 7) y 1 x2 14) 2x y z 8
  56. VI. Bài tập 3. Vẽ các khối sau: 1) x2 y 2 z ; z 4 2) x2 y 2 z ; x z 1. 3) x2 y 2 1; z 1; z 4. 4) x2 y 2 1; x 2 y 2 z ; x 2 y 2 4 z 5) y 1 x2 ; y 0; z 0; z 2. x2 y 2 6) 1;x2 y 2 z 2 4; z 0. 9 4 7) z 4 y2 ; z y 2 2; x 0; x 4.
  57. VI. Bài tập 3. Vẽ các khối sau (tiếp theo) 8) x2 y 2 x ; x z 2; x z 2 9) y 2 xyxx ; ; 1; zx 2 yzx 2 ;2 2 y 2 . 10) y 1 x2 ; z 3 x ; y 5; z 0 11) z x2 y 2 ; z 1 1 x 2 y 2 12) z x2 y 2 ; y x 2 ; y 1; z 0. 13) y x ; y 2 x ; z 0; x z 6. 14) x 1; x 2; y2 z 2 4; y 2 z 2 1.
  58. VI. Bài tập 4. Tìm các giới hạn kép x2 y 1) lim (x , y ) (0,0) y2 x 4 1 2) limy c os (x , y ) (0,0) y x x3 y 3) lim (x , y ) (0,0) x3 y 1 1 4) limx sin y sin (x , y ) (0,0) y x x2 y xy 2 5) lim (x , y ) (0,0) x2 xy y 2 xy2() x 2 y 2 6) lim (x , y ) (0,0)1 c os( x2 y 2 )
  59. VI. Bài tập 4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo) 2 2 7) lim 1 xy 1/ x y (x , y ) (0,0) 1/(x2 y 2 ) 8) limc os x2 y 2 (x , y ) (0,0) 9) limxy sin (,)(,)x y xy x2 y 2 6 x 2 y 2 10) lim (,)(,)x y 6 x4 y 4 2(1 x 2 y 2 ) x 2 y 2 1 11) lim (x2 y 2 )sin (x , y ) (0,0) xy x 12) lim (x , y ) (0,0) x y
  60. VI. Bài tập 4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo) x2 4 y 2 13) lim (x , y ) (2,1) x2 2 x 2 xy 4 y y 14) lim (1 )x (,)(,)x y k x x y 15) lim (,)(,)x y x2 y 2 sin(xy ) 16) lim (x , y ) (0,2) x x y 17) lim (x , y ) (0,0) x2 xy y 2 18) limx2 ln( x 2 y 2 ) (x , y ) (0,0)
  61. VI. Bài tập 5. Tìm các điểm gián đoạn 1) z ln x2 y 2 1 2) z 1 x2 y 2 1 3) z ()x y 2 1 4) z cos xy x3 5) z x2 y 2 x2 6) z x2 y 2
  62. VI. Bài tập 5. Tìm các điểm gián đoạn (tiếp theo) x ,x2 y 2 0 2 2 7) z x y 2 2 0,x y 0 x3 y 3 , x y 0 8) z x y 3, x y 0 sin(xyz ) ,z 0 9) u z 2 x, z 0
  63. VI. Bài tập 6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số liên tục tại (0,0). 3 2 x xy 2 2 2 2 ,x y 0 1) z x y 2 2 m, x y 0 2 x y 2 2 4 2 ,x y 0 2) z x y 2 2 m, x y 0 2xy 2 2 2 2 , x y 0 3) z x y 2 2 m, x y 0