Giáo trình Cơ sở toán học cao cấp

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở toán học cao cấp

1. Cơ sở toỏn học cao cấp
2. Lời giới thiệu Do ảnh h−ởng của cuộc cách mạng thông tin và do sự phát triển nội tại của toán học, việc giảng dạy toán bậc đại học và cao học có nhiều thay đổi. Xu h−ớng chung là nhanh chóng cho học viên nắm bắt đ−ợc các kiến thức cơ bản về toán học và khả năng ứng dụng, đồng thời sử dụng đ−ợc các ch−ơng trình tính toán thực hành một cách thuần thục. Để đáp ứng nhu cầu đó, trên cơ sở đề tài khoa học Phần mềm Cơ sở Toán học của Trung tâm Khoa học tự nhiên và Công nghệ Quốc gia do Viện Toán học chủ trì thực hiện từ năm 1996 đến năm 1998, chúng tôi biên soạn bộ giáo trình Cơ sở Toán học Cao cấp giành cho sinh viên đại học và cao học. Bộ giáo trình này đ−ợc biên soạn dựa theo nội dung ch−ơng trình toán cao cấp của các khoa cơ bản trong các tr−ờng đại học do Bộ Giáo dục và Đào tạo qui định, kết hợp với các giáo trình toán hiện đang đ−ợc giảng dạy trong các tr−ờng đại học ở Hà Nội và một số n−ớc tiên tiến trên thế giới. Mục đích của giáo trình là: 1. Trình bày những khái niệm, những nguyên lý cơ bản và cần thiết nhất của toán học, với những chứng minh chặt chẽ, lô gic; 2. Rèn luyện kỹ năng tính toán thực hành trên máy tính và khả năng áp dụng công cụ toán học trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn; 3. Giới thiệu một số h−ớng phát triển mới trong toán học hiện đại đang đ−ợc quan tâm trên thế giới. Để đáp yêu cầu thứ nhất, chúng tôi chủ tr−ơng tránh đ−a vào giáo trình những phần lý thuyết nặng nề và ít sử dụng đến sau này. Phần bài tập đ−ợc biên soạn với mục đích giúp học viên củng cố kiến thức lý thuyết, không sa vào những kỹ sảo tính toán phức tạp. Mục đích thứ hai đ−ợc thể hiện trong giáo trình bởi phần bài tập và tính toán thực hành biên soạn rất công phu cho từng ch−ơng. Nó giúp cho học viên tiếp cận một cách nhẹ nhàng và thoải mái với công việc tính toán cụ thể, lĩnh vực luôn bị xem là đáng ngại nhất đối với các học viên bậc đại học ở n−ớc ta x−a i
3. nay. Ng−ời học không chỉ có thể thử sức với những bài toán thách đố (để rèn luyện t− duy), mà còn biết sử dụng máy tính để giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa mà họ t−ởng chừng không thể nào giải nổi. Hi vọng rằng khi ra tr−ờng họ sẽ không còn phải ngại ngùng trong việc đ−a các công cụ toán học vào công việc của mình. Thực tế cho thấy, ở đâu toán học phát huy đ−ợc tác dụng thì ở đó th−ờng thu đ−ợc những kết quả bất ngờ. Công cụ tính toán thực hành giới thiệu trong giáo trình này là bộ ch−ơng trình Maple V. Đây là bộ ch−ơng trình tổng hợp, khá đồ sộ, nh−ng hiện nay đã có thể cài đặt trên máy tính cá nhân với cấu hình bình th−ờng (bộ nhớ tối thiểu là 8MB). Với khả năng biểu diễn và tính toán cực mạnh (kể cả trên các ký hiệu hình thức), nó hiện đang đ−ợc xem một trong những ch−ơng trình phổ biến nhất sử dụng trong công tác đào tạo ở các tr−ờng đại học trên thế giới. Nếu sử dụng đ−ợc Maple một cách thuần thục thì học viên cũng dễ dàng tiếp cận với các ch−ơng trình tính toán phổ biến khác nh−: Matematica, Matlab, Mathcad, Bằng các h−ớng dẫn cụ thể cho từng ch−ơng, giáo trình giúp ng−ời đọc tự mình từng b−ớc tiến hành công việc tính toán một cách nhẹ nhàng nh− bấm máy tính bỏ túi, không cần chuẩn bị gì đặc biệt về kiến thức lập trình. Để đạt đ−ợc mục đích thứ ba, chúng tôi đ−a vào giáo trình một số ch−ơng mục không kinh điển (không bắt buộc đối với học viên bậc đại học), giúp ng−ời đọc làm quen với những ý t−ởng mới trong toán học hiện đại, khích lệ sự tìm tòi phát triển những cái mà lâu nay đ−ợc xem nh− là bất di bất dịch trong toán học cổ điển. Phần này chắc chắn sẽ đem lại hứng thú và những gợi ý về mặt định h−ớng cho những ng−ời có nguyện vọng đ−ợc đào tạo cao hơn về toán học, nhất là những học viên cao học. Giáo trình này cũng đ−ợc thiết lập d−ới dạng siêu văn bản, rất thuận tiện cho việc đọc và tra cứu trên máy tính. Phần tính toán thực hành đ−ợc thực hiện dễ dàng và thuận tiện ngay trong khuôn khổ của giáo trình (học đến đâu thực hành đến đó), nhằm xoá nhoà ranh giới giữa học toán và làm toán. Bạn đọc có nhu cầu về giáo trình d−ới dạng siêu văn bản và thực hành tính toán trên Maple V xin liên hệ với các tác giả theo địa chỉ của Viện Toán học (Đ−ờng Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội). ii
4. rong phần này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc cuốn Giải tích I Tcủa các tác giả : Ts. Đinh Thế Lục (chủ biên), Ts. Phạm Huy Điển, Ts. Nguyễn Xuân Tấn, Pts. Tạ Duy Ph−ợng. Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm đ−ợc về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. Trong Ch−ơng 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng tr−ờng số thực (để không làm lại phần việc của những ng−ời biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng đ−ợc dùng nhiều lần trong ch−ơng trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh viên với môn học Tô pô đại c−ơng thông qua các khái niệm trên đ−ờng thẳng thực. Ngoài việc sử dụng trong giáo trình này, nó giúp học viên hiểu rõ bản chất của những khái niệm trừu t−ợng trong lý thuyết Tô pô tổng quát. Bên cạnh những khái niệm kinh điển nh−: đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm, chúng tôi giới thiệu (trong Ch−ơng 7) một số một khái niệm mới của Giải tích không trơn, một lĩnh vực đang đ−ợc quan tâm và ứng dụng. Ch−ơng ph−ơng trình vi phân (Ch−ơng 11) đ−ợc đ−a vào nhằm củng cố những kiến thức về đạo hàm, tích phân và phục vụ nhu cầu tìm hiểu các bài toán đặt ra trong cơ học, vật lý, hóa học, sinh học, Chúng tôi không đi sâu vào lĩnh vực này (để tránh gây chồng tréo với những ng−ời biên soạn giáo trình ph−ơng trình vi phân) mà chỉ đặt mục đích giới thiệu khái niệm làm cơ sở cho việc thực hành tính toán. Để ng−ời đọc dễ tiếp thu, chúng tôi cố gắng trình bày giáo trình một cách gọn gàng, đơn giản nh−ng đầy đủ. Ngoại trừ những phần giành lại cho bộ môn khác, các vấn đề nêu ra trong khuôn khổ giáo trình giải tích đều đ−ợc chứng minh chặt chẽ và khúc triết. Phần bài tập và tính toán thực hành đ−ợc biên soạn công phu, có nội dung bao quát tất cả những chủ đề cơ bản. Chúng tôi hy vọng rằng giáo trình sẽ là một cẩm nang tốt cho sinh viên các tr−ờng kỹ thuật và tổng hợp. iii
5. Ch−ơng 1 ___ Tập hợp và Số thực ___ 1.1. Khái niệm tập hợp 1.1.1. Tập hợp Tập hợp, trong Toán học, đ−ợc xem là một khái niệm “khởi đầu” không định nghĩa. Nó đồng nghĩa với các từ họ, hệ, lớp, và đ−ợc dùng để mô tả một quần thể của những đối t−ợng phân biệt đ−ợc mà chúng ta t− duy nh− một thể trọn vẹn. Thí dụ Khi ta nói: Họ các đ−ờng tròn đồng tâm, hệ các ph−ơng trình tuyến tính, lớp các hàm đa thức, cũng có nghĩa là tập hợp của các đối t−ợng nói trên. Tập hợp xe cơ giới của thành phố Hà Nội, tập hợp các sinh viên Việt Nam, tập hợp những đ−ờng phố xuất phát từ Hồ G−ơm, v.v là những ví dụ điển hình về khái niệm tập hợp không chỉ trong Toán học, mà cả trong ngôn ngữ thông th−ờng. Những thành viên của tập hợp gọi là phần tử (hay điểm). Cho A là một tập, ta viết x∈ A (đọc: x thuộc A) có nghĩa x là một phần tử của A, và viết x ∉ A (đọc: x không thuộc A) có nghĩa x không phải là phần tử của A. 1.1.2. Diễn tả tập hợp Để diễn tả tập hợp ng−ời ta dùng dấu móc { }. Trong dấu móc ta có thể liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp {x1 , , xn }, hoặc nêu thuộc tính chung (P) của các phần tử tập hợp bằng cách viết {x : x thỏa mãn (P)}. Thí dụ A = {1, 2, 3, 4, 5} hoặc A = {1, 2, ,5} hoặc A = {x : x là số tự nhiên sao cho 1 ≤ x ≤ 5}. 1.1.3. Tập rỗng Ta quy −ớc Tập rỗng (hay tập trống) là tập hợp không có một phần tử nào cả. Ng−ời ta th−ờng ký hiệu tập rỗng là ∅. Thí dụ Tập hợp các cầu thủ bóng đá Việt Nam đã đoạt giải Olympic năm 1996 là tập rỗng; tập hợp các số lẻ chia hết cho 4 là tập rỗng. 5
6. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 1.1.4. Tập trùng nhau Ta nói tập A và tập B trùng nhau (hay bằng nhau) và viết A = B (đọc: A bằng B) nếu chúng có cùng những phần tử, tức là x ∈ A khi và chỉ khi x ∈ B . Khi chúng không trùng nhau ta viết A ≠ B. Thí dụ A là tập gồm số 2 và số 4, còn B là tập các số chẵn d−ơng bé hơn 5. Ta có A = B. 1.1.5. Tập hợp con Ta nói A là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A là phần tử của B. Khi đó ta viết A ⊆ B (đọc: A nằm trong B), hoặc B ⊇ A (đọc: B chứa A). Nếu A ⊆ B và A≠ B ta nói A là tập con thật sự của B. Quy −ớc: Tập rỗng là tập con của mọi tập. Chú ý Mỗi phần tử x của A tạo thành tập con {x} của A. Cần phân biệt phần tử x của tập hợp A (viết là x ∈ A ) với tập con {x} của tập hợp A (viết là {x} ⊂ A) . ___ 1.2. Các phép toán 1.2.1. Hợp của hai tập Hợp của hai tập A và B đ−ợc ký hiệu A ∪ B (đọc: A hợp B) là tập gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Nghĩa là, A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B }. Thí dụ A = {1,2,10,{a,b}}, B = {a,2,{a,b}}, A ∪ B = {1,2,10,{a,b},a}. Chú ý {a,b} là một tập nh−ng nó lại là một phần tử của A và của B. 1.2.2. Giao của hai tập Giao của hai tập A và B đ−ợc ký hiệu A ∩ B (đọc: A giao B) là tập gồm tất cả các phần tử vừa thuộc A lại vừa thuộc B. Vậy A ∩ B= { x : x∈ A và x ∈ B }. Thí dụ Với A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, thì A ∩ B = {b}. 1.2.3. Phần bù Phần bù của A trong B đ−ợc ký hiệu B \ A là tập gồm tất cả các phần tử thuộc B nh−ng không thuộc A. Đôi khi ng−ời ta gọi B \ A là hiệu của B và A. Vậy B \ A = {x : x ∈ B và x ∉ A }. Thí dụ A = {1,5,10,b}, B = {5,b}. Khi đó B \ A = ∅ . Minh họa hình học: 6
7. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 1.2.4. Tính chất của các phép tính Cho A, B và C là ba tập hợp bất kỳ. Khi đó ta có: Tính kết hợp (1) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C , (1’) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C . Tính giao hoán (2) A ∪ B=B ∪ A , (2’) A ∩ B=B ∩ A . Tính phân phối (3) A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) , (3’) A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , (4) A \ (B ∪ C)=(A \ B) ∩ (A \ C), (4’) A \ (B ∩ C)=(A \ B) ∪ (A \ C) . Chứng minh Để chứng minh đẳng thức X = Y giữa hai tập X và Y ta chỉ ra rằng với x∈ X thì suy ra x ∈Y tức là X ⊆ Y , và ng−ợc lại với y ∈ Y thì suy ra y ∈ X, tức là Y ⊆ X . Tr−ớc hết ta chứng minh (3). Cho x là phần tử bất kỳ của A ∪ (B ∩ C) . Khi đó x ∈ A hoặc x∈(B ∩ C) . Nếu x ∈ A thì x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C , có nghĩa là x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . Nếu x ∈ (B ∩ C) thì x ∈ B và x ∈ C . Lúc đó x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C , có nghĩa là x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . Ng−ợc lại, cho y là phần tử bất kỳ của (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . Khi đó y ∈ A ∪ B và y ∈ A ∪ C . Vậy hoặc y ∈ A tức là y ∈ A ∪ (B ∩ C) , hoặc y ∉ A . Nh−ng y ∉ A thì y ∈ B và y ∈C , có nghĩa là y ∈ B ∩ C . Rút cuộc y ∈ A ∪ (B ∩ C) và (3) là đúng. Những đẳng thức khác chứng minh t−ơng tự. Chú ý 1) Dùng cách diễn tả, chứng minh trên có thể viết ngắn gọn nh− sau: A ∪ (B ∩ C) = {x : x∈ A hoặc x ∈ (B ∩ C)} = {x : x∈ A hoặc {x ∈ B và x∈C}} = {x : {x∈ A hoặc x ∈ B} và {x ∈ A hoặc x∈C}} = {A ∪ B}∩{A ∪ C }. 7
8. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 2) Do tính kết hợp, với ba tập A, B, C cho tr−ớc ta có thể lấy hợp hai tập bất kỳ sau đó mới hợp với tập còn lại và kết quả đều cho ta một tập, đó là hợp A ∪ B ∪ C . T−ơng tự nh− thế đối với phép giao, cũng nh− phép hợp và phép giao của nhiều tập hơn. 1.2.4. Tích của các tập hợp Cho 2 tập hợp A và B. Tập hợp tất cả các cặp điểm (a,b), với a ∈ A và b ∈ B, lập thành một tập hợp mới gọi là tích của hai tập A và B, và đ−ợc ký hiệu là A ì B. Nh− vậy, mỗi phần tử z của tập tích A ì B luôn biểu diễn d−ới dạng z=(a,b), với a ∈ A, b ∈ B, và ng−ời ta gọi a,b là các thành phần (hay toạ độ) của z. ___ 1.3. Phép ứng và lực l−ợng 1.3.1. Phép ứng Cho A và B là hai tập khác rỗng. Phép ứng từ A tới B là một quy tắc cho phép với mỗi phần tử x ∈ A chỉ ra đ−ợc một phần tử y ∈ B ứng với nó. Thông th−ờng ng−ời ta ký hiệu f : A → B có nghĩa f là phép ứng từ A tới B, và viết y = f (x) có nghĩa y đ−ợc ứng với x, hoặc x ứng với y (đôi lúc ta viết x 6 y ). Tập A đ−ợc gọi là miền xác định của phép ứng và tập B đ−ợc gọi là miền giá trị của phép ứng. Khi B là một tập hợp số nào đó ng−ời ta còn gọi f là hàm số. Chú ý Có thể nhiều phần tử của B đ−ợc ứng với một phần tử của A và có thể một phần tử của B đ−ợc ứng với nhiều phần tử của A. Đơn ứng là một phép ứng cho phép với mỗi phần tử của A chỉ ra đ−ợc một và chỉ một phần tử của B ứng với nó. (Điều này không loại trừ khả năng nhiều phần tử của A cùng đ−ợc ứng với 1 phần tử của B). Phép ứng từ A tới B đ−ợc gọi là phép ứng 1-1 (hay phép tiêm) nếu 2 phần tử khác nhau trong A thì đ−ợc ứng với 2 phần tử khác nhau trong B. Toàn ứng là một phép ứng mà mỗi phần tử của tập B đều đ−ợc ứng với (ít nhất) một phần tử trong A. Song ứng từ A tới B là một phép ứng mà mỗi x ∈ A chỉ ứng với một y ∈ B và mỗi y ∈ B chỉ đ−ợc ứng với một x ∈ A . Nh− vậy, song ứng vừa là toàn ứng, vừa là phép ứng 1-1. Thí dụ a) A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}. Phép ứng a 61, b 61, c 61 vĂ d 6 2 không phải song ứng từ A tới B. b) A = {1,2, ,n, }, B = {2,4, ,2n, }. Phép ứng n 6 2n là một song ứng từ A tới B. Chú ý Nếu có một song ứng f từ A tới B thì ta có thể xây dựng một song ứng từ B tới A bằng cách với mỗi y ∈ B ta cho ứng với x ∈ A mà f (x) = y . Song ứng này có tên gọi là song ứng ng−ợc của f và th−ờng đ−ợc ký hiệu là f −1 . 8
9. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 1.3.2. T−ơng đ−ơng Hai tập A và B gọi là t−ơng đ−ơng nếu có thể xây dựng đ−ợc một song ứng giữa A và B. Khi đó ta viết A ∼ B . Thí dụ a) Với A là tập hợp các số thực d−ơng, B là tập hợp các số thực âm, thì A ∼ B vì phép ứng a 6 −a là một song ứng. b) A={1,2, },B={±1,± 2, } . Khi đó A ∼ B vì phép ứng 2n 6 −n và 2n −1 6 n là song ứng. Chú ý Nếu A và B hữu hạn thì A ∼ B khi và chỉ khi số phần tử của A bằng số phần tử của B. 1.3.3. Lực l−ợng Những tập t−ơng đ−ơng thì đ−ợc gọi là cùng lực luợng. Khi A có hữu hạn phần tử thì ng−ời ta th−ờng xem lực l−ợng của A là số phần tử của nó và ký hiệu là card(A) (đọc là cac-đi-nal của A) . Thí dụ a) Tập A rỗng thì card(A) = 0. b) A = {1,a,{10,b}} thì card (A) = 3; Khi A có vô hạn phần tử thì ta nói lực l−ợng của A là vô hạn (hay siêu hạn), và viết card(A) = ∞ . 1.3.4. Tập đếm đ−ợc Ký hiệu tập số tự nhiên là ². Đây là tập vô hạn. Tập A gọi là đếm đ−ợc nếu nó hữu hạn hoặc t−ơng đ−ơng với ². Định lý Tập con của tập đếm đ−ợc là tập đếm đ−ợc. Chứng minh Dùng phép song ứng ta chỉ cần chứng tỏ tập con của ² là tập đếm đ−ợc. Cho A ⊆ ². Ký hiệu a1 là phần tử đầu của A, a2 là phần tử đầu của A \ { a1 }, v.v an là phần tử đầu của A \ { a1 , , an−1 }. Nếu nh− đến số n nào đó A \ { a1 , , an−1 } không có phần tử nào thì A hữu hạn (nó chỉ chứa (n-1) phần tử) và, theo định nghĩa, nó là đếm đ−ợc. Nếu với mọi n tập A \ {a1 , ,an−1} ≠ ∅ thì ta thiết lập đ−ợc phép ứng f (n) = an với mọi n = 1,2, Nó là một song ứng từ ² tới A. Thật vậy, với mỗi n ∈ ², f(n) là phần tử đầu của A \ { a1 , , an−1 } nên số này là duy nhất. Ng−ợc lại với mỗi a ∈ A , ta biết đ−ợc số các phần tử đứng tr−ớc nó, thí dụ là k, vậy f (k +1) = a . Song ứng f chỉ ra rằng A ∼ ² khi A không hữu hạn. Chú ý Không phải tập vô hạn nào cũng đếm đ−ợc. Thí dụ a) Họ các cặp số tự nhiên {(m,n)}: m,n ∈ ² } là tập đếm đ−ợc. Thật vậy, xếp các phần tử của họ trên theo hàng và cột nh− sau : 9
10. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) Xây dựng phép ứng tới ² theo quy tắc “đi theo đ−ờng xiên” : (1,1) 6 1 (2,1) 6 2 ; (1,2) 6 3 ; (1,3) 6 4 ; (2,2) 6 5 ; (3,1) 6 6 Dễ kiểm tra đây là một song ứng. Do đó họ cặp các số tự nhiên là đếm đ−ợc. b) Họ ℵ gồm tất cả các tập con của ² là tập không đếm đ−ợc. Giả sử trái lại nó là đếm đ−ợc thì có một song ứng f từ ℵ vào ². Ký hiệu xn ∈ ℵ là phần tử ứng với n, nghĩa là f( xn ) = n. Khi ấy ta xây dựng đ−ợc tập X gồm các số tự nhiên không nằm trong tập ứng với nó, nghĩa là X:={n ∈ ² | n ∉ xn }. Ta sẽ chỉ ra rằng nó không đ−ợc ứng với số tự nhiên nào. Thật vậy, giả sử ng−ợc lại rằng X đ−ợc ứng với số tự nhiên k nào đó, tức là X = X k . Khi ấy chỉ có 2 khả năng: hoặc là k nằm trong X k hoặc là k nằm ngoài X k . Trong tr−ờng hợp thứ nhất thì k không thể là phần tử của X và điều này mâu thuẫn với việc X = X k . Trong tr−ờng hợp thứ 2 thì k sẽ là phần tử của X và điều này cũng lại dẫn đến mâu thuẫn trên. Tất cả các mâu thuẫn này chứng tỏ rằng giả thiết ℵ đếm đ−ợc là không thể xảy ra. Nhận xét Ph−ơng pháp chứng minh trên cũng cho phép ta đi đến một khẳng định tổng quát là: tập tất cả các tập con của một tập khác rỗng A (th−ờng đ−ợc ký hiệu là 2A) là không cùng lực l−ợng với A. ___ 1.4. Số thực Để tập trung trình bày các ph−ơng pháp cơ bản của Giải tích toán học, chúng ta không đi sâu vào việc xây dựng khái niệm số thực, một việc đòi hỏi nhiều công phu và thời gian. Trong phần này chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất quan trọng của số thực cần thiết cho việc thiết lập các nguyên lý cơ bản của Giải tích và các ứng dụng của chúng. 1.4.1. Số hữu tỷ và số vô tỷ Nh− trên, ký hiệu ² là tập các số tự nhiên và  là tập các số nguyên. Theo định m nghĩa số hữu tỷ là số có dạng trong đó n∈ ², m∈ và (m, n) = 1 (−ớc số n chung lớn nhất của m và n là 1, hay m và n là hai số nguyên tố cùng nhau). Ta ký hiệu 4 là tập các số hữu tỷ. Những số không biểu diễn đ−ợc dạng trên gọi là số vô tỷ. Nh− vậy, tập các số thực bao gồm tất cả số vô tỷ và hữu tỷ, và sẽ đ−ợc ký hiệu là . 10
11. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 1 Thí dụ 0,5 là số hữu tỷ vì 0,5 = . 2 m q = 2 là số vô tỷ vì không thể biểu diễn d−ới dạng nêu ở trên. Thật vậy nếu n m 2 = thì m2 = 2n 2 . Chứng tỏ m 2 là số chẵn, do đó m là số chẵn: m = 2m'. Khi ấy n n2 = 2(m')2 và có nghĩa n cũng là số chẵn. Điều này phi lý vì (m,n) = 1. 1.4.2. Biểu diễn số thực Để dễ hình dung ng−ời ta hay biểu diễn số thực trên trục số Ox. Mỗi điểm trên trục này sẽ biểu diễn một số thực. Điểm O là gốc và là biểu diễn của số không. Số 1 đ−ợc biểu diễn bởi điểm bên phải gốc sao cho đoạn [0,1] có độ dài bằng đơn vị. Khi đó số hữu tỷ m m q = với m > 0 sẽ là điểm nằm phía bên phải gốc sao cho đoạn [0, q] có độ dài n n m − m lần đơn vị. Số hữu tỷ q = với m b (a lớn hơn b), a = b hoặc a ) có tính chất sau: Bắc cầu : a > b, b > c thì a > c, Trù mật : a > b thì có c để a > c > b. Tiên đề (Archimedes): Với mọi số c > 0 tồn tại số tự nhiên n > c . Ngoài ra số hữu tỷ còn có tính chất trù mật mạnh hơn sau đây: Cho a, b thuộc . Nếu a > b thì có q thuộc 4 để a > q > b. 11
12. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực ___ 1.5. Biên trên và biên d−ới 1.5.1. Tập giới nội và cận Ta nói A ⊆  bị chặn trên nếu có số α để a ≤ α với mọi a ∈ A ; số α này gọi là cận trên của A. T−ơng tự A bị chặn d−ới nếu có số β (gọi là cận d−ới) để a ≥ β với mọi a ∈ A . Một tập vừa bị chặn d−ới vừa bị chặn trên gọi là bị chặn hay giới nội. Biên trên của A, ký hiệu sup A , là cận trên nhỏ nhất của A. Nếu sup A ∈ A thì viết max A thay cho sup A. Đây là số lớn nhất trong A. Biên d−ới của A, ký hiệu inf A, là cận d−ới lớn nhất của A. Nếu inf A ∈ A thì viết min A thay cho inf A . Đây là số nhỏ nhất trong A. Thí dụ A={x :0 < x < 1} thì mọi α ≥1đều là cận trên của A, còn biên trên của A: sup A =1. Trong thí dụ này max A không tồn tại. 1.5.2. Lát cắt trong 4 và . Chia 4 làm hai lớp khác rỗng A và B sao cho A∪ B = 4 và a < b với mọi a ∈ A, b∈ B . Phép chia trên gọi là lát cắt và ký hiệu A|B. Dễ thấy chỉ có ba dạng lát cắt: a) Trong A có số hữu tỷ lớn nhất và trong B không có số nhỏ nhất. b) Trong A không có số lớn nhất và trong B có số nhỏ nhất. c) Trong A không có số lớn nhất và trong B không có số nhỏ nhất. Trong 2 tr−ờng hợp đầu lát cắt A|B xác định số hữu tỷ, và trong tr−ờng hợp còn lại lát cắt A|B xác định số vô tỷ α thỏa mãn: a < α < b,∀a ∈ A, b∈ B . T−ơng tự, ta nói A|B là lát cắt trong  nếu A ≠ ∅, B ≠ ∅, A ∪ B = , a < b với mọi a ∈ A, b∈ B . Bổ đề (Dedekind): Với lát cắt A|B bất kỳ trong , luôn luôn tồn tại số thực α lớn nhất trong A hoặc α nhỏ nhất trong B. Chứng minh Xét AQ = A ∩ 4, BQ = B ∩ 4. Khi đó AQ | BQ là lát cắt trong 4. Nó xác định số thực α . Khi đó α ∈ A hoặc α ∈ B , do A ∪ B = . Nếu α ∈ A thì đó là số lớn nhất trong A vì nếu không sẽ có số β ∈ A để α < β và theo tính trù mật sẽ tìm đ−ợc số hữu tỷ r ∈ A để α < r < β . Vậy r ∈ AQ và trái với điều a ≤ α ≤ b , với mọi a ∈ AQ , b∈ BQ . T−ơng tự, nếu α ∈ B thì nó là số nhỏ nhất trong B. 1.5.3. Tồn tại biên Định lý Mọi tập khác rỗng bị chặn trên (d−ới) đều có biên trên (d−ới). 12
13. Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực Chứng minh Giả sử M ⊆  bị chặn trên. Nếu M có điểm lớn nhất xo ∈ M (tức là a ≤ xo với mọi a ∈ M ), thì xo = sup M vì mọi cận trên của M đều lớn hơn hoặc bằng xo . Nếu M không có điểm lớn nhất, ta xây dựng lát cắt A|B nh− sau: B ={x : x là cận trên của M} và A=  \B. Do M ≠ ∅ và bị chặn trên, nên A ≠ ∅ , B ≠ ∅ , A ∪ B = . Rõ ràng a < b với mọi a∈ A, b∈ B . Nói cách khác A và B xác định lát cắt của . Theo Bổ đề Dedekind ta có thể tìm đ−ợc α lớn nhất trong A hoặc bé nhất trong B, ký hiệu là α. Dễ thấy α ∉ A và vì thế α ∈ B . Ta có α = sup M theo định nghĩa. Đối với tập bị chặn d−ới, việc chứng minh hoàn toàn t−ơng tự. 13
14. ___ Bài tập và Tính toán thực hành Ch−ơng 1 ___ 1. Câu hỏi củng cố lý thuyết 1.1. Tập hợp Bài 1 Giả sử A là tập tất cả các −ớc số của 60. Các khẳng định sau đây đúng hay sai: a) 9∈ A ; b) 15∈ A ; c) 30∉ A . Liệt kê tất cả các phần tử của A. Bài 2 Giả sử A là tập tất cả các nghiệm của ph−ơng trình x2 − 7x +12 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? a) 3∉ A ; b) 5∈ A; c) 4∈ A ; d) 7∉ A . Liệt kê tất cả các phần tử của A. Bài 3 Giả sử A là tập tất cả các đa thức một biến với hệ số nguyên, các kết luận sau đây đúng hay sai: a) x 3 − 3x+ 1∈ A ; b) 15∉ A ; c) x 2 + y 2 + 3∈ A ; 1 1 d) x 4 +12x + ∉ A ; e) x 3 + x 2 +1∈ A . 3 2 Bài 4 Trong các tập hợp d−ới đây, các phần tử, trừ một phần tử, đều có chung một tính chất nhất định. Hãy tìm phần tử không mang tính chất ấy: a) {6, 15, 84, 1670}, {2, 7, 13, 25, 29}, {1, 9, 25, 79, 121}; b) {tam giác, hình vuông, hình tròn, hình thang, lục giác đều}. Bài 5 Mô tả tính chất của các tập hợp vô hạn sau và viết công thức số hạng tổng quát của các tập hợp: 3 4 5 6 2 4 6 8 a) { , , , , } ; b) { , , , , } ; 4 9 16 25 5 8 11 14 1 1 1 1 1 1 c) { , , , , , , } ; d) {2,12,36,80,150, }. 2 6 12 20 30 42 2 17 1 5 n2 +1 Bài 6 Xét xem các số sau đây: , ,− , số nào thuộc tập hợp A: A ={x: x = , n∉N}. 5 20 7 6 n2 + 4 14
15. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 Bài 7 Trong số các tập sau đây, tập nào là rỗng: a) Tập hợp các chữ nhật có các đ−ờng chéo không bằng nhau. b) Tập hợp các tam giác có các đuờng trung trực không đồng quy. c) Tập nghiệm hữu tỷ của ph−ơng trình x 2 − 2 = 0 . d) Tập nghiệm thực của bất ph−ơng trình x 2 + x +1 < 0 . e) Tập nghiệm nguyên của ph−ơng trình 4x 2 −1 = 0 . f) Tập nghiệm tự nhiên của ph−ơng trình 2x 2 − 3x − 9 = 0 . Bài 8 Mô tả tập hợp các điểm M(x, y) của mặt phẳng thoả mãn: a) 3x +1≤ y b) (x −1) 2 + (y −1) 2 =1 c) y ≤ x 2 − 2x − 3 d) y ≤ x − 2 . 1.2. Phép ứng và t−ơng đ−ơng Bài 1 Hỏi các tập sau đây có t−ơng đ−ơng nhau không: a) Tập các số tự nhiên ² và các tập số nguyên . b) Tập các số tự nhiên và các số hữu tỷ. c) Tập các nghiệm phức của hai đa thức có cùng bậc n. d) Tập các nghiệm thực của hai đa thức cùng bậc n. e) Tập các điểm của một cạnh hình vuông và các tập điểm trên một đ−ờng chéo của nó. f) Tập xác định của một hàm số và đồ thị của nó. Bài 2 Bằng cách thiết lập các phép song ứng, hãy chứng minh rằng các tập sau đây là t−ơng đ−ơng: a) Tập các số thực  và khoảng (0,1). b) Tập hợp các điểm của hai đoạn thẳng [a,b] và [c,d]. c) Tập các điểm của hình tròn mở và tập các điểm của mặt phẳng. ___ 2. Các phép toán trên tập hợp Bài 1 Cho A, B, C là các tập tùy ý. Hãy chứng minh các mệnh đề sau: 1) A∩ A = A = A∪ A . 2) A ∩ B ⊆ A, A ⊆ A ∪ B, A ∩ B ⊆ B, B ⊆ A ∪ B . 3) Nếu A ⊆ B thì A ∩ B = A. 4) Nếu A ⊆ B thì A ∪ B = B . 5) Nếu A ⊆ B thì B ⊆ C thì A ⊆ C . 6) Nếu A ⊆ C và B ⊆ C thì A ∪ B ⊆ C . 7) Nếu C ⊆ A và C ⊆ B thì C ⊆ A ∩ B . 15
16. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 Bài 2 Cho A và B là hai tập con của X. Ký hiệu CA là phần bù của A trong X, tức là CA=X\A. Hãy chứng minh các tính chất sau đây: 1) A ∩ X = A, A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅, A ∪ X = X . 2) A ∩ CA = ∅ , A ∪CA = X . 3) CCA = A. 4) C(A \ B) = B ∪ CA . 5) Nếu A ⊆ B thì CB ⊆ CA . 6) Luật Moorgan C(A ∩ B) = CA ∪ CB, C(A ∪ B) = CA ∩ CB . Bài 3 Chứng minh: 1) Tính kết hợp của hợp và giao các tập hợp a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ; b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C . 2) Tính giao hoán của phép hợp và giao các tập hợp a) A ∪ B = B ∪ A ; b) A ∩ B = B ∩ A . 3) Tính phân phối của giao đối với hợp (hoặc của hợp đối với giao) các tập hợp a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . 4) Tính phân phối của hiệu đối với hợp (hoặc giao) các tập hợp a) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) ; b) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) . Bài 4 Chứng minh a) A \ [∪{Ai , i =1 n}] = ∩{A \ Ai , i =1 n}. b) A \ [∩{Aa , a∈ I} = ∪{(A \ Aa ), a ∈ I} , I là tập chỉ số bất kỳ. Bài 5 Ký hiệu A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) là hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B. Chứng minh rằng A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) . ___ 3. Phép ứng và sự t−ơng đ−ơng của hai tập hợp Bài 1 Cho phép ứng f : X → Y và A, B là hai tập con của X. Chứng minh: 1) Nếu A ⊆ B thì f (A) ⊆ f (B) ; 2) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ; 3) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) . 16
17. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 Bài 2 Cho phép ứng f : X → Y và A, B là hai tập con của Y. Hãy chứng minh: 1) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) ; 2) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) ; 3) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B) . Bài 3 Cho g : X → Y, f :Y → Z và h : X → Z , h(x) = f(g(x)). Chứng minh rằng: 1) h(A) = f [g(A)]∀A ⊂ X ; 2) h−1(B) = g −1[ f −1(B)]∀B ⊂ Z . Bài 4 Gọi  là tập số thực. Xét phép ứng f từ  vào  đ−ợc cho bởi công thức sau: x +1 x → y = với x ≠ 2 và y(2) = 1. x − 2 Chứng minh rằng f là song ứng. Tìm phép ứng ng−ợc. Bài 5 Cho phép ứng x → y, y = x +1 − 2 x với 0 ≤ x . Chứng minh: 1) f không phải là một song ứng. 2) Xác định hai khoảng mà trong mỗi khoảng ấy f là song ứng. Tìm phép ứng ng−ợc trong mỗi tr−ờng hợp. Bài 6 Chứng minh định lý Cantor-Bernstein: Cho hai tập hợp bất kỳ A và B. Nếu tồn tại một song ứng f từ A lên một tập con B1 của B và một song ứng g từ B lên một tập con A1 của A thì các tập hợp A và B t−ơng đ−ơng . ___ 4. Tập hợp đếm đ−ợc Bài 1 Chứng minh các tính chất sau đây của tập đếm đ−ợc: • Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để một tập A đếm đ−ợc là ta có thể đánh số nó, tức là có thể biểu diễn nó d−ới dạng một dãy: A = {a1,a2 , ,an , }. • Tính chất 2: Trong mọi tập vô hạn đều có một tập con đếm đ−ợc. • Tính chất 3: Nếu lấy một tập hữu hạn M ra khỏi tập đếm đ−ợc A thì tập còn lại A\M (phần bù của M trong A) là đếm đ−ợc. • Tính chất 4: Hợp của một tập đếm đ−ợc những tập đếm đ−ợc là đếm đ−ợc. Bài 2 Chứng minh rằng mọi tập vô hạn đều có chứa một tập con thực sự t−ơng đ−ơng với nó. ___ 5. Số thực Bài 1 Chứng minh rằng các số sau là các số vô tỷ a) 5 ; b) 2 + 3 ; c) 3 2 + 3 3 . 17
18. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 Bài 2 Số nào lớn hơn 4 + 7 − 4 + 7 − 2 hay 0 ? Bài 3 Chứng minh rằng nếu a, b, c thuộc 4 thoả mãn đẳng thức a + b = c thì a và b cũng thuộc 4. Bài 4 Chứng minh rằng tập các số hữu tỷ là đếm đ−ợc. Bài 5 Chứng minh rằng tập các số vô tỷ có cùng lực l−ợng với . Bài 6 Chứng minh định lý Kantor: Tập tất cả các số thực nằm giữa 0 và 1 là không đếm đ−ợc. ___ 6. Tập hợp nghiệm của ph−ơng trình và bất ph−ơng trình Nhiều tập hợp số trong Toán học th−ờng đ−ợc cho bởi một hệ ph−ơng trình và bất ph−ơng trình. Giải ph−ơng trình cũng chính là tìm tập tất cả các nghiệm của ph−ơng trình đã cho. Trong ch−ơng trình phổ thông, chúng ta đã biết giải thành thạo khá nhiều loại ph−ơng trình và bất ph−ơng trình. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi muốn cung cấp một số bài tập giải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình có cách giải hay hoặc t−ơng đối khó, nhằm giúp các bạn thử sức, so sánh và vận dụng khả năng của máy tính (nếu là bài tập khó, bạn có thể nhờ máy tính giải ra đáp số, từ đó bạn có những gợi ý tích cực để tìm ra lời giải; nếu là bài dễ, bạn có thể dùng máy để kiểm tra đáp số). Ngoài ra, bạn có thể tìm ra những cách giải hay hơn máy, do đó đáp số gọn hơn. Cũng cần nói thêm rằng, có những bài bạn giải đ−ợc (nhờ mẹo đặt ẩn phụ, v.v ) mà máy không giải nổi. Cuối cùng, việc giải thành thạo ph−ơng trình và bất ph−ơng trình (tự lực và bằng máy) ở ch−ơng này giúp bạn dễ dàng giải bài tập (tự lực và bằng máy) ở các ch−ơng tiếp theo. 6.1. Tập hợp nghiệm của ph−ơng trình Tìm tập hợp nghiệm của các ph−ơng trình sau: Bài 1 x4 + 5x3 + 6x 2 − 4x −16 = 0 . Bài 2 x + x − 5 = 5 . 1  1  Bài 3 2 − x 2 + 2 − = 4 −  x +  . x 2  x  Bài 4 x + x log2 3 = x log2 5 . Bài 5 3 2x −1 − 3 x −1 = 3 3x − 2 . 2x 1 1 Bài 6 3 + 3 + = 2 . x +1 2 2x 18
19. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 6.2. Tập hợp nghiệm của bất ph−ơng trình Giải các bất phuơng trình sau: x −1 1 1 Bài 1 < x + − x − . x x x Bài 2 2 x 2 − 4x + 5 ≤ x 2 − 4x + 2 . Bài 3 1+ x − 1− x ≤ x . Bài 4 1− x ≤ x4 − 2x2 +1 . πx  tan  + 2x + 3  4  Bài 5 0 < . 4 − x 2 − x Bài 6 50 ≤ 25−x + 5−x+1 . 2x 2 −11x +15 Bài 7 < 0 . 2 x − 6 3x − 2 Bài 8 0 < . 5x 2 + 22x −15  2(x−1)  x3 −1  −   1   1  2  Bài 9   <   .  2   2   1  2 2 log 2   log 2 (x − 6) 3+x  64  Bài 10 < 2 + . 2 12 6.3. Tập hợp nghiệm của hệ ph−ơng trình Tìm tập hợp nghiệm của các hệ ph−ơng trình sau:  x + y + xy = 5 Bài 1   x + y = 5  x + 2 − y = 2 Bài 2   2 − x + y = 2 6.4. Tập hợp nghiệm của hệ bất ph−ơng trình Tìm tập hợp nghiệm của các hệ bất ph−ơng trình sau:  4x − 7 < x Bài1  4 < x + 5 + x − 5 2 2 − 3 ≤ x + 2xy − 7y Bài 2  2 2 3x +10xy − 5y ≤ −2 19
20. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 ___ 7. Thực hành tính toán trên máy Trong giáo trình này chúng ta sẽ sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán khó trong chuyên ngành giải tích. Hiện nay có nhiều bộ ch−ơng trình đ−ợc thiết lập cho mục đích này. Mỗi ch−ơng trình có một thế mạnh riêng. Chỉ cần sử dụng thành thạo một ch−ơng trình là sẽ dễ dàng sử dụng các ch−ơng trình khác. Trong khuôn khổ giáo trình này chúng tôi giới thiệu bộ ch−ơng trình Maple V, hiện đang đ−ợc sử dụng rộng rãi trong các tr−ờng học ở n−ớc ngoài. 7.0. Sơ l−ợc về Maple V Maple V là bộ ch−ơng trình tính toán đa năng khá đồ sộ, nh−ng có thể cài đ−ợc trên các máy cá nhân với cấu hình bình th−ờng (bộ nhớ tối thiểu là 8MB). Cài đặt ch−ơng trình trên máy là phần việc của các nhà cung cấp phần mềm, chúng ta chỉ cần quan tâm tới việc sử dụng ch−ơng trình để tính toán. Việc khởi động ch−ơng trình cũng dễ dàng nh− bất kỳ ch−ơng trình ứng dụng nào khác (nh− Word, Excel, ). Các lệnh của Maple rất gần với các ngôn ngữ toán học, cho nên ng−ời sử dụng chỉ cần nắm vững các khái niệm toán học cơ bản và những qui −ớc thông th−ờng về thứ tự thực hiện các phép tính, mà không cần phải biết tr−ớc một ngôn ngữ lập trình nào. Việc viết tên các khái niệm toán học bằng tiếng Anh không phải là điều phiền hà, vì các khái niệm này vốn không nhiều, và ta cũng không cần phải biết tr−ớc vì sẽ đ−ợc giới thiệu trong quá trình thực hành tính toán. Các biểu thức toán học đ−ợc viết trực tiếp vào dòng lệnh và đ−ợc thực hiện theo thủ tục thông th−ờng. Chỉ cần l−u ý rằng phép nhân đ−ợc biểu diễn bằng dấu sao (thí dụ, ab đ−ợc viết là a*b), phép luỹ thừa bằng dấu mũ (thí dụ, a2 đ−ợc viết là a^2), phép chia biểu thị bằng gạch chéo (thí dụ a chia cho b đ−ợc viết là a/b), căn bậc 2 của số a đ−ợc viết là sqrt(a), v.v Kết thúc dòng lệnh phải là dấu chấm phẩy (;), trừ phi ta không muốn cho kết quả của lệnh hiện ra màn hình (để không phải xem các kết quả tính toán trung gian) thì ta kết thúc lệnh bằng dấu 2 chấm (:). Thực hiện lệnh bằng cách nhấn phím “Enter”, khi con trỏ đang ở trên dòng lệnh. Các tính toán đối với từng chuyên mục cụ thể sẽ đ−ợc h−ớng dẫn song song với các phần lý thuyết. Ng−ời học sẽ thấy công việc tính toán cũng nhẹ nhàng và hấp dẫn, chứ không đáng ngại nh− tra bản số và rút th−ớc logarit. Ta bắt đầu việc tính toán thực hành (cho chuyên mục này cũng nh− cho bất cứ chuyên mục nào sau này) với việc đ−a vào một cụm xử lý bằng cách ấn chuột vào nút có biểu t−ợng “[>” (hoặc bằng chức năng Insert/Execution Group/After Cursor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện làm việc). Một dấu nhắc lệnh "[>" sẽ hiện ra chờ đợi ta đ−a lệnh vào thực hiện. 7.1. Các phép toán trên tập hợp Việc cho một tập hợp cũng đồng nghĩa với việc định nghĩa tập hợp đó và đ−ợc thực hiện bằng lệnh có cú pháp nh− sau [> A:={ các phần tử của tập hợp}; trong đó A là tên của tập hợp và “:=” là dấu định nghĩa (gồm dấu 2 chấm đi liền với dấu bằng). Thí dụ, ta cho tập A gồm 4 phần tử a,b,c,d bằng dòng lệnh sau: [> A:={a,b,c,d}; 20
21. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 Sau khi ấn phím “Enter” để thực hiện lệnh, máy sẽ cho hiện kết quả là A:= {a,b,c, d} và một dấu nhắc lệnh “[>” tự động xuất hiện cho ta đ−a lệnh khác vào thực hiện. Thí dụ, ta có thể định nghĩa tiếp một tập hợp B gồm có 6 phần tử c,d,e,f,g,h nh− sau [> B:={c,d,e,f,g,h}; B := {c, d,e, f , g, h} . Bây giờ ta có thể tiến hành các phép toán trên tập hợp nh− đã học trong phần lý thuyết, chỉ xin l−u ý mấy từ tiếng anh: hợp là union, giao là intersect, phần bù (trừ) là minus. Thí dụ [> A union B ; {a,b,c, d,e, f , g, h} [> A intersect B ; {c, d} [> B minus A ; {e, f , g, h} . Muốn biết phần tử này có thuộc tập hợp kia hay không ta dùng lệnh member. Nếu “có” thì máy cho trả lời true (đúng), còn nếu “không” thì nó cho trả lời false (sai). Thí dụ [> member(a,A); true [> member(c,A); true [> member(a,B); false . 7.2. Tính toán trên tập số thực Mọi biểu thức số học đều có thể thực hiện đ−ợc trên Maple một cách đơn giản. Chỉ việc viết biểu thức cần tính vào sau dấu nhắc lệnh theo qui tắc đã nói ở trên (đừng quên dấu chấm phẩy ở cuối dòng lệnh) và nhấn phím “Enter”. Thí dụ [>(2^64+19!)/(31!-3^15+123456789); 9284194587059191808 4111419327088961408862781494553941 Maple có khả năng tính toán chính xác trên mọi số thực, và vì vậy không cần phải đ−a dữ kiện vô tỷ d−ới dạng các số thập phân xấp xỉ . Thí dụ, các số vô tỷ nh− π, 3, π + 2 , đ−ợc đ−a vào tính toán trực tiếp mà không cần qua công đoạn “xấp 21
22. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 xỉ bằng các số thập phân gần đúng”. Ta có thể xem xấp xỉ thập phân của bất kỳ số vô tỷ nào với độ chính xác tuỳ thích (tới hàng ngàn chữ số thập phân). Để thực hiện điều này ta dùng lệnh đánh giá d−ới dạng thập phân có cú pháp nh− sau: [> evalf(a,n); Trong đó a là số vô tỷ, còn n là số chữ số thập phân (tức độ chính xác của phép xấp xỉ). Thí dụ [> evalf(Pi,50); 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 Nếu không cho giá trị n thì máy tự động lấy độ chính xác là 10 chữ số thập phân.Trong thực tế, có những số vô tỷ đ−ợc biểu diễn bằng những công thức cồng kềnh và phức tạp, khiến ta rất khó hình dung giá trị của nó. Thí dụ nh−: π + 3 π + 1 − π + 5 Khi ấy việc biết đ−ợc giá trị thập phân xấp xỉ của nó là rất có ý nghĩa. Thí dụ [> evalf(sqrt(sqrt(Pi+3*sqrt(Pi+1))-sqrt(Pi+5))); .4330334698 Rõ ràng, đây là một công cụ hữu hiệu để so sánh các số vô tỷ phức tạp (chỉ cần đánh giá hiệu của chúng là ta biết đ−ợc số nào lớn hơn). Trong quá trình tính toán, nhất là khi giải ph−ơng trình, lấy giới hạn, tính vi phân và tích phân, ta có thể gặp phải những số vô tỷ ch−a từng đ−ợc biết đến bao giờ (nên cũng ch−a từng đặt tên hoặc có ký hiệu biểu diễn cho nó). Khi ấy máy cũng không có cách nào biểu thị cho ta xem đ−ợc. Với những số nh− vậy thì chỉ còn cách là xem xấp xỉ thập phân của nó. 7.3. Tìm tập nghiệm của ph−ơng trình và bất ph−ơng trình 1. Tìm tập nghiệm của ph−ơng trình f(x)=0. Ta biết rằng ph−ơng trình bậc 2 có thể giải dễ dàng bằng căn thức, và do đó có thể không cần nhờ tới máy. Ph−ơng trình bậc 3 và bậc 4 cũng giải đ−ợc bằng căn thức, nh−ng không mấy ai nhớ đ−ợc công thức giải chúng (vì quá cồng kềnh phức tạp). Với ph−ơng trình bậc 5 trở lên (và các ph−ơng trình vô tỷ) thì chẳng có công thức nào để nhớ, dù muốn. Nói chung, với các ph−ơng trình từ bậc 3 trở lên ta th−ờng chỉ quen giải bằng “mẹo” hoặc “mò nghiệm”, và chỉ có thể giải đ−ợc vài ph−ơng trình đặc biệt do con ng−ời tự “thiết kế” ra. Tr−ớc các ph−ơng trình nảy sinh từ các bài toán thực tiễn (không đ−ợc tạo ra theo ý muốn) thì ta th−ờng phải bó tay. Với Maple, tình trạng này sẽ không còn nữa. Nó sẽ giúp ta v−ợt qua những bài toán khó thực sự (chứ phải là “khó giả tạo” do ai đó dựng lên). Để tiến hành giải ph−ơng trình, ta đ−a vào cụm xử lý với dấu nhắc lệnh "[>" rồi tiến hành khai báo ph−ơng trình cần giải f(x) = 0 (và đặt tên cho nó là eqn) với dòng lệnh có cú pháp nh− sau: 22
23. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 [> eqn:=f(x)=0; Sau khi ấn phím "Enter" sẽ xuất hiện ra công thức biểu diễn ph−ơng trình. Sau dấu nhắc "[>" ( tự động sinh ra sau lệnh tr−ớc) ta đánh tiếp lệnh giải ph−ơng trình vừa nhập, có cú pháp nh− sau: [> solve(eqn,{x}); Sau khi ấn phím "Enter" máy sẽ thực hiện việc tính toán và cho ta tập nghiệm của ph−ơng trình cần giải. Với những ph−ơng trình ngắn gọn (không sợ nhầm lẫn), ta có thể gói gọn cả 2 b−ớc trên trong 1 câu lệnh [> solve(f(x)=0,{x}); Thí dụ Giải ph−ơng trình x4 + 5x3 + 6x2 − 4x −16 = 0 Nhập ph−ơng trình [> eqn:= x^4+5*x^3+6*x^2-4*x-16 = 0; Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" máy hiện ph−ơng trình cần giải, tức là eqn := x4 + 5x3 + 6x2 − 4x −16 = 0 ; Giải ph−ơng trình [> solve(eqn,{x}); Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" máy sẽ hiện tập nghiệm của ph−ơng trình gồm hai nghiệm thực và hai nghiệm phức nh− sau {x = 5 −1}, {x = −1 − 5}, 3 1 3 1 {x = − + I 7}, {x = − − I 7} , 2 2 2 2 trong đó I là ký kiệu đơn vị ảo (chứ không phải là i nh− ta vẫn quen dùng). L−u ý Khi ph−ơng trình có nhiều nghiệm với biểu diễn cồng kềnh thì máy có thể chỉ cho ta một trong số các nghiệm. Nếu muốn biết tất cả, ta dùng lệnh xem tất cả các giá trị tập nghiệm với cú pháp [> allvalues(“); và khi nghiệm là một số vô tỷ ch−a từng thấy bao giờ thì máy đ−a ra nghiệm t−ợng tr−ng d−ới dạng RootOf{ }. Ta có thể biết giá trị xấp xỉ thập phân của nó (với độ chính xác tuỳ ý) bằng lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân (đã giới thiệu ở trên). Thí dụ Ta giải ph−ơng trình x 4 − x3 + 6x 2 − x + 3 = 0 bằng lệnh 23
24. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 [> solve(x^4-x^3+6*x^2-x+3=0,{x}); RootOf {Z 4 − Z 3 + 6Z 2 − Z + 3} và để biết nó là gì ta dùng tiếp lệnh xem xấp xỉ thập phân của tất cả các thành phần trong tập hợp trên [> evalf(allvalues(")); {x = .4541395393-2.269448485*I}, {x = .4541395381+2.269448485*I}, {x = .4586046318e-1+.7469601590*I}, {x = .4586045942e-1-.7469601584*I} Nhận xét Rõ ràng trên đây là những ph−ơng trình mà không thể giải đ−ợc bằng “mẹo” hay bằng “mò nghiệm”, mà chỉ có thể giải bằng các ph−ơng pháp cơ bản với sự hỗ trợ của máy tính. a. Thực hành 1) Kiểm tra các lệnh giải ph−ơng trình x + x − 5 = 5 d−ới đây rồi thực hiện [> eqn:=sqrt(x)+sqrt(x-5)=sqrt(5); [> solve(eqn,{x}); hoặc dùng 1 lệnh sau [>solve(sqrt(x)+sqrt(x-5)=sqrt(5),{x}); 2) Kiểm tra các lệnh giải ph−ơng trình 2x + x − 3 = 16 d−ới đây rồi thực hiện [> eqn:=2*x+sqrt(x-3)=16; [> solve(eqn,{x}); hoặc dùng 1 lệnh sau [>solve(2*x+sqrt(x-3)=16,{x}); b. Bài tập rèn luyện kỹ năng Hãy giải các ph−ơng trình sau bằng cả 2 cách (dùng máy và không dùng máy) 1  1  1) 2 − x2 + 2 − = 4 −  x +  ; 2) x + 2 − 2x − 3 = 3x − 5 ; x2  x  x + 3 3) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = ; 4) (4x −1) x2 +1 = 2x2 + 2x +1 ; 2 3x − 2 x 5) 1+ 1+ x2 ( (1+ x)3 − (1− x)3 ) = 2 + 1− x2 . 6) = . x 1− x 2. Tìm tập hợp nghiệm của bất ph−ơng trình f(x) " thì nhập dòng lệnh khai báo và đặt tên cho bất ph−ơng trình f(x) < 0 cần giải 24
25. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 [> ineq:=f(x) solve(ineq, {x}); Sau khi ấn phím "Enter" máy sẽ hiện tập nghiệm của bất ph−ơng trình cần giải. L−u ý rằng dấu ≤ đ−ợc biểu thị trong câu lệnh bằng 2 dấu “ ineq:=2*sqrt(x^2-4*x+5) solve(ineq,{x}); {x ≤ 2 − 2 2}, {2 + 2 2 ≤ x} a. Thực hành x −1 1 1 1) Giải bất ph−ơng trình ineq:=sqrt(x+1/x)-sqrt(x-1/x)>(x-1)/x; [> solve(ineq,{x}); 3) Giải bất ph−ơng trình 1 + x − 1 − x ≤ x bằng các lệnh [> ineq:=sqrt(1+x)-sqrt(1-x) solve(ineq,{x}); 4) Giải bất ph−ơng trình 1− x ≤ x4 − 2x2 +1 bằng các lệnh [> ineq:= 1-x solve(ineq,{x}); b. Bài tập rèn luyện kỹ năng Giải các bất ph−ơng trình sau bằng cả 2 cách (dùng máy và không dùng máy) 1) 2x −1 eqn1:=f[1](x,y)=0; 25
26. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 [> eqn2:=f[2](x,y); Sau đó ta ra lệnh giải có cú pháp nh− sau: [> solve({eqn1,eqn2},{x,y}); Sau khi ấn phím "Enter" máy sẽ hiện tập nghiệm của hệ ph−ơng trình cần giải. Với hệ có nhiều ph−ơng trình và nhiều ẩn ta cũng làm t−ơng tự. Thí dụ Giải hệ ph−ơng trình  x + y + xy = 5  x + y = 5 bằng các lệnh nh− sau đây: [> eqn1 := sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(x*y)=5; eqnl := x + y + xy = 5 [> eqn2:=x+y=5; eqn2:= x + y = 5 [> solve({eqn1,eqn2},{x,y}); {y = 4, x = 1}, {x = 4, y = 1} . Thí dụ Giải hệ bất ph−ơng trình  4x − 7 ineq1:=sqrt(4*x-7) ineq2:=sqrt(x+5)+sqrt(5-x)>4; ineq2 := 4 solve({ineq1,ineq2},{x}); {-4 eqn1:=sqrt(x)+sqrt(2-y)=sqrt(2); [> eqn2:=sqrt(2-x)+sqrt(y)=sqrt(2); [> solve({eqn1,eqn2},{x,y}); 26
27. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 1 2) Giải hệ ph−ơng trình  2 2  x + y + 2xy = 8 2   x + y = 4 bằng các lệnh: [> qn1:=sqrt(x^2+y^2)+sqrt(2*x*y)=8*sqrt(2); [> eqn2:=sqrt(x)+sqrt(y)=4; [> solve({eqn1,eqn2},{x,y}); 27
28. Ch−ơng 2 ___ Dãy số và Chuỗi số ___ 2.1. Giới hạn của dãy số 2.1.1. Dãy số Dãy số là một tập vô hạn các số thực đ−ợc đánh số và xếp thứ tự đánh số tăng dần. Dãy số th−ờng đ−ợc ký hiệu là {a1,a2 , ,an , } hay { an}n≥1 hoặc đơn giản hơn { an }. Cũng có thể xem dãy số là tập giá trị của hàm với biến số tự nhiên, đ−ợc xếp theo thứ tự biến tăng dần: an = f (n) . Ta gọi an là số hạng tổng quát cũa dãy số, n là chỉ số. Thí dụ Với hàm f(n) = n, ta có an = n, tức là có dãy {1,2, ,n, }. Với an = 1 khi n chẵn và an = 0 khi n lẻ ta có dãy {0,1,0,1,0, }. 2.1.2. Giới hạn Số a đ−ợc gọi là giới hạn của dãy số { an } nếu với mỗi số d−ơng ε bất kỳ ta có thể tìm đ−ợc chỉ số no (phụ thuộc ε ) sao cho an ∈(a − ε, a + ε) (tức là an − a 0 bất kỳ, lấy n đủ lớn để n > thì n n n o o ε 1 a − 0 = < ε khi n ≥ n . n n o n Dễ dàng kiểm chứng rằng với an = (−1) thì { an } không hội tụ. Mệnh đề Nếu { an } hội tụ thì giới hạn của nó duy nhất. 27
29. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số Chứng minh Giả sử a và b là hai giới hạn của { an } với a > b. Khi đó với 1 ε = (a − b) > 0 ta sẽ tìm đ−ợc n sao cho a ∈(a − ε, a + ε) và với mọi n ≥ n . 4 o n o Điều này vô lý vì (a − ε, a + ε) ∩ (a − ε, b + ε) = ∅ . ___ 2.2. Tính chất của các dãy hội tụ 2.2.1. Tính giới nội Dãy số { an } gọi là bị chặn trên (bị chặn d−ới) nếu tồn tại số c sao cho an no đủ lớn để an ∈(a − ε,a + ε) và bn ∈(b − ε,b + ε) với mọi n ≥ n1 . Dĩ nhiên a + ε < b − ε . Do vậy an < bn với n ≥ n1 , mâu thuẫn với giả thiết, nh− vậy a ≥ b . ___ 2.3. Dãy nhỏ vô cùng và dãy lớn vô cùng 2.3.1. Dãy nhỏ vô cùng Ta nói { an } là dãy nhỏ vô cùng nếu nó hội tụ tới 0. Giả sử { an } và { bn } là hai dãy bất kỳ. Khi đó các dãy { an + bn }, { an − bn }, { anbn }, { an / bn } (khi bn ≠ 0 ) gọi là dãy tổng, hiệu, tích và th−ơng của hai dãy trên. Nhận xét { an } hội tụ tới a khi và chỉ khi dãy { an − a } nhỏ vô cùng. Mệnh đề Giả sử { an } là dãy nhỏ vô cùng. Khi đó: i. Nếu { bn } là dãy nhỏ vô cùng thì { an + bn } cũng là nhỏ vô cùng; ii. Nếu { bn } giới nội thì { anbn } là dãy nhỏ vô cùng. 28
30. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số Chứng minh Giả sử { an } và { bn } nhỏ vô cùng, khi đó với mọi ε > 0 , ta tìm đ−ợc ε ε ε ε N để a ∈[− , ] khi n ≥ N và tìm đ−ợc N để b ∈[− , ] khi n ≥ N . Do đó 1 n 2 2 1 2 n 2 2 2 an + bn ∈[]− ε,ε khi n ≥ max(N1, N 2 ) , chứng tỏ lim(an + bn ) = 0 , tức là { an + bn } nhỏ vô cùng. Bây giờ giả sử { an } nhỏ vô cùng, còn { bn } giới nội, tức là có số c để bn ≤ c với mọi ε ε n. Cho ε > 0 bất kỳ ta tìm đ−ợc N để a ∈[− , ] khi n ≥ N . Vậy a b ∈ []− ε,ε 1 n c c 1 n n khi n ≥ N1 , chứng tỏ limanbn = 0 và { anbn } là nhỏ vô cùng. Hệ quả Nếu { an } nhỏ vô cùng và { bn } hội tụ thì tích { anbn } nhỏ vô cùng. Chứng minh Ta có { an } nhỏ vô cùng và { bn } giới nội. Theo mệnh đề trên { anbn } nhỏ vô cùng. 2.3.2. Dãy lớn vô cùng Ta gọi { an } là dãy lớn vô cùng nếu với mọi số d−ơng α ta có thể tìm đ−ợc N để an > α với mọi n ≥ N . Dãy d−ơng (dãy âm) lớn vô cùng nếu đó là dãy lớn vô cùng và với n đủ lớn an > 0 (an < 0) . Khi đó ta viết liman = +∞ (liman = −∞) . 1 Nhận xét 1) { an } là dãy lớn vô cùng khi và chỉ khi { } là dãy nhỏ vô cùng. an 2) { an } và { bn } là những dãy lớn vô cùng đồng dấu (d−ơng hoặc âm), thì { an + bn } là dãy lớn vô cùng. 3) { an } là dãy lớn vô cùng, { bn } hội tụ với giới hạn khác không thì { anbn } lớn vô cùng. ___ 2.4. Một số quy tắc tính giới hạn 2.4.1. Các phép tính Mệnh đề Cho liman = a , limbn = b . Khi đó: lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b ; lim(anbn ) = ab , lim(an / bn ) = a / b (khi b ≠ 0 ). Chứng minh Ta có { (an − a) } và { (bn − b) } là những dãy nhỏ vô cùng. Cho nên { (an + bn ) − (a + b) }, { (an − bn ) − (a − b) }, { (anbn − ab) }, { (an − bn ) − (a − b) }, { (anbn − ab) } 29
31. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số là những dãy nhỏ vô cùng. Do đó: lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b, lim(anbn ) = ab . Khi b ≠ 0 ta tìm đ−ợc α > 0 để bn > α với mọi n đủ lớn. Do đó an a 1 1 − = (ban − bn a) = (b(an − a) − a(bn − b) ) bn b b.bn b.bn an a  1 1 và  −  là dãy nhỏ vô cùng, vì bị chặn bởi và các dãy { (an − a) }, bn b  b.bn bα an a { (bn − b) } là nhỏ vô cùng. Chứng tỏ lim = . bn b 2.4.2. Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn Ta gọi { an } là dãy không giảm (không tăng) nếu an+1 ≥ an (an+1 ≤ an ) . Nếu bất đẳng thức luôn luôn chặt ta sẽ có dãy đơn điệu tăng (đơn điệu giảm). Định lý (Weierstrass): Mọi dãy không giảm và bị chặn trên (không tăng và bị chặn d−ới) đều hội tụ. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho tr−ờng hợp dãy không giảm và bị chặn trên (tr−ờng hợp còn lại chứng minh t−ơng tự). Khi tập A = {an : n =1,2, } bị chặn trên thì α = supA tồn tại (hữu hạn). Ta có α ≥ an với mọi n, và với bất kỳ ε > 0 , tìm đ−ợc N để aN ∈[α − ε,α] . Nh−ng { an } không giảm nên an ≥ a N tức là an ∈[α − ε,α] với mọi n ≥ N . Điều này chứng tỏ liman = α . Định lý đã đ−ợc chứng minh xong. Chú ý Nếu {an } không giảm (không tăng) và không bị chặn trên (d−ới) thì liman = +∞ (liman = −∞) . Định lý Giả sử liman = limbn = a và tồn tại chỉ số no để sao cho khi n > no thì cn bị kẹp giữa an và bn (tức là an ≤ cn ≤ bn ). Khi đó { cn } hội tụ và limcn = a . Chứng minh Với mọi ε > 0 , tồn tại N1 , N 2 sao cho an ∈(a − ε,a + ε) khi n ≥ N1 và bn ∈(a −ε,a +ε) khi n ≥ N2 . Lấy N0 = max(N1, N2 ) ta có an ,bn ∈(a−ε,a+ε) với mọi n ≥ N 0 . Thế nh−ng an ≤ cn ≤ bn khi n ≥ n0 , nên cn ∈(a − ε,a + ε) , với mọi n ≥ max(N0 ,n0 ) . Chứng tỏ a là giới hạn của {cn} . Định lý đã đ−ợc chứng minh xong. L−u ý Hai nguyên lý trên tuy đơn giản nh−ng có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Nó chính là “chìa khoa” cho ta tính giới hạn của hầu hết các dãy (và sau này là các hàm) không tầm th−ờng mà chúng ta sẽ gặp trong suốt giáo trình giải tích. 30
32. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số 2.4.3. Một số ví dụ về tính giới hạn của dãy số n  c  Thí dụ 1 lim1 +  = 1, ∀c∈ , n→∞ n 2  Thật vậy, bất đẳng thức Bernoulli (dễ dàng chứng minh bằng quy nạp) nói rằng (1+ a)n ≥ 1+ a.n , ∀a ∈[−1,1] , ∀n ∈ N . Cho nên khi n đủ lớn ta có | c | ≤ n 2 , và n n  c   | c |  | c | | c | 1+  ≥ 1−  ≥ 1− .n = 1− →n→∞ 1,  n 2   n 2  n 2 n n n  c   | c |  1 1 1 1 + ≤ 1 + = = ≤ →1.  2   2  n n 2 n.| c |  n   n   n   | c |  1 −   1 −  2  2   2  n + | c |  n + | c |   n + | c |  Từ tính chất của dãy số bị kẹp giữa 2 dãy số có cùng giới hạn ta suy ra điều cần chứng minh. n  1  Thí dụ 2 Xét dãy số un = 1+  .  n  Bằng cách khai triển theo nhị thức Newton n n n! −k 1  k −1 k − 2   1  un = ∑ n = ∑ 1− 1−  1−  k=0 k!(n − k)! k=0 k! n  n   n  và so sánh trực tiếp ta thấy ngay un x, ta có N n n n    x   N   N  N  vn = 1+  < 1+  = 1+  ,  n   n   n     N và sẽ có vn < 3 với mọi n đủ lớn, nếu nh− với mọi số hữu tỷ q đủ lớn bất đẳng thức sau luôn xảy ra 31
33. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số q  1  1+  < 3 .  q  Điều này đ−ợc suy ra từ nhận xét rằng luôn tìm đ−ợc số tự nhiên n sao cho n ≤ q ≤ n +1và q q n+1 n  1   1   1   1   1   1  e 1+  < 1+  < 1+  = 1+  1+  < e1+  = e + < 3 ,  q   n   n   n   n   n  n khi n đủ lớn. Nh− vậy dãy vn là tăng và bị chặn trên, cho nên nó có giới hạn. n  x  Thí dụ 4 Với số d−ơng x ta xét dãy số bn = 1−  .  n  Chú ý rằng n  x 2  1−  n  2   x   n  1−  = n  n   x  1+   n  cho nên từ sự tồn tại của các giới hạn trong các Thí dụ 1,3 và công thức tính giới hạn của th−ơng ta suy ra tồn tại giới hạn 1 n n −  x    x   lim1−  = lim1+   . n→∞ n  n→∞ n   n  x  Mệnh đề Giới hạn lim1+  tồn tại với mọi số thực x. n→∞ n  Chứng minh Mệnh đề trên là sự tổng hợp các kết quả của các Thí dụ 3,4. Mệnh đề Với mọi số thực a,b ta có đẳng thức sau n n  a b   a  lim1+ +  = lim1+  . n→∞ n n2  n→∞ n  Chứng minh Chú ý rằng ph−ơng pháp chứng minh trong Thí dụ 1 cho thấy kết quả vẫn đúng với c không phải là hằng số mà là một đại l−ợng bị chặn khi n tiến ra vô bn cùng, cho nên với c= ta có n + a n  a b  1+ +  n  n n2   1 bn  lim n = lim1+ 2 .  = 1 . n→∞  a  n→∞ n a + n  1+   n  Từ đây ta có ngay điều cần chứng minh. 32
34. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số n n n  x + y   x   y  Hệ quả lim1+  = lim1+  .lim1+  . n→∞ n  n→∞ n  n→∞ n  Chứng minh Sử dụng mệnh đề trên với a=x+y, b=x.y ta sẽ có n n n  x + y   x + y xy   x y  lim1+  = lim1+ +  = lim(1+ )(1+ ) = n→∞ n  n→∞ n n2  n→∞ n n  n n  x   y  = lim1+  .lim1+  . n→∞ n  n→∞ n  ___ 2.5. Các khái niệm liên quan và tiêu chuẩn Cauchy 2.5.1. Dãy con Giả sử { a } là dãy số và n 0 bất kỳ, ta n ni tìm đ−ợc n0 để ai ∈[a − ε,a + ε] khi i > n0 . Hiển nhiên là ni ≥ i ≥ n0 , do vậy a ∈[a − ε,a + ε] , với mọi n ≥ n . Chứng tỏ lima = a . ni i 0 ni Trái lại, giả sử mọi dãy con hội tụ tới a, vì { an } cũng là dãy con của chính nó nên liman = a . 2.5.2. Điểm tụ Ta nói a là điểm tụ của dãy số {an } nếu với mọi ε > 0 và mọi k > 0 ta tìm đ−ợc n > k để an ∈(a − ε,a + ε) . Chú ý Nếu a là giới hạn của { an } thì a là điểm tụ của dãy này nh−ng trái lại không đúng, thí n dụ với an = (−1) thì cả điểm 1 và −1 đều là những điểm tụ của { an } nh−ng rõ ràng dãy này không có giới hạn. Mệnh đề Điểm a là điểm tụ của { an } khi và chỉ khi có dãy con của { an } hội tụ tới a. Chứng minh Giả sử a là điểm tụ của {an}. 1 1 1 Lấy ε = ta tìm đ−ợc a ∈ (a − ,a + ) . Dễ thấy {a } hội tụ tới a. Ng−ợc lại nếu k nk k k nk có dãy con {a } hội tụ tới a thì với mọi ε > 0 , ta tìm đ−ợc n để a ∈ (a − ε,a + ε) ni 0 ni 33
35. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số khi ni ≥ n0 . Với ε > 0 và k cho tr−ớc chỉ cần lấy ni ≥ max(n0 , k) là ta có a ∈ (a − ε, a + ε). Chứng tỏ a là điểm tụ. ni Định lý (Bolzano-Weierstrass): Mọi dãy giới nội đều có điểm tụ. Chứng minh Giả sử an ∈[α, β ] với mọi n. Đặt α1 = α,β1 = β . Chia đôi [α1 , β1 ]. Ký hiệu [α 2 , β 2 ] là nửa chứa vô số an . Lại chia đôi [α 2 , β 2 ] và ký hiệu [α 3 , β 3 ] là nửa chứa vô số phần tử của { an }, 1 Ta có β − α = (α − β );{α } là dãy số không giảm, { β } là dãy số không tăng. n n 2n n n Chúng bị chặn nên tồn tại giới hạn a = limα n ,b = lim β n . Do lim(β n −α n ) = 0 ta có a = b . Rõ ràng a là điểm tụ. 2.5.3. Tiêu chuẩn hội tụ (Cauchy) Định nghĩa Dãy { an } gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n0 sao cho an − am 0 ta có thể tìm đ−ợc số n0 để ε ε ε ε a − a n . Do vậy a − a + a − a N . Đặt c = max{ a , , a , a + 1} , 1 N − 1 N ta có an ≤ c với mọi n. Theo Định lý Bolzano-Weierstrass sẽ tồn tại một dãy con của dãy { an } là { an(i) } hội tụ tới a chẳng hạn. Ta sẽ chứng minh rằng chính dãy { an }cũng ε ε hội tụ tới a. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta tìm đ−ợc số i để a ∈ (a − ,a + ) khi o n(i) 2 2 ε i ≥ i . Cũng với ε > 0 trên, do { a } là dãy cơ bản, ta lại tìm đ−ợc M để a − a < , 0 n n m 2 với mọi n, m ≥ M . Lấy n1 = max(M , n(i0 )) , với n ≥ n1 ta có ε ε a − a ≤ a − a + a − a < + = ε . n n n(i) n(i) 2 2 Vậy lim an = a . 34
36. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số 2.5.4. Giới hạn trên và giới hạn d−ới Điểm a gọi là giới hạn trên (giới hạn d−ới) của { an } nếu với mọi ε > 0 và mọi k ta tìm đ−ợc n0 > 0 và nk > k để an ≤ a + ε, ( an ≥ a − ε ), với mọi n ≥ n0 và a ∈(a − ε,a + ε) . nk Ký hiệu giới hạn trên là limsupan hay liman , giới hạn d−ới là liminf an hay liman . n→∞ n→∞ Định lý Dãy số { an } là hội tụ khi và chỉ khi limsupan = lim inf an . n→∞ n→∞ Chứng minh Giả sử { an } hội tụ tới a. Với ε > 0 bất kỳ, ta tìm đ−ợc N để an ∈[a − ε,a + ε] với mọi n > N. Do vậy a = lim supan và a= lim inf an . Trái lại, nếu n→∞ n→∞ a = lim supan = liminf an , thì cho ε > 0 bất kỳ ta sẽ tìm đ−ợc các số N1, N 2 sao cho n→∞ n→∞ an ≤ a + ε với mọi n ≥ N1 và an ≥ a − ε với mọi n ≥ N 2 . Lấy N là số lớn hơn cả hai số N1, N 2 , ta thấy an ∈[a − ε,a + ε] mỗi khi n > N. Điều này chứng tỏ a = lim an . n→∞ 1 Thí dụ Sử dụng định lý trên ta thấy rằng dãy { (−1)n (1+ ) } không hội tụ, vì n 1 1 lim sup(−1) n (1+ )=1 và lim inf(−1) n (1 + )=−1. n→∞ n n→∞ n ___ 2.6. Chuỗi số 2.6.1. Khái niệm Cho { an } là một dãy. Ta gọi S n = a1 + a2 + + an là tổng riêng . Nếu dãy { Sn } hội tụ tới S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số a1 + a2 + , là hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số. Ký hiệu ∞ S = a ∑ i i = 1 Nếu dãy { Sn } không hội tụ, ta nói chuỗi phân kỳ. n  1    −1 n 1 1 1 1 1  2   1  Thí dụ a) a = ,S = + + + = = 1−   . n n n 2 4 n 2 1 2 2 2 −1   2 Dễ dàng chứng minh rằng n  1  limS = lim(1−   ) = 1, n  2  35
37. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số ∞ 1 cho nên chuỗi hội tụ và S = =1 . ∑ 2n n=1 ∞ b) a =1,S = n tiến tới ∞ . Vậy, chuỗi là phân kỳ. n n ∑ an n=1 2.6.2. Một số tính chất ∞ ∞ ∞ Mệnh đề Nếu ∑ an và ∑bn hội tụ thì chuỗi tổng ∑(an + bn ) là hội tụ và n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∑(an + bn ) = ∑ an + ∑bn . n−1 n=1 n=1 ∞ ∞ Nếu ∑an thì với mọi số α, chuỗi ∑α an cũng hội tụ và n=1 n=1 ∞ ∞ ∑α an =α∑ an . n=1 n=1 a b a+b α a Chứng minh Gọi Sn ,Sn ,Sn ,Sn là tổng riêng của các chuỗi nêu trong định lý. a+b a b Khi ấy: S n = S n + Sn , α a a Sn = α Sn . Dùng các tính chất của dãy hội tụ ta sẽ có a+b a b α a a lim S n = lim S n + lim S n và lim Sn = α lim Sn . n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Từ đây rút ra kết luận của mệnh đề. ∞ Mệnh đề Nếu an hội tụ thì lim an = 0 . ∑ n→∞ n=1 Chứng minh Nếu chuỗi trên hội tụ thì các dãy tổng riêng { Sn } và { Sn+1 } đều hội tụ ∞ tới một giới hạn S = ∑ an . n=1 Do vậy: liman = lim(Sn+1 − Sn ) = limSn+1 − limSn = S − S = 0 . n→∞ n→∞ n→∞ ∞ ∞ 1 Chú ý Từ lim an = 0 ch−a thể suy ra chuỗi an hội tụ. Thí dụ chuỗi phân kỳ, mặc dù n→∞ ∑ ∑ n=1 n=1 n 1 a = là hội tụ đến 0. Thật vậy: n n n n  1   1  1 n +1 e > 1 +  suy ra 1 > ln1+  hay > ln = ln(n +1) − ln(n) .  n   n  n n 36
38. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số n 1 Từ đây ta có Sn = ∑ > ln(n +1) i=1 i ∞ 1 Do đó lim S = ∞ , nghĩa là chuỗi phân kỳ. n ∑ n → ∞ n = 1 n ___ 2.7. So sánh chuỗi 2.7.1. So sánh trực tiếp ∞ ∞ Mệnh đề Nếu ∑ an hội tụ và bn ≤ an với mọi n, thì chuỗi ∑bn hội tụ. n=1 n=1 n Chứng minh Ta chứng minh dãy tổng riêng { ∑bi } hội tụ. Thật vậy, với n và m bất kỳ: i=1  n+m   n  m m  ∑bi  − ∑bi  = ∑bn+i ≤ ∑ an+i .  i=1   i=1  i=1 i=1 ∞ Vì ∑ an hội tụ, từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra ngay điều cần chứng minh. n=1 ∞ (−1)n n3 Thí dụ Chứng minh chuỗi ∑ 2n hội tụ. n=1 3 ∞ 1 Ta biết chuỗi hội tụ tới 1. So sánh hai chuỗi ta có: ∑ n n=1 2 ()−1 n nn3 1 3 1 =≤ . 32nnnn33 2 ∞ (−1)n n3 Theo định lý ∑ 2n hội tụ. n=1 3 2.7.2. So sánh tỷ số ∞ ∞ Mệnh đề Cho hai chuỗi bất kỳ ∑ an và ∑bn với bn > 0 . n=1 n=1 ∞ ∞ an (i) Nếu bn hội tụ và lim 0 thì an phân kỳ. ∑ n→∞ ∑ n=1 bn n=1 37
39. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số ∞ an Chứng minh Gỉả thiết bn hội tụ và lim = α . Khi ấy tồn tại số β >α để ∑ n→∞ n=1 bn ∞ ∞ an ≤ βbn với mọi n. Chuỗi ∑bn hội tụ, và theo định lý so sánh trực tiếp ∑ an cũng hội n=1 n=1 tụ. an 1 Trong tr−ờng hợp sau, do lim > 0 ta tìm đ−ợc số n0 ≥ 1 và ε > 0 để an ≥ bn với n→∞ bn ε ∞ ∞ mọi n ≥ n0 . Nếu ∑ an hội tụ, thì ∑ an cũng hội tụ. Theo định lý so sánh trực tiếp, n=1 n=n0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∑bn hội tụ, và do đó ∑bn hội tụ, trái với giả thiết ∑bn phân kỳ. Vậy ∑ an phân n=n0 n=1 n=1 n=1 kỳ. ∞ n3 Thí dụ Xét tính hội tụ của chuỗi . ∑ 2n n=1 3 ∞ 1 n3 / 32n ∞ n3 Ta biết rằng chuỗi hội tụ. Hơn nữa lim = 0 . Do vậy hội tụ. ∑ n n→∞ n ∑ 2n n=1 2 1/ 2 n=1 3 2.7.3. Chuỗi đan dấu ∞ Chuỗi ∑ an gọi là chuỗi đan dấu nếu a2n 0 (hoặc a2n > 0, a2n+1 0. 1 2 3 n Mệnh đề Giả sử chuỗi đan dấu a − a + a − với a > 0 thỏa mãn các tính chất sau: 1 2 3 n i) Dãy { an } là dãy giảm; ii) lim an = 0 . n→∞ Khi đó chuỗi hội tụ. Chứng minh Xét các tổng riêng S 2n và S 2n+1 ta có: S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + + (a2n−1 − a2n ) , S2n+1 = S2n + a2n+1 . Nhận xét rằng { S2n } là một dãy tăng, bị chặn trên bởi a1 . Do đó S = limS2n tồn tại. n→∞ Hơn nữa lima2n+1 = 0 , nên n→∞ limS2n+1 = limS2n + lima2n+1 = S . n→∞ n→∞ n→∞ 38
40. Ch−ơng 2. Dãy số và Chuỗi số Do dãy { S2n } và dãy { S2n+1 } vét hết dãy { Sn }, chúng lại cùng có giới hạn S, nên ta kết luận lim S n = S và chứng tỏ chuỗi cho tr−ớc hội tụ. n→∞ Thí dụ Xét hội tụ của chuỗi ∞ (−1)n ∑ . n=1 n Đây là chuỗi đan dấu, thỏa mãn mọi yêu cầu của định lý, nên chuỗi hội tụ. 2.7.4. Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ Chuỗi ∑ an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∑ an hội tụ. n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ Chuỗi ∑ an hội tụ mà chuỗi ∑ an phân kỳ thì ta nói chuỗi ∑ an hội tụ không tuyệt n=1 n=1 n=1 đối. ∞ (−1)n ∞ 1 Thí dụ Chuỗi ∑ n hội tụ tuyệt đối vì chuỗi ∑ n hội tụ. n=1 2 n=1 2 ∞ (−1)n ∞ 1 Chuỗi ∑ hội tụ không tuyệt đối vì chuỗi ∑ phân kỳ. n=1 n n=1 n Mệnh đề Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. ∞ Chứng minh Xét dãy tổng riêng { Sn } của chuỗi hội tụ tuyệt đối ∑ an và dãy tổng n=1 ∞ − − riêng { Sn } của chuỗi ∑ an . Ta có Sn+m − Sn = an+1 + + an+m ≤ S n+m − S n . Vì n=1 dãy { Sn } hội tụ, nên đó là dãy cơ bản. Do vậy { Sn } cũng là dãy cơ bản và suy ra dãy ∞ { Sn } hội tụ. Chứng tỏ chuỗi ∑ an hội tụ. n=1 39
41. ___ Bài tập và Tính toán thực hành Ch−ơng 2 ___ 1. Dãy số 1.1. Câu hỏi củng cố lý thuyết Bài 1 Viết bốn số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát sau: nπ (−1)n sin 2n 1) 1+ (−1)n ; 2) ; 3) e 2 ; 4) . n +1 n! Bài 2 Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, giải thích: 1. Một dãy hội tụ thì giới nội. 2. Một dãy giới nội thì hội tụ. 3. Một dãy dần ra vô cùng thì không bị chặn. 4. Một dãy không bị chặn thì dần ra vô cùng. 5. Điều kiện cần và đủ để lim un = a là lim un+k = a với k là một số tự nhiên cố định n→∞ n→∞ nào đó. 6. Điều kiện cần và đủ để lim u = a là lim u = a với n là một dãy con của dãy n nk { 1} n→∞ nk →∞ số tự nhiên. 7. Điều kiện cần và đủ để lim un = a (a hữu hạn hoặc vô hạn) là n→∞ lim u2n = a và lim u2n+1 = a . n→∞ n→∞ Bài 3 Giả sử dãy {xn } hội tụ, dãy {yn } phân kỳ. Có thể nói gì về sự hội tụ của các dãy {}un với: 1) un = xn + yn ; 2) un = xn yn . un+1 Bài 4 Giả sử lim un = a,a ≠ 0 . Hãy chứng minh lim = 1. n→∞ n→∞ un 40
42. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 u u Với a = 0 hãy chứng minh rằng nếu lim n+1 tồn tại thì −1 ≤ lim n+1 ≤ 1. với mỗi n→∞ n→∞ un un u u q ≤ 1 hãy tìm ví dụ chỉ ra lim n+1 = q . Tuy nhiên, hãy lấy ví dụ chứng tỏ lim n+1 n→∞ n→∞ un un có thể không tồn tại. Bài 5 Tồn tại hay không giới hạn lim sinn . n→∞ Bài 6 Chứng minh các dãy sau đây là nhỏ vô cùng: 1 (−1)n 1 1) u = ; 2) u = ; 3) u = ; n n n n n n + (−1)n π 4) u = sin ; 5) u = nq n với q 0 ; 5) un = q với q > 1. Bài 8 Gọi un là số hạng tổng quát của cấp số cộng. Chứng minh rằng lim un = ∞ . Điều đó n→∞ còn đúng với cấp số nhân không? Bài 9 Chứng minh rằng nếu lim un = a thì lim un = a . Ng−ợc lại có đúng không? n→∞ n→∞ 1.2. Tính giới hạn của dãy Bài 1 Tính các giới hạn sau: n + (−1) n 5n 2 + n − 7 n lim lim lim 1) n ; 2) 2 ; 3) ; n→∞ n − (−1) n→∞ 7n − 2n + 6 n→∞ n 2 + n +1 5 − 2n 1 nπ 1 + 2 + + n lim lim cos lim 4) n+1 ; 5) ; 6) ; n→∞ 5 + 2 n→∞ n 2 n→∞ 9n 4 + 1 1 1 1 n.sin n! 7) lim( + + + ) ; 8) lim ; n→∞ 1.2 2.3 n.(n + 1) n→∞ n 2 +1 1 1 1 9) lim(1− )(1− ) (1− ) . n→∞ 22 32 n 2 Bài 2 Tìm các số thực b,c,d sao cho dãy số {an } xác định bởi công thức n + b a = (n=1,2,3 ) n cn + d thoả mãn điều kiện: 3 1 a1 = và lim an = . 8 n→∞ 2 41
43. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 Bài 3 Chứng minh a n n k 1) lim = 0 . 2) lim = 0 (a >1) . n→∞ n! n→∞ a n 3) lim n n =1. 4) lim n n! = ∞ . n→∞ n→∞ 1.3. Dãy đơn điệu và dãy bị chặn 2n2 +1 Bài 1 Chứng minh dãy un = là dãy đơn điệu tăng. Tìm lim un . 3n2 + 2 n→∞ Bài 2 Cho a và b là hai số d−ơng (a < b). Hai dãy số {un } và {vn } đ−ợc xác định nh− sau: v + u u = a,v = b,u = u v ,v = n n . 0 0 n+1 n n n+1 2 Chứng minh rằng a + b lim un = lim vn = . n→∞ n→∞ 2 Bài 3 Tìm giới hạn của các dãy sau: 1) 0,3; 0,33; 0,333; ; 2) 2; 2 2 ; 2 2 2 ; Bài 4 Tìm tất cả những a0 thuộc  sao cho dãy {an } xác định bởi công thức n an+1 = 2 − 3an , n là số tự nhiên, là dãy số tăng. 1 Bài 5 Chứng minh rằng dãy x = (1+ )n , n = 1,2, đơn điệu tăng và bị chặn trên, còn n n 1 dãy x = (1+ )n+1 , n = 1,2, đơn điệu giảm và bị chặn d−ới. Suy ra n n lim xn = lim yn = e . n→∞ n→∞ Bài 6 Chứng minh rằng một dãy đơn điệu sẽ hội tụ nếu nó có một dãy con hội tụ. 1.4. Tiêu chuẩn Cauchy Bài 1 Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau bằng tiêu chuẩn Cauchy: sin1 sin 2 sin n cos1! cos 2! cos n! 1) x = + + + ; 2) x = + + + ; n 2 22 2n n 1.2 2.3 n(n +1) 1 1 1 3) x = 1+ + + + . n 22 32 n2 Bài 2 Dùng tiêu chuẩn Cauchy, hãy chứng minh sự phân kỳ của các dãy sau: 1 1 1 1 1 1 1) xn = 1+ + + + ; 2) xn = + + + . 2 3 n ln 2 ln 3 ln n 42
44. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 1.5. Giới hạn trên, giới hạn d−ới Bài 1 Chứng minh rằng lim xn + lim yn ≤ lim(xn + yn ) ≤ lim xn + lim yn ≤ lim(xn + yn ) ≤ lim xn + lim yn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ có các dấu bất đẳng thức thật sự. Bài 2 Chứng minh rằng nếu lim xn tồn tại thì với mọi dãy {yn }ta luôn có n→∞ 1) lim(xn + yn ) = lim xn + lim yn ; n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim(xn .yn ) = lim xn . lim yn . n→∞ n→∞ n→∞ Ng−ợc lại, cho tr−ớc dãy {xn }, nếu với mỗi dãy {yn } ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đ−ợc thoả mãn 1') lim(xn + yn ) = lim xn + lim yn ; n→∞ n→∞ n→∞ 2') lim(xn .yn ) = lim xn . lim yn (xn ≥ 0) n→∞ n→∞ n→∞ thì dãy {}xn hội tụ. 1 Bài 3 Chứng minh rằng nếu xn > 0 và lim xn . lim = 1 thì dãy {xn } hội tụ. n→∞ n→∞ xn Bài 4 Tìm giới hạn trên và giới hạn d−ới của các dãy sau: 1 3 n nπ 1) x = 1− ; 2) x = (−1)n (2 + ) ; 3) x = 1+ cos . n n n n n n +1 2 1.6. Bài tập nâng cao Bài 1 Chứng minh rằng với mỗi số n nguyên d−ơng cho tr−ớc ph−ơng trình x(2n+1) = x +1 có đúng một nghiệm thực xn . Tìm lim xn . n→∞ 2 n xn xi Bài 2 Cho dãy số đ−ợc xác định bởi x1 = 1,xn+1 = + xn với mọi n > 1. Tìm lim . n→∞ ∑ 1997 i=1 xi+1 Bài 3 Dãy số bị chặn thoả mãn điều kiện: 2xn+2 ≤ xn + xn+1 với mọi n > 1 có nhất thiết hội tụ không? a Bài 4 Trong dãy số d−ơng, a hoặc bằng n−1 hoặc bằng a . Dãy số này có thể có giới n 2 n−1 hạn thuộc khoảng (0,1) không? 43
45. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 n ∏ f (2i −1) 2 2 i=n 1 Bài 5 Cho f (n) = (n + n +1) +1 và an = . Chứng minh rằng lim nan = . n n→∞ 2 ∏ f (2i) i=1 Bài 6 Cho số tự nhiên 3 ≤ c . Dãy số tự nhiên {an } đ−ợc xây dựng nh− sau: an−1  a1 = c, an = an−1 −   +1, n = 2,3 ([x] là ký hiệu số nguyên lớn nhất không v−ợt  2  quá x). Chứng minh lim an = 3 . n→∞ Bài 7 Cho số thực a thuộc khoảng (0,1). Dãy số {xn } đ−ợc xác định bởi công thức  π  4arccos x +  + arcsin x n−1 2 n−1 x = a,x =   ,n = 1,2, 0 n π 2 Chứng minh rằng dãy {}xn có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Bài 8 Cho số thực a. Dãy {xn } đ−ợc xác định bởi công thức: ()−n xaxx01==−, nn+ 2 với mọi n=0,1, Chứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn hữu hạn và hãy tìm giới hạn ấy.  π  Bài 9 Cho dãy x1 = cos ,xn+1 = 3xn −1. Tìm lim xn .  9  n→∞ x 2 Bài 10 Cho dãy số {x } thoả mãn 1 < x < 2 và x = 1+ x = n với mọi 1 ≤ n . n n n+1 n 2 Chứng minh rằng dãy {xn } hội tụ. Tính giới hạn của dãy. Bài 11 Cho dãy số {xn } đ−ợc xác định nh− sau: 1 x1 =1 , xn+1 = . 2 2 1− 1− xn Chứng minh rằng tồn tại lim xn . Hãy tìm giới hạn đó. n→∞ ___ 2. Chuỗi và tổng của chuỗi 2.1. Chứng minh trực tiếp sự hội tụ của các chuỗi sau và tính tổng ∞ 1 Bài 1 ∑ . n=1 (3n − 2)(3n + 2) ∞ 3n 2 + 3n +1 Bài 2 ∑ 3 3 . n=1 n (n +1) 44
46. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 ∞ Bài 3 ∑( n + 2 − 2 n +1 + n) . n=1 2.2. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi bằng dấu hiệu so sánh và tính tổng các chuỗi hội tụ ∞ 1 Bài1 ∑ 2 . n=1 n + 3 ∞ n +1 Bài 2 ∑ . n=1 (n + 2)n ∞ n + 2 Bài 3 ∑ . n=1 (n +1) n ∞ 1 Bài 4 ∑ n . n=1 n2 n  1  1+  ∞  n  Bài 5 ∑ 2 . n=1 n ∞ 2n + n Bài 6 ∑ n . n=1 3 ∞ sin 2 n Bài 7 ∑ 2 . n=1 n 2.3. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi bằng tiêu chuẩn Cauchy ∞ n Cho chuỗi số d−ơng un , giả sử lim n = C . ∑ n→∞ n=1 1) Nếu C 1 thì chuỗi phân kỳ; 3) Nếu C = 1 thì ch−a có kết luận về sự hội tụ của chuỗi. Hãy chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau theo tiêu chuẩn Cauchy: ∞ 1 1 2 Bài 1 n ∑ n (1+ ) . n=1 2 n ∞ n +1 Bài 2 ∑ ( ) n(n+1) . n=2 n −1 45
47. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 ∞ n n Bài 3 . ∑ lnn n n=1 2 2.4. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi bằng tiêu chuẩn D′Alembert ∞ un+1 Cho chuỗi số d−ơng un , giả sử lim = D . ∑ n→∞ n=1 un 1) Nếu D 1 thì chuỗi phân kỳ; 3) Nếu D = 1 thì ch−a có kết luận về sự hội tụ của chuỗi. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert hãy xét sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ (n!)2 Bài 1 . ∑ (n2 ) n=1 2 ∞  n 3i +1  Bài 2 ∑∏  . n=1  i=1 4i − 2  ∞  n sin 2 ka  Bài 3 nx  . ∑ ∏ 2 2  n=1  k=1 1+ x + cos ka  2.5. Bài tập nâng cao Tính các tổng sau: ∞ n3 ( 2 + (−1)n )n Bài 1 ∑ n . n=1 3 ∞ n!en Bài 2 ∑ (n+ p) . n=1 n ∞ n! Bài 3 ∑ n . n=1 ∏(2 + i) i=1 ∞  n  Bài 4 ∑∏( p + i −1) . n=1  i=1  p  n   (2i −1)  ∞ ∏   1 Bài 5 i=1 . ∑ n  p n=1 n  ∏2i   i=1  46
48. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 n n  1    1   1+  1+ −   ∞  n    2   Bài 6 . ∑ n2 n=1 2 ∞ ln n Bài 7 ∑ 2 . n=1 n ∞ 1 Bài 8 ∑ . n=1 n ln n ∞ Bài 9 Tìm x để chuỗi ∑sin nx là hội tụ. n=1 ∞ Bài 10 Tìm x để chuỗi ∑cosnx là hội tụ. n=0 Bài 11 Dãy {bn } có tính chất: 0 " ta đ−a vào dòng lệnh có cú pháp d−ới đây (trong đó a[n] là số hạng tổng quát của dãy) [> limit(a[n],n=infinity); Chú ý đừng quên dấu chấm phẩy (;) ở cuối dòng lệnh. Sau dấu này ấn phím "Enter" thì việc tính giới hạn của dãy sẽ đ−ợc thực hiện và ta sẽ có ngay đáp số. Thí dụ Tính giới hạn lim n( n +1 − n) n→∞ [> limit(sqrt(n)*(sqrt(n+1)-sqrt(n)),n=infinity); 1 2 Muốn có đ−ợc biểu thức hiển về giới hạn của dãy, ta vào lệnh sau: [> Limit(a[n],n=infinity); Chú ý Chỉ việc thay chữ cái "L" vào "l" trong từ "limit". Thí dụ [> Limit(sqrt(n)*(sqrt(n+1)-sqrt(n)),n=infinity); 47
49. Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 2 ấn phím "Enter" sau dấu chấm phẩy (;) ở cuối dòng lệnh,máy sẽ hiện biểu thức cần tính giới hạn: lim n( n +1 − n) n→∞ Sau đó đánh lệnh [> value("): 1 máy sẽ hiện đáp số: 2 Để cho công việc đ−ợc mô tả một cách t−ờng minh hơn (và sẽ tránh đ−ợc nhầm lẫn đối với các bài toán cồng kềnh) ta hãy tiến hành qua các b−ớc sau: B−ớc 1: Gán tên cho số hạng tổng quát của dãy bằng lệnh: [> a[n]:=sqrt(n)*(sqrt(n+1)- sqrt(n)); ấn phím "Enter" sau dấu chấm phẩy (;) ở cuối dòng lệnh,máy hiện số hạng tổng quát của dãy số: an := n( n +1 − n) B−ớc 2: Đánh lệnh: [> limit(a[n],n=infinity); ấn phím "Enter" sau dấu chấm phẩy (;) ở cuối dòng lệnh,máy hiện đáp số: 1 2 3.2. Tính tổng của chuỗi Để thực hành việc tính tổng của k số hạng đầu của một chuỗi số, hãy vào dòng lệnh có cú pháp d−ới đây: [> sum(a[n], n=1 k); (trong đó a[n] là số hạng tổng quát của tổng). Muốn tính giá trị của chuỗi có số hạng tổng quát là a[n] thì ta cũng làm t−ơng tự nh− trên, chỉ khác ở chỗ ta thay k bằng infinity, tức là đ−a vào dòng lệnh sau: [> sum(a[n], n=1 infinity) ; Sau dấu chấm phẩy (;) ta ấn phím "Enter" thì việc tính tổng sẽ đ−ợc thực hiện và ta sẽ có đáp số . Thí dụ [> sum(1/(n^2),n=1 10); 1968329 1270080 [> sum(1/(n^2),n=1 infinity); 1 π 2 6 Muốn có biểu thức t−ờng minh của chuỗi, hãy thao tác nh− trong phần giới hạn của dãy. 48
50. Ch−ơng 3 ___ Tôpô trên trục số thực ___ 3.1. Tập đóng, tập mở 3.1.1. Tập đóng Cho A ⊆ . Ta nói A là tập đóng nếu mọi dãy hội tụ trong A có giới hạn thuộc A. Thí dụ Với a,b∈, a < b thì đoạn [a,b]:= { x : a ≤ x ≤ b } là tập đóng vì nếu an ∈[a,b] và liman = z , ta có a ≤ an ≤ b , do đó a ≤ z ≤ b ; Trong khi đó khoảng (a,b):={ x : a < x < b } không phải là tập đóng vì dãy b − a a = a + ∈(a,b) , nh−ng a = lim a ∉(a,b) . n n +1 n 3.1.2. Tập mở Ta nói A ⊆ là tập mở nếu \ A là tập đóng. Thí dụ Với a,b∈, a < b thì khoảng (a,b) là tập mở vì \ (a,b) = { x : x ≤ a hoặc x ≥ b } là tập đóng. Chú ý Có những tập vừa đóng, vừa mở nh− tập và tập rỗng. Có những tập không mở và không đóng nh− nửa đoạn (a,b]:={x : a < x ≤ b} hoặc [a,b) :={x : a ≤ x < b}. Bổ đề Tập A ⊆ là mở khi và chỉ khi cho điểm x ∈ A bất kỳ ta có thể tìm thấy số tự nhiên n 1 1 sao cho khoảng (x − ,x + ) nằm gọn trong A. n n Chứng minh ()⇒ Dùng phản chứng. Giả sử A mở, nh−ng có x0 ∈ A để với mọi n, 1 1 1 1 đoạn (x − ,x + ) không nằm trọn trong A, tức là tìm đ−ợc a ∈ (x − ,x + ) và 0 n 0 n n 0 n 0 n an ∉ A. Vậy an ∈ \ A. Hơn nữa x0 = liman mà x0 ∉ \ A. Điều này chứng tỏ \ A không đóng, trái với giả thiết A mở. (⇐) Ta sẽ chứng minh \ A đóng nếu nh− điều kiện nêu ra ở bổ đề thỏa mãn. Thực vậy, cho { an } là dãy trong \ A hội tụ tới x0 . Khi đó theo định nghĩa giới hạn với 1 1 mọi n sẽ tìm đ−ợc m để a ∈(x − , x + ) khi m ≥ m . 0 m 0 n 0 n 0 Điều này chứng tỏ x0 ∉ A và do đó x0 ∈ \ A, vậy \ A đóng. 49
51. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực 3.1.3. Tính chất Mệnh đề Giao hữu hạn tập mở là mở và hợp của họ bất kỳ tập mở là mở. k Chứng minh Cho A1, , Ak là những tập mở trong . Nếu A = ∩ Ai là rỗng thì dĩ i=1 nhiên A mở. Nếu A khác rỗng, lấy x ∈ A bất kỳ. Theo bổ đề, tồn tại n1 , , nk sao cho 1 1 1 1 (x − , x + ) ⊆ Ai , i = 1, , k . Chọn n0 = max{ n1, nk }. Khi ấy (x − ,x + ) ⊆ A . ni ni ni ni Theo bổ đề, A mở. Bây giờ cho { Aα : α ∈ I } họ tập mở trong (ở đây tập chỉ số I có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Ký hiệu A = ∪ Aα . Lấy x ∈ A bất kỳ. Khi ấy tồn tại α ∈ I α∈I 1 1 để x∈ A . Vì A mở, theo bổ đề ta tìm đ−ợc n để (x − , x + ) ⊆ A . Do vậy α α n n α 1 1 (x − , x + ) ⊆ A, và lại theo bổ đề, A mở. n n Mệnh đề Hợp hữu hạn tập đóng là đóng và giao của họ bất kỳ tập đóng là đóng. Chứng minh Cho A1, , Ak là những tập đóng trong . Khi ấy k k \ (∪ Ai ) = ∩ ( \ Ai). i=1 i=1 k k Ta có \ Ai mở. Theo mệnh đề trên, ∩( \ Ai) mở, do vậy ∪ Ai đóng. T−ơng tự, i=1 i=1 cho { Bα : α ∈ I } là họ tập đóng. Ta có \ ( ∩ Bα ) = ∪ ( \ Bα). Vì \ Bα mở, theo α∈I α∈I mệnh đề trên, ∪ ( \ Bα) mở, và do đó ∩ Bα đóng. α∈I α∈I Chú ý a) Giao vô hạn tập mở không nhất thiết là mở. 1 1 ∞ Thí dụ với An=(- , 1+ ) thì ∩ An=[0,1] là tập đóng. n n n=1 b) Hợp vô hạn tập đóng không nhất thiết là đóng. 1 1 ∞ Thí dụ với thì A = (0,1) là tập mở. An = [ , 1− ] ∪ n n n n=2 ___ 3.2. Tôpô 3.2.1. Tôpô trên Tôpô trên là họ A của các tập trong thỏa mãn những tính chất sau: i) Giao của hai phần tử của A thuộc A. ii) Hợp của họ bất kỳ các phần tử của A thuộc A. iii) A chứa và ∅ . Các phần tử của A th−ờng đ−ợc gọi là tập A - mở. 50
52. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực Thí dụ a) A ={A : A là tập mở trong } là một tôpô trên (Theo Mệnh đề 2). b) A = { và ∅ } là một tôpô trên . Đây là tôpô tầm th−ờng. c) A ={A : A là tập con của } là một tôpô trên . Đây là tôpô rời rạc. d) A ={A : A là tập đóng trong } không phải là tôpô trên vì (ii) không thỏa mãn. Tôpô thông dụng nhất trên là tôpô trong Thí dụ a) và trong giáo trình ta chỉ nói đến tôpô này. 3.2.2. Lân cận Định nghĩa Tập U ⊆ đ−ợc gọi là lân cận của x nếu trong U có một tập mở chứa x. Thí dụ U = {x : −1≤ x ≤1} là lân cận của điểm O nh−ng không phải là lân cận của điểm -1. Mệnh đề Tập A ⊆ mở khi và chỉ khi mọi điểm của A đều có lân cận nằm trọn trong A. Chứng minh Giả thiết A mở. Theo bổ đề , với mọi x ∈ A ta tìm đ−ợc n ≥ 1 sao cho 1 1 1 1 (x − ,x + ) ⊆ A . Tập (x − ,x + ) là một lân cận của x nằm trọn trong A. n n n n Ng−ợc lại, lấy x ∈ A bất kỳ. Khi đó có lân cận U của x nằm trọn trong A. Theo định nghĩa U chứa tập mở V để x ∈V . Theo bổ đề, tồn tại n để 1 1 (x − ,x + ) ⊆ V ⊆ U ⊆ A . n n Cũng theo bổ đề trên ta kết luận A mở. 3.2.3. Điểm tụ Điểm x∈ gọi là điểm tụ của tập A ⊆ nếu mỗi lân cận của x đều chứa điểm của A khác với x. 1 Thí dụ a) A= { x : x = ,n =1,2 } thì điểm 0 là điểm tụ của A. n b) A = (1, 2) thì mọi điểm x với 1≤ x ≤ 2 là điểm tụ của A. Mệnh đề Tập A ⊆ đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm tụ của nó. Chứng minh Giả thiết A đóng và x là điểm tụ của A. Khi ấy với mỗi n ≥ 1, ta có 1 1 (x − ,x + ) ∩ A ≠ ∅ . Chọn a bất kỳ trong tập giao này. Dãy {a } hội tụ tới x. n n n n Vì A đóng nên x ∈ A. Ng−ợc lại, cho { an } ⊆ A là dãy bất kỳ hội tụ tới x. Khi ấy, hoặc là x trùng với một trong các phần tử của dãy và suy ra x ∈ A, hoặc là x khác mọi an . Trong tr−ờng hợp sau mọi lân cận của x đều chứa vô số phần tử của dãy khác x, do đó x là điểm tụ của A. Theo giả thiết x ∈ A và ta kết luận A đóng. 51
53. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực 3.2.4. Cơ sở lân cận Họ U các tập mở trong đ−ợc gọi là cơ sở lân cận trong nếu với mỗi x∈ và mỗi lân cận V của x ta có thể tìm đ−ợc U∈ U sao cho x ∈U ⊆ V . 1 1 Thí dụ a) U :={ (x − , x + ) , x ∈ , n=1,2,3, } là cơ sở lân cận trong . Thật vậy, giả n n sử x ∈ và V là một lân cận của x trong . Theo định nghĩa sẽ tìm đ−ợc tập mở  1 1  U⊆ V chứa x. Theo bổ đề tồn tại n sao cho khoảng  x − , x +  ⊆ U ⊆ V . Chứng  n n  tỏ U là cơ sở lân cận trong . 1 1 b) U :={ (x − , x + ) , x ∈ , n=1,2,3, } cũng là cơ sở lân cận trong . Thật vậy, n n t−ơng tự nh− trong thí dụ trên, cho x ∈ và V là một lân cận của x trong . Theo định nghĩa sẽ tìm đ−ợc tập mở U ⊆ V chứa x. Theo bổ đề tồn tại n sao cho  1 1   x − , x +  ⊆ U ⊆ V .  n n   1 1  Nếu x ∈ thì khoảng  x − , x +  là phần tử của họ U. Nếu x ∉ theo tính trù mật  n n  1 1 và do x < x + , tìm đ−ợc số c ∈ sao cho x < c < x + . Khi đó đoạn 2n 2n  1 1  c − ,c +  ⊆U ⊆V và là phần tử của họ U chứa x. Nh− vậy U là cơ sở lân cận trong .  n n  Mệnh đề Trong tồn tại cơ sở lân cận đếm đ−ợc. Chứng minh Thật vậy, trong Thí dụ b) trên đây ta thấy là tập đếm đ−ợc nên cơ sở lân cận đó đếm đ−ợc. ___ 3.3. Tập Compact 3.3.1. Tập compact Tập A ⊆ gọi là compact nếu mọi dãy trong A đều chứa dãy con hội tụ có giới hạn trong A. Thí dụ a) Nếu A chứa hữu hạn phần tử, thì A là tập compact. Thật vậy, cho { an } là dãy trong A. Vì số phần tử A hữu hạn, sẽ có ít nhất một phần tử a ∈ A sao cho có vô hạn phần tử trong dãy trùng với nó. Các phần tử này lập thành một dãy con hội tụ tới a ∈ A . 1 b) A={ x : x = , n =1,2, }∪{0} là tập compact. Thật vậy, A chứa một dãy hội tụ và n điểm giới hạn của dãy (là {0}). Cho nên, mọi dãy trong A hoặc là chỉ chứa hữu hạn phần tử của A, hoặc là chứa một dãy con của dãy hội tụ. Dễ thấy rằng trong cả 2 tr−ờng hợp nó đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử nào đó trong A. 52
54. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực 1 c) A={ x : 0 < x ≤1} không compact vì dãy { } hội tụ tới 0 ∉ A. n d) A={ x : x ≥ 0 } không compact vì dãy {n} không có một dãy con nào hội tụ cả. 3.3.2. Tính chất Định lý Tập A ⊆ là compact khi và chỉ khi A đóng và giới nội. Chứng minh Giả thiết A compact. A phải giới nội vì nếu không sẽ có dãy {an} ⊆ A với liman =∞ hoặc liman = −∞ . Trong cả hai tr−ờng hợp {an } không chứa dãy con hội tụ. Tập A đóng vì mọi dãy hội tụ sẽ có giới hạn trong A. Ng−ợc lại, nếu A giới nội thì mọi dãy trong A đều giới nội và do đó, theo Định lý Bolzano-Weierstrass, sẽ có điểm tụ, tức là có dãy con hội tụ. Nếu A đóng thì giới hạn thuộc A. Do vậy A compact. Mệnh đề Hợp hữu hạn các tập compact là compact; và giao của họ bất kỳ các tập compact là compact. Chứng minh Vì hợp hữu hạn các tập đóng là đóng và hợp hữu hạn các tập giới nội là giới nội, nên áp dụng Định lý 1 ta có ngay kết quả. Đối với giao của họ bất kỳ các tập compact phép chứng minh hòan toàn t−ơng tự. 3.3.3. Phủ Cho U là họ bất kỳ các tập mở trong . Ta nói U là phủ của tập A ⊆ nếu mỗi điểm của A đều nằm trong một phần tử nào đó của U. Cho U và U' là các phủ của A. Nếu U' ⊆ U, ta nói U' là phủ con của U . 1 1 Thí dụ a) Với A = [0,1] , họ U ={(− ,1 + ) : n =1,2, } là một phủ của A. Họ 1 n n 1 1 U ={(− ,1 + ) : n =1,2, } cũng là phủ của A, đồng thời là phủ con của U . 2 2n 2n 1 b) Với A = , họ U1 ={(−n, n) : n =1,2, } là phủ của A. Nh−ng họ U2 ={(n, n +1) : n = ±1,±2, } không phải là phủ của A. Bổ đề Nếu U là phủ bất kỳ của tập A ⊆ thì U có một phủ con đếm đ−ợc (của A). Chứng minh Nếu U = {Uα :α ∈ I}hữu hạn thì đó là phủ đếm đ−ợc của A. Giả thiết U vô hạn. Lấy một cơ sở lân cận đếm đ−ợc bất kỳ {Vn : n =1,2, } trong . Với mỗi n, lấy α =α(n)∈ I sao cho Vn ⊆ Uα (n) (nếu có) và ký hiệu I 0 là tập các chỉ số α(n) này. Khi ấy I 0 đếm đ−ợc và ta chứng minh {Uα :α ∈ I 0 } phủ A. Thực vậy, cho x ∈ A , do định nghĩa của phủ ta tìm đ−ợc α ∈ I sao cho x ∈Uα . Theo định nghĩa của cơ sở lân cận thì tồn tại n để x ∈Vn ⊆ Uα . Điều này có nghĩa là có α =α(n)∈ I 0 để Vn ⊆ Uα (n) , do đó x∈Uα (n) . 53
55. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực Định lý Tập A ⊆ là compact khi và chỉ khi mọi phủ của A đều chứa một phủ con hữu hạn. Chứng minh Giả thiết A compact và U là phủ của A. Nếu U hữu hạn thì đó là phủ con hữu hạn cần tìm. Nếu U vô hạn, theo bổ đề ta có thể giả thiết U đếm đ−ợc, tức là ta có U = {Ui:i = 1,2, }. Nếu với mọi k, họ {U1, ,U k } không phủ A thì ta tìm đ−ợc k xk ∈ A \{∪U i }. Vì A compact ta trích đ−ợc dãy con { xk(n) } hội tụ tới một phần tử i=1 xo ∈ A . Giả sử Um chứa xo . Khi ấy sẽ có N đủ lớn để xk(n) ∈U m ,∀n > N . Ngoài ra, do tập điểm {xk (1) , xk (2) , xk (n) } là hữu hạn ta tìm đ−ợc số L đủ lớn để L M {xk(1) , , xk(n) } ⊆ ∪U i . Lấy M = max{L,m} ta sẽ có {xk(n) } ⊆ ∪U i . Điều này mâu i=1 i=1 thuẫn với việc lựa chọn xk(n) . Do vậy phải tìm đ−ợc số k để {U1, ,U k } phủ A. Ng−ợc lại, giả thiết điều kiện về phủ của định lý đúng. Ta chứng minh A compact. Tr−ớc hết ta chỉ ra rằng A giới nội. Muốn thế, lấy { an } là dãy tất cả các số hữu tỷ. Khi đó họ {U n = (an −1,an +1):n =1,2, } phủ , do đó phủ A. Theo điều kiện, sẽ tìm đ−ợc k để {U1, ,U k } phủ A. Khi đó A sẽ bị giới nội bởi số max{ an +1:n =1,2, ,k }. Theo định lý ở phần trên, ta chỉ còn phải chứng minh A đóng. Bằng phản chứng giả sử A không đóng ta sẽ tìm đ−ợc dãy { xn } ⊆ A hội tụ tới xo ∉ A . Có thể xem nh− các phần tử của dãy là khác nhau. Xét họ {U k : k =1,2, } trong đó Uk = R \ ({xn:n = k +1,k + 2, }∪ { xo }). Đây là họ các tập mở trong . Họ này là phủ của A. Thật vậy, với x ∈ A bất kỳ, ta có hoặc x ∉{xn} khi ấy x ∈U k với mọi k, hoặc x = xm nào đó, khi ấy x∈U m . Dễ thấy với mọi k, họ {U1, ,U k } không thể nào phủ A đ−ợc. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy A đóng. Theo định lý trên, A compact. ___ 3.4. Nguyên lý giao của họ các tập compact 3.4.1. Nguyên lý Cho {Aα : α ∈ I} là họ bất kỳ các tập khác rỗng trong . Ta nói họ này có tính chất giao hữu hạn nếu với mọi bộ hữu hạn chỉ số α1, ,α n ∈ I , n ta có A ≠ ∅ . ∩ α i i=1 Định lý Cho {Aα : α ∈ I} là họ các tập compact khác rỗng có tính chất giao hữu hạn. Khi đó ∩ Aα ≠ ∅ . α∈I 54
56. Ch−ơng 3. tô pô trên trục số thực Chứng minh Cố định α 0 ∈ I và đặt Uα = \ Aα. Giả sử ∩ Aα ≠ ∅ , khi đó α∈I {Uα : α ∈ I} là phủ của vì Uα mở và ∪ Uα = ∪ ( \ Aα) = \ ( ∩ Aα ) = . α∈I α∈I α∈I Do vậy {U : α ∈ I} phủ A . Theo định lý phủ tập compact, ta có thể trích đ−ợc hữu α α0 hạn phần tử U , ,U để tạo thành phủ A . Nh− vậy α1 α k α0 k k k A ⊆ U = ( \ A ) = \ ( A ) . α0 ∪ αi ∪ αi ∩ αi i=1 α =1 i=1 Nghĩa là A ∩ A ∩ ∩ A = ∅ . Điều này là mâu thuẫn với tính chất giao hữu hạn α0 α1 αk của họ {Aα : α ∈ I}. Vậy ∩ Aα ≠ ∅ . α∈I 3.4.2. ứng dụng Hệ quả Cho tr−ớc họ vô hạn các đoạn {[an ,bn ]: n =1,2, } lồng nhau (nghĩa là [an ,bn ] ⊆ [an−1 ,bn−1 ] , n = 2,3, ). Khi ấy ta có ∞ ∩[an ,bn ] ≠ ∅ . n=1 Chứng minh Nhận xét rằng họ trên là họ các tập compact. Họ này có tính chất giao hữu hạn vì giao của mọi họ hữu hạn các đoạn này sẽ là đoạn có chỉ số cao nhất (trong họ) và do đó là khác rỗng. Theo nguyên lý giao của họ tập compact suy ra điều cần chứng minh. 55
57. ___ Bài tập Ch−ơng 3 ___ 1. Tập mở, tập đóng 1 1 ∞ Bài 1 Cho En = [,],,, n = 12 Chứng minh rằng ∪ En là một tập không đóng. 21nn+ 2 n=1 Bài 2 Bao đóng của A là tập gồm các điểm thuộc A và các điểm tụ của nó. Ký hiệu bao đóng của A là [A]. Hãy chứng minh: 1) Bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. 2) Bao đóng của bao đóng của A là bao đóng của A : [[AA ]]= [ ]. 3) Nếu A ⊂ B thì [A] ⊂ [B]. 4) [A ∪ B] = [A] ∪ [B]. Bài 3 Giả sử A là tập mở trong . Chứng minh rằng với mọi B thuộc ta đều có bao hàm thức A ∩ [B] ⊂ [A ∩ B]. Bài 4 Tìm những ví dụ về hai tập A,B trong sao cho cả bốn tập A ∩ [B], [A] ∩ B, [A] ∩ [B] và [A ∩ B] đều khác nhau. Bài 5 Tìm ví dụ hai tập A, B trên , sao cho A ∩ [B] không chứa trong [A ∩ B]. ___ 2. Điểm tụ  1  Bài 1 Tìm tất cả các điểm tụ của tập E =− ,n =12 , ,  ∪∪ ( 12 , ] {} 3 .  n  1 n 1 n Bài 2 Chứng minh rằng tập X = { + ; − }, n ∈ N chỉ có hai điểm tụ là 0 và 1. 2 2n +1 2 2n +1 Bài 3 Dãy {xn} đ−ợc xác định nh− sau: x1 = a là một điểm bất kỳ trong đoạn [0,1] và x −1 1+ x x = n khi n chẵn và x = n−1 khi n lẻ. Hỏi dãy {x } có bao nhiêu điểm tụ ? n 2 n 2 n 56
58. Bài tập Ch−ơng 3 Bài 4 Một dãy {an} thoả mãn điều kiện: lim(an + an+1 ) = 0 . Chứng minh rằng dãy {an} n→∞ hoặc có không nhiều hơn 2, hoặc có vô hạn điểm tụ. Bài 5 Hãy xây dựng một dãy các phần tử khác nhau mà mỗi số hạng của dãy là một điểm tụ. Tập phần tử của một dãy nh− trên có thể là tập đóng hay không? Bài 6 Hãy chứng minh tập bao gồm các phần tử của một dãy bất kỳ và các điểm tụ của nó không thể là tập mở. Bài 7 Khảo sát tính hội tụ của một dãy chỉ có một điểm tụ (xét tr−ờng hợp dãy giới nội và tr−ờng hợp không giới nội). Bài 8 Một điểm của một tập đ−ợc gọi là cô lập nếu tồn tại một lân cận mà trong đó không có điểm nào khác của tập ngoài điểm đã cho. Hãy chứng minh rằng một dãy có vô hạn điểm tụ cô lập không thể giới nội. ___ 3. Tập compact Bài 1 Cho a và b là hai số d−ơng (a < b). Hai dãy số {un}và {vn} đ−ợc xác định nh− sau: v + u u = a, v = b, u = u v , v = n n . o o n+1 n n n+1 2 Chứng minh rằng lim un = lim vn . n→∞ n→∞ Bài 2 Hãy tìm tất cả các tập compact trong khi trang bị cho một trong những tôpô sau: i) Tôpô tầm th−ờng (chỉ có và ∅ là những tập mở); ii) Tôpô rời rạc (mỗi điểm của là tập mở); iii) Tôpô thông th−ờng (tôpô với cơ sở lân cận là các khoảng). Bài 3 Nếu hợp vô hạn của các tập compact là tập đóng (hay giới nội) thì tập hợp này có compact không? Giải thích vì sao. Bài 4 Cho {}Ann :,, = 12 là họ các tập compact trong . Giả sử tìm đ−ợc số k ≥ 3 để với n mọi bộ k số nn,, , nta có A ≠ φ . Hỏi rằng họ này có điểm chung hay 12 k ∩ ni i=1 không? Vì sao? 57
59. Bài tập Ch−ơng 3 Bài 5 Tìm thí dụ một tập đóng, không giới nội có phủ vô hạn nh−ng từ đó không thể trích ra đ−ợc một phủ con hữu hạn. Tìm thí dụ một tập không đóng, giới nội có phủ vô hạn nh−ng từ đó không thể trích ra đ−ợc một phủ con hữu hạn. Bài 6 Hãy chỉ ra vì sao trục số (với tôpô thông th−ờng) lại không compact. Nếu nh− ta mở rộng một cách hình thức bằng việc thêm hai điểm, ký hiệu là −∞ và +∞ có tính chất sau: −∞ −n }. Hãy chứng minh rằng với tôpô vừa nêu trên là tập compact. 58
60. Ch−ơng 4 ___ Hàm số ___ 4.1. Khái niệm hàm số Cho X và Y là hai tập con khác rỗng của tập số thực . Phép ứng f từ X vào Y đ−ợc gọi là hàm số trên X. Ta viết y = f (x) có nghĩa y là giá trị (trong Y) ứng với x (trong X ). Ng−ời ta gọi x là biến độc lập (hay đối số) và y là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm số f tại x. Tập X đ−ợc gọi là miền xác định của hàm số f. Tập R f := {y ∈Y /∃x ∈ X :f (x) = y} đ−ợc gọi là miền giá trị (hay tập ảnh) của hàm f. Miền giá trị không nhất thiết bằng toàn bộ Y. Với mỗi x ∈ X có thể có nhiều giá trị y của Y sao cho y = f (x), khi ấy ta nói f là một hàm đa trị. Nếu với mỗi x ∈ X chỉ có duy nhất một giá trị của y ∈ Y sao cho y = f (x) thì ta nói f là một hàm đơn trị. Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm, ta chỉ xét f là một hàm đơn trị. ___ 4.2. Các ph−ơng pháp biểu diễn hàm số Muốn xác định hàm số ta phải chỉ ra miền xác định X ⊆ và quy tắc (phép ứng) f. Hàm số th−ờng đ−ợc xác định theo một trong ba ph−ơng pháp sau đây: 4.2.1. Ph−ơng pháp giải tích Nếu f đ−ợc cho bởi một biểu thức giải tích thì ta nói hàm số đ−ợc cho bằng ph−ơng pháp giải tích. Trong tr−ờng hợp này, miền xác định của hàm số là tập tất cả những giá trị của đối số sao cho biểu thức có nghĩa. 1 Thí dụ Hàm số y = x −1 + có miền xác định là x − 2 { x ∈ : x ≥ 1, x ≠ 2}. Bài toán tìm miền xác định của hàm số th−ờng đ−ợc đ−a về việc giải một hay nhiều hệ ph−ơng trình và bất ph−ơng trình. 59
61. Ch−ơng 4. Hàm số Chú ý Đôi khi miền xác định của hàm số đ−ợc ghép thành từ nhiều khúc, và trên mỗi khúc hàm số đ−ợc cho bởi một biểu thức giải tích riêng. Những hàm nh− vậy còn đ−ợc gọi là hàm xác định từng khúc, hay đơn giản là hàm từng khúc. Thí dụ Hàm dấu y= sign(x) (đôi khi viết là sgn(x), đọc là: signum của x) là một hàm từng khúc, xác định nh− sau: −1 khi x 1 4.2.2. Ph−ơng pháp bảng Trong tự nhiên cũng nh− trong kỹ thuật, nhiều khi quan hệ hàm giữa hai đại l−ợng đ−ợc thiết lập qua thực nghiệm hoặc quan sát tại những thời điểm (hoặc vị trí) nào đó. Thí dụ, số đo nhiệt độ tại một điểm xác định nào đó là một đại l−ợng phụ thuộc vào thời gian. Những giá trị đo đạc (quan sát) tại những thời điểm (vị trí) khác nhau có thể đ−ợc xem là hàm phụ thuộc vào thời điểm (vị trí) đo đạc. Ta có thể xác định giá trị của hàm tại bất kỳ thời điểm (vị trí nào) bằng các thiết bị đo đạc sẵn có, nh−ng nói chung ta không thể tìm đ−ợc biểu thức giải tích biểu diễn đ−ợc kết quả đo đạc theo thời gian (vị trí) một cách chính xác, mà th−ờng biểu thị chúng d−ới dạng bảng ghi số liệu. Khi ấy ta nói hàm đ−ợc cho d−ới dạng bảng. Cách cho hàm nh− vậy, mặc dù th−ờng cho thông tin về hàm không đầy đủ (không tại mọi điểm), nh−ng lại rất phổ biến trong thực tiễn. Một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học là nghiên cứu ph−ơng pháp “khôi phục” thông tin (tại những điểm không đ−ợc cho) để biến những hàm loại này thành một hàm mà các công cụ giải tích có thể xử lý đ−ợc nh− mọi hàm thông th−ờng khác. 4.2.3. Ph−ơng pháp đồ thị Ph−ơng pháp này thực chất là một biến thể của ph−ơng pháp bảng. Thay vì cho một bảng số liệu, ng−ời ta cho một tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ vuông góc (tức là mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes (đọc là Đề-các)), và hàm số f đ−ợc xác định bởi phép cho t−ơng ứng hoành độ của mỗi điểm (trong tập điểm đã cho) với tung độ của nó. Trong tr−ờng hợp có nhiều điểm khác nhau cùng có chung một hoành độ thì phép ứng sẽ là xác định không duy nhất, và khi ấy ta có thể thiết lập hàm đa trị, cho t−ơng ứng một hoành độ với tập các tung độ của các điểm có chung hoành độ này. Trong khuôn khổ giáo trình này ta th−ờng chỉ xét các hàm đơn trị, và khi ấy phải giả thiết là tập hợp đ−ợc cho phải thỏa mãn điều kiện là: không có 2 điểm phân biệt nào có cùng hoành độ. Tập hợp đã cho còn có tên gọi là đồ thị của hàm f, và th−ờng đ−ợc ký hiệu là G f . Rõ ràng hình chiếu của tập G f lên trục hoành chính là miền xác định của hàm f , và hình chiếu của G f lên trục tung chính là miền giá trị của hàm f. Dễ thấy rằng một hàm số đ−ợc cho bởi ph−ơng pháp bảng hay ph−ơng pháp giải tích thì cũng có thể cho đ−ợc bằng ph−ơng pháp đồ thị, khi ta lấy G f là tập những điểm (x,y), với x ∈ X và y=f (x). 60
62. Ch−ơng 4. Hàm số Việc biểu diễn tập G f trong mặt phẳng tọa độ Descartes (đối với hàm số f cho bằng ph−ơng pháp giải tích) cũng chính là việc vẽ đồ thị của hàm số đó. Trong thực tế, ta th−ờng kết hợp cả ba ph−ơng pháp trên để mô tả hàm số. Biểu thức giải tích cho phép ta nghiên cứu các tính chất định tính, đồ thị cho ta một hình ảnh trực quan và bảng cho ta một định l−ợng cụ thể của hàm số. Cũng cần chú ý thêm là không phải hàm số nào cũng có thể mô tả chính xác đ−ợc bằng đồ thị, đồng thời cũng có những hàm số mô tả đ−ợc bằng đồ thị hoặc bằng bảng mà không mô tả đ−ợc bằng biểu thức giải tích. 4.2.4. Vẽ đồ thị của hàm số Nh− đã nói ở trên, vẽ đồ thị của một hàm số f (đ−ợc cho bằng ph−ơng pháp giải tích) có nghĩa là biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Descartes tập điểm sau đây G f :={(x, y)∈ ì x∈ D f , y = f (x)}; trong đó D f là ký hiệu miền xác định của hàm số f. Về lý thuyết, để làm đ−ợc điều đó ta phải biết đ−ợc giá trị của hàm số tại mọi điểm và biểu diễn tất cả các điểm của đồ thị, nh−ng trên thực tế điều đó không thể thực hiện đ−ợc. Ng−ời ta chỉ có thể cho đ−ợc những biểu diễn xấp xỉ của đồ thị. Có 2 cách để thực hiện điều này: Ph−ơng pháp 1: Vẽ trực tiếp Dựa trên nhận xét rằng một đ−ờng cong bình th−ờng luôn có thể xấp xỉ đ−ợc bằng đ−ờng gấp khúc với các khúc nhỏ. Đ−ờng gấp khúc này hoàn toàn đ−ợc xác định bởi các điểm đỉnh, cho nên nếu ta biết đ−ợc các điểm đỉnh này thì cũng có đ−ợc biểu diễn xấp xỉ của đồ thị. Độ xấp xỉ càng chính xác nếu các khúc càng nhỏ (các đỉnh càng nhiều). Ph−ơng pháp này nếu thực hiện một cách thủ công sẽ rất vất vả (vì để có một xấp xỉ tốt phải biết đ−ợc rất nhiều đỉnh), nh−ng đối với máy tính thì điều này trở nên rất dễ dàng, và trên thực tế với sự trợ giúp của máy tính ng−ời ta vẽ đ−ợc các đồ thị với độ chính xác cao tùy ý (bằng mắt th−ờng không thể biết đ−ợc đó là chỉ một hình ảnh xấp xỉ). Tất cả các đồ thị minh họa trong giáo trình đều đ−ợc vẽ bằng ph−ơng pháp này. Phần thực hành tính toán vẽ đồ thị trên máy tính (cuối ch−ơng) sẽ thêm một lần giúp chúng ta kiểm nghiệm. Ph−ơng pháp 2: Vẽ thông qua khảo sát Ng−ời ta khảo sát các tính chất cơ bản của hàm số để dự đoán dáng điệu của nó tr−ớc khi vẽ. Bằng cách này ng−ời ta không cần phải biết thông tin về hàm tại quá nhiều điểm nh− ph−ơng pháp trên, mà chỉ cần quan tâm đến một số điểm đặc biệt, phân chia đồ thị thành những vùng với những dáng điệu cơ bản dễ thể hiện. Ph−ơng pháp này giúp cho việc vẽ đồ thị thủ công một cách dễ dàng hơn so với ph−ơng pháp thứ nhất. Tuy nhiên, lớp hàm mà ng−ời ta có thể vẽ đ−ợc đồ thị theo ph−ơng pháp 2 không phải là rộng, và để tiến hành đ−ợc ph−ơng pháp này, ng−ời vẽ phải nắm đ−ợc những kiến thức cơ bản về khảo sát hàm số. Khi việc tính toán trên máy tính trở nên phổ biến thì ph−ơng pháp 2 chỉ còn là ph−ơng tiện để củng cố kiến thức lý thuyết về khảo sát hàm số. 61
63. Ch−ơng 4. Hàm số ___ 4.3. Các phép toán trên các hàm số 4.3.1. So sánh hai hàm số Giả sử f và g là hai hàm số xác định trên tập X. Ta nói f và g bằng nhau (f = g) trên X nếu f (x) = g (x) với mọi x ∈ X , f và g khác nhau ( f ≠ g ) nếu tồn tại một giá trị x0 ∈ X mà f (x0 ) ≠ g(x0 ) . Ta nói hàm f lớn hơn hay bằng g (hay g nhỏ hơn hay bằng f) trên X nếu f (x) ≥ g (x) với mọi xX∈ . Khi không tồn tại x để dấu bằng xảy ra thì ta nói f lớn hơn g (hay g nhỏ hơn f). 4.3.2. Các phép toán số học Cho f và g là hai hàm số có cùng tập xác định là X. Khi ấy các hàm số định nghĩa nh− sau (f+g)(x) := f (x) + g (x) ; (f - g)(x) := f (x) - g (x) ; (f.g)(x) := f (x). g (x) ;  f  f (x)  (x) := (khi g(x) ≠ 0)  g  g(x) đ−ợc gọi lần l−ợt là tổng, hiệu, tích, th−ơng của hai hàm số f và g trên X. 4.3.3. Hàm hợp Cho hàm số u= f(x) xác định trên X ⊆ và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ sao cho miền giá trị của f nằm trong miền xác định của g. Hàm hợp của f và g (ký hiệu: g D f ) là một hàm xác định bởi công thức (g D f )(x) = g( f (x)) với mọi x ∈ X . Thí dụ y = sin( x2 ) là hàm hợp của hai hàm y =sin(u) và u = x2 . Cũng cần l−u ý rằng nói chung g D f ≠ f D g. 4.3.4. Hàm ng−ợc Cho hàm f : X → Y , ta xác định một hàm mới f −1 :Y → X theo quy tắc: với mỗi y ∈Y ta cho ứng với x sao cho f (x) = y, tức là: f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. f −1 đ−ợc gọi là hàm ng−ợc của f. Nh− vậy, miền xác định của f −1 là miền giá trị của f . Ta thấy, đồ thị của các hàm f và f − 1 là trùng nhau (trên cùng một hệ trục tọa độ). Khi ta dùng x để chỉ biến độc lập và y là biến phụ thuộc của hàm ng−ợc f −1 , thì đồ thị của nó sẽ chuyển sang vị trí đối xứng với vị trí cũ qua đ−ờng phân giác thứ nhất 62
64. Ch−ơng 4. Hàm số (do điểm (x, y) đối xứng với điểm (y, x) qua phân giác thứ nhất). Nh− vậy đồ thị của hàm số y = f −1 (x) đối xứng với đồ thị của hàm y = f (x) qua phân giác thứ nhất. Để tìm hàm ng−ợc của f, coi y là cho tr−ớc và ta giải ph−ơng trình y = f (x) tìm x theo y. Do ph−ơng trình này có thể có nhiều nghiệm (ngay cả khi f là đơn trị), cho nên hàm ng−ợc của nó nói chung là đa trị. Nếu với mỗi y ta chỉ chọn một nghiệm x của ph−ơng trình trên thì ta đ−ợc một hàm đơn trị, gọi là nhánh đơn trị của hàm ng−ợc đa trị f −1 . Rõ ràng khi f là một phép ứng 1-1 thì f −1 là một hàm đơn trị. Nhận xét Các phép toán trên hàm số thực chất là những công cụ "làm giàu" lớp các hàm đã biết. Thí dụ, chỉ từ các đơn thức, bằng 4 phép toán số học trên hàm số, ng−ời ta xây dựng đ−ợc lớp các hàm đa thức và phân thức vô cùng phong phú; toàn bộ lớp hàm l−ợng giác và l−ợng giác ng−ợc đ−ợc xây dựng từ 2 hàm l−ợng giác cơ bản sin(x) và cos(x). ___ 4.4. Các lớp hàm có cấu trúc đặc biệt Khi nghiên cứu hàm số, ta cố gắng phát hiện những tính chất đặc biệt của nó. Điều này cho phép ta hình dung dáng điệu toàn cục của hàm số (trên toàn miền xác định) dựa trên các thông tin trên miền hẹp hơn. Sau đây là một số cấu trúc cơ bản cần đ−ợc l−u ý. 4.4.1. Hàm đơn điệu Hàm f xác định trên tập X đ−ợc gọi là không giảm (không tăng) trên X nếu với mọi x1, x2 ∈ X , x1 f (x2 ) ) thì f đ−ợc gọi là tăng chặt (giảm chặt) trên X. Hàm không tăng (không giảm) đ−ợc gọi chung là đơn điệu. Hàm đơn điệu tăng (giảm) còn đ−ợc gọi là hàm đồng biến (nghịch biến). Tính chất đơn điệu cho ta hình dung dáng điệu đồ thị của hàm trên X: Đồ thị của hàm đơn điệu tăng (giảm) đi lên (đi xuống) từ trái sang phải. Thí dụ 1) y = [ x ] (Hàm phần nguyên của x ) là một hàm tăng (không chặt) trên toàn trục số. Có những hàm chỉ đơn điệu trên từng khoảng chứ không đơn điệu trên toàn tập xác định. 2) Hàm y = x - [ x ] là một hàm tăng trên từng khoảng[n ; n-1) với mọi số nguyên n. Một hàm có thể tăng trên khoảng này và giảm trên khoảng khác. 3) Hàm y = x tăng trên [0; + ∞ ) và giảm trên (- ∞ ; 0]. Cũng cần l−u ý rằng có những hàm không đơn điệu trên bất kỳ một khoảng nào. 63
65. Ch−ơng 4. Hàm số 4) Hàm Dirichlet χ(.) xác định nh− sau: χ(x) =1, nếu x hữu tỉ, χ(x) = 0, nếu x vô tỉ , là hàm không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào. 4.4.2. Hàm tuần hoàn Hàm số f đ−ợc gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho f (x + T) = f (x) với mọi x thuộc miền xác định của hàm số. Khi ấy T đ−ợc gọi là chu kỳ của hàm số. Từ định nghĩa ta thấy ngay rằng nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì nó cũng tuần hoàn với chu kỳ nT (với mọi số tự nhiên n), chứng tỏ tập xác định của hàm tuần hoàn là không bị chặn. Số T0 > 0 bé nhất (nếu có) trong số các chu kỳ T đ−ợc gọi là chu kỳ cơ bản của f. Từ nay về sau, để ngắn gọn, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ "chu kỳ của f " đ−ợc dùng để chỉ chu kỳ cơ bản của nó. Các hàm tuần hoàn th−ờng gặp khi ta nghiên cứu hiện t−ợng dao động trong các hệ cơ học, vật lý, hoặc sinh vật Khi f là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì để nghiên cứu f trên toàn trục số, ta chỉ cần nghiên cứu nó trên một khoảng bằng chu kỳ của nó là đủ. Thí dụ 1) Hàm y = x- [ x ] là một hàm tuần hoàn chu kỳ T = 1. 2) Hàm Dirichlet là một hàm tuần hoàn không có chu kỳ cơ bản, nh−ng có chu kỳ T là số hữu tỉ bất kỳ. 3) Hàm hằng y = c cũng là một hàm tuần hoàn không có chu kỳ cơ bản, nh−ng có chu kỳ T là một số bất kỳ. 4.4.3. Hàm bị chặn Tr−ớc đây ta đã có khái niệm tập bị chặn. Đối với hàm số, ta cũng có các định nghĩa về tính bị chặn sau đây: Ta nói f bị chặn trên (bị chặn d−ới) trong miền X nếu tồn tại số M (m) sao cho f(x) ≤ M (f (x) ≥ m ) với mọi x ∈ X. Nếu f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn d−ới trong miền X thì ta nói rằng f bị chặn (giới nội) trên X. Dễ dàng nhận thấy rằng f giới nội khi và chỉ khi tồn tại số d−ơng M sao cho f (x) ≤ M với mọi x ∈ X . Nếu f bị chặn trên thì đồ thị của nó nằm ở phía d−ới đ−ờng thẳng y= M; nếu f bị chặn d−ới thì đồ thị của nó nằm ở phía trên đ−ờng thẳng y = m; nếu f bị chặn thì đồ thị của nó bị "kÂp" trong dải tạo bởi hai đ−ờng thẳng y = m và y = M. 64