Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số (tt)

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số (tt)

1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com TO ÁN CAO C P C1 2. Nguy ễn Đình Trí – Toán cao c ấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo d ục. ĐI H C 3. Lê V ăn H ốt – Toán cao c ấp C 2 – ĐH Kinh t ế TP. HCM. PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao c ấp (Gi ải tích) S ti t: 45 – ĐH Kinh t ế - Tài chính TP. HCM – NXB Th ống kê. 5 . Đỗ Công Khanh – Toán cao c ấp (Tập 1, 3, 4) Ch ươ ng 1. Hàm s ố một bi ến số Ch ươ ng 2. Phép tính vi phân hàm m ột bi ến s ố – NXB ĐHQG TP.HCM. Ch ươ ng 3. Phép tính tích phân hàm m ột bi ến s ố 6 . Nguy ễn Vi ết Đông – Toán cao c ấp (Tập 1, 2) Ch ươ ng 4. Hàm s ố nhi ều bi ến s ố – NXB Giáo d ục. Ch ươ ng 5. Ph ươ ng trình vi phân Ch ươ ng 6 . Bài toán kinh t ế – Lý thuy ết chu ỗi Biên so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyên Tài li ệu tham kh ảo Ti Slide bài gi ng To án C1 Đi hc ti 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao c ấp A1–C1 dvntailieu.wordpress.com – ĐH Công nghi ệp TP. HCM.
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s §1. B ổ túc v ề hàm s ố – N ếu fx()= fx () ⇒ x = x thì f là đơ n ánh . §2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố 1 2 12 §3. Đạ i l ượ ng vô cùng bé – vô cùng l ớn – N ếu f(X) = Y thì f là toàn ánh . §4. Hàm s ố liên t ục – N ếu f v ừa đơ n ánh v ừa toàn ánh thì f là song ánh . . VD 1. §1. B Ổ TÚC V Ề HÀM S Ố a) Hàm s ố f : ℝ→ ℝ th ỏa y= f( x ) = 2 x là đơ n ánh. 1.1. Khái ni ệm c ơ b ản b) Hàm s ố f :ℝ → [0; +∞ ) th ỏa f( x ) = x 2 là toàn ánh. 1.1.1. Đị nh ngh ĩa hàm s ố ℝ • Cho X, Y ⊂ ℝ khác r ỗng. c) Hsố f : (0;+∞ ) → th ỏa f( x )= ln x là song ánh. Ánh x ạ f: X→ Y v ới x֏ y= fx( ) là m ột hàm s ố. • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm ch ẵn n ếu: Khi đó: fx()−= fx (), ∀∈ x D f . – Mi ền xác đị nh (MX Đ) c ủa f, ký hi ệu Df, là t ập X. – Mi ền giá tr ị (MGT) c ủa f là: • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm l ẻ n ếu: fx()− =− fx (), ∀∈ xD . G={ y = fxx( ) ∈ X }. f
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s Nh ận xét 1.1.3. Hàm s ố ng ượ c – Đồ thị c ủa hàm s ố ch ẵn đố i x ứng qua tr ục tung. – Đồ th ị c ủa hàm s ố l ẻ đố i x ứng qua g ốc t ọa độ . • Hàm s ố g đượ c g ọi là hàm s ố ng ượ c c ủa f, ký hi ệu g= f −1, n ếu x= gy( ), ∀ y ∈ G . 1.1.2. Hàm s ố h ợp f Nh ận xét • Cho hai hàm s ố f và g th ỏa điều ki ện Gg⊂ D f . −1 Khi đó, hàm s ố hx()= ( f gx )() = fgx [()] đượ c g ọi là – Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) hàm s ố h ợp c ủa f và g. đố i x ứng v ới đồ th ị của hàm s ố y= f( x ) qua Chú ý đườ ng th ẳng y= x . (fgx )()≠ ( gfx )(). x VD 2. Hàm s ố y=2( x2 + 1) 2 −− x 2 1 là hàm h ợp c ủa VD 3. Cho f( x )= 2 thì 2 2 f−1 x x fx( )= 2 x − x và g( x )= x + 1 . ( )= log 2 , m ọi x > 0. Toán cao c p C1 Đi h c 1
2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s 1.2. Hàm s ố l ượ ng giác ng ượ c 1.2.2. Hàm s ố y = arccos x 1.2.1. Hàm s ố y = arcsin x • Hàm s ố y= cos x có hàm ng ượ c trên [0;π ] là π π  • Hàm s ố y= sin x có hàm ng ượ c trên − ;  là f −1 : [− 1; 1] → [0; π ]     2 2  π π x֏ y x . f −1 : [− 1; 1] → − ;  = arccos 2 2  π   VD 5. arccos 0 = ; x֏ y= arcsin x . 2 arccos(− 1) = π ; VD 4. arcsin0= 0 ; 3 π −1 2 π π arccos = ; arccos = . arcsin(− 1) = − ; 2 6 2 3 2 Chú ý 3 π π arcsin = . arcsinx+ arccos x = , ∀∈− x [ 1; 1]. 2 3 2
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s 1.2.3. Hàm s ố y = arctan x 1.2.4. Hàm s ố y = arc cot x   π π  • Hàm s ố y= tan x có hàm ng ượ c trên − ;  là • Hàm s ố y= cot x có hàm ng ượ c trên (0;π ) là    2 2   −1 π π  −1 f :ℝ → − ;  f :ℝ → (0; π )  2 2  x֏ y arc x x֏ y= arctan x . = cot . π VD 6. arctan 0= 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(− 1) = − ; 3π 4 arc cot(− 1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . 6 π π Quy ướ c. arctan(+∞=) , arctan( −∞=−) . Quy ướ c. arccot(+∞= ) 0, arc cot( −∞=π ) . 2 2
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s §2. GI ỚI H ẠN C ỦA HÀM S Ố Đị nh ngh ĩa 3 (gi ới h ạn t ại vô cùng) • Ta nói f(x) có gi ới h ạn là L (h ữu h ạn) khi x , 2.1. Các định ngh ĩa → +∞ ký hi ệu limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tìm Đị nh ngh ĩa 1 x →+∞ • Cho hàm s ố f(x) xác đị nh trên ( a; b ). Ta nói f(x) có gi ới đượ c N > 0 đủ l ớn sao cho khi x > N thì f( x ) − L 0 cho limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tìm đượ c δ > 0 x →−∞ x→ x 0 tr ướ c ta tìm đượ c N 0 lớn tùy ý cho tr ướ c ta x→ x 0 limf ( x ) = L , n ếu mọi dãy { xn} trong (a ; b )\{ x 0 } mà x→ x 0 tìm đượ c δ > 0 sao cho khi 0 M . Toán cao c p C1 Đi h c 2
3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s • T ươ ng t ự, ký hi ệu limf ( x ) = −∞ , n ếu ∀M 0 sao cho Cho limf ( x ) = a và limg ( x ) = b . Khi đó: x→ x 0 x→ x 0 khi 0 x 0 thì ta nói f(x) có gi ới h ạn ph ải t ại x0 (h ữu hạn), ký hi ệu limf ( x ) = L ho ặc limf ( x ) = L . 3) lim[fxgx ( ) ( )] = ab ; + x→ x 0 x→ x 0 + 0 x→ x 0 f( x ) a • N ếu f(x) có gi ới h ạn là L (có th ể là vô cùng) khi x→ x 0 4) lim= , b ≠ 0 ; x→ x g( x ) b với x 0, lim vxb () = thì: m m xx→ xx → x→∞ −1 0 0 bxbxm+ m −1 + + b 0 v( x ) b lim[()]u x= a . an x→ x 0 a) L = n ếu n= m ; 2x bn   x  2x  −1 b) L = 0 n ếu n m . sinαx tan α x A. L = 9; B. L = 4; C. L = 1; D. L = 0. 3) lim= lim = 1 . αx →0αx α x → 0 α x 4) S ố e: Các kết quả cần nhớ   x 1 1 1 1 1) lim= −∞ , lim = +∞. lim1 + = lim1() +xx = e . − + x  x x→0x x → 0 x →±∞x  →0
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s   2x §3. ĐẠ I L ƯỢ NG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG L ỚN  3x  VD 2. Tìm gi ới h ạn L =lim 1 + . x→∞  2x 2 + 1   3.1. Đạ i l ượ ng vô cùng bé a) Đị nh ngh ĩa A. L = ∞; B. L= e 3; C. L= e 2; D. L = 1. • Hàm s ố α(x ) đượ c g ọi là đại lượng vô cùng bé (VCB ) khi x→ x 0 n ếu limα (x ) = 0 ( x0 có th ể là vô cùng). 1 x→ x 0 VD 3. Tìm gi ới h ạn L=lim 1 + tan 2 x 4x . x→0+ ( ) VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1−; A. L = ∞; B. L = 1; C. L= 4 e ; D. L= e . ( ) 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞. ln 2 x Toán cao c p C1 Đi h c 3
4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s c) So sánh các VCB b) Tính ch ất c ủa VCB • Đị nh ngh ĩa 1) Nếu α(x ), β ( x ) là các VCB khi x→ x thì α(x ) 0 Cho α(x ), β ( x ) là các VCB khi x→ x 0, lim = k . x→ x 0 β(x ) α()x ± β () x và α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. Khi đó: 2) N ếu α(x ) là VCB và β(x ) b ị ch ận trong lân c ận x0 – Nếu k = 0, ta nói α(x ) là VCB cấp cao h ơn β(x ) , α(x ) = 0( β ( x )) thì α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. ký hi ệu . – Nếu k = ∞, ta nói α(x ) là VCB cấp th ấp h ơn β(x ) . 3) lim()fx= a ⇔ fx () =+α a () x , trong đó α(x ) là x→ x 0 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB VCB khi x→ x 0. cùng c ấp. – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB tươ ng đươ ng , ký hi ệu α()x∼ β () x .
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s VD 2 • 1− cos x là VCB cùng c ấp v ới x 2 khi x → 0 vì: • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCB c ấp cao 2 x Cho x x là tổng các VCB khác c ấp khi x x 2 sin α( ), β ( ) → 0 1− cosx 1 lim= lim 2 = . α(x ) x→02 x → 0 2 thì lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCB cấp th ấp x   2 x→ x x  0 β(x ) 4  2  nh ất của t ử và m ẫu. 2 2 x3 −cos x + 1 • sin 3(x− 1)∼ 9( x − 1) khi x → 1. VD 3. Tìm gi ới h ạn L = lim . x→0 x4+ x 2 • Tính ch ất c ủa VCB t ươ ng đươ ng khi x → x0 1) α()xx∼ β () ⇔α () xx −β () =α 0(()) x =β 0(()) x . • Các VCB t ươ ng đươ ng c ần nh ớ khi x → 0 2) Nếu α()x∼ β (), x β() x ∼ γ () x thì α()x∼ γ () x . 1) sin x∼ x ; 2) tan x∼ x ; ∼ ∼ 3) arcsin x∼ x ; 4) arctan x∼ x 3) Nếu α1()x β 1 (), x α 2 () x β 2 () x thì αα()xx ()∼ ββ ()() xx . x 2 12 12 5) 1− cos x ∼ ; 6) ex −1 ∼ x ; 4) N ếu α(x ) = 0( β ( x )) thì α()x +β () x∼ β () x . 2
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s x 2 2 ∼ n ∼ x x 7) ln(1+ x ) x ; 8) 1+x − 1 . A. f( x ) ∼ ; B. f( x ) ∼ ; n 4 2 Chú ý. Nếu u( x ) là VCB khi x → 0 thì ta có th ể thay x x bởi u( x ) trong 8 công th ức trên. C. f( x ) ∼ ; D. f( x )∼ − 3 x 2. ln(1− 2x sin2 x ) 2 VD 4. Tính gi ới h ạn L = lim . 2 Chú ý x→0 sinx .tan x Quy t ắc VCB t ươ ng đươ ng không áp d ụng đượ c cho sin( x+− 1 1) + x2 − 3tan 2 x hi ệu ho ặc t ổng của các VCB nếu chúng làm tri ệt tiêu VD 5. Tính L = lim . tử ho ặc m ẫu c ủa phân th ức. x→0 3 sinx+ 2 x eexx+−−2 ( e x −+− 1) ( e − x 1)  2 VD. lim= lim x=2 t − t x→0x2 x → 0 x 2 VD 6. Cho hàm s ố y= f( x ) th ỏa:  .  2 4 x+( − x ) y= t + 3 t =lim = 0 ( Sai!).  2 Khi x → 0, ch ọn đáp án đúng? x→0 x Toán cao c p C1 Đi h c 4
5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s 3.2. Đạ i l ượ ng vô cùng l ớn b) So sánh các VCL a) Đị nh ngh ĩa • Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là đạ i lượng vô cùng lớn (VCL ) f( x ) Cho fx( ), gx ( ) là các VCL khi x→ x 0, lim = k . khi x→ x 0 n ếu limf ( x ) = ∞ ( x0 có th ể là vô cùng). x→ x x→ x 0 g( x ) 0 Khi đó: cosx + 1 VD 7. là VCL khi x → 0; – N ếu k = 0, ta nói f( x ) là VCL cấp th ấp h ơn g( x ) . 2x3 − sin x 3 – N ếu k , ta nói f x là VCL cấp cao h ơn g x . x+ x − 1 = ∞ ( ) ( ) là VCL khi x → +∞. x2 −cos 4 x + 3 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta nói f( x ) và g( x ) là các VCL cùng c ấp. Nh ận xét . Hàm s ố f( x ) là VCL khi x→ x thì 0 – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta nói f( x ) và g( x ) là các VCL 1 là VCB khi x→ x . tươ ng đươ ng . Ký hi ệu fx()∼ gx () . f( x ) 0
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s VD 8. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCL c ấp th ấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác c ấp khi x→ x 3 1 0 • là VCL khác c ấp v ới khi x → 0 vì: f( x ) x 3 2x3 + x thì lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCL cấp cao nh ất x→ x g( x )   3 0  3 1 2 x+ x x của t ử và m ẫu. lim : = 3 lim = 3 lim = ∞. x→0xxx332 +  x → 0 x 3 x → 0 x 3 VD 9. Tính các gi ới h ạn: • 2x3+ x − 1∼ 2 x 3 khi x → +∞. x3 −cos x + 1 x3−2 x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x→∞ 3x+ 2 x x→+∞ 2x7− sin 2 x
