Vật liệu và dụng cụ vẽ - Chương III: Hình chiếu vuông góc

Nội dung text: Vật liệu và dụng cụ vẽ - Chương III: Hình chiếu vuông góc

1. CHƯƠNG III HÌNH CHIẾU VUƠNG GĨC MỤC TIÊU THỰC HIỆN Học xong bài này HSSV cĩ khả năng: • Mơ tả được các phép chiếu vật thể. • Mơ tả và xác định được hình chiếu thứ ba của điểm, đọan thẳng, hình phẳng khi biết trước hai hình chiếu của chúng. • Vẽ được hình chiếu của các khối hình học và một số vật thể đơn giản.
2. NỘI DUNG CHÍNH 1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU 1.1. Các phép chiếu 1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm 1.1.2. Phép chiếu song song 1.2. Phương pháp vẽ các hình chiếu vuơng gĩc 2. HÌNH CHIẾU VUƠNG GĨC CỦA CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC 2.1. Hình chiếu của điểm 2.2. Hình chiếu của một đường thẳng (đoạn thẳng) 2.3. Hình chiếu của một mặt phẳng (hình phẳng) 3. HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC 3.1. Khối đa diện 3.1.1. Hình lăng trụ 3.1.2. Hình chĩp và chĩp cụt đều 3.2. Khối trịn xoay 3.2.1. Hình trụ 3.2.2. Hình nĩn 3.2.3. Hình cầu
3. 1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU 1.1. Các phép chiếu S 1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm • S: tâm chiếu A • SA : tia chiếu • P’ : mặt phẳng hình chiếu A' • A' : hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên P mặt phẳng hình chiếu P qua tâm chiếu S S Hình 3.1 • A’B’C’ : hình chiếu xuyên tâm của ABClên mặt phẳng hình chiếu P’ qua A B tâm chiếu S C • Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu mà các tia chiếu đều đi qua một điểm cố B' định S . A' C' P Hình 3.1
4. 1.1.2. Phép chiếu song song Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tia chiếu luơn song song với một đường thẳng cố định l gọi là phương chiếu . - Phép chiếu xiên : nếu phương B A B A chiếu l xiên với mặt phẳng hình chiếu P. ( Hình 3.2a) - Phép chiếu vuơng gĩc : nếu A' A' B' B' phương chiếu l vuơng gĩc P P với mặt phẳng hình chiếu P. a) Hình 3.2 b) Hình 3.2a ( Hình 3.2b) A B A B A' A' B' B' P P a) Hình 3.2 Hình 3.2bb)
5. 1.2. Phương pháp vẽ các hình chiếu vuơng gĩc C B A Hình 3.3a - Hình chiếu các điểm cùng nằm trên một tia chiếu A' B' C' P P Hình 3.3aHình 3.3a Hình 3.3b C B A Hình 3.3b - Hình chiếu giống A' B' C' nhau của 2 vật thể khác nhau P P Hình 3.3a Hình 3.3b Hình 3.3b
6. Phương pháp vẽ các hình chiếu vuơng gĩc của vật thể hc đứng - Chiếu vật thể lên các mặt P1 hc cạnh phẳng hình chiếu vuơng gĩc với nhau từng đơi một . - Sau đĩ, xoay các mặt P 3 phẳng hình chiếu về cùng một mặt phẳng bản vẽ (xoay theo chiều qui ước). - Lúc này, trên mặt phẳng hc bằng bản vẽ cĩ các hình chiếu vuơng gĩc của vật thể. P2 Hình 3.4
7. P1 P3 o Hình 3.4a - Sau khi xoay các mặt phẳng hình chiếu về cùng một mặt phẳng bản vẽ. P2 Hình 3.4b - Ba hình chiếu vuơng Hình 3.4a gĩc của vật thể, sau khi bỏ đi P1 P1 P3P3 đường bao của các mphc Hình 3.4c - Ba hình chiếu vuơng o o o o gĩc của vật thể, sau khi bỏ đi đường bao của các mphc và các trục chiếu P2P2 Hình 3.4b Hình 3.4c
8. 2. HÌNH CHIẾU VUƠNG GĨC CỦA CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC 2.1. Hình chiếu của điểm 2.1.1. Hình chiếu của điểm trên hai mặt phẳng hình chiếu P1 P1 P2 A1 A1 A1 A A A A A2 A2 A2 P2 Hình 3.5 - Để vẽ hai hình chiếu của điểmHình A trên3.5 cùng một mặt phẳng, ta xoay P2 quanh trục x một gĩc 90°( theo chiều qui ước ) về trùng mặt phẳng P1. - Cặp điểm (A1,A2) nằm trên đường vuơng gĩc với trục x cịn gọi là đồ thức của điểm A. - Để đơn giản chỉ vẽ trục x và cặp hình chiếu A1,A2.
