Sức bền vật liệu - Chương 5: Xoắn thuần tuý thanh thẳng

Nội dung text: Sức bền vật liệu - Chương 5: Xoắn thuần tuý thanh thẳng

1. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng Ch−ơng 5. xoắn thuần tuý thanh thẳng I. Khái niệm về xoắn thuần tuý 1. Định nghĩa ⇒ Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên MCN chỉ có một thμnh phần nội lực lμ mômen xoắn nh− trên hình 5.1. ⇒ Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn, có giá trị bằng P.a. 2. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực với công suất vμ số vòng quay Hình 5.1 ⇒ Công suất do mômen xoắn ngoại lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc α theo thời gian t: A = Mα AMα N ⇒ Do đó công suất N (watt-W): NM= ==ω⇒ M = tt ω trong đó ω - vận tốc góc (rad/s); n lμ tốc độ [vòng/phút (v/ph)]. πn ⇒ Vận tốc góc: ω= rad / s 30 N ⇒ Nếu công suất N tính bằng kW thì: M9549Nm= () n N ⇒ Nếu công suất tính bằng mã lực thì: M7162Nm= (). n 3. Các giả thuyết tính toán Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2) tr−ớc vμ sau khi biến dạng, thấy: ⇒ MCN ban đầu phẳng vμ thẳng góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng vμ thẳng góc a) Tr−ớc biến dạng với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không thay đổi. ⇒ Các bán kính của thanh tr−ớc vμ sau khi biến dạng vẫn thẳng vμ có độ dμi không đổi. b) Sau biến dạng ⇒ Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu xoắn, chỉ xảy ra hiện t−ợng quay của tiết diện Hình 5.2 ngang quanh trục thanh. Nhận xét nμy đã đ−ợc lí thuyết vμ thực nghiệm xác minh lμ đúng. II. ứng suất trên mặt cắt của thanh tròn chịu xoắn 37
2. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng ⇒ Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 5.3a). Hình 5.3 ⇒ Tách từ thanh một đoạn dμi dz (hình 5.4) ⇒ Theo quan hệ giữa nội lực vμ ứng suất ta có: MdF=τρ 4 z ∫ ρ (a) F 3 ⇒ Mặt khác theo định luật ρ Húc: τ=ρ G. γ (b) γ dϕ τρ lμ ứng suất tiếp trên MCN tại điểm cách trọng tâm mặt cắt một 3 4 khoảng bằng ρ. dz ⇒ Theo hình 5.4, ta có: Hình 5.4 ρϕd γ≈tg γ= dz (c) với dϕ lμ góc xoắn t−ơng đối giữa 2 mặt cắt 3-3 vμ 4-4; dz lμ khoảng cách giữa 2 mặt cắt đó. dϕ ⇒ Ký hiệu θ= lμ góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị dμi. dz ⇒ Thay (c) vμo (b) rồi vμo (a), ta có: MG dFG J=θρ=θ2 zp∫ (d) F Mz ⇒ Từ (d) suy ra: θ= (5-1) G.Jp 38
3. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng M τ =ρz . ⇒ Thay (5-1) vμo (c) rồi vμo (b), ta có: ρ (5-2) Jp Mz ⇒ ứng suất tiếp lớn nhất: τ=max (5-3) Wp Jp trong đó: Wp = gọi lμ môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ R nguyên lμ (chiều dμi)3; R lμ bán kính của mặt cắt ngang. 