›
›

Toán cao cấp C2 (bài giảng tóm tắt)

pdf 71 trang vanle 4190
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp C2 (bài giảng tóm tắt)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_cao_cap_c2_bai_giang_tom_tat.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp C2 (bài giảng tóm tắt)

  1. TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP C2 (Baøi Giaûng Toùm Taét) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
  2. Mục lục I. Lý thuyÕt chuçi 1. C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô 1 1.1 Chuçi sè 1 1.2 Tiªu chuÈn héi tô 3 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi 3 2. Chuçi d−¬ng 4 2.1 Chuçi d−¬ng 4 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d−¬ng 5 3. Chuçi víi dÊu bÊt kú 8 3.1 Chuçi ®an dÊu 8 3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi 8 4. Chuçi hµm 9 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu 9 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu 10 5. Chuçi luü thõa 12 5.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô 12 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa 13 5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa 15 5.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa 15 6. Khai triÓn Fourier 16 6.1 Chuçi l−îng gi¸c 16 6.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ 17 6.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2Π 18 6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn 18 6.5 TÝch ph©n Fourier 19 II. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1. Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n 21 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n 21 1.2 C¸c kh¸i niÖm 22 1.3 Bµi to¸n Cauchy 23 2. Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 24 2.1 Ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly 24 2.2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt 26 2.3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn 28 2.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 29 2.5 Ph−¬ng tr×nh Bernoully 33 2.6 Ph−¬ng tr×nh Clairaut 34 2.7 Ph−¬ng tr×nh Lagrange 35
  3. 3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 36 3.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 36 3.2 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 37 3.3 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt 39 3.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng 41 4. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n 44 4.1 C¸c kh¸i niÖm 44 4.2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng 45 III. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng 1. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 49 1.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng 49 1.2 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 50 1.3 Ph−¬ng ph¸p ®Æc tr−ng 51 2. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 52 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa 52 2.2 Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 53 2.3 D¹ng chÝnh t¾c 54 3. C¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 c¬ b¶n 57 3.1 Bµi to¸n gi¸ trÞ biªn vµ gi¸ trÞ ban ®Çu 57 3.2 Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng 58 3.3 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu 59 3.4 Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu 61 3.4 Ph−¬ng tr×nh Laplace 65
  4. 1 I. Lý thuyÕt chuçi 1 Chuçi sè Chuçi sè là sù më réng tù nhiªn cña tæng cho tr−êng hîp v« h¹n sè h¹n. 1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô §Þnh nghÜa 1. Cho d·y sè thùc (an)n∈N. Khi ®ã tæng h×nh thøc v« h¹n ∞ X ak = a0 + a1 + ···+ ak + ··· (1) k=0 gäi lµ chuçi sè (thùc). Sè ak gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña chuçi (1). Tæng h÷u h¹n n Sn = X ak = a0 + a1 + ···+ an k=0 gäi lµ tæng riªng thø n cña chuçi. NÕu lim Sn = S h÷u h¹n, th× ta nãi chuçi (1) héi tô. Khi ®ã, S gäi lµ tæng cña n→∞ chuçi, vµ viªt ∞ S = X ak = a0 + a1 + ···+ an + ··· k=0 Tr−êng hîp ng−îc l¹i, tøc lµ lim Sn = ±∞ hoÆc kh«ng tån t¹i lim Sn, th× ta n→∞ n→∞ nãi chuçi (1) ph©n kú. ∞ VÝ dô. 1) XÐt chuçi h×nh häc X xk =1+x + x2 + ···xk + ··· k=0 1 − xn+1  nÕu x =16  1 − x 2 n  Ta cã Sn =1+x + x + ···x = n +1 nÕu x =1 n+1 1 − (−1)  nÕu x = −1  2
  5. 2 ∞ VËy, nÕu | x |≥ 1, th× chuçi X xk ph©n kú. k=0 ∞ nÕu | x |< 1, th× chuçi X xk héi tô, vµ k=0 ∞ 1 X xk =1+x + x2 + ···xk + ···= 1 − x k=0 ∞ 1 1 1 1 2) XÐt chuçi ®iÒu hßa X =1+ + + ··· + ··· k 2 3 k k=0 Tr−íc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøc n−1 dx 1 Z ≤ , ∀n ≥ 2. x n − 1 n 1 1 1 ThËt vËy, víi n − 1 ≤ x ≤ n, n ≥ 2, ta cã ≤ ≤ . Tõ ®ã n x n − 1 n−1 n−1 dx dx 1 Z ≤ Z = x n − 1 n − 1 n n Suy ra, 2 3 n+1 n+1 1 1 dx dx dx dx S =1+ + ···+ ≥ Z + Z + ···+ Z = Z = ln(n +1) n 2 n x x x x 1 2 n 1 ∞ 1 VËy, lim Sn = ∞. Do ®ã, chuçi X ph©n kú. n→∞ k k=0 ∞ 1 1 1 1 3) XÐt chuçi X = + + ··· + ··· k(k − 1) 1 · 2 2 · 3 k(k +1) k=1 Ta cã 1 1 1 S = + + ···+ n 1 · 2 2 · 3 n(n +1) 1 1 1 1 1 1 =1− + − + ···+ − =1− . 2 2 3 n n +1 n +1 ∞ 1 Suy ra, lim Sn =1. VËy, chuçi X héi tô vµ cã tæng b»ng 1. n→∞ k(k − 1) k=1
  6. 3 1.2 Tiªu chuÈn héi tô D·y tæng riªng héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ta cã tiªu chuÈn sau §Þnh lý 1. (Tiªu chuÈn Cauchy) Chuçi (??) héi tô khi và chØ khi ∀ε>0, ∃N ∈ N sao cho ∀n>N,∀p ∈ N : |an+1 + ···+ an+p| =1/2; nÕu chän p = n. n + p Do vËy, chuçi này ph©n kú v× kh«ng tháa tiªu chuÈn Cauchy víi ε =1/2. 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi ∞ ∞ §Þnh lý 2. (TÝnh tuyÕn tÝnh) Cho X ak, X bk lµ c¸c chuçi héi tô vµ α ∈ R. k=0 k=0 ∞ ∞ Khi ®ã, c¸c chuçi X(ak + bk), X αak còng héi tô vµ k=1 k=1 ∞ ∞ ∞ X(ak + bk)=X ak + X bk k=0 k=0 k=1 ∞ ∞ X αak = α X ak. k=0 k=0 Chøng minh. Suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y. 2
  7. 4 ∞ §Þnh lý 3. (TÝnh kÕt hîp) Gi¶ sö chuçi X ak héi tô vµ cã tæng lµ S. XÐt chuçi k=0 ∞ X bk cã c¸c sè h¹ng k=0 b0 = a0 + a1 + ···+ an0 b1 = an0+1 + an0+2 + ···+ an1 . . bk = ank−1+1 + ank−1+2 + ···+ ank ∞ Khi ®ã, chuçi X bk còng héi tô vµ cã tæng b»ng S. k=0 0 Chøng minh. Ta cã Si = b0 + b1 + ···bi = a0 + ···+ ani = Sni . VËy, d·y c¸c ∞ ∞ tæng riªng cña chuçi X bk lµ d·y con cña d·y c¸c tæng riªng cña chuçi X ak . k=0 k=0 Tõ sù héi tô mét d·y suy ra sù héi tô cña c¸c d·y con vµ chóng cã cïng gi¸ trÞ giíi h¹n víi d·y ®ã , ta cã ®iÒu ph¶i chømg minh. 2 2 Chuçi d−¬ng Trong phÇn này ta xÐt c¸c chuçi mà tÊt c¶ c¸c sè h¹ng ®Òu d−¬ng. 2.1 Chuçi d−¬ng ∞ Chuçi X an ®−îc gäi lµ chuçi d−¬ng nÕu an > 0, víi mäi n. n=1 Râ ràng chuçi d−¬ng cã d·y c¸c tæng riªng {Sn} ®¬n ®iÖu t¨ng nªn sÏ héi tô nÕu tháa thªm ®iÒu kiÖn bÞ chÆn trªn. ∞ §Þnh lý 4. Chuçi d−¬ng X an héi tô khi vµ chØ khi d·y c¸c tæng riªng {Sn} bÞ n=1 chÆn trªn. ∞ Tõ ®ã suy ra chuçi d−¬ng X an ph©n kú khi và chØ khi lim Sn =+∞. n→∞ n=1
  8. 5 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d−¬ng ∞ ∞ §Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn so s¸nh) Cho hai chuçi d−¬ng X an vµ X bn. n=1 n=1 1) Gi¶ sö an ≤ bn, ∀n ∈ N. Khi ®ã ∞ ∞ a) NÕu X bn héi tô, th× X an héi tô. n=1 n=1 ∞ ∞ b) NÕu X an ph©n kú, th× X bn ph©n kú. n=1 n=1 a 2) Gi¶ sö lim n = K. Khi ®ã n→∞ bn ∞ ∞ a) NÕu K 0, th× X bn ph©n kú suy ra X an ph©n kú. n=1 n=1 ∞ ∞ c) NÕu 0 <K<+∞, th× X bnvµ X an hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n n=1 n=1 kú. (a) (b) Chøng minh. 1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra d·y c¸c tæng riªng {Sn } và {Sn } cña c¸c ∞ ∞ ∞ (a) (b) chuçi X an và X bn còng tháa bÊt ®¼ng thøc Sn ≤ Sn . Tõ ®ã, nÕu X bn n=1 n=1 n=1 ∞ (b) (a) héi tô, th× {Sn } bÞ chÆn trªn, kÐo theo {Sn } còng bÞ chÆn trªn. Do ®ã X an n=1 héi tô. Tr−êng hîp cßn l¹i lý luËn t−¬ng tù. 2) Sö dông 1). 2 ∞ 1 VÝ dô. 1) XÐt sù héi tô cña chuçi X . §©y là chuçi d−¬ng. Ta cã 2n + sin2 n n=0 1 1 ≤ , ∀n ∈ N. 2n + sin2 n 2n ∞ 1 So s¸nh víi chuçi héi tô X , suy ra chuçi ®· cho héi tô. 2n n=0
  9. 6 ∞ 1 2) XÐt sù héi tô cña chuçi X √ .Tacã n + n n=1 1 √ a n + n lim n = lim =1 n→∞ bn n→∞ 1 n ∞ 1 So s¸nh víi chuçi (ph©n kú, xem vÝ dô tr−íc) X suy ra chuçi ®· cho ph©n kú. n n=1 ∞ 1 Khi dïng tiªu chuÈn so s¸nh ta th−êng so s¸nh víi chuçi X , s ∈ R (®−îc gäi ns n=1 lµ chuçi Dirichlet) mà sù héi tô cña nã ®−îc cho bëi: ∞ 1 MÖnh ®Ò 1. Chuçi X héi tô khi vµ chØ khi s>1. ns n=1 √ §Þnh lý 6. (DÊu hiÖu Cauchy) Gi¶ sö X an lµ chuçi d−¬ng vµ lim n an = K. n→∞ Khi ®ã 1) NÕu K 1, th× chuçi X an ph©n kú. Chó ý r»ng nÕu K =1ta ch−a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi. ∞ 2n VÝ dô. 1) Chuçi X ph©n kú v× n2 n=1 √ 2 n K = lim an = lim √ =2> 1. n→∞ n→∞ n n2 ∞ 2 2) Chuçi X(1 − 1/n)n héi tô v× n=1 √ n n −1 c = lim an = lim (1 − 1/n) = e =1/e < 1. n→∞ n→∞ 0 an+1 §Þnh lý 7. (DÊu hiÖu D Alembert) Gi¶ sö X an lµ chuçi d−¬ng vµ lim = n→∞ an K. Khi ®ã
  10. 7 1) NÕu K 1, th× chuçi X an ph©n kú. Còng nh− dÊu hiÖu Cauchy, khi K =1ta ch−a cã th«ng tin vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi. ∞ n! (n + 1)! VÝ dô. Chuçi X héi tô v× ta cã a = vµ nn n+1 (n +1)n+1 n=1 a n n 1 d = lim n+1 = lim   = lim =1/e 0 và ®¬n ®iÖu gi¶m trªn [1, ∞). §Æt an = f(n), khi ®ã ∞ +∞ Z X an và f(x)dx n=1 1 hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. ∞ 1 VÝ dô. 1) XÐt chuçi X . C¸c sè h¹ng a chÝnh là f(n), víi hàm f(x)= n ln n n n=2 1 xÐt trªn [2, +∞).Tacã x ln x +∞ +∞ Z 1 dx = ln(ln x) = ∞ 2 x ln x 2 +∞ VËy tÝch ph©n Z f(x)dx ph©n kú. Do ®ã chuçi ph©n kú. 1 ∞ 1 2) XÐt chuçi Dirichlet (xem mÖnh ®Ò 1) X . Chuçi này héi tô khi và chØ khi ns n=1 +∞ 1 R dx héi tô. Ta có 1 xs ∞ +∞ ln x nÕu s =1 Z 1  1 dx =  1− s ∞ xs x 1 nÕu s =16 1 − s 1 Tõ ®ã suy ra chuçi Dirichlet héi tô khi s>1, ph©n kú khi s ≤ 1.
  11. 8 3 Chuçi víi dÊu bÊt kú Trong bài này ta xÐt chuçi víi sè h¹ng tæng qu¸t cã dÊu tïy ý. 3.1 Chuçi ®an dÊu Chuçi ®an dÊu là chuçi cã d¹ng ∞ n X(−1) an = a0 − a1 + a2 − a3 + ··· (1) n=0 trong ®ã an > 0, ∀n (hoÆc an 0, ∀n. Khi ®ã nÕu d·y {an} ®¬n ®iÖu gi¶m và lim an =0th× chuç ®an dÊu (1) héi tô. n→∞ ∞ (−1)n VÝ dô. XÐt chuçi X . §©y là chuçi ®an dÊu víi a =1/n. D·y này ®¬n n n n=1 ®iÖu gi¶m và dÇn ®Õn 0 nªn theo tiªu chuÈn Leibnitz nã héi tô. 3.2 Héi tô tuyÖt ®èi ∞ ∞ §Þnh nghÜa 2. Ta nãi chuçi sè X an héi tô tuyÖt ®èi nÕu chuçi (d−¬ng) X |an| n=1 n=1 héi tô MÖnh ®Ò 2. NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× héi tô. Chøng minh. Sö dông tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi héi tô. 2 NhËn xÐt. §iÒu ng−îc l¹i cña ph¸t biÓu trong mÖnh ®Ò là kh«ng ®óng. Ch¼ng ∞ (−1)n−1 h¹n, chuçi ®iÒu hoà ®an dÊu X héi tô nh−ng kh«ng héi tô tuyÖt ®èi. n n=1 Mét chuçi héi tô nh−ng chuçi trÞ tuyÖt ®èi ph©n kú th× ta nãi chuçi ®ã b¸n héi tô. §Þnh lý 10. (Ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng) NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× khi ho¸n vÞ tïy ý c¸c sè h¹ng ta ®−îc chuçi míi còng héi tô tuyÖt ®èi và cã cïng tæng nh− chuçi ban ®Çu.
  12. 9 Trong dÞnh lý trªn, gi¶ thiÕt héi tô tuyÖt ®èi là ®iÒu kiÖn tiªn quyÕt, nhu sÏ thÊy trong ®Þnh lý sau ®©y: §Þnh lý 11. (Riemann) Trong mét chuçi b¸n héi tô, b»ng c¸ch ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng cã thÓ làm cho chuçi míi hoÆc cã tæng b»ng mét sè cho tr−íc bÊt kú hoÆc ph©n kú. 4 Chuçi hàm Trong bài này ta nghiªn cøu chuçi mà c¸c sè h¹ng là c¸c hàm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R nào ®ã. 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hàm - Sù héi tô và héi tô ®Òu ∞ Cho d·y hàm sè {un(x)}n=1 x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R. Tæng h×nh thøc: ∞ X un(x)=u1(x)+···+ un(x)+··· (2) n=1 ®−îc gäi lµ chuçi hàm x¸c ®Þnh trªn D víi sè h¹ng tæng qu¸t un(x). Tæng (h÷u h¹n) cña n sè h¹ng ®Çu tiªn ®−îc gäi lµ tæng riªng thø n: Sn(x):=u1(x)+···+ un(x). §Þnh nghÜa 3. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô t¹i x0 ∈ D nÕu d·y {Sn(x0)} héi tô. Nãi c¸ch kh¸c, d·y c¸c tæng riªng héi tô tíi x0. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô (tõng ®iÓm) trªn D vÒ hàm S(x) nÕu nã héi tô t¹i mçi ®iÓm x0 ∈ D và tæng t−¬ng øng là S(x0). ∞ VÝ dô. Chuçi hàm X xn = x + x2 + x3 + ··· héi tô trªn kho¶ng (−1, 1) vÒ n=1 x hàm S(x)= (tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n!). Chuçi này ph©n kú trªn 1 − x {|x|≥1}. ∞ Mét chuçiX un(x) héi tô trªn D vÒ hàm S(x) cã thÓ diÔn ®¹t nh− sau: n=1 ∀x ∈ D, ∀ε>0, tån t¹i sè tù nhiªn N(ε, x) sao cho |Sn(x) − S(x)| <ε.
  13. 10 §Þnh nghÜa 4. (Sù héi tô ®Òu) Trong ®Þnh nghÜa trªn nÕu cã thÓ chän ®−äc sè tù nhiªn N kh«ng phô thuéc vào x ∈ D th× sù héi tô ®ã ®−îc gäi lµ héi tô ®Òu. Theo ®Þnh nghÜa, tiªu chuÈn Cauchy cho sù héi tô ®Òu ph¸t biÓu nh− sau: ∞ §Þnh lý 12. Chuçi X un(x) héi tô ®Òu trªn D khi và chØ khi: n=1 ∀ε>0, ∃N(ε) ∈ N : ∀n>N,∀p ∈ N : |un+1(x)+···+ un+p(x)| 0 tuú ý miÔn là n ®ñ lín víi bÊt kú p ∈ N và víi mçi x ∈ R. §Þnh lý 13. (DÊu hiÖu Weierstrass) Gi¶ sö sup |un(x)|≤an, ∀n ∈ N. x∈D ∞ ∞ Khi ®ã nÕu chuçi sè X an héi tô, th× chuçi hàm X un(x) héi tô ®Òu trªn D. n=1 n=1 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hàm héi tô ®Òu §Þnh lý 14. (TÝnh liªn tôc cña tæng) NÕu chuçi hàm gåm c¸c hàm liªn tôc trªn D héi tô ®Òu vÒ hàm S(x) th× S(x) liªn tôc trªn D. §Þnh lý này là mét ®iÒu kiÖn cÇn cho sù héi tô ®Òu cña chuçi c¸c hàm liªn tôc.
  14. 11 ∞ VÝ dô. XÐt chuçi hàm x + X xn(x − 1) gåm c¸c hàm liªn tôc trªn D =[0, 1]. n=1 n Tæng riªng thø n cña chuçi này là Sn(x)=x . Do ®ã d·y c¸c tæng riªng héi tô (00≤ x<1 vÒ hàm (kh«ng liªn tôc) S(x)= . VËy sù héi tô là kh«ng ®Òu. 1 x =1 ∞ §Þnh lý 15. (TÝch ph©n qua chuçi) NÕu chuçi hàm X un(x) gåm c¸c hàm liªn n=1 ∞ b Z tôc trªn [a, b] héi tô ®Òu trªn ®o¹n này, th× chuçi tÝch ph©n X un(x)dx héi n=1 a tô và b ∞ ∞ b Z Z X un(x)dx = X un(x)dx. a n=1 n=1 a (Tøc là cã thÓ tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi). ∞ xn+1 VÝ dô. TÝnh tæng cña chuçi X v?i |x| < 1. n +1 n=0 ∞ Cè ®Þnh x víi |x| < 1, xÐt chuçi X tn trªn [0,x] (nÕu x ≤ 0 th× xÐt ®o¹n [x, 0]). n=0 1 Chuçi này héi tô ®Òu trªn [0,x] vÒ hàm .Tacã 1 − t ∞ ∞ xn+1 x X = X Z tndt n +1 n=0 n=0 0 ∞ x x dt = Z X tndt = Z = − ln(1 − x). 1 − t 0 n=0 0 ∞ §Þnh lý 16. (§¹o hàm qua chuçi) Cho chuçi hàm X un(x) gåm c¸c hàm kh¶ n=1 vi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu chuçi này héi tô tíi x0 ∈ [a, b] nào ®ã và chuçi c¸c ∞ ∞ 0 ®¹o hàm X un(x) héi tô ®Òu trªn [a, b] th× chuçi hàm X un(x) còng héi tô ®Òu n=1 n=1 trªn [a, b] vÒ hàm S(x) kh¶ vi và ta cã ∞ 0 ∞ 0 ! 0 S (x)= X un(x) = X un(x). n=1 n=1
  15. 12 5 Chuçi lòy thõa 5.1 Kh¸i niÖm chuçi lòy thõa - B¸n kÝnh héi tô Chuçi hàm d¹ng sau ®©y ®−îc gäi lµ chuçi lòy thõa ∞ n 2 X anx = a0 + a1x + a2x + ··· (3) n=0 hoÆc, mét c¸ch tæng qu¸t, chuçi lòy thõa t¹i x0 cã d¹ng: ∞ n 2 X an(x − x0) = a0 + a1(x − x0)+a2(x − x0) + ··· (4) n=0 C¸c an ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè. Chuçi (4) dÔ dàng ®−a vÒ (3) b»ng c¸ch ®Æt X := x − x0. TËp c¸c ®iÓm x mà chuçi lòy thõa (3) héi tô ®−îc gäi lµ miÒn héi tô cña nã. MiÒn héi tô cña chuçi lòy thõa lu«n kh¸c rçng (v× Ýt nhÊt, chuçi lòy thõa héi tô t¹i 0). MÖnh ®Ò 3. NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i x0 =06 th× nã héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|). ∞ n n Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt chuçi sè X anx0 héi tô, nªn lim anx0 =0.Do n→∞ n=0 ®ã, tån t¹i sè M>0 sao cho n |anx0 |≤M, ∀n ∈ N ∞ ∞ n n x Víi x ∈ (−|x0|, |x0|) cè ®Þnh, xÐt hai chuçi d−¬ng X |anx | và X M . x n=0 n=0 0 Ta cã n n n n x x |anx | = |anx | ≤ M . 0 x x 0 0 ∞ n ∞ x n Mà chuçi X M héi tô (cÊp sè nh©n lïi v« h¹n) nªn chuçi X |anx | còng x n=0 0 n=0 ∞ n héi tô. VËy chuçi X anx héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|). 2 n=0 Tõ mÖnh ®Ò này ta dÔ dàng suy ra ®Þnh lý sau ®©y m« t¶ miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa.
  16. 13 §Þnh lý 17. Víi mçi chuçi lòy thõa (3) lu«n tån t¹i duy nhÊt sè R ∈ [0, +∞] sao cho chuçi héi tô tuyÖt ®èi khi |x| R. Sè R trong ®Þnh lý trªn ®−îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa. NhËn xÐt. NÕu R =0, th× miÒn héi tô chØ gåm ®iÓm 0, trong khi nÕu R = ∞ th× miÒn héi tô là R. NÕu R>0 h÷u h¹n th× miÒn héi tô cã mét trong bèn d¹ng sau: [−R, R], [−R, R), (−R, R], (−R, R). MÖnh ®Ò 4. (C«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh héi tô) Ta cã 1 |a | R = lim = lim n n→∞ n n→∞ p|an| |an+1| (nÕu tån t¹i c¸c giíi h¹n). ∞ xn VÝ dô. 1) Chuçi X cã b¸n kÝnh héi tô là n! n=0 1 R = lim =+∞. n→∞ pn 1/n! VËy chuçi héi tô kh¾p n¬i. ∞ xn 2) Chuçi X | cã b¸n kÝnh héi tô là n +1 n=0 |a | n +2 R = lim n = lim =1. n→∞ |an+1| n→∞ n +1 Ngoài ra, chuçi héi tô t¹i x = −1, ph©n kú t¹i x =1. Do ®ã, miÒn héi tô cña chuçi dã cho là [−1, 1). 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa ∞ n §Þnh lý 18. (Abel) Gi¶ sö R>0 là b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa X anx . n=0 Khi ®ã chuçi héi tô ®Òu trªn ®o¹n [α, β] ⊂ (−R, R) bÊt kú. HÖ qu¶ 2. Tæng cña chuçi lòy thõa liªn tôc trªn (−R, R).
  17. 14 ∞ n §Þnh lý 19. (§¹o hàm chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa X anx víi b¸n kÝnh n=0 héi tô R. Khi ®ã chuçi c¸c ®¹o hàm còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ ®¹o hàm tõng tõ: ∞ 0 n! 2 X anx = a1 +2a2x +3a3x + ··· n=0 HÖ qu¶ 3. Tæng cña chuçi lòy thõa lµ kh¶ vi v« vµ chuçi c¸c ®¹o hàm cÊp m tïy ý cña nã cã cïng b¸n kÝnh héi tô víi chuçi ban ®Çu. ∞ n §Þnh lý 20. (TÝch ph©n chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa X anx víi b¸n kÝnh n=0 héi tô R>0. Khi ®ã chuçi c¸c tÝch ph©n còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ: ∞ ∞ x ! a Z X a tn dt = X n xn+1. n n +1 0 n=0 n=0 ∞ VÝ dô. Chuçi X xn cã b¸n kÝnh héi tô là R =1. V?i |x| < 1 ta có n=0 ∞ 1 = X xn =1+x + x2 + ··· 1 − x n=0 Thay x b?i −x và −x2 ta du?c 1 =1− x + x2 − x3 + ···+(−1)nxn + ··· 1+x 1 =1− x2 + x4 − x6 + ···+(−1)2nx2n + ··· 1+x2 Tích phân các chu?i này, ta thu du?c các khai tri?n x dt x2 x3 xn+1 ln(1 + x)=Z = x − + −···+(−1)n + ··· 0 1+t 2 3 n +1 x dt x3 x5 x2n+1 arctgx = Z = x − + −···+(−1)n + ··· 2 0 1+t 3 5 2n +1
  18. 15 5.3 Khai triÓn hàm thành chuçi lòy thõa Ta nãi hàm sè f(x) khai triÓn ®−îc thành chuçi lòy thõa trªn kho¶ng (a, b) nÕu f(x) là tæng cña mét chuçi lòy thõa héi tô trªn (a, b). Nãi c¸ch kh¸c, ∞ n f(x)=X anx , ∀x ∈ (a, b). n=0 ∞ n §Þnh lý 21. NÕu f(x) khai triÓn ®−îc thành chuçi lòy thõa X anx trªn (−R, R) n=0 (v?i R>0) th× f(x) kh¶ vi v« h¹n trªn (−R, R) và f (n)(0) a = n n! Nh− vËy, nÕu hàm sè khai triÓn ®−îc thành chuçi lòy thõa th× chuçi lòy thõa ®ã chÝnh là chuçi Taylor cña nã. Tuy nhiªn, hàm sè kh¶ vi v« h¹n ch−a ch¾c khai triÓn ®−îc thành chuçi lòy thõa, tøc là chuçi Taylor cã thÓ kh«ng héi tô vÒ hàm (e−1/x2 nÕu x =06 sè ®ã. Ch¼ng h¹n hàm sè f(x)= cã f (n)(0) = 0, ∀n, nªn 0 nÕu x =0 ∞ chuçi MacLaurin là X 0=0=6 f(x). n=0 §Þnh lý 22. NÕu f(x) kh¶ vi v« h¹n và tån t¹i M>0 sao cho |f (n)(x)|≤M, ∀x ∈ (−R, R), ∀n, th× f(x) khai triÓn ®−îc thành chuçi lòy thõa trªn (−R, R) 5.4 Khai triÓn thành chuçi lòy thõa mét sè hàm s¬ cÊp 1) Hàm mò: f(x)=ex x x2 xn ex =1+ + + ···+ + ··· 1! 2! n! Khai triÓn này ®óng ∀x ∈ R. 2) Hàm logarithm: f(x) = ln(1 + x) (xem vÝ dô tr−íc) x dt x2 x3 xn+1 ln(1 + x)=Z = x − + −···+(−1)n + ··· 0 1+t 2 3 n +1
  19. 16 MiÒn héi tô là (−1, 1]. 3) Hàm lòy thõa: f(x)=(1+x)α, α ∈ R ∞ α(α − 1) (α − n +1) (1 + x)α =1+X xn. n! n=1 Chuçi khai triÓn héi tô víi |x| < 1, ngoài ra cã thÓ héi tô t¹i hai ®Çu mót tuú theo α cô thÓ. 4) Hàm cos x: Víi mçi x ∈ R ta cã: x2 x4 x2n cos x =1− + −···+(−1)n + ··· 2! 4! (2n)! 5) Hàm sin x: Víi mçi x ∈ R ta cã: x3 x5 x2n+1 sin x = x − + −···+(−1)n + ··· 3! 5! (2n + 1)! 6 Khai triÓn Fourier Trong phÇn này ta xÐt khai triÓn hàm sè thành chuçi c¸c hàm l−îng gi¸c là lo¹i chuçi hàm ®−îc dïng nhiÒu trong c¸c bài to¸n vËt lý kü thuËt. 6.1 Chuçi l−îng gi¸c Chuçi hàm cã d¹ng sau ®−îc gäi lµ chuçi l−îng gi¸c ∞ a 0 + X(a cos nx + b sin nx) (5) 2 n n n=1 trong ®ã a0,a1,a2, ,b1,b2, ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè. Ta nãi hàm f(x) khai triÓn ®−îc thành chuçi l−îng gi¸c nÕu nã là tæng cña mét chuç c¸c hµm l−îng gi¸c d¹ng (5) héi tô trªn R. HiÓn nhiªn c¸c hàm l−îng gi¸c trong hÖ hàm sau cã khai triÓn (tÇm th−êng) thành chuçi hàm l−îng gi¸c: H := {cos mx, sin nx}, víi m = 0, ∞,n= 1, ∞
  20. 17 MÖnh ®Ò 5. HÖ hàm H trùc giao trªn ®o¹n [−π,π], theo nghÜa: π Z cos mx sin nxdx =0, ∀m, n, −π π Z cos mx cos nxdx =0, ∀m, n, −π π Z sin mx sin nxdx =0, ∀m =6 n, −π π π π Vµ Z cos2 nxdx = Z sin2 nxdx = π,∀n ≥ 1; Z dx =2π. −π −π −π Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp. 2 MÖnh ®Ò 6. NÕu f(x) khai triÓn ®−îc thành chuçi l−îng gi¸c th× c¸c hÖ sè cña khai triÓn (còng gäi là c¸c hÖ sè Fourier) cho bëi c«ng thøc: π 1 Z am = f(x) cos mxdx, m =0, 1, 2, π −π π 1 Z bn = f(x) sin nxdx, n =1, 2, π −π §Ó ý r»ng nÕu f(x) kh¶ tÝch trªn [−π,π] th× c¸c hÖ sè Fourier cña nã là tån t¹i, tøc là thiÕt lËp ®−îc chuçi Fourier cña f(x). Tuy nhiªn chuçi này ch−a ch¾c héi tô vÒ hàm f(x). §Þnh lý sau minh häa nhËn xÐt này. §Þnh lý 23. (Dirichlet) Gi¶ sö f(x) là hàm tuÇn hoàn chu kú 2π, ®¬n ®iÖu tõng khóc vµ bÞ chÆn trªn mçi chu kú. Khi ®ã tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i x0 b»ng 1 ! lim f(x) + lim f(x) . − + 2 x→x0 x→x0 HÖ qu¶ 4. Víi c¸c gi¶ thiÕt trong ®Þnh lý Dirichlet, f(x) b»ng tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i nh÷ng ®iÓm liªn tôc. 6.2 Khai triÓn Fourier cña hàm ch½n, hàm lÎ Râ ràng, nÕu f(x) là hàm lÎ th× c¸c hÖ sè Fourier am =0; trong khi nÕu f(x) là hàm ch½n th× c¸c hÖ sè Fourier bn =0. V× vËy, Chuçi Fourier cña c¸c hàm ch½n kh«ng chøa c¸c hàm sin, trong khi chuçi Fourier cña c¸c hàm lÎ th× kh«ng chøa c¸c hàm cosin.
  21. 18 6.3 Khai triÓn Fourier cña hàm tuÇn hoàn cã chu kú kh¸c 2π Gi¶ sö f(x) tuÇn hoàn chu kú 2L víi L =6 π. XÐt phÐp biÕn ®æi xπ t = . L tL Khi ®ã hàm sè g(t):=f( ) cã chu kú là 2π vµ khai triÓn Fourier cña f(x) là: π ∞ tL a f( )=g(t)= 0 + X(a cos nt + b sin nt). π 2 n n n=1 V× vËy: ∞ a nπx nπx f(x)= 0 + X(a cos + b sin n ). 2 n L n L n=1 C¸c hÖ sè cña khai triÓn cho bëi c«ng thøc sau: 1 π 1 L nπx an = R g(t) cos ntdt = R f(x) cos dx, n =0, 1, 2, π −π L −L L 1 π 1 L nπx bn = R g(t) sin ntdt = R f(x) sin dx, n =1, 2, π −π L −L L 6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoàn Víi c¸c hàm sè ®−îc cho trªn mét ®o¹n [a, b] nào ®ã, ta cã thÓ më réng thành mét hàm sè tuÇn hoàn trªn c¶ trôc sè R. C«ng viÖc ®ã ®−îc gäi lµ th¸c triÓn tuÇn hoàn mét hàm sè. NÕu hàm sè ®−îc cho trªn [−π,π], ta th¸c triÓn tuÇn hoàn b»ng c¸ch ®Æt f(x) nÕu − π<x≤ π  f˜(x)=f(π) nÕu x = −π f(x − k2π) nÕu − π + k2π<x≤ π + k2π, k ∈ Z. NÕu hàm sè chØ ®−îc cho trªn [0,π], ta cã thÓ më réng hàm f(x) thành hàm x¸c ®Þnh trªn [−π,π] b»ng c¸ch sau ®©y: Th¸c triÓn ch½n: Víi x ∈ [−π,0], ta ®Æt f(x)=f(−x). Th¸c triÓn lÎ: Víi x ∈ [−π,0], ta ®Æt f(x)=−f(−x).
  22. 19 Khi ®ã ta thu ®−îc c¸c hàm ch½n hoÆc lÎ t−¬ng øng trªn [−π,π]. NÕu hàm sè cho trªn kho¶ng bÊt kú, ta cã thÓ ®−a vÒ ®o¹n [0,π], hoÆc [−π,π] b»ng c¸ch “co gi·n” ®o¹n này. π − x VÝ dô. Khai triÓn hàm sè f(x)= thành chuçi Fourier trªn [0, 2π]. Th¸c 2 triÓn tuÇn hoàn hàm sè ®· cho lªn toàn trôc sè ta ®−îc mét hàm tuÇn hoàn chu kú 2π, và là hàm lÎ. Ta tÝnh c¸c hÖ sè: 2π 1 Z π − x a0 = dx =0, π 0 2 2π 1 Z π − x an = cos nxdx =0, π 0 2 2π 1 Z π − x 1 bn = sin nxdx = . π 0 2 n V× vËy ∞ π − x sin nx = X . 2 n n=1 Khai triÓn này ®óng t¹i c¸c ®iÓm liªn tôc cña hàm th¸c triÓn. T¹i x =0hay x =2π, vÕ ph¶i b»ng kh«ng và kh¸c vÕ tr¸i. 6.5 TÝch ph©n Fourier Gi¶ sö f(x) là hàm tuÇn hoàn chu k? 2π cã khai triÓn Fourier: ∞ a f(x)= 0 + X(a cos nx + b sin kx) 2 k k k=1 víi c¸c hÖ sè: π  1 Z ak = f(x) cos kxdx, k =0, 1, 2,  π −π  π 1 Z bk = f(x) sin kxdx, k =1, 2,  π −π NÕu f(x) là hàm kh¶ tÝch tuyÖt ®èi trªn R th× c¸c hÖ sè cã thÓ 00liªn tôc ho¸00 thành hàm x¸c ®Þnh trªn R: 1 +∞ a(s)= Z f(x) cos sxdx π −∞ 1 +∞ b(s)= Z f(x) sin sxdx π −∞
  23. 20 C¸c tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®−îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier cosin và sin t−¬ng øng cña hàm f(x).
  24. 21 II. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n Trong rÊt nhiÒu lÜnh vùc øng dông, chuyÓn ®éng cña mét hÖ ®−îc m« h×nh hãa bëi c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n, tøc là ph−¬ng tr×nh cã chøa c¸c ®¹o hàm cña Èn hàm cÇn t×m. Ch¼ng h¹n, trong c¬ häc cæ ®iÓn (®Þnh luËt Newton), trong thiªn v¨n häc (sù chuyÓn ®éng cña c¸c hành tinh), trong hãa häc (c¸c ph¶n øng ho¸ häc), trong sinh häc (sù ph¸t triÓn cña d©n sè), trong ®iÖn tö Trong hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc nhu thÕ, bài to¸n chung nhÊt là m« t¶ nghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh này (c¶ vÒ ®Þnh tÝnh lÉn vÒ ®Þnh l−îng). 1.1 Vài m« h×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n • Sù r¬i tù do. XÐt mét vËt cã khèi l−îng m ®−îc th¶ r¬i tù do trong khÝ quyÓn gÇn mÆt ®Êt. Theo ®Þnh luËt II Newton, chuyÓn ®éng cña vËt ®ã cã thÓ m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh F = ma, (1) trong ®ã F là hîp lùc t¸c ®éng lªn vËt và a là gia tèc chuyÓn ®éng. Hîp lùc F cã thÓ gi¶ thiÕt chØ bao gåm lùc hÊp dÉn (tØ lÖ víi khèi l−îng cña vËt và h−íng xuèng) và lùc c¶n (tØ lÖ víi vËn tèc chuyÓn ®éng và h−íng lªn trªn). Ngoài ra, dv do gia tèc chuyÓn ®éng a = nªn (1) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng dt dv m = mg − γv, (2) dt trong ®ã g ≈ 9, 8m/s2 là gia tèc träng tr−êng, còn γ là hÖ sè c¶n. VËy vËn tèc v cña vËt r¬i tù do tháa m·n ph−¬ng tr×nh (2) víi sù xuÊt hiÖn cña ®¹o hàm cña v. Nh÷ng ph−¬ng tr×nh nh− vËy ta sÏ gäi là ph−¬ng tr×nh vi ph©n. • Dung dÞch hãa häc. Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t = t0 mét thïng chøa x0 kg muèi hßa tan trong 1000 lÝt n−íc. Ta cho ch¶y vào thïng mét lo¹i n−íc muèi nång ®é a (kg/lÝt) víi l−u l−îng r (lÝt/phót) và khuÊy ®Òu. §ång thêi, cho hçn hîp ®ã ch¶y ra khái thïng cïng víi tèc ®é nh− trªn. Gäi x = x(t) là l−îng muèi trong thïng t¹i thêi ®iÓm bÊt kú. Râ ràng tØ lÖ thay ®æi l−îng muèi trong thïng dx b»ng hiÖu cña tØ lÖ muèi ch¶y vào ar(kg/phót) trõ ®i tØ lÖ muèi ch¶y ra t¹i dt
  25. 22 rx thêi diÓm ®ang xÐt (kg/phót). VËy ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1000 dx rx = ar − , (3) dt 1000 víi d÷ kiÖn ban ®Çu x(t0)=x0. 1.2 C¸c kh¸i niÖm. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n là ph−¬ng tr×nh cã d¹ng F (x, y, y0,y00, ,y(n))=0, (4) trong ®ã y = y(x) là Èn hàm cÇn t×m và nhÊt thiÕt ph¶i cã sù tham gia cña ®¹o hàm (®Õn cÊp nào ®ã) cña Èn. Trong tr−êng hîp Èn hàm cÇn t×m là hàm nhiÒu biÕn (xuÊt hiÖn c¸c ®¹o hàm riªng) th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n cßn gäi là ph−¬ng tr×nh ®¹o hàm riªng. §Ó ph©n biÖt, ng−êi ta th−êng gäi ph−¬ng tr×nh víi Èn hàm là hàm mét biÕn là ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng và là ®èi t−îng chÝnh cña ch−¬ng này. Ta nãi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n cã cÊp n nÕu n là cÊp lín nhÊt cña ®¹o hàm cña Èn xuÊt hiÖn trong ph−¬ng tr×nh. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 cã d¹ng tæng qu¸t F (x, y, y0)=0, (5) trong ®ã F (x, y, z) ®−îc gi¶ thiÕt liªn tôc cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng cña nã trªn miÒn G ⊂ R3. Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp (xem ®Þnh lý hàm Èn), ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cã thÓ viÕt ®−îc d−íi d¹ng sau (gäi là d¹ng gi¶i ra ®−îc ®èi víi ®¹o hàm) y0 = f(x, y), (6) víi f(x, y) liªn tôc trong miÒn D ⊂ R2 nào ®ã. VÝ dô. C¸c ph−¬ng tr×nh ey + y02 cos x =1 y0002 − 2xy =lnx ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y2
  26. 23 lÇn l−ît là ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1, cÊp 3 và ph−¬ng tr×nh ®¹o hàm riªng cÊp 2. XÐt ph−¬ng tr×nh (4). Hàm sè φ : I → R (víi I =(a, b) là kho¶ng nào ®ã cña R) ®−îc gäi lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4) nÕu nã cã c¸c ®¹o hàm liªn tôc ®Õn cÊp m trªn I và tháa m·n F (x, φ(x),φ0(x),φ00(x), ,φ(m))(x)=0, víi mçi x ∈ I. (7) Trong tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1, nghiÖm là mét hàm thùc mét biÕn y = φ(x) mà khi thay vào (5) hoÆc (6), ta ®−îc mét ®¼ng thøc d¹ng. VÝ dô. DÔ kiÓm tra r»ng hÖ hàm (phô thuéc vào hai tham sè tuú ý) y = C1 cos x + C2 sin x là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n y00 + y =0. VÝ dô. (S¨n måi và måi) Sù ph¸t triÓn cña hai quÇn thÓ sinh vËt (ch¼ng h¹n, x = x(t) là sè con mÌo và y = y(t) là sè con chuét) theo thêi gian ®−îc m« t¶ bëi (hÖ) ph−¬ng tr×nh Volterra−Lotka sau ®©y y0 = y(α − βx),x0 = x(γy − δ) (8) víi α,β,γ và δ là nh÷ng h»ng sè ®Æc tr−ng cho sù t¨ng tr−ëng cña c¸c quÇn thÓ. Xem y nh− là hàm theo x, ph−¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d−íi d¹ng (γy − δ) (α − βx) dy = dx. y x NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh này cho bëi γy − δ ln y = α ln x − βx + C trong ®ã C là h»ng sè tuú ý. 1.3 Bài to¸n Cauchy Ta nhËn xÐt r»ng nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n nãi chung phô thuéc vào mét hay nhiÒu h»ng sè tïy ý nào ®ã. §Ó x¸c ®Þnh mét nghiÖm cô thÓ, ta cÇn thªm
  27. 24 mét hay vài d÷ kiÖn nào ®ã vÒ nghiÖm (tïy theo cÊp cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n). x3 Ch¼ng h¹n, y = + C là nghiÖm (tæng qu¸t) cña ph−¬ng tr×nh y0 = x2. DÔ thÊy 3 x3 y = +1là nghiÖm (duy nhÊt) tháa ®iÒu kiÖn y(0) = 1. 3 Ta xÐt bài to¸n sau ®©y ®Æt ra ®èi víi ph−¬ng tr×nh (5), gäi là bài to¸n Cauchy (hay bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu): ( y0 = f(x, y) Bài to¸n: T×m nghiÖm y(x) tháa: (9) y(x0)=y0 trong ®ã (x0,y0) ∈ D ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra là bài to¸n (9) cã hay kh«ng và cã bao nhiªu lêi gi¶i. Ta l−u ý r»ng kh«ng ph¶i lóc nào bài to¸n Cauchy còng cã nghiÖm, và khi cã nghiÖm còng kh«ng nhÊt thiÕt cã duy nhÊt nghiÖm. Ch¼ng h¹n, ph−¬ng tr×nh y0 = x2, y(0) = 0 cã duy nhÊt mét nghiÖm là y = x3/3. Ph−¬ng tr×nh xy0 = y, y(0) = 1 kh«ng cã nghiÖm nào; cßn ph−¬ng tr×nh y0 = y1/3, y(0) = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm 8 là là y ≡ 0 và y2 = x3. 27 0 §Þnh lý 1. NÕu hàm sè f(x, y) cïng víi ®¹o hàm riªng fy liªn tôc trªn D 3 (x0,y0) th× bài to¸n Cauchy (9) cã duy nhÊt nghiÖm. 2 Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I 2.1 Ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 d¹ng M(x)dx + N(y)dy =0 (10) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly (hay cßn gäi ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn). C¸ch gi¶i: C¸c hàm M(x),N(y) ®−îc gi¶ thiÕt liªn tôc trªn c¸c kho¶ng nào ®ã. Khi ®ã chØ cÇn tÝch ph©n hai vÕ cña (10) ta thu ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña nã là Z M(x)dx + Z N(y)dy = C.
  28. 25 VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nhy2y0 = x(1 + x2). Ph−¬ng tr×nh này cã d¹ng t¸ch biÕn y2dy − x(1 + x2)dx =0 TÝch ph©n hai vÕ ta thu ®−îc nghiÖm tæng qu¸t là: y3 x2 x4 − − = C 3 2 4 NhËn xÐt. Ph−¬ng tr×nh d¹ng M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)=0 (11) còng ®−a ®−îc vÒ d¹ng (10) víi biÕn sè ph©n ly, b»ng c¸ch chia hai vÕ cho M2(x)N1(y) (víi gi¶ thiÕt biÓu thøc này kh¸c 0) M (x) N (y) 1 dx + 2 dy =0. M2(x) N1(y) Do ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t là M (x) N (y) Z 1 dx + Z 2 dy = C. M2(x) N1(y) VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy =0. Chia hai vÕ cho (1 + x2)(1 + y2) ta ®−îc xdx ydy + =0. 1+x2 1+y2 TÝch ph©n hai vÕ ta ®−îc xdx ydy Z + Z = C. 1+x2 1+y2 tøc là 1 1 1 ln(1 + x2)+ ln(1 + y2)=C := ln C . 2 2 2 1 2 2 VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là (1 + x )(1 + y )=C1, trong ®ã C1 là h»ng sè d−¬ng tïy ý.
  29. 26 2.2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt Hàm sè f(x, y) ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt bËc d nÕu víi mçi t ∈ R ta cã f(tx, ty)=tdf(x, y). Ph−¬ng tr×nh vi ph©n y0 = f(x, y) ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt (hay cßn gäi ®¼ng cÊp) nÕu hàm sè ë vÕ ph¶i là hàm thuÇn nhÊt bËc 0, tøc là f(tx, ty)=f(x, y) víi mäi t. y C¸ch gi¶i: §Æt u := ,tacãf(x, y)=f(x, xu)=f(1,u), dy = xdu + udx.Tõ x ®ã du dy x + u = = f(1,u), dx dx hoÆ d−íi d¹ng t¸ch biÕn du dx = . f(1,u) − u x TÝch ph©n hai vÕ ta ®−îc Z du x =ln , f(1,u) − u C hay du x = C exp Z víi C =06 . f(1,u) − u y Thay u = vào biÓu thøc trªn ta t×m ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh x thuÇn nhÊt. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x2 + y2)dx + xydy =0. Ta cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng dy y x = − − . dx x y VÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh này là hàm thuÇn nhÊt. §Æt y = xu ta cã du 1 x + u + u + =0, dx u Hay t−¬ng ®−¬ng víi dx udu = − . x 1+2u2
  30. 27 TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh này ta ®−îc x 1 2 ln = − ln(1 + 2u ). C 4 y Thay u = vào ®¼ng thøc này ta ®−îc nghiÖm x C4x2 x4 = ,C=06 . x2 +2y2 Ph−¬ng tr×nh ®−a vÒ thuÇn nhÊt: C¸c ph−¬ng tr×nh d¹ng dy ax + by + c = f( ) dx a1x + b1y + c1 cã thÓ ®−a vÒ d¹ng thuÇn nhÊt b»ng phÐp biÕn ®æi  x = ξ + x0 y = η + y0 trong ®ã x0 và y0 là nghiÖm cña hÖ:  ax0 + by0 + c =0 a1x0 + b1y0 + c1 =0 Khi ®ã dη aξ + bη = f   dξ a1ξ + b1η η  a + b  ξ η  = f  η  = g a + b  ξ 1 1 ξ và ®©y chÝnh là ph−¬ng tr×nh d¹ng thuÇn nhÊt. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2x − 4y +6)dx +(x + y − 3)dy =0. Tr−íc hÕt ta xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh sau  2x0 − 4y0 +6=0 x0 + y0 − 3=0 HÖ này cã nghiÖm là x0 =1,y0 =2. TiÕp ®Õn ta thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn  x = ξ +1 y = η +2
  31. 28 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho ®−îc biÕn ®æi thành ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: (2ξ − 4η)dξ +(ξ + η)dη =0 §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh này ta ®Æt η = uξ vµ thu ®−îc (2 − 3u + u2)dξ + ξ(1 + u)du =0. Ph−¬ng tr×nh này chÊp nhËn nghiÖm u =1và u =2. §Ó t×m nghiÖm tæng qu¸t ta chia 2 vÕ cho 2 − 3u + u2: dξ (1 + u)du + =0 ξ 2 − 3u + u2 dξ 3 2 ⇐⇒ +  −  du =0 ξ u − 2 u − 1 TÝch ph©n 2 vÕ ta ®−îc |u − 2|3 ln |ξ| +ln =lnC (u − 1)2 1 (u − 2)3 hay ξ = C (u − 1)2 Trë l¹i biÕn x, y ban ®Çu ta cã nghiÖm tæng qu¸t (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2, cïng vãi hai nghiÖm y = x +1và y =2x t−¬ng øng víi u =1và u =2. 2.3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn Ph−¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0 (12) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn nÕu vÕ tr¸i cña nã là vi ph©n toàn phÇn cña hàm nào ®ã, tøc là tån t¹i hàm U(x, y) sao cho dU(x, y)=P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Khi ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t cña (12) cho bëi U(x, y)=C.
  32. 29 NhËn xÐt. Gi¶ sö c¸c hàm P, Q cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng liªn tôc trªn D. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (12) là ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn khi và chØ khi ∂P ∂Q = . ∂y ∂x Hàm U(x, y) lóc nµy cã thÓ t×m d−íi d¹ng: x y Z Z U(x, y)= P (x, y)dx + Q(x0,y)dy. x0 y0 x y (13) Z Z hay U(x, y)= P (x, y0)dx + Q(x, y)dy, x0 y0 trong ®ã (x0,y0) ∈ D là mét ®iÓm nào ®ã sao cho c¸c tÝch ph©n trªn tån t¹i. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x3 + xy2)dx +(x2y + y3)dy =0.Tacã P (x, y)=x3 + xy2 vµ Q(x, y)=x2y + y3 vµ ∂P ∂Q =2xy = . ∂y ∂x HÖ thøc này chøng tá r»ng ph−¬ng tr×nh ®· cho là ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn víi hàm U(x, y) cã thÓ chän là x y U(x, y)=Z (x3 + xy2)dx + Z (0.y + y3)dy, 0 0 x4 x2y2 y4 hay U(x, y)= + + . 4 2 4 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh dã cho là 2 2 2 2 (x + y ) =4C1 := C hay x2 + y2 = C víi C ≥ 0 Thõa sè tÝch ph©n: Cã nh÷ng tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh (12) ch−a ph¶i là ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn, nh−ng cã thÓ t×m ®−îc hàm sè µ(x, y) sao cho ph−¬ng tr×nh sau trë thành ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} =0
  33. 30 Hàm µ(x, y) nhu thÕ ®−îc gäi lµ thõa sè tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (12). §iÒu kiÖn ®Ó µ là thõa sè tÝch ph©n là µ ph¶i tháa m·n ph−¬ng tr×nh: ∂ ∂ (µP )= (µQ) ∂y ∂x Hay t−¬ng ®−¬ng ∂µ ∂µ ∂P ∂Q Q − P = µ  −  . (14) ∂x ∂y ∂y ∂x Kh«ng cã ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hàm riêng này. Tuy nhiªn trong mét vài tr−êng hîp ®Æc biÖt ta cã thÓ t×m ®−îc µ. Tr−êng hîp I: µ chØ phô thuéc vào x. Gi¶ sö µ>0, khi ®ã chia hai vÕ cña (14) cho µ, ta ®−îc ∂P ∂Q − d ln µ ∂y ∂x = = ϕ. dx Q VËy tr−êng hîp này chØ tháa m·n khi vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn kh«ng phô thuéc vào y. Víi ®iÒu kiÖn này, thõa sè tÝch ph©n cho bëi: µ(x)=expZ ϕ(x)dx . Tr−êng hîp II: µ chØ phô thuéc vào y. Làm t−¬ng tù nh− trªn, thõa sè tÝch ph©n cho bëi: µ(y) = exp Z ψ(y)dy , ∂Q ∂P − ∂x ∂y trong ®ã ψ(y):= ®−îc gi¶ thiÕt kh«ng phô thuéc vào x. P VÝ dô. T×m thõa så tÝch ph©n råi gi¶i ph−¬ng tr×nh (2xy + x2y + y3/3)dx +(x2 + y2)dy =0.Tacã P (x, y)=2xy + x2y + y3/3 và Q(x, y)=x2 + y2. Tõ ®ã ∂P ∂Q − ∂y ∂x 2x + x2 + y2 − 2x = =1. Q x2 + y2
  34. 31 Do ®ã cã thÓ chän µ(x)=exp(Z dx)=ex ®Ó cho ph−¬ng tr×nh ex[(2xy + x2y + y3/3)dx +(x2 + y2)dy]=0 là ph−¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh này theo c«ng thøc (13) ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t yex(x2 + y2/3) = C. 2.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I Trong môc này ta xÐt líp c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n mà biÓu thøc là tuyÕn tÝnh ®èi víi Èn và ®¹o hàm cña nã. C¸c ph−¬ng tr×nh nhu thÕ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I là y0 + p(x)y = q(x), (15) trong ®ã p(x),q(x) là c¸c hàm x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã. NÕu q(x) ≡ 0, ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: y0 + p(x)y =0. (16) §Þnh lý 2. Gi¶ sö p(x) và q(x) liªn tôc trªn (a, b) chøa x0. Khi ®ã, víi mçi gi¸ trÞ y0, ph−¬ng tr×nh (16) cã mét nghiÖm duy nhÊt tháa y(x0)=y0. C¸ch gi¶i: §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (15) tr−íc hÕt ta gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng (16). Thùc ra, ®©y là ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn dy + p(x)dx =0. y NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh này là: Z − p(x)dx y(x)=Ae , (17) trong ®ã A là h»ng sè tïy ý. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange: Ta sÏ t×m nghiÖm tæng qu¸t cña (15) d−íi d¹ng tÝch Z − p(x)dx y = A(x)e , (18)
  35. 32 tøc là xem h»ng sè A trong biÓu thøc nghiÖm (17) nh− là hàm theo biÕn x (ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè). Thay vào ph−¬ng tr×nh (15) ta ®−îc Z − p(x)dx A0e = q(x). (19) Tõ ®ã, Z p(x)dx A(x)=Z q(x)e dx + C. Thay vào (18), ta thu ®−îc nghiÖm tæng qu¸t cña (15) là: Z Z − p(x)dx  p(x)dx  Z y = e  q(x)e dx + C (20)   trong ®ã C là h»ng sè tïy ý. VÝ dô. T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n y0 +3xy = x ®i qua ®iÓm (0, 4). Ta cã p(x)=3x nªn Z p(x)dx =3x2/2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là y = e−3x2/2 Z xe3x2/2dx + C 2 1 2 1 2 = e−3x /2  e3x /2 + C = + Ce−3x /2 3 3 11 Thay x =0và y =4vào ®¼ng thøc trªn, ta t×m ®−îc C = và nghiÖm riªng 3 cÇn t×m là: 1 11 2 y = + e−3x /2. 3 3 HÖ qu¶ 1. NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (15) víi ®iÒu kiÖn y(x0)=y0 cho bëi c«ng thøc x Z q(t)µ(t)dt + y0 y(x)= x0 , µ(x) x Z p(t)dt trong ®ã µ(x):=e x0 .
  36. 33 2.5 Ph−¬ng tr×nh Bernoully Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng y0 + p(x)y = q(x)yα, (21) trong ®ã α là sè thùc nào ®ã, ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Bernoully.1 §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh này ta ®−a vÒ gi¶i ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (15) ®· xÐt trong môc tr−íc. Râ ràng víi α =0hay α =1th× (21) ®· có d¹ng ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. NÕu α =06 và α =16 , th× ®Æt z = y1−α. Khi ®ã z0 =(1− α)y−αy0 Chia hai vÕ cña (21) cho yα, råi thay biÓu thøc cña z và z0 vào ®¼ng thøc ®ã ta ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh theo z: z0 +(1− α)p(x)z =(1− α)q(x). (22) NhËn xÐt. Chó ý r»ng ta ph¶i xÐt riªng tr−êng hîp y =0tr−íc khi chia hai vÕ cho yα ®Ó tr¸nh làm mÊt nghiÖm này. √ VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh xy0−4y = x2 y. Râ ràng ®©y là ph−¬ng tr×nh Bernoully víi α =1/2 và y =0là mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho. Gi¶ sö y =06 , chia hai vÕ cho xy1/2 ta ®−îc 1 4 y−1/2y0 − y 2 = x. x 1 1 §Æt z = y 2 ta cã z0 = y−1/2y0. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thành ph−¬ng 2 tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt 2 x z0 − z = . x 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh này, ta t×m ®−îc nghiÖm 1 z = x2  ln |x| + C . 2 1I.Bernoully (1667 1746) là nhà to¸n häc Thôy sÜ.
  37. 34 Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tæng qu¸t là 1 2 y = x4  ln |x| + C 2 và nghiÖm y =0. 2.6 Ph−¬ng tr×nh Clairaut Ph−¬ng tr×nh Clairaut2 là líp c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng: y = xy0 + f(y0), (23) trong ®ã, nãi chung, f là mét hàm phi tuyÕn. C¸ch gi¶i: §Æt p = y0. Khi ®ã y = px + f(p). Vi ph©n hai vÕ ®¼ng thøc này, víi chó ý r»ng dy = pdx ta ®−îc pdx = pdx +(x + f 0(p))dp, hay (x + f 0(p))dp =0. Tõ ®ã ta suy ra dp =0hay x + f 0(p)=0. NÕu dp =0th× p = C, thay vào (23) ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t y = Cx+ f(C). (24) §©y là mét hä ®−êng th¼ng. NÕu x + f 0(p)=0, cïng víi (23), ta thu ®−îc mét nghiÖm cho d−íi d¹ng tham sè  x = −f 0(p), y = −pf 0(p)+f(p). Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng nÕu f 00(p) liªn tòc và kh¸c kh«ng th× nghiÖm cho d−íi d¹ng tham sè là bao h×nh cña hä ®−êng th¼ng (24). VÝ dô. XÐt ph−¬ng tr×nh y =(x − 1)y0 − y02. §©y là ph−¬ng tr×nh Clairaut víi f(t)=−t2 − t. Thay thÕ y0 bëi C ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t là hä ®−êng th¼ng y = C(x − 1) − C2. 2Alexis Claude Clairaut (1713-1765) là nhà khoa häc næi tiÕng ng−êi Ph¸p.
  38. 35 §Ó t×m nghiÖm kú dÞ, tøc là bao h×nh cña hä ®−êng th¼ng trªn ta xÐt hÖ  x =2C +1, y = C(x − 1) − C2. (x − 1)2 Khö C tõ hÖ ph−¬ng tr×nh này ta ®−îc bao h×nh là parabol y = . 4 2.7 Ph−¬ng tr×nh Lagrange Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I tuyÕn tÝnh ®èi víi x và y d¹ng: y = ϕ(y0)x + ψ(y0), (25) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Lagrange3. C¸ch gi¶i: Gi¶ sö ϕ(y0) =6 y0, nÕu kh«ng ph−¬ng tr×nh ®· cho là ph−¬ng tr×nh Clairaut mà ta ®· xÐt trªn ®©y. Còng t−¬ng tù nh− tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh Clairaut, ta ®Æt p = y0. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (25) trë thành y = ϕ(p)x + ψ(p). (26) Vi ph©n hai vÕ theo x ta ®−îc dy dp p = = ϕ(p)+[ϕ0(p)x + ψ0(p)] dx dx Xem p là biÕn sè ®éc lËp ta cã ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh mà Èn là x = x(p) nh− sau: dx ϕ0(p) ϕ0(p) + x = . dp ϕ(p) − p p − ϕ(p) TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh này theo ph−¬ng ph¸p ®· biÕt ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t x = h(p, C), víi C là tham sè tïy ý. KÕt hîp víi (26) ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (25) cho d−íi d¹ng tham sè (tham sè hãa theo tham sè p):  y = ϕ(p)h(p, C)+ψ(p), x = h(p, C). NhËn xÐt. Chó ý r»ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cña tham sè p = pi (trong ®ã pi là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ϕ(p)−p =0) ta còng nhËn ®−îc c¸c nghiÖm cña ph−¬ng 3J.L.Lagrange (1736 - 1813) là nhà to¸n häc næi tiÕng ng−êi Ph¸p.
  39. 36 tr×nh (25). Tïy theo tõng tr−êng hîp nghiÖm này cã thÓ là nghiÖm kú dÞ hoÆc kh«ng. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh y = xy02 − y0.§Ætp = y0, khi ®ã y = xp2 − p. Vi ph©n hai vÕ cña ®¼ng thøc này theo x víi chó ý dy = pdx, sau khi thu gän ta ®−îc (p2 − p)dx +(2px − 1)dp =0. Gi¶ sö p2 − p =06 ta cã dx 2 1 + x = . dp p − 1 p(p − 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh này ta ®−îc: C + p − ln p x = (p − 1)2 Thay vào biÓu thøc cña y ta ®−îc nghiÖm tæng qu¸t d¹ng tham sè: C + p − ln p  x =  − 2  (p 1) (C + p − ln p)p2  y = − p.  (p − 1)2 C¸c nghiÖm øng víi p =0và p =1là y =0và y = x − 1 t−¬ng øng. 3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai 3.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II là F (x, y, y0,y00)=0. (27) D¹ng ®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm cÊp hai: y00 = f(x, y, y0). (28) Bài to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh (28) ®−îc ph¸t biÓu nhu sau: T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (28) tháa ®iÒu kiÖn: 0 y(x0)=y0,y(x0)=y.
  40. 37 0 0 §Þnh lý 3. NÕu trong miÒn G 3 (x0,y0,y0) hàm sè f(x, y, y ) liªn tôc cïng víi 0 0 c¸c ®¹o hàm riªng fy, fy0 th× bài to¸n Cauchy cã mét nghiÖm duy nhÊt. Ta hiÓu nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai là nghiÖm chøa 2 h»ng 00 sè C1 và C2 tïy ý. Ch¼ng h¹n ph−¬ng tr×nh y + y =0cã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. NghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n là nghiÖm suy tõ nghiÖm tæng qu¸t øng víi c¸c gi¸ trÞ cô thÓ cña h»ng sè. 3.2 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai Ta gäi ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: y00 + p(x)y0 + q(x)y = f(x), (29) trong ®ã p(x),q(x) và f(x) là c¸c hàm liªn tôc trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã. NÕu f(x) ≡ 0 y00 + p(x)y0 + q(x)y =0, (30) ta gäi là ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: §Þnh lý 4. NÕu φ1(x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (30) th× C1φ1(x)+ C2φ2(x) còng là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (30). Nãi c¸ch kh¸c, tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (30) cã cÊu tróc kh«ng gian vector. Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp. 2 HÖ nghiÖm c¬ b¶n: Hai hàm φ1(x) và φ2(x) ®−îc gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn (a, b) nÕu: α1φ1(x)+α2φ2(x)=0, ∀x ∈ (a, b)=⇒ α1 =0và α2 =0. Ng−îc l¹i, nÕu hai hàm kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× ta nãi phô thuéc tuyÕn tÝnh. φ1 VËy φ1(x) và φ2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b) khi và chØ khi tØ sè là φ2 h»ng sè trªn (a, b). VÝ dô. HÖ hàm {cos x, sin x} ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. §Þnh thøc Wronski: Cho hai hàm kh¶ vi φ1(x) và φ2(x), ta gäi ®Þnh thøc sau ®©y là ®Þnh thøc Wronski cña φ1(x) và φ2(x): φ1 φ2 W [φ1,φ2](x)= (31) φ0 φ0 1 2
  41. 38 §Þnh lý 5. NÕu hai hàm kh¶ vi φ1(x) và φ2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b) th× W [φ1,φ2](x) ≡ 0, trªn (a, b). Nhu vËy, nÕu ®Þnh thøc Wronski cña hai hàm kh¸c kh«ng t¹i x0 ∈ (a, b) th× chóng ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn kho¶ng này. §Þnh lý 6. Gi¶ sö W (x) là ®Þnh thøc Wronski cña hai nghiÖm φ1(x) và φ2(x) cña ph−¬ng tr×nh (30). Khi ®ã x Z − p(x)dx x W (x)=W (x0)e 0 , v?i x0 ∈ (a, b). Chøng minh. Dành cho b¹n ®äc. 2 HÖ gåm hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph−¬ng tr×nh (30) ®−îc gäi lµ hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh ®ã. §Þnh lý 7. Gi¶ sö φ1(x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (30) víi c¸c hÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã {φ1(x),φ2(x)} là hÖ nghiÖm c¬ b¶n ⇔ W (x) =06 , víi mçi x ∈ (a, b). §Þnh lý 8. Gi¶ sö {φ1(x),φ2(x)} là hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh (30) víi c¸c hÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã, nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (30) là: y = C1φ1(x)+C2φ2(x). 00 VÝ dô. Ph−¬ng tr×nh y + y =0có hai nghiÖm φ1 = cos x, φ2 = sin x. Hai nghiÖm này ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là: y = C1 cos x + C2 sin x. 00 x −x T−¬ng tù, ph−¬ng tr×nh y − y =0cã hai nghiÖm φ1 = e , φ2 = e . Hai nghiÖm này ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là: x −x y = C1e + C2e . MÖnh ®Ò 1. NÕu φ1 =06 là mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (30) th× mét nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nã cho bëi: Z − p(x)dx Z e φ2 = φ1 2 dx. φ1
  42. 39 VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh 2x2y00 +3xy0 − y =0 trªn (0, +∞) biÕt nã cã mét nghiÖm là φ1(x)=1/x. Theo c«ng thøc trªn, nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi φ1 cho bëi Z 3 1 − dx φ (x)= Z x2e 2x dx. 2 x TÝnh to¸n tÝch ph©n, ta thu ®−îc 1/2 y2(x)=2/3x . VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho trªn (0, +∞) là C √ y(x)= 1 + C x. x 2 3.3 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt Ta l−u ý r»ng, gièng nh− c¸c kÕt qu¶ trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cã quan hÖ chÆt chÏ víi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t−¬ng øng. Cô thÓ, ta cã thÓ kiÓm tra dÔ dàng c¸c tÝnh chÊt sau: i) HiÖu hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt là mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng. ii) Tæng cña mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt và mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. H¬n thÕ n÷a, ®Þnh lý sau m« t¶ cÊu tróc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. §Þnh lý 9. Gi¶ sö c¸c hàm hÖ sè trong ph−¬ng tr×nh (29) liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (29) b»ng tæng cña mét nghiÖm riªng nào ®ã cña nã và nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng.
  43. 40 VÝ dô. Cho ph−¬ng tr×nh y00 +4y =5ex. DÔ thÊy cos 2x và sin 2x là hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng y00 +4y =0. Mét x nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là yr = e . Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là x y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e , trong ®ã C1,C2 là hai h»ng så tïy ý. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange t×m nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt: Gi¶ sö nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (30) là: y = C1φ1(x)+C2φ2(x) Ta xem C1, C2 nhu là c¸c hàm theo x và t×m nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt d−íi d¹ng: yr = C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x). Ta cã 0 0 0 0 0 yr = C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x)+C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x). 0 0 Cho C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x)=0và tiÕp tôc tÝnh ®¹o hàm cÊp hai råi thay vào ph−¬ng tr×nh (29) ta ®−îc: 0 0 0 0 C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x)=f(x). 0 0 VËy C1 và C2 là nghiÖm cña hÖ: 0 0 ( C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x)=0, 0 0 0 0 C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x)=f(x). 0 HÖ ph−¬ng tr×nh này cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng nªn cã nghiÖm duy nhÊt C1 và 0 C2. Tõ ®ã , b»ng c¸ch tÝch ph©n ta cã thÓ t×m C1(x) và C2(x). VÝ dô. T×m mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh 1 y00 + y = . sin x Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng y00 + y =0cã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. NghiÖm riªng cã d¹ng yr = C1(x) cos x + C2(x) sin x,
  44. 41 0 0 trong ®ã C1,C2 tháa hÖ ph−¬ng tr×nh 0 0 ( C1 cos x + C2 sin x =0, 1 −C0 sin x + C0 cos x = . 1 2 sin x cos x Tõ ®ã, C0 = −1 và C0 = = (ln | sin x|)0. VËy mét nghiÖm riªng thu ®−îc 1 2 sin x là yr = −x cos x +ln| sin x|. sin x. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là: y = C1 cos x + C2 sin x + −x cos x +ln| sin x|. sin x 3.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai hÖ sè h»ng Trong tiÓu môc này ta xÐt tr−êng hîp c¸c hàm hÖ sè p(x) và q(x) là c¸c h»ng sè thùc: y00 + py0 + qy = f(x) (32) y00 + py0 + qy =0 (33) C¸c tÝnh chÊt và ®Þnh lý trong môc tr−íc ®−îc vËn dông trong tr−êng hîp này. Ta nhÊn m¹nh r»ng trong tr−êng hîp này, nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (33) lu«n lu«n thiÕt lËp ®−îc. ThËt vËy, ta t×m nghiÖm d−íi d¹ng y = eλx Thay vào ph−¬ng tr×nh thu?n nh?t (33) ta ®−îc: λ2 + pλ + q =0. (34) §©y là ph−¬ng tr×nh bËc hai, ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña ph−¬ng tr×nh (33). Ta xÐt ∆=p2 − 4q víi c¸c tr−êng hîp sau: ∆ > 0: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt λ1 và λ2. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {eλ1x,eλ2x}. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: λ1x λ2x y = C1e + C2e ∆=0: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã nghiÖm (thùc) kÐp λ0. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {eλ0x,xeλ0x}. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: λ0x y =[C1 + C2x]e .
  45. 42 ∆ < 0: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng có 2 nghiÖm phøc liªn hîp α ± iβ. Khi ®ã, t¸ch phÇn thùc và phÇn ¶o ta thÊy ph−¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {cos βxeα, sin βxαx}. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: αx y =[C1 cos βx + C2 sin βx]e . VÝ dô. • Ph−¬ng tr×nh y00 + y =0cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ2 +1=0. Ph−¬ng tr×nh này cã 2 nghiÖm phøc ±i. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. • Ph−¬ng tr×nh y00 + y0 − 6y =0cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ2 + λ − 6=0. Ph−¬ng tr×nh này cã hai nghiÖm thùc là 2 và −3. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: 2x −3x y = C1e + C2e . • Ph−¬ng tr×nh y00 +4y0 +4y =0cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ2 +4λ +4=0. Ph−¬ng tr×nh này cã nghiÖm kÐp là −2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: −2x y =[C1 + C2x]e . Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh t×m nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt: Trong tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng kh«ng thuÇn nhÊt mà f(x) cã d¹ng ®Æc biÖt ta cã thÓ x¸c ®Þnh d¹ng cña nghiÖm riªng. Tõ ®ã cã thÓ t×m ®−îc chÝnh x¸c nghiÖm riªng này. Tr−êng hîp 1: f(x)=eaxP (x) , víi P (x) là ®a thøc bËc n nào ®ã. • NÕu a kh«ng là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng (34) th×: ax yr = e Q(x), víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x). • NÕu a là nghiÖm béi k cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng (34) th×: k ax yr = x e Q(x), víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x).
  46. 43 ax Tr−êng hîp 2: f(x)=e [P1(x) cos bx + P2(x) sin bx], víi P1(x) và P2(x) là hai ®a thøc bËc nào ®ã. • NÕu a + ib kh«ng là nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng (34) th×: ax yr = e [Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx], víi Q1(x), Q2(x) là c¸c ®a thøc cã bËc b»ng bËc lín nhÊt cña P1(x) và P2(x). • NÕu a + ib là nghiÖm phøc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng (34) th×: ax yr = xe [Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx] víi Q1(x), Q2(x) nh− trªn. VÝ dô. T×m nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh y00 − 3y0 +2y =(3− 4x)ex Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng là λ2 − 3λ +2=0 cã hai nghiÖm là λ1 =1và λ2 =2, trong ®ã α =1là nghiÖm ®¬n cña nã nªn nghiÖm riªng cã d¹ng x yr = xe (Ax + B). Thay vào ph−¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng c¸c hÖ sè ta thu ®−îc  −2A =4, 2A − B =1, x Gi¶i ra ta ®−îc A =2và B =1, khi ®ã nghiÖm riªng là yr = xe (2x +1). Cuèi x 2x x cïng, nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là y = C1e +C2e +xe (2x+1). VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh y00 + y =4x sin x. Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã nghiÖm là ±i và a + ib = i. Khi ®ã nghiÖm riªng cã d¹ng: yr = x[(Ax + B) cos x +(Cx+ D) sin x]. Thay vào ph−¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng c¸c hÖ sè ta ®−îc  −2A =2  A = −1  C − B =0  B =0  ⇔  D + A =0 C =0    2C =0  D =1. V× thÕ, nghiÖm riªng là yr = x(−x cos x + sin x) và nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là y = C1 cos x + C2 sin x + x(sin x − x cos x).
  47. 44 4 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n 4.1 C¸c kh¸i niÖm HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Çn y1(x),y2(x) tæng qu¸t cã d¹ng 0 0  F1(x, y1,y2,y1,y2)=0 0 0 F2(x, y1,y2,y1,y2)=0, hoÆc d¹ng chÝnh t¾c (®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm): 0  y1 = f1(x, y1,y2) 0 (35) y2 = f2(x, y1,y2). Mçi ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai: y00 = f(x, y, y0) 0 ®Òu cã thÓ viÕt thành mét hÖ bËc nhÊt b»ng c¸ch ®Æt y = y1, y = y2: 0  y1 = y2 0 y2 = f(x, y1,y2). Ng−îc l¹i, mçi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Èn ®Òu cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. Tõ ®ã, ta cã thÓ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng c¸ch ®−a vÒ gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. VÝ dô. Gi¶i hÖ sau dx dy = y, = x. dt dt §¹o hàm hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh ®Çu råi kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh sau ta ®−îc ph−¬ng tr×nh d2x − x =0. dt2 Tõ ®ã nghiÖm tæng qu¸t là −t t x = x(t)=C1e + C2e . Tõ ph−¬ng tr×nh thø nhÊt ta tÝnh ®−îc −t t y = y(t)=−C1e + C2e . NhËn xÐt. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n gåm hai Èn nãi chung cã nghiÖm phô thuéc vào hai h»ng sè tïy ý. NghiÖm nh− thÕ ta còng gäi là nghiÖm tæng qu¸t. NghiÖm suy
  48. 45 ra tõ nghiÖm tæng qu¸t víi c¸c gi¸ trÞ cô thÓ cña tham sè ®−îc gäi lµ nghiÖm riªng. Bài to¸n Cauchy cho hÖ ph−¬ng tr×nh (35) ph¸t biÓu nh− sau: T×m nghiÖm cña hÖ (35) tháa ®iÒu kiÖn: y1(x0)=ξ1,y2(x0)=ξ2. Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp, ch¼ng h¹n c¸c hàm f1, f2 trong (35) liªn tôc cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng cña chóng theo y1,y2 trong miÒn chøa (x0,ξ1,ξ2) th× bài to¸n Cauchy cã nghiÖm duy nhÊt. 4.2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I hÖ sè h»ng Xem t là biÕn sè ®éc lËp, hÖ tuyÕn tÝnh hai Èn hÖ sè h»ng là hÖ cã d¹ng: 0  x = ax + by + g1(t) 0 y = cx + dy + g2(t) NÕu c¸c hàm g1 và g2 ®Òu b»ng kh«ng th× ta gäi là hÖ thuÇn nhÊt. CÊu tróc nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt và kh«ng thuuÇn nhÊt t−¬ng tù nh− trong môc tr−íc hoÆc cã thÓ thiÕt lËp b»ng c¸ch ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. Ta t×m nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt d−íi d¹ng hàm mò x v   =  1 eλt. y v2 Khi ®ã λ và v =(v1,v2) chÝnh là gi¸ trÞ riªng và vector riªng t−¬ng óng cña ma trËn ab A =   cd. φ11(t) φ12(t) Hai nghiÖm φ1(t)= và φ2(t)= cña hÖ thuÇn nhÊt ®−îc gäi φ21(t) φ22(t) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn t ∈ (a, b) nÕu ma trËn (φij) kh«ng suy biÕn. §Þnh lý 10. NÕu φ1(t) và φ2(t) là hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ thuÇn nhÊt th× nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ là x   = C φ + C φ . y 1 1 2 2
  49. 46 Cuèi cïng ®Ó cã nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt, ta lÊy mét nghiÖm riªng nào ®ã cña nã céng víi nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ thuÇn nhÊt t−¬ng øng. VÝ dô. Gi¶i hÖ dx  = −x − 2y  dt dy =3x +4y.  dt −1 −2 §©y là hÖ thuÇn nhÊt víi ma trËn A =  . Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 34 −1 − λ −2 = λ2 − 3λ +2=0 34− λ cã c¸c nghiÖm là λ1 =1,λ2 =2. øng víi λ1 =1ta cã hÖ  −2γ1 − 2γ2 =0 3γ1 +3γ2 =0. Chän nghiÖm γ1 =1,γ2 = −1 ta ®−îc mét nghiÖm t t x1 = e ,y1 = −e . T−¬ng tù, víi λ2 =2ta còng t×m ®−îc nghiÖm 3 x = e2t,y= − e2t. 2 2 2 VËy nghiÖm tæng qu¸t là t 2t ( x = C1e + C2e 3 y = −C et − C e2t, 1 2 2 trong ®ã C1,C2 là c¸c h»ng sè tuú ý.
  50. 49 III. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng 1 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp mét 1.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng §Þnh nghÜa 1. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là ph−¬ng tr×nh mà Èn cÇn t×m là mét hàm nhiÒu biÕn và nhÊt thiÕt ph¶i cã sù hiÖn diÖn cña ®¹o hµm riªng cña Èn trong ph−¬ng tr×nh. VÝ dô. C¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y là ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ∂2u = x − y. ∂x∂y ∂2u ∂2u + = f(x, y). ∂x2 ∂y2 ∂u ∂u 2 x + y   =0. ∂y ∂x • D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là F (x,y, ,u,ux,uy, )=0, (1) trong ®ã x,y, là c¸c biÕn ®éc lËp và u là hàm cña c¸c biÕn này và là Çn hàm cÇn t×m. • Ta gäi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (1) là tÊt c¶ c¸c hàm u mà tháa m·n ®¼ng thøc này. Ch¼ng h¹n, ph−¬ng tr×nh ®Çu tiªn trong vÝ dô trªn cã nghiÖm là 1 u(x, y)= (x2y − xy2). 2 DÜ nhiªn nã còng cã nghiÖm là 1 u(x, y)= (x2y − xy2)+f(x)+g(y) , 2 trong ®ã f và g là hai hàm tïy ý.
  51. 50 • NghiÖm phô thuéc vào c¸c hàm tïy ý ®−îc gäi là nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. NghiÖm riªng là nghiÖm nhËn ®−îc tõ nghiÖm tæng qu¸t víi c¸c biÓu thøc cô thÓ cña c¸c hàm tïy ý. NghiÖm kú dÞ là nghiÖm mà kh«ng chøa trong nghiÖm tæng qu¸t. • Ta gäi cÊp cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng là cÊp cao nhÊt cña ®¹o hàm cã mÆt trong ph−¬ng tr×nh ®ã. Trong c¸c vÝ dô trªn, cÊp cña ph−¬ng tr×nh thø ba là mét, trong khi c¸c ph−¬ng tr×nh cßn l¹i cÊp hai. • Ta nãi ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (1) là tuyÕn tÝnh nÕu F là tuyÕn tÝnh theo Èn hàm và c¸c ®¹o hàm riªng cña Èn hàm. Trong vÝ dô trªn, ph−¬ng tr×nh thø ba kh«ng tuyÕn tÝnh, trong khi c¸c ph−¬ng tr×nh cßn l¹i là tuyÕn tÝnh. 1.2 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh c©p I • D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp I là: a(x, y)ux + b(x, y)uy = c0(x, y)u + c1(x, y), (2) trong ®ã c¸c hàm hÖ sè x¸c ®Þnh trªn miÒn D nào ®ã. • Tæng qu¸t h¬n, nÕu sù phô thuéc vào u là phi tuyÕn, ta cã d¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh tùa tuyÕn tÝnh: a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u). (3) VÝ dô. XÐt ph−¬ng tr×nh ux = ku + d(x, y), víi k là mét h»ng sè. NÕu xem y là tham sè, ta cã thÓ xÐt ph−¬ng tr×nh trªn nh− là ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng theo x. NghiÖm tæng qu¸t khi ®ã cã d¹ng: u(x, y)=ekx C(y)+Z e−kxd(x, y)dx . Ta cã thÓ xÐt bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu: u(0,y)=f(y). Khi ®ã nghiÖm riªng cã d¹ng: x u(x, y)=ekx f(y)+Z e−ksd(s, y)ds . 0
  52. 51 NhËn xÐt. NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tïy vào ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã thÓ kh«ng tån t¹i hoÆc nÕu tån t¹i cã thÓ kh«ng duy nhÊt. Ch¼ng h¹n, xÐt ph−¬ng tr×nh trªn khi d ≡ 0 víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu: u(x, 0) = x. NghiÖm cÇn t×m cã d¹ng u(x, y)=ekxC(y). Tõ ®ã C(0) = xe−kx. §iÒu này kh«ng thÓ v× vÕ tr¸i là h»ng sè trong khi vÕ ph¶i là hàm kh¸c h»ng sè. NÕu ®iÒu kiÖn ban ®Çu là: u(x, 0) = ekx, th× C(0) = 1. Ta thÊy cã v« sè hàm C(y) tháa ®iÒu kiÖn nµy. Nãi c¸ch kh¸c, bài to¸n víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu nhu vËy cã v« sè nghiÖm. 1.3 Phuong ph¸p ®Æc tr−ng XÐt ph−¬ng tr×nh tùa tuyÕn tÝnh (3), gi¶ sö u = u(x, y) là mét nghiÖm cña nã. Khi ®ã ta gäi mÆt S trong kh«ng gian Oxyu cho bëi ph−¬ng tr×nh: F (x, y, u):=u(x, y) − u =0 là mÆt tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (3). 0 0 Ta cã vector gradient cña F là ∇F =[ux,uy, −1] trùc giao víi vector (a, b, c) v×: 0 0 h∇F, (a, b, c)i = aux + buy − c =0. V× vËy vector (a, b, c) ph¶i n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt S t¹i nh÷ng ®iÓm (x, y, u) mà vector gradient ∇F =06 . H−íng cña vector (a, b, c) ®−îc gäi lµ h−íng ®Æc tr−ng, chóng t¹o nªn mét tr−êng c¸c h−íng trªn mÆt S và cã thÓ m« t¶ hä ®−êng cong x¸c ®Þnh bëi chóng nh− sau: Gi¶ sö tham sè hãa ®−êng cong là Γ:x = x(s),y= y(s),u= u(s). Khi ®ã, x(s),y(s) và u(s) ph¶i tháa hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n: dx dy du = a(x, y, u), = b(x, y, u), = c(x, y, u). (4) dt dt dt C¸c ®−êng cong cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (4) ®−îc gäi lµ ®−êng cong ®Æc tr−ng. §Ó x¸c ®Þnh mét ®−êng cong ®Æc tr−ng nào ®ã ta cÇn ®iÒu kiÖn ban ®Çu (x0,y0,u0)
  53. 52 và ta gäi ®ã lµ ®−êng cong ®Æc tr−ng ban ®Çu. V× mçi ®−êng cong ®Æc tr−ng (x(t),y(t),u(t)) di qua c¸c ®iÓm kh¸c nhau cña ®−êng cong ban ®Çu Γ(s), nªn ta sÏ viÕt x = x(t, s),y= y(t, s),u= u(t, s). Khi ®ã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã thÓ viÕt l¹i: x(0,s)=x0(s),y(0,s)=y0(s),u(0,s)=u0(s) (5) Xem s là tham sè, t là biÕn lÊy ®¹o hàm, ta cÇn gi¶i bài to¸n Cauchy sau ®©y: 0 0 0 xt = a(x, y, u),yt = b(x, y, u),ut = c(x, y, u), víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu (5). NÕu ph−¬ng tr×nh là tuyÕn tÝnh, th× a, b kh«ng phô thuéc vào u. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0 0 2 ux + uy =2, tháa ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = x . Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 0 0 0 xt(t, s)=1,ytt(t, s)=1,ut(t, s)=2, víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu tham sè hãa: x(0,s)=s, y(0,s)=0,u(0,s)=s2. Tõ ®ã ta cã x(t, s)=t + h1(s),y(t, s)=t + h2(s),u(t, s)=2t + h1(s). C¸c hàm hi(t) ®−îc t×m tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu cho kÕt qña: x(t, s)=t + s, y(t, s)=t, u(t, s)=2t + s2. VËy nghiÖm cÇn t×m là u(x, y)=2y +(x − y)2. 0 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh ux =1tho¶ ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(0,y)=g(y). Hoàn toàn t−¬ng tù nh− trªn, ta cã nghiÖm u(x, y)=x + g(y).
  54. 53 2 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa Ta quan t©m ®Æc biÖt ®Õn líp c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II hai biÕn v× tÇm quan träng cña chóng trong c¸c øng dông thùc tiÔn. D¹ng tæng qu¸t cña líp c¸c ph−¬ng tr×nh nhu vËy là ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u A + B + C + D + E + Fu= G, (6) ∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y trong ®ã A,B, là c¸c hàm theo x và y nh−ng kh«ng phô thuéc vào u. NÕu G =0ta gäi chóng là ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt, nÕu ng−îc l¹i, ta gäi ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. §Þnh lý 1 (Nguyªn lý chång chÊt nghiÖm). NÕu u1,u2, là c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng víi (6) th× u1 + u2 + ··· còng là nghiÖm nÕu nã héi tô. VÝ dô. XÐt ph−¬ng tr×nh ut = uxx, víi mçi n ∈ N, ta dÔ dàng kiÓm tra r»ng −n2t un(x, t)=ane sin nx là nghiÖm. VËy chuçi sau còng là nghiÖm, miÔn là nã héi tô: ∞ −n2t X ane sin nx n=1 2.2 Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II Víi ph−¬ng tr×nh (6), ta xÐt 00biÖt thøc00 ∆ ®Þnh nghÜa bëi ∆(x, y)=B2 − 4AC. (7) §Þnh nghÜa 2. Ph−¬ng tr×nh (6) ®−îc gäi lµ cã kiÓu (H) Hyperbolic t¹ i (x0,y0) nÕu ∆(x0,y0) > 0, (P) Parabolic t¹i (x0,y0) nÕu ∆(x0,y0)=0, (E) Elliptic t¹i (x0,y0) nÕu ∆(x0,y0) < 0.
  55. 54 VÝ dô. 1) (Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu) 2 utt = c uxx (8) (c2 gäi lµ hÖ sè truyÒn) là ph−¬ng tr×nh kiÓu (H) nÕu c =06 và là kiÓu (P) nÕu c =0. 2) (Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu) ut = kuxx (9) (k gäi là hÖ sè khuÕch t¸n nhiÖt) là ph−¬ng tr×nh kiÓu (P). 3) (Ph−¬ng tr×nh Laplace) ∂2u ∂2u + =0 (10) ∂x2 ∂y2 là ph−¬ng tr×nh kiÓu (E) t¹i mçi d®iÓm (x, y). 2.3 D¹ng chÝnh t¾c §èi víi ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp hai trong mÆt ph¼ng, lu«n tån t¹i c¸c phÐp biÕn ®æi b¶o toàn kiÓu cña ph−¬ng tr×nh ®Ó ®−a nã vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nh?t. C¸c d¹ng này ®−îc gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c. Tr−êng hîp hyperbolic ∆(x, y) > 0: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh dang xÐt tháa ∆(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2. XÐt phÐp ®æi biÕn  ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), trong ®ã c¸c hàm ξ và η cã c¸c ®¹o hàm riªng cÊp II liªn tôc trong Ω.Tacã ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy. TiÕp tôc tÝnh c¸c ®¹o hàm riªng cÊp hai: uxx =(uξξξx + uξηηx)ξx + uξξxx +(uηξξx + uηηηx)ηx + uηηxx 2 2 = uξξξx +2uξηηxξx + uηηηx + uξξxx + uηηxx. uxy =(uξξξy + uξηηy)ξx + uξξxy +(uηξξy + uηηηy)ηx + uηηxy = uξξξxξy + uξη(ηxξy + ηyξx)+uηηηxηy + uξξxy + uηηxy. uyy =(uξξξy + uξηηy)ξx + uξξyy +(uηξξy + uηηηy)ηy + uηηyy 2 2 = uξξξy +2uξηηyξy + uηηηy + uξξyy + uηηyy.
  56. 55 Thay vào (6) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: a1(ξ,η)uξξ +2b1(ξ,η)uξη + c1(ξ,η)uηη + F (ξ,η,u,uξ,uη)=0, (11) víi c¸c hÖ sè ®−îc tÝnh cô thÓ nh− sau: 2 2 a1(ξ,η)=aξx +2bξxξy + cξy , b1(ξ,η)=aξxηx + b(ξxηy + ξyηx)+cξyηy, 2 2 c1(ξ,η)=aηx +2bηxηy + cηy. BiÖt thøc cña ph−¬ng tr×nh míi liªn hÖ víi ph−¬ng tr×nh ®· cho bëi c«ng thøc D(ξ,η) 2 ∆ (ξ,η)=  ∆(x, y). (12) 1 D(x, y) NÕu phÐp ®æi biÕn là kh«ng suy biÕn trªn Ω, tøc là D(ξ,η) ξx ξy J := = = ξxηy − ξyηx =06 , D(x, y) ηx ηy th× dÊu cña ∆ và ∆1 là gièng nhau. Nãi c¸ch kh¸c, kiÓu cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thay ®æi. C©u hái tù nhiªn là chän phÐp biÕn ®æi nào ®Ó cho (11) cã d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt. MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö hàm z = ϕ(x, y) là mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh 2 2 azx +2bzxzy + czy =0. (13) Khi ®ã, hÖ thøc ϕ(x, y)=C (víi C là h»ng sè tïy ý) là nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng ady2 − 2bdydx + cdx2 =0. (14) Ng−îc l¹i nÕu ϕ(x, y)=C là mét nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (14), th× z = ϕ(x, y) là mét nghiÖm riªng cña (13). Chøng minh. Dành cho b¹n ®äc. 2 Theo mÖnh ®Ò trªn, ta xÐt ph−¬ng tr×nh ay02 − 2by0 + c =0.
  57. 56 √ b ± ∆ Do ∆=b2 − ac > 0 nªn ta thu ®−îc y0 = . Gi¶ sö hai nghiÖm tæng qu¸t a t−¬ng øng cña nã là ϕ1(x, y)=C1 và ϕ2(x, y)=C2. V× r»ng √ ϕ b ± ∆ − ix = y0(x)= (i =1, 2), ϕiy a nªn ta cã D(ϕ1,ϕ2) ϕ1x ϕ1y = =0;6 ∀(x, y) ∈ Ω. D(x, y) ϕ2x ϕ2y Do ®ã nÕu ®Æt  ξ = ϕ1(x, y) η = ϕ2(x, y), th× J =06 víi mçi (x, y) ∈ Ω (phÐp biÕn ®æi kh«ng suy biÕn) và trong (11) ta cã a1 =0=c1. §Ó ý r»ng khi ®ã ∆1 > 0 nªn b1 =06 . Tõ ®ã, (11) cã thÓ viÕt l¹i d−íi d¹ng chÝnh t¾c uξη = G(ξ,η,u,uξ,uη). (15) §©y là d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh hyperbolic trong mÆt ph¼ng. Trong (15), nÕu tiÕp tôc ®æi biÕn  ξ = α + β η = α − β th× thu ®−îc ph−¬ng tr×nh u − u = G(α,β,u,u ,u ). (16) αα ββ e α β §©y còng là mét d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh hyperbolic. VÝ dô. 1) §−a ph−¬ng tr×nh sau vÒ d¹ng chÝnh t¾c: ∂2u ∂2u ∂2u ∂u − 2 sin x − cos2 x − cos x =0. ∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂y Tr−êng hîp parabolic ∆(x, y)=0: Gi¶ sö ∆(x, y)=b2 − ac =0víi mçi (x, y) ∈ Ω. NÕu a =06 ph−¬ng tr×nh vi ph©n (14) chØ cã mét nghiÖm là b y0 = . a
  58. 57 Gi¶i ph−¬ng tr×nh này ta t×m ®−îc mét hä nghiÖm tæng qu¸t là ϕ(x, y)=C. §Ó cã phÐp ®æi biÕn ta t×m thªm mét hàm ψ(x, y) kh¶ vi liªn tôc cÊp II sao cho D(ϕ, ψ) =06 ∀(x, y) ∈ Ω. D(x, y) Khi ®ã, víi phÐp ®æi biÕn  ξ = ϕ(x, y) η = ψ(x, y), ta cã J =06 và a1 =0. 2 Bëi v× ∆1 = J ∆=0nªn b1 =0(và do ®ã c1 =06 ). Chia hai vÕ cña (11) cho c1 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh uηη = G(ξ,η,u,uξ,uη). (17) Ph−¬ng tr×nh này ®−îc gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh parabolic trong mÆt ph¼ng. Râ ràng nÕu a =0, ta cã ngay d¹ng (17). 2) §−a ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u ∂2u x2 +2xy + y2 =0 ∂x2 ∂x∂y ∂y2  u(x, 0)=0 vÒ d¹ng chÝnh t¾c råi gi¶i nã víi ®iÒu kiÖn biªn  ∂u 1 (x, 0) = 1 +  ∂y x 3 C¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp II c¬ b¶n 3.1 Bài to¸n gi¸ trÞ biªn và gi¸ trÞ ban ®Çu T−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ta t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tháa mét sè ®iÒu kiÖn nào ®ã. Ch¼ng h¹n, nÕu xÐt nghiÖm u = u(x, t) cña c¸c ph−¬ng tr×nh (8) và (9), th× biÕn t cã thÓ xem nhu thêi gian và x cã thÓ xem nh− vÞ trÝ. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn d¹ng sau ®©y cã ý nghÜa nhÊt ®Þnh øng víi tªn gäi cña chóng. • u(0,t)=ϕ(t) : ®iÒu kiÖn biªn t¹i x =0,
  59. 58 • u(L, t)=ψ(t) : ®iÒu kiÖn biªn t¹i x = L (L>0), • u(x, 0) = f(x) : ®iÒu kiÖn ban ®Çu t¹i t =0, ∂u • (x, 0) = g(x) : ®iÒu kiÖn (vËn tèc) ban ®Çu t¹i t =0. ∂t NÕu c¸c hàm ë vÕ ph¶i b»ng kh«ng, th× ta cã ®iÒu kiÖn biªn thuÇn nhÊt. Bài to¸n t×m ngiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tháa c¸c ®iÒu kiÖn biªn ®−îc gäi lµ bài to¸n gi¸ trÞ biªn; tháa c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®−îc gäi lµ bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu (hay bài to¸n Cauchy). Bài to¸n t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tháa võa ®iÒu kiÖn biªn võa ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®−îc gäi lµ bài to¸n hçn hîp. ∂u ∂u VÝ dô. XÐt ph−¬ng tr×nh = . NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh này là ∂t ∂x (dïng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn) u(x, t)=AeB(x+t). Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 2e−x, ta cã nghiÖm là u(x, t)=2e−(x+t). 3.2 Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng Trong rÊt nhiÒu tr−êng hîp, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (6) cã thÓ cho d−íi d¹ng u(x, y)=X(x)Y (y), trong ®ã X(x) và Y (y) là nh÷ng hàm mét biÕn. VÝ dô. T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn: ∂u ∂u + =0. ∂x ∂y Xem nghiÖm u(x, y)=X(x)Y (y), thay vµo ph−¬ng tr×nh ®· cho X0(x)Y (y)+Y 0(y)X(x)=0. Kh«ng xÐt tr−êng hîp tÇm th−êng, ph−¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d−íi d¹ng X0(x) Y 0(y) = − . X(x) Y (y)
  60. 59 Mçi vÕ là hàm theo mét biÕn ®éc lËp kh¸c nhau nªn ®¼ng thøc chØ x¶y ra khi tõng vÕ là h»ng sè; ký hiÖu là λ. Khi ®ã ta cã hÖ X0(x)  = λ,   X(x) Y 0(y)  = −λ.  Y (y) C¸c ph−¬ng tr×nh này cã nghiÖm là X = Aeλx,Y= Be−λy. VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là u(x, y)=Ceλ(x−y). 3.3 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu XÐt thanh dÉn nhiÖt cã chiÒu dài L, víi hÖ sè truyÒn khuÕch t¸n k>0. Gäi nhiÖt ®é t¹i vÞ trÝ x và thêi ®iÓm t là u(x, t). Gi¶ sö nhiÖt ®é t¹i hai ®Çu mót cña thanh b»ng kh«ng. Khi ®ã, u tháa:  ∂u ∂2u = k , 0 0  ∂t ∂x2  u(0,t)=0,u(L, t)=0 t>0 (18)  u(x, 0) = f(x),  trong ®ã f(x) là ph©n bè nhiÖt ®é ban ®Çu cña thanh. Ta t×m nghiÖm u(x, t) cña bài to¸n này d−íi d¹ng t¸ch biÕn u(x, t)=X(x)T (t). Thay vào ph−¬ng tr×nh ta ®−îc kX00(x)T (t)=X(x)T 0(t), hay X00(x) T 0(t) = . X(x) kT(t) Lý luËn nh− trªn, c¶ hai vÕ ph¶i là h»ng sè. Gäi h»ng sè này là −λ,tacã X00 + λX =0, (19) T 0 + kλT =0. (20)
  61. 60 NÕu λ =0, ph−¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm là ®−êng th¼ng, nh−ng t¹i hai ®Çu mót X(0) = 0 = X(L), nªn nghiÖm ®ã tÇm th−êng . Ta lo¹i tr−êng hîp này. NÕu λ 0 và khi ®ã ph−¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm là √ √ X(x)=C1 cos λx + C1 sin λx. Tõ ®iÒu kiªn biªn X(0) = 0 = X(L), ta cã 2 2 2 λn = n π /L ,n=1, 2, t−¬ng øng víi nghiÖm Xn(x)=cn sin(nπx/L). §ång thêi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (20) là −kn2π2t/L2 Tn(t)=dne . Theo nguyªn lý chång chÊt nghiÖm, nghiÖm tháa ®iÒu kiªn biªn cña bài to¸n (18) là ∞ −kn2π2t/L2 u(x, t)=X bne sin(nπx/L). n=1 C¸c hÖ sè bn ®−îc t×m nhê ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = f(x); và thùc chÊt chóng là hÖ sè Fourier cña khai triÓn Fourier cña hàm f(x) trªn ®o¹n [−L, L] ∞ f(x)=X bn sin(nπx/L). (21) n=1 C«ng thóc tÝnh bn là L 2 b = Z f(x) sin(nπx/L)dx (22) n L 0 NhËn xÐt. NÕu cho tr−íc khai triÓn Fourier cña f, ®Æc biÖt nÕu f cã d¹ng tæ hîp cña c¸c hàm sin(nπx/L), th× ®Ó t×m bn ta cã thÓ ®ång nhÊt c¸c hÖ sè trong (21). VÝ dô. Gi¶i bài to¸n hçn hîp  ∂u ∂2u = , 0 0  ∂t ∂x2  u(0,t)=0=u(π,t),  u(x, 0) = sin x cos x 
  62. 61 Gi¶i: LËp l¹i c¸c b−íc trªn víi L = π và k =1, ta thu ®−îc b2 =1/2, bn = 0, ∀n =26 . VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho là 1 u(x, t)= e−4t sin 2x. 2 NhËn xÐt. NÕu ®iÒu kiÖn biªn và ®iÒu kiÖn ban ®Çu thay ®æi, ta còng cã thÓ gi¶i bài to¸n hçn hîp víi cïng ph−¬ng ph¸p nhu trªn. Ch¼ng h¹n ®èi víi thanh dÉn cã hai ®Çu c¸ch nhiÖt, ®iÒu kiÖn biªn ph¸t biÓu nh− sau ∂u ∂u (0,t)=0, (L, t)=0,t>0. ∂x ∂x Dïng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, ta thu ®−îc nghiÖm √ √ X(x)=C1 cos λx + C1 sin λx , víi ®iÒu kiÖn X0(0) = 0,X0(L)=0. Lý luËn t−¬ng tù nh− tr−êg hîp trªn, ta cã 2 2 2 λn = n π /L ,n=0, 1, 2, và Xn(x) = cos(nπx/L). VËy nghiÖm cã d¹ng ∞ a 2 2 2 u(x, t)= 0 + X a e−kn π t/L cos(nπx/L) . 2 n n=1 C¸c hÖ sè an ®−îc t×m nhê vào ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = f(x) và chóng chÝnh là c¸c hÖ sè Fourier cña f(x) khai triÓn theo hàm cosin: L 2 a = Z f(x) cos(nπx/L)dx (23) n L 0
  63. 62 3.4 Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu XÐt mét d©y ®µn håi cã chiÒu dài L buéc chÆt ë hai ®Çu. Gi¶ sö d©y n»m ngang, ta sÏ m« t¶ chuyÓn ®éng cña d©y trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng tõ vÞ trÝ c©n b»ng t¹i thêi ®iÓm t =0. Chän trôc x làm trôc täa ®é, gäi u(x, t) là chuyÓn dÞch cña d©y và T (x, t) là søc c¨ng cña d©y t¹i vÞ trÝ x và thêi ®iÓm t. XÐt mét ®o¹n d©y ®ñ nhá gi÷a x và x +∆x. Gi¶ thiÕt d©y ®àn håi, khi ®ã c¸c lùc t¸c ®éng lªn d©y bao gåm søc c¨ng däc theo d©y (cã ph−¬ng tiÕp xóc víi d©y) và träng lùc. HÖ sè gãc cña d©y cho bëi u(x +∆x, t) − u(x, t) ∂u tan θ = lim = . ∆x→0 ∆x ∂x Tæng c¸c lùc t¸c ®éng lªn ®o¹n d©y là T (x +∆x, t) sin θ(x +∆x, t) − T (x, t) sin θ(x, t)+ρ(x)∆xQ(x, t), trong ®ã ρ là khèi l−îng riªng cña d©y và Q(x, t) là thành phÇn th¼ng ®øng cña träng lùc trªn mçi ®¬n vÞ khèi l−îng. Theo ®Þnh luËt Newton: ∂2u F = ma = ρ(x)∆x , ∂t2 ta cã ∂ ρ(x)u = [T (x, t) sin θ(x, t)] + ρ(x)Q(x, t). tt ∂x ∼ NÕu gãc θ nhá, ta cã sin θ ≈ tan θ và gi¶ sö søc c¨ng T (x, t) = T0, ®ång thêi Q(x, t) =∼ 0, ta cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn d−íi d¹ng 2 utt = c uxx, (24) T víi c2 := 0 ®−îc gäi lµ hÖ sè truyÒn. ρ Ph−¬ng tr×nh (24) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Trong tr−êng hîp hai chiÒu, nã cã d¹ng ∂2u ∂2u ∂2u = c2  +  . ∂t2 ∂x2 ∂y2 §iÒu kiÖn biªn: Trong khi gi¶i ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng, ta th−êng x¸c dÞnh c¸c ®iÒu kiÖn biªn hoÆc ®iÒu kiÖn ban ®Çu. NÕu d©y bÞ buéc chÆt t¹i mét ®Çu mót víi ®é lÖch kh«ng, ta cã ®iÒu kiÖn biªn u(0,t)=0 hay u(L, t)=0. (25)
  64. 63 Ta còng cã thÓ xÐt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x). (26) Hai ®iÒu kiÖn này m« t¶ chuyÓn vÞ cña d©y và vËn tèc ban ®Çu cña d©y t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t =0. a) Gi¶i bài to¸n Cauchy- C«ng thøc D'Alembert: Ta t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (24) tháa (26). Trong (24) ta ®−a vào hai biÕn ®éc lËp míi ξ := x − ct ; η := x + ct. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (24) ®−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c: ∂2u (ξ,η)=0. ∂ξ∂η VËy nghiÖm tæng qu¸t là u = ϕ(ξ)+ψ(η); hay, víi biÕn cò, ta cã u(x, t)=ϕ(x − ct)+ψ(x + ct) . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho ta 1 ϕ(x)+ψ(x)=f(x) và − ϕ0(x)+ψ0(x)= g(x) . c Tõ c¸c ®¼ng thøc này cã thÕ t×m ®−îc ϕ và ψ theo f và g. Cô thÓ ta cã 1 1 x ϕ(x)= f(x) − Z g(s)ds , 2 c 0 1 1 x ψ(x)= f(x)+ Z g(s)ds . 2 c 0 Do ®ã nghiÖm cña bài to¸n Cauchy cho bëi c«ng thøc (D’Alembert) sau ®©y 1 1 x+ct x−ct u(x, t)= [f(x − ct)+f(x + ct)] + Z g(s)ds − Z g(s)ds . 2 2c 0 0 b) Gi¶i bài to¸n hçn hîp: Trong phÇn này ta xÐt bài to¸n m« t¶ s− dao ®éng cña d©y cè ®Þnh hai ®Çu víi dÞch chuyÓn ban ®Çu kh¸c kh«ng. Cô thÓ h¬n, xÐt
  65. 64 bài to¸n ∂2u ∂2u  = c2 , 0 0  ∂t2 ∂x2   u(0,t)=0,u(L, t)=0,t>0 (27)  ∂u  u(x, 0) = f(x), (x, 0) = g(x),x∈ [0,L]  ∂t Ta dïng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn ®Ó gi¶i bài to¸n này. Tr−íc hÕt gi¶ sö g(x) ≡ 0 (tøc là vËn tèc ban ®Çu cña d©y b»ng kh«ng). Gi¶ sö u(x, t)=X(x)T (t) . Thay vào (27), ta thu ®−îc X00 T 00 = = −λ, X c2T trong ®ã λ là h»ng sè. Tõ ®ã, c¸c hàm X(x) và T (t) tháa ph−¬ng tr×nh X00 + λX =0 (28) T 00 + c2λT =0, (29) víi c¸c ®iÒu kiÖn X(0) = 0,X(L)=0 và T 0(0) = 0 . Gi¶i ph−¬ng tr×nh (28), cïng víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn, råi gi¶i ph−¬ng tr×nh (29) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu T 0(0) = 0, ta thu ®−îc 2 2 2 λn = n π /L ,n=1, 2, 3, và nπct X (x)=c sin(nπx/L),T(t)=d cos . n n n n L VËy nghiÖm cña bài to¸n cã d¹ng ∞ nπx nπct u(x, t)=X A sin cos . n L L n=1 C¸c hÖ sè An ®−îc tÝnh to¸n nhê vào dÞch chuyÓn ban ®Çu ∞ nπx u(x, 0) = X A sin = f(x), n L n=1
  66. 65 và ta thu ®−îc c«ng thøc L 2 nπx A = Z f(x) sin dx (30) n L L 0 Tr−êng hîp dÞch chuyÓn ban ®Çu f =0, nh−ng vËn tèc ban ®Çu g =06 , bài to¸n ®−îc gi¶i quyÕt hoàn toàn t−¬ng tù nh−ng víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu T (0) = 0. NghiÖm cña bài to¸n cã d¹ng ∞ nπx nπct u(x, t)=X B sin sin , n L L n=1 trong ®ã c¸c Bn ®−îc tÝnh to¸n dùa vào vËn tèc ban ®Çu ∞ ∂u nπc nπx (x, 0) = X B sin = g(x) . ∂t n L L n=1 Do ®ã L nπc 2 B = Z g(x) sin(nπx/L)dx (31) n L L 0 NhËn xÐt. Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, f và g ®Òu kh¸c kh«ng, ta cã thÓ t¸ch thành hai bài to¸n t−¬ng øng víi f =0,g = g và f = f,g =0råi lÊy tæng c¸c nghiÖm cña hai bài to¸n này. VÝ dô. Gi¶i bài to¸n hçn hîp ∂2u ∂2u  =4 , 0 0  2 2  ∂t ∂x  u(0,t)=0,u(π,t)=0,t>0  ∂u  u(x, 0) = 0, (x, 0) = sin x, x ∈ [0,π]  ∂t Gi¶i: Trong vÝ dô này L = π, c2 =4f =0và g = sin x. LËp l¹i c¸c b−íc trªn ta cã nghiÖm ∞ u(x, t)=X Bn sin nx sin 2nt . n=1
  67. 66 Khi ®ã ∞ ∂u (x, 0) = X B 2n sin nx = sin x. ∂t n n=1 Tõ ®ã B1 =1/2, Bn =0, víi n>1. VËy nghiÖm cña bài to¸n là 1 u(x, t)= sin x sin 2t. (32) 2 3.5 Ph−¬ng tr×nh Laplace: Trong phÇn này ta xÐt ph−¬ng tr×nh Laplace ∂2u ∂2u + =0, (33) ∂x2 ∂y2 trong miÒn D ⊂ R2 víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn cho trªn biªn cña D. NÕu bài to¸n víi ®iÒu kiÖn biªn là gi¸ trÞ cña nghiÖm trªn biªn cña D, th× ta gäi là bài to¸n Dirichlet; nÕu ®iÒu kiÖn biªn là gi¸ trÞ cña® ¹o hàm cña nghiÖm trªn biªn cña D, ta gäi là bài to¸n Neumann. Sau ®©y ta chØ xÐt bài to¸n Dirichlet trªn miÒn D cã d¹ng ®Æc biÖt. a) Bài to¸n Dirichlet trªn h×nh ch÷ nhËt: XÐt ph−¬ng tr×nh (33) trªn h×nh ch÷ nhËt 0 <x<a, 0 <y<bvíi c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(x, 0) = 0, u(x, b)=0, 0 <x<a, u(0,y)=0, u(a, y)=g(y), 0 6 y 6 b. Dïng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn u(x, y)=X(x)Y (y), ta thu ®−îc X00 Y 00 = − = λ, X Y trong ®ã λ là h»ng så. Tõ ®ã ta cã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n X00 − λX =0, (34) Y 00 + λY =0. (35) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (35) víi ®iÒu kiÖn Y (0) = 0 = Y (b) ta thu ®−îc nπy λ = n2π2/b2,n=1, 2, 3, ; Y (y)=γ sin . n n n b
  68. 67 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (34) víi λ võa t×m ®−îc và ®iÒu kiÖn X(0) = 0 ta thu ®−îc 1 nπx X (x)=β sinh . n n b VËy nghiÖm cña bài to¸n cho bëi ∞ nπx nπy u(x, y)=X C sinh sin , n b b n=1 trong ®ã c¸c hÖ sè Cn ®−îc x¸c ®Þnh nhê ®iÒu kiÖn biªn cuèi cïng ∞ nπa nπy u(a, y)=X C sinh sin = g(y). n b b n=1 V× vËy b nπa 2 nπy C sinh = Z g(y) sin dy (36) n b b b 0 NhËn xÐt. Víi ®iÒu kiÖn biªn kh¸c kh«ng g cho trªn c¸c c¹nh kh¸c cña h×nh ch÷ nhËt ta còng xö lý hoàn toàn t−¬ng tù. VÝ dô. Gi¶i bài to¸n Dirichlet cho ph−¬ng tr×nh Laplace trªn h×nh ch÷ nhËt 0 <x<π, 0 <y<π, víi ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(x, π)=0, 0 <x<π, u(0,y)=0, u(π,y) = sin y, 0 6 y 6 π. Gi¶i: LËp l¹i c¸c b−íc trªn ta t×m ®−îc c¸c hÖ sè Cn nh− sau π 2 0,n=16 C sinh nπ = Z sin y sin nydy =  n π 1,n=1 0 VËy nghiÖm cña bài to¸n là 1 u(x, y)= sinh x sin y sinh π ex − e−x 1Hàm sè sinh(x) (®äc là sin-hyperbolic) ®Þnh nghÜa bë i sinh(x)= . 2
  69. 68 b) Bài to¸n Dirichlet trong h×nh trßn: XÐt ph−¬ng tr×nh Laplace trªn h×nh trßn t©m O(0, 0), b¸n kÝnh ρ. Gi¶ sö ®iÒu kiÖn biªn trªn biªn cña h×nh trßn này cho bëi u = u(ρ, θ)=f(θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π ; (37) x2+y2 =ρ2 trong ®ã f(θ) ®−îc gi¶ thiÕt là hàm tuÇn hoàn víi chu kú 2π. Trong täa ®é cùc (r, θ), ph−¬ng tr×nh Laplace (33) cã d¹ng ∂2u 1 ∂u 1 ∂2u + + =0. ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 Dïng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn u(r, θ)=R(r)Θ(θ), ta thu ®−îc 1 1 R00Θ+ R0Θ+ RΘ00 =0. r r2 Lý luËn hoàn toàn t−¬ng tù nh− trªn, ta cã R00 R0 Θ00 r2 + r = − = λ, R R Θ trong ®ã λ là h»ng så. Cuèi cïng, ta thu ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh r2R00 + rR0 − λR =0 (38) Θ00 + λΘ=0. (39) Víi gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm u(r, θ) cña bài to¸n bÞ chÆn trªn h×nh trßn và là hàm tuÇn hoàn theo θ víi chu kú 2π, hàm Θ(θ) còng ph¶i tuÇn hoàn cïng chu kú và R(r) còng ph¶i bÞ chÆn. §iÒu kiÖn tuÇn hoàn cña nghiÖm cña (39) cho ta 2 λ = λn = n ; n =0, 1, 2, , øng víi nghiÖm Θn = cn cos nθ + dn sin nθ. Trong khi ®ã, (39) là ph−¬ng tr×nh Euler cã nghiÖm là n −n R(r)=αnr + βnr ,
  70. 69 øng víi n>0 và là tæ hîp cña h»ng sè và ln r nÕu n =0. VËy, vêi λn ë trªn, nghiÖm bÞ chÆn cã d¹ng tæng qu¸t là ∞ a u(r, θ)= 0 + X rn(a cos nθ + b sin nθ) (40) 2 n n n=0 C¸c hÖ sè an, bn ®−îc x¸c ®Þnh nhê vào ®iÒu kiÖn trªn biªn ∞ a u(ρ, θ)= 0 + X ρn(a cos nθ + b sin nθ)=f(θ) . 2 n n n=0 §Æc biÖt, nÕu xÐt khai triÓn Fourier trªn [0,π] th× c¸c hÖ sè này cho bëi c«ng thøc n 1 2π ρ an = R f(θ) cos nθdθ, n =0, 1, 2, π 0 n 1 2π ρ bn = R f(θ) sin nθdθ, n =1, 2, π 0 VÝ dô. Gi¶i bài to¸n Dirichlet trong h×nh trßn t©m O, b¸n kÝnh ρ =2 ∂2u ∂2u + =0,u = −4xy2. 2 2 ∂x ∂y x2+y2=22 Gi¶i: §æi biÕn x = r cos t, y = r sin t. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cho bëi ∞ a u(r, t)= 0 + X rn(a cos nt + b sin nt). 2 n n n=0 Dùa vào ®iÒu kiÖn biªn u(2,t)=−4xy2 = −32 cos t sin2 t = 8(cos 3t − cos t) , ta t×m ®−îc bk =0, ∀k, a3 =1,a1 = −4,aj =0,j=16 , 3. Do ®ã, ta ®−îc nghiÖm u(r, t)=r3 cos 3t − 4r cos t. Trë vÒ biÕn ban ®Çu ta ®−îc u(x, y)=x3 − x(4 + 3y2).
  71. Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸n häc cao cÊp, TËp 1, 2, 3, NXB GD - 1998. [2] Danco P.E, Popov AS.G, Kozehevnikova T.YA., Higher mathematics in problems and excercises, Part 1, Part 2, English translation, Mir Publishers-1983. [3] Hoµng H÷u §−êng, Vâ §øc T«n, NguyÔn ThÕ Hoµn, Ph−¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1967. [4] NguyÔn Thõa Hîp, Gi¸o tr×nh ph−¬ng tr×nh §¹o hµn riªng, TËp 1, NXB §H&THCN 1975. [5] Jean-Marie Monier, Gi¶i tÝch 2, 3, 4, NXBGD 2001. [6] H. Cartan, PhÐp tÝnh vi ph©n - C¸c d¹ng vi ph©n, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1980. [7] M. Spivak, Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1985. [8] R.Goderment, Algebra, Hermann 1968. [9] Sze-Tsen Hu, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1979. [10] S.Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company 1970. [11] J-M.Monier, §¹i sè 1, NXB GD 2000.