9. 2.1.2. Hình chiếu của điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu P1 P2 P3 - Lần lượt chiếu điểm A lên 3 mặt z P1 A A3 A1 phẳng hình chiếu A A1 z - Sau khi xoay P2 như trên, ta xoay A A3 P3 P3 quanh trục z về phía bên phải A o của P1. Ax o A2 - Ta cĩ 3 hình chiếu A1, A2, A3 cùng A2 Ay nằm trên một mặt phẳng bản vẽ P1 P2 P2  P3(hình 3.6a). Hình 3.6a) Chúng mang tính chất sau: P1 P2 P3 A1 A2 ⊥ Ox z P1 A A3 A1 A1A3 ⊥ Oz A1 Az A2Ax = A3Az A A3 P3 A o Ax o A2 A2 Ay P2 Hình 3.6a) Hình 3.6a
10. Nhờ tính chất này, bao giờ ta cũng vẽ được hình chiếu thứ ba khi biết được hai hình chiếu vuơng gĩc của điểm (hình 3.6b). A1 A1 Az AzA3 A3 A1 A1 Az AzA3 A3 Ax Ax o o Ay Ay Ax Ax o o Ay Ay 45° 45° 45° 45° Ay Ay Ay Ay A2 A2 A2 A2 Hình 3.6b
11. 2.2. Hình chiếu của một đường thẳng (đoạn thẳng) - Một đường thẳng được xác định khi ta biết hai điểm khơng trùng nhau. - Do đĩ, muốn vẽ hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng hay đoạn thẳng, ta chỉ cần vẽ hình chiếu vuơng gĩc của hai điểm đĩ rồi nối chúng lại. 2.2.1. Hình chiếu của đoạn thẳng trên một mặt phẳng hình chiếu Tùy theo vị trí của đoạn thẳng so với mặt phẳng hình chiếu, ta cĩ 3 trường hợp: B A A A B B A' B' A' B' A' B' P P P a) b) c) Hình 3.7 - Đoạn thẳng xiên với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nĩ là đoạn thẳng khơng song song và cĩ độ dài khơng bằng nĩ( A'B'< AB) (hình 3.7a). - Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nĩ là đoạn thẳng song song và cĩ độ dài bằng nĩ ( A'B'= AB) (hình 3.7b). - Đoạn thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nĩ là một điểm (A'B') (hình 3.7c).
12. 2.2.2. Hình chiếu của đoạn thẳng trên ba mặt phẳng hình chiếu - Để tìm hình chiếu của đoạn thẳng trên 3 mặt phẳng hình chiếu, ta xem vị trí đoạn thẳng so với từng mặt phẳng hình chiếu rồi lần lượt chiếu nĩ lên các mặt phẳng hình chiếu đĩ. - Sau đĩ, xoay các mặt phẳng hình chiếu theo qui ước về trùng một mặt phẳng bản vẽ, ta cĩ 3 hình chiếu của đoạn thẳng trên một mặt phẳng bản vẽ (hình 3.8). P1 A1 A 3 A 1 B B A A 1 3 3 P3 B o B1 o B 3 B2 B A 2 2 P2 A 2 Hình3.8a) Trường hợp AB xiên với P1, P2 ,P3
13. A1 A3 P1 A1 A3 P1A1 B1 B3 A1 A A3 P3 B1 B3 A A3 P o B1 3 B o B1 B3 o B B3 o A2 B2 P2 A2 B2 A2 B2 P2 A2 B2 Hình 3.8b) Trường hợp AB ⁄⁄ P1 AB xiên P2 , P3
14. A3 A1 A1 A3 P1 P1 A1 A1 A3 B1 B3 A3 B B P 1 3 B 3 P 1 B 3 o 1 o B3 o B3 o A2 B2 P2 A2 B2 A2 B2 P2 A2 B2 Hình 3.8c) Trường hợp AB ┴ P2 AB ┴ P1 AB ┴ P3
15. 2.3. Hình chiếu của một mặt phẳng (hình phẳng) 2.3.1. Hình chiếu của hình phẳng lên 1 mặt phẳng hình chiếu Tùy theo vi trí của hình phẳng so với mặt phẳng hình chiếu, ta cĩ 3 trường hợp: C C A D B D C A B D A B D' C' D' C' C' D' A' B' A' B' A' B' P P P a) b) c) Hình 3.9 Hình 3.9 - Hình phẳng xiên so với mphc: A’B’C’D’khơng song song và nhỏ hơn ABCD (hình 3.9a). - Hình phẳng song song với mphc: A’B’C’D’ song song và bằng ABCD(hình 3.9b). - Hình phẳng vuơng gĩc với mphc: hình chiếu của nĩ là 1 đoạn thẳng (hình 3.9c)
16. 2.3.2. Hình chiếu của hình phẳng lên 3 mặt phẳng hình chiếu Muốn tìm hình chiếu của hình phẳng trên 3 mặt phẳng hình chiếu, ta xem vị trí hình phẳng so với từng mặt phẳng hình chiếu rồi lần lượt chiếu nĩ lên các mặt phẳng hình chiếu đĩ. Sau đĩ xoay các mặt phẳng hình chiếu theo qui ước về trùng một mặt phẳng bản vẽ, ta cĩ 3 hình chiếu của hình phẳng trên mặt phẳng bản vẽ như sau: (hình3.10a,b,c): P1 P1 A1 A1 A3 A3 C C C 1 C 1 3 3 A 1 A 1 C1 C1 A A A PA P B 3 B 3 C C 3 3 3 3 B1 B1 B B o C3 C3 o B1 B1 B B B2 B2 o o3 3 B2 B2 A2 A2 C C2 P2 P2 2 A2 A2 C2 C2 Hình 3.10a Trường hợp ABC xiên với P1, P2 ,P3
17. D3 D1C1 3 D3 C P1 D1C1 C3 P1 1 1 D C 1 D1DC1 B A1 DD3 B1A1 CD33 A B3 B1A1 C C3 3 A B3 B1A1 C P3 3 A A3 P3 A A3 o o B3 B B3 Bo D2 o A2 D2 D2 A2 A2 D2 A2 B2 2 BC2 C2 P2 P2 B2 2 B2 C C2 Hình 3.10b Trường hợp ABCD ┴ P1 , ABCD xiên P2 , P3
18. C11 C B BB1 C C 3 B3 3 C 1 1 3 P1P1 C 1 BB1 1 BB CC CC3 BB 3 33 D 3 D AA1 D11 AA3 D 3 PP33 1 3 AA1 1 DD1 1 oo AA DD DD AA 33 33 AA2 2 BB2 2 CC22 DD22 PP2 2 A B C D A22 B22 C22 D22 Hình 3.10c Trường hợp ABCD ⁄⁄ P1 , ABCD ┴ P2 , P3
19. 3. HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC 3.1. Khối đa diện • Khối đa diện là khối hình học được giới hạn bằng các đa giác phẳng là S1 các mặt của khối đa diện. Các đỉnh và các cạnh của đa giác cũng S chính là các đỉnh và các cạnh của K 1 khối đa diện. K • Muốn vẽ hình chiếu của khối đa C A1 C1 diện phải vẽ hình chiếu của các E 1 B1 D1 D đỉnh, các cạnh và các mặt của đa D2 E diện. Khi chiếu lên mặt phẳng hình E2 B chiếu, nếu cạnh khơng bị các mặt A C2 của vật thể che khuất thì cạnh đĩ S2 A2 K2 được vẽ bằng nét liền đậm, cịn cạnh nào bị che khuất thì cạnh đĩ B2 vẽ bằng nét đứt (hình 3.11). Hình 3.11
20. 3.1.1. Hình chiếu vuơng gĩccủa khối lăng trụ + Hình chiếu vuơng gĩccủa hình hộp chữ nhật z K 1 K3 - Để đơn giản, ta đặt các mặt C A3 của khối hình hộp song song D1 A1 1 B1 C3 D3 K x B3 y C z hoặc vuơng gĩc với các mặt D2 C2 phẳng hình chiếu. B K 1 K D 3 - Hình chiếu của chúng là các A hình chữ nhật. C A3 A2 K2 B2 D1 A1 1 B1 C3 D3 K x B3 y - Muốn xác định một điểm K y C D2 C2 nằm trên mặt của khối hình Dhộp, ta vẽB qua K đường thẳng nằmA trên mặt của khối hình A 2 K2 B2 hộp. y
21. + Hình chiếu của hình lăng trụ đáy tam giác đều z z K 1 K 1 K3 K3 K K y x x y K2 K2 y Hình 3.12 y
22. 3.1.2. Hình chĩp và chĩp cụt đều S1 S z 3 S ▪ Hình chiếu của hình chĩp đáy hình vuơng K1 K 3 K - Đặt đáy hình chĩp đều song x y song với mặt phẳng hình chiếu S1 S z 3 S bằng P2 và 2 đường chéo đáy song song với P1, P3, sẽ được S2 các hình chiếu như hình 3.14a. K1 K 3 K 2 K Hình 3.14a) x y - Để tìm hình chiếu của điểm y nằm trên mặt hình chĩp, ta cĩ thể dùng một trong hai cách S2 sau: K 2 - Cách 1: kẻ qua K đường Hình 3.14a) y thẳng SK nằm trên mặt bên của hình chĩp Hình 3.13a
23. ▪ Hình chiếu của hình chĩp cụt đáy hình vuơng z z K3 K1 y x K3 K1 x y K K K Hình 3.14b) 2 Hình 3.13b K y Hình 3.14b) 2 y - Cách 2: Dựng mặt phẳng qua K song song với đáy sẽ cắt hình chĩp theo giao tuyến là một hình đồng dạng với đáy như hình 3.14b.
24. 3.2. Khối trịn xoay Hình 3.15 • Khối trịn xoay là khối hình học giới hạn bởi mặt trịn xoay hay một phần mặt trịn xoay và các mặt phẳng. • Mặt trịn xoay là mặt tạo bởi một đường bất kỳ quay một vịng quanh một đường thẳng cố định. Đường bất kỳ gọi là đường sinh của mặt trịn xoay, đường thẳng cố định gọi là trục quay của mặt trịn xoay. Mỗi điểm của đường sinh khi quay sẽ tạo thành một đường trịn cĩ tâm nằm trên trục quay và bán kính bằng khoảng cách từ điểm đĩ đến trục quay (hình 3.15). - Nếu đường sinh là đường thẳng song song trục quay sẽ tạo thành mặt trụ trịn xoay. - Nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay sẽ tạo thành mặt nĩn trịn xoay - Nếu đường sinh là nửa đường trịn quay quanh trục quay là đường kính của nĩ sẽ tạo thành mặt cầu trịn xoay.
