›
›

Toán cao cấp - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về ma trận

pdf 230 trang vanle 4840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về ma trận", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_cao_cap_bai_1_cac_khai_niem_co_ban_ve_ma_tran.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về ma trận

  1. Chương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Bài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận I. Các khái niệm cơ bản về ma trận 1. Khái niệm ma trận 2. Đẳng thức ma trận 3. Ma trận không và ma trận đối
  2. II. Các dạng ma trận 1. Ma trận vuông 2. Ma trận tam giác 3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị III. Các phép biến đổi ma trận 1. Các phép biến đổi sơ cấp 2. Phép chuyển vị ma trận
  3. I. Các khái niệm cơ bản về ma trận 1) Ma trận là gì? 5 1 −1 2 3 −4 A = , = 2 −3 4 5 1 0 1 0 2 (A và B là các ví dụ về ma trận.) Tại sao phải có ma trận?
  4. Đối với hệ: + = 7 3 − = 5 Dễ dạng nhận thấy nghiệm: = 3, = 4. Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn: + − 2 = 7 2 − − 4 = 2 5 + 4 + 10 = 1 3 − − 6 = 5 Ma trận sẽ giúp bạn
  5. Định nghĩa: Ma trận là một bảng số được xếp theo dòng và cột. Một ma trận có m dòng, n cột được gọi là ma trận cấp × Dạng tổng quát là:
  6. a11 a 12 a 1n Dấu a a a ngoặc A 21 22 2n đơn     a a a m1 m2 mn m n a11 a 12 a 1n Dấu a a a ngoặc A 21 22 2n vuông     a a a m1 m2 mn m n Có thể Ký hiệu dạng thu gọn: = ×
  7. Trong đó là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A. Ví dụ 1: Cho ma trận: 1 −2 3 −4 = 4 −3 5 2 1 −1 0 −1 × ⟶ = 5, = −2, = −1
  8. Ví dụ 2: Lập ma trận = cho biết: × 1 nếu i + j chẵn a = 2 nếu i + j lẻ Giải: a a a a =1? =2? =1? =2? 2 1 2 1 = 1 2 1 2 2 1 2 1
  9. 2. Đẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đôi một bằng nhau. Tức là, A = a , B = b × × a = b Thì: A = B ⟺ ∀i = 1,2, , m; j = 1,2, , n
  10. 1 2 Ví dụ: Cho = , = 3 4 5 6 = 1 = 2 = 3 Khi đó, = ⟺ = 4 = 5 = 6
  11. 3. Ma trận không và ma trận đối Định nghĩa 1: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không. Ký hiệu: 0× 0 0 0 0 0 0 0 m n     0 0 0 m n
  12. Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của ma trận A. Ký hiệu: ma trận đối của A là – A. Như vậy, = ⟶ − = − × ×
  13. Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau: 4 0 4 0 A 5 2 A 5 2 7 4 7 4 II. Các dạng ma trận 1. Ma trận vuông Định nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột.
  14. Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát: a11 a 12 a 1n a a a A 21 22 2n Đường     chéo chính an1 a n2 a nn
  15. Chú ý: Đối với ma trận vuông: = người ta gọi tổng các × phần tử trên đường chéo chính là vết của ma trận đó: ế() = + + ⋯ +
  16. 2. Ma trận tam giác: Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. Có hai loại ma trận tam giác:
  17. a a a 11 12 1n Ma trận a a 22 2n tam   giác dưới a mn a11 Ma trận a a 21 22 tam   giác trên am1 a m2 a mn
  18. 3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo cấp n có dạng: a 11 7 0 0 a 22 A 0 4 0  0 0 9 a nn
  19. Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trong đường chéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. 1 0 0 1 0 0 0 1 0 E3 0 1 0 EE n     0 0 1 0 0 1
  20. 1. Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận cho nhau.
  21. Phép 2: Nhân một dòng (cột) với số ≠ 0. Phép 3: Biến đổi một dòng(cột) bằng cách cộng vào nó tích của một dòng(cột) khác với một số k tùy chọn. 2. Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận = . Bằng cách xoay ×
  22. các dòng của A thành các cột tương ứng ta được ma trận A’ á ò à = ′ = ′ × ộ ươ ứ × Ma trận chuyển vị của ma trận A
  23. Ví dụ: Tìm ma trận chuyển vị của ma trận sau: 1 −2 3 −4 = 4 −3 5 2 ⟶ = 5 1 −1 0 −1 × 1 4 1 −2 −3 −1 Đs: A = ⟶ ′ = 5 3 5 0 −4 2 −1 × Nhận xét: ′ = ∀,
  24. § 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản II. Phép nhân ma trận với ma trận 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản
  25. I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số. Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp × : = , = × × Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp × .
  26. Ký hiệu là A + B và được xác định như sau: + = + × Định nghĩa2: Cho ma trận = × và số thực . Tích của trận A và số thực là một ma trận cấp × .
  27. Ký hiệu là và được xác định như sau: = . × Nhận xét: + Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp. + Việc thực hiện phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với số được thực hiện tương tự như đối với vectơ:
  28. Cụ thể: Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau.” Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với số ta nhân số với tất cả các phần tử của ma trận đó.”
