›
›

Toán học - Chương IV: Tích phân mặt

ppt 56 trang vanle 11650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương IV: Tích phân mặt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • ppttoan_hoc_chuong_iv_tich_phan_mat.ppt

Nội dung text: Toán học - Chương IV: Tích phân mặt

  1. CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
  2. Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, , n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là
  3. Tích phân mặt loại 1 Tính chất : Diện tích mặt S được tính bởi Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên nhau là S1 và S2 thì
  4. Tích phân mặt loại 1 Cách tính: Trong đó : Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để được z=z(x,y) Biểu thức được gọi là vi phân của mặt S
  5. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 Pt mặt S (z dương) → Suy ra: Vậy:
  6. Tích phân mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực:
  7. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC B O A
  8. Tích phân mặt loại 1 C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại B O A Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt :
  9. Tích phân mặt loại 1 Do đó:
  10. Tích phân mặt loại 1 2 2 Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x +y +2z trên mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ là 1 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách 2 2 khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y ≤1, z ≤ 1 Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S:
  11. Tích phân mặt loại 1 Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp cũng là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần mặt S với x>0 rồi nhân đôi. Vậy:
  12. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0 Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của 2 2 paraboloid là Dxz : x +z ≤1 Pt mặt S: Vậy:
  13. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Vecto Gradient: Cho mặt cong S có pt là F(x,y,z)=0. Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu các đạo hàm riêng F’x, F’y, F’z liên tục và không đồng thời bằng 0 trên S tức là vecto gradient của F liên tục và khác 0 Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thì ta đặt F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 Lúc đó, mặt S trơn nếu các đạo hàm riêng z’x, z’y liên tục trên D
  14. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng hay là mặt 2 phía nếu tại điểm M bất kỳ của S xác định được vecto pháp đơn vị sao cho hàm vecto liên tục trên S Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng được với pháp vecto đơn vị là
  15. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Pháp vecto đơn vị trên còn có thể viết bằng cách khác: Trong đó α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz với pháp vecto Để xác định pháp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0, ta sẽ làm theo 3 bước sau: 1.Tính 2.Xác định 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc là nhọn hay là tù để suy ra 1 trong 3 tọa độ của pháp vecto là dương hay âm 3.Xác định dấu của pháp vecto
  16. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía trên mặt phẳng x+2y+4z=8 Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0) 2 → Hướng của mặt S là phía trên tức là vecto pháp cùng hướng với nửa dương trục Oz, nên: 4 → cosγ>0 8 Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa độ thứ 3 là dương.
  17. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto của S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0) Cho S là phía trên tức là pháp vecto cùng hướng với nửa π dương trục Oz, suy ra góc γ≤ /2 nên cosγ>0 Vì mặt S chỉ tính với z dương nên ta chọn dấu “+” để tọa độ thứ 3 của pháp vecto dương
  18. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt 0 x ≤ ≥ x 0 Khi đó, 2 góc α, β là nhọn hay tù sẽ phụ thuộc vào x, y là dương, hay âm 0 y ≤ y ≥0 Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0 → α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2 π π Với y≥0: cosβ≥0 → β≤ /2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥ /2
  19. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 3: Tính pháp vecto của mặt S là phía ngoài mặt trụ x2+y2=1 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0) Rõ ràng, S là mặt trụ song song với trục Oz nên pháp vecto vuông góc với trục Oz tức là π γ= /2 → cosγ=0 Pháp vecto hướng ra phía ngoài, ta sẽ so với nửa dương trục Oy, thì π β≤ /2 → cosβ≥0 Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”
  20. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của mặt trụ z=x2 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0) Mặt S là phía dưới tức là pháp vecto ngược với hướng nửa dương trục Oz, tức là γ>π/2 → cosγ<0 Vậy để tọa độ thứ 3 của pháp vecto âm, ta sẽ chọn dấu “+”
  21. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 5: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của mặt nón Pt mặt S: Với S là phía dưới mặt nón tức là pháp vecto quay xuống dưới Ta có γ>π/2 → cosγ<0 Do vậy, ta lấy dấu của pháp vecto là “+” và thay để được :
  22. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Định nghĩa: Cho các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S với pháp vecto đơn vị Tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ trên mặt S được gọi là tp mặt loại 2 của 3 hàm P, Q, R trên mặt S và kí hiệu là Cách tính: Có 2 cách Cách 1: Tìm pháp vecto của mặt S Thay vào công thức trên, tức là đưa về tp mặt loại 1
  23. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Cách 2: Ta tính từng phần của tp mặt loại 2 trên Theo 4 bước sau Bước 1: Xác định góc α nhọn (hay tù) để có cosα≥0 (hay cosα≤0). Bước 2: Vì cần tính tp theo dydz nên ta tìm hình chiếu của S xuống mp Oyz là Dyz Bước 2: Ta viết lại pt mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P Bước 4: Đưa tp trên về thành tp kép Trong đó: tp kép lấy dấu dương (âm) nếu cosα dương (âm)
  24. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Đặc biệt: Nếu S là phần mặt song song với trục Ox π thì góc α= /2 tức là cosα=0, Suy ra Tính tương tự cho 2 tp còn lại
  25. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính với S là phía ngoài của mặt cầu x2+y2+z2=1 Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-1→ Ta phải chia S thành 2 phần ứng với z≥0 và z≤0, chúng đối xứng nhau qua mp z=0 và cùng có hình chiếu xuống mp Oxy là Dxy: x2+y2≤1 Ta sẽ tính tp này bằng 2 cách Cách 1: Tính trực tiếp Trên mặt S1 với z≥0, pt S1 là Pháp vecto hướng ra phía ngoài tức là hướng lên trên, khi đó góc γ≤π/2 nên cosγ≥0 , tp kép lấy dấu “+”
  26. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Vậy Tương tự, trên mặt S2 ứng với z≤0 S1 Pháp vecto hướng ra ngoài tức là quay xuống dưới nên γ≥π/2 → cosγ≤0, tp kép lấy dấu “-” Hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 S2 Vậy :
  27. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Cách 2: Chuyển về tích phân mặt loại 1 Mặt S1 ứng với z≥0, pháp vecto hướng lên trên nên → cosγ=z và Mặt S2 ứng với z≤0, pháp vecto hướng xuống dưới nên → cosγ=z và Như vậy với cả 2 mặt S1, S2 ta đều có cosγ=z và Tức là ta không cần chia làm 2 tp như cách 1, mà chỉ cần tính trên nửa phía trên rồi Vậy: nhân đôi.
  28. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Cho S là phía trên mặt trụ z=x2 giới hạn bởi các mặt : y=0, y=1, z=1, z=0. Tính Do S là phần mặt trụ z=x2 song song với trục Oy nên Ghi nhớ: Pt mặt S chỉ chứa x, z thì Pt mặt S: F(x,y,z)=z-x2=0 suy ra S là phía trên mặt trụ tức là pháp vecto hướng lên π trên: γ≤ /2, cosγ≥0. Vậy ta lấy dấu “+” cho pháp vecto
  29. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Pháp vecto đơn vị của S: Ta tính Tp theo dxdy: Pt mặt S: z=x2, với 0≤z≤1, ta được 0≤x2≤1 → -1≤x≤1 Hình chiếu xuống mp Oxy là Dxy: -1≤x≤1, 0≤y≤1 Tọa độ thứ 3 của pháp vecto dương nên cosγ≥0 Do vậy :
  30. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Pháp vecto đơn vị của S Tp theo dydz Pt mặt S: z=x2 Hình chiếu xuống mp Oyz là Dyz: 0≤z≤1, 0≤y≤1 Tọa độ thứ nhất của pháp vecto phụ thuộc vào x nên ta sẽ chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0 Pt mặt trụ chẵn đối với x, 4 mặt cắt trụ đều có pt không chứa x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. tức là hình chiếu Dyz của 2 phần mặt (S,x≥0) và (S,x≤0) như nhau → miền lấy tp của 2 tp trên như nhau
  31. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Suy ra tp I22 là tổng 2 tp có cùng hàm dưới dấu tp là yz, cùng miền lấy tp là Dyz nhưng dấu thì ngược nhau Vậy
  32. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 3: Cho S là phía trên mặt nón z2=x2+y2, 0≤z≤1. Tính Do z≥0 nên pt mặt S là Ta lấy S là phía trên mặt nón tức là γ≤π/2 → cosγ≥0 Vậy pháp vecto của S là
  33. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tp theo dxdy : Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤1 Suy ra:
  34. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tính tp theo dydz : Vì cosα phụ thuộc vào x nên ta phải chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0, 2 phần đó đối xứng nhau qua mp x=0 vì pt S là chẵn đối với x 2 tp trên 2 phần đó, khi chuyển sang tp kép sẽ có hàm dưới dấu tp cùng là f(x,y,z)=z, hình chiếu cùng là Dyz: -z≤y≤z, 0≤z≤1 nhưng trái dấu nhau vì 2 nửa cho ta 2 pháp vecto ngược nhau Vậy I32=0
  35. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tính tp theo dxdz : Tương tự tp I , ta cũng được : 32 I32=0 Vậy :
  36. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Công thức Gauss – Ostrogratxki: Cho miền V đóng, bị chặn trong không gian có biên là mặt S trơn từng khúc. Các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở chứa V. Ta có công thức Trong đó: Tp bội 3 lấy dấu “+” nếu S là mặt biên phía ngoài V và lấy dấu “-” nếu S là mặt biên phía trong V
  37. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 4: Cho mặt S là phía ngoài vật thể giới hạn bởi : x2+y2+z2≤4 và Tính tp sau bằng 2 cách trực tiếp và dùng CT Gauss Cách 1: Tính trực tiếp Mặt S gồm 2 mặt S1 là phía trên mặt cầu với Và S2 là phía dưới mặt nón với Trên mặt S1, S2, ta thấy chúng đều nhận mp x=0, mp y=0 là mặt đối xứng
  38. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Do đó, các tp tính theo dydz, dzdx đều chia thành 2 phần với hình chiếu như nhau và dấu tp kép trái nhau. Hơn nữa, 2 tp đó đều có hàm dưới dấu tp kép giống nhau. Ta được: Tích phân trên mặt S1: pt mặt Lấy phía trên mặt cầu tức là π γ≤ /2, tp kép lấy dấu “+” Hình chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤2
  39. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Tích phân trên mặt S2: pt mặt π Lấy phía dưới mặt nón tức là γ≥ /2, tp kép lấy dấu “-” Hình chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤1 Vậy:
  40. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Cách 2: S là mặt biên phía ngoài miền V giới hạn bởi Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2≤1 Áp dụng CT Gauss, ta được
  41. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 4: Cho S là mặt biên phía trong của V giới hạn bởi x2+y2≤4, 0 ≤z ≤ x2+y2. Tính tích phân Áp dụng CT Gauss, ta được
  42. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 5: Cho S là mặt biên ngoài của V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2. Tính Cách 1: Áp dụng CT Gauss
  43. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Công thức Stokes: Cho mặt định hướng S trơn từng khúc có biên là đường cong kín C trơn từng khúc và không tự cắt. Các hàm P, Q, R và các đh riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa S. Ta có CT Stokes Trong đó, hướng của C được lấy sao cho khi đứng phía mặt S và đi theo hướng đó thì ta thấy S bên trái. Ghi chú: Nếu C lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 (z<0) thì hướng trên mặt S là cùng phía (ngược phía) với trục Oz, tức là góc γ≤π/2 (γ≥π/2)
  44. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Công thức Stokes còn được dùng ở dạng liên hệ giữa tp đường loại 2 và tp mặt loại 1 như sau Trong trường hợp C là giao của 1 mp và 1 mặt cong vì khi đó ta sẽ chọn S là phần mp bị cắt bởi mặt cong, suy ra pháp vecto của S là hằng số.
  45. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 6: Tính Với C là giao của mặt x+y+z=0 và x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 1: Áp dụng CT Stokes Vì C là giao của mp x+y+z=0 và x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Nên ta chọn S là phần mp x+y+z=0 nằm phía trong mặt cầu, lấy phía trên. S là hình tròn tâm tại O, bán kính bằng 2 Suy ra vecto chỉ phương của S là
  46. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dưới dạng: Để được : Trong đó S là diện tích mặt S, Vậy
  47. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Cách 2: Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số của C (Xem trong phần tp đường loại 2- pt tham số)
  48. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 7: Tính tp Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4y và x=y-2 lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x>0 bằng 2 cách : trực tiếp và dùng CT Stokes Cách 1: Dùng CT Stokes Chọn S là phần mp x=y-2 nằm trong hình cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục Ox π Suy ra α≥ /2 → cosα≤0 Pt mặt S là F(x,y,z)=x-y+2(=0) : Vì cosα≤0, nên ta chọn dấu “-” cho pháp vecto
  49. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Vậy: S là phần mp x=y-2 nằm trong hình cầu. Ta khử x từ 2 pt để được hình chiếu của S xuống mp x=0 là 2 2 Dyz: 2(y-2) +z ≤4, Suy ra
  50. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Cách 2: Viết pt tham số của C
  51. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 8: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 1: Dùng CT Stokes Vì C là giao tuyến của 2 mặt trụ, ta chưa biết nên chọn S là mặt nào nên ta sẽ dùng CT Stokes để viết I8 dưới dạng Tp mặt loại 2 trước
  52. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Để tính I8, ta sẽ phải tính 2 tp : tp theo dxdy và dydz. Tức là ta sẽ phải tìm hình chiếu của S xuống 2 mp z=0 và x=0. Như vậy, ta sẽ chọn S sao cho hình chiếu của nó xuống 1 trong 2 mặt trên dễ tìm, vì khi đã chọn xong 1 trong 2 trụ là mặt S thì 1 trong 2 tp phải tính bằng 0 Ta chọn S là phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trong trụ tròn xoay x2+y2=1 lấy phía trên, suy ra γ≤π→cosγ≥0 Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-z
  53. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Pháp vecto mặt S: Để tính tp mặt loại 2 trên, ta có 2 cách: tính trực tiếp hoặc đưa về tp mặt loại 1
  54. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Tính trực tiếp: Vì S là mặt trụ song song với Ox (Pt chỉ chứa y, z) nên tp theo dydz bằng 0. Do đó: Với cosγ>0 và hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 Vậy :
  55. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Đưa I8 về thành tp mặt loại 1 Ta có: Suy ra Do đó: Pt mặt S: z=y2 nên Vậy:
  56. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 8: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 2: Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số của C Vậy: