Giáo trình Toán cao cấp giải tích - Phần 2

137 trang Đức Chiến 05/01/2024 1180

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp giải tích - Phần 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_giai_tich_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp giải tích - Phần 2

Chương VI : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh : 1. Đính nghĩa : Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b]. F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu Ff(x) = f ( x ) , Vx E (a,b) F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu : F'{x) = f(x) , Vx G (a,b) và F'(a+) = f(a),F'(b-) = f(b) Ví du : • cosx là nguyên hàm của sinx vì (— cosxỴ = sỉnx. — cos X + 7 cũng là nguyên hàm của sin X. • — 5 ,^ c là những nguyên hàm của X2 vì : 3 3 3 / / 3 > ( 3 X = — - - 5 C 3 J > 3 , 3 J 2. Đinh lv : Nếu hàm số / liên tục trên [a, b] thì / có nguyên hàm trên [a, b]. 3. Đinh Iv : Giả sử F là nguyên hàm của / trong (a,b). Khi đó ta có : i) F + c (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) 119
ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) thì tồn tại hằng số c sao cho G(x) = F(x) + c Vx G (a,b) Chứng minh: i) (F(x) + C)’ = F(x) = f(x), Vx e (a, b) => F + c là một nguyên hàm của / trong (a,b) ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b) =>3CeM: G(x) - F(x) = c, Vx G (a,b) => G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b) Ghi chú : • Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b] • Nếu / có một nguyên hàm thì / có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì sai khác nhau một hằng sô". 4. Đinh nghĩa : Tập hợp tất cả những nguyên hàm của / trên [a,b] được gọi là tích phân bất định của Ị trên [a, b], ký hiệu : J f(x)dx Nếu F là một nguyên hàm của / thì J* f(x)dx =F(z) + c II. Tính chất cửa tích phân bất đinh : Cho / , g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b). Khi đó : i) A / /(x)dx = ( / /(x)dx) =f(x) ii) d j* f(x)dx =f(x)áx 120
iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dx iv) J*kf(x)dx = k Jf(x)dx, k e l Hệ quả : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ fc , J ^(a;)ác Í=1 Í=1 v) Nếu F’(x) = f(x) thì f F'(x)dx = JdF(x) =F(x) + c = J f(x)dx và Ị f(y)dy = F(y) + c, //(í)áí = F(t) + C, Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm). III. Các công thức tích phản bất đinh cơ bần : 1. Ịo d x = c 2 . J adx = ax + c a;n+1 + c (n * -1) 4. f — = lnlrcl 4- c J X (ln a;/ (a: > 0) (vì (ln 1^1 + c y ln(—a;)/ (x 0 ) = - , x * 0 ) _1__ 1_ X (x < 0 ) —X X 5. f exdx = ex + c 121
6 . f a'dx = — +c (vii— ] =ax) J In a una, 7. J* sin xdx = — cos X + c 8 . J^cosxdx = sinz + c 9. f —^ = f (1 + tg2:r)cfo: = tgx 4- c J cosCOS2 reX -JJ dx 10. f • ^ 2 = f (1 + cotg2a;)d:r = —cotgrc + c J sin X re J «J f dx . . « 11 l + x2 dx 12•J - n + 1 13. + c = — + C(n*l) J Í /■ —71 + 1 (n — 1)2; I — = y/x + c J 2>/x ,. T’ , f sinx - C-d(cosx) - , , 14. I tgxdx - I ——— ax = I — 1 = — In Icos x\ -f u J J cosa; J cosx 15. f cotgardrr = f CQS — ¿ừ = f ^(sm£l — ln|sin:c| + c J J sin x J s in x = arcsin — -f c 16 I æ-2 X2 \a\ 122
dx 18 — In X -ị- y jx ¿ b 4" c Jyjx2 4 - b X — a 1 9 . r rf* .L in + c (a * 0 ) J X - a 2 a X + a 1 X - b 20 + c (a * b) '• J\ t(x-a t -z) (x — b) b — a X — a 21. f y/a2 — x 2d x — —yja2 — X 2 -f — arcsin— 4- c (a * 0) J 2 2 \a\ 22. AJ a 2 + x 2d x = — a/«2 + Æ2 + — In a; + y[aF+~x: IV. Vài ví du : X4 — 5æ:* — X 2 + 3x + 7 dx X2 + 1 Sx + 9' = I IX2 — 5x — 2 4- dx K z2+ lj *•> 5x2 & ÎÏ& + 9L 3 2 ifJ U 2+lJ X3 5x2 f 4.2xdx f dx = - - ~ 2 a: + "T~.~r + 9 2 7 - 3 2 J Æ -f 1 J Æ -ị- 1 — — — 2z + 4 f iííĩlìlì _|_ g arctg X 3 2 J X 2 + 1 a;3 5x2 2# -f- 4 ln(x2 4-1) + 9arctgÆ -f c ~3 2~ ___ 1 1 b. J*(x2 -f x)yjx-jxdx = J*(x2 + x)x2xAdx 123
f e^rdx = f ựĩỴ d x = ( f 7ỵ = -Ế12Ị— + c J J ln(e 7) 3 + ln7 1 r^L-=fifc^) = l„|x + a| + C J X + a J X + a s f Ẽ E ẹ k = rtẵ xdx = rtgx d{tễx) = tgl£ + c J cos X J cos X J 2 Cách khác : sin x d x _ c — d (cos x) 1 + c J c o s3 X J co s;ỉ X 2 c o s X ^ (l + tg^ + c = ^ + K + ự f. f ___ % = í (a. + £ ^ d x J (x - tJ x 2 + 1 )2 J Ịi2 — (i? = J (x2 + 2xsjx2 + 1 + X 2 + l)ífa i r - = 2— + X + I u2du (u = X 1 => du = 2xdx)
f dx _ Ị* dx _ 1 r (x 4- a) — (x — a) ^ J X2 — a2 J (x — a)(x + a) 2a J (x — a)(x + a) = — I I— — I dx = — [In la; — a|] — In\x 4- a|] + c 2a J \x — a X + a) 2a 1 - \x — a , = ~—In h c (a ^ 0 ) 2 a IX + a h. J tg2 xdx = J*(tg2 X + 1 — 1 )dx = tgx — X + c i. J t g r> x d x = J (t g r> X 4- tg :{ X — tg 3 X + tgx — tg x )d x = J tg:{ rz;(tg2 X +1 )dx - J* tgx(tg2 X +1 )dx + J* tg xdx = 4 2 V. Phương pháp tính tích phân bất đinh : 1. Phương pháp đổi biến : a. Giả sử / là hàm số có nguyên hàm trên miền D. Đặt X = ip(t) , với (f là hàm khả vi đơn điệu đối với biến t và miền giá trị của ip(t) chứa trong D. Khi đó: J f(x)dx = J f(tp(i))ip'(t)dt Ví du : 1) I = J i í ĩ Đặt X = t ' => dx = St2d t , yfx* = t 2, ự x = t => I - J"—- -ị—-—- = 3sintdt = — 3cœt + c = —3casệfx + c 125
2 )1 = j* Va2 — x2dx (a > 0, a2 - X2 > 0 -a dx = a cos tdt và sin t = 2 2 => I = J* yja2 — = J' Vữ2 — a2 sin2 1 a cos = J' aVcos2 ¿a cos tdt = J* a2 |cos ¿1 cos tdt = J* a2 cos2 7T 7T (vi t e cost > 0 => |cost| = cost) p a2(l + cos‘2i) a2 a2 „ = v = —- Í -f — sin 2t 4- c J 2 2 4 2 '2 ữ , X „ a n t „ = — arcsin — I 2 sin r cos t + (J 2 a 4 2 2 „ I u a . X a X L X „ = — arcsin — — 4 1 T- + (J 2 a 2 a V a 2 a2 . X X f—2 7 „ = -—arcsin— + —ya —X + (J 2 a 2 b. Đặt u = /ỉ(x) với h khả vi liên tục. ta có : g(h{x))h'(x)dx = J* g(u)du Ví du : ^>■» Ị Q3 \lx 1) (\ 3 i 7 + 5 ) / + 5x dx 1- 18 J 3#K Đặt u = —— h 5x => du = (3xr> + 5)cte (w = /i(x) => du = h'(x)dx) 126
1!) 19 u => I = i ulsdu = ——h C = —1 I (3 — x*„8 4- 5x | + C - f 19 1918 P 3 xdx K^ocdoc 2) J xA4- Gx2 +15 = J (x2 4- 3)2 4- 6 Dät u — xl + 3 du = 2xdx 2 xdx = 1 3 Cf - j du -iJ(x2 4 - 3)2 + 6 2 J u2+ 6 76 X2 4-3 4- C = T arctg^ + G = T aictg V6 P eAxdx _ „ x 3)1= — . . DatDät u u == e ex =>=> du = exdx J e +1 * f t’2, 0 ) = J yja — x‘ 2 i - i i ajl — I— ,a, du x 1 . . X u = — I = arcsin u 4- C = arcsin — h C ■ I Vl - u2 a 127
dx = lnln X -ị- VTTòl -ỉ- c " í yjx2 + b Đặt u = X + yjx2 + b => du = — 7 í/x yjx2 + b dx _ dĩz _ du yỊx2 + 6 >/x2 + 6 + £ u du = ln|lnM + c = ln £ + \jx2 4 - 6 + c ỉ iVa ề:2 + r 6 r Jí M 2. Phương pháp tích phân từng phần : Cho u = u(x), V = v(:c) là các hàm khả vi và có đạo hàm liên tục. Khi đó : J udv = uv — 'J vdu Chứng minh: Ta có : d(uv) = vdu + udv => J d(uv) = J udv + J*vdu Suy ra J* udv = uv — J vdu Thông thường để tính J f(x)dx, ta phân tích : f(x)dx= udv sao cho tính được các tích phân J vdu và J dv . Nhân xét: ■* ex ex • D ạng: p(i) cosx dx. Đặt u = p(x) và dv = cosx dx sina: sinx %. 128
ln x lnx • D an g: p(x) arctgx d x. Dät u = arctgx , dv =p(x)dx arcsin x arcsin x t- Vi du : a) J x2eTdx. Bat: u = x2 => du = 2xdx dv = exdx, chon v = ex (dv = e xdx => v = ex + C, chon C = 0) Do dö : J x2erdx = uv — J* vdu = x2ex — J* 2xe'dx Dat u = 2x => du = 2dx; dv.= exdx, chon v = ex 2 i / x2e'dx = xzer —2xer — J*2erdx - x2e — 2xex + 2e + C Tong quat: J x"e'dx = xnex - nxn_l ex + n(n-l)xn_2ex + + (—l)n_1n! xe* + (-l)"n!ex + C dx b) f ln xdx. Dat u = lnx => du = — ; J x dv = dx, chon v = x xdx / ln xdx = x ln x — f ^ = xlnx - x + C ■ J ■ x c) J x ”lnxdx, n ^ -1 Dat u = lnx => du = — dx ; dv = xndx, chon v = xn +1 x x r x +l ln xdx = ln x — I dx f «■ n +1 J in. 4- 1 129
X »1+1 X^,»+1 ln X — — + c 71 + 1 (n + 1)2 d) I = J* X'5 sin xdx Đ ặt u = X3 => du = 3x2dx dv = sinxdx, chọn V = -cosx => I = — X* cos X + j* 3x2 cos xd x = —Xa cos X + Sx2 sin X — J* 6x sin xdx = —X* COS X + 3x2 sin X 4- 6x COS X — 6 cos xdx = —Xa cos X + Z x1 sin X + 6x COS X — 6 sin X + c e) 1 = J ' X arctg xdx Đ ăt u = arctgx => du = - l + x2 dv = xdx, V = — (x2 + 1) (Chọn c =—) 2 2 1 f 1 1 => I = ~ (x2 + 1) arctg X — I — (x2 + 1) — r dx 2 J 2V 'l + z2 = —(x1 + l)arctg:r — — + c 2 2 f) J \la2 — X 2 d x (a > 0) —2 x d x x d x Đặt u = yja2 — X2 => du = 2Va2 - X 1 Va2 - X 2 dv = dx, chọn V = X
= ị ^ L ^ ^ êx = X y ja 1 — X 2 — f y]a1 — x 2d x + a 2 f 7 ¿ = = J J yla2 -X* => 21 = W a 2 — X2 + a 2 f I = = - J va 2 — X2 => T I = — Æ v n a 7 — £ + — arcsin — h ß2 (J • x^ 2 2 a Tương tự : J = J V« 2 + Đặt u = \faF+~x* => du = —r=== , dv = dx, chọn V = X Ta cózo : n r~ 7 r x2dx J = XV« + X — I —, === J Va2 + 2 x2 X2 -Ị- ữ2 — ü2 J = Xy/ã2 + X2 - f ^ — r= dx J y¡a‘2 + x2 dx =>2J = x-n/«2 -4- X2 4- fl2 f T= J \¡a2 +x2 dx J =-XyJa2 + X2 -f — f —¡= 2 2 J 2 + £ 2 = — yja2 4- X 2 + — ln ịX -f V«2 +~?j + c 2 2 VI. Tích phân các hàm hữu tỉ : Nhắc lai : 131
f rá? - — Inị-E 4- a| + c J X 4- a r dx _ - 1 ___ h c J (x + fl)Ả (Ả: — l)(ar + tì)*-1 f dx 1 . x — a ~ 22 = ln + c íJ X — a 2a X + a cr dx đx 1 rr(x- (x X,) - (x - x2) ^ J ịx-x^ịỉ-x,) X2-X,J {x-xt)(x-x2) = ^X h — X . ĩ X — X., X — X, X — Xo ln + c (xx*x2) x.t — X, X — X, 1. Tích phân dang : (Ax + B)dx = [Ả* ( a * 0 ) ax2 + bx + c A r 2 ax 4 - b Á 6 ' dx I = — f </x + B 2 aơV J ax2 -f hx + c 2fl , / ax +bx + c v4 i46ì dx ln|ax + bx + c| + LB - 2fl ( l * - £2a ) , / dx Tính: It = f ( a * 0 ) ax2 + bx + c dx dx a c b2 X + 2 a, a 4 a2 132
_ 1 r dx a J ( b Ý A \x+ i \ - ử i) NếuA 0 : ax2 + bx + c = a(x-xi)(x-x2) với Xi, X2 là nghiệm của ax2 + bx + c = 0 2. Phân tích mỏt đa thức thành tích của những nhỉ thức và tam thức : (Đưa một phân thức về tổng eủa những phân thức đơn giản) Ghi chú : Ta chỉ xét các đa thức eó thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất và những tam thức bậc hai. Vídu : Tính f (~ - ~ b)j X J (x — 3)(x + 2)(x — 1) ^ . Sx - 5 Ả B c Ta c ó = ——— H H—- — (x — 3)(:r 4- 2)(x — 1) X — 3 x + 2 X — 1 _ A(x + 2)(x - 1) + B(x — 3)(rc — 1) + C(x — S)(x + 2) (x — 3)(x + 2)(x — 1) Cho X = 3 => 10A = 4 => A =— 5 X = -2 => 15B = -11 => B = —— 15 133
x= 1 =>-6 C = -2=>C=- 3 3ĩ - 5 _■ 2 u | 1 ^ (x - 3)(x + 2)(x - 1) “ 5(i - 3) 15(x + 2) z(x - 1) (3x — 5)dx / (x - 3 )(x + 2)(i - 1) = —ln|x-3| - — ln|x + 2| + —lnỊx - 1| + c 5 15 3 Ghi chú : Ta có thể tính A, B theo cách khác : 3x — 5 (x — s)(x 4- 2)(x — 1) (A + B + C)x2 -f (Ẩ - 4£ - C)x -2A + 3B -6C (x — S)(x 4 - 2){x — 1) A + B + C = 0 Đồng nhất hai vế A - 4 B - C = 3 - 2 A + 3 5 - 6 C = -5 Ghi chú : nếu anxn + an .ixn ' 1 + aix + ao = 0 có nhiều hơn n nghiệm thực => an = an. 1 = = a0 = 0 Ví du : ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm phân biệt => a=b=c= 0 5x + 2 Ví du 1 : (x2 + 1) (3x - 2) Ax + B Cx + D E F G X 2 4-1 Or2 4-1)2 + 3x - 2 + (3* - 2)2 + (3z - 2);: Vi du 2 : 134
6 X2 — 7x + 2 _ (x2- x + 1)(x + 2y ” Ẩx + g £ £> . E F X2 - X + 1 X -h 2 (x + 2)2 (x 4- 2):J (rr + 2)4 Vi du 3 : 1 _ 1 ___ 1___ X4 + 1 ~ ( x 2 + l ) 2 - 2x2 " (x2 - J2x + l)(z2 + Æ + 1) ẤX -f- Đ Cx 4" D X2 — v&r + 1 X2 + ypix + 1 Vi du 4: Tính î - p - = f_ * L_ - ^ X 4-1 ^ (rr-j-1)(æ — Æ + 1) 1 _ i4 Bx + c X \ X -t-1 — X -f-1 _ A(x2 — X -f 1) + (Bx + C)(x +1) " ? n Cho X = -1=>3A=1=>A= — 3 X = 0=>A + C=1=>C=- 3 x=l=>A + 2(B+C) = .l=>B + C=-=>B=-i 3 3
= — ln|x + 1| — — ln(x2 - X + 1) + — f 3 6 . ■ 2' í Aì +! , Í | !■+■! 3 yỊx2 — X 4 - 1 2 > /3 > /3 VII. Tích phân biếu thức iươnạ giác: hữu tỷ, vê tích phân biếu thức hữu tỷ. 1. Trường hơp tổng qu á t : Ta dùng công thức đổi biến X - t = t g — => X = 2 a r c t g t và áp dụng công thức 2 í 1- í 2 , 2 dt sin X = — , cos X = 7 — 5- 1 + í2 1 + 12 1 +.Í2 dx 4 sin X + 3 cos re + 5 Đăt í = tg — => X = 2arctg£ ta có : 2 r 1 2 dt _ r dt = J 2 í ? “ J e + 4 i +4 4 Ĩ T ? + 3 ĨT ^ + 5 = f - ết - 7 = — + c = ^ + c + 2) t + 2 tg — f 2 2 136
2. Dang đăc biẽt: • Nếu R (— sinX,eosx) = —R (sinX,cosa;) thì đặt t — cosx • Nếu R (sin X, — cos x ) = —/ỉ(sinx,cosa;) thì đặt t = sinx • Nếu R(— sinX, — cosa;) = R (sinx,cosa;) thì đặt í = tg£, hay ¿ = cotgx Ví du 1 : Tính I = I (sin2 X eos3 X + 2 cos x) dx = J* (sin2 X cos2 a: -f 2) cos x d x Đặt t = sin X => d t — cos xdx sin2 £ eos2 X + 2 = í2 (l — í2) + 2 = —¿4 + ¿2 + 2 I = (—í4 + £2 4" 2^ d t = 1 1- 2Ủ -f- c — sin5 X . sin3 X — 1 + 2sinx + 0 5 3 Ví du 2 : 1 = f — 5 — J sin 2 XT. 4- sinsin2a: 2.1 — 3cos2 X Đặt t = tg x => d t = — — ta có: cos X d x _ r d t cos2 X ịtg2x + 2tgx — 3) J t2 4- 2t — 3 1 . t — 1 „ 1 - 1 tg x — 1 ~ = -rln -— T + c = -7 ln I * + c 4 ¿ + 3 4 I tg 2; + 3 3. Dạng I sin”' X cosM xdx 137
• Nếu m ( hoặc n) là số nguyên lẻ thì đổi biến t = cos X (hoặc t = sin X ). • Nếu m và n là số nguyên dương chẩn thì ta dùng công thức hạ bậc. • Nếu m và n nguyên chẵn và có một số âm thì đổi biến t = tg X (hoặc t = co tg x ) Ví du: Tính ( dành cho độc giả ) K = J sin2 X cos4 xdx L = J sin3 X cos2 xdx sin 2 X c o s2 X M d x N d x / co s4 X / sin 4 X VIII. Tích phân biếu thức cổ chứa căn : Với các phép đổi biến thích hợp, ta có thể đưa tích phân của biểu thức có căn số về tích phân của biểu thức hữu tỷ. 1. Các tích phân có thể đưa về tích phân hàm lượng giác : 7T 7T Dạng J*RỊx, VA2 — X2 Ỵx đặt X = Asiĩit, t 6 2'2 Dạng J r \ x , ^ j 42 + x2Ỵx đặt X = Atgt, t e Ị- — j Dạng J*Rịx,yjx2 - Á2Ỵx đặt X = —— , t e Ịo,7T j \ 1^1 cx + d, Ch*JC I Đăt t k = với k là bôi số chung nhỏ nhất của n và s . c x + d 138
Khi do x = => dx = ktk 1 ^ thay v^° bi^u ct — a (ctk — a) thtfc tich phan ta co tich phan cua ham hffu ty. Vi du 1 : 1 = f ■ r dx = -= J six — 1 — yjx — l k = 6 , dat t6 = x — 1 => dx = . Suy ra eft f*4 / 3 f2 1 = 6 - + - + - + * + ln|i-l| +C 4 3 2 '] = 3 ( s - l) ;/l + 2(a. _ JJI/2 + 3(a. _ j)l/3 + 6 a/z—T + 6 In Vx T — 1 + C i n ^ x Vi dll 2 : I = f -J - dx J x\ll1 + X ^ ¡1 — x - t2 + 1 , -At J± Dat t = J —— => x = — ■ - ;dx = — — dt 1 + x t2 + 1 (*2 + l) -4 t . _ r t2 + 1 < - 4t ^ . r r dt ¿ - 1 = 2 arctg t 4- In + C = 2/ ' i2 +1 i r - 1 ¿4-1 h — x \ l + x = 2 arctg / b In + C VI + ^ \1 + X 139
. Dạng vi phân nhị thức J x m (a + bxu Ỵ dx với m, n, p là ác sô' hữu tỷ. Nếu p là sô" nguyên, ta đặt tk = X, trong đó k là bội số hung nhỏ nhất của mẫu sô' của m và mẫu sô" của n. Nếu m ^ là số nguyên, đặt tk = a 4 - bx11 với k là mẫu số n ủa p. Nếu + p là số ngúyên thì đặt tk = ax~n + b với k là n nẫu sei của p ỉi du : dx .) I = f ^ -T ( p = - 8 là số nguyên) Vx{ĩ+VxỴ )ặt X — f => dx = 6thdt P 6tr>dt m at „ c r t3dt J t2(i /2 n + , ty ỮJ J (1 + tỴ ự ĩ+ ỹx dx » ' - p Æ m + 1 (m = —l/2;n = 1 /4 ;p = 1/5 => — = 2 € Z) n Dặt ¿r> = 1 + ÿx => X = (í5 — l )4 => dx = 20 (¿r> — l )3 t*dt r t.20(f -lYVefó > l = f =20f { )dt :)l= f Æ E * l x . 140
771 = -l/2;n = l/3;î) = l/2=i. — + y = 2 e z n 1 —6tdt Đặt t2 = 1 + => X — dx = ự - i Ỵ VjFfe=(*2- > r t2dt 1 = r J - ¿ - + 1 .(í2 - i r - T ^ r = - 6 f , , J Vi2 - 1 v ' (i2 - 1)J J (i‘- if 4. Dạng J /«’Ị.ì.:. V0^~+6x4^cjí¿r vớia ^ 0.A = b2 — 4ac^ 0 i. Đưa tích phân đang xét về các dạng J r [ x ,Vi42 4- x2]ịix, J R ịx ,yjx2 — Á2Ỵx bằng phép đổi biến u = X + — . Khi đó các tích phân này có thể đưa về tích phân hàm lượng giác. Ví du: f .dx (x 4 - 2) yjx2 4- Ax +13 ' 7T 7ĩì dt Đăt X 4- 2 = S tg t, t G => dx = 3 — —-T- ; 2 2 j COS t _ ( 7T 7t) ä % , «V- . t ÿ t VI t € — nên sin í và tg t cùng dâu sin t = ■ ■ = = V ‘2 2j Ạ + tgH _ r 3dt 1 _ 1 r COS tdt _ — 1 p J COS21 9tg2ty¡9tg2t + 9 9 J sill21 9 sin ¿ 'ar + 2 ' 2 + 1 _l_ Q _ ^ X¿ + +13 £ W 21 9 9(.t + 2) , 3 141
Cách khác : 1 . —dx , , _X2 1 u — —— => du — - 2 , (rc + 2 ) — — X + 2 (x + 2) u I = - ^u = — Í —— u =sgn (u)du . y/õ ũ n i V u 1 psgn(ií) d(9u2 4- l) 1 Ị— = « í — - 7 - = 4 VÕ^TĨsgn tt) + c 9 J 2V9« +1 9 1 I 9 í 1 = - 9 ^ ( ĩ f ^ + 1SSn[ ^ | + C ■ Nhận xét: • Đối với tích phân dạng f Ệ L = = ta có thể J (x — a)" yjax2 4 - bx + c J ' 1 đối biến theo công thức t = —-— X — a du • Đối với tích phân dạng / —J ta có thể đổi biến theo Uyjù1 +A công thức t = y/u2 H- A => t2 — A = u2 => = tdt J — f u ^u — f ^ ^ u ^ u ‘ + A ~ J t2 —A ii. Phương pháp đổi biến theo Euler. • Nếu a > 0 : đổi biến t ± 4ãx = yỊax2 +bx + c Nếu c > 0 : đổi biến xt ±yfc = yịax2 4-bx + c Nếu ax2 + bx + c = a(x — xx)(x — X2),^ ^ x.2 ta đổi biến 142
theo công thức t(x — Xx) = yịax2 + bx + c dx Ví du 1 “H 2x 5 ) du Đặt u = X 1 => du = dx, ỉ — J ~ dt Đặt u = 2tgt, t G => du = 2 , 2 2 ) cos t 3 / 2 (u2 + 4):ỉ/2 = 8 (tg21 + 1) cos:i t 2 dt cos tdt = — sin t + c -I = 74 /J 4 cos3 t 1 Ị u) ~ 1 X +1' = — sin . arctg—ctể + (J = —sin arctg + c 4 l 2) 2 da: Ví du 2 í Đặt t — X = yjx2 + 2x + 5 => t — X + yịx1 + 2x + 5 yịx -Ị- 2x ~f* 5 “1“ X -ị- 1 , cỉa? dt dt = dx V#2 4- 2a; + 5 yfx -f- 2x‘ -Ị- 5 t -t-1 dt = ln|í +1| -f c = / t + 1 — ln a: “1“ “ỉ" ‘2,x -¡- 5 -ị-1 “I- c 3x + 1 Ví du 3 Đặt t = X + 2 => dt = dx 143
_ r(3í- 5 )dt _ r tdt p dt ~ J Vi2 - 1 _ y[ĩ - ĩ n/í2 - 1 = 3Ví2 - 1 - 51n|í + Vi2 - 1| + c = 3Ậ X + 2)2 - 1 - 5 ln I + 2 + V(i + 2)2 - 1 +c 144
Chương VII: TÍCH PHÂN X Á C ĐỊNH I. Khái niêm : 1. Bài toẩn diên tích : Cho hàm / xác định, dương và liên tục trên [a,b]. Tính diện tích hình thang cong (H) giới hạn bởi y = f(x), y = 0, X = a, X = b. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bởi các điểm x0 = a ~ X‘-^ f(^Ù Ví du 1 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y — f(x) = X2, y = 0, X = 1, X = 3 145
Giả sử chia đoạn [1,3] bởi phép phân hoạch đều 2 2 1» 3*1 1 H ì •••? Xị — 1 ~\~ ỉ. , . . xn — 3 n n Chọn = Xi. Lập tổng : Sn = ¿ / ( ậ i)(Xi-Xì_1)= -¿/(X .) = - ¿ * ,2 ,=1 n ^ f n*-( , 4ị 4 ¿'2 - l i ị i + ụ U ị i 1 + - + - ^ n ^ { n) n n n o 71 Q » Q » - ỉỉ1+7$‘+ỉ§ ' _ 0 , 8 n(n + l) ( 8 n(n + l)(2n + l) — ' „2 ã TÍT 6 Diện tích là s = lim s„= lim s„ = 2 + 4 + - = — ìnaxía:, —:r,_|)—>0 H-* + -rx 3 3 Ví du 2 : Tính diện tích hình thang giới hạn bởi: y = 2x - 1, y = 0, X = 2, X = 5 Coi phép phân hoạch đều trên [2, 5] 3 3 x{ì = 2, xỉ = 2 + —, Xị=2 + i. — , = 5 n n Chọn = Xj. Lập tổng : s„ = 2 > ,-*,_,)«&) = - ¿ ( 21,- 1) ,=1 2|2 + — - 1 =iS2( n = ỉn ^ẻ {(3 + ? nì ) = 9 + ỉ n t Ệ < 18 n(n + 1) = 9 + n 146
=> s = lim s% = 9 + 9 = 18 J|—>+x 2. Đỉnh nghĩa : Cho hàm sô" / xác định trên [a,b]. Coi phép phân hoạch (bất kỳ) đoạn [a,b] bởi các điểm x () = a / bị chận trên [a,b] (nghĩa là 3m > 0, |f(x)| < m, ,Vx e [a, b]) Chứng minh : Giả sử / không bị chận trên [a,b]. Chọn dãy các phân hoạch 147
trên [a,b] sao cho lim mĩix(xk — XA._1) = o 11—> + x Vì / không bị chặn tfên [a,b] nên tồn tại k và c G [xk_vxk] sao cho IfXc)\(xk — Xf.^) lớn tùy ý. Chọn ệk = c thì ~ x.-i)/(£) = ¿ ( x. - x,-i)M) + (xí - %-i)/(c) ¿=1 ¿=1 i*k Suy ra |/„| > \ỉ n => In không thể có giới hạn hữu hạn khi m a x (x i - Xi -i) -» 0 => / không khả tích trên [a,b]. Do đó, / bị chận trên [a, b]. Ghi chú : Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu / bị chận trên [a, b] thì chưa chắc / khả tích trên [a, b]. [1 x<EQn[0,i] Ví du : f(x) = o X € [0,1] \ Q Hiển nhiên / bị chận trên [0,1] vì 0 < f(x) < 1, Vx G [0, 1] Nhưng / không khả tích trên ỊO, 1]. Thật vậy, xét phép phân hoạch trên [0, 1]: Xo = 0 < Xi < X2 < xn = 1. Nếu chọn Çi là sô" hữu tỉ trên [Xi - 1 , Xi] ta có : In = ¿ (z , -Z,-i)/(6) = (z, - X») + (s2 - Ij) + ••• + (x„ - x„_,) = x,,-x„ = 1 - 0 = 1 (vì f(4i)=l) 148
Nếu chọn là số vô tỷ trên [X j. 1 , Xi] th ì: n In = x > , m )=0 -*=1_t => lim I phụ thuộc cách chọn điểm iu a x (.T ,)—»0 => / không khả tích trên [0 , 1] 2.Đinh l ỵ : i) / liên tục trên [a,b] => / khả tích trên [a,b] ii) / bị chận trên [a,b] và / có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] => / khả tích ưên [a,b]. 5 Ví du 1 : Dùng định nghĩa tính X 2 — 2x)dx 3 5 (J"(x2— 2x)dx = f(x) = X 2 - 2x liên tục trên [3, 5] => ỉ khả tích trên [3, 5] Coi phép phân hoạch đều trên đoạn [3, 5] với nn n n Chọn ịi = Xi. Lập tổng : 149
=> f(x2 — 2x)dx = lim I = 6 + 8 + — = — J ■ " 3 3 « Ví du 2 : Dùng định nghĩa tính J sin xdx 0 Hướng dẫn : Sn =^sinz/ỉ Ị/ỉ = — j. Tính Sn bằng cách nhân . . ~ . h hai vế cho 2 sin -7 . 2 III. Vài tính chất của tích phân xác đinh ; Qui ưđc : i) J f(x)dx = 0 a ỉ) a i i ) J ỉ(x)dx= -J f(x)dx a b b 1) J m dx = m (6 — a), m là hằng sô" a Với các hàm / , g khả tích trên [a,b] ta có : b b b 2) f [ỉ(x)±g(x)]dx= J f(x)dx± Jg(x)dx a a a b b 3) J kf(x)dx=- k J f(x)dx a a Hê quá : Nếu ki là hằng số và các hàm số ft khả tích trên [a,b] thì f Ỳ , kifÁx)dx = J 2 k i f ỈSx )dx a ,=^ í=^ a 150
4) V c € [a, b] : J f(x)dx = J* Ị(x)dx 4 - J f(x)dx a a c Hê quá : a j* f(x)dx 0 với Mx G [0 ,6] và 3x(ì E [a,6] sạo cho f(x0) > 0 thì b J ỉ(x)dx > 0 « Chứng minh'. 1), 2), 3) là hiển nhiên (từ định nghĩa). 4) Chọn phép phân hoạch x ữ = a đpcm 5) f(x) g(x) - f(x) > 0, Vx e[a,b] 151
=> ¿ [ff(£ ) - /(í.)](z, - o > 0 i=1 (do gfe)-f(4i) > 0 ; Xj—Xi_i > 0 , V i) 6 b b => J* [g{x) — / 0*0 ] dx = g(x)dx — J f(x)dx > 0 => đpcm a a a Nhân xét : • Nếu m f(x)dx J* f(x)dx Axi)(b ~ ° ) - f f(x)dx < ỉ(xì)(b - “) (*) a + Nếu a = b : kết luận là hiển nhiên đúng. + Nếu a < b : thì (*) cho ta :
/ ( z ,) 3 c G [Xi, x2] hoặc 3 c e [x2, X i] : / ( c) = ——— b — a b => 3 c G [a,b]: J f(x)dx = (b- a)Ị(c) Ỷ nghĩa hình hoc : Trên đường cong AB, A (a,/(a)), B(6,/( 6)) tồn tại C(c,/(c)) sao cho diện tích aABb = diện tích hình chữ nhật CÓ độ dài hai cạnh là (b — a) và f(c). Cách nhớ : Nhớ từ định lý Lagrange : f f(x)dx = F(b) - F(a) = F'(c)(b -a) = f(c)(b - a) 7) Nếu Xo €(a,b) => tồn tại khoảng ĨĨ1Ở (c,d) chứa Xo sao cho f(x) > ịf(x„) > 0, Vx s(c,d) c (a,b) ¿i b r d b J* f(x)dx = JT f(x)dx + J* f(x)dx + J* f(x)dx a a r d > J ỉ(x)dx > - J f(x„)dx = ị( d ~ c)ỉ(xo) > 0 Tương tự khi Xo = a hay Xo = b. IV. Công thức Newton - Leibnitz : 153
. sư liên hê giữa nguyên hàm và tích phân xác đinh : íếu hàm số / khả tích trên [a, b] thì Vxg [a, b] ta có / Ị* f{x)dx tồn tại = > ộ ( x ) = J f(x)dx là một hàm xác định trên a a a,b] X X X M-X : f f{ x ) d x = J f(t)dt = J f{y)dy a a a ) Đinh lv : Cho / là hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó X b(x) = J* f(t)dt khả vi tại X G (a,b) và a i ệ,{x) = dậjx) = f m = Í J f m = í(x) ax axJa \ J a ) Chứng m inh : Lấy h khá bé sao cho X, X + h G (a, b). Ta có: x+h X Kx+h) - ộ(x) = J f(t)dt - J f(t)dt a a X x+h X = f f(t)dt + J Ỉ(t)dt-J f(t)dt a X a x+h = f f{t)đt X 'ừ định lý giá trị trung bình ta suy ra: (x+h) - X. Do đó 154
lim f(c) = lim f(c) = f(x) /í—>0 =* f (X) =lim ầ ĩ± M : = ụ MW v h A-0 h = lim /(c) = /(z) với X G (a, b) í:—>.r Tương tự: nếu X = a ta có ệ’(a+) = f(a) nếu X = b ta có c = -F(a) a b + Cho X = b : f /(í) dt = F(ỉ>) + c = F(6) - F(a) a Ví du 1 : 155
Ghi chú : Ta thường viết b ị J f(x) dx = F(x) F(ò) - F(ữ) a 1 dx Ví du 2: 1 = J X arctg xdx. Đặt u = arctgx => du = 0 1 + x2 dv = xdx, chọn V = - (x2 + 1) 2 ĩa có I = —(x2 + l)arctg£ 1 2 0 2 J 4 2 Ví du 3 : J V a 2 — x2dx (a > 0) 0 ra có [ yjã2 — X 2dx = — Va2 — X 2 + — arcsin — J o 2 2 a2 7r . 7ra2 2 2 4 Mhân xét : Giả sử / liên tục trên [a,b]; ọ(x), h(x) khả vi và ;ó miền giá trị c [a, b] ra c ó : á h(rf . / ( t ) t ó d = _-J-F(t) M*) = ( *9f f(t)dt Y dxJr) dx v(x) Jr) = [F(h(x)) - F(cp(x))]’ = h’(x)F ’(h(x)) - ọ ’(x)F ’(cp(x))
= h’(x)f(h(x)) - q>’(x)f(cp(x)) d_ Ví du 1 : ■ỳ Ạ + t2dt = jr '■íĩ+ĩ dt dx JJ.ĩ, dx () = —(x2)fyịĩ 4- (x2)2 = —2xyjl + XA u J sin s/ĩdt I sin y/tdt Ví du 2 : Tính : lim — = lim — ——- *-.()■■ X*X {xỴ '2 2 x s iĩi y jx z 2sinx 2 = lim : = lim — —— = — ^ 3x 3x 3 VỊ sin tdt ỉ 1 Ví du 3 : lim — lim XX :r—»1 = — sin21 2 V. Các phương pháp tính tích phân xác đinh : 1. Phương pháp đổi biến số ĩ 6 a) Cho f{x)dx với f liên tục trên [a, b] a Nếu X = cp(t) thỏa : i) cp khả vi liên tục trên [a, p] ii) (p (a) = a, cp (P) = b iii) Khi t biến thiên trên [a, P] thì X biến thiên trên [a, b] 157
b ịi Khi đó, tacó J f(x)dx= J f[ự>(t)]ip'(t)dt a O l Chứng minh : Giả sử F là nguyên hàm của / trên [a,b] b Ta có : J ỉ(x)dx = F(b) - F(a) (1 ) a ịi $ỉ{V(t)yp'ự)ã=F\ứt)} =FWi)-Fụp))=m-m (2) n (1) và (2) => đpcm •2 ___ 2 Ví du 1 : Tính J y¡A-x1dx= 2 J \ỉ4 - X 1dx -■2 0 Đặt X = 2sint, 0 to = 0 , Xi = 2 ti = — 2 71 2 2 Suy ra 2 y/4 — x2dx = 2 J yfĩ — 4 sin21 2 COS tdt 0 0 7r 7Ĩ 7T 2 2 = 2 J 4 COS2 1 d t = 4 (1 4- eos 2£)íZ¿ = 4 t + — sin2£ 2 =271- o o 2 0 a dx Vi du 2 : Cho a > 0. tính r —r= 2\:{ i J a 1+ x2) Đăt X = atgt, 0 < t < — 4 Suy ra t = arctg— và dx = a(l + tg2ì)dt 158
^ 7T Xo = 0 => to = 0 , Xi = a ==> ti = — 4 r ax _ r a( 1 + tg2t)dt _ 1 f dt 0 yịi0’2 + x*) ~ { Ậ a l + aiHgHy ~ a‘ { 7T 7T 1 = -1 f cos tdt — —~r sin t 4 = “2 í a 0 à 2 y p ĩ b) Cho / liên tục trên [a,b]. Nếu u = h(x) thỏa : i) h khả vi đơn điệu trên [a, b] ii) Khi X biến thiên trên [a, b] ta có f(x)dx thành g(u)du. b h(b) b thì ỉ(x)dx = J* g(u)du = Jg(h(x))h'(x)dx a h(a) a Chứng minh : tương tự 7T cos xậx Ví du 1 Ỡ' 2 + 3 sin X Đặt u = sinx =} du = cosxdx 7Ĩ 1 7T . 7T 1 Xo 6 - ^ “° 2 ’ Xl 4 ^ Ul = SÌn4 = Ẳ ĩ t / 4 , 1/V2 1/V2 cos xax _ p du _ 1 p ¿2ỉ + W l ' J 2 + 3«2 ■ 3 J 273 +u 72 = J _ t V5 t 73 —= . /3— —1 arctg t —F=r>/3 u. arctg^-arctg^ V2 3 %/2 1 -Jg 159
í du 2: 1= f — — (0 du = dx Xo = -1 => Uo = - 1 - cosa; xj = 1 => Uj = 1 - cosa 1—COSO T - — eos a du 1 U 1 =>I / 2~r + sm • 2 a' = ~— sm a arctg_sin si a — 1 — cosa -1 —cosa u l , 1 — eos a (— 1 — eos a ) a rctg — ; arctg sin a sin a sin a 1 2 sin 2 - 2 eos" arctg „ . Q 2 Q + arctS ~ 2 a sin a 2 sm — eos — 2 sm — eos — 1 arctg(tg^) + arctg(eotg^) sin o: z z 1 arctg(tg^) + arctg |tg(^- - ^)j sin a 1 a 7T a 7r sin a 2 + 2~'2 2 sin a 2. Tích phán tftng phán : Cho u = u(x) , v = v(x) la các hám khá vi va có dao hám b 6 h lien tuc tren <[&;&]. Khi dó J udv = uv a ~ J v^u a a 160
1 dx Ví du 1: J* X arctg xdx Đặt u = arctgx => du = 1 ï + x 2 2 . ' dv = xdx, chọn V =-r(x1 ,2 + 1) 2 => J1 X a r c t g xdx = — 1 (x2 . - f l )arctgx 1 — J 1 —dx 1 2 ị _ 7T , 5 , 1 3 = — + — arctg— — 4 8 2 4 VÍ du 2: 7T 7T i) Chứng minh : J sin” xdx = J cos" xdx 0 0 7T ii) Tính : J* sin" xdx 0 Giải : •s 7T , 7T i) Đặt X = - — u => dx = — du, Il = — — X 2 2 ~ 7T 7T _ . Xo = 0 => Uo = — , X i = — => U i = 0 2 2 7T 2 O / X j* sinfl xdx = J sin" I — — u I ( — dụ) 2 1r 7T = J eos" udu = J cos11 xdx 0 0 Ỉ6Ỉ
7T Ti 2 2 ii) J* sin" xdx = J' sin" 1 X sin xdx với n G N, n > 2 o o Đặt u = sin” - *x du = (n - l)cosx.sinn " 2xdx dv = sinxdx, chọn V = - cosx 7T 7T 2 2 => In = J sin" xdx = J sin"-1 X sisin xdx o o 7Ỉ £ Y . = — COS X sin"-1 xy + (n — 1) I eos2 a; sin"-1 o 7T 2 = (n — 1)J* (1 — sin2 arjsin"“2 arár o = (n- l)In_2 - ( n - 1)I„ => nln = (n -l)I „_2 T __ ĩt> 1 y n - l n - 3 —^ In — An - 2 — ~ An - 4 n n n — 2 n - l n - 3 n - 5 In n n — 2 n — 4 Vậy, ü z i 1.5 3 I / (n = 2fc) n 71 —2 n —4 8 6 4 2 n-1 ÍỈ-3 ÎI-5 8 6 4 2 ., ft I , 1 \ . —. — . — .i, (n = 2/c + 1) n7¿ I I rc ~-2 ¿1 71 I V — 4 Í7 9 I 7 ư 5 o 3 JT 7T 7T mà lo = J*sin) xdx = —, Il = J sinxdx = —cosa;2 =1 ü ^ o 0 162
Qui ước : (2k)!! = 2. 4. 6. 8 (2k - 2)(2k) (2k + 1)!! = 1. 3. 5 (2k- l)(2k + 1) VI. Tích phân suy rông : h Tích phân xác định / * > dx đã xét ở trên với [a,b] hữu hạn và / liên tục trên [a,b] hoặc / có số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trên [a,b]. Trong phần này ta x é t : • Tích phân trên một khoảng vô hạn. • Tích phân trên [a,b] và trên [a,b] có điểm gián đoạn vô cùng. 1. Tích phân trẽn môt khoáng vô han : Cho hàm số / xác định trên [a, +oo) khả tích trên [a,b], V b > a . Khi đó tích phân xác định Vb > a . Đinh nghĩa: i) Cho / xác định trên [a, +oo) khả tích trên [a,b], Vb > a .Ta định nghĩa tích phân suy rộng của / trên [a, +oo) là : 163
+ T C b J* f(x) dx = lim J ' f(x) dx a a ii) Tương tự, nếu ham số / khả tích trên [c,a] ,Vc a .Ta định nghĩa tích phân suy rộĩíg của / trên (-00, +00) là + x a —X J f(x) dx = J f(x) dx + Ị Ị(x) dx —OC —oc a a b = lim I f(x) dx+ lim I f(x)dx C—*~CK J h— JO J r a + TC • Ta nói tích phân suy rộng f(x) dx l à hội tụ nếu a b 4-3C dx tồn tại hữu hạn. Nếu J* f(x) dx không hội tụ o a ta nói nó phân kỳ. a a • I f(x) dx hội tụ nếu lim I f(x) dx tồn tại hữu hạn, J C -+—OC J —ÍX' c a ngược lại ta nói J* f(x) dx phân kỳ. —'X:
+ .X a +0C J f(x) dx hội tụ o J* f(x) dx và J* f(x) dx cùng hội tụ. - X — OG a +0C dx Ví du 1 : f — - = lim f J ( ĩ + 3)(x + 8) C+acJ' (x + s)(x -\r 8) X + 3 0 1 = lim i l n = — ln2 6—>+oc 5 X + 8 2 5 Vậy tích phân suy rộng trên là hội tụ. + '* 4 7 w . J ~ - Ví du 2 C X ax z10 + 1 V ì là hàm chẩn nên X 10 + 1 0 + ~ xẤdx a;4ch = 2 lim ."ĩõ = 2^ /0 -X 4-1 Ä-*+oc J/ X + 1 = - lim f =— lim [arctgũị ft 6—>+jc */' (ù + 1) §bZ+x _ 7T 5 = — ( u = X ) 5 + -X , Ví du 3: Khảo sát sư hôi tu của f — 1 x phân kỳ J1 A—*+x J <J» 1 6—»+0C (ii) a * 1 : 165
f — = lim [ X ndx = lim —-— \x 0+11 J x a >+x J b—>+ Tt \ — (ỵ *• J 1 (a > 1) lim (ò1 “ — 1) = a — 1 »-*+X 1 — a ft- +x +oo (a 1 và phân kỳ nếu a 0 và lim \f(x)\ = +oo , ta đinh nghĩa tích phân suy rông của / trên X -*a+ ' b b b [a,b] là J f(x) dx = lim J f(x) dx — lim f(x) dx a a+e .r ii) Nếu hàm số Ị khả tích trên [a, b - 8] , Ve > 0 và lim \f(x)\ = +oo ta định nghĩa tích phân suy rộng của / trên x->b ' 1 [a, b] là b b - e X J f(x) dx = lim J f(x) dx = lim J f(x) dx ữ a a iii) Nếu hàm số / khả tích trên [a, c - e), Vs > 0, / khả tích trên [c + s, b), Ve > 0 và lim|/(o:)| = +00 , ta định nghĩa : b r b / / ( * ) dx = J Ị(x) dx -f J f(x) dx a a V 166
r - e b = lim J f(x) dx + lim J f(x) dx a *■+>: It c h Ghi chú : J f(x) dx hôi tu J* .fix) dx và x)dx cùng a a c hội tụ. ¿ dx Vi du : Xét I V ĩ X Ta có lim 7 = ■■■■■.■ = + 0 0 ; lim -r —— = + 0 0 *- 2" ^ 4 _ x 2 x —*—2+ ^ 4 _ x 2 r dx _ °r dx 2rd x ¿ 2 \fi - X2 _2 V 4 - X 2 ' ị >/4 - X 2 fite r = li™ f_ * +% | 0 V4 - a;2 2 - £ X 2; = lim arcsin — + lim arcsin _ "♦ 0; lim \f(x)\ = + 0 0 và nguyên hàm F (của / ) liên tục trên .r-6 ■ [a,b]. Khi đó J ỉ(x) dx = F(£) —~F(a) a 167
ii) Nếu / khả tích trên [a + e, b}, Ve > 0, lim \ỉ(x)\ = + 0 0 và z-»a+ 1 1 CÓ một nguyên hàm F liên tục trên [a, b] thì ố J Ị(x) dx = F(6) — F(o) a iii) Nếu / khả tích trên [a, c - e) u [c + s, b) và lim|/(x)| = + 0 0 và / có một nguyên hàm F liên tục trên [a,b] thì jf f(x) dx = F(b) - F(o) a Chứng minh : Ta chứng iĩiinh cho i), các trường hợp còn lại là tương tự. b b - e Ta CÓ: J f(x) dx = lim f(x) dx = lim [F(b - e ) - F(a)] a a - F(6) —F(o) (vì F liên tue trên [a,b] nên lim F (6 — e) = F(6)) e-*0+ Ví du 1 : f 7 . Hàm số ttong dấu tích phân có môt "2 V 4 - X2 nguyên hàm là F(x) = arcsin— liên tục trên [-2 , 2] nên 2 2C dx _ f2 ì . Ị 2Ì 7T Ị 71-) I 7 = arcsin - - arcsin — = — - —— =71 i j n ? I2J { 2) 2(2) r dx Ví du 2 : Khảo sát sư hôi tu của I — — — (a 0) a (p -xT
Ta có lim = + 0 0 => f — ẺĨ— = lim f - — — x->b ịp — xỴ J (b — x)a e~>0+ J Ọ) — x) + Nếu a = 1 : b — e f -ỈĨ— SS lim f — = lim(—ln(6 — x) J b — X *-*0+ J b — X £ ® a a a = lim(—ln(e) 4- ln(6 — a) = +00 b — £ + Neu a * 1 : f — ■■■ -■ = lim J (b — x)a *“o+ (a _ _ ß) a 1 1 = lim £—0+ ( a - í y *-1 ( a - l ^ ó - a )"-1 +00 (a > 1) (b - a ) ' - “ (a 1 => f -—— — phân kỳ Ja (b~ XT /* ¿P • Nếu a I hôi tu J j b - x f v ỵLiỉil:i'( ^ r (a 0)' Ta CÓ lim -— — — = + 0 0 ; f -— — = lim f — T" *“a+ (X — a)nJ (x — à)a e-*0 J (x — a)a + Nếu a = 1 169
= Ịim (ln \x — a\a+e) J x - a ‘:“ÔĨV 1 a = lim [ln(ò - a) - ln(e)] = +00 ¿r-0+ + Nếu a * 1 : Ì-ẺL- = lim /■ _*!_ J (x — a)° f-*‘> ỵ (X — aỴ = lim -1 (a — l)(x — a) a—1 n+ẽ -1 = lim 1 {(a-l){b-aỴ-1 (a-í)en-lị +oo (a > 1) (b - a)'~" ( a 1 => J phân kỳ „ (x ~ a) • Nếu a a. Trường hợp (-O0, a] hay trường hợp [a,b] (với lim \f(x)\ = +oo hay lim|/(:r)| = +oo) đươc xét bằng cách .r—*a+ i-*b~
• Đối với tích phân J f(x) dx, ta đổi biến u = -X, du = —dx - X b b -h • và f f(x) dx = lim [ f(x) dx = lim Í f(—u)(—du) J a - * - \ %) Í 1 -+ - X J - X a - a c + X = lim J g(u) du = J g(u) du với g(u) = f(-u) - b - b b , • Đôi với tích phân Ị f(x) dx, lim |/(:r)| = + 0 0 ta đổi biến a u = —— . Khi đó : X — a [ f(x) dx = lim r f(x) dx = lim f/'~" / a + — — J f->o+Ja+ỉ- ^ u)( u , » 1 = lim :Lg(u)du = Jj_g(u) du b - a b —u /(« + ; ) vđi gịu) = - > - u> u b • Đôi với tích phân J f(x) dx, lim|/(x)| = 4-00 ta đổi biến a u = —-— . Khi đó : b — X