  29. Ví dụ: Cho hai ma trận 2 −3 1 −1 1 −3 A = , = 4 2 0 0 2 −4 Hãy lập: A + B, 2A, 3B, 2A + 3B. Giải: 2 + (−1) (−3) + 1 1 + (−3) A + B = 4 + 0 2 + 2 0 + (−4) 1 −2 −2 = 4 4 −4
  30. Các tính chất cơ bản của phép cộng và nhân ma trận với số: (8 tính chất) Với A, B, C là các ma trận cùng cấp × ; là các số bất kỳ, ta có: 1. Giao hoán: + = + 2. Kết hợp: + + = + ( + ) 3. Cộng với ma trận 0: A + 0 = 0 + A = A
  31. 4. Cộng với ma trận đối: A + (–A) = 0. 5. Nhân với 1: 1.A = A.1 =A. 6. Phân phối: + = + 7. Phân phối: + = + 8. Kết hợp với phép nhân: = ()
  32. Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận: A – B = A + (–B) Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp × : = , = × × Thì: − = − ×
  33. Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau”. Nhận xét: − = − − = −
  34. Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu thức(hay đẳng thức đại số). Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế đổi dấu, ”.
  35. Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr) Cho hai ma trận: a) Lập các ma trận: + , − , 2 + 5, 3 −
  36. b) Tìm ma trận X thỏa mãn 3 + 2 + = + 7 − 2 Giải: a) ∘ + = ∘ − =
  37. II. Phép nhân ma trận với ma trận. Định nghĩa: Cho hai ma trận a11 a 12 a 1n b11 b 12 b 1p a a a b b b A 21 22 2n B 21 22 2p         a a a b b b m1 m2 mn m n n1 n2 np n p số cột của A bằng số dòng B
  38. Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp × , ký hiệu là AB và được xác định như sau: c11 c 12 c 1p c21 c 22 c 2p = =     c c c m1 m2 mp m p
  39. Ở đó: = ⋯ ⋮ Phần tử thuộc dòng i cột j của AB = . + . + ⋯ + .
  40. Chẳng hạn: 5 = 3 4 6 1 2 7 8 = 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70
  41. Chú ý: 1. Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B). 2. Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
  42. 3. Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i (của ma trận đứng trước) và cột j (của ma trận đứng sau). d c cij A i B j
  43. Ví dụ 1: Cho hai ma trận 1 3 3 1 2 A ; B 2 3 9 4 2 2 3 5 1 3 2 5 8 AB số cột của A = số dòng của B = 3 27 13 2 2 1 3 1 2 2 3 2 10 5 c11 5 c12 9 3 2 8 c21 9 8 10 27 c22 27 12 2 13
  44. Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1) BA3 2 2 3 BA3 3 24 11 8 BA 33 14 2 24 9 8 Nhận xét: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
  45. Ví dụ 2: Cho hai ma trận: 2 4 1 3 2 1 3 A 4 2 5 ; B 5 m 4 1 8 2 3 2 5 3 6 Lập ’ =? 42 4m 36 42 50 A B 2 2m 18 10 2 22 5m 17 12 20
  46. Ví dụ 3: Cho 2 ma trận: 2 2 4 1 2 1 4 3 2 4 5 1 3 4 5 3 1 4 A;B 2 4 7 3 5 3 1 2 3 6 4 1 5 3 4 1 3 1 Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận A'B là: 50:50 A: 13 B: - 23 C: 25 D: - 25
  47. Ví dụ 4: Cho 3 ma trận: 3 2 1 1 2 3 3 2 1 A 5 61;B 8 41;C 36 2 7 2 4 3 6 2 5 1 7 a) Tìm phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận: 3AC − BC + A. b) Tìm phần tử nằm ở dòng 3, cột 1 của ma trận: BAC.
  48. Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính: Xét hệ phương trình tuyến tính: a11 x 1 a 12 x 2  a 1n x n b 1 a21 x 1 a 22 x 2  a 2n x n b 2      am1 x 1 a m2 x 2  a mn x n b m
  49. Ma trận Cột ẩn Cột số hạng Ta có: hệ số số tự dosố a a a 11 12 1n x1 b1 a21 a 22 a 2n x b A; X; 2 B 2       x b am1 a m2 a mn n m a11 x 1 a 12 x 2  a 1n x n b 1 a x a x  a x b AX 21 1 21 2 2n n 2 B   am1 x 1 a m2 x 2  a mn x n b m
  50. Vậy, hệ trên được viết dưới dạng đơn giản: AX = B Dạng ma trận của hệ pttt Các tính chất cơ bản của phép nhân: 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC 2) Tính phân phối đối với phép cộng: + = + , ( + ) = +
  51. 3) = = Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận của tích” 4) Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị: . = , =
  52. Đặc biệt nếu A vuông: = = 5) = . ′ Mở rộng: = . ′ Chú ý: Đối với ma trận vuông ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa: . =
  53. . . = Tổng quát: = . m lần
  54. § 2. ĐỊNH THỨC Các nội dung chính: 1. Hoán vị của n số tự nhiên đầu 2. Định nghĩa định thức cấp n 3. Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) 4. Các tính chất cơ bản của định thức
  55. I. Hoán vị của n số tự nhiên đầu Định nghĩa: Cho tập = 1,2, , Mỗi cách cách sắp xếp n phần tử của tập hợp theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên.
  56. Ký hiệu , , , , , , , Là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên. Số lượng hoán vị của tập n số tự nhiên đầu là: n!.
  57. Nghịch thế trong một hoán vị Định nghĩa: Trong hoán vị , , , nếu thì ta nói hai số và tạo thành một nghịch thế. + Nếu tổng số nghịch thế của một hoán vị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi là hoán vị chẵn.
