›
›

Kinh tế lượng - Chương 5: Đa cộng tuyến và tự tương quan

pdf 51 trang vanle 2680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kinh tế lượng - Chương 5: Đa cộng tuyến và tự tương quan", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkinh_te_luong_chuong_5_da_cong_tuyen_va_tu_tuong_quan.pdf

Nội dung text: Kinh tế lượng - Chương 5: Đa cộng tuyến và tự tương quan

  1. CHƯƠNG 5 ĐA CỘNG TUYẾN VÀ TỰ TƯƠNG QUAN Trọng tâm của chương 5 là bàn về một số giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển bao gồm bản chất của hiện tượng, hậu quả, nguyên nhân, cách phát hiện và biện pháp khắc phục. Nội dung cơ bản của chương này bao gồm: O Đa cộng tuyến - Bản chất của đa cộng tuyến - Ước lượng khi có đa cộng tuyến hoàn hảo - Ước lượng khi có đa cộng tuyến không hoàn hảo - Hậu quả của đa cộng tuyến - Phát hiện sự tồn tại của đa cộng tuyến - Biện pháp khắc phục O Hiện tượng tự tương quan - Nguyên nhân của hiện tượng tự tương quan - Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có hiện tượng tự tương quan - Hậu quả của hiện tượng tự tương quan - Phát hiện có tự tương quan 5.1. HIỆN TƯỢNG ĐA CỘNG TUYẾN Trong mô hình hồi qui bội, giả thiết 5 nói rằng giữa các biến Xi không có quan hệ tuyến tính . Vậy, nếu các biến Xi có quan hệ tuyến tính thì chuyện gì sẽ xảy ra. 5.1.1. Bản chất của đa cộng tuyến Thuật ngữ đa cộng tuyến (multicollinearity) do Ragnar Frisch đưa ra năm 1934. Ý tưởng ban đầu là để chỉ hiện tượng các biến độc lập trong mô hình hồi qui có quan hệ tuyến tính hoàn hảo với nhau. Giả sử trong mô hình có k biến: Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + + kXki + ui (5.1) Quan hệ tuyến tính hoàn hảo (đa cộng tuyến hoàn hảo) tồn tại giữa các biến Xi nếu: 2X2i + 3X3i + + k Xki = 0 với các i (i = 2,3, ,k) không đồng thời bằng 0 (5.2) Ngày nay, khái niệm đa cộng tuyến được sử dụng theo nghĩa rộng hơn. Nó bao gồm trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo và đa cộng tuyến không hoàn hảo. Đa cộng tuyến không hoàn hảo xảy ra khi: 2X2i + 3X3i + +kXki + vi = 0 (5.3) 55
  2. với i (i = 2,3, ,k) không đồng thời bằng 0 và vi là yếu tố ngẫu nhiên Nguyên nhân của đa cộng tuyến  Do bản chất các biến trong mô hình: Chẳng hạn, trong kinh tế các biến số, các chỉ tiêu kinh tế đều có quan hệ với nhau ở mức độ nhất định.  Do thu thập số liệu: Phương pháp thu thập số liệu có thể sinh ra đa cộng tuyến nếu ta thu thập số liệu có giá trị liên hệ trên một biến số. 5.1.2. Hậu quả của đa cộng tuyến 5.1.2.1. Trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo Xét mô hình hồi qui 3 biến Y, X2, X3 có dạng độ lệch dưới đây: ˆ ˆ yi 2 x 2i 3x 3i ei (5.4) Trong đó: y i Yi Y x i X i X (5.5) 1 n 1 n Y  Yi X  X i (5.6) n i 1 n i 1 Các ước lượng bình phương nhỏ nhất sẽ là: n n n n 2 yi x 2i  x 3i  y i x 3i  x 2i x 3i ˆ i 1 i 1 i 1 i 1 β2 (5.7) n n n 2 2 2 x2i  x 3i  x 2i x 3i i 1 i 1 i 1 n n n n 2 yi x 3i  x 2i  y i x 2i  x 2i x 3i ˆ i 1 i 1 i 1 i 1 β3 (5.8) n n n 2 2 2 x3i  x 2i  x 2i x 3i i 1 i 1 i 1 Giả sử X3i = X2i x3i = x2i trong đó  là hằng số khác 0, thay điều kiện này vào (5.7) ta có: n n n n 2 2 2 yi x 2i   x 2i   y i x 2i   x 2i ˆ i 1 i 1 i 1 i 1 0 β2 (5.9) n n n 2 0 2 2 2 2 2 x2i   x 2i   x 2i i 1 i 1 i 1 ˆ ˆ  2 không xác định. Tương tự, ta cũng có thể chỉ ra 3 cũng không xác định Cách khác, ta có thể thay x3i = x2i vào (5.4) ta được ˆ ˆ yi 2 x 2i 3 (x 2i ) ei (5.10) ˆ ˆ (2 3 )x 2i ei 56
  3. ˆ x 2i ei Áp dụng phương pháp tính ước lượng bình phương nhỏ nhất ta có n  x2i y i ˆ ˆ ˆ i 1 2  3  n (5.11) 2  x2i i 1 Như vậy, dù được xác định một cách duy nhất thì cũng không thể xác định được ˆ ˆ  2 , 3 từ một phương trình 2 ẩn. Như vậy, trong trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo ta không có lời giải duy nhất cho các hệ số hồi qui mà chỉ có lời giải duy nhất cho tổ hợp của các hệ số hồi qui. 5.1.2.2. Trường hợp đa cộng tuyến không hoàn hảo Trong thực tế, đa cộng tuyến hoàn hảo ít khi xảy ra, thường xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo ở các số liệu chuỗi thời gian. Với mô hình trên, giả sử ta có đa cộng tuyến không hoàn hảo: x3i = x2i + vi (5.12) Trong đó,  ≠ 0 và v là biến ngẫu nhiên sao cho  x 2i vi 0 (không có quan hệ tương quan giữa x2i và vi). Bằng phương pháp OLS, ta thu được ước lượng của hệ số hồi qui: n n n n n n 22 2 2 yi x 2i   x 2i  v i   y i x 2i  y i v i   x 2i ˆ i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 β2 (5.13) n n n n 2 2 2 2 2 2 2 x2i   x 2i  v i   x 2i i 1 i 1 i 1 i 1 Như vậy, không có lý do gì để nói rằng (5.13) là không ước lượng được  Về mặt thực hành, sự xuất hiện của đa cộng tuyến dẫn đến những hậu quả sau:  Phương sai và hiệp phương sai bị phóng đại 2 ˆ  var(2 ) n (5.14) 2 2  x2i (1 r 23 ) i 1 2 ˆ  var(3 ) n 2 2  x3i (1 r 23 ) i 1 57
  4. r  2 cov(ˆ ,  ˆ ) 23 (5.15) 2 3 n n 2 2 2 (1 r23 )  x 2i  x 3 i i 1 i 1 Trong đó, r23 là hệ số tương quan giữa X2 và X3. Nếu đa cộng tuyến xảy, r23 sẽ dần tới r23 1 thì phương sai và hiệp phương sai sẽ rất lơn. Sự tăng lên của phương sai và hiệp phương sai có thể thấy được qua hệ số phóng đại phương sai (VIF): 1 VIF (r23 1 VIF dần đến vô cùng) (5.16) (1- r 2 ) 23 2 2 ˆ  ˆ  var(2 ) n VI F var(3 ) n VI F 2 2  x2i  x3i i 1 i 1 Do đó, hệ số VIF cho biết phương sai của các ước lượng bị phóng đại như thế nào khi có đa cộng tuyến.  Khoảng tin cậy rộng hơn ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có khoảng tin cậy 95% của i như sau: i 1.96se(i );i 1.96se(i ) ˆ ˆ Có đa cộng tuyến var (  i ) lớn se(  i ) lớn khoảng tin cậy lớn  Thống kê t thấp ˆ ˆ Khi kiểm định giả thiết H0: i = 0, ta sử dụng thống kê t =  i /se(  i ) và so ˆ ˆ sánh nó với giá trị tới hạn t . Có đa cộng tuyến var (  i ) lớn se(  i ) lớn t nhỏ tăng khả năng chấp nhận H0.  R2 cao nhưng thống kê t thấp Xét mô hình hồi qui k biến Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + + kXki + ui (5.17) Khi có đa cộng tuyến, như đã nói ở phần trên, các hệ số góc ước lượng được có thể không có ý nghĩa về mặt thống kê do thống kê t nhỏ. Nhưng trong khi đó, R2 lại có thể rất cao nên khả năng bác bỏ giả thiết Ho: 2 = 3 = = k = 0 bằng kiểm định F là rất cao.  Dấu của các ước lượng của hệ số hồi qui có thể sai  Các ước lượng OLS và các sai số tiêu chuẩn của chúng trở nên rất nhạy đối với những thay đổi trong số liệu. Thêm vào hay bớt đi các biến cộng tuyến với các biến khác, độ lớn và dấu của các ước lượng sẽ có thể thay đổi rất nhiều. 58
  5. 5.1.3. Cách pháp hiện đa cộng tuyến 5.1.3.1. R2 cao nhưng thống kê t có ý nghĩa thấp Trong trường hợp hệ số tương quan cao, thống kê t thấp thì có khả năng tồn tại đa cộng tuyến 5.1.3.2. Hệ số tương quan cặp giữa 2 biến giải thích cao Trong trường hợp hệ số tương quan cặp cao, ví dụ vượt qua 0.8 thì có khả năng tồn tại đa cộng tuyến. Tuy nhiên, hệ số tương quan cặp cao chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần của đa cộng tuyến. Đa cộng tuyến có thể xảy ra ngay cả khi tương quan cặp thấp. 5.1.3.3.Xem xét các hệ số tương quan riêng 1 2 Trong hồi qui Y theo X2, X3, X4. Nếu ta nhận thấy R 1.234 (R thu được từ hồi 2 2 2 qui) cao trong khi r12,34 , r13,24 , r14,23 tương đối thấp thì có thể gợi ý rằng X2, X3, X4 có tương quan cao và ít nhất một trong các biến này không cần thiết cho mô hình. 2 ( r12,34 là hệ số tương quan riêng giữa x1 và x2 trong điều kiện kiểm soát x3 và x4) 5.1.3.4. Hồi qui phụ Vì đa cộng tuyến phát sinh khi một hay nhiều biến giải thích có quan hệ tuyến tính (hoàn hảo hoặc không hoàn hảo) với các biến giải thích khác nên ta có thể pháp hiện đa cộng tuyến bằng cách hồi qui hồi qui mỗi biến giải thích theo các biến giải thích còn lại, gọi là hồi qui phụ, từ đó thu được R2 tương ứng, kí hiệu là 2 Ri . (Hồi qui chính là hồi qui Y theo các Xi) Giả sử xét mô hình (hồi qui chính): Y = 1 + 2X2 + 3X3 + + kXk + U (5.18) Hồi qui phụ có dạng: Xi = 1 + 2X2 + 3X3 + + i-1Xi-1 + i+1Xi+1+ + kXk + v (5.19) 2 Ước lượng (5.19) ta thu được R i . Ta kiểm định giả thiết H0: Không có đa cộng tuyến 2 = 3 = = i-1 = i+1 = = k = 0 H1: Có đa cộng tuyến  i = 0 Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định F: 2 2 R i n (k 1) R i n k 1 Fi 2 . 2 . (5.20) 1 R i k 1 1 1 R i k 2 59
  6. Fi  F (k-2,n-k+1) Fi > F (k-2,n-k+1) bác bỏ giả thiết H0 có đa cộng tuyến Fi 10 là dấu hiệu của đa cộng tuyến nhưng điều này cũng không nhất thiết đúng. 5.1.3.6. Tiêu chuẩn Theil k 2 2 2 m R (R R i ) (5.22) i 2 Trong đó, R2 là hệ số xác định bội trong mô hình hồi qui chính Y = 1 + 2X2 + 3X3 + + kXk + U (5.23) 2 R i là hệ số xác định bội thu được từ việc hồi qui mô hinh (5.23) sau khi đã bỏ đi biến Xi 2 2 2 ( R R i ) được gọi là mức độ đóng góp của Xi đối với R . - Nếu có đa cộng tuyến :m = 0 - Nếu không có đa cộng tuyến : m ≠ 0 Tuy nhiên chỉ số này không xác định được mức độ nghiêm trọng của đa cộng tuyến. 5.1.4. Các phương pháp khắc phục 5.1.4.1. Dùng thông tin tiên nghiệm Hồi qui mô hình: Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + Ui với Y: tiêu dùng, X2: thu nhập, X3: tài sản Rõ ràng, thu nhập và tài sản là những biến có quan hệ cộng tuyến cao. Giả sử, từ những nghiên cứ khác, ta biết rằng 3 = 0.12, nghĩa là tỉ lệ thay đổi của tiêu dùng theo tài sản bằng 1/10 tỉ lệ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập. Ta có thể viết lại hồi qui như sau: Yi = 1 + 2X2i + 0.12X3i + Ui 1 + 2Xi + Ui (với Xi = X2i + 0.1X3i ) (5.24) 60
  7. ˆ Từ việc ước lượng phương trình (5.24) ta thu được  2 . Sau đó, ta dựa vào ˆ thông tin tiên nghiệm để tìm ra ước lượng 3 5.1.4.2. Thu thập thêm số liệu hoặc lấy thêm mẫu mới Đa cộng tuyến là một đặc trưng của mẫu nên có thể tồn tại mẫu khác liên quan đến cùng các biến trong mẫu ban đầu và sử dụng số liệu từ mẫu mới này làm cho đa cộng tuyến bớt nghiêm trọng hơn. Điều này chỉ làm đựơc khi chi phí cho việc lấy mẫu khác không quá cao. 5.1.4.3. Bỏ bớt biến Khi mô hình có đa cộng tuyến thì cách “đơn giản nhất” là loại bỏ các biến cộng tuyến ra khỏi mô hình. Biện pháp này đựơc tiến hành như sau: Trong ví dụ về mô hình hồi qui tiêu dùng Y theo thu nhập X2 và tài sản X3. 2 2 Dựa vào giá trị của R và R trong các hồi qui Y theo X2 và Y theo X3 để quyết định nên bỏ biến nào trong 2 biến X2 và X3 khỏi mô hình. 2 2 Giả sử, R trong hồi qui của Y đối với tất cả các biến X2, X3 là 0,94; R khi loại 2 biến X2 là 0,87 và R khi loại X3 là 0,92; Như vậy, trong trường hợp này, ta loại X3 khỏi mô hình và khắc phục được vấn đề đa cộng tuyến. Tuy nhiên khi loại bỏ biến tài sản khỏi mô hình có thể làm mô hình mắc lỗi kỹ thuật. Do đó, nếu lý thuyết kinh tế khẳng định tiêu dùng phụ thuộc vào cả thu nhập và tài sản thỉ trong mô hình nên có biến tài sản. Đa cộng tuyến có thể làm giảm tính chính xác của các ước lượng thu được nhưng việc bỏ biến có thể dẫn đến một sai lầm nghiêm trọng hơn: đó là sự ngộ nhận về các giá trị đúng của các tham số ước lượng (giá trị ước lượng sai nhưng ta tin là nó đúng). 5.1.4.4. Thực hiện phép biến đổi với các biến số Sử dụng sai phân cấp 1 Khi chúng ta hồi qui với các biến số là các chuỗi thời gian, đa cộng tuyến có thể xẩy ra do xu hướng vận động (tăng, giảm) của các biến theo thời gian. Nếu có tồn tại đa cộng tuyến, có thể dùng sai phân cấp 1 để khắc phục. Thí dụ: Chúng ta có số liệu chuỗi thời gian biểu thị liên hệ giữa biến tiêu dùng Y và các biến phụ thuộc thu nhập X2 và tài sản X3 bằng mô hình sau: Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + Ut (5.25) Trong đó t là thời gian. Phương trình trên đúng với t thì cũng đúng với t-1 nghĩa là: Yt-1 = 1 + 2X2t-1 + 3X3t-1 + ut-1 (5.26) 61
  8. Từ (5.30) và (5.31) ta được: Yt -Yt-1 = 2 (X2t - X2t-1) + 3 (X3t - X3t-1) + ut - ut-1 (5.27) Đặt : yt = Yt -Yt-1 x2t = X2t - X2t-1 x3t = X3t - X3t-1 Vt = Ut - Ut-1 Ta được: yt = 2x2t +3x3t + vt (5.28) Phương trình (5.28) được gọi là phương trình có dạng sai phân cấp 1. Phương trình sai phân cấp 1 có các biến thể hiện sự khác biệt giữa các thời kì. Mô hình hồi qui dạng (5.28) thường làm giảm tính nghiêm trọng của đa cộng tuyến vì X2 và X3 có thể tương quan cao nhưng không có lý do tiên nghiệm nào chắc chắn rằng sai phân của chúng cũng tương quan cao. Tuy nhiên biến đổi sai phân bậc nhất sinh ra một số vấn đề (1) chẳng hạn nhưsố hạng sai số vt trong (5.28) có thể không thoả mãn giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển là các nhiễu không tương quan. Khi đó, biện pháp sửa chữa này lại có thể dẫn đến những khuyết tật nghiêm trọng hơn cho mô hình so với trước khi sửa chữa. (2) Mất đi một quan sát do tiến hành sai phân sẽ làm giảm môt bậc tự do của mô hình vì thế cần cân nhắc khi áp dụng biện pháp này đối với các mẫu nhỏ. (3) Phương pháp này không thể áp dụng cho số liệu chéo (không có yếu tố thời gian). 5.1.4.5. Hồi qui đa thức Khi mô hình có đa cộng tuyến, ta có thể khắc phục bằng cách đưa vào mô hình các dạng khác nhau của biến độc lập. Biến độc lập có thể ở dạng bậc 2, bậc 3 Phương pháp này cũng làm giảm đa cộng tuyến trong mô hình. 5.1.4.6. Một số biện pháp khác Ngoài những biện pháp đã đưa ra người ta còn sử dụng một số biện pháp khác để khác phục hiện tượng đa cộng tuyến sau: - Hồi qui thành phần chính (Phân tích nhân tố) - Hồi qui ngọn sóng - Sử dụng các ước lượng từ bên ngoài 5.2. HIỆN TƯỢNG TỰ TƯƠNG QUAN Một trong các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tương quan chuỗi các nhiễu Ui trong hàm hồi quy tổng thể. Nhưng trong thực tế liệu hiện tượng đó có xảy ra hay không? Nguyên nhân của hiện tượng đó là gì? Nếu có hiện tượng tự tương quan thì liệu nó còn áp dụng được phương 62
  9. pháp bình phương bé nhất nữa không? Làm thế nào để biết rằng hiện tượng tự tương quan xảy ra? Cách khắc phục? Đó là một loạt các câu hỏi mà chúng ta cần phải giải quyết trong phần này. 5.2.1. Bản chất của hiện tượng tự tương quan 5.2.1.1. Khái niệm Thuật ngữ tự tương quan (autocorrelation) có thể hiểu là sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theo thứ tự thời gian (trong các số liệu chuỗi thời gian) hoặc không gian (trong số liệu chéo). Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển giả thiết không có tương quan giữa các yếu tố ngẫu nhiên Ui, nghĩa là: cov(ui, uj) = 0 Giả thiết này có nghĩa là yếu tố ngẫu nhiên của bất kỳ quan sát nào cũng không bị ảnh hưởng bởi yếu tố ngẫu nhiên của các quan sát khác. Xét mô hình hồi qui 2 biến: Yt = 1 + 2X2t + ut (7.1) Giả sử: cov(ut,ut+s) 0 ( s 0 ) và nhiễu có quan hệ với nhau theo dạng sau ut = ut-1 +  t (7.2) trong đó, được gọi là hệ số tự hiệp phương sai (autocovariance),  t là nhiễu ngẫu nhiên thoả mãn các giả thiết của OLS. E(  t ) = 0 2 Var(  t ) =   Cov( t , t s ) =  s (covarian giữa hai thời kì không phụ thuộc vào thời kì, t, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các thời kì) ut-1: trễ một thời kỳ của ut (7.2) được ký hiệu là AR(1) Khi đó, (7.2) được gọi là tự hồi qui bậc nhất và ta nói có tự tương quan bậc nhất trong mô hình. + Tương tự ta có tự tương quan bậc 2: ut = 1ut-1 + 2ut-2 +  t AR(2) + Tổng quát: Tự tương quan bậc p: ut = 1ut-1 + 2ut-2 + + put-p +  t AR(p) Khi giữa các ui có tự tương quan, đồ thị của Ui theo thời gian có thể ở 1 trong các dạng ở đồ thị (a) – (d). Đồ thị (e) không tạo lên một hình dạng nhất định chứng tỏ không có tự tương quan 63
  10. u,e u,e Thời Thời gian gian u,e u,e Thời Thời gian gian u,e Thời gian 5.2.1.2. Nguyên nhân của tự tương quan a. Nguyên nhân khách quan - Do tính quán tính của các số liệu trong kinh tế. Ví dụ, tổng sản phẩm, chỉ số giá thời kỳ sau phụ thuộc thời kỳ trước. 64
  11. - Hiện tượng mạng nhện kiến yếu tố nhiễu không còn ngẫu nhiên mà mang tính hệ thống. Ví dụ, Lượng cung, lượng cầu của thời kỳ này chịu ảnh hưởng của giá thời kỳ trước. Q p QD QD= f( t 1 ) Q QS= f( p t 1 ) Q P1 P P2 P - Trong phân tích hồi qui chuỗi thời gian, mô hình có thể chứa các biến phụ thuộc ở thời kỳ trễ là các biến độc lập. Nếu chúng ta bỏ qua các yếu tố trễ này sẽ là sai số ngẫu nhiên mang tính hệ thống và dẫn tới hiện tượng tự tương quan. Ví dụ: Hàm tiêu dùng: Ct = 1 + 2Yt + 3Ct-1 + ut (do người tiêu dùng thường thay đổi thói quen tiêu dùng). b. Do yếu tố chủ quan - Do quá trình xử lý số liệu có thể dẫn đến hiện tượng các yếu tố ngẫu nhiên tự tương quan với nhau. Ví dụ quá trình lấy trung bình trượt để làm trơn số liệu, hay quá trình ngoại suy đều có thể dẫn đến hiện tượng tự tương quan. - Do mô hình đã bỏ sót 1 hay 1 số biến thích hợp. Điều này không chỉ dẫn đến ước lượng chệch mà còn dẫn đến hiện tượng tự tương quan. Giả sử, mô hình đúng có dạng: Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + ut Trong đó, Y là lượng cầu về thịt bò, X2 là giá thịt bò, X3 là thu nhập của người tiêu dùng, X4 là giá thịt lợn và t là thời gian. Nhưng vì một lý do nào đó, ta hồi qui mô hình: Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + vt vt = 4X4t + ut. Vậy, rõ ràng các vt sẽ tương quan với nhau vì trong vt có yếu tố giá (thụ thuộc lẫn nhau theo thời gian) 65
  12. 5.2.2. Hậu quả của việc sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan ˆ vẫn là ước lượng không chệch, nhưng không phải là các ước lượng có phương sai nhỏ nhất. 2 2 -  là ước lượng chệch của i (thông thường nó ước lượng nhỏ hơn giá trị thực của ˆ 2 ). - Kiểm định T và kiểm định F mất ý nghĩa. - R2 tính toán được có thể là độ đo không đáng tin cậy cho R2 thực 5.2.3. Cách phát hiện 5.2.3.1. Dùng đồ thị phần dư Ta sử dụng phần dư để đại diện cho nhiễu ut.  Vẽ đồ thị phần dư theo thời gian  Vẽ đồ thị phần dư chuẩn hoá theo thời gian. Việc chuẩn hoá giúp triệt tiêu đơn vị, do đó, ta có thể so sánh các phần dư chuẩn hoá trong các hồi qui khác nhau với nhau. U e Có t ~ N (0,1) với các mẫu lớn, t phân phối xấp xỉ N(0,1)  ˆ t  Vẽ đồ thị phần dư theo các giá trị trễ Dùng phương pháp OLS ước lượng mô hình xuất phát e t Để phát hiện AR(1): vẽ đồ thị e t phụ thuộc e t 1 Để phát hiện AR(p): vẽ đồ thị e t phụ thuộc e t p 5.2.3.2. Kiểm định Durbin-Watson (DW) a. Giả thiết của Dubin-Watson Sử dụng thống kê Durbin-Watson để pháp hiện tương quan chuỗi là một phương pháp phổ biên. Thống kê Durbin-Watson được kí hiệu là d: n 2 (et et 1 ) t 2 d n (7.3) 2 et t 1 66
  13. Thống kê d được tính dựa trên phần dư nên chắc chắn tính được. Vì lợi thế này, thống kê d thường được trình bày trong kết quả hồi qui từ các phần mềm kinh tế lượng. Tuy nhiên, cũng cần chú ý tới những giả thiết sau đối với thống kê d.  Mô hình hồi qui phải có hệ số chặn.  Các biến giải thích là biến phi ngẫu nhiên (xác định trong các mẫu nhắc lại). Giả thiết này rất khó đáp ứng trong mô hình kinh tế liên quan đến chuỗi thời gian.  Nhiễu ut được hình thành từ quá trình tự hồi qui bậc 1 ( ut = ut-1 +  t ) nên không thể sử dụng thống kê d pháp hiện tự tương quan bậc cao.  Nhiễu Ut được giả thiết phân bố chuẩn. Nếu không, thống kê d sẽ không đáng tin cậy.  Mô hình hồi qui gốc không chứa độc lập là biến trễ của biến phụ thuộc (mô hình tự hồi qui Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + + kXkt + Yt-1 + ut) . Trường hợp ngược lại, giá trị thống kê d thường xấp xỉ 2, chứng tỏ không có tự tương quan ngay cả khi hiện tượng này xuất hiện trong mô hình.  Không có quan sát bị thiếu trong số liệu. b. Xây dựng thống kê d: n n n n 2 2 2  e t e t 1 e t  et 1 2 et e t 1 t 2 t 2 t 2 t 2 d n n 2 2 e t  et t 1 t 1 2 2 Vì các e t và e t 1 chỉ khác nhau 1 quan sát nên coi chúng xấp xỉ nhau khi đó ta có: n et e t 1 t 2 d= 2 1 n (7.4) 2 e t t 1 n e t e t 1 ˆ t 2 Đặt = n 2 et t 1 Ki đó d 2(1- ˆ ) (7.5) 67
  14. Gọi ˆ là hệ số tương quan bậc nhất của mẫu, đó là ước lượng của . Vì 0 1nên ta suy ra rằng 0 d 0 Nếu ˆ = 0 d = 2 : không có tự tương quan Nếu ˆ = 1 d = 0 : tồn tại tự tương quan dương hoàn hảo Nếu ˆ = -1 d = 4 : tồn tại tự tương quan âm hoàn hảo c. Quy tắc Durbin và Watson đưa ra các giá trị tới hạn DL (Lower) và DU (Upper) để thực hiện kiểm định giả thiết về sự tồn tại tương quan chuỗi. Việc ra quyết định dựa trên thống kê d và các giá trị tới hạn của nó được thực hiện như sau Giả thiết H0 Kết luận Nếu Không có tự tương quan dương Bác bỏ 0 < 0 < dL Không có tự tương quan dương Không kết luận dL d dU Không có tương quan âm Bác bỏ 4 – dL < d < 4 Không có tương quan âm Không kết luận 4 – dU d 4 – dL Không có tự tương quan Không bác bỏ dU < d < 4 - dU Bác bỏ H0: Không bác bỏ Bác bỏ H0: Không kết Không kết Không có tự H0: Không có Không có tương quan luận tự tương quan luận tương quan dương âm 0 DL DU 2 4-DU 4-DL 4 5.2.3.3. Kiểm định Breusch-Godfrey (BG) Xét mô hình: Yt = 1 + 2Xt + ut Trong đó, ut = 1ut-1 + 2ut-2 + + put-p +  t AR(p) Với  t thoả mãn các giả thiết của OLS. Giả thiết H0: 1 2 p 0 (không có tự tương quan) được kiểm định như sau: * Các bước kiểm định 68
  15. Bước 1: Dùng OLS ước lượng mô hình xuất phát, thu được e t Bước 2: Ước lượng mô hình: e t 1 1X t 1e t 1 2e t 2 pe t p v t Thu được R2 (kích thước mẫu chỉ còn n-p). Bước 3: Với n đủ lớn, ta có (n-p)R2 có phân phối xấp xỉ 2 p Kiểm định giả thiết: H0: 1 2 p 0 (không có tự tương quan) H1:  i 0 (có tự tương quan) 2 2 Nếu (n p)R  (p) : Bác bỏ giả thiết H0 2 2 Nếu (n p)R  (p) : Không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết H0 * Ngoài ra có thể sử dụng tiêu chuẩn F để kiểm định giả thiết H0 bằng cách thực hiện hồi quy có điều kiện ràng buộc. Chú ý trong thực hành kiểm định BG:  BG có thể áp dụng đối với: + mô hình gốc có chứa biến giải thích là biến trễ của biến phụ thuộc (Yt-1, Yt- 2 ) + nhiễu có dạng trung bình trượt của phần dư thoả mãn các điều kiện OLS: ut =  t + 1 t-1 + 2 t-2 + + p t-p  Khi độ dài của trễ p = 1, kiểm định BG chính là kiểm định Durbin-Washson  Hạn chế của kiểm định BG là việc xác định độ dài của trễ (p) 5.2.4. Khắc phục hiện tượng tự tương quan Trong trường hợp tự tương quan thuần tuý, tuỳ vào sự hiểu biết của chúng ta về bản chất của sự phụ thuộc qua lại giữa các nhiễu, ta có thể thực hiện khắc phục bằng 1 trong số các biện pháp sau. 5.2.4.1.Trường hợp đã biết Xét mô hình hồi qui 2 biến giản đơn sau: Yt = 1 + 2Xt + ut (7.1) Giả sử có tương quan bậc 1: ut = 1ut-1 +  t (7.6) với  t thoả mãn các giả thiết của OLS. 69
  16. Ta có: Yt-1 = 1 + 2X2t-1 + ut-1 (7.7) Nhân 2 vế phương trình (7.7) với : Yt-1 = 1 + 2Xt-1 + ut-1 (7.8) Trừ (7.1) cho (7.8) ta được: Yt - Yt-1 = 1(1- ) + 2(Xt - Xt-1) + ut - ut-1 * * Y 1  2 X i  t (7.9) (7.9): phương trình sai phân tổng quát * * * * Hay Yt 1  2 X t  t (7.9) có sai số ngẫu nhiên  t thoả mãn các giả thiết của phương pháp OLS không có tự tương quan. 5.2.4.2. Trường hợp chưa biết a. Dùng sai phân cấp 1 Mô hình xuất phát: Yt = 1 + 2Xt + ut (7.1) ut = 1ut-1 +  t , với  t thoả mãn các giả thiết của OLS. Yt Yt 1 1 1 2 X t X t 1  t : Phương trình sai phân tổng quát Với 1 1, 0 + Nếu =1 Yt Yt 1 0 2 (X t X t 1 )  t Yt 2 X t  t (7.10) (7.10): phương trình sai phân không có hệ số chặn + Nếu =-1 Yt Yt 1 21 2 X t X t 1  t Y Y X X t t 1   t t 1 v (7.11) 2 1 2 2 t (7.11) hồi quy trung bình 2 thời kỳ liên tiếp của biến phụ thuộc. Từ các giả thiết về , ta ước lượng được các hệ số ˆ mà không cần biết giá trị thực của (phương trình (7.10) và (7.11)) b. Dùng thống kê d Sau khi thực hiện hồi qui, các phần mềm thường cho ta báo cáo bao gồm giá trị của thống kê Durbin-Watson d. d=2(1- ˆ ) d ˆ 1 2 70
  17. Đẳng thức này gợi cho ta cách thức đơn giản để thu được ước lượng của từ thống kê d. Sau đó, sử dụng ˆ như ước lượng của và thay vào phương trình sai phân tổng quát. * * * * Yt - ˆ Yt-1 = 1(1- ˆ ) + 2(Xt - ˆ Xt-1) + ut - ˆ ut-1 hay Yt 1  2 X t  t Ước lượng phương trình sai phân tổng quát, ta được các ước lượng của các hệ số ˆ * ban đầu ˆ * ,ˆ * ˆ 1 ; ˆ ˆ * 1 1 1 1 ˆ 2 2 c. Ước lượng dựa trên phần dư Nếu phần dư có tự tương quan dưới dạng tự hồi qui bậc 1 [AR(1)], ut = 1ut-1 +  t . Để thu được ước lượng của , ta hồi qui et theo et-1, vì et là ước lượng đúng của ut. Vậy, để ước lượng từ phần dư, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: ước lượng mô hình gốc bằng OLS et Bước 2: hồi qui et = .et-1+  t ˆ Chú ý: ˆ thu được bằng phương pháp này không khác ˆ thu được khi dựa trên thống kê d (do thống kê d cũng được tính dựa trên giả thiết có tự tương quan bậc 1) d. Dùng thủ tục Cochrane - Ocutt Các phương pháp trên chỉ đưa ra 1 giá trị ước lượng ˆ . Phương pháp Cochrane – Ocutt ước lượng lặp lại nên còn được gọi là phương pháp lặp Cochrane – Ocutt. Phương pháp này sử dụng các phần dư et đã được ước lượng để thu thông tin về chưa biết. Các bước: Bước 1: Ước lượng mô hình gốc Yt 1 2 X t U t (6.10) e t Bước 2: Sử dụng các phần dư đã ước lượng để ước lượng hồi quy: e t = e t 1 v t (7.12) ˆ Bước 3: Sử dụng ˆ thu được từ bước 2 để ước lượng phương trình sai phân tổng quát Yt ˆ Y t 1  1(1 ˆ )  2 ( X t ˆ X t 1 ) u t ˆ u t 1 * * * * hay Yt 1  2 X t  t 71
  18. ˆ * ˆ * ,ˆ * ˆ 1 ; ˆ ˆ * 1 1 1 1 ˆ 2 2 Bước 4. Vì chúng ta chưa biết ˆ thu được từ (7.12) có phải là ước lượng tốt nhất ˆ ˆ * của hay không nên ta thay 1 , 2 vào phương trình hồi qui gốc (7.12) et * ˆ ˆ et = Yt - 1 2 X t Quay trở lại bước 2 và cứ tiếp tục cho đến khi hai ước lượng kế tiếp nhau của khác nhau không đáng kể, chẳng hạn bé hơn 0,01 hoặc 0,05. Trong thực tế, dùng 3 đến 4 bước lặp là đủ. Chú ý: ở bước hai, mô hình hổi qui có thể là AR(1) hoặc tự hồi qui ở các bậc cao hơn AR(2), AR(3) Câu hỏi chương 5. 1. Trình bày khái niệm, nguyên nhân, hậu quả, cách phát hiện và biện pháp khắc phục của hiện tượng đa cộng tuyến. 1. Trình bày khái niệm, nguyên nhân, hậu quả, cách phát hiện và biện pháp khắc phục của hiện tượng tự tương quan. 3. Cho C là tiêu dùng, I là thu nhập và W là phúc lợi có quan hệ với nhau dưới dạng ˆ ˆ ˆ ˆ mô hình: CIWi 1  2 i  3 i . Dựa trên số liệu thu thập được ta có: i w 5242; i2 1125,6; w 2 25008 ii  i  i Dùng tương quan cặp để kiểm tra xem mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không? ˆ 4. Cho mô hình: YXXi 1,553 1,4152 i 0,155 3 i . Dựa trên số liệu thu thập được ta có: 2 ˆ yi x2 i 1135,5;  y i x 3 i 5124,7;  y i 899,78; se ( 2 ) 11,56 Dùng hệ số xác định bội R2 và tỉ số t để kiểm tra xem mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không? ˆ ˆ ˆ ˆ 5. Cho mô hình: YXXi 1  2 2 i  3 3 i . Dựa trên số liệu thu thập được ta có: 2 2 n 20; R23 0,875; F (1,18) 4, 41; . Trong đó là R23 hệ số xác định trong hồi quy của biến X2 theo biến X3.Dùng hồi quy phụ để kiểm tra xem mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không? ˆ ˆ ˆ ˆ 6. Cho mô hình: YXXi 1  2 2 i  3 3 i . Dựa trên số liệu thu thập được ta có: 72
  19. 2 2 2 R 0,987; r12 0,691; r 13 0, 296;.Dùng độ đo Theil để kiểm tra xem mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không? ˆ ˆ ˆ 7. Cho mô hình: YXt 1  2 t . Dựa trên số liệu thu thập được ta có: 202 20 2  et et 1 3994;  e t 2661; n = 20;d L 1,201; d U 1,411; t 2 t=1 Dùng kiểm định Durbin-Watson để xem mô hình có hiện tượng tự tương quan không? 73
  20. CHƯƠNG 6. PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI Trọng tâm của chương 6 là bàn về một số giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển bao gồm bản chất của hiện tượng, hậu quả, nguyên nhân, cách phát hiện và biện pháp khắc phục. O Nội dung cơ bản của chương này bao gồm: O Nguyên nhân của phương sai của sai số thay đổi O Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số O Hậu quả của phương sai của sai số thay đổi O Cách phát hiện phương sai của sai số thay đổi O Biện pháp khắc phục 6.1. BẢN CHẤT CỦA HIỆN TƯỢNG Một giả thiết quan trọng khác của OLS là các nhiễu ngẫu nhiên Ui trong hàm hồi quy tổng thể (PRF) có phương sai đồng đều (homoscedasticity): Var(Ui) = 2 Var(Uj) =  ,  (i j). Đồ thị 6.1 cho thấy phương sai có điều kiện của Yi (cũng chính là phương sai của ui) bằng nhau khi các giá trị Xi thay đổi. Đồ thị 6.2 chỉ ra trường hợp ngược lại, phương sai của ui thay đổi khi giá trị của Xi thay đổi. 74
  21. Mật độ Tiết kiệm Thu nhập Hình 6.1: Phương sai sai số đồng đều Mật độ Tiết kiệm Thu nhập Hình 6.2: Phương sai sai số thay đổi  Phương sai sai số thay đổi có thể do những nguyên nhân sau:  Mô hình sửa sai: con người thường học trong quá trình sản xuất. Vì thế, những lỗi mắc phải sẽ ngày càng ít đi theo thời gian. Trong trường hợp này, phương sai của các quan sát được kì vọng là sẽ nhỏ dần theo thời gian phương sai sai số thay đổi.  Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: chẳng hạn khi thu nhập tăng người ta có nhiều lựa chọn hơn trong phạm vi tiêu dùng thu nhập đó. Trong hồi qui tiết kiệm theo 2 thu nhập ta thấy khi thu nhập tăng thì  i cũng tăng theo do người ta có nhiều lựa chọn hơn cho hành vi tiết kiệm. 2  Do kỹ thuật thu thập số liệu ngày càng được nâng cao nên  i cũng giảm dần 75
  22.  Trong mẫu có thể chứa những giá trị ngoại lai của các biến số.  Do việc định dạng mô hình (dạng hàm số, số biến số trong mô hình) sai nên phương sai của sai số cũng thay đổi. Ví dụ, mô hình bỏ sót một số biến hoặc biến đổi các biến số trong mô hình không phù hợp 6.2. HẬU QUẢ CỦA PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI Xét mô hình Yi = 1 + 2Xi + ui ˆ ˆ ˆ 2 Có:  Var( 2 ) E 2 E( 2 ) ˆ 2 E 2  2  n n n ˆ xi từ (2.10) có :  2  1ki  2  k i X i  k i u i với ki n i 1 i 1 i 1 2  xi i 1 n 2 ki u i i 1 2 n ˆ 2 2 2 2 2 2 Var(2 ) E  ki u i E k 1122 u k u k n u n 2 k 1212 k u u 2 k n 11 k n u n u n i 1 Do giả thiết không có tự tương quan nên E(u1u2) = 0 ˆ 2 2 2 2 2 2 Var( 2 ) Ek1 u1 k2 u2 kn un  2 2 2 2 2 2 k1 E(u1 ) k2 E(u2 ) k n E(u) n 2 2 2 2 2 2 k1  1 k 2 2 kn  n n 2 2 ki i i 1 n 2 2  xi i ˆ i 1 Var()2 (6.1) n 2 2  xi i 1 ˆ Công thức tính phương sai của  2 trong trường hợp phương sai sai số thay đổi cho ˆ bởi (6.1) rõ ràng khác với công thức tính phương sai của  2 trong trường hợp 2 ˆ  phương sai đồng nhất: var( 2 ) n 2  xi i 1 Người ta chứng minh được rằng: 76
  23. - Các ước lượng ˆ nhận được vẫn không chệch, tuyến tính nhưng mất tính hiệu quả khi có hiện tượng phương sai số thay đổi (không còn là ước lượng có phươn sai nhỏ nhất nữa). - Ước lượng của các phương sai sẽ bị chệch ( do các phần mềm thống kê đều áp 2 ˆ  dụng công thức var( 2 ) n để tính phương sai cho ước lượng), như vậy khi kiểm 2  xi i 1 định F và T mất hiệu lực. 6.3. CÁC BIỆN PHÁP PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI 6.3.1. Bản chất của vấn đề nghiên cứu Bản chất của vấn đề nghiên cứu cũng gợi ý cho ta rằng có thể xảy ra hiện tượng phương sai sai số thay đổi hay không. Trên thực tế, ở các số liệu chéo liên quan đến các đơn vị không thuần nhất hay xảy ra hiện tượng phương sai sai số thay đổi. 6.3.2. Đồ thị phần dư Do trên thực tế, chúng ta không có giá trị thực của sai số ngẫu nhiên ui nên ta có thể sử dụng phần dư ei để đại diện cho chúng nếu kích kỡ mẫu đủ lớn. 2 Ta có thể vẽ đồ thị ei theo Xi hoặc theo Yi. Chú ý: Trong trường hợp mô hình có nhiều biến độc lập có thể vẽ lần lượt phần dư phụ thuộc vào từng biến độc lập. e2 e2 e2 e2 e2 Hình 6.3 77
  24. Hình 6.3a cho thấy phương sai sai số đồng đều. Các hình 6.3b-6.3e thể hiện phương sai sai số thay đổi. 6.3.3. Kiểm định Park 2 Park đã công thức hoá phương pháp đồ thị bằng giả thiết i là một hàm của biến độc lập. Hàm này có dạng Trong đó: vi là sai số ngẫu nhiên. 2 2 Ước lượng mô hình: ln i ln  ln X i vi (X>0) Kiểm định giả thiết Ho: phương sai sai số đồng đều  0 H1: Phương sai sai số thay đổi  0 2 2 2 Vì i chưa biết nên Park gợi ý sử dụng ei là đại diện cho i . Như vậy, quá trình kiểm định sẽ được thực hiện như sau: 2 2 Bước 1: Dùng OLS để ước lượng mô hình ban đầu phần dư ei ei ln ei Bước 2: ước lượng mô hình : 2 2 ln ei ln  ln X i v i 2 2 ln ei 0 ln X i vi với  0 ln  (6.2) Bước 3: Kiểm định giả thiết ˆ Tính thống kê T, t Se(ˆ) Nếu t t / 2 :Bác bỏ giả thiết Ho phương sai sai số thay đổi Nếu t t / 2 :Không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết Ho phương sai sai số đồng đều 6.3.4. Kiểm định Glejer 2 * Kiểm định Glejer cũng có cùng tư tưởng với kiểm định Park: i là một hàm của biến độc lập. Glejer hồi qui ei phụ thuộc vào các biến số độc lập và theo kinh nghiệm của ông, hồi qui có thể thực hiện với một trong số các dạng hàm sau: ei =1 + 2Xi + vi 1 ei =1 + 2 + vi Xi 1 ei =1 + 2 + vi X i e = +  + v i 1 2 Xi i 78
  25. ei = 1  2 X i + vi 2 ei = 1 2 X i + vi * Kiểm định giả thiết Ho: phương sai sai số đồng đều 2 0 H1: Phương sai sai số thay đổi 2 0 * Các bước: Bước 1: Dùng OLS để ước lượng mô hình ban đầu phần dư ei ei Bước 2: Ước lượng một trong các dạng mô hình ở trên Bước 3: Kiểm định (tương tự như Kiểm định Park) 6.3.5. Kiểm định WHITE Xét mô hình: Yi = 1 + 2X2i +3X3i + Ui Các bước thực hiện kiểm định White 2 Bước 1: Ước lượng mô hình xuất pháp bằng OLS phần dư ei ei Bước 2: Dùng OLS để ước lượng mô hình: 2 2 2 ei = 1 + 2X2 + 3X3 + 4 X 2 + 5 X 3 + 6X2X3 + vi (6.3) Trong đó : v là sai số ngẫu nhiên Chú ý: Ước lượng mô hình R2 Bước 3: Kiểm định giả thiết 2 Ho: phương sai sai số đồng đều R 0 ( 2= = 6= 0) 2 H1: Phương sai sai số thay đổi R 0 (  ! i 0 , i = 2, 6) Có thể chỉ ra rằng nR2 phân phối xấp xỉ 2 (df ), df bằng số hệ số trong mô hình (6.3) không kể hệ số chặn. 2 2 Nếu nR >  (df ) : giả thiết Ho bị bác bỏ 2 2 Nếu nR <  (df ) : không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết Ho 6.3.6. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc Kiểm định này dựa trên ý tưởng sau: 2 i 1 2 E(Yi ) U i 2 2 Do i và E(Yi ) đều chưa biết nên ta sử dụng các ước lượng của chúng tương ứng là: ei và ˆ Yi . ˆ 2 ˆ 2 Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng phương pháp OLS ei và Yi ei và Yi Bước 2: Ước lượng mô hình sau bằng OLS: 79
  26. 2 ˆ 2 ei = 1 + 2 Yi + vi Từ kết quả ước lượng thu được R2 tương ứng. Bước 3: Có thể sử dụng hai tiêu chuẩn sau để kiểm định giả thiết. 2 Ho: phương sai sai số đồng đều R 0 2 H1: Phương sai sai số thay đổi R 0 a.Tiêu chuẩn  2 2 2 2 2 nR có phân bố xấp xỉ  (1). Nếu nR lớn hơn  (1) thì Ho bị bác bỏ. Trường hợp ngược lại thì kết luận không có cơ sở bác bỏ giả thiết Ho. b. Tiêu chuẩn F 2 R 2 n 2 ˆ 2 F= . = 2 có phân bố F (1,n-2) 2 2 1 R 1 se( ˆ 2 ) Nếu F> F (1,n-2) thì hệ số 2 0, có nghĩa là Ho bị bác bỏ, hay phương sai sai số thay đổi. Ngược lại, phương sai của sai số đồng đều. 6.4. CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC Khi mô hình có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi các ước lượng OLS vẫn là các ước lượng không chệch và tính vững nhưng ước lượng đó không còn là ước lượng hiệu quả nữa. Vì thế phải tìm cách để khắc phục là điều cần thiết. 2 2 Việc khắc phục chia làm 2 trường hợp: biết i và chưa biết i . Xét mô hình: Yi = 1 + 2X2i + ui (6.4) 2 Var(ui) = i 2 6.4.1. Trường hợp đã biết i 2 Khi đã biết i ta có thể khắc phục bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số (WLS: Weighted Least Squares). a. Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS: General Least Squares) Khi tiến hành ước lượng, về mặt ý tưởng, ta mong muốn các quan sát thuộc nhóm có giá trị của biến phụ thuộc biến động lớn so với trung bình của tổng thể nhận được trọng số bé hơn so với các quan sát thuộc nhóm có giá trị của biến phụ thuộc biến động ít so với trung bình của tổng thể. Việc này sẽ giúp ta ước lượng hàm hồi qui tổng thể (PRF) chính xác hơn. Xét mô hình: Yi = 1 + 2X2i + ui (6.4) 2 Có var(ui)= i (6.4) có thể viết dưới dạng Yi = 1X0i + 2X2i + Ui với X0i = 1 (6.5) Chia các số hạng của mô hình (6.5) cho i ta được mô hình hiệu chỉnh sau 80
  27. Yi X 0i X i U i = 1 +  2 + (6.6)  i  i  i  i * * * Ui * Yi * X 0i * X i (6.6) Yi 1 X 0i  2 X i vi trong đó vi ; Yi ; X 0i ; X i i i  i  i U 1 Ta có: var(v )= var i = var(U ) =1 i vì var(u )=  2 i 2 i i i i i * * Kết luận: Mô hình với các biến : Y , X 0 ,X là mô hình có phương sai đồng đều. Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS) là phương pháp OLS dựa trên các biến số đã được biến đổi để thoả mãn giả thiết của OLS n ˆ 2 * Phương pháp OLS thu được  : minRSS = min  e i i 1 n ˆ * 2 * Phương pháp WLS thu được  : min RSS = min w i ei i 1 n 2 ˆ * ˆ * * * = min  w i Yi 1 2 Xi = f(1 ,2 ) i 1 1 Trong đó: w i 2 i n f ˆ * ˆ * = 2w i Yi 1 2 Xi ( 1) 0 ˆ *  1 i 1 n n n ˆ * ˆ * 1  w i 2  w i X i  w i Yi i 1 i 1 i 1 n f ˆ * ˆ * = 2w i Yi 1 2 X i ( X i ) 0 ˆ *  2 i 1 n n n ˆ * ˆ * 2 1  w i X i 2  w i Xi  w i X i Yi i 1 i 1 i 1 n n  w i Yi  w i X i ˆ * i 1 ˆ * i 1 1 = n 2 n  w i  w i i 1 i 1 n n n n  w i  w i X i Yi  w i X i  w i Yi ˆ * i 1 i 1 i 1 i 1  2 = n n n 2 2  w i  w i X i  w i X i i 1 i 1 i 1 81
  28. 2 6.4.2. Trường hợp i chưa biết 2 Trong nghiên cứu kinh tế rất ít khi ta biết được i . Do đó, người ta thường 2 đưa ra các giải thiết về i và thực hiện biến đổi mô hình gốc để phương sai sai số không đổi. Áp dụng phương pháp OLS cho các mô hình đã được biến đổi này đồng nghĩa với việc áp dụng phương pháp WLS cho mô hình gốc với trọng số tương ứng rút ra từ các phép biến đổi. Bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser, ta có thể đưa  2 ra các giả thiết sau về i 2 2 2 a. Giả thiết 1: i =  X i Biến đổi mô hình gốc bằng cách chia 2 vế của mô hình gốc (6.4) cho Xi ( Xi 0 ) ta được: Yi 1 U i 1 2 Xi X i Xi * * Ui * Yi * 1 Yi 1 X i  2 vi trong đó, v i ; Yi ; X i Xi Xi X i U 1 Ta có: var(v )= var i = var(U ) =  2 i i 2 i Xi X i Chú ý: Vai trò của hệ số chặn và hệ số góc trong mô hình ban đầu và mô hình sau khi biến đổi đã đổi chỗ cho nhau. 2 2 b. Giả thiết 2: i =  X i (với Xi > 0) 82
  29. Biến đổi mô hình gốc cách chia 2 vế của mô hình gốc (6.4) cho X i Yi 1 U i 1 2 X i X i X i X i * * * Yi 1 X 1i  2 X 2i vi U i * Yi * 1 * trong đó v i ; Yi ; X1i ; X 2i X i X i Xi X i 2 Ta thấy, var(vi) =  i Chú ý: Trong trường hợp này, mô hình biến đổi không có hệ số chặn. 2 2 2 c. Giả thiết 3: i =  E Yi Thực hiện phép biến đổi mô hình gốc bằng cách chia 2 vế của mô hình gốc (6.4) cho E(Yi) ta được: Yi 1 Xi U i 1 2 E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) 1 X i U i = 1  2 vi với vi E(Yi ) E(Yi ) E(Yi ) 2 var(vi) =  i ˆ Do E(Yi) chưa biết nên chúng ta dùng ước lượng của nó là Yi bằng cách thực hiện các bước sau: ˆ Bước 1: Dùng OLS ước lượng mô hình gốc (6.4), từ đó nhận được Yi tương ứng. ˆ Bước 2: Sử dụng Yi để biến đổi mô hình gốc như sau: Y 1 X U i   i i ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ Yi Yi Yi Yi Phép biến đổi này được sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối lớn. Vì khi ˆ đó ước lượng Yi gần với E(Yi) hơn. 83
  30. d. Biến đổi loga dạng hàm 2 Đôi khi thay cho việc dự đoán về i người ta xác định hoặc biến đổi dạng hàm Giả sử thay cho việc ước lượng mô hình gốc chúng ta sẽ ước lượng mô hình: lnYi = 1 + 2lnX2i + ui Phép biến đổi loga sẽ làm giảm sự khác biệt về độ lớn của các biến số trong mô hình. Do đó, nó làm giảm khả năng xảy ra phương sai của sai số thay đổi. Ví dụ, hai quan sát có giá trị là 8 và 80. Tức là, giá trị của quan sát này gấp 10 lần giá trị của quan sát kia. Nhưng ln(80) = 1.328 và ln(8) = 2.079. Như vậy, sau phép biến đổi loga, giá trị của quan sát này chỉ gấp đôi giá trị quan sát kia. Một trong những ưu thế khác của phép biến đổi loga là hệ số 2 là hệ số co dãn của Y đối với X. Câu hỏi chương 6. 1. Trình bày khái niệm, nguyên nhân và hậu quả, cách phát hiện của hiện tượng phương sai sai số thay đổi. 2. Trình bày cách khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi theo giả thiết 1 và giả thiết 2. ˆ 3. Từ một mẫu người ta thiết lập được mô hình YXi 4,5 0,84 i . Tính ra phần dư ei và người ta tính được hạng di = hạng ei – hạng Xi. Cho các thông số sau: n = 20, 2 t0,025(18) = 2,101;  di 549 . Dùng kiểm định tương quan hạng Spearman để phát hiện xem có hiện tượng phương sai sai số thay đổi trong mô hình không? ˆ ˆ ˆ 4. Từ một mẫu n = 30 quan sát theo mô hình YXi 1  2 i người ta sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần của biến X. Bỏ 6 quan sát ở giữa, chia số mẫu còn lại thành 2 nhóm gọi là nhóm 1 và nhóm 2. Ước lượng OLS cho mỗi nhóm trên ta có các thông số sau: Nhóm 1: TSS1 = 5564 ; ESS1 = 2892. Nhóm 2: TSS2 = 19913; ESS2 =6331. Dùng kiểm định Goldfeld để phát hiện xem có hiện tượng phương sai sai số thay đổi trong mô hình chung hay không biết rằng F0,05(10,10) = 2,98, 84
  31. CHƯƠNG 7. CHỌN MÔ HÌNH VÀ KIỂM ĐỊNH VIỆC CHỌN MÔ HÌNH Trọng tâm của chương 7 là việc đánh giá và lựa chọn mô hình hồi quy theo một số tiêu chí được áp dụng rộng rãi trong thực nghiệm, chương này cũng trình bày một số kiểm định liên quan đến sai số đặc trưng trọng việc chỉ định mô hình như việc kiểm định thừa biến, thiếu biến, kiểm định việc lựa chọn dạng hàm của mô hình. Nội dung cơ bản của chương này bao gồm: O Các thuộc tính tốt của một mô hình - Tính kiệm - Tính thống nhất - Tính thích hợp - Tính vững về mặt lý thuyết - Khả năng về dự đoán O Các loại sai lầm khi chỉ định - Bỏ sót biến thích hợp - Đưa vào biến không thích hợp - Chọn dạng hàm không đúng O Phát hiện những sai lầm chỉ định-kiểm định 7.1. CÁC SAI LẦM ĐỊNH DẠNG 7.1.1. Các thuộc tính của một mô hình tốt  Tính kiệm: Mô hình là sự biểu diễn đơn giản nhưng hoàn chỉnh của hiện tượng. Mô hình càng đơn giản càng tốt.  Tính thống nhất: nghĩa là với cùng 1 tập số liệu, giá trị các tham số phải thống nhất  Tính vững về mặt lý thuyết: Mô hình phải có tính phù hợp về mặt lý thuyết, không được sai phạm các vấn đề kinh tế cơ bản. Ví dụ, hệ số tiêu dùng biên phải thuộc [0,1].  Tính thích hợp: Vì mục đích của mô hình là giải thích sự thay đổi của biến phụ thuộc do sự thay đổi của các biến độc lập nên R2, R 2 cao là một tiêu chuẩn cần thiết  Khả năng dùng cho dự báo của mô hình: dự báo dựa trên mô hình phải phù hợp với thực tế. 85
  32. 7.1.2. Các sai lầm định dạng Định dạng mô hình nghĩa là xác định mô hình có chứa những biến số nào và dạng của quan hệ giữa biến phụ thuộc với các biến độc lập trong mô hình. Khi định dạng mô hình có thể gặp một số sai lầm sau. a. Mô hình bỏ sót biến thích hợp Giả sử mô hình đúng có dạng: Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui (8.1) Nhưng vì một lý do nào đó, chúng ta ước lượng mô hình: Yi = 1 + 2X2i + vi (8.2) vi = 2X3i + ui Tức là, trong quá trình xây dựng mô hình ta đã bỏ sót biến X3 mà đáng lẽ phải có mặt trong mô hình. Việc bỏ sót như vậy sẽ gây ra một số hậu quả:  Trường hợp X2 và X3 có tương quan với nhau (r23 0) bỏ sót X3 sẽ khiến X2 và vi có quan hệ tương quan vi phạm giả thiết (1) của OLS (các biến giải thích và sai số ngẫu nhiên không có quan hệ tương quan) Các tham số ước lượng được bị chệch ngay cả khi kỡ mẫu lớn Ước lượng của 2 được tính theo công thức sau: n n n n n 2  x2i y i x22233i() x i  x i u i  22323  x i   x i x i  x 2 i u i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 ˆ2 n = n n 2 2 2  x2i x2i  x 2 i i 1 i 1 i 1 n n x2i x 3 i  x 2 i u i i 1 i 1 ˆ2  2  3 n n 2 2 x2i  x 2 i i 1 i 1 n  x2i x 3 i E( ˆ ) =  +  i 1 2 2 3 n 2  x2i i 1 n  x2i x 3 i  i 1 là phần chệch trong ước lượng của . 3 n 2  x2i i 1 n n x x x x/ ( n 1)  2i 3 i  2i 3 i cov(XX , )  i 1 =  i 1 2 3 3 n 3 n 3 2 2 var(X 2 )  x2i  x2i / ( n 1) i 1 i 1 86
  33. Từ công thức phần chệch trên cho ta thấy, chệch sẽ không đáng kể khi: + 3 0 X3 không nên có mặt trong mô hình + cov(XX2 , 3 ) 0 rất ít trong thực tế vì các biến số kinh tế thường có tương quan chặt chẽ. ˆ ˆ ˆ  E( ˆ1 ) = E(Y ˆ 2 X 2 ) E(1 2 X 2 3 X 3 ˆ 2 X 2 ) = 1 + (2 - 2)X2 + 3X3 1  Trường hợp X2 và X3 không có tương quan với nhau (r23 = 0) ước lượng của 2 không bị chệch (như phần trình bầy trên) nhưng ước lượng 1 vẫn bị chệch. E( ˆ1 ) = 1 + 3X3 1 RSS  Phương sai của yếu tố ngẫu nhiên, 2 , bị ước lượng chệch (ˆ 2 , trong hai df mô hình RSS và df đều khác nhau. RSS1 < RSS2 và df1 = n - 3 < df2 = n – 2 (do mô hình (8.1) có nhiều biến giải thích hơn)  2 ˆ ˆ  var( 2 ) = n là ước lượng chệch của phương sai của ước lượng đúng  2 , 2  x2i i 1 2 2 ˆ   var(  2 ) = n n VIF 2 2 2 x2i(1 r 23 )  x 2 i i 1 i 1 2 ˆ 0 < r 23 < 1 var( ˆ 2 ) < var(  2 ) ở đây có sự đánh đổi giữa tính chệch và tính hiệu quả  Từ các hậu quả trên, khoảng tin cậy và kiểm định giả thiết sẽ dẫn tới những kết luận sai lầm về ý nghĩa thống kê của tham số ước lượng được  Giá trị dự báo cũng như khoảng tin cậy được dự báo không đáng tin cậy do mô hình sai. b. Mô hình chứa biến số không thích hợp Giả sử mô hình đúng là Yi = 1 + 2X2i + ui (8.3) Nhưng trên thực tế, chúng ta ước lượng mô hình: Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + vi (8.4) Hậu quả của việc trong mô hình chứa biến không thích hợp như sau:  Các tham số ước lượng từ mô hình vẫn là ước lượng không chệch và vững. Nghĩa là E( ˆ1 ) = 1; E( ˆ 2 ) = 2 (Vì X3 là biến không thích hợp trong mô hình nên E( ˆ3 ) = 0)  Phương sai của yếu tố nhẫu nhiên, 2, vẫn được ước lượng đúng  Khoảng tin cậy và kiểm định giả thiết vẫn hợp lệ và đáng tin cậy 87
  34.  Tuy nhiên, mất tính hiệu quả do ước lượng thu được của phương sai không phải ˆ là nhỏ nhất var( ˆi ) > var( i ).  2  2 ˆ ˆ Ví dụ, var(  2 ) = n > var( 2 ) = n 2 2  x2i  x2i (1 r 23 ) i 1 i 1 7.1.3. Dạng hm không đúng Một loại sai lầm chỉ định lớn nhất của mô hình đó là dạng hàm sai. Nếu mắc phải sai lầm này các hệ số thu được từ mô hình hồi quy sai sẽ không chính xác vì bị đánh giá gián tiếp thông qua thông tin khác của mô hình, do đó, sẽ cho kết luận không chính xác về ảnh hưởng của biến độc lập đến biến phụ thuộc. Giả sử mô hình đúng là: Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + ut (8.5) Nhưng mô hình sai được ước lượng có dạng: ln(Yt) = 1 + 2 ln(X2t) + 2X3t + ut (8.6) 7.2. CÁCH PHÁT HIỆN CÁC SAI LẦM ĐỊNH DẠNG Ta cũng biết những hậu quả do sai lầm định dạng gây ra, vấn đề đặt ra là cách phát hiện và tìm biện pháp khắc phục chúng. 7.2.1. Phát hiện mô hình chứa biến không thích hợp Giả sử, ta có mô hình hồi qui: Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + 5X5t + ut (8.7)  Nếu ta không biết biến X5 có thực sự cần thiết trong mô hình không thì dùng kiểm định t để kiểm định về sự bằng 0 của hệ số biến tương ứng. H0: 5 = 0 H1: 5 0 Nếu giả thiết H0 được chấp nhận, chứng tỏ X5 không cần thiết cho mô hình  Nếu có hơn một biến, ví dụ X4 và X5, bị nghi ngờ không thích hợp với mô hình thì dùng kiểm định F (Hồi qui có điều kiện ràng buộc) H0: 4 = 5 = 0 H1: 4, 5 không đồng thời bằng 0 Nếu H0 được chấp nhận, chứng tỏ X4, X5 không cần thiết cho mô hình.  Trong các trường hợp giả thiết về sự bằng 0 của các tham số ước lượng thì việc bỏ hay giữ lại các biến này cần được cân nhắc kỹ. Vì + Khi bỏ đi một số biến số có thể dẫn đến một số giả thiết khác của mô hình không được đảm bảo. 88
  35. + Nếu trong các lý thuyết khẳng định sự có mặt của các yếu tố này trong mô hình thì dù giả thiết hệ số ước lượng của các yếu tố này có bằng 0 được chấp nhận cũng không nên loại bỏ các biến số này khỏi mô hình. 7.2.2. Phát hiện mô hình bỏ sót biến thích hợp Xét mô hình: Yi = 1 + 2Xi + ui Giả sử ta có nghi nghờ mô hình bị bỏ sót biến z, khi đó tuỳ thuộc vào việc có hay không có các quan sát tương ứng đối với biến Z để kiểm định việc bỏ sót hay không bỏ sót biến này. + Trường hợp 1: có quan sát đối với biến Z Ta ước lượng mô hình: Yi = 1 + 2Xi + 3Zi + ui Sau đó kiểm định giả thiết: H0: 3 = 0 H1 : 3 0 Nếu kết quả cho thấy không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết H0, nghĩa là không bỏ sót biến Z. Còn ngược lại thì mô hình bỏ sót biến Z. + Trường hợp 2: chưa có quan sát đối với biến Z: khi đó người ta sẽ tìm một biến đại diện cho Z, ví dụ Z’, và ước lượng lại mô hình có biến Z’, từ đó có kết luận về việc bỏ sót hay không bỏ sót biến Z. a. Kiểm định Ramsey Ý tưởng của kiểm định Ramsay như sau. Sau khi hồi qui mô hình gốc ta thu được Yˆ và phần dư e. Nếu đồ thị của phần dư e theo Yˆ có một dáng điệu đặc biệt nào đó thể hiện mối quan hệ giữa e và Yˆ thì chứng tỏ rằng nếu ta đưa các dạng khác nhau của Yˆ vào phương trình hồi qui với tư cách biến giải thích sẽ làm tăng R2. Trường hợp R2 tăng có ý nghĩa về mặt thống kê, gợi ý rằng dạng hàm ban đầu là sai. Kiểm định Ramsey được tiến hành theo các bước sau: Giả sử mô hình được ước lượng là Y= 1 + 2X + u (R) Bước 1: ước lượng mô hình xuất phát, ta thu được Yˆ (giá trị biến phụ thuộc nhận 2 được từ hàm hồi quy mẫu) và R R Tính Yˆ 2 , Yˆ 3 ˆ 2 ˆ 3 Bước 2: Ước lượng mô hình: Y= 1 + 2X + 3 Y + 4 Y + + v (UR) 2 thu được R UR Bước 3: Kiểm định giả thiết : H0: 3 = 4 = =0 89
  36. H1 : i 0 (i=3,4, ) Tính thống kê F: 2 2 R UR R R / m F= 2 1 R UR /(n k) Trong đó: m là các số hạng mới đưa vào mô hình xuất phát k là số các hệ số của mô hình mới Với n khá lớn F có phân bố F(m, n-k). Nếu F F(m, n-k) bác bỏ H0, mô hình đã bỏ sót biến số nào đó. b. Kiểm định bằng nhân tử Lagrange (LM) - Bước 1: Ước lượng mô hình xuất phát Yi = 1 + 2Xi + ui ˆ ta thu được Yi và phần dư ei - Bước 2: Ước lượng mô hình sau: ˆ 2 ˆ 3 ei = 1 + 2Xi + 3 Y + 4 Y + + vi Kết quả ước lượng thu được R2. Với n khá lớn nR2 có phân bố xấp xỉ 2 (m) , trong đó m là số các biến số Yˆ 2 , Yˆ 3 , , Yˆ p . Dựa vào giá trị nR2 kết luận về kiểm định: 2 H0: 3 = 4 = = 0 (R = 0), mô hình đúng 2 H1 : i 0 (i=3,4, ) (R 0), mô hình sai c. Kiểm định Durbin-Watson d Trong trường hợp dạng hàm sai do bỏ sót biến, phần dư u sẽ chứa những thông tin cần thiết để giải thích sự thay đổi của biến phụ thuộc. Và khi đó, đồ thị của u sẽ có những dáng điệu nhất định (không còn ngẫu nhiên). Vì vậy, ta có thể sử dụng thống kê Durbin-Watson, được tính toán từ các ui để phát hiện sai lầm định dạng này. Giả sử mô hình ban đầu Y= 1 + 2X + u Bước 1: Ước lượng mô hình gốc nhận được phần dư tương ứng. Bước 2: Nếu ta nghi ngờ đã bỏ sót biến Z thì sắp xếp lại ei theo giá trị tăng dần của biến Z, trong trường hợp biến Z không có thì sắp xếp ei theo 1 trong các biến độc lập nào đó. Bước 3: Tính thống kê d: n 2  ei ei 1 i 2 d n 2 ei i 2 90
  37. Bước 4: Kiểm định giả thiết H0: Dạng hàm đúng H1 : Dạng hàm sai Dựa vào bảng Durbin-Watson và mức ý nghĩa, ta tìm được các giá trị dL và dU tương ứng. Kết luận về dạng hàm sai được khẳng định nếu giá trị d cho thấy tồn tại dấu hiệu của tự tương quan. * Chú ý: Các tiêu chuẩn Ramsey và LM cũng được sử dụng để kiểm định giả thiết H0: Dạng hàm đúng H1 : Dạng hàm sai 7.2.3. Kiểm định về tính phân bố chuẩn của U Giả thiết: H0: u có phân bố chuẩn H1 : u không có phân bố chuẩn Để sử dụng các kiểm định T, kiểm định F,  2 , trong hầu hết các trường hợp chúng ta giả thiết rằng các sai số ngẫu nhiên ui có phân bố chuẩn. Do tổng thể chưa biết nên ta cũng không biết được ui và do đó phải đoán nhận thông qua ei . Để kiểm định giả thiết ei có phân bố chuẩn hay không người ta thường dùng tiêu chuẩn  2 . Còn trong hầu hết các phần mềm kinh tế lượng thường sử dụng kiểm định Jarque-Bera (JB). Thống kê JB đo sự khác nhau của hệ số bất đối xứng và độ nhọn của chuỗi. Thống kế JB được tính như sau: S2 K 3 2 JB = n 6 24 Trong đó, S là hệ số bất đối xứng, K là hệ số nhọn, n là kích thước mẫu. Trong trường hợp tổng quát S và K được tính như sau: n n 3 4  X i X / n  Xi X / n i 1 i 1 S = 3 K = 4 SX SX Với n khá lớn JB có phân bố xấp xỉ 2 (2) . 2 Nếu JB >  (2) : Bác bỏ H0 2 Nếu JB <  (2) : Không đủ cơ sơ bác bỏ H0. Câu hỏi chương 7 1. Trình bày các thuộc tính của một mô hình tốt, cho ví dụ 2. Các sai lầm cơ bản khi chọn và kiểm định việc chọn mô hình, cho ví dụ. 91
  38. PHỤ LỤC Bảng 1. Phân bố T - student k/α 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.2 1 318.309 159.153 63.657 31.821 15.895 12.706 6.341 3.078 1.376 2 22.327 15.764 9.925 6.695 4.849 4.303 2.920 1.886 1.061 3 10.215 8.053 5.841 4.541 3.482 3.182 2.353 1.638 0.978 4 7.173 5.951 4.604 3.747 2.999 2.776 2.132 1.533 0.941 5 5.893 5.030 4.032 3.365 2.757 2.571 2.015 1.476 0.920 6 5.208 4.524 3.707 3.143 2.612 2.447 1.943 1.440 0.906 7 4.785 4.207 3.499 2.998 2.517 2.365 1.895 1.415 0.896 8 4.501 3.991 3.355 2.896 2.449 2.306 1.860 1.379 0.889 9 4.297 3.835 3.250 2.821 2.398 2.262 1.833 1.383 0.883 10 4.144 3.716 3.169 2.764 2.359 2.228 1.812 1.372 0.879 11 4.025 3.624 3.106 2.718 2.328 2.201 1.796 1.363 0.876 12 3.930 3.550 3.055 2.681 2.303 2.179 1.782 1.356 0.873 13 3.852 3.489 3.012 2.650 2.282 2.160 1.771 1.350 0.870 14 3.787 3.438 2.977 2.624 2.264 2.145 1.761 1.345 0.868 15 3.733 3.395 2.947 2.602 2.249 2.131 1.753 1.341 0.866 16 3.686 3.358 2.921 2.583 2.235 2.120 1.746 1.337 0.865 17 3.646 3.326 2.898 2.567 2.224 2.110 1.740 1.333 0.863 18 3.610 3.298 2.878 2.552 2.214 2.101 1.734 1.330 0.862 19 3.579 3.273 2.861 2.539 2.205 2.093 1.729 1.328 0.861 20 3.552 3.251 2.845 2.528 2.179 2.086 1.725 1.325 0.860 21 3.527 3.231 2.831 2.518 2.189 2.080 1.721 1.323 0.859 22 3.505 3.214 2.819 2.508 2.183 2.074 1.717 1.321 0.858 23 3.485 3.198 2.807 2.500 2.177 2.069 1.714 1.319 0.858 24 3.467 3.183 2.797 2.492 2.172 2.064 1.711 1.318 0.857 25 3.450 3.170 2.787 2.485 2.167 2.060 1.708 1.316 0.856 26 3.435 3.158 2.779 2.479 2.162 2.056 1.706 1.315 0.856 27 3.421 3.147 2.771 2.473 2.158 2.052 1.703 1.314 0.855 28 3.408 3.136 2.763 2.476 2.154 2.048 1.701 1.313 0.855 29 3.396 3.127 2.256 2.426 2.150 2.045 1.699 1.311 0.854 92
  39. Bảng 1. Phân bố T - student (tiếp theo) k/α 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.2 30 3.385 3.118 2.750 2.457 2.147 2.042 1.697 1.310 0.854 31 3.375 3.109 2.744 2.453 2.144 2.040 1.696 1.309 0.853 32 3.365 3.102 2.738 2.449 2.141 2.037 1.694 1.309 0.853 33 3.356 3.094 2.733 2.445 2.138 2.035 1.692 1.308 0.853 34 3.348 3.088 2.728 2.441 2.136 2.032 1.691 1.307 0.852 35 3.340 3.081 2.724 2.438 2.133 2.030 1.690 1.306 0.852 36 3.333 3.075 2.719 2.434 2.131 2.028 1.688 1.306 0.852 37 3.326 3.070 2.715 2.431 2.129 2.026 1.687 1.305 0.851 38 3.319 3.064 2.712 2.429 2.127 2.024 1.686 1.304 0.851 39 3.313 3.059 2.708 2.426 2.125 2.023 1.685 1.304 0.851 40 3.307 3.055 2.704 2.423 2.123 2.021 1.684 1.303 0.851 41 3.301 3.050 2.701 2.421 2.121 2.020 1.683 1.303 0.850 42 3.296 3.046 2.698 2.418 2.120 2.018 1.682 1.302 0.850 43 3.291 3.042 2.695 2.416 2.118 2.017 1.681 1.302 0.850 44 3.286 3.038 2.692 2.414 2.116 2.015 1.680 1.301 0.850 45 3.281 3.034 2.690 2.412 2.115 2.014 1.679 1.301 0.850 46 3.277 3.030 2.687 2.410 2.114 2.013 1.679 1.300 0.850 47 3.273 3.027 2.685 2.408 2.112 2.012 1.678 1.300 0.849 48 3.269 3.024 2.682 2.407 2.111 2.011 1.677 1.299 0.849 49 3.265 3.021 2.680 2.405 2.110 2.010 1.677 1.299 0.849 50 3.261 3.018 2.678 2.403 2.109 2.009 1.676 1.299 0.849 51 3.258 3.015 2.676 2.402 2.108 2.008 1.675 1.298 0.849 52 3.255 3.012 2.674 2.400 2.107 2.007 1.675 1.298 0.849 53 3.251 3.009 2.672 2.399 2.106 2.006 1.674 1.298 0.848 54 3.248 3.007 2.670 2.397 2.105 2.005 1.674 1.297 0.848 55 3.245 3.005 2.668 2.396 2.104 2.004 1.673 1.297 0.848 56 3.242 3.002 2.667 2.395 2.103 2.003 1.673 1.297 0.848 57 3.239 3.000 2.665 2.394 2.102 2.002 1.672 1.297 0.848 58 3.237 2.998 2.663 2.392 2.101 2.002 1.672 1.296 0.848 59 3.234 2.996 2.662 2.391 2.100 2.001 1.671 1.296 0.848 60 3.232 2.994 2.660 2.390 2.099 2.000 1.671 1.296 0.848 61 3.229 2.992 2.659 2.389 2.099 2.000 1.670 1.296 0.848 93
  40. Bảng 2. Bảng phân bố F; α = 0.01 k2/k1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 98.503 99.000 99.166 99.249 99.299 99.333 99.356 99.374 3 34.116 30.817 29.457 28.710 28.237 27.911 27.672 27.489 4 21.198 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 5 16.258 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 6 13.745 10.925 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7 12.246 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 8 11.259 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 9 19.561 8.022 6.992 6.422 6.075 5.802 5.613 5.467 10 10.044 7.559 6.552 5.994 5.636 5.386 5.200 5.057 11 9.646 7.206 6.217 5.668 5.316 5.069 4.886 4.744 12 9.330 6.927 5.953 5.412 5.064 4.821 4.640 4.499 13 9.074 6.701 5.739 5.205 4.862 4.620 4.441 4.302 14 8.862 6.515 5.564 5.035 4.695 4.456 4.278 4.140 15 8.863 6.359 5.417 4.893 4.556 4.318 4.142 4.004 16 8.531 6.226 5.292 4.773 4.437 4.202 4.026 3.890 17 8.400 6.112 5.185 4.669 4.336 4.102 3.927 3.791 18 8.258 6.013 5.092 4.579 4.248 4.015 3.841 3.705 19 8.185 5.926 5.010 4.500 4.171 3.939 3.765 3.631 20 8.096 5.849 4.938 4.431 4.103 3.871 3.699 3.564 21 8.017 5.780 4.874 4.369 4.042 3.812 3.640 3.506 22 7.945 5.719 4.817 4.313 3.988 3.758 3.587 3.453 23 7.881 5.664 4.765 4.264 3.939 3.710 3.539 3.406 24 7.823 5.614 4.718 4.218 3.895 3.667 3.496 3.363 25 7.770 5.568 4.675 4.177 3.855 3.627 3.457 3.324 26 7.721 5.526 4.673 4.140 3.818 3.591 3.421 3.288 27 7.677 5.488 4.601 4.106 3.785 3.558 3.388 3.256 28 7.636 5.453 4.568 4.074 3.754 3.528 3.358 3.226 29 7.598 5.420 4.538 4.045 3.725 3.499 3.330 3.198 30 7.562 5.390 4.510 4.018 3.699 3.473 3.304 3.173 94
  41. Bảng 2. Bảng phân bố F (tiếp theo); α = 0,01 k2/k1 9 10 11 12 13 14 15 16 2 99.388 99.399 99.408 99.416 99.422 99.428 99.433 99.437 3 27.345 27.229 27.133 27.052 26.983 26.924 26.872 26.827 4 14.659 14.546 14.452 14.374 14.307 14.249 14.198 14.154 5 10.158 10.051 9.963 9.888 9.825 9.770 9.722 9.680 6 7.976 7.874 7.790 7.718 7.657 7.605 7.559 7.519 7 6.719 6.620 6.538 6.469 6.410 6.359 6.314 6.275 8 5.911 5.814 5.734 5.667 5.609 5.559 5.515 5.477 9 5.351 5.257 5.178 5.111 5.055 5.005 4.962 4.924 10 4.942 4.849 4.772 4.706 4.650 4.601 4.558 4.520 11 4.632 4.539 4.462 4.397 4.342 4.293 4.251 4.213 12 4.388 4.286 4.220 4.155 4.100 4.052 4.010 3.972 13 4.191 4.100 4.025 3.960 3.905 3.857 3.815 3.778 14 4.030 3.939 3.864 3.800 3.745 3.698 3.656 3.619 15 3.895 3.805 3.730 3.666 3.612 3.564 3.522 3.485 16 3.780 3.691 3.616 3.553 3.498 3.451 3.409 3.372 17 3.682 3.593 3.519 3.455 3.401 3.353 3.312 3.275 18 3.597 3.508 3.434 3.371 3.316 3.269 3.227 3.190 19 3.523 3.434 3.360 3.297 3.242 3.195 3.153 3.116 20 3.457 3.368 3.294 3.231 3.177 3.130 3.088 3.051 21 3.398 3.310 3.236 3.173 3.119 3.072 3.030 2.993 22 3.346 3.258 3.184 3.121 3.067 3.019 2.978 2.941 23 3.299 3.211 3.137 3.074 3.020 2.973 2.931 2.894 24 3.256 3.168 3.094 3.032 2.977 2.930 2.889 2.852 25 3.217 3.129 3.056 2.993 2.939 2.892 2.850 2.813 26 3.182 3.094 3.021 2.958 2.904 2.857 2.815 2.778 27 3.149 3.062 2.988 2.926 2.871 2.824 2.783 2.746 28 3.120 3.032 2.959 2.896 2.842 2.795 2.753 2.716 29 3.092 3.005 2.931 2.868 2.814 2.767 2.726 2.689 30 3.067 2.979 2.906 2.843 2.789 2.742 2.700 2.663 31 3.043 2.955 2.882 2.820 2.765 2.718 2.677 2.640 32 3.021 2.934 2.860 2.798 2.744 2.696 2.655 2.618 33 3.000 2.913 2.840 2.777 2.723 2.676 2.634 2.597 95
  42. Bảng 2. Bảng phân bố F với α = 0,05 k2/k1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 96
  43. Bảng 2. Bảng phân bố F với α = 0,05 (tiếp theo) k2/k1 9 10 11 12 13 14 15 16 2 19.385 19.396 19.405 19.413 19.419 19.424 19.429 19.433 3 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.692 8.692 4 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 6 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 7 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 8 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 9 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 10 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 11 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 12 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 13 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 14 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 15 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 16 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 17 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 18 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 19 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 20 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 21 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 22 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 23 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.109 24 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.088 25 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.069 26 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 2.052 27 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 2.036 28 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 2.021 29 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 2.007 30 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.995 31 2.199 2.153 2.114 2.080 2.051 2.026 2.003 1.983 32 2.189 2.142 2.103 2.070 2.040 2.015 1.992 1.972 33 2.179 2.133 2.093 2.060 2.030 2.004 1.982 1.961 97
  44. Bảng 3. Bảng phân phối Chi - square k/α 0.01 0.99 0.025 0.975 0.05 0.95 1 6.6349 0.0002 5.0239 0.0010 3.8415 0.0039 2 9.2103 0.0201 7.3778 0.0506 5.9915 0.1026 3 11.3449 0.1148 9.3483 0.2158 7.8147 0.3518 4 13.2767 0.2971 11.1433 0.4844 9.4877 0.7107 5 15.0863 0.5543 12.8325 0.8312 11.0705 1.1455 6 16.8119 0.8721 14.4494 1.2373 12.5916 1.6354 7 18.4753 1.2390 16.0128 1.6899 14.0671 2.1673 8 20.0902 1.6465 17.5345 2.1797 15.5073 2.7326 9 21.6660 2.0879 19.0228 2.7004 16.9190 3.3251 10 23.2093 2.5582 20.4832 3.2470 18.3070 3.9403 11 24.7250 3.0535 21.9200 3.8157 19.6751 4.5748 12 26.2170 3.5706 23.3367 4.4038 21.0261 5.2260 13 27.6882 4.1069 24.7356 5.0088 22.3620 5.8919 14 29.1414 4.6604 26.1189 5.6287 23.6848 6.5706 15 30.5779 5.2293 27.4884 6.2621 24.9958 7.2609 16 31.9999 5.8122 28.8454 6.9077 26.2962 7.9616 17 33.4087 6.4078 30.1910 7.5642 27.5871 8.6718 18 34.8053 7.0149 31.5264 8.2307 28.8693 9.3905 19 36.1909 7.6327 32.8523 8.9065 30.1435 10.1170 20 37.5662 8.2604 34.1696 9.5908 31.4104 10.8508 21 38. 9322 8.8972 35.4789 10.2829 32.6706 11.5913 22 40.2894 9.54253 36.7807 10.9823 33.9244 12.3380 23 41.6384 10.1957 38.0756 11.6886 35.1725 13.0905 24 42.9798 10.8564 39.3641 12.4012 36.4150 13.8484 25 44.3141 11.5240 40.6465 13.1197 37.6525 16.6114 26 45.6471 12.1981 41.9232 13.8439 38.8851 15.3792 27 46.9629 12.8785 43.1945 14.5734 40.1133 16.1514 28 48.2782 13.5647 44.4608 15.3079 41.3371 16.9279 98
  45. Bảng 3. Bảng phân phối Chi - square (tiếp) k/α 0.01 0.99 0.025 0.975 0.05 0.95 29 49.5879 14.2565 45.7223 16.0471 42.5570 17.7084 30 50.8922 14.9535 46.9792 16.7908 43.7730 18.4927 31 52.1914 15.6555 48.2319 17.5387 44.9853 19.2806 32 53.4858 16.3622 49.4804 18.2908 46.1943 20.0719 33 54.7755 17.0735 50.7251 19.0467 47.3999 20.8665 34 56.0609 17.7891 51.9660 19.8063 48.6024 21.6643 35 57.3421 18.5089 53.2033 20.5694 49.8018 22.4650 36 58.6192 19.2327 54.4373 21.3359 50.9985 23.2686 37 59.8925 19.9602 55.6680 22.1056 52.1923 24.0749 38 61.1621 20.6914 56.8955 22.8785 53.3835 24.8839 39 62.4281 21.4262 58.1201 23.6543 54.5722 25.6954 40 63.6907 22.1643 59.3417 24.4330 55.7585 26.5093 41 64.9501 22.9056 60.5606 25.2145 56.9424 27.3256 42 66.2062 23.6501 61.7768 25.9987 58.1240 28.1440 43 67.4593 24.3976 62.9904 26.7854 59.3035 28.9647 44 68.7095 25.1480 64.2015 27.5746 60.4809 29.7875 45 69.9568 25.9013 65.4102 28.3662 61.6562 30.6123 46 71.2014 26.6572 66.6165 29.1601 62.8296 31.4390 47 72.4433 27.4158 67.8206 29.9562 64.0011 32.2676 48 73.6826 28.1770 69.0226 30.7545 65.1708 33.0981 49 74.9195 28.9406 70.2224 31.5549 66.3386 33.9303 50 76.1539 29.7067 71.4202 32.3574 67.5048 34.7643 51 77.3860 30.4750 72.6160 33.1618 68.6693 35.5999 52 78.6158 31.2457 73.8099 33.9681 69.8322 36.4371 53 79.8433 32.0185 75.0019 34.7763 70.9935 37.2759 54 81.0688 32.7934 76.1920 35.5863 72.1532 38.1162 55 82.2921 33.5707 77.3805 36.3981 73.3115 38.9580 56 83.5134 34.3495 78.5672 37.2116 74.4683 39.8013 57 84.7328 35.1305 79.7522 38.0267 75.6237 40.6459 58 85.9502 35.9135 80.9356 38.8435 76.7778 41.4920 59 87.1657 36.6982 82.1174 39.6619 77.9305 42.3393 60 88.3794 37.48349 83.2977 40.4817 79.0819 43.1880 99
  46. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) với α = 0,05 k =1 k =2 k = 3 k =4 k = 5 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 6 0.610 1.400 7 0.700 1.356 0.467 1.896 8 0.763 1.332 0.559 1.777 0.368 2.287 9 0.824 1.320 0.629 1.699 0.455 2.128 0.296 2.588 10 0.879 1.320 0.697 1.641 0.525 2.016 0.376 2.414 0.243 2.822 11 0.927 1.324 0.658 1.604 0.595 1.928 0.444 2.283 0.316 2.645 12 0.971 1.331 0.812 1.579 0.658 1.864 0.512 2.177 0.379 2.506 13 1.010 1.340 0.861 1.562 0.715 1.816 0.574 2.094 0.445 2.390 14 1.045 1.350 0.905 1.551 0.767 1.779 0.632 2.030 0.505 2.296 15 1.077 1.361 0.946 1.543 0.814 1.750 0.685 1.977 0.562 2.220 16 1.106 1.371 0.982 1.539 0.857 1.728 0.734 1.935 0.615 2.157 17 1.133 1.381 1.015 1.536 0.897 1.710 0.779 1.900 0.664 2.104 18 1.158 1.391 1.046 1.535 0.933 1.696 0.820 1.872 0.710 2.060 19 1.180 1.401 1.074 1.536 0.967 1.685 0.859 1.848 0.752 2.023 20 1.201 1.411 1.100 1.537 0.998 1.676 0.894 1.828 0.792 1.991 21 1.221 1.420 1.125 1.535 1.026 1.669 0.927 1.812 0.829 1.964 22 1.239 1.429 1.147 1.541 1.053 1.664 0.958 1.797 0.863 1.940 23 1.257 1.437 1.168 1.543 1.078 1.660 0.986 1.785 0.895 1.920 24 1.273 1.446 1.188 1.546 1.101 1.656 1.013 1.775 0.925 1.902 25 1.288 1.454 1.206 1.550 1.123 1.654 1.038 1.767 0.953 1.886 26 1.302 1.461 1.224 1.553 1.143 1.652 1.062 1.759 0.979 1.873 27 1.316 1.469 1.240 1.556 1.162 1.651 1.084 1.753 1.004 1.861 28 1.328 1.476 1.255 1.560 1.181 1.650 1.104 1.747 1.028 1.850 29 1.341 1.483 1.270 1.563 1.198 1.650 1.124 1.743 1.050 1.841 30 1.352 1.489 1.284 1.567 1.214 1.650 1.143 1.739 1.071 1.833 100
  47. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) với α = 0,05 (tiếp) k =1 k =2 k = 3 k =4 k = 5 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 31 1.363 1.496 1.297 1.570 1.229 1.650 1.160 1.735 1.090 1.825 32 1.373 1.502 1.309 1.574 1.244 1.650 1.177 1.732 1.109 1.819 33 1.383 1.508 1.321 1.577 1.258 1.651 1.193 1.730 1.127 1.813 34 1.393 1.514 1.333 1.580 1.271 1.652 1.208 1.728 1.144 1.808 35 1.402 1.519 1.343 1.584 1.283 1.653 1.222 1.726 1.160 1.803 36 1.411 1.525 1.354 1.587 1.295 1.654 1.236 1.724 1.175 1.799 37 1.419 1.530 1.364 1.590 1.307 1.655 1.249 1.723 1.190 1.795 38 1.427 1.535 1.373 1.594 1.318 1.656 1.261 1.722 1.204 1.792 39 1.435 1.540 1.382 1.597 1.328 1.658 1.273 1.722 1.218 1.789 40 1.442 1.544 1.391 1.600 1.338 1.659 1.285 1.721 1.230 1.786 45 1.475 1.566 1.430 1.615 1.383 1.666 1.336 1.720 1.287 1.776 50 1.503 1.585 1.462 1.628 1.421 1.674 1.378 1.721 1.335 1.771 55 1.528 1.601 1.490 1.641 1.452 1.681 1.414 1.724 1.374 1.768 60 1.549 1.616 1.514 1.652 1.480 1.689 1.444 1.727 1.408 1.767 65 1.567 1.629 1.536 1.662 1.503 1.696 1.471 1.731 1.438 1.767 70 1.583 1.641 1.554 1.672 1.525 1.703 1.494 1.735 1.464 1.768 75 1.598 1.652 1.571 1.680 1.543 1.709 1.515 1.739 1.487 1.770 80 1.611 1.662 1.586 1.688 1.560 1.715 1.534 1.743 1.507 1.772 85 1.624 1.671 1.600 1.696 1.575 1.721 1.550 1.747 1.525 1.774 90 1.635 1.679 1.612 1.703 1.589 1.726 1.566 1.751 1.542 1.776 95 1.645 1.687 1.623 1.709 1.602 1.732 1.579 1.755 1.557 1.778 100 1.654 1.694 1.634 1.715 1.613 1.736 1.592 1.758 1.571 1.780 150 1.720 1.746 1.706 1.760 1.693 1.774 1.679 1.788 1.665 1.802 200 1.758 1.778 1.748 1.789 1.738 1.799 1.728 1.810 1.718 1.820 101
  48. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) với α = 0,05 (tiếp) k =6 k =7 k = 8 k =9 k = 10 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 6 7 8 9 10 11 0.203 3.005 12 0.268 2.832 0.171 3.149 13 0.328 2.692 0.230 2.985 0.147 3.266 14 0.389 2.572 0.286 2.848 0.200 3.111 0.127 3.360 15 0.447 2.472 0.343 2.727 0.251 2.979 0.175 3.216 0.111 3.438 16 0.502 2.388 0.398 2.624 0.304 2.860 0.222 3.090 0.155 3.304 17 0.554 2.318 0.451 2.537 0.356 2.757 0.272 2.975 0.198 3.184 18 0.603 2.257 0.502 2.461 0.407 2.667 0.321 2.873 0.244 3.073 19 0.649 2.206 0.549 2.396 0.456 2.589 0.369 2.783 0.290 2.974 20 0.692 2.162 0.595 2.339 0.502 2.521 0.416 2.704 0.336 2.885 21 0.732 2.124 0.637 2.290 0.547 2.460 0.461 2.633 0.380 2.806 22 0.769 2.090 0.677 2.246 0.588 2.407 0.504 2.571 0.424 2.734 23 0.804 2.061 0.715 2.208 0.628 2.360 0.545 2.514 0.465 2.670 24 0.837 2.035 0.751 2.174 0.666 2.318 0.584 2.464 0.506 2.613 25 0.868 2.012 o.784 2.144 0.702 2.280 0.621 2.419 0.544 2.560 26 0.897 1.992 0.816 2.117 0.735 2.246 0.657 2.379 0.581 2.513 27 0.925 1.974 0.845 2.093 0.767 2.216 0.691 2.342 0.616 2.470 28 0.951 1.958 0.874 2.071 0.798 2.188 0.723 2.309 0.650 2.431 29 0.975 1.944 0.900 2.052 0.826 2.164 0.753 2.278 0.682 2.396 30 0.998 1.931 0.926 2.034 0.854 2.141 0.782 2.251 0.712 2.363 102
  49. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) với α = 0,05 (tiếp) k =6 k =7 k = 8 k =9 k = 10 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 31 1.020 1.920 0.950 2.018 0.879 2.120 0.810 2.226 0.741 2.333 32 1.041 1.909 0.972 2.004 0.904 2.102 0.836 2.203 0.769 2.306 33 1.061 1.900 0.994 1.991 0.927 2.085 0.861 2.181 0.795 2.281 34 1.080 1.891 1.015 1.979 0.950 2.069 0.885 2.162 0.821 2.257 35 1.097 1.884 1.034 1.967 0.971 2.054 0.908 2.144 0.845 2.236 36 1.114 1.877 1.053 1.957 0.991 2.041 0.930 2.127 0.868 2.216 37 1.131 1.870 1.071 1.948 1.011 2.029 0.951 2.112 0.891 2.198 38 1.146 1.864 1.088 1.939 1.029 2.017 0.970 2.098 0.912 2.180 39 1.161 1.859 1.104 1.932 1.047 2.007 0.990 2.085 0.932 2.164 40 1.175 1.854 1.120 1.924 1.064 1.997 1.008 2.072 0.952 2.149 45 1.238 1.835 1.189 1.895 1.139 1.958 1.089 2.022 1.038 2.088 50 1.291 1.822 1.246 1.875 1.201 1.930 1.156 1.986 1.110 2.044 55 1.334 1.814 1.294 1.861 1.253 1.909 1.212 1.959 1.170 2.010 60 1.372 1.808 1.335 1.850 1.298 1.894 1.260 1.939 1.222 1.984 65 1.404 1.805 1.370 1.843 1.336 1.882 1.301 1.923 1.266 1.964 70 1.433 1.802 1.401 1.837 1.369 1.873 1.337 1.910 1.305 1.948 75 1.458 1.801 1.428 1.834 1.399 1.867 1.369 1.901 1.339 1.935 80 1.480 1.801 1.453 1.831 1.425 1.861 1.397 1.893 1.369 1.925 85 1.500 1.801 1.474 1.829 1.448 1.857 1.422 1.886 1.396 1.916 90 1.518 1.801 1.494 1.827 1.469 1.854 1.445 1.881 1.420 1.909 95 1.535 1.802 1.512 1.827 1.489 1.852 1.465 1.877 1.442 1.903 100 1.550 1.803 1.528 1.826 1.506 1.850 1.484 1.874 1.462 1.898 150 1.651 1.817 1.637 1.832 1.622 1.847 1.608 1.862 1.594 1.877 200 1.707 1.831 1.697 1.841 1.686 1.852 1,675 1.863 1.665 1.874 103
  50. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) với α = 0,05 (tiếp) k =11 k =12 k = 13 k =14 k = 15 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 16 0.098 3.503 17 0.138 3.378 0.087 3.557 18 0.177 3.265 0.123 3.441 0.078 3.603 19 0.220 3.159 0.160 3.335 0.111 3.496 0.070 3.642 20 0.263 3.063 0.200 3.234 0.145 3.395 0.100 3.542 0.063 3.676 21 0.307 2.976 0.240 3.141 0.182 3.300 0.132 3.448 0.091 3.583 22 0.349 2.897 0.281 3.057 0.220 3.211 0.166 3.358 0.120 3.495 23 0.391 2.826 0.322 2.979 0.259 3.128 0.202 3.272 0.153 3.409 24 0.431 2.761 0.362 2.908 0.297 3.053 0.239 3.193 0.186 3.327 25 0.470 2.702 0.400 2.844 0.335 2.983 0.275 3.119 0.221 3.251 26 0.508 2.649 0.438 2.784 0.373 2.919 0.312 3.051 0.256 3.179 27 0.544 2.600 0.475 2.730 0.409 2.859 0.348 2.987 0.291 3.112 28 0.578 2.555 0.510 2.680 0.445 2.805 0.383 2.928 0.325 3.050 29 0.612 2.515 0.544 2.634 0.479 2.755 0.418 2.874 0.359 2.992 30 0.643 2.477 0.577 2.592 0.512 2.708 0.451 2.823 0.392 2.937 31 0.674 2.443 0.608 2.553 0.545 2.665 0.484 2.776 0.425 2.887 32 0.703 2.411 0.638 2.517 0.576 2.625 0.515 2.733 0.457 2.840 33 0.731 2.382 0.668 2.484 0.606 2.588 0.546 2.692 0.488 2.796 34 0.758 2.355 0.695 2.454 0.634 2.554 0.575 2.654 0.518 2.754 35 0.783 2.330 0.722 2.425 0.662 2.521 0.604 2.619 0.547 2.716 36 0.808 2.306 0.748 2.398 0.689 2.492 0.631 2.586 0.575 2.680 37 0.831 2.285 0.772 2.374 0.714 2.464 0.657 2.555 0.602 2.646 38 0.854 2.265 0.796 2.351 0.739 2.438 0.683 2.526 0.628 2.614 39 0.875 2.246 0.819 2.329 0.763 2.413 0.707 2.499 0.653 2.585 40 0.896 2.228 0.840 2.309 0.785 2.391 0.731 2.473 0.678 2.557 45 0.988 2.156 0.938 2.225 0.887 2.296 0.838 2.367 0.788 2.439 50 1.064 2.103 1.019 2.163 0.973 2.225 0.927 2.287 0.882 2.350 55 1.129 2.062 1.087 2.116 1.045 2.170 1.003 2.225 0.961 2.281 60 1.184 2.031 1.145 2.079 1.106 2.127 1.068 2.177 1.029 2.227 65 1.231 2.006 1.195 2.049 1.160 2.093 1.124 2.138 1.088 2.183 70 1.272 1.986 1.239 2.026 1.206 2.066 1.172 2.106 1.139 2.148 75 1.308 1.970 1.277 2.006 1.247 2.043 1.215 2.080 1.184 2.118 80 1.340 1.957 1.311 1.991 1.283 2.024 1.253 2.059 1.224 2.093 85 1.369 1.946 1.342 1.977 1.315 2.009 1.287 2.040 1.260 2.073 90 1.395 1.937 1.369 1.966 1.344 1.995 1.318 2.025 1.292 2.055 95 1.418 1.929 1.394 1.956 1.370 1.984 1.345 2.012 1.321 2.040 100 1.439 1.923 1.416 1.948 1.393 1.974 1.371 2.000 1.347 2.026 150 1.579 1.892 1.564 1.908 1.550 1.924 1.535 1.940 1.519 1.956 200 1.654 1.885 1.643 1.896 1.632 1.908 1.621 1.919 1.610 1.931 104
  51. Bảng 4. Bảng thống kê d (Durbin - Watson) (tiếp) k=16 k =17 k = 18 k =19 k = 20 n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 16 17 18 19 20 21 0.058 3.705 22 0.083 3.619 0.052 3.731 23 0.110 3.535 0.076 3.650 0.048 3.753 24 0.141 3.454 0.101 3.572 0.070 3.678 0.044 3.773 25 0.172 3.376 0.130 3.494 0.094 3.604 0.065 3.702 0.041 3.790 26 0.205 3.303 0.160 3.420 0.120 3.531 0.087 3.632 0.060 3.724 27 0.238 3.233 0.191 3.349 0.149 3.460 0.112 3.563 0.081 3.658 28 0.271 3.168 0.222 3.283 0.178 3.392 0.138 3.495 0.104 3.592 29 0.305 3.107 0.254 3.219 0.208 3.327 0.166 3.431 0.129 3.528 30 0.337 3.050 0.286 3.160 0.238 3.266 0.195 3.368 0.156 3.465 31 0.370 2.996 0.317 3.103 0.269 3.208 0.224 3.309 0.183 3.406 32 0.401 2.946 0.349 3.050 0.299 3.153 0.253 3.252 0.211 3.348 33 0.432 2.899 0.379 3.000 0.329 3.100 0.283 3.198 0.239 3.293 34 0.462 2.854 0.409 2.954 0.359 3.051 0.312 3.147 0.267 3.240 35 0.492 2.813 0.439 2.910 0.388 3.005 0.340 3.099 0.295 3.190 36 0.520 2.774 0.467 2.868 0.417 2.961 0.369 3.053 0.323 3.142 37 0.548 2.738 0.495 2.829 0.445 2.920 0.397 3.009 0.351 3.097 38 0.575 2.703 0.522 2.792 0.472 2.880 0.424 2.968 0.378 3.054 39 0.600 2.671 0.549 2.757 0.499 2.843 0.451 2.929 0.404 3.013 40 0.626 2.641 0.575 2.724 0.525 2.808 0.477 2.892 0.430 2.974 45 0.740 2.512 0.692 2.586 0.644 2.659 0.598 2.733 0.553 2.807 50 0.836 2.414 0.792 2.479 0.747 2.544 0.703 2.610 0.660 2.675 55 0.919 2.338 0.877 2.396 0.836 2.454 0.795 2.512 0.754 2.571 60 0.990 2.778 0.951 2.330 0.913 2.382 0.874 2.434 0.836 2.487 65 1.052 2.229 1.016 2.276 0.980 2.323 0.944 2.371 0.908 2.419 70 1.105 2.189 1.072 2.232 1.038 2.275 1.005 2.318 0.971 2.362 75 1.153 2.156 1.121 2.195 1.090 2.235 1.058 2.275 1.027 2.315 80 1.195 2.129 1.165 2.165 1.136 2.201 1.106 2.238 1.076 2.275 85 1.232 2.105 1.205 2.139 1.177 2.172 1.149 2.206 1.121 2.241 90 1.266 2.085 1.240 2.116 1.213 2.148 1.187 2.179 1.160 2.211 95 1.296 2.068 1.271 2.097 1.247 2.106 1.222 2.156 1.197 2.186 100 1.324 2.053 1.301 2.080 1.277 2.108 1.253 2.135 1.229 2.164 150 1.504 1.972 1.489 1.989 1.474 2.006 1.458 2.023 1.443 2.040 200 1.599 1.943 1.588 1.955 1.576 1.967 1.565 1.979 1.554 1.991 105