›
›

Toán học - Bài 4: Các dạng toán về không gian vec tơ

ppt 74 trang vanle 2680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Bài 4: Các dạng toán về không gian vec tơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • ppttoan_hoc_bai_4_cac_dang_toan_ve_khong_gian_vec_to.ppt

Nội dung text: Toán học - Bài 4: Các dạng toán về không gian vec tơ

  1. BÀI 4 ( PHẦN 1 )
  2. Dạng 1 XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa (V,+, .) . x, y, z thuộc tập hợp V . p thuộc trường K . hai phép toán (+ , .) (V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi
  3. 1. x+y = y+x 2. x+(y+z) = (x+y)+z 3. 0 c V: x+0 = x 4. (-x)c V: (-x)+x =0 5. 1.x = x 6. p.(q.x) = (p.q). x 7. (p+q).x = p.x + q.x 8. p(x+y) = p.x + p.y
  4. Ví dụ 1: (V, +, .) x, y C V, p CK x = (x1, x2, . . ., xn) , y = (y1, y2, . . ., yn) x+y = (x1+y1, x2+y2, . . ., xn+yn) p.x = (px1, px2, . . ., pxn) V = RCnn K= CR (V,+,.)( C n=RC, C)nn
  5. Ví dụ 2: ( R 2, +, . ) là KGVT? (x1, x2)+(y1, y2 ) = (x1+y2, x2+y1) p(x1,x2) = (px1, px2); p CR ĐK1: x+y = y+x x+y =(1,2) Chọn: x=(0,1) , y=(1,1) y+x = (2,1) x+y = y+x ( R 2, +, . ) không là KGVT
  6. Ví dụ 3: ( R ,2 +, . ) là KGVT? (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) p(x1,x2) = (px1, x2); p C R ĐK7:Vậy: (p+q).x = p.x + q.x x = (1, 2) ( R, p=3,,2 +, . q=4) (p+q)x = 7không (1, 2)= là (7, 2) px+qx =KGVT3 (1, 2)+4 (1, 2) = (3, 2)+ (4, 2) = (7, 4)
  7. Dạng 2 XÉT XEM W CÓ LÀ KGC PP1: Dùng định nghĩa Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC củaW V với khi: hai phép toán (+) và (.) được định nghĩa trên V cũng là một KGVT
  8. PP2: Dùng định lý Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: 1. x,y c W, m c K, ° mx c W ° x+y c W 2. mx+y c W Chú ý V và {0 } là hai KGC của KGVT V
  9. Ví dụ 1: CMR: W là KGC của R3 W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = 0 } CM: m c R, x, y c W mx+yc W mx+y= m (x 1,x2,x3+) (y1,y2,y3) = ( m x 1 +y 1 ,m x 2 +y 2 m, x 3 +y 3 ) mx1+y1+mx2+y2+mx3+y3 = m(x1+x2+x3+) (y1+y2+y3) = m. 0 + 0 = 0 mx+yc W W là KGC
  10. Ví dụ 2: CMR: W không là KGC W = { x =của (x 1R,x32,x3) /x1+x2+x3 = 1 } 1. x,y c W, m c K Chọn: x=(1,0,0) ° mx c W y=(0,1,0) ° x+y c W x+y= (1,1,0) x thuộc W y thuộc W x+y Không thuộc W W không là KGC của R3
  11. BÀI 4 ( PHẦN 2 )
