Toán học - Phương trình vi phân thường

99 trang vanle 3320

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Phương trình vi phân thường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_hoc_phuong_trinh_vi_phan_thuong.pdf

Nội dung text: Toán học - Phương trình vi phân thường

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Nguyễn Văn Minh
L`o.in´oi d¯ˆ`au . . . . . . Phuong tr`ınh vi phˆan thu`ong l`al˜ınh vu. clˆau d¯`oicu’aTo´an ho.c. . N´oi nhu vˆa.ykhˆong c´ongh˜ıa l`an´o“c˜uk˜y”, khˆong c`on ph´at triˆe’n . . . . d¯uo. cn˜ua, m`a tr´ai la.id¯ˆay l`al˜ınh vu. c ph´at triˆe’nrˆa´tsˆoi d¯ˆo.ng cu’a . . To´an Ho.c trong suˆo´t nhiˆ`euthˆa.pky’ qua. D- iˆ`eun`ay c´othˆe’ hiˆe’ud¯uo. c . . . v`ıd¯ˆay l`achiˆe´ccˆ`aunˆo´icu’aTo´an ho.cv´oic´ac l˜ınh vu. ckhoaho.c´ung . . . du.ng kh´ac c˜ung nhu l`anoih`oa nhˆa.pcu’a nhiˆ`eul˜ınh vu. crˆa´tkh´ac . . . . . nhau cu’ach´ınh To´an ho.c. Hiˆe.nnayo’ nu´octac´oxuhu´ong thu . . . . . . go.ntˆen go.i“phuong tr`ınh vi phˆan thu`ong” th`anh “phuong tr`ınh . vi phˆan”. C´ach l`am nhu vˆa.ys˜egˆay nhiˆ`eu nhˆ`amlˆa˜n, nhˆa´tl`acho . . . c´ac sinh viˆen. Cˆ`an pha’i phˆan biˆe.tr˘a`ng thuˆa.tng˜u “phuong tr`ınh vi phˆan” bao h`am khˆong chı’ phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng m`ac`on . . . . ca’ phuong tr`ınh vi phˆan d¯a.oh`am riˆeng, mˆo.tl˜ınh vu. cgˆ`ang˜ui v´oi . . . . . . phuong tr`ınh vi phˆan thu`ong (v`ac`on rˆo.ng l´onhonrˆa´t nhiˆ`eu!). . Tˆa.pb`ai gia’ng n`ay tˆoi biˆen soa.nv`agia’ng cho sinh viˆen hˆe. cu’ . nhˆan khoa ho.ct`ai n˘ang cu’aD- a.iho.cKhoaho.cTu. nhiˆen, D- a.iho.c . Quˆo´cgiaH`anˆo.i, v´oithamvo.ng khiˆem tˆo´nl`a cung cˆa´p cho sinh . viˆen, trong mˆo.tth`oigianha.nchˆe´ (45 tiˆe´tho.c), mˆo.th`ınh dung n`ao . d¯´ovˆ`e l˜ınh vu. cn`ay. D- ˘a.cbiˆe.t, tˆoi muˆo´n nhˆa´nma.nh d¯ˆe´nc´ac cˆong cu. . . d¯ang d`ung rˆo.ng r˜ai trong nghiˆen c´uuhiˆe.nnay.Tˆa´t nhiˆen v´oimˆo.t . . . khˆong gian ha.nchˆe´ ch´ung ta chı’ c´othˆe’ ch˘a´tlo.cnh˜ungytu ´ o’ ng . . . quan tro.ng nhˆa´tv`a pha’itr`ınh b`ay d¯uo. cmˆo.tc´ach x´uc t´ıch, d¯on . . . . . gia’n nhˆa´tc´othˆe’ d¯uo. c. So v´oic´ac gi´ao tr`ınh vˆ`e phuong tr`ınh vi . . . . . phˆan d¯˜av`ad¯ang d¯uo. csu’ du.ng o’ Viˆe.tNamhiˆe.nnay,tˆoi d¯˜ad¯ua . . v`ao tˆa.pc´ac b`ai gia’ng n`ay nh˜ung chu’ d¯ˆ`e m´oisaud¯ˆay: . 1. D- .inh l´y Perron vˆ`e d¯˘a.c trung hˆe. hyperbolic, d¯iˆ`eukiˆe.ntˆ`onta.i . nghiˆe.mtuˆ`anho`an, gi´oinˆo.i, . . 2. D- ata.pbˆa´tbiˆe´nv`a´ung du.ng trong nghiˆen c´uuˆo’nd¯i.nh, 3. C´ach d`ung phˆ`anmˆ`emMapled¯ˆe’ t´ıch phˆan phu.o.ng tr`ınh vi phˆan. I
II L`o.in´oi d¯ˆ`au Trong khi tˆoi kh´ah`ai l`ong v´o.ic´ach tr`ınh b`ay d¯o.ngia’nhaivˆa´nd¯ˆ`e d¯ˆ`autiˆen th`ıvˆa´nd¯ˆ`e th´u. ba c`on rˆa´tl´ung t´ung. D- iˆ`eun`ay dˆ˜e hiˆe’u . . . v`ıkinhnghiˆe.mc`on chua nhiˆ`eu, trong khi “s´uc´ep” cu’a“Th`oid¯a. i . . . m´ay t´ınh”la.iqu´al´on. Tˆoi tin r˘a`ng rˆa´t nhiˆ`eungu`oi trong c´ac ba.n . c´othˆe’ l`am tˆo´tviˆe.cn`ay. D- iˆ`eu duy nhˆa´ttˆoi luu´yc´ac ba.nl`acˆ`an . . . . . pha’ihiˆe’ud¯uo. cgi´oiha.ncu’ac´ac phˆ`anmˆ`emv`a pha’ihiˆe’ud¯uo. cta.i sao. . Tˆoi hy vo.ng viˆe.cd¯´anh m´ay la.ito`an v˘an b`ai gia’ng v´oimˆo.tsˆo´ bˆo’ sung b˘a`ng phˆ`anmˆ`emsoa.ntha’ov˘an ba’nLaTeXn`ay s˜egi´up . c´ac sinh viˆen, ho.cviˆen cao ho.cv`ac´ac c´an bˆo. nghiˆen c´uuc´othˆem . t`ai liˆe.u tham kha’o, nhˆa´tl`a trong t`ınh h`ınh thiˆe´us´ach vo’ hiˆe.nnay. Theo tˆoi c´ac b`ai gia’ng n`ay c´othˆe’ d`ung d¯ˆe’ da.ymˆo.tchuyˆen d¯ˆ`e . . . . . vˆ`e phuong tr`ınh vi phˆan thu`ong “nˆang cao” cho c´ac l´opcaoho.c chuyˆen vˆ`e phu.o.ng tr`ınh vi phˆan v`at´ıch phˆan. . . . Do th`oigianc´oha.n, m˘a.cdˆ`aud¯˜arˆa´tcˆo´ g˘a´ng v`ad¯˜a nhˆa.nd¯uo. c . . . su. gi´up d¯˜o cu’a nhiˆ`eusinhviˆen trong th`oi gian gia’ng da.y, gi´ao tr`ınh ch˘a´cc`on nhiˆ`euthiˆe´us´ot cˆ`anbˆo’ sung trong th`o.igiant´o.i. Tˆoi mong . . nhˆa.nd¯uo. c nhiˆ`eu´ykiˆe´nphˆeb`ınh cu’ac´ac d¯ˆo.cgia’ xa gˆ`an. H`aNˆo. i 2002 Nguyˆ˜enV˘an Minh . D- a. iho. cKhoaho. cTu. nhiˆen D- a. iho. cQuˆo´cgiaH`anˆo. i E-mail: nvminh@netnam.vn
MU. CLU. C 1L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 7 . . 1.1. Phuong tr`ınh vi phˆan v`ac´ac d¯i.nh l´ytˆ`onta.iv`a duy nhˆa´tnghiˆe.m 7 . 1.1.1. Mˆo.tsˆo´ v´ıdu. vˆ`e c´ac mˆoh`ınh to´an ho.csu’ du. ng phu.o.ng tr`ınh vi phˆan 7 1.1.2. C´ac d¯i.nh l´ytˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.m 10 1.1.3. D- .inh l´yPeano 14 1.1.4. D- .inh l´yvˆ`e th´ac triˆe’nnghiˆe.m 15 1.2. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh tˆo’ng qu´at 17 . . 1.2.1. Hˆe. phuong tr`ınh bˆa.c nhˆa´t 17 . . 1.2.2. Hˆe. phuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´tv`acˆong th´u.cbiˆe´nthiˆen h˘a`ng sˆo´ 22 . . 1.3. Hˆe. phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ v`atuˆ`anho`an . . 23 1.3.1. H`am ma trˆa.n 23 . . 1.3.2. Phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ 26 . . 1.3.3. Phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`anho`an 30 . . . 1.4. Nghiˆe.mgi´oinˆo.icu’aphuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t31 1.4.1. Nghiˆe.mtuˆ`anho`an 31 . 1.4.2. Nghiˆe.mgi´oinˆo.i 33 . . 1.4.3. C´ac khˆong gian h`am chˆa´p nhˆa.nd¯uo. c 35 . . 1.4.4. Nghiˆe.mgi´oinˆo.itrˆen nu’ a tru.c 35 1.5. B`ai to´an biˆen 36 1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆ`an nhˆa´t 36 1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t 38 . . 1.6. Phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh bˆa.ccao 39 . 1.7. Su. phu. thuˆo.cliˆen tu.ctheod¯iˆ`eukiˆe.nband¯ˆ`auv`atheo tham sˆo´ 41 . . . . 2C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 44 . . . . 2.1. Mˆo.tsˆo´ phuong ph´ap t´ıch phˆan c´ac phuong tr`ınh vi phˆan 44 III
IV MU. CLU. C 2.1.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o.pphu.o.ng . . tr`ınh thu`ong g˘a.p 44 2.1.2. Phu.o.ng tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tv`aphu.o.ng tr`ınh . . . d¯uavˆ`e d¯uo. cda.ng n`ay 47 2.1.3. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh 49 . . . . . . . 2.1.4. Phuong tr`ınh d¯uad¯uo. cvˆ`e da.ng phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh 50 2.1.5. Phu.o.ng tr`ınhRicati 52 2.1.6. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh 54 . . 2.1.7. Phuong ph´ap d`ung phˆ`anmˆ`emto´an ho.c 56 2.2. Phu.o.ng ph´ap tham sˆo´ b´e 61 3L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh 62 3.1. L´ythuyˆe´tˆo’nd¯i.nh 62 3.1.1. Kh´ai niˆe.mˆo’nd¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov . . 62 3.1.2. Phu.o.ng ph´ap th´u. nhˆa´t Lyapunov . . . . . . 64 3.1.3. Phu.o.ng ph´ap th´u. hai Lyapunov . . . . . . . 67 . 3.2. D- ata.pbˆa´tbiˆe´nv`asu. mˆa´tˆo’nd¯i.nh 70 . 3.2.1. Su. tˆ`onta.icu’ad¯a ta.pbˆa´tbiˆe´n 70 3.2.2. T´ınh bˆa´tbiˆe´ncu’ac´ac d¯a ta.p 74 . 3.2.3. D- ata.pkhˆongo ˆ’nd¯i.nh v`asu. mˆa´tˆo’nd¯i.nh nghiˆe.m 75 3.2.4. Nguyˆen l´yˆo’nd¯i.nh thu go.n 75 4Phu. Lu. c77 5B`ai tˆa.p83 6D- `ˆe thi v`ad¯´apan ´ 96
Chu.o.ng 1 LYTHUY´ Eˆ´TTOˆ’NG QUAT´ . . 1.1. PHUONG TR`INH VI PHANˆ VAC` AC´ D- I.NH LY´ `ˆ ` ˆ´ ˆ TONTA. IVADUYNHATNGHIE. M . 1.1.1. Mˆo.tsˆo´ v´ıdu. vˆ`e c´ac mˆoh`ınh to´an ho.csu’ du. ng phu.o.ng tr`ınh vi phˆan . Nhiˆ`eub`ai to´an cu’aVˆa.tl´y,Coho.c, Sinh ho.c, dˆa˜nd¯ˆe´nviˆe.c gia’ic´ac phu.o.ng tr`ınh h`am c´och´u.a vi phˆan cu’ah`am pha’it`ım. D- ˆe’ minh ho.ach´ung ta x´et mˆo.tsˆo´ v´ıdu. quen biˆe´tsaud¯ˆay: Con l˘a´cto´an ho.c . . V´ıdu. 1.1 X´et dao d¯ˆo. ng cu’amˆo. tchˆa´td¯iˆe’mc´okhˆo´iluo. ng m . . . du´oit´ac du. ng cu’alu. ch´ut. Chuyˆe’nd¯ˆo.ng cu’aconl˘a´cs˜exa’y ra trong m˘a.t ph˘a’ ng th˘a’ ng . d¯´ung. Go.i l l`ad¯ˆo. d`ai cu’aconl˘a´c, φ(t)l`ag´oc lˆe.ch cu’aconl˘a´cso . . . v´oivi. tr´ıth˘a’ ng d¯´ung ta.ith`oid¯iˆe’m t.Khid¯´otheoc´ac d¯i.nh luˆa.t . . . cu’acoho.ctac´ophuong tr`ınh mlφ(t)+mg sin φ(t)=0. Hay l`a trong da.ng r´ut go.n lφ(t)+g sin φ(t)=0. (1.1) . . . . Nˆe´ud¯˘a.t x = φ v`a y = φ˙,th`ı trong m˘a.t ph˘a’ ng (x, y)tad¯uo. c tru`ong v´ec to. sau: 7
8Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at Con lac 1.5 1 y 0.5 -1.5 -1 -0.50 0.5 1 1.5 x -0.5 -1 -1.5 D- .inh luˆa.tMalthusvˆ`e quˆ`anthˆe’ . . . Gia’ su’ quˆ`anthˆe’ d¯uo. c phˆan bˆo´ d¯ˆ`eu trong khˆong gian, tˆa´tca’ . . . c´ac c´athˆe’ nhu nhau v`ac´ac thˆe´ hˆe. kˆe´ tiˆe´p. Go.i N(t)l`asˆo´ luo. ng . cu’ach´ung ta.ith`oid¯iˆe’m t.Khid¯´oD- .inh luˆa.t Malthus n´oi r˘a`ng dN(t) =(B − D)N(t), ∀t ≥ 0, (1.2) dt . trong d¯´o B l`aty’ lˆe. sinh, D l`aty’ lˆe. chˆe´ttu. nhiˆen. Mˆoh`ınh to´an ho.ccu’aquˆ`anthˆe’ vˆa.ts˘an-mˆ`oi . Gia’ su’ quˆ`anthˆe’ d¯ang x´et gˆ`omhailo`ai, trong d¯´omˆo.tlo`ai l`a . . d¯ˆo.ng vˆa.t˘an mˆ`oi, c`on lo`ai kia l`amˆ`oi cho n´o. Go.i x(t),y(t)tuong . . . . u´ng l`asˆo´ luo. ng con mˆ`oi, vˆa.ts˘an ta.ith`oid¯iˆe’m t.Khid¯´omˆoh`ınh . . . Volterra cu’aquˆ`anthˆe’ s˜ed¯uo. cbiˆe’udiˆ˜ennhusau: x˙ = αx − βxy, (1.3) y˙ = kβxy − my, . trong d¯´o α l`aty’ lˆe. t˘ang tu. nhiˆen cu’a x(t)khikhˆong c´oke’ s˘an mˆ`oi, . . t´ucl`akhiy(t)=0,c`on m l`aty’ lˆe. chˆe´ttu. nhiˆen cu’avˆa.ts˘an khi . . . khˆong c´omˆ`oi. β>0l`ahˆe. sˆo´ “tuong t´ac” gi˜uahailo`ai cu’aquˆ`an thˆe’.D- ˆe’ minh ho.ach´ung ta x´et hˆe. sau: x˙(t)=x(t)(1 − y(t)), y˙(t)=0, 3y(t)(x(t) − 1).
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 9 . . . . . Ta c´othˆe’ v˜e tru`ong v´ec to u´ng v´oihˆe. trˆen trˆen m˘a.t ph˘a’ ng (x, y) nhu. sau (d`ung phˆ`anmˆ`emMaple): Lotka-Volterra model 2 1.5 y 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x . Trong c´ac mˆoh`ınh to´an ho.ctrˆen ch´ung ta d¯ˆ`euthˆa´ysu. tham gia cu’a vi phˆan c´ac cˆa´pcu’ah`ama ˆ’n φ(t),N(t),x(t),y(t) trong phu.o.ng . . . tr`ınh mˆo pho’ng c´ac qu´atr`ınh thu. ctˆe´.Phuong tr`ınh h`am trong . . . . . d¯´oc´och´uaca’ c´ac vi phˆan cu’ah`am pha’it`ım d¯uo.cgo.il`aphuong . . . . tr`ınh vi phˆan thu`ong. Cˆ`anch´u´y phˆan biˆe.tphuong tr`ınh vi phˆan . . . . . . . thu`ong v´oiphuong tr`ınh vi phˆan d¯a.oh`am riˆeng. Phuong tr`ınh vi . . . phˆan d¯a.oh`am riˆeng l`aphuong tr`ınh h`am nhiˆ`eubiˆe´n, c´och´uad¯a.o . . . h`am riˆeng cu’ah`am pha’it`ım. Viˆe.cnghiˆen c´uuphuong tr`ınh d¯a.o . h`am riˆeng v`ıthˆe´ s˜ekh´okh˘an gˆa´pbˆo.iv`ad¯`oi ho’i pha’ic´onh˜ung . . . . . . . phuong ph´ap ph´ucta.phon nhiˆ`eu. Nhu vˆa.ymˆo.tphuong tr`ınh vi . . phˆan thu`ong s˜ec´oda.ng F (x, y, y, ···,y(n))=0, (1.4) . . . trong d¯´o y(x)l`ah`am cu’ad¯ˆo´isˆo´ thu. c x.Da.ng d¯ongia’nhonsau d¯ˆay dy(x) = f(x, y(x)), (1.5) dx . . . . . s˜ed¯uo. cgo.il`aphuong tr`ınh d¯˜agia’irad¯ˆo´iv´oid¯a.oh`am. Do mˆo.t nguyˆen nhˆan l`a nhiˆ`euphu.o.ng ph´ap v`akˆe´tqua’ kinh d¯iˆe’ncu’a . . . . . . . phuong tr`ınh vi phˆan thu`ong xuˆa´tx´u t`u co ho.ccˆo’ d¯iˆe’n, nˆen theo . . . truyˆ`enthˆo´ng ngu`oitahayk´yhiˆe.ubiˆe´nthu. c x l`a t,´am chı’ d¯´ol`a . . th`oid¯iˆe’m t,c`on y = y(t)l`a tra.ng th´ai ta.ith`oid¯iˆe’mn`ay. D- ˆe’ cho
10 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . . go.n trong phuong tr`ınh ngu`oitas˜eviˆe´t y thay cho y(t)nˆe´uhiˆe’u ngˆ`amh`am pha’it`ım y l`ah`am cu’a t. . . . Mˆo.td¯`oi ho’itu. nhiˆen khi nghiˆen c´uuc´ac mˆoh`ınh to´an ho.cl`asu. . pha’n´anh trung th`anh cu’ach´ung c´ac qu´atr`ınh thu. ctiˆ˜en. Ch˘a’ ng . . ha.n, qu´atr`ınh tiˆe´nh´oa chı’ chuyˆe’nt`u mˆo.t tra.ng th´ai x0 v`ath`oi . . d¯iˆe’m t0 d¯ˆe´nmˆo.t tra.ng th´ai x(t) duy nhˆa´tv`ao th`oid¯iˆe’m t.Hon . . n˜ua, nˆe´u x1 kh´agˆ`an x0 ta.ith`oid¯iˆe’m t0 th`ıqu´atr`ınh s˜echuyˆe’n . . . tra.ng th´ai n`ay d¯ˆe´n y(t)ta.ith`oid¯iˆe’m t kh´agˆ`anv´oi x(t). Nh˜ung d¯`oi . . . . ho’itrˆen d¯uo. cgo.il`asu. tˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mv`asu. phu. thuˆo.c . . . liˆen tu. ctheod¯iˆ`eukiˆe.nband¯ˆ`au. Nh˜ung d¯iˆ`eukiˆe.nn`ay c`on d¯uo. cgo.i . . . v˘a´nt˘a´tl`asu. thiˆe´tlˆa.pd¯´ung d¯˘a´ncu’aphuong tr`ınh, hay mˆoh`ınh d¯ang x´et. 1.1.2. C´ac d¯i.nh l´ytˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.m X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan dx = f(t, x) (1.6) dt n trong d¯´o f x´ac d¯i.nh v`aliˆen tu.ctrˆen miˆ`en G := (a, b) ×{y ∈ R : y − y0≤r}.C`ung v´o.iphu.o.ng tr`ınh (1.6) ta x´et phu.o.ng tr`ınh x˙ = f(t, x), (1.7) x(t0)=x0, . . . . go.il`aB`ai to´an Cauchy kˆe´tho. pv´oiphuong tr`ınh (1.6). Nhˆa.nx´et. Trong b`ai to´an Cauchy (1.7) ch´ung ta khˆong x´ac d¯i.nh . . r˜o trong phuong tr`ınh d¯ˆ`aukhoa’ng x´ac d¯i.nh cu’ah`am pha’it`ım . . . . . x = x(t). Nhu s˜ethˆa´ydu´oid¯ˆay, su. tˆ`onta.inghiˆe.m x(t)v´oi t trong . . . lˆan cˆa.n(haiph´ıa) cu’a t0 s˜ed¯uo. cch´ung minh. D- iˆ`eun`ay thˆe’ hiˆe.n . . . . . . “nguyˆen l´y” : biˆe´thiˆe.nta.ix´ac d¯i.nh d¯uo. ctuong lai v`at´ai ta.od¯uo. c . . . qu´akh´u. Trong rˆa´t nhiˆ`eub`ai to´an kh´ac da.ng tr`ıu tuo. ng, nguyˆen . . . . l´ytrˆen khˆong d¯´ung. “Biˆe´thiˆe.nta.ichı’ c´othˆe’ x´ac d¯i.nh d¯uo. ctuong . . . lai m`athˆoi”. V`ıvˆa.y, b`ai to´an Cauchy tuongu ´ng nhˆa´tthiˆe´td¯`oi ho’i t>t0 trong phu.o.ng tr`ınh d¯ˆ`au. . . D- .inh l´yTˆ`onta.iD- .iaphuong . . n D- .inh l´y1.1Gia’ su’ f l`a´anh xa. liˆen tu. ct`u G sang R tho’am˜an . n c´ac d¯iˆ`eukiˆe.nsauv´oimo. i t ∈ (a, b), x, y ∈ B¯η(x0):={x ∈ R : x − x0≤η}:
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 11 f(t, x)≤M1; (1.8) f(t, x) − f(t, y)≤M2x − y, (1.9) trong d¯´o M1,M2 l`ac´ac h˘a`ng sˆo´ khˆong phu. thuˆo. cv`ao t, x, y.Khi . d¯´otˆ`onta. isˆo´ δ>0 (δ =min{η/M1, 1/M2})saochov´oimo. i t0 ∈ (a, b),trongkhoa’ng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) b`ai to´an Cauchy (1.7) c´od¯´ung mˆo. tnghiˆe. m x = φ(t) tho’am˜an φ(t) − x0≤η. Ch´u.ng minh. X´et phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan t x(t)=x0 + f(τ,x(τ))dτ. (1.10) t0 . . . Dˆ˜e thˆa´yr˘a`ng su. tˆ`onta.inghiˆe.mliˆen tu.ccu’ab`ai to´an (1.7) tuong . . . . . . d¯uong v´oisu. tˆ`onta.inghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh t´ıch phˆan trˆen. n . X´et khˆong gian C([t0 − δ1,t0 + δ1], R )gˆ`omc´acanh ´ xa. liˆen tu.ct`u n . [t0−δ1,t0 +δ1]v`ao R (δ1 <δ)v´oichuˆa’n f =supt f(t),v`ah`ınh n cˆ`aud¯´ong Sη(x0):={u ∈ C([t0 −δ1,t0 +δ1], R ):supt u(t)−x0≤ η}.X´et to´an tu’. t [Sx(·)](t):=y(t)=x0 + f(τ,x(τ))dτ, ∀x(·) ∈ Sη(x0). (1.11) t0 . . Ta s˜ech´ung minh S l`ato´an tu’ t´ac d¯ˆo.ng trong Sη(x0). Thˆa.tvˆa.y,anh ´ xa. y(·)liˆen tu.cv`ı f liˆen tu.ctheot,tho’am˜an d¯iˆ`eukiˆe.nLipschitz theo x.Ho.nn˜u.a, t sup y(t) − x0 =sup f(τ,x(τ))dτ |t−t0|≤δ1 |t−t0|≤δ1 t0 ≤ M1δ1 ≤ η. Ngo`ai ra, t Su − Sv =sup f(τ,u(τ)) − f(τ,v(τ))dτ |t−t0|≤δ1 t0 ≤ δ1M2u − v, ∀u,v∈ Sη(x0). (1.12) V`ı δ1 <δnˆen δ1M2 < 1, v`adod¯´o S l`a´anh xa. co trong khˆong gian mˆetric d¯ˆ`ayd¯u’ Sη(x0). Theo nguyˆen l´yd¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng Banach, . trong Sη(x0)tˆ`onta.i duy nhˆa´tmˆo.td¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng x(·)cu’ato´an tu’ . . S.D- ´och´ınh l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh t´ıch phˆan (1.10). D- .inh l´y . . . d¯uo. cch´ung minh.
12 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at D- .inh l´yTˆ`onta.iTo`an cu. c . . . Trong d¯i.nh l´ytˆ`onta.id¯i.aphuong ch´ung ta chı’ kh˘a’ ng d¯i.nh su. tˆ`on ta.inghiˆe.m x(·) trong mˆo.tlˆan cˆa.ncu’a t0.N´oi chung khˆong suy ra . . . d¯uo. csu. tˆ`onta.itrˆen to`an khoa’ng (a, b). D- ˆe’ minh ho.ad¯iˆ`eun`ay, ta x´et v´ıdu. sau: . . V´ıdu. 1.2 X´et phuong tr`ınh dx = x2,t∈ R,x∈ R. (1.13) dt . . . Trong tru`ong ho. pn`ay r˜or`ang a = −∞,b =+∞ v`a ∀C ∈ R h`am 1 . sˆo´ x(t)= C−t l`anghiˆe.m. Ch˘a’ ng ha.nx´et b`ai to´an Cauchy kˆe´tho. p . . . . 1 v´oiphuong tr`ınh trˆen v´oi x0 =1,t0 =0.Khid¯´o x(t)= 1−t l`a . . nghiˆe.m(d¯i.aphuong) cu’ab`ai to´an n`ay. R˜or`ang r˘a`ng nghiˆe.mn`ay . . khˆong thˆe’ th´ac triˆe’nrato`an tru.cd¯uo. c, ch˘a’ ng ha.nkhˆong thˆe’ qua . . d¯iˆe’m t =1.Nguyˆen nhˆan cu’ahiˆe.ntuo. ng trˆen l`av`ınghiˆe.mbi. “nˆo’ . ” (ra vˆoha.n) khi t tiˆe.mcˆa.nd¯ˆe´n1.Nˆe´uthˆem mˆo.tsˆo´ d¯iˆ`eukiˆe.nn˜ua . . . . ch´ung ta s˜ec´othˆe’ ch´ung minh d¯uo. csu. tˆ`onta.inghiˆe.mtrˆen to`an cu.c. . n n D- .inh l´y1.2Gia’ su’ f :(a, b) × R → R liˆen tu. cv`atho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe.nsau(d¯iˆ`eukiˆe. n Lipschitz): n f(t, x)≤M1 + M0x, ∀t ∈ (a, b); x ∈ R (1.14) n f(t, x) − f(t, y)≤M2x − y, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ R . (1.15) . n Khi d¯´ov´oibˆa´tk`yd¯iˆe’m x0 ∈ R ,t0 ∈ (a, b) tˆ`onta. iduynhˆa´tmˆo. t . . . . nghiˆe. m x = φ(t) cu’ab`ai to´an Cauchy kˆe´tho. pv´oi phuong tr`ınh (1.6) trˆen to`an khoa’ng (a, b). . . . . . . Ch´ung minh. Tru ´ochˆe´tx´et tru`ong ho. p −∞ <a<b<∞. n X´et khˆong gian h`am Y := C((a, b), R )gˆ`omc´acanh ´ xa. liˆen tu.cv`a . . n . gi´oinˆo.it`u (a, b)v`ao R .TrongY x´et to´an tu’ t (Tx)(t):=y(t)=x0 + f(τ,x(τ))dτ, ∀t ∈ (a, b); x(·) ∈ Y. t0 (1.16) . . . . Ta s˜ech´ung minh T thu. csu. l`amˆo.tto´an tu’ t´ac d¯ˆo.ng trong Y . . Thˆa.tvˆa.y, ta c´obˆa´td¯˘a’ ng th´ucsau: sup y(t)≤x0 + {M1 + M2x(·)}(b − a) (1.17) t∈(a,b)
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 13 . suy ra y(·)gi´oinˆo.i. Ngo`ai ra, t (Tu)(t) − (Tv)(t)≤ f(τ,u(τ)) − f(τ,v(τ))dτ t0 t ≤ M2 u(τ) − v(τ)dτ t0 ≤ M2|t − t0|u − v. (1.18) Tiˆe´p theo, gia’ su’. t ≥ t0 t 2 2 (T u)(t) − (T v)(t)≤M2 (Tu)(τ) − (Tv)(τ)dτ t0 t 2 ≤ M2 u − v (τ − t0)dτ t0 2 [M2(t − t0)] = u − v, ∀u,v∈ Y. (1.19) 2! . . . . . . Tu ong tu. d¯ˆo´iv´oi t<t0,tacuˆo´ic`ung thu d¯uo. c 2 [M2|t − t0|] (T 2u)(t)−(T 2v)(t)≤ u−v, ∀t ∈ (a, b),u,v∈ Y. 2! (1.20) . . Tiˆe´ptu.cqu´atr`ınh d¯´anh gi´an`ay ta thu d¯uo. c ∀n ∈ N n [M2|t − t0|] (T nu)(t) − (T nv)(t)≤ u − v,t∈ (a, b),u,v∈ Y. n! (1.21) n . [M2|t−t0|] → →∞ . . Do a, b h˜uuha.n, c`on d˜ay n! 0khin ,v´oi n0 d¯u’ l´on n0 . T s˜el`ato´an tu’ co trong khˆong gian Y .Dod¯´otˆ`onta.i duy nhˆa´t . n0 . . mˆo.td¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng cu’ato´an tu’ T .Dˆ˜e d`ang suy ra d¯uo. cd¯iˆe’m . bˆa´td¯ˆo.ng n`ay c˜ung l`ad¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng duy nhˆa´tcu’a T .Nhuvˆa.y . . . . . . ph´ep ch´ung minh v´oi tru`ong ho. p a, b h˜uuha.nd¯˜akˆe´tth´uc. . . . . . Tru `ong ho. p a ho˘a.c b vˆoha.n. Theo kˆe´tqua’ d¯˜ach´ung minh o’ . . trˆen th`ıv´oimo.i a ,b h˜uuha.nsaochoa<a <b <btrˆen khoa’ng (a ,b)luˆon tˆ`onta.iv`a duy nhˆa´tnghiˆe.m. Vˆa.yth`ıb`ai to´an Cauchy . . kˆe´tho. pv´oi (1.6) luˆon c´onghiˆe.m duy nhˆa´ttrˆen (a ,b). Dˆ˜e thˆa´y . . nghiˆe.mn`ay c´othˆe’ th´ac triˆe’nd¯uo. cravˆoha.nv`ı a ,b t`uyy.Ph´ ´ ep . ch´ung minh d¯i.nh l´ykˆe´tth´uc. . . D- iˆ`eukiˆe.n Lipschitz (1.15) l`arˆa´t quan tro.ng. V´ıdu. du´oid¯ˆay ch´u.ng to’ d¯iˆ`eud¯´o
14 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . V´ıdu. 1.3 X´et phuong tr`ınh dx = x2/3,x∈ R. (1.22) dt 3 Gˆ`and¯iˆe’m t0 =0,x0 =0tac´o hai nghiˆe.m, x(t) ≡ 0v`a x(t)=t . . . Nhu vˆa.yt´ınh duy nhˆa´tnghiˆe.mbi. ph´av˜o .Nguyˆen nhˆan l`agˆ`an0, vˆe´ pha’ikhˆong tho’am˜an d¯iˆ`eukiˆe.nLipschitz. 1.1.3. D- .inh l´yPeano . Mu.cn`ay s˜etr`ınh b`ay mˆo.td¯i.nh l´ycˆo’ d¯iˆe’nvˆ`e su. tˆ`onta.i(n´oi . . . . . chung khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.m trong tru`ong ho. pvˆe´ pha’iphuong tr`ınh khˆong tho’am˜an d¯iˆ`eukiˆe.nLipschitz. . D- .inh l´y1.3(D- .inh l´yPeano)Gia’ su’ f : G := [t0,t0 + a] × n n . B¯(b; y0) ⊂ R × R → R l`a´anh xa. liˆen tu. cv´oi sup f(t, x)≤M; α := min(a, b/M). (t,x)∈G Khi d¯´oB`ai to´an Cauchy liˆen kˆe´tv´o.i phu.o.ng tr`ınh (1.6) c´otrˆen d¯oa. n [t0,t0 + α] ´ıt nhˆa´tmˆo. tnghiˆe. m x = x(t). . . 1 Ch´ung minh. Ta cho.n δ>0v`ak´yhiˆe.u y0(t)l`a´anh xa. l´op C . n t`u d¯oa.n[t0 − δ, t0]v`ao R tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe.n: y0(t0)=x0, y0(t)=f(t0,x0) y0(t)≤M, y0(t) − x0≤b. Ta d¯i.nh ngh˜ıa trˆen d¯oa.n[t0 −δ, t0 +α]´anh xa. yε(t), 0 <ε≤ δ b˘a`ng c´ach d¯˘a.t yε(t):=y0(t)trˆen d¯oa.n[t0 − δ, t0]v`a t yε(t)=y0 + f(s, yε(s − ε))ds, (1.23) t0 . . . trˆen d¯oa.n[t0,t0 + α]. B˘a`ng cˆong th´ucn`ay y0(·)d¯uo. cth´ac triˆe’nlˆen 1 [t0,t0 + α1], trong d¯´o α1 := min(α, ε), sao cho yε ∈ C trˆen d¯oa.n [t0 − δ, t0 + α1], v`atrˆen d¯´o yε(t) − x0≤b. (1.24)
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 15 . . . Cˆong th´uc (1.23) s˜ed¯uo. cd`ung d¯ˆe’ th´ac triˆe’n´anh xa. yε lˆen d¯oa.n . [t0 − δ, t0 + α2], trong d¯´o α2 := min(α, 2ε). C´u tiˆe´ptu.cqu´atr`ınh . . n`ay ta s˜eth´ac triˆe’nd¯uo. c´anh xa. yε lˆen d¯oa.n[t0 − δ, t0 + α]saocho . 1 n´oluˆon thuˆo.cl´op C . V`ı yε(t)≤M,ho. c´acanh ´ xa. yε, 0 0 chı’ phu. thuˆo. cv`ao G, K, M sao cho nˆe´u (t0,x0) ∈ K th`ıb`ai . . . to´an Cauchy liˆen kˆe´tv´oi (1.6) l`agia’id¯uo. cv`amˆo˜inghiˆe. mcu’an´o x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa. n |t − t0|≤α. . n . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, ta cho.nchuˆa’n(t, x) ∈ R × R nhu . sau: (t, x) := max{|t|, x},c´ongh˜ıa l`ah`ınh cˆ`aumo’ l`ah`ınh hˆo.p . . . mo’ .Khˆong mˆa´ttˆo’ng qu´at c´othˆe’ coi G l`atˆa.pmo’ gi´oinˆo.i. Nˆe´ud¯˘a.t a := dist(K, ∂G), trong d¯´o ∂G l`abiˆen cu’a G,th`ı α := min(a, a/M). . V`ı K compact nˆen a luˆon tˆ`onta.ih˜uuha.n. 1.1.4. D- .inh l´yvˆ`e th´ac triˆe’nnghiˆe.m . . . . . Nhu ch´ung ta d¯˜athˆa´yo’ mu.c tru´oc, su. tˆ`onta.inghiˆe.mcu’ab`ai . . . to´an Cauchy n´oi chung c´othˆe’ chı’ l`ad¯i.aphuong. Gia’ su’ ta d¯ang x´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan dx = f(t, x),x∈ Rn (1.26) dt n n . trong d¯´o f : G ⊂ R × R → R liˆen tu.c, G mo’ ,v`a x(·)l`amˆo.t nghiˆe.mx´ac d¯i.nh trong lˆan cˆa.ncu’a t0 ∈ R.Cˆau ho’id¯˘a.tral`akhi . . . . . n`ao x(·)c´othˆe’ th´ac triˆe’nd¯uo. clˆen khoa’ng l´onhonn˜ua. V`ı G l`a . n mˆo.ttˆa.pmo’ trong R × R v`a f liˆen tu.c, nˆen theo D- .inh l´yPeano nˆe´u x(·)x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.tkhoa’ng J =[α, β)hayJ =(α, β]th`ıc´o thˆe’ th´ac triˆe’n x(·)quad¯ˆ`aum´ut α ho˘a.c β.Dod¯´o, khˆong mˆa´ttˆo’ng . qu´at ta coi x(·)d¯˜achox´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng mo’ (α, β)n`ao d¯´o.
16 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . . D- .inh ngh˜ıa 1.1 Khoa’ng mo’ J d¯uo. cgo. il`akhoa’ng tˆ`onta. icu. cd¯a. i . vˆ`e ph´ıa pha’icu’a x(·) nˆe´ukhˆong tˆ`onta. imˆo. tkhoa’ng mo’ J =(α ,β) . . . . . v´oi α ≤ α v`a β<β trˆen d¯´o x(·) c´othˆe’ th´ac triˆe’nlˆen d¯uo. c. Tuong . . tu. d¯i.nh ngh˜ıa khoa’ng tˆ`onta. icu. cd¯a. ivˆ`e ph´ıa tr´ai. Khoa’ng tˆ`onta. i . . . . . d¯uo. cgo. il`acu. cd¯a. inˆe´un´ol`acu. cd¯a. id¯ˆ`ong th`oivˆ`e hai ph´ıa. D- .inh l´y1.4D- iˆ`eukiˆe. ncˆ`anv`ad¯u’ d¯ˆe’ J =[α, β) cu’anghiˆe. m . . x(·) cu’a (1.26) khˆong l`acu. cd¯a. ivˆ`e bˆen pha’il`atˆ`onta. igi´oiha. n limt↑β x(t)=η v`a (β,η) ∈ G. Ch´u.ng minh. Cˆ`an.R˜or`ang. . D- u’ :Nˆe´utˆ`onta.igi´oiha.n limt↑β x(t)=η v`a(β,η) ∈ G th`ıtac´o thˆe’ ´ap du.ng D- .inh l´yPeanod¯ˆe’ kh˘a’ ng d¯i.nh r˘a`ng tˆ`onta.inghiˆe.m φ(t) . . x´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng I l`alˆan cˆa.ncu’a β cu’aphuong tr`ınh (1.26) sao cho φ(β)=η.Thˆe´ th`ı x(t),t<β ψ(t):= φ(t),t≥ β chotamˆo.tth´ac triˆe’nvˆ`e bˆen pha’icu’a β. . . n n D- .inh l´y1.5Gia’ su’ f liˆen tu. ctrˆen tˆa. pmo’ G ⊂ R × R v`ao R . . v`a x(·) l`amˆo. tnghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh (1.26). Khi d¯´o x(·) c´othˆe’ . . . . . th´ac triˆe’nd¯uo. clˆen khoa’ng tˆ`onta. icu. cd¯a. i (ω−,ω+).Honn˜ua, nˆe´u . . (ω−,ω+) l`akhoa’ng tˆ`onta. icu. cd¯a. icu’a x(·) th`ı x(t) s˜etiˆe´nt´oibiˆen . ∂G cu’a G khi t tiˆe´nt´oi ω− ho˘a. c ω+. Th´ac triˆe’ncu’a x(·)n´oi chung khˆong duy nhˆa´t. V`ıvˆa.y ω± phu. thuˆo.c . v`ao c´ach cho.nth´ac triˆe’n. Kh˘a’ ng d¯i.nh “x(t)tiˆe´nt´oibiˆen ∂G khi t → ω+”c´ongh˜ıa l`aho˘a.cl`a ω+ =+∞,ho˘a.cl`a ω+ < +∞ v`akhi . t tiˆe´nd¯ˆe´n ω+ c`on c´ac d¯iˆe’m(t, x(t)) khˆong bi. ch´ua trong mˆo.ttˆa.p con compact n`ao cu’a G. . Ch´ung minh. Theo nhˆa.nx´et trˆen, ta chı’ x´et th´ac triˆe’n φ x´ac . . d¯i.nh trˆen c´ac khoa’ng mo’ .Tad`ung Bˆo’ d¯ˆ`e Zorn d¯ˆe’ ch´ung minh. . . . . Tru ´ochˆe´tgia’ su’ x(·)x´ac d¯i.nh trˆen (αx,βx). Ta d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.pho. p . A gˆ`omc´ac th´ac triˆe’n φ cu’a x(·), t´ucl`ac´ac nghiˆe.m φ x´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng mo’. (αφ,βφ)saocho(αx,βx) ⊂ (αφ,βφ)v`a φ|(αx,βx)=x(·) . . . . Ta d¯uaraquanhˆe. th´u tu. trong A nhu sau: φ ≤ ψ nˆe´uv`achı’ nˆe´u ψ l`ath´ac triˆe’ncu’a φ.R˜or`ang mˆo˜idˆay chuyˆ`en C,gˆ`om φ ≤ ψ ≤···c´o . . phˆ`antu’ l´on nhˆa´t. Thˆa.tvˆa.ytac´othˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa J = ∪φ∈C(αφ,βφ) v`a µ(t)=φ(t)nˆe´u t ∈ (αφ,βφ). D- .inh ngh˜ıa n`aychotacˆa.ntrˆen cu’a
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 17 . . dˆay chuyˆ`en C.Vˆa.y trong A pha’itˆ`onta.i phˆ`antu’ cu. cd¯a.i. D- ´och´ınh l`ad¯iˆ`eu pha’ich´u.ng minh. . . Tiˆe´p theo, ta gia’ su’ r˘a`ng (ω−,ω+)l`akhoa’ng tˆ`onta.icu. cd¯a.icu’a . . nghiˆe.m x(·). Ta s˜ech´ung minh r˘a`ng x(t)khˆong thˆe’ bi. ch´ua trong . . mˆo.ttˆa.p compact con cu’a G v´oimo.i t d¯u’ gˆ`anv´oi ω+.Thˆa.tvˆa.y, gia’ . . . su’ nguo. cla.itˆ`onta.icompactK ⊂ G d¯ˆe’ (t, x(t)) ∈ K, ∀t ∈ [δ, ω+). . Nhu vˆa.yth`ıc´othˆe’ tr´ıch ra mˆo.td˜ay con (tk,x(tk)),k ∈ N,tk → . . . ω+ hˆo.itu. t´oimˆo.td¯iˆe’m(ω−,η) ∈ K.Tach´ung minh gi´oiha.n - limt→ω+ x(t)=η v`akhid¯´otheoD.inh l´ytrˆen suy ra mˆau thuˆa˜n. Thˆa.tvˆa.y, go.i N := sup f(t, x) (t,x)∈K . . . Do t´ınh liˆen tu.ccu’a f sˆo´ N thu. csu. h˜uuha.n. Ta c´o x(t) − x(tk)≤ sup x˙(ξ)|t − tk| (1.27) ξ∈(δ,ω+) =supf(ξ, x(ξ))|t − tk| (1.28) ξ∈(δ,ω+) ≤ N|t − tk| (1.29) . . . . v´oimo.i t, tk ∈ [δ, ω+). Dˆ˜e d`ang ch´ung minh d¯uo. ctheotiˆeu chuˆa’n Cauchy th`ı limt→ω+ x(t)tˆ`onta.iv`ab˘a`ng η. . . 1.2. PHUONG TR`INH TUYEˆ´NT´INH TOˆ’NG QUAT´ . . 1.2.1. Hˆe. phuong tr`ınh bˆa.c nhˆa´t n×n Trong mu.cn`ay ta luˆon gia’ thiˆe´tr˘a`ng A :(a, b) → R v`a f : n n×n (a, b) → R l`ac´acanh ´ xa. liˆen tu.c, trong d¯´o R k´yhiˆe.ukhˆong . gian tˆa´tca’ c´ac ma trˆa.n n × n v´oichuˆa’n B := sup Bx, ∀B ∈ Rn×n. x≤1 X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan dx = A(t)x + f(t),x∈ Rn. (1.30) dt . . . . . . Phuong tr`ınh (1.30) d¯uo. cgo.il`a phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh . . . . . . khˆong thuˆ`annhˆa´t.Phuong tr`ınh sau d¯ˆay d¯uo. cgo.il`a phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh thuˆ`annhˆa´t
18 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at dx = A(t)x, x ∈ Rn. (1.31) dt . . Ap´ du.ng D- .inh l´ytˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mto`an cu.c cho phuong . . tr`ınh (1.30) ta s˜ed¯uo. c: . . D- .inh l´y1.6Gia’ su’ A, f liˆen tu. ctrˆen (a, b) th`ıv´oimo. i t0 ∈ n (a, b), x0 ∈ R b`ai to´an Cauchy x˙ = A(t)x + f(t) (1.32) x(t0)=x0 c´oduynhˆa´tmˆo. tnghiˆe. mx´ac d¯i.nh trˆen to`an khoa’ng (a, b). Ch´u.ng minh. Lˆa´y[α, β] ⊂ (a, b)bˆa´tk`y.Khid¯´odoA, f liˆen . . . tu.c, c´ac d¯a.iluo. ng sau l`atˆ`onta.iv`ah˜uuha.n max A(t), max f(t). α≤t≤β α≤t≤β Vˆa.ytrˆen [α, β]´anh xa. F (t, x):=A(t)x + f(t)tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eu kiˆe.ncu’aD- .inh l´ytˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mto`an cu.c. Do d¯´ob`ai to´an Cauchy (1.32) s˜ec´onghiˆe.mtrˆen to`an [α, β]v`atrˆen d¯´ochı’ c´od¯´ung . mˆo.tnghiˆe.mn`ay. Do t´ınh t`uyycu ´ ’a α, β nˆen ta c´othˆe’ “mo’ rˆo.ng” . nghiˆe.mn`ay lˆen to`an (a, b)b˘a`ng c´ach mo’ rˆo.ng d¯oa.n[α, β]. D- .inh l´y . . . d¯uo. cch´ung minh. . . . . Nhˆa.nx´et 1.1 T`u D- .inh l´ytrˆen ta thˆa´yd¯ˆo´iv´oi phuong tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´othˆe’ chı’ n´oi d¯ˆe´nnghiˆe. mx´ac d¯i.nh trˆen to`an khoa’ng (a, b). . . . . . . Du´oid¯ˆay ch´ung ta quy u´ockhin´oi vˆ`e nghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh . . tuyˆe´nt´ınh t´ucl`an´oi vˆ`e c´ac nghiˆe. mx´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng cu. cd¯a. i (a, b) nˆe´uc´ac d¯iˆ`eukiˆe. ncu’aD- .inh l´ytrˆen tho’am˜an. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh thuˆ`an nhˆa´t . . . . Bˆay gi`o ch´ung ta nghiˆen c´uuc´ac t´ınh chˆa´tcu’ac´ac nghiˆe.mphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t. . . D- .inh l´y1.7Gia’ su’ A liˆen tu. c. Khi d¯´otˆa. pho. ptˆa´tca’ c´ac nghiˆe. m . . cu’a phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´tlˆa. pnˆen mˆo. tkhˆong gian tuyˆe´nt´ınh n . . . chiˆ`eutrˆen tru`ong sˆo´ thu. c R. . . . . Ch´ung minh. Go.i N l`atˆa.pho. ptˆa´tca’ c´ac nghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh (1.31). Gia’ su’. φ, ψ ∈N, α, β ∈ R.Khid¯´o
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 19 αφ˙(t)=αA(t)φ(t) = A(t)αφ(t) βψ˙(t)=βA(t)ψ(t) = A(t)βψ(t). . . Do d¯´oh`am η(t):=αφ(t)+βψ(t)s˜el`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t, t´u.cl`a N l`akhˆong gian tuyˆe´nt´ınh trˆen tru.`o.ng . . . sˆo´ thu. c R.Bˆay gi`o ta ch´ung minh kh˘a’ ng d¯i.nh sau: Nˆe´u φk ∈ N ,k =1, ···,m l`ahˆe. m nghiˆe. mcu’a (1.31). Khi d¯´ohˆe. n`ay d¯ˆo. c lˆa. ptuyˆe´nt´ınh khi v`achı’ khi tˆ`onta. i t0 ∈ (a, b) sao cho hˆe. c´ac . n n vecto φk(t0), ∈ R ,k =1, ···,m l`ad¯ˆo. clˆa. ptrongR .Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u . φk,k =1, ···,m l`ahˆe. c´ac v´ec to phu. thuˆo.ctuyˆe´nt´ınh trong N , . . . th`ır˜or`ang t`u d¯i.nh ngh˜ıa suy ra v´oimo.i t0 ∈ (a, b)hˆe. c´ac v´ec to . φk(t0),k =1, ···,m l`ahˆe. c´ac v´ec to phu. thuˆo.ctuyˆe´nt´ınh trong n . R .Tach´ung minh d¯iˆ`eukiˆe.nd¯u’ b˘a`ng c´ach chı’ ra r˘a`ng nˆe´utˆ`onta.i t0 ∈ (a, b)v`ac´ac sˆo´ αk,k =1, ··· ,m khˆong d¯ˆ`ong nhˆa´tb˘a`ng khˆong m m . sao cho k=1 αkφ(t0)=0th`ı k=1 αkφ =0.Nhung d¯iˆ`eun`ay suy . ra t`u d¯i.nh l´ytˆ`onta.i duy nhˆa´tb˘a`ng c´ach x´et b`ai to´an Cauchy kˆe´t . . . . . . . ho. pv´oi (1.31), tuongu ´ng v´oic´ac d¯iˆ`eukiˆe.nband¯ˆ`au t0,x0 =0.T`u kh˘a’ ng d¯i.nh trˆen n´oi riˆeng suy ra r˘a`ng dimN = n. . D- .inh ngh˜ıa 1.2 Gia’ su’ {φk,k =1, ···,n} l`ahˆe. n nghiˆe. md¯ˆo. clˆa. p . . tuyˆe´nt´ınh cu’a phuong tr`ınh (1.31). Khi d¯´omatrˆa. nvuˆong c´oc´ac . . n . . . cˆo. tlˆa. pbo’ ic´ac v´ec to φk cu’a R d¯uo. cgo. il`amˆo. tmatrˆa. nco ba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ`annhˆa´t (1.31). . . . Dˆ˜e d`ang thˆa´yr˘a`ng ma trˆa.ncoba’n X(t)bˆa´tk`ytho’am˜an phuong tr`ınh vi phˆan sau d¯ˆay trong khˆong gian Rn×n dY = A(t)Y (t),Y∈ Rn×n. (1.33) dt . . . . Nguo.cla.imˆo.tnghiˆe.mbˆa´tk`y Y (t)cu’aphuong tr`ınh ma trˆa.n (1.33) . . . u´ng v´oimˆo.thˆe. n nghiˆe.mcu’a (1.31). D- ˆe’ Y (t)l`amatrˆa.ncoba’nth`ı . d¯iˆ`eukiˆe.ncˆ`anv`ad¯u’ l`a detY (t) =0.C´ othˆe’ c´o nhiˆ`eu ma trˆa.ncoba’n. . . . Ch´ung ta s˜ex´et ho. c´ac ma trˆa.ncoba’nsaud¯ˆay (X(t, s))t,s∈(a,b) d¯uo. c . −1 d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau: X(t, s)=X(t)X (s), trong d¯´o X(t)l`amˆo.t . . ma trˆa.ncoba’nn`ao d¯´o. Ta s˜ech´ung minh r˘a`ng ho. (X(t, s))t,s∈(a,b) . . khˆong phu. thuˆo.cv`ao ma trˆa.ncoba’n X(t)b˘a`ng c´ach ch´ung minh mˆe.nh d¯ˆ`e sau: Mˆe.nh d¯ˆ`e 1.1 Ma trˆa. n Y (t):=X(t, s) l`anghiˆe. mcu’ab`ai to´an Cauchy
20 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at Y˙ = A(t)Y (1.34) Y (s)=I. . . Nhu d¯˜a nhˆa.nx´et o’ trˆen Y (t)l`amˆo.tnghiˆe.mcu’a (1.33). R˜or`ang Y (s)=X(s, s)=X(s)X−1(s)=I. . . D- .inh ngh˜ıa 1.3 Ho. c´ac ma trˆa. n (X(t, s))t,s∈(a,b) d¯uo. cgo. il`ac´ac . . . ma trˆa. nCauchyliˆen kˆe´tv´oi phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.31). . . T`u d¯i.nh ngh˜ıa v`alˆa.pluˆa.no’ trˆen ta c´o Mˆe.nh d¯ˆ`e 1.2 Tˆ`onta. iduynhˆa´tho. hai tham sˆo´ c´ac ma trˆa. n . . . khˆong suy biˆe´n (X(t, s))t,s∈(a,b) liˆen kˆe´tv´oi phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.31) tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe. nsau: 1. X(t, t)=I, ∀t ∈ (a, b); 2. X(t, s)X(s, r)=X(t, r), ∀t, s, r; . . 3. Mˆo. tnghiˆe. m x(t) bˆa´tk`ycu’a phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.31) tho’am˜an x(t)=X(t, t0)x(t0), ∀t, t0 ∈ (a, b). Cˆong th´u.c Liouville . . . Gia’ su’ X(t)l`a ma trˆa.nlˆa.pbo’ ihˆe. n nghiˆe.mbˆa´tk`y. Trong ch´ung . . . minh trˆen ta d¯˜ach´ung minh d¯uo. cr˘a`ng detX(t) =0 ∀t ∈ (a, b)khi . v`achı’ khi tˆ`onta.i t0 ∈ (a, b)saochodetX(t0) =0.Thu . crakh˘a’ ng d¯i.nh n`ay c´othˆe’ l`am ma.nh lˆen nhiˆ`eub˘a`ng d¯i.nh l´ysau: . . D- .inh l´y1.8(Cˆong th´uc Liouville) Gia’ su’ {φ1, ···,φn} l`ahˆe. n . nghiˆe. mcu’a (1.31). Khi d¯´omatrˆa. n X(t) c´oc´ac cˆo. tl`ac´ac v´ec to φ1(t), ···,φn(t) tho’am˜an t n j=1 ajj(ξ)dξ detX(t)=detX(t0)e t0 , (1.35) trong d¯´o A(t)=(aij(t)), t0 ∈ (a, b). . Ch´ung minh. Gia’ su’. φk(t)=(φ1k(t), ···,φnk)v`a Xik l`a phˆ`an . . b`ud¯a.isˆo´ cu’a phˆ`antu’ φik trong khai triˆe’nd¯i.nh th´uc detX(t)theo . . cˆo.tth´u k.Khid¯´otheot´ınh chˆa´tcu’ad¯i.nh th´uctac´o n detX(t)= Xik(t)φik(t) (1.36) i=1
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 21 vˆa.y ∂ detX = Xik. ∂φik . . . Ta s˜esu’ du.ng cˆong th´uc vi phˆan h`am ho. psau: m g(y1(t), ···,ym(t)) ∂ z˙(t):= = g(y1(t), ···,ym(t))y ˙k(t). k dt k=1 ∂y R˜or`ang det : Rn×n → Rn.Dod¯´o detX(t) det(φij(t)) = dt dt ∂det = φ˙ ij(t) ∂φij i,j = Xij(t)φ˙ij(t) i,j n = Xij(t) aik(t)φkj(t) i,j k=1 n = aik(t) Xij (t)φkj(t). i,k j=1 . Theo t´ınh chˆa´tcu’ad¯i.nh th´uc n detX(t), nˆe´u i = k Xij (t)φkj(t)= ´ j=1 =0, nˆeu i = k Vˆa.yth`ı d detX(t)= aii(t)detX(t), ∀t ∈ (a, b). (1.37) dt i Dˆ˜e thˆa´y detX(t)tho’am˜an y˙(t)= aii(t)y(t), ∀t ∈ (a, b) i . y(t0)=detX(t0) D`ung t´ınh duy nhˆa´tnghiˆe.m, ta thˆa´y y(t)l`ah`am sau t i aii(s)ds detX(t)=y(t)=detX(t0)e t0 .
22 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . 1.2.2. Hˆe. phuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´tv`acˆong th´uc biˆe´nthiˆen h˘`ang sˆo´ . . . Gia’ su’ φ0 l`amˆo.tnghiˆe.mn`ao d¯´ocu’aphuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t (1.30). Khi d¯´otac´od¯i.nh l´ysau: D- .inh l´y1.9Mˆo. tnghiˆe. mbˆa´tk`ykh´ac cu’a (1.30) l`atˆo’ng cu’a φ0 . . v`amˆo. tnghiˆe. mn`ao d¯´ocu’a phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.31). . . Ch´ung minh. Gia’ su’ φ(t)l`anghiˆe.mbˆa´tk`ycu’a (1.30). D- ˘a.t . ψ(t)=φ(t) − φ0(t). B˘a`ng c´ach thˆe´ tru. ctiˆe´pdˆ˜e thˆa´yr˘a`ng ψ(t)l`a nghiˆe.mcu’a (1.30). . . . . Vˆa.yth`ıd¯ˆe’ t`ım d¯uo. ctˆa´tca’ c´ac nghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t, ta chı’ cˆ`ant`ım mˆo.tnghiˆe.mriˆeng n`ao d¯´ov`asaud¯´ob`ai . . to´an quy vˆ`e viˆe.ct`ım nghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t. Mˆo.t . . trong c´ac c´ach t`ım nghiˆe.mriˆeng cu’a (1.30) l`asu’ du.ng cˆong th´uc sau: Cˆong th´u.cbiˆe´nthiˆen h˘`ang sˆo´ . . . Nhu ta d¯˜abiˆe´tmˆo.tnghiˆe.mbˆa´tk`ycu’aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t . . . d¯ˆ`euc´othˆe’ t`ım d¯uo. cnˆe´ubiˆe´tmˆo.tnghiˆe.mcoba’n X(t). Thˆa.tvˆa.y, n nghiˆe.mbˆa´tk`yc´oda.ng x(t)=X(t)C, trong d¯´o C ∈ R l`amˆo.tv´ec . . . . . to h˘a`ng n`ao d¯´o. Ngu`oitac´othˆe’ b˘a´t tru´occ´ach t`ım nghiˆe.mcu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´tb˘a`ng c´ach coi h˘a`ng sˆo´ C = C(t), t´u.cl`a“biˆe´nthiˆen h˘a`ng sˆo´ C”thˆe´ n`ao d¯´od¯ˆe’ y(t)=X(t)C(t)s˜el`a . . nghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t. D- ˆe’ l`am d¯iˆ`eun`ay ta . . . . vi phˆan y(t)v`athˆe´ v`ao phuong tr`ınh th`ıd¯uo. c y˙(t)=X˙ (t)C(t)+X(t)C˙ (t) = A(t)X(t)C(t)+X(t)C˙ (t) = A(t)y(t)+X(t)C˙ (t) = A(t)y(t)+f(t). t −1 Do d¯´o X(t)C˙ (t)=f(t). Vˆayth`ı C(t)=C1 + X (s)f(s)ds. . t0 Thay v`ao biˆe’uth´u.ct`ım y(t)tac´o t −1 y(t)=X(t)(C1 + X (s)f(s)ds), t0 trong d¯´o C1 l`ah˘a`ng sˆo´.Nˆe´uc´othˆem d¯iˆ`eukiˆe.nn`ao d¯´oth`ıh˘a`ng sˆo´ n`ay ho`an to`an x´ac d¯i.nh. Ch˘a’ ng ha.n, nˆe´u X(t0)=I th`ı C1 = y(t0). Vˆa.yth`ıtac´o
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 23 . . D- .inh l´y1.10Mˆo. tnghiˆe. mbˆa´tk`ycu’a phuong tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t y(t) luˆon tho’am˜an cˆong th´u.cbiˆe´nthiˆen h˘a`ng sˆo´ sau d¯ˆay: t y(t)=X(t, t0)y(t0)+ X(t, s)f(s)ds, ∀t, t0 ∈ (a, b). (1.38) t0 . . ´ ` ´ 1.3. HEˆ. PHUONG TR`INH COH´ Eˆ. SOˆ HA˘NG SOˆ VA` TU`Aˆ NHOAN` 1.3.1. H`am ma trˆa.n . . . D- ˆe’ nghiˆen c´uuc´ac phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh c´ohˆe. sˆo´ . h˘a`ng sˆo´ ta s˜ed¯i.nh ngh˜ıa v`anghiˆen c´uumˆo.tsˆo´ h`am ma trˆa.n, trong A d¯´od¯˘a.cbiˆe.t quan tro.ng l`ah`am e v`a LnA. Chuˆo˜imatrˆa.n n×n X´et d˜ay c´ac ma trˆa.n Ak ∈ R ,k =1, 2, ··· v`achuˆo˜ima ∞ . . trˆa.n k=1 Ak.Chuˆo˜id¯uo. cgo.il`ahˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´inˆe´uchuˆo˜isˆo´ ∞ ∞ . . . k k=1 Ak < .Tru`ong ho. pd¯˘a.cbiˆe.tkhiAk = akA , trong d¯´o n×n ak ∈ C v`a A ∈ R ta c´othˆe’ ´ap du.ng c´ac tiˆeu chuˆa’nhˆo.itu. cu’a . . . . chuˆo˜il˜uy th`uad¯ˆe’ d¯uo.cc´ac d¯iˆ`eukiˆe.nd¯u’ cho su. hˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´i. . . Gia’ su’ h`am sˆo´ f(z)l`amˆo.th`am biˆe´nph´ucl`atˆo’ng cu’achuˆo˜il˜uy . . . th`uahˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´iv´oib´an k´ınh hˆo.itu. r = ∞,t´ucl`ac´oda.ng ∞ k f(z)= akz , (1.39) k=0 . trong d¯´ochuˆo˜ibˆen pha’ihˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´iv´oib´an k´ınh hˆo.itu. r = ∞. . Khi d¯´otad¯i.nh ngh˜ıa h`am f(A)nhusau: ∞ k f(A):= akA . (1.40) k=0 V`ıb´an k´ınh hˆo.itu. cu’achuˆo˜iband¯ˆ`au r = ∞ nˆen d¯i.nh ngh˜ıa cu’a . ta l`aho. pl´y, v`a f(A)l`atˆo’ng cu’achuˆo˜ihˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´i. z ∞ zk ∞ . V´ıdu. 1.4 V`ı e = k=0 k! c´ob´an k´ınh hˆo. itu. r = ,v´oima n×n A . . trˆa. n A ∈ R bˆa´tk`yh`am e luˆon d¯uo. cd¯i.nh ngh˜ıa, v`achob˘a`ng cˆong th´u.c ∞ Ak eA = . k=0 k!
24 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . Dˆ˜e d`ang ch´ung minh d¯uo. c: Bˆo’ d¯ˆ`e 1.1 C´ac kh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯´ung: 1. Nˆe´u f(A),g(A) l`ac´ac h`am ma trˆa. nd¯i.nh ngh˜ıa theo c´ach trˆen th`ı f(A)g(A)=g(A)f(A); . −1 2. Gia’ su’ A = SJS ,trongd¯´o S l`amatrˆa. nkhˆong suy biˆe´n. Khi d¯´o f(A)=Sf(J)S−1. . . Nhˆa.nx´et 1.2 Viˆe. cmo’ rˆo. ng d¯i.nh ngh˜ıa h`am f(A) cho c´ac l´op . . h`am f(z) c´oda. ng tˆo’ng qu´at hons˜e cho ph´ep nghiˆen c´uunhiˆ`euvˆa´n . . d¯ˆ`e th´uvi. cu’a phuong tr`ınh vi phˆan n´oi chung. Ch˘a’ ng ha. n, nˆe´u . f(z) chı’nh h`ınh trong miˆ`ench´uatˆa. pc´ac gi´atri. riˆeng cu’a A th`ı . f(A) c´othˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa b˘a`ng cˆong th´uc 1 f(A)= f(λ)(λI − A)−1dλ, (1.41) 2πi γ . . . . . trong d¯´o γ l`achutuyˆe´nd¯´ong d¯on, d¯i.nh hu´ong duong trong miˆ`en d¯ang x´et bao quanh tˆa. pc´ac gi´atri. riˆeng cu’a A.Nh˘a´cla. ir˘a`ng h`am N . . f :Ω z → (f1(z), ···,fN (z)) ∈ C d¯uo. cgo. il`achı’nh h`ınh nˆe´u −1 c´ac h`am to. ad¯ˆo. fk(z) l`achı’nh h`ınh. H`am ρ(A) λ → (λI −A) ∈ n×n . . . C c´othˆe’ ch´ung minh d¯uo. cl`achı’nh h`ınh theo λ.Dod¯´ot´ıch phˆan . . . (1.42), d¯uo. chiˆe’unhul`at´ıch phˆan cu’ada. ng vi phˆan bˆa. cnhˆa´ttheo chu tuyˆe´nd¯´ong γ s˜ekhˆong phu. thuˆo. cv`ao c´ach cho. ncu. thˆe’ chu tuyˆe´n γ. A+B A B Bˆo’ d¯ˆ`e 1.2 Nˆe´u A, B l`a hai ma trˆa. n giao ho´an, th`ı e = e e . . Ch´ung minh. Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o ∞ (A + B)k eA+B = . k=0 k! M˘a.tkh´ac do t´ınh hˆo.itu. tuyˆe.td¯ˆo´inˆen ∞ ∞ Ak Bj eAeB = k=0 k! j=0 j! ∞ Ak Bj = n=0 j+k=n k! j!
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 25 ∞ 1 n! = AkBj n=0 n! j+k=n k!j! ∞ (A + B)n = n=0 n! = eA+B . . n×n tA Do d¯´ov´oimo.i A ∈ R ho. (e )t∈R l`amˆo.t nh´om c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’ituyˆe´nt´ınh trong Rn. . n×n n×n . . Gia’ su’ A ∈ R . Ma trˆa.n Ln A ∈ R d¯uo. cd¯i.nh ngh˜ıa l`a B . . . . ma trˆa.nsaochoe = A.Ngayca’ tru`ong ho. pd¯ongia’n nhˆa´tch´ung . ta c˜ung thˆa´ysu’ tˆ`onta.icu’a Ln A l`akhˆong duy nhˆa´t. Tuy nhiˆen ta . . s˜echı’ quan tˆam d¯ˆe´nsu. tˆ`onta.icu’a´ıt nhˆa´tmˆo.t ma trˆa.nnhuthˆe´. Mˆe.nh d¯ˆ`e 1.3 Nˆe´u A khˆong suy biˆe´nth`ıtˆ`onta. i Ln A. . . . . Ch´ung minh. C´ohaic´ach ch´ung minh. C´ach th´u nhˆa´tdu. atrˆen . . viˆe.cd¯´uavˆ`e da.ng chuˆa’n Jordan. B`ai to´an quy vˆ`e viˆe.cch´ung minh . . . mˆo.tˆoJordanc´od¯u`ong ch´eo l`ac´ac phˆ`antu’ kh´ac 0 luˆon c´o loga- . . rithm. Gia’ su’ J = λEr + Z, trong d¯´o Er l`amatrˆa.nd¯onvi. r × r, k Z l`a ma trˆa.nl˜uy linh Z =0, ∀k ≥ r.Khid¯´oc´othˆe’ chı’ ra ∞ k k+1 1 Z Ln J = Ln λ · Er + (−1) . k=1 k λ . . C´ach kh´ac d`ung t´ıch phˆan ph´ucnhusau: Cho.nchutuyˆe´nJordan . . . . d¯´ong d¯i.nh hu´ong duong bao quanh tˆa.pc´ac gi´a tri. riˆeng cu’a A . nhung khˆong bao quanh gˆo´cto.ad¯ˆo Khid¯´o 1 Ln A = Ln λ · (λI − A)−1dλ, (1.42) 2πi γ trong d¯´o Ln z = ln |z| + iarg z +2kπi, k ∈ Z.Nˆe´u ma trˆa.n A khˆong suy biˆe´nth`ıh`am du.´o.idˆa´ut´ıch phˆan (1.42) chı’nh h`ınh trong . . miˆ`engi´oiha.nbo’ ichutuyˆe´nd¯´ong γ. . D- .inh l´y1.11(D- .inh l´y Anh´ xa. phˆo’) Gia’ su’ f(z) l`ah`am chı’nh . . . . h`ınh trˆen mˆo. ttˆa. pho. pmo’ Ω ch´ua σ(A) cu’am˘a. t ph˘a’ ng ph´ucv`a . . . f(A) d¯uo. cd¯i.nh ngh˜ıa nhu trong (1.41). Khi d¯´o σ(f(A)) = f(σ(A)). (1.43)
26 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ λ ∈ σ(A). D- ˆo´iv´oi ζ ∈ Ωd¯˘a.t   f(ζ)−f(λ) ζ−λ , nˆe´u ζ = λ g(ζ)= f (λ), nˆe´u ζ = λ. Khi d¯´o g chı’nh h`ınh trˆen Ω v`a f(A) − f(λ)I = g(A)(A − λI). Nˆe´u f(λ) ∈ ρ(f(A)) (trong d¯´o ρ(f(A)) := {z ∈ C : z ∈ σ(A)}), th`ı . . f(A) − f(λ)I c´onguo. cliˆen tu.c, v`adod¯´o(A − λI)c˜ung vˆa.y. D- iˆ`eu . n`ay mˆau thuˆa˜nv´oigia’ thiˆe´t λ ∈ σ(A). Vˆa.yth`ı f(λ) ∈ σ(f(A)). Bˆay gi`o. gia’ su’. λ ∈ σ(f(A)). Nˆe´u λ ∈ f(σ(A)), th`ı h(ζ)= −1 (f(ζ) − λ) l`ah`am chı’nh h`ınh trˆen mˆo.tlˆan cˆa.nn`ao d¯´ocu’a σ(A), ch˘a’ ng ha.nΩ. Ap´ du.ng c´ac kˆe´tqua’ trˆen cho c´ac h`am chı’nh h`ınh trˆen Ω ta c´o h(A)(f(A) − λI)=I.D- iˆ`eun`ay mˆau thuˆa˜nv´o.igia’ thiˆe´t λ ∈ σ(f(A)). Vˆa.yth`ı λ ∈ f(σ(A)). z A σ(A) V´ıdu. 1.5 Nˆe´u f(z)=e ta c´o σ(e )=e . . Ch´ung ta s˜ethˆa´yquanhˆe. trˆen c´o vai tr`onhuthˆe´ n`ao khi nghiˆen . c´uud´ang d¯iˆe.utiˆe.mcˆa.ncu’anghiˆe.m trong c´ac mu.ccuˆo´i. . . 1.3.2. Phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘`ang sˆo´ . . Ta x´et phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ sau dx = Ax + f(t), (1.44) dt . . . . trong d¯´o f l`ah`am liˆen tu.ctrˆen (a, b). Tru´ochˆe´ttax´et phuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t dx = Ax. (1.45) dt (t−t )A D- .inh l´y1.12x(t)=e 0 x0 l`anghiˆe. mduynhˆa´tcu’ab`ai to´an Cauchy x˙ = Ax x(t0)=x0 . . . . . Ch´ung minh. Ta chı’ cˆ`anch´ung minh cho tru`ong ho. p t0 =0. Thˆa.yvˆa.y, Ta c´o ∞ e∆tA − I 1 [∆tA]k lim = lim ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t k=1 k! = A.
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 27 Do d¯´o e(t+∆t)A − etA e∆tA − I lim = etA lim ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t = AetA. tA . . Thˆe´ th`ı x(t)=e x0 l`anghiˆe.mphuong tr`ınhx ˙(t)=Ax,v`a x(0) = x0. . . . tA . Nhu vˆa.ytav`uach´ung minh e l`amatrˆa.ncoba’n. Dˆ˜e thˆa´ymo.i . . . . ma trˆa.ncoba’nkh´ac d¯ˆ`eu nhˆa.nd¯uo. ct`u ma trˆa.nn`ay. Ta d¯i nghiˆen . . . c´uuchitiˆe´thoncˆa´utr´uc cu’amatrˆa.ncoba’n. . −1 D- .inh l´y1.13Gia’ su’ A = SJS l`ada. ng Jordan cu’amatrˆa. n A ph´u.c, trong d¯´o J = diag(J0,J1, ···,Jq),trongd¯´o Jk c´ok´ıch c˜o. rk × k v´o.i phˆ`antu’. trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh l`a λp+k.Khid¯´o  r −1  etλp+k tetλp+k ··· t k etλp+k (rk−1)!  rk−2   0 etλp+k ··· t etλp+k  tJk  (rk−2)!  e =  . . . .  . . . . . 00··· etλp+k Ch´u.ng minh. Nˆe´u   λ 10··· 0    0 λ 1 ··· 0   . . . . .  J =  . . . . .  = λE + Z  000··· 1  000··· λ th`ı m m m k k m−k (tJ) =(tλE + tZ) = Cm(tλE) (tZ) . k=0 . . . Ch´u´yd¯ˆe´nt´ınh l˜uy linh cu’amatrˆa.n Z ta s˜ethud¯uo. ccˆong th´uc trong d¯i.nh l´y. . . V´ıdu. 1.6 X´et phuong tr`ınh x˙ 4 −1 x x 2 = , ∈ R . y˙ 52 y y
28 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . Phuong tr`ınh d¯˘a.c trung cu’ac´ac hˆe. sˆo´ c´oda.ng: 4 − λ −1 2 det = λ − 6λ +13. 52− λ . . Phuong tr`ınh n`ay c´oc´onghiˆe.m λ1 =3+2i, λ2 =3− 2i.D- ˆe’ tiˆe´p . . . . 2 tu.c, ta cˆ`ancoiphuong tr`ınh d¯uo. cx´et trong C .V`ıc´ac sˆo´ riˆeng . . . 2 . d¯onnˆen tˆ`onta.imˆo.tcoso’ cu’a C gˆ`omto`an c´ac v´ec to riˆeng s1,s2 J d¯ˆe’ ma trˆa.nhˆe. sˆo´ c´oda.ng Jordan. Theo biˆe’udiˆ˜entrˆen cu’ah`am e , . . . trong tru`ong ho. pn`ay (3+2i)t tA tJ −1 e 0 −1 e = Se S = S 0 e(3−2i)t . trong d¯´o S l`amatrˆa.nc´oc´ac cˆo.tl`a s1,s2.Bˆay gi`o ta d¯i t`ım s1,s2. Theo d¯i.nh ngh˜ıa 4 −1 s11 s11 =(3+2i) , 52 s21 s21 trong d¯´o s11 s1 = . s21 . . . . . . Ta s˜et`ım d¯uo. cmˆo.tnghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh trˆen,u ´ng v´oimˆo.t v´ec to. riˆeng l`a 1 s1 = . 1 − 2i . . 2 Nˆe´ub`ai to´an d¯uo. cx´et trong C th`ıtatiˆe´ptu.ct`ım s2 v`acuˆo´ic`ung . . . t`ım d¯uo. chˆe. nghiˆe.mcoba’nl`a (3+2i)t (3−2i)t e s12e φ1(t)= (3+2i)t ,φ2(t)= (3−2i)t . (1 − 2i)e s22e 2 Tuy nhiˆen, b`ai to´an xuˆa´t ph´at cu’atala.il`at`ım nghiˆe.m trong R . . . . D- ˆe’ l`am d¯iˆ`eun`ay, ta t´ach c´ac phˆ`anthu. cv`aa’ocu’a φ1 th`ıd¯uo. c e3tcos 2t e3tsin 2t φ1(t)=ψ1(t)+iψ2(t)= +i . e3t(cos 2t +2sin 2t) e3t(sin 2t − 2cos 2t) R˜or`ang φ˙1(t)=Aφ1(t) ψ˙1(t)+iψ˙2(t)=Aψ1(t)+iAψ2(t).
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 29 . Do d¯´o ψ1(t),ψ2(t)l`a hai nghiˆe.mthu. c. Hai nghiˆe.mn`ay d¯ˆo.clˆa.p tuyˆe´nt´ınh v´o.i nhau v`ıdˆ˜e thˆa´y s2 =¯s1 l`av´ec to. riˆeng cu’a A. . . Thˆem n˜ua φ1(t)v`a φ2(t)=φ¯1(t)lˆa.pth`anh hˆe. nghiˆe.mcoba’n, . . t´ucl`ach´ung d¯ˆo.clˆa.pv´oi nhau. Do d¯´o ψ1(t)=(φ1(t)+φ2(t))/2v`a ψ2(t)=(φ1(t) − φ2(t))/2i l`ac´ac h`am d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh. . . Vˆa.yth`ınghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh d¯ang x´et l`a 3t x(t) e (C1cos 2t + C2sin 2t) = 3t , y(t) e [(C1 − 2C2)cos 2t +(2C1 + C2)sin 2t] . trong d¯´o C1,C2 l`ac´ac h˘a`ng sˆo´ thu. c. . . V´ıdu. 1.7 X´et phuong tr`ınh x˙ 21 x x 2 = , ∈ R . y˙ −14 y y . . . . . Gia’iphuong tr`ınh d¯˘a.c trung ta d¯uo. cnghiˆe.mbˆo.i λ1,2 =3.Tacˆ`an . . . . tiˆe´ptu.ct`ım c´ac v´ec to d¯˘a.c trung. Nˆe´uc´od¯u’ hai v´ec to d¯˘a.c trung . . . . . d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh th`ır˜or`ang ma trˆa.n A d¯uad¯uo. cvˆ`e da.ng d¯u`ong . . . ch´eo. Khi d¯´otiˆe´nh`anh nhu v´ıdu. trˆen. Tuy nhiˆen gia’iphuong tr`ınh t`ım v´ec to. riˆeng ta c´o 2 − λ1 1 x ⇐⇒ x = y −14− λ1 y . . T`u d¯ˆay suy ra chı’ c´othˆe’ c´o nhiˆ`eu nhˆa´tmˆo.tv´ec to riˆeng d¯ˆo.clˆa.p T tuyˆe´nt´ınh, ch˘a’ ng ha.ntacho.n s1 =(1, 1) .D- iˆ`eun`ay cho thˆa´y . . . . A c´oda.ng chuˆa’nt˘a´cJordanv´oimˆo.tˆoJordank´ıch c˜o l´onhon . . 1. D- ˆe’ t`ım co so’ riˆeng trong d¯´o A c´oda.ngo ˆ Jordan ta pha’it`ım . . . . . . thˆem mˆo.tv´ec to n˜ua s2,d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh v´oi s1 t`u phuong tr`ınh . . . . T As2 = λ1s2 + s1.Gia’iphuong tr`ınh n`ay ta d¯uo. c s2 =(0, 1) .V`ı . . . . trong co so’ s1,s2 A c´oda.ngoJordannˆ ˆ en ta d¯uo. cmˆo.thˆe. nghiˆe.m co. ba’n 3t 1 3t 1 3t 0 φ1(t)=e ,φ2(t)=te + e , 1 1 1 v`anghiˆe.mtˆo’ng qu´at 3t 3t x(t) C1e + C2te = 3t 3t 3t . y(t) C1e + C2te + C2e
30 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . 1.3.3. Phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`anho`an . . Trong mu.cn`ay ta x´et phuong tr`ınh x˙(t)=A(t)x(t),x∈ Cn, (1.46) v`a y˙(t)=B(t)y(t),y∈ Rn, (1.47) . . trong d¯´o A(t),B(t)l`ac´ac ma trˆa.nph´uc (thu. c) liˆen tu.cv`atuˆ`anho`an theo t chu k`y ω,t´u.cl`a A(t + ω)=A(t); B(t + ω)=B(t), ∀t ∈ R. . Ma trˆa.ncoba’n . D- .inh l´y1.14(Biˆe’udiˆ˜enFloquet)Mˆo˜imatrˆa. ncoba’n Φ(t) cu’a . . . . . . phuong tr`ınh (1.46) c´othˆe’ biˆe’udiˆ˜end¯uo. cdu´oida. ng Φ(t)=G(t)etR, ∀t ∈ R, (1.48) trong d¯´o G : R → Cn×n l`akha’ vi, tuˆ`an ho`an chu k`y ω, R ∈ Cn×n l`amatrˆa. nh˘a`ng. . Ch´ung minh. X´et ma trˆa.n X(t):=Φ(t + ω). Theo gia’ thiˆe´t, v`ı Φ(˙ t + ω)=A(t + ω)Φ(t + ω), ∀t ∈ R = A(t)Φ(t + ω) . nˆen X(t)c˜ung l`anghiˆe.mcoba’ncu’a (1.46). Do d¯´otˆ`onta.i ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n B sao cho Φ(t + ω):=X(t)=Φ(t)B. Do B l`ama . trˆa.nkhˆong suy biˆe´nph´ucnˆen tˆ`onta.i ma trˆa.n ωR = Ln B,saocho ωR −tR e = B.D- ˘a.t G(t)=Φ(t)e ,tac´o G(t + ω)=Φ(t + ω)e−(t+ω)R =Φ(t)Be−tRe−ωR, =Φ(t)e−tR, v`ı Be−tRe−ωR = Be−ωRe−tR = G(t). R˜or`ang G(t)kha’ vi theo t v`aΦ(t)=G(t)etR. Mˆo.thˆe. qua’ quan tro.ng l`akˆe´tqua’ sau. . . Hˆe. qua’ 1.2 Phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`an ho`an (1.46) luˆon c´othˆe’ . . dˆa˜nvˆ`e phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ y˙ = Ry b˘a`ng ph´ep d¯ˆo’ibiˆe´n x(t)=G(t)y(t).
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 31 . tR Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, v`ıΦ(t)=G(t)e ,nˆen x(t):=Φ(t)x0 . . tR l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh xuˆa´t ph´at. C`on y(t):=e x0 l`anghiˆe.m . cu’ahˆe. c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ y˙ = Ry.Nˆe´ud`ung c´ach vi phˆan h`ınh th´uc ta c´o x(t):=G(t)y(t). Vˆa.yth`ı A(t)x(t)=x ˙(t) = G˙ (t)y(t)+G(t)˙y(t) =[Φ(˙ t)e−tR − Φ(t)e−tRR]y(t)G(t)˙y(t) = A(t)G(t)y(t) − G(t)Ry(t)+G(t)˙y(t). . Vˆa.yth`ı G(t)˙y(t) − G(t)Ry(t)=0.Nhung v`ı G(t)khˆong suy biˆe´n nˆeny ˙(t)=Ry(t). . . . Gia’ su’ Φ(t, s)l`amatrˆa.nCauchycu’a (1.46). Ngu`oitago.i M := . . . . . Φ(ω, 0) l`a ma trˆa.nmonodromycu’a (1.46). Tru`ong ho. pphuong n . . . . tr`ınh trong R c´oph´ucta.phon. N´oi chung khˆong kh˘a’ ng d¯i.nh d¯uo. c . . R . . su. tˆ`onta.i R thu. cd¯ˆe’ M = e v´oimo.i ma trˆa.nth´uckhˆong suy biˆe´n . . . . . cho tru´oc M,ch˘a’ ng ha.nkhiM<0 trong tru`ong ho. pmˆo.tchiˆ`eu. . . . . . . Tuy vˆa.yngu`oitach´ung minh d¯uo. cr˘a`ng nˆe´u B l`a ma trˆa.nthu. c . . R 2 khˆong suy biˆe´nth`ı bao gi`o c˜ung tˆ`onta.i R thu. c R sao cho e = B . . Do vˆa.ythayv`ıx´et su. tˆ`onta.i ma trˆa.n G(t)tuˆ`anho`an chu k`y ω . . . . . nhu d¯ˆo´iv´oiphuong tr`ınh ph´uctax´et ma trˆa.n H(t)tuˆ`anho`an chu 2 . . k´y T =2ω.Khid¯´o M l`amatrˆa.nmonodromycu’aphuong tr`ınh . . n`ay. Ch´ung tˆoi d`anh cho d¯ˆo.cgia’ ph´at biˆe’uhˆe. qua’ trˆen cho tru`ong . ho. pn`ay. ˆ ´. ˆ ’ . . ` ˆ 1.4. NGHIE. MGIOINO. ICUAPHUONG TRINH KHONG THU`Aˆ NNHAˆ´T . . . . Trong mu.cn`ay ta s˜ex´et su. tˆ`onta.inghiˆe.mgi´oinˆo.icu’aphuong tr`ınh dx = Ax + f(t),t∈ R, (1.49) dt . . . . trong d¯´o f l`ah`am liˆen tu.cv`agi´oinˆo.itrˆen R.Tru´ochˆe´ttax´et su. . . . tˆ`onta.inghiˆe.mtuˆ`anho`an chu k`y ω nˆe´ubiˆe´t tru´oc f tuˆ`anho`an v´oi chu k`y ω. 1.4.1. Nghiˆe.mtuˆ`anho`an Ta x´et d¯iˆ`eukiˆe.ncˆ`anv`ad¯u’ d¯ˆe’ (1.49) c´o duy nhˆa´tnghiˆe.mtuˆ`an ho`an.
32 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at D- .inh l´y1.15D- iˆ`eukiˆe. ncˆ`anv`ad¯u’ d¯ˆe’ (1.49) c´oduynhˆa´tmˆo. t . nghiˆe. mtuˆ`an ho`an chu k`y ω v´oimˆo˜ih`am f liˆen tu. c, tuˆ`an ho`an chu k`y ω l`a 1 ∈ σ(eωA), hay tu.o.ng d¯u.o.ng, 2πiZ/ω ∩ σ(A)=. . . Ch´ung minh. Cˆ`an:gia’ su’ (1.49) c´o duy nhˆa´tnghiˆe.mtuˆ`anho`an . . . chu k`y ωx(t)v´oimˆo˜i f liˆen tu.c, tuˆ`anho`an chu k`y ω cho tru´oc. Ta s˜ech´u.ng minh 1 ∈ σ(eωA). D- ˆe’ l`am d¯iˆ`eud¯´otachı’ cˆ`anch´u.ng minh . n . . n r˘a`ng v´oimˆo˜i y ∈ C cho tru´octˆ`onta.i´ıt nhˆa´tmˆo.tnghiˆe.m x ∈ C ωA (t−ω)A sao cho x − e x = y.D- ˘a.t f(t):=α(t)e y, trong d¯´o α(t)l`a h`am liˆen tu.cn`ao d¯´otrˆen [0,ω]tho’am˜an ω α(0) = α(ω)=0; α(ξ)dξ =1. 0 Khi d¯´o f c´othˆe’ th´ac triˆe’nth`anh mˆo.th`am liˆen tu.ctuˆ`anho`an chu k`y ω trˆen to`an R.Theogia’ thiˆe´ts˜etˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mtuˆ`an ho`an x(t)v´o.ichuk`y ω.Theocˆong th´u.cbiˆe´nthiˆen h˘a`ng sˆo´ x(0) = x(ω) ω = eωAx(0) + e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. 0 Do d¯´o ω (I − eωA)x(0) = e(ω−ξ)Af(ξ)dξ 0 ω = e(ω−ξ)Ae(ξ−ω)Aα(ξ)ydξ 0 = y. ωA . . Vˆa.y1∈ σ(e ). Theo d¯i.nh l´y´anh xa. phˆo’ d¯iˆ`eukiˆe.nn`ay tuong d¯u.o.ng v´o.i2πiZ/ω ∩ σ(A)=. . . . ωA . D- u’:Gia’ su’ nguo. cla.i1∈ σ(e ). Khi d¯´ogia’ su’ f liˆen tu.cv`a tuˆ`anho`an chu k`y ω bˆa´tk`y. Ta d¯˘a.t ω ωA −1 (ω−ξ)A x0 =(I − e ) e f(ξ)dξ. 0 X´et h`am sˆo´ t tA (t−ξ)A x(t):=e x0 + e f(ξ)dξ, t ∈ [0,ω] (1.50) 0 D- ˆay l`amˆo.tnghiˆe.mcu’a (1.49) trˆen [0,ω], c´ot´ınh chˆa´t x(ω)= x(0) = x0.D- ˘a.t y(t)=x(t + ω). Khi d¯´o
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 33 y˙(t)=x ˙(t + ω) = Ax(t + ω)+f(t + ω) = Ay(t)+f(t). . . Honn˜ua, y(0) = x(ω)=x(0). Do t´ınh duy nhˆa´tnghiˆe.mcu’ab`ai to´an Cauchy z˙(t)=Az(t)+f(t) z(0) = x0 ta suy ra y(t)=x(t), t´u.cl`a x(t + ω)=x(t), ∀t.Dˆ˜e thˆa´yd¯ˆo´iv´o.i . mˆo˜inghiˆe.mtuˆ`anho`an y(t)v´oichuk`y ω th`ı ω (I − eωA)y(0) = e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. 0 Vˆa.y y(0) = x(0) = x.Dot´ınh duy nhˆa´tnghiˆe.mcu’ab`ai to´an . Cauchy, y(t)=x(t), t´ucl`ac´o duy nhˆa´tnghiˆe.mtuˆ`anho`an chu k`y ω. . . n . . . Ch´ung ta d¯˜ax´et phuong tr`ınh trong C .B`ai to´an tuong tu. cho . . n . . ωA phuong tr`ınh trong R c´othˆe’ d¯uo. cx´et. Khi d¯´od¯iˆ`eukiˆe.n1∈ σ(e ) . . . ωA . . . thay b˘a`ng t´ınh kha’ nguo. ccu’amatrˆa.nthu. c I−e .D- ˆo´iv´oiphuong . . n tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`anho`an, nˆe´uphuong tr`ınh trong C th`ıb˘a`ng c´ach . . . . . d¯uavˆ`e phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ ta d¯uo. cd¯iˆ`eukiˆe.ncˆ`anv`ad¯u’ l`a1∈ σ(M), trong d¯´o M l`ato´an tu’. monodromy. D- ˆo´iv´o.iphu.o.ng . . . . tr`ınh thu. cc´ohˆe. sˆo´ tuˆ`anho`an, c´ach d¯uavˆ`e phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ s˜el`am r˘a´crˆo´ithˆem v`ıchı’ biˆe´ttˆ`onta.iph´ep dˆa˜ntuˆ`anho`an . . chu k`y2ω. Tuy nhiˆen c´othˆe’ du. atheoc´ach l´yluˆa.ntrˆen d¯ˆe’ ch´ung . . . minh r˘a`ng d¯iˆ`eukiˆe.ncˆ`anv`ad¯u’ l`a ma trˆa.nthu. c I − M kha’ nguo. c, trong d¯´o M l`amatrˆa.nmonodromy. . 1.4.2. Nghiˆe.mgi´oinˆo.i . . . D- ˆe’ nghiˆen c´uud¯iˆ`eukiˆe.n Perron tru´ochˆe´ttax´et mˆo.tkˆe´tqua’ . bˆo’ tro. sau d¯ˆay. . . D- .inh ngh˜ıa 1.4 Phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t x˙(t)=Ax(t),x(t) ∈ Cn (1.51) . . d¯uo. cgo. il`ahyperbolicnˆe´u iR ∩ σ(A)=.
34 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . Mˆe.nh d¯ˆ`e 1.4 Nˆe´u phuong tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.51) hyperbolic, n n . . th`ıtˆ`onta. imˆo. tph´ep chiˆe´u P : C → C v`ac´ac h˘a`ng sˆo´ duong K, α sao cho PetAP ≤Ke−αt, ∀t ≥ 0; (I −P )esA(I −P )≤Keαs, ∀s ≤ 0. (1.52) . A Ch´ung minh. Theo D- .inh l´y Anh´ Xa. Phˆo’ ta thˆa´y σ(e )khˆong . . . ch´uav`ong tr`on d¯onvi. v`adod¯´onhud¯˜abiˆe´t trong D- a.isˆo´ tuyˆe´nt´ınh c´othˆe’ chı’ ra ph´ep chiˆe´u P : Cn → Cn sao cho Cn = ImP ⊕ KerP, PeA = eAP v`a σ(PeAP )ch´ınh l`a phˆ`an phˆo’ cu’a eA trong h`ınh tr`on . A A d¯onvi. c`on σ((I − P )e (I − P )) l`a phˆ`ancu’a σ(e )n˘a`m ngo`ai v`ong . 1 tr`on d¯onvi. . . . D- .inh l´y1.16(D- .inh l´y Perron) D- iˆ`eukiˆe. ncˆ`anv`ad¯u’ d¯ˆe’ phuong . tr`ınh khˆong thuˆ`annhˆa´t (1.49) c´onghiˆe. mduynhˆa´tgi´oinˆo. itrˆen . . . . to`an tru. cv´oimˆo˜i f gi´oinˆo. ichotru´ocl`a iR ∩ σ(A)=. . . . . Ch´ung minh. Cˆ`an:Gia’ su’ xf l`anghiˆe.mgi´oinˆo.i duy nhˆa´tv´oi . . . . mˆo˜i f gi´oinˆo.i cho tru´oc. Gia’ su’ f l`a ω tuˆ`anho`an. Khi d¯´otas˜e . ch´ung minh nghiˆe.m duy nhˆa´t xf c˜ung ω-tuˆ`anho`an. Thˆa.tvˆa.y, d¯˘a.t y(t)=xf (t + ω). Ta c´o y˙(t)=x ˙(t + ω) = Ax(t + ω)+f(t + ω) = Ay(t)+f(t). . . . Vˆa.y y(t)c˜ung l`amˆo.tnghiˆe.mgi´oinˆo.icu’aphuong tr`ınh khˆong . thuˆ`an nhˆa´t (1.49). Do gia’ thuyˆe´tvˆ`e t´ınh duy nhˆa´tnghiˆe.mgi´oinˆo.i v´o.i f cho tru.´o.cnˆen y(t)=xf (t), hay l`a xf (t + ω)=xf (t), ∀t,t´u.c l`a xf l`a ω-tuˆ`anho`an. Vˆa.yth`ıtheoD- .inh l´ytrˆen 2πiZ/ω∩σ(A)=. Do ω t`uyynˆ ´ en suy ra iR ∩ σ(A)=. . . . . D- u’: V´oimˆo˜ih`am f cho tru´octalˆa.ph`am Gf nhu sau: t +∞ Gf(t)= Pe(t−ξ)APf(ξ)dξ− (I−P )e(t−ξ)A(I−P )f(ξ)dξ, t ∈ R. −∞ t (1.53) 1 . . . . Ph´ep chiˆe´u P n`ay c´othˆe’ nhˆa.nd¯uo. c nh`o cˆong th´uct´ıch phˆan Riesz sau P 1 λI − eA −1dλ γ . . . d¯ˆay: = 2πi γ ( ) ,trongd¯´o ch´ınh l`ad¯u`ong tr`on d¯onvi. d¯i.nh . . . . . . . . hu´ong duong. T´ıch phˆan n`ay tuongu ´ng v´oi χ(A)trongd¯´o χ(z)l`ah`am d¯˘a.c . . trung cu’ah`ınh tr`on d¯onvi
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 35 . . Theo mˆe.nh d¯ˆ`e trˆen su. hˆo.itu. cu’at´ıch phˆan trong biˆe’uth´ucl`ar˜o . . r`ang. Ngo`ai ra vi phˆan tru. ctiˆe´ptac´o Gf(·)l`amˆo.tnghiˆe.mgi´oi . . . nˆo.i. T´ınh duy nhˆa´tc´othˆe’ ch´ung minh d¯uo. cdˆ˜e d`ang b˘a`ng c´ach . . . chı’ ra phuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tchı’ c´o duy nhˆa´tnghiˆe.mgi´oinˆo.il`a . . nghiˆe.mtˆ`amthu`ong. Nhˆa.nx´et 1.3 Ta c´oc´ac nhˆa. nx´et sau d¯ˆay: . . . . . 1. To´an tu’ G u´ng mˆo˜ih`am f gi´oinˆo. iv´oinghiˆe. mgi´oinˆo. i Gf . . . d¯uo. cgo. il`ato´an tu’ Green. . . . 2. D- ˆo´iv´oi phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`an ho`an chu k`y τ,ch´ung . . . . ta c´othˆe’ ph´at biˆe’umˆo. td¯iˆ`eukiˆe. ntuong tu. cho to´an tu’ . . monodromy (t´ucl`a´anh xa. tuyˆe´nt´ınh x´ac d¯i.nh bo’ imatrˆa. n Cauchy X(τ,0)). Khi d¯´od¯iˆ`eukiˆe. ns˜el`a σ(X(τ,0)) ∩{z ∈ C : |z| =1} = . . . . . 3. C´othˆe’ chı’ ra pha’nv´ıdu. ch´ung to’ r˘a`ng d¯ˆo´iv´oi phuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ tuˆ`an ho`an c´ac gi´atri. riˆeng cu’amatrˆa. n A(t), ∀t ∈ R . . khˆong d¯´ong vai tr`og`ıtrongsu. tˆ`onta. inghiˆe. mgi´oinˆo. icu’a . . . phuong tr`ınh khˆong thuˆ`annhˆa´t, c˜ung nhu t´ınh ˆo’nd¯i.nh cu’a hˆe. thuˆ`annhˆa´t. . . 1.4.3. C´ac khˆong gian h`am chˆa´p nhˆa.nd¯uo. c . . . . . Trongu ´ ng du.ng phuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tthu`ong mˆota’ hˆe. . . . . . . thˆo´ng, c`on f d¯˘a.c trung cho ngoa.ilu. c, thu`ong go.il`asˆo´ ha.ng cu˜ong chˆe´ (forcing term), hay “d¯ˆ`auv`ao” (input). Mˆo.tb`ai to´an quan tro.ng sau d¯ˆay l`anˆo.i dung ch´ınh cu’al´ythuyˆe´tc´ac khˆong gian h`am chˆa´p . . nhˆa.nd¯uo. c. . . . . B`ai to´an: Gia’ su’ cho tru´ocmˆo. tkhˆong gian h`am M.V´oid¯iˆ`eukiˆe. n . n`ao d¯˘a. tlˆen A d¯ˆe’ v´oimˆo˜i f ∈Mtˆ`onta. iduynhˆa´tmˆo. tnghiˆe. m xf cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ`annhˆa´t (1.49) ? . . 1.4.4. Nghiˆe.mgi´oinˆo.itrˆen nu’ atru. c . C´othˆe’ d¯˘a.c trung t´ınh hyperbolic cu’ahˆe. tuyˆe´nt´ınh thuˆ`an nhˆa´t . . . qua su. tˆ`onta.i(khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.mgi´oinˆo.itrˆen nu’ a tru.c du.o.ng v´o.imˆo˜ih`am cu.˜o.ng b´ach (forcing term) f cho tru.´o.ctrˆen . . . . nu’ a tru.c. Tuy nhiˆen, viˆe.cch´ung minh d¯˘a.c trung n`ay kh´aph´ucta.p . . . . so v´oich´ung minh d¯i.nh l´y Perron o’ trˆen. Gia’ su’ σ(A) ∩ iR = . n n Khi d¯´otˆ`onta.iph´ep chiˆe´u P : R → R sao cho PA = AP,v`a
36 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at σ(A|ImP)={λ ∈ σ(A):Reλ 0}. n n . Ta nh˘a´cla.ir˘a`ng BC(R+, R ):={g :[0, +∞) → R liˆen tu.cv`agi´oinˆo.i}. . . n D- .inh l´y1.17V´oigia’ thiˆe´tv`ak´yhiˆe. utrˆen, v´oimo. i f ∈ BC(R+, R ) c´ac kh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆay l`ad¯´ung: . . . . 1. Phuong tr`ınh (1.49) c´o´ıt nhˆa´tmˆo. tnghiˆe. mgi´oinˆo. itrˆen nu’ a . . tru. c, cho bo’ icˆong th´uc: t +∞ (t−ξ)A (t−ξ)A xf (t)= e Pf(ξ)dξ− e (I−P )f(ξ)dξ, ∀t ∈ R+, 0 t (1.54) . . 2. Mo. inghiˆe. m y(t),t∈ R+,gi´oinˆo. itrˆen nu’ atru. c R+,d¯ˆ`euc´o da. ng tA y(t)=e y0 + xf (t),y0 ∈ ImP, ∀t ∈ R+. (1.55) . . Ch´ung minh. (1) Du. av`ao d¯´anh gi´a etAPx≤Ne−αt, ∀t ≥ 0, esA(I − P )≤Ne−αs, ∀s ≤ 0 . . . . v´oihaisˆo´ duong N, α n`ao d¯´ox´ac d¯i.nh t`u A,tac´othˆe’ chı’ ra ngay . . . xf l`ah`am gi´oinˆo.i. Thu’ tru. ctiˆe´p suy ra ngay xf l`anghiˆe.mcu’a (1.49). (2) D`ung nguyˆen l´ychˆ`ong chˆa´tnghiˆe.m suy ra hiˆe.u y(t) − xf (t)= . . . . . z(t)l`amˆo.tnghiˆe.mgi´oinˆo.icu’aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´ttuong . tA u´ng. Vˆa.yth`ı z(t) pha’ic´oda.ng z(t)=e (Pz(0) + (I − P )z(0)). . . . Nˆe´u(I − P )z(0) =0th` ınghiˆe.m z(t)khˆong thˆe’ gi´oinˆo.id¯uo. c. Vˆa.y . . . ta d¯uo. cd¯iˆ`eucˆ`anch´ung minh. 1.5. BAI` TOAN´ BIENˆ 1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆ`an nhˆa´t X´et phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh x˙ = P (t)x, (1.56) n×n trong d¯´o P :(a, b) → C l`ah`am gi´a tri. ma trˆa.nliˆen tu.c. Ta x´et . . b`ai to´an sau: T`ım nghiˆe. m x(t) cu’a phuong tr`ınh (1.56) tho’am˜an d¯iˆ`eukiˆe.nbiˆen sau d¯ˆay:
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 37 Ax(α)+Bx(β)=0, (1.57) n×n . trong d¯´o A, B ∈ R l`a hai ma trˆa.n, v`a α, β ∈ (a, b)l`ahaisˆo´ thu. c cho tru.´o.c. . . . Gia’ su’ Φ(t)l`amatrˆa.ncoba’nchuˆa’nh´oa (t´ucl`aΦ(0)=I,ma . . . trˆa.nd¯onvi.)cu’aphuong tr`ınh (1.56). Ta s˜et`ım nghiˆe.m trong da.ng sau x(t)=Φ(t)C, C ∈ Cn. (1.58) . T`u d¯iˆ`eukiˆe.nbiˆen suy ra [A + BΦ(β)]C =0. . . Do d¯´ob`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) c´onghiˆe.mkhˆong tˆ`amthu`ong khi v`achı’ khi ∆:=det[A + BΦ(β)] = 0. Gia’ su’. Q = {(t, s):α ≤ t ≤ β; α ≤ s ≤ β,s = t}. n×n . . D- .inh ngh˜ıa 1.5 Anh´ xa. G : Q → C d¯uo. cgo. il`ah`am Green cu’ab`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) nˆe´un´otho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe. n sau: 1. dG = P (t)G, ∀t ∈ [α, s),t∈ (s, β] dt 2. AG(α, s)+BG(β,s)=0, . . 3. G(s +0,s) − G(s − 0,s)=I ,(I l`ato´an tu’ d¯onvi.). . . . T`u l´ythuyˆe´thˆe. phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh ta c´othˆe’ biˆe’udiˆ˜en G(t, s) . . du´oida.ng sau: Φ(t)S(s),α≤ t<s, G(t, s)= Φ(t)T (s),s<t≤ β. Theo c´ac d¯iˆ`eukiˆe.ncu’ah`am Green ta c´o AS + BΦ(β)T =0, Φ(S − T )=I. Do d¯´o S − T = −Φ−1 S(s)=−[A + BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), T (s)={I − [A + BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s).
38 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . . Vˆa.yth`ı G(t, s)x´ac d¯i.nh mˆo.tc´ach d¯on tri. t`u cˆong th´uc   −Φ(t)[A + BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s),α≤ t<s, G(t, s)= Φ(t){I − [A + BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s),s<t≤ β. (1.59) T`u. (1.59) v`ad¯˘a’ ng th´u.c dΦ−1 = −Φ−1P dt ta c´o dG = −GP (s), ds G(t, t − 0) − G(t, t +0)=I. 1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ`an nhˆa´t X´et b`ai to´an biˆen khˆong thuˆ`an nhˆa´tsau: x˙ = P (t)x + q(t),t∈ (a, b) (1.60) 0=Ax(α)+Bx(β), (1.61) n . . trong d¯´o q :(a, b) → C l`ah`am liˆen tu.c cho tru´oc. D- .inh l´y1.18Nˆe´u ∆ =0 th`ıb`ai to´an biˆen khˆong thuˆ`annhˆa´t . (1.60) v`a (1.61) c´onghiˆe. mduynhˆa´tx´ac d¯i.nh b˘a`ng cˆong th´uc β x(t)= G(t, s)q(s)ds, (1.62) α trong d¯´o G(t, s) l`ah`am Green cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ`annhˆa´t (1.56) v`a (1.57). . . . Ch´ung minh. D- ˆe’ chı’ ra h`am x(t)l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh . . (1.60) ta biˆe’udiˆ˜enh`am n`ay du´oida.ng t β x(t)= G(t, s)q(s)ds + G(t, s)q(s)ds, α t t`u. d¯´osuyra t x˙(t)=G(t, t − 0)q(t)+ P (t)G(t, s)q(s)ds − G(t, t − 0)q(t) α β + P (t)G(t, s)q(s)ds t = P (t)x(t)+q(t).
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 39 Tiˆe´ptheotac´o β β Ax(α)+Bx(β)= AG(α, s)q(s)ds + BG(β,s)q(s)ds α α β = [AG(α, s)+BG(β,s)]q(s)ds α =0. . . . Thˆe´ th`ıtad¯˜ach´ung minh d¯uo. c (1.62) l`anghiˆe.mcu’a (1.60). . . . Bˆay gi`o ta ch´ung minh t´ınh duy nhˆa´t. Gia’ su’ ta c´o hai nghiˆe.m x1(t)v`a x2(t)cu’aphu.o.ng tr`ınh (1.60) v`a (1.61). Khi d¯´o ϕ(t):= 1 2 . . x (t) − x (t)l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t (1.56) v`a (1.57). Theo d¯iˆ`eukiˆe.n∆=0tac´ o ϕ(t)=0, ∀t ∈ (a, b). . Nhˆa.nx´et 1.4 D- .inh l´ytrˆen cho d¯iˆ`eukiˆe. nd¯u’ tˆo’ng qu´at hond¯iˆ`eu . kiˆe. nd¯u’ cho su. tˆ`onta. inghiˆe. mtuˆ`an ho`an trong D- .inh l´y1.15d¯˜abiˆe´t . . trong mu. ctru´oc. . . ` ˆ´ ´ ˆ 1.6. PHUONG TRINH TUYENTINH BA. CCAO X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan (n) (n−1) x + p1(t)x + ···+ pn(t)x = q(t), (1.63) . . trong d¯´o x = x(t)l`ah`am vˆohu´ong, pk(t),q(t)l`ah`am liˆen tu.ctrˆen . . . . . . khoa’ng (a, b) ⊂ R. Phuong tr`ınh trˆen d¯uo. cgo.il`a phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh cˆa´pn. D- ˘a.t (n−1) z1(t)=x(t),z2(t)=x ˙2(t), ···,zn(t)=x (t) ta c´o z˙(t)=A(t)z(t)+Q(t),t∈ (a, b), (1.64) trong d¯´o     010··· 00 0      001··· 00  0   . . . . . .   .  A :=  . . . . . .  ,Q:=  .  , (1.65)     000··· 01 0 p1 p2 p3 ··· pn−1 pn q
40 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at . . Ma trˆa.nda.ng trˆen cu’a A d¯uo. cgo.il`a ma trˆa.n Sylvester.B˘a`ng c´ach . . . . . d¯uaphuong tr`ınh cˆa´pcaovˆ`e hˆe. phuong tr`ınh bˆa.c nhˆa´t, vˆ`e nguyˆen . . . t˘a´cth`ır˜or`ang viˆe.cgia’iphuong tr`ınh bˆa.ccaoho`an to`an thu. chiˆe.n . . . . . d¯uo. c. Tuy vˆa.yd¯ˆo´iv´oihˆe. phuong tr`ınh bˆa.c nhˆa´tc´omatrˆa.nhˆe. sˆo´ . . . da.ng Sylvester, viˆe.ct`ım hˆe. nghiˆe.mcoba’nc´othuˆa.nlo. ihon. D- ´o c˜ung ch´ınh l`amu.cd¯´ıch cu’amu.cn`ay. k λ t Bˆo’ d¯ˆ`e 1.3 Hˆe. c´ac h`am {t j e j ,j =1, 2, ···,N},trongd¯´o kj ∈ N,λj ∈ C l`ahˆe. c´ac h`am d¯ˆo. clˆa. ptuyˆe´nt´ınh trˆen R khi v`achı’ khi . (kj,λj ) =( km,λm) v´oimo. i j = m. . . . . Ch´ung minh. Tru ´ochˆe´ttach´ung minh kh˘a’ ng d¯i.nh: nˆe´u N λjt Pj (t)e =0, ∀t, j=1 trong d¯´o Pj (t)l`ac´ac d¯a th´u.ctheot,th`ı Pj (t)=0, ∀t, ∀j. Ta s˜e . . . . ch´ung minh b˘a`ng quy na.p. gia’ su’ v´oi N − 1cˆong th´uctrˆen d¯´ung. λN t . . Ta chia hai vˆe´ cho e v`ad¯uo. c N−1 (λj−λN )t Pj (t)e + PN (t) ≡ 0. j=1 . D- a.oh`am theo t mˆo.tsˆo´ lˆ`anth´ıch ho. p(b˘a`ng bˆa.ccu’a PN )tac´o N−1 (λj−λN )t Qj(t)e ≡ 0 j=1 trong d¯´o Qj c´obˆa.cb˘a`ng bˆa.ccu’a Pj.Theogia’ thiˆe´t quy na.pth`ı Qj(t) ≡ 0. Do d¯´o Pj (t) ≡ 0. . . . Ap´ du.ng kh˘a’ ng d¯i.nh n`ay v`ao ch´ung minh bˆo’ d¯ˆ`e th`ıtad¯uo. c ngay d¯iˆ`eucˆ`anch´u.ng minh. . . . . . . . Bˆay gi`o ta x´et tru`ong ho. pphuong tr`ınh c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ t´uc l`a pj (t) ≡ const.D- ˘a.t n n−1 f(λ)=λ + p1λ + ···+ pn−1λ + pn. . . . . . . . D- ath´uc f(λ)d¯uo. cgo.il`ad¯a th´ucd¯˘a.c trung, c`on phuong tr`ınh . . . . . f(λ)=0d¯uo. cgo.il`aphuong tr`ınh d¯˘a.c trung. C´ac nghiˆe.mcu’a . . . . . . phuong tr`ınh d¯˘a.c trung d¯uo. cgo.il`anghiˆe.md¯˘a.c trung.
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 41 . . . . Bˆo’ d¯ˆ`e 1.4 Gia’ su’ λ1 l`amˆo. tnghiˆe. md¯˘a. ctrung bˆo. i k cu’a phuong tr`ınh vi phˆan tuyˆe´nt´ınh bˆa. c n c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ (1.63). Khi d¯´o λ t λ t k−1 λ t hˆe. {e 1 ,te 1 , ···,t e 1 } l`ahˆe. k nghiˆe. md¯ˆo. clˆa. ptuyˆe´nt´ınh cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63). . (n) (n−1) Ch´ung minh. D- ˘a.t Lu := u + p1u + ···+ pnu.Khid¯´odˆ˜e . . . d`ang ch´ung minh d¯uo. c m m λ1t ν (ν) m−ν λ1t L(t e )= Cmf (λ1)t e , 0 ≤ m ≤ k − 1. ν=1 (k−1) V`ı λ1 l`anghiˆe.mbˆo.i k nˆen f(λ)=f (λ)=···= f (λ1)=0.Do m λ1t . . 0 ≤ m ≤ k − 1nˆen L(t e ) ≡ 0. Ap´ du.ng bˆo’ d¯ˆ`e trˆen ta thu d¯uo. c t´ınh d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh cu’ahˆe. n`ay. . Hˆe. qua’ tru. ctiˆe´pcu’ahaibˆo’ d¯ˆ`e trˆen l`ad¯i.nh l´ysaud¯ˆay: . . . . D- .inh l´y1.19Gia’ su’ phuong tr`ınh d¯˘a. ctrung c´oc´ac nghiˆe. m . . . . λ1, ···,λl v´oic´ac bˆo. ituongu ´ng l`a m1, ···,ml.Khid¯´ohˆe. c´ac λjt λjt mj −1 λj t . h`am {e ,te , ···,t e ,j =1, ···,l} l`ahˆe. nghiˆe. mcoba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63). . . . . Nhˆa.nx´et 1.5 Tru `ong ho. pc´ac hˆe. sˆo´ thu. ctac´othˆe’ t`ım hˆe. nghiˆe. m . . . . co ba’nthu. cnhusau: trong d¯i.nh l´ytrˆen thay v`ıcho. nc´ac h`am ph´uc k λt k λt¯ . k Reλt k Reλt t e ,t e ta lˆa´yc˘a. ph`am thu. csaut e cos(λt),t e sin(λt). . ` 1.7. SU. PHU. THUOˆ. CLIENˆ TU. CTHEOD- IEˆUKIEˆ. N BAN D- `Aˆ UVA` THEO THAM SOˆ´ . . . . . Trong mu.cn`ay ta gia’ su’ b`ai to´an Cauchyu ´ng v´oiphuong tr`ınh dx = f(t, x, µ),µ∈ Λ, dt . m . . trong d¯´oΛl`amˆo.ttˆa.pconmo’ cu’akhˆong gian R n`ao d¯´o, gia’id¯uo. c trˆen to`an khoa’ng (a, b)v´o.imˆo˜i µ ∈ Λ. D- ˆe’ c´od¯iˆ`eun`ay ta gia’ thiˆe´t . . nhu trong D- .inh l´yTˆ`onta.iTo`an cu.c, t´ucl`a: n n 1. f :(a, b) × R → R liˆen tu.ctheot, x, µ v`a Dxf, Dµf tˆ`onta.i v`aliˆen tu.c;
42 Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 2. C´oc´ac h˘a`ng sˆo´ M0,M1,M2 sao cho: n f(t, x, µ)≤M1 + M0x, ∀t ∈ (a, b); x ∈ R ; µ ∈ Λ n f(t, x, µ) − f(t, y, µ)≤M2x − y, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ R ; µ ∈ Λ. Ta s˜ek´yhiˆe.u x = x(t, t0,x0,µ)l`anghiˆe.mcu’ab`ai to´an Cauchy x˙(t)=f(t, x, µ),t∈ (a, b) (1.66) x(t0)=x0. . . B`ai to´an d¯˘a.trao’ d¯ˆay l`av´oic´ac d¯iˆ`eukiˆe.ng`ınghiˆe.m x(t, t0,x0,µ) s˜e phu. thuˆo.cliˆen tu.cv`akha’ vi theo x0,µ. . Bˆo’ d¯ˆ`e 1.5 Gia’ su’ X v`a Y l`a hai khˆong gian Banach, U l`atˆa. pcon mo’. trong X v`a J l`akhoa’ng comp˘a´ctrongR.Nˆe´u F : J × U → Y . l`a´anh xa. liˆen tu. c, ´anh xa. ho. pth`anh x → F (·,x(·)) : C(J, U) → → ∂ × . C(J, U) l`aliˆen tu. c. Nˆe´u (t, x) ∂xk F (t, x) liˆen tu. ctrˆen J U v´oi . . k k =0, 1, ,r,th`ı´anh xa. ho. pth`anh thuˆo. cl´op C . . Ch´ung minh. Nˆe´u xn,x ∈ C(J, U)v`a xn(t) → x(t)d¯ˆ`eutrˆen J . khi n →∞nhung F (·,xn(·)) − F (·,x(·))C(J,U ) ≥ ε>0, s˜etˆ`on . . . ta.i tn ∈ J v´oi F (tn,xn(tn)) − F (tn,x(tn))≥ε/2v´oi n d¯u’ l´on. . ∗ ∈ - Do J comp˘a´c, tˆ`onta.id˜ay con tnk hˆo.itu. t´oi t J.Diˆ`eun`ay mˆau . thuˆa˜nv´oigia’ thiˆe´tvˆ`e t´ınh liˆen tu.ccu’a F . - . ≤ ≤ ∂k . . Dˆo´iv´oi1 k r,h`am ∂xk F tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe.ncu’a tru`ong . ho. p r =0,v`aliˆen tu.cd¯ˆ`eutrˆen tˆa.p {(t, x(t)),t∈ J nˆe´u x ∈ C(J, U). . . r D`ung khai triˆe’nTaylorcu’a F c´othˆe’ chı’ ra h`am ho. pthuˆo.cl´op C . . . . D- .inh l´y1.20V´oinh˜ung gia’ thiˆe´tliˆe. tkˆetrˆen d¯ˆo´iv´oih`am f,nˆe´u k´yhiˆe.u x(t, τ, ξ, µ) l`anghiˆe. mcu’ab`ai to´an Cauchy x˙ = f(t, x, µ) (1.67) x(τ)=ξ, . th`ıv´oimˆo˜i t ∈ J ⊂ (a, b) ´anh xa. Rm × Λ (ξ, µ) → x(t, τ, ξ, µ) ∈ Rn (1.68) kha’ vi liˆen tu. c. C´ac d¯a. oh`am u(t)=Dξx(t) v`a v(t)=Dµx(t) l`a . . c´ac nghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh u˙(t)=Dxf(t, x(t),µ)u(t), (1.69) u(τ)=I, v˙(t)=Dxf(t, x(t),µ)v(t)+Dµf(t, x(t),µ), (1.70) v(τ)=0.
Chu.o.ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 43 . . Ch´ung minh. Theo ch´ung minh cu’aD- .inh l´yTˆ`onta.iTo`an cu.c, . nghiˆe.m x(t, τ, ξ, µ)l`ad¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng cu’ato´an tu’ t G(x, ξ, µ)(t)=ξ + f(s, x(s),µ)ds, t ∈ J. (1.71) τ G l`a´anh xa. co d¯ˆ`eu. Anh´ xa. (x, µ) → f(·,x(·),µ)kha’ vi liˆen tu.c, v`ı . 1 . 1 vˆa.y G thuˆo.cl´op C .Dod¯´od¯iˆe’mbˆa´td¯ˆo.ng c˜ung thuˆo.cl´op C .
Chu.o.ng 2 ´ . . ´ . . CAC PHUONG PHAP D- I.NH LUO. NG . . 2.1. MOˆ TSOˆ´ PHUONG PHAP´ T´ICH PHANˆ CAC´ . . . PHUONG TR`INH VI PHANˆ 2.1.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o.pphu.o.ng tr`ınh . . thu`ong g˘a.p . Mˆo.tsˆo´ kh´ai niˆe.mcoba’n . . X´et phuong tr`ınh vi phˆan da.ng y = f(x, y), (2.1) 2 . . trong d¯´o f : G ⊂ R → R l`ah`am liˆen tu.c cho tru´oc. . D- .inh ngh˜ıa 2.1 V´oic´ac k´yhiˆe.utrˆen ta c´oc´ac d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay: . 1. Gia’ su’ trong mˆo. tmiˆ`en G cu’am˘a. t ph˘a’ ng (x, y) nghiˆe. mcu’a . . . b`ai to´an Cauchy d¯ˆo´iv´oi phuong tr`ınh (2.1) tˆ`onta. iv`aduy . . nhˆa´t. H`am sˆo´ y = φ(x, C) d¯uo. cgo. il`anghiˆe. mtˆo’ng qu´at cu’a (2.1) trong G nˆe´utrongmiˆ`enbiˆe´nthiˆen cu’a x, C h`am sˆo´ n`ay c´od¯a. oh`am riˆeng liˆen tu. ctheox v`atho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe. n sau: ∂φ (a) ∂C =0. (b) H`am φ(x, C) tho’am˜an (2.1). . . 2. Nghiˆe. mriˆeng l`amˆo. tnghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh ta. imˆo˜id¯iˆe’m cu’an´oD- .inh l´yTˆ`onta. iv`aDuynhˆa´tNghiˆe. mtho’am˜an. 3. Nghiˆe. mk`ydi. l`anghiˆe. mm`ata. imˆo˜id¯iˆe’mcu’an´omˆa´tt´ınh duy nhˆa´tnghiˆe. m. Phu.o.ng tr`ınh c´obiˆe´nsˆo´ phˆan ly Phu.o.ng tr`ınh khˆong ch´u.ah`am pha’it`ım.D- ´ol`aphu.o.ng tr`ınh da.ng dy = f(x), dx 44
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 45 trong d¯´o f l`ah`am liˆen tu.c trong mˆo.tkhoa’ng (a, b)n`ao d¯´o. R˜or`ang . . . trong tru`ong ho. pn`ay y(x)= f(ξ)dξ . . l`anghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh d¯ang x´et. Nˆe´u(x0,y0) ∈ . . G := {a<x<b; −∞ <y<∞} th`ınghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh trˆen qua d¯iˆe’m(x0,y0)l`a x y = f(τ)dτ + y0. x0 . . V´ıdu. 2.1 X´et phuong tr`ınh: dy =3x2. (2.2) dx H`am sˆo´ y = 3x2dx + C = x3 + C . . l`anghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh d¯ang x´et trong miˆ`en −∞ <x<∞, −∞ <y<∞. . . Phuong tr`ınh khˆong c´onghiˆe.mk`ydi. v`anghiˆe.mtho’am˜an d¯iˆ`eu kiˆe.nband¯ˆ`au y(x0)=y0 l`a 3 3 y = y0 + x − x0. . . . . . Phuong tr`ınh khˆong ch´uabiˆe´nd¯ˆo. clˆa. p.D- ´ol`aphuong tr`ınh c´oda.ng dy = f(y). dx . . Nghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh n`ay c´oda.ng 1 x = dy. f(y) . . V´ıdu. 2.2 X´et phuong tr`ınh dy =1+y2, (2.3) dx
. . . . . . 46 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng . . . trong d¯´o f(y)x´ac d¯i.nh v`aliˆen tu.cv´oimo.i y v`aluˆon duong. Nghiˆe.m tho’am˜an d¯iˆ`eukiˆe.nband¯ˆ`au y(x0)=y0 l`a y − du x x0 = 2 . y0 1+u Hay l`a arctg y − arctg y0 = x − x0. . . . . . trong tru`ong ho. priˆeng, nˆe´u x0 = y0 =0th`ınghiˆe.mriˆeng tuong u´.ng s˜el`a π π arctg y = x ⇐⇒ y =tgx, − <x< . 2 2 . . . . . Phuong tr`ınh v´oibiˆe´nsˆo´ phˆan ly.D- ´ol`aphuong tr`ınh c´oda.ng X(x)dx + Y (y)dy =0. . . Phuong tr`ınh n`ay c´ot´ıch phˆan tˆo’ng qu´at da.ng X(x)dx + Y (y)dy = C. . . . V´ıdu. 2.3 T`ım t´ıch phˆan tˆo’ng qu´at v`at`u d¯´ot`ım d¯u`ong cong t´ıch phˆan d¯i qua (0, 0) cu’aphu.o.ng tr`ınh xdx +(y +1)dy =0. T´ıch phˆan tˆo’ng qu´at c´oda.ng xdx + (y +1)dy = C. . . . . . Thay x =0,y =0v`ao biˆe’uth´uctad¯uo. c C =0.Vˆa.yd¯u`ong cong t´ıch phˆan d¯i qua gˆo´cto.ad¯ˆo. l`a x2 + y2 +2y =0. . . . . . . . Phuong tr`ınh v´oibiˆe´nsˆo´ phˆan ly d¯uo. c.D- ´ol`ac´ac phuong tr`ınh c´o da.ng m1(x)n1(y)dx + m2(x)n2(y)dy =0. . . . D- ˘a.t X(x)=m1(x)/m2(x); n1(y)/n2(y)tad¯uavˆ`e d¯uo. cda.ng d¯˜ax´et o’. trˆen.
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 47 . . V´ıdu. 2.4 X´et phuong tr`ınh x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy =0. Phˆan ly biˆe´nsˆo´ ta c´o xdx ydy + =0. 1+x2 1+y2 T´ıch phˆan tˆo’ng qu´at c´oda.ng (1 + x2)(1 + y2)=C2. . . . . . . Ta.igˆo´cto.ad¯ˆo. hu´ong tru`ong khˆong x´ac d¯i.nh. Khˆong c´od¯u`ong . cong t´ıch phˆan d¯i qua d¯´oho˘a.cgˆ`ant´oid¯´o. 2.1.2. Phu.o.ng tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tv`aphu.o.ng tr`ınh d¯u.avˆ`e . . d¯uo. cda.ng n`ay Phu.o.ng tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t . . . H`am f(x, y)d¯uo. cgo.il`athuˆ`an nhˆa´tcˆa´p m nˆe´uv´oimo.i t f(tx, ty)=tmf(x, y). Nˆe´ud¯ˆ`ong nhˆa´tth´u.ctrˆen chı’ d¯´ung v´o.i t>0tan´oi f l`ah`am thuˆ`an . . . . . . . nhˆa´tduong. Tuong tu. ta d¯i.nh ngh˜ıa h`am thuˆ`an nhˆa´tˆam. Phuong tr`ınh M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 . . . . d¯uo. cgo.il`aphuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tnˆe´u M, N l`ac´ac h`am thuˆ`an . . . nhˆa´tc`ung bˆa.c. Phuong tr`ınh n`ay c´othˆe’ d¯uavˆ`e da.ng dy y = φ( ). dx x . . . D`ung ph´ep thˆe´ biˆe´n y = xz ta c´othˆe’ d¯uan´ovˆ`e da.ng phuong tr`ınh c´obiˆe´n phˆan ly. . . V´ıdu. 2.5 T´ıch phˆan phuong tr`ınh (x2 +2xy − y2)dx +(y2 +2xy − x2)dy =0, v`at`ım d¯u.`o.ng cong t´ıch phˆan d¯i qua d¯iˆe’m(2, 2). D- ˘a.t y = zx th`ıtac´o
. . . . . . 48 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng dy = zdx + xdz. . . . . Thˆe´ v`ao phuong tr`ınh trˆen ta d¯uo. c (x2 +2zx2 − z2x2)dx +(z2x2 +2xz − x2)(zdx + xdz)=0. Hay l`a z3 + z2 + z +1)dx +(z2 +2z − 1)xdz =0. . . . . . T´ıch phˆan phuong tr`ınh v´oibiˆe´n phˆan ly n`ay ta d¯uo. c 2 ln |x|−ln |z +1| +ln|z +1| =ln|C1|. Hay l`a x(z2 +1) = C. z +1 . . . Quay la.ibiˆe’uth´ucc˜utad¯uo. c x2 + y2 = C. x + y . . D- ˆay l`aho. d¯u`ong tr`on. Nghiˆe.mtho’am˜an y(2) = 2 l`a (x − 1)2 +(y − 1)2 =0. . . . . . . . . Phuong tr`ınh d¯ongia’nd¯uad¯uo. cvˆ`e phuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t X´et phu.o.ng tr`ınh dy a1x + b1y + c1 = f( ). dx a2x + b2y + c2 Nˆe´u a1 b1 det =0 a2 b2 th`ıb˘a`ng ph´ep thˆe´ x = u + α y = v + β . . . . trong d¯´o u,vl`ac´ac biˆe´nm´oi, α, β x´ac d¯i.nh t`u hˆe. phuong tr`ınh d¯a.i sˆo´ a1α + b1β + c1 =0 a2α + b2β + c2 =0 . . . . . ta d¯uad¯uo. cvˆ`e phuong tr`ınh thuˆ`an nhˆa´t dv a1u + b1v = f( ). du a2u + b2v
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 49 . . V´ıdu. 2.6 X´et phuong tr`ınh (x + y − 2)dx +(x − y +4)dy =0. . . . Phuong tr`ınh trˆen c´othˆe’ viˆe´tla.inhusau: dy x + y − 2 = − . dx x − y +4 Ap´ du.ng ph´ep thˆe´ x = u + α y = v + β . . . . . trong d¯´o α, β d¯uo. cx´ac d¯i.nh t`u hˆe. phuong tr`ınh α + β − 2=0 (2.4) α − β +4=0. . . . . Gia’iphuong tr`ınh n`ay ta d¯uo. c α = −1,β =3. . . . . . Nhu vˆa.yv´oibiˆe´nm´oi u,vta c´ophuong tr`ınh du u + v = − . dv u − v Hay l`a (u + v)du +(u − v)dv =0. Gia’iphu.o.ng tr`ınh thuˆ`an nhˆa´tn`ay ta c´o u2 +2uv − v2 = C. . . Thay la.ibiˆe’udiˆ˜en u,vqua x, y ta d¯uo. ct´ıch phˆan tˆo’ng qu´at x2 +2xy − y2 − 4x +8y = C. 2.1.3. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh X´et phu.o.ng tr`ınh y + p(x)y = q(x). . . Da.ng phuong tr`ınh n`ay ch´ung ta d¯˜ax´et kh´ak˜y trong phˆ`anl´y ’. . . . thuyˆe´tph´ıa trˆen. O d¯ˆay ch´ung ta chı’ nhˆa´nma.nh r˘a`ng tru`ong ho. p . . . . mˆo.tchiˆ`euc´othˆe’ t´ıch phˆan d¯uo. cdu´oida.ng x − x p(τ )dτ x p(s)ds y = e x0 y0 + q(τ)e x0 . x0
. . . . . . 50 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng . . V´ıdu. 2.7 T`ım nghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh dy 2x − y =0, dx 1+x2 v`ad¯u.`o.ng cong t´ıch phˆan d¯i qua d¯iˆe’m(1, 2). Theo cˆong th´u.ctrˆen . . ta c´onghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh l`a 2xdx y = Cexp( )=Cexp(ln(1 + x2)) = C(1 + x2). 1+x2 Do d¯´onghiˆe.md¯i qua d¯iˆe’m(1, 2) l`a x 2τdτ 2 y =2exp( 2 )=1+x . 1 1+τ . . . . . . . 2.1.4. Phuong tr`ınh d¯uad¯uo. cvˆ`e da.ng phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh Phu.o.ng tr`ınh Becnuli . . D- ´ol`aphuong tr`ınh c´oda.ng sau: y + p(x)y = q(x)yα, (2.5) trong d¯´o p(x),q(x)l`ac´ac h`am liˆen tu.ctrˆen khoa’ng (a, b)v`a α l`a . . c´ac sˆo´ thu. cbˆa´tk`ykh´ac 0 v`a1(v`ınˆe´u α =1th`ı (2.5) tro’ th`anh phu.o.ng tr`ınh c´obiˆe´nsˆo´ phˆan ly, c`on nˆe´u α =0th`ıphu.o.ng tr`ınh (2.5) tro’. th`anh phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh). Phu.o.ng tr`ınh (2.5) d¯u.a . . . . −α+1 d¯uo. cvˆ`e phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh b˘a`ng ph´ep thˆe´ biˆe´n y = z, trong d¯´o z l`ah`am pha’it`ım. Nˆe´u α>0th`ıphu.o.ng tr`ınh (2.5) c´o nghiˆe.m y(x) ≡ 0. D- ˆay l`anghiˆe.mriˆeng nˆe´u α>1, v`al`anghiˆe.mk`y di. nˆe´u0<α<1. . . V´ıdu. 2.8 T´ıch phˆan phuong tr`ınh sau: x √ y + y = x y. 1 − x2 . . . D- ˆay l`aphuong tr`ınh Becnuli v´oi α =1/2. B˘a`ng c´ach d¯˘a.t √ z = y1−α = y . . ta d¯uo. c x 1 z + z = x. 2(1 − x2) 2
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 51 . . . . T´ıch phˆan phuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh n`ay ta d¯uo. c √ 4 1 z = C 1 − x2 − (1 − x2). 3 Vˆaytac´o . √ √ 4 1 y = C 1 − x2 − (1 − x2) 3 l`at´ıch phˆan tˆo’ng qu´at cu’aphu.o.ng tr`ınh xuˆa´t ph´at. Phu.o.ng tr`ınh D- acbu . . D- ´ol`aphuong tr`ınh da.ng M(x, y)dx + N(x, y)dy + P (x, y)(xdy − ydx)=0, (2.6) trong d¯´o M, N l`ac´ac h`am thuˆ`an nhˆa´tcˆa´p m,c`on P l`ah`am thuˆ`an ’. nhˆa´tcˆa´p l (l = m − 1). O d¯ˆay mˆo.t trong hai h`am M, N c´othˆe’ d¯ˆ`ong nhˆa´tb˘a`ng khˆong. Nˆe´u N ≡ 0, b˘a`ng ph´ep thˆe´ biˆe´n y = zx . . . . . . . . ta d¯uad¯uo. cphuong tr`ınh D- ´acbu vˆ`e phuong tr`ınh Becnuli v´oih`am pha’it`ım x v`abiˆe´nd¯ˆo.clˆa.p z. . . V´ıdu. 2.9 T´ıch phˆan phuong tr`ınh sau: xdx + ydy + x(xdy − ydx)=0. . . . . . D- ˆay l`aphuong tr`ınh D- ´acbu. D- ˘a.t y = zx,tad¯uaphuong tr`ınh trˆen vˆ`e da.ng (1 + z2)dx +(xz + x2)dz =0. Hay l`a dx z 1 + x = − x2. dz 1+z2 1+z2 D- ˆay l`aphu.o.ng tr`ınh Becnuli v´o.i α =2.T´ıch phˆan tˆo’ng qu´at cu’a n´oc´oda.ng 1 √ = C 1+z2 + z. x . . . . Thay z = y/x ta d¯uo. ct´ıch phˆan tˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh ban d¯ˆ`aul`a C x2 + y2 + y − 1=0.
. . . . . . 52 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 2.1.5. Phu.o.ng tr`ınh Ricati . . Phuong tr`ınh c´oda.ng dy = P (x)y2 + Q(x)y + R(x) dx . . . . d¯uo. cgo.il`aphuong tr`ınh Ricati. Ta s˜egia’ thiˆe´t P, Q, R x´ac d¯i.nh v`aliˆen tu. c trong khoa’ng (a, b). N´oi chung khˆong pha’inghiˆe.mn`ao . . . . cu’aphuong tr`ınh n`ay c˜ung th´ac triˆe’nd¯uo. clˆen to`an khoa’ng (a, b). . . . . Phuong tr`ınh Ricati n´oi chung khˆong t´ıch phˆan d¯uo. cb˘a`ng cˆ`au . . . . phuong. Tuy nhiˆen nˆe´ubiˆe´td¯uo. cmˆo.tnghiˆe.m y1 ta c´othˆe’ d`ung ph´ep thˆe´ 1 y = y1 + z . . . d¯ˆe’ d¯uaphuong tr`ınh n`ay vˆ`e da.ng tuyˆe´nt´ınh. . . . . Du´oid¯ˆay l`amˆo.tsˆo´ da.ng d¯˘a.cbiˆe.tcu’aphuong tr`ınh Ricati m`a . . ta c´othˆe’ t`ım d¯uo. cmˆo.tsˆo´ nghiˆe.mriˆeng. . . Nˆe´uphuong tr`ınh c´oda.ng B C y = Ay2 + y + , x x2 trong d¯´o A, B, C l`ac´ac h˘a`ng sˆo´ v`a(B +1)2 > 4AC,th`ın´oc´o nghiˆe.mriˆeng a y1 = , x . . . . trong d¯´oh˘a`ng sˆo´ a d¯uo. cx´ac d¯i.nh b˘a`ng c´ach thay v`ao phuong tr`ınh . . . xuˆa´t ph´at. Do d¯´ob˘a`ng ph´ep thˆe´ tiˆe´ptheoy = z/x ta d¯uad¯uo. c . . . . . phuong tr`ınh vˆ`e da.ng phuong tr`ınh v´oibiˆe´nsˆo´ phˆan ly. . . . D- ˆo´iv´oiphuong tr`ınh Ricati da.ng ay2 y y = + + c x 2x . . . . ta d¯uavˆ`e da.ng phuong tr`ınh v´oibiˆe´nsˆo´ phˆan ly b˘a`ng ph´ep thˆe´ biˆe´n √ y = z x, . . . . v`adod¯´oc´othˆe’ t´ıch phˆan d¯uo. cb˘a`ng cˆ`auphuong. . . V´ıdu. 2.10 T`ım nghiˆe.mtˆo’ng qu´at cu’aphuong tr`ınh y = −y2 + x2 +1.
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 53 . . Dˆ˜e thˆa´y y1 = x l`anghiˆe.mriˆeng cu’aphuong tr`ınh. D- ˘a.t 1 y = x + z . . . ta d¯uaphuong tr`ınh vˆ`e da.ng z − 2xz =1. Do d¯´oc´ot´ıch phˆan tˆo’ng qu´at 2 2 z = ex (C + e−x dx). . . . Tro’ la.ibiˆe´nc˜utad¯uo. c 2 e−x y = x + . C + e−x2 dx . . V´ıdu. 2.11 X´et phuong tr`ınh 1 1 y = y2 + . 2 2x2 . . Ta t`ım nghiˆe.mriˆeng du´oida.ng a y1 = . x . . . . Thay v`ao phuong tr`ınh d¯ˆe’ t`ım a ta d¯uo. c a2 +2a +1=0. . . Gia’iratad¯uo. c a = −1. Ap´ du.ng ph´ep thˆe´ 1 1 y = − + x z . . . . . ta d¯uad¯uo. cphuong tr`ınh vˆ`e da.ng tuyˆe´nt´ınh 1 1 z − = − . z 2 . . . . Gia’iphuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh n`ay ta d¯uo. c x z = (C − ln |x|). 2 . Tro’ la.ibiˆe´nc˜utac´o 1 2 y = − + . x x(C − ln |x|)
. . . . . . 54 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 2.1.6. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh X´et phu.o.ng tr`ınh M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 2 . . . . trˆen miˆ`en G ⊂ R d¯uo. cgo.il`aphuong tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh nˆe´utˆ`onta.imˆo.th`am sˆo´ U kha’ vi trˆen G sao cho dU(x, y)=M(x, y)dx + N(x, y)dy =0. . Nˆe´u G l`amiˆ`end¯onliˆen th`ıd¯iˆ`eukiˆe.ncˆ`anv`ad¯u’ d¯ˆe’ c´oh`am U tho’a m˜an d¯˘a’ ng th´u.ctrˆen l`a ∂M ∂N = . (2.7) ∂y ∂x . . C´othˆe’ xˆay du. ng t´ıch phˆan tˆo’ng qu´at t`u t´ıch phˆan da.ng sau d¯ˆay (n´oi chung s˜e phu. thuˆo.cv`ao miˆ`en G) x y M(x, y)dx + N(x0,y)dy = C x0 y0 ho˘a.c x y M(x, y0)dx + N(x, y)dy = C. x0 y0 Th`u.asˆo´ t´ıch phˆan Nˆe´u (2.7) khˆong tho’am˜an ta c´othˆe’ t`ım mˆo.th`am sˆo´ µ(x, y) . . . . . sao cho nhˆan n´ov´oihaivˆe´ ta d¯uo. cmˆo.tphuong tr`ınh vi phˆan . . . . . ho`an chı’nh. H`am sˆo´ nhu thˆe´ d¯uo. cgo.il`ath`uasˆo´ t´ıch phˆan. Nh˜ung . . . . tru`ong ho. pd¯˘a.cbiˆe.tsaud¯ˆay viˆe.ct`ım th`uasˆo´ t´ıch phˆan c´othˆe’ chı’ ra dˆ˜e d`ang. Nˆe´u ∂M − ∂N ∂y ∂x = ψ(x) ⇒ µ(x)=e φ(x)dx, N ∂M − ∂N ∂y ∂x = ψ(y) ⇒ µ(y)=e φ(y)dy. −M
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 55 . . V´ıdu. 2.12 X´et phuong tr`ınh (3x2 +6xy2)dx +(6x2y +4y3)dy =0. Ta c´o ∂M ∂N = =12xy. ∂y ∂x Do d¯´o´ap du. ng l´yluˆa.ntrˆen ta c´ot`ım t´ıch phˆan tˆo’ng qu´at b˘a`ng x3 +3x2y2 + y4 = C. . . V´ıdu. 2.13 Cho phuong tr`ınh 1 y2 x2 1 [ − ]dx +[ − ]dy =0. x (x − y)2 (x − y)2 y . . Dˆ˜e thˆa´yd¯ˆay l`aphuong tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh. Ap´ du.ng l´yluˆa.n trˆen v´o.i(x0,y0)=(1, 2) ta c´o x 2 y 2 1 − y x − 1 [ 2 ]dx + [ 2 ]dy = C 1 x (x − y) 2 (x − y) y l`at´ıch phˆan tˆo’ng qu´at cu’aphu.o.ng tr`ınh. D- o.ngia’nbiˆe’uth´u.cb˘a`ng . . c´ach t´ınh c´ac t´ıch phˆan trˆen ta d¯uo. c x xy ln + = C. y x − y . . V´ıdu. 2.14 X´et phuong tr`ınh (1 − x2y)dx + x2(y − x)dy =0. . . . T´ınh c´ac d¯a.oh`am riˆeng tuongu ´ng ta c´o ∂M ∂N = −x2, =2xy − 3x2. ∂y ∂x R˜or`ang d¯ˆay khˆong pha’il`aphu.o.ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh. X´et ∂M − ∂N 2 2 ∂y ∂x −x − 2xy +3x 2 = = − := ϕ(x). N x2(y − x) x Vˆaytac´oth`u.asˆo´ t´ıch phˆan sau . 1 µ(x)=exp( ϕ(x)dx)= . x2 . . . Nhˆan v`ao hai vˆe´ th`uasˆo´ t´ıch phˆan trˆen ta s˜et`ım d¯uo. ct´ıch phˆan tˆo’ng qu´at cu’aphu.o.ng tr`ınh l`a 1 y2 − − xy + = C. x 2 . . Ngo`ai ra phuong tr`ınh trˆen c´onghiˆe.mriˆeng x =0.
. . . . . . 56 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng . . 2.1.7. Phuong ph´ap d`ung phˆ`anmˆ`emto´an ho.c . . . . . Phuong ph´ap n`ay ng`ay nay rˆa´td¯uo. cuachuˆo.ng v`ın´otiˆe´tkiˆe.m . . . th`oigian.Maple v`a Mathematica l`ac´ac phˆ`anmˆ`emhiˆe.nnayd¯uo. c . . . . su’ du.ng rˆo.ng r˜ai. Du´oid¯ˆay ch´ung ta l`am quen v´oi phˆ`anmˆ`emto´an . . . ho.cMapleV.Vˆ`e nguyˆen t˘a´cn´oxˆay du. ng trˆen c´ac phuong ph´ap t´ıch phˆan d¯˜ax´et o’. trˆen. D`ung phˆ`anmˆ`emn`ay cho ph´ep ta t´ıch phˆan khˆong nh˜u.ng c´ac phu.o.ng tr`ınh thˆong thu.`o.ng o’. trˆen b˘a`ng sˆo´ . . . . . . m`ac`on c´othˆe’ b˘a`ng biˆe’uth´ucto´an ho.c, v˜e tru`ong c´ac hu´ong, b´uc . tranh pha cu’ac´ac hˆe. 2v`a3chiˆ`eu. Phˆ`anthu. ch`anh n`ay d¯`oi ho’i . ch´ung ta pha’ic´othˆem nhiˆ`euv´ıdu. v`ad¯o.cthˆem c´ach su’ du.ng phˆ`an mˆ`em. . . V´ıdu. 2.15 Ta x´et v´ıdu. sau: T`ım nghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh: . y (x)+5y (x)+6y(x)=0, v´oid¯iˆ`eukiˆe.n y(0) = 0; y (0) = 1. > restart; > with(DEtools); [DEnormal, DEplot, DEplot3d, Dchangevar , PDEchangecoords, PDEplot, autonomous, convertAlg, convertsys, dﬁeldplot, indicialeq, phaseportrait, reduceOrder, regularsp, translate, untranslate, varparam] > diff_eq1 := D(D(y))(x) + 5*D(y)(x) + 6*y(x) = 0; diﬀ eq1 := (D(2))(y)(x)+5D(y)(x)+6y(x)=0 > init_con := y(0)=0, D(y)(0)=1; init con := y(0) = 0, D(y)(0) = 1 > dsolve( {diff_eq1, init_con} , {y(x)} ); y(x)=−e(−3 x) + e(−2 x) . . Nˆe´umuˆo´nv˜ed¯ˆ`o thi. nghiˆe.mphuong tr`ınh trˆen ta c´othˆe’ l`am nhu. sau: > restart; > with(DEtools);
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 57 [DEnormal, DEplot, DEplot3d, Dchangevar , PDEchangecoords, PDEplot, autonomous, convertAlg, convertsys, dﬁeldplot , indicialeq, phaseportrait, reduceOrder, regularsp, translate, untranslate, varparam] > diff_eq1 := D(D(y))(x) + 5*D(y)(x) + 6*y(x) = 0; diﬀ eq1 := (D(2))(y)(x)+5D(y)(x)+6y(x)=0 > init_con := y(0)=0, D(y)(0)=1; init con := y(0) = 0, D(y)(0) = 1 > dsolve( {diff_eq1, init_con} , {y(x)} ); y(x)=−e(−3 x) + e(−2 x) > solution := dsolve( {diff_eq1, init_con}, {y(x)} ); solution := y(x)=−e(−3 x) + e(−2 x) > expr := subs(solution, y(x)); expr := −e(−3 x) + e(−2 x) > plot( expr, x=0 5, axes=BOXED, title=‘Graph‘ ); Graph of the solution 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 12345 x . . . . . . 2 D- ˆe’ v˜e tru`ong c´ac hu´ong cu’amˆo.tphuong tr`ınh vi phˆan y = y ta c´othˆe’ l`am nhu. sau:
. . . . . . 58 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng > dfieldplot(diff(y(x),x)=(y(x))^2,y(x), x=-3 3,y=-3 2,\ title=‘truong huong‘,color=(y(x))^2); truong huong 2 y(x) 1 x -3 -2 -1 1 2 3 0 -1 -2 -3 . . V´ıdu. 2.16 V˜echˆan dung pha cu’a phuong tr`ınh sau d¯ˆay: y = −y − x2 > with(DEtools): phaseportrait(diff(y(x),x)=-y(x)-x^2,y(x),x=-1 2.5, [[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=-1]],\ title=‘Asymptotic solution‘,colour=magenta, linecolor=[black,black,black]); Asymptotic solution 3 2 y(x) 1 -1 -0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 x -1 -2 -3
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 59 . Nhˆa.nx´et 2.1 Nh`ın chung v´oi phˆ`anmˆ`em Maple, viˆe. ct´ıch phˆan . . . . c´ac phuong tr`ınh vi phˆan tro’ nˆen nhe. nh`ang honrˆa´tnhiˆ`eu. Tuy . . nhiˆen c˜ung cˆ`anluu´yr˘a`ng nhu thˆe´ khˆong c´ongh˜ıa l`aviˆe. cho. cc´ach t´ıch phˆan theo ngh˜ıa “cˆo’ d¯iˆe’n” l`akhˆong cˆ`anthiˆe´t. D- iˆ`eun`ay d¯˘a. c . . biˆe. tc´o´yngh˜ıa khi ch´ung ta pha’ixu’ l´ynh˜ung b`ai to´an m`a phˆ`an . mˆ`emn`ay cho l`oigia’ikhˆong tho’am˜an l˘a´m. Ch˘a’ ng ha. n, khi x´et phu.o.ng tr`ınh x¨ +2x =sint, t ∈ R, (2.8) . . ´ap du. ng phuong ph´ap hˆe. sˆo´ bˆa´td¯i.nh ta c´othˆe’ t`ım mˆo. tnghiˆe. m riˆeng mˆo. tc´ach dˆ˜e d`ang x1(t)=sint.V`adod¯´onghiˆe. mtˆo’ng qu´at s˜el`a √ √ x(t)=C1 sin 2t + C2 cos 2t +sint. Chi tiˆe´t xem phˆ`and¯´apan ´ d¯ˆ`e thi (6.1). Trong khi d¯´onˆe´utad`ung Maple V d¯ˆe’ t´ıch phˆan, ch˘a’ ng ha. n > dsolve(diff(x(t),t$2)+2*x(t)= sin (t), x(t)); 1 √ √ x(t)=− cos( 2 t)sin(( 2 − 1) t) 2 1 √ √ √ − cos( 2 t)sin(( 2 − 1) t) 2 4 1 √ √ + cos( 2 t)sin(( 2+1)t) 2 1 √ √ √ − cos( 2 t)sin(( 2+1)t) 2 4 1 √ √ − sin( 2 t)cos(( 2+1)t) 2 1 √ √ √ + sin( 2 t)cos(( 2+1)t) 2 4 1 √ √ + sin( 2 t)cos(( 2 − 1) t) 2 1 √ √ √ + sin( 2 t)cos(( 2 − 1) t) 2 4 √ √ + C1 cos( 2 t)+ C2 sin( 2 t) . . Nhˆa.nx´et 2.2 D- ˆe’ gia’ic´ac phuong tr`ınh vi phˆan da. ng khˆong ch´ınh . t˘a´ctacˆ`an pha’id¯uach´ung vˆ`e da. ng ch´ınh t˘a´c. V´ıdu. t`ım nghiˆe. m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh xdx − (y + x)dx =0.
. . . . . . 60 Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng > dsolve(diff(y(x),x)=1+(y(x)/x),{y(x)}); y(x)=x ln(x)+x C1 V´ıdu. 2.17 T`ım nghiˆe. mtˆo’ng qu´at cu’ahˆe. y = −y − 2z (2.9) z =3y +4z. Gia’i: > sys := diff(y(x),x)=-y(x)-2*z(x), diff(z(x),x)=3*y(x)+4*z(x): fcns := {y(x), z(x)}: dsolve({sys}, fcns); {y(x)=3 C1 ex − 2 C1 e(2 x) − 2 C2 e(2 x) +2 C2 ex, z(x)=3 C1 e(2 x) − 3 C1 ex − 2 C2 ex +3 C2 e(2 x)} ´ ’ Kˆetqua x (2x) y(x)=(3C1 +2C2)e − 2(C1 + C2)e , x (2x) z(x)=−(3C1 +2C2)e +3(C2 + C1)e . . D- ˘a.t C1 := 3C1 +2C2; C2 = C1 + C2 ta d¯uo. c x 2x y(x)=C1e +2C2e , x 2x z(x)=−C1e +3C2e . . D- ˆe’ t`ım nghiˆe.mcu’a (2.9) v´oid¯iˆ`eukiˆe.nband¯ˆ`au y(0) = −1,z(0) = 1, ta gia’inhu. sau. > sys := diff(y(x),x)=-y(x)-2*z(x), diff(z(x),x)=3*y(x)+4*z(x): fcns := {y(x), z(x)}: dsolve({sys,y(0)=-1,z(0)=1}, fcns); ´ ’ Kˆetqua z(x)=ex, y(x)=−ex
. . . . . . Chuong 2. C´ac phuong ph´ap d¯i.nh luo. ng 61 . . 2.2. PHUONG PHAP´ THAM SOˆ´ BE´ X´et phu.o.ng tr`ınh dx = f(t, x, µ),x∈ Rn,µ∈ Λ ⊂ Rk (2.10) dt . . . Gia’ su’ phuong tr`ınh trˆen tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe.ncu’aD- .inh l´ytˆ`on ta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mto`an cu.ctrˆen mˆo.tmiˆ`en(t, x) ∈ [a, b] × Ω ⊂ n . R × R .Nˆe´u f phu. thuˆo.c troncˆa´p k theo (x, µ)th`ı x(t, x0,µ)s˜e . phu. thuˆo.c troncˆa´p k theo µ.Nˆe´u f phu. thuˆo.cgia’it´ıch theo (x, µ) th`ı x(t, x0,µ)s˜e phu. thuˆo.cgia’it´ıch theo µ.X´et biˆe’udiˆ˜en 2 x(t, µ)=v0(t)+µv1(t)+µ v2(t)+···, trong d¯´otagia’ thiˆe´t0< |µ| <εkh´ab´e µ ∈ R.Thaybiˆe’uth´u.c . . . . . . n`ay v`ao phuong tr`ınh ta lˆ`anluo. tgia’iv`at´ınh d¯uo. c v0,v1,v2, ···. . . V´ıdu. 2.18 Khai triˆe’nnghiˆe. m x(t, µ) cu’a phuong tr`ınh sau d¯ˆay: 1 x˙ = x2 +2µ ,x(1) = −1. t 2 Gia’i.D- ˘at x(t, µ)=v0(t)+µv1(t)+µ v2(t)+···.Tac´o .  2  v˙0 = v0,v0(1) = −1 2 v˙1 =2v0v1 + t ,v(1) = 0  2 v˙2 =2v0v2 + v1,v2(1) = 0. Gia’ihˆe trˆen ta d¯u.o.c . .  − 1  v0(t)= t − 1  v1(t)=1 t2 t − 2 8 − 1 v2(t)= 3 t + 3t2 t3 . Vˆa.y 1 1 t 2 8 1 x(t, µ)=− + µ(1 − )+µ2( − + − )+o(µ2) t t2 3 t 3t2 t3 2 . . V´ıdu. 2.19 T´ınh xˆa´pxı’ d¯ˆe´n o(µ ) nghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh x¨ + 3x =2sint + µx2. 2 Gia’i.D- ˘at x(t, µ)=v0(t)+µv1(t)+µ v2(t)+···.Tac´o  .  v0(t)=sint 2 ⇒ 1 − 1  v¨1 +3v1 = cos t v1(t)= 6 2 cos2t ⇒ 1 − 1 v¨2 +3v2 =2cost sin 2t =sint +sin3t v2(t)= 2 sin t 6 sin 3t. Vˆa.y 1 1 1 1 x(t, µ)=sint + µ( − cos2t)+µ2( sin t − sin 3t)+o(µ2). 6 2 2 6
Chu.o.ng 3 ´ LYTHUY´ EˆTD- I.NH T´INH ´ ’ 3.1. LYTHUY´ EˆT OˆND- I.NH 3.1.1. Kh´ai niˆe.mˆo’nd¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov . . Tru ´ochˆe´ttad¯i.nh ngh˜ıa t´ınho ˆ’nd¯i.nh cu’amˆo.tnghiˆe.m x(t)x´ac . . d¯i.nh trˆen [t0, +∞)cu’aphuong tr`ınh x˙(t)=f(t, x). (3.1) . . . . N´oi chung c´ac hˆe. d¯uo. cx´et sau n`ay chı’ d¯uo. cgia’ thiˆe´tliˆen tu.cv`a . . c´od¯a.oh`am n´oi chung khˆong gi´oinˆo.i. V`ıvˆa.y, su. tˆ`onta.inghiˆe.m . . trˆen to`an cu.cl`avˆa´nd¯ˆ`e pha’ixemx´et d¯ˆo´iv´oit`ung b`ai to´an cu. thˆe’. . . D- .inh ngh˜ıa 3.1 Nghiˆe. m x(t) d¯uo. cgo. il`aˆo’nd¯i.nh trˆen khoa’ng [t0, ∞) nˆe´u . 1. V´oimˆo˜i ε>0 tˆ`onta. i δ = δ(ε) > 0 sao cho bˆa´tk`ynghiˆe. m x¯(t) cu’a (3.1) tho’am˜an bˆa´td¯˘a’ ng th´u.c x¯(t0) − x(t0) t0. 2. Nˆe´ungo`ai ra nghiˆe. m x¯(t) tho’am˜an limt→∞ x¯(t) − x(t) =0 th`ıtan´oi x¯(t) ˆo’nd¯i.nh tiˆe. mcˆa. n. . . V´ıdu. 3.1 1. X´et phuong tr`ınh x˙ =0.Nghiˆe. m x(t) ≡ 0 l`aˆo’n . d¯i.nh nhung khˆongo ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa. n. . . 2. Nghiˆe. m x(t) ≡ 0 cu’a phuong tr`ınh x˙ = −x ˆo’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa. n. −t Thˆa. tvˆa. y, mˆo. tnghiˆe. mbˆa´tk`ykh´ac d¯ˆ`euc´oda. ng x¯(t)=¯x(0)e . . . . Do d¯´odˆ˜e d`ang chı’ ra d¯uo. csu. ˆo’nd¯i.nh cu’anghiˆe. m 0. . . 2 3. Nghiˆe. m x(t) ≡ 0 cu’a phuong tr`ınh x˙ = x khˆongo ˆ’nd¯i.nh. . . D- iˆ`eun`ay suy ra t`u nhˆa. nx´et sau: v´oimo. i c>0, x(t)= . . . c/(1 − ct) l`anghiˆe. mcu’a phuong tr`ınh trˆen v´oid¯iˆ`eukiˆe.nban d¯ˆ`au x(0) = c.Tuynhiˆen nghiˆe. mtrˆen khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n . . qua t =1/c d¯uo. cv`ın´otiˆe´nravˆoha. nta. id¯ˆay. 62
. . Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh 63 . . . . . . Tru `ong ho. pphuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh ta c´od¯˘a.c trung sau d¯ˆay. X´et phu.o.ng tr`ınh x˙ = A(t)x, (3.2) trong d¯´o A(t)l`ah`am gi´a tri. ma trˆa.nliˆen tu.ctheot ∈ [t0, ∞). Theo . . d¯iˆ`eukiˆe.ntˆ`onta.i duy nhˆa´tnghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh tuyˆe´nt´ınh, . . . . mo.inghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh n`ay luˆon th´ac triˆe’nd¯uo. cmˆo.tc´ach duy nhˆa´tlˆen to`an [t0, ∞). . . D- .inh l´y3.1V´oic´ac gia’ thiˆe´tv`ak´yhiˆe.uo’ trˆen c´ac kh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆay d¯´ung: 1. Nghiˆe. mbˆa´tk`y x(t) cu’a (3.2)o ˆ’nd¯i.nh (ˆo’nd¯i.nh tiˆe. mcˆa. n) khi v`achı’ khi nghiˆe. m x(t) ≡ 0 ˆo’nd¯i.nh (ˆo’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa. n); . 2. Nghiˆe. m x(t) ≡ 0 cu’a (3.2)o ˆ’nd¯i.nh khi v`achı’ khi ma trˆa. nco . ba’n X(t) bˆa´tk`yd¯ˆ`eugi´oinˆo. itrˆen [t0, ∞); 3. Nghiˆe. m x(t) ≡ 0 cu’a (3.2)o ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa. nkhiv`achı’ khi . . d¯ˆo´iv´oimatrˆa. nco ba’nbˆa´tk`y X(t) th`ı lim X(t)=0. (3.3) t→∞ . Ch´ung minh. (i). R˜or`ang nˆe´u¯x(t),x(t)l`a hai nghiˆe.mcu’a (3.2) . . th`ı¯x(t) − x(t)=y(t)c˜ung l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh n`ay. Dˆ˜e . . . . . . thˆa´yt`u d¯ˆay su. tuong d¯uong cu’ac´ac kh´ai niˆe.mˆo’nd¯i.nh cu’anghiˆe.m . bˆa´tk`yv´oinghiˆe.mkhˆong. . . (ii) Nˆe´uc´omatrˆa.nnghiˆe.mcoba’ngi´oinˆo.ith`ı suy ra ngay t´ınh . . . ˆo’nd¯i.nh. V`ıvˆa.ytachı’ ch´ung minh d¯iˆ`eunguo. cla.i. Nˆe´unghiˆe.m . khˆongo ˆ’nd¯i.nh th`ıc´omˆo.t ma trˆa.nnghiˆe.mcoba’nˆo’nd¯i.nh. Theo gia’ thiˆe´ttˆ`onta.i δ>0saochonˆe´u x(t0) t0. . . Vˆa.yth`ıv´oi ma trˆa.nnghiˆe.mcoba’n X(t)saochoX(0) = I ta c´o X(t) =supX(t)x x≤1 1 = sup X(t)x δ x≤δ 1 ≤ . δ . . . T`u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a ma trˆa.ncoba’n suy ra ma trˆa.ncoba’nbˆa´tk`y . c˜ung gi´oinˆo.i. (iii) Nˆe´u (3.3) d¯´ung th`ıdˆ˜e suyrangayt´ınho ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.n. . . . . . Ta chı’ ch´ung minh d¯iˆ`eunguo. cla.i. Gia’ su’ ma trˆa.ncoba’n X(t)
. . 64 Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh . lˆa.pbo’ i n nghiˆem d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh x1(t), ···,xn(t). Khi d¯´okhˆong . . . mˆa´ttˆo’ng qu´at coi xk(t0)d¯u’ nho’ d¯ˆe’ v´oimo.i ε>0 cho tru´octˆ`on . ta.i T>0saocho∀t>T,k=1, ···,n, xk(t) <ε.T`u d¯ˆay suy ra . . . . limt→∞ X(t)=0.Mo.i ma trˆa.ncoba’nkh´ac c´othˆe’ nhˆa.nd¯uo. ct`u . X(t)b˘a`ng mˆo.tph´ep nhˆan v´oimˆo.t ma trˆa.nh˘a`ng khˆong suy biˆe´n, . . . nˆen c˜ung c´ot´ınh tuong tu. . . . . Nhˆa.nx´et 3.1 D- ˆo´iv´oihˆe. tuyˆe´nt´ınh nhu ta d¯˜athˆa´ysu. ˆo’nd¯i.nh . . . . . cu’anghiˆe. mbˆa´tk`ytuong d¯uong su. ˆo’nd¯i.nh cu’anghiˆe. mkhˆong. Do . . . . d¯´od¯ˆo´iv´oihˆe. tuyˆe´nt´ınh d¯ˆoi khi ngu`oitan´oi d¯ˆe´nsu. ˆo’nd¯i.nh chung m`akhˆong n´oi d¯ˆe´nnghiˆe. mcu. thˆe’ n`ao. 3.1.2. Phu.o.ng ph´ap th´u. nhˆa´t Lyapunov . . . Bˆay gi`o ta x´et t´ınho ˆ’nd¯i.nh cu’anghiˆe.m x(t)cu’aphuong tr`ınh x˙ = f(x),x∈ U ⊂ Rn, (3.4) . n . . . trong d¯´o U l`atˆa.pmo’ n`ao d¯´ocu’a R .Phuong ph´ap th´u nhˆa´t . . . . Lyapunov l`aphuong ph´ap nghiˆen c´uut´ınho ˆ’nd¯i.nh cu’a x(t)du. a v`ao c´ac thˆong tin sˆo´ m˜u Lyapunov cu’ahˆe. tuyˆe´nt´ınh h´oa do.ctheo . . . nghiˆe.m x(t) cho tru´ocd¯ˆe’ nghiˆen c´uut´ınho ˆ’nd¯i.nh cu’ach´ınh hˆe. . . . . ban d¯ˆ`au. Kh´ai niˆe.msˆo´ m˜u Lyapunov, trong tru`ong ho. pd¯ongia’n . . . . . . nhˆa´t, d¯uo. cxˆay du. ng nhu sau (tˆa´t nhiˆen d¯ˆo´iv´oinh˜ung hˆe. tˆo’ng . . . qu´at hond¯i.nh ngh˜ıa s˜e pha’imo’ rˆo.ng hon nhiˆ`eu). D- .inh ngh˜ıa 3.2 Sˆo´ m˜u Lyapunov cu’ahˆe. x˙ = Ax, x ∈ Rn (3.5) . . . d¯uo. cd¯i.nh ngh˜ıa l`ac´ac phˆ`anthu. ccu’ac´ac sˆo´ riˆeng cu’amatrˆa. n A. . n Nhu vˆa.y, nˆe´ut´ınh ca’ bˆo.ith`ıhˆe. c´ohˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ trong R c´oca’ tha’y n sˆo´ m˜u Lyapunov. Yngh˜´ ıa cu’asˆo´ m˜u Lyapunov thˆe’ hiˆe.n trong d¯i.nh l´ysau: D- .inh l´y3.2C´ac kh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆay d¯´ung: 1. Hˆe. (3.5) ˆo’nd¯i.nh khi v`achı’ khi tˆa´tca’ c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov . . . cu’ahˆe. khˆong duong v`ad¯ˆo´iv´oic´ac sˆo´ m˜u Lyapunov b˘a`ng . . . . . khˆong c´ac sˆo´ riˆeng tuongu ´ng c´oc´aco ˆ Jordan da. ng d¯on, t´uc l`ac´aco ˆ Jordan c´ok´ıch c˜o. 1 × 1 m`athˆoi; 2. Hˆe. (3.5)o ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa. nkhiv`achı’ khi tˆa´tca’ c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov cu’ahˆe. ˆam.
. . Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh 65 . . . . Ch´ung minh. D- .inh l´yd¯uo. csuyrat`u d¯i.nh l´ytrˆen v`acˆa´utr´uc . tA cu’a ma trˆa.ncoba’n e khi biˆe´tda.ng Jordan J cu’a A.Thˆa.tvˆa.y, . . . . . n ta c´othˆe’ x´et tru´ochˆe´thˆe. ph´uc, t´ucl`ahˆe. (3.5) v´oi x ∈ C .Khid¯´o −1 tˆ`onta.i ma trˆa.nkhˆong suy biˆe´n P sao cho PAP = J.Dod¯´ot´ınh . tA tA . . . . . . gi´oinˆo.icu’a e (hay limt→∞ e =0)tuong d¯uong v´oit´ınh gi´oi tJ tJ . . . nˆo.icu’a e (hay limt→∞ e =0).T`u d¯ˆay ta nhˆa.nd¯uo. cc´ac tiˆeu . n . . chuˆa’nnˆeu trˆen. Nˆe´u A l`a ma trˆa.nthu. cv`a x ∈ R ta x´et phuong tr`ınh ph´u.c˙z = Az, z ∈ Cn.Tachı’ cˆ`anch´u.ng minh t´ınh tu.o.ng . . . . . d¯uong cu’akh´ai niˆe.mˆo’nd¯i.nh d¯ˆo´iv´oihaiphuong tr`ınh theo x v`a z . . . . . . n l`ad¯uo. c. Tru´ochˆe´ttach´ung minh r˘a`ng nˆe´uhˆe. thu. c (theo x ∈ R ) n ˆo’nd¯i.nh ho˘a.cˆo’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.nth`ıhˆe. theo z ∈ C c˜ung vˆa.y. D- iˆ`eu . n`ay hiˆe’n nhiˆen v`ıhˆe. c´ac nghiˆe.mthu. cd¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh trˆen R . c˜ung d¯ˆo.clˆa.ptuyˆe´nt´ınh trˆen C.Dod¯´onˆe´uhˆe. thu. cˆo’nd¯i.nh (ˆo’n . . . . d¯i.nh tiˆe.mcˆa.n) th`ıhˆe. ph´ucc˜ung vˆa.y. Ngu o. cla.i, hˆe. nghiˆe.mthu. c . . c˜ung l`ac´ac nghiˆe.mriˆeng cu’ahˆe. ph´ucnˆen nˆe´uhˆe. ph´ucˆo’nd¯i.nh th`ı . tˆa´t nhiˆen c´ac nghiˆe.mthu. cc˜ung vˆa.y. . . . D- ˆo´iv´oiphuong tr`ınh (3.4) ta n´oi x0 l`a d¯iˆe’mk`ydi. nˆe´u f(x0)=0. . D- .inh l´y3.3(Linearized Stability Principle) Gia’ su’ f(·) kha’ vi n liˆen tu. ctrongmˆo. tlˆan cˆa. nn`ao d¯´ocu’ad¯iˆe’mk`ydi. x0 ∈ U ⊂ R . sao cho Df(x0) c´oc´ac phˆ`anthu. cˆam. Khi d¯´od¯iˆe’mk`ydi. n`ay l`aˆo’n d¯i.nh theo Lyapunov. . . . . . . Tru ´ochˆe´ttach´ung minh cho tru`ong ho. psau: . n D- .inh l´y3.4Gia’ su’ f(·) ta. id¯iˆe’mk`ydi. 0 ∈ R tho’am˜an f(x)= . Ax + g(x),trongd¯´o A c´oc´ac phˆ`anthu. cˆam v`a g tho’am˜an d¯iˆ`eu . kiˆe. n Lipschitz to`an cu. ctheox t´ucl`a g(x) − g(y)≤εx − y , ∀x, y ∈ Rn, . v´oihˆe. sˆo´ ε d¯u’ nho’.Khid¯´od¯iˆe’mk`ydi. n`ay l`aˆo’nd¯i.nh theo Lya- punov. . . . Ch´ung minh. Tru ´ochˆe´ttathˆa´yhˆe. trˆen luˆon tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eu kiˆe.ntˆ`onta.iv`a duy nhˆa´tnghiˆe.mtrˆen to`an cu.cv`amˆo.tnghiˆe.mbˆa´t . . . k`yluˆon th´ac triˆe’nd¯uo. clˆen R mˆo.tc´ach duy nhˆa´t. Gia’ su’ x(t)l`a . tA mˆo.tnghiˆe.mn`ao d¯´o. Du. av`ao cˆa´utr´uc ma trˆa.nm˜u e c´othˆe’ chı’ ra c´ac h˘a`ng sˆo´ du.o.ng N,,α sao cho e(t−s)A≤Ne−α(t−s), ∀t ≥ s. . D- ˘a.t h(t)=g(x(t)). Ap´ du. ng cˆong th´ucbiˆe´nthiˆen h˘a`ng sˆo´ ta c´o t x(t)=e(t−s)Ax(s)+ e(t−ξ)Ah(ξ)dξ, ∀t ≥ s. s
. . 66 Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh Vˆa.yth`ı t x(t)≤Ne−(α(t−s)x(s) + εNe−α(t−ξ)x(ξ)dξ, ∀t ≥ s. s αt . D- ˘a.t v(t)=e x(t) ta c´o v(t) ≥ 0tho’am˜an bˆa´td¯˘a’ ng th´ucsau t v(t) ≤ C + K v(ξ)dξ, ∀t ≥ s. (3.6) s . Vˆa.yth`ıtheobˆa´td¯˘a’ ng th´ucGronwall v(t) ≤ CeK(t−s). (3.7) T`u. d¯ˆay ta c´o eαtx(t)≤Neαsx(s)eεN(t−s), ∀t ≥ s x(t)≤Ne(α−εN)(t−s)x(s), ∀t ≥ s. Tiˆe´ptheo,t´ınho ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.ncu’anghiˆe.m x(t) ≡ 0dˆ˜e d`ang suy ra khi ta cho.n ε r, . . trong d¯´o r>0l`amˆo.th˘a`ng sˆo´ d¯u’ nho’ cho tru´ocm`atas˜echo.nsau. Ta s˜echo.n r>0d¯u’ nho’ d¯ˆe’ f kha’ vi trong lˆan cˆa.n {x <r} cu’a . d¯iˆe’mk`ydi. 0. Thˆem n˜ua, v`ıc´ac sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a Df(0)am ˆ . . tA −α(t−s) nˆen tˆ`onta.ic´ac sˆo´ duong N, α sao cho e ≤Ne , ∀t ≥ s. Do t´ınh liˆen tu.ccu’a Df(x)ta.imˆo.tlˆan cˆa.ncu’a0,c´othˆe’ cho.n r d¯u’ nho’ d¯ˆe’ ε := sup Df(x) − Df(0) <α/N. (3.9) x≤2r . . V´oic´ach d¯i.nh ngh˜ıa cu’a f0 ta c´othˆe’ ch´ung minh r˘a`ng n f0(x) − f0(y)≤εx − y, ∀x, y ∈ R . (3.10) Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u x, y c`ung n˘a`m trong h`ınh cˆ`au B(0,r)ho˘a.cc`ung n˘a`m . . . ngo`ai th`ıd¯iˆ`eun`ay hiˆe’n nhiˆen theo D- .inh l´ysˆo´ gia gi´oinˆo.i. Tru`ong . . ho. p, c`on la.igia’ su’ x ∈ B(0,r)v`a y ∈ B(0,r). Khi d¯´oc´othˆe’ t`ım . . . d¯uo. cd¯iˆe’m z trˆen d¯oa.nth˘a’ ng nˆo´i x v´oi y d¯ˆe’ y = r.Ch´u´yr˘a`ng
. . Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh 67 . . x − y = x − z + z − y.Bˆay gı`o ´ap du.ng D- .inh l´ysˆo´ gia gi´oi . . . . nˆo.ichof ta.i x, z, y ta thu d¯uo. cd¯´anh gi´atrˆen. X´et phuong tr`ınh x˙ = Df(0)x + f0(x) (3.11) . . R˜or`ang phuong tr`ınh n`ay tho’am˜an c´ac d¯iˆ`eukiˆe.ncu’aD- .inh l´y3.4. . . Honn˜ua, nˆe´u x(t)l`anghiˆe.mcu’a (3.11) sao cho x(t) ∈ B(0,r), ∀t ≥ 0th`ı x(t)c˜ung l`anghiˆe.mcu’a (3.4). Do t´ınho ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.ncu’a nghiˆe.mkhˆong cu’a (3.11) nghiˆe.mbˆa´tk`yxuˆa´t ph´at trong mˆo.tlˆan . cˆa.nd¯u’ nho’ cu’a0d¯ˆ`euluula.iv`adˆ`and¯ˆe´n0dod¯´on´oc˜ung l`anghiˆe.m . cu’a (3.4). Nhu vˆa.ytad¯˜achı’ ra r˘a`ng mo.inghiˆe.mcu’a (3.4) xuˆa´t . ph´at t`u lˆan cˆa.nd¯u’ b´ecu’a0s˜ec´oth´ac triˆe’n duy nhˆa´tlˆen to`an . . khoa’ng [0, ∞)v`ahˆo.itu. t´oi0v´oicˆa´psˆo´ m˜u. N´oi riˆeng, nghiˆe.m0 cu’a (3.4)o ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.n. . . . Nhˆa.nx´et 3.2 D- ˆo´iv´oihˆe. phuong tr`ınh khˆongotˆ ˆ onˆom x˙ = A(t)x, . . t ≥ t0 ta d¯uav`ao kh´ai niˆe. mˆo’nd¯i.nh m˜unhusau: Hˆe. d¯ang x´et . . . . d¯uo. cgo. il`aˆo’nd¯i.nh m˜unˆe´utˆ`onta. ic´ac sˆo´ duong N, α sao cho nˆe´u . X(t, s) l`amatrˆa. nCauchycu’ahˆe. n`ay th`ıbˆa´td¯˘a’ ng th´ucsaud¯ˆay d¯´ung: −α(t−s) X(t, s)≤Ne , ∀t ≥ s ≥ t0. . . Viˆe.cx´et t´ınh ˆo’nd¯i.nh cu’anghiˆe. mbˆa´tk`y x(t) cu’a phuong tr`ınh . . (3.4) dˆa˜nd¯ˆe´nviˆe. cx´et phuong tr`ınh y˙(t)=Df(x(t))y(t).Ch´ung . . tˆoi d`anh cho d¯ˆo. cgia’ tu. ph´at biˆe’uv`ach´ung minh nguyˆen l´ytuyˆe´n . . . . t´ınh h´oao ˆ’nd¯i.nh cu’a phuong tr`ınh (3.4) d¯ˆo´iv´oinghiˆe. m x(t),su’ . . du. ng kh´ai niˆe. mˆo’nd¯i.nh m˜uv`at´ınh Lipschitz cu’a phˆ`andu.Nhu vˆa. yngaymˆo. tb`ai to´anotˆ ˆ onˆom c˜ung dˆa˜nd¯ˆe´nx´et t´ınh ˆo’nd¯i.nh cu’a . hˆe. khˆongotˆ ˆ onˆom. D- ˆo´iv´oic´ac hˆe. khˆongotˆ ˆ onˆom c´onhiˆ`eukh´ai niˆe. m . ˆo’nd¯i.nh kh´ac nhau v`ad¯˘a. cbiˆe.tkhˆong c´oc´ac liˆen hˆe. gi˜uat´ınh ˆo’n . d¯i.nh v´oic´ac sˆo´ riˆeng cu’ac´ac ma trˆa. n A(t).D- iˆ`eun`ay l`am cho viˆe. c . . . . . nghiˆen c´uuc´ac hˆe. khˆongotˆ ˆ onˆom thu. csu. tro’ nˆen kh´okh˘an hon nhiˆ`eu. Trong phˆ`an phu. lu. cch´ung ta c´othˆe’ tham kha’omˆo. tthuˆa. t . . to´an d¯ˆe’ x´et xem khi n`ao mˆo. td¯a th´ucc´oc´ac phˆ`anthu. cˆam. 3.1.3. Phu.o.ng ph´ap th´u. hai Lyapunov . . . Mˆo.tphuong ph´ap kh´ac nghiˆen c´uuˆo’nd¯i.nh khˆong k´em phˆ`an . . . . l´yth´uxuˆa´t ph´at t`u nh˜ung b`ai to´an thu. ctˆe´ cu’acoho.c, vˆa.tl´yv`a . . . . . . sinh ho.c, Phuong ph´ap n`ay c`on d¯uo.cgo.il`aphuong ph´ap h`am . Lyapunov. Ch´ung ta s˜ed¯i.nh ngh˜ıa kh´ai niˆe.mn`ay nhu sau. Cho phu.o.ng tr`ınh n x˙ = f(x),x∈ W ⊂ R ,t∈ [t0, ∞), (3.12)
. . 68 Chuong 3. L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh . n trong d¯´o W l`atˆa.pmo’ n`ao d¯´ocu’a R c`on f kha’ vi liˆen tu.ctrˆen miˆ`enn`ay. Gia’ su’. cho tru.´o.ch`am V : W → R kha’ vi trˆen W .Ta . d¯i.nh ngh˜ıa h`am V˙ : W → R b˘a`ng cˆong th´uc V˙ (x)=DV (x)f(x), ∀x ∈ W. (3.13) . . . . . . . V˙ d¯uo. cgo.il`a d¯a. oh`am cu’a V do. ctheohu´ong cu’atru`ong v´ec to . . . . . . . f(x). Ytu´ o’ ng ch´ınh cu’aphuong ph´ap th´u hai Lyapunov d¯uo. cthˆe’ hiˆe.n trong d¯i.nh l´ysau: . . . D- .inh l´y3.5Gia’ su’ x0 ∈ W l`amˆo. td¯iˆe’mcˆan b˘a`ng cu’atru`ong v´ec to. f(x),t´u.cl`a f(x0)=0.Gia’ su’. tiˆe´ptheoV : W → R l`ah`am liˆen tu. ctrˆen lˆan cˆa. n U cu’a x0 v`akha’ vi trˆen U\{x0} sao cho: 1. V (x0)=0,v`a V (x) > 0 v´o.i x = x0 ∈ U; 2. V˙ (x) ≤ 0 v´o.i x ∈ U\{x0}. Khi d¯´o x(t) ≡ x0 l`anghiˆe. mˆo’nd¯i.nh. Ngo`ai ra nˆe´u . 3. V˙ (x) 0. Ta d¯i.nh ngh˜ıa U1 := {x ∈ B(x0,δ):V (x) <α}.Khid¯´okhˆong c´onghiˆe.m . n`ao xuˆa´t ph´at t`u mˆo.td¯iˆe’m trong U1 la.ic´othˆe’ g˘a.p S(x0,δ)v`ıh`am . . V khˆong t˘ang trˆen c´ac d¯u`ong cong nghiˆe.m. Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u x(t)l`a mˆo.tnghiˆe.mth`ı dV (x(t)) dx(t) = DV (x(t)) dt dt = DV (x(t))f(x(t) = V˙ (x(t)) ≤ 0. . Vˆa.ymˆo˜inghiˆe.mxuˆa´t ph´at t`u mˆo.td¯iˆe’m trong U1 pha’ith´ac triˆe’n . . . d¯uo. clˆen to`an nu’ a tru.ctheoD- .inh l´yTh´ac triˆe’nnghiˆe.m. D- iˆ`eutrˆen . . . c`on ch´ung to’ mo.inghiˆe.mxuˆa´t ph´at trong U1 khˆong bao gi`o r`oi . kho’i B(x0,δ), t´ucl`a tra.ng th´ai cˆan b˘a`ng l`aˆo’nd¯i.nh. . . Gia’ su’ tiˆe´ptheoh`am V tho’am˜an thˆem d¯iˆ`eukiˆe.n3.tas˜ech´ung minh x(t) ≡ x0 l`a tra.ng th´ai cˆan b˘a`ngo ˆ’nd¯i.nh tiˆe.mcˆa.n. X´et