Toán học - Chương 1: Xác suất của biến cố và các công thức tính xác suất

Nội dung text: Toán học - Chương 1: Xác suất của biến cố và các công thức tính xác suất

1. Chương 1 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
2. I. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ Biến cố Xuất hiện mặt 1 chấm, 2 Phép thử chấm, Tung con Biến cố Xuất hiện mặt lẻ, súc sắc mặt lớn hơn 3,
3. I. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ Phép thử là những công việc, những hành động của con người nhằm để quan sát, nghiên cứu 1 đối tượng hay 1 hiện tượng nào đó. Khi thực hiện 1 phép thử sẽ có nhiều kết quả xảy ra. Các kết quả đgl các biến cố.
4. I. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ Biến cố Xuất hiện mặt 1 sơ cấp chấm, 2 chấm, Biến cố Biến cố Xuất hiện mặt lẻ, phức hợp mặt lớn hơn 3, Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố sơ cấp, hay không gian mẫu. Ký hiệu .
5. I. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ Các loại biến cố ❖Biến cố chắc chắn (): biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. ❖Biến cố không thể (): biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. ❖Biến cố ngẫu nhiên : biến cố có thể xảy ra nhưng cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử.
6. II. XÁC SUẤT Biến cố Xác suất (A) P(A) Phép thử Biến cố Xác suất Xác suất của 1 biến cố là 1 con số biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử.
7. II. XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển: Xác suất xảy ra biến cố A được tính như sau: P(A) = 푆ố 푡 ườ푛𝑔 ℎợ 푡ℎ ậ푛 푙ợ𝑖 ℎ표 푆ố 푡 ườ푛𝑔 ℎợ đồ푛𝑔 ℎả 푛ă푛𝑔 ả
8. II. XÁC SUẤT Các ví dụ ❖Ví dụ 1 : Gieo 1 con súc sắc. Tính xác suất xuất hiện mặt 2 chấm? xác suất xuất hiện mặt lẻ? xác suất xuất hiện mặt lớn hơn 3? ❖Ví dụ 2 : Một hộp có 12 viên kẹo, trong đó có 7 kẹo dừa và 3 kẹo me. Một người chọn ngẫu nhiên 2 viên kẹo từ hộp. Tính xác suất chọn được 2 viên kẹo dừa? xác suất chọn được 2 viên kẹo me?
9. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp ❖Quy tắc nhân : Giả sử cần chọn một bộ có thứ tự gồm k phần tử, trong đó: Phần tử thứ 1 có n1 cách chọn. Phần tử thứ 2 có n2 cách chọn. Phần tử thứ k có nk cách chọn. Khi đó tổng số cách chọn bộ k phần tử đó là: n1.n2 nk (cách)
10. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp ❖Hoán vị (Pn) : Số cách xếp thứ tự một nhóm gồm n phần tử khác nhau. Công thức tính: Pn = n! Ví dụ 1 : Tìm số các số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4} Ví dụ 2 : Tìm số các số có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}
11. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp k ❖Chỉnh hợp (An ) : Số cách xếp thứ tự một nhóm gồm k phần tử khác nhau được chọn ngẫu nhiên từ n phần tử đã cho. 푛! Công thức tính: A k = n 푛− ! Ví dụ : Tìm số các số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
12. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp k ❖Chỉnh hợp lặp (Bn ) : Số cách xếp thứ tự một nhóm gồm k phần tử (có thể trùng nhau) được chọn ngẫu nhiên từ n phần tử đã cho. k k Công thức tính: Bn = n Ví dụ 1 : Tìm số các số có 4 chữ số được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ví dụ 2 : Tìm số các số di động có dạng 098XXXXXXX?
13. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp k ❖Tổ hợp (Cn ) : Số cách chọn một nhóm gồm k phần tử khác nhau được chọn ngẫu nhiên từ n phần tử đã cho. 푛! Công thức tính: C k = n ! 푛− ! Ví dụ 1 : Tìm số các tập con có 4 phần tử được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6}
14. II. XÁC SUẤT Một số công thức của giải tích tổ hợp Phân biệt: Chỉnh hợp > < Tổ hợp
15. II. XÁC SUẤT Ví dụ : Một hộp có 12 viên kẹo, trong đó có 7 kẹo dừa và 3 kẹo me. Một người chọn ngẫu nhiên 2 viên kẹo từ hộp. Tính xác suất chọn được 2 viên kẹo dừa? xác suất chọn được 2 viên kẹo me?
16. II. XÁC SUẤT Các tính chất của xác suất ❖ P() = 1 ❖ P() = 0 ❖ Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì : 0 < P(A) < 1 ❖ Nếu B là biến cố có P(B) = 1 thì B chưa chắc đã là biến cố chắc chắn. ❖ Nếu C là biến cố có P(C) = 0 thì C chưa chắc đã là biến cố không thể.
17. P(A) = lim fn (A) II.n → XÁC SUẤT Định nghĩa thống kê: Xác suất xảy ra biến cố A được tìm như sau: k P(A) = lim n → n Trong đó : n là số lần thực hiện phép thử và k là số lần xảy ra biến cố A
18. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố kéo theo : Biến cố A đgl kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Ký hiệu: A  B. Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 4 chấm, B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó : A  B.
19. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố tương đương : Hai biến cố A và B đgl hai biến cố tương đương nhau nếu A  B và B  A. Ký hiệu: A = B hoặc A  B. Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2, 4, 6 chấm; B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó : A = B.
20. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố tổng : Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B hoặc A + B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt lớn hơn 3; B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó : A + B :
21. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố tích : Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B hoặc AB, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra. Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt lớn hơn 3; B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó : AB :
22. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B đgl xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong 1 phép thử. Từ đó : A, B xung khắc AB = . Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 1 chấm; B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó : AB = 
23. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ❖Biến cố đối lập : Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là ҧ, nếu A  ҧ =  và A  ҧ = . Ví dụ : Tung 1 con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt lớn hơn 3. Khi đó : ҧ :
24. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Ví dụ : Một lớp có 40 SV, trong đó có 15 SV giỏi Toán, 10 SV giỏi AV và 7 SV giỏi cả AV và Toán. Chọn ngẫu nhiên 1 SV trong lớp. Gọi A là biến cố SV đó Toán AV giỏi Toán. Gọi B là biến cố SV đó giỏi AV. Tìm + , ҧ + ത, , ҧ ത?
25. III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Nhận xét : ▪ Đối lập của một tổng = Tích các đối lập. ▪ Đối lập của một tích = Tổng các đối lập. Toán AV
26. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNGCôngTHỨCthứcTÍNHcộngXÁC SUẤT Trường hợp tổng 2 biến cố: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) A B *Nếu A, B xung khắc thì: P(A  B) = P(A) + P(B) AB
27. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức cộng Trường hợp tổng 3 biến cố: P(A1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P (A 2 ) + P(A 3 ) - P(A A ) - P(A A ) Nếu A1, A2, 1 2 1 3 A xung 3 - P(A2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ) khắc từng đôi?
28. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức cộng nn P  Ai =  P(A i ) -  P(A i A j ) i = 1 i = 1 i < j + P(Ai A j A k ) + Tổng i < j < k n quát : + (- 1) P(A1 A 2 A n ) Nếu Ai xung khắc từng đôi?
29. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNGCôngTHỨCthứcTÍNHnhânXÁC SUẤT Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra đgl xác suất có điều kiện của A. Ký hiệu: P(A/B). P(AB) P(A/B) = (P(B) 0) P(B)
30. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Xác suất có điều kiện: Ví dụ : Một lớp có 40 SV, trong đó có 15 SV giỏi Toán, 10 SV giỏi AV và 7 SV giỏi cả AV và Toán. Chọn ngẫu nhiên 1 SV trong lớp. Biết rằng SV Toán AV được chọn giỏi Toán, tính XS để SV đó giỏi AV.
31. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Xác suất có điều kiện:
32. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNGCôngTHỨCthứcTÍNHnhânXÁC SUẤT Sự độc lập của các biến cố: A, B độc lập P(A/B) = P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B/A) = P(B) (A có xảy ra hay không thì không làm thay đổi xác suất của B, và ngược lại) Cho ví dụ về biến cố độc lập?
33. IV. CÁC CÔNGCôngTHỨCthứcTÍNHnhânXÁC SUẤT Sự độc lập của các biến cố: Định nghĩa : Các biến cố A1, A2, , An đgl độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của 1 tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại. Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi, điều ngược lại chưa chắc.
34. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Công thức nhân đối với tích hai biến cố: P(AB) = P(A).P(B/A) (nếu B phụ thuộc A) = P(B).P(A/B) (nếu A phụ thuộc B) = P(A).P(B) (nếu A, B độc lập)
35. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Ví dụ : Chia ngẫu nhiên hộp có 24 viên kẹo (trong đó có 12 kẹo dừa và 12 kẹo me) thành 3 phần đều nhau. Tính xác suất để mỗi phần đều có số kẹo dừa bằng số kẹo me.
36. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Công thức nhân đối với tích ba biến cố: P(A1A2A3) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) *Nếu A1, A2, A3 độc lập toàn phần thì : P(A1A2A3) = P(A1).P(A2).P(A3) Các bạn hãy giải lại ví dụ chia kẹo, trong trường hợp chia làm 4 phần đều nhau!
37. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức nhân Công thức nhân tổng quát: n P  Ai = P(A 1 ).P(A 2 /A 1 ) P(A n /A 1 A 2 A n-1 ) i = 1 (nếu A2 phụ thuộc A1, A3 phụ thuộc A1A2, , An phụ thuộc A1A2 An – 1) Nếu Ai độc lập toàn phần?
38. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Cho không gian mẫu  và A1, A2, , An, B là các biến cố. Các biến cố A1, A2, , An đgl một hệ biến cố đầy đủ nếu chúng thỏa mãn 2 điều kiện: (a) A1  A2   An =  (b) Ai  Aj = , i j và i, j {1,2, ,n}
39. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ n Khi đó : P(B) =  P(Aii ).P(B/A ) i = 1 Ta dùng công thức XS đầy đủ khi xác suất của biến cố cần tính có liên quan đến các biến cố nằm trong 1 hệ đầy đủ. Cách nhận biết?
40. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ : Có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 5 sản phẩm. Số sản phẩm loại A có trong kiện 1, kiện 2 và kiện 3 tương ứng là 4, 3, 2. Chọn ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 1 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B.
41. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ 4A 1B 3A 2B 2A 3B (A ) (A1) (A2) 3 1A 1B ? (H)
42. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức Bayes Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ, ta thêm một điều kiện là phép thử đã được thực hiện và biến cố B đã xảy ra. Khi đó: P(A ).P(B/A ) P(A /B) = ii ( i = 1,n) i P(B) Cách nhận biết?
43. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Ví dụ : Công thức Bayes 4A 1B 3A 2B 2A 3B (A ) (A1) (A2) (A2)? 3 1A 1B (H)
44. P(A) = lim fn (A) n → IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ mở rộng Với hệ biến cố đầy đủ {A1, A2, , An} và biến cố B đã xảy ra và với biến cố C bất kỳ, ta có: n P(C/B) =  P(Aii /B).P(C/A B) i = 1 Cách nhận biết?
45. IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Ví dụ : Công thức XS đầy đủ mở rộng 4A 1B 3A 2B 2A 3B (A ) (A1) (A2) 3 1A 1B (H) 1A? (K)
46. Tổng kết chương 1 • Dùng định nghĩa cổ điển để tính XS: cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, tổ hợp. • Dùng công thức để tính XS: cách nhận biết? • Phân biệt: xung khắc – công thức cộng độc lập – công thức nhân.