  58. + Nếu tổng số nghịch thế của một hoán vị là số lẻ thì hoán vị đó được gọi là hoán vị lẻ. Ví dụ: Cho = 1,2,3,4,5,6 Xét hoán vị: 3,1,6,2,4,5
  59. Cho biết hoán vị trên chẵn hay lẻ? Giải: Đếm số nghịch thế của hoán vị này: 3,1,6,2,4,5 + Số 3 có hai số nhỏ hơn đứng sau nó (số 1 và 2). + Số 1 không có số nhỏ hơn đứng sau nó.
  60. + Số 6 có ba số nhỏ hơn đứng sau nó (số 2, 4 và 5). + Số 2 không có số nhỏ hơn đứng sau nó. + Số 4 không có số nhỏ hơn đứng sau nó.
  61. ⟹ số nghịch thế của hoán vị trên là: 2 + 0 + 3 + 0 + 0 = 5 (lẻ) Vậy hoán vị: 3,1,6,2,4,5 là hoán vị lẻ Bây giờ, bạn hãy đổi chỗ 3 và 5 cho nhau, để được hoán vị: 5,1,6,2,4,3. Số nghịch thế là: ???4 + 0 + 3 + 0 + 1 = 8 Vậy hoán vị đổi thành hoán vị chẵn.
  62. Kết quả trên được khái quát: Định lý: Nếu đổi chỗ hai số trong một hoán vị (giữ nguyên vị trí của những số còn lại) thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ (tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻ và ngược lại).
  63. Hệ quả 1: Nếu ≥ 2 thì trong số n! hoán vị của n số tự nhiên đầu có một nửa là hoán vị chẵn và một nửa là hoán vị lẻ. Hệ quả 2: Với , , , là một hoán vị của n số tự nhiên đầu, bằng cách đổi chỗ các cột ta đưa được ma trận:
  64. 1 2 n 1 2 n 1  2  n về dạng 1 2 n thì hai hoán vị , , , và , , , có cùng tính chẵn lẻ.
  65. II. Định nghĩa định thức cấp n Cho ma trận vuông cấp n: ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ×
  66. Trước tiên ta trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cách chọn ra các bộ gồm n phần tử của A lấy trên các dòng khác nhau và các cột khác nhau, tức là không có hai phần tử nào cùng nằm trên một dòng hay một cột”
  67. Để chọn một bộ gồm n phần tử như vậy: Ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu tiên(sau này gọi là hoán vị chỉ số cột): , , , Theo hoán vị đó ta chọn n phần tử của ma trận A như sau:
  68. + Trên dòng 1 lấy phần tử thuộc cột : + Trên dòng 2 lấy phần tử thuộc cột : . + Trên dòng n lấy phần tử thuộc cột :
  69. Và lập tích số: −1 . . (∗) (h:là số nghịch thế của hoán vị: , , , ) Nhận xét: ∘ Mỗi tích số dạng (∗) là tích của một bộ n phần tử của ma trận A lấy trên các dòng khác nhau và các cột khác nhau và được gán dấu theo quy tắc sau:
  70. ∗ Gán dấu “+” nếu là hoán vị chỉ số cột là hoán vị chẵn. ∗ Gán dấu “–” nếu là hoán vị chỉ số cột là hoán vị lẻ. ∘ Có n! tích số dạng (∗). Định nghĩa: Tổng của tất cả n! tích số dạng (∗) được gọi là định thức của ma trận vuông A và được ký hiệu là: hoặc det hoặc
  71. có thể viết dưới dạng một bảng số có n dòng, n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng: ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∘ Định thức của một ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n.
  72. ∘ Mỗi tích số T = −1 . . được gọi là một thành phần của định thức. Như vậy, định thức cấp n là tổng của n! thành phần của nó: det = −1 . . (,, ,) Tổng trên lấy cho tất cả các hoán vị của
  73. Chú ý: ∘ Khái niệm định thức chỉ áp dụng đối với ma trận vuông. ∘ Định thức là một số thực xác định (điều này khác với ma trận là một bảng số): ∈ + ⟹ d = det () ∈ (Lời: ” ”) ∀, = 1,
  74. ∈ + ⟹ d = det () ∈ (Lời: ” ”) ∀, = 1, Ví dụ 1: Có bao nhiêu thành phần của định thức cấp 5 chứa các phần tử , , . Viết công thức tính các phần tử đó. Giải: Một thành phần của định thức cấp 5 có dạng:
  75. Ví dụ 2: Cho đa thức một biến x: 5 4 3 x 7 3 1 6 2 4 P x 3x 3 1 9 10 5 2 4 11 2x 7 9 8 5 11 hệ số của lũy thừa cao nhất của P(x) là: 50:50 A: – 256 B: 344 C: 354 D: – 276
  76. Ví dụ: Cho định thức: 5 4 3 2 1 1 = 1 3 2 1 1 1 1 Chỉ sử dụng định nghĩa hãy tìm thành phần của định thức chứa và . Giải. SV tự giải.
