Sức bền vật liệu - Chương 11: Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Nội dung text: Sức bền vật liệu - Chương 11: Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

1. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Chương 11. TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN ⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân bằng tĩnh học. ⇒ Hệ siêu tĩnh (HST) là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh học. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có các liên kết thừa. Bậc siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa. Số liên kết thừa của một hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định) hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ) So với hệ tĩnh định, HST có những đặc điểm sau: • Nội lực trong HST phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn so với HTĐ có cùng kích thước và tải trọng. • HST có nhược điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay đổi, khi có độ lún ở các gối tựa, gia công lắp ghép không chính xác. • Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vẫn không bị phá loại, vì khi đó hệ vẫn bết biến hình học. Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2. Hình 11.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1. Hình 11.1c: hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6. Hình 11.1d: hệ thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3. Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba. Vì muốn nối phần (A) và (B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn bằng mối hàn cứng (hình 11.1g,h). a) b) c) d) (A) (B) (A) (B) e) f) g) h) Hình 11.1 ⇒ Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước. Bởi vì để đảm bảo cho hệ bất biến hình thì chúng là thừa, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định. Sau đây ta giải HST bằng phương pháp lực. 11.1
2. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực II. GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC 1. Hệ cơ bản của HST ⇒ là một HTĐ có được từ HST đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa. HST có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 11.2). l l (c) q (a) (b) Hình 11.2 Cần chú ý rằng: ⇒ Sau khi bỏ các liên l kết thừa, hệ phải đảm bảo tính bất biến hình của nó. l ⇒ Chỉ được phép giảm bớt các liên kết đơn chứ không được phép thêm (a) (b) (c) liên kết đơn vào một mặt Hình 11.3 cắt bất kỳ. Ví dụ: hệ trên hình 11.3b, c không phải là hệ cơ bản của hệ trên hình 11.3a, vì nó sẽ biến hình. 2. HTĐ tương đương ⇒ HTĐ tương đương với HST đã cho khi biến dạng và chuyển vị của chúng hoàn toàn giống nhau. ⇒ HTĐ tương đương là hệ cơ bản chọn của HST: các liên kết thừa biểu diễn phản lực liên kết (hình 11.4). Phản lực liên kết được xác định với điều kiện biến dạng và chuyển vị của HTĐ hoàn toàn giống như HST đã cho. a) b) c) Hình 11.4 3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết ⇒ Với mỗi phản lực liên kết Xi ta có một điều kiện chuyển vị: 11.2
3. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Gọi Δi là chuyển vị của điểm đặt của Xi theo phương của Xi đó, gây ra do tải trọng Pi và tất cả các Xj (j = 1, 2, , n), với n là bậc siêu tĩnh ta có: Δi = ± δi (i = 1, 2, , n) (11.1) Ở đây δi là chuyển vị tại điểm đặt của Xi và theo phương Xi đó do tải trọng đã cho gây ra trong HST, dấu (+) lấy khi chiều chuyển vị của δi cùng chiều với chiều của lực Xi và lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị của δi ngược chiều với chiều của lực Xi. Trong các trường hợp thường gặp như gối cố định, di động, ngàm thì ta có δi = 0. Tuy nhiên có những trường hợp δi ≠ 0, chẳng hạn gối tựa đàn hồi. ⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương trình chính tắc xác định các phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, , n): Δ=δ1111122XX X +δ + +δ 1nn1p +Δ= 0⎫ ⎪ Δ=δ2211222X +δ X + +δ 2nn2p X +Δ= 0⎪ ⎬ (11.2) ⎪ ⎪ Δ=δnn11n22X +δ X + +δ nnnnp X +Δ= 0⎭ trong đó: Δip là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên. δik là chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo phương k gây nên. ⇒ Ta có thể tính được Δip và δik theo công thức Mo sau: nnlliiNN MM n l i MM δ=zi zkdz + xi xk dz + + zi zk dz ik ∑∑∫∫ ∑ ∫ i1==00EF i1 EJxp i1 = 0 GJ nnlliiNN MM n l i MM Δ=zi zpdz + xi xp dz + + zi zp dz ip ∑∑∫∫ ∑ ∫ i1==00EF i1 EJxp i1 = 0 GJ ⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của kéo-nén và xoắn so với uốn, thì Δip và δik tính theo công thức Mo sau (bỏ qua chỉ số x, y trong công thức): l n i MM n li MM δ= ikdz Δ= ipdz ik ∑∫ ; ip ∑∫ (11.3) i1= 0 EJ i1= 0 EJ ⇒ Sau khi xác định được các phản lực liên kết Xi, đặt các phản lực liên kết Xi cùng với tải trọng lên hệ cơ bản ⇒ một HTĐ tương đương. ⇒ Giải HST bằng phương pháp lực ta có các bước sau: Bước 1. Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản Bước 2. Xác định HTĐ tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi. Bước 3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc 11.3
4. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực của khung như hình vẽ 11.5a q B a C a Hệ cơ bản X A 1 (a) (b) X2 (c) qa2/2 a B C a MP M1 M2 X1=1 A (d) (e) (f) X2=1 Hình 11.5 Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ cơ bản được chọn như hình 11.5b. HTĐ tương đương như trên hình 11.5c. Phương trình chính tắc có dạng: δ+δ+Δ=11XX 1 12 2 1p 0⎫⎪ ⎬ δ+δ+Δ=21XX 1 22 2 2p 0⎭⎪ Biểu đồ mômen uốn do tải trọng (Mp) như hình 11.5d. Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có: n li 3 MM11 11⎛⎞ 2 4a δ=11 dz =⎜⎟ .a.a. a + a.a.a = ∑∫ EJ EJ 2 3 3EJ i1= 0 xx⎝⎠ x n li 3 MM12 11⎛⎞ a δ=12 dz =⎜⎟ − .a.a.a =− ∑∫ EJ EJ 2 2EJ i1= 0 xx⎝⎠ x n li 3 MM22 11⎛⎞ 2 a δ=22 dz =⎜⎟ .a.a. a = ∑∫ EJ EJ 2 3 3EJ i1= 0 xx⎝⎠ x n li 22 4 MMp1 11⎛⎞ a3 a 5qa Δ=1p dz =⎜⎟ .aq. . a + q. .a.a = ∑∫ EJ EJ⎜⎟ 3 2 4 2 8EJ i1= 0 xx⎝⎠ x n li 24 MMp2 11a⎛⎞ qa Δ=2p dz =⎜⎟ − .aq. .a =− ∑∫ EJ EJ⎜⎟ 2 2 4EJ i1= 0 xx⎝⎠ x 11.4
5. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Thay vào phương trình chính tắc, ta cã: ⎧3a33 1a 5qa 4 XX−+= 0⎧ 3 ⎪ 12 ⎪X1 =− qa ⎪⎪4EJxxx 2EJ 8EJ ⇒ 7 ⎨⎨33 4 1a 1a 1qa 3 ⎪⎪−+−=XX 0X = qa ⎪ 12 ⎩⎪ 2 28 ⎩ 2EJxx 3EJ 4EJ x Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt các lực X1, X2 vào hệ cơ bản với lực X1 có chiều ngược lại vì kết quả mang dấu âm. Biểu đồ M, N, Q như hình 11.6. Hình 11.6 III. TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG 1. Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng là hệ khi có ít nhất một trục đối xứng. ⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và vuông góc với mặt phẳng của hệ. ⇒ Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng. Hình (11.7a,b,c) - HST đối xứng, hệ chịu tải trọng đối xứng, hệ chịu tải trọng phản đối xứng. 2. Tính chất (mệnh đề) ⇒ Tương tự, nội lực cũng có tính chất đối xứng a) b) c) hoặc phản đối xứng. Hình 11.7 ⇒ Trong mặt phẳng: N , M có tính z x Mx Qy đối xứng, Qy có tính phản đối xứng ⇒ Trong không gian: Nz, Mx, My là đối Mx Qy xứng, Qx, Qy và Mz phản đối xứng. Hình 11.8 11.5
6. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực ⇒ Tính chất của HST đối xứng: Nếu một hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì nội lực phản đối xứng Mx trên mặt cắt trong mặt phẳng đối Nz M xứng của hệ là bằng không. Ngược z z z lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì Qx My Qy nội lực đối xứng phải bằng không. x y y x ⇒ Chú ý các nhận xét sau: Khi hệ Hình 11.9 là đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì biểu đồ mômen là đối xứng, ngược lại nếu tải trọng phản đối xứng thì biểu đồ mômen là phản đối xứng. Phép nhân Vêrêsaghin giữa biểu đồ đối xứng và phản đối xứng là bằng không. Chứng minh. Giả sử có HST đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình 11.10b). Chọn hệ cơ bản bằng cách cắt đôi khung. Phải chứng minh các thành phần nội lực đối xứng X1 và X2 trên mặt cắt là bằng không. X1 , X2 , X3 là nghiệm của phương trình chính tắc: ⎧δ+δ+δ+Δ=11XXX 1 12 2 13 3 1p 0 ⎪ ⎨δ+δ+δ+Δ=21XXX 1 22 2 23 3 2p 0 (11.4) ⎪ δ+δ+δ+Δ= ⎩ 31XXX 1 32 2 33 3 3p 0 X2 X2 Pk =1 Pk=1 P P X X3 1 X3 l l l Mk l M m (a) l Pl (b) Pl l Hình 11.10 ⇒ Biểu đồ M1 , M2 là đối xứng còn biểu đồ M3 là phản đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 =Δ1p = Δ2p = 0 ⇒ Do đó hệ phương trình chính tắc trên thu gọn lại như sau: ⎧δ+δ=11XX0 1 12 2 ⎪ ⎨δ+δ=21XX0 1 22 2 (11.5) ⎪ ⎩δ+Δ=33X0 3 3p ⇒ Hai phương trình đầu là một hệ thống phương trình thuần nhất 2 ẩn số định thức khác không ⇒ X1 = X2 = 0. 11.6
7. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực ⇒ Tương tự, khung chịu lực đối xứng như hình vẽ 11.10a. Lúc đó biểu đồ tải trọng là đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = Δ3P = 0 ⎧δ11XX 1+δ 12 2 +Δ 1p = 0 ⎪ δ XX+δ +Δ = 0 ⇒ Hệ phương trình chính tắc: ⎨ 21 1 22 2 2p (11.6) ⎪ ⎩δ=33X0 3 ⇒ Từ phương trình thứ 3 ta được X3 = 0 ⇒ đpcm. ⇒ Trường hợp hệ đối xứng nhưng tải trọng bất kỳ ⇒ tổng tác dụng của hệ có tải trọng đối xứng và hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 11.11). P P/2 P/2 P/2 P/2 = + Hình 11.11 IV. HST CÓ CÁC LIÊN KẾT CHỊU CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC Để tính toán những HST có các gối tựa chịu chuyển vị cưỡng bức ta cũng sẽ sử dụng những lý luận vừa mô tả ở trên. Nội lực trong hệ có các liên kết chịu chuyển vị cưỡng bức là do các gối tựa chịu các chuyển vị cưỡng bức. Để áp dụng hệ phương trình chính tắc (11.2) vào trường hợp này ta phải chú ý khi chọn hệ cơ bản, không nên loại bỏ các liên kết có chuyển vị cưỡng bức mà phải cắt các liên kết ấy. Ngoài ra có thể lựa chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ các liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức. Giả sử cho một dầm như hình 11.12a, nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ liên kết ở gối tựa B có chuyển vị cưỡng bức thì điều kiện biến dạng theo phương của ẩn số X1 do các ẩn số Xk nếu có (trên hình 11.12a không chỉ ra những ẩn số này) và chuyển vị cưỡng bức gây ra sẽ không bằng không. Cụ thể là: Δ=δ≠(X ,X , ,X ) 0 X121 n Bây giờ nếu ta chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị cưỡng bức B thì điều kiện chuyển vị theo phương liên kết ấy vẫn bằng không. Vì lúc này điều kiện vừa nói là điều kiện mô ta chuyển vị tương đối của hai mặt cắt của liên kết vừa bị cắt: 11.7
8. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Δ=(X ,X , ,X ) 0 X121 n Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt các liên kết thừa có chuyển vị cưỡng bức thì phương trình thứ k có dạng: δ+δ++δ++δ+Δ=k1X 1 k2 X 2 kk X k kn X n kΔ 0 (k=1,n) (11.7) Các hệ số δkj tính như đối với trường hợp hệ chịu tải trọng. ΔkΔ là chuyển vị theo phương của lực Xk do chuyển vị cưỡng bức gây ra trong hệ cơ bản. Nó được xác định theo công thức sau: nn Δ=−kiiiiΔΔΔ∑∑RM Δ− θ (11.8) i1== i1 Trong đó R,Mii là phản lực theo phương liên kết thứ i do lực X k = 1 gây ra trong hệ cơ bản. ΔiΔ là chuyển vị thẳng theo phương liên kết thứ i và θiΔ là góc xoay tại liên kết thứ i trong hệ siêu tĩnh đã cho. 1 l 2 A g C M1 B X1= 3EJ 1 a) l l c) δ l 2 MΔ d) b) X1 Hình 11.12 Ví dụ 11.2: Tính mômen uốn lớn nhất trong trục được cho trên hình 11.12a, nếu khi chế tạo tâm của ổ đỡ lệch đi một đoạn δ. Giải Hệ cơ bản chọn như hình 11.12b. Phương trình chính tắc có dạng: δ+Δ=11X0 1 1Δ Trong đó Δ=−δ=−δ=−δ11Δ R. 1. Biểu đồ M1 cho trên hình 11.12c, nhân biểu đồ này với chính nó ta có: 11121⎛⎞l3 δ=11 2.⎜⎟l. l. l = EJ2232⎝⎠ 6EJ Thay Δ1Δ và δ11 vừa tìm được vào phương trình chính tắc ta được: 11.8
9. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực 6EJ X =δ 1 l3 Biểu đồ mômen uốn và giá trị mômen uốn lớn nhất trên hình 11.12d. IV. TÍNH HST CHỊU NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI Việc tính HST chịu nhiệt độ thay đổi cũng tương tự như tính hệ chịu tác dụng của tải trọng, chỉ khác ở đây là sự biến thiên của nhiệt độ là nguyên nhân gây ra nội lực trong hệ. Vì thế số hạng Δkp thay bằng Δkt là chuyển vị theo phương Xk do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản. Cụ thể là Δ=δ1111122XX X +δ + +δ 1nn1t +Δ= 0⎫ ⎪ Δ=δ2211222X +δ X + +δ 2nn2t X +Δ= 0⎪ ⎬ (11.9) ⎪ ⎪ Δ=δnn11n22XX X +δ + +δ nnnnt +Δ= 0⎭ Trong đó các hệ số Δkt được xác định như sau: llt-t Δ= αtNdZ + α21 MdZ kt∑∑∫∫ c k k 00h t-t21 Hay Δ=kt Ω()Nt k α+ c Ω() M k α ∑∑h Trong đó Ω()Nk và Ω()Mk là diện tích của biểu đồ lực dọc và mômen t+t uốn do lực X1= gây ra trong hệ cơ bản; t = 12; α là hệ số dãn nở k c 2 nhiệt của vật liệu của hệ; h là chiều cao MCN; t1 và t2 là độ biến thiên của nhiệt độ ở hai phía của MCN. Các hệ số δkj được xác định như trường hợp hệ chịu tải trọng. Sau khi thiết lập và giải hệ phương trình chính tắc ta sẽ tìm được các ẩn số X1, X2, X3, Việc vẽ các biểu đồ nội lực được tiến hành theo các phương pháp đã biết. 11.9
10. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực IV. TÍNH DẦM LIÊN TỤC 1. Định nghĩa P q ⇒ Dầm liên tục là dầm a) siêu tĩnh đặt trên nhiều gối tựa đơn, trong đó có một gối q tựa cố định (hình 11.13a). M M1 M1 M M M3 M b) 0 2 2 3 M4 Khoảng cách giữa hai gối tựa gọi là nhịp. Bậc siêu tĩnh của 0 1 2 3 4 dầm bằng số nhịp trừ một. l l l l 2. Phương trình ba mômen P q ⇒ Chọn hệ cơ bản của Mi-1 Mi-1 Mi Mi Mi+1 Mi+1 dầm bằng cách đặt lên mỗi c) gối tựa một khớp để chia i-1 i i+1 dầm thành nhiều dầm đơn li li+1 (h×nh 11.13b). Ω Ω ⇒ Những lực tác dụng lên d) i i+1 Mp một nhịp nào đó chỉ ảnh C C i-1 i i+1 hưởng đến chuyển vị của ai bi ai+1 bi+1 nhịp bên cạnh ⇒ khi xét Mi-1=1 M chuyển vị ở một gối tựa bất e) i1− kỳ, chỉ cần xét hai nhịp liên 1 tiếp nhau và các ẩn số chỉ là Mi=1 f) M các mômen uốn nội lực Mi i (h×nh 11.13c) (Mi>0 làm 1 M =1 căng thớ dưới). i+1 g) Mi1+ ⇒ Phương trình chính 1 tắc (phương trình ba mômen) viết theo điều kiện Hình 11.13 góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa đó phải bằng không. ⇒ Ví dụ tại gối tựa thứ “i”: δ11M1 + δ12M2 + + δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + + δ1nMn + Δip = 0 ⇒ Các hệ số δi1 = δi2 = = δi(i-2) = = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hưởng đến góc xoay của gối tựa trên hai nhịp đó. Phương trình chính tắc của hệ có dạng sau: δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + Δip = 0 (11.10) ⇒ Các hệ số và số hạng tự do trong (11.10) tính theo phương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 11.10
11. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực l i1− MM 11 1 l δ=i1− idz = . .1.l . = i i,i− 1∫ EJ EJ 2 i 3 6EJ 0 ii i l i MM 11 2 1 1 2 ll δ=iidz = . .1.ll . + . .1. . = i + i1+ i,i∫ EJ EJ 2 i 3 EJ 2 i+ 1 3 3EJ 3EJ 0 ii1ii1+ + l i1+ MM 11 1 l δ=ii1++dz = . .1.l . = i1 i,i1++∫ EJ EJ 2 i1 3 6EJ 0 i1++ i1 i1 + l i MM 11ab Δ=pidz = . Ω .ii1 + . Ω . + ip∫ EJ EJ ill EJ i+ 1 0 iii1i1+ + trong đó: li, li+1 : độ dài của nhịp thứ i và thứ (i+1). Ωi, Ωi+1: Diện tích của biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp thứ i và thứ (i+1). ai, bi+1: Khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa thứ (i-1) và (i+1). Thay các trị số đó vào phương trình chính tắc, ta có: lllli⎛⎞ i i1++ i1 ⎛ΩΩ i.a i i1 ++ .b i1 ⎞ MMM0i1−+++⎜⎟ i + i1 + ⎜ + ⎟ = (11.11) 6EJi⎝⎠ 3EJ i 3EJ i1++ 6EJ i1 ⎝ll i EJ i i1 ++ EJ i1 ⎠ NÕu ®é cøng EJ kh«ng ®æi trªn suèt chiÒu dμi cña dÇm, ta cã : ⎛⎞ΩΩi.a i i1++ .b i1 llllii1M2−+++++() i i1i M + i1i1 M6 +⎜⎟ + = 0 (11.12) ⎝⎠llii1+ Ví dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn của dầm liên tục như hình vẽ (11.14a) ql2/40 d) q M1 P=ql M1 M1 2 a) 3ql /20 l l l M e) 2 M0 M1 M1 M2 M2 M3 M2 M2 b) 2 3ql /20 7ql2/20 0 l 1 l 2 l 3 f) Mx c) M p 3ql/8 ql2/20 ql2/8 ql2/4 ql/40 13ql/20 g) Qy 7ql/20 Hình 11.14 5ql/8 11.11
12. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Giải: Đây là HST bậc 2. Hệ cơ bản như hình 11.14b. Biểu đồ mômen uốn Mp như hình 11.14c. Phương trình ba mômen đối với gối tựa thứ 1, 2 và 3 là: ⎧ ⎛⎞2ql 2 1 ⎪llllM2(+)MM60.012++++=⎜⎟ 0 l ⎪⎝⎠38 2 ⎨ ⎛⎞2qll22 1 1q 1 ⎪llllM2(+)MM6.++++ l . 0 l = ⎪ 123⎜⎟ ⎩ ⎝⎠38 224 2 Trong đó M0 = M3 = 0 (do các khớp không có mômen ngoại lực tập trung). Giải hệ phương trình trên ta được: ql2 3ql2 M = − ; M = − ; 1 40 2 20 Dấu (-) chỉ các m«men có chiều ngược với chiều đã chọn. Cộng các biểu đồ Mp, M1, M2 ta được biểu đồ Mx (hình 11.14f). Sau khi tính phản lực các gối tựa của biểu đồ Mp, M1, M2 và cộng các vectơ phản lực, ta thu được biểu đồ Qy như trên hình 11.14g. 3. Trường hợp đặc biệt ⇒ Trường hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm thì cách giải của chúng ta như sau: ⇒ Tưởng tượng bỏ đầu thừa và thu gọn tất cả ngoại lực đặt trên đoạn đó về gối tựa cuối cùng. Mômen uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết tại mặt cắt của gối tựa cuối cùng (mômen đó có trị số dương khi nó làm căng thớ dưới và có trị số âm khi nó làm căng thớ trên) hoặc được xem là mômen uốn ngoại lực tác động lên dầm. Còn liên kết ngàm thì được thay bằng một nhịp đặt trên một gối tựa cố định và một liên kết đơn. Ðộ cứng EJx của đoạn nhịp này được xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó được xem là bằng không (hình 11.15). P l P M=Pl l =0 0 Hình 11.15 ⇒ Phương trình ba mômen được áp dụng đối với từng nhịp cạnh như phần trên. 11.12
13. Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (11.15a). 5ql2/28 d) M M1 1 q P=ql 3ql2/28 a) M e) 2 l l l/2 ql2/2 2 M0=0 2 5ql /28 2 M1 M2 M2 M3=-ql /2 3ql /28 b) f) Mx 0 l0=0 1 l 2 l 3 11ql/14 ql c) Mp g) ql2/8 Qy 3ql/14 17ql/28 Hình 11.15 Giải: Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa được đánh số như hình 11.15b. Biểu đồ Mp do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản như hình vẽ (11.15c). Mômen thu gọn ở gối tựa cuối cùng được xem là mômen liên kết trên mặt cắt của gối tựa đó. Vì vậy trên biểu đồ mômen Mp không có mômen đó. Với các gối tựa (1), (2), ta thiết lập được các phương trình ba mômen như sau: ⎧ 2ql 2 1 ⎪llllM2(+)MM6 0012+ ++ l = ⎪ 38 2 ⎨ 2ql 2 1 ⎪llllM2(+)MM6 0+++= l ⎩⎪ 12338 2 2 Giải hệ trên với M0 = 0 và M3 = 0.5Pl = 0.5ql ta được: 5ql2 3ql2 M = − ; M = ; 1 28 2 28 Mômen M1 0 có nghĩa là M2 làm căng thớ dưới. Biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho trên hình 11.15f,g. 11.13