3 Jp πD 3 - Đối với hình tròn: W0,2Dp == ≈ R16 3 πD 434d - Đối với hình vμnh khăn: W10,2D1p = ()−η ≈ () −η ; η= 16 D ⇒ Biểu đồ ứng suất biểu diễn nh− trên hình (5.3b). Ta thấy ứng suất tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vμo khoảng cách ρ đến trọng tâm mặt cắt ngang. III. Biến dạng ⇒ Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn đ−ợc thể hiện bằng góc xoắn t−ơng đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có: dϕ M z ==θ (rad/m) (5-4) dz GJp ⇒ Góc xoắn giữa hai MCN cách nhau một khoảng l lμ: l Mz ϕ=∫ dz (rad) (5-5) 0 GJp ⇒ GJp đ−ợc gọi lμ độ cứng xoắn. Với chiều dμi vμ ngoại lực nh− nhau, độ cứng xoắn cμng lớn ⇒ góc xoắn cμng nhỏ. M ⇒ Nếu trong suốt chiều dμi l của thanh, tỷ số z không đổi hoặc G.J p không đổi trong từng đoạn có chiều dμi li, ta có: n Mzl Mzil ϕ= hoặc ϕ=∑ (5-6) G.J p i1= GJipi Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc tr−ng hình học của MCN không phải lμ diện tích F mμ lμ mômen độc cực Jp. IV. Tính toán về xoắn thuần tuý 39
4. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng ⇒ Đảm bảo điều kiện bền vμ điều kiện cứng. 1. Điều kiện bền M zmax ⇒ Điều kiện bền : τ=max ≤τ[] (5.7) Wp [τ] lμ ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định nh− sau: [σ] [σ] []τ= k hoặc []τ= k (5.8) 2 3 τ τ ⇒ Đối với vật liệu dẻo: []τ= ch , vật liệu giòn: []τ= B (5.9) n n ⇒ Điều kiện bền trên toμn thanh khi đ−ờng kính thay đổi: ⎛⎞ Mz τ=max ⎜⎟ ≤τ[] (5-10) ⎜⎟W ⎝⎠p max ⇒ Với công thức (5.7) ta có ba loại bμi toán cơ bản sau: a. Kiểm tra bền: theo công thức (5.7). M z b. Chọn kích th−ớc mặt cắt ngang: WWpp≥=⎡ ⎤ (5.11) []τ ⎣ ⎦ c. Tính tải trọng cho phép: Mz ≤ Wp[τ] = [Mz] (5.12) 2. Điều kiện cứng ⇒ Góc xoắn t−ơng đối (hay biến dạng xoắn) lớn nhất không v−ợt quá giới hạn cho phép: M z θ=max ≤θ[] [rad/chiều dμi] hoặc [độ/chiều dμi] (5.13) GJ p trong đó [θ] lμ góc xoắn t−ơng đối cho phép (tra bảng). Nếu [θ] đ−ợc cho bằng (độ/chiều dμi) ⇒ công thức quy đổi sau: π [θ] rad/chiều dμi = .[θ ] độ/ chiều dμi (5.14) 180 ⇒ Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bμi toán sau: a. Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13 M z b. Tính kích th−ớc mặt cắt ngang: JJpp≥=⎡ ⎤ (5.15) G[]θ ⎣ ⎦ c. Tính tải trọng cho phép: Mz ≤ GJp[θ] = [Mz] (5.17) ⇒ Khi tính toán theo cả điều kiện bền vμ cứng, điều kiện nμo có ảnh h−ởng nhiều hơn thì lấy kết quả theo điều kiện ấy. Đối với thanh mảnh, điều kiện cứng th−ờng có ảnh h−ởng nhiều hơn. V. Xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn 1. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật 40
5. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng ⇒ Sau khi bị xoắn, các tiết diện ngang nói chung đều bị vênh đi. ⇒ Trên MCN của thanh chỉ có ứng suất tiếp. Phân bố của ứng suất tiếp thanh MCN hình chữ nhật nh− trên hình 5.5. ⇒ ứng suất lớn nhất tại điểm giữa cạnh dμi: M z τ=max 2 (5.18) αab ⇒ ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn: τ1 = γτmax (γ ≤ 1) (5.19) M ⇒ Góc xoắn t−ơng đối: θ = z Hình 5.5(5.20) βab3 ⇒ Các hệ số α, β, γ phụ thuộc vμo tỉ số a/b, cho trong các tμi liệu SBVL, ví dụ a/b = 1 ⇒ α = 0,208; β = 0,141; γ = 1,0. 2. Thanh có thμnh mỏng kín hoặc hở ⇒ Thanh thμnh mỏng kín (hình 5.6a) vμ hở (hình 5.6b). a. Thanh có thμnh mỏng kín ⇒ ứng suất tiếp đ−ợc phân bố đều theo bề dμy b của thμnh, ví dụ tại một điểm A: M z a) b) τ=A (5.21) 2F*A b Chu vi trung gian F* − diện tích giới hạn bởi đ−ờng tâm của thμnh (chu vi trung gian). ⇒ ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí bề dμy của thμnh nhỏ nhất. Góc Hình 5.6 xoắn t−ơng đối : M ds θ= z 2 v∫ (5.22) 4GF* b b. Thanh có thμnh mỏng hở ⇒ Trên MCN của thanh cũng chỉ có ứng suất tiếp. ⇒ Nếu MCN của thanh do nhiều hình chữ nhật ghép thμnh (hình 5.7), ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa của cạnh ai: 41
6. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng n Μz 1 τ= Jab= 3 imax bi (5.23) ; *ii∑ (5.24) J * 3 i1= ⇒ Thực nghiệm J* tính theo (5.24) bé hơn một chút so với thực tế ⇒ đối với các loại thép định hình, ng−ời ta đ−a thêm vμo một hệ số điều chỉnh η ≥ 1: n 1 3 Jab*ii=η∑ 3 i1= η đ−ợc cho trong các tμi liệu SBVL, ví dụ thép chữ L: η =1, chữ I: η = 1,2, M z ⇒ Góc xoắn t−ơng đối: θ= (5.25) GJ * ⇒ Khi MCN lμ một dải cong ⇒có thể coi Hình 5.7 nh− một dải chữ nhật. Ví dụ. Tính ứng suất τmax tại các điểm A, B vμ góc xoắn ϕ của một thanh dμi 2m có thμnh mỏng kín, bị xoắn, mặt cắt ngang của thanh nh− 4 hình 5.8, biết Mz = 2.10 Nm, G = 5,2.1010 N/m2 (vật liệu gang). Giải: Diện tích giới hạn bởi đ−ờng tâm của thμnh: F* = (0,4 − Hình 5.8 0,01)(0,2 − 0,03) = 0,0663m2 4 2.10 62 ứng suất tại A lμ: τ=A =5.10 N / m 2.0,0663.0,03 4 2.10 62 ứng suất tại B lμ: τ=B =15.10 N / m 2.0,0663.0,01 Góc xoắn của thanh: ⎛⎞ Ml ds Mlz ds ds ds ds ϕ = θ.λ = z = ⎜⎟+++ 2 v∫ 4GF∫ b∫∫∫ b b b 4GF* b *1⎝⎠12−−−− 23 2 32 1 41 2 4 2.10 .2⎛⎞ 0,39 0,17 −3 = 2 ⎜⎟2.+≈ 2. 2,62.10 rad 4.5,2.() 0,0663 ⎝⎠0,03 0,01 VI. Bμi toán siêu tĩnh về xoắn ⇒ Một thanh tròn bị ngμm ở hai đầu chịu tác dụng của ngẫu lực M0 nh− hình 5.9a. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh. 42
7. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng ⇒ Ngẫu lực liên kết MA vμ MB. Để xác định chúng, chỉ có một ph−ơng trình cân bằng tĩnh a) học: MA − M0 + MB = 0 (a) b) ⇒ Muốn giải bμi toán siêu tĩnh (bậc một) nμy, phải dựa vμo điều kiện biến dạng của thanh để lập thêm một ph−ơng trình bổ sung. T−ởng t−ợng bỏ ngμm A vμ thay thế bằng phản ngẫu lực c) MA, ta đ−ợc thanh tĩnh định (hình 5.9b). Hình 5.9 ⇒ Điều kiện thay thế lμ góc xoắn ϕAB phải bằng không, để bảo đảm sự t−ơng đ−ơng về biến dạng với thanh siêu tĩnh đã cho, do đó: MaA (MMbA − 0 ) ϕ=ϕ+ϕ=AB AC CB + =0 (b) GJzz GJ Giải ph−ơng trình trên, đ−ợc: b MM= A0ab+ (c) thay (c) vμo (a), suy ra: a M = M 0 (d) B ab+ ⇒ (Nếu MA vμ MB tính đ−ợc ở trên mang thêm dấu âm, thì chúng có chiều ng−ợc với chiều giả thiết ban đầu). ⇒ Sau khi xác định đ−ợc các phản ngẫu lực MA, MB sẽ vẽ đ−ợc biểu đồ mômen xoắn Mz(z) của thanh nh− hình 5.9c. VI. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ b−ớc ngắn 43
8. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng G ⇒ Xét một lò xo xoắn ốc trụ tròn, chịu lực dọc P (hình 5.10) với: h lμ b−ớc của dây lò xo, d lμ đ−ờng kính dây lò xo, D lμ đ−ờng kính trung bình của vòng dây lò xo, α lμ góc nghiêng của các dây lò xo, n lμ số vòng dây lò xo. ⇒ Giả thiết: 1. Góc nghiêng α rất bé, b−ớc h của lò xo không D lớn lắm h < . 10 2. Đ−ờng kính d vμ D phải D thoả mãn d < . 