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s §4. HÀM S Ố LIÊN T ỤC 4.2. Đị nh lý • T ổng, hi ệu, tích và th ươ ng c ủa các hàm s ố liên t ục t ại 4.1. Đị nh ngh ĩa x0 là hàm s ố liên t ục t ại x0. • S ố x0 ∈ D f đượ c g ọi là điểm cô l ập c ủa f( x ) n ếu • Hàm s ố s ơ c ấp xác đị nh ở đâu thì liên t ục ở đó. • Hàm s ố liên t ục trên m ột đoạn thì đạ t giá tr ị l ớn nh ất và xx x x thì x D . ∃ε>0: ∀∈ (0 −ε ; 0 +ε )\{} 0 ∉ f nh ỏ nh ất trên đoạn đó. 4.3. Hàm s ố liên t ục m ột phía • Hàm s ố f( x ) liên t ục t ại x n ếu limfx ()= fx ( ) . 0 0 • Đị nh ngh ĩa x→ x 0 Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là liên t ục trái (ph ải) t ại x n ếu • Hàm s ố f( x ) liên t ục trên t ập X n ếu f( x ) liên t ục t ại 0 limfx ()= fx (0 ) ( limfx ()= fx (0 ) ). mọi điểm x∈ X . x x − x x + 0 → 0 → 0 Chú ý. Hàm f( x ) liên t ục trên đoạn [a ; b ] thì có đồ th ị là • Đị nh lý Hàm s ố f(x) liên t ục t ại x n ếu một đườ ng li ền nét (không đứ t khúc) trên đoạn đó. 0 limfx ()= lim fx () = fx ( ). Quy ướ c. Hàm f x liên t ục t ại m ọi điểm cô l ập c ủa nó. − + 0 ( ) xx→0 xx → 0 Toán cao c p C1 Đi h c 5
6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s mt bi n s  2 2 3tanx+ sin x 4.4. Phân lo ại điểm gián đoạn  ,x > 0 VD 1. Cho hàm s ố f( x ) =  2x . • Nếu hàm f( x ) không liên t ục y  (C )  α,x ≤ 0 x x  tại 0 thì 0 đượ c g ọi là Giá tr ị c ủa α để hàm s ố liên t ục t ại x = 0 là: điểm gián đoạn c ủa f( x ) . O x x 1 3 0 A. α = 0; B. α = ; C. α = 1; D. α = . • N ếu t ồn t ại các gi ới h ạn: 2 2 − + limfx ()= fx (0 ) , limfx ( )= fx (0 )  ln(cosx ) x→ x − x→ x +  ,x ≠ 0 0 0  2 2 VD 2. Cho hàm s ố f( x ) = arctanx+ 2 x . nhưng f x − , f x + và f x không đồ ng th ời b ằng  (0 ) (0 ) (0 )  2α − 3,x = 0  nhau thì ta nói x0 là điểm gián đoạn lo ại m ột. Giá tr ị c ủa α để hàm s ố liên t ục t ại x = 0 là: Ng ượ c l ại, x 0 là điểm gián đoạn lo ại hai . 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . 12 12 2 2
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s §1. Đạ o hàm Nh ận xé t. Do x = x − x 0 nên: §2. Vi phân fx()− fx ( ) §3. Các đị nh lý c ơ b ản v ề hàm kh ả vi – C ực tr ị ′ 0 f( x 0 )= lim . §4. Quy t ắc L’Hospital x→ x 0 x− x 0 §1. ĐẠ O HÀM b) Đạ o hàm m ột phía 1.1. Các định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xác đị nh trong lân c ận ph ải a) Đị nh ngh ĩa đạ o hàm fx()− fx (0 ) (x0 ; b ) c ủa x0. Gi ới h ạn lim (n ếu có) Cho hàm s ố y= f( x ) xác đị nh trong lân c ận (a ; b ) c ủa x→ x + x x 0 − 0 x0 ∈ ( a ; b ) . Giới h ạn: đượ c g ọi là đạ o hàm bên ph ải của y= f( x ) t ại x . y fx(+ x )() − fx 0 lim= lim 0 0 Ký hi ệu là f′( x + ) . T ươ ng t ự, f′( x − ) . x →0x x → 0 x 0 0 Nh ận xét . Hàm s ố f( x ) có đạ o hàm t ại x0 khi và ch ỉ khi (n ếu có) đượ c g ọi là đạ o hàm của y= f( x ) t ại x 0. − + ′ ′ fx′()= fx ′ () = fx ′ (). Ký hi ệu là f( x 0 ) hay y( x 0 ) . 0 0 0
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s c) Đạ o hàm vô cùng 1.2. Các quy t ắc tính đạ o hàm y • N ếu t ỉ s ố → ∞ khi x → 0 thì ta nói y= f( x ) có 1) Đạ o hàm t ổng, hi ệu, tích và th ươ ng c ủa hai hàm s ố: x (uv± ) ′ = u ′ ± v ′ ; (uv ) ′= uv ′ + uv ′ ; đạ o hàm vô cùng t ại x . 0 ′ ′ k  − kv ′ u  u′ v− uv ′ • Tươ ng t ự, ta c ũng c ó các khái ni ệm đạ o hàm vô cùng   =, k ∈ ℝ;   = .   2   2 một phía. v   v v  v 3 2) Đạ o hàm c ủa hàm s ố h ợp fx()= yux [()] : VD 1. Cho fx( )= x ⇒ f ′ (0) = ∞, fx( )= x ⇒ f ′ (0+ ) = +∞. fx′()= yuux ′ ().() ′ hay yx′()= yuux ′ ().() ′ . Chú ý 3) Đạ o hàm hàm s ố ng ượ c c ủa y= y( x ) : Nếu f( x ) liên t ục và có đạ o hàm vô cùng t ại x thì ti ếp 1 0 x′( y ) = . y f x tuy ến t ại x0 c ủa đồ th ị = ( ) song song v ới tr ục Oy . y′( x ) Toán cao c p C1 Đi h c 6
7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s ′ ′ Đạo hàm c ủa một s ố hàm s ố s ơ c ấp 7) (ex) = e x ; 8) (ax) = a x .ln a ; α′ α− 1 ′ 1 1) x= α . x ; 2) x = ; ( ) ( ) ′ 1 ′ 1 2 x 9) ln x = ; 10) log x = ; ( ) x ( a ) x.ln a 3) sinx′ = cos x ; 4) cosx′ = − sin x ; ( ) ( ) ′ 1 ′ −1 11) (arcsinx) = ; 12)(arccosx) = ; x 2 x 2 1 1 1 − 1 − 5) (tan x)′ = 6) (cot x)′ = − ; 2 x 2 x cos sin ′ 1 ′ −1 =1 + tan 2 x ; 13) (arctan x) = ; 14) (arccot x ) = . 1 + x 2 1 + x 2
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s 1.3 . Đạ o hàm hàm s ố cho b ởi ph ươ ng trình tham s ố 1.4. Đạ o hàm c ấp cao • Cho hàm s ố y= f( x ) có ph ươ ng trình d ạng tham s ố • Gi ả s ử f( x ) có đạ o hàm f′( x ) và f′( x ) có đạ o hàm thì ′ x= xt(), y = yt () . Gi ả s ử x= x( t ) có hàm s ố ng ượ c (fx′()) = fx ′′ () là đạ o hàm c ấp hai c ủa f( x ) . và hàm s ố ng ượ c này có đạ o hàm thì: • Tươ ng t ự ta có: ′ y′( t ) yt ′ yx′( )= hayy ′ = . (n ) ( n − 1) ′x ′ fx()= f () x là đạ o hàm c ấp n c ủa f( x ) . x( t ) x t ( )  2 x=2 t − 1 VD 2. Tính y′( x ) c ủa hàm s ố cho b ởi  ,t ≠ 0 . VD 4. Cho hàm s ố f( x )= sin 2 x . Tính đạ o hàm f (6) (0) . y= 4 t 3  A. f (6) (0)= 32 ; B. f (6) (0)= − 32 ;  t x= e C. f (6) (0)= − 16 ; D. f (6) (0)= 0 . VD 3. Tính y′(1) c ủa hàm s ố cho b ởi  . x y= t2 − 2 t 
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s VD 5. Tính f(n ) ( x ) c ủa hàm s ố f( x )= (1 − x ) n+1. 1.5 . Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn • Cho ph ươ ng trình F(,) x y = 0 (*). Nếu y= y( x ) là hàm số xác đị nh trong 1 kho ảng nào đó sao cho khi th ế y( x ) vào (*) ta đượ c đồ ng nh ất th ức thì (n ) 1 y( x ) đượ c g ọi là hàm s ố ẩn xác đị nh b ởi (*). VD 6. Tính y c ủa hàm s ố y = . x2 −3 x − 4 ′ ′ ′ • Đạ o hàm hai vế (*) theo x , ta đượ c Fx+ F y. y x = 0 . F ′ Vậy y′= −x , F ′ ≠ 0. x′ y (n ) Fy VD 7. Tính đạ o hàm f( x ) c ủa hàm s ố f( x )= sin x . ′ ′ y( x ) = y x đượ c g ọi là đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn y( x ) . Toán cao c p C1 Đi h c 7
8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s VD 8. Cho hàm ẩn y( x ) xác đị nh b ởi xy− ex + e y = 0. §2. VI PHÂN T ính y′( x ) . 2.1. Vi phân c ấp m ột • Hàm s ố y= f( x ) đượ c g ọi là kh ả vi t ại x∈ D n ếu VD 9. Cho hàm ẩn y( x ) xác đị nh b ởi: 0 f x fx() = fx ( +− x )() fx có th ể bi ểu di ễn d ướ i xy− e +ln y = 0 (*). Tính y′(0) . 0 0 0 dạng: fx( ) =+ Ax . 0( x ) VD 10. Cho hàm ẩn y( x ) xác đị nh b ởi: 0 với A là h ằng s ố và x là VCB khi x . y 0( ) → 0 lnx2+ y 2 = arctan . Tính y′( x ) . x Khi đó, đạ i l ượ ng A. x đượ c g ọi là vi phân c ủa hàm s ố Chú ý y= f( x ) tại x0. Ký hi ệu df( x ) hay dy( x ) . Ta có th ể xem hàm ẩn y( x ) nh ư hàm h ợp u( x ) và th ực 0 0 hi ện đạ o hàm nh ư hàm s ố h ợp. Nh ận xét f( x ) 0(x ) VD 11. Cho hàm ẩn y( x ) xác đị nh b ởi: • fx( ) =+ Ax . 0( x ) ⇒0 =A + 0 x x y3−( x 2 − 2) yx − 2 4 = 0 (*). Tính y′′ (1) .
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s f( x ) 2.2. Vi phân c ấp cao ⇒0 →⇒x →0 A fx′( ) = A . x 0 • Gi ả s ử y= f( x ) có đạ o hàm đế n c ấp n thì ⇒df( x ) = f′ ( x ). x hay df( x )= f′ ( x ). x . n n−1 ( nn ) 0 0 dy= dd( y ) = y dx • Ch ọn fx()= x ⇒ dfx () =⇒ x dx = x . đượ c g ọi là vi phân c ấp n c ủa hàm y= f( x ) . Vậy dfx()()= f′ xdxhaydy = ydx ′ . VD 4. Tính vi phân c ấp 2 c ủa hàm s ố y= ln(sin x ) . 2 3 x VD 1. Tính vi phân c ấp 1 c ủa fx( ) = xe t ại x0 = − 1. VD 5. Tính vi phân c ấp n c ủa hàm số y= e 2x . VD 2. Tính vi phân c ấp 1 c ủa y=arctan( x 2 + 1) . π VD 3. Tính vi phân c ấp 1 c ủa hàm s ố y = 2ln(arcsinx ) . VD 6. Tính vi phân c ấp 3 c ủa f( x )= tan x t ại x = . 0 4
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s Chú ý §3. CÁC ĐỊ NH LÝ C Ơ B ẢN V Ề HÀM KH Ả VI Khi x là m ột hàm s ố độ c l ập v ới y thì công th ức CỰC TR Ị C ỦA HÀM S Ố n( n ) n dy= y dx không còn đúng n ữa. 3.1. Các đị nh lý 3.1.1. B ổ đề Fermat Quy t ắc tính vi phân c ấp n Cho hàm s ố f( x ) xác đị nh trong (a ; b ) và có đạ o hàm tại x∈ ( a ; b ) . N ếu f( x ) đạ t giá tr ị lớn nh ất (ho ặc bé nh ất) n n n n n 0 1) d(.) ku= kdu . ; du(+ v ) = du + dv ; ′ tại x0 trong (a ; b ) thì f( x 0 )= 0 . n n knkk− ớ 0 0 2) duv( )= ∑ Cdn udv . v i du= udv, = v . 3.1.2. Đị nh lý Rolle k=0 Cho hàm s ố f( x ) liên t ục trong [a ; b ] và kh ả vi trong 3 x ′ VD 7. Tính vi phân c ấp 10 c ủa hàm s ố y=( x − xe ) . (a ; b ) . N ếu fa()= fb () thì ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho f( c )= 0 . Toán cao c p C1 Đi h c 8
9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
   Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s 3.1.3. Đị nh lý Cauchy 3.2. C ực tr ị c ủa hàm s ố • Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) liên t ục trong [a ; b ] , kh ả vi 3.2.1. Hàm s ố đơ n điệu trong (a ; b ) và gx′()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . a) Đị nh ngh ĩa Khi đó, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: Cho hàm s ố f( x ) liên t ục trong trong (a ; b ) . fb()− fa () fc′ () = . Khi đó: gb()− ga () gc′ () • f( x ) đượ c g ọi là tăng ng ặt trong (a ; b ) n ếu fx()− fx () 1 2 > 0, ∀xx, ∈ (;) ab và x≠ x . 3.1.4. Đị nh lý Lagrange x− x 1 2 1 2 • Cho hàm s ố f( x ) liên t ục trong [a ; b ] , kh ả vi trong 1 2 • f( x ) đượ c g ọi là gi ảm ng ặt trong (a ; b ) n ếu (a ; b ) . Khi đó, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: fx()− fx () fb()− fa () 1 2 0, ∀ x ∈ (;) ab thì f( x ) tăng ng ặt trong (a ; b ) . x x x x 1− 2 1− 2 • N ếu fx′() fx () , (x − 1) 0 0 ∀x ∈ ( ab ; )\{ x 0 } thì f( x ) đạ t cực đạ i t ại x0. 1 b) Đị nh lý VD 3. Tìm các kho ảng đơ n điệu c ủa y = . 2 Cho f( x ) có đạ o hàm đế n c ấp 2n trong (a ; b ) ch ứa x x− 2 x 0 ′ (2n− 1) (2n ) th ỏa fx(0 )= = f ( x 0 ) = 0 và f( x 0 )≠ 0 . • N ếu f(2n ) ( x )> 0 thì f( x ) đạ t cực ti ểu t ại x . x 3−4 0 0 VD 4. Tìm các kho ảng đơ n điệu c ủa y= e . (2n ) • N ếu f( x 0 )< 0 thì f( x ) đạ t cực đạ i tại x0. Toán cao c p C1 Đi h c 9
10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s VD 5. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố fx()=− x6 − 2 x 3 + 3 . • N ếu M= max f ( x ) và m= min f ( x ) thì: x∈ X x∈ X 3.2.3. Giá tr ị l ớn nh ất – giá tr ị nh ỏ nh ất m≤ fx( ) ≤ M , ∀∈ x X . a) Đị nh ngh ĩa b) Ph ươ ng pháp tìm max – min Cho hàm s ố y= f( x ) có MX Đ D và X⊂ D .  Hàm s ố liên t ục trên đoạn [a; b] • S ố M đượ c g ọi là giá tr ị l ớn nh ất c ủa f( x ) trên X n ếu: Cho hàm s ố y= f( x ) liên t ục trên đoạn [a ; b ] . ∃x ∈ Xfx: ( ) = M và fx()≤ M , ∀ x ∈ X . 0 0 Để tìm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện các b ướ c sau: Ký hi ệu là: M= max f ( x ) . x∈[ a ; b ] x∈[ a ; b ] x∈ X • Bướ c 1. Gi ải ph ươ ng trình f′( x )= 0 . Gi ả s ử có n • S ố m đượ c g ọi là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa f( x ) trên X n ếu: nghi ệm x, , xn ∈ [; ab ] (lo ại các nghi ệm ngoài [a ; b ] ). ∃x ∈ Xfx: ( ) = m và fx()≥ m , ∀ x ∈ X . 1 0 0 • Bướ c 2. Tính fa(), fx ( ), , fx ( ), fb () . Ký hi ệu là: m= min f ( x ) . 1 n x∈ X • Bướ c 3. Giá tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất trong các giá tr ị đã Chú ý tính ở trên là các giá tr ị max, min tươ ng ứng c ần tìm. • Hàm s ố có th ể không đạ t max ho ặc min trên X⊂ D .