  12. PP: Dùng định lý Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: 1. x,y c W, m c K, ° mx c W ° x+y c W 2. mx+y c W Chú ý V và {0 } là hai KGC của KGVT V
  13. Ví dụ 3: CMR: W là KGC của R3 x1 + x2 = 0 W = { x=(x1,x2,x3)/ } 2x1 + 3x 2 - x3 = 0 1 1 0 0 x1 + x2 = 0 A = 2 3 -1 0 x2 - x3 = 0 d2-2d1 1 1 0 0 0 1 -1 0
  14. x1 + x2 = 0 x2 - x3 = 0 x1 = -t x2 = t x3 = t (t C R)
  15. W = { x = ( -t, t, t ) (t/ C R) } x1= -t x = t x = ( -t, t, t ) 2 y = ( -m, m, m ) c W x3= t KC R kx+y = ( -kt-m , kt+m , kt+m ) Đặt: p=kt+m kx+y = (-p, p, p) kx+yc W W là KGC của R3
  16. Ví dụ 4: CMR: Nếu U và W là KGC U+Wcủa V = thì: { x+y/ x c U và y c W } U W = { x/ x c U và x c W } là KGC của V U+W mc R, u, vc U+W mu+vc U+W
  17. u c U+W u=x+y, x c U,y c W v c U+W v=z+t, z c U,t c W mu+v = m(x+y) +(z+t) = (mx+my) +(z+t) = (mx+z)+( my+t) c U c W mu+vc U+W U+W là KGC
  18. U U U uc U W u c U vàu c W W vc U U W v c U vàv c W u c U mu+v c U U W v c U U U W là mu+vc U KGC u c W v c W mu+vc W
  19. U Ví dụ 5: M={x1, x2, . . . , xn} V ={y/ y là thtt của x1, x2, . . . , xn} CMR: là KGC của V CM: mc K, u, vc mu+vc n uc u= tixi i=1 n v c v= kixi i=1
  20. CM: mc K, u, vc mu+vc n n u= tixi v= kixi i=1 i=1 n n mu+v= m tix i + kixi i=1 i=1 n n = (mti+ki)xi= pixi i=1 i=1 mu+vc là KGC của V
  21. GHI Nếu U và W là KGC của V CHÚ: thì các tập hợp sau đây cũng là U+W:KGC của là tổng V của U và W U U U W= U W: là giao của U và W U + W: là tổng trực tiếp của U và W : là KGC sinh bởi M
  22. Dạng 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC PP1: Dùng đTUYẾNịnh nghĩa TÍNH PP2: Dùng tính chất PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ vectơ
  23. PP1: Dùng định nghĩa {x1, x2, . . . , xn} ĐLTT t1x1 + t2x2 +. . . + tnxn = 0 t1 = t2 =. . . = tn = 0 {x1, x2, . . . , xn} PTTT khi không ĐLTT Ví dụ1:Xét sự ĐLTT PTTT của hệ x = (1+i, i) y = (-1+i, -1) trong C2(R) và C2(C)
  24. t1x + t2y = 0 t1(1+i,i) + t2(-1+i,-1) = 0 ( t 1 +it 1 , it )1 + ( -t 2 +it 2, -t )2 = (0, 0) ( t 1 -t 2 +i(t 1 +t 2 ,) it 1 -t) 2 = (0, 0) t1 = 0 t1-t2+i(t1+t2) = 0 -t +it = 0 (*) t2 = 0 2 1 { x, y } đltt C2(R) (t1, t2 c R) t1-t2 = 0 (*) t1+t2 = 0 -t2 = 0 t1 = 0
  25. t1-t2+i(t1+t2) = 0 (*) -t2+it1 = 0 C2(R) (t1, t2 c C) Chọn t1 = 1, t2 = i 1-i+i(1+i) = 0 (*) -i+i = 0 t1, t2 thỏa (*) { x, y } pttt
  26. Ví dụ2:Trong kgvt V, cho x, y, z ĐLTT. Tìm m để u, v, w PTTT u=x+y-2z v=x+3y-z w=y+mz u, v, w PTTT E k, t, p không đồng thời bằng 0: ku+tv+pw = 0
  27. u=x+y-2z v=x+3y-z w=y+mz  ku+tv+pw = 0 k( x+y-2z )+ t( x+3y-z )+ p( y+ m z )= 0 ( k+t+p )x+ ( k+3t )y+ ( -2k-t+p m )z = 0 k+t+p = 0 k+3t = 0 (*) -2k-t+pm = 0 u, v, w PTTT (*) có n0 khác (0,0,0)
  28. k+t+p = 0 2m-2 = 0 k+3t = 0 (*) m =1 -2k-t+pm = 0 (*) có n0 khác (0,0,0) 1 1 1 1 3 0 0 -2 -1 m
  29. BÀI 4 ( PHẦN 3 )
  30. Dạng 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC PP1: Dùng đTUYẾNịnh nghĩa TÍNH PP2: Dùng tính chất PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ vectơ
  31. PP2: Dùng tính chất (ĐLTT) 1. x = 0 { x } ĐLTT x = 0 2. { x, y } ĐLTT y = kx {x , x , . . ., x } ĐLTT 3. 1 2 n y không là thtt của x1, x2, . . ., xn { y, x1, x2, . . . , xn } ĐLTT M U N 4. M ĐLTT N ĐLTT
  32. Dùng tính chất ( PTTT) 1. 0 c M M PTTT 2. y là thtt của x1, x2, . . ., xn { y, x1, x2, . . . , xn } PTTT M U N 4. N PTTT M PTTT
  33. Ví dụ1:Trong M2(R) xét sự ĐLTT, PTTT của { A , B } -1 -3 1 0 A = B = 1 -2 1 -2 A 0 (ma trận đơn vị) B k.A { A, B } ĐLTT
  34. Ví dụ2:Trong P2[x], cho M={u, v, w} u=x2+x+4 v=2x2-x+1 w=-x2-x+m Tìm m để M ĐLTT u 0 ( 0 = 0x2+0x+0 ) v ku { u, v } ĐLTT M ĐLTT w không là thtt của u, v
  35. u=x2+x+4 v=2x2-x+1 w=-x2-x+m w không là thtt của u, v không tồn tại hai số thực k,t thỏa:w=ku+tv không tồn tại hai số thực k,t thỏa: k+2t = _ 1 k_ t = _ 1 4k+t = m m _ 4 khác
  36. PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết Nếu xếp hệ vectơ trong Rn theo dòng hoặc theo cột thành một ma trận A. Khir(A)< đó: số vectơ của hệ Hệ PTTT r(A)= số vectơ của hệ Hệ ĐLTT
  37. Ví dụ: Tìm m để M={u, v, w}PTTT u = (1, 2, 3, 0) v= (2, -3, 1, 1) w = (3, m-2, 4, 1) 1 2 3 0 M r(A A = 2 -3 1 1 PTTT )<3 3 m-2 4 1
  38. 1 2 3 0 d3-d1 A = 2 -3 1 1 1 2 3 0 3 m-2 4 1 0 -7 -5 1 d2-2d1 d3-3d1 0 m-1 -0 0 1 2 3 0 0 -7 -5 1 0 m-8 -5 1
  39. 1 2 3 0 M r(A 0 -7 -5 1 PTTT r(A ) = )<32 0 m-1 0 0 m = 1 Cách khác: u = (1, 2, 3, 0) v= (2, -3, 1, 1) w = (3, m-2, 4, 1) u 0 { u, v } ĐLTT v ku M PTTT W là thtt của u, v
  40. u=(1, 2, 3, 0) v=(2, -3, 1, 1) w=(3, m-2, 4, 1) M W là thtt của u, v PTTT E k, t: w = ku+tv E k, t:(3, m-2, 4, 1)=( k+2t , 2k-3t , 3k+t , ) t k+2t = 3 2k-3t = m 3k+t-2 = 4 t = 1 t = 1,k = 1, m = 1
  41. Dạng 4 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH PP1: Dùng định nghĩa n y là thtt của {x1,x2, . . ,xn} y = kixi i=1 PP2: Dùng tính chất {x1,x2, . . ,xn}ĐLTT {x1,x2, . . ,xn,y y}PTTT là thtt của {x1,x2, . . ,xn}
  42. 2 Ví dụ1 Trong: P2[x] , y=x +mx+2 là thtt của: u=3x2+2x v=2x2+5x+1 khi và chỉ khi : A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 8
  43. y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 Cách1: (dùng định nghĩa) y=tu+kv x2+mx+2= t(3x2+2x) + k(2x2+5x+1) x2+mx+2= ( 3 t +2 k )x2+( 2t+5k )x+( t+k ) 3t+2k = 1 2t+5k = m t+k = 1
  44. 3t+2k = 1 t = -1 2t+5k = m k = 2 t+k = 1 m = 8 A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 8
  45. Ví dụ2 Trong: P4 , y=(1,1,3,0) là thtt của: u=(2,-3,1,1) v=(3,m-2,4,1) khi và chỉ khi : A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 5
  46. y=(1,1,3,0) u=(2,-3,5,1) v=(3,m-2,7,2) (dùng tính chất) u 0 { u, v } ĐLTT v y thttku của u, v { y, u, v } PTTT r(A )<3 1 1 3 0 A = 2 -3 5 1 3 m-27 2
  47. 1 1 3 0 d3-2d2 A = 2 -3 5 1 1 1 3 0 3 m-27 2 0 -5 -1 1 d2-2d1 d3-3d1 0 m-5 0 0 1 1 3 0 0 -5 -1 1 0 m-5 -2 2
  48. A. m = 2 1 1 3 0 r(A B. m = 3 0 -5 -1 1 )<3 C. m = 4 0 m-5 0 0 m = 5 D. m = 5
  49. BÀI 4 ( PHẦN 4 )
  50. Dạng 5 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA PP : Dùng địnhKGVT nghĩa V hoặc định lý PP1: Dùng định nghĩa M là cơ sở của kgvt V M ĐLTT M là hệ sinh của kgvt V
  51. Ví dụ1:CMR {A, B, C, D}là cơ sở của 1 0 M2 (R)0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 A B C D  {A, B, C, D} là hệ sinh của M2(R) M= x y z t M=xA+yB+zC+tD
  52. 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 A B C D  {A, B, C, D} ĐLTT {A, B, C, D} là CS của M2(R) 2 xA+yB+zC+tD= 0 dim Mn(R) = n x y 0 0 = z t 0 0 x=y=z=t=0
  53. Ví dụ21.: CMR tập hợp W các ma trận vuông cấp hai, đối xứng là KGC của M2(R) 2. Tìm một cơ sở của KGC này 1. W là KGC của MCM2(R): mc R, A, Bc W cW mA+B A = x a a y B = p b b q
  54. x a p b A = B = a y b q x a p b = m + a y b q mA+B mx+p ma+b = ma +b my+q cW mA+BW là KGC của M2(R)
  55. 2. Một cơ sở của W 1 0 0 0 0 1 T = 0 0 0 1 1 0 M1 M2 M3 T là hệ sinh của W x a AcW, A = a y = xM1+ yM2+ aM3 T là hệ sinh của W
  56. 1 0 0 0 0 1 T = 0 0 0 1 1 0 M1 M2 M3 T ĐLTT xM1+ yM2+ tM3 = 0 x t 0 0 = t y 0 0 x=y=t=0 T ĐLTT
  57. PP2: Dùng định lý M là cơ sở của kgvt Vn M ĐLTT M có n vectơ
  58. Ghi chú: R2 B0 = { (1,0) ; (0,1) } C2(C) B0 = { (1,0) ; (0,1) } C2(R) B0 = { (1,0) ; (0,1) ; (i,0) ; (0,i) }
  59. dim R = n W là t/h nghiệm của HPTTT n thuần nhất,n ẩn dim Cn(C) = n  W là KGC của Rn dim Cn(R) = 2n  dim W = n – r(A) 2 dim Mn(R) = n (A là ma trận hệ số)
  60. Ví dụ1: Mệnh đề nào sau đây sai: A. {(1,0),(0,1),(i,0)} ĐLTT trong C2(R) B. {(1,2)} ĐLTT trong C2(R) C. {(1,0),(1,1)} là hệ sinh của R2 D. {(1,0),(0,1),(i,0)} ĐLTT trong C2(C)
  61. Ví dụ2: x = (m,1,-1) y = (2,0,1) u = (2,0,m) {x, y, u} là cơ sở của R3 khi và chỉ khi A. m 0 B. m 1 C. m -1 D. m 2
  62. x = (m,1,-1) y = (2,0,1) u = (2,0,m) {x,y,u} là CS của R3 { x,y,u } ĐLTT m 1 -1 C. m -1 2 0 1 0 D. m 2 2 0 m 2m-2 0 m 1 A. m 0 B. m 1
  63. Ví dụ3:CMR {A, B, C, D}là cơ sở của 1 0 M2 (R)1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 A B C D  dim M2(R)=4 {A,B,C,D} là cs của M2(R) {A,B,C,D} ĐLTT xA+yB+zC+tD= 0
  64. x+y+z+t y+z+t 0 0 = z+t t 0 0 x+y+z+t = 0 y+z+t = 0 z+t = 0 t = 0 x=y=z=t=0 {A,B,C,D} ĐLTT {A,B,C,D} là CS của M2(R)
  65. Ví dụ4: y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 M= dimM=2 khi và chỉ khi {y, u, v}là hệ sinh của M= A. m = 5 dimM=2 r{y, u, v}=2 B. m = 6 C. m = 7 D. m = 8
  66. y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 r{y, u, v}=2 y là THTT của u, v y=tu+kv x2+mx+2= t(3x2+2x) + k(2x2+5x+1) x2+mx+2= ( 3 t +2 k )x2+( 2t+5k )x+( t+k ) 3t+2k = 1 2t+5k = m t+k = 1
  67. 3t+2k = 1 t = -1 2t+5k = m k = 2 t+k = 1 m = 8 A. m = 5 B. m = 6 C. m = 7 D. m = 8
  68. Ví dụ5: U={x=(x1,x2,x3,x4)/x1-3x2+2x3+2x4=0} V={x=(x1,x2,x3,x4)/2x1-2x2+5x3+6x4=0} Tìm số chiều của U+V dim(U+V) = dimU + dimV - dim (U U V) dimU= 4-1 =3 dimV= 4-1 =3 dim(U U V) = 4-2=2 dim(U+V)=4
  69. BÀI 4 ( PHẦN 5 )
  70. Dạng 6 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỊNH NGHĨA: B = {x1, x2, . . . , xn} là cơ sở của V x = (t1, t2, . . . , tn) t 1 x = t1x1 + t2x2 +. . . + tnxn t x = .2 . tn
  71. Ví dụ1: Trong R3, tìm tọa độ của x = (1, 0, 3)/B B = {(1,1,0); (1,0,1); (0,1,1)} t x = t(1,1,0) + m(1,0,1) + p(0,1,1) x= m (1,0,3) = ( t+m , t+p , m+p ) p
  72. (1, 0, 3) = ( t+m , t+p , m+p ) t + m = 1 t = -1 t + p = 0 m = 2 m + p = 3 p = 1 -1 x = 2 1
  73. Ví dụ2: 2 Trong P2[X], tìm tọa độ của x=2x +x-3 đối với B = { 1, (x-1), (x-1)2 } t x = t.1 + m(x-1) + p(x-1)2 x= m = ( p )x2 + ( -2m-2p )x + ( t+m+p ) p
  74. 2x2+2x-3 = ( p )x2 + ( -2m-2p )x + ( t+m+p ) p = 2 t = -1 -2m -2p = 2 m = -3 t+m+p = -3 p = 2 -1 x = -3 2