Phương pháp số - Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

Nội dung text: Phương pháp số - Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

1. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Chương 4(Buổi 5-6) TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trong quá trình tính toán trong toán học cũng như trong khoa học kỹ thuật, ta thường gặp bài toán thực tế phải tính đạo hàm cũng như tích phân của một hàm số cho dưới dạng bảng, hoặc là hàm số được cho bởi một biểu thức giải tích nhưng khá phức tạp. Khi đó nếu tính trực tiếp đạo hàm hoặc tích phân sẽ gặp khó khăn, từ đó nảy sinh ra nhu cầu tính gần đúng đạo hàm và tích phân. I. Tính gần đúng đạo hàm Để tính gần đúng đạo hàm chúng ta có hai phương pháp chính là phương pháp sử dụng đa thức nội suy và sử dụng khai triển Taylor. Ở mục này, chúng ta chỉ xét phương pháp tính gần đúng đạo hàm sử dụng khai triển Taylor. Nội dung phương pháp: Trước hết ta nhắc lại công thức khai triển Taylor: Cho hàm số ( ) xác định và có đạo hàm đến cấp 푛 + 1 tại một lân cận của điểm 0. Khi đó ta có công thức khai triển Taylor bậc 푛 của ( ) tại 0 là 1 1 1 ( ) = ( ) + ( − ) ′( ) + ( − )2 ′′( ) + ⋯ + ( − )푛 (푛)( ) + ( − )푛+1 (푛+1)( ) 0 0 0 2! 0 0 푛! 0 0 (푛 + 1)! 0 Với = 0 + 휃( − 0), 0 < 휃 < 1 Công thức này có giá trị tại nằm trong lân cận của 0. Theo công thức Taylor ta có: 1 ( + ℎ) = ( ) + ℎ ′( ) + ℎ2 ′′( ) 2! = + 휃ℎ , 0 < 휃 < 1 Khi ℎ bé thì số hạng cuối cùng ở vế phải rất bé, ta có thể bỏ qua và có ( + ℎ) − ( ) ≈ ℎ ′( ) Vậy có ( + ℎ) − ( ) ′( ) ≈ ℎ Cũng như vậy, ta có công thức gần đúng tính đọa hàm cấp hai ′( + ℎ) − ′( ) ( + 2ℎ) − 2 ( + ℎ) + ( ) ′′( ) ≈ = ℎ ℎ2 Nhận xét: Chúng ta cũng có thể đưa ra công thức tính gần đúng đạo hàm như trên bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm tại một điểm. Ví dụ: Cho giá trị hàm ( ) tại một số điểm bởi bảng sau 0.1 0.2 0.3 0.4 ( ) 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942 Tính đạo hàm của hàm ′(0.2); ′′(0.2) và các đạo hàm cấp 2, cấp 3 có thể tính được Giải: Ta có (0.3) − (0.2) ’(0.2) ≈ = 0.9685 0.1 23
2. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Tương tự cho các đạo hàm khác II. Tính gần đúng tích phân xác định Cho hàm ( ) xác định trên đoạn [ , ], trường hợp có nguyên hàm 퐹( ) của nó thì ta có: ∫ ( ) = 퐹( ) − 퐹( ) Trường hợp không tính được nguyên hàm của ( ) ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm đó quá phức tạp thì tích phân trên phải được tính gần đúng. Sau đây ta sẽ trình bày công thức tính gần đúng tích phân là công thức hình thang, công thức parabol. II.1. Công thức hình thang II.1.1. Xây dựng công thức Giả sử cần tính ( ) . Ta đã biết về mặt hình học, giá trị của tích phân này chính là diện tích hình thang ∫ cong giới hạn bởi các đường = ( ), = 0, = và = . Ta chia đoạn [ , ] thành 푛 đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia 푖 = 0 < 1 < ⋯ < 푛−1 < 푛 = − = + 푖ℎ , ℎ = , 푖 = 0, 1, 푛 푖 푛 Đặt 푖 = ( 푖) Bây giờ trên mỗi đoạn [ 푖, 푖+1], ta thay việc tính diện tích hình thang cong bởi việc tính diện tích hình thang thực sự. y y1 y0 O a=x0 x1 b x 24
3. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Khi đó: 푖+1 + ∫ ( ) ≈ ℎ 푖 푖+1 2 푖 Từ đó ta có: − + ∫ ( ) ≈ ( 0 푛 + + ⋯ + ) (1) 푛 2 1 푛−1 Công thức (1) được gọi là công thức hình thang. II.1.2. Đánh giá sai số Người ta chứng minh được sai số tuyệt đối trong trường hợp này là ( − ) 휖 ≤ ℎ2 , = max | ′′( )| 12 ∈[ , ] Ví dụ: Tính tích phân sau với 푛 = 4 và đánh giá sai số 5 ∫ 1 Giải: 1 Ta có [ , ] = [1, 5], ( ) = , áp dụng công thức (1) ta có 5 5 − 1 1 1 1 1 1 101 ∫ ≈ [ (1 + ) + + + ] = 4 2 5 2 3 4 60 1 2 ′′( ) = ⇒ = max | ′′( )| = 2 3 ∈[1,5] Sai số 2(5 − 1) 휖 ≤ . 1 = 0.75 12 II.2. Công thức parabol (Simpson) Một công thức khác cho kết quả xấp xỉ tích phân bằng việc thay các đoạn thẳng bởi parabol để xấp xỉ đường cong. Cũng như trước, ta phân hoạch đoạn [ , ] thành n đoạn con với độ dài ℎ = Δ = ( − )/푛, nhưng lúc này ta giả sử rằng 푛 là một số chẵn. Khi đó mỗi cặp điểm liên tiếp của các khoảng ta xấp xỉ đường cong = ( ) ≥ 0 bởi một parabola như Hình 7 đã chỉ ra. Nếu 푖 = ( 푖), thì 푃푖( 푖, 푖) là điểm trên đường cong nằm phía trên 푖. Một đường parabol đi qua ba điểm liên tiếp 푃푖, 푃푖+1 và 푃푖+2. 25
4. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 HÌNH 7 Để cho đơn giản trong tính toán, ta đầu tiên xét trường hợp khi 0 = −ℎ, 1 = 0 và 2 = ℎ. (Xem Hình 8.) Ta biết 2 rằng phương trình của parabol đi qua 푃0, 푃1, 푃2 có dạng = + + và do vậy diện tích phía dưới parabol từ = −ℎ đến = ℎ là ℎ 3 2 ℎ ∫ ( 2 + + ) = + + ] 3 2 −ℎ −ℎ ℎ3 ℎ2 ℎ3 ℎ2 = + + ℎ + − + ℎ 3 2 3 2 ℎ = (2 ℎ2 + 6 ). 3 HÌNH 8 Nhưng vì parabol đi qua 푃0(−ℎ, 0), 푃1(0, 1) , và 푃2(ℎ, 2), ta có 2 2 0 = (−ℎ) + (−ℎ) + = ℎ − ℎ + 1 = 2 2 = ℎ + ℎ + 2 và do đó 0 + 4 1 + 2 = 2 ℎ + 6 . Vậy, ta có thể viết lại diện tích phía dưới parabol như sau ℎ ( + 4 + ). 3 0 1 2 Bây giờ bằng cách di chuyển parabol này theo chiều nằm ngang mà không thay đổi miền diện tích phía dưới của nó. Điều này có nghĩa là diện tích phía dưới parabol đi qua 푃0, 푃1 và 푃2 từ = 0 đến = 2 trong Hình 7 vẫn là 26
5. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 ℎ ( + 4 + ). 3 0 1 2 Một cách tương tự, diện tích phía dưới của parabol đi qua 푃2, 푃3 và 푃4 từ = 2 đến = 4 là ℎ ( + 4 + ). 3 2 3 4 Nếu ta tính diện tích phía dưới các parabol theo cách này và cộng các kết quả lại, ta được ℎ ℎ ℎ ∫ ( ) ≈ ( 0 + 4 1 + 2) + ( 2 + 4 3 + 4) + ⋯ + ( 푛−2 + 4 푛−1 + 푛) 3 3 3 ℎ = ( + 4 + 2 + 4 + 2 + ⋯ + 2 + 4 + ). 3 0 1 2 3 4 푛−2 푛−1 푛 Ta nhận được kết quả xấp xỉ cho trường hợp mà ( ) ≥ 0, tuy nhiên nó vẫn đúng cho bất kỳ hàm liên tục và được gọi là Quy tắc Simpson do nhà toán học người Anh, Thomas Simpson (1710-1761) đề xuất. Chú ý rằng số hạng có các hệ số là : 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, , 4, 2, 4, 1. − ∫ ( ) ≈ [( + ) + 4( + ⋯ + ) + 2( + ⋯ + )] 6푛 0 2푛 1 2푛−1 2 2푛−2 ℎ4 Với công thức trên, ta có đánh giá sai số 휖 ≤ ( − ) , = max | (4)( )| 180 ∈[ , ] Ví dụ: Tính gần đúng tích phân sau theo công thức parabol với 푛 = 5 1 = ∫ + 1 0 Giải: 1 Ta có = 0, = 1, ( ) = 1, ( ) = 2 4[ ( 1) + ( 3) + ( 5) + ( 7) + ( 9)] = 4 × 3.46 2[ ( 2) + ( 4) + ( 6) + ( 8)] = 2 × 2.728 Vậy 1 1 ≈ [1 + + 4 × 3.46 + 2 × 2.728] = 0.693 6.5 2 Chương 5(tuần 7-8-9-10) GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 27
6. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 I. Giải gần đúng phương trình vi phân thường I.1. Một số khái niệm mở đầu Ta bắt đầu bằng việc xét phương trình vi phân cấp một sau: ′ = 2 + 1 (1) Rõ ràng nghiệm tổng quát của nó là = 2 + + (2) Phụ thuộc vào một hằng số tùy ý C, mỗi giá trị cụ thể của C cho ta một nghiệm cụ thể. Để có một nghiệm xác định (phản ánh một tình huống cụ thể) ta phải xác định được giá trị tương ứng của C. Muốn thế ngoài phương trình (1) ta phải thêm một điều kiện phụ, chẳng hạn (1) = 2 (3) Hàm số (2) thỏa mãn điều kiện (3) nên suy ra 2 = 12 + 1 + ⇒ = 0 Vậy hàm số ( ) vừa thỏa mãn (1) vừa thỏa mãn (3) là = 2 + Điều kiện (3) gọi là điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu) của bài toán và bài toán tìm hàm số ( ) vừa thỏa mãn phương trình vi phân (1) vừa thỏa mãn phương trình (3) gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu) đối với phương trình vi phân (1). Một cách tổng quát ta có phát biểu sau: Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 là bài toán tìm nghiệm = ( ) xác định trên [ 0, ] thỏa mãn ′ = ( , ) { , 0 < < ( ) ( 0) = 0 Trong đó ( , ) là một hàm số đã biết của hai đối số , , 0, , 0 là các số thực cho trước. Điều kiện ( 0) = 0 được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện Cauchy. Việc tìm nghiệm của bài toán Cauchy thường rất phức tạp, trừ một lớp nhỏ những phương trình vi phân tương đối đơn giản là có thể tìm được nghiệm đúng, còn nói chung là không thể tìm được nghiệm một cách chính xác. Do đó chúng ta phải tìm các phương pháp gần đúng để giải phương trình vi phân. Sau đây chúng ta nghiên cứu hai phương pháp cơ bản để giải gần đúng phương trình vi phân thường là phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến. I.2. Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường I.2.1. Phương pháp Euler Trước hết ta chia [ 0, ] thành 푛 đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia 푖 푖 = 0 + 푖ℎ , 푖 = 0, , 푛 − ℎ = 0 푛 Ta gọi tập các điểm { 푖} là một lưới sai phân trên [ 0, ], gọi các điểm 1 là các nút của lưới và gọi ℎ là bước đi của lưới. Ở đây ℎ = 표푛푠푡 nên ta có một lưới đều. Giả sử ( ) là nghiệm đúng của bài toán (I). Mục đích của phương pháp Euler là tìm cách tính gần đúng giá trị của ( ) chỉ tại các nút 푖 mà thôi, chứ không phải tại mọi điểm ∈ [ 0, ]. I.2.1.1. Xây dựng công thức tính Gọi ( ) là nghiệm của bài toán (I), ( 푖) là giá trị của tại điểm 푖, 푖 là giá trị gần đúng của ( 푖) mà ta muốn tính. Sau đây ta xây dựng công thức tính 푖. 28
7. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Giả sử đã biết 푖 tại nút 푖 và muốn tính 푖+1 tại nút 푖+1. Ta khai triển Taylor hàm ( ) tại 푖 ′′( ) ( ) = ( ) + ′( )( − ) + 푖 ( − )2 푖 푖 푖 2 푖 푖 = 푖 + 휃( − 푖) , 0 < 휃 < 1 ′ Thay = 푖+1 = 푖 + ℎ, ( 푖) = ( 푖, ( 푖)) vào đẳng thức trên ta được ℎ2 ( ) = ( ) + ℎ ( , ( )) + ′′( ) 푖+1 푖 푖 푖 2 푖 Khi ℎ bé, số hạng cuối cùng ở vế phải có thể coi là bé, không đáng kể, ta bỏ qua, sau đó thay ( 푖) bằng 푖 ta có công thức 푖+1 = 푖 + ℎ ( 푖, 푖) (4) Công thức này cho phép tính 푖+1 khi đã biết 푖. Điều kiện Cauchy ( 0) = 0 gợi ý cho ta đặt 0 = 0 (5) Bây giờ trong (4) cho 푖 = 0 ta tính được 1, sau đó cho 푖 = 1,2, ta tính được 2, 3, . Phương pháp tính 푖 theo các công thức (4), (5) gọi là phương pháp Euler. Ta thấy rằng, với phương pháp Euler việc tính ra 푖+1 khi đã biết 푖 rất đơn giản, không phải giải một phương trình nào dù hàm ( , ) là tuyến tính hay phi tuyến đối với . I.2.1.2. Ý nghĩa hình học và ví dụ Ta có minh họa hình học cho phương pháp Euler như sau: Từ điểm ( 0, 0) ta kẻ tiếp tuyến với đường cong tích phân. Tiếp tuyến này cắt đường = 1 = 0 + ℎ tại điểm 1( 1, 1). Khi đó có ′ 1 = ℎ. tan 훼 + 0 = ℎ. ( 0) + 0 = 0 + ℎ. ( 0, 0) 29
8. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 y y(x1) M a y1 O x0 x1 x Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán sau nhờ phương pháp Euler ′ = { 2 (0) = 1 1 Trong đoạn ∈ [0, ] với ℎ = 0.1 2 Giải: Với ℎ = 0.1 suy ra 푛 = 5; ( , ) = . 2 Khi đó áp dụng công thức Euler (4) = + ℎ ( , ) { 푖+1 푖 푖 푖 0 = (0) = 1 Áp dụng liên tiếp công thức (4) ta thu được kết quả như sau: 푖 푖 푖 ( 푖, 푖) ℎ ( 푖, 푖) 0 0 1 0 0 1 0.1 1 0.05 0.005 2 0.2 1.005 0.1005 0.0101 3 0.3 1.0151 0.1523 0.0152 4 0.4 1.0303 0.2061 0.0206 5 0.5 1.0509 0.2627 0.0263 I.2.2. Phương pháp Euler cải tiến Để có được phương pháp số giải gần đúng bài toán (I) với độ chính xác cao hơn phương pháp Euler, chúng ta đưa ra công thức sau, gọi là công thức Euler cải tiến (hay Euler-Cauchy) 0 = 0 ∗ = + ℎ ( , ) 푖+1 푖 푖 푖 { ℎ = + ( ( , ) + ( , ∗ )) 푖+1 푖 2 푖 푖 푖+1 푖+1 Ví dụ: 30
9. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Tìm nghiệm gần đúng của bài toán sau nhờ phương pháp Euler cải tiến ′ = { 2 (0) = 1 1 Trong đoạn ∈ [0, ] với ℎ = 0.1 2 Giải: Ta có ℎ = 0.1 suy ra 푛 = 5; ( , ) = . 2 Khi đó áp dụng công thức (5) ta được bảng kết quả : 푖 ℎ ( , ) ∗ ℎ ( , ∗ ) ℎ 푖 푖 푖 푖 푖+1 푖+1 푖+1 ( ( , ) + ( , ∗ )) 2 푖 푖 푖+1 푖+1 0 0 1 0 1 0.005 0.0025 1 0.1 1.0025 0.005 1.0075 0.0101 0.0076 2 0.2 1.0101 0.0101 1.0202 0.0153 0.0127 3 0.3 1.0228 0.0153 1.0381 0.0208 0.0181 4 0.4 1.0409 0.0208 1.0617 0.0265 0.0237 5 0.5 1.0646 II. Giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng II.1. Một số phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong kỹ thuật II.1.1. Định nghĩa a. Một số kí hiệu chung 푛 Cho Ω là một miền trong 푅 , : Ω → , ( ) = ( 1, 2, . . , 푛) 휕 휕2 푖 = , 푖 푗 = 휕 푖 휕 푖휕 푗 푛 훼 = (훼1, , 훼푛) ∈ , |훼| = 훼1 + ⋯ + 훼푛 휕|훼| 훼 { 훼 | | } = 훼1 훼푛 , = ∶ 훼 = , ∈ 휕 1 휕 푛 (Ω): tập các hàm liên tục trên Ω (Ω): tập các hàm liên tục có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp trên Ω. b. Một số định nghĩa chung về phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có dạng 휕 휕 휕2 휕2 퐹 ( , , , , , 2 , , ) = 0 (1) , ∈ Ω 휕 1 휕 푛 휕 1 휕 1휕 2 Trong đó 퐹 là một hàm đã cho nào đó, : Ω → 푅 là hàm cần tìm (ẩn hàm). Cấp của phương trình: là cấp của đạo hàm riêng cao nhất xuất hiện trong phương trình Nghiệm của phương trình: là hàm ∈ (Ω) thỏa mãn (1). Giải phương trình đạo hàm riêng là tìm tất cả các nghiệm của nó. II.1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 31
10. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Xét phương trình 푛 2 휕 휕 휕 푛 ∑ 푖푗( ) + 퐹( , , , , ) = 0 (2), ∈ Ω ⊂ 푅 휕 푖휕 푗 휕 1 휕 푛 푖,푗=1 Giả sử = , đặt = ( ) là ma trận đối xứng. 푖푗 푗푖 푖푗 푖,푗=1̅̅̅,̅푛̅ Lấy 0 ∈ Ω, = ( 0) có 푛 giá trị riêng thực (do đối xứng). + − Giả sử có 푛 giá trị riêng dương, 푛 giá trị riêng âm, 푛0 giá trị riêng bằng 0. Định nghĩa: Phương trình (2) được gọi là thuộc loại + − - Elliptic tại 0 nếu 푛 = 푛 hoặc 푛 = 푛 + + - Hyperbolic tại nếu {푛 = 푛 − 1 hoặc { 푛 = 1 0 푛− = 1 푛− = 푛 − 1 푛+ = 푛 − 1 푛− = 푛 − 1 - Parabolic tại 0 nếu { hoặc { 푛0 = 1 푛0 = 푛 − 1 Một phương trình được gọi là thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trên Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm của Ω. Một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai luôn đưa được về dạng chính tắc có dạng 휕2푣 휕2푣 휕2푣 휕2푣 휕푣 휕푣 2 + ⋯ + 2 − 2 − ⋯ − 2 + (휉, 푣, , , ) = 0 휕휉1 휕휉푛+ 휕휉푛++1 휕휉푛++푛− 휕휉1 휕휉푛 II.1.3. Một số phương trình đạo hảm riêng thường gặp trong kỹ thuật\ a. Phương trình Laplace Δ = 0 , ∈ Ω ⊂ 푅푛 휕2 Δ = ∑ ∶ Toán tử Laplace 휕 2 푖 푖 Phương trình Laplace mô tả nhiều hiện tượng quan trọng như phân bố nhiệt độ trong vật thể ở trạng thái dừng, trường điện thế, trường hấp dẫn b. Phương trình truyền nhiệt 2 푡 − Δ = ; ( , 푡) ∈ Ω × 푅 Phương trình truyền nhiệt mô tả sự truyền nhiệt trong vật thể dẫn nhiệt Ω theo thời gian có hệ số truyền nhiệt và nhiệt dung riêng không thay đổi. = ( , 푡): mật độ nguồn nhiệt trong Ω = ( , 푡): nhiệt độ của Ω tại tọa độ , thời điểm 푡 c. Phương trình truyền sóng 2 푡푡 = Δ ; ( , 푡) ∈ Ω × 푅 ; = 표푛푠푡 푛 = 1: Phương trình trên mô tả dao động của sợi dây (sóng âm) truyền trong đường ống. Khi đó là li độ dao động ở tọa độ , thời điểm 푡. 32
11. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 푛 = 2: Phương trình trên mô tả dao động của màng, sóng âm trên mặt nước nông. 푛 = 3: Phương trình trên mô tả dao động sóng âm, sóng ánh sáng. II.2. Phương pháp lưới giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới là một trong các phương pháp số thông dụng để giải bài toán biên đối với các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng của phương pháp lưới được thể hiện như sau: trong miền biến thiên của các biến độc lập chúng ta tạo ra một lưới nhờ các đường thẳng song song với hai trục tọa độ. Điểm giao nhau của các đường thẳng đó gọi là các nút lưới (điểm lưới). Tại các điểm lưới thay đạo hàm trong phương trình kể cả điều kiện biên bởi các biểu thức xấp xỉ. Nghiệm của hệ phương trình này chính là các giá trị gần đúng của nghiệm bài toán ban đầu tại các điểm lưới. Trong mục này ta sẽ xem xét các bài toán biên đối với phương trình dạng elliptic, hyperbolic và parabolic. II.2.1.Phương pháp lưới giải gần đúng phương trình elliptic Xét phương trình elliptic sau: 휕2 휕2 휕 휕 퐿 = + + + + = (1) 휕 2 휕 2 휕 휕 Với , , , , , là các hàm của hai biến độc lập và xác định trong miền hữu hạn với biên Γ. Giả sử , , , , , là các hàm liên tục trong ∪ Γ và > 0, > 0, 0, 푙 > 0 là các số đã cho (bước lưới theo , ). Điểm giao nhau của các đường thẳng này gọi là l O h điểm lưới (hay được gọi là các điểm nút) 33
12. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Chúng ta chỉ xét các điểm lưới thuộc ∪ Γ. Nếu hai điểm lưới cách xa nhau theo trục hoặc một khoảng bước của lưới thì ta nói đó là các điểm kề. Những điểm lưới (của ∪ Γ) mà bốn điểm kề cùng thuộc tập các điểm lưới của ∪ Γ gọi là các điểm lưới trong. Tập hợp tất cả các điểm lưới trong gọi là ∗. Những điểm lưới dù chỉ có một điểm lưới kề không thuộc tập các điểm lưới của ∪ Γ gọi là các điểm lưới biên. Tập hợp các điểm lưới biên gọi là biên của miền lưới và ký hiệu là Γ∗. Bây giờ chúng ta sẽ xấp xỉ phương trình (1). Với mỗi điểm lưới trong (푖, 푗) ta lập biểu thức sai phân thay thế các đạo hàm tại các điểm ( 0 + 푖ℎ, 0 + 푖ℎ) ta có 휕 ( 푖 + ℎ, 푗) − ( 푖 − ℎ, 푗) | ≈ 휕 ( 푖, 푗) 2ℎ 휕 ( 푖, 푗 + 푙) − ( 푖, 푗 − 푙) | ≈ 휕 ( 푖, 푗) 2푙 2 휕 ( 푖 + ℎ, 푗) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖 − ℎ, 푗) | ≈ 휕 2 ( 푖, 푗) ℎ2 2 휕 ( 푖, 푗 + 푙) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖, 푗 − 푙) | ≈ 휕 2 ( 푖, 푗) 푙2 Do vậy chúng ta nhận được ( 푖 + ℎ, 푗) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖 − ℎ, 푗) 푙 = 푖푗 푖푗 ℎ2 ( 푖, 푗 + 푙) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖, 푗 − 푙) + 푖푗 푙2 ( 푖 + ℎ, 푗) − ( 푖 − ℎ, 푗) + 푖푗 2ℎ ( 푖, 푗 + 푙) − ( 푖, 푗 − 푙) + + = (3) 푖푗 2푙 푖푗 푖푗 푖푗 Trong đó 푖푗, 푖푗, 푖푗, 푖푗, 푖푗, 푖푗 là giá trị các hệ số của (1) tại các điểm lưới (푖, 푗). Phương trình (3) chỉ có thể viết tại các điểm lưới trong. Nếu (푖, 푗) là điểm lưới biên thì ta có công thức xấp xỉ Kollats 훿 + ℎ휑 = với 훿 = , ℎ = 훿 + ℎ 34
13. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 B A C Vậy để xác định ( 푖, 푗) ta có hệ phương trình tuyến tính (3). Nghiệm của hệ này là giá trị gần đúng của nghiệm của bài toán (1), (2) tại ( 푖, 푗). Ví dụ: Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình Δ = 1, ( , ) ∈ Ω = {( , ): 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1} y 50 10 1 10 10 10 50 50 10 10 1 O 10 50 10 1 x với ℎ = 푙 = và giá trị trên biên được cho bởi hình bên. 4 Giải: Gọi các điểm nút lần lượt là 1 đến 9 và thiết lập phương trình xấp xỉ tại các nút ta thu được 35
14. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 uuuua AAAA1379 uuuua 470 AAAA2468 ua 450 A5 Tại nút A5 ta thiết lập phương trình sai phân và cho ra phương trình u u u u 4 u AAAAA2 4 6 8 5 1 a 34.9921875 h2 Từ đó được giá trị u tại 9 điểm nút cần tìm. II.2.2. Phương pháp lưới giải gần đúng phương trình hyperbolic Xét phương trình hyperbolic 휕2 휕2 휕 휕 퐿 = − + + + = (4) 휕 2 휕 2 휕 휕 Với , , , , , là các hàm của hai biến độc lập và xác định trong miền hữu hạn = {−∞ 0. Ta tìm nghiệm của (4) trong miền , thỏa mãn điều kiện ban đầu 휕 ( , 0) = 휑( ) , ( , 0) = 휓( ), −∞ < < ∞ (5) 휕 Với 휑, 휓 là các hàm đã cho. Giả sử cho hai họ đường thẳng song song = 푖ℎ , 푖 = 0, ±1, ±2 = 푗푙 , 푗 = 0, ±1, ±2 Điểm giao nhau của các đường thẳng này gọi là điểm lưới. Các điểm lưới nằm trên đường thẳng = 0 mang các giá trị đã cho ban đầu gọi là các điểm lưới biên. Đối với mỗi điểm lưới trong (푖, 푗) ta lập phương trình sai phân xấp xỉ phương trình (4) ( 푖 + ℎ, 푗) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖 − ℎ, 푗) 푙 = 푖푗 푖푗 ℎ2 ( 푖, 푗 + 푙) − 2 ( 푖, 푗) + ( 푖, 푗 − 푙) − 푖푗 푙2 ( 푖 + ℎ, 푗) − ( 푖 − ℎ, 푗) + 푖푗 2ℎ ( 푖, 푗 + 푙) − ( 푖, 푗 − 푙) + + = 푖푗 2푙 푖푗 푖푗 푖푗 Hay là 푙 푖푗 = 푖푗 푖푗+1 + 푖푗 푖푗−1 + 푖푗 푖+1푗 + 푖푗 푖−1푗 + 푖푗 푖푗 = 푖푗 Với 푖푗 푖푗 푖푗 푖푗 푖푗 푖푗 = − + , = − − , = + 푖푗 푙2 2푙 푖푗 푙2 2푙 푖푗 ℎ2 2ℎ 푖푗 푖푗 2 푖푗 2 푖푗 2 푖푗 = − , = − + + + 푖푗 ℎ2 2ℎ 푖푗 ℎ2 ℎ2 푙2 푖푗 36
15. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Chúng ta giả sử lưới đủ nhỏ để tại tất cả các điểm lưới 푖푗 0. Chúng ta phải tìm nghiệm của phương trình (6) trong miền thỏa mãn điều kiện ban đầu ( , 0) = 휑( ), −∞ < < +∞ (7) 휑( ) là hàm đã cho. Để tìm nghiệm gần đúng của bàn toán bằng phương pháp lưới, chúng ta xét lưới chữ nhật được tạo bởi các giao điểm của hai họ đường thẳng song song = 푖ℎ , 푖 = 0, ±1, ±2 . 푡 = 푗푙, 푗 = 0,1,2 Đối với mỗi điểm lưới (푖, 푗), 푗 ≥ 1 ta viết phương trình sai phân xấp xỉ phương trình (6) với độ chính xác nào đó. Tại điểm lưới ( 푖, 푗) các đạp hàm được thay tương ứng bằng các biểu thức sai phân ( 푖 + ℎ, 푡푗) − ( 푖 − ℎ, 푡푗) ( 푖 + ℎ, 푡푗) − 2 ( 푖, 푡푗) + ( 푖 − ℎ, 푡푗) , 2ℎ ℎ2 휕 Thay ( , 푡 ) bằng một trong ba biểu thức 휕푡 푖 푗 ( 푖, 푗 + 푙) − ( 푖, 푗) ( 푖, 푗) − ( 푖, 푗 − 푙) ( 푖, 푗 + 푙) − ( 푖, 푗 − 푙) , , 푙 푙 2푙 Sử dụng các công thức này ta có ba dạng xấp xỉ sai phân của (6) 37
16. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 − − 2 + − (1) 푖푗+1 푖푗 푖+1 푗 푖푗 푖−1 푗 푖+1푗 푖−1푗 푙 = − − − 푖푗 푙 푖푗 ℎ2 푖푗 2ℎ 푖푗 푖푗 = 푖푗 − − 2 + − (2) 푖푗 푖푗−1 푖+1 푗 푖푗 푖−1 푗 푖+1푗 푖−1푗 푙 = − − − 푖푗 푙 푖푗 ℎ2 푖푗 2ℎ 푖푗 푖푗 = 푖푗 − − 2 + − (3) 푖푗+1 푖푗−1 푖+1 푗 푖푗 푖−1 푗 푖+1푗 푖−1푗 푙 = − − 푖푗 2푙 푖푗 ℎ2 푖푗 2ℎ − 푖푗 푖푗 = 푖푗 Với 푗 = 0, từ điều kiện (7) ta có 푖0 = 휑(푖ℎ) = 휑푖 , 푖 = 0, ±1, ±2 . 38
17. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 MỘT SỐ HƯỚNG DẪN ẤN MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH NHANH CÁC KẾT QUẢ SỐ: I. Hướng dẫn ấn máy tính 500 MS, 570 MS, 500 ES, 570 ES hoặc các máy khác tương đương, để giải gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến bằng công thức lặp: 풇(풙) = Với 풇(풙) = 풆풙 − (풙 + ) Ta giả sử với công thức lặp được thiết lập là 풙 = { 풙풏+ = 품(풙풏) = 풍풏(풙풏 + ) +) Bước 1: Nhập giá trị ban đầu: Nhập giá trị 풙 và lưu vào một bộ nhớ A bằng cách ấn các phím 2 Shift Sto A. +) Bước 2: Nhập biểu thức lặp: Thao tác trên biểu thức 품(풙풏) = 풍풏(풙풏 + ) ở đâu có 푛 thì ta ấn Alpha A. Sau khi nhập xong thì lưu vào chính A (Shift Sto A) ta được giá trị 1 = 2.63905733 +) Bước 3: Lặp: Ấn phím = liên tiếp thì ta được các kết quả 2; 3; và cho bởi bảng sau. n 푛 0 2 1 2.63905733 2 2.83113021 3 2.891221301 4 2.910128666 5 2.916085467 6 2.917962846 7 2.918554596 8 2.918741122 9 2.918799918 10 2.918818451 +) Chú ý: - Mỗi lần ấn = thì nhớ ghi kết quả luôn. 푛 2 - Nếu muốn tính giá trị của ( 푛) = 푒 − ( 푛 + 10) thì ta làm như sau: Nhập biểu thức ( ): Ở đâu có 푛 ta ấn Alpha X sau đó ấn CALC máy hỏi X? Ta nhập giá trị 푛 cần tính vào, ví dụ 10 = 2.918818451 ta nhập 2.918818451 rồi ấn = ta −4 được kết quả ( 10) = −1.081925472 × 10 . II. Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel. 39
18. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn sau: 7 1 − 2 2 + 3 3 = 3 { 2 1 + 9 2 + 3 = 4 − 1 + 4 2 + 8 3 = 4 (0) (0) (0) (0) Dãy lặp Gauss-Seidel với giá trị ban đầu x0 ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) (0;0;0) 2 3 3 x(k 1) x ( k ) x ( k ) (1) 17 2 7 3 7 (k 1)2 ( k 1) 1 ( k ) 4 x2 x 1 x 3 (2) 9 9 9 (k 1)1 ( k 1) 1 ( k 1) 1 x3 x 1 x 2 (3) 8 2 2 (0) 0 0 0 +)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: x0 ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) (0;0;0) 0 Shift Sto A 0 Shift Sto B 0 Shift Sto C +) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp: Nhập biểu thức 1 : 0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 X Alpha C + 3/7 Shift Sto A (1) x1 0.428571 Nhập biểu thức 2: (-) 2/9 X Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9 Shift Sto B x(1) 0.349206 2 40
19. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Nhập biểu thức 3 1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 X Alpha C + ½ Shift Sto C (1) x3 0.378968 +) Bước 3: Ấn 2 lần (2) Rồi ấn phím = x1 0.365929 Ấn 2 lần (2) Rồi ấn phím = x2 0.321019 Ấn 2 lần (2) Rồi ấn phím = x3 0.385232 (*)Tiếp tục như bước 3 ta được x2 , Và ta được bảng kết quả ()k ()k ()k k x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.428571 0.349206 0.378968 2 0.365929 0.321019 0.385232 3 0.355192 0.322709 0.383044 4 0.356612 0.322636 0.383258 5 0.356500 0.322638 0.383243 Nghiệm ∗ ≈ (5) = (0.356500; 0.322638; 0.383243) Chú ý: +) Được kết quả nào thì phải ghi luôn vào bảng kết quả. 41
20. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 +)Nếu hệ n phương trình n ẩn thì ta làm tương tự như trên nhưng phải dùng một bộ n biến nhớ, và phải nhập n biểu thức đồng thời ở bước 3 phải ấn n-1 lần để quay trở lại biểu thức ban đầu Ấn n- 1 lần +)Lặp đơn thì phức tạp hơn và phải dùng đến 2 bộ nhớ. Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn. Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn: 7 1 − 2 2 + 3 3 = 3 { 2 1 + 9 2 + 3 = 4 − 1 + 4 2 + 8 3 = 4 (0) 0 0 0 Dãy lặp đơn với giá trị ban đầu x0 ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) (0;0;0) 2 3 3 x(k 1) x ( k ) x ( k ) (1) 17 2 7 3 7 (k 1)2 ( k ) 1 ( k ) 4 x2 x 1 x 3 (2) 9 9 9 (k 1)1 ( k ) 1 ( k ) 1 x3 x 1 x 2 (3) 8 2 2 (0) 0 0 0 +)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: x0 ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) (0;0;0) 0 Shift Sto A 0 Shift Sto B 0 Shift Sto C 42
21. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 +) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp: Nhập biểu thức thứ nhất : 0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 X Alpha C + 3/7 Shift Sto D (1) x1 0.428571 Nhập biểu thức thứ 2: (-) 2/9 x Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9 Shift Sto X x(1) 0.444444 2 Nhập biểu thức thứ 3 1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 x Alpha C + 1/2 Shift Sto Y (1) x3 0.500000 Bước tiếp theo ta làm lại bước 2 nhưng phải dùng trên bộ nhớ D, X, Y. Nhập biểu thức thứ nhất : 0 x Alpha D + 2/7 x Alpha X - 3/7 X Alpha Y + 3/7 Shift Sto A (2) x1 0.341270 Nhập biểu thức thứ 2: (-) 2/9 x Alpha D + 0 x Alpha X - 1/9 x Alpha Y + 4/9 Shift Sto B x(2) 0.293651 2 Nhập biểu thức thứ 3 1/8 x Alpha D - 1/2 x Alpha X + 0 x Alpha Y + 1/2 43
22. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Shift Sto C (2) x3 0.331349 +) Đối với máy 500 ES hoặc 570 ES, Để tính tiếp 풙( ) ta làm như sau: Ấn bàn phím REPLAY ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim REPLAY sang trái 1 lần và ấn DEL rồi ấn = thì ta được (3) 1 =0.370465 Tương tự lại ẤN bàn phím REPLAY ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim REPLAY sang trái 1 lần và ấn (3) DEL rồi ấn = thì ta được 2 =0.331790 Cứ thế ta được bảng sau: ()k ()k ()k K x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.428571 0.444444 0.500000 2 0.341270 0.293651 0.331349 3 0.370465 0.331790 0.395833 4 0.353725 0.318137 0.380413 5 0.356434 0.323571 0.385147 6 0.355957 0.322443 0.382768 7 0.356654 0.322813 0.383088 Nghiệm 풙∗ ≈ 풙( ) = (0.356654; 0.322813; 0.383088) Chú ý: MÁY ES thì có đủ bộ số trên máy nên có làm phương pháp lặp đơn như hướng dẫn trên. Còn máy MS không đủ bộ số nên để tính với k=3 thì ta lại quay lại bước 2. III. Giải gần đúng phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử f(x) 570 ES. Bài toán Cauchy ′ = 2 + 2 푣ớ푖 0 < ≤ 1 { (0) = 0 Với ℎ = 0.1 a. Công thức Euler: 44
23. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 = ℎ ( , ) + { 푛+1 푛 푛 푛 0 = (0) = 0 Tức là = 0.1( 2 + 2) + { 푛+1 푛 푛 푛 0 = 1 2 2 +) Bước 1: Khai báo công thức 푛+1 = 0.1( 푛 + 푛) + 푛: Ở đâu có 푛 ta ấn Alpha X; ở đâu có 푛 ta ấn Alpha Y. (Trong qui trình này ta đã dùng ô nhớ X để chứa giá trị 푛 và ô nhớ Y để chứa giá trị của 푛.) +) Bước 2: Tính toán lần 1: Ấn CALC, máy hỏi: X? Khai báo 0 = 0: Bấm phím 0 = Máy hỏi tiếp: Y? Khai báo: 0 = 1: Bấm 1 = sẽ cho kết quả 1 = 1.1 Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. +) Bước 3: Qui trình: Ấn CALC máy hỏi: X? Khai báo 1 = 0.1: Bấm phím 0.1 = Máy hỏi tiếp: Y? Bấm = ( 1 = 1.1 đã có sẵn trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại) sẽ cho kết quả 2 = 1.222 Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. +) Bước 4: Lặp lại Qui trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? thì ta khai báo các giá trị tiếp theo: 0.2; 0.3; 0.4; . ; 1. Ta được bẳng giá trị sau n 푛 푛 0 0 1 1 0.1 1.1 2 0.2 1.222 3 0.3 1.3803284 4 0.4 1.586859049 5 0.5 1.863671213 6 0.6 2.246998253 7 0.7 2.800898367 8 0.8 3.649401534 9 0.9 5.062214689 10 1.0 7.724816445 b. Công thức Euler cải tiến ta cũng làm tương tự nhưng ta dùng them bộ nhớ thứ 3. Công thức Euler cải tiến 45
24. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 ̂푛+1 = 푛 + ℎ ( 푛, 푛) ℎ { = + ( ( , ) + ( , ̂ )) 푛+1 푛 2 푛 푛 푛+1 푛+1 0 = (0) = 1 Tức là ta có được 2 2 2 2 2 2 푛+1 = 0.05 ( 푛 + 푛 + 푛+1 + ( 푛 + 0.1( 푛 + 푛)) ) + 푛 (∗) +) Bước 1: Khai báo công thức (*): Ở đâu có 푛 thì ta ấn Alpha X; ở đau có 푛 ta ấn Alpha Y; ở đâu có 푛+1 ta ấn Alpha A. (Tức là ta dùng ô nhớ X để lưu 푛; ô nhớ Y để lưu 푛 và ô nhớ A để lưu 푛+1). +) Bước 2: Tính toán lần 1: Bấm CALC, máy hỏi: X? Khai báo 0 = 0: Bấm phím 0 = Máy hỏi tiếp: Y? Khai báo: 0 = 1: Bấm 1 = Máy hỏi tiếp: A? Khai báo 1 = 0.1: Bấm 0.1 = sẽ cho kết quả 1 = 1.1 Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. +) Bước 3: Qui trình: Ấn CALC máy hỏi: X? Khai báo 1 = 0.1: Bấm phím 0.1 = Máy hỏi tiếp: Y? Bấm = ( 1 = 1.1 đã có sẵn trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại) Máy hỏi tiếp: A? Khai báo 2 = 0.2: Bấm 0.2 = sẽ cho kết quả 2 = 1.222 Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. +) Bước 4: Lặp lại Qui trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? A? thì ta khai báo các giá trị tiếp theo: 0.2 (0.3); 0.3 (0.4); 0.4 (0.5); . ; 0.9 (1.0) Ta được bảng giá trị sau n 푛 푛 0 0 1 1 0.1 1.051 2 0.2 1.109467678 3 0.3 1.178909589 4 0.4 1.26373277 5 0.5 1.369718589 6 0.6 1.504725574 7 0.7 1.679805854 8 0.8 1.911109639 9 0.9 2.22338971 10 1.0 2.657022002 46
25. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 − IV. Tính giá trị của hàm trên một đoạn [ ; ] với các bước chia đều 풉 = để nhằm tính 풏 gần đúng tích phân = ∫ ( ) Thao tác trên máy tính có chức năng Table, ví dụ máy 500ES hoặc 570ES. +) Bước 1: Vào chế độ Table: Mode 7 (7. TABLE) màn hình hiện f(X)= 5 +) Bước 2: Nhập biểu thức ( ), ví dụ ( ) = 3 − trên [ ; ] = [1; 3] với ℎ = 0.2. 2+6 Ta nhập biểu thức bằng cách ở đâu có ta ấn Alpha X. +) Ấn = miền hình hiện Start? Ta nhập giá trị = 1 ấn 1 = máy hỏi End? Ta nhập = 3 ấn 3 =, máy hỏi Step? Ta nhập ℎ = 0.2: ấn 0.2 = máy sẽ cho ra bảng kết quả với 11 giá trị tại các điểm = 1; 1.2; ; 3.0 như sau i 푖 ( 푖) 1 1 2.2857 2 1.2 3.0651 3 1.4 4.0273 4 1.6 5.2154 5 1.8 6.6835 6 2.0 8.5 7 2.2 10.75 8 2.4 13.541 9 2.6 17.006 10 2.8 21.312 11 3.0 26.666 Ở đây hạn chế ở chỗ là cho ít chữ số sau dấu phẩy. Ta có thể tính giá trị bằng cách nhập biểu thức và dùng phím CALC để tính giá trị thì sẽ cho kq với 10 chữ số. 5 +) Bước 1: Nhập biểu thức ( ) = 3 − bằng cách ở đâu có ta ấn Alpha X. 2+6 +) Bước 2: Ấn CALC máy hỏi X? ta nhập 0 = 1 sau đó ấn = ta được (1) = 2.285714286 +) Ấn phím REPLAY ngược lên một lần để nhìn thấy biểu thức ta vừa nhập, sau đó lại thao tác lại bước 2 và khai báo 1 = 1.2 ta được (1.2) = 3.065149808 Ngoài ra ta có thể tham khảo các phần mềm giải gần đúng khác như Maple, Mathematica, Excel. 47
26. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Thao tác trên Maple 13 Giải gần đúng phương trình sau bằng phương pháp Newton trên Maple 풙 + ퟒ풙 − = > Bảng 1. Nghiệm của phương trình 풇(풙) = 풙 + ퟒ풙 − = qua pp Newton và giá trị của 풇(풙) tương ứng. 48
27. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 NỘI DUNG ÔN THI KIỂM TRA GIỮA KỲ Câu 1 (3,5 điểm) + Sai số tuyệt đối, sai số tương đối, quy tròn số và sai số mắc phải + Tìm chữ số chắc, bài toán ngược của sai số. + Tính gần đúng một biểu thức với sai số cho trước. Câu 2 (3,5 điểm) và Câu 3 (3,0 điểm) Bao gồm toàn bộ chương 2: Giải gần đúng một phương trình phi tuyến: + Phương pháp chia đôi giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng nghiệm khi biết sai số. + Phương pháp lặp đơn giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng nghiệm khi biết sai số. + Phương pháp Newton (tiếp tuyến) giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng nghiệm khi biết sai số. + Phương pháp dây cung giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng nghiệm khi biết sai số NỘI DUNG VÀ CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC Hình thức thi: Tự luận Thời gian: 60 phút Câu 1 (3.5 điểm) Giải gần đúng phương trình Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính Tự chọn một ví dụ giải số gần đúng một phương trình siêu việt hoặc đa thức bằng ít nhất hai phương pháp khác nhau và so sánh tốc độ hội tụ nghiệm. Câu 2 (3 điểm) Tính gần đúng đạo hàm Tính gần đúng tích phân xác định Tự chọn ví dụ tính gần đúng tích phân theo 2 phương pháp và so sánh kết quả. Câu 3 (3.5 điểm) Giải gần đúng phương trình vi phân Giải gần đúng phương trình đạo hàm riên 49
28. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Đề thi thử TOÁN IV C Đề 1 Chú ý: Các phép tính lấy đến 6 chữ số thập phân. Câu 1(3.0 điểm). Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình sau bằng phương pháp dây Newton, với mức sai số đạt được là 10 5 2xx lg 10. Câu 2 (3.0 điểm) 1 Tính gần đúng giá trị của 푙푛5 với sai số 10−3 bởi việc tính xấp xỉ 4 5 ∫ 4 + 5 0 theo phương pháp Simpson. Câu 3 (4.0 điểm) a. Dùng phương pháp Euler giải gần đúng bài toán Cauchy y ′ − 2 + 2 3 = 0 { (0) = 0 với ∈ [0, 1] và ℎ = 0.2 50 100 50 b. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình 1 50 50 휕 6 3Δ = + 6. + 3 , 100 휕 100 50 ( , ) ∈ Ω = {( , ): 0 ≤ ≤ 1, 50 0 ≤ ≤ 1} O 50 100 50 1 x 1 với ℎ = 푙 = và giá trị trên biên được cho bởi hình bên. 4 50
29. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 Đề thi thử TOÁN IV C Đề 2 Chú ý lấy đến 6 chữ số thập phân sau dấu phẩy Câu 1 (3.0 điểm) Dùng phương pháp Dây cung giải gần đúng phương trình sau đến mức sai số không vượt quá 10−3 6 3 + − 1 = 0 Câu 2 (3.0 điểm) Tính gần đúng tích phân sau bằng phương pháp hình thang đến mức sai số không vượt quá 10−1. 2 = ∫ 푒 cos 0 Câu 3 (4.0 điểm). a) Dùng phương pháp Euler giải gần đúng bài toán sau ′ = 2 + 2 { (0) = 1 với ∈ [0, 2]; 푛 = 6 b) Dùng phương pháp lưới giải gần đúng bài toán sau Δ = 2 + 1 với (x, y) ∈ Ω { Γ = 2 − 1 Trong đó Ω = [2,3] × [1,2] và ℎ = 푙 = 4 51
30. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP SỐ Chương 1: Sai số và xấp xỉ 1.1. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng = 13267 , 훿 = 0.1% = 2.32 , 훿 = 0.7% = 1.2. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu 1 = 3 6 Với = 3.7 ± 0.05 và = 3.14 ± 0.0016 1.3. Hãy xác định số các chữ số chắc trong các số , với sai số tuyệt đối như sau = 0.3941 , Δ = 0.25 × 10−2 = 38.2543 , Δ = 0.27 × 10−2 1.4. Hãy xác định số các chữ số chắc trong các số , với sai số tương đối như sau −2 = 1.8921 , 훿 = 0.1 × 10 = 22.351 , 훿 = 0.1 1.5. Hãy qui tròn các số dưới đây với 3 chữ số chắc và xác định sai số tuyệt đối và sai số tương đối của chúng a. 2.1514 d. -0.0015281 b. 0.16152 e. 879.023467 c. 0.01204 1.6. Tính tổng 푆 sau đây với ba chữ số lẻ thập phân là chữ số chắc 1 1 1 푆 = + + ⋯ + 11 12 17 1 1 1.7. Tính số e 푒 = 1 + + ⋯ + + ⋯ 1! 푛! Với sai số tuyệt đối không quá 10−4 1.8. Hãy xác định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của biến đã cho với mọi chữ số đều là chữ số chắc: a. = ln( + 2) ; = 0,97; = 1,132 ( + 2) b. = ; = 3,28; = 0,932; = 1,132 Chương 2: Tính gần đúng nghiệm của một phương trình 2.1. Dùng phương pháp chia đôi, tìm giá trị gần đúng của nghiệm nhỏ nhất của phương trình sau chính xác đến 10−3 a. 3 + 3 2 − 3 = 0 b. 3 − 9 2 + 18 − 1 = 0 2.2. Giải gần đúng phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn chính xác đến 10−1 a. 3 + 3 2 − 3 = 0 biết ∗ ∈ (−3, −2.5) b. = cos 52
31. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 2.3. Dùng phương pháp lặp đơn tính gần đúng nghiệm dương lớn nhất của phương trình 3 − − 1000 = 0 với sai số tuyệt đối không quá 10−5. 2.4. Giải gần đúng các phương trình sau nhờ phương pháp dây cung a. 3 + 3 + 5 = 0 , ∈ [−1.2, −1.1] b. 4 − 3 − 4 = 0 , ∈ [1, 2] 2.5. Giải gần đúng nghiệm nhỏ nhất của phương trình sau nhờ phương pháp Newton 2 = 4 a. Đến sai số 10−2 b. Đến lần lặp thứ 6. c. Đên nghiệm gần đúng mà có 3 số thập phân sau dấu phẩy. 2.6. Dùng phương pháp Newton tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau với sai số tuyệt đối không quá 10−5 a. 2 − sin = 0 b. 2 − cos = 0 Chương 3: Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính 3.1. Giải hệ sau bằng phương pháp lặp đơn, tính lặp 3 lần và cho biết sai số 1.02 1 − 0.05 2 − 0.10 3 = 0.795 {−0.11 1 + 1.03 2 − 0.05 3 = 0.849 −0.11 1 − 0.12 2 + 1.04 3 = 1.398 3.2. Giải hệ phương trình = dưới đây nhờ phương pháp lặp đơn 24.21 2.42 3.85 30.24 = [ 2.31 31.49 1.52 ] , = [40.95] 3.49 4.85 28.72 42.81 Với độ chính xác 10−3 3.3. Giải hệ phương trình ở bài 3.2 bằng phương pháp Seidel và đánh giá sai số gặp phải khi đó. 3.4. Cho 3 1 0 = [−1 4 1] 0 1 3 Tìm ma trận −1 bằng phương pháp lặp , tính lặp hai lần, với 0.3 −0.08 0.27 0 = [ 0.08 0.25 −0.08] −0.27 −0.08 0.36 Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định 4.1. Cho hàm số = log với giá trị tại = 50, 55, 60, 65 lần lượt là 1.6990 , 1.7404 , 1.7782 , 1.8129. Hãy tính đạo hàm của tại = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp. 4.2. Xét hàm số cho bởi bảng sau 푖 1 1.5 2 2.5 ( 푖) 0.00000 0.40511 0.69210 0.91672 Tính gần đúng ′(1), ′(2), ′′(1.5) 53
32. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 4.3. Cho tích phân 1 = ∫ 1 + 2 0 Hãy chia đoạn [0, 1] thành 푛 = 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng và cho đánh giá sai số bằng a. Công thức hình thang b. Công thức Simpson 4.4. Xét 2 = ∫ 1 + √ 1 Tính gần đúng tích phân nhờ phương pháp hình thang chính xác đến 10−2 4.5. Xét 2 sin = ∫ 1 Tính gần đúng tích phân nhờ phương pháp parabol chính xác đến 0.02 1 4.6. Tính gần đúng giá trị của 푙푛6 với sai số 3.10−3 bởi việc tính xấp xỉ 5 6 ∫ 5 + 6 0 a. Theo phương pháp Simpson ; b. Theo phương pháp hình thang; 4.7. Sử dụng 1) Công thức hình thang, 2) Công thức Simpson để tính xấp xỉ các tích phân xác định sau và so sách các phương pháp. 1 a) 1 + 3 , 푛 = 8 ∫−1 √ 1 b) cos( 2) , 푛 = 4 ∫0 sin c) ∫ , 푛 = 6 /2 /4 d) tan , 푛 = 6 ∫0 Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng 5.1. Dùng phương pháp Euler giải bài toán ′ = 2 + 2 , 0 ≤ ≤ 1 { (0) = 0 Với bước đi ℎ = 0.2 5.2. Giải gần đúng bài toán sau nhờ phương pháp Euler ′ = sin + cos { với 2.5 ≤ ≤ 4 , ℎ = 0.3 (2.5) = 0 54
33. Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 5.3. Giải gần đúng bài toán sau nhờ phương pháp Euler cải tiến ′ = sin + sin { với 0 ≤ ≤ , ℎ = (0) = 1 2 20 5.4. Dùng phương pháp sai phân (phương pháp lưới) giải gần đúng bài toán sau 휕2 휕2 + = 2 휕 2 휕 2 = {( , 푡)|0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1} ( , )|Γ = 2 + Với lưới vuông ℎ = 푙 5.5. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình sau Δ = −1, ( , ) ∈ Ω , Ω là hình vuông cạnh 1 1 Với | = 0 (Γ là biên của Ω), chọn bước đi ℎ = . Γ 4 5.6. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình Δ = 25, ( , ) ∈ Ω = {( , ): 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 2} 1 với ℎ = 푙 = và giá trị trên biên được cho bởi hình bên. 2 y 50 100 50 2 50 50 100 100 50 50 O 50 100 50 2 x 5.7. Sử dụng phương pháp lưới giải gần đúng bài toán sau với 푙 = = 0,5 Δ = 2 푣ớ푖 ( , ) ∈ Ω { 4 4 |Γ = Với Ω = {( , ) ∈ | 2 + 2 ≤ 1 } 55