5 α 1. ứng suất ⇒ T−ởng t−ợng cắt dây lò xo bằng một mặt cắt đi qua trục của lò xo vμ xét sự cân bằng của một trong hai phần. ⇒ Thμnh phần nội lực: Qy=P vμ Mz=PR=PD/2. ⇒ Nếu b−ớc h của lò xo Hình 5.10 không lớn lắm ⇒MCN lμ hình tròn. ⇒ ứng suất do ngẫu lực xoắn Mz vμ lực cắt Qy gây ra đều lμ ứng suất tiếp, kí hiệu t−ơng ứng lμ τM vμ τQ: M PR Q τ=z ρ=ρ y 4P M ; τ=Q = 2 J ppJ F πd ⇒ ứng suất tiếp τ tại một điểm nμo đó lμ tổng hình học của hai thμnh phần ứng suất tiếp. τmax lμ tại điểm A trên biên của mặt cắt ngang, ứng với đ−ờng kính trong của lò xo (hình 5.10c). 8PD 4P 8PD⎛⎞ d τ=max 323 + =⎜⎟1 + πππddd⎝⎠2D ⇒ Trong thực tế, d của dây lò xo th−ờng rất bé so với D của lò xo, nên tỉ số d/2D có thể bỏ qua so với 1. 8PD τ=k ⇒ max πd3 trong đó k lμ hệ số điều chỉnh kể đến ảnh h−ởng của lực cắt Qy vμ ảnh 44
9. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng Dd+ 0,25 h−ởng của độ cong vòng dây lò xo: k = Dd− 1 8PD τmax =≤τk [] ⇒ Điều kiện bền khi tính toán lò xo lμ: πd3 2. Biến dạng ⇒ Ngoμi độ bền, còn phải tính l−ợng co giãn của lò xo. ⇒ Gọi λ lμ l−ợng co giãn của lò xo do lực dọc P gây nên. Công của ngoại lực P trong biến dạng đó lμ: λ λλycP2 λλλ APydycydyc===∫∫() 002220 ⇒ Công A bằng công biến dạng đμn hồi U trong lò xo: ϕ ϕϕϕϕϕ2 c. 1 1MMll 1 2 UM=ϕϕ=ϕϕ===ϕ== d cdc M Mzz ∫∫zzz() 002222GJ2GJ0 pp trong đó: l − chiều dμi của dây lò xo. M 2l ⇒ Theo nguyên lý bảo toμn năng l−ợng A = U, ta có: Pλ= z GJ p 8PD3 n ⇒ Thay trị số của l= πDn vμ M = PD/2: λ= 4 z Gd ⇒ Lực cần thiết để gây nên một biến dạng đơn vị của lò xo, đ−ợc gọi lμ PGd4 độ cứng của lò xo, kí hiệu lμ C: C == 3 λ 8D n ⇒Độ cứng của lò xo đ−ợc tính bằng N/m. VII. Ví dụ áp dụng Ví dụ 5-1: Cho dầm đầu ngμm đầu tự do chịu mômen xoắn tập trung M0 (hình 5.11a). Vẽ biểu đồ mômen xoắn. Bμi giải Sử dụng ph−ơng pháp mặt cắt, ta đ−ợc: MZ-Pa=0 → MZ=P.a Biểu đồ mômen xoắn đ−ợc vẽ trên hình 5.11b. 1 1 Hình 5.11 45
10. Ch−ơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng Ví dụ 5-2: Vẽ biểu đồ Mz cho thanh chịu lực nh− hình 5.12. Bμi giải 1. Phản lực tại ngμm C: 1000Nm/m M=→ 0 M = 900Nm ∑ zc 2. Chia dầm thμnh hai đoạn: - Đoạn AB cắt thanh ở mặt 40cm 60cm cắt z (0 ≤ z ≤ 40cm) vμ xét sự 1 1 cân bằng phần trái, ta tìm đ−ợc M z1 =300 Nm. - Đoạn BC cắt thanh ở mặt cắt z2 vμ xét sự cân bằng phần phải ta có: M z2 = 900 - 1000.z2 Hình 5.12 Vẽ biểu đồ Mz nh− trên hình 5.12. Ví dụ 5-3: Cho một a) trục chịu lực nh− hình 5.13a. Các puli 1, 2, 3 lμ bị động có công suất N1 = 40 mã lực, N2 = 20 mã lực, N3 = 30 mã lực, b) puli 0 lμ chủ động. Cho biết n =1000vòng/phút, Hình 5.13 η=d/D =0,6, [τ]=4500N/cm2, G=8.106N/cm2, θ0=20/m. Xác định D, d. Bμi giải: Biểu đồ công suất đ−ợc vẽ trên hình 5.13b. Mặt cắt nguy 71620 716200 hiểm có N = 50 mã lực ⇒ MN50NcmZmax == 0 n 1000 Chọn kích th−ớc theo điều kiện bền (5-11), ta có: 3 M z πD 4 716200.N0 16 716200.N0 W ≥ w(1) 3 p ⇒ P =−η= ⇒ D3,64cm≥≈4 []τ 16 n[]τ πτ−ηn(1)[] Chọn kích th−ớc theo điều kiện cứng. Từ (5-14), ta suy ra: M πD4 716200Nìì 100 180 θ=z ≤θ 4 0 max []⇒ J(1)P =−η≥ 0 ⇒D=3,49cm GJ p 32 n.G.[θπ ] so sánh ta chọn: D=3,64; d=3,64. 0,6 = 2,18cm. 46