›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

pdf 74 trang Đức Chiến 05/01/2024 830
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_4_phuong_trinh_vi_phan_tuyen_ti.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát. II – Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
  3. I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Định nghĩa phương trình không thuần nhất Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất y'' p( x ) y ' q ( x ) y f ( x ), (1) trong đó p( x ), q ( x ), f ( x ) là các hàm liên tục. Định nghĩa phương trình thuần nhất Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất y'' p( x ) y ' q ( x ) y 0, (2) trong đó p( x ), q ( x ) là các hàm liên tục.
  4. I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất ytq y0 y r ytq là nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất. y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất. là nghiệm riêng của pt không thuần nhất. yr
  5. Tập hợp các nghiệm của phương trình thuần nhất là không gian 2 chiều: y0 c 1 y 1()() x c 2 y 2 x y1() x là nghiệm riêng của pt thuần nhất (2) Tìm nghiệm thứ hai ở dạng: y2 y 1()() x  u x ''' '' '' ' ' '' y2 y 1 u y 1 u ; y2 y 1 u 2 y 1 u y 1 u '' ' ' '' '' y1 u 2y1u y 1u p y1 u y1u qy1u 0 '' ' '' ' ' y u'' 2 y ' py u ' 0 y1 py 1 qy 1 u y 1 u 2 y 1 py 1 u 0 1 1 1 ' '' Đặt z u , có phương trình tách biến y1 z 2 y 1 py 1 z 0 e p() x dx e p() x dx u dx y()() x y x  dx 2 2 1 2 y1 () x y1 () x
  6. I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số: yr c1()()()() x y 1 x c 2 x y 2 x ''''' yr Cxy1()()()()()() 1 Cxyx 1 1 Cxy 2 2 Cxyx 2 2 '' '' '' '' ''' '' '' '' '' yr Cy11 Cy 11 Cy 11 Cy 11 Cy 22 Cy 22 Cy 22 Cy 22 '' ' Thay vào pt (1): yr p()()() x y r q x y r f x '' Giải hệ tìm '' . C y C y 0 CC1, 2 1 1 2 2 C'''' y C y f() x 1 1 2 2 Suy ra C1( x ), C. 2 ( x ) Nghiệm riêng: yr Nghiệm tổng quát của (1): ytq y0 y r
  7. KẾT LUẬN: Để giải phương trình y'' p()()() x y ' q x y f x chỉ cần tìm một nghiệm riêng y1() x của pt thuần nhất. e p() x dx Từ nghiệm y() x suy ra: y()() x y x  dx 1 2 1 2 y1 () x Tìm nghiệm yr c1()()()() x y 1 x c 2 x y 2 x C'' y C y 0 1 1 2 2 C( x ), C ( x ) y '''' 1 2 r C1 y 1 C 2 y 2 f() x Nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất: ytq y0 y r
  8. Ví dụ Giải phương trình x2 y '' xy ' y 4 x 3 (1) 1 1 Phương trình chuẩn: y'' y ' y 4 x x x2 1 1 Phương trình thuần nhất: y'' y ' y 0 (2) x x2 Đoán một nghiệm riêng của pt thuần nhất: y1() x x Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2): 1 dx e p() x dx e x y()() x y x  dx x  dx 2 1 2 2 xln x y1 () x x Tìm nghiệm riêng của pt (1) bằng PP biến thiên hằng số Trong bài này ta đoán được: y x3 3 Nghiệm tổng quát của (1): ytq y0 yr C 1 x C 2 xln | x | x
  9. Ví dụ Giải phương trình y'' tan x y ' 2 y 0 Đoán một nghiệm riêng: y1( x ) sin x Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2): p() x dx e e tan xdx y()() x y x  dx sin x  dx 2 1 2 2 y1 () x sin x 2x 2 y Ví dụ Giải phương trình y'' y ' 0 x2 1 x 2 1 Đoán một nghiệm riêng: y1() x x Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2): 2x p() x dx dx e e x2 1 y2()() x y 1 x  2 dx x  2 dx y1 () x x
  10. II. Ptrình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa phương trình không thuần nhất hệ số hằng Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình y'' py ' qy f( x ), (1) trong đó p, q là hằng số, và f(x) là hàm liên tục. Định nghĩa phương trình thuần nhất hệ số hằng Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình y'' py ' qy 0, (2) trong đó p, q là các hằng số.
  11. Giải phương trình thuần nhất: y'' py ' qy 0, (2) Phương trình đặc trưng: k2 pk q 0 TH 1: PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt k1, k 2 k1 x k 2 x Nghiệm tổng quát: y0 C 1 e C 2 e TH 2: PTĐT có một nghiệm kép k0 Nghiệm tổng quát: k0 x k 0 x y0 C 1 e C 2 x e TH 3: PTĐT có một nghiệm phức k1 a bi ax Nghiệm tổng quát: y0 e C 1cos bx C 2 sin bx
  12. Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất Trường hợp chung: Phương pháp biến thiên hằng số. Xét hai trường hợp đặc biệt: x TH 1: f()() x Pn x e , Pn(x) là đa thức bậc n. s x Tìm yr ở dạng: yr x e Q n () x s = 0, nếu không là nghiệm của pt đặc trưng. s = 1, nếu là nghiệm đơn của pt đặc trưng. s = 2, nếu là nghiệm kép của pt đặc trưng. Qn () x là đa thức cùng bậc Pn () x với các hệ số cần tìm. Để tìm các hệ số này, thay yr vào pt (1).
