›
›

Lý thuyết và bài tập Toán học cao cấp

doc 99 trang vanle 4130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và bài tập Toán học cao cấp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docly_thuyet_va_bai_tap_toan_hoc_cao_cap.doc

Nội dung text: Lý thuyết và bài tập Toán học cao cấp

  1. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC CAO CẤP
  2. CHƯƠNG 1: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 Lý Thuyết. 1.1.1. Ma trận 1.1.1.1.Cho m và n là 2 số nguyên dương.Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là. a11  a1n A    Ta kí hiệu A a ,.i 1,2,3, ,m j 1,2,3, ,n ij am1  amn 1.1.1.2. Một số loại ma trận.  Ma trận hàng (cột) là ma trận chỉ có một hàng (cột)  Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không  Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột m n  Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử năm ngoài đường chéo chính đều bằng 0  Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1  Ma trận tam giác là ma trận vuông mà mọi phần tử năm phía trên (dưới)đường chéo chính đều bằng 0  Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác 0 đều ở trên các hàng bằng không , phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên . 1.1.1.3. Các Phép Toán Trên Ma Trận  Ma trận bằng nhau : hai ma trận A,B M m n bằng nhau kí hiệu A=B nếu Aij Bij ,,i 1.m j 1,n  Phép nhân một số với ma trận : Cho A M m n , R ta có ( A)ij (Aij ), i 1.m j 1,n  Phép cộng ma trận: Cho A,B Mmxn. Tổng của A và B là: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i =1,m ; j =1,n .
  3.  .Phép nhân hai ma trận:Cho A Mmxn và B Mmxn(số cột của A bằng số hàng của B).Tích của A và B là: n (AB)ij=  (A)ik,(B)kj, i=1,m ;j=1,r . k 1  .Phép chuyển vị ma trận:Cho A Mmxn.Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT: T (A )ij=(A)ij, i=1,n ; j=1,n .  .Lũy thừa ma trận: Ap = Ap-1A (p là số tự nhiên 1) 1.1.1.4. Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang: Phép biến đổi sơ cấp: Nhân các phần tử của 1 hàng với 1 số khác 0:hi  hj ( 0) Cộng vào các phần tử của 1 hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã được nhân với 1 số bất kỳ: hi hi +  hj. Đổi chỗ 2 hàng cho nhau: hi hj . Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp với các cột. Ma trận bậc thang: Là ma trận có các tính chất sau: Các hàng khác không đều ở trên các hàng bằng không Phần tử cơ sở của 1 hàng nằm cột bên phải so với phần tử cơ sở ở hàng trên Định lý: Mọi ma trận đều đưa được về ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. 1.1.2.Định thức 1.1.2.1.Tính chất định thức  Cho định thức A, AT thu được bằng cách lấy hang i của A làm cột i của AT  det A = det AT  Đổi chổ 2 hàng của A được bảng mới là B: detA = -detB  Nếu Acó 2 hàng tỉ lệ, 2 hàng bằng nhau, 1 hàng có các phần tử bằng 0 thì detA=0  Nếu các phần tử hang thứ i nhân  0 thì detA cũng nhân 
  4.  Nếu mọi phần tử trong một hang của A có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức.  Cộng một hang thứ i của A với bội một dòng khácthì định thức của nó không đổi.  Nếu cộng vào một hang thứ i của A tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại thì định thức không đổi. 1.1.2.2.Một số phương pháp tính định thức: a11 a12 +Cấp hai: = a11a22 a12a21 a21 a22 +Cấp ba: Qui tắc Sariuse. (+) (-) . Khai triển một hang một cột +Hàng i : detA= n ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik k 1 i 1 Aij ( 1) Aij (Aij A M n n i1 i2 ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik k 1 j1 j2 jk A ( 1)i1 i2 ik j1 j2 jk V i1i2 ik i1i2 ik j1 j2 jk j1 j2 jk V i1i2 ik j1 j2 jk n + Cột j: detA= a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj k 1 i 1 Trong đó Aij ( 1) Aij : (Aij xoá đi hang i cột j )
  5. . Khai triển laplace: khai triển theo k hang k cột Cho A M n và k là số tự nhiên < n. Lấy k hang i1 i2 và k cột j1 j2 jk Các phần tử nằm ở giao của k hang và k cột này tạo nên một ma trận vuông cấp k, định thức của nó được ký hiệu là a i1i2 ik j1 j2 jk bỏ đi k hang k cột đó, ta được ma trận vuông cấp n-k Ta có phần bù đại số của a là A ( 1)i1 i2 ik j1 j2 jk V i1i2 ik i1i2 ik i1i2 ik j1 j2 jk j1 j2 jk j1 j2 jk Định lý Laplace: chọn k hang bất kỳ trong detA. Gọi M1, M2 Ms là tất cả các định thức con cấp k do k hang vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và A1,A2, .As là phần bù đại số tương ứng Ta có : detA= M1A1+M1A2+ .+MsAs Phương pháp Gauss: Sử dụng các phép biến đổi trên hang để biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó định thức sẻ bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính 1.1.2.3.Ứng dụng định thức: 1- Hạng của ma trận: Cho ma trận A = (aij)m*n. Định thức con cấp r của A là định thức có các phần tử nằm trên r cột và r hang nào đó của A. Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A 2- Ma trận nghịch đảo: Để có ma trận nghịch đảo thì ma trận phải khả nghịch tức là detA khác không 1 ~ Dùng định thức để tìm ma trậm nghịch đảo bằng công thức A-1 = * A A
  6. 1.2 Bài tập 1: Tính định thức: Giải: 0 1 2 0 0 1 2 2 2 7 0 1 ( 1)7 2 2 7 2 4 2 2 4 8 7 3 4 1 0 4 4 0 4 4 0 2: Tính định thức: Giải: 7 3 4 1 0 1 2 0 1 2 0 1 ( 1)5 2 2 7 2 4 2 2 4 8 2 2 7 0 0 4 4 0 4 4 0 3: Tính định Giải: 0 1 2 0 0 1 2 7 3 4 1 1 ( 1)6 1 2 7 1 1 4 2 1 1 4 4 1 2 7 0 0 4 4 0 4 4 0 4: Tính định thức Giải: 0 0 1 2 0 1 2 7 1 3 4 1 ( 1)4 1 2 7 1 (1 4 2 1 1 4) 4 1 0 2 7 0 4 4 0 0 4 4 5: Tính định thức: Giải: 7 1 3 4 0 1 2 0 0 1 2 1 ( 1)3 1 2 7 1 (1 4 2 1 1 4) 4 1 0 2 7 0 4 4 0 0 4 4 2 m 4 6: Tính định thức: 3 0 0 . Tìm m để 0 1 1 2 Giải:
  7. 2 m 4 m 4 3 0 0 3 ( 1)3 3 (2m 4) 1 2 1 1 2 Để: 0 thì ta có: 2m 4 0 m 2 7: Tính định thức:.Tìm m để 0 Giải: 2 m 4 m 4 m 0 0 m ( 1)3 m(m2 4) 1 m 1 1 m Để: 0 thì ta có: m(m2 4) 0 m 0,m 2 2 0 4 8: Tính định thức: 0 m 0 . Tìm m để 0 1 1 m Giải: 2 0 4 2 4 0 m 0 m ( 1)4 m(2m 4) 1 m 1 1 m Để 0 thì ta có: m(2m 4) 0 m 0,m 2 1 1 3 9: Tính định thức: 1 2 m . Tìm m để 0 1 1 m Giải: 1 1 3 1 1 3 h1 h2 1 2 m  h1 h3 0 1 m 3 1 1 (m 3) (m 3) 1 1 m 0 0 m 3 Để 0 thì ta có (m 3) 0 m 3 1 1 m 10: Tính định thức: 1 2 0 , Tìm m để 0 1 1 2 Giải: 1 1 m 1 2 0 4 m 2m 2) 2 m 1 1 2 Để 0 thì ta có: 2 m 0 m 0
  8. 1 0 m 11: Tính định thức: 2 1 2m 2 . Tìm m để 0 . 1 0 2 Giải: 1 0 m 2 1 2m 2 2 m 1 0 2 Để 0 thì ta có: 2 m 0 m 0 1 2 m 12: Tính định thức: 0 m 1 . Tìm m để 0 . 1 0 1 Giải: 1 2 m 0 m 1 m 2 m2 1 0 1 Để 0 thì ta có: m 2 m2 0 thoả m R 1 2 m 13: Tính A=2 5 m 1 tìm m để A>0. 3 7 m 2 Giải: 1 2 m A=2 5 m 1 =1.5(m+2)+2.3.(m+1)+2.7.m – 3.5.m – 2.2(m+2) – 7.1.(m+1) 3 7 m 2 = -m +1. A>0 -m +1 >0 m<1 2 m 2 4 14: Tính định thức m m 0 1 2 m 2 m 2 4 3 m 2 4 4 2 4 Giải:, m m 0 0 m.( 1) m.( 1) 2 m 1 m 1 2 m m(m2 2m 8) (2m 4) 0 2 m 0 m(m 4) 0 m 2
  9. m 0 Vậy =0 m 2 2 2m 2 4 15: Tính định thức m 1 2m 1 2 . Tìm m để 0 1 2 2m Giải: 4m 4m3 4m(1 m 2 ) 0 4m(1 m 2 ) 0 m 1 m 0 2 m 4 16: Tính định thức m 0 0 3 m 1 4 m 2 m 4 3 m 4 Giải: m 0 0 0 m.( 1) 0 m 1 m 4 3 m 1 m 4 2 m 0 m.(m 4) 0 m 2 m 0 Vậy 0 m 2 17. Tìm m để ∆>0: Giải 2 2m 1 4 m 1 0 4 m d1 d 3 3 1 m d2 d3 3 1 m m 3 1 m m 0 0 0 4 m m.( 1)1 3 m.(4 m) 0 m (0,4); 1 m 18. Tìm m để ∆>0: Giải:
  10. 2 2m 5 12 m 1 m 4 12 3m d1 d 3 m 3 m 1 3m d2 d3 2m 0 0 m 3 m 1 3m m 3 m 1 3m m 4 12 3m 1 1 2m( 1)2 1 6m(m 4). m 1 3m m 1 m 6m(m 4) 0 m 0  m 4; 2 2m 1 4 19: Tính định thức: m 3 1 m Tìm m để 0 . 3 1 m Giải: 2 2m 1 4 2 m 1 4 1 4 m 3 1 m m 3 1 m m( 1)3 1 m(m 4) 1 m 3 1 m m 0 0 0 m(m 4) 0 0 m 4 20. Tìm m để ∆=0 : Giải: m 5 5 3 m 5 5 3 m 1 m 1 0 (m 1) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 m 5 3 1 0  (m 1) 0 1 0 m(m 1)( 1)1 1 c1 c2 1 1 0 1 1 m(m 1) 0; m 0;m 1; m 0 2m m 1 m 1 m 0 21: Tính định thức . Tìm m để 0 .m >0 1 1 0 0 m 0 0 0 m 0 2m m 1 m 1 m 1 m 1 m 0 Giải: Ta có ( 1)5 m 1 1 0 m3 1 1 0 0 m 0 0 m 0 0 0 0 m 0
  11. m 0 0 0 1 m 1 0 0 22: Tính = =m2.(m-1)>0 m>1 1 1 m 0 m 2m 0 1 m 3 m 23: Tính định thức 7 2 m 7 . Tìm m để 0 3 m 3 Giải: m2 0 3 0 m 3 m m 3 h h m2 7 m 7 7 2 m 7 3 3 1 7 2 m 7 ( 1)1 3 (3 ) 2 3 3 3 m 3 3 m 3 m2 3(3 )( 3m) 3 m2 0 3(3 )( 3m) m 0,m 3 3 24. Tìm m để ∆=0: Giải: m 8 7 6 m 8 7 6 m 1 7 1 d 2 d 3 c1 c2 m 1 m 2m 1  (m 1) 2 1 m c3 c2 (m 1) 1 1 m 1 m 1 m 1 m 1 1 1 1 0 1 0 m 1 1 (m 1)( 1)2 3 1 m 1 (m 1)m2 0; m 1;m 0; m 1 2 25: Tính định thức 4 m 1 . Tìm m để 0 m 4 m 1 5 Giải: 2m 2 8 0m Không có giá trị m để 0 m 8 7 6 26: Tính định thức m 1 m 2m 1 . Tìm m để 0 .m 1 m 1 m 1 m 1
  12. m 8 7 6 Giải: 0 m 1 m 2m 1 0 0 1 2 m 5 m 8 6 6 m 8 7 1.( 1) (2 m).( 1) 0 m 1 2m 1 m 1 m 2 m 0 m .(m 1) 0 m 1 m 1 27. Tìm m để ∆<0: Giải: m 8 7 6 m 1 7 1 m 1 1 m 1 m 2m 1 c1 c2 1 m m 1 (m 1)( 1)2 3 1 m 1 m 1 m 1 m 1 0 m 1 0 (m 1)(m2 2m 2) 0 m 1 0 m 1; 1 2 3 4 2 5 4 7 2 5 4 7 1 2 3 4 28: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 4 2 4 8 12 17 4 8 12 17 3 6 8 4 Giải Ta có các định thức: 1 2 3 4 2 5 4 7 2 5 4 7 1 2 3 4 ; 2 Rõ ràng : định thức 2 và 1 chỉ đổi chỗ 1 3 6 8 4 4 8 12 17 4 8 12 17 3 6 8 4 các hang cho nhau : h1 h2;h3 h4; vậyvậy dápdáp ánán đúngđúng làlàlà 1 2 1 2 3 4 2 4 6 16 2 5 4 7 2 5 4 14 29: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 4 2 3 6 8 8 4 8 12 17 4 8 12 34 Giải: Ta có: 1 2 3 4 2 4 6 16 1 2 3 8 1 2 3 4 2 5 4 7 2 5 4 14 2 5 4 14 2 5 4 7 ; 2 2.2 1 3 6 8 4 2 3 6 8 8 3 6 8 8 3 6 8 4 4 8 12 17 4 8 12 34 4 8 12 34 4 8 12 17
  13. Vậy: 2 4 1 1 2 3 4 2 4 6 8 a b c d 2a 2b 2c 2d 30: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 4 2 6 12 16 8 4 8 12 17 4 8 12 17 Giải:Ta có các định thức: 1 2 3 4 2 4 6 8 a b c d 2a 2b 2c 2d 1 ; 2 . 3 6 8 4 6 12 16 8 4 8 12 17 4 8 12 17 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 a b c d a b c d Do ∆2 =8. =8∆1. 2 3 6 8 4 3 6 8 4 4 8 12 17 4 8 12 17 Vậy đáp án đúng là ∆2=8∆1; 1 2 3 4 2 4 6 8 a b c d 2a 2b 2c 2d 31: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 4 2 6 12 16 8 4 8 12 17 8 16 24 34 1 2 3 4 2 4 6 8 a b c d 2a 2b 2c 2d 1= 2= 2=(2.2.2.2) 3 6 8 4 6 12 16 8 4 8 12 17 8 16 24 34 1 2 3 4 a b c d =16 1 3 6 8 4 4 8 12 17 1 2 3 4 2 4 6 8 2 5 4 7 2 5 4 14 32: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 4 2 3 6 8 8 4 8 12 17 4 8 12 34
  14. 1 2 3 4 2 4 6 8 2 5 4 7 2 5 4 14 Ta có các định thức : 1 ; 2 . 3 6 8 4 3 6 8 8 4 8 12 17 4 8 12 34 1 2 3 2 2 5 4 7 ta thấy ∆2=4 4∆1.Do vậy trong các đáp án đã cho không 3 6 8 4 4 8 12 17 có đáp án nào đúng. 1 2 3 x 1 2 3 6 2x 2 5 4 y 2 5 4 8 2y 33: Cho hai định thức: ; 1 3 6 8 z 2 3 6 8 16 2z 4 8 12 t 4 8 12 24 2t Khẳng định nào sau đây đúng? a) 1 2 b) 2 2 1 c) 2 2 1 d) 2 4 1 Ta có 1 2 3 2(3 x) 2 5 4 2(4 y) 2 3 6 8 2(8 z) 4 8 12 2(12 t) 1 2 3 3 1 2 3 x 1 2 3 x 2 5 4 4 2 5 4 y 2 5 4 y 2. 2. 2.0 2. 3 6 8 8 3 6 8 z 3 6 8 z 4 8 12 12 4 8 12 t 4 8 12 t 2 1 Vậy c) 2 2 1 là đáp án đúng 1 1 2 0 2 3 4 1 34: Tính định thức: 1 1 7 0 2 2 2 1
  15. 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 2 3 4 1 0 1 2 0 d2 d4 ( 1)4 4 0 1 2 d3 d1 0 1 2 1 1 7 0 1 1 7 0 1 1 7 0 0 5 . 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ( 1)1 1 5 0 5 vậy ∆=5 4 1 0 0 2 3 0 0 35: Tính định thức 0 0 7 1 0 0 2 1 4 1 0 4 1 0 Giải: ( 1)3 4 2 3 0 ( 1)4 4 2 3 0 50 0 0 2 0 0 7 0 2 1 2 0 1 3 4 36: Tính định thức: 2 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 1 3 4 0 1 3 4 5 Giải: 1.( 1) 1 3 4 4 6 2 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4 37 Tính định thức: 1 1 1 2 2 1 3 5 0 0 1 2 0 1 2 0 0 3 4 1 2 Ta có 1.( 1)3 1 0 3 4 ( 1).( 1)3 1 2 1 1 1 2 3 4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 3 2 38 Tính định thức: 1 1 2 4 2 4 4 8
  16. Ta có 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 0 2 1 2 1.( 1)1 1 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 2 2 4 0 3 2 0 2 2 4 1 2 ( 2).( 1)1 1 8 3 2 2 1 1 2 2 0 1 2 39: Tính định thức: 1 1 4 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 1 2 Giải: 1.( 1)1 2 1 3 2 ( 1).( 1)3 1 4 1 1 4 4 1 0 3 2 3 2 1 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 40. Tính định thức: 2 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 4 1 2 c3 2c2 1 1 6 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1)5 2 d3 2d 2 1 6 1 2 1 4 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 1 0 9 3 9 3 ( 1)4 2 1 4 1 d1 2d 2 1 4 1 ( 1)1 2 24. d 3 d1 5 1 1 1 2 0 5 1 4 0 1 2 8 0 3 4 41: Tính định thức: 6 1 1 2 14 1 3 5
  17. 4 0 1 2 4 1 2 4 1 2 8 0 3 4 Giải: Ta có ( 1)5 8 3 4 ( 1)6 8 3 4 8 4 4 6 1 1 2 14 3 5 6 1 2 14 1 3 5 42. Tính định thức: 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ∆= a b c a b b c a b b c c 0 b c c a a b b a c a a b b a c b a b x 2 2 43: Tính định thức: 2 x 2 2 2 x x 2 2 x 4 x 4 x 4 1 1 1 Giải: 2 x 2 2 x 2 (x 4) 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x 1 1 1 (x 4) 0 x 2 0 (x 4)(x 2)2 0 0 x 2 x 1 1 1 1 x 1 1 44: Tính định thức: 1 1 x 1 1 1 1 x x 1 1 1 x 3 x 3 x 3 x 3 1 1 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 0 x 1 0 0 x 3. 1 1 x 1 1 1 x 1 0 0 x 1 0 1 1 1 x 1 1 1 x 0 0 0 x 1 (x 3).(x 1)3 x 1 x 1 1 2 x 2 1 1 45: Tính định thức 1 0 x 1 x 0 1 x Giải: 2 1 1 x 1 1 1 ( 1)1 2 x 1 x 1 ( 1) 2 2 x 2 1 x 1 x 5 2x 3 x x 1 x x 1 x
  18. 1 x 1 1 1 x2 1 1 46: Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình. 0 0 1 1 1 0 2 0 2 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x2 1 1 1 x2 1 1 Giải: 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0 2 0 0 2 0 1 x 1 7 2 2 x 0 ( 2).( 1) . 1 x 1 0 2(x x) 0 x 1 0 1 1 x 0 Vậy x 1 47. Tìm số nghiệm r của phương trình ∆: 1 2x 1 1 1 2x 0 1 1 2x 1 1 x 1 1 1 x 0 1 0 0 2( 1)4 3 1 x 1 0; 3 1 1 1 3 1 0 1 3 1 1 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2x 1 2x 1 2 0 x 1 0 8( 1)3 1 0; x 1 4 1 1 8( 2x x) 0; x 0; r 1; 48. Tìm số nghiệm phân biệt r 1 2x 1 1 2 0 x 2x 0 0 2 x 0 =2x.(x -2x)=0 pt có số nghiệm phân biệt r =2 0 0 x 1 x 1 0 0 0 2
  19. 1 x 1 1 1 x 1 1 49: Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình: =0 0 1 1 1 0 2 0 2 1 x 1 1 1 x 1 1 0 2 2 1 x 1 1 0 0 2 2 Giải: 0 0 1.( 1)1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1.( 1)2 1 2.( 1)3 1. 0 4 0 phương trình vô nghiệm 0 2 1 1 50. Giải pt x x 1 1 1 x2 1 1 =0 (do có hai cột tỉ lệ) vậy0 pt0 có nghiệm x 1 1 1 1 1 0 1 1 51. Giải phương trình: x x 1 x x x 1 x x 1 1 1 x 1 1 1 c3 c1 (x x2 )(3 x) 0 x 0;1;3; x x 2 1 c4 c1 0 0 1 1 x x x 1 3 0 0 0 3 x Vậy nghiệm của phương trình là:x=0;1;3; 52. Giải phương trình: x x 1 0 x x 1 0 1 2 1 1 0 1 1 1 c1 c4 x(x 4) x 0;4. 2 2 1 2 c2 c4 0 0 1 2 x x 2 x 0 0 2 x vậy nghiệm của phương trình là x=0;x=4 x 1 0 0 1 x 0 0 53: Giải phương trình 0 1 1 x 2 1 1 2 x
  20. x 1 0 0 x 1 0 x 1 0 1 x 0 0 Giải: ( 1)4 3 .2 1 x 0 ( 1)4 4 .x 1 x 0 1 1 x 2 1 1 2 1 1 x 1 1 2 x 2(2x2 2) x(x3 x) x4 5x2 4 x 2, x 1 x 1 2 2 1 x 1 4 54. Tìm nghiệm của phương trình: 0 0 0 x 2 0 0 2 x x 1 2 2 1 x 1 4 (x2 1)(x2 4) VN 0 0 x 2 0 0 2 x 1 2 3 4 5 2 4 6 8 11 55: Tính hạng r(A) của ma trận A 3 6 9 12 14 4 8 12 16 20 Giải: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A 2 4 6 8 11 0 0 0 0 1 r 2 0 0 0 0 1 3 6 9 12 14 0 0 0 0 1 æ1 3 5 7 9 ö ç ÷ ç ÷ ç2 4 6 9 10÷ 56: Tính hạng r(A) của ma trận A = ç ÷ ç3 5 7 9 11÷ ç ÷ ç ÷ èç4 6 8 10 12ø÷ 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 2 4 6 9 10 0 2 4 5 8 Giải: A 3 5 7 9 11 0 4 8 11 16 4 6 8 10 12 0 6 12 18 24 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 0 2 4 5 8 0 2 4 5 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0
  21. Vậy A có hạng r=3 57: Tính hạng r(A) của ma trận æ1 2 3 4 5 ö ç ÷ ç ÷ ç5 10 15 20 35÷ A = ç ÷ ç3 7 9 12 14÷ ç ÷ ç ÷ èç4 8 13 16 20ø÷ æ ö é ù é ù ç1 2 3 4 5 ÷ ç ÷ ê1 2 3 4 5 ú ê1 2 3 4 5 ú ç5 10 15 20 35÷ ê ú ê ú ç ÷ ê0 0 0 0 15ú ê0 0 0 0 15ú A = ç ÷® ê ú® ê ú® r = 4 ç3 7 9 12 14÷ ê ú ê ú ç ÷ ê0 1 0 0 - 1ú ê0 15 0 0 0 ú ç4 8 13 16 20÷ èç ø ëê0 0 1 0 0 ûú ëê0 0 1 0 0 ûú 58: Tính hạng r(A) của ma trận æ1 1 - 1 1 3 ö ç ÷ ç ÷ ç- 1 - 2 1 - 1 - 3÷ A = ç ÷ ç 2 0 1 2 3 ÷ ç ÷ ç ÷ èç 4 0 2 4 7 ø÷ æ ö é ù ç 1 1 - 1 1 3 ÷ ç ÷ ê1 1 - 1 1 3 ú ç- 1 - 2 1 - 1 - 3÷ ê ú ç ÷ ê0 - 1 0 0 0 ú A = ç ÷® ê ú ç 2 0 1 2 3 ÷ ê ú ç ÷ ê0 - 2 3 0 - 3ú ç 4 0 2 4 7 ÷ èç ø ëê0 - 4 6 0 - 5ûú é ù é ù ê1 1 - 1 1 3 ú ê1 1 - 1 1 3 ú ê ú ê ú ê0 - 1 0 0 0 ú ê0 - 1 0 0 0 ú ® ê ú® ê ú® r = 4 ê ú ê ú ê0 0 3 0 - 3ú ê0 0 3 0 - 3ú ëê0 0 6 0 - 5ûú ëê0 0 0 0 1 ûú 1 3 2 5 2 1 3 2 59. Tính hạng r(A) của ma trận: A 3 5 4 1 1 17 4 21 Giải:
  22. 1 3 2 5 1 3 2 5 1 3 2 5 2 1 3 2 0 7 1 8 0 7 1 8 A = 3 5 4 1 0 14 2 16 0 14 2 16 1 17 4 21 0 14 2 16 1 3 2 5 1 3 2 5 0 7 1 8 0 7 1 8 r(A)=2 0 0 0 0 60. Tìm hạng của ma trận: 1 3 4 8 1 3 4 8 2 1 1 2 h2 2h1 0 7 7 14 1 3 4 8 h3 3h1 3 2 5 10 h4 3h1 0 7 7 14 0 7 7 14 h5 h1 3 5 2 4 0 14 14 28 0 0 0 0 1 17 18 36 0 14 14 28 =>hạng của ma trận bằng 2 æ1 2 3 4ö ç ÷ ç ÷ ç2 4 9 6÷ 61: Tính hạng r(A) của ma trận A = ç ÷ ç1 2 5 3÷ ç ÷ ç ÷ èç1 2 6 3ø÷ Giải: Ta có 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 9 6 0 0 3 0 0 0 3 0 1 2 5 3 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 6 3 0 0 3 1 0 0 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 r 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 æ1 1 2 4 3 ö ç ÷ ç ÷ ç2 1 4 8 5 ÷ 62. Tìm hạng của ma trận: A = ç ÷ ç4 2 8 16 10÷ ç ÷ ç ÷ èç5 2 10 20 12ø÷
  23. 1 1 2 4 3 1 1 2 4 3 2 1 4 8 5 0 1 0 0 1 1 1 2 4 3 A= 4 2 8 16 10 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 5 2 10 20 12 0 3 0 0 3 =>hạng của ma trận bằng 2 2 3 3 1 5 4 4 6 2 10 63: Tính hạng r(A) của ma trận 8 6 12 4 20 10 8 15 5 26 Giải: 2 3 3 1 5 2 3 3 1 5 4 4 6 2 10 2h h 0 1 0 0 0 1 2  4h h 8 6 12 4 20 1 3 0 6 0 0 0 5h h 1 4 10 8 15 5 26 0 7 0 0 1 2 3 3 1 5 2 3 3 1 5 do:h 6h 3 2  0 1 0 0 0 0 0 0 1 7 r(A) 3 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 64. Tìm hạng của ma trận: 4 1 3 4 5 4 1 3 4 5 1 3 2 1 4 1 5 2 1 4 1 5 2 1 4 0 2 0 0 0 5 4 1 5 9 1 3 2 1 4 2 5 7 2 3 2 5 7 2 3 2 5 7 2 3 4 1 3 4 5 1 3 2 1 4 1 3 2 1 4 1 3 2 1 4 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 5 7 2 3 2 5 7 2 3 0 11 11 0 11 2 6 4 2 8 0 0 0 0 0 1 3 2 1 4 0 2 0 0 0 0 0 1 0 1 vậy hạng của ma trận :r(A)=3
  24. 2 1 1 2 1 3 1 0 2 1 65: Tính hạng r(A) của ma trận A= 7 1 2 2 1 13 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 3 0 0 1 5 1 1 1 2 Giải: A r 2 1 1 2 7 0 0 1 5 0 0 1 5 1 1 2 13 0 0 3 15 æ2 - 1 1 - 2 1 ö ç ÷ ç ÷ ç3 1 0 2 - 1÷ 66:: Tính hạng r(A) của ma trận A = ç ÷ ç9 - 2 3 - 4 2 ÷ ç ÷ ç ÷ èç15 0 3 0 2 ø÷ 2 1 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 1 2 1 1 2 1 Giải: A 9 2 3 4 2 9 2 3 4 2 15 0 3 0 2 15 0 3 0 2 3 1 0 2 1 3 1 0 2 1 0 5 3 10 5 0 5 3 10 5 0 5 3 10 5 0 0 5 0 2 0 5 2 10 7 Vậy A có hạng r=3 1 2 1 1 2 2 4 1 0 2 67 tính hạng của ma trận A= 4 8 1 2 2 7 15 9 8 18 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 4 1 0 2 3 6 0 1 0 A 2 3 0 1 0 4 8 1 2 2 3 6 0 1 0 3 6 0 1 0 7 15 9 8 18 2 3 0 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 0 1 0 0 1 0 2 3 r 3 1 3 0 0 0 0 0 0 1 3
  25. 1 1 1 2 2 2 1 0 4 2 68 tính hạng của ma trận A= 4 1 2 8 2 7 9 8 14 18 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 0 4 2 3 0 1 6 0 A 3 0 1 6 0 4 1 2 8 2 3 0 1 6 0 2 0 1 4 0 7 9 8 14 18 2 0 1 4 0 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 3 0 1 6 0 0 0 1 3 6 r 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 2 3 1 1 2 1 3 1 0 2 1 69: Tính hạng r(A) của ma trận A 9 1 2 2 1 15 1 2 2 1 Giải: 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 0 2 1 0 2 1 4 2 0 2 1 4 2 A 9 1 2 2 1 0 2 1 4 2 0 6 3 12 6 15 1 2 2 1 0 6 3 12 6 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 0 2 1 4 2 0 2 1 4 2 = r(A)=2 0 0 0 0 0 1 m 1 2 2 3m 1 2 m 4 70 Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 3 A 4 5m 1 m 4 2m 7 2 2m 2 4 1 m 1 2 1 m 1 2 1 m 1 2 2 3m 1 2 m 4 0 m 1 0 m A 0 m 1 0 m 4 5m 1 m 4 2m 7 0 m 1 m 2m 1 0 0 m m 1 2 2m 2 4 0 0 0 0 r 3m
  26. 71: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 3 Giải: Ta có 1 m 1 2 2 3m 1 2 m 4 A 4 5m 1 m 4 2m 7 2 2m 2 m 4 1 m 1 2 1 m 1 2 1 m 1 2 2 3m 1 2 m 4 0 m 1 0 m 0 m 1 0 m 4 5m 1 m 4 2m 7 0 m 1 m 2m 3 0 0 m m 3 2 2m 2 m 4 0 0 0 m 0 0 0 m r 3 m 0 3 m 0 1 6 2m m 2 72 Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 2 A 9 3m 0 m 2 15 5m 1 0 7 3 m 0 1 3 m 0 1 3 m 0 1 6 2m m 2 0 0 m 0 0 1 0 2 A 9 3m 0 m 2 0 0 0 m 1 0 0 m 0 15 5m 1 0 7 0 1 0 2 0 0 0 m 1 Với m 0 m 1 r=4 3 0 0 1 0 1 0 2 Với m=0 A= r=3 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 1 0 2 Với m=1 A= r=3 0 0 1 0 0 0 0 0 Vậy không có giá trị m nào thỏa điều kiện đề bài 3 m 0 1 6 2m m 2 73: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 2. 9 3m 0 m 2 15 5m 0 7
