Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Nội dung 1 – Taylor Maclaurint. 2 – Qui tắc Lôpital. 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
3. II. Qui tắc Lôpital Định lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và f()() x0 g x 0 . '' 2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f( x0 ), g ( x 0 ) 0. f()() x f' x Khi đó: lim lim ' x x0g() x x x 0 g() x f()() x f x0 ' f() x x x0 f() x lim lim lim ' x x0g() x x x 0 g()() x g x0 x x0 g() x x x0
4. II. Qui tắc Lôpital 0 Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) 0 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) x ( a , b ) : g' ( x ) 0. 3) Tồn tại limf ( x ) lim g ( x ) 0 x a x a f' () x 4) Tồn tại lim hữu hạn hay vô hạn. x a g' () x f() x f()() x f' x Khi đó tồn tại lim và lim lim x a g() x x ag() x x a g' () x
5. II. Qui tắc Lôpital Chứng minh
6. II. Qui tắc Lôpital Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) x ( a , b ) : g' ( x ) 0. 3) Tồn tại limf ( x ) lim g ( x ) x a x a f' () x 4) Tồn tại lim hữu hạn hay vô hạn. x a g' () x f() x f()() x f' x Khi đó tồn tại lim và lim lim x a g() x x ag() x x a g' () x
7. II. Qui tắc Lôpital Chứng minh
8. II. Qui tắc Lôpital Dạng vô định: 0 f 0 f  g dạng f 0 1/ g 0 g f f  g dạng 1/ g Các dạng vô định: , 1 , 0 , 0 0 Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0.
9. III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. 2) Tìm đạo hàm cấp 1: y'() x 3) Tìm đạo hàm cấp hai y''() x 4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng. 5) Lập bảng biến thiên. 6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.
10. Ví dụ. Tìm cực trị của hàm y f() x cho bởi p/trình tham số t3 t 3 2 t 2 x , y t2 1 t 2 1 t2( t 2 3) y' () t (t 1)( t2 t 4) x' ( t ) 0 t 0 y' () x (t 2 1) 2 x' () t t( t 2 3) y' ( x ) 0 t 1 Tồn tại hai điểm tới hạn: 1 x 0 ( t 0); x ( t 1) 2 y' () x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt cực đại tại x = 0. y' () x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt cực tiểu tại x = 1/2.
11. Ví dụ. Tìm điểm uốn của hàm y y() x cho bởi p/trình tham số cos(2t ) x 1 cot( t ), y ,0 t sint '' ' '' ' '' y()()()() t x t x t  y t y() x 3 x' () t 3 y'' ( x ) 0 t  t 4 4 3 y'' () x đổi dấu khi qua t  t 4 4 Vậy hàm có hai điểm uốn: 0,0 và (2,0) (ứng với hai giá trị của t ở trên)
12. Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) Tiệm cận đứng: limf ( x ) x x0 là tiệm cận đứng. x x0 Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm. f() x y ax b a lim Tiệm cận xiên: x x là tiệm cận xiên b lim f ( x ) ax x Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.
13. Ví dụ. arctan 2x Tìm tiệm cận của đồ thị y x(1 x ) Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1. arctan 2x lim 2 x = 0 không là tiệm cận đứng. x 0 x(1 x ) arctan 2x lim x = 1 là tiệm cận đứng. x 1 x(1 x ) arctan 2x lim 0 y = 0 là tiệm cận ngang. x x(1 x )
14. Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t): Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối xứng qua Ox. Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối xứng qua Oy. Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua gốc O.
15. Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t): limx ( t ) a t t0 Nếu x a, thì x a là tiệm cận đứng limy ( t ) t t0 limx ( t ) t t0 Nếu y b, thì y b là tiệm cận ngang limy ( t ) b t t0 y() t limx ( t ) lim a t t0 t t x() t Nếu và 0 limy ( t ) lim y ( t ) a  x ( t ) b t t 0 t t0 thì y ax b là tiệm cận xiên.
16. Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t): 1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t. 2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t. 3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t). 4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t). 5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.
17. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y y() x cho bởi p/trình tham số x t2, y t 3 3 t x' ( t ) 2 t x' ( t ) 0 t 0 y'( t ) 3 t 2 3 0 t 1  t 1 Tiệm cận xiên: không có.
18. ' x( t ) 2 t y'( t ) 3 t 2 3 t 3 1 0 1 3 x' () t 0 3 x() t 1 3 0 1 ' y() t 0 0 2 y() t 0 0 0 2
19. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y y() x cho bởi p/trình tham số t2 t 3 x , y 4(1 t ) 8( t 1) t(2 t ) x' () t x' ( t ) 0 t 0  t 2 4(1 t )2 t2 (2 t 3) 2 y' ( t ) 0 t 0  t 8(t 1)2 3 Điểm đặc biệt:
20. t(2 t ) t2 (2 t 3) x' () t y' () t 4(1 t )2 8(t 1)2 t 0 1 3/ 2 2 x' () t 0 0 1 x() t 9/8 0 ' y() t 0 0 y() t 0 1 27 /32
21. t2 t 3 Cách tìm tiệm cận x , y 4(1 t ) 8( t 1) t t0 1) Tìm những điểm t0 : x() t  Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức. t t0 2) Tìm những điểm t0 : y() t  Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức. t t0 3) Tìm những điểm t0 : x( t ) & y ( t )  Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức. x 1 Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên: y 2 8
22. Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r r 1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy). Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên TT một chu kỳ 0,T  hoặc , rồi quay đồ thị quanh 2 2 gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới. 2) Tính đạo hàm của r theo 3) Lập bảng biến thiên của hàm r()
23. Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r r 4) Tìm tiệm cận. Để đơn giản dùng đổi biến: x r( )  cos( ), y r ( )  sin( ) và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số . Nếu limr ( ) a, thì r a là đường tròn tiệm cận. 5) Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào BBT vẽ. Chú ý: Nếu r < 0, thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O.
24. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực r 1 sin Hàm tuần hoàn với chu kỳ T 2 Chỉ cần khảo sát trong đoạn 0,2  . r' ( ) cos r' ( ) 0 / 2  3 / 2 Hàm không có tiệm cận. 0 / 2 3 / 2 2 r' 0 0 2 1 r 1 1 0
25. Xoay hình đã vẽ xung quanh gốc O một góc 2 đến khi đến khi không sinh ra hình mới, được đồ thị trên toàn MXĐ.
26. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực r cos2 T Chỉ cần khảo sát trong đoạn  / 2, / 2 Hàm chẵn nên cần khảo sát trong đoạn 0, / 2 r' ( ) 2sin 2 r' ( ) 0,   0, / 2 Hàm không có tiệm cận. 0 / 4 / 2 r' 0 1 r 0 1
27. Lấy đối xứng qua trục Ox: quay quanh gốc O một góc
28. Hình trên: y cos2 x Hình dưới: r cos2
29. Ví dụ. Khảo sát, vẽ đồ thị r 1 Miền xác định: R \ 1 1 r' ( ) 0 1 2 Tiệm cận: lim 1 r 1 là đường tròn tiệm cận. 1 x r cos cos 1 Tiệm cận xiên: 1 y rsin sin y tan1 x 1 cos1
30. 1 r ' 1 r 1
31. I. Tính giới hạn (sử dụng qui tắc Lôpital) 1/ x ln(1 x ) x 1 (1 x )1/ x 1/ 2 1) lim 2 6) lim e x 0 tan x 2 x 0 e ln(tanx ) tan x 2) lim 1 7) lim arcsin x 1 x / 4 cot 2x x 0 2 xarcsin x 8) lim x1/ ln(sinhx ) e 3) lim 3 x 0 xcos x sin x x 0 arctan(x 1) 4) lim 9) limxx 1 ln x 0 0 x 1 x2 x 2 x 0 tan x x 1/ x 5) lim 0 10) lim 3x2 3x 3 x 0 arcsinx ln(1 x ) x
32. x esin x e x x 1 11) lim 16) lim 2 x 0 sin x x 1 x 1 lnx x 1 1 1 1 n x3 17) lim 2 12) lim x e 0 x 0 x x tanh x tan x 3 1 1 tan 2x 18) lim tan x 1 13) lim x / 4 e x 0 xarcsin x 0 1/ x x 1 1 1 19) lim tan 1 14) lim 2 x 1 xarctan x x 3 x 2x 1 1/ x2 1/ x2 1/ 2 arcsin x e 15) lim cos x e 20) lim x 0 x 0 x
33. II. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. t2 t 2 1 1) x t3 2 t 2 t , y 2 3 t t 3 7) x , y t 1 t 2 2 3 3 t t 1 2) x t 3 , y t 6arctan t 8) x , y t 2 1 t 2 t3 t 3 2 t 2 1 1 3) x 2 , y 2 1 t 1 t 9) x 2 , y 3 t t t t 4) x t sin t , y 1 cos t 10) x et t , y e2 t 2 t t e 2 5) x cos t ln tan( t / 2), y sin t 11) x , y t 1 et t t2 1 t 3 1 x 2cos t cos2 t 6) x , y 2 12) t t y 2sin t sin 2 t
34. II. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. 7) r 1 tan 1) r 2 cos 1 2) r 1 2cos 8) r sin3 3) r cos3 9) r sin 2 4) r 1 tan 10) r 2(1 cos ) 2 5) r 1 cos 11) r 1 sin 6) r tan 2 12) r a cos3 , a 0
35. I. Vẽ các hình sau x( t ) 1.5cos t cos(30 t ); y ( t ) 1.5sin( t ) sin(30 t )
36. x( t ) sin( t cos(100 t )); y ( t ) cos( t sin(100 t ))
37. x( t ) t 2sin(2 t ); y ( t ) t 2cos(5 t )
38. x( t ) sin(2 t ); y ( t ) sin( t sin(2 t ))
39. sin(2t ) cos(2 t ) x();() t y t 4 t2 4 t 2
40. x( t ) t sin(4 t ); y ( t ) t2 cos(3 t )
41. x( t ) cos(8 t ); y ( t ) sin(5 t )
42. x( t ) cos(8 t ); y ( t ) sin(5 t )
43. r sin2 (2.4 ) cos 4 (2.4 )
44. r sin2 (1.2 ) cos 3 (6 )
45. r sin(8 /5)
46. r 1 2sin(3 )
47. r cos( /3)
48. 8 r sin 5