  13. x TH 2: f( x ) e Pn ( x )cos x Q m ( x )sin  x s x Tìm yr ở dạng: yr x e H k( x )cos x T k ( x )sin  x s = 0, nếu i  không là nghiệm của pt đặc trưng. s = 1, nếu i  là nghiệm đơn của pt đặc trưng. HTk, k: hai đa thức bậc k max{ m , n} với các hệ số cần tìm. Để tìm các hệ số này, thay yr vào pt (1): '' ' yr py r qy r f() x Vì sinx và cosx độc lập tuyến tính nên các hệ số tương ứng bằng nhau.
  14. Chú ý:1) Có nguyên lý cộng dồn (chồng chất) nghiệm: '' ' y py qy f()()() x f1 x f 2 x nghiệm riêng của (1) có dạng y y y r r1 r 2 y '' ' r1 nghiệm riêng của pt: y py qy f1() x y '' ' r2 nghiệm riêng của pt: y py qy f2 () x 0x 2) f()() x Pn x là trường hợp 1: f()() x e Pn x 3) f( x ) Pn ( x )cos  x là trường hợp 2: 0x f( x ) e Pn ( x )cos x 0sin  x
  15. Ví dụ Giải phương trình y'' 5 y ' 6 y e x 2 Phương trình đặc trưng: k 5 k 6 0 k1 2  k 2 3 2x 3 x Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0 C 1 e C 2 e x x f()() x e Pn x e 1,Pn ( x ) bậc 0. s x yr x e Q n () x 1,Qn ( x ) A (vì Pn bậc 0) s = 0, vì 1 không là nghiệm pt đặc trưng. 0 x x ' x '' x yr x e A Ae yr Ae, y r Ae '' ' x x x x x 1 yr 5 y r 6 y r e Ae 5 Ae 6 Ae e A 12 1 Kluận: Nghiệm t/quát: y y y C e2x C e 3 x e x tq0 r 1 2 12
  16. Ví dụ Giải phương trình y'' 4 y x 2 Phương trình đặc trưng: 2 k 4 0 k1 2 i  k 2 2 i 0x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0 e C 1cos2 x C 2 sin 2 x 2 0x f()() x x Pn x e 0,Pn ( x ) bậc 2. s x 2 yr x e Q n () x 0,Qn ( x ) Ax Bx C (vì Pn bậc 2) s = 0, vì 0 không là nghiệm pt đặc trưng. 0 0x 2 2 ' '' yr x e Ax Bx C Ax Bx C yr 2 Ax B , y r 2 A '' 2 2 2 1 1 yr 4 y r x 2A 4( Ax Bx C ) x ABC , 0, 4 8 12 1 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r Ccos2 x C sin 2 x x 1 2 4 8
  17. Ví dụ Giải phương trình y'' 2 y ' 3 x 2 Phương trình đặc trưng: k 2 k 0 k1 0  k 2 2 0x 2 x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0 C 1 e C 2 e 0x f( x ) 3 x Pn ( x ) e 0,Pn ( x ) bậc 1. s x yr x e Q n () x 0,Qn ( x ) Ax B (vì Pn bậc 1) s = 1, vì 0 là nghiệm đơn pt đặc trưng. 1 0x 2 ' '' yr x e Ax B Ax Bx yr 2 Ax B , y r 2 A 3 3 y'' 2 y ' 3 x 2A 2(2 Ax B ) 3 x AB , r 4 4 2x 3 3 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r C C e x 1 2 4 4
  18. Ví dụ Giải phương trình y'' 2 y ' y 2 ex 2 Phương trình đặc trưng: k 2 k 1 0 k1 k 2 1 x x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0 C 1 e C 2 x e x1 x f( x ) 2 e Pn ( x ) e 1,Pn ( x ) bậc 0. s x yr x e Q n () x 1,Qn ( x ) A (vì Pn bậc 0) s = 2, vì 1 là nghiệm kép pt đặc trưng. 2 x2 x 'x 2 '' x 2 yr x e A Ax e yr Ae(2 x x ), y r Ae (2 4 x x ) 3 3 y'' 2 y ' y 2 ex AB , r r r 4 4 2x 3 3 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r C C e x 1 2 4 4
  19. Ví dụ Giải phương trình y'' 4 y ' 3 y sin 2 x 2 Phương trình đặc trưng: k 4 k 3 0 k1 1  k 2 3 x3 x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0 C 1 e C 2 e f( x ) e0x (0.cos2 x sin 2 x ) 0,  2,Pn ( x ), Q m ( x ) bậc 0. s x yr x e T k( x )cos2 x H k ( x )sin 2 x k max{ m , n } 0 0,TAHBk , k s = 0, vì i  2 i không là nghiệm pt đặc trưng.