  77. 3. Tính các định thức cấp 1, 2, 3 bằng định nghĩa. Định thức cấp 1: = × ⟶ = = Hoán vị Số nghịch thế T.P tương ứng 1 0 + Quy tắc: “Định thức cấp 1 bằng phần tử duy nhất của nó”. 1
  78. Định thức cấp 2: = , ! = ! =2(thành phần) × ⟶ = = + − Hoán vị Số nghịch thế TP tương ứng , (h) −1 1,2 0 + 2,1 1 − 2
  79. Như vậy, = = = . −. – + Quy tắc: “Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử nằm trên đường chéo chính trừ đi tích hai phần tử trên đường chéo phụ”. 3
  80. Ví dụ 1: Tính các định thức sau: 2 3 a) = = 2.5 − 3.4 = −2 4 5 b) = = − 4
  81. Định thức cấp 3: = × ! = ! = (thành phần) ⟶ = = Tổng của 6 thành phần của nó. 5
  82. Hoán vị Số nghịch thế TP tương ứng , , (h) −1 1,2,3 0 + = + 2,3,1 2 + = + 3,1,2 2 + = + 3,2,1 3 − = − 2,1,3 1 − = − 1,3,2 1 − = − Vậy, = = = + + − −( + + )6
  83. 7
  84. 8
  85. − + Mẹo 9
  86. Ví dụ 1: Tính định thức sau: 2 −3 4 = 1 6 5 −3 3 2 = 2.6.2 + 5. – 3 . – 3 + 1.3.4 − − 4.6. −3 + 1. −3 . 2 + 3.5.2 = =129 10
  87. Ví dụ 2: Tính các định thức sau: 1 −2 a) = 3 2 1 5 4 0 = 0 + 5 − 24 − −20 + 0 + 4 = 5 − 8 −2 3 1 b) = 1 −2 2 = 16 + 36 + + 1 − 6 + 1 4 −[−12 + 12 − 4 + 1 ] = 5 + 57 11
  88. Ví dụ 3: Tính định thức: 3 2 −1 = 4 5 2 −1 3 6 50:50 A: 55-52m B: 34-47m C: 35-27m D: 51-52m 12
  89. Chú ý: Cấp định thức càng cao số thành phần càng lớn nên không thể tính định thức cấp cao bằng định nghĩa. Thậm chí, cấp thấp tính bằng định nghĩa đôi khi cũng gặp khó khăn, chẳng hạn: 12345678 13345678 = =? 23456789 24456789 13
  90. 4. Các tính chất cơ bản của định thức Định lý 1: ′ = (∀ vuông) Từ định lý trên suy ra: Vai trò của dòng và cột là như nhau, Do đó: tất cả các tính chất của định thức đã đúng với dòng thì cũng đúng với cột. 14
  91. Định lý 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng nào đó của định thức cấp n bằng 0 thì định thức đó bằng 0. Chẳng hạn, − a) = = − 15
  92. − b) = = − 16
  93. Định lý 3: Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu. Chẳng hạn, 1 2 3 4 3 1 44 2 1 1 dấu 1 2 3 đổi 2 1 1 44 4 3 1 17
  94. Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dòng bằng nhau. Chẳng hạn, 31 2 2 71 21 3 3 57 = 0 23 4 4 79 −11 5 5 83 18
  95. Định lý 4: Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số (tức là nhân tất cả các phần tử của dòng đó với số ) thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với . 19
  96. Tức là: ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ . . ⋯ . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 20
  97. Nói cách khác: Nhân tử chung của một dòng trong định thức có thể đưa ra ngoài dấu định thức. ===.. 21
  98. Chú ý: Ta cần nhận thấy sự khác nhau: . khác với : − 3 − =? − 3 − =? 22
  99. Ví dụ: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của =? 50:50 A: k |A| B: |A| C: n |A| D: |A| 23
  100. Hệ quả 1: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ. Hệ quả 2: = 24
  101. Định lý 5: Nếu trong định thức. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + + ⋯ + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai dòng: 25
  102. + , + , , + = = , , , + + , , , Thì ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức: + a a ⋯ a a a ⋯ a ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ d = b ⋯ b , d = c ⋯ c ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a ⋯ a a a ⋯ a 26
  103. Ví dụ: + ′ ′ + ′ = + ′ + ′ ′ Định lý 6: Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một số k tùy ý thì định thức không thay đổi. 27
  104. Ví dụ 1: Ví dụ 2: CMR: 28
  105. Định lý 7: Định thức bằng 0 nếu hệ véc tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Điều ngược lai vẫn đúng, tức là: “Nếu định thức bằng 0 thì hệ véc tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính” 29
  106. Định lý 8: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì: = . || Hệ quả: = . = m lần 30
  107. Ví dụ 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của =? 50:50 A: k A B: A C: n A D: A 31
  108. − Ví dụ 2: Cho = − Tính Giải: Dễ thấy: |A| = – 38, = = = − 32 = −
  109. Ví dụ 3: Cho d là định thức cấp n bất kỳ. Gọi , là dòng thứ nhất và dòng thứ 2 của d và xem mỗi dòng của d như một véc tơ n chiều. Định thức thay đổi thế nào nếu thay dòng thứ 2của nó bằng véc tơ − (các dòng còn lại giữ nguyên). 33 33
  110. § 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC Các nội dung chính: 1. Phương pháp khai triển a. Khái niệm phần bù đại số b. Quy tắc khai triển định thức 2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
  111. 1. Phương pháp khai triển a. Khái niệm phần bù đại số Định nghĩa: Xét định thức cấp n: ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
  112. Xóa đi dòng i và cột j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d, ta được định thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij. (định thức cấp n-1) ó ò ,ộ Định nghĩa: Định thức Mij được gọi là phần i+j bù và Aij = (–1) Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij trong định thức d.
  113. + nếu i + j chẵn Chú ý: = − nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: 3 −2 5 = 2 1 −1 4 5 −3 1 −1 Hãy tính: = + = 2 5 −3
  114. + nếu i + j chẵn Chú ý: = − nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: 3 −2 5 = 2 1 −1 4 5 −3 2 −1 Hãy tính: = − = 2 4 −3
  115. + nếu i + j chẵn Chú ý: = − nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: 3 −2 5 = 2 1 −1 4 5 −3 2 1 Hãy tính: = + = 6 4 5
  116. b) Quy tắc khai triển định thức Trong Ví dụ trên: Ta thấy: 3 −2 5 = 2 1 −1 = 32 4 5 −3 Các PT dòng 1: = 3, = −2, = 5 Phần bù đại số: = 2, = 2, = 6 ⟹ + + = 3.2 + −2 . 2 + 5.6 = 32
  117. ⟹ = + + Định lý: Ta có công thức khai triển định thức cấp n theo dòng i: = + + ⋯ + “Định thứcBạncấphãy phátn bằngbiểutổngcông của các tích các thức này thành lời phần tử trên một dòng nào đó với phần bù đại số tương ứng của các phần tử trên dòng đó.
  118. Tương tự ta cũng có công thức khai triển định thức cấp n theo cột thứ j: = + + ⋯ + “Định thức cấp n cũng bằng tổng của các Bạn hãy phát biểu công tích các phầnthứctửnàytrênthànhmột cộtlờinào đó với phần bù đại số tương ứng của các phần tử trên cột đó.
  119. Nhận xét: Định lý trên cho phép ta hạ cấp khi tính định thức, tức là chuyển việc tính một định thức cấp cao về việc tính các định thức cấp thấp hơn. Ví dụ 1: Tính định thức 1 2 3 5 0 9 7 0 = 3 11 −2 4 −2 7 4 1
  120. 1 2 3 5 0 9 7 0 = 3 11 −2 4 −2 7 4 1 Khai triển định thức theo dòng 2: = 0. ? + 9. ? + 7. ? + 0. ? 1 3 5 = + 3 −2 4 = −11 −2 4 1
  121. 1 2 3 5 0 9 7 0 = 3 11 −2 4 −2 7 4 1 1 2 5 = − 3 11 4 = −176 −2 7 1 ⟹ = 9. + 7. = 9 −11 + 7. −176 = −1331
  122. Chú ý 1: Để giảm bớt khối lượng tính toán, trước khi khai triển ta biến đổi sao cho một dòng hoặc cột nào đó chỉ còn duy nhất một phần tử khác 0. Khi đó định thức bằng phần tử khác 0 duy nhất đó nhân với phần bù đại số của nó.
  123. Chú ý 2: Để tránh nhầm lẫn khi biến đổi trên định thức cần chú ý: tác động của các phép biến đổi sơ cấp làm thay đổi định thức: Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức ⟶ Định thức đổi dấu.
  124. Phép 2: Nhân một dòng (cột) của định thức với số k ⟶ Nhân thêm bên ngoài Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) tích một dòng (cột) khác với một số k ⟶ Định thức không thay đổi.
  125. Biến Ví dụ 2: Tính định thức đổi bằng 3 1 4 2 0 5 −2 2 6 = 2 3 1 −1 4 2 3 6 3 1 4 2 11 0 10 10 = −7 0 −11 −7 −2 0 −5 2
  126. 3 1 4 2 11 0 10 10 = = 1. −7 0 −11 −7 −2 0 −5 2 11 10 10 4 −1 3 = − −7 −11 −7 = 7 11 7 −2 −5 2 −2 −5 2 = 217
  127. Ví dụ 3: Tính định thức: −3 2 −1 4 2 −1 3 2 = 5 −3 1 3 6 4 2 1 50:50 A: – 489 B: 588 C: 594 D: – 589
  128. Ví dụ 4: Tính định thức: −2 3 1 2 2 −1 2 = 3 −3 1 3 2 1 2 1 50:50 A: 49 – 37m B: 47 – 39m C: 59-45m D: 58-39m
  129. 2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác DĐịnh thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử Chú ý rằng: trên đường chéo chính = .
  130. Chẳng hạn = . . .
  131. Bây giờ, để tính định thức cấp n d, ta có thể sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi d về dạng tam giác và d sẽ bằng “tích các phần tử trên đường chéo chính” ử ụ á é ế đổ ơ ấ (Dạng tam giác)
  132. Ví dụ 1: Tính định thức: 2 −1 1 0 0 1 2 = −1 3 −1 2 3 3 1 −2 1
  133. =(–1).1.1.(– 56) = 56
  134. Ví dụ 2: Tính định thức cấp n HD: Hãy lấy dòng 1 cộng vào các dòng còn lại (định thức không thay đổi) Đs: d = n! &
  135. § 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Các nội dung chính: 1. Ma trận nghịch đảo a. Khái niệm ma trận nghịch đảo b. Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo
  136. 2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo a. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông b. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo c.Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi ma trận 3. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận
  137. 1. Ma trận nghịch đảo a. Khái niệm ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: = =
  138. Chú ý: ∘ Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông. ∘ Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông (nếu có) là duy nhất.
  139. Chứng minh: Giả sử X, Y là hai ma trận nghịch đảo của A: AX = XA = E AY = YA = E ⟹ = = = = = ∎
  140. Vì vậy: Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là ⟹ = = ⟹ = ⟹ =
  141. b. Một vài tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo. Tính chất 1: = , = Tính chất 2: = Hãy chứng minh các tính chất này bằng định nghĩa?