  27. 3 m 0 1 3 m 0 1 3 m 0 1 6 2m m 2 2h h 0 0 m 0 1 2 Giải: A  3h h 0 0 m 0 9 3m 0 m 2 1 3 0 0 0 m 1 5h h 1 4 0 0 0 2 15 5m 0 7 0 0 0 2 với m 0 : r(A) 3 m 0 : r(A) 2 Vậy để ma trận có hạng bằng 2 thì m=0 74. Tìm m để ma trận có hạng bằng 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 5 4 5 0 1 0 1 A 0 1 0 1 0 1 0 1 3 8 6 m 9 0 1 0 m 0 1 0 m 0 0 0 m 1 2 5 4 m 6 0 1 0 m m 1 r 3 m 1 r 2 1 1 3 3 3 2 8 8 75: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 2 : A= 3 2 8 m 9 2 1 5 m 6 Giải: 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 0 1 1 1 A 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 m 0 1 1 m 0 0 0 m 1 0 1 1 m Để A có hạng bằng 2 thì m 1 0 m 1 1 1 3 4 8 4 16 2m 5 76: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 2: A 3 2 7 m 5 2 9 m 1 1 3 4 1 1 3 4 8 4 16 2m 5 0 4 8 2m 27 Giải: A 3 2 7 m 0 1 2 m 12 5 2 9 m 0 3 6 m 20
  28. 1 1 3 4 0 4 8 2m 27 0 0 0 2m 21 0 0 0 2m 1 21 m 2m 21 0 2 Để A có hàng bằng 2 điều kiện cần và đủ là (VN) 2m 1 0 1 m 2 Vậy không có giá trị của m để A có hạng bằng 2 77. Tìm m để ma trận có hạng bằng 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 2 3 A 0 1 2 3 3 5 7 9 0 1 2 3 0 3 6 m 20 5 7 9 m 0 3 6 m 20 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 m 11 m 11 r 2 m 11 r 3 78. Tìm m để ma trận có hạng bằng 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 5 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 A 1 3 4 m 4 0 1 2 m 3 0 0 1 m 4 10 9 m 10 0 2 5 m 6 0 0 0 m m 0 r 3 m 0 r 4 vậy không tồn tại m để r = 2 1 2 3 4 79: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 3 A 2 3 4 5 3 5 7 m 5 7 9 m Giải:
  29. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 A 2 3 4 5 0 1 2 m 12 0 0 0 m 9 3 5 7 m 0 3 6 m 20 0 0 0 m 11 5 7 9 m 1 -2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 m=9,m=11 A r(A)=2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 3 4 0 1 2 3 m ≠ 9, m ≠ 11 A r(A)=3 0 0 0 m 9 vậy: m ≠ 9, m ≠ 11 thì r(A)=3 1 2 3 4 5 8 11 m 15 81: Tìm m để ma trận sau đây có hạng bằng 2: A 2 3 4 5 3 5 7 10 m 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 8 11 m 15 0 2 4 m 5 0 1 2 3 Giải: 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0 0 m 1 3 5 7 10 m 0 1 2 m 2 0 0 0 m 1 r 2 m 1 0 m 1 1 2 3 4 2 3 4 5 82 Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 2 A 3 5 7 m 5 7 9 11 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 2 3 A 0 1 2 3 0 1 2 3 3 5 7 m 0 1 2 m 12 0 1 2 m 12 0 0 0 m 9 5 7 9 11 0 3 6 9 Để ma trận có hạng bằng 2 thì m-9=0 m=9 1 2 1 1 0 83 Tính ma trận tổng 3 0 2 1 1 Không tồn tại ma trận tổng A
  30. 1 1 3 84 Cho ma trận A= tính ma trận tích B= A 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 3 Ta có A A.A A A .A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 Vậy B= 0 1 0 1 4 1 85: Cho hai ma trận A= . Và B = 0 2 .Khẳng định nào sau đây là đúng? 0 1 0 3 a) AB=BA b) AB xác đinh nhưng BA không xác định 0 0 c) BA= 0 0 0 0 0 0 d) AB= 0 0 Giải: 0 0 BA= 0 0 0 0 AB không xác định vì không thoả điều kiện số cột của A bằng số hàng của B Vậy đáp án đúng là câu c) æ1 1ö æ1 0 1ö ç ÷ 86: Cho hai ma trận A = ç ÷ và B = ç2 1÷ . ç ÷ ç ÷ èç0 1 2ø÷ ç ÷ èç0 0ø÷ 1 1 3 1 1 Giải: A.B= B.A= 2 1 4 Ta thấy A.B và B.A đều xảy ra 2 1 0 0 0 Vậy D là đáp án đúng . 1 1 1 1 1 87 Cho hai ma trận A= và B= 2 0 2 0 1 Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 1 1 1 1 Ta có BA = không xác định 2 0 1 2 0
  31. 1 1 1 1 1 3 1 2 Và AB = = 2 0 2 0 1 2 2 2 Vậy b) AB xác định nhưng BA không xác định là đáp án đúng 0 1 1 1 88 Cho hai ma trận A= và B = Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 0 2 3 0 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 Ta có AB = = và BA = = 1 0 2 3 2 0 2 3 1 0 3 2 Vậy các khẳng định trên đều sai 1 0 A 2 0 89: Cho 2 ma trận A và B 0 0  1 2 Giải: 0 1 2 4 A. ,A 0 2 0 0 Vậy tích AB và BA đều xác định 1 1 0 1 2 3 90 Cho hai ma trận A= và B = 2 2 0 2 0 1 3 2 0 Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 0 1 2 3 14 7 0 Ta có AB = 2 2 0 = 2 0 1 1 0 1 3 2 0 14 7 0 Và BA không xác định. Vậy AB = là đáp án đúng 1 0 1 3 3 0 2 4 6 91 Cho hai ma trận A và B = 6 0 0 4 0 2 9 6 0 Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 3 0 2 4 6 84 42 0 14 7 0 T a có AB = 6 0 0 = 6 4 0 2 6 0 0 1 0 0 9 6 0
  32. 14 7 0 Và BA không xác định. Vậy AB = 6 là đáp án đúng 1 0 0 92 Với A 1 0, hãy tìm công thức tính ma trận X của phương trình XA= B. B a) X = b) X =A 1 B c) X = BA 1 d) X không xác định A Đáp án đúng là câu c) X = BA 1 1 2 3 2 2 2 93: Cho ma trận A 1 1 1 ; 1 1 1 tìm tích B.A 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2 4 6 Giải: A 1 1 1 . 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 94 Cho ma trận A = 1 1 1 ; 1 1 1 Tìm tích BA. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 Ta có BA = 1 1 1 1 1 1 = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 Vậy BA = 1 0 1 là đáp án đúng 1 2 3 95: Ma trận nào sau đây khả nghịch ? 1 1 2 a) A 2 2 4 1 2 0 1 2 0 b) B 3 0 0 1 0 2 1 1 2 c) C 2 0 2 3 0 3
  33. 2 1 2 d) D 4 3 1 2 4 1 Giải: A=0, B=12,C=0,D=0 Vậy đáp án đúng là đáp án B 96: Ma trận nào sau đây khả nghịch 0 3 6 Giải: A= 1 4 4 =3.4.3+6.1.6-3.4.6=0 Vậy C có ma trận nghịch đảo 3 6 0 C là đáp án đúng æm + 1 1 3ö ç ÷ ç ÷ 97: Cho ma trận A = ç 2 m + 2 0÷ . Tìm m để A khả nghịch ç ÷ èç 2m 1 3ø÷ æm + 1 1 3ö æm + 1 1 3ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç 2 m + 2 0÷= ç 2 m + 2 0÷= - 3(m- 1)(m + 2) ç ÷ ç ÷ èç 2m 1 3ø÷ èçm- 1 0 0÷ø Để A khả nghịch thì A 0 -3(m-1)(m+2) 0 m 1 m -2 æm + 1 m + 2 0 ö ç ÷ ç ÷ 98: Cho ma trận A = ç 2 m + 2 0 ÷ . Tìm m để A khả nghịch . ç ÷ èçm - 4 3 m + 2ø÷ æm + 1 m + 2 0 ö ç ÷ ç ÷ 2 A = ç 2 m + 2 0 ÷= (m + 2) (m- 1) ç ÷ èçm- 4 3 m + 2ø÷ Để A khả nghịch thì A 0 (m + 2)2(m- 1) 0 m 1 m -2 0 1 3 4 99: Tính ma trận nghịch đảo của 2 ma trận . 1 0 2 1 Giải: 4 1 0 1 3 4 2 1 1 1 4 1 11 11 Đặt: A= . 11 A . 1 0 2 1 3 4 A 3 2 3 2 11 11 1 1 4 2 100: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận 0 1 1 4 1 1 4 2 æ3 - 2ö ç ÷ A= =ç ÷ 0 1 1 4 èç1 4 ø÷ detA=14
  34. - - æ ö æ ö ç 4 2÷ - 1 A ç 2/ 7 1/ 7 ÷ A = ç ÷ A = = ç ÷ èç- 1 3ø÷ det A èç- 1/ 14 3/ 14ø÷ 10 6 1 1 101: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A -3 14 7 4 2 13 3 10 6 3 3 7 3 1 85 85 Giải:A A 14 7 12 6 1 13 2 7 85 85 102. Tính ma trận nghịch đảo của ma trận: 1 1 4 3 7 1 1 1 2 1 A A 0 1 3 2 3 2 17 3 7 1 1 4 3 103: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận . 0 1 3 2 1 1 4 3 1 1 Giải: . 0 1 3 2 3 2 1 1 Đặt: A 1 3 2 2 1 1 1 2 1 A A A 3 1 det A 3 1 æ3 1 m ö ç ÷ ç ÷ 104: Cho ma trận A = ç2 3 1 ÷ .Tìm m để A khả nghịch ç ÷ èç7 7 2m + 3ø÷ æ3 1 m ö æ 3 1 m ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç2 3 1 ÷= ç- 7 0 1- 3m÷=7m+7 ç ÷ ç ÷ èç7 7 2m + 3ø÷ èç- 14 0 3- 5m÷ø Để A khả nghịch thì A 0 7m+7 ¹ 0 m¹ -1 2 2 0 105: Cho ma trận A= m 1 m 1 . Tìm m để A khả nghịch 1 3 m 1 Giải: 2m 2 2 A khả nghịch 2m 2 2 0 m 1
  35. æ 3 - 1 - 3 ö ç ÷ ç ÷ 106: Cho ma trận A = ç m 1 m + 7 ÷ .Tìm m để A khả nghịch . ç ÷ èçm + 3 0 2m + 7ø÷ 3 1 3 Giải: A m 1 m 7 3.(2m+7) - (m+7).(m+3) + 3.(m+3) + m.(2m+7) m 3 0 2m 7 (m 3)2 A khả nghịch detA 0 m -3 æ 3 - 2 - 3 ö ç ÷ ç ÷ 107: Cho ma trận A = ç m 1 m - 1÷ .Tìm m để A khả nghịch ç ÷ èçm + 6 - 3 m - 7ø÷ æ 3 - 2 - 3 ö æ3 - 2 - 3 ö æ3 - 2 - 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç m 1 m- 1÷® çm 1 m- 1÷® çm 1 m- 1÷® det A = 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ èçm + 6 - 3 m- 7ø÷ èç6 - 4 - 6 ø÷ èç0 0 0 ø÷ Vậy không có giá trị nào của m æ1 - 2 - 3 ö ç ÷ ç ÷ 108: Cho ma trận A = çm - 1 m - 4÷ .Tìm m để A khả nghịch ç ÷ èç1 - 3 - 5 ø÷ æ1 - 2 - 3 ö æ1 - 2 - 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = çm - 1 m- 4÷® çm - 1 m- 4÷® 2+ 3m + m- 4- 4m = - 2< 0 ç ÷ ç ÷ èç1 - 3 - 5 ø÷ èç0 - 1 - 2 ÷ø 1 0 1 0 2 109: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A . 1 1 0 1 0 0 1 Giải: 1 2 1 1 1 2 1 2 Có : A 1 A 1 1 A 1 1 1 1 æ10 1ö 110: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A = ç ÷ èç20 3ø÷ æ ö æ ö æ ö ç 3 - 1÷ ç10 1÷ - 1 1 ç 3 - 1÷ ç ÷ A = ç ÷® det A = 10® A = ç ÷= ç10 10 ÷ èç20 3ø÷ 10èç- 20 10ø÷ ç ÷ èç- 2 1 ø÷
  36. æm - 1 2 m ö ç ÷ ç ÷ 111: Cho ma trận A = ç 0 m + 1 3 ÷ . Tìm m để A khả nghịch ç ÷ èç 0 0 m - 1ø÷ m 1 2 m 2 Giải: Ta có DetA 0 m 1 3 (m 1) (m 1) 0 0 m 1 A khả nghịch det A 0 m 1 æ ö æ ö ç 2 1÷ ç 1 1÷ 112: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A = ç ÷- ç ÷ èç- 1 2ø÷ èç- 3 1ø÷ æ ö æ ö æ ö ç 2 1÷ ç 1 1÷ ç1 0÷ A = ç ÷- ç ÷= ç ÷ èç- 1 2ø÷ èç- 3 1ø÷ èç2 1ø÷ detA=1 1 0 1 A 1 0 A A 2 1 det A 2 1 1 1 113: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A 1 2 1 1 Giải: A 1 1 2 2 1 1 1 2 1 A A A 1 1 det A 1 1 3 7 114: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A 2 5 1 1 5 7 5 7 Giải: DetA= -1 A 1 2 3 2 3 1 2 3 115: Cho ma trận A = 2 4 6 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 3 6 9 A. A có hạng bằng 2. B. A có định thức bằng 0. C. A khả nghịch. D. Các khẳng định trên đều đúng. Giải: A có 3 hàng tỉ lệ với nhau nên A= 0 . Vậy đáp án b) là đáp án đúng æ2 1 mö ç ÷ ç ÷ 116: Cho ma trận A = ç3 7 0÷ . Khẳng định nào sau đây đúng ? ç ÷ èç1 0 0ø÷
  37. 3 1 m Giải: A= 3 7 0 7m A khả nghịch khi và chỉ khi m 0 1 0 0 Đáp án đúng là A æ- 1 - 1 - 1ö ç ÷ ç ÷ 117: Cho ma trận A = ç 1 2 3 ÷ . Khẳng định nào sau đây đúng ? ç ÷ èç 0 1 2 ø÷ a) A có hạng bằng 3. b) A có hạng bằng 1. c) A Có định thức bằng 0. d) Các khẳng định trên đều sai æ- 1 - 1 - 1ö æ- 1 - 1 - 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç 1 2 3 ÷= ç 0 1 2 ÷ ç ÷ ç ÷ èç 0 1 2 ø÷ èç 0 1 2 ø÷ Ta có detA=0 và A có hạng bằng 2 Vậy câu c) đúng æ3 5 3ö ç ÷ ç ÷ 118: Cho ma trận A = ç2 4 6÷ . Khẳng định nào sau đây đúng ? ç ÷ èç9 15 9ø÷ a) A có hạng bằng 3. b) A có định thức khác 0 c) A không khả ngịch. . d) Các khẳng định trên đều sai. æ3 5 3ö æ3 5 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç2 4 6÷= ç0 2 12÷ ç ÷ ç ÷ èç9 15 9÷ø èç0 0 0 ø÷ Ta có detA = 0 và A có hạng bằng 2 Vậy câu c) đúng 2 3 2 6 119: Cho 2 ma trận A , Tìm ma trận X thoả XA=B 1 1 2 0 Giải:
  38. 1 3 2 3 1 5 5 A 5 A 1 1 1 2 5 5 1 3 8 6 1 1 1 2 6 5 5 5 5 A  .A.A .A  .A . 2 0 1 2 2 6 5 5 5 5 8 6 5 5 Vậy ma trận cần tìm là: X= 2 6 5 5 æ1 2 ö æ0 2ö 120: Cho hai ma trận A = ç ÷; B = ç ÷ . Tìm ma trận X thỏa AX = B. èç- 3 - 5ø÷ èç1 0ø÷ 1 Ta có AX=B X=A B 1 5 2 Với A 3 1 1 5 2 0 2 2 10 Vậy X= A B 3 1 1 0 1 6 2 10 Vậy X= 1 6 æ2 3 ö æ1 3ö 121: Cho hai ma trận A = ç ÷; B = ç ÷ . Tìm ma trận X thỏa XA=B. èç- 1 - 1ø÷ èç1 0ø÷ 1 1 3 1 3 2 3 Giải: XA=B X B.A . 1 0 1 3 1 3 æ ö æ ö ç1 - 2÷ ç4 - 8 ÷ 122: Cho hai ma trận A = ç ÷; B = ç ÷ . Tìm ma trận X thỏa AX=B. èç3 1 ø÷ èç5 - 10÷ø 1 Ta có AX=B X=A B 1 1/ 7 2 / 7 Với A 3 / 7 1/ 7 1 1/ 7 2 / 7 4 8 2 4 X= A B 3 / 7 1/ 7 5 10 1 2 2 4 Vậy X= 1 2