  20. yr Acos2 x B sin 2 x ' '' yr 2 A sin 2 x 2 B cos2 x , y r 4 A cos2 x 4 B sin 2 x '' ' yr 4 y r 3 y r sin 2 x 4A cos2x 4 Bs in 2 x 4 2A sin 2 x 2 B cos2x 3 Acos2 x B sin 2 x sin 2x ( A 8 B )cos2 x (8 A B )sin 2 x sin 2 x AB 8 0 8 1 8 1 AB , yr cos2 x sin 2 x 8AB 1 65 65 65 65 8 1 Nghiệm t/quát: y y y C ex C e3 x cos2 x sin 2 x tq0 r 1 2 65 65
  21. Ví dụ Giải phương trình y'' y cos x 2 Phương trình đặc trưng: k 1 0 k1 i  k 2 i 0x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0 e C 1cos x C 2 sin x f( x ) e0x (cos x 0.sin x ) 0,  1,Pn ( x ), Q m ( x ) bậc 0. s x yr x e T k( x )cos x H k ( x )sin x k max{ m , n } 0 0,TAHBk , k s = 1, vì i  i là nghiệm pt đặc trưng.
  22. ' yr x Acos x B sin x yr ( A Bx )cos x ( B Ax )sin x '' yr -2 A - Bx sin x 2 B - Ax cos x '' yr y r cos x -2A - Bx sin x 2 B - Ax cos x x Acos x B sin x co s x 2A sin x 2 B cos x cos x 1 1 AB 0, y xsin x 2 r 2 1 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r Ccos x C sin x x sin x 1 2 2
  23. Ví dụ Giải phương trình y'' y ' 2 y 2sin x cos x 1 7 Phương trình đặc trưng: k2 k 2 0 k i 1 2 2 1 x 2 7 7 Nghiệm t/quát pt th/nhất: y0 e C 1 cos x C2 sin x 2 2 f( x ) e0x (cos x 2sin x ) 0,  1,Pn ( x ), Q m ( x ) bậc 0. s x yr x e T k( x )cos x H k ( x )sin x k max{ m , n } 0 0,TAHBk , k s = 0, vì i  i không là nghiệm pt đặc trưng.
  24. ' yr Acos x B sin x yr Asin x B cos x '' '' ' yr Acos x B sin x yr y r 2 y r cos x 2sin x Acosx B sin x Asin x B cos x 2 Acos x B sin x co sx 2 si n x (A B )cos x ( A B )sin x cos x 2sin x AB 1 1 3 1 3 AB , y cos x sin x r 2 2 AB 2 2 2 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r 1 x 2 7 7 3 1 ytq e C1cos x C 2 sin x cos x sin x 2 2 2 2
  25. Ví dụ Giải phương trình y'' 4 y ' 4 y x e 2 x 2 Phương trình đặc trưng: k 4 k 4 0 k1 k 2 2 2x 2 x Nghiệm t/quát pt th/nhất: y0 C 1 e C 2 xe 2x f()()() x f1 x f 2 x x e Sử dụng nguyên lý cộng dồn nghiệm '' ' Tìm nghiệm riêng ứng với f1() x : y 4 y 4 y x f1 ( x ) (1) s x y x e Q() x 0,Q ( x ) Ax B (vì Pn bậc 1) r1 n n s = 0, vì 0 không là nghiệm đơn pt đặc trưng. 1 1 1 y Ax B Thay vào pt (1), ta có AB yr x r1 4 1 4 4
  26. '' ' 2x Tìm nghiệm riêng ứng với f2 () x : y 4 y 4 y e f2 ( x ) (2) y xs e x Q() x 2,Q ( x ) A (vì P bậc 0) r1 n n n s = 2, vì 2 là nghiệm kép pt đặc trưng 2 2x 1 y x e A Thay vào pt (2), ta có A r2 2 Một nghiệm riêng của đề bài là: 1 1 1 y y y x x2 e 2x r r1 r 2 4 4 2 Nghiệm t/quát: ytq y0 y r 1 1 1 y C e2x C xe 2 x x x 2 e 2 x tq 1 2 4 4 2
  27. II. Hệ pt vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng. Hệ phương trình vi phân (n phương trình, n hàm số) dx 1 a x a x a x f ( t ) dt 11 1 12 2 1n n 1 dx2 a21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n f 2 ( t ) dt (1)    dx n a x a x a x f ( t ) dt n1 1 n 2 2 nn n n trong đó f() t là các hàm theo t, liên tục. x1( t ), x 2 ( t ), , xn ( t ) là các hàm theo t.
  28. II. Hệ pt vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng a a a f() t 11 12 1n x1 1 a21 a 22 a 2n x f2 () t A X 2 F() t       a a a f() t n1 n 2 nn xn n dX Hệ phương trình ở dạng ma trận: AX F() t (2) dt dX Hệ phương trình thuần nhất: AX (3) dt Nghiệm của hệ là hàm véctơ trên khoảng (a,b) có toạ độ là các hàm khả vi liên tục trên (a,b) và thoả hệ:
  29. II. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Cấu trúc nghiệm của hệ tuyến tính (2) XXXtq 0 r là nghiệm tổng quát của hệ pt không thuần nhất (2) X tq là nghiệm tổng quát của hệ pt thuần nhất (3) X 0 là nghiệm riêng của hệ pt không thuần nhất (2) X r
  30. Phương pháp khử Nội dung phương pháp khử là đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao hơn bằng cách đạo hàm một phương trình rồi khử các hàm chưa biết. Ưu điểm Giải hệ phương trình rất nhanh. Nhược điểm Rất khó giải hệ nhiều phương trình, nhiều hàm.
  31. ' x1 x 1 2 x 2 Ví dụ Giải hệ phương trình ' x2 4 x 1 3 x 2 Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1). '' 4x1 x 2 5 x 2 (*) Đạo hàm hai vế phương trình (2). '' ' ' ' ' '' Thay vào pt (*) x2 4 x 1 3 x 2 4x1 3 x 2 x 2 ' '' ' '' ' 3x2 x 2 x 2 5 x 2 x2 4 x 2 5 x 2 0 t5 t x1() t C 1 e C 2 e Thay vào pt 2 của hệ 1 x() t C e t C e5 t 2 12 2
  32. ' t x1 3 x 1 x 2 e Ví dụ Giải hệ phương trình ' x2 2 x 1 2 x 2 t Lấy phương trình (2) trừ 2 lần phương trình (1). '' t 2x1 x 2 4 x 1 t 2 e (*) Đạo hàm hai vế phương trình (1). '' ' ' t ' '' ' t Thay vào pt (*) x1 3 x 1 x 2 e x2 x 1 3 x 1 e ' '' ' t t x'' 5 x ' 4 x t et 2x1 x 1 3 x 1 e 4 x 1 t 2 e 1 1 1 et te t t 5 x() t C et C e4 t Thay vào pt 1 của hệ 1 1 2 9 3 4 16 8et 2 te t 3 t 11 x( t ) 2 C et C e4 t 2 1 2 9 3 4 16
  33. ' x1 3 x 1 x 2 x 3 ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 2 x 1 4 x 2 2 x 3 ' x3 x 1 x 2 3 x 3 Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1). '' 4x1 x 2 10 x 1 2 x 3 (*) Lấy phương trình (3) trừ phương trình (1). '' x1 x 3 2 x 1 2 x 3 ( ) ' '' ' ' Đạo hàm hai vế pt (1): x2 x 1 3 x 1 x 3 ' '' ' ' Thay vào pt (*): 4x1 x 1 3 x 1 x 3 10 x 1 2 x 3
  34. '' ' ' x1 7 x 1 x 3 10 x 1 2 x 3 ( ) '' ' Cộng hai pt ( ) và ( ) x1 8 x 1 12 x 1 0 6t 2 t Thay vào pt ( ): x1() t C 1 e C 2 e ' 6t 6t 2 t x3 2 x 3 4 C 1 e x3() t C 1 e C 3 e ' Thay vào pt (1) của hệ, ta có: x2 x 1 3 x 1 x 3 6t 2 t 6 t 2 t 6 t 2 t xt2( ) 6 Ce 1 2 Ce 2 3 Ce 1 3 Ce 2 Ce 1 Ce 3 6t 2 t x2( t ) 2 C 1 e C 2 C 3 e x1() t  x2 () t  Nghiệm của hệ đã cho: x3 () t 
  35. ' x1 6 x 1 12 x 2 x 3 ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 x 1 3 x 2 x 3 ' x3 4 x 1 12 x 2 3 x 3 Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1). '' x1 x 2 5 x 1 9 x 2 (1) Lấy pt thứ ba của hệ cộng 3 lần pt đầu của hệ '' 3x1 x 3 14 x 1 24 x 2 (2) ' ' ' '' Đạo hàm hai vế pt (2): x3 x 1 3 x 2 x 2 ' ' '' Thay vào pt (2): 4x1 3 x 2 x 2 14 x 1 24 x 2 (3)
  36. Khử trong pt (1) và (3): ' ' '' x1 6x1 x 2 5 x 2 6 x 2 (4) ' ' '' Khử x1 trong pt (1) và (3): x2 x 2 6 x 1 12 x 2 (5) '' ''' ' ' Đạo hàm hai vế (5): x2 x 2 6 x 1 12 x 2 (6) ' ''' '' ' Rút x1 thay vào (4): x2 6 x 2 12 x 2 6 x 2 0 t2 t 3 t Giải phương trình này ta được x2() t C 1 e C 2 e C 3 e Thay vào (4) ta được x1() t Thay vào đầu của hệ ta được x3 () t
  37. ' x1 2 x 1 4 x 2 3 x 3 ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 4 x 1 6 x 2 3 x 3 ' x3 3 x 1 3 x 2 x 3 Cộng hai phương trình đầu của hệ. '' x1 x 2 2 x 1 2 x 2 (1) Lấy pt đầu trừ 3 lần pt đầu của hệ '' x1 3 x 3 7 x 1 5 x 2 (2) ' ' ' '' Đạo hàm hai vế pt đầu: 3x3 2 x 1 4 x 2 x 1 ' ' '' Thay vào pt (2): 3x1 4 x 2 x 1 7 x 1 5 x 2 (3)
  38. Khử trong pt (1) và (3): ' ' '' x2 x1 3 x 2 2 x 1 4 x 1 (4) ' ' '' Khử x2 trong pt (1) và (3): x1 x 1 x 1 3 x 2 (5) '' ''' ' ' Đạo hàm hai vế (5): x1 x 1 x 1 3 x 2 (6) ' ''' '' Rút x2 thay vào (4): x1 3 x 1 4 x 1 0 t 2 t 2 t Giải phương trình này ta được x1() t C 1 e C 2 e C 3 te Thay vào (4) ta được x2 () t Thay vào đầu của hệ ta được x3 () t
  39. ' t x1 x 1 x 2 e ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 3 x 2 x 3 t ' x3 x 1 x 2 2 x 3 2 t Lấy 3 lần pt đầu trừ pt thứ hai của hệ. '' t 3x1 x 2 3 x 1 x 3 3 e - t (1) Lấy pt đầu trừ pt thứ 3 của hệ '' t x1 x 3 2 x 1 2 x 3 e - 2 t (2) ' ' '' t Đạo hàm hai vế pt đầu: x2 x 1 x 1 e ' '' t Thay vào pt (1): 4x1 x 1 3 x 1 x 3 2 e - t (3)
  40. ' '' ' t Khử x3 trong pt (2) và (3): 9x1 2 x 1 x 3 8 x 1 5 e - 4 t (4) Đạo hàm hai vế (3): '' ''' ' ' t 4x1 x 1 3 x 1 x 3 2 e -1 (5) ' Rút x3 thay vào (4): ''' '' ' t x1 6 x 1 12 x 1 8 x 1 3 e 4 t 1 Giải phương trình này ta được t 5 xt( ) Ce2t Cte 2 t Cte 2 2 t 3 e t 1 1 2 3 2 8 Thay vào pt đầu của hệ ta được x2 () t Thay vào pt hai của hệ ta được x3 () t
  41. Phương pháp trị riêng, véctơ riêng dX AX F() t (2) A là ma trận thực, vuông cấp n. dt Trường hợp 1: A chéo hoá được: dX A PDP 1 AX F() t dt dX dX PDP 1 X F() t P 1 DP 1 X P 1 F() t dt dt Đặt YPX 1 YPX' 1 ' Ta có: Y' DY P 1 F() t Đây là các phương trình vi phân cấp 1 tách rời nhau.
  42. ' t x1 3 x 1 x 2 e Ví dụ Giải hệ phương trình ' x2 2 x 1 2 x 2 t 3 1 x et A X 1 F() t 2 2 x2 t 1 1 1 4 0 2/3 1/3 Chéo hoá A: A PDP 1 2 0 1 1/3 1/3 Đặt YPX 1 Ta có: Y' DY P 1 F() t ' t y1 4 0 y 1 2/3 1/3 e ' 0 1 y 1/3 1/3 y2 2 t
  43. ' t y1 4 0 y 1 2/3 1/3 e ' 0 1 y 1/3 1/3 y2 2 t 2 t y' 4 y et 1 1 3 3 hệ gồm hai ptrình vi phân 1 t y' y et tuyến tính cấp 1 riêng biệt 2 2 3 3 2t 1 y() t C e4t e t 1 1 9 12 48 t t 1 y() t C et e t 2 2 3 3 3 x y 1 1 y1 Nghiệm của hệ: 1 P 1 1 2 y x2 y 2 2
  44. ' x1 3 x 1 x 2 x 3 4 t ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 2 x 1 4 x 2 2 x 3 ' x3 x 1 x 2 3 x 3 8 3 1 1 x1 4t A 2 4 2 X x F( t ) 0 2 1 1 3 x3 8 Chéo hoá A ( Xem Đại số tuyến tính) 1 11 200 1/2 1/2 1/2 A PDP 1 1 0 2 020 1/4 1/4 3/4 0 1 1 006 1/4 1/4 1/4
  45. Đặt YPX 1 Ta có: Y' DY P 1 F() t ' y1 200 y 1 1/21/2 1/24 t y' 020 y 1/4 1/43/4 0 2 2 ' y3 006 y 3 1/4 1/4 1/4 8 ' y( t ) C e2t t 5/ 2 y1 2 y 1 2 t 4 1 1 ' y( t ) C e2t t / 2 11/ 4 y2 2 y 2 t 6 2 2 ' y( t ) C e6t t / 6 19/36 y3 6 y 3 t 2 3 3 2t x( t ) 1 1 1 C1 e t 5/ 2 Nghiệm 1 2t X PY x() t 1 02 C e t /211/4 của hệ 2 2 x( t ) 0 1 1 6t 3 C3 e t / 6 19/36
  46. Phương pháp trị riêng, véctơ riêng dX AX F() t (2) dt Trường hợp 2: A không chéo hoá được: Mọi ma trận (thực hoặc phức) đều tam giác hoá được. A PTP 1 với T là ma trận tam giác. dX (2) PTP 1 X F ( t ) dt dX Đặt YPX 1 YPX' 1 ' P 1 TP 1 X P 1 F() t dt Đây là hệ tam giác, Ta có: Y' TY P 1 F() t giải từ dưới lên.
  47. ' x1 2 x 1 4 x 2 3 x 3 ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 4 x 1 6 x 2 3 x 3 ' x3 3 x 1 3 x 2 x 3 2 4 3 x1 A 4 6 3 X x Đây là hệ thuần nhất. 2 3 3 1 x3 A không chéo hoá được ( Xem Đại số tuyến tính) |AI  | 0 (  2)2 (  1) 0 1 có một VTR độc lập tuyến tính X 1 1 2 1 0
  48. 1 có một VTR độc lập tuyến tính X 1 2 1 3 1 Gọi X 2 là cột thứ hai của ma trận P. 1x1 1 2m 0 Tìm hai ma trận P 1 x 1 T 0 2 0 2 0x3 1 0 0 1 1 A PTP AP PT AX2 mX 1 2 X 2 Chọn m = 1 2 4 3 x1 1 x 1 x1 1 4 6 3 x 1 2 x x 2 2 2 3 3 1 x3 0 x 3 x3 1
  49. 2 1 2 1 2 1 0 Chọn 1 X 1 P 1 1 1 T 0 2 0 2 1 0 1 1 0 0 1 Đặt YPX 1 Ta có: Y' TY ' y' 2 y y y1 2 1 0 y 1 1 1 2 ' y' 2 y y2 0 2 0 y 2 2 2 ' y' y y3 0 0 1 y 3 3 3 y() t C e 2t C te 2 t 1 1 2 x1( t ) 1 2 1 y 1 y() t C e 2t x( t ) 1 1 1 y 2 2 2 2 t x( t ) 0 1 1 y y3() t C 3 e 3 3
  50. ' t x1 x 1 x 2 e ' Ví dụ Giải hệ phương trình x2 3 x 2 x 3 t ' x3 x 1 x 2 2 x 3 2 t t 1 1 0 x1 e A 0 3 1 X x F() t t 2 1 1 2 2t x3 A không chéo hoá được ( Xem Đại số tuyến tính) |AI  | 0 (  2)3 0 1 có một VTR độc lập tuyến tính X 1 1 2 1 1
  51. Gọi X 2 là cột thứ hai của ma trận P. 1 x1 y 1 2 a b Tìm hai ma trận P 1 x y T 0 2 c 2 2 1 x3 y 3 0 0 2 1 A PTP AP PT AX2 aX 1 2 X 2 Chọn a = 1 1 1 0 x1 1 x 1 x1 1 0 3 1 x 1 2 x x 2 2 2 1 1 2 x3 1 x 3 x3 1 1 1 1 y 2 1 b 1 Chọn 2 X 2 P 1 2 y T 0 2 c 2 2 0 0 2 1 1 1 y3
  52. 1 A PTP AP PT AX3 bX 1 cX 2 2 X 3 Chọn b = 0,c=1 1 1 0 y1 1 y 1 x1 1 0 3 1 y 2 2 y x 2 2 2 1 1 2 y3 1 y 3 x3 2 1 1 1 1 Chọn X 2 P 1 2 2 2 3 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0 P 1 2 1 1 T 0 2 1 0 0 2 1 0 1
  53. ' t y1 2 1 0 y 1 2 1 0 e y' 0 2 1 y 2 1 1 t 2 2 ' y3 0 0 2 y 3 1 0 1 2 t Đặt YPX 1 Ta có: Y' TY P 1 F() t ' t y1 2 y 1 y 2 2 e t ' t y2 2 y 2 y 3 2 e 3 t ' t y3 y 3 2 e 2 t y1() t 2t t t y2( t ) C 2 e C 3 e 2 te t / 2 3/ 4 t t y3( t ) C 3 e 2 te 2 t 2
  54. Nhận xét: Giải hệ X' AX F() t bằng phương pháp khử: sau khi khử ta được phương trình vi phân tuyến tính cấp cao của một pt. Phương trình đặc trưng của pt này trùng với pt đặc trưng của ma trận A, hoặc trong một số trường hợp trùng với phương trình tối thiểu của A. Phương pháp khử: 1) Khử lần lượt từng biến trong hệ. 2) trong quá trình khử: đạo hàm hai vế. Hệ 3 pt, 3 ẩn: khử dễ dàng, hệ nhiều pt nhiều ẩn: khó
  55. Nội dung ôn tập I) Giới hạn và liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số. II) Đạo hàm và vi phân: đạo hàm và vi phân của hàm y = f(x), hàm tham số, hàm ẩn. Công thức Taylor, Maclaurint. Ứng dụng đạo hàm: các bài toán liên quan, khảo sát vẽ. III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định Tích phân suy rộng loại một và hai: tính tphân, khảo sát hội tụ. Ứng dụng hình học của tích phân: có 4 ứng dụng đã học. IV) phương trình vi phân: 1) Phương trình vi phân cấp 1: chỉ có 5 loại đã học: Tách biến, tuyến tính, đẳng cấp, toàn phần (không có thừa số tích phân), Bernoulli. 2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG. 3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng: Phương pháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng (trường hợp chéo được)
  56. Đề mẫu cuối kỳ 1 x cosh x earcsin x Câu 1. Tính lim x 0 tanx 3 1 3 x 2 cos x 1 Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình tham số t 8 3 x , y t2 4 t ( t 2 4) dx Câu 3. Tính tích phân I 3 2 2 x 2 x x 2 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 1 coshx ln(1 x 2 ) 1 I dx 0 2 3 8 x3
  57. Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi y x arctan, x y x arctan,0 x x 1, x 1 quanh trục Ox. Câu 6. Giải phương trình vi phân y' y x y Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 3 y ' 2 y 3 x 5sin 2 x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' t x1 x 1 4 x 2 4 x 3 e ' x2 8 x 1 11 x 2 8 x 3 2 t ' x3 8 x 1 8 x 2 5 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.
  58. Giải đề mẫu 1. x2 x3 Câu 1. coshx 1 ( x2 ) arcsinx x ( x3 ) 2 6 x2 x 3 x3 earcsinx 1 x ( x 3 ) tanx x ( x3 ) 2 3 3 5x3 3 1 3x 1 x x2 ( x 3 ) 3 x3/ 3 ( x 3 ) 1 I lim x 0 4x3 / 3 ( x 3 ) 4 limy ( t ) t 0 Câu 2. Tiệm cận đứng: x 2 là tiệm cận đứng. limx ( t ) 2 t 0 Không có tiệm cận ngang.
  59. Tiệm cận xiên. limy ( t ) y( t ) 1 t 2 a lim t 2 limx ( t ) x( t ) 4 t 2 1 x 1 b lim y ( t ) a  x ( t ) y là tiệm cận xiên. t 2 8 4 8 limy ( t ) t 2 y( t ) 3 a lim limx ( t ) t 2 x( t ) 20 t 2 9 3x 9 b lim y ( t ) a  x ( t ) y là tiệm cận xiên. t 2 40 20 40 1 ABC Câu 3. (x 1)( x 1)( x 2) x 1 x 1 x 2 Để tìm A, nhân 2 vế cho x - 1 rồi thay x = 1 vào, tương tự cho B, C.
  60. dx 1 1 1 I 3 2 ln|x 1| ln| x 1| ln| x 2| 2 x 2 x x 2 6 2 3 2 1/ 6 1/3 x 1 x 2 ln3 2ln 2 ln (x 1)1/ 2 2 3 2 2 2 x 2 x 0 x3 Câu 4. coshx ln(1 x )1 () x 2 3 8 x3 2 12 Hàm dưới dấu tích phân là hàm luôn âm. Xét tích phân hàm - f(x). coshx ln(1 x2 ) 1 12 x 2 12 1 f() x  3  3 2 3 3 2 x 2 x 2 8 x Tích phân hội tụ nếu 3 2 1 1
  61. Câu 5. y1 x arctan x , y 2 x arctan x Ta có 0 y1 ( x ) y 2 ( x ),  x [0,1] 1 1 2 2 2 2 V0x y 2 y 1 dx (x arctan x ) ( x arctan x ) dx 0 0 1 2 V0x 4 x arctan xdx 2 0 Câu 6. Đây là phương trình Bernoulli với 1/ 2 y' y x y' y x y Đặt z y 2 y 2 2 z x z' z Ce x / 2 x 2 2 2 Nghiệm tổng quát của pt là y Ce x / 2 x 2
  62. 2 Câu 7. Phương trình đặc trưng: k 3 k 2 0 k1 1  k 2 2 x2 x Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 C 1 e C 2 e Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: y y y r r1 r 2 3 9 Nghiệm riêng của y'' 3 y ' 2 y 3 x là y x r1 2 4 3 1 Nghiệm riêng của y'' 3 y ' 2 y 5sin 2 x: y cos2 x sin 2 x r2 4 4 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 3 9 3 1 y C ex C e2 x x cos2 x sin 2 x tq 1 2 2 4 4 4
  63. 1 4 4 1 1 1 1 0 0 A 8 11 8 P 2 0 1 D 0 3 0 Câu 8. 8 8 5 2 1 0 0 0 3 Đặt YPX 1 Ta có: Y' DY P 1 F() t ' t y1 1 0 0 y 1 1 4/3 4/3 e y' 030 y 8/3 3 8/32 t 2 2 ' y3 00 3 y 3 8/38/3 7/3 0 ' t t t y1 y 1 e 8 t / 3 y( t ) C e te 8 t / 3 8/ 3 1 1 y' 3 y 8 et /3 6 t 3t t 2 2 y2( t ) C 2 e 2 e / 3 2 t 2/ 3 y' 3 y 8 et / 3 16 t /3 3t t 3 3 y3( t ) C 3 e 2 e /3 16 t /9 16/ 27 Suy ra nghiệm tổng quát của hệ.
  64. Đề mẫu cuối kỳ 2 sinh2 x ln(1 x ) Câu 1. Tính lim x 0 tan x x Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình 4x4 1 y |x | 2 dx Câu 3. Tính tích phân I 1 x3 x2 2 x 1 Câu 4. Tính tất cả ,  để tích phân sau hội tụ. ln x I dx 3 2  1 2 x arctan x
  65. Câu 5. Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi x a( t sin), t y a (1 cos),0 t t 2; a 0 quanh trục Oy. Câu 6. Giải phương trình vi phân y' x y 1 x y 1 Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 4 y ' 4 y e 2x cos x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' 2 x1 4 x 1 2 x 2 5 x 3 t ' x2 6 x 1 x 2 6 x 3 2 t ' x3 8 x 1 3 x 2 9 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.
  66. Giải đề mẫu cuối kỳ 2 x3 Câu 1. sinh2x ln(1 x ) x 3 ( x 3 ) tanx x ( x3 ) 3 sinh2x ln(1 x ) x 3 lim lim 3 x 0tan x x x 0 x3 /3 Câu 2. Tiệm cận đứng: x 0 f() x 4x4 1 2, x a lim lim x x x x| x | 2, x 4x4 1 a 2 b lim f ( x ) ax lim 2x 0 x x x a 2 b lim f ( x ) ax 0 x Có hai tiệm cận xiên: y 2 x , y 2 x
  67. 1 2 dx 1 dt Câu 3. Đặt t I x 2 1 2 1 x 2 3 1/ 2 3 2t t x x2 1 d( t 1) 1 d ( t 1)/ 2 t 1 1 3 I arcsin arcsin 2 2 1/ 2 4 (t 1) 1/ 2 1 (t 1)/ 2 2 1/ 2 2 4 ln xx x  ln x ln x Câu 4. f() x 2/ 3 2/3  3 2  1 x x x arctan x Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân hội tụ với mọi Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân phân kỳ với mọi Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân hội tụ khi 1
  68. Câu 5. x a( t sin), t y a (1 cos),0 t t 2 x' ( t ) a a cos t y' ( t ) a sin t 2 2 t x'( t ) y ' ( t ) 4 a 2 sin 2 2 2 ''2 2 S0 y 2 x ( t ) x ( t ) y ( t ) dt 0 2 2 2 2 t 2 t S0 y 2 a ( t sin t ) 4 a sin dt 4a ( t sin t )  sin dt 0 2 0 2 2 2 t t 2 2 S0 y 4 a t sin sin t sin dt 16 a 0 2 2
  69. ' x y 1 Câu 6. y Đặt u x y 1 u'' 1 y x y 1 u 2 du u u 2 u u' 1 du dx u dx u u u 2 2 8 2u ln u 1 ln u 2 x C 3 3 2 8 x y1 ln x y 1 1 ln x y 1 2 x C 3 3 2t 2 t Câu 7. Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0 C 1 e C 2 te Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: y y y r r1 r 2 1 2 2x Nghiệm riêng của y'' 4 y ' 4 y e 2x : y x e r1 2
  70. 3 4 Nghiệm riêng của y'' 4 y ' 4 y cos x : y cos x sin x r2 25 25 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 1 3 4 y C e2x C xe 2 x x 2 e 2 x cos x sin x tq 1 2 2 25 25 ' 2 Câu 8. x1 4 x 1 2 x 2 5 x 3 t ' x2 6 x 1 x 2 6 x 3 2 t ' x3 8 x 1 3 x 2 9 x 3 Lấy pt đầu cộng với 2 lần pt thứ hai của hệ ' ' 2 x1 2 x 2 8 x 1 7 x 3 t 4 t (1) Lấy 3 lần pt đầu trừ 2 lần pt thứ ba của hệ ' ' 2 3x1 2 x 3 4 x 1 3 x 3 2 t (2)
  71. 1 Đạo hàm hai vế pt thứ 3: x' x '' 8 x ' 9 x ' 23 3 1 3 '' ' ' 2 Thay vào (1): 2x3 19 x 1 18 x 3 24 x 1 21 x 3 3 t 12 t (3) '' ' ' 2 Khử x1 ở pt (2) và (3): 2x3 x 1 6 x 3 3 x 3 -9 t 12 t (4) ' '' ' 2 Khử x1 ở pt (2) và (3): 6x3 16 x 3 4 x 1 6 x 3 - 27 t 36 t (5) ''' ''' ' ' 2 Đạo hàm hai vế (5): 6x3 16 x 3 4 x 1 - 6 x 3 -54 t 36 (6) ' ''' '' ' 2 Rút x1 thay vào (4): x3 4 x 3 5 x 3 2 x 3 3 t 8 t 6 3t2 23 t 79 Giải pt này: x() t C et C e2 t C e 3 t 3 1 2 3 2 2 4 Thay vào (4) ta được x1() t Thay vào đầu của hệ ta được x2 () t
  72. Bài tập '' ' x x x/ 2 x 1) 2y y y 2 e y C1 e C 2 e e 7 5 2) y'' 7 y ' 6 y sin x y C e6x C e x cos x sin x 1 2 74 74 '' ' x 3) y 2 y 2 y 2 x y e C1cos x C 2 sin x x 1 '' ' 2x x2 x 2 x 4) y 3 y 2 y 3 e y C1 e C 2 e (3 x 3) e 5) y'' 7 y ' 6 y ex (3 4 x ) 6) 2y'' 5 y ' 5 x 2 2 x 1 7) 2y'' 5 y ' 29 x sin x
  73. 8) 2y'' 5 y ' 100 xe x cos x 9) y'' 4 y ' 4 y 3 e 2x 10) y'' 4 y ' 4 y sin x cos2 x 11) y'' 4 y ' 4 y sin 3 x 12) y'' 4 y ' 4 y sinh 2 x 13) y'' y cos x 14) y'' y sin x 2 e x 15) 5y'' 6 y ' 5 y ex cosh x