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s VD 6. Tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố  Hàm s ố liên t ục trên kho ảng (a; b) 43 2 Cho hàm y= f( x ) liên t ục trên (a ; b ) ( a, b có th ể là ∞). fx( )= x − x −+ x 3 trên đoạn [0; 2] . 2 Để tìm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện các b ướ c: Chú ý x∈( a ; b ) x∈( a ; b ) • N ếu đề bài ch ưa cho đoạn [a ; b ] thì ta ph ải tìm MX Đ • B ướ c 1. Gi ải ph ươ ng trình f′( x )= 0 . Gi ả s ử có n của hàm s ố tr ướ c khi làm b ướ c 1. nghi ệm x, , x∈ [; ab ] (lo ại các nghi ệm ngoài [a ; b ] ). • Có th ể đổ i bi ến s ố t= t( x ) và vi ết y= fx( ) = gtx ( ( )) . 1 n • B ướ c 2. Tính fx( ), , fx ( ) và hai gi ới h ạn Gọi T là mi ền giá tr ị c ủa hàm t( x ) thì: 1 n maxfx ( )= max gt () , minfx ( )= min gt () . L1=lim fxL (), 2 = lim fx () . xX∈ tT ∈ xX∈ tT ∈ xa→+ xb → − • B ướ c 3. Kết lu ận: VD 7. Tìm max, min c ủa fx()= − x2 + 56 x + . 1) N ếu max{fx ( ), , fx ( )}> max{ LL , } thì sinx + 1 1n 1 2 VD 8. Tìm max, min c ủa y = . maxf= max{ fx ( ), , fx ( )} . sin2 x+ sin x + 1 x∈( a ; b ) 1 n
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s fx fx LL 3.3. Kho ảng l ồi, lõm c ủa đồ th ị – điểm u ốn 2) N ếu min{ (1 ), , (n )}< min{ 1 , 2 } thì minf= min{ fx ( ), , fx ( )} . a) Đị nh ngh ĩa x∈( a ; b ) 1 n 3) N ếu không th ỏa 1) (ho ặc 2)) thì hàm s ố không đạ t • Hàm s ố f( x ) đượ c g ọi là hàm lồi trong (a ; b ) nếu f′( x ) max (ho ặc min). tăng trong a b . Khi đó, đồ th ị y= f( x ) đượ c g ọi là ( ; ) VD 9. Tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố đồ th ị lõm trong (a ; b ) . x 3 f( x ) = trên kho ảng (1;+∞ ) . • Hàm s ố f( x ) đượ c g ọi là hàm lõm trong (a ; b ) n ếu x 2 −1 f′( x ) gi ảm trong (a ; b ) . Khi đó, đồ th ị y= f( x ) đượ c Chú ý Ta có th ể l ập b ảng bi ến thiên c ủa f( x ) thay cho b ướ c 3. gọi là đồ th ị lồi trong (a ; b ) . VD 10. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố m để ph ươ ng trình • Điểm M0( x 0 ; y 0 ) trên đồ th ị nằm gi ữa ph ần lõm và l ồi 2 sau có nghi ệm: m( x+2 − 1) − x = 0 . đượ c g ọi là điểm u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) . Toán cao c p C1 Đi h c 10
11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s 3 2 VD 11. Hàm số y= x −3 x + 1 VD 12. Xác đị nh tính l ồi, lõm c ủa hàm s ố: lõm và có đồ th ị l ồi trong (−∞ ; 1) ; y= x2 − 8 ln x . hàm y= x3 −3 x 2 + 1 lồi và có đồ th ị lõm trong (1;+∞ ) . M(1; 1) là điểm u ốn c ủa đồ th ị. VD 13. Tìm các kho ảng l ồi, lõm c ủa đồ th ị hàm s ố: b) Đị nh lý y= arccos x . • N ếu f′′ ( x )> 0 (hay f′′ ( x )< 0 ) v ới m ọi x∈ ( a ; b ) thì đồ th ị hàm s ố y= f( x ) lõm (hay lồi) trong (a ; b ) . ′′ ′′ VD 14. Xác đị nh tính l ồi, lõm c ủa hàm s ố y= arctan2 x • N ếu f( x 0 )= 0 và f( x ) đổ i d ấu khi x chuy ển t ừ trái và đồ th ị của hàm s ố y= arctan2 x . sang ph ải qua điểm x0 thì M0( x 0 ; y 0 ) là điểm u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) .
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s 3.4. Ti ệm c ận c ủa đồ th ị VD 15. Tìm t ất c ả các ti ệm c ận c ủa đồ th ị hàm s ố: • Ti ệm c ận đứ ng ln(1− x 2 ) Đườ ng cong y= f( x ) có ti ệm c ận đứ ng x= x n ếu y = . 0 x 3 limf () x = ∞ . x→ x 0 VD 16. Tìm ti ệm c ận xiên của đồ th ị hàm s ố: • Ti ệm c ận xiên y=3 x2( x − 1) . Đườ ng cong y= f( x ) có ti ệm c ận xiên y= ax + b n ếu f( x )   lim=a ,lim() fx − ax  = b . VD 17. Tìm ti ệm c ận xiên (ngang) c ủa đồ th ị hàm s ố: x→∞x x →∞   yx=+ x2 −4 x + 5 . Chú ý Khi a = 0 thì đồ th ị có ti ệm c ận ngang y= b . .
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 2. Ph ép tính vi phân hàm mt bi n s §4. QUY T ẮC L’HOSPITAL x2− sin 2 x VD 2. Tìm gi ới h ạn L = lim . Đị nh lý ( quy t ắc L’Hospital ) x→0 x2.arctan 2 x Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) kh ả vi trong lân cận của điểm 1 1 A. L = 0; B. L = ∞; C. L = ; D. L = . ′ ′ x0 và g( x )≠ 0 trong lân c ận c ủa x0 (có th ể g( x 0 )= 0 ). 2 3 Nếu limfx ()= lim gx () = 0 (ho ặc ∞) và 3 xx→ xx → VD 3. Tìm gi ới h ạn L= lim x ln x (d ạng 0×∞). 0 0 x→0+ ( ) f′( x ) f( x ) lim =k ∈ ℝ thì lim = k . 1  x→ x x→ x   0 g′( x ) 0 g( x ) VD 4. Tính L=lim cot x −  (d ạng ∞ − ∞). x→0   Chú ý x   Chi ều ng ượ c l ại trong đị nh lý là không đúng. 1 VD 5. Tìm gi ới h ạn L= lim x x−1 (d ạng 1∞).  Ta c ó th ể áp d ụng quy t ắc L’Hospital nhi ều l ần. x→1 ex+ e − x − 2 1 VD 1 . Tìm gi ới h ạn L = lim . x x 0 2 VD 6. Tìm gi ới h ạn L=lim ( x + 3 ) (d ạng ∞ ). x→0 x x→+∞ Toán cao c p C1 Đi h c 11
12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s §1. Tích phân b ất đị nh Tính ch ất §2. Tích phân xác đị nh §3. Ứng d ụng c ủa tích phân xác đị nh 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdxk (), ∈ ℝ §4. Tích phân suy r ộng 2) ∫ fxdx′()= fx () + C §1. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH d 3) ∫ fxdx()= fx () 1.1. Đị nh ngh ĩa dx • Hàm s ố F( x ) đượ c g ọi là một nguyên hàm c ủa f( x ) trên 4) ∫[()fx+ gxdx ()] = ∫ fxdx () + ∫ gxdx () . khoảng (a ; b ) n ếu Fx′()= fx (), ∀ x ∈ (;) ab . MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Ký hi ệu f( x ) dx ( đọ c là tích phân). ∫ 1) adx.= ax + C , a ∈ ℝ Nh ận xé t ∫ • N ếu F( x ) là nguyên hàm c ủa f( x ) thì F( x ) + C cũng là x α+ 1 2) xdxα = + C , α≠− 1 nguyên hàm c ủa f( x ) . ∫ α + 1
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s dx dx 3) =ln x + C ; 4) =2 x + C dx1 x− a ∫ x ∫ 13) =ln + C x ∫ x2− a 2 2a x+ a x x x x a 5) ∫ e dx= e + C ; 6) ∫ a dx= + C dx x ln a 14) ∫ =ln tan + C 7) cosxdx= sin x + C ; 8) sinxdx= − cos x + C sinx 2 ∫ ∫   dx dx dx x π 9) =tan x + C ; 10) = −cot x + C 15) =ln tan  + + C ∫ cos 2 x ∫ sin 2 x ∫ cosx  2 4   dx1 x 11) =arctan + C dx 2 ∫ x2 a 2 a a 16) =ln x + x ++ a C + ∫ 2 dx x x+ a 12) ∫ =arcsin +C , a > 0 a2− x 2 a
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s dx 1.2. Ph ươ ng pháp đổ i bi ến VD 1. Tính I = . ∫ 2 a) Đị nh lý 4 − x 1 2 + x 1 2 − x N ếu fxdx()= Fx () + C với ϕ(t ) kh ả vi thì: A. I=ln + C ; B. I=ln + C ; ∫ 4 2 − x 4 2 + x ∫ f(())()ϕϕ t′ tdt =ϕ F (()) t + C . 1x − 2 1x + 2 C. I=ln + C ; D. I=ln + C . dx 2x + 2 2x − 2 VD 3. Tính I = ∫ . x3− ln 2 x dx VD 4. Tính I = . ∫ 3 dx x( x + 3) VD 2. Tính I = . ∫ 2 x− x − 6 cot x VD 5. Tính I= dx . ∫ 2 sin4 x + 3 Toán cao c p C1 Đi h c 12
13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s     tan x π  2 1  1 VD 6. Tính I= dxx, ∈  0; . = + dx =ln2x +− 1 + C . ∫   ∫  2  cosx cos2 x + 1 2  2x + 1 (2x + 1)   2(2x + 1) b) Một số d ạng tích phân hữu t ỉ (tham kh ảo) αx + β  Dạng 2: I= dxa, ≠> 0, 0. αx + β ∫ ax2 + bx + c  Dạng 1: I= dxa, ≠ 0. ∫ 2   (ax+ b ) 1 p q  Cách giải. Bi ến đổ i I= +  dx , ∫     a xx−1 xx − 2  p q  Cách gi ải. Bi ến đổ i I= +  dx . ∫  2  (x1, x 2 là nghi ệm c ủa m ẫu th ức). ax+ b (ax+ b )   32x+ 1 32 x + VD 8. dx= dx 4x+ 3 2(2 x + 1) + 1 ∫2 ∫   VD 7. dx= dx 2x+ 3 x − 5 2  5 ∫4x2 + 4 x + 1 ∫ (2 x + 1) 2 (x− 1)  x +   2 
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s   2x − 1 2 32x +  51111  =dx + dx . =∫dx = ∫  . + .  dx ∫2 ∫ 2 (xx−+ 1)(2 5) 7 x − 1 7 2 x + 5  (2x−+ 1) 4 (2 x −+ 1) 4 5 11 I I =lnx −+ 1 ln 2 x ++ 5 C . 1 2 7 14 1d [(2 x − 1)2 + 4] 1 • I= =ln[(2 x −++ 1)2 4] C . 1 ∫ 2 αx + β 4(2x − 1) + 4 4  Dạng 3: I= dxa, ≠< 0, 0.   ∫ 2 2x − 1  ax+ bx + c d   1 2  121x −    • I = =arctan   + C .  X p  2 ∫ 2   Cách gi ải. Bi ến đổ i I=  +  dx . 2  2 2   ∫  2 2  2x − 1  X+γ X +γ   1 +    2  2x + 1 (2x − 1) + 2 VD 9. I= dx = dx 1 121x −  ∫2 ∫ 2 2   4x−+ 4 x 5 (2 x −+ 1) 4 Vậy Ixx=ln4 −++ 4 5 arctan   + C . 4( ) 2 2 
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s  Dạng 4. Tích phân hàm h ữu t ỉ b ậc cao 111  1x − 1 Vậy I=−−+  dx =+ln + C . Cách gi ải. Bi ến đổ i hàm d ướ i d ấu tích phân v ề các  2 ∫ x xx−1  x x phân th ức t ối gi ản. x2 +4 x + 4 dx VD 11. Tính I= dx . VD 10. Tính I = . ∫ 2 ∫ x2( x − 1) x( x − 1) xx2 +4 + 4 AB C Gi ải. Ta có: = + + . 1 A B C 2 2 Gi ải. Ta có: = + + x( x− 1)x x −1 ( x − 1) 2 2 x( x− 1) x x x −1 Đồng nh ất các h ệ s ố, ta đượ c: A=4, B =− 3, C = 9 . (B+ Cx )(2 +− A Bx ) − A = . dx dx dx x2( x − 1) Vậy I =4 − 3 + 9 ∫x ∫ x −1 ∫ (x − 1) 2 Đồ ng nh ất các h ệ s ố, ta được: 9 A=−1, B =− 1, C = 1 . =4 lnx − 3 ln x −− 1 + C . x −1 Toán cao c p C1 Đi h c 13
14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 2  x − 3  c) Tích phân hàm lượ ng giác VD 12. Tính I=   dx . ∫  3  I= R(sin x ,cos xdx ) . x−7 x + 6  Cách gi ải ∫ x2−3 x 2 − 3 Gi ải. Ta có: = • Nếu R(− sin xx ,cos ) = − Rxx (sin ,cos ) ( ngh ĩa là b ậc 3 x−7 x + 6 (x− 1)( x − 2)( x + 3) của sin lẻ) thì ta đặ t t= cos x . A B C • Nếu Rx(sin ,− cos x ) = − Rxx (sin ,cos ) (ngh ĩa là b ậc = + + . x−1 x − 2 x + 3 của cosin lẻ) thì ta đặ t t= sin x . 1 1 3 • N ếu R(− sin x , − cos xRxx ) = (sin ,cos ) (ngh ĩa là b ậc Đồng nh ất các h ệ s ố, ta đượ c: A=, B = , C = . 2 5 10 của sin và cosin ch ẵn) thì ta đặ t t= tan x ho ặc h ạ b ậc. 1dx 1 dx 3 dx 1 Vậy I = + + • N ếu R(sin x , cos x ) = thì ta đặ t: 2∫x− 15 ∫ x − 210 ∫ x + 3 asin xb+ cos xc + 2 1 1 3 x2 t 1 − t =lnx −+ 1 ln x −+ 2 ln xC ++ 3 . t=⇒=tan sin x , cos x = . 2 5 10 2 1+t2 1 + t 2
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s VD 13. Tính I= ∫ sin3 2 x cos 2 xdx . VD 16. Tính I= ∫ xln xdx . dx x VD 14. Tính I = . VD 17. Tính I= dx . ∫ 2 2 ∫ x sinx+ sin 2 x − cos x 2 dx VD 15. Tính I = ∫ . Chú ý 4sinx+ 3cos x + 5 Đố i v ới nhi ều tích phân khó thì ta ph ải đổ i bi ến tr ướ c khi lấy t ừng ph ần. 1.3. Ph ươ ng pháp tích phân từng ph ần a) Công th ức VD 18. Tính I= ∫ cos 3 x e sin x dx . ∫uxvxdx()()′= uxvx ()() − ∫ uxvxdx ′ ()() 3 hay ∫udv= uv − ∫ vdu . VD 19. Tính I= ∫ cos xdx .
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s ĐỊ VD 20. Tính I= cos(ln x ) dx . §2. TÍCH PHÂN XÁC NH ∫ 2.1. Đị nh ngh ĩa. Cho hàm s ố f( x ) xác đị nh trên [a ; b ] . b) Các d ạng tích phân t ừng ph ần th ườ ng g ặp Ta c hia đoạn [a ; b ] thành n đoạn nh ỏ b ởi các điểm chia xax=<<< xn < xb n = . • Đố i v ới dạng tích phân ∫ Pxe( ) αx dx , P( x ) là đa th ức, 0 1− 1 Lấy điểm ξk ∈ [x k ; x k ] tùy ý (k= 1, n ). thì ta đặ t: −1 n Lập t ổng tích phân: σ=f()( ξ x − x ) . u= Px( ), dv = eαx dx . ∑ k k k −1 k=1 α Gi ới h ạn h ữu h ạn (n ếu có) I =lim σ đượ c g ọi • Đố i v ới dạng tích phân Px( )ln xdx , max(x− x ) → 0 ∫ k k k −1 P( x ) là đa th ức, thì ta đặ t: là tích phân xác đị nh c ủa f( x ) trên đoạn [a ; b ] . b α u=ln, xdv = Pxdx (). Ký hi ệu là I= ∫ f( x ) dx . a Toán cao c p C1 Đi h c 14
15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s Tính ch ất b b b b 6) fx()≤ gx (), ∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≤ ∫ gxdx () 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdx (), k ∈ ℝ a a a a b b b b b 7) a 0 . x2 2 x ∫ + cos 0 1 2 2 VD 2. Giá tr ị trung bình c ủa hàm s ố f( x ) = trên [1;e ] Ta có : f( t ) = e t và ϕ′()x = fx () = e x . x 2 e x 1dx 1 3 là = . VD 4. Cho ϕ(x ) = t ln tdtx , > 0 . Tìm ϕ′(x ) . e∫ x e ∫ −11 − 1 1
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s b) Công th ức Newton – Leibnitz 3) f( x ) liên t ục và ch ẵn trên [−α ; α ] thì: N ếu f( x ) liên t ục trên [a ; b ] và F( x ) là m ột nguyên hàm α α x fxdx fxdx . tùy ý của f( x ) thì ϕ()x = ftdt () và Fx( )= ϕ ( x )+ C ∫()= 2 ∫ () ∫ −α 0 a b là nguyên hàm c ủa f( x ) trên [a ; b ] . 4) Để tính f( x ) dx ta dùng b ảng xét d ấu c ủa f( x ) để b ∫ b a Vậy ta có: fxdx()= Fx () = Fb () − Fa (). ∫ a tách f( x ) thành t ổng c ủa các hàm trên m ỗi đoạn nh ỏ. a Nh ận xét Đặc bi ệt 1) Có hai ph ươ ng pháp tính tích phân nh ư §1. b b α ∫fxdx()= ∫ fxdx () n ếu fx()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . 2) f( x ) liên t ục và lẻ trên [−α ; α ] thì ∫ f( x ) dx = 0 . a a −α Toán cao c p C1 Đi h c 15
16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 3 dx §3. ỨNG D ỤNG C ỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH VD 5. Tính I = . 3.1. Tính di ện tích S của hình ph ẳng ∫ x2 −2 x + 5 1 a) Biên hình ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trình t ổng quát e (x2 + 1)ln x VD 6. Tính I= dx . ∫ x 1 1 S S VD 7. Tính I=∫ x2 + 1.sin 3 xdx . −1 3 b d 3 VD 8. Tính I= x − 4 xdx . S= fx() − fxdx ()  S= gy() − gydy ()  ∫ ∫ 2 1  ∫ 2 1  −3 a c
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s VD 1. Tính di ện tích hình ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 3. Tính di ện tích hình ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x x các đườ ng y= x 2 và y= x 4. các đườ ng y= e − 1, y= e 2 − 3 và x = 0. 1 2 1 ln 4− 1 1− ln 2 1 A. S = ; B. S = A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − 15 15 2 2 2 2 4 8 C. S = ; D. S = . b) Biên hình ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trình tham s ố 15 15 Hình ph ẳng gi ới h ạn b ởi đườ ng cong có ph ươ ng trình x= xt(), y = yt () v ới t ∈[ α ; β ] thì: β S= ∫ ytxtdt( ).′ ( ) . VD 2 . Tính di ện tích hình ph ẳng S α gi ới h ạn b ởi x= y 2 và y= x − 2. x2 y 2 VD 4. Tính di ện tích hình elip S :+ ≤ 1 . a2 b 2
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 3.2. Tính độ dài l c ủa đườ ng cong b) Đườ ng cong có ph ươ ng trình tham s ố a) Đườ ng cong có ph ươ ng trình t ổng quát Cho cung AB có phươ ng trình tham s ố  x= x( t ) Cho cung AB có ph ươ ng trình y= fx(), x ∈ [;] ab thì:  ,t ∈ [;] α β thì: y = y( t ) b  2 β l =1 + [()] fxdx′ . AB ∫ 2 2 a l =[ xt′ ()] + [ ytdt ′ ()] . AB ∫ α x 2 VD 5. Tính độ dài cung parabol y = từ gốc t ọa độ VD 6 . Tính độ dài cung C có ph ươ ng trình : 2  x= t 2 + 1 1     O(0; 0) đế n điểm M 1; .    ,t ∈ 0; 1 .    2    2  y=ln t + t + 1     Toán cao c p C1 Đi h c 16
17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 3.3. Tính th ể tích v ật th ể tròn xoay b ) Vật th ể quay quanh Oy a) Vật th ể quay quanh Ox Th ể tích V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi Th ể tích V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x= g( y ) , x = 0, y= c và y= d quay quanh Oy là: y= fx(), y = 0 , x= a , x= b quay quanh Ox là: d b V= π [()] gydy2 . 2 ∫ V= π ∫ [()] f x dx . c a VD 9. Tính th ể tích V do hình ph ẳng S gi ới h ạn bởi y=2 x − xy2 , = 0 VD 7. Tính th ể tích V do hình ph ẳng S gi ới h ạn b ởi quay xung quanh Oy. y=ln x , y = 0 , x=1, x = e quay xung quanh Ox . Gi ải. Ta có : 2 2  x y 2 x=+1 1 − y , x ≥ 1 VD 8. Tính V do ():E + = 1 quay quanh Ox . y=2 x − x ⇔  . 2 2 x=−1 1 − y , x 1 sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). =lim()b − 1 = α − 1 1 − α b→+∞  + ∞, α < 1.  Toán cao c p C1 Đi h c 17
18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 1 • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( −∞ ) , ta dùng công th ức: Vậy: • Với α > 1: I = (h ội t ụ). x →−∞ α − 1 b • Với α ≤ 1: I = +∞ (phân k ỳ). b fxdx()= Fx () 0 ∫ . dx −∞ VD 2. Tính tích phân I = . −∞ ∫ 2 • Tươ ng t ự: −∞ (1− x ) +∞ +∞ dx +∞ VD 3. Tính tích phân I = . fxdx()= Fx () . ∫ 2 ∫ −∞ 1 + x −∞ Chú ý −∞ 4.1.2. Các tiêu chu ẩn h ội t ụ • N ếu t ồn t ại limF ( x )= F ( +∞ ) , ta dùng công th ức: x→+∞ a) Tiêu chu ẩn 1. Nếu 0≤fx () ≤ gx (), ∀ x ∈ [; a +∞ ) +∞ +∞ +∞ +∞ fxdx()= Fx () . và g( x ) dx h ội t ụ thì f( x ) dx h ội t ụ. ∫ a ∫ ∫ a a a
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s • Các tr ườ ng h ợp khác t ươ ng t ự. c) Tiêu chu ẩn 3 +∞ • Cho fx( ), gx ( ) liên t ục, luôn d ươ ng trên [a ;+∞ ) 10 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa tích phân I= e−x dx . f( x ) ∫ và lim = k . Khi đó: 1 x→+∞ g( x ) b) Tiêu chu ẩn 2 +∞ +∞
    Nếu 0 3; B. α > ; C. α > 2; D. α > . 1 2 2 Chú ý • N ếu fx()∼ gx ()( x → +∞ ) thì +∞ (x2 + 1) dx +∞ +∞ VD 9. Điều kiện c ủa α để I = h ội t ụ? f( x ) dx và g( x ) dx có cùng tính ch ất. ∫ xα x 4 ∫ ∫ 1 2+ − 3 a a Toán cao c p C1 Đi h c 18
19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 4.2. Tích phân suy r ộng loại 2 • Định nghĩa tươ ng t ự: b b Đị ĩ 4.2.1. nh ngh a fxdx()= lim fxdx () (suy r ộng t ại a ); • Cho hàm s ố f( x ) xác đị nh trên [a ; b ) và không xác đị nh ∫ε→0 ∫ a a +ε tại b, khả tích trên m ọi đoạn [a ; b −ε ] ( ε> 0) . b b −ε fxdx()= lim fxdx () (suy r ộng t ại a , b ). b−ε ∫ε→0 ∫ Gi ới h ạn (n ếu có) c ủa f( x ) dx khi ε → 0 đượ c g ọi là a a +ε ∫ • N ếu các gi ới h ạn trên t ồn t ại h ữu h ạn thì ta nói tích phân a hội t ụ, ng ượ c l ại là tích phân phân k ỳ. tích phân suy r ộng loại 2 c ủa f( x ) trên [a ; b ) . b dx Ký hi ệu: VD 10. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa I=, b > 0 . ∫ x α b b −ε Gi ải. • Tr ườ ng h ợp α = 1: 0 fxdx( )= lim fxdx ( ) . b ∫ε→0 ∫ dx b  a a  I=lim = lim ln x = ln b − lim ln ε = +∞. ε→0+∫ x ε→ 0 +  ε   ε→ 0 + ε
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s 1 • Tr ườ ng h ợp α khác 1: 3 b b 3dx b  VD 11. Tính tích phân I = . dx −α1  1 −α  ∫ I=lim = lim xdx = lim  x  1− 9 x 2 ε→0∫x α ε→ 0 ∫ 1 − α ε→ 0  ε   1 ε ε 6  1−α  b π π π 1 1−α 1 −α  ,α 1.  e dx Vậy VD 12. Tính tích phân I = ∫ . 1−α 3 2 b 1 x. ln x
    Với α − ; D. α ∈ ℝ. 1 2 2 2 Toán cao c p C1 Đi h c 19
20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Ph ép tính tích phân hàm mt bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s   §1. Khái ni ệm c ơ b ản I → −∞(phaân ky ø ) I → +∞(phaân ky ø ) §2. Đạo hàm riêng – Vi phân 2)  1 ho ặc  1 I ≤ 0 I ≥ 0 §3. C ực tr ị c ủa hàm hai bi ến  2  2 §4. Tích phân b ội hai (tích phân kép)   . thì I phân k ỳ. §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN I phaân ky ø I phaân ky ø  1 → −∞( )  1 → +∞( ) 1.1. Các định ngh ĩa 3)  ho ặc  I > 0 I 0 đượ c • Mi ền liên thông có biên là 1 đườ ng cong kín đượ c g ọi gọi là m ột lân c ận c ủa điểm M . M là mi ền đơ n liên (hình a) ; có biên là nhi ều đườ ng cong Ngh ĩa là: kín r ời nhau là mi ền đa liên (hình b). 2 2 Mxy000(,)(,)∈ SM ε⇔ ( xx − 0 )( +− yy 0 ) <ε . c) Hàm s ố hai bi ến s ố • Trong m ặt ph ẳng Oxy cho t ập D ⊂ ℝ2. Tươ ng ứng f: D → ℝ cho t ươ ng ứng m ỗi (x , y ) ∈ D b) Lân c ận c ủa m ột điểm với m ột giá tr ị z= fxy( , ) ∈ ℝ duy nh ất đượ c g ọi là • Kho ảng cách gi ữa 2 điểm M1( x 1 , y 1 ) , M2( x 2 , y 2 ) là: hàm s ố hai bi ến số x, y .
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s • T ập D ⊂ ℝ2 đượ c g ọi là mi ền xác đị nh (MX Đ) c ủa h àm §2. ĐẠ O HÀM RIÊNG – VI PHÂN số, ký hi ệu Df . Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố là: 2.1. Đạ o hàm riêng a) Đạ o hàm riêng c ấp 1 G== z fxy(,) ∈ℝ (,) xy ∈ D f . { } • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên mi ền m ở D ⊂ ℝ2 Chú ý ch ứa điểm M( x , y ) . Cố đị nh y , n ếu hàm s ố f( x , y ) • Trong tr ườ ng h ợp xét hàm s ố f( x , y ) mà không nói gì 0 0 0 0 0 có đạ o hàm tại x thì ta g ọi đạ o hàm đó là đạ o hàm riêng thêm thì ta hi ểu MX Đ c ủa hàm s ố là t ập t ất c ả các điểm 0 theo bi ến x của hàm s ố f( x , y ) t ại (x , y ) . M( x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f( x , y ) có ngh ĩa. 0 0 ∂f • Hàm có nhi ều h ơn hai bi ến đượ c đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. Ký hi ệu: f( x , y ) hay f/( x , y ) hay (x , y ). x 0 0 x 0 0 ∂x 0 0 1.2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố hai bi ến s ố ( xem giáo trình ) / fxy(, 0 )− fx ( 0 , y 0 ) Vậy fx ( x0 , y 0 )= lim . x→ x 1.3. Hàm s ố liên t ục (xem giáo trình) 0 x− x 0 Toán cao c p C1 Đi h c 20
21. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s • T ươ ng t ự, đạ o hàm riêng theo bi ến y t ại (x , y ) là: x 2 + 1 0 0 VD 2. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = ln . x2+ y 2 + 1 / fx(0 , y)− fx ( 0 , y 0 ) fy ( x , y )= lim . 0 0 y→ y 0 y− y 0 x VD 3. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = cos t ại (π ; 4) . Chú ý y ∂f df x f / • Nếu f( x ) là hàm s ố một bi ến thì x = = . 2 ∂x dx VD 4. Tính các đạ o hàm riêng c ủa fxyz(,,)= ex y sin z . • Hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. VD 1. Tính các đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố: fxy(,)=− x4 3 xy 32 + 2 y 3 − 3 xy tại (− 1; 2) . b) Đạ o hàm riêng cấp cao / / • Đạo hàm riêng (n ếu có) c ủa hàm s ố fx ( x , y ) , fy ( x , y ) đượ c g ọi là các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa f( x , y ) .
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s Ký hi ệu: VD 5. Tính các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố:   2 3y 23 4 // ∂ ∂f ∂ f fxy( , ) = xe + xy − y t ại (− 1; 1) . f2 == f f =  = , x xx() x x   2 ∂x ∂ x  ∂x 5 4 45 2 VD 6. Cho hàm s ố fxy( , ) = x + y − xy . // ∂ ∂f  ∂ f f== f f =  = , (5) y2 yy( y )   2 Giá tr ị c ủa đạ o hàm riêng cấp năm f (1;− 1) là: y ∂y ∂ y   ∂y x3 y 2 (5) (5) ∂ ∂f  ∂ 2 f A. f (1;− 1) = 480 ; B. f (1;− 1) = − 480 ; f// f f   , x3 y 2 x3 y 2 xy== xy() x =  = y ∂y ∂ x  ∂∂ yx (5) (5) C. f 3 2 (1;− 1) = 120 ; D. f 3 2 (1;− 1) = − 120 .   2 x y x y // ∂ ∂f ∂ f fyx== f yx( f y ) =  = . x ∂x ∂ y  ∂∂ xy • Đị nh lý Schwarz N ếu hàm s ố f( x , y ) có các đạ o hàm riêng f//, f // liên • Hàm s ố nhi ều h ơn 2 bi ến và đạ o hàm riêng c ấp cao h ơn xy yx 2 // // 2 có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. tục trong mi ền mở D ⊂ ℝ thì fxy= f yx .
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s VD 7. Đạ o hàm riêng z(m+ n ) ( m ≥ 2) c ủa z= e 2x− y là: b) Đị nh nghĩa xm−2 y n x 2 • Nếu trong lân c ận S( M ,ε ) v ới s ố gia x , y mà s ố A. (− 1)nmn 2 +e2 xy − ; B. (− 1)mmn 2 +e2 xy − ; 0 gia f t ươ ng ứng có th ể vi ết đượ c d ướ i d ạng C. (− 1)m 2 me2 xy− ; D. (− 1)n 2 me2 xy− . =++fAxByOrr. .( ) , = ()() x2 + y 2 2.2. Vi phân trong đó A, B là nh ững s ố ch ỉ ph ụ thu ộc vào điểm 2.2.1. Vi phân c ấp 1 M( x , y ) và hàm f( x , y ) , không ph ụ thu ộc x, y a) Số gia của hàm số 0 0 0 thì đạ i l ượ ng A. x + B . y đượ c g ọi là vi phân c ủa hàm • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trong lân c ận S( M 0 ,ε ) số f( x , y ) t ại điểm M0( x 0 , y 0 ) . Khi đó, f( x , y ) đượ c của điểm M0( x 0 , y 0 ) . Cho x m ột s ố gia x và y m ột M x y số gia y , khi đó hàm f( x , y ) có t ươ ng ứng s ố gia: gọi là kh ả vi t ại điểm 0( 0 , 0 ) . Ký hi ệu df= A. x + B . y . =f fx(0 + xy , 0 +− y ) fxy (, 00 ). Toán cao c p C1 Đi h c 21
22. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s Nh ận xét c) Đị nh lý • Xét nh ững điểm Mx(0+ xy , 0 + y ) d ịch chuy ển • N ếu hàm s ố f( x , y ) có các đạ o hàm riêng trong lân c ận trên đườ ng đi qua M song song Ox . Khi đó y = 0 : 0 nào đó c ủa (x0 , y 0 ) và các đạ o hàm riêng này liên t ục =f fx(0 + xy , 0)(, − fxy 00 ) =+ AxOx . () tại (x0 , y 0 ) thì f( x , y ) kh ả vi t ại (x0 , y 0 ) . f / ⇒lim =⇒=A A fxyx (,)0 0 . 2x− y 5 x → 0 x VD 8. Cho hàm fxy( , ) = xe − y . Tính df (1;− 1) . f / x2 − y 2 Tươ ng t ự, lim=B ⇒ B = fxyy (,)0 0 . VD 9. Tính vi phân c ấp 1 c ủa hàm ze= sin( xy ) . y →0 y / / Suy ra dfxy(, )= fxyx (, ). + x fxy y (, ). y . 2.2.2. VI PHÂN C ẤP CAO a) Vi phân c ấp 2 • Xét fxy(, )=⇒ x dfxy (,) =⇒ x dx = x . • Gi ả s ử f( x , y ) là hàm kh ả vi v ới x, y là các bi ến độ c T ươ ng t ự, dy= y . V ậy: lập. Các s ố gia dx= xdy, = y tùy ý độ c l ập v ới dfx(, y)= f/ (, x ydx) + f / (, x ydy). x y x, y nên đượ c xem là h ằng s ố đố i v ới x, y .
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s • Vi phân c ủa df( x , y ) đượ c g ọi là vi phân c ấp 2 c ủa b) Vi phân c ấp n n f( x , y ) . Ký hi ệu và công th ức: n dfn= dd n−1 f = Cf k( ) dxdy knk − . ( ) ∑ n xk y n− k df2= ddf = fdx′′ 2 +2 fdxdy ′′ + fdy ′′ 2 . k=0 ( ) x2 xy y 2 Trong đó f()n= f () n , f()n= f () n , Chú ý xn y0 x n x0 yn y n • Nếu x, y là các bi ến không độ c l ập (bi ến trung gian) dxn dy0 = dx n , dxdy0 n= dy n . x= x ( ϕ , ψ ) , y= y ( ϕ , ψ ) thì công th ức trên không còn VD 12. Tính vi phân c ấp 3 c ủa hàm s ố fxy( , ) = xy3 2 . đúng n ữa. Sau đây ta ch ỉ xét tr ườ ng h ợp x, y độ c l ập. VD 13. Tính vi phân d3 z c ủa hàm s ố z= e2x cos 3 y . VD 10. Cho hàm s ố fxy(,)= xy23 + xy 2 − 3 xy 35 . 2.3. Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn (hai bi ến) • Hàm z( x , y ) xác đị nh trên D ⊂ ℝ2 th ỏa ph ươ ng trình Tính vi phân cấp hai df 2(2;− 1) . z Fxyzxy(,,(,))= 0, ∀ (,) xy ∈⊂ D D (*) đượ c g ọi là 2 z VD 11. Tính vi phân c ấp 2 c ủa hàm fxy(, )= ln( xy ) . hàm s ố ẩn hai bi ến xác đị nh b ởi (*) .
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s Gi ả s ử các hàm trên đề u kh ả vi, đạ o hàm 2 v ế (*) ta đượ c: §3. C ỰC TR Ị C ỦA HÀM HAI BI ẾN S Ố / // / // 3.1. Đị nh ngh ĩa Fx+ Fz zx. = 0, F y + Fz zy . = 0 . • Hàm s ố z= fxy( , ) đạ t cực tr ị th ực s ự t ại M0( x 0 , y 0 ) / F / /F /y / nếu v ới m ọi điểm M( x , y ) khá g ần nh ưng khác M thì zx z F 0 V ậy x=−, y =−() z ≠ 0 . F/ F / z z hi ệu f = fxy(,) − fx (,0 y 0 ) có d ấu không đổ i. • N ếu f > 0 thì f( x0 , y 0 ) là giá tr ị cực ti ểu và M0 là VD 14. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình: điểm c ực ti ểu c ủa z= fxy( , ) . xyz=cos( x + y + z ) . Tính z/, z / . x y • N ếu f < 0 thì f( x0 , y 0 ) là giá tr ị cực đạ i và M0 là điểm c ực đạ i c ủa z= fxy( , ) . VD 15. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình m ặt c ầu:   2 2 2 2 y 3 y VD 1. Hàm s ố fxy( , ) = x +− y xy =− x  + 2 2 2 / 2  4 xyz+ + −2 x + 4 yz − 6 −= 20 . Tính zy . ⇒fxy(, ) ≥∀ 0, (, xy ) ∈ ℝ 2 nên đạ t c ực ti ểu t ại O (0; 0) . Toán cao c p C1 Đi h c 22
23. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s 3.2. Đị nh lý Khi đó: a) Điều ki ện c ần  2 AC− B > 0 • N ếu hàm s ố z= fxy( , ) đạ t c ực tr ị t ại M( x , y ) và • N ếu  ⇒ f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M . 0 0 0  A > 0 0 tại đó hàm s ố có đạ o hàm riêng thì:   2 fxy/(,)= fxy / (,) = 0. AC− B > 0 x00 y 00 • N ếu  ⇒ f( x , y ) đạ t c ực đạ i t ại M .  A 0, y > 0) . x y ϕ(,x y ) = 0 . Kh ẳng đị nh đúng là: • Để tìm c ực tr ị có điều ki ện c ủa hàm s ố f( x , y ) ta dùng A. z đạ t c ực ti ểu t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực ti ểu z = 39 . ph ươ ng pháp kh ử ho ặc nhân t ử Lagrange . B. z đạ t c ực ti ểu t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực ti ểu z = 30 . a) Ph ươ ng pháp kh ử C. z đạ t c ực đạ i t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực đạ i z = 39 . • Từ ph ươ ng trình ϕ(,x y ) = 0 ta rút x ho ặc y th ế vào D. z đạ t c ực đạ i t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực đạ i z = 30 . f( x , y ) , sau đó tìm c ực tr ị của hàm m ột bi ến. Toán cao c p C1 Đi h c 23
24. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s 2 VD 7. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm z= x y th ỏa điều kiện: • Bướ c 3. Tính vi phân c ấp 2 t ại M0( x 0 , y 0 ) ứng v ới λ0 : x− y +3 = 0 . dLM2()= Ldx// 2 + 2 Ldxdy // + Ldy // 2 . 0 x2 xy y 2 b) Ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange f / f / Các vi phân dx, dy ph ụ thu ộc vào điều ki ện ràng bu ộc: Tại điểm c ực tr ị x y c ủa f , g ọi x y là ( , ) λ=− =−  / / ϕ/ ϕ / dxyϕ(,) =ϕ (,) xydx +ϕ (,) xydy = 0(1) x y  00x 00 y 00 nhân t ử Lagrange . Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:  (dx )2+ ( dy ) 2 > 0 (2).  • Bướ c 1. L ập hàm ph ụ ( hàm Lagrange ): • Bướ c 4. Từ điều ki ện ràng bu ộc (1) và (2), ta có: Lxy(,,)λ = fxy (,) + λϕ (,). xy 2
    Nếu d L( M 0 )> 0 thì f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M0. / / / • Bướ c 2. Gi ải h ệ: L=0, L = 0, L = 0 2 f x y x y λ
    Nếu d L( M 0 )< 0 thì ( , ) đạ t c ực đạ i t ại M0. 2 ⇒ điểm d ừng M0( x 0 , y 0 ) ứng v ới λ0.
    Nếu d L( M 0 )= 0 thì M0 không là điểm c ực tr ị.
    Ch ươ ng 4. Hàm s nhi u bi n s
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai VD 8. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm s ố fxy(, )= 2 x + y §4. TÍCH PHÂN B ỘI HAI với điều ki ện x2+ y 2 = 5. 4.1. Đị nh ngh ĩa • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên mi ền D đóng và b ị ch ặn trong mp Oxy . Chia mi ền D m ột cách tùy ý thành VD 9. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm z= xy th ỏa điều ki ện n ph ần không d ẫm lên nhau, di ện tích m ỗi ph ần là Si , x2 y 2 + = 1. i= 1; n . Lấy n điểm tùy ý Mxy( ; ) ∈ S . 8 2 iii i n . Khi đó, ∑ fx(i ; y i ) S i đượ c g ọi là tổng tích phân c ủa i=1 f( x , y ) trên D ( ứng v ới phân ho ạch Si và các điểm ch ọn Mi ).
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai n • N ếu t ồn t ại f( x , y ) dxdy , ta nói f( x , y ) kh ả tích trên • Nếu gi ới h ạn I=lim fxyS (i , i ) i tồn t ại h ữu ∫∫ maxd → 0 ∑ i i=1 D mi ền l ấy tích phân D ; f( x , y ) là hàm d ướ i d ấu tích hạn, không ph ụ thu ộc vào phân ho ạch Si và cách ch ọn phân; x, y là các bi ến tích phân. điểm Mi thì s ố th ực I đượ c g ọi là tích phân b ội hai c ủa hàm s ố f( x , y ) trên mi ền D . Ký hi ệu là I= ∫∫ f( x , y ) dS . 4.2. Tính ch ất c ủa tích phân bội hai D Gi ả s ử các tích phân d ướ i đây đề u t ồn t ại. • Chia mi ền D b ởi các đườ ng th ẳng song song v ới Ox , • Tính ch ất 1 Oy ta đượ c S = x. y hay dS= dxdy . f(,) x y dxdy= f (,) u v dudv . i i i ∫∫ ∫∫ Vậy I=∫∫ fxydS(,) = ∫∫ fxydxdy (,) . D D D D Toán cao c p C1 Đi h c 24
25. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai • Tính ch ất 2 4.3. Tính tích phân bội hai bằng tích phân l ặp ∫∫[(,)fxy± gxydxdy (,)] = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; 4.3.1. Xác đị nh mi ền l ấy tích phân D D D ∫∫kfxydxdy(,)= k ∫∫ fxydxdy (,) , k ∈ ℝ. D D • Tính ch ất 3 Nếu chia mi ền D thành D1, D 2 b ởi đườ ng cong có di ện tích b ằng 0 thì: fxydxdy(,)= fxydxdy (,) + fxydxdy (,) . a≤ x ≤ b ,  xy x xy  ∫∫ ∫∫ ∫∫   1( )≤ ≤ 2 ( ),  D D D D =   D =   1 2 yx()≤ y ≤ yx ().  c≤ y ≤ d .  1 2   
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai VD 1. Xác đị nh mi ền l ấy tích phân D gi ới h ạn b ởi: VD 2. Xác đị nh mi ền l ấy tích phân D gi ới h ạn b ởi y=0, y = 2 xxa , => 0 . các đườ ng yx= −4, y2 = 2 x .
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai 4.3.2. Tính tích phân l ặp Chú ý  Nếu mi ền D là hình ch ữ nh ật, D=[; ab ] × [; cd ] thì: • Gi ả s ử tích phân I= f( x , y ) dxdy t ồn t ại, v ới ∫∫ bd db D I= dx fxydy(,) = dy fxydx (,). D={(,): xya ≤≤ xbyx , 1() ≤≤ yyx 2 ()} ∫∫ ∫∫ ac ca b y2( x )  Nếu D={(,): xya ≤≤ xbyx , 1() ≤≤ y yx 2 ()} thì: I= dx fxydy(,) . y( x ) ∫ ∫ b 2 a y( x ) 1 và fxy(, )= uxvy ().() thì: I= uxdx() vydy (). ∫ ∫ a y1( x ) • N ếu D={(,):() xyxy1 ≤≤ x xycyd 2 (), ≤≤ } Tươ ng t ự, D={(,):() xyxy1 ≤≤ x xycyd 2 (), ≤≤ } d x2( y ) x( y ) t hì: I= dy fxydx(,) . d 2 ∫ ∫ thì: I= vydy() uxdx (). c x1( y ) ∫ ∫ c x1( y ) Toán cao c p C1 Đi h c 25
26. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Hàm nhi u bi n - Tích phân bi hai
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân  Nếu D là mi ền ph ức t ạp thì ta chia D ra thành nh ững §1. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 mi ền đơ n gi ản. §2. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 VD 3. Tính tích phân I xy2 dxdy . = ∫∫ 6 §1. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I D Trong đó, D =[0; 2] × [ − 1; 1] . 1.1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề phươ ng trình vi phân c ấp 1 • Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 là ph ươ ng trình có d ạng VD 4. Tính tích phân I=∫∫ (2 x + ydxdy ) . tổng quát F(,, x y y ′ )= 0 (*). Nếu t ừ (*) ta gi ải đượ c D theo y′ thì (*) tr ở thành y′ = fxy( , ) . Trong đó, Dyx={ ≤≤− 1 y , −≤≤ 2 y 0} . • Nghi ệm c ủa (*) có d ạng y= y( x ) ch ứa h ằng s ố C đượ c gọi là nghi ệm t ổng quát . Khi th ế điều ki ện y0= y( x 0 ) VD 5. Tính tích phân I= ∫∫ ydxdy , trong đó mi ền D cho tr ướ c (th ườ ng g ọi là điều ki ện đầ u) vào nghi ệm D tổng quát ta đượ c giá tr ị C c ụ th ể và nghi ệm lúc này 2 0 gi ới h ạn b ởi các đườ ng yx= +2, yx = . đượ c g ọi là nghi ệm riêng c ủa (*).
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân VD 1. Cho phươ ng trình vi phân y′ − x = 0 (*). • Nghi ệm thu đượ c tr ực ti ếp t ừ (*) và không th ỏa nghi ệm x 2 tổng quát đượ c g ọi là nghi ệm k ỳ d ị c ủa (*) ( trong Xét hàm số y= + C , ta có: ch ươ ng trình, ta không xét nghi ệm k ỳ d ị). 2 y′ − x = 0 thỏa phương trình (*). 1.2. M ột s ố ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 c ơ b ản x 2 1.2.1. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 với bi ến phân ly Suy ra y= + C là nghiệm tổng quát của (*).
    Phươ ng trình vi phân với bi ến phân ly có d ạng: 2 f( xdx )+ gydy ( ) = 0 (1). x 2 Th ế x=2, y = 1 vào y= + C , ta đượ c: 2
    Ph ươ ng pháp gi ải L ấy tích phân hai v ế của (1) ta đượ c nghi ệm t ổng quát: x 2 C=−⇒1 y = − 1 là nghiệm riêng của (*) ứng với fxdx()+ gydy () = C . 2 ∫ ∫ y xdx ydy điều kiện đầu (2)= 1 . VD 2. Gi ải phươ ng trình vi phân + = 0. 1+x2 1 + y 2
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân VD 3. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = xyy( + 2) . Ch ẳng h ạn, hàm số: x− y f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 0, VD 4. Gi ải ptvp xy2(+ 1) dx +− ( x 3 1)( y − 1) dy = 0 . 2x+ 3 y 4x2 + 3 xy f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 1, 1 VD 5. Gi ải ptvp xy′ + y = y 2 th ỏa điều ki ện y(1) = . 5x− y 2 fxy(,)= 3 x2 − 2 xy là đẳ ng c ấp b ậc 2. 1.2.2. Ph ươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp c ấp 1 b) Ph ươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp a) Hàm đẳ ng c ấp hai bi ến s ố • Phươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp cấp 1 có d ạng: • Hàm hai bi ến f( x , y ) đượ c g ọi là đẳ ng c ấp b ậc n n ếu y′ = fxy( , ) (2). với m ọi k > 0 thì fkxky(,)= kn fxy (,) . Trong đó, f( x , y ) là hàm số đẳ ng c ấp b ậc 0. Toán cao c p C1 Đi h c 26
27. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Ph ươ ng pháp gi ải 1.2.3. Ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần   y  • Cho hai hàm s ố Pxy(, ), Qxy (, ) và các đạ o hàm riêng Bướ c 1. Bi ến đổ i (2) ⇔y′ = ϕ  . x   của chúng liên t ục trong mi ền m ở D , th ỏa điều ki ện y Q/ P / xy D . Nếu t ồn t ại hàm u x y sao cho Bướ c 2. Đặ t u= ⇒ y′ = u + xu ′ . x= y , ∀ (, ) ∈ ( , ) x du dx duxy(,)= Pxydx (,) + Qxydy (,) Bướ c 3. (2)⇒+u xu′ =ϕ⇒ ( u ) = thì phươ ng trình vi phân có d ạng: ϕ(u ) − u x Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 (3) (ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) ( đây là ptvp có bi ến phân ly). đượ c g ọi là p hươ ng trình vi phân toàn ph ần. x2− xy + y 2 VD 6. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = . xy • Nghi ệm t ổng quát c ủa (3) là uxy( , ) = C . x+ y VD 7. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = Nhận xét x− y / / uxyx(,)= Pxy (,), uxy y (,) = Qxy (,) . với điều ki ện đầ u y(1)= 0 .
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Ph ươ ng pháp gi ải VD 8. Cho ph ươ ng trình vi phân: / / 2 2 Bướ c 1. T ừ (3) ta có ux = P (3 a) và uy = Q (3 b). (3y++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 6 xy 3) dy = 0 (*). 1) Ch ứng t ỏ (*) là phươ ng trình vi phân toàn ph ần. Bướ c 2. L ấy tích phân (3 a) theo bi ến x ta đượ c: 2) Gi ải p hươ ng trình (*). uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3 c). y Trong đó, C( y ) là hàm theo bi ến y . VD 9. Gi ải ptvp (x+− y 1) dx + ( e + xdy ) = 0 . Bướ c 3. Đạ o hàm (3 c) theo bi ến y ta đượ c: 1.2.4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 u/ / C′ y y= ϕ y + ( ) (3 d). • Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 có d ạng: y′ + pxy() = qx () (4). Bướ c 4. So sánh (3 b) và (3 d) ta tìm đượ c C( y ) . Thay C( y ) vào (3 c) ta đượ c u( x , y ) . • Khi q( x )= 0 thì (4) đượ c g ọi là p hươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 thu ần nh ất.
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Ph ươ ng pháp gi ải Chú ý (ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố Lagrange ) • Khi tính các tích phân trên, ta ch ọn h ằng s ố là 0. • Ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố là đi tìm nghi ệm −∫ p( x ) dx − p( x ) dx Bướ c 1. Tìm bi ểu th ức A( x ) = e . t ổng quát c ủa (4) d ướ i d ạng: y= Cxe( )∫ . ∫ p( x ) dx Bướ c 2. Tìm bi ểu th ức Bx()= ∫ qxe (). dx . VD 10. Trong ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố, ta đi tìm y nghi ệm t ổng quát c ủa y′ +2 = 4 x ln x d ướ i d ạng:   x Bướ c 3. Nghi ệm t ổng quát là y= AxBx() () + C  .   C( x ) C( x ) A. y = ; B. y = ; x 2 x 3 ∫ p( x ) dx q( x ) C( x ) C( x ) Nh ận xét . Bx( )= qxe ( ). dx = dx . C. y = ; D. y = − . ∫ ∫ A( x ) x x Toán cao c p C1 Đi h c 27
28. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân 2 Ph ươ ng pháp gi ải (với α khác 0 và 1) VD 11. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ − x y = 0 Bướ c 1. Với y ≠ 0, ta chia hai v ế cho yα: th ỏa điều ki ện y= − e 9. x=3 y′ y (5)⇒ +px ( ) = qx ( ) yα y α −sin x VD 12. Gi ải phươ ng trình y′ + ycos x = e . ⇒yy′ −α + pxy()1 −α = qx () . Bướ c 2. Đặ t zy=1−α ⇒ z′ =(1 −α ) yy ′ −α , ta được: 1.2.5. Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli (5)⇒z′ +−α (1 ) pxz ( ) = (1 −α ) qx ( ) • Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli có d ạng: (đây là phươ ng trình tuy ến tính c ấp 1). α y′ + pxy( ) = qxy ( ) (5). y 2 VD 13. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ + = xy x • Khi α = 0 ho ặc α = 1 thì (5) là tuy ến tính c ấp 1. với điều ki ện đầ u x=1, y = 1 . • Khi px()= qx () = 1 thì (5) là pt có bi ến phân ly. VD 14. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ −2 xy = xy3 4 .
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân §2. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP II 2.1.2. Ph ươ ng trình khuy ết y 2.1. Các d ạng ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 khuy ết • Phươ ng trình vi phân khuy ết y có d ạng: 2.1.1. Ph ươ ng trình khuy ết y và y’ y′′= fxy( , ′ ) (2). • Phươ ng trình vi phân khuy ết y và y′ có d ạng: Ph ươ ng pháp gi ải y′′ = f( x ) (1). Ph ươ ng pháp gi ải • Đặ t z= y ′ đư a (2) v ề ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp 1. • L ấy tích phân hai v ế (1) hai l ần: y′ y′′= fx() ⇒= y ′ fxdx () =ϕ+ () x C VD 3. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x − . ∫ 1 x ⇒=ϕy() xdxCx + =ψ+ () x CxC + . ∫ 1 1 2 y′ 2 VD 4. Gi ải pt vi phân y′′ − − x( x −= 1) 0 VD 1. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x . x −1 2x 7 3 với điều kiện y y ′ . VD 2. Gi ải ptvp y′′ = e v ới y(0)= − , y ′ (0) = . (2)= 1, (2) = − 1 4 2
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.1.3. Ph ươ ng trình khuy ết x 2.2. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 tuy ến tính • Phươ ng trình vi phân khuy ết x có d ạng: với h ệ s ố h ằng y′′= fyy( , ′ ) (3). 2.2.1. Ph ươ ng trình thu ần nh ất Ph ươ ng pháp gi ải • Phươ ng trình thu ần nh ất có d ạng: ′ ′′ ′ ℝ • Đặ t z= y ta có: y++= ay1 ay 20, ( aa 12 , ∈ ) (4). dz dz dy dz y′′=== z ′ . = z . Ph ươ ng pháp gi ải. Xét ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa (4): dx dy dx dy k2 + ak + a = 0 (5). Khi đó, (3) tr ở thành pt vp v ới bi ến s ố phân ly. 1 2
    Tr ườ ng h ợp 1 VD 5. Gi ải phươ ng trình vi phân (1−y ) y′′ + 2( y ′ )2 = 0 . Ph ươ ng trình (5) có hai nghi ệm th ực phân bi ệt k1, k 2 . kx kx VD 6. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ (1 − 2 y ) = 0 1 2 Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng y1= e, y 2 = e 1 kx kx với điều ki ện y(0)= 0, y ′ (0) = . và nghi ệm t ổng quát là y= Ce1 + Ce 2 . 2 1 2 Toán cao c p C1 Đi h c 28
29. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Tr ườ ng h ợp 2 VD 7. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ − 3 y = 0 . Ph ươ ng trình (5) có nghi ệm kép th ực k . Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng y= ekx, y = xe kx 1 2 ′′ ′ kx kx VD 8. Gi ải phươ ng trình vi phân y−6 y + 9 y = 0 . và nghi ệm t ổng quát là y= C1 e + C 2 xe .
    Tr ườ ng h ợp 3 VD 9. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ +16 y = 0 . Ph ươ ng trình (5) có hai nghi ệm ph ức liên h ợp k=α± i β . Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng: VD 10. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ + 7 y = 0 . αx α x ye1=cos β= xye , 2 sin β x và nghi ệm t ổng quát là: VD 11. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình: yeC=αx cos β+ xC sin β x . ( 1 2 ) y′′− y ′ + y = 0.
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.2.2. Ph ươ ng trình không thu ần nh ất VD 12. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′−2 y ′ + yx = ( a). • Phươ ng trình không thu ần nh ất có d ạng: ả y′′++= ay ′ ay fx( ), ( aa , ∈ ℝ) (6). Gi i. Xét ph ươ ng trình thu ần nh ất: 12 12 y′′−2 y ′ + y = 0 ( b). a) Ph ươ ng pháp gi ải t ổng quát 2 T a có: k−210 k += ⇔ k = 1 x x • N ếu (4) có hai nghi ệm riêng yx1( ), yx 2 ( ) thì (6) có ⇒y1 = e, y 2 = xe là 2 nghi ệm riêng c ủa ( b). y= Cxyx()() + Cxyx ()(). nghi ệm t ổng quát là 11 22 Suy ra, n ghi ệm t ổng quát c ủa ( a) có d ạng: y= Cxe().x + Cxxe (). x . • Để tìm C1( x ) và C2( x ) , ta gi ải h ệ Wronsky : 1 2 Cxyx′ Cxyx ′ Ta có h ệ Wronsky:  11()()+ 22 ()() = 0  eCxx′ xeC x ′ x Cxyx′′()() + Cxyx ′′ ()() = fx ().  .()1+ .() 2 = 0  11 22  eCxx.′ ()+ ( x + 1). eCx x ′ () = x  1 2
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Gi ải h ệ b ằng đị nh th ức Crammer, ta đượ c: b) CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI ĐẶ C BI ỆT  2 −x
    Ph ươ ng pháp c ộng nghi ệm Cx′( ) = − xe  1 • Đị nh lý C′( x ) = xe −x  2 Nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình không thu ần nh ất (6) b ằng tổng nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình thu ần Cx()= Cxdxex′ () =−x (2 +++ 22) x C nh ất (4) v ới 1 nghi ệm riêng c ủa (6).  1∫ 1 1 ⇒  VD 13. Cho ph ươ ng trình vi phân: Cx()= Cxdx′ () =− ex−x (1) ++ C .  2∫ 2 2 y′′−2 y ′ + 2 y = (2 + xe2 ) x (*). 2 x V ậy ph ươ ng trình ( a) có nghi ệm t ổng quát là: 1) Ch ứng t ỏ (*) có 1 nghi ệm riêng là y= x e . 2) Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa (*). y= Cex + Cxe x ++ x 2. 1 2 VD 14. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: yy′′+ ′ =2sin2 x + 4cos2 x , bi ết 1 nghi ệm riêng là y= − cos 2 x . Toán cao c p C1 Đi h c 29
30. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ph ươ ng pháp ch ồng ch ất nghi ệm
    Ph ươ ng pháp tìm nghi ệm riêng c ủa ph ươ ng trình • Đị nh lý vi phân tuy ến tính c ấp 2 v ới h ệ s ố h ằng Cho phươ ng trình vi phân: Xét ph ươ ng trình y′′+ ay ′ + ay = fx( ) (6) ′′ ′ 1 2 y+ ay1 + ay 2 = fx 1( ) + fx 2 ( ) (7) . y′′ ay ′ ay và +1 + 2 = 0 (4). N ếu y1( x ) và y2( x ) l ần l ượ t là nghi ệm riêng c ủa y′′+ ay ′ + ay = fx( ) , y′′+ ay ′ + ay = fx( ) αx 1 2 1 1 2 2 • Tr ườ ng h ợp 1: f(x) có d ạng e Pn(x) thì nghi ệm riêng c ủa (7) là: (Pn ( x ) là đa th ức b ậc n ). y= yx1() + yx 2 (). Bướ c 1. N ghi ệm riêng của (6) có d ạng : VD 15. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa y′′− y ′ = 2 cos 2 x (*). y= xeQxmα x ( ) Cho biết y′′− y ′ = 1 và y′′− y ′ = cos2 x lần lượt có n 2 1 (Q( x ) là đa th ức đầ y đủ b ậc n ). nghiệm riêng y= − x , y= −cos2 x − sin2 x . n 1 2 10 10
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 2. Xác đị nh m: VD 16. Tìm nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 1) N ếu α không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng y′′−−=2 y ′ 3 yex3x ( 2 + 1) . của (4) thì m = 0. Gi ải. Ta có fx( )= e3x ( x 2 + 1) , α =3,P ( x ) = x 2 + 1 . 2) N ếu α là nghi ệm đơ n c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng 2 của (4) thì m = 1. Suy ra nghi ệm riêng có dạng: y= xem3 x ( Ax 2 + Bx + C ) . 3) N ếu α là nghi ệm kép c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng của (4) thì m = 2. Do α = 3 là nghi ệm đơ n c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng mα x k2 −2 k − 3 = 0 nên m = 1. Bướ c 3. Th ế y= xeQx.n ( ) vào (6) và đồ ng nh ất th ức ta đượ c nghi ệm riêng c ần tìm. Suy ra nghi ệm riêng có d ạng y= xe3x ( Ax 2 + Bx + C ) .
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân x • Tr ườ ng h ợp 2 Th ế y= xe3( Ax 2 + Bx + C ) vào ph ươ ng trình đã cho, f(x) có d ạng eαx[P (x)cos βx + Q (x)sin βx] đồ ng nh ất th ức ta đượ c: n m (P( x ) là đa th ức b ậc n , Q( x ) là đa th ức b ậc m ). 1 1 9 n m A=, B =− , C = . 12 16 32 Bướ c 1. N ghi ệm riêng có d ạng : yxeRx=sα x [ ( )cosβ xHx + ( )sin β x ]   k k 3x  1 2 1 9  (Rx H x là đa th ức đầ y đủ b ậc k n m ). Vậy nghi ệm riêng là yxe= x − x + . k(), k () = max{ , } 12 16 32   Bướ c 2. Xác đị nh s : 1) N ếu α± i β không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c VD 1 7. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: tr ưng c ủa (4) thì s = 0. x− x y′′+2 y ′ += yxe + 2 e . 2) N ếu α± i β là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng của (4) thì s = 1. Toán cao c p C1 Đi h c 30
31. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 5. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 3. Th ế yxeRx=sα x [ ()cosβ xHx + ()sin β x ] k k yC=1cos xC + 2 sin x (1). vào (6) và đồ ng nh ất th ức ta đượ c nghi ệm riêng. M ặt khác: α=0, β =⇒= 1s 1, k = 0 . VD 1 8. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: D ạng nghi ệm riêng c ủa (*) là y= xA( cos x + B sin x ) . y′′+−=2 y ′ 3 yex cos x + 3 xe x sin x . Th ế y= xA( cos x + B sin x ) vào (*), ta đượ c: VD 19. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 3 3 x y′′−+=2 yyex ′ 2x [(2 + 1)cos xxx + sin] . A=−, By = 0 ⇒ =− cos x (2). 2 2 VD 20 . Tìm nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: Từ (1) và (2), ta có nghi ệm t ổng quát là: y′′ + y = 3 sin x (*). 3x 2 yCxCx=cos + sin − cos x . Gi ải. Ta có k+1 = 0 ⇒ k =± i . 1 2 2 Nghi ệm t ổng quát c ủa y′′ + y = 0 là:
    Ch ươ ng 6. Bài to án Kinh t - Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t A. MỘT S Ố BÀI TOÁN KINH T Ế CÁC KHÁI NI ỆM – KÝ HI ỆU TRONG KINH T Ế §1. Bài toán lãi kép – Đánh thu ế doanh thu • Trung bình c ủa hàm §2. Bài toán tìm m ức s ản l ượ ng để doanh nghi ệp Xét hai đạ i l ượ ng kinh t ế H, V có m ối quan h ệ hàm v ới đạ t l ợi nhu ận t ối đa nhau: H= H( V ) . §3. Bài toán ng ườ i tiêu dùng H( V ) Tỉ s ố đượ c g ọi là hàm trung bình c ủa H . Tìm đầ u vào sao cho chi phí s ản xu ất nh ỏ nh ất V Ký hi ệu là AH( V ) . B. LÝ THUY ẾT CHU ỖI VD. Một doanh nghi ệp s ản xu ất l ượ ng hàng Q và bán §1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề chu ỗi s ố hết v ới đơ n giá là P thì t ổng doanh thu s ẽ là R= PQ . §2. Chu ỗi s ố d ươ ng PQ V ậy AR= = P . §3. Chu ỗi s ố có d ấu tùy ý Q Trong kinh tế, đơ n giá là trung bình c ủa doanh thu .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t • Biên t ế Sử d ụng biên t ế, ta ướ c l ượ ng c hi phí để doanh nghi ệp Biên t ế c ủa hàm H( V ) theo biến V t ại V là đạ i l ượ ng sản xu ất ra s ản ph ẩm th ứ 50 là: 0 C ′(50)= 2500 ( đơ n v ị ti ền t ệ). HV()− HV () lim0 = H′ ( V ) . Ký hi ệu là MH( V ) . • B ảng ký hi ệu V→ V 0 V 0 0 V− V 0 Ký hi ệu Ý ngh ĩa Ch ẳng h ạn, biên t ế c ủa doanh thu R theo s ản l ượ ng Q P Đơ n giá ( Price ) tại Q là đạ i l ượ ng mô t ả độ t ăng c ủa doanh thu khi Q Q S ố l ượ ng ( Quantity ) 0 Doanh thu ( Revenue ) tăng thêm 1 đơ n v ị t ại Q . Ta có: MR() Q= R′ () Q . R 0 Q 0 0 Π L ợi nhu ận ( Profit ) VD. Gi ả s ử chi phí C c ủa 1 doanh nghi ệp để s ản xu ất ra C Chi phí ( Cost ) Q sản ph ẩm là: D C ầu ( Demand ) S Cung ( Supply ) 1 3 2 CQ= −10 Q + 1000 Q + 70 ( đơ n v ị ti ền t ệ). T Thu ế ( Tax ) 3 Toán cao c p C1 Đi h c 31
32. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t §1. BÀI TOÁN LÃI KÉP • Ng ườ i đó l ại g ửi ti ếp s ố ti ền có đượ c vào ngân hàng thì BÀI TOÁN ĐÁNH THU Ế DOANH THU cu ối kho ảng th ứ hai s ố ti ền có đượ c là: 1.1. Bài toán lãi kép   2 ss s  s  • Gi ả s ử m ột ng ườ i g ửi s ố ti ền P0 vào m ột ngân hàng v ới PP=1 ++ P  1 +=  P  1. +  0 0   0   lãi su ất s(%) trong th ời gian t . Sau th ời gian t thì ng ườ i nn  n  n  Ti ếp t ục nh ư v ậy cho đế n cu ối k ỳ thì t ổng s ố ti ền ng ườ i đó có t ổng s ố ti ền là: P=+ P0 sP 0 = P 0 (1 + s ) .   n • N ếu chia kho ảng th ời gian t ra làm n kho ảng b ằng nhau s  đó có đượ c là: P 1+  . s 0  n  thì lãi su ất m ỗi kho ảng là (%) . n • N ếu t ăng s ố l ần rút và g ửi lên vô h ạn l ần thì sau kho ảng T ổng s ố ti ền cu ối kho ảng th ời gian th ứ nh ất ng ườ i đó có th ời gian t, t ổng s ố ti ền ng ườ i đó có, đượ c tính theo s s  công th ức lãi kép liên t ục là: đượ c là: PP=+ P = P 1 +  . 0 0 0   s n n  P= P0 e .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t VD 1. Đầ u tháng 1 n ăm 2010, m ột ng ườ i g ửi 100 tri ệu 1.2. Bài toán đánh thu ế doanh thu đồ ng ở 1 ngân hàng v ới lãi su ất 8% trên m ột n ăm và Gi ả m ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản cu ối n ăm 2010 t ới nh ận. Tính t ổng s ố ti ền c ả v ốn l ẫn lãi ph ẩm. G ọi Q là s ản l ượ ng và P là giá bán 1 đơ n v ị s ản ng ườ i đó nh ận đượ c trong các tr ườ ng h ợp sau: ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ườ ng v ề lo ại s ản ph ẩm 1) Đầ u n ăm g ửi đế n cu ối n ăm đế n nh ận; trên trong 1 đơ n v ị th ời gian là Q() P= DP () , t ổng chi 2) M ỗi tháng đế n rút ti ền và g ửi l ại; D phí là C= C( Q ) và t ổng s ố thu ế là T= T( t ) (v ới t là 3) M ỗi ngày đế n rút ti ền và g ửi l ại; 4 ) Lãi kép liên t ục. mức thu ế doanh thu đị nh trên m ột đơ n v ị s ản ph ẩm). Gi ải Ta có 3 bài toán sau đây: 1) Lãi su ất ti ền g ửi là s = 8% nên tổng số ti ền ng ườ i đó • Bài toán 1 nh ận được vào cuối năm là: Tìm m ức s ản l ượ ng Q theo t để doanh nghi ệp đạ t m ức lợi nhu ận t ối đa sau thu ế. M ức s ản l ượ ng này đượ c gọi P= P1 += s 100(1 + 8%) = 108 (tri ệu đồ ng). 0 ( ) là sản l ượ ng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp.
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t • Bài toán 2 Bướ c 3 Tìm t để khi doanh nghi ệp đạ t m ức l ợi nhu ận t ối đa thì • Tìm m ức s ản l ượ ng Q t theo t để hàm đạ t giá tr ị thu ế thu đượ c t ừ doanh nghi ệp là l ớn nh ất. 0( ) Π • Bài toán 3 lớn nh ất (Bài toán 1). Tìm t để s ản l ượ ng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp đạ t một mức t ối thi ểu hay t ối đa. • Từ Q0( t ) tìm đượ c, ta tìm t để hàm T đạ t giá tr ị lớn  Cách gi ải nh ất (Bài toán 2). Bướ c 1. T ừ hàm c ầu ta tìm P theo Q . • Gi ải Q( t ) ≥ Q hay Q( t ) ≤ Q v ới Q là m ức s ản l ượ ng Bướ c 2. L ập các hàm: 0 0 • T ổng thu ế doanh nghi ệp ph ải đóng là T= Qt , tối thi ểu hay t ối đa (Bài toán 3). doanh thu c ủa doanh nghi ệp là R= R( Q ) = PQ . • L ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp thu đượ c là: Π=R − C − T (doanh thu “–” chi phí “–” thu ế). Toán cao c p C1 Đi h c 32
33. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t VD 2. M ột doanh nghi ệp (DN) s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại §2. BÀI TOÁN TÌM M ỨC S ẢN L ƯỢ NG ĐỂ sản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa lo ại s ản ph ẩm này và và DOANH NGHI ỆP ĐẠ T L ỢI NHU ẬN T ỐI ĐA hàm t ổng chi phí sản xu ất lần l ượ t là QD ( P )= 800 − P (Cực đạ i hóa l ợi nhu ận theo s ản l ượ ng ) và C= Q2 +200 Q + 100 . 2.1. Sản xu ất trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo 1) N ếu bi ết m ức thu ế doanh thu đị nh trên m ột đơ n v ị s ản ph ẩm là t thì DN sẽ ấn đị nh s ản l ượ ng nh ư th ế nào để a) Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm lợi nhu ận sau thu ế là l ớn nh ất ? Trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo thì giá bán do th ị 2) Khi DN đạ t lợi nhu ận sau thu ế lớn nh ất, hãy tìm mức tr ườ ng quy ết đị nh và không ph ụ thu ộc vào m ức s ản thu ế doanh thu t áp trên m ột đơ n v ị s ản ph ẩm để t ổng lượ ng c ủa DN. Khi đó, t ổng doanh thu là R= PQ và thu ế thu đượ c t ừ DN này là l ớn nh ất ? hàm l ợi nhu ận là Π =R − C . 3 ) Nhu c ầu xã h ội c ần có t ối thi ểu 125 đơ n v ị s ản ph ẩm Ta tìm m ức s ản l ượ ng Q để hàm Π đạ t c ực đạ i. của DN này. V ậy m ức thu ế doanh thu ch ỉ đượ c áp t ối đa là bao nhiêu ?
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t VD 1 . M ột DN s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm trong điều Tìm m ức s ản l ượ ng tươ ng ứng c ủa t ừng s ản ph ẩm mà ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá c ủa s ản ph ẩm trên th ị DN c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa. tr ườ ng là P = 130 (đơ n v ị ti ền) và t ổng chi phí để s ản  Cách gi ải xu ất ra Q (Q > 1) đơ n v ị s ản ph ẩm là: Bướ c 1. Lập c ác hàm doanh thu và l ợi nhu ận c ủa DN : 1 3 2 C= QQ −+10 Q + 20 . R= PQ11 + PQ 22 và Π =R − C . 3 Bướ c 2. Tìm m ức s ản l ượ ng d ươ ng Q*, Q* để hàm lợi Hãy tìm m ức s ản l ượ ng để l ợi nhu ận DN đạ t c ực đạ i ? 1 2 nhu ận Π đạ t c ực đạ i. b) Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm VD 2 . Một DN s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Giá bán hai s ản ph ẩm này trên ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá bán c ủa các s ản ph ẩm th ị tr ườ ng là P1 = 450 , P2 = 630 ( đơ n v ị ti ền). là P1, P2; hàm tổng chi phí ph ụ thu ộc vào m ức s ản l ượ ng Bi ết hàm t ổng chi phí là: 2 2 Q1, Q2 là C= CQ(1 , Q 2 ) . CQQ(12 , )=+ Q 1122 QQQ ++ 210 Q 1 + 360 Q 2 + 100 .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t Hãy tìm m ức s ản l ượ ng của m ỗi s ản ph ẩm mà DN c ần Hàm t ổng doanh thu và l ợi nhu ận c ủa DN lúc này là: sản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? RQ()= PQQ (). và Π =RQ() − CQ () . 2.2. Sản xu ất trong điều ki ện độ c quy ền • T ừ Π =RQ() − CQ () , ta tìm đượ c m ức s ản l ượ ng c ần a) Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm sản xu ất và giá bán để DN có đượ c lợi nhu ận t ối đa. • Trong điều ki ện s ản xu ất độ c quy ền thì giá P c ủa s ản ph ẩm do DN quy ết đị nh. Lượ ng c ầu Q do ng ườ i tiêu D VD 3. Một DN s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản phẩm. dùng quy ết đị nh l ại ph ụ thu ộc vào P . Bi ết hàm c ầu v ề lo ại s ản ph ẩm này là QD =1200 − P và Ta có quan h ệ hàm QD= Q D ( P ) . hàm t ổng chi phí để đạ t m ức s ản l ượ ng Q là: CQ=0,253 − 30,625 Q 2 + 1528,5 Q + 20000 . • Mu ốn tiêu th ụ h ết s ản ph ẩm, ngh ĩa là Q= Q( P ) , thì D Tìm m ức s ản l ượ ng và giá bán để DN có Π c ực đạ i ? −1 DN ph ải ấn đị nh m ức giá P= QD () Q = PQ () . Toán cao c p C1 Đi h c 33
34. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t b) Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm Bướ c 2. Lập các hàm doanh thu và lợi nhu ận c ủa DN : Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm v ới R= PQQQ112(, ). 1 + PQQQ 212 (, ). 2 và Π =R − C . sản l ượ ng Q , Q . Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ườ ng v ề hai lo ại 1 2 Bướ c 3. Từ hàm Π =R − C , ta tìm các giá tr ị d ươ ng Q * sản ph ẩm này là Q= DPP( , ) , Q= DPP( , ) và 1 D1 1 1 2 D2 2 1 2 * và Q2 để Π đạ t c ực đạ i. hàm t ổng chi phí là C= CQ(1 , Q 2 ) . Tìm m ức s ản lượ ng c ủa hai lo ại sản ph ẩm trên mà DN VD 4. Một doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản cần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? ph ẩm. Bi ết hàm c ầu v ề hai lo ại s ản ph ẩm này là: Q=1200 − 2 P + P , Q=1440 + P − P  Cách gi ải D1 1 2 D2 1 2 Bướ c 1. Khi DN đị nh giá bán để bán h ết s ản ph ẩm thì: và hàm t ổng chi phí sản xu ất là: CCQQ Q Q . DPP112( , ) = Q 1 , DPP212( , ) = Q 2 (*). =(12 , ) = 480 1 + 720 2 + 400 Gi ải h ệ (*) ta đượ c: Tìm m ức s ản l ượ ng và giá bán t ươ ng ứng mà DN c ần sản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? P1= PQQ 112( , ) , P2= PQQ 212( , ) .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t Chú ý §3. BÀI TOÁN NG ƯỜ I TIÊU DÙNG TÌM ĐẦ U VÀO SAO CHO CHI PHÍ S ẢN XU ẤT NH Ỏ NH ẤT Tr ườ ng h ợp DN s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm nh ưng đượ c tiêu th ụ ở 2 th ị tr ườ ng tách bi ệt. Bi ết hàm 3.1. Bài toán ng ườ i tiêu dùng • Gi ả s ử m ột ng ườ i tiêu dùng d ự đị nh dùng s ố ti ền là B cầu c ủa t ừng th ị tr ườ ng là QD = D1( P 1 ) , QD = D2( P 2 ) 1 2 để mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là P, P v ới số l ượ ng thì ta vẫn gi ải nh ư trên v ới Q= Q + Q . 1 2 1 2 hàng sẽ mua l ần l ượ t là x và y . VD 5. Một doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản • Ng ườ i tiêu dùng s ẽ nh ận đượ c l ợi ích t ừ s ố hàng đã ph ẩm và có 2 th ị tr ườ ng tiêu th ụ tách bi ệt. Bi ết hàm cầu mua. L ợi ích này là m ột hà m ph ụ thu ộc vào l ượ ng hàng về lo ại sản ph ẩm này trên 2 th ị tr ườ ng lần l ượ t là: ng ườ i đó mua và đượ c g ọi là hàm l ợi ích hay h ữu d ụng Q=310 − P , Q=350 − P U Uxy D1 1 D2 2 (utility function ), ký hi ệu là = ( , ) . và hàm t ổng chi phí là CCQ=( ) =+ 20 30 QQ + 2. • Tìm s ố l ượ ng các lo ại hàng trên mà ng ườ i tiêu dùng s ẽ Tìm m ức sản l ượ ng và giá bán t ươ ng ứng trên m ỗi th ị mua sao cho giá tr ị s ử d ụng l ớn nh ất là tìm điểm c ực đạ i U x y tr ườ ng để DN có l ợi nhu ận t ối đa ? của hàm ( , ) v ới điều ki ện Px1+ Py 2 = B .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t VD 1. Một ng ườ i tiêu dùng dùng s ố ti ền là B = 178 để Vi phân c ấp 2: mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là P=4, P = 6 . 1 2 ′′ ′′ ′′ 2 L2=0, Lxy = 1, L 2 =⇒ 0 dL (22; 15) = 2 dxdy . Hàm lợi ích cho 2 lo ại hàng là U=( x + 2)( y + 1) . x y Tìm s ố l ượ ng x, y c ủa hai lo ại hàng trên mà ng ườ i tiêu Điều ki ện: dϕ(,) x y = 4 dx + 6 dy dùng s ẽ mua sao cho giá tr ị s ử d ụng là l ớn nh ất ? ⇒d ϕ(22; 15) = 0 ⇔4dx + 6 dy = 0 ⇔2dx =− 3 dy ≠ 0 Gi ải. Ta có: PxPy1+ 2 =⇒ϕ B(,) xy = 4 x +− 6 y 178 ⇒=Lx( + 2)( y ++λ 1) (4 xy + 6 − 178) . ⇒dL2(22; 15) =− 3 dy 2 < 0 ′  Lx =++λ= y14 0  x = 22 ⇒ (22; 15) là điểm c ực đạ i.   Điểm d ừng: L′ =++λ= x26 0 ⇔  y = 15 . y  Vậy x = 22 và y = 15 đơ n v ị hàng hóa. L′ =4 x + 6 y − 1780 =  λ=− 4 λ  Toán cao c p C1 Đi h c 34
35. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t 3.2. Bà i toán tìm đầ u vào để chi phí s ản xu ất nh ỏ nh ất VD 2. Một DN s ản xu ất một lo ại s ản ph ẩm c ần lượ ng đầ u vào x y với đơn giá là P , P . Bi ết • Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất một lo ại s ản ph ẩm c ần 2 đầ u ( , ) 1 = 10 2 = 40 vào v ới đơn giá tươ ng ứng là P1, P 2 c ố đị nh. hàm s ản xu ất Q( x , y )= 10 xy . Tìm s ố l ượ ng đầ u vào để DN s ản xu ất 200 sản ph ẩm v ới t ổng chi phí bé nh ất ? • Để có đượ c m ức s ản l ượ ng Q thì DN c ần số l ượ ng đầ u vào tươ ng ứng là x và y . Ta có hàm s ản xu ất Q Qxy và chi phí là Cxy Px Py . = ( , ) ( , ) =1 + 2 Gi ải. Hàm sản xu ất: 10xy = 200 ⇒xy =400 ⇒ϕ ( xy , ) = xy − 400 . • Tìm s ố l ượ ng đầ u vào (x , y ) để DN s ản xu ất Q sản phẩm với t ổng chi phí bé nh ất là tìm điểm c ực ti ểu c ủa Hàm chi phí: Cxy( , )= Px + Py = 10 x + 40 y . hàm Cxy( , ) = Px1 + Py 2 v ới điều ki ện Qxy( , ) = Q . 1 2 ⇒=L10 x + 40 y +λ ( xy − 400) .
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t L′ =+λ=10 y 0  x = 40 x  2 2   ⇒dL40;10 = 8 dy > 0 Điểm d ừng: L′ =40 +λ= x 0 ⇔  y = 10 . ( ) y  L′ = xy −4000 =  λ=− 1 ⇒ 40; 10 là điểm c ực ti ểu. λ  ( ) x Vi phân c ấp 2: L′′=0; L ′′ =− 1; L ′′ = 0 Vậy = 40 và y = 10 đơ n v ị đầ u vào. x2xy y 2 ⇒dL2 (40; 10) = − 2 dxdy . Điều ki ện: dϕ( x , y ) = ydx + xdy ⇒d ϕ(40; 10) = 0 ⇔dx =−4 dy ≠ 0
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t Bài đọ c thêm • T ại th ời điểm kh ảo sát t = 0, m ức giá P P . ỨNG D ỤNG C ỦA PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN (0) ≠ Tốc độ t ăng hay gi ảm giá P′( t ) t ỉ l ệ thu ận v ới Q− Q . 1. Điểm cân b ằng giá D S V ậy Pt′ λ QQ λ bdPP λ . • Xét m ột lo ại hàng hóa. ( )=( D − S ) =−+ ( )( − ), > 0 Gi ả s ử hàm c ầu QD và hàm cung QS cho b ởi: Đặ t k=λ( b + d ) > 0 , ta có ph ươ ng trình vi phân v ới Q= a − bP và Q= − c + dP a, b , c , d ∈ ℤ+ . D S ( ) bi ến phân ly P′ = − kP( − P ) . Ph ươ ng trình này có Khi th ị tr ườ ng cân b ằng, ngh ĩa là Q= Q , thì m ức giá −kt D S nghi ệm t ổng quát là P( t ) = P + Ce . a+ c sẽ là P = . b+ d • Do k > 0, nên limP ( t ) = P . V ậy theo th ời gian, th ị t→+∞ • Trong th ực t ế thì giá , lượ ng cung, l ượ ng c ầu luôn t hay tr ườ ng s ẽ t ự điều ch ỉnh giá v ề m ức cân b ằng P . đổ i và ph ụ thu ộc vào th ời gian t : P= PtQ(),DD = QPt (()), Q SS = QPt (()) . Toán cao c p C1 Đi h c 35
36. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t
    Ch ươ ng 6. A. Mt s bài to án Kinh t 2. Các ví d ụ VD 2. Cho hàm cung và c ầu c ủa m ột lo ại hàng hóa: Q P Q PPP′ ′′ VD 1. Cho hàm cu ng và c ầu c ủa m ột lo ại hàng hóa: S = −5 + 3 và D =40 − 2 − 2 − . ′ ′′ T ại th ời điểm t = 0, ta có P(0)= 12 và P′(0)= 1 . QS = −6 + 8 P và QD =42 − 4 PPP − 4 + . T ại th ời điểm t = 0, ta có P(0)= 6 và P′(0)= 4 . Gi ả s ử hàng hóa đượ c bán h ết t ại m ọi th ời điểm: ′′ ′ Gi ả s ử hàng hóa đượ c bán h ết t ại m ọi th ời điểm: QQD= S ⇒ P +2 P + 5 P = 45 ( ). ′′ ′ Gi ải (* *), ta đượ c nghi ệm t ổng quát: QQD= S ⇒ P −4 P − 12 P =− 48 (*). −t Gi ải (*) (xem ch ươ ng 5), ta đượ c nghi ệm t ổng quát: Pt()= eC (1 cos2 tC + 2 sin2) t + 9 . Pt Ce−2t Ce 6 t −t ( ) =1 + 2 . Và nghi ệm riêng Pte()= (3cos2 t + 2sin2) t + 9 . Và nghi ệm riêng Pt( )= e−2t + e 6 t + 4 . Do lim= 9 , nên ta k ết lu ận giá c ủa m ặt hàng này theo t→+∞ Do lim = +∞, nên ta k ết lu ận giá c ủa m ặt hàng này th ời gian s ẽ t ự điều ch ỉnh v ề m ức P = 9. t→+∞ không ổn đị nh theo th ời gian.
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề CHU ỖI S Ố • N ếu dãy {Sn } h ội t ụ đế n số S h ữu h ạn thì ta nói n∈ℕ ∞ 1.1. Đị nh ngh ĩa ỗ ố ộ ụ ổ S u S chu i s h i t và có t ng là , ta ghi là ∑ n = . • Cho dãy s ố có vô h ạn các s ố h ạng u, u , , u , n=1 1 2 n Ng ượ c l ại, ta nói chu ỗi s ố phân k ỳ. Bi ểu th ức ∞ uu u u ∞ 1+ 2 ++ n + = ∑ n n n=1 VD 1 . Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi nhân ∑aq v ới a ≠ 0. đượ c g ọi là chu ỗi s ố. n=1 Gi ải • Các s ố u, u , , u , là các s ố hạng và u được gọi là 1 2 n n • q = 1: Sn = na → ∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. số h ạng t ổng quát c ủa chu ỗi s ố. 1−qn 1 − q n • q ≠ 1: Su=. = aq . n 1 q q • T ổng n s ố h ạng đầ u tiên Suu= + + + u đượ c 1− 1 − n1 2 n aq gọi là tổng riêng th ứ n c ủa chu ỗi s ố. V ới q 1 thì Sn → ∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. 1.2. Điều ki ện c ần để chu ỗi s ố hội t ụ ∞ ∞ n−1 Vậy aq h ội t ụ ⇔q < 1. • N ếu chu ỗi un hội t ụ thì limun = 0 , ∑ ∑ n→∞ n=1 n=1 ∞ ∞ 1 ng ượ c l ại nếu limun ≠ 0 thì un phân k ỳ. n→∞ ∑ VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n=1 n( n + 1) ∞ 4 ∞ 1  n VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ln 1 + . VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑   ∑ 4 n=1 n  n=1 3n+ n + 2 ∞ 1 ∞ n5 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ ∑ 4 n=1 n n=1 n + 1 Toán cao c p C1 Đi h c 36
37. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i 1.3. Tính ch ất §2. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG ∞ ∞ 2.1. Đị nh ngh ĩa ∞ • N ếu ∑un, ∑ v n hội t ụ thì: u u n n=1 n = 1 • ∑ n đượ c g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu n ≥0, ∀ . ∞ ∞ ∞ n=1 (uv+ ) = u + v . ∑nn ∑ n ∑ n Khi un >0, ∀ n thì chu ỗi số là d ươ ng th ực s ự. n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ • N ếu u hội t ụ thì: αu = α u . 2.2. Các đị nh lý so sánh ∑ n ∑n ∑ n n=1 n=1 n = 1 Đị nh lý 1 • Tính ch ất h ội t ụ hay phân k ỳ c ủa chu ỗi s ố không đổ i ∞ ∞ nếu ta thêm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. Cho hai chu ỗi s ố d ươ ng ∑un, ∑ v n th ỏa: n=1 n = 1 0≤un ≤ v n , ∀≥ nn 0 .
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i ∞ ∞ Đị nh lý 2 v u • N ếu ∑ n hội t ụ thì ∑ n hội t ụ. ∞ ∞ n=1 n=1 Cho hai chuỗi số u, v th ỏa: ∞ ∞ ∑n ∑ n • N ếu u phân k ỳ thì v phân k ỳ. n=1 n = 1 ∑ n ∑ n u n=1 n=1 n un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k . n→∞ vn ∞ 1 ∞ ∞ VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . • N ếu k = 0 thì u phân k ỳ ⇒ v phân k ỳ. ∑ n ∑ n ∑ n n=1 n.2 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 1 • N ếu k = +∞ thì u h ội t ụ ⇒ v h ội t ụ. VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hòa bằng cách ∑ n ∑ n ∑ n=1 n=1 n=1 n ∞ 1  ∞ ∞ so sánh v ới ln 1 + . • N ếu 0 1 thì chu ỗi phân k ỳ. Chú ý • N ếu D = 1 thì ch ưa th ể k ết lu ận. ∞ 1 Chu ỗi h ội t ụ khi α > 1 và phân k ỳ khi α ≤ 1. n ∑ α ∞   n n 1 1  =1 VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 +  . ∑ n   n=1 3 n  ∞ n + 1 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ 5n (n !) 2 ∑ 5 n=1 2n + 3 VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 (2n )! Toán cao c p C1 Đi h c 37
38. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i 2.3.2. Tiêu chu ẩn Cauchy 2.3.3. Tiêu chu ẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy ∞ Cho hàm s ố f( x ) liên t ục, không âm và gi ảm trên nửa n Cho chu ỗi s ố d ươ ng un và lim un = C . ℕ ∑ n khoảng [;k+∞ ), k ∈ . Khi đó: n=1 →∞ +∞ • N ếu C 1 thì chu ỗi phân k ỳ. ∑ ∫ n k • N ếu C = 1 thì ch ưa th ể k ết lu ận. = k ∞ n2 1 ∞ 1  VD 9. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố   . 3 2 ∑  n=1 n n=12  ∞ ∞ n 1 n VD 10. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 8. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 ∑ n n=2 nln n n=1 3
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i §3. CHU ỖI S Ố CÓ D ẤU TÙY Ý ∞ (− 1) n 3.1. Chu ỗi đan d ấu VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . ∞ n=1 n Đị ĩ n u a) nh ngh a. Chu ỗi s ố ∑(− 1) n đượ c g ọi là n=1 chu ỗi s ố đan d ấu n ếu u>0, ∀ n . n ∞ 2n + 1 ∞ (− 1) n ∞ 2n + 1 VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) n . VD 1. , (− 1) n+1 là các chu ỗi đan dấu. ∑ n+1 ∑ ∑ n+1 n=1 2 n=1 n n=1 2 b) Đị nh lý Leibnitz Nếu dãy {u } gi ảm nghiêm ng ặt và u → 0 thì chuỗi ∞ (− 1) n n n ∈ℕ n VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∑ n n n=2 n +( − 1) ∑(− 1) un h ội t ụ. Khi đó, ta g ọi là chu ỗi Leibnitz . n=1
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i
    Ch ươ ng 6. B. Lý thuy t chu i 3.2. Chu ỗi có d ấu tùy ý ∞ (− 1) n VD 5. Chu ỗi s ố là bán h ội t ụ. a) Đị nh ngh ĩa ∑ n ∞ n=1 ℝ b) Đị nh lý • Chu ỗi ∑un, u n ∈ đượ c g ọi là chu ỗi có d ấu tùy ý . n=1 ∞ ∞ Nếu u h ội t ụ thì chu ỗi có d ấu tùy ý u hội t ụ. ∞ ∞ ∑ n ∑ n n=1 n=1 • un đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu un hội t ụ. ∑ ∑ n n=1 n=1 ∞ cos(n ) VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 2 ∞ ∞ n=1 n • u đượ c g ọi là bán hội t ụ nếu u hội t ụ và ∑ n ∑ n ∞ (− 1)n + ( − 2) n +1 n=1 n=1 VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∑ n n=1 3 u phân k ỳ. ∑ n Ht . n=1 Toán cao c p C1 Đi h c 38