  39. 2 1 1 2 2 123: cho 2 ma trận A ; 1 2 1 2 2 Giải: Do A là ma trận không vuông không tồn tại A 1 không có ma trận X nào thoả AX=B æ1 - 1ö æ- 1 1 - 3ö 124: Cho hai ma trận A = ç ÷; B = ç ÷ . Tìm ma trận X thỏa XA=B. èç3 - 2ø÷ èç 0 1 - 7ø÷ 1 2 1 1 1 Giải: Ta có A X.A B X B.A Mà B.A  3 1 không tồn tại X 1 1 1 1 3 125: Cho 2 ma trận A= B= . Tìm ma trận X thoả AX=B. 3 2 0 1 7 Giải : -1 2 1 1 AX=B thì X=BA X= 3 2 2 æ1 - 1ö æ- 1 1 - 3ö 126 : Cho hai ma trận A = ç ÷; B = ç ÷ . Tìm ma trận X thỏa XA=B. èç3 - 2ø÷ èç 0 1 - 7ø÷ 1 Giải: Ta có X.A=B X = B. A 1 2 1 1 1 3 2 1 Mà A = X= Không tồn tại X 3 1 0 1 7 3 1
  40. 1.3. Bài tập làm thêm 1 2 n Câu 2.5 Cho A= Tính A 0 1 2 2 1 2 1 2 1 4 1 2 A . 0 1 0 1 0 1 0 1 3 3 1 4 1 2 1 8 1 2 A . 0 1 0 1 0 1 0 1 n n 1 2 Theo nguyên tắc quy nạp ta có A 0 1 1 2 0 T Câu 2.8 Cho A= Tính AA và A T .A 3 1 4 1 3 T Ta có A = 2 1 0 4
  41. 1 3 T 1 2 0 4 1 A.A = 2 1 ; 3 1 26 1 4 0 4 1 3 10 1 12 T 1 2 0 A .A= 2 1 1 5 4 3 0 4 1 4 12 4 16 Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính: 2.1. Lý thuyết 2.1.1.Định nghĩa: Một hệ gồm m phương trình tuyến tính đối với n ẩn số x 1,x2, ,xn dạng a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 (1) am1x1 am2 x2 amn xn bm Gọi là hệ phương trình tuyến tính  Phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính  Định lý Cramer  Hệ phương trình tuyến tính tổng quát  Định lý Kronecker – Capelli  Phương pháp Gauss 2.1.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
  42. a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 (2) am1x1 am2 x2 amn xn bm Hệ (2) luôn tương thích vì dễ dàng thấy x 1 =x2 = =xn =0 là một nghiệm của hệ mà ta gọi là nghiệm tầm thường (hoặc do rA rA ) Định lý. Hệ thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường rA < n Hệ quả 1. Hệ (2) với số phương trình bằng số ẩn số (m =n)n có nghiệm không tầm thường A = 0 Hệ quả 2. Nếu hệ (2) có số phương trình bé hơn số ẩn số (m<n) thì luôn luôn có nghiệm không tầm thường
  43. 2.2. Bài tập 127: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính x m 1 y 1 vô nghiệm. x my 0 m 1 m 1 1 m ta có A và 1 m 0 (m 1)(1 m) 1 m 0 1 m 0 A m 1 m 1 1 0 (m 1)(1 m) 1 Để hpt tuyến tính vô nghiệm rA rA (m 1)(1 m) 0 m 1 128: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm m 1 x m 1 y 0 x my 0 m 1 m 1 1 m ta có A = 2 và 1 m 0 1 m m 1 m 1 0 1 m 0 A 1 m 0 0 1 m2 0 Để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm 129: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất 2(m 1)x (m 10)y m mx (m 2)y 2m Giải: Xét: 2(m 1) m 10 A 2(m 1)(m 2) m(m 10) 2m2 6m 4 m2 10m m m 2 m2 4m 4 Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất ≠ 0 A ≠ 0 m2 4m 4 m ≠ 2 130 tìm m đẻ Hpttt sau có n0 duy nhất: xsin x y sin y m sin a cos a sin a óosa m ,A= ,A = x cos x y sin y 2m cos a sin a cos a sin a 2m sin a cos a Ta có: A = =-sin2a-cos2a =-1 0 rA=2 cos a sin a hpttt có n0 duy nhất rA=rA =2 mà rA =2 với m vậy hpt tt có n0 duy nhất với m R
  44. mx 2y 1; 131: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm. m 1 x 3y 1. m 2 1 m 2 1 1 1 0 1 1 0 Giải: Ta có để hệ m 1 3 1 1 1 0 2 m 1 0 m 2 1 phương trình có nghiệm điều kiện cần và đủ làm 2 0 m 2 . 132 Tìm m để hpt tt có n0 duy nhất : mx (m 2)y m 1 m m 2 m m 2 m 1 ,A= , )m 2)x y 0 m 2 1 m 2 1 0 m m 2 Để Hpt tt có n0 duy nhât rA=rA =n=2 A 0 -m- m 2 1 (m+2)2 0 m2+5m+4 0 m 8 vậy để hpt tt có n0 duy nhất thì m -8 và m -2 m 2 (m 1)x y m 2 133: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm x (m 1)y 0 m 1 1 m 2 1 m 1 0 A Giải: 2 1 m 1 0 0 m 2m m 2 m2 2m 0 Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì m 2 m 2 0 m 1 x m 1 y 1; 134: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm. x my 0. m 1 m 1 Giải: Ta có A 1 m Det A m2 2m 1 Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi DetA=0 (m2 1) 0 m 1 0x 0y 1 Với m=1 ta có hệ vô nghiệm x y 0 Vậy với m=1 thì hệ dã cho vô nghiệm. mx 2y 1 135: chọn đáp án đúng :hpt tt có n0 khi và chỉ khi : (m 1)x 3y 1
  45. A,m 2 ,b,m i c,m 0 d,m -1 m 2 m 2 1 Giải: A= , A m 1 3 m 1 3 1 2 1 Ta có: =2-3=-1 0 rA=2 3 2 m 2 Hpt tt có n0 khi và chỉ khi:rA=rA =2 0 m 1 3 3m-2(m+1) 0 m-2 0 m 2 Vậy chọn đáp án a mx y m; 136: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm. x my m. m 1 m 1 m m 1 m m Giải: Ta có ma trận tương đương 1 m m m m m 2 2 0 1 m m m Hệ có nghiệm duy nhất 1 m2 0 m 1 Ta có m=1 hpt vô định m=-1hpt vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m 1 137: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính 2 mx 6m 9 y 2m 3m 2; 3 x my m 1. có nghiệm duy nhất m 6m 9 m 6m 9 A Ta có 2 1 m 0 m 6m 9 m 6m 9 2m2 3m 2 m 6m 9 2m2 3m 2 và A 1 m m3 1 0 m2 6m 9 m4 2m2 2m 2 Để hpt tuyến tính có nghiệm duy nhất 2 2 rA rA n m 6m 9 0 (m 3) o m 3 Vậy m 3 thì hpt tuyến tính có nghiệm duy nhất 138: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính 2m 1 x 2 m y 3m; x my m. vô nghiệm 2m 1 2 m 2m 1 2 m A Ta có 2 1 m 0 2(m 1)
  46. 2m 1 2 m 3m 2m 1 2 m 3m Và A 2 1 m m 0 2(m 1) 2m(m 1) 2 m 1 0 Để hpt tuyến tính vô nghiệm r r m 1 A A 2 2m 2m 0 139: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính sau đây có nghiệm duy nhất: (m 1)x (6m 4)y 2m 4 2 x (m 1)y m 4 Giải: Xét: m 1 6m 4 A m2 4m 6 0m ¡ 1 m 1 A 0m ¡ Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi m mx y 2m2 m 1 140 : tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm. (m 2)x y m. m 1 m 1 Ta có A m 2 1 0 2m 2 m 1 m 1 2m2 m 1 và A m 2 1 m 0 2m 2 2m3 4m2 m 2 Để hpt tuyến tính có nghiệm rA rA 2m 2 0 m 2 4x y m 1; 141: Xét hệ phương trình tuyến tính 10x 3y 6m 3. 4 1 m 1 1 4 m 1 Giải: Ta có 10 3 6m 3 0 22 9m khẳng định đúng là hệ luôn có nghiệm với mọi m. 142: Cho hệ phương trình tuyến tính mx y 1; x my m. khẳng định nào sau đây là đúng? a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1. b) Hệ vô nghiêm khi m 1. c) Hệ có nghiêm khi và chỉ khi m 1. d) Hệ trên có nghiệm với mọi m ta có phương trình mở rộng m 1 1 m 1 1 0x (m2 1)y m2 1 2 2 1 m m 0 m 1 m 1 y 1 mx 0 x 0 ` d) Hệ trên có nghiệm với mọi m
  47. x y 1 143: cho hệ phương trình tuyến tính x my m 1 1 1 1 1 1 Giải: A hệ có nghiệm với m 1 m m 0 m 1 m 1 2 mx 8m 16 y 2m 3m 2; 144: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính 3 x my m 1. có duy nhất nghiệm. m 8m 16 Giải: Ta có. A 1 m DetA= m2 8m 16a (m 4)2 Dể hệ có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là DetA 0 (m 4)2 0 m 4 Vậy với m 4 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất 145: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính 2 mx 3y 2m 3m 2; 3 3x my m 1. có duy nhất nghiệm. để phương trình có nghiệm duy nhất thì m 3 det 0 m2 9 0 m 3 3 m 146: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính z x 1 2x 3y 2z 5 Giải: Có 2x 3y 5 2 y 1 2x 5y 2z 7 2x 5y 7 2 z x 1 Vậy y 1 z 147: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 3x y 2z 3; 2x y 2z 7. 3 1 2 3 3 1 2 3 Ta lập ma trận mở rộng A 2 1 2 7 0 5 10 15
  48. 3x y 2z 3 Hệ phương trình tương đương 5y 10z 15 Đặt z = 5y = 15 +10 y = 3 + 2 x = 2 x 2 Vậy nghiệm của hpt y 3 2 z 148: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính x 4y 5z 1 2x 7y 11z 2 3x 11y 6z 0 Ta lập ma trận mở rộng 1 4 5 1 1 4 5 1 1 4 5 1 A 2 7 11 2 0 1 2 0 0 1 2 0 3 11 6 0 0 1 2 3 0 0 0 3 Ta có 0x + 0y + 0z = -3 hpt vô nghiệm x y z 2 2x y 3z 1 149: Tìm nghiệm của hệ phương trình: 3x 2y 4z 3 Giải: Lập ma trận mở rộng: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A 2 1 3 1 0 1 1 3 0 1 1 3 3 2 4 3 0 1 1 3 0 0 0 0 hệ vô số nghiệm Đặt z=t là ẩn tự do, vậy nghiệm của hệ là: x 2t 1 y 3 t t ¡ z t x y 2z 3; 150: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính x 2y z 2. Ta lập ma trận mở rộng 1 1 2 3 1 1 2 3 x y 2z 3 A 1 2 1 2 0 1 3 5 y 3z 5 Đặt z = y = 5 -3 x = 8 -5
  49. x 8 5 Vậy nghiệm của hpt y 5 3 z x 2y z 1 151: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 2x 6y 3z 2 x 5y 3z 0 1 2 1 1 1 2 1 1 x 2y z 1 x 1 Giải: Ta có 2 6 3 1 0 1 0 1 y 1 y 1 1 5 3 2 0 0 1 2 z 2 z 2 152: Giải hệ phương trình tuyến tính x y z 3 2x 2y 2z 6 Ta lập ma trận mở rộng 5x 5y 5z 15 1 1 1 3 1 1 1 3 x y z 3 A 2 2 2 6 0 0 0 0 0x 0y 0z 0 5 5 5 15 0 0 0 0 0x 0y 0z 0 Đặt y= ; z= x=3+ +  x 3  Vậy nghiệm của hpt y z  3x 6y 2z 11 153: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 4x 9y 4z 17 x 3y z 5 3 6 2 11 1 3 1 5 x 1 Giải: A 4 9 4 17 0 3 1 4 y 1 1 3 1 5 0 3 0 3 z 1 2x 3y 3z 0 154: Giải hệ phương trình tuyến tính x 2y z 1 3x y 4z 1 2 3 3 0 1 2 1 1 Giải: Ta có 1 2 1 1 0 7 1 2 3 1 4 0
  50. x 3 9 x 2y z 1 Do đó hệ đã cho trở thành y 7y z 2 z 2 7 x 3y 4z 4 155: Giải hệ phương trình tuyến tính x 2y z 1 x 2y 3z 3 Giải: Hệ phương trình tuyến tính 1 3 4 4 1 3 4 4 1 3 4 4 x 1 1 2 1 1 0 5 5 5 0 1 1 1 y 1 1 2 3 3 0 1 1 1 z x 3y 2z 0 156: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 2x y 3z 0 z t z t x 3y 2z 0 t Giải: x 3y 2t y 2x y 3z 0 7 2x y 3t 11t x 7 Vậy x=11t/7, y=t/7, z=t, 157: Giải hệ phương trình tuyến tính x 2y 2z 0 2x 5y 5z 1 Ta lập ma trận mở rộng 3x 7y 7z 1. 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 x 2y 2z 0 A 2 5 5 1 0 1 1 1 0 1 1 1 y z 1 3 7 7 1 0 1 1 1 Đặt z= y=1+ x=-2 x 2 Vậy nghiệm của hpt y 1 z 158: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
  51. x y 2z 0 2x 2y 5z 1 Ta lập ma trận mở rộng 3x 2y 6z 2. 1 1 2 0 1 1 2 0 x y 2z 0 x 0 A 2 2 5 1 0 0 1 1 z 1 y 2 3 2 6 2 0 1 0 2 y 2 z 1 x 0 Vậy nghiệm của hpt y 2 z 1 5x 12y 12z 2 159: giải hệ phương trình tuyến tính: 2x 5y 5z 1 3x 7y 7z 1 Giải: Lập ma trận mở rộng: 5 12 12 2 2 5 5 1 A 2 5 5 1  do h h h 3 7 7 1 3 7 7 1 2 3 1 6 15 15 3 6 15 15 3 6 14 14 2 0 1 1 1 6x 15y 15z 3 hệ phương trình y z 1 x 2 Xem z = t t ¡ là ẩn tự do, ta có nghiệm của hệ: y t 1 z t x y 2z 1 160: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 2x 2y 5z 2 3x 2y 6z 2. Ta lập ma trận mở rộng 1 1 2 1 1 1 2 1 x y 2z 1 x 0 A 2 2 5 2 0 0 1 0 z 0 y 1 3 2 6 2 0 1 0 1 y 1 z 0 x y 2z 1 161: Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính 3x 2y z 0 4x 3y z 2.
  52. 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 Giải: Ta có 3 2 1 0 0 1 7 3 0 1 7 3 4 3 1 2 0 1 7 2 0 0 0 1 Hệ vô nghiệm x y z 0 162: Giải hệ phương trình tuyến tính 2x 3y z 1 3x 4y 3z 1. Ta lập ma trận mở rộng 1 1 1 0 1 1 1 0 x y z 0 x 1 A 2 3 1 1 0 1 1 1 y z 1 y 1 3 4 3 1 0 1 0 1 y 1 z 0 x 1 Vậy nghiệm của hpt y 1 z 0 x y 2z 0 163: Giải hệ phương trình tuyến tính x y 4z 2 2x 2y 5z 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Giải: A 2 1 4 3 0 1 2 1 0 1 2 1 3 1 8 6 0 2 5 0 0 0 1 2 x 5 y 5 z 2 x y z 3 164: Giải hệ phương trình tuyến tính 2x y 2z 0 5x y 5z 3 1 1 1 3 1 1 1 3 Giải: Ta có 2 1 2 0 0 6 0 6 5 1 5 3 x 1  x y z 3 Hê đã cho trở thành y 2 ( R) 3y 6 z  165: Giải hệ phương trình tuyến tính
  53. x 3y 4z 1 2x 5y z 2 5x 13y 6z 5 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 x 17 1 2 5 1 2 0 1 7 0 Giải: Ta có 0 1 7 0 y 7 5 13 6 5 0 2 14 0 z x 3y 4z 1 166: Giải hệ phương trình tuyến tính 2x 5y z 2 5x 13y 7z 5 Giải: Ta có ma trận tương đương 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 2 5 1 2 0 1 7 0 0 1 7 0 5 13 7 5 0 2 13 0 0 0 1 0 x 3y 4z 1 x 1 y 7z 0 y 0 z 0 z 0 Vậy x = 1, y = 0, z =0 x 3y 4z 1 167: Giải hệ phương trình tuyến tính 2x 6y 8z 2 5x 15y 21z 5. Ta lập ma trận mở rộng 1 3 4 1 1 3 4 1 x 3y 4z 1 x 1 3 A 2 6 8 2 0 0 0 0 y 5 15 21 5 0 0 1 0 z 0 z 0 x 1 3 Vậy nghiệm của hpt y z 0 x 3y 4z 1 168: Giải hệ phương trình tuyến tính 2x 6y 8z 2 5x 15y 20z 5. Ta lập ma trận mở rộng
  54. 1 3 4 1 1 3 4 1 x 3 4 A 2 6 8 2 0 0 0 0 x 3y 4z 0 y 5 15 20 5 0 0 0 0 z  x 3 4 Vậy nghiệm của hpt y z  x 3y 4z 1 169: Giải hệ phương trình tuyến tính: 2x 5y z 2 5x 13y 6z 5 Giải: Lập ma trận mở rộng: 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 A 2 5 1 2 0 1 7 0 0 1 7 0 5 13 6 5 0 2 14 10 0 0 0 10 x 3y 4z 1 hệ phương trình y 7z 0 hệ vô nghiệm 0 10 170: Giải hệ phương trình tuyến tính x y z 0 2x 4y 2z 4 2x 3y 2z 2. 1 1 1 0 1 1 1 0 Lập ma trận mở rộng : A 0 2 0 4 0 2 0 4 0 1 4 2 0 0 8 0 x y z 0 x 2 ta có hệ mới tương đương với hệ đã cho : 2y 4 y 2 8z 0 z 0 x y z 0 171: Giải hệ phương trình tuyến tính y 2 2x 3y 2z 2. 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Giải: Ta có 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 2 3 2 2 0 1 0 2
  55. x y z 2 x 2 y 2 y 2 z z 172: Giải hệ phương trình tuyến tính 3 4 3 2 3 4 3 2 3x 4y 3z 2 Lập ma trận mở rộng : 4 7 4 6 0 5 0 10 5y 10 2 3 2 2 0 1 0 2 Đặt z= ,y=2, 3x 8 3 2 x = -2 x 2 Vậy phương trình có nghiệm y 2 z x y z 2 173: giải hệ phương trình tuyến tính 2x y z 3 3x y 8z 6 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 x 5 Giải: A 2 1 4 3 0 1 2 1 0 1 2 1 y 5 3 1 8 6 0 2 5 0 0 0 1 2 z 2 x 3y 7z 7 174: Giải hệ phương trình tuyến tính x 2y 4z 3 y 4z 3. 1 3 7 7 1 3 7 7 Giải: Ta có 1 2 4 3 0 1 3 4 0 1 4 3 0 0 1 1 x 3y 7z 7 x 7 y 3z 4 y 7 z 1 z 1 x y z 2 175: Giải hệ phương trình tuyến tính y 3 1 y 4z 3 Giải: Ta có
  56. 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 x 5 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 y 5 0 1 4 3 0 1 4 3 0 0 1 2 z 2 2x 2y 4z m 176: Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm: 3x 5y z 3 4x 4y 8z 2 2 2 4 m 2 2 4 m Giải: Ta có mttđ 3 5 1 3 0 16 13 3m 6 4 4 8 2 0 0 0 2m 2 Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi 2m 2 0 m 1 Vậy m 1 177: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm 2x 2y z 3 2x 5y 2z 7 6x 6y 3z 2m 1. 2 2 1 3 2 2 1 3 Lập ma trận mở rộng A 2 5 2 7 0 3 1 4 6 6 3 2m 1 0 0 0 2m 8 Để hpt tuyến tính có nghiệm 2m-8=0 m=4 Vậy m=4 thì hpt tuyến tính có nghiệm x 2y 2z 0 178: Định m để hệ phương trình có nghiệm: 2x 4y 5z 1 3x 6y mz 1. Lập ma trận mở rộng 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 A 2 4 5 1 0 0 1 1 0 0 1 1 3 6 m 1 0 0 m 6 1 0 0 0 m 7 Để hpt tuyến tính có nghiệm m 7 0 m 7 Vậy hpt tuyến tính có nghiệm m 7 x y z 0 179: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x 2y mz 1 2x 3y 2z 1 Giải: Lập ma trận :
  57. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m 1 A 1 2 m 0 1 m 1 1.( 1) 1 0 2 3 2 0 1 0 ( m 1) m 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất A 0 m 1 180: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x 2y 2z 2 3x 7y z 5 2x 4y mz 7. 1 2 2 2 1 2 2 2 Lập ma trận mở rộng A 3 7 1 5 0 1 5 1 2 4 m 7 0 0 m 4 3 Để hpt có nghiệm duy nhất m 4 0 m 4 Vậy m 4 hpt có nghiệm duy nhất x 2y 2z 2 181: Định m để hệ phương trình có nghiệm: 2x 4y 5z 5 3x 6y mz 7. 1 2 2 2 1 2 2 2 Giải: Ta có 2 4 5 5 0 0 1 1 3 6 m 7 0 0 6 m 1 để hệ phương trình có nghiệm điều kiện cần và đủ là 6 m 1 m 7 182: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính 4x 3y z 7 2x 4y 2z m 7 vô nghiệm. x 2y z 4. Lập ma trận mở rộng 4 3 1 7 4 3 1 7 4 3 1 7 2 4 2 m 7 0 5 5 2m 7 0 5 5 2m 7 1 2 1 4 0 5 5 9 0 0 0 2m 2 Để phương trình tuyến tính vô nghiệm thì : 2m 2 0 m 1 3x y 2z 3 183: tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 2x y 2z m x 2y 4z 4
  58. 3 1 2 3 0 5 10 9 3h h 3 1 Giải: A 2 1 2 m  2h h 0 5 10 m 8 3 2 1 2 4 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1 2 4 4 h h h h 1 3 1 2  0 5 10 m 8  0 5 10 m 8 0 5 10 9 0 0 0 m 1 Để hệ có nghiệm thì: m 1 0 m 1 2x 3y z 1 184: Định m để hệ phương trình có nghiệm: 4x 7y 2z 2 8x 12y (m 6)z 5. 2 3 1 1 2 3 1 1 Giải: Ta có 4 7 2 2 0 1 4 0 8 12 m 6 5 0 0 m 10 1 Để hệ phươnh trình có nghiệm điều kiện cần và đủ là m+10 0 m -10 2x 3y z 1 185: Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm: 4x 7y 2z 2 8x 12y (m 6)z 4 Giải: Ta có 2 3 1 1 2 3 1 1 4 7 2 2 4 7 2 2 8 12 m 6 4 0 0 m 10 0 Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì m 10 0 m 10 2x 3y z 1 186: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: 4x (m 5)y (m 3)z m 1 8x (m 11)y (m 5)z m 4. 2 3 1 1 2 3 1` 1 Giải: Ta có MTTĐ 4 m 5 m 3 m 1 0 m 1 m 1 m 1 8 m 11 m 5 m 4 0 m 1 m 1 m 2 3 1` 1 0 m 1 m 1 m 1 Hệ phương trình Vô Nghiệm 0 0 0 1 không có giá trị của mđể hệ phương trình có nghiệm
  59. 187: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x 3y z 1 4x (m 5)y (m 3)z m 1 8x 12y (m 4)z m 4. Lập ma trận mở rộng : 2 3 1 1 2 3 1 1 2x 3y z 1 4 m 5 m 3 m 1 0 m 1 m 1 m 1 (m 1)y (m 1)z m 1 8 12 m 4 m 4 0 0 m m mz m 2x 3y z 1 x 1 y z 1 y 0 z 1 z 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm với mọi m 188: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x 3y z 1 4x (m 5)y (m 3)z m 2 8x 12y (m 4)z m 4. 2 3 1 1 2 3 1 1 Lập ma trận mở rộng : 4 m 5 m 3 m 2 0 m 1 m 1 m 8 12 m 4 m 4 0 0 m m để hệ phương trình sau có nghiệm: m-1 0 m 1 x my z 2 189: Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm: x 2y 2z 1 2x (m 2)y 3z m Giải: Lập ma trận mở rộng: 1 m 1 2 1 m 1 2 A 1 2 2 1 0 2 m 1 1 2 m 2 3 m 0 2 m 1 m 4 1 m 1 2 0 2 m 1 1 0 0 0 m 3 Hệ phương trình vô nghiệm m 3 0 m 3 190: Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
  60. x my z 2 x 2y 2z 1 2x (m 2)y 4z m. Lập ma trận mở rộng : 1 m 1 2 1 m 1 2 1 m 1 2 1 2 2 1 0 2 m 1 1 0 2 m 1 1 2 m 2 4 m 0 2 m 2 m 4 0 0 1 m 3 x my z m 191: Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm: x 2y 2z 1 2 2x (m 2)y (m 2)z 2m. 1 m 1 m 1 m 1 m Giải: Ta có 1 2 2 1 0 2 m 1 1 m 2 2 2 m 2 m 2 2m 0 0 m 1 m 1 m 1 0 Để hệ vô nghiệm điều kiện cần và đủ là 2 m 1 m 1 0 192: Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm: x my z m x 2y 2z 1 2 2 2x (m 2)y (m 2)z m m. Lập ma trận mở rộng : 3m 2 x 2 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m m 1 2 2 1 0 2 m 1 1 m 0 2 m 1 1 m y 2 m 2 m 2 m2 2 2 0 2 m m2 2 0 0 m2 1 2 m m m m m 1 z 1 Để hpt vô nghiệm thì m-2=0 m=2 Vậy m=2 x my z m 193: định m để hệ phương trình sau vô nghiệm x 2y 2z 1 2x (m 2)y 3z m 2
  61. Giải: 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m A 1 2 2 1 0 2 m 1 1 m 0 2 m 1 1 m 2 m 2 3 m 2 0 2 m 1 2 m 0 0 0 1 Hệ vô nghiệm vớim x 2y (7 m)z 2 194: Định m để hệ phương trình cóvô số nghiệm: 2x 4y 5z 1 5x 10y (m 5)z 4 1 2 7 m 2 1 2 7 m 2 Giải: Ta có 2 4 5 1 0 0 2m 19 3 5 10 m 5 4 0 0 6m 40 6 2(2m 19) 6m 40 Để hệ có vô số nghiệm điều kiện cần và đủ là m 1 6m 40 0 195: Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm 2x 4y 2(7 m)z 4 2x 4y 5z 1 5x 10y (m 5)z 4 Giải: Ta có 2 4 2(7 m) 4 2 4 2(7 m) 4 2 4 2(7 m) 4 2 4 5 1 0 0 19 2m 3 0 0 19 2m 3 5 10 m 5 4 0 0 12m 80 12 0 0 4m 4 0 Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì 4m 4 0 m 1 x 2y (7 m)z 2 196: Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm: 2x 4y 5z 1 3x 6y mz 3. Giải: Ta có ma trận tương đương 1 2 7 m 2 1 2 7 m 2 1 2 7 m 2 A 2 4 5 1 0 0 2m 19 3 0 0 2m 19 3 3 6 m 3 0 0 4m 21 3 0 0 17 3 Để hệ có vô số nghiệm điều kiện cần và đủ là 2m 19 17 m 1 197: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x 2y (5 m)z 2 2x 4y 1 3x 4y 7.
  62. hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì 1 2 m 5 det A 0 2 4 0 0 4m 20 0 m 5 3 4 0 vậy m 5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 198: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x 2y (m 5)z 2 2x y 1 (5 m)x y (m 5)z 6. hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì 1 2 m 5 1 2 2 1 det A 0 2 1 0 0 (m 5). (m 5). 0 2 1 5 m 1 5 m 1 m 5 m 5 . 2 m 0 m 5,m 2 vậy m 5,m 2 thì hệ phương trình có nghiiệm duy nhất 2.3 Bài tập làm thêm x y z 3 Câu 3.3 giải và biện luận hệ phương trình theo tham số x ( 1)y z 3 x y z 1 1 1 1 3 1 1 1 3 Lập phương trình mở rộng 1 1 1 3 0 2 0 0 1 1 1 0 0 1 2 Với =1 thì hệ vô nghiệm Với =2 thì hệ vô số nghiệm Với 1, 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 3x1 4x2 x3 x4 0 Câu 3.5 Giải các hệ phương trình 6x1 8x2 2x3 3x4 0
  63. x1  3 4 1 1 0 3 4 1 1 0 x2 Lập phương trình mở rộng 6 8 2 3 0 0 0 0 5 0 x3 4 3 x4 0 x1  x2 Vậy hệ có nghiệm x3 4 3 x4 0
  64. CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ 3.1 Lý thuyết 3.1.1 Các phép toán về vectơ n chiều Tổng của 2 vectơ : X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) Phép nhân vectơ với một số vô hướng : kX = (kx1, kx2, , kxn) Tính chất các phép toán về vectơ n chiều : Nếu X,Y,Z là các vectơ n chiều và ,  R ta có: a) X + Y = Y + X b) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) c) X + 0 = X d) Tồn tại vectơ đối –X sao cho X + (-X) = 0 e) 1.X = X f) (  )X X  X g) ( X) = (  )x h) (X + Y) = X Y 3.1.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1. Định nghĩa: Cho hệ gồm m vectơ trong Rn: A1, A2 , , Am (1) a) Hệ (1) gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có những số thực k1, k2, kn không đồng thời bằng 0 sao cho: k1A1 + k2A2 + + kmAm = 0 b) Hệ (1) gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu k1A1 + k2A2 + + kmAm = 0 thì k1 = k2 = =km = 0 c) Vectơ X gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ A1, A2, , Am nếu X được viết dưới dạng: X = k1A1 + k2A2 + + kmAm , ki R, (i=1, ,m) 3.13. Tọa độ của vectơ đối với một cơ sở X = 1 X1 2 X 2 n X n ( 1, 2 , , n ) gọi là tọa độ của vectơ X đối cơ sở B 3.1.4. Ma trận của phép biến đổi tuyến tính n Giả sử U = U1,U2 , ,Un là một co sở nào đó của không gian R . xét phép biến đổi tuyến tính f : Rn Rn. n f (Uj)  aijUi , j=1,2, ,n. i 1
  65. 3.2 Bài tập 199: Xác định m để vectơ (1,m,1) là tổ hợp tuyến tính của u = (1,1,0), v = (2,1,1), w= (3,2,1) Giải: Xét phương trình: A = au + bv + cw a b c a b c a b c 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 2 m 0 1 1 m 1 0 1 1 m 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 m 200: Xác định m để vectơ 2,m 4,m 6 là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,3 ,v 3,8,11 , w 1,3,4 Giả sử X = 2,m 4,m 6 là một tổ hợ tuyến tính của u 1,2,3 ,v 3,8,11 , w 1,3,4 a 3b c 2 Thì  au bv cw 2a 8b 3c m 4 có nghiệm 3a 11b 4c m 6 1 3 1 2 1 3 1 2 Lập ma trận mở rộng A 2 8 3 m 4 0 2 1 m 3 11 4 m 6 0 2 1 m Vậy m là tùy ý 201: Xác định m để vectơ m,2m 2,m 3 là một tổ hợp tuyến tính của u 3,6,3 ,v 2,5,3 , w 1,4,3 Giải: Giả sử m,2m 2,m 3 là tổ hợp tuyến tính của u 3,6,3 ,v 2,5,3 , w 1,4,3 tức là tồn tại k1,k2 ,k3 sao cho. k1 3,6,3 +k2 2,5,3 +k3 1,4,3 = m,2m 2,m 3 3k1 2k2 k3 m ta có 6k1 5k2 4k3 2m 2 có 3k1 3k2 3k3 m 3 3 2 1 m 1 2 3 m 6 5 4 2m 2 0 3 6 2m 2 3 3 3 m 3 0 0 0 1 hệ vô nghiệm. Do đó không có giá trị m để m,2m 2,m 3 là tổ hợp tuyến tính của u, v, w 202: Xác định m để vectơ x1, x2 , x3 là một tổ hợp tuyến tính của
  66. u 1,2,3 ,v 2,4,5 , w 3,6,7 Gọi X = x1, x2 , x3 là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,3 ,v 2,4,5 , w 3,6,7 nếu a 2b 3c x1  au bv cw 2a 4b 6c x2 có nghiệm 3a 5b 7c x3 Lập ma trận mở rộng 1 2 3 x1 1 2 3 x1 1 2 3 x1 A 2 4 6 x 0 0 0 x 2x 0 1 2 x 3x 2 2 1 3 1 3 5 7 x3 0 1 2 x3 3x1 0 0 0 x2 2x1 Để hpt tuyến tính có nghiệm x2 2x1 0 x2 2x1 203: Tìm điều kiện để vectơ (x1 , x2 , x3 ) là met tổ hợp tuyến tính của u = (1, 2, 3), v = (2, 4, 6), w = (2, 3, 12) Giải: 1 2 3 x1 1 2 3 x1 h 2h Xét 2 4 5 x 2 1 0 0 1 x 2x 2 2 1 3 6 7 x3 0 0 2 x3 3x1 1 2 3 x1 h 2h h 3 21 0 0 1 x 2x 2 1 0 0 0 x3 2x2 x1 Vectơ (x1 , x2 , x3 ) là tổ hợp tuyến tính của u,v,w x3 2x2 x1 0 x3 2x2 x1 vectơ (1,m,1) là tổ hợp tuyến tính của 3 vectơ còn lại a = b = c = 0 m = 0 204: Tìm điều kiện để vectơ x1, x2 , x3 là một tổ hợp tuyến tính của u 1,0,2 ,v 1,2,8 , w 2,3,13 Giải: Gọi X (x , x , x ) là tổ hợp tuyến tính của u(1, 0, 2) v(1, 2, 8) w(2, 3, 13) 1 2 3 a b 2c x 1 thì X=au+bv+cw 2b 3c x có nghiệm 2 2a 8b 13c x 3
  67. x x 1 1 2 1 1 1 2 1 ta có 0 2 3 x 0 2 3 x 2 2 2 8 13 x 0 0 0 x 2x 3x 3 3 1 2 Để hệ có nghiệm thì x 2x 3x 0 x 2x 3x 3 1 2 3 1 2 205: Tìm điều kiện để vectơ (x1 , x2 , x3 ) là một tổ hợp tuyến tính của u = (1,2,4), v = (3,6,12) , w = (4,8,16) Giải: 1 2 4 x1 1 2 4 x1 3 6 12 x2 0 0 0 3x1 x2 4 8 16 x3 0 0 0 4x1 x3 Để thoả điều kiện bài toán thì 4x1 2x2 x3 206: Xác định m để vectơ 1,m,1 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,1,3 ,v 2,2,5 , w 3,4,3 Giải: X (x , x , x ) là tổ hợp tuyến tính của u(1,3,1), v(2,1,2) w(0,1,1) thì 1 2 3 X=au+bv+cw a 2b x 1 x x 1 2 0 1 1 2 0 1 3a b c x 2 ta có 3 1 1 x 0 5 1 x 3x 2 2 1 a 2b c x 3 1 2 1 x 0 0 1 x x 3 3 1 hệ luôn có nghiệm 207: Tìm m để vectơ 1,m,1 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,4 ,v 2,1,5 , w 3,6,12 Giả sử 1,m,1 không là tổ hợp tuyến tính của u 1,2,4 ,v 2,1,5 , w 3,6,12 tức là tồn tại au+bv+cw = 1,m,1 a 2b 3c 1 Tức là 2a b 6c m vô nghiệm 4a 5b 12c 1 Lập ma trận mở rộng 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 A 2 1 6 m 0 3 0 m 2 0 3 0 m 2 4 5 12 1 0 3 0 3 0 0 0 m 1 Để hpt tuyến tính vo nghiệm m 1 0 m 1
  68. Vậy m 1 thì vectơ 1,m,1 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,4 ,v 2,1,5 , w 3,6,12 208: Xác định m để vectơ 1,m,1 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,1,3 ,v 2,2,5 , w 3,4,3 Giả sử 1,m,1 không là tổ hợp tuyến tính của u 1,1,3 ,v 2,2,5 , w 3,4,3 a 2b 3c 1 tức là tồn tại au+bv+cw = 1,m,1 sao cho a 2b 4c m vô nghiệm 3a 5b 3c 1 1 2 3 1 1 2 3 1 Lập ma trận mở rộng A 1 2 4 m 0 0 1 m 1 3 5 3 1 0 1 6 2 hpt tuyến tính có nghiệm duy nhất Vậy không có giá trị nào của m để vectơ 1,m,1 là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,4 ,v 2,1,5 , w 3,6,12 209: Xác định m để vectơ (1, m+2, m+4) không phải là một tổ hợp tuyến tính của: u = (1, 2, 3), v = (3, 7, 10), w = (2, 4, 6) Giải: Xét phương trình: A = au + bv + cw a b c a b c a b c 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 7 4 m 2 0 1 0 m 0 1 0 m 3 10 6 m 4 0 1 0 m 1 0 0 0 1 Phương trình luôn có nghiệm với  m  m vectơ (1, m+2, m+4) không phải là tổ hợp tuyến tính của 3 vectơ còn lại. 210: Tìm điều kiện m để vectơ x1, x2 , x3 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,1 ,v 1,1,0 , w 3,6,3 Gọi X = x1, x2 , x3 không phải là một tổ hợp tuyến tính của a b 3c x1 u 1,2,1 ,v 1,1,0 , w 3,6,3 nếu 2a b 6c x2 vô nghiệm a 3c x3 Lập ma trận mở rộng 1 1 3 x1 1 1 3 x1 1 1 3 x1 A 2 1 6 x 0 1 0 x 2x 0 1 0 x 2x 2 2 1 2 1 1 0 3 x3 0 1 0 x3 x1 0 0 0 x3 x2 x1 Để hpt tuyến tính vô nghiệm x3 x2 x1 0 x1 x2 x3
  69. Vậy x1 x2 x3 thì vectơ x1, x2 , x3 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,1 ,v 1,1,0 , w 3,6,3 211: Tìm điều kiện để vectơ x1, x2 , x3 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,1 ,v 1,1,0 , w 3,6,4 Giải: Giả sử x1, x2 , x3 không là tổ hợp tuyến tính của u, v, w tức là tồn tại k1,k2 ,k3 sao cho k1 k2 3k3 x1 k1u k2v k3w= x1, x2 , x3 tức là 2k1 k2 6k3 x2 k1 0k2 4k3 x3 1 1 3 x1 1 1 3 x1 Ta có 2 1 4 x2 0 1 0 2x1 x2 Hệ có nghiêm duy nhất 1 0 4 x3 0 0 1 x1 x2 x3 Vậy không có gt của các x để vectơ x1, x2 , x3 không phải là một tổ hợp tuyến tính của u 1,2,1 ,v 1,1,0 , w 3,6,4 4 212: Cho các vectơ u1,u2 ,u3 độc lập tuyến tính trong ¡ và  là vectơ không của ¡ 4 . Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? a)u1,u2 , độc lập tuyến tính. b)u1,u3, độc lập tuyến tính. c)u2 ,u3, độc lập tuyến tính. d)u1,u2 ,u3, phụ thuộc tuyến tính Đáp án đúng là d)u1,u2 ,u3, phụ thuộc tuyến tính 213: Xác định m để vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính u = (m+1, m, m-1), v = (2, m, 1), w = (1, m, m-1) Giải: m 1 m m 1 1 m m 1 h h 1 3 Xét 2 m 1  2 m 1 1 m m 1 m 1 m m 1 1 m m 1 1 m m 1 h mh h3 (m 1)h1 0 m 3 2m 3 2 0 m 3 2m h2 2h1 2 2 0 m m(m 1) 0 0 m 2m Để vectơ phụ thuộc tuyến tính thì m2 2m 0 m 0,m 2
  70. 214: Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính: u m,1,3,4 ,v m,m,m 2,6 , w 2m,2,6,m 10 m m 2m 1 1 2 1 m 2 Giải: Ta có A m 0 2 m 2 3 m 2 6 1 0 0 (m 2)(m 1) 4 6 m 10 2 Để hệ PTTT thì A có hạng bằng 2 1 m 2 (m 2)(m 1) 0 2 m 1 215: Xác định m để 3 vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính: u = (m,1,3,4), v = (m,m,m+4,6), w = (2m,2,6,m+10) Giải: m 1 3 4 m 1 3 4 m m m 4 6 0 1 m m 1 2 2m 2 6 m 10 0 0 0 m 2 Để thoả điều kiện bài toán thì m 2 0 m 2 216: u(m, 1, 1, 4), v(m, m, m, 6), w(2m, 2, 2, m+10) ta có m m 2m 1 1 2 1 1 2 1 m 2 A m 1 m 2 0 2 m 2 1 m 2 4 6 m 10 1 0 0 (m 1)(m 2) 4 6 m 10 2 m 1 Để hệ phụ thuộc tuyến tính thì (m 1)(m 2) 0 m 2 217: Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính: u m,1,3,4 ,v m,m,m 2,6 , w 2m,2,6,10 m m 2m 1 1 2 1 1 2 1 m 2 0 m 1 0 0 m 1 0 Ta có m. m 3 m 2 6 0 m 1 0 0 0 0 4 6 10 0 2 2 0 0 2(m 1) Để hệ phụ thuộc tuyến tính thì :m-1=0 m=1 218: Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính: u m,1,3,4 ,v m,m,m 2,6 , w 2m,2,7,10
  71. Ta có m m 2m 1 1 2 1 m 2 0 m 1 0 m 3 m 2 7 0 m 1 1 4 6 10 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 m 1 0 m m 0 m 1 0 r 3 4 0 0 1 0 0 1 0 0 2(m 1) Vậy 3 vector phụ thuộc tuyến tính với mọi m 219: Xác định m, các vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính: u1 = (2, 3, 1, 4), u2 = (4, 11, 5, 10), u3 = (6, 14, m+5, 18),u4 = (4, 7, m+2, 15) Giải: a 2 3 1 4 a 2 3 1 4 a 2 3 1 4 b 4 11 5 10 b 0 5 3 2 b 0 5 m 2 10 Xét hệ A= c 6 14 m 5 18 c 0 5 m 2 10 c 0 5 2 1 d 2 8 4 7 d 0 5 2 1 d 0 5 3 2 a 2 3 1 4 a 2 3 1 4 b 0 5 m 2 10 b 0 5 m 2 10 c 0 0 m 11 c 0 0 m 11 d 0 0 1 m 8 d 0 0 1 3 Ta có:  m thì det A ≠ 0 hệ vectơ dộc lập tuyến tính không có giá trị m để hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. 220: Xác định m các vector sau đây phụ thuộc tuyến tính: u1 1,2,1,4 ,u2 2,3,m,7 , u3 5,8,2m 1,19 ,u4 4,7,m 2,15 Ta có A= 1 2 5 4 1 2 5 4 2 3 8 7 0 1 2 1 1 m 2m 1 m 2 0 m 2 2(m 2) m 2 4 7 19 15 0 1 1 1 1 2 5 4 1 2 5 4 0 1 2 1 (m 2) (m 2) 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 rA 3 4 Vậy các vector trên phụ thuộc tuyến tính với mọi m
  72. 221: Xác định m để 3 vector sau đây độc lập tuyến tính: u m 1,1,m 1 ,v 1,1,1 , w 2,0,m 2 (m 1)k1 k2 2k3 0 Giải: Giả sử k1u k2v k3w=0 k1 k2 0k3 0 (m 1)k1 k2 (m 2)k3 0 m 1 1 2 0 1 m 1 2 0 Ta có 1 1 0 0 0 m 2 0 m 1 1 m 2 0 0 0 m 0 m 0 thì hệ có nghiệm duy nhất k1 k2 k3 0 m 0 thì hệ có vô số nghiệm Vậy m 0 thì hệ độc lập tuyến tính 222: Xác định m để 3 vector sau đây độc lập tuyến tính: u m 2,3,2 ,v 1,m,1 , w m 2,2m 1,m 2 Ta có m 2 1 m 2 1 m 2 m 2 A 3 m 2m 1 m 3 2m 1 2 1 m 2 1 2 m 2 1 m 2 m 2 1 m 2 m 2 0 3 m(m 2) 2m 1 m(m 2) 0 m 0 0 m 0 0 0 m( m2 1) Để hpt độc lập tuyến tính rA n 3 2 m 0 Khi đó m( m 1) 0 m 1 223: Xác định m để vectơ sau đây độc lập tuyến tính: u = (2, 1, 1, m), v = (2, 1, 4, m), w = (m, 1, 0, 0) Giải: Xét
  73. 2 1 1 m 2 1 1 m h h A 2 1 4 m 21 0 0 3 0 m h3 h1 2 m 1 0 0 2 2 m m m 0 2 2 2 2 1 1 m h h 2 m m m2 2 3 0 r(A) 3 2 2 2 0 0 3 0 3 vectơ độc lập tuyến tính với  m ¡ 224: u(2, 1, 1,m) v(2, 1, 4,1m) w(m+2, 1, 0, 0) 2 2 m 2 1 1 1 1 1 1 Ta có A 0 3 1 1 4 0 0 0 m m m 0 Để hệ ĐLTT điều kiện cần và đủ là A có hạng bằng 2 suy ra m 0 225: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính u = (2,1,1,m), v = (2,1,m,m), w = (m+2,1,0,0) Giải: 2 1 1 m 2 1 1 m 2 1 m m 0 0 1 m 0 m 2 1 0 0 m 0 1 m Để thoả điều kiện bài toán thì 1 m 0 m 1 226: u(2, 1, 1, m) v(2, 1, -1, m) w(10, 5, -1, 5m) 2 2 10 1 1 5 1 1 5 1 1 5 2 2 10 Ta có 0 2 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 m m 5m m m 5m Hệ Phụ thuộc tuyến tính với mọi m.Do đó không tồn tại m để hệ độc lập tuyến tính. 227: Xác định m các vector sau đây độc lập tuyến tính:
  74. u1 2,3,1,4 ,u2 3,7,5,1 , u3 8,17,11,m ,u4 1,4,4, 3 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 7 5 1 0 5 7 10 0 5 7 10 Ta có A= r 3 4 8 17 11 m 0 5 7 m 16 0 0 0 m 6 1 4 4 3 0 5 7 10 0 0 0 0 Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính Vậy không có giá trị nào của m để hệ độc lập tuyến tính 228: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của ¡ 3 ? a).(1,2,3);(0,2,3);(0,0,3) b).(1,1,1);(1,1,0);(2,2,1) c).(1,2,3);(4,5,6);(7,8,9) d).(1,2,1);(2,4,2);(1,1,2) Để tạo thành cơ sở của ¡ 3 thì hệ vectơ phải độc lập tuyến tính 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ta có A= 0 2 3 1 0 0 1 0 0 r 3 r A n 0 0 3 1 2 0 0 2 0 Vậy hệ độc lập tuyến tính nên đáp án a).(1,2,3);(0,2,3);(0,0,3) 229: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ð3 : u = (1, 2, m), v = (1, m ,0), w = (m, 1, 0) Giải: Xét 1 2 m 1 2 m 1 2 m A 1 m 0 0 m 2 m 0 m 2 m 2 2 m 1 0 0 1 2m m 0 1 m m m 1 m 0 m 0 hệ độc lập tuyến tính 2 m m 0 m 1 m 0 các vectơ tạo thành một cơ sở m 1 230: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 3 : u m,1,1 ,v 1,m,1 , w 1,1,m Ta có A= m 1 1 m 1 1 m 1 1 2 2 1 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 2 1 1 m 0 m 1 m 1 0 0 (m 1)(m 2m)
  75. m 0 m 0 để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 3 thì m 2 0 m 2 m 1 0 m 1 m 0 vậy với m 2 hệ vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 3 m 1 231: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 3 : u 1,2,3 ,v m,2m 3,3m 3 , w 1,4,6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ta có A= m 2m 3 3m 3 0 3 3 0 3 3 r 2 r A n 1 4 6 0 2 3 0 1 0 Vậy hệ độc lập tuyến tính với mọi giá trị của m 232: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 4 u1 3,1,2,m 1 ,u2 0,0,m,0 , u3 2,1,4,0 ,u4 3,2,7,0 3 1 2 m 1 0 0 m 0 Ta có A= 2 1 4 0 3 2 7 0 m 0 m 0 để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của ¡ 4 thì m 1 0 m 1 m 0 vậy với thì hệ vectơ tạo thành một cơ sở của ¡ 4 m 1 234: u (1,2,3,4) u (2,3,4,5) u (3,4,5,6) u (4,5,6,m) 1 2 3 4 Để các vectơ tạo thành một cơ sở trước hết chúng phải độc lập tuyến tính 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 Ta có A 0 1 2 3 3 4 5 6 0 0 0 m 7 4 5 6 m Ta thấy hạng của A lớn nhất là 3 suy ra có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính Suy ra không tồn tại giá trị m để 4 vectơ trên tạo thành cơ sở 235: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W 3 của ¡ sinh bởi các vectơ sau u1 2,3,4 , u2 5, 4,0 , u3 7, 1,5
  76. a) u1,u2 b) u2 ,u3 c) u1,u3 d) u1,u2 ,u3. Ta có để tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 3 thì hệ vectơ phải độc lập tuyến tính 2 3 4 2 3 4 A= rA rN 5 4 0 0 23 20 Vậy hệ này độc lập tuyến tính nên a) u1,u2 tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 3 1 2 4 236: Xét 3 vectơ u ,u ,u có A 0 1 2 r 3 3 vectơ u ,u ,u tạo 1 2 3 1 2 3 0 0 1 3 thành một cơ sở của không gian con W của R . Xét u2 ,u3,u4 có 0 1 2 0 1 2 A 0 0 1 có r 2 0 0 1 0 0 2 3 3 vectơ u2 ,u3,u4 không tạo thành một cơ sở của không gian con W của R . Đáp án đúng là C 237: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 sinh bởi các vectơ sau u1 1,2,3,4 , u2 0,2,6,0 , u3 0,0,1,0 ,u4 0,2,4,4 a) u1,u2 b) u2 ,u3 c) u1,u2 ,u3 d)u1, u2 ,u3,u4. 1 0 1 0 2 2 0 2 A= rB 3 4 Vậy hệ trên không tạo thành một cơ sở của 3 6 0 6 4 0 0 0 không gian con W của ¡ 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 Ta xét B = r r 4 3 6 1 4 0 6 1 4 0 0 1 2 A N 4 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 2
  77. -Vậy hệ trên độc lập tuyến tính nên hệ tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 238: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 sinh bởi các vectơ sau u1 1,2,3,4 , u2 0,2,6,0 , u3 0,0,1,0 ,u4 1,2,4,4 a) u1,u2 b) u2 ,u3 c) u1,u2 ,u3 d)u1, u3,u4. 0 0 2 0 2 0 2 0 Ta xét A= rA 2 4 6 1 6 1 0 1 0 0 Vậy hệ trên không tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 2 0 0 0 Ta xét B= 0 2 0 r 3 4 B 3 1 4 0 1 1 0 0 1 4 0 4 0 0 0 hệ trên không tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 2 0 Ta xét C= 0 2 0 r 3 4 B 3 6 1 0 6 1 0 6 1 4 0 0 0 0 0 hệ trên không tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 0 0 2 0 2 0 Ta xét D= rD 2 4 6 1 0 1 0 0 trên không tạo thành một cơ sở của không gian con W của ¡ 4 vậy không có bất cứ hệ nào thỏa mãn 239: Tìm số chiều n = dimW của không gian con W của ð 4 sinh bởi các vectơ sau: u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (2, 3, 4, 5),u3 = (3, 4, 5, 6), u4 = (4, 5, 6, 7) Giải:
  78. Xét 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 A= 3 4 5 6 0 2 3 4 0 0 1 2 4 5 6 7 0 3 4 5 0 0 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 dimW = 3 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 240: Tìm số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 sinh bởi các vectơ sau u1 2,2,3,4 , u2 1,3,4,5 , u3 3,5,7,9 ,u4 4,8,11,15 Xét A= 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 3 5 8 0 2 2 4 0 2 2 4 0 2 2 4 r 3 A 3 4 7 11 0 5 5 10 0 0 0 0 0 0 0 2 4 5 9 15 0 3 3 7 0 0 0 2 Vậy số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 là n= 3 241: Tìm số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 sinh bởi các vectơ sau u1 2,2,3,4 , u2 4,4,6,8 , u3 6,6,9,12 ,u4 8,8,12,16 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 0 0 0 0 Xét A= r 1 3 6 9 12 0 0 0 0 4 8 12 16 0 0 0 0 Vậy số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 là n= 1 242: Tìm số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 sinh bởi các vectơ sau u1 1,2,3,4 , u2 2,0,6,0 , u3 6,6,7,0 ,u4 8,0,0,0
  79. 1 2 6 8 1 2 6 8 2 0 6 0 0 4 6 16 3 6 7 0 0 0 11 24 4 0 0 0 0 8 24 32 Xét A= 1 2 6 8 1 2 8 6 0 4 6 16 0 4 16 6 0 0 11 24 0 0 24 11 0 0 12 0 0 0 0 12 r 4 Vậy số chiều n dimW của không gian con W của ¡ 4 là n= 4 243:Tìm hạng của hệ vectơ sau : u1 3,1,5,7 , u2 4, 1, 2,2 , u3 10,1,8,17 ,u4 13,2,13,24 3 1 5 7 3 1 5 7 4 1 2 2 Xét A  4 1 2 2 10 1 8 17 10 1 8 17 13 2 13 24 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 4 2 2 0 7 3 9 0 7 3 9 r(A) 3 1 10 8 17 0 7 3 10 0 0 0 1 Vậy hạng của hệ bằng 3 244:u1 (2,3,5,7) u2 (4,1,3,2) u3 (8,7,13,16) u4 (6,4,8,9) Ta có 2 4 8 6 2 4 8 6 3 1 7 4 0 5 5 5 2 4 8 6 5 3 13 8 0 7 7 7 0 5 5 5 7 2 16 9 0 12 12 12 Vậy hạng của hệ r =2 245:Tìm hạng của hệ vectơ sau : u1 1,1,5,7 , u2 1, 1, 2,2 , u3 2,2,10,17 ,u4 3,3,15,24
  80. 1 1 5 7 1 1 5 7 1 1 5 7 1 1 2 2 0 2 7 5 0 2 7 5 Ta có r 3 2 2 10 17 0 0 0 3 0 0 0 3 3 3 15 24 0 0 0 3 0 0 0 0 Vậy hạng của hệ bằng 2 Câu 246: Định m để hệ sau có hạng bằng 2: u m,1,0,2 ,v m,m 1, 1,2 , w 2m,m 2, 1,5 m 1 0 2 m 1 0 2 Ta có A m m 1 1 2 0 m 1 0 r 3m 2m m 2 1 5 0 0 0 1 Vậy không có giá trị nào của m để hệ bằng 2 m 1 0 2 m 1 0 2 246. Xét A m m 1 1 2 0 m 1 0 r 2 với mọi m 2m m 2 1 5 0 0 0 1 Do đó không có giá trị nào của m để hệ có hạng bằng 2 247: Định m để hệ sau có hạng bằng 3: u m,1,0,2 ,v m,m 2,0,2 , w 2m,m 3,0,5 m 1 0 2 m 1 0 2 m 1 0 2 Ta có m m 2 0 2 0 m 1 0 0 0 m 1 0 0 2m m 3 0 5 0 m 1 0 1 0 0 0 1 m 1 0 m 1 Để hệ có hạng bằng 3 thì m 0 m 0 Vậy m 0; m -1 248: Định m để hệ sau có hạng bằng 3: u m,1,0,2 ,v m,m 2,0,2 , w 2m,m 3,0,4 Ta có m 1 0 2 m 1 0 2 m 1 0 2 m m 2 0 2 0 m 1 0 0 0 m 1 0 0 r 3m 2m m 3 0 4 0 m 1 0 0 0 0 0 0 Vậy không có giá trị nào của m để hệ có hạng bằng 3 249: Tìm toạ độ x1 , x2 , x3 của vectơ u = (1, 2, 4) theo cơ sở B: u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1) có u = (1, 2, 4)
  81. Giải: x1 , , Tìm các toạ độ của vectơ u trong cơ sở B là x1 x2 x3 nghĩa là: u B x2 có x3 phương trình: u x1u1 x2u2 x3u3 1 x1 0 0 x1 1 Ta có: 2 0 x 0 x 2 2 2 4 0 0 x3 x3 4 250: Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u m,0,1 theo cơ sở u1 0,0,1 ,u2 0,1,0 ,u3 1,0,0 Ta có x1 , x2 , x3 thỏa: u x1u1 x2u2 x3u3 m 0 0 x3 x3 m 0 0 x 0 x 0 2 2 1 x1 0 0 x1 1 Tọa độ cần tìm là (m,0,1) 251: Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u 3,3,4 theo cơ sở u1 1,0,0 ,u2 0, 3,0 ,u3 0,0,2 Ta có x1 , x2 , x3 thỏa: u x1u1 x2u2 x3u3 3 x1 0 0 x1 3 Ta có3 0 3x 0 x 1 Tọa độ cần tìm là ( 3, -1, 2 ) 2 2 4 0 0 2x3 x3 2 252: Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u 1,2,1 theo cơ sở u1 1,0,0 ,u2 1,1,0 ,u3 1,1,1 Ta có x1 , x2 , x3 thỏa: u x1u1 x2u2 x3u3 x1 x2 x3 1 x1 1 x2 x3 2 x2 1 Tọa độ cần tìm là ( -1, 1 ,1) x3 1 x3 1 Vậy tọa độ cần tìm là ( -1, 1, 1 ) 253: Tìm toạ độ (x1 , x2 , x3 ) của vectơ u = (2, 3, 6) theo cơ sở: u1 (1,2,3),u2 (1,3,4),u3 (2,4,7) Giải: Ta có: u u1 x1 u2 x2 u3 x3
  82. 2 x x 2x 2 x x 2x 2 x x 2x 1 2 3 h 2h 1 2 3 h h 1 2 1 3 2x 3x 4x 3 2 1 0 x 0 3 3 2 0 x 0 1 2 3 h 3h 2 2 3 1 6 3x 4x 7x 6 0 x x 6 0 0 x 1 2 3 2 3 3 x x 2x 2 x 13 1 2 3 1 13 x 3 x 3 u 3 2 2 B x 6 x 6 6 3 3 254: Toại độ x1, x2 , x3 của vectơ u (m,0,1) theo cơ sở u1 (1,0,0),u2 (1,1,0),u3 (0, 1,1) x1 x2 m x1 m 1 Nên x1, x2 , x3 thoả u x1u1 x2u2 x3u3 . Ta có hệ x2 x3 0 x2 1 x3 1 x3 1 x1 m 1 Vậy x2 1 x3 1 255: Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u m,m,4m theo cơ sở u1 1,2,3 ,u2 3,7,9 ,u3 5,10,16 Ta có x1 , x2 , x3 thỏa: u x1u1 x2u2 x3u3 x1 3x2 5x3 m 2x1 7x2 10x3 m 3x1 9x2 16x3 4m 1 3 5 m 1 3 5 m Lập ma trận mở rộng A 2 7 10 m 0 1 0 m 3 9 16 4m 0 0 1 m x1 3x2 5x3 m x1 m Khi đó ta được hpt mới x2 m x2 m x3 m x3 m Vậy tọa độ cần tìm là ( -m, -m, m ) 256: Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u 1,2m,2 theo cơ sở
  83. u1 1,0,0 ,u2 0,2,0 ,u3 2,1,1 Ta có x1 , x2 , x3 thỏa: u x1u1 x2u2 x3u3 x1 2x3 1 x1 3 2x2 x3 2m x2 m 1 tọa độ cần tìm là (-3,m-1,2) x3 2 x3 2 257: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ : lưu ý: ¡ 3 là R3 u1 1,2,3 ,u2 0,1,0 ,u3 1,3,3 Khẳng định nào sau đây là đúng? a)u1,u2 ,u3 độc lập tuyến tính. b)u1,u2 ,u3 phụ thuộc tuyến tính. 3 c)u1,u2 ,u3 tạo thành một cơ sở của ¡ d)Hệ các vectơ u1,u2 ,u3 có hạng bằng 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Xét A= 0 1 0 0 1 0 0 1 0 r 2 1 3 3 0 1 0 0 0 0 Vậy 2 vectou1,u2 ,u3 phụ thuộc tuyến tính câu b) đúng 258: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ phụ thuộc vào tham số m: u1 1,1,1 ,u2 1,m,1 ,u3 1,1,m Khẳng định nào sau đây là đúng? a)u1,u2 ,u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi m 1 . b)u1,u2 ,u3 phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi m 0 . 3 c)u1,u2 ,u3 tạo thành một cơ sở của ¡ khi m 1 d) Hệ các vectơ u1,u2 ,u3 luôn có hạng bằng 3. 1 1 1 1 1 1 Xét A= 1 m 1 0 m 1 0 1 1 m 0 0 m 1 3 vectơ u1,u2 ,u3 phụ thuộc tuyến tính khi m-1=0 m=1 3 vectơ u1,u2 ,u3 độc lập tuyến tính khi m-1 0 m 1 Vậy câu c) đúng 259: Trong không gian R3cho các vectơ phụ thuộc vào tham số m u1 (1, 2, m), u2 (2, 4, 0), u3 (0, 0, 7) Giải:
  84. 1 2 m 1 2 m 1 2 m Xét A 2 4 0 0 0 2m 0 0 2m 0 0 7 0 0 7 hệ độc lập tuyến tính 2m 0 m 0 Vậy dimW= 2 260: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ phụ thuộc vào tham số m : u1 1,2,m ,u2 3,4,3m ,u3 0,1,7 Khẳng định nào sau đây là đúng? a)u1,u2 ,u3 luôn luôn độc lập tuyến tính b)u1,u2 ,u3 luôn luôn phụ thuộc tuyến tính. 3 c)u1,u2 ,u3 tạo thành một cơ sở của ¡ khi và chỉ khi m 0 d) Hệ các vectơ u1,u2 ,u3 luôn có hạng bằng 2. 1 2 m 1 2 m Xét A= 3 4 3m 0 2 0 r 3m 0 1 7 0 1 7 Vậy câu a) đúng 261: Trong không gian ¡ 2 cho các vectơ : u1 2,1 ,u2 1, 1 2 Tìm ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B u1,u2 của ¡ 1 0 Ma trận chính tắc B0 có dạng 0 1 2 ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B u1,u2 của¡ thỏa mãn x1 2 1 0 x1 x3 2 1 x2 1 biểu thức vậy ma trận trận chuyển cơ 0 1 x2 x4 1 1 x3 1 x4 1 2 2 1 sở chính tắc B0 sang cơ sở B u1,u2 của ¡ là 1 1 Câu 262: Trong không gian ¡ 2 cho các vectơ : lưu ý: ¡ 2 là R 2 u1 2,1 ,u2 1, 1 2 Tìm ma trận chuyển cơ sở B u1,u2 sang cơ sở chính tắc B0 của ¡ 2 ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B u1,u2 của¡ thỏa mãn biểu
  85. 2x1 x2 1 x1 1 2 1 x1 x3 1 0 x1 x2 0 x2 1 thức ma trận trận 1 1 x2 x4 0 1 2x3 x4 0 x3 1 x3 x4 1 x4 2 2 1 1 chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B u1,u2 của ¡ là 1 2 263: Trong không gian R2 cho các vectơ: u1 (2,1),u2 ( 1, 1),v1 ( 1,0),v2 (0,1).Tìm ma trận chuyển cơ sở chính tắc 2 B1=(u1 ,u2 ) sang cơ sở B2 =(v1 ,v2 ) của R Giải: 2x1 x2 1 2x1 x2 1 x1 1 Có: v1 x1u1 x2u2 v1 B1 x1 x2 0 x1 x2 0 x2 1 1 v 1 B 1 1 2x1 x2 0 2x1 x2 0 x1 1 v2 x1u1 x2u2 v2 B1 x1 x2 1 x1 x2 1 x2 2 1 v 2 B 1 2 1 1 ma trận chuyển cơ sở chính tắc B1 sang cơ sở B2 là: 1 2 v1 / B1 u1 ( 2, 1) 2 1 264: Ta có ma trận chuyển cơ sở chính tắc P v2 / B2 u2 (1,1) 1 1 265: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ : u1 1,0,1 ,u2 0,1,1 ,u3 0,0,1 3 Tìm ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở Bcủa u1,u2 ,u3 ¡ 3 ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở Bcủa u1, thỏau2 ,u 3 ¡ 1 0 0 x1 x4 x7 1 0 0 x1 1, x2 0, x3 1 0 1 0 x x x 0 1 0 x 0, x 1, x 1 mãn 2 5 8 4 5 6 .vậy ma trận 0 0 1 x3 x6 x9 1 1 1 x7 0, x8 0, x9 1 1 0 0 3 trận chuyển cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở Bcủa u1,làu2 ,u3 ¡ 0 1 0 1 1 1
  86. 266: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ : u1 1,0,1 ,u2 0,1,1 ,u3 0,0,1 3 Tìm ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B u1,u2 ,u3 sang cơ sở Bcủa0 ¡ 3 ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B u1,u2 ,u3 sang cơ sở Bcủa0 ¡ thỏa 1 0 0 x1 x4 x7 1 0 0 x1 1, x2 0, x3 1 0 1 0 x x x 0 1 0 x 0, x 1, x 1 mãn 2 5 8 4 5 6 .Vậy 1 1 1 x3 x6 x9 0 0 1 x7 0, x8 0, x9 1 3 ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B u1,u2 ,u3 sang cơ sở Bcủa0 ¡là 1 0 0 0 1 0 1 1 1 267: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ : u 1,0,0 ,u 0, 1,0 ,u 0,0, 1 1 2 3 v1 1,0,1 ,v2 0,1,1 ,v3 0,0,1 Tìm ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B1 u1,u2 ,u3 sang cơ sở 3 B2 v1,v2 ,v3 của ¡ ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B1 u1,u2 ,u3 sang cơ sở B2 v1,v2 ,v3 của ¡ 3 1 0 0 x1 x4 x7 1 0 0 x1 1, x2 0, x3 1 thỏa mãn 0 1 0 x x x 0 1 0 x 0, x 1, x 1 2 5 8 4 5 6 0 0 1 x3 x6 x9 1 1 1 x7 0, x8 0, x9 1 Vậy ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B1 u1,u2 ,u3 sang cơ sở 1 0 0 3 B2 v1,v2 ,v3 của ¡ là 0 1 0 1 1 1 268: Trong không gian ¡ 3 cho các vectơ : u1 1,0,0 ,u2 0, 1,0 ,u3 0,0, 1 v1 1,0,1 ,v2 0,1,1 ,v3 0,0,1 Tìm ma trận chuyển cơ sở chính tắc B2 v1,v2 ,v3 sang cơ sở B1 u1,u2 ,u3 của ¡ 3 trận chuyển cơ sở chính tắc B2 v1,v2 ,v3 sang cơ sở B1 u1,u2 ,u3 của¡ 3 thỏa mãn
  87. 1 0 0 x1 x4 x7 1 0 0 x1 1, x2 0, x3 1 0 1 0 x x x 0 1 0 x 0, x 1, x 1 2 5 8 4 5 6 1 1 1 x3 x6 x9 0 0 1 x7 0, x8 0, x9 1 Vậy ma trận chuyển cơ sở chính tắc B2 v1,v2 ,v3 sang cơ sở B1 u1,u2 ,u3 1 0 0 3 của ¡ là 0 1 0 1 1 1 3 269: Cho ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B0 sang cơ sở chính tắc B của ð là: 1 1 2 P= 0 1 0 .Tìm toạ độ x1, x2, x3 của vectơ u = (1, 0, 1) theo cơ sở B 1 1 1 Giải: Tìm toạ độ x1, x2, x3 của vectơ u = (1, 0, 1) theo cơ sở B có P là ma trận chuyển 3 B0 sang cơ sở chính tắc B của ð ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc B về cơ sở B0 là: 1 1 2 -1 Q=P = 0 1 0 1 0 1 Toạ dộ mới của vectơ u = (1, 0, 1) trong cơ sở mới B: 1 1 2 1 3 1 u  u 0 1 0 0 0 B Bo 1 0 1 1 2 3 270: Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B của ¡ là 1 1 0 P 0 1 0 1 1 1 Tìm tọa độ x1, x2 , x3 của vectơ u 2,1,0 theo cơ sở B Tìm toạ độ x1, x2, x3 của vectơ u = (1, 0, 1) theo cơ sở B có P là ma trận chuyển 3 B0 sang cơ sở chính tắc B của ð ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc B về cơ sở B0 là: 1 1 0 Q P 0 1 0 1 2 1 1 1 0 2 1 1 Tọa độ mới của vectơ u 2,1,0 là u  u 0 1 0 1 1 B Bo 1 2 1 0 0
  88. 3 271: Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc B0 sang cơ sở B của ¡ là 1 1 0 P 2 1 1 1 1 1 Tìm tọa độ mới của vectơ x1, x2 , x3 u 2,3,3 theo cơ sở toạ độ x1, x2, x3 của vectơ u = (1, 0, 1) theo cơ sở B có P là ma trận chuyển B0 3 sang cơ sở chính tắc B của ð ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc B về cơ sở B0 0 1 1 là: Q P 3 1 1 3 2 1 tọa độ mới của vectơ x1, x2 , x3 u 2,3,3 là 0 1 1 2 0 1 u  u 3 1 1 3 6 B Bo 3 2 1 3 3 3 272: Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B1 sang cơ sở B2 của ¡ là 1 0 0 P 0 1 0 1 1 1 và tọa độ của vectơ u theo cơ sở B1 là x1 1, x2 1, x3 0. Tìm vectơ u theo cơ sở B2. toạ độ x1, x2, x3 của vectơ u = (1, 0, 1) theo cơ sở B có P là ma trận chuyển B0 3 sang cơ sở chính tắc B của ð ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc B về cơ sở B0 1 0 0 là: Q P 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1` 1 1 tọa độ mới của vectơ x1, x2 , x3 là u  u 0 1 0 1 1 B Bo 1 1 1 0 2 3 273: Trong không gian ð cho các vectơu1 (1,0,0),u2 (0, 1,0),u3 (0,0, 1) 3 Biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B1 sang cơ sở B2 u1 ,u2 ,u3 của ð là: 1 0 0 P 0 1 0 và toạ độ vectơ u theo cơ sở B1 là x1 =1, x2 =-1, x3 =0. Tìm 1 1 1 vectơ u theo cơ sở B2. Giải:
  89. 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 P P.P 0 1 0 . u u u 0 1 0 . 0 1 0 A 1B  1 2   1 2 3  1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 y P u B .A.u 0 1 0 . 0 1 0 . 1 0 1 0 . 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 u 1 B2 0
  90. 3.3 Bài tập làm thêm 4.1 tìm m để vectơ V (1,m, 3) là tổ hợp tuyến tính của U1 (1, 2,3),U 2 (0,1, 3) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Lâp phương trình mở rộng 2 1 m 0 1 m 2 0 1 m 2 3 3 3 0 3 6 0 0 3m để vectơ V (1,m, 3) là tổ hợp tuyến tính của U1 (1, 2,3),U 2 (0,1, 3) hệ có nghiệm khi m=0 4.9 tìm hạng của hệ vectơ U1 ( 1,2,0,1),U 2 (1,2,3, 1),U3 (0,4,3,0) 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 Biểu thức lập hạng 1 2 3 1 0 4 3 0 0 4 3 0 rA 3 0 4 3 0 2 0 3 2 2 4 0 2
  91. Chương 4: Trị riêng – vecto riêng 4.1 Lý thuyết  Trị riêng của ma trận A là ngiệm của phương trình: det(A-  I) = 0  Với mỗi trị riêng ta có các vecto riêng tương ứng là ngiệm không tầm thường của hệ phương trình: (A- I)X=0 (*)  (*) được gọi là phương trình đặc trưng của A  Vế trái của (*) gọi là đa thức đặc trưng của A  Các vecto riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính Cách tìm trị riêng – vecto riêng Lập phương trình det(A-  I) = 0 Tìm trị riêng  của ma trận A Tìm các vecto riêng ứng với các trị riêng bằng cáh giải tìm nghiệm không tầm thường của hệ (A- I)X=0 Chéo hóa ma trận vuông cấp n Nếu ma trận vuông A có n trị riêng khác biệt thì có thể chéo hóa được 1. Cách chéo hóa ma trận vuông A cấp n  Tìm các trị riêng  của A  Tương ứng với các trị riêng tìm các vecto riêng độc lập tuyến tính  Lập ma trận vuông P có các cột là các vecto riêng độc lập tuyến tính  Ma trận chéo D=P-1AP có các trị riêng nằm trên đường chéo chính 2. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao Cho ma trận vuông A Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu A=AT Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A không suy biến và AT=A-1 3. Tính chất ma trận trực giao A = 1,-1
  92. Tổng bình phương các phần tử trên mỗi dòng (cột) của A bằng 1 Tổng các tích của các phần tử nằm trên một dòng (cột) nhân với các phần tử tương úng trên một dòng (cột) khác bằng 0 => Với mỗi ma trận đối xứng A luôn tồn tại ma trận trực giao P sao cho P- 1AP là ma trận chéo.
  93. 4.2 Bài tập 0 1 1 274: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A 1 0 1 1 1 0 Giải: Đa thức đặc trưng của A là. 0 1 1 1 0 0  1 1 3 A I 1 0 1  0 1 0 1  1  3 2 1 1 0 0 0 1 1 1  275: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận 1 2 1 A 0 2 0 2 1 0 Đa thức đặc trưng của A là. 1 1 0 1 0 0 1  1 0 2 A I 4 1 0  0 1 0 4 1  0 ( 63 )( 2 3) 0 0 3 0 0 1 0 0 3  1 2 1 1 0 0 1  2 1 2 0 2 0  0 1 0 0 2  0 (2 )(1 ) 2 1 0 0 0 1 2 1  1 2 3 4 0 1 2 3 276: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A 0 0 2 3 0 0 0 2 Giải: Đa thức đặc trưng của ma trận A là. 0 1 2 0 1 0 0 0  1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1  1 0 A I  0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2  0 7 0 0 0 0 0 0 1 7 0 0  277: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận 0 1 2 0 1 0 1 0 A 0 0 2 0 7 0 0 0 Đa thức đặc trưng của A là
  94. A I = 0 1 2 0 1 0 0 0  1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1  1 0  (2 )( 1)2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2  0 7 0 0 0 0 0 0 1 7 0 0  1 4 278: Tìm giá trị riêng của ma trận A 2 1 1 4 1 0 1  4 2 A I =   9 2 1 0 1 2 1  Vậy giá trị riêng thỏa  2 9 =0  = 3 0 2 279: Tìm giá trị riêng  của ma trận A= 2 0 Giải:  2 2 Có: det (A I) 0 del 0  4 0  2 2  1 1 0 Câu 280: Tìm giá trị riêng  của ma trận A 4 1 0 0 0 3 1 1 0 1 0 0 1  1 0 A I 4 1 0  0 1 0 4 1  0 0 0 3 0 0 1 0 0 3  (3 )( 2 2 3) Vậy giá trị riêng thỏa (3 )( 2 2 3) =0  =-1,  =3 281: Với giá trị nào của m thì vectoru m,m là vector riêng của ma trận 0 2 A 3 0 0 2 1 0  2 2 A I =   6 3 0 0 1 3  giá trị riêng thỏa  2 6 =0  = 6 6 2 m Với  =6 thì (A I )X= =0 m=0 3 6 m Tương tự ta có với  =-6 thì m=0 Vectơ riêng của ma trận là u 0,0 282: Với giá trị nào của m thì vectoru m,m,m là vector riêng của ma trận
  95. 5 0 0 A 0 5 0 0 0 5 5 0 0 1 0 0 5  0 0 3 A I = 0 5 0  0 1 0 0 5  0 (5 ) 0 0 5 0 0 1 0 0 5  giá trị riêng thỏa 5- =0  =5 0 0 0 m Với  =5 thì(A I )X= 0 0 0 m 0 mtùy ý 0 0 0 m 1 0 283: Tìm các vectơ giá trị riêng ứng với trị riêng  = -1 của ma trận A 0 1 Giải: Xét phương trình thuần nhất: A  X 0 . Với  = -1 thì ta có: 1 1 x1 A  X 0 . 0 1 1 x2 Vectơ riêng A ứng với  = -1 là nghiệm không tầm thường của hệ x1 x2 0 x1 ( ¡ , 0) x1 x2 0 x2 Vậy vectơ riêng của A ứng vơi trị riêng  = -1 là X=( ( , ) 27 5 284: Tìm các vector giá trị riêng ứng với trị riêng  2 của ma trận A 5 3 Giải: vectơ riêng là nghiệm của hệ (A I)X 0 (X (x1, x2 )) 27 5 1 0 25x 7x 0 x 0 2 X 0 1 2 1 5 3 0 1 7x1 x2 0 x2 0 Vậy vectơ trị riêng X (0,0) 285: Tìm các vector giá trị riêng ứng với trị riêng  0 của ma 2 0 0 trận A 0 0 0 0 0 0 Xét phương trình thuần nhất: A  X 0.Với  0 ta có
  96. 2 0 0 x1 A 0 X 0 0 0 0 . x 0 2 0 0 0 x3 Vectơ riêng A ứng với  = 0 là nghiệm không tầm thường của hệ 2x1 0 x1 0 0x1 0x2 0x3 0 x2 0x1 0x2 0x3 0 x3  Vậy vectơ riêng của A ứng vơi trị riêng  = 0 là X=( (0, ,  ) 2 0 0 286: Tìm các vector giá trị riêng ứng với trị riêng  2 của ma trận A 0 0 0 0 0 0 x1 0 x1 0 Giải: Vectơ trị riêng là nghiiệm của hệ (A I)X 0 2x2 0 x2 0 2x3 0 x3 0 Vậy vectơ trị riêng X (0,0,0) 1 0 287: Cho ma trận Avới . Khẳngm định¡ nào sau đây đúng ? m 0 a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0 b) A không chéo hoá được khi và chỉ khi m 0 c) A chéo hóa được với mọi m d) A chỉ có một trị riêng 0 m Câu 288: Cho ma trận Avới . Khẳng m định ¡ nào sau đây đúng ? m 0 a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0 b) A không chéo hoá được khi và chỉ khi m 0 c) A chéo hóa được với mọi m d) A không có một trị riêng nào ta có giá trị riêng thỏa 0 m  0  m 2 2 A I 0 0 0  m m 0 0  m  0  m 0 Vậy d) A không có một trị riêng nào 1 1 a 289: Cho ma trận A 0 2 b với a, b R 0 0 3 Giải: