Sức bền vật liệu - Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp

Nội dung text: Sức bền vật liệu - Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp

1. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp Ch−ơng 7. thanh chịu lực phức tạp I. Khái niệm ⇒ Khi trên MCN của thanh xuất hiện từ hai thμnh phần nội lực trở lên thì gọi lμ thanh chịu lực phức tạp. Ví dụ, một trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu uốn, một t−ờng chắn vừa chịu nén vừa chịu uốn, ⇒ Tổng quát nhất khi thanh chịu lực phức tạp, nội lực trên MCN có thể có 6 thμnh phần (hình 7.1). ⇒ Ph−ơng pháp tính: áp dụng nguyên Q x Qx z lý cộng tác dụng: ứng suất hay biến dạng Mz do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ, độ Qy Mx lún của gối tựa, ) gây ra đồng thời trên z My một thanh thì bằng tổng ứng suất hay y biến dạng do từng yếu tố gây ra trên Hình 7.1 thanh đó. II. Uốn xiên 1. Định nghĩa ⇒ Khi trên mọi MCN chỉ có hai thμnh phần nội lực lμ Mx vμ My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của MCN (hình 7.2). Khi chú ý đến lực cắt trên MCN có thể có các thμnh nội lực Mx, Qy , My vμ Qx. b) a) Đ−ờng tải trọng M Mx My x 0 x Mx α V My M z z Mặt phẳng y tải trọng y Hình 7.2 ⇒ Gọi M lμ vectơ tổng của các vectơ Mx vμ My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nh−ng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nμo. Giao tuyến của mặt phẳng nμy với mặt phẳng cắt ngang gọi lμ đ−ờng tải trọng. ⇒ Trong uốn xiên đ−ờng tải trọng đi qua trọng tâm nh−ng không trùng với một trục quán tính trung tâm nμo (hình 7.2b ). 63
2. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 2. ứng suất pháp trên MCN ⇒ Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên M Mx y MCN có toạ độ x, y đ−ợc tính theo công thức: σ=z yx + (7.1) JJxy ⇒ Mx, My coi lμ d−ơng khi lμm căng phần chiều d−ơng của trục y, trục x. ⇒ Trong kĩ thuật ng−ời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu Mx M y của Mx, My vμ toạ độ x, y: σ=±z yx ± (7.2) JJxy ⇒ Ta sẽ chọn dấu “+” hoặc dấu “-“ tr−ớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn Mx vμ My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. ⇒ Nếu gọi α lμ góc của đ−ờng tải trọng hợp với trục x (hình 7.2b): tgα = Mx/My ⇒ Mx = Msinα; My = Mcosα ⇒ Góc α đ−ợc gọi lμ d−ơng khi quay từ chiều d−ơng trục x đến đ−ờng tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 3. Vị trí đ−ờng trung hoμ ⇒ Từ (7.1) ta thấy ph−ơng trình đ−ờng trung hoμ: M Mx y MJxx yx0+= (7.3) hay y xx.tg= −=β (7.4) JJxy MJyy MJ 1 J trong đó tgβ=− xx hay tgβ=− x (7.5) MJyy tgα Jy ⇒ Đ−ờng trung hoμ lμ một đ−ờng thẳng đi Đ−ờng A B qua trọng tâm của MCN vμ không vuông góc trung với đ−ờng tải trọng nh− trong uốn phẳng. hoμ σmin ⇒ Từ biểu thức (7.5) ⇒ đối với các MCN 0 có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nh− β hình tròn, các đa giác đều cạnh, ( Jx= Jy nên tgαtgβ = -1) thì không xảy ra hiện t−ợng uốn D C xiên phẳng. Vì đ−ờng tải trọng sẽ ≡ với một trục quán tính chính trung tâm, còn đ−ờng trung hoμ sẽ trùng với một trục quán tính σmax chính trung tâm thứ hai vuông góc với đ−ờng Hình 7.3 tải trọng. Bμi toán khi đó chỉ lμ uốn phẳng. 4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN ⇒ Theo (7.1) mặt ứng suất lμ mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đ−ờng thẳng song song với đ−ờng trung hoμ. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ 64
3. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp phân bố ứng suất pháp trên MCN trong hệ toạ độ nh− hình 7.3. Trục tung lμ đ−ờng trung hoμ, trục hoμnh vuông góc với đ−ờng trung hoμ. 5. Điều kiện bền ⇒ Điểm nguy hiểm lμ các điểm xa đ−ờng trung hoμ nhất về phía kéo hoặc nén ⇒ trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm lμ trạng thái ứng suất đơn. ⇒ Điều kiện bền có dạng: σ≤σ - Đối với vật liệu dẻo: max [ ] (7.6) σ≤σ σ ≤σ - Đối với vật liệu giòn: max [ ]k (7.7) min [ ]n (7.8) ⎡ M ⎤ Mx M y Mx y σ=maxyx k + k ; σ=−min⎢ yx n + n ⎥ (7.9) JJ JJ xy ⎣⎢ xy⎦⎥ ⇒ Nếu MCN của thanh lμ những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật (hình 7.4): xxxknmax== ⇒ yyyknmax== Mx My σmax = ⎪σmin⎪; σ=max + (7.10) WWxy Jx Jy trong đó : W;x = Wy = (7.11) ymax xmax Hình 7.4 ⇒ Tr−ờng hợp nμy điều kiện bền sẽ lμ: M M M M x +≤σy x + y ≤σ -Vật liệu dẻo: [] (7.12); Vật liệu giòn: []k (7.13) WWxy WWxy ⇒ Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bμi toán cơ bản sau: - Kiểm tra bền theo (7.6) hoặc (7.7) hoặc (7.8). - Tìm tải trọng cho phép. Gọi [Pi] lμ tải trọng suy rộng cho phép, ta có: MkPx1i= [ ] ; MkPy2i= [ ] (7.14) k1, k2 lμ các hằng số. Từ điều kiện bền, ví dụ theo (7.12) ta suy ra: kP[] kP[] ⎛⎞kk 1i+≤σ 2i P/≤σ12 + [] hay [][]i ⎜⎟ (7.15) WWxy ⎝⎠WWxy - Chọn kích th−ớc MCN ⇒ Vì ch−a biết trị số Jx, Jy, xk, xn, yk, yn ⇒ ta có thể chọn thử tính theo uốn phẳng do thμnh phần mômen đòi hỏi kích th−ớc lớn, rồi thử dần. ⇒ Đối với các mặt cắt (hình 7.4), đầu tiên ta có thể tính theo công thức: MCMxy+ Wx Wx ≥ với C = (7.16) []σ Wy 65
4. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp ⇒ Đối với hình chữ nhật có chiều cao h vμ bề rộng b thì C = h/b. Đối với mặt cắt hình chữ I lúc đầu có thể lấy C = 8, vμ hình chữ U lấy C = 6, sau đó kiểm tra tính toán lại. Ví dụ 7.1: Cho dầm chịu lực nh− hình 7.5. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí đ−ờng trung hoμ. Cho P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m;α = 300; [σ] =16000N/m2. Bμi giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngμm có: A q ql 2 MPcosx =+l α = 12160 Nm B 2 x MPsin2400Nmy =α=l Thử lần thứ nhất ta lấy C = 8. Theo công thức (7.39): P α MCMxy+ y 3 n Wx ≥= 196cm []σ x Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị β 3 σmax nhỏ hơn vμ gần nhất Wx=184cm ; 3 Wy=23,1cm . y Thử lại: σ=−σmax min M σ Mx y 2 min σ=max + =17000N / cm Hình 7.5 WWxy σ−σmax [ ] 17000− 16000 100==> 100 6,2% 5% Vì []σ 16000 3 3 Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm , Wy = 28,2cm Khi đó: M Mx y 1216000 240000 2 σ=max + = + =14500N / cm Wxy W 203 28,2 ứng suất nhỏ hơn: σ−σmax [] 14500− 16000 100==− 100 9,4% []σ 16000 Vì giữa thép có số hiệu 20 vμ 20a không còn số hiệu nμo khác nên ta chọn dầm thép có số hiệu 20a. 4 Xác định vị trí đ−ờng trung hoμ. Tra bảng với I(20a) ta có Jx=2030cm ; 4. Jy=155cm Do đó tại mặt cắt ngμm, ph−ơng của đ−ờng trung hoμ lμ : 66
5. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp JM 2030ì 2400 tgβ=xymax = =+2,58 J M 155ì 12160 yxmax 0 hay β=+68 50 III. Uốn - kéo (nén) đồng thời 1. Định nghĩa ⇒ Một thanh đ−ợc gọi lμ chịu uốn - kéo (nén) đồng thời khi trên MCN của thanh có các thμnh phần nội lực lμ lực dọc Nz, mômen uốn Mx, My (hình 7.6). ⇒ Ví dụ ống khói vừa chịu nén do trọng l−ợng bản thân G, vừa chịu uốn do tải trọng gió q (hình 7.7). Mx O x q M Nz y G z y Hình 7.7 Hình 7.6 2. ứng suất pháp trên MCN ⇒ ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đ−ợc xác định theo công thức: M NMzx y σ=z +yx + (7.18) FJxy J NM⎛⎞M σ=zx.1⎜⎟ + y + y x hoặc z ⎜⎟22 (7.19) FNiNi⎝⎠zx zy trong đó: F - diện tích MCN; ix, iy - bán kính quán tính chính: iJ/Fxx= ; iJ/Fyy= ; Jx, Jy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. ⇒ Quy −ớc dấu của Nz (ch−ơng 2), của Mx, My nh− trong uốn xiên. ⇒ Công thức kỹ thuật có dạng: 67
6. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp NMzxM y σ=±z ±yx ± (7.20) FJxy J ⇒ Các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc “-” tr−ớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc lμ kéo hay nén vμ các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. 3. Vị trí đ−ờng trung hoμ ⇒ Từ (7.18) ta suy ra ph−ơng trình đ−ờng trung hoμ lμ: NM M y B zx++=yx0 (7.21) FJxy J M Mx y hay:1yx0++=22 (7.22) Nizx Ni zy ⇒ Đ−ờng trung hoμ lμ một đ−ờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nh− trong uốn xiên. σ=N/F 4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN ⇒ T−ơng tự nh− trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất lμ phẳng, nên ứng Hình 7.8 suất pháp phân bố đều trên đ−ờng thẳng song song với đ−ờng trung hoμ. Biểu đồ phân bố ứng suất đ−ợc vẽ nh− hình 7.8. 5. Điều kiện bền ⇒ Điểm nguy hiểm lμ các điểm ở chu vi, xa đ−ờng trung hoμ nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm lμ trạng thái ứng suất đơn ⇒ điều kiện bền lμ : σ ≤σ - Đối với vật liệu dẻo: max [ ] (7.23) σ ≤σ σ ≤σ - Đối với vật liệu giòn: max [ ]k ; min [ ]n (7.24) NMzxM y trong đó: σ=±+max yx + (7.25) FJxy J NMzxM y σ=±−min yx − (7.26) FJxy J xk, yk lμ toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đ−ờng trung hoμ nhất. xn, yn lμ toạ độ của điểm chịu nén cách xa đ−ờng trung hoμ nhất. 68
7. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp ⇒ Nếu MCN của thanh có dạng nh− trên hình 7.9 thì lí luận t−ơng tự nh− trong uốn xiên ta có: NMzxM y σ=max + + (7.27) FWWxy NMzxMy σ=−−min − (7.28) FWWxy Ví dụ 7.2: Cho một thanh chịu lực nh− hình 7.9a. Tìm giá trị ứng suất σmax vμ σmin, vị trí đ−ờng trung hoμ vμ vẽ biểu đồ phân bố a) b) ứng suất pháp trên mặt cắt A nguy hiểm. Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; σmin q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm. Bμi giải Mặt cắt nguy hiểm tại B đầu ngμm. Vị trí đ−ờng trung hoμ vμ biểu đồ ứng suất pháp đ−ợc vẽ trên hình σmax 7.9b. Lực dọc: Hình 7.9 Nz01=− P − P =− (240 + 160) =− 400kN . Mômen uốn: 24 Ph1 ql 2ìì 4 10 Mx =+=ì+ 160 8 = 1680kNcm 22 1002ì Pb12 Pl 2 My =+=ì+ì= 160 6 4 10 1360kNcm 22 Giá trị ứng suất pháp lớn nhất vμ bé nhất theo (7.27), (7.28) lμ: NMM y 400 1680ìì 6 1360 6 σ=−+zx + =− + + =4,75kNcm max F W W 12ììì 16 12 622 16 12 xy NMM y 400 1680ìì 6 1360 6 σ=−−zx − =− − − =−8,91kNcm min FWW 12161261612ììì22 xy Vị trí đ−ờng trung hoμ: đ−ờng trung hoμ cắt trục x vμ trục y tại các điểm: 69
8. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 2 2 Nizy Ni x =− y =− zx 0 M 0 M y ; x h2 b2 i21,3cm22== i22== 12cm trong đó x 12 ; y 12 N0 M0> z ; x ; y . Khi thay bằng số ta đ−ợc: x3,53cm0 = ; y5,07cm0 = IV. Uốn - xoắn đồng thời 1. Định nghĩa ⇒ Một thanh gọi lμ xoắn vμ uốn đồng thời. Khi trên MCN của thanh có hai thμnh phần nội lực lμ mômen xoắn vμ mômen uốn (hình 7.10). 