25. 3.2.1. Hình trụ - Khi vẽ hình chiếu, để đơn giản, K 1 K 3 nên đặt đáy của hình trụ song K song với mặt phẳng hình chiếu P2. K K 1 3 - Hình chiếu bằng là đường trịn cĩ đường kính bằng đường kính K đáy của hình trụ. - Hình chiếu đứng và hình chiếu Hình 3.16 K 2 cạnh là hai hình chữ nhật bằng nhau cĩ các cạnh song song với trục x cĩ độ dài bằng đường kính đáy. Hai cạnh song song với trục z Hình 3.16 K là hinh chiếu của đường sinh hai 2 bên của mặt trụ, cĩ chiều cao bằng chiều cao hình trụ (hình 3.16). - Muốn xác định một điểm nằm Hình 3.16 trên mặt trụ thì vẽ qua điểm đĩ đường sinh hay đường trịn của mặt trụ.
26. 3.2.2. Hình nĩn - Nếu đặt đáy của hình nĩn song K 3 song với mặt phẳng hình chiếu K K1 bằng P2 thì hình chiếu bằng là K 3 hình trịn cĩ đường kính bằng K1 K đường kính đáy. - Hình chiếu bằng của đỉnh hình Hình 3.17 nĩn trùng với tâm hình trịn. K 2 - Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình nĩn là hai hình Hình 3.17 K 2 tam giác cân bằng nhau và cĩ cạnh đáy bằng đường kính đáy của hình nĩn (hình 3.17) Hình 3.17
27. K1 K1 K 3 K K 3 K Hình 3.18 K Hình 3.18 2 K 2 Hình 3.18 là hình chiếu của hình nĩn cụt.
28. 3.2.3. Hình cầu K1 K K 3 1 K 3 K K Hình 3.19 Hình 3.19 K 2 K 2 - Hình cầu là khối hình học giới hạn bởi mặt cầu. - Hình chiếu của hình cầu là hình trịn cĩ đường kính bằng đường kính của hình cầu, đồng thời cũng là hình trịn lớn song song với mặt phẳng hình chiếu. - Hình trịn ở hình chiếu đứng là hình chiếu của hình trịn lớn song song với mp P1. - Hình trịn ở hình chiếu bằng là hình chiếu của hình trịn lớn song song với mp P2. - Hình trịn ở hình chiếu cạnh là hình chiếu của hình trịn lớn song song với mp P3 Muốn xác định một điểm nằm trên mặt cầu, ta dựng qua điểm đĩ đường trịn nằm trên mặt cầu, đồng thời mặt phẳng chứa đường trịn đĩ song song với mặt phẳng hình chiếu.
29. g) e) d3 f) 1.Tìmd1 hình chiếud3 thứ ba dcủa1 đường thẳng và hình phẳng e) f) g) d3 d1 d3 d1 B3 A3 B1 d1 C1 C3 d3 A1 B3 A3 B1 d1 C1 C3 d3 A1 C2 d2 A2 C2 Bd22 d2 A2 d2 B2 d2 d2 g) h) i) g) B1 h) B1 i) B3 B3 1 M3 B1 A M1 D1 D3 A3 B3 B1 3 M3 A1 A3 B A1 M1 D1 D3 A3 A3 M3 A1 M1 A3 M3 A1 C1 C3 B3 A3 M3 1 M1 M3 C3 B1 C1 A1 M1 C1 C3 D C1 D3 C3 B3 C3 1 C1 M1 D1 C1 D3 B C3 C2 D2 A2 C2 D2 M2 C2 D2 A2 C2 D2 M2 M2 M2 M2 M2 A2 B2 A2 A2 B2 B2 C2 B2 A2 B2 B2 C2
30. 3. Vẽ hình chiếu thứ ba của nhiều khối hình học đặt gần nhau a) b) c) K1 K3 K3 K1 K3 K1 K2 K2 K2 a) b) c) d) e) f)
31. a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) f)