Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân (Tiếp theo)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân (Tiếp theo)

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích 1 Chương 3: Tích phân (tt) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Nội dung 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003. 2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008
3. I. Tích phân xác định Bài tốn Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: y f() x , trục hồnh, hai đường thẳng x = a và x = b.
4. Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, , Sn.
5. Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, , Sn bằng các hình chữ nhật
6. Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.
7. Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần. n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác.
8. Trên mỗi miền S1, S2, , Sn lấy tùy ý một điểm
9. Ta cĩ SSSS 1 2 n Sfxxx (1 )  ( 1 0 ) fxxx ( 2 )  ( 2 1 ) fxxx (n )  ( n n 1 ) n * S  f() xi  x i i 1 n * Nếu giới hạn I lim f ( xi )  x i tồn tại khơng phụ x 0  i i 1 * thuộc cách chia S và cách lấy điểm xi , thì I gọi là tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và n b S lim f ( x )  x f ( x ) dx  i i max( xi ) 0 i 1 a
10. Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: y x2 , trục hồnh, hai đường thẳng x = 0 và x = 1.
11. Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái
12. Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải
13. 8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
14. 10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
15. 30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
16. 50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
17. Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn
18. Tính chất b 1. dx b - a a b c b 2. f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ; a c b a a c b b b 3. f ( x )  g ( x ) dx f ( x ) dx  g ( x ) dx a a a b b 4. Nếu x  a,()() b f x g x , thì f()() x dx g x dx a a 5. x  a , b f ( x ) 0 &  x0  a , b f ( x 0 ) 0 b f( x ) dx 0 a
19. Tính chất 6. x  abfx , ( ) gx ( ) &  x0  abfx , ( 0 ) gx ( 0 ) b b f()() x dx g x dx a a 7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]: b b f()() x dx g x dx a a 8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì x b F()();()() x f t dt G x f t dt a x là những hàm liên tục trên đoạn này.
20. Tính chất a 9. f ( x ) lẻ f ( x ) dx 0 a a a 10. f ( x ) chẵn f ( x ) dx 2 f ( x ) dx a 0 a T a 11. f ( x ) tuần hoàn chu kỳ T f ( x ) dx f ( x ) dx a 0 2008 Ví dụ Tính I sin(2008 x sin x ) dx 0 Hàm liên tục, tuần hồn chu kỳ T 2008 và hàm lẻ: tuần hoàn T 1004 lẻ I sin(2008 x sin x ) dx 0 1004
21. Cơng thức Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) b f()()()() x dx F xb F b F a a a Cơng thức Đạo hàm theo cận trên Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) ' x ' ()x ' f()() t dt f x f()()() t dt f x  x a a
22. Hai phương pháp tính tích phân xác định Đổi biến Nếu f(x) liên tục trên (a,b), (t ), ' ( t ) xác định và liên tục trong khoảng t1, t 2 , ngồi ra t (,)() t1 t 2 a t b b t 2 ' Khi đĩ: f( x ) dx f ( ( t ))  ( t ) dt a t1 trong đĩ (),()t1 a t 2 b
23. Hai phương pháp tính tích phân xác định Từng phần Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b], b b udv uvb vdu a a a Chứng minh.