  142. Câu hỏi 1: Khi nào ma trận A có ma trận nghịch đảo? Câu hỏi 2: Khi đó tìm ma trận nghịch đảo như thế nào?
  143. 2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo a. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông (Chỉ áp dụng cho ma trận vuông) Định nghĩa: Cho ma trận vuông ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ×
  144. Ma trận phụ hợp của ma trận A cũng là một ma trận vuông có cùng cấp với A, nó được ký hiệu và xác định như sau: ⋯ ⋯ ∗ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × ∗ Chú ý: =
  145. Ví dụ 1: Cho = + = − = . Tìm ∗ =? − Đs: − ∗ = = − − −
  146. Ví dụ 2: Cho − − = − − − Tìm phần tử thuộc dòng 3 cột 4 của ∗. Đs: = = − − = − − −
  147. Ví dụ 3: Cho: − − = − − − Tìm phần phần tử thuộc dòng 4 cột 1 của ma trận phụ hợp của ma trận A. 50:50 A: 4 B: -4 C: -28 D: 28
  148. Liên hệ giữa A và ∗ Định lý: Với mọi A vuông, và E là ma trận đơn vị cùng cấp với A, ta luôn có: ∗ = ∗ = . ( = ||) Để chứng minh định lý này ta cần đến bổ đề sau:
  149. Bổ đề: Với mọi ma trận = × Ta đều có: ∘ + + ⋯ + = = ế = = () ế ≠ ∘ + + ⋯ + = = ế = = () ế ≠
  150. Ta chứng minh (1): ∘ Với = (1) chính là công thức khai triển định thức cấp n. ∘ Với ≠ xét định thức sau đây: ⋯ Dòng i Thay ⋯ dòng j ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ bởi = dòng i ⋯ Dòng j
  151. ∘ Định thức = (có hai dòng bằng nhau) ∘ Khai triển định thức theo dòng thứ j: = + + ⋯ + = ∎ Chú ý rằng: Vế trái của (1) chính là tích vô hướng: ∗ + + ⋯ + = ×
  152. Bây giờ ta sẽ sử dụng bổ đề để chứng minh định lý trên: Ta sẽ chứng minh: ∗ = . , đẳng thức còn lại ∗ = . được chứng minh tương tự.
  153. • Phần tử thuộc dòng i cột j của ∗ là: = ⋯ ⋮ = + + ⋯ + = = ế = = ế ≠
  154. • Từ đây suy ra: Một ma trận vuông có định thức∗≠= được gọi là= ma∎ trận không suy biến c) Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý: Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo (khả nghịch) ⟺ = () ≠
  155. Khi đó, ma trận nghịch đảo được xác định theo công thức: = ∗ ()
  156. Chứng minh: + Nếu A có ma trận nghịch đảo, tức là tồn tại ⟹ = ⟹ = ⟹ = ≠ ⟹ = ≠ ∎ + Nếu = ≠ . Nhân hai vế của Định lý: ∗ = ∗ = với :
  157. ∗ = ∗ = ⟹ ∗ = ∗ = ⟹ = ∗∎ ()
  158. Như vậy, ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × ⟹ Phần tử thuộc dòng i cột j của ma trận là: =
  159. Ví dụ 1: Cho − = − Ma trận A có ma trận nghịch đảo không. Tìm =? Đs: = ≠ − ⟹ ∃ = − − −
  160. Ví dụ 2: Cho ma trận: − = Tìm m để B khả nghịch, Khi đó tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của Giải:  B khả nghịch ⟺ = ≠
  161.  Ta có = = − ≠ ⟺ ≠  Vậy B khả nghịch ⟺ ≠ ∎ 27+1
  162. Ví dụ 3: Cho: − = − − − − Phần tử thuộc dòng 3 cột 2 của ma trận nghịch đảo của ma trận A là: 50:50 A: B: – 36 C: D: – 9
  163. Đối với ma trận cấp lớn, việc tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức = ∗ là không khả thi, vì khối lượng tính toán sẽ rất lớn.
  164. Vậy còn cách nào khác để tìm ma trận nghịch đảo?
  165. Phương pháp biến đổi sơ cấp Giả sử A có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể thực hiện các bước sau:  Ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào bên phải ma trận A.
  166. Làm như vậy ta được một ma trận cấp × ×  Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ véc tơ dòng (không được biến đổi cột) ta có thể biến đổi ma trận trên về dạng: ×
  167. Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A: = Lưu ý 1: Nếu A là ma trận vuông suy biến thì các phép biến đổi hệ véc tơ dòng sẽ không thể biến đổi A thành ma trận đơn vị được, vì khi đó hệ véc tơ dòng của A PTTT nên sẽ có ít nhất một dòng bị biến đổi bằng 0.
  168. Lưu ý 2: Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể ghép thêm vào A ma trận đơn vị E cùng cấp và có thể tùy chọn vị trí đặt theo một trongChỉ4 biếncáchđổi: trên dòng , , Chỉ biến đổi trên cột
  169. Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng pp biến đổi: − = − Giải:  Ghép thêm vào bên phải A một ma trận đơn vị cấp 3:
  170. − = −  Biến đổi sơ cấp trên hệ véc tơ dòng: − ⟶ −
  171. − ⟶ − − ⟶ − − −
  172. − Đs: = − − − BTTT: Tìm ma trận nghịch đảo của A: − − = − −
  173. 3. Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận. Cho A là ma trận vuông không suy biến cấp n Bài toán 1: “Tìm ma trận X thỏa mãn: AX = B (1)” (B: là ma trận cấp × cho trước)
  174. Phương pháp giải: Do A không suy biến nên tồn tại . Nhân hai vế PT trên với vào bên trái ta được: = Vậy PT có nghiệm duy nhất
  175. Bài toán 2: Tìm ma trận Y thỏa mãn: YA = C (2) (C: là ma trận cấp × cho trước) Phương pháp giải:Tương tự Bài toán 1: Nhân hai vế PT trên với vào bên phải ta được: =
  176. Ví dụ: Cho hai ma trận − = − − = − Tìm các ma trận X, Y thỏa mãn: = , =
  177. Giải: Ta có: = det () = − ∗ = − − − Như vậy: = = ∗ ⟹ = ∗
  178. ∗ − − = − − − − − − = − − −
  179. − − = − − − Tương tự: = − −
  180. Chú ý: Trường hợp A không có ma trận nghịch đảo (A không vuông hoặc |A| = 0). Khi đó, để giải các phương trình (1), (2) ta làm như sau:  Kiểm tra xem có tồn tại ma trận X (hoặc Y) có cấp phù hợp?
  181.  Trong trường hợp tồn tại X (hoặc Y) có cấp phù hợp, ta xác định cấp của ma trận phải tìm.  Xem các phần tử của ma trận phải tìm là các ẩn số và chuyển sang hệ tuyến tính để giải.
  182. Ví dụ: Cho hai ma trận: − − = , = − − − Giải các PT: AX = B và YA = B Giải: . Tồn tại ma trận X có cấp ×
  183. . Ta có: = ⟺ − − = − − − − = − = − = − ⟺ − + = − − + = − − + =
  184. − = ⟺ − = − = − + = + = ⟺ = − + = = =
  185. . Không tồn tại ma trận Y thỏa mãn bài toán vì nếu ngược lại, thì số cột A = số cột B (Vô lý) 24
  186. Bài 5: Hạng của ma trận Các nội dung chính:  Khái niệm hạng của ma trận.  Liên hệ với các định thức con.  Các phương pháp tìm hạng.  Khảo sát hệ véc tơ nhờ vào hạng. 1
  187. Bài 5: Hạng của ma trận  Khái niệm hạng của ma trận. Trước tiên ta chú ý: Hệ véc tơ dòng × , , , × , , , 2
  188. Định nghĩa: Hạng của ma trận A là hạng của hệ véc tơ cột của nó. Ký hiệu là: r(A), hay rank(A) = , , , Nhận xét:  ≤ (×) ≤ , Hạng ma trận không vượt quá số dòng và số cột của nó 3
  189.  = ∘ Trong A tồn tại cột ĐLTT ⟺ ∘ Các cột còn lại của A bdtt qua cột đó Ví dụ: Xét ma trận: − = − − − , ĐLTT? ⟹ = = + , = − 4
  190.  Liên hệ giữa hạng ma trận và các định thức con. Khái niệm định thức con của ma trận: Cho ma trận = × Lấy số tự nhiên ≤ , Xét s dòng: , , , và s cột: , , , 5
  191. Lập ma trận vuông cấp s bằng cách giữ lại s dòng và s cột đã chọn. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp s của ma trận A và được ký hiệu là: ,, , ⟶ Chỉ số cột ,, , ⟶ Chỉ số dòng Số lượng: . 6
  192. Ví dụ: Cho ma trận − = − −  Các định thức con cấp 1: (SL: . = ) = = , , =  Các định thức con cấp 2: 7
  193. − = − − (SL: . = ) = = , = = −,  Các định thức con cấp 3: 8
  194. − = − − (SL: . = ) − = = −, − 9
  195. − = − − = = , − − 10
  196. Định lý: r(A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 (của A). Tức là: = ° Tồn tại định thức con cấp : D ≠ 0 ⟺ ° Mọi định thức con cấp > của A đều bằng 0 Lưu ý: Điều kiện thứ 2 ⟺ “Mọi định thức con cấp của A đều bằng 0” + 11
  197. HD: Xét ma trận: ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Giả sử r là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử: 12
  198. ⋯ ⋯ = = ≠ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Từ đây ta sẽ chứng minh: hệ véc tơ , , , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. Thật vậy, 13
  199. . Hệ véc tơ , , , là ĐLTT (Vì nếu nó PTTT thì ta suy ra các cột của D cũng PTTT, suy ra = ⟶ Vô lý) . Bây giờ ta chứng minh: Các cột khác của A bdtt qua r cột đầu là xong. 14
  200. Ta lập định thức cấp + ⋯ ⋯ ∆= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ( = , , , ; = + , , ) Nhận xét: ∆= ∀ = , , , . Vì nếu: = , thì ∆= vì có 2 dòng giống nhau. 15
  201. Còn nếu: = + , thì ∆= vì là định thức con cấp > r. Khai triển định thức trên theo dòng cuối, ta được: + + ⋯ + + = ( = , , , ):là phần bù đại số của của ∆. Do ≠ . Nên từ đây ta suy ra: 16
  202. = − − − ⋯ − ( = , , , ) Cho i chạy từ 1 đến m, ta được: = + + ⋯ + Tức là ta có = − (đpcm) Như vậy, ta đã chứng minh được: • r cột đầu của A ĐLTT. • Các cột còn lại bdtt qua r cột đầu. 17
  203. Nhận xét: Như vậy: Nếu ≠ là định thức con cấp cao nhất của A thì: , , , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. Bằng cách tương tự, ta chứng minh được: Nếu ≠ là định thức con cấp cao nhất của A thì: , , , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. 18
  204. Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận: r(A)= hạng = (′) hệ véc Hệ quả 2: tơ dòng = (, , , ) Hệ quả 3: = = ⟺ hệ véc tơ dòng (cột) của nó PTTT Chú ý 1: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của A được gọi là định thức con cơ sở của A. 19
  205. Mệnh đề: Nếu ≠ là định thức con cơ sở của A thì:  , , , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A.  , , , là cơ sở của hệ véc tơ dòng của A. 20
  206. Chú ý 2: Ta có khái niệm định thức con bao quanh: Cho là một định thức con cấp s của A ( < , ) Định thức con cấp s+1 bao quanh D ổ ê = = ò ,ộ ủ à á ò, á ộ đã ọ 21
  207. Lưu ý: • Tổng số các định thức con cấp + của A là: . • Tổng số các định thức con cấp + bao quanh D của A là: − − Số lượng này ít hơn các định thức con cấp s+1 22
  208. Ví dụ 3: Cho = và = . × Có bao nhiêu định thức con cấp 3 bao quanh D, tìm công thức xác định chúng. 50:50 A: 2; , B:3; , , C:3; , , D: 2; , 23
  209. Mệnh đề: Nếu trong ma trận A • Có một định thức con ≠ ,cấp s. • Mọi định thức con cấp + bao quanh nó đều bằng 0 ⟹ = Định lý này được chứng minh hoàn toàn tương tự như định lý vè mối quan hệ giữa hạng và các định thức con (xem như một Bài tập) 24
  210. Các phương pháp tìm hạng của ma trận: • Phương pháp định thức bao quanh: Bước 1: Xuất phát từ một định thức con khác 0, cấp s (của A): ≠ . Ta tính các định thức con cấp s+1 bao quanh D. 25
  211.  Nếu tất cả các định thức con cấp s+1 bao quanh D đều bằng 0, thì r(A) = s.  Nếu gặp một định thức con cấp s+1 bao quanh khác 0: ≠ , ta chuyển ngay sang Bước 2. Bước 2: Lặp lại Bước 1 (với điểm xuất phát mới là ) 26
  212. Ví dụ 1: Tìm r(A), với: − = − − − − Giải: − • Xét: = = = ≠ − • Có 2 định thức con cấp 3 bao quanh D là: , 27
  213. − = − − − − − • Ta có: = − − = , − − − = − = . − • Vậy tất cả các định thức con cấp 3 bao quanh D đều bằng 0. Do đó, r(A) = 2 28
  214. Ví dụ 2: Tìm r(A), với: − − = − − − − Giải: − • Xét: = = = − ≠ − • Có 3 định thức con cấp 3 bao quanh D là: , , . 29
  215. − • Ta có: = − = , − − − = − = , − − − − = − = ≠ . − • Vậy r(A) = 3 30
  216. Ví dụ 3: Tùy theo m tìm r(A), với: − = − − − Giải: • Xét: = = = − ≠ • Có 4 định thức con cấp 3 bao quanh D là: , , , 31
  217. − = − − − − • = − = ≠ • Có một định thức con cấp 4 bao quanh là = =? 32
  218. − = − − = + − Có hai trường hợp xảy ra: • = ⟺ + = ⟺ = − ⟹ = • ≠ ⟺ + ≠ ⟺ ≠ − ⟹ = 33
  219. Phương pháp biến đổi Như chúng ta đã biết các phép biến đổi sơ cấp trên hệ véc tơ dòng hoặc hệ véc tơ cột của ma trận không làm thay đổi hạng của hệ véc tơ đó. Do đó chúng không làm thay đổi hạng của ma trận. 34
  220. Phương pháp biến đổi ế đổ ơ ấ ê B ệ é ơ ò ặ ộ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Khác 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ ( ≤ , ≠ ∀ = , , , ) ⟹ = = 35
  221. Ví dụ 1: Tìm r(A) bằng phương pháp biến đổi, với − = − − − Giải: 1
  222. Để tìm hạng của ma trận? Khi nào dùng phương pháp định thức bao quanh? Khi nào dùng phương pháp biến đổi ?? 3
  223. Định lý 1: Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp × thì + ≤ + () Định lý 2: Lời: ?? ≤ ≤ ∀, mà AB có nghĩa. 4
  224. Ví dụ: Cho hai ma trận: − = − , = − Có tồn tại ma trận X thỏa mãn: = ? Giải. • Dễ thấy: r(A) = 2, r(B) = 3 • Giả sử, tồn tại X thỏa mãn: AX = B 5
  225. ⟹ = = ≤ = (vô lý). • Vậy ∄ thỏa mãn: AX = B 4. Khảo sát hệ véc tơ thông qua tìm hạng của ma trận Cho hệ véc tơ n chiều: , , , Hãy khảo sát hệ véc tơ trên, tức là: . Tìm hạng của hệ véc tơ đó. . Xét sự PTTT & ĐLTT. 6
  226. . Tìm một cơ sở của hệ véc tơ đó. Các bước thực hiện: Bước 1: Lập ma trận A có các dòng tương ứng là các véc tơ trên: ⟶ ⋯ ⟶ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⟶ ⋯ Xếp mỗi véc tơ thành 1 dòng 7
  227. Bước 2: Tìm r(A) = r, từ đó: • , , , = • Nhận biết sự PTTT & ĐLTT  Nếu r = m ⟶ Hệ véc tơ ĐLTT  Nếu r < m ⟶ Hệ véc tơ PTTT • Tìm một cơ sở của hệ véc tơ:  Từ r(A) = r, chọn một định thức con cơ sở của A (khác 0, cấp r) 8
  228. = ≠  Cơ sở của , , , là , , , Chú ý: Ở bước 1 ta có thể xếp mỗi véc tơ thành một cột để được A. Khi đó, trong bước 2, khi kết luận cơ sở của hệ véc tơ ta phải chọn các véc tơ có cùng chỉ số cột với định thức con cơ sở D. 9
  229. Ví dụ: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ véc tơ sau: = , −, = , , = , , = , −, Giải. . Xếp mỗi véc tơ thành một cột để được ma trận A: 10