2. ứng suất trên MCN tròn - điều kiện bền ⇒ ứng suất pháp do mômen uốn gây ra. ứng suất tiếp do mômen xoắn gây nên phân bố nh− tr−ờng hợp xoắn thuần tuý (bỏ qua ảnh h−ởng của lực Hình 7.10 Hình 7.11 cắt Q). ⇒ Điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm lμ giao điểm của đ−ờng tải trọng với chu vi: điểm A hoặc B (hình 7.11). ứng suất pháp vμ tiếp có giá trị: M MM22+ M AB u xy τ=A,B z σ=σ=max min = (7.29) max (7.30) WWuu Wp ⇒ Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng: σ≤σtdmax [ ] (7.31) 22 ⇒ Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có: σtd =σ+τ4 ⇒ Thay các giá trị của σ vμ τ theo (7.29), (7.30) vμ chú ý Wp = 2Wu, ta có: MMM222++ xyzMtd 222 σ=max = ; MMMMtd=++ x y z (7.32) WWuu 70
9. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp ⇒ Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng : MM0,75M22++ 2 22 xy zMtd 22 2 σ=σ+τ=max 3 = với Mtd=++ M x M y 0,75M z (7.33) WWuu k ⇒ Theo thuyết bền Mo ta có: σtd=σ 1 −ασ 3 ≤[ σ] k 2 [σ] σσ⎛⎞ 2 α= trong đó: σ=1,3 ±⎜⎟ +τ ; n 22⎝⎠ []σ 11−α +α với MMMMMM=++++22 222 (7.34) td22 xy xyz Mtd đ−ợc tính theo các thuyết bền thích hợp (7.32), (7.33), (7.34). Ví dụ 7.3: Một trục truyền bằng thép chịu lực nh− trên hình 7.12. Trọng l−ợng Puli G = 3kN, công suất vμ số vòng quay của môtơ lμ: W = 50kN, n = 500vg/ph. Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ=] 12kN / cm2 . Hình 7.12 Bμi giải: Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 7.12a, trong đó: πìn 3,14 500 W ω= = =52,4rad / s ; M== 0,955 ì 103 Nm = 95,5kNcm 30 30 ω Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn: TD11 tD tD 1 2M 2ì 95,5 M =−= ⇒ t2,38kN1 == = ; 222 D80 T11==ì= 2t 2 2.38 4,76kN ; PTt= 11+= 4,762,387,14kN + = ứng suất t−ơng đ−ơng tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: 71
10. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 22 2 M MM0,75Mxy++ z σ=td = td W0,1dì 3 x Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó: Gl Pl M75kNcmx == ; My == 178kNcm ; M95,5kNcm= 4 4 z Các biểu đồ nội lực đ−ợc biểu diễn trên các hình 7.12b, c, d. Thay số vμo ta đ−ợc: 22 2 75++ì 178 0,75 95,5 22 σ=td =9,72kN / cm <σ=[] 12kN / cm 0,1ì 63 Vậy trục thoả mãn điều kiện bền. 3. ứng suất trên MCN hình chữ nhật - điều kiện bền ⇒ Giả sử tại MCN nguy hiểm có các thμnh phần nội lực Mx, My, Mz biểu diễn trên hình 7.13. Đối với tr−ờng hợp đang xét, các điểm B, b D có ứng suất pháp cực trị: M B Mx y D σ=max + WWxy Mz M M Mx σ=−−D x y min A WWxy h ⇒ Mômen xoắn sinh ra ứng x suất tiếp: M y B M τ=A x max W p C M z C z y τ=γτ=γ1max ; Wp 2 Hình 7.13 với Whbp =α ⇒ Chúng ta ch−a biết đ−ợc trong ba điểm A, B, C điểm nμo lμ nguy hiểm. Vậy ta phải tính ứng suất t−ơng đ−ơng cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm nμy, sau đó so sánh điểm nμo có σtđ lμ lớn nhất. M BB Mx y - Đối với phân tố ở điểm B: σ=σ=td max + WWxy - Đối với phân tố ở điểm A (vừa có ứng suất pháp vừa có τmax): 72
11. Ch−ơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 22 ⎛⎞M ⎛⎞M σ=σ+τ=A2244y + z ⇒ Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: td ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠WWyp ⎝⎠ 22 ⎛⎞⎛⎞M M σ=σ+τ=A2233y + z ⇒ Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: td ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠WWyp - Đối với phân tố ở điểm C: 2 2 ⎛⎞MM⎛⎞ σ=C xz +4. γ ⇒ Theo thuyết bền thứ ba, ta có: td ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠WWxp⎝⎠ 2 2 ⎛⎞MM⎛⎞ σ=C xz +3. γ ⇒ Theo thuyết bền thứ t−, ta có: td ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠WWxp⎝⎠ 73