24. Ví dụ Tích phân nào lớn hơn / 2 / 2 I sin3 xdx , J sin 7 xdx 0 0 / 2 / 2 x 0, / 2 sin7 x sin 3 x sin7xdx sin 3 xdx 0 0 11 x19 dx 1 Ví dụ Chứng minh 2 20 2 0 1 x 20 x19 x 19 x (0,1) : x19 tích phân hai vế ta cĩ biểu 2 1 x2 thức cần chứng minh
25. 15 2 5 n 5 Ví dụ Tính giới hạn của dãy S n n6 Xét hàm f() x x5 trên đoạn [0,1]. Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi phần cĩ độ dài 1/n. k 1 k k Trên mỗi đoạn con , chọn điểm n n n 1 15 2 5 n 5 1 n k 1 lim Sn lim lim f f() x dx n n 5 n  n n nk 1 n 0 1 x6 1 lim Sn n 60 6
26. 1 1 1 Ví dụ Tính lim  x n 1 n 2 n n 1 1 1 1 1 1 1   n 1 n 2 n n n 1 1/ n 1 2/ n 1 n / n Xét hàm f( x ) 1/(1 x ) trên đoạn [0,1]. Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, cĩ độ dài 1/n. k 1 k k Trên mỗi đoạn con , chọn điểm n n n 1 1 1 1 1 n k lim  lim f n n  n 1 1/ n 1 2/ n 1 n / n nk 1 n 1 1 dx f() x dx ln 2 0 0 1 x
27. x cost2 dt Ví dụ Tính I lim 0 x 0 x x Nhận xét cost2 dt  x 0 0 0 0 Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 x ' 2 cost dt cos x2 I lim 0 lim cos0 1. x 0 x ' x 0 1
28. sin x tantdt 0 Ví dụ Tính I lim tan x x 0 sintdt 0 sinx tan x x 0 x 0 Nhận xét tantdt 0, sin tdt  0 0 0 0 Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 ' sin x tantdt 0 tan(sinx ) cos x I lim ' lim 1. x 0 tan x x 0 sin(tanx ) (1/ cos2 x ) sintdt 0
29. x (arctant )2 dt Ví dụ Tính I lim 0 x x2 1 x Nhận xét (arctant )2 dt  x 0 Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital ' x (arctant )2 dt 2 2 2 0 x 1  arctan x I lim ' lim x 0 2 x x 4 x 1
30. I. Tính các tích phân sau 7 x3 141 1) dx 3 2 0 1 x 20 4 dx 3 2) 2ln 2 7 x 9 4 7 ln3 dx 2 1 3) ln x 0 e 1 3( 2 1) e cos(lnx ) dx 4) sin1 1 x 1 1 x e 2 5) e 1 dx e 1
31. I. Tính các tích phân sau 1 15 8 29 6) x 1 3 x dx 0 270 / 4 cos2x -1 2 3 7) 3 dx 0 sinx cos x 2 18 2 2 3 / 6 cos x 10 8) 2 dx ln 0 6 5sinx sin x 9 / 2 cos x 2 9) dx 0 7 cos2x 12 / 2 sin6 x 10) 6 6 dx 0 sinx cos x 4
32. / 4 6 13 11) tan xdx 0 15 4 / 4 dx 2 2 2 12) 3 ln 0 cos x 2 2 1 dx 2 5 13) ln 2 0 x 2 x 1 1 2 1/ 3 1 1 2 sinh 2 14) cosh 3xdx 12 6 0 3 x 4 15) arcsin dx 3 0 1 x 3
33. / 2 4 4 16) cos2x sin x cos x dx 0 0 1 ln(1 x ) dx ln 2 17) 2 0 (1 x ) 8 2 3 5/ 2 x 1/ x e 18) 1 x 1/ x e dx 2 1/ 2 1 19) arcsin xdx 4 0 e dx 20) 2 2 1 1 x1 ln x
34. II. Tính giới hạn của các dãy sau 1 2 (n 1) 2 1) sin sin  sin n n n n 1 1 2 n 2 2) 1 1  1 2 2 1 n n n n 3 1 2 2n 1 3)  2 n2 n 2 n 2 1 1 1 4)  4n2 1 4 n 2 2 2 4 n 2 n 2 6 n 2k/ n 1 5)  k 1 n 1/ k ln 2
35. II. Tính các đạo hàm sau x2 d 2 1) 1 t dt dx 0 1 d t2 2) e dt dx x d x3 dt 3) 4 dx x2 1 t cos x d 3 4) cos t dt dx sin x