ị = lim J*ị g(u) du = J* 1 g(u) du b — a b — a ỉ b — u với g(u) u a) Đinh lv 1 : Cho / , g xác định trên [a, +00] và khả tích trên [a,b], Vb > a. Giả sử 0 0 và = g(x) > 0 X +TC => J f(x) dx và J* g(x) dx là hai hàm tăng trên [a, +00) a a +!Xi - X i) Giả sử J g(x) dx hội tụ => lim J g(x) dx = M (hữu hạn) a a X X => Vxe[a, +00): J f(x) dx < Jg(x) dx < M a a X J f(x) dx tăng và bị chặn trên ở [a, +00) a
X '+3C => lim I f(x) dx tồn tại hữu hạn => I f(x) dx hội tụ. X—*+x J J a a +OC X ii) Giả sử J* Ị(x) dx phân kỳ => lim J' f(x) dx — + 0 0 a tt => VM, 3xi e [a,+00) saò cho X > Xi. X Ta có : //(* ) dx > M => VM, 3xi e [a, +00) sao cho X > Xi (I X X Ta có : g(x) dx > J Ị(x) dx > M a a X ' X => lim I g(x) dx = + 0 0 => I g(x) dx phân kỳ X—*+.x J V a a b) Đinh lv 2 : Cho /, g là hai hàm xác định, dương trên [a,+oo). Giả sử / , g khả tích trên [a,x], Vx > a và lim ^ = k. Khi đó: *-+* g(x) +OC + x i) Nếu 0 < k < +00 thì ta có : f(x) dx và f 3(x)dx cùng a a bản chất (cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ) + x + x ii) Nếu k = 0 và J g(x) dx hội tụ thì J* f(x) dx hội tụ a a -foc + x iii) Nếu k = 0 và f(x) dx phân kì thì j* g(x) dx phân kì fl n +.X. + x iv)Nếuk = +oo và //(* ) dx hội tụ thì J g(x) dx hội tụ a a 173
+ X + x v) Nếu k = +00 và J g(x) dx phân kì thì J 4 f(x) dx phân kì a a Chứng minh : ta chỉ chứng minh trường hợp i) i) Giả sử 0 0, 3xi sao cho X > Xi g(x) /(*) f(x) Ta có : — k k - £ 0, 3X2 đủ lớn sao cho X > x2, ta có k k f(x) k Sk - = k - - J — g(x) dx hội tụ => g(x) dx hội tụ a a a f r 3 k I f(x) dx phân kỳ => I — g(x) dx phân kỳ « a + X => J* g(x) dx phân kỳ « + x + X Tương tự : J*' g(x) dx hội tụ => J f(x) dx hội tụ a a + X +■ X J ' g(x) dx phân kì => J f(x) dx phân kỳ a a Nhân xét : 174
+ Định lý 1 chỉ áp dụng khi / , g không âm trên [a, +00) + Định lý 2 chỉ áp dụng khi ĩ , g dương trên [a, +00) + Tích phân J f(x) dx cùng bản chất với £ Ị(x) dx với mọi Ả thỏa a 1, phân kỳ khi a 1, ta có : , ", l ) suy ra 1 X ° 175
Cách khác : Ta có lim ■ ~^x i} fý - x = 1 (0 1, ta có : X + 5 > X _ X _ 1 Ỉ/Ĩ^ĩ+X* ~ + x :. J 2 x ỉj J2xl . *ĩ dx Mà tích phân Ị - — 5- phân kỳ (vì a = 5 / 6 / /õo2z<»6 (x + 5)dx r {- , j t phân kỳ. \ ĩ / ĩ Ạ + x3 x + ò Cách 2 : Ta có lim 2^ ^ + /L. = 1 *-+* l/z r,/c ^ f —(-í 5), và cùng bản châ't J Vxy/ĩ+7 \ xì + -X Ví du 3 : Khảo sát sự hội tụ của J* sinx2áx
+ X +3C Tích phân J sin :r2d x cùng bản chất với J sin x ‘d x ễ +-X b. /» b* gịjj . sin x 2d x = lim I sin x 2d x = lim I — 7=-dt Vx J M x J 2 y ft / 1- 1— — V'2 * V2 -2 A r- di (t = X => X — y/t => dx = — J=r ) 2 v í Đặt u = du = —ị dt; dv = sintdt, chọn V = - cost Ví 2 W- 1 bp cos td t r COS t d t z=> I = lim — —-=r COS t ‘“ +* 2 Ví j! = - J J 2 i 4 i) 4 í5 4í* ] 4 J tụ=> J sinx2da:hội tụ. / 5 Ị 4*2
Chương VIII : HÀM NHIỀU BIỂN I. Các khái niêm : 1. Đinh nghĩa : Cho D c R". Ánh xạ / : D » E M = f(xv x2, ,xn) được gọi là hàm n biến xác định trên D. Ví du : /( x , ?/, z) — X2 — 3xy + 5yz7 có MXĐ là D = R3 Ị{x,y,z) = - +xy ~ y có MXĐ là xyz D= E:ỉ \{(x,2/,2:)/a;ỉ/2 = 0} 2. Khoảng cách: Với a? = y =: (yv y2, ,yn) ta định nghĩa khoảng cách giữa X và ỉ/ là 3. Quả cầu mử. quả cầu đổng '.vôi M — (xvx2, ,xn) € R" và £ > 0, ta g ọ i: • B(M ,e) = {y £ R n /d(x,y) < e} là quả cầu mở tâm M, bán kính £. • B(M ,e) = {y e W ‘ Ị d(x,y) < s} là quả cầu đóng tâm M, bán kính £. 4. Tâp mử - Tâp đổng : Tập D c M" được gọi là tập mở 178
nếu với mọi M = (xv x2, ,xn) £ D , tồn tại quả cầu mở tâm M, bán kính £ chứa trong D. Tập D c M" được gọi là tập đóng nếu phần bù R” \ D là tập mở. Ví du: A = ị{x,y) G M2 / X2 + y2 0, 3a > 0 sao cho X e D và 0 I f(x) — A\ A khi X —> xữ j:, -.rị' 2. Đỉnh nghĩa: Cho hàm số / xác định trên tập D chứa x{). Ta nói / liên tục tại xữ nếu lim f(x) = f(x{)) :r->x„ • f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi X e D. Ghi chủ : Sự liên quan giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy 179
tương tự như hàm một biến. Ví du: i) /(x, y) = - y có lim(lim f(x,y)) = 3 X + oy x^° «->0 và lim(lim f(x,y)) = —— nhưng lim f(x, y) không tồn tại vì (*„>ỉO = -* (0,0) và {x'n,y'n) = -> (0,0) Kn n) \n n) ■có Um [lim/(*,»)] = &„ ) ~ f(av a2i"'iaiì) Lo h tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của 180
h à m u = f(xl,x2, ,xn) tạiAịdi, 0 2 ,— » theo biến X ị . Ký hiệu : ỡ// a2, a n) XW hay ỡtt, (ai, a2, a n) X ỜXị d x t hay u'Xị hay f't hay u' hay // Nhân xét : đạo hàm riêng theo biến x t thì riêĩig Xị coi như biến sô" và các xk với k ^ i thì coi như hằng số. Ví du : f(x, y, z) = xy3z6 + y2 + 5y4z3 + 8x5z, ta có : ^ ỉ - = y Y + 40x4z, ^ = 3xy2z6 + 2y + 20yV , ỡx dy — = 6x y V + 15y4z2 + 8x5 dz IV. Đao hàm của hàm hơp : Cho X = (xv x2, ìxn) G í / c R ”, u mở. t = (tv t2ỉ ,tm)e V c r , V" IĨ1Ở. f:U-*R,gk:V-+ R n,Vfc - v ĩ Giả sử <7fc(F) c ỉ / . Cho 2 = f(xv x2, ,xn) \ xk = & . ( * ! , k = 1,71. Giả sử / có các đạo hàm riêng theo biến rc*, = l,n tại x\ gk có các đạo hàm riêng theo biến tị, Î = l,m tại t. Khi đó, ta có : 9t, = /~22 i at, ‘ = I’m Ví du : z = f(xi, x2, x3) ; xk = gk(ti, t2, t3, u), k = 1,2,3 181
dz . dz Tương tự cho —— và ——. dt3 dtA Ví du : f(xi, x2) = x\ - xị ; Xi = 3ti +t¡, x2 = tị 4- ¿2 d í = d ì dxx | d f dtị dx1 ỠÍị dx2 d f _ d f dxl df dx2 2.= (2x0(2 t2)+(-3iỉ)(4í“) dt2 ~ dx1 dt2 dx2 V. Vi phân : Hàm u = f(xv x2ì 1xn) xác định trên tập mở D chứa X = (xììx.2ì ,xu) được gọi là khả vỉ tại X = (xlìx2ì ìxn) nếu số gia toàn phần của nó A u = f{x¡ +A^,a;2 + +Axn)- f ( x ¡,x2, ,x,¡) CÓ thể biểu diễn dưới dạng Au = A1Ax1 + A2A x2 + + AnAxn 4- o(p) trong đó p = Ự(A^ )2 + (Ax2)2 + + (A xnf (p > 0) • Nếu hàm ÎL = Ị{xv x2, ,xn) khả vi tại X = (xv x.2, ,xn)
, V . du , V ^ v du , V . thì v¿ = 1,71 ta c ó (x) ton tai và —— (x) = Ặ À du t x A du , x A ôu / V * , V => Ati = -p-(i).Aij + -^-(x)A®¡+ + ~ — (z)Ax„ + o(p) ơ^! Ơ0J2 ơa;M rr. • 1 / \ ỡíi , V A ỠIÍ , V A du . Ta gọi du(i) = ^-(aOA®, + j-(i)A ĩ 2 + + (i)Ax„ (/U/Ị Cyj0 du =(15x4y+6yz)dx + (3x5-6y2z2 + 6xz)dy + (6xy- 4y3z)dz Đinh \y' : Cho tâp mởDc Kn. Nếu Vì = l,n tồn tai và d X ị liên tục trên D chứa X = (xv x2, ,xn)thì u khả vi tại X = (xv x2, ,xn). du — Ghi chủ : Có khi — ~(x) tồn tai Vỉ = l,n nhưng u không d x x khả vi tại X. VI. Đao hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao : 1. Đinh nghĩa: Cho X = (xv x.2, ,xn) e u c W , ư mở. Giả •> du ¿ . . du , . .A , sứ tôn tai v à có đao hàm riêng theo biên xk tai X dx, * dx, ■ 183
d du thì (x) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của u theo dxk P xi, biển X i , X k tại X và ta ký hiệu ~ ịfp ~ (x) hay “v . (x) ’ hay “v . hay d^ụ d'^u Nếu i k thì — — - (x) và (x) đươc goi là đao /làm dxtdxk dxtỡxk hỗn hợp. Tương tự ta có các đạo hàm riêng cấp 3 : d3u d d2u 1 dẦu d d2u ỞXị dx,SxkA dxịdxị dxk dxpxk d*u d d2u d*u _ d d2u dxẦ dxt dx2k dXịdXịdXị. dxk dxidxj 2. Đinh lv Schwarz : Cho u là hàm xác định trên tập mở d2u d2u D c R". Nếu u có các đạo hàm riêng liên dxịdxk ’ dxkdxi tục trên D chứa (ai, a2, a „ ) , Vi, Ả; = l,n thì d2u d2u (ai, a2, a n) —-—(ai, a2, an) dXịdXị. ' 7 dxkdxị Ghi chủ : Do định lý Schwar z nên một số tác giả còn sử dụngJ 1ký ' u-hiệu ^ 0 - Ịí &u) g j _= ^ Ví du : f(x, y, z) = x3y5z8 + x2y2 + y2z2 = 3x2y5z8+2xy2, = 6xy5z8+2y2, dx dx 184
^ = 5x3y4z8 + 2x2y+2yz2 ay d 2¿ Suy ra :i-y = 20x3y3z8 + 2x¿ +2zz, d yỹ2 ạ 2f = ¿ > 7 = 15x2y4z8 + 4xy d x d y d y d x 6. .8 5 Ví du : Cho f(x, y, z) = X +y +z - X y z — = 2xo - 6 z: x 5 y 8 z 5 , — Ỡ/ =_ 3y0 2 - 8 o x 6y 7_5z , ỡx ỠJ/ ^ = 4 z 3 - 5 xV z 4 ÖZ í . . Suyra-^- = A (A Ị = _ 4 8 x V V , ỡxỡí/ ớylỡa;; d 2f = a d ¿>7 = -48x5yV = Ỡ2/ỠX d x lôîij d x d y Tương tự ta có : d 2f = d 2f = -3 0 x 5y8z4 d x d z d z d X và — = - 40x6y7z4 Ỡ2/Ỡ2 ỠZỠ?/ d f <±1 - A = 2-30x4y8z5 ỡx2 ỡx ß x t ọ ỵ _ = d_ d ỉ = 6y-56x6yV dy2 dy [dy) & l = d_ r a / ì = 12z2 - 20x6y8 z3 d z 2 Ỡ 2 185
Ví du: Cho hàm số E 2 - y 2 X y » nếu (x,y) ^ (0,0) ỉ(x,y) = X +y 0 nếu (X, y) = (0,0) d2 f _ d2 f Chứng minh rằng — — (0,0) ^ — — (0,0) dxdy dydx X ■2 — y '2 Axy,1 4„2 x2y22 Ta có: ^ ( x ,y ) = y 2 -2 ơx X2 + y1+ (x2 + y2 Ỵ Tại (0,0) ta có : -^(0,0) = lim /(A^°) /( Q^°) = 0 dx Az->0 Ax SBy „ = lin = dxdyr ì r r r l i i Aw—>0 A y Aỉ/-»0 A y Tương tự, ¿Lm ,^í^đzỉm dydx A2-*0 Ax Ax~*° Ax 3. Vi phân cấp cao của hàm hai biến : Cho u = f (x,'y) có các đạo hàm riêng cấp n liên tục trên tập mở D c M2 chứa (x, y) . Ta có vi phân cấp n của / tại (x, y) là: d ”ỉ ( x , y ) = v c t f [¡* vl dx^dy1 ■ K ’ ¿ í " d x ^ d y “ Khi n = 2 ta có d 2ỉ(x,y) d2f(x,y)dx2+ 2Ễ p M l dxăy + Ễl Ẽ M Ì d^ dx dxdy dỳà Khi n = 3 ta có 186
d7 (ly)= %^d,' + 3 ÄW d , + ơx ỡx ỡí/ dxdy + ^ M ) d , . d ỳ YLdu : f(x,y) = x'Y Ta có: f£ơ£ = 3zy;f£ ơĩ/ = 5xy , 0 . « * sg . a*v;-2L. 15.V - Ä ỡi' v ỡiâĩ/ ỚBỠI => d2/(® ,y)= 6xy5dx2 + 2(15x2y4) áxdy + 20x'iy'iáy2 4. Công thức Tavlor cho hàm hai biến: Cho D là tập mở trong R2, / : D -» E có các đạo hàm riêng câp n liên tục trên D. Với (x,y) e D v à (h,k) e R 2 sao cho (x + th,y + tk) e D với mọi t € [0,1]. Khi đó tồn tại 0 e (0,1) sao cho : f(x + h,y + k) 2! iĩk £ ơ-^ * l£ vĩ™ Nhân xét : Nếu đặt h = A x , k = A y thì khai triển Taylor trong lân cận của (x,y) là : 187
f(x + A x,y + Ay) = + ~ r ( x + QAx,y + ỠA y) i=0 *! rc! Ví du : Khai triển Taylor của hàm sô" f(x,y) = yx trong lân cận của điểm (1,1) đến bậc 2 và tính gần đúng giá trị biểu thức (1,02)1,01 Ta có : /( 1-1 )= 1 fí(x’y) = yXịny => /J(M) = 0 f»(x,y) = => /„'(1,1) = 1 = y’ lá* y => £(M) = 0 & ( :*,y) = yx-'(x]ny + l) => 4(1,1) = 1 f„(.x,y) = x ( x - l ) y z^ =4- £(1,1) = 0 Vậy ta có : yx = 1 + (y — 1) + (x — ì)(y - 1) + Â2 với Ã, = ^ d 7 (l + 0(x - 1),1 + 8(y - 1)) 0102 ,-1 limí (x-l) ZT^T? + { y~Ĩ7 -1) = 0 y-1 Suy ra (1,02)1’01 « 1 + 0,02 + 0,01.0,02 = 1,0202 VI. Cức tri hàm nhiều biến: 1. Đinh nghĩa : Cho hàm số f(x) = f(xv x2, ,xn) xác định trên D c R" và a — aịxlìx2r ìxìù G D. Ta nói / đạt cực đại {cực tiểu) địa phương tại a nếu tồn tại tập s = {x € D / d(a:,a) f(x) (hoặc 188
f{a) < f(x)), V x e S n D . Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. 2. Đinh lý (điều kiên cần) : Cho hàm số f(xỉìx2ĩ ĩxn) xác định trên tập mở D chứa x0. Nếu hàm số f(xv x2, ,xn) có cực trị địa phương tại x0 = và giả sử các đạo A r hàm riêng cấp m ôt (x0) tồn tai Vì = l,n thì : dxt ^ - ( x o) = 0, Vi = l,n dxt or Những điểm xữ = thỏa điều kiện -(Xo) = 0, ỠXị Vì = 1, n được gọi là những điểm dừng. Những điểm dừng là những điểm có thể đạt cực trị. Ghi chú : Định lý trên chỉ là điều kiện cần. Có khi các đạo hàm riêng tại xữ = ỊíCi của / không tồn tại nhifttg / vẫn có thể đạt cực trị tại xữ. Ví du : ỉ(x,y) = y[x2 + y2. Ta có (0,0), -§^(0,0) không dx dy tồn tại nhưng / đạt cực tiểu tại (0,0). 3. Dang toàn phương xác đỉnh dâu : Hàm A(hlìh2ì.:.ìhn) — (*) của các biến /4, In * J = Ỉ được gọi là dạng toàn phương, các sô" ay được gọi là hệ số của 189
dạng toàn phương. • Dạng toàn phương (*) được gọi là xác định dương (hoặc xác định âm) nếu V hv h2, ,hn thỏa > 0 thì c° í= 1 i.j=l giá trị dương (hoặc âm). • Dạng toàn phương xác định dương hay xác định âm gọi chung là dạng xác định dấu. 4. Đinh lv : Xét dạng toàn phương *,J=1 Giả sử a%ì = aJ# , Vi, j = 1, n . Khi đó ta có : i) (*) là dạng toàn phương xác định dương an > 0, 011 0^2 flln a n a ĩ l a V 2 a VA a i ĩ ữ '21 a 22 CL'2n > 0 , a 2 1 a 2 2 ữ '2'Ằ >0 a 2 \ a 2 2 a -M a : ư a 'A2 anl an-2 ii) (*) là dạng toàn phương xác định âm an 0, ^21 ^22 ^2:5 0 a 2ỉ a2ì aM %2 ax\ anl a„2 • ann 5. Điều kiên đủ của cực tri đia phương : Giả sử V ị j — l,n; — -— tồn tai và liên tuc trong lân cân của d $ ịd X j điểm dừng xữ = 190
11 ß2r Nếu d2f(xữ) = — áXịáXị là dang toàn phương xác định dấu của các biến dxi, dx2, dxn thì / đạt cực trị địa phương tại Xq. Khi đó, nếu d2f(x0) 0 thì / đạt cực tiểu tại x{). 6. Cức tri hàm 2 biến : ỡ2 f d2 f d2 f Giả sử - 4 - 4 - — tồn tai và liên tue tai Mo(xo, yo). Giả dx dy dxdy sử = ÿ - ( xo 0 , ii) thì / đạt cực tiếu tại (x0ìyQ) A(M0) > 0 un 0 (a22 0 thì an và Ü22 cùng dâu. • Khi A(Mo) = 0 thì không có kết luận tổng quát. 191
Ví du : + f(x, y) = X3 + y3 có A(0,0) = 0 và không đạt cực trị tại (0,0) + f(x, y) = X4 + y4 có A(0,0) = 0 và đạt cực trị tại (0,0) Ví du : Tìm cực trị (nếu có) của u = f(x,y) với f(x,y) là i) x2 + y2 + 2x-6y-3 ii) X3 + y2 + 12xy + 1 iii) x+— + Ỉ + 2 iv) 3 - Jx2 + y2 4ar y v) x ỵ j l —— vi) 2x4 + ỵ4 -X2 -2ỵ2 + 6 V 4 9 vii)v ii) X4 + y4 - X2 - y2 - 2xy + 5 G i ả i : i) u’x = — = 2x + 2, u ’y = 2y - 6. d x ùx = 0 X = — 1 Tìm điểm dừng ù. = 0 y = 3 . . Ỡ2W „ ô 2í i , 1 _ _ ^ aH= ura=uxỉ= ^ -ị(-l,3 ) = 2, a22 = tộ = ^ ( - 1 ,3 ) = 2 _ ỡ 2/ d2/ / 1 ix_n ai2=^Qơxơi/ ( ’ ơĩ/ơx (~1»3) = 0 2 0 A(-l, 3) = = 4 > 0 và an >0 0 2 => Hàm đạt cực tiểu tại ( - 1, 3) và U c t = -13 ii) u*x = 3x2 + 12y, u’y = 2y + 12x Ị 92
ùr = o X = o .T = *24 o V «' = 0 2/ = 0 '¿/ = .-1 4 4 u]:ỉ = 6x, = 2, 12 0 12 A(0, 0) = = -144 0 và an = 144 > 0 12 2 hàm đạt cực tiểu tại (24, -144) Bạn đọc tự giải các ví dụ còn lại. d2f 7. Đỉnh lý : Giả sử tồn tại và liên tục tại điểm dừng dxßxj __ g¿ ỷ x„ = (x“,! “, ,!;,1) Vi, j = 1,1 1. Đặt av = o ý - ( x«) và o n a i2 alk a.n a -22 *"a 2k , k = 1,71 B t = • • • akl a k2 akk Ta có : i) Nếu Hk > 0, VA; = l,n => / đạt cực tiểu tại x{) ii) Nếu (-1 y Hk > 0, VẢ; = 1,72 => f đạt cực đại tại xữ iii) Nếu 3 k e {1,2, ,n -2 } sao cho Hk.Hk+2 ỉ không đạt cực trị tại x0 iv) Nếu 3 k sao cho H2k f không đạt cực trị tại xữ 193
iĩựờng hợp riêng khi n = 3 ta cổ : + H|, H2, Hs > 0 => / đạt cực tiểu. + Hi 0, H3 / đạt cực đại. + H2 / không đạt cực trị. + Hi.Hî f không đạt cực trị. Ví du: ỉ(x,y,z) = X + - + “ - + 2; 2t/ 2 ỂZ = 1 _ 2|/ = = ớrc X2 ’ cty X 2y2 ’ dz 2y z2 a v = 4ỵ & l = ± Ẽ l = 2i ỡx2 ar:ỉ ’ ỡy2 2/:ỉ ' Ỡ22 2:ỉ _ạv_ = _ỠV_ = -2 a2/ ^ 37 = -1 dxdy dydx X2 ’ dydz dzdy 2y2 g - = ¿ L - o , dxdz dzdx Tìm điểm dừng :
X — \ — z X = z = - l _ X 2 x — z — 1 hay 0 " 2 Có hai điểm dừng là Ml (1,1/2, 1), M2 (-1 ,1 / 2, -1 + Xét tại Ml (1, 1/2, 1) d2f ail = 0 2 (A^i) = 2; a22 = 8, Ü33 = 2; d2f ai2 = ^21 = (M ,)=- 2; dxdy a 2/ ai3 = 331 = 0; Ü23 = Û32 = (MO = -2 ỠÌ/Ỡ2 2 -2 0 CM 00 CM 2 -2 Nên H = 1 1 . Ta CÓ : Hi = 2, H2 = = 12 và o CN CN -2 8 1 1 1 to to 0 2 -2 0 6 -2 1 — to H3 = 00 -2 0 6 -2 = 2 = 1 6 1 to to o CQ o CN 1 2 1 2 => / đạt cực tiểu tại Ml (1, - , 1) 2 + Xét tại M2 (-1, - , -1) 2 ail = -2 , 2L22 = - 8, a.13 = -2 , ai2 = -2 , a 13 = 0, a23 = -2. 195
-2 -2 = -2 O và -2 -8 CN CM CM CN 1 1 0 1 1 0 -6 -2 00 CM 1 ^3 = 1 -2 = 0 - 6 -2 = - 2 = - 1 6 / đạt cực đại tại M2 ( - 1, 1/ 2, - 1) . Cức tri cổ điều kiên : 'ài toán : Tìm cực trị của hàm 2 = /(:VVX2, ,X1I) thỏa mãn iềukiện (với m gni(xĩ,xì, ,x1l) = 0 xm ~ hm(xui+lìxm+2ì 'ìxn) => z = ỉ(xm+l,xm+-2T ixn) là hàm có n - m biến. Khi đó ta ;ìm cực trị không điều kiện của hàm n — m biến. Vỉ du : Tìm cực trị của Ị(xl,x2,x.iìx4) — 2xj + xi¡ + 5x?¡ - 3z4 thỏa điều kiện : 196
Xị 2<2 ”i" 2*3 — 3 (*): Xl + x2 — ÒX.J + 3 x 4 = 1 (ta có ra = 2, ra = 4) xỉ =2 + 2x3—xi (*) x2 = - 1 4 - Sx.ị — 2xa Thế vào biểu thức của hàm / ta có : f(xl,x.2,x.vx4) = 2xì + xị + 5ar| - 3x4 = 2(2 + 2x.ị - x4) + (—1 + 3rca — 2x4):ỉ 4- 5^3 - 3x4 = F(x;ỉ,Xị) • Cách 2 : Đặt Ộ(xi,x.ì, ,x,í,\, ,\m) = f(x) + Ỹ2\9i(x) j =1 với X = (rcp , x n ). Hàm ệ được gọi là hàm phụ Lagrange. Đinh lv (điều kiện cần) Giả sử / , glf g2, gm có các đạo hàiĩi riêng câp 1 tại x{) = ( Xj° ) và / đạt cực trị tại x„. Khi đó tồn tại sao cho Ẽ Ể ĩÀ = gẶx0) = 0 , v? = ĩ^ và |^(xJX , *:X ,\20, ),O = 0 ) v* = ũ . ơxk Do đó để tìm cực trị có điều kiện, ta giải hệ phương trình : f ; = 0 = l r ° ’* = î;ïï 197
Nếu nghiệm của hệ trên thì x0 = được gọì là điểm dừng. được gọi là các nhân tử Lagrange. Đinh If : (điểu kiên đủ) d2f Giả sử điều kiện cần của đinh lý ưên đươc thỏa và ——-— tồn dxịdx,*■ J tại, liên tục tại điểm dừng xữ ứng với Aị, = (Aj°,A2, ,A^) . Đặt _ d2ậ(xữ,\ ) aii = (*o) ỠXịdXị d x t ' u/ d x ß X j Ojj 0j2 OịỊ. bu b12 blr a21 a22 • • • thk ^21 ^22”-^2m ak\ ak2 ••• a«u tu JL1 bl - VJ12- A, ». ; k = 1,2, ,n 6n 621 bkl 0 0 0 ^12 ^22”*fyfc2 0 0 0 hin-'Km o o o Đặt Hh là ma trận cua f /M (nghĩa là Hn = Ta có : i) Nếu (—1 )mH k > 0, Vfc = m + l,n => f đạt cực tiểu thỏa điều kiện (I) tại XQ ii) Nếu (-1 )kHỵ >0, Vfc = ra + l,n => / đạt cực đại thỏa điều kiện (I) tại x{).
Ví du 1: n == 4 , m = 1 dg_ Ojj aì2 aVtị àg dxl an Oj 2 dxl dg Û21 Q>22 •2;t dg_ dx2 H 2 = a2l a22 ;H 3 dx2 dg 31 ßoo 32 CL*\13 A_ 9g dg dx.ị ơ ỠXl dx2 dg dg dg 0 dxl dx2 dx.j dg_ Ou ^14 12 dxl dg a22 23 ®24 °21 dx2 dg_ H4 = aM ù32 ù33 ù:i4 dx.¿ dg a41 fl42 a43 a44 dxA dg dxx dx2 Ỡx3 Ỡx4 Ta CÓ : i) H2 / đạt cực tiểu (vì m = 1 => (-l)w o, H3 0 => / đạt cực đại. Ví du 2 : TI = 3 , m = 1. Ta có : i) H2 / đạt cực tiểu ii) H2 > 0, H3 / đạt cực đại. 199
Ví du 3: 71 = 4 , m — 1. Ta có : i) H3 > O, H4 > O => / đạt cực tiểu ii) H3 0 => / đạt cực đại Ví du 4 : Tìm cực trị của : /(x,2/,jz,£) = x + y + z + t với điều kiện : g(x,y1z1t) = 81 — xyzt = 0 (ta có n = 4 , m = 1) Cách 1 : í = — £2/2 81 f(x,y,z,t) = F(x,y,z) = x + y + z + t + xyz ỠF_ 1 __ 8Ị_ ÔF _ J _ _8Ị_ _ 1 81 ỡx £2y2 ’ dy xy2z ’ XÎ/22 Ç^F__162_ uæ d2* 7 = 162 dx2 xẦyz * ỡy2 xy3z ’ ỡz2 xyzẦ Ở2F = 81 a 2F = 81 a 2F = 81 ỡxỡy Æ2î/22: ’ Ỡ1/Ỡ2 2*/222 ’ ỠXỚ2: x2yz2 x22/2 = 81 f =0 X = y = z 7 ^ = 0 :c?/2z = 81 Xa = 8 1 X2/22 = 81 = 0 x = y = z = 3 v x = y = z = - 3 + Xét tại A/^3,3,3) 162 _ 2 ữll — ~ ~ ữ'22 81.3 ” 3 200
ß 12 a 2l a i¿ ~ a .\\ ~ a %\ — a s2 — 2 2 Ị 1 3 3 3 2 1 1 1 2 _4_ H ,= 1 2 1 3 3 27 27 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 H.2 = 3 1. 1 2 3 1 3 Hl, H2, H3 > O F đạt cực tiểu tại Mj(3,3,3) 81 t = —— =s> t = 3 => / đạt cực tiểu thỏa điều kiện xyz g(x,y,z,t) = 0 tại 3,3,3) + Xét tại M2(-3,-3,-3). 2 au — fl22 ■—fl33 ấ aĩ 2 — a2\ = ữ31 # 2 1 1 1 2 1 JÏ,«J 1 2 1 27 27 2 9 1 2 ỉ ‘ ' - to I co 1 1 2 H i 0, h 3 201
l{x,y,z,ị) = u tại m 2{- óì- óì- óì~ óị lách 2 : Đặt (x, y, z, t, X) = X + y + z + 1 + A.(81 - xyzt) )iểm dừng là nghiệm của hệ phương trình: — = 81 - xyzt = 0 d\ — = 1 — \yzt — 0; — = 1 — Xxzt = 0 dx dy — — 1 - Xxyt = 0; — = 1 - Ax y z = 0 dz dt X — y — z — t — Z x — y — z — ị — — 3 1 hay 1 A = 27 A 27 ỡợ dq dq dq dxữ = ~yzt’ dya = ~xzt’ dz* = ~Xyt’ íấ dt = d * ộ d 2ộ d 2ộ d 2 dx2 dy2 dz2 di2 ’ d 2ộ _ x , d2ộ _ d2ộ _ = —\zt, ~ r~ z- = —Ax t , ^ = —\y t, dydz dxdz = — \ x y , — = — X y z , — = —Axz ớị/ỡí Xét tại (3,3,3,3) vđi Aj = — 27
1 1 1 0 - 2 7 3 3 3 1 1 1 0 - 2 7 3 3 3 H 1 1 1 co 1 0 - 2 7 3 3 1 1 1 0 - 2 7 3 3 3 - 2 7 - 2 7 - 2 7 - 2 7 0 _ 1 0 - 2 7 3 l H2 = 0 - 2 7 = —2.35 ~ 3 27 - 2 7 0 0 - - 27 3 3 1. 27 3 3 = —3S l 0 •27 3 - 2 7 - 2 7 - 2 7 0 203
r— 0,Vfc = 2 ^ => / đạt thỏa điều kiện g(x,y,z,t) = 0 tại Mxị$,3,3,3)- Xét tại M2(-3,-3,-3,-3) với Ằ2 = — —. Tương tự , ta có : 27 H2 = 2.3“, #3 = — 35, = 4.33 => (-lýHk. >0, v/ữ = 2,4 => / đạt cực đại thỏa điều kiện g(x,y,z,t) = 0 tại M2(-3,-3,-3,-3) Chü V : A , B là hai ma trận vuông cấp n và B = -A thì detB = (-1)" detA Ví du :Tìm cực trị của hàm /(a?,y,2) = 2x 4- y 4- Sz thỏa mãn điều kiện X2 + 4y2 -f- 2z2 = 35 (1) Cách 1 : Dùng bất đẳng thức BCS. Cách 2 : Đặt g(x,y,z) — X 2 -I- 4ỳ 2 + 2 z 2 — 35 Đặt F(x, y, z, X) = f{x,yìz) + Xg(x,yìz) = 2x + y + 3z + X(x2 + 4 y2 + 2 z2 — 35) 204
dF dF — = 2 + 2Xx ; — = 1 + 8Xy dx dy f)F f)P — = 3 + 4Az ; — = g = X2 + 4y2 + 2z2 - 35 Ớ2 ỠA Ớ2F Ỡ2F ox d2F V = 2A ; ỊrV = 8A ; = 4A ; = 0 Qx‘ dy dz‘ d x d2F d2F d!F P F dg dxdy dxdz dydz ' d\dx dx dlF d\dy 8y ỠAỠĨ ỡa Điều kiện cần để F đạt cực trị tại (x, y, z, X) là: ẼL = g = X2 + 4y2 + 2*2 - 35 = 0 ỠA — = 2 + 2Ax = 0 dx dF r£- = 1 + 8Ay = 0 dy dF — = 3 + 4À2 = 0 . X = 4 Æ = —4 * = T = 8* 1 1 y = - y = - - 9 2 o ÿ = î x « hay 2 = 3 2 = - 3 2 = — = 6v -1 1 4A A = — 64y2 + 4y2 + 2.36y¡ - 35 = 0 “T 4 205
i) Xét tại (x,y,z,\) = 4, - , 3, - — 2 4 %4;ỉ;3) = 8; l^(4;-;3) = 4; ^(4;-;3) = 12 d x K 2 } d y K 2 ' dz 2 _ d2F( 1 - 1n ) - 1 ỡ2f = - 2 ; ùll_ L 2i ‘’2 ’ 5 4 )■ 2 ;a“ ~ ỡĩf *~2 2 4 = - 1 ; Ỡ22 l 2 4 , ai2 = a2i = Ü31 = a 13 = a 23 = a.i2 = 0 -1/2 0 0 8' 0 - 2 0 4 Ta có : H l = 0 0 -1 12 8 4 12 0 - 1/2 0 8 Hx = -6 4 ; H2 = 0 -2 4 >0 8 4 0 1/2 0 0 8 0 - 2 0 4 H ,= 0, VẢ; = 2,3 => / đạt cực đại thỏa điều kiện X 2 + 4 y 2 4- 2z2 = 35 tại 4 ; i ; 3 206
_ í 1 l ì ii) Tương tự xét tại (xĩyìz,\)= —4, — 3,-jL ta có : (-1 )mHk = -H k.> 0, VẢ; = 2,3 => / đạt cực tiểu thỏa điều kiện X1 + 4y2 + 2Z2 = 35 tại Ví du : i) Tìm cực trị của u = X 4- y 4- z với xyz = 125 ii) Tìm cực trị của u = X + y với điều kiện x¡ + — + 2z2 = 1 4 iii) Tìm cực trị của u = x + y + z + t với điều kiện 16 — xyzt = 0 Giải : Dành cho bạn đọc. 207
Chương 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Đinh nghĩa: • Phương trình vi phân là phương trình có dạng : ỉ(x,v,y\y'\ ,y^) = 0 ( l ) . Phương trình vi phân có chứa y(n) (hay có vi phân bậc n) gọi là phương trình vi phân ỹíp n. • Nếu thay y = ọ(x)vầo (1) mà (1) thành đồng nhất thức trên D c R thì ta nói y = (f(x) là nghiệm của (1) trên D c R • Nghiệm tổng quát của (1) thường có dạng: y = X— 4- y = 0 xdy + ydx = 0 od(xy) = 0 dx v ’ XIJ - c (hằng số) i) Tìm nghiệm của (*) qua M (3, -5 Ị 208
Nghiệm của (*) qua (3,- 5) => xy = c qua (3,- 5) =>3(-5) = c => c - -1 5 . Vậy nghiệm của (*) qua (3.-0Ị là xy =_ -151, uhay y = _ _ 1 5 X II. Các phương trình vi phân cấp I thường găp : 1. Phươnẹ trình cổ biến phân lv (có thể tách ra): là phương trình vi phân có dạng : (p{y)dy = f(x)dx hay ỊẠx)gẠỳ) ỈẬx)g {y) = 0 hay ~ \ d x = ^ ị d y í(* ) ơ,(y) U(x)gẬy) = 0 hay J jf\đx = J J U x) J 3,(y) Ví du : Giải phương trình Zextgydx + Ị2 - + tg2y}dy = 0 (3 ) G iải: (3) o tgy.(2 - S) = 0 hay f ™ £ = - J 2—ể J tgy tgy.(2-ex) = 0 hay Slnh-e*! = ln|fc$| + (71, Cx e R tgy.(2 - ex) = 0 hay ln tgy : c % q = - q € R , (2- ể f tgy.(2 - ex) = 0 hay tgy - = ±cv*= ơ, CeR* (2 — ex) o 2 - ex = 0 hay tgy =C (2 -exy\ c G E Ví du : i) Giải phương trình (1 + ex)yy' = ex ii) Tìm nghiệm riêng trong trường hợp 2/(0) = 1. 209
Giải: i) (1 + eJ )y^- = eJ ydy = - — o ị =ln(l +ể)+c d x 1 + e 2 ii) 2/(0) = 1 =>1 = 2 ln 2 + c .2 => c = — — ln2 2 => nghiệm riêng thỏa y(0) = 1 là : ¿ = ln(l+e’) + ỉ - l n 2 = l n i i ^ - + ỉ 9 \ / 9 9 9 \2 1 + ex 1 + CJ ?/ = 2 ln 1-1 y = ± 1 + ln l + eJ vì 2/(0) = 1 = > 2/ > 0 =>ỉ/ = Jl-fln 2. Phương trình đẳng cấp cấp 1: là phương trình vi phân có dạng: y y' = ỉ (4) dy = Ị dx V X / V / Đặt u = — => y — U.X => dy = udx + xdu, (4) thành £ íida; + xdu - ỉ(u)dx xdu = [/(lí) - u]dx r,, * •) /-» t dx xư(u) - «] = 0 hay —- p — = — ỉ ( u ) - u X đây là phương trình có biến phân ly. Ví du Ị : Giải phương trình : (2y2 - 2xy + x2)dx - x.ydy = 0 (5) + Khi X = 0 => dx = 0 => £ = 0 là nghiệm. + Khi X * 0 ,(5) thành:
2^- —2— + 1 dx-^-dy = 0 (5 ') X X X y Đặt u = — => y = U.X => dy = udx + xdu X => (5’) thành : (2u2 - 2u + l)ete - líỊuckr + xdu^ = 0 o (u - 1 Ỵdx - uxdu = 0 _ 1 1 pdx c udu o = 1 hay I —- - / ———- = 0 J z J (u-1)2 o „ = ihay fíĩLii±jạ*i_ f*ĩ =0 . • J (u — lì J X u - 1 0 11 = 1 hay ln = c, C e R £ u - 1 Thay u = —, ta có: X y - x X y = X hay ln = c, c € R X y - x là nghiệm khirr * 0. Vậy nghiệm của (5) là : y - x X X = 0 hay 2/ = X hay ln = c X y - x Ví du 2: Giải phương trình: (x2 - 2xy )dy - x.ydx = 0 (6) Cách 1: (6) o X = 0 hay 1 —2— d y -^ d x = 0 (7) X £ Đặt u = —ỉ/ => y = u.x => dy = udx + xdu => (7) thành : 'X 211
(1 - 2u)(udx + xdu) - udx = 0 (1- 2u)xdu - 2u2dx = 0 - 1 2 dx u = 0 hay du = —2 u2 + u X w = 0 hay — fln w 2 =ln-^-, c > 0 u X 1 u = 0 hay U2.eu = - — , c> 0 X X ?/=Ohay y 2.ev = c, c > 0 Vậy nghiệm của (6) là : X X = 0 hay y= 0 hay y2.ev =c, c > 0 Cách 2: X ^ X (6) o y = 0 hay ± - - 2 - dy — — dx = 0 (8) {y2 y y ' Đặt V = — => X = v .y => dx = vdy + ýdv => (8) thành : y (V2 - 2v)dy - vịydy + ydvj= 0 - 2vdy - vydv = 0 2dy c V = 0 hay dv = — V = 0 hay V = ln —-, c > 0 ;r 7; c V = 0 hay e = —-,c>0 ^ rr = 0 hay 2/ 2 .e* —= c, c >0Vâ y y nghiệm của (6) là : y = 0 hay £ = 0 hay y2.ey = c, c > 0 212
Ghi chú: phương trình vi phân sau đây có thể đưa được về phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1: ax + by + c y' = ỉ o!x + b'y + c' Ta có hai trường hợp: a b • Nếu D = 0 thì đặt u = x—x{), v = y—y0, với a' b' £n,2/n là nghiệm của hệ phương trình ax + by + c = 0 a'x + b'y + c ' = 0 a b • Nếu D = = 0 ta đặt z = ax + by a! ư Ví du 1: Giải phương trình vi phân ị2x — 4y + (ỳdx + Ịx + y — d^dy = 0 Đặt u = X — l,v — y — 2 Ví du 2: Giải phương trình vi phân ị2x + 4y + 6}dx + {x + 2y - ìjdy = 0 Đặt z = X + 2y 3. Phương trình tuvến tính (cấp 1 ): là phương trình vi phân có dạng: y' + p(x).y = q(x) (6) trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục. i). Nếu q(x) = 0, (6) thành y — Ohay — = —p(x)dx y <=$ y = 0 hay ln ịy = — p(x)dx + Cx, CỊ G R
— r p(x)dx + c, __ y = 0 hay ± y = e '* , Cx € M y = 0 hay y = Ce ^ v{ ) +c' ,C — ±e°' ^ 0 ỉ/ = C jẽf*xyb , C e R (6’) ii). Nếu q(x) = ơ(x).e f p(*ìdr =>c'(x) = ợ(a;).e^p(í) =>C(x)= J[q(x).e^pi )dxịỉx Vậy nghiệm của (6) là : - J v(x)dx (q(x)e^ p(x)đr)dx »=[/ Ví du 1: Giải phương trình: yf + 2xy = 2x Giải: nghiệm của phương trình thuần nhất y' + 2xy = 0 là y = C.e-3'2 => nghiệm của phương trình có dạng : y = C(x).e~xỉ => 2/' = ơ'(z)- e-*2 - 2 x C ( x ) .e"*2 = C(x)e~xì -2xy => 2x.e-r* = =► ơ'(ar) = 2z => ơ(x) = z2 + Cx 214
^ y = (x‘ + C,).eJ Cách khác: Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là -J p (x )d x p(x)dx :y = e )dx - f 2xdx = p. J ị f (2x.e j i ) j 2xồxdx = êx +c'-f ( 2 x . e *)&* c'dx = e J (2x.e ^)e^dx = e-*ự+C) Ví du 2 : a)(l + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 b)(l + y2)dx + yxdx = 0 yf sin X — y COS X = 0 c) rff) = 1 d) + 2/2 + yy'yj 1 + X2 = 0 e) e* sin3 y + 2/'(l f e2*) COS y = 0 f) xyy' = ỉ/2 + 3x2 g) Zỉ/ + ỳ2 = (2x2 4* Xỉ/)y h) 2&y = X2 + ỳ2 i) (y “ x)í/x + (y + x)ái/ =s 0 j ) V + 2/ = * y . Giải Dành cho bạn đọc 4. Phương trình Bernoulli: là phương trình vi phân có dạng y' + p(x).y = q{x).yn, 0 ^ a ^ 1 Nếu a > 0 thì y = 0 là nghiệm, nếu a < 0thì y 0 Khi y ^ ữ, chia yn ta có 2/'.2/~<v + yl~‘'p(x) = ợ(a;). 215
Đặt V = y1 n thì v' = (1 — a)y/.y ° . Khi đó phương trình thành: ĩ/ + (1 — a)p(x).v = (1 — a)q(x) đây là phương trình tuyến tính Ví du: Giải phương trình y-x.y/ = ye ,r’ —ì i 2 Hiển nhiên y = 0 là nghiệm Khi y ^ 0 phương trình thành y'y~r° -vy A = e~2*2 Đặt V = y 4 = > v' = —4:y'y~r> . Khi đó phương trình thành : — — v' — xv = e~2xi v' + Axv = - 4 e '2x2 (* ) 4 Nghiệm của phương trình thuần nhất V + Axv = 0 là: - ĩ ■i xdx v = c.e • =c.e 2xì Nghiệm của (* ) có dạng: V = C(x).e~2x* =>v' = c\x)e ư - 4xC{x).e-2x* => v' + Ax.v = ơe~'ư (= —4e~2xJ) => c '= -4 =>c = -4x + c x => V = (—4ar 4- ỉ/'4 - (-4x + c^e"212 e2^ Vây nghiêm là y = 0 hay ỉ/4 = — , vơ, € R -A x + Cl III. Sơ ìươc về sô" phức : 1. Đỉnh nghĩa: Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là c , được định nghĩa: 216
c = ịa -f bi /fl,Ủ6l với i2 = — 1} Với sôx phức z = a +bi ta nói a = Re 2: là phần thực, b = ĩmz là phần ảo. Khi 6 = 0=>2 = ael. Vậy M c c . Hai số phức z = a + ib và J = a — ib gọi là 2 sô" phức liên hợp. Mỗi số phức z = a + ỉb ứng với duy nhất cặp (a, b) e M2. 2. Các phép tính : Cho 2^ = dj + ibv z2 — a2 + ib2. Ta có : i) zỊ = z2 \=L _ b L 2 ^ (ữl’^l) — (a2’ ^ ii) zx ± z 2 = (flj + ib ^ Ị ± (a 2 + ib2) = -(a 1 ± a 2) + ¿(6, ± &2) iii) zvz2 = (ûj + ^ )(a 2 + iò2) = (a ^ - 6^ ) + ¿(0^2 + apx) iv) 1 = VtỂ. _(q.S+òA)+^ia2~ ^ ) 22 a2 +^2 + í 4 +Ò2 Dạng 2 = a + ib gọi là dạng đại số của số phức. 3. Dang lương giác của:ủa số’số’ phứcphức :: Cho số phức z = a + ¿6.ib. Đặt M = (a,6) gọi : = yỊa2 + b2 = yfzîz = I j| là môđul của 2 và (p = (Ox,OM) là argument của 2 , ký hiệu Arg2 . Ta có : a = rcosíp, 6 = rsinv? z = a + ib = r COS ip + Lr sin ip = r(cosip +isiiup) (*) Dạng (*) gọi là dạng lượng giác của số phức z . Ví du : 217
i) z = i có dạng lượng giác là z = i = l(cos— -Msin—) 2 2 li) z — \ — i có r = y¡2 , tạp = - = —1 chon V? = —— . a ■ 4 => z = 1 - i có dạng lượng giác là: z = y¡2 cos(——) 4- âsin(——) 4 4 Ghi chú : Argument của số phức 2 được xác định sai khác nhau k2n, k e z . Giả sử Z1 = ^(oosí^ +zsin 2) Khi đó: zvz2 = rv rjcos^j + ự>2) + isin^ + + ỉ sin ípỴ = r” [cos nip 4- i sin ĩu p \. Công thức Euler : e ' = COS a + ỉ sin a 4. Khai căn cho số phức: Căn bậc n của số phức c 6 c , ký hiệu yfc , là những số phức z sao cho: z n = z.z z — c Nếu c ^ 0 thì căn bậc n của sốphưc c có đúng n số phức. z = r(cos + i sin ự?) nH. _ » /lí V + k2ĩĩ t . ._(p + k2n có 71 số là căn bậc n của 2 0. Ví du Ị : Tìm y]7 - 6 ^ 1 . Giá sử y¡7 — 6^2 î = a + bị a,b e R e R => 7 — iQyl2 — à2 — b2 -f 2afà 218
a2 - b2 = 7 a = 3 a = - 3 > => ■ "0> II 1 II 2ab = - 6 ^ 2 o- => V7 —frV2i = 3 — -J2i hay V7-6>/2i = -3 + S i Vi du 2: Tim v^2 Ta CÓ : — 2 = 2(cos7T -f isin7r) 7T . 7T 7r - 7T \/^2 = ilĩ — + A; — + ¿sin — + A;— , k e z 4 2 4 2! V— 2 có 4 số là: >/2 - 7= ± -4= . V2 — ^ ± 4 = W2 V2J I V2 V2 J IV. Phương trình vi phân cấp hai: 1. Đinh nghĩa : Phương trình vi phân cấp hai là phương- trình có dạng : G (x, y, y', y") = 0 (*) hoặc y” = / ( z , 2/,2/') • Nghiệm tổng quát của (*) có dạng y =(f(oc,CvC2), cho (CVC2) một giá trị cụ thể ta có một nghiệm riêng . • Thường ta tìm được nghiệm của phương trình (*) dưới dạng F(x,y,Cv C2) = 0 cho ta .mối liên hệ giữa biến độc lập và nghiệm tổng quát của phương tình vi phân cấp hai được gọi là phương trình tổng quát của nó. 2. Vài phương trình vi phân cấp hai cổ thể ha bâc : i. Phương trình có vế phải không phụ thuộc 2/ , yf có dạng: y" = f(x) =»ỉ/ = J/(x)dx+Cl =>y=jịjf(x)dJịdx+C1x+C2, CVC2 eR Ví du : Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương ttình y" = cos 2x thỏa (D): 2/(0) = 0, 2/'(0) = 1 219
1 Vây y = —— cos2x 4- C.X + y (0) = 1 0 + C, = 1 c = ỉ 2 4 1 Nên nghiêm riêng thỏa (D) là: y = — — c o s2x -Ị- X + 4 ỉi. Phương trình có vế phải không chứa y dạng : y" = Đặt y' = u, y" = «'phương trình thành u' = f(x,u) Đây là phương trình cấp 1. Ví du : Giải phương trình : y" = X - ( 1) X G iải: Đặt y ' = u => y tl = u ' . Khi đó (1) thành / / u u — X u H— — X X X Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 có nghiệm là : x‘ c u , I 2 C. u = -T- + -^ 7 hay y = ~ r + _ - ứ X 3 X Vậy nghiệm tống quát là : 2 / - » 1 3 y H = — + In X + C 2 3 X 9 ỉỉỉ. Phương trình có vế phải không chứa X dạng : y " = f{y°y')
Đặt y' = u, xem u ià hàm của y lấy đạo hàm hai vế theo X, ta có: , _ ,Ị _ du _ du dy _ du dx dy dx dy Khi đó phương trình thành : u — = f(y, u). dy Đây là phương trình vi phân cấp 1 với u là hàm và y là biến độc lập. Nếu phương trình này giải được, ta có : u = v?(2/,Cj) hay ậ = y" = u— , phương trình thành : dy đu 2 2 yu —- 4- u = 0 dy du dỵ_ u = 0 (hay y = c) ( ) hay u 2 y du dỵ_ 21n u\= ln A , c > 0 u 2 y y\ c dy c. u — , ơ = ± c ^ 0 — — —Ị=-=7 I ơ ,* 0 # 1 2 y — ịhx + k Ỵ , /i, k e R , h ^ 0 Nếu cho /i = 0 => họ nghiệm ( ) 2 => nghiệm tổng quát là y = Ị/ix + /i, k G E 2. Phươnẹ trình vi phân tuvến tính cấp 2 : 221
• Đinh nghĩa ; Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng : y" + a y + a2y = f(x) (a) hay y" + a(x)y' + b(x)y = c(x) • Nếu f(x) = 0 thì (a) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. • Nếu av a2 là hằng số thì (a) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi (hệ số hằng), a. Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất: y" + ax(x)yl + aẬx)y = 0 (b). Ta có các kết quả : i. Tính chất 1 : Nếu yẠx) và y2(x) là hai nghiệm của (b) thì y = C ^ x ) + C2y2(x) là nghiệm của (b) (với Cv C2 e R ) Đỉnh nghĩa : Các hàm số y^x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên D nếu tỉ số của chúng không phải là hằng số: y ịx) v * constant. Nói cách khác, không tồn tai c G M sao cho y2(x) yẠx) — c.yẬx) hay y2(x) = c,yl(x)yx € D. Ngược lại, ta nói chúng phụ thuộc tuyến tính. Ví du: • Các hàm yĩ = 4z, y2 = ex độc lập tuyến tính trên R • Các hàm yỊ = 2x2 4-2,y2 = X2 -Ị-1 là phụ thuộc tuyến tính trên R. ii. Tính chất 2 : Nếu yx(x), y2(x)là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (b) thì y — C^Ạx) 4- C2y2(x) (trong đó Cv C2 là 2 hằng số tùy ý) là nghiệm tổng quát của (b).
iii. Tính chất 3 : Nếu biết một nghiệm riêng yẠpc) của (b) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của (b) với y^x), y2(x) độc lập tuyến tính bằng cách đặt y2 = í/j(®)u(a0 Ví du : Tim nghiệm tổng quát của n '2x , 2 n y 1 — X ~ T 1 — ~~ X ĩy = biết một nghiệm riêng yỉ = X. Giải : Ta tìm một nghiệm y2 = x.u(x), thay y2 vào phương trình đã cho ta có : (2ĩ/-f- xu,f)-\— ^ — lu + xu')— t—-T = 0 v ; 1 — x' l — x o u"x(l — X2) + 2u' = 0 Đặt z = u' => zfxịl - X2 j + 2z = 0 , với z ^ 0 phương , dz2 dx _ CẨÌ-X2) - trình thành — = - => z= - , c. ^ 0 2 x (l- x 2) X2 1 _ _2 2 Cho c, = -1, ta đươc : 2: = —— = 1 - —- X X hay —du = 1 / — 1-~=>u — x + . — 1 + . C2 ^ d x X X Ta chỉ cần lấy một nghiệm riêng u(x) * hằng số Chon c = 0 = > u = x + — =>y=$(x + —) = x2+l X X => nghiệm tổng quát là y = kxx + kẬx2 + 1) với kv k2 là hằng số tùy ý. b. Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất 223
Cho phương trình không thuần nhất (a) (ở trên) với f(x) 0 phương trình y" -4- axy' + a2y = 0 (a’) được gọi là phương rình thuần nhất tương ứng (liên kết) với (a). i) Tính chất 1: nghiệm tổng quát của (a) là tổng của nghiệm tổng quát của(a’) với một nghiệm riêng nào đó của (a). ii)Tính chất 2 (nguyên lý chồng chất nghiệm) : cho phương trình không thuần nhâ't y" + aĩy' + aìy = fĩ(x)+f2(x) (c) nếu yì là nghiệm riêng của y" + «ụ/ + a2y = ¡¿x) và y2 là nghiệm riêng của y" + <ụ/ + a2y = f2(x) thì yì +y2 là nghiệm riêng của (c) (định lý vẫn đúng khi vế phải bằng ị + ị + +■/„) iii) Phương pháp biến thiên hằng số Lagrangẹ : Giả sử cho phương trình tuyến tính không thuần nhất (a) (như trên) và giả sử biết nghiệm của phương trình thuần nhất (a’) là: y = +C2y2 (a” ). Hãy tìm nghiệm của (a). ra sẽ tìm nghiệm tổng quát của (a) dưới dạng y = Clyl ^ C ìy2 (*) rong đó Cv C2 là các hàm theo X ;*) + . ra chọn Cv C2 sao cho: c[yl + c'2y2 = 0 ^ yf = cxy[ + c 2y[ =► y" = Cx y"+ c.2y^c[y[ + c'2y' rhế 2/, y', y" vào (a) ta có : 224
c, (ỉ/"+ ^7 = - ln y = ln k.x o y' — c.x X y X ^ y = ị x í + c, = c / + cì, c , = I Biểu thức : ĩ/ = CẠx).x2 + CẬx) là nghiệm của phương trình 225
nếu Cv C2 là nghiệm của cịx2+c'.l = 0 c [= - q 1 2 2 C{x + CL 0 = X 1 X C i= x ì 2 Nghiệm tổng quát là X —X . y = = — + kx2 + k 3 1 2 4. Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 cổ hê số không đổị a. Phương trình tuvến tính thuần nhất: a2y” + aỉyf + aQy = 0 với a0,av a2 là các hằng số và a2 ^ 0 phương trình trên tương đương: y” + a y + aữy = 0 (iv) ữ, a với = — , 2 nghiệm riêng của (iv) là — _ kjX Vi = y, = e 226
Hiển nhiên 2 nghiệm này độc lập tuyến tính vì — ^ hằngsố y2 . Suy ra nghiệm tổng quát của (iv) là y — Cxek'x 4- c.2e*x với cv C2 tùy ý € E . Ví du Ị : Giải phương trình : y" - ly' + lOy = 0 Giải: Phương trình đặc trưng là : k2 - 7k +10 = 0 k = 2 hay k = 5 Nghiệm tổng quát là y = Cxẻlx + C2er,x • kx = k2 € M . Khi đó 1 nghiệm riêng của (iv) là yx = é*’1. Ta tìm nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với yì dưới dạng: y2 = y^ịx) = u(x)ekịX => y!2 = 4-Ị^ue*1*, y'2f= u"e'x + 2kỉufek'x + Uịue'x. Thế vào (iv) ta có : e'x[u" + (2^ + ax)u' + (k* + + %)u] = 0 (vì kx là nghiệm kép của (v) nên k* + axkx + aQ = 0 và K = =>2Ấ^ + aỴ = 0 ) => e'£u" = 0 => u" = 0 => w = Ax + -B Chọn A = 1, 5 = 0 ta có w = X => y 2 = se*1* => nghiệm tổng quát là y = C ^ x + C 2x e ^ = { C l + ơ 2a ; ) e ^ Ví du 2: Giải phương trình y" + 6ỉ/' 4- = 0. G iải: Phương trình đặc trưhg: k2 + 6k + 9 = 0 k = -3 (nghiệm kép) 227
=> nghiệm tổng quát là y = (Cl + C2x)e 'ir. * kv k2e c ; kx = a + ib, k2 = a-ib thì yl = e{a+tb)x — eM(cos bx + ¿sinòx), y2 = e' th)T = éu(cosbx — i sin bx) à 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv) => ux = - (y] + yỲ) = e‘ư casbx: ụ2 = —(y — y2) = etu sinbx 2 2 i à 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv) => y = coskr + C2éư sinbx là nghiệm tổng quát của iv). /í du 3: Giải phương trình yn — 3yr + òy = 0 3iải: Phương trình đặc trưng là ,2 o, , c _ n 7 _ 3 ± ¿>/11 /í — 3A: -Ị- 5 — 0 & — 2 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính là 'ịr yfĩĩ ịr Vĩĩ V, = e 2 cos ——— X. y . = e 2 sin—— X 2 2 *2 ị/ \/ĩĩ ' VŨ => nghiệm tổng quát là :y = Cịè2 cos——x+C2é2 sin—— X ). Vài dang đăc biêt: "ho phương trình y" + a^1 + a{)y = Ị{x) (l) trong đó a0 là hai hằng số. Ta xét các trường hợp riêng sau đây :ủa f(x) : t f(x) = e^ P ịx) với k không là nghiệm của phương trình íặc tnmg. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng yì — ekj .Qn(x), trong đó Pu (x), Qìt(x) là các đa thức bậc n .
Ví du 1: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm thỏa điều kiện ban đầu của phương trình vi phân sau : y"+ 2y' + 2y = ixì (A) với y(0) = 2; y'(0) = - 3 . Giải: Phương trình đặc trưng : fc2-j-2/ữ + 2 = 0 Ả: = — ldbi. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là ỹ = e~x(cỉcosx + c2sinx) với cv c2 e R Do Ả; = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (A) có dạng y = ax2 + bx 4- c => y[ = 2ax + b; y"= 2a . Thế vào (A) ta có 2a -f 4ax 4- 26 + 2arc2 + 2bx + 2c = 4x2, Va; arr2 + (2a 4- ò)rn + a + è + c = 2x2,Va: a = 2 b = - 4 . c = 2 Vậy một nghiệm riêng của (A) là 2/ = 2z2 — 4x 4- 2 => nghiệm tổng quát của (A) là y = yl+ỹ = 2x2 — 4x -f 2+ e-a:(c1 cosa;+c2 sinx) vôùc^ c2 G R => y= 4x — 4—e~*(^ 006rc+c2 sinx)+e_x(-cl sinx+c2 oosrc) Với 2/(0) = 2 và 2/;(0) = —3 => = 0 vacb2 = 1. Vậy nghiệm của (A) thỏa 2/(0) = 2 và y'(0) = —3 là 229
y — 2x2 — ẩx + 2 + e x sin X Ví du 2 : Giải y" - V + 4y = (;X2 +l)ex. (B) G iải: Phương trình đặc tntog : k2 - 4fc -1- 4 = 0 o k=2 (nghiệm kép). Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là ỹ = e2x(c1 +c2x) với cv c2 e M Do k = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (B) có dạng : yỉ = ex(ax2 +bx + c) y[ — ex (ax2 + bx + c) 4- ex(2ax -ị- b) Ị/' = ex(ax2 + bx + c) + 2ex(2 ax + b) + 2 aex Thế vào (B) và chia 2 vế choe*, ta có ax2 + bx + c — 2(2ax 4- b) *f 2a = X2 + 1, Vx ax2 4- (—4a + 6)x 4- 2a — 26 4- c = z2 + 1, Vx a = 1 0 = 1 4a + ò = 0 = 4. 2a — 20 + c = 1 c = 7 => một nghiệm riêng của (B) là yì = (x2 -f Ax + 7)e* Vậy nghiệm tổng quát của (B) là y = yỉ + ỹ = (s2 + 4a; + 7 ) e x ^-e2^ + c2z) với cl5 c2 e R Ví du 3: y" + 3y' + 2y - (x2 + 2x + 6)e3T có nghiệm riêng có dạng ỉ/ = (a#2 + bx + c).e31
V í du 4 : y n + 3 y f + 2 y — (2 x 4- l)e3x có nghiệm riêng có dạng y = (a x + b)e3x. Ví du 5 : y" + 3y' + 2y = 6e3* có nghiệm riêng có dạng y = ae3ar ♦ /(x) = e -Pn(x) với k là nghiệm đơn của phựơng trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng y1 = xe^.Q (x), trong độ p (x), Q (x) là các đa thức bậc n . Ví du Ị : Giải y" + 3y’ - 18y = (2 x + l ) e 3* ( c ) G iải: Phương trình đặc tntag : k2 + 3Ả; - 18 = 0 18ax 4- 2a + 96 = 2x +1, Vx 4» 9 2fl -ị- 96 = 1 81 231
=» một nghiệm riêng của (C) là yĩ = — ịỹx2 + 7x)e:ix 81 Vậy nghiệm tổng quát của (C) là y = yì + ỹ = — (&E2 + 7x) éix 4- c / x + c2e~6x VÔÙCp c2 6 M 81 ' hay y = — h x 2 + 7x + c )e3x + c2e"6r 81 ' ' với c, c2 e M (c = 81^ ) Ví du 2: Phương trình yn — 5?/’ + 6y = (x2 + 2x + 6) .e2 c có nghiệm riêng có dạng y = x(ax2+bx + c)e2x vì k = 2 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (ứng với e2x) Ví du 3: y" 4- 3y' - 18y = (2x 4- \)eix có nghiệm riêng có dạng y = x(ax + b)e3x. Ví du 4: y" + 3î/' — 18y = 6e;ỉr có nghiệm riêng có dạng y = axe'ịx. ♦ /(x) = ekx.Pn(x) với k nghiệm kép của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng yx = X 2.ekr.Qn(x), trong đó Pn(x), Qn(x)\ầ các đa thức bậc n . Ví du 1 : Giải y" +6y' + 9y = 6e~( D ) Giải: Phương trình đặc trưng : k2 -f 6Ả; + 9 = 0 Ả; = - 3 (nghiệm kép). Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhâ't tương ứng là ỹ= e + C2X ) với cv c2 e E Do k = — 3 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên 232
nghiệm riêng của (D) có dạng y — ax .e— 3.T y[ = — Ze~*xax2 + e ẦX(2ax) y'x— 9e~Ax.ax2 — 6e~ịx(2ax) + 2a.e 3x Thế vào (D) và chia 2 vế cho e~3x, ta có 2a = 6 => a = 3 Vậy một nghiệm riêng của ( D) là yl = Sx2.e~3x Suy ra nghiệm tổng quát của (D) là y = yỉ+ỹ = 3x2e"31 + + c2x) với cv c2 e R hay y — e 'Sx{cx + C2X+ 3x2) với Cp c2 G M Ví du 2: y" - ịy' + 4y = (x2 4- 2rc + 6)é2ỉ: có nghiệm riêng có dạng y = 3?(aa? +bx+cý2* vì k = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (ứng với e2x) Ví du 3: y" — 6y' + 9y = (2x + l)e31 có nghiệm riêng có dạng y = x(aa: + 6)e3;r. Ví du 4: ỉ/" — 6y' + 9y = 6e31 có nghiệm riêng có dạng y = a.x2.e3x. ♦ /(x) = e°* p (x) cos bx 4- Q (x) sin bx với a 4- ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng : yỉ = e(lx ịR(x)cosbx 4- 5(x)sinòxỊ với R(x), S(x) là các đa thức có bậc < m a x |n ,m |. ♦ f(x) = eax Pn(x)cosbx + Q (x)sinbx với a 4- ib là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng: 233
yì = xe01 Ịiỉ(x) cos bx + s (x) sin bxị với R(x)1 S(x) là các đa thức có bậc ò = — và a = 0. 4 8 3 fậy một nghiệm riêng của (2?j) là = — x.sinx 8 VI 3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên / ' + y = -cos3x (E ) cố nghiêm riêng có dang: 4 y2 = a cos Sx + b sin 3x ¡uy ra : y!2 = 3 b cos 3x — 3 a sin 3x 2/''= — 9 a cos 3x — 9 b sin 3x liế vào (E2) ta có -8a.cosSx — SbsìnSx = —cos3a:,Vx a = — 6 = 0 Vậy 4 32 234
một nghiệm riêng của ( Ẽ2 ) là y2 = — — cos 3x 32 Từ nghiệm riêng của (£>) và (E2) ta có một nghiệm riêng của (E) là 3 1 y.t =y. 4-y9 = — X.sinX — —cos3x 3 1 2 8 32 (nguyên lý chồng châ't nghiệm). Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (E) là : ỹ — cosX-ị- c2 sìnx với cv c2 6 E Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (E ) là _ 3 . 1
Chtfdng 10: L/NG DUNG VAO KINH TE 1. Kv hieu : A Advertising C Cost, consumption D Demand E Elasticity G Government I Income, investment, investor K Capital L Labor, liquidity M Money P Price 7r Profit Q Quantity R Revenue, rate of interest S Supply T Tax U Utility w Wage Y Income 2. Cac khai mem ctf ban : a. Bi£n te (bien) (marginal) :Trong kinh te, khai niem bien te dung de chi sir thay doi cua mot bien kinh te nay diidc gay ra bcfi sir thay doi cua mot bie'n kinh te" khac.Cho y = f(x) va / la ham kha vi, ta co bien te" cua y tai x la My(x) = f'(x) Vi du : Goi x la liidng san pham cua mot xi nghiep, y la tong :hi phi san xuat. Gia sii y phu thuoc vao x nhii sau : 236
y — f(x) = arc2 + bx + c (a, 6, c : hằng số dương) Khi đó, ta có chi phí biến tế của xí nghiệp là : MC = f'(x) = 2 ax + b Chú V : Khi y = f(x) = ax + b thì My = a . Như vậy, trong trường hợp hàm số là bậc nhất, giá trị biên tế chính là độ thay đổi của hàm sô" khi biến số tăng thêm 1 đơn vị. Ví du : Giả sử tổng chi phí của một nhà máy tính theo công thức c = WL - rK(» Trong đó L chỉ số lượng lao động, w chỉ tiền lương cho mỗi lao động, Ko chỉ tiền vốn, r là lãi suất của vốn. Ta có chi phí biên tế theo lao động là : MC = w . Đây là chi phí tăng thêm khi thêm một lao động. b. Đô co dãn (Elasticity) :Trong nhiều ứng dụng kinh tế, tốc độ thay đổi của một hàm sô" thường phụ thuộc vào đơn vị tính của biến độc lập X và biến phụ thuộc y . Để tránh điều này, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm độ co dãn. Độ co dãn của biến y theo biến X được định nghĩa như sau : d y / y dy X , X € (x)= - =— .— = y(x)- y x ' dx Ị X d x y y Ví du : Tìm độ co dãn của y theo X, nếu : a)X y = _e X ; _£ _= ĩ( y X (x).- X _ = x Xe y y Khi X = 100 thì y = e 100 Khi x= 101 thì y = e 101 Ta có : dy/y = (e101 - e I00)/e100 = e - 1 * 1,7 =170% Mật khác : evx(100) = e111".— = 100 * dy/y 237
3x b) y = 3x + 5 ; e = y'(xV— = v ' y 3x+5 Khi X = 100 thì y = 305. Khi X = 101 thì y = 308 Ta có dy/y = (308 - 305)/305 = 3/305 = — % Mặt khác £ = 3.100/( 3.100 + 5) = — = dy/y v '305 Chủ Ỷ : Khi y = / (x) = ax + b thì độ co dãn của y theo X chính là sự thay đổi của y tính theo phần trăm khi X tăng thêm 1%. + Cho y = fịxv x2, ,x^, / có đạo hàm riêng theo biến X tại X = Độ co dãn riêng của y theo biến X tại X được định nghĩa như sau : e { x ) = ÈL í x \Ĩ l yx> } d x % x J y 3. Bài toán CƯC đai, cưc tiếu hóa : a. Hàm lồi, hàm lõm : i)Tập lồi: Cho DcR".D được gọi là tập lồi nếu Vx,x'eD,v\ e (o,i)=> Ax + (1 - À)*1 eD ii) Hàm số / gọi là lồi ngặt trên tập lồi D c R K nếu iii) Hàm số / gọi là lõm ngặt trên tập lồi D c E" nếu fịx x + (l - a ) * ’) > A /(x) + (1 - A)/(X'),VX,X' 6 A VA 6 (0, 238
iv) Hàm số / gọi là lồi trên tập lồi D e M" nếu ỉ ị x x + ( 1 - \)x') \ f ( x ) + ( 1 - \)f(x’)yx,x' e A VA e (0,1) b. Cức tri đia phương. CƯC trí toàn cuc của hàm số thức theo môt biến số thực Xét hàm số : y = f(x), X e D c M • Hàm số / gọi là đạt cực đại địa phương tại X e D nếu 3e > 0 : Mx € Ịa; — £, X + e Ị n D t a c o ù / Ị x ) 0 : Va; € Ịx — e, X + e j n D t a c o ỳ f > f ị x j • Hàm số / gọi là đạt cực đại toàn cục trên D tại X nếu : Vl€ß,/(l) /(*.) ‘ Chú V : - Một cực trị địa phương không chắc là cực trị toàn cục. - Không phải hàm số nào cũng có cực trị toàn cục. - Trong các ứng dụng kinh tế, hầu hết các hàm số chỉ có một cực trị địa phương duy nhất và đó cũng là cực trị 239
toàn cục. - Trên tập lồi D c M ,đối với các bài toán kinh tế thường gặp ta có : + Nếu f"(x) >0, Va; € D thì / lồi ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu Ị"(x) 0 Hàm sô" / gọi là đạt cực đại địa phương tại (x,jí„) 6 Dnếu 3e >0:V(x,Ị/)e B((xa,yJ,e)nD tacó fịx,y) 0: v(z,ỉ/) 6 s((x tacó f(x,y) > f(xo,yo Hàm Số / gọi là đạt cực đại toàn cục tại (xti,yo)€ D nếu V (x, y) G A / (ar, y) < ỉ ịxo, yo) Hàm số / gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại ịxoìyo} € D 240
nếu V(x,y)eD ,/ịx,y'j > ỉ(x„,y„) Các chú ý ở trường hợp hàm một biến vẫn đúng cho ưường hợp hai biến. ❖ Điều kiện cần của cực trị địa phương (điều kiện cấp 1) Nếu hàm / đạt cực trị địa phương tại (xo,y ) và / có các đạo hàm riêng tại (x ,y ) thì / > „ .í ũ = /,'(*„. ì/„) = 0 ❖ Điều kỉện đủ của cực trị địa phương (điều kiện cấp 2) Nhắc lai : Cho z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, ta có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của / lần lượt như sau : dz = fdx + fdy\ đ!z = flßx1 + 2 fdxdy + fd y 2 f dy Ta có : d2z = /" dx + > y + l rjc*yy ( giả sử £ / Jxr£ * 0 ) ’ Suy ra : + Nếu f 0 thì d2z 0 và J.a/ Jyy/ - Jxy f 2>0 thì đ > 0 Bây giờ, ta có điều kiện đủ của cực trị địa phương như sau : • Nếu df(x ,yo) = 0 và đ2f(xo,yo) 0 thì / đạt cực tiểu 241
địa phương tại (xo,yo). Ta đ ặ t: ĩ/r [/"Jxr JxL•xu H = ĩll (H gọi là ma trận Hesse); f"'yx / ĩH « i = c ỉỉ2 = h \ Ta có : i) Hx 0 thì đ2f 0, H2 > 0 thì d2f > 0 (cực tiểu địa phương) + Nếu đ2z(xìy) > 0, V(x,y) 6 D thì / lồi ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu đ2z(x,y) y0) = # x0*-y0) = 0 Khi đó : i) Nếu Hì (x,y) > 0 ,HẠx,y) > 0, V(x,ỉ/) € D thì / đạt cực tiểu toàn cục trên D tại (xữ,yữ) ỉ ỉ ) Nếu Hì (x,y) 0, V(z,ỉ/) G D thì / đạt cực đại toàn cục trên D tại (z0, 2/0) 3. Các ví du về kinh t ế : Ví du 1 : 242
Giả sử hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm có dạng : ĨT = R — c — T = PQ — cQ — tQ — f trong đó 7r là lợi nhuận, R là doanh thu, c là chi phí gồm định phí / (độc lập với sản lượng) và biến phí cQ(c : biến phí đơn vị trên 1 sản phẩm, Q : sản lượng), t là thuế trên một đơn vị sản phẩm, T là tổng thuế. Giả sử : p = a - bQ (a, b > 0 ) Khi đó, ta có : 7T = aQ - bQ2 - (c + - / Để đơn giản, ta giả sử : a = 10, 6 í= 1, c - 2, / = 1. Ta có : 7t = 10ộ - Q 2- ( 2 + ể)Q-1 Bài toán đặt ra là xí nghiệp muốn xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đồng thời nhà nước cũng muốn xác định mức thuế t trên một đdn vị sản phẩm để tổng thuế T đạt cực đại. Trước tiên, ta đứng trên cương vị của xí nghiệp, xem t như là tham số thì 7T là hàm số thực theo một biến số thực Q. Điều kiện cấp 1 : Trị = - 2 Q + 8 - t = 0 & Q = (o < t < 8) 2 Điều kiện cấp 2 : 7T^ = -2 < 0 Vậy hàm 7T lõm ngặt toàn cục nên đạt cực đại toàn cục khi : Q = Q' =— (o<í <8) Vđi Q = Q*, ta có : 243
8 t - t 1 T = tQ* = Điều kiện cấp 1 : . = 8_2í = t = 4 2 £ = -1 n* =ŨliK~m - 0,02 = 0 — (0,02):i K2 244
K = ứ K = 2500 L = (0,02);'j r 2 = (0,02fLi L = 50 ịvì L> o) Ta CÓ ma trận Hesse : u // - - ư H''KxrA -L~2/:iK~2/Ẳ LL n LK H n n KL nKK 3 Điều kiện cấp 2 : Hr, = - - 2 L - r,/:'Kự' 0 (L,K>0) 21 9 9 3 Suy ra n lõm ngặt toàn cục. Do đó, n đạt cực đại toàn cục tại : K = 2500, 1 = 50 Ví du 4: Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường tách biệt. Giả sử đơn giá bán tại thị trường 1 là Pl cao hơn đơn giá bán tại thị trường 2 là P2 : PỴ> P2. Giả sử tổng chi phí là : c = C(qv q2) + tq2 trong đó Q = qx + q2 là lượng hàng bán được ở cả hai thị trường. qv q2 lần lượt là lượng hàng bán được ở thị trường 1 và thị trường 2, t là chi phí tăng thêm trên một đơn vị sản phẩm ở thị trường 2. Ta có hàm lợi nhuận : n = Pxqx + p.2q2 —C(QiiQ2)~ ^ 2 Để đơn giản, ta giả sử px = 7, p2 = 6, C(qvq2) — q* + qxq2 + q22 + 3, t = 1 Khi đó ta có : 245
n = Tợ, + 6ợ2 - gỊ - g,?2 - g22 - 3 - g2 = - 9,2 - n i = 0 -?! - H2 + 5 = 0 2 ^ + 4 = 10 ql =3 0 Vậy n lõm ngặt toàn cục, do đó hàm n đạt cực đại toàn cục khi: ^ = q\ = 3 và q2 = q\ = 1 Khi đó :n = r f = - 9 - 1 - 3 + 21 + 5-3 = 10 Ví du 5 : Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị trường riêng biệt. Giả sử các hăm cầu p trên 2 thị trường 1 và 2 lần lượt là Qm = 80 - —1, , hàm tổng chi phí là : C(QvQ2) = Q2 + 30Q +10 Trong đó p là đơn giá trên thị trường thứ ỉ, ỉ = 1,2; Q = Ọ1 + Ọ2 là tổng sản lượng. Tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho các thị trường để lợi nhuận cao nhất ? G iái: Giả sử công ty cung cấp cho thị trường ỉ là Q . Ta có : 246
Q, =80-5-, ọ2 = 8 0 -5 . và Q = Qj + Ọ2 =>' p, = 240 - 3Qv P1 = 320 - 4Ọ2 => Ẩ,= (240 - 3QM , R2 = (320 - 4Q2)Q2 Với R là doanh thu trên thị trường thứ ị i = 1,2 Điều kiện cần để 7T = 4- R2 — Q2 — 30Q —1 0 đạt cực trị là Ỡ7T Ỡ7Ĩ 240 — 6Q1 = 30 + 2(Q1 -f Ọ2) O o ~dQ~~dQ2 320 — 8 Q2 = 30 + 2{QX +Q2) -(«*)■- • Ô27T d 2TT ớ2ir Ta có - 8 ; 10; r 2 d Q ì dQ Ỉ ÔQ,ÔQỈ (-8 -2 Đ ặ t: H = -2 -10 -8 - 2 >0ỉ Iĩ1= - 8 7r lõm ngặt toàn cục => 7T đạt cực đại toàn cục tại (Q1,Q2)= (20,25). Vậy công ty cung cấp cho : - Thị trường thứ 1 là Q1 = 20 với đơn giá là Pì =240-3(3» =180 - Thị trường thứ 2 là Q2 = 25 với đơn giá là P2 = 320 - 4ọ 2 = 220 247
4. Cưc tri ràng buôc của hàm sỡ" thức theo hai biến số’ thức : Xét bài toán tìm cực trị hàm Ị{x,y) với ràng buộc g{x,y) = g0 Trước tiên, ta ĩập hàm Lagrange : L(x,y) X) = f(x,y) + A[go - g{x,y)} (A gọi là nhân tử Lagrange) Ta thấy cực trị của hàm / với ràng buộc g(x,y) = go cũng chính là cực tộ của hàm Lagrange L. Ta có điều kiện cấp 1 tương tự trường hợp cực trị không ràng buộc Điều kiện cần : Nếu L đạt cực trị địa phương tại (x , y , A ) thì Lx = 0, ¿t = 0 và £a = 0 tại (xo,yo,Xo) Đỉều kiện đủ : Ta định nghĩa Hessian bao như sau : L" Ẽrx xy 4 = . 4 4 £xx 4 Đặt Hi = 1 #2 = |7f| 4 4 Ta có các định lý sau : • Nếu lỉx = 0 , L[ = 0, L[ = 0 tại (xo,yo,\ ) và H i 0 tại {x ,y ,Aw) thì L đạt cực đại địa phương tại 248
Nếu L' = 0 , Lý = 0, L[= 0 tại (xo,yo, A ) và H1 0 , V G £> và với mọi A nằm trong một lân cận của À; thì {xo,yo) là điểm cực đại toàn cục của / trên D với ràng buộc g(x, y) = go. Nếu 4' = 0 , L[ = 0, L[ = 0 tại {xo,yo,Ằo) và < 0, Hi < 0 , g D và với mọi A nằm trong một lân cận của Xo thì (xo,yo) là điểm cực tiểu toàn cục của / trên D với ràng buộc g{x,y) = go. Chú ý : Bài toán tìm cực trị hàm f(x,y) với ràng buộc g(x,y) — có thể giải đơn giản bằng cách từ ràng buộc, rút y theo X (hay X theo y) và thế vào /. Từ đó, bài toán đưa về việc tìm cực trị của hàm một biến. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng rút được biến này theo biến kia. Hơn nữa, phương pháp Lagrange áp dụng được cho trường hợp hàm nhiều biến tổng quát với nhiều ràng buộc và nhân tử Lagrange À có ý nghĩa đặc biệt trong kinh tế. Ví du 1: Giả sử hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm làU (x,ý) = ]nx+\ny trong đó X là lượng hàng thứ nhâ't, y là lượng hàng thứ hai. Giả sử người tiêu đùng có thu nhập I phải dùng hết để mua hai sản phẩm trên, px và Py lần lượt là đơn 249
giá của hai mặt hàng. Bài toán đặt ra là cần tìm X và y để cực đại hóa u với ràng buộc pxx + Pyy= I ( điều kiện I >2P ;/ >2P ). — X ’ — y ' Hàm Lagrange của bài toán : L = lnx + ln y + xịl - Px — Py} Điều kiện cấp 1 : X ’ __ II y X = —~ XpX 2p X = — = — y ~\P~2P. -1/x2 0 - p Hessian bao : H = 0 - -4* - P ÿ2 - P - > 0 |ff2| = |# | = i Ị + Í > 0. Var.«.A (x > l . v > l ì
Vậy u đạt cực đại toàn cục với ràng buộc g(x,y) = / tại : X = X = ỉ và * y _= y * _= 1 2P 2P Khi đó u = ln —— + ln— = ln —— 2P 2P 4PP ï y X y Ví du 2 : Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu dùng tại cuối hai thời kỳ 1 và 2 là Cl và C2 như sau : u = Cl C2. Giả sử lãi suất tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,5%, tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ 1 là I. Giả sử ta có ràng buộc 2 = _ 1 c‘+ ĩ + r (C2/(l+r) là hiện giá của C2 tại cuối thời kỳ thứ 1). Bài toán đặt ra là tìm Cl, C2 để cực đại hóa hàm lợi ích u . Ta có hàm Lagrange của bài toán : ¿(c1>c2,a) = c 1c2+ à i - c. 1,005 Điều kiện cấp 1 : c 4 ,= 0 2-A = 0 A = c2 4 . = 0 * = 0 & X = ijOOöCj 1 1,005 4 = 0 2Cl = / 1 - a 2 = _ 0 1,005 251
Cl=-1 2 * > \ c 9 = 1 ,0 0 5 ị A = 1,005 — 2 0 -1 1 Hessian bao : H — 1 1,005 -1 0 1,005 Điều kiện cấp 2 : 0 - 1 , n = —1 0, N = - 1 0 I I I I 1)005 1)005 v (q -q ,A ) yậy u đạt cực đại toàn cục khi CỊ = c[ = - , C2 =Ổ1 =1,005- 2 2 Ví du 3 : Giả sử một xí nghiệp cần xác định lượng lao độngL, ượng vốn K để cực tiểu hóa chi phÍC(L,K) = wL + rK. [rong đó w = 400 là tiền lương cho mỗi lao động, r = 0,01 à lãi suất của vốn vay . Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Qo = 1000 đơn vị sản phẩm và hàm sản phẩm là Q = G(L,K) = LựiK m làm Lagrange : F(L,K, A) = wL + rK + \{Q a - LmKm) )iều kiện câp 1: 252
(800)2 w - —XL~'/2K1/2 = 0 *í=0 2 I ~ A2 r AL1/2ir'/2 = 0 0. 4 Vậy, hàm chi phí c đạt cực tiểu toàn cục khi L = # = 200.000. Cách khác : Ta có : Q = 1000« L1/2K1/2 = 1000<» LK = 106 Hàm Lagrange : F(L,K, Ằ) = wL + rK + aỊiO“ - LK^ 253
= 4ooì + o,oia’ + a(io'! ~ l k ) F[ = 4 0 0 - XK, F' = 0 ,0 1 - \L, F" = F " = 0 ,F" = - A ^'=0,F''=-tf,F"=-L,F"=-A _ 400 A = 400 0,01 A = K Fl = Fk = Fx= 0^ K L K = i.\ữiL = 10“ 4.10“i 2 = 106 A = 2.1CP' \L — 5 iíT = 200.000 Hiển nhiên Hi 0. -K - L 0 Vậy, hàm chi phí c đạt cực tiểu toàn cục khi L — ò, K = 2.105
MỤC LỤC Chương 0 : Tập hợp -Ánh xạ 4 Chương 1 : Số thực 15 Chương 2 : Dãy số thực 23 Chương 3 : Giới hạn của hàm số một biến 43 Chương 4 : Hàm số liên tục 65 Chương 5 : Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến 75 Chương 6 : Tích phân bất định 119 Chương 7 : Tích phân xác định 145 Chương 8 : Hàm nhiều biến 178 Chương 9 : Phương trình vi phân 208 Chương 10 : ứng dụng vào kinh tế 236