Điện hạt nhân - Chương 4: Mô tả hiện tượng luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử

Nội dung text: Điện hạt nhân - Chương 4: Mô tả hiện tượng luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử

1. Ch−ơng 4 mô tả hiện t−ợng luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử 4.1 Mô tả hiện t−ợng luận ảnh h−ởng chuyển động tập thể lên mật độ mức. Trong những năm gần đây ng−ời ta chú ý nhiều đến sự tăng tập thể của mật độ mức [43]. Đơn giản nhất là ảnh h−ởng của chuyển động tập thể lên mật độ mức đ−ợc khảo sát trong khuôn khổ mẫu suy rộng. Để mô tả mật độ trạng thái ω(E) trong mẫu suy rộng ng−ời ta giả thiết rằng xảy ra gần đúng gián đoạn (1.74) và Hamilton Hˆ cùng hàm sóng của nó có thể viết ở dạng (1.75) và (1.76) tức là: ˆ ˆ ˆ ˆ H = Hin + Hvib + Hrot ; ψ = ψvibψinψrot Các mức năng l−ợng – các giá trị riêng của toán tử Hˆ có dạng [4]: 2 1 h E= Ein +hω(ν+ )+ J(J+1) (4.1) 2 2ℑ⊥ 2 ở đây Ein, hω , h / 2ℑ⊥ - năng l−ợng của các l−ợng tử chuyển động nội tại, dao động và quay t−ơng ứng, ν và J là các số l−ợng tử dao động và quay ; ℑ⊥ - mô men quán tính đối với trục vuông góc với trục đối xứng của hạt nhân. Theo Đ1.1, mật độ trạng thái ω đ−ợc xác định bằng ph−ơng pháp biến đổi Laplax ng−ợc từ tổng thống kê Q(β) mà đối với Hamilton của hệ (1.75) có thể viết nh− sau: ˆ ˆ ˆ ˆ Q(β)= Sp[exp (− βH )]= Sp[exp (− β(H in + H vib + H rot ))]= ˆ ˆ ˆ = Sp[exp ()− βH in ]Sp[]exp ()− βH vib Sp[]exp (− βH rot )= (4.2) = Q in (β)Q vib (β)Q rot (β) ∞ −hω(ν+1/ 2)β ở đây: Qvib (β) = ∑e (4.3) ν=0 là tổng thống kê của dao động. ∞ 2 ⎡ h β ⎤ Q rot (β) = ∑ (2J +1) exp⎢− J(J +1)⎥ (4.4) J=0 ⎣ 2ℑ⊥ ⎦ là tổng thống kê của chuyển động quay. Trong công thức (4.4), thừa số (2J+1) chỉ ra độ suy biến mức với J đã cho. Chúng ta quay lại tính mật độ trạng thái. Chúng ta nhận thấy rằng tích phân chuyển động duy nhất chung cho cả ba loại chuyển động là năng l−ợng toàn phần E của hệ. Trong tr−ờng hợp này theo Đ1.1, khi tính ω(E) chúng ta sử dụng 75
2. (1.10) và (1.11). Sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đối với ω(E) chúng ta thu đ−ợc: expS(β ) ω()E = 0 1 (4.5) ∂2 lnQ 2 2π ∂β2 β=β0 còn toạ độ điểm yên ngựa β0 thì thu từ ph−ơng trình: ∂S / ∂β = 0 (4.6) nhờ (1.11) và (4.2) có thể viết ở dạng: ∂ ln Q ∂ ln Q ∂ ln Q E = − in − vib − rot (4.6a) ∂β ∂β ∂β -1 Nếu giả thiết rằng nhiệt độ t = β0 nh− giả thiết rút ra từ ph−ơng trình (4.6a) là yếu tố quan trọng đầu tiên của ph−ơng trình này, tức là phần lớn năng l−ợng chuyển thành kích thích bậc tự do nội tại thì có thể viết một cách gần đúng: ω()E = ωin ()E K vib (t)K rot (t) (4.7) ở đây ωin(E) - mật độ trạng thái bậc tự do nội tại th−ờng đ−ợc đồng nhất với mật độ trạng thái của mẫu các giả hạt độc lập [59]: Kvib = Qvib(t) (4.8) Krot = Qrot(t) (4.9) Các hệ số tăng của mật độ trạng thái dao động và quay đ−ợc tính ở nhiệt độ t = -1 β0 mà nhiệt độ này là nghiệm của ph−ơng trình trạng thái: E = −∂ ln Qin / ∂β (4.10) Chúng ta sẽ thu đ−ợc tổng thống kê của chuyển động quay và dao động để đánh giá đóng góp của chuyển động tập thể vào mật độ trạng thái. Tr−ớc hết chúng ta hãy tính hệ số quay của (4.4). Trong hạt nhân, năng l−ợng l−ợng tử quay 2 h /(2ℑ⊥ ) vào khoảng một vài KeV [21]. Giải pháp thống kê sẽ đ−ợc sử dụng để mô tả các hiện t−ợng hạt nhân ở năng l−ợng kích thích cỡ một vài MeV t−ơng 2 ứng với nhiệt độ t cỡ 1 MeV. Do đó h /(2ℑ⊥ ) << t. Trong tr−ờng hợp này đóng góp chính vào tổng (4.4) là do các thành phần có J lớn. Thay tổng (4.4) bằng tích phân ta thu đ−ợc [10]: ∞ ⎡ 2β ⎤ K (t) = (2J +1)exp − h J(J +1) dJ ≈ 2ℑ t / 2 rot ∫ ⎢ ⎥ ⊥ h (4.11) 0 ⎣ 2ℑ⊥ t ⎦ Cũng đơn giản nh− vậy để thu đ−ợc hệ số tăng của dao động Kvib(t) = Qvib(t). Đối với hệ có một bậc tự do với tần số ω, tổng thống kê Qvib(t) có dạng (4.3). Chúng ta không tính năng l−ợng dao động của tần số thấp nhất (ν = 0) của mức dao động tức là đ−a đại l−ợng hω /2 vào Ein(4.1). Khi đó ta sẽ có [10]: 76
3. ∞ 1 K vib (t) = ∑exp()− hων / t = (4.12) ν=0 1− exp()− hω/ t Trong hạt nhân có thể xuất hiện các l−ợng tử dao động hoặc phonon của các đa cực khác nhau. Các phonon đ−ợc đặc tr−ng bằng mômen góc λ, độ chẵn lẻ λ (~1) , thông số khối l−ợng Bλ và độ cứng Cλ , mà nó liên quan trực tiếp với tần số của phonon ωλ bằng hệ thức ωλ = Cλ / Bλ . Đối với hạt nhân, Kvib (t) ở gần đúng đoạn nhiệt có thể viết: −(2λ+1) ()λ −hωλ / t Kvib(t) = ∏∏Qvib(t) = (1− e ) (4.13) λλ Bậc (2λ +1) tính đến sự suy biến sinh phonon. Từ biểu thức (4.13) ta suy ra rằng các phonon với tần số thấp nhất đóng góp chủ yếu trong ph−ơng trình dao động của mật độ trạng thái. Trong các tính toán Kvib(t) th−ờng đ−ợc giới hạn bằng việc khảo sát các phonon tứ cực với λ = 2 và bát cực λ = 3. Trong phần kết luận, chúng ta cần nhớ rằng trong những năm gần đây nhất đã phát triển các lý thuyết [43, 60, 61] mà trong đó đã tiến hành thử nghiệm khảo sát ảnh h−ởng của chuyển động tập thể của bản chất dao động tới các đặc tr−ng thống kê của hệ mà không bổ sung tính toán gần đúng đoạn nhiệt. 4.2 Công thức Djinber - Cameron đối với mật độ mức hạt nhân. Vị trí của bài toán: Trong công trình Djinber và Cameron [26], bài toán đ−ợc giải nh− sau : Dựa trên những thông tin thực nghiệm trực tiếp, cần thu đ−ợc sự mô tả mật độ mức với nhóm lớn hạt nhân có 22 ≤ A ≤245 trong vùng năng l−ợng kích thích đủ rộng. Để làm điều này, hai tổ hợp các hệ thức giải tích đã đ−ợc sử dụng. ở vùng năng l−ợng kích thích thấp các tác giả đã sử dụng mẫu nhiệt độ không đổi với các công thức sau để tính số mức toàn phần N(E) với năng l−ợng E đã cho và mật độ mức hạt nhân ρ(E): N(E) = exp[](E − E0 ) / T (4.14) ρ(E) = dN / dE = exp[(E − E 0 ) / T]/ T (4.15) ở đây E - năng l−ợng kích thích, Eo và T là các thông số của mẫu. Trong vùng năng l−ợng cao thì công thức của mẫu khí Fermi đ−ợc sử dụng nh− sau: ρ(E) ~ exp(2 aE) (4.16) với a là thông số mật độ mức. Các số liệu phổ học về trạng thái kích thích của hạt nhân đ−ợc sử dụng làm thông tin thực nghiệm về mật độ mức hạt nhân. ở vùng năng l−ợng cao - chủ yếu là số liệu về khoảng cách trung bình giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s. Bài toán thực tế là trên cơ sở phân tích số liệu thực nghiệm theo kiểu quan hệ loại (4.14) – (4.16) xác định các thông số a, Eo và T, hệ thống chúng để có đ−ợc cách mô tả tốt đối với mật độ mức của các hạt nhân mà mới biết một phần nhỏ thông tin thực nghiệm. 77
4. Xác định các thông số của mẫu khí Fermi. Các hệ thức thu đ−ợc trong Đ2.3 đã đ−ợc sử dụng để xác định các thông số của mẫu khí Fermi. Mật độ mức trong mẫu này đối với hạt nhân có năng l−ợng kích thích U và mômen góc J có dạng (2.47): 2J +1 ⎡ (J +1/2)2 ⎤ ρ()U,J = 1 5 exp⎢2 aU− 2 ⎥ 24 2σ3a 4U 4 ⎣ 2σ ⎦ và mật độ mức toàn phần ρ(U) biểu thị bằng công thức (2.48): exp(2 aU) ρ(U) = 1 5 12 2σa 4 U 4 ở đây thông số phụ thuộc spin σ2 thoả mãn công thức (2.45). Khi đó mật độ mức đ−ợc xác định bằng năng l−ợng kích thích U và hai thông số của mẫu: thông số mật độ mức a và trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt m2 mà nó đ−ợc tính nh− sau trong [26]: m 2 = 0.146 A 2 / 3 (4.17) Trong việc tìm các thông số của mẫu, năng l−ợng cặp P(Z) và P(N) và các bổ chính lớp S(Z) và S(N) đối với các thành phần proton và nơtron có vai trò quan trọng. Các đại l−ợng này đã thu đ−ợc ở [62] từ công thức bán thực nghiệm của khối l−ợng nguyên tử với dạng hàm mũ. Năng l−ợng cặp và bổ chính lớp đ−ợc biểu diễn trong bảng 4.1. Các năng l−ợng cặp P(z) và P(N) dùng để hiệu chỉnh sự khác biệt chẵn - lẻ hệ thống đã biết trong thông số mật độ mức. Để làm vậy trong các hệ thức (2.45), (2.47), (2.48) cần sử dụng đại l−ợng sau làm năng l−ợng kích thích: U = E - P(Z) - P(N) (4.18) Từ bảng 4.1 thấy rằng P(Z) và P(N) bằng 0 đối với Z lẻ hoặc N lẻ. Công thức (4.18) đ−ợc luận giải nh− sau : tr−ớc khi coi khí proton hoặc nơtron là khí các hạt độc lập, cần thiết tách cặp các nucleon và phải tốn mất năng l−ơng P(Z) + P(N). Đánh giá này mang tính bổ chính thực nghiệm vì nó giảm khác biệt chẵn lẻ hệ thống trong các giá trị a. Sau khi lựa chọn dạng phụ thuộc (4.17) đối với trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men m2 và các hiệu ứng chẵn lẻ đ−ợc hiệu chỉnh lại bằng biểu thức (4.18), có thể chuyển sang xác định thông số ch−a biết duy nhất của mẫu - thông số mật độ mức a. Điều này đ−ợc làm bằng cách làm khớp trực tiếp mật độ mức tính đ−ợc theo (2.47) với các khoảng cách trung bình D giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s mà số liệu thực nghiệm cùng năng l−ợng liên kết nơtron Sn, spin của hạt nhân bia đ−ợc chỉ ra trong bảng II.1 phần phụ lục. Các giá trị a thu đ−ợc là cơ sở để xác định các thông số mô tả phân đoạn đối với tất cả các hạt nhân mà trong số đó có cả những hạt nhân mà không có số liệu thực nghiệm về mật độ cộng h−ởng nơtron. 78
5. Bảng 4.1 Năng l−ợng cặp và bổ chính lớp N và Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV 11 0.00 0.00 -2.91 6.80 12 2.46 2.67 -4.17 7.53 13 0.00 0.00 -5.72 7.55 14 2.09 1.80 -7.80 7.21 15 0.00 0.00 -8.97 7.44 16 1.62 1.67 -9.70 8.07 17 0.00 0.00 -10.10 8.94 18 1.62 1.86 -10.70 9.81 19 0.00 0.00 -11.38 10.60 20 1.83 2.04 -12.07 11.39 21 0.00 0.00 -12.55 12.54 22 1.73 1.64 -13.24 13.68 23 0.00 0.00 -13.93 14.34 24 1.35 1.44 -14.71 14.19 25 0.00 0.00 -15.53 13.83 26 1.54 1.54 -16.37 13.50 27 0.00 0.00 -17.36 13.00 28 1.20 1.30 -18.52 12.13 29 0.00 0.00 -18.44 12.60 30 1.06 1.27 -18.19 13.26 31 0.00 0.00 -17.68 14.13 32 1.36 1.29 -17.09 14.92 33 0.00 0.00 -16.65 15.60 34 1.43 1.41 -16.66 16.38 35 0.00 0.00 -16.59 17.08 36 1.17 1.50 -16.35 17.55 37 0.00 0.00 -16.18 17.98 38 1.24 1.50 -16.41 18.33 39 0.00 0.00 -16.60 18.56 40 1.20 1.43 -16.54 18.71 41 0.00 0.00 -16.42 18.65 42 1.28 1.88 -16.84 18.55 43 0.00 0.00 -17.22 18.52 44 1.28 1.47 -17.42 18.34 79
6. 45 0.00 0.00 -17.52 18.01 46 1.35 1.57 -17.82 17.38 47 0.00 0.00 -18.19 16.56 48 1.36 1.46 -18.58 15.62 49 0.00 0.00 -19.11 14.38 50 1.19 0.93 -19.83 12.88 N và Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV 51 0.00 0.00 -19.14 13.24 52 1.14 0.72 -18.35 13.71 53 0.00 0.00 -17.40 14.40 54 1.12 1.12 -16.54 15.16 55 0.00 0.00 -15.68 15.89 56 1.58 1.29 -14.75 16.43 57 0.00 0.00 -13.71 16.97 58 1.17 0.94 -12.87 17.59 59 0.00 0.00 -12.18 18.08 60 1.18 1.24 -11.67 18.72 61 0.00 0.00 -11.09 19.22 62 1.22 1.25 -10.78 19.51 63 0.00 0.00 -10.53 19.73 64 0.97 1.14 -10.41 19.19 65 0.00 0.00 -10.21 20.06 66 0.92 1.32 -9.85 20.16 67 0.00 0.00 -9.36 20.09 68 0.62 1.15 -8.97 19.83 69 0.00 0.00 -8.56 19.41 70 0.68 1.24 -8.13 19.06 71 0.00 0.00 -7.68 18.66 72 0.64 1.43 -7.33 17.73 73 0.00 0.00 -7.11 17.03 74 0.72 1.09 -7.16 16.44 75 0.00 0.00 -7.05 16.00 76 0.75 1.20 -6.81 15.33 77 0.00 0.00 -6.56 14.49 78 0.71 1.04 -6.95 13.42 79 0.00 0.00 -7.52 12.28 80 0.87 0.70 -8.03 11.14 81 0.00 0.00 -8.41 10.10 82 0.83 0.85 -8.86 9.09 83 0.00 0.00 -7.71 10.00 84 0.89 0.76 -6.38 10.64 85 0.00 0.00 -5.47 11.18 86 0.79 0.92 -4.78 11.70 87 0.00 0.00 -4.37 12.22 80
7. 88 0.89 0.99 -4.17 12.71 89 0.00 0.00 -4.12 13.05 90 0.78 1.10 -4.29 12.99 91 0.00 0.00 -4.61 12.62 92 0.69 0.92 -5.04 12.11 93 0.00 0.00 -5.48 11.66 N và Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV 94 0.61 0.73 -5.96 11.21 95 0.00 0.00 -6.40 10.81 96 0.72 0.70 -6.87 10.38 97 0.00 0.00 -7.20 10.03 98 0.77 0.87 -7.74 9.65 99 - 0.00 - 9.38 100 - 0.61 - 8.99 101 - 0.00 - 8.62 102 - 0.69 - 8.33 103 - 0.00 - 8.10 104 - 0.55 - 7.82 105 - 0.00 - 7.56 106 - 0.40 - 7.33 107 - 0.00 - 7.15 108 - 0.73 - 6.83 109 - 0.00 - 6.69 110 - 0.58 - 6.55 111 - 0.00 - 6.53 112 - 0.86 - 6.49 113 - 0.00 - 6.39 114 - 1.13 - 5.82 115 - 0.00 - 5.26 116 - 0.84 - 4.53 117 - 0.00 - 3.83 118 - 0.79 - 3.08 119 - 0.00 - 2.37 120 - 0.82 - 1.72 121 - 0.00 - 1.05 122 - 0.71 - 0.27 123 - 0.00 - -0.69 124 - 0.41 - -1.69 125 - 0.00 - -2.58 126 - 0.38 - -3.16 127 - 0.00 - -1.72 128 - 0.67 - -0.41 129 - 0.00 - 0.71 81
8. 130 - 0.61 - 1.66 131 - 0.00 - 2.62 132 - 0.78 - 3.22 133 - 0.00 - 3.76 134 - 0.67 - 4.10 135 - 0.00 - 4.46 N và Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV 136 - 0.67 - 4.83 137 - 0.00 - 5.09 138 - 0.79 - 5.18 139 - 0.00 - 5.17 140 - 0.60 - 5.10 141 - 0.00 - 5.05 142 - 0.57 - 5.04 143 - 0.00 - 5.03 144 - 0.49 - 4.99 145 - 0.00 - 4.98 146 - 0.43 - 5.11 147 - 0.00 - 5.27 148 - 0.50 - 5.39 149 - 0.00 - 5.37 150 - 0.39 - 5.30 Theo đánh giá bán cổ điển của Bette [24, 25] đối với mẫu hạt nhân nh− hệ gồm 1/3 A hạt chuyển động trong hố thế đối xứng cầu có bán kính R = r0.A , thông số mật độ mức a phù hợp với hệ thức (2.40) tức là : a/A=const (4.19) Do vậy, thông số a sẽ tăng tuyến tính theo số khối A. Nếu biểu diễn trên đồ thị sự phụ thuộc của a vào A thì ta thu đ−ợc bức tranh nh− ở hình 2.2. Rõ ràng rằng các giá trị a thu đ−ợc tăng có hệ thống khi A tăng, song có lệch khỏi quy tắc đơn giản nói trên. Sự sai lệch nói trên không liên quan gì tới hiệu ứng chẵn lẻ. Sự phụ thuộc của a nh− một hàm của A thể hiện rõ sự có mặt của hiệu ứng lớp: a giảm trong vùng hạt nhân hai lần magic có Z = 82 và N = 126. Các lớp với N = 50 và N = 82 cũng cho thấy hiệu ứng nh− vậy. Trong mẫu của Bete, không tính đến hiệu ứng lớp. ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt lên thông số a lần đầu tiên đ−ợc Niutơn khảo sát trong [28]. Niutơn đã thay thế phổ rời rạc của trạng thái một hạt bằng phổ trung bình đã làm khớp của mẫu lớp khi sử dụng hàm trọng số Fermi - Đirắc đối với số lấp đầy trung bình. Trong mẫu lớp, mô men góc toàn phần jν của trạng thái một hạt là số l−ợng tử tốt. Đối với 1/3 hố thế vuông góc bán kính R = r0A , mật độ trạng thái một hạt của mẫu lớp đối với A lớn thay đổi theo A2/3. Mỗi trạng thái phân tách (2j+1) lần theo hình chiếu 2/3 mô mem góc và do vậy mật độ trạng thái một hạt thay đổi dạng (jZ+jN+1)A ở đây jZ và JN là số spin của thành phần proton và nơtron của mẫu lớp [63]. Khi 82
9. lấy tdao động bình jZ và jN ở gần năng l−ợng Fermi, Niutơn thu đ−ợc biểu thức cho thông số a [28] 2/3 a[A] = 2α( jZ + jN +1)A (4.20) ở đây α là hằng số. Khi đó đã sử dụng sơ đồ một hạt do Klinkenber đ−a ra [63]. Tuy nhiên Djinber và Cameron cũng đã đạt đ−ợc giải pháp nh− vậy khi phân tích thông số a dựa trên cơ sở là trong công trình của Niutơn hiệu ứng lớp mạnh nhất với a xảy ra ở vùng hạt nhân gần Hg202 mà không phải ở Pb208 nh− đã đ−ợc phát hiện trong thí nghiệm. Với kết luận đó, các tác giả [26] đã gắn ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt với giá trị thông số a có bổ chính lớp S = S(Z)+S(N). Tạm thời chỉ sử dụng trong ch−ơng này ký hiệu S để ký hiệu bổ chính lớp chứ không phải entrôpy. Trên hình 4.1. chỉ ra sự phụ thuộc của a/A vào S mà các giá trị S(N) và S(Z) đ−ợc lấy từ bảng 4.1. Trên hình vẽ cho thấy sự khác nhau rõ rệt giữa a/A đối với các hạt nhân biến dạng và không biến dạng. Đối với hạt nhân không biến dạng mối liên hệ tuyến tính giữa a/A và S nh− sau: a/A = 0.00917 S + 0.142 (4.21) Để mô tả sự phụ thuộc a/A = f(S) đối với hạt nhân biến dạng, hàm tuyến tính sau đ−ợc sử dụng: a/A = 0.00917 S + 0.120 (4.22) Trong (4.21) và (4.22) các giá trị a/A có đơn vị MeV-1 . Khi đó giả thiết rằng hạt nhân là biến dạng nếu Z và N nằm xa số magic. Các tác giả đã khảo sát vùng biến dạng : 54 ≤ Z ≤78 , 86 ≤ N ≤ 122 86 ≤ Z ≤ 122, 130 ≤ N ≤ 182 Hình 4.1: Sự phụ thuộc của a/A vào S [26]: x Đối với hạt nhân không biến dạng. • Đối với hạt nhân biến dạng. Hạt nhân không thuộc vào loại biến dạng nếu nó có các lớp vỏ kín hoặc gần nh− kín. Ng−ời ta coi tất cả các hạt nhân nặng là biến dạng nếu Z hoặc N của chúng khác số magic hơn 3 đơn vị. Mặc dù có một vài g−ợng ép khi đánh giá hạt nhân nh− vậy nh−ng điều đó không tỏ ra là lớn trong các kết quả. 83
10. Nếu sử dụng hệ thức (4.21) và (4.22) để xác định thông số a và tính mật độ ρc của các cộng h−ởng nơtron sóng s theo công thức (2.50) thì có thể đánh giá độ chính xác của hệ thông số a thu đ−ợc. Để làm điều đó tr−ớc hết đối với mỗi một hạt nhân ta cần tính l = ln(ρ /ρ ) với ρ = 1 . Sau đó đối với tập c cbs cbs D a 2 hợp n hạt nhân ta thu đ−ợc exp= ∑li /n . Đại l−ợng F có thể dùng làm th−ớc i=1 đo độ chính xác của phép tính gần đúng của thông số a. Trong tr−ờng hợp này F ~ 1,75. Các tác giả [26] nhận thấy rằng đánh giá phức tạp hơn của Cameron [64] cũng cho bậc chính xác nh− vậy và độ chính xác này tốt hơn trong công trình [28] của Niutơn. Các thông số mật độ mức ở vùng năng l−ợng thấp. Đối với đa số hạt nhân nhất là hạt nhân nặng ng−ời ta mới chỉ biết đ−ợc một số mức ở vùng năng l−ợng thấp nhất. Nếu biểu diễn chúng nhờ ph−ơng trình (4.14) thì việc lựa chọn các thông số Eo và T sẽ ít bị hạn chế. Để lựa chọn Eo và T tốt nhất, các tác giả của [26] đã đòi hỏi sự biểu diễn tuyến tính của các mức thấp khi chuyển tới các mức có số Np ở năng l−ợng Up. Mức này đ−ợc gọi là điểm uốn và có mối liên hệ giữa Eo và T nh− sau: N p = exp[]()E p − E 0 / T (4.23) hoặc: E 0 = E p − T ln N p (4.24) Trong vùng năng l−ợng thấp mật độ mức đ−ợc mô tả bằng hệ thức (4.15) và nó đ−ợc ký hiệu là ρ1, còn ở vùng năng l−ợng cao mật độ mức đ−ợc mô tả bằng (2.48) và ký hiệu là ρ2 . Khi làm khớp cả hai hàm này đã sử dụng biểu diễn tuyến tính N(E) (số mức d−ới năng l−ợng E) để quay về gần điểm uốn. Bởi vì việc làm khớp ρ1 và ρ2 đ−ợc thực hiện đồng thời nên tr−ớc hết cần kiểm tra N(E) có thực sự biểu diễn tốt các mức thấp và có thể kể cả những mức đầu tiên hay không. Nếu không cần chọn điểm uốn khác. Nếu thu đ−ợc kết quả tốt thì đ−ờng thẳng đi qua toàn bộ hoặc hầu hết các mức thấp, khi đó sẽ không có sai khác lớn do mức nào đ−ợc chọn làm điểm uốn. Khi làm khớp hai đ−ờng cong ng−ời ta giả thiết rằng mật độ mức và đạo hàm bậc một của nó theo năng l−ợng là liên tục. Do vậy ρ1 và ρ2 đ−ợc làm khớp một cách tiếp tuyến, và ở điểm nối Ex phải thoả mãn các hệ thức: ρ1 = ρ 2 ; T = τ (4.25) ở đây nhiệt độ τ đ−ợc xác định nh− sau: 1 τ =dlnρ2 ()U /dU= a / U−3/(2U) (4.26) 84
11. Bởi vì T = const đối với đ−ờng cong thấp ρ1 và τ là hàm tăng theo U đối với đ−ờng cong ρ2 nên nhiệt độ hạt nhân luôn không giảm. Trên cơ sở đó có thể lựa chọn giá trị năng l−ợng Ex của điểm tiếp tuyến hoặc cao hơn hoặc thấp hơn năng l−ợng liên kết của nơtron Sn. Trong [26] đã thảo luận khá kỹ các tr−ờng hợp khác nhau của làm khớp các đ−ờng cong ở điểm tiếp tuyến. Các hệ thức (4.25) là đủ để xác định toạ độ của điểm tiếp tuyến Ex và các thông số T và Eo. ở đây đã thu đ−ợc các giá trị Ex, T và Eo không chỉ đối với các hạt nhân có số liệu về mật độ cộng h−ởng proton hoặc nơtron mà còn cả với những hạt nhân cho đến nay mới biết đ−ợc một số mức thấp. Để làm điều đó tất nhiên đã sử dụng các ph−ơng trình (4.21) và (4.22) mà chúng thể hiện mối quan hệ giữa thông số a và bổ chính lớp S. Chúng ta nhận thấy rằng các bổ chính lớp và năng l−ợng cặp đ−ợc đ−a ra trong bảng 4.1 là đối với các hạt nhân với A ≥ 22. Các giá trị thu đ−ợc a, T, E0, Ex, σ và cả N1 - số mức d−ới đã biết, toạ độ mức chuyển Np ở năng l−ợng trong [26] đ−ợc đ−a trong bảng 2 trong phần phụ lục. Các thông số phụ thuộc spin σ mà chúng cũng đ−ợc đ−a ra trong phụ lục đ−ợc tính theo công thức (2.45) ở tại điểm tiếp tuyến E = Ex. Trong tính toán mật độ mức hạt nhân ở vùng năng l−ợng E Ex, giá trị σ đ−ợc coi là phù hợp với (2.45). Chúng ta khảo sát dạng biểu diễn của T, Eo và Ex theo số khối A. Đ−ờng cong T(A) đ−ợc đ−a ra trên hình 4.2. Dễ dàng thấy đ−ợc hai xu h−ớng: Thứ nhất T giảm khi A tăng, thứ 2 : có sự tham dự của hiệu ứng lớp đặc biệt khi ở gần hạt nhân hai lần magic 208Pb. Dễ dàng giải thích dạng thể hiện T = f(A) nh− vậy khi đã phân tích sự phụ thuộc của thông số mật độ mức vào số khối A. Nghịch đảo năng l−ợng T-1 trong công thức (4.15) đóng vai trò nh− thông số mật độ mức a trong các công thức (2.47) và (2.48): Các giá trị này xác định dạng logarit của mật độ mức. Bởi vì thông số a rất nhỏ với hạt nhân có các lớp vỏ kín nên T-1 cũng phải nhỏ và do vậy T sẽ rất lớn. T giảm có hệ thống khi A tăng cũng đ−ợc giải thích t−ơng tự. Bởi vì nhìn chung, khi không có hiệu ứng lớp, thông số a tăng tỷ lệ với A (xem 4.19) nên T-1 tỷ lệ với A và do vậy T tỷ lệ với A-1. Hình 4.2. Sự phụ thuộc của nhiệt độ hạt nhân vào số khối A [26]. Trên hình 4.3 là các giá trị Eo thay đổi theo A. Trên hình này thấy rõ hiệu ứng chẵn lẻ: Sự sai khác giữa các giá trị Eo đối với các hạt nhân chẵn chẵn và lẻ lẻ 85
12. vào cỡ năng l−ợng cặp. Thực tế tập hợp tất cả các điểm Eo = f(A) là nằm giữa hai đ−ờng cong ± với là giá trị trung bình của P(Z) và P(N): P=1/2[P(Z) + P(N)]. Từ hình 4.3 ở các đ−ờng cong P có một vài chỗ bị phá vỡ. Tr−ờng hợp nh− vậy là bình th−ờng vì E - E0 xác định năng l−ợng kích thích trong mẫu nhiệt độ không đổi mà ở mẫu này nh− trong mẫu khí Fermi có sự xuất hiện của hiệu ứng chẵn lẻ. Để tính đến hiệu ứng chẵn lẻ, cần khảo sát dạng đại l−ợng Ux = E x- P(z) - P(N) nh− một hàm của A mà không phải của toạ độ điểm tiếp tuyến Ex. Trên hình 4.4 biểu diễn sự phụ thuộc này. Rõ ràng đại l−ợng Ux giảm khi A tăng và sự thăng giáng của Ux ở mỗi giá trị A cũng giảm khi A tăng. Qua tập hợp điểm Ux = f(A) có thể đ−a ra ba đ−ờng cong: Ux = 2,5 + 150/A đ−ờng cong 1 (4.27a) Ux = 2,6 + 200/A đ−ờng cong 2 (4.27b) Ux = 2,1 +120/A đ−ờng cong 3 (4.27c) Hình 4.3: Sự phụ thuộc Eo vào số khối [26]. + - Đối với hạt nhân chẵn lẻ. x - Đối với hạt nhân lẻ – lẻ. • - Đối với hạt nhân A lẻ. Mặc dù là độ bất định ở các giá trị Ux là khá lớn nh−ng vẫn không phải là quan trọng. Vấn đề là nếu xây dựng ρ(U) gần điểm tiếp tuyến Ex thì cả ρ1(U) ở U Ux chỉ cách nhau một l−ợng khoảng 1MeV ở gần U = Ux. Hình 4.4. Năng l−ợng Ux của điểm tiếp tuyến nh− một hàm của A [26]. 86
13. Những kết luận chính : Dựa trên sự phân tích của Djinbert - Cameron, ng−ời ta đã đ−a ra sơ đồ tính toán mật độ mức mà chúng hữu dụng ngay cả trong những tr−ờng hợp không có số liệu thực nghiệm trực tiếp. Điểm tiếp tuyến chia khoảng năng l−ợng ra làm 2 miền : E>Ex và E Ex mật độ mức đ−ợc tính từ biểu thức (2.47) trong đó năng l−ợng kích thích đ−ợc tính theo (4.18), còn đối với σ2 và m 2 thì theo công thức (2.45) và (4.17). Khi đó các giá trị của năng l−ợng tạo cặp P(z) và P(N) đ−ợc lấy từ bảng 4.1. Mật độ mức toàn phần ρ(U) đ−ợc tính theo (2.48). Trong vùng năng l−ợng E Ex) gần điểm tiếp tuyến; p - điểm nối ; Đ−ờng nhẩy bậc - số liệu thực nghiệm. 4.3 Hệ thống các thông số mật độ mức của Mal−sep. A.V. Mal−sep trong [31] đã không dừng bài toán ở chỗ mô tả mật độ mức ở vùng năng l−ợng kích thích rộng mà h−ớng tới việc thu nhận thông tin về thông số mật độ mức mà nó liên quan tới phổ các kích thích chính của hạt nhân 87
14. từ số liệu thực nghiệm về mật độ cộng h−ởng nơtron sóng s. Các hệ thức của mẫu khí Fermi (2.45) – (2.48) cũng đ−ợc xem xét nh− ở trong [26]. Đối với hạt nhân có 24 ≤ A ≤ 247 các thông số mật độ mức a phụ thuộc spin có dạng (2.45) và (4.17). Khi đó năng l−ợng hiệu dụng U* ở (2.51) đ−ợc chọn làm năng l−ợng kích thích U. Năng l−ợng cặp dùng để tìm U đ−ợc tính theo công thức trong [65]: 1 ⎡ 0.691 ⎤ N 2 δ = ε − 17 − 3A −1 3A − 2Z + 89 (4.29a) p p 1 / 3 ⎢ ()( )⎥ 3 9A ⎣ A ⎦ A 1 ⎡ 1.38 ⎤ Z 2 (4.29b) δ = ε − 17 − Z Z −1 + 89 n n 1 / 3 ⎢ ()⎥ 3 9A ⎣ A ⎦ A ở đây: 1 (4.30a) ε = [E()Z, N − 2E(Z −1, N)+ E(Z − 2, N)] p 2 1 ε = [E()Z, N − 2E(Z, N −1)+ E(Z, N − 2)] (4.30b) n 2 là năng l−ợng cặp trên một nucleon [29]. E[Z,N] - khối l−ợng của hạt nhân t−ơng ứng tính bằng đơn vị MeV. Các thành phần bổ chính trong (4.29) đ−ợc dẫn giải từ các hiệu chỉnh năng l−ợng culông, năng l−ợng bề mặt và năng l−ợng đối xứng của hạt nhân bên cạnh. Sau khi lựa chọn hàm (4.17) đối với trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt và tính bằng hệ thức (2.51) hiệu ứng chẵn lẻ, dễ dàng xác định đ−ợc thông số mật độ mức a duy nhất còn lại. Có thể làm đ−ợc điều đó bằng cách làm khớp trực tiếp mật độ mức - tính theo công thức (2.47) với các giá trị khoảng cách trung bình D giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s (2.50). Số liệu thực nghiệm của đa số hạt nhân có 24 ≤ A ≤ 250 đ−ợc đ−a ra trong bảng 1 phần phụ lục. Các giá trị thông số a thu đ−ợc thăng giáng tuỳ thuộc vào A (xem hình 2.2), kèm theo quy luật tăng chung của a = f(A) còn quan sát đ−ợc sự suy giảm đột biến ở vùng hạt nhân A ≈ 210 - liên quan tới cấu trúc lớp của phổ một hạt. Để mô tả dạng phụ thuộc a = f(A) A.V. Mal−sep đã dùng hệ thức (4.20) do Niutơn thu đ−ợc trong [28] trong đó giả thiết rằng α không phụ thuộc A: 2/3 a(A) = 2 α( jZ + jN +1)A Bảng 4.2 Bậc đa cực của các mức một hạt gần năng l−ợng Fermi. Z 2jZ+1 2 jZ +1 Z 2jZ+1 2 jZ +1 Z 2jZ+1 2 jZ +1 1 2 2 31 6 6 64 8 6.4 2 2 2.67 32 6 5.33 65-66 6 7.6 3 4 3.33 33 4 5.33 67 12 6.8 88
15. 4-5 4 4 34 6 4.67 68 6 6.4 6 4 3.33 35 4 5.33 69 4 6.8 7 2 2.67 36 6 4.67 70 4 6 8 2 3.33 37 4 5.33 71 8 6.4 9 6 4.67 38 6 6.67 72 8 8 10-13 6 6 39 10 8.67 73 8 8.4 14 6 4.67 40-50 10 10 74 12 9.2 15 2 3.33 51 8 8.8 75 6 8.4 16 2 2.67 52 8 8.4 76 12 7.6 17 4 3.33 53-56 8 8 77 4 6 18-19 4 4 57 8 8.2 78 4 5.6 20 4 5.33 58 8 8.4 79 4 3.6 21 8 6.67 59 6 8.6 80 4 3.2 22-28 8 8 60 6 8.8 81 2 3 29 4 5 61-62 6 9 82 2 2.67 30 6 5.33 63 6 6.4 83 10 6.8 N 2jN+1 2 jN +1 N 2jN+1 2 jN +1 N 2jN+1 2 jN +1 1 2 2 50 6 8.0 102 4 7.2 2 2 2.67 51-54 6 6 103 10 7.6 3 4 3.33 55 6 6.67 104 10 8.8 4-5 4 4 56 6 7.6 105 10 10.8 6 4 3.33 57 8 8.4 106 10 10.4 7 2 2.67 58 8 9.2 107 14 9.6 8 2 3.33 59-64 8 10 108 8 8.8 9 6 4.67 65-74 12 10 109 6 7.6 10-13 6 6 75 12 8.8 110 6 6 14 6 4.67 76 12 7.6 111 4 6.29 15 2 3.33 77 4 8.8 112 6 6.57 16 2 2.67 78 12 8.4 113 14 7.15 17 4 3.33 79 4 7.2 114 10 8 18-19 4 4 80 12 8.8 115 10 9.43 20 4 5.33 81 4 8 116 10 8.86 21 8 6.67 82 12 9.33 117 2 8.86 22-28 8 8 83 8 5.6 118 14 8 29 4 4 84 8 6.8 119 2 8.57 30 6 4.67 85-88 8 8 120 14 8 31 6 5.33 89 14 11.2 121 4 8.29 32 6 5.33 90 14 11.6 122 14 6.59 33 4 5.33 91 10 11.6 123 6 6.59 34 6 4.67 92 10 10.8 124 4 5.33 35 4 5.33 93 10 9.6 125 2 5.6 89
16. 36 6 5.33 94 10 9.2 126 2 3.5 37 6 6 95 8 8.8 127 10 7.14 38 6 7.33 96 8 8.4 39 10 8.67 97-98 8 9.2 40-47 10 10 99 14 8.4 48 10 7.33 100 8 7.6 49 2 7.0 101 4 8 Nh− chúng ta biết, giải pháp Niuton về sự phụ thuộc của a vào A trong công trình [26] đã dựa trên cơ sở là hệ thức (4.20) đối với thông số a cho giá trị cực tiểu với A ~ 200. Vấn đề là hiệu ứng này phụ thuộc vào sơ đồ lấp đầy các mức một hạt sau cùng. Trong công trình [28] đã sử dụng sơ đồ một hạt đ−ợc đ−a ra trong [63]. Trong phân tích hệ thức (4.20) Mal−sep đã sử dụng sơ đồ mức một hạt trong [66]. Các giá trị trung bình 2 jZ +1và 2 jN +1 và cả đa cực 2 jZ +1và 2 jN +1 của các mức một hạt gần năng l−ợng Fermi đ−ợc đ−a ra ở bảng 4.2. Khi tính jZ và jN đã sử dụng đánh giá trung bình theo khoảng năng l−ợng cỡ nhiệt độ ở năng l−ợng kích thích bằng năng l−ợng liên kết của nơtron trong hạt nhân. Song nếu chia giá trị thực nghiệm atn thu đ−ợc từ mật độ cộng h−ởng 2/3 nơtron cho 2 ( jZ + jN +1)A thì trong hàm a = f(A) vẫn thấy đ−ợc sự thay đổi tuần hoàn. Mal−sep đã coi nhóm hoá các mức một hạt đ−ợc tạo ra theo năng l−ợng là nguyên nhân khả dĩ cơ bản của sự thay đổi tuần hoàn nói trên. Khi giả thiết rằng sự nhóm lại các mức lấp đầy trong sơ đồ lớp đối với proton và nơtron có thể mô tả đ−ợc bằng hàm tuần hoàn, thì Mal−sep đã đ−a ra biểu thức bán thực nghