›
›

Toán học - Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính

pdf 42 trang vanle 2500
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_hoc_chuong_1_ma_tran_dinh_thuc_va_he_phuong_trinh_tuyen.pdf

Nội dung text: Toán học - Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính

  1. Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 12 tháng 10 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  2. Thông tin Website: Download bài giảng và danh sách bài tập từ đây. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  3. Định nghĩa Định nghĩa Ma trận là một bảng số có dạng   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =    . . .   . . .  am1 am2 amn Kích thước ma trận: m dòng và n cột. A được gọi là ma trận loại m × n. Nếu m = n thì ta gọi A là ma trận vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận loại m × n trên R được ký hiệu là Mm×n(R). Khi m = n, ký hiệu gọn thành Mn(R) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  4. Một số dạng ma trận đặc biệt Ma trận 0 0 0 0 . . . 0m×n = . . . 0 0 0 Ma trận đơn vị 1 0 0 0 1 0   In = . . . . . .  .  0 0 . 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  5. Một số dạng ma trận đặc biệt (tt) Ma trận đường chéo   α1 0 0  0 α2 0  D(α , . . . , α ) =   1 n  . . .   . . .  0 0 . . . αn Ma trận tam giác trên   a11 a12 a1n  0 a22 a2n U =    . . .   . . .  0 0 ann Ma trận tam giác dưới định nghĩa tương tự Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  6. Phép toán trên ma trận Ma trận A bằng ma trận B nếu A, B có cùng kích thước và aij = bij , ∀i, j. Nhân ma trận với 1 số: Cho α ∈ R và A loại m × n thì ma trận αA cũng là loại m × n và [αA]ij = α[A]ij , ∀i, j Cộng hai ma trận cùng loại [A + B]ij = [A]ij + [B]ij Cộng ma trận thỏa các tính chất tương tự như cộng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  7. Nhân 2 ma trận Định nghĩa Tích của ma trận A loại m × n và ma trận B loại n × p là ma trận AB loại m × p được xác định bởi [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + ··· + ainbnj • Lưu ý về sự tương hợp kích thước 2 ma trận. Đây không là phép nhân tương ứng từng phần tử của 2 ma trận. • Khi A là ma trận vuông thì lũy thừa k A = A · A ···· A, k ∈ N\{0} | {z } k Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  8. Lỗi thường gặp với phép nhân ma trận AB và BA thường không bằng nhau Nếu AB = 0 (ma trận 0) không có nghĩa là A = 0 hay B = 0. Do đó, nếu A vuông và Ak = 0 thì không có nghĩa là A = 0 Nếu AB = AC thì không có nghĩa là B = C • Các tính chất trên khác với phép nhân số. • Không có các tính chất trên làm cho việc giải phương trình ma trân phức tạp hơn so với việc giải phương trình với số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  9. Chuyển vị ma trận Định nghĩa Chuyển vị của ma trận A loại m × n là ma trận ký hiệu là AT loại n × m được xác định bởi T [A ]ij = [A]ji Tính chất (AT )T = A (αA)T = αAT (A ± B)T = AT ± BT (AB)T = BT AT Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  10. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng Định nghĩa Ma trận A đối xứng nếu AT = A. Ma trận A phản xứng nếu AT = −A. Nhận xét Tổng hay hiệu của 2 ma trận đối xứng là ma trận đối xứng. Tổng hay hiệu của 2 ma trận phản xứng là ma trận phản xứng. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  11. Các phép biến đổi sơ cấp dòng Định nghĩa Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp dòng 1 Loại 1: Hoán vị 2 dòng i và j của ma trận, ký hiệu di ↔ dj 2 Loại 2: Nhân dòng i với 1 số α 6= 0, ký hiệu di = αdi 3 Loại 3: Cộng dòng i với α lần dòng j, ký hiệu di = di + αdj Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  12. Dạng bậc thang của ma trận Định nghĩa Một ma trận được gọi là một ma trận bậc thang nếu các dòng 0 của nó (nếu có) nằm dưới các dòng khác 0, và trên mỗi dòng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm ở cột bên trái so với cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới. Các phần tử khác 0 đầu tiên trên mỗi dòng được gọi là các phần tử trụ • Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được đưa về dạng ma trận bậc thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi dòng. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  13. Thuật toán Gauss Dùng để đưa một ma trận tùy ý về dạng bậc thang. Bước 1: Cho i = 1 và j = 1 Bước 2: Chọn phần tử trụ cho cột thứ j. Nếu aij 6= 0 thì ta chọn aij làm phần tử trụ Nếu aij = 0 và tìm được akj 6= 0, k > i, thì ta thực hiện di ↔ dk và chọn aij (mới) làm phần tử trụ. Nếu aij = 0 và không tìm được akj 6= 0, k > i thì cột j không có phần tử trụ. Khi đó, ta bỏ qua j và lặp lại bước 2 với cột j + 1. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  14. Thuật toán Gauss (tt) Bước 3: Với aij là phần tử trụ, lần lượt thực hiện các phép biến đổi akj dk = dk − di , ∀k > i aij để đưa tất cả các phần tử bên dưới phần tử trụ về 0. Khi đó, ta được ma trận dạng  •• •       a • •   ij     0 • •      0 • • Sau đó, thay i bằng i + 1, j bằng j + 1 và quay lại bước 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  15. Định nghĩa Định nghĩa Một ma trận A có thể có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên tất cả các dạng bậc thang của A đều có cùng số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 chung này là hạng của A, ký hiệu là r(A) hay rank(A). Tính chất Cho A là ma trận loại m × n. Khi đó, 0 ≤ r(A) ≤ m, n. r(AT ) = r(A). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  16. Ma trận chính tắc theo dòng Định nghĩa Ma trận chính tắc theo dòng là ma trận bậc thang thỏa mãn các điều kiện: Các phần tử trụ có giá trị là 1, gọi là các số 1 chuẩn, và tất cả các vị trí còn lại của cột chứa số 1 chuẩn đều có giá trị 0 (cột này được gọi là cột chuẩn) Mọi ma trận đều có thể được đưa về dạng chính tắc theo dòng bằng phép biến đổi sơ cấp dòng. Dạng chính tắc theo dòng còn được gọi là dạng bậc thang rút gọn. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  17. Thuật toán Gauss-Jordan Từ ma trận A, dùng thuật toán Gauss ta đưa được về dạng bậc thang B Từ B, làm từ dòng dưới cùng khác 0 ngược về dòng đầu: Chia dòng chứa phần tử trụ aij cho aij để biến phần tử trụ thành số 1 chuẩn, sau đó dùng số 1 chuẩn khử các phần tử khác 0 còn lại trên cột chuẩn.  •• •   0 • •         0 0 •    amn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  18. Định nghĩa Định nghĩa Cho A là ma trận vuông. A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In. Khi đó, B được gọi là nghịch đảo của A, ký hiệu B = A−1. Nhận xét −1 In khả nghịch và In = In. Nếu A có 1 dòng hay 1 cột bằng 0 thì A không khả nghịch. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  19. Tính chất của ma trận khả nghịch Tính chất Giả sử A khả nghịch. Khi đó, A có duy nhất 1 nghịch đảo. A−1 khả nghịch và (A−1)−1 = A AT khả nghịch và (AT )−1 = (A−1)T . 1 Nếu α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1 α Nếu A và B khả nghịch thì (AB)−1 = B−1A−1. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  20. Cách tìm ma trận nghịch đảo A khả nghịch khi và chỉ khi dạng bậc thang rút gọn của A, RA = In. Cách tìm A−1 các phép biến đổi sơ cấp dòng (A | In) −−−−−−−−−−−−−−→ (RA | B) −1 Nếu RA = In thì B = A . Nếu RA 6= In thì A không khả nghịch. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  21. Định nghĩa Cho ma trận vuông   a11 a12 a1n  . . .  A =  . . .  an1 an2 ann Định thức của A, ký hiệu |A| hay det(A) là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: Nếu n = 1, nghĩa là A = (a11), thì ta định nghĩa det(A) = a11. a a  Nếu n = 2, nghĩa là A = 11 12 thì ta định nghĩa a21 a22 det(A) = a11a22 − a12a21. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  22. Định nghĩa (tt) Nếu n > 2, đặt A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j. Ngoài ra, đặt i+j cij = (−1) det A(i|j) Khi đó, định nghĩa det(A) === a11c11 + a12c12 + ··· + a1nc1n cij như định nghĩa trên được gọi là phần bù đại số của aij . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  23. Cách tính định thức Định thức cấp 3: Quy tắc Sarrus   a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  24. Cách tính định thức (tt) Định thức cấp n > 3: Công thức khai triển theo dòng hay theo cột. Công thức trong định nghĩa chính là công thức khai triển theo dòng 1 Thực ra, ta có thể chọn bất kỳ dòng i hay cột j để khai triển theo dòng i det(A) == ai1ci1 + ai2ci2 + ··· + aincin theo cột j det(A) == a1j c1j + a2j c2j + ··· + anj cnj Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  25. Cách tính định thức (tt) Nhận xét Nếu A có 1 dòng hay 1 cột bằng 0 thì det(A) = 0 Nếu A là ma trận tam giác thì det(A) bằng tích các phần tử trện đường chéo chính. Khi khai triển, để tiết kiệm công tính toán, ta chọn dòng hay cột nào có nhiều số 0 nhất để khai triển. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  26. Tính chất của định thức Tính chất det(AT ) = det(A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận khả nghịch tương đương với det(A) 6= 0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  27. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sơ cấp hữu ích trong tính toán định thức. Sau đây, là tác động của các phép biến đổi sơ cấp đối với định thức Định lý d ←→d Nếu A −−−−−→i j B thì det(A) = − det(B) Nếu A −−−−→di =αdi B thì det(B) = α det(A) d =d +αd Nếu A −−−−−−→i i j B thì det(B) = det(A) i6=j Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  28. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp (tt) • Ngoài ra, do det(AT ) = det(A), nên ta có thể dùng thêm phép biến đổi sơ cấp cột, các tính chất hoàn toàn tương tự phép biến đổi dòng. Định lý c ←→c Nếu A −−−−→i j B thì det(A) = − det(B) c =αc Nếu A −−−−→i i B thì det(B) = α det(A) c =c +αc Nếu A −−−−−−→i i j B thì det(B) = det(A) i6=j Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  29. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp (tt) Tóm lại Nếu đổi 2 dòng (hoặc cột) của ma trận thì phải đổi dấu định thức. Nếu 1 dòng (hay cột) nào đó chia hết cho 1 số α thì ta có thể đem số α ra ngoài dấu định thức làm nhân tử chung. Nếu ta dùng phép biến đổi loại 3 đối với dòng (hoặc cột)thì không làm thay đổi giá trị định thức. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  30. Khái niệm Hệ phương trình tuyến tính là hệ có dạng tổng quát như sau:  a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 . . .  . . .   am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm trong đó, các aij được gọi là các hệ số, bi được gọi là hệ số tự do, và xi là ẩn số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  31. Biểu diễn hệ tuyến tính bằng ma trận Đặt       a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n  x2 b2  A =   , X =   , B =    . . . .   .   .   . . . .   .   .  am1 am2 amn xn bm Ta gọi A là ma trận các hệ số , X là cột các ẩn và B là cột các hệ số tự do của hệ tuyến tính. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  32. Ma trận mở rộng Đặt   a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2  A˜ = (A|B) =    . . . . .   . . . . .  am1 am2 amn bm Ma trận A˜ được gọi là ma trận mở rộng của hệ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  33. Phương pháp khử Gauss Thuật toán Gauss Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A˜ về dạng bậc thang Nếu xuất hiện 1 dòng có dạng (0 0 0 | a), với a 6= 0 thì ta kết luận hệ vô nghiệm. Nếu không có dòng nào có dạng trên thì ta dùng phép thế ngược từ dưới lên trên của hệ để xác định nghiệm. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  34. Định lý Kronecker-Capelli Định lý Nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm Nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là n − r(A). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  35. Phương pháp Gauss-Jordan Nếu ta tiếp tục dùng phép sơ cấp dòng để biến đổi dạng bậc thang của thuật toán Gauss về dạng bậc thang rút gọn thì ta có thuật toán Gauss-Jordan. Ta sẽ mất nhiều phép biến đổi sơ cấp dòng hơn so với thuật toán Gauss, nhưng bù lại, ta không phải thế ngược từ dưới lên mà có thể đọc nghiệm trực tiếp từ ma trận. Trong thực tế, người ta cân nhắc chi phí tính toán để lựa chọn Gauss hay Gauss-Jordan. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  36. Phương pháp Cramer Nhắc lại: A là ma trận hệ số và B là cột hệ số tự do của hệ phương trình. Đặt Ai là ma trận có được từ A bằng cách thay cột i của A bằng cột B. Tính các định thức ∆ = det(A), ∆1 = det(A1), , ∆n = det(An) Nếu ∆ 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆  (x , , x ) = 1 , , n 1 n ∆ ∆ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  37. Phương pháp Cramer (tt) Nếu ∆ = 0 và có một ∆i 6= 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0, ∀i thì không xác định được hệ vô nghiệm hay hệ vô số nghiệm Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  38. Một số ứng dụng Mô hình cân bằng một hàng hóa p: giá, Qs (p) = −a0 + a1p and Qd (p) = b0 − b1p Khi cân bằng ta có hệ   Qs = −a0 + a1p Qd = b0 − b1p  −a0 + a1p = b0 − b1p Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  39. Một số ứng dụng Mô hình cân bằng nhiều hàng hóa Qsi = ai0 + ··· + ainpn Qdi = bi0 + ··· + binpn Đặt cik = aik − bik . Khi cân bằng, ta có hệ   c11p1 + ··· + c1npn = −c10  . .   cn1p1 + ··· + cnnpn = −cn0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  40. Mô hình cân bằng Kinh tế vĩ mô Đại lương Y : Income (biến số) E: Expenditure C: Consumption (biến số) T : Tax I : Investment (biến số) G: Government Hê phương trình  Y = C + I + G  0 0 C = a(Y − T ) + b  T = d + tY t : thuế cận biên (hằng số) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  41. Mô hình IS-LM Đây là hệ phương trình tuyến tính với hai biến số: Y và r Lập hê phương trình  Y = C + I + G0 M0 = L Các chi tiết xem trong tài liệu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
  42. Mô hình Input-Output Leontief Cho ma trận đầu vào A với cấp của A bằng số ngành trong nền kinh tế. Ma trận B là ma trận có 1 cột cho biết mức cầu cuối cùng đối với từng ngành. Ma trận X là ma trận 1 cột chưa biến số cho biết đầu ra của từng ngành. Hệ phương trình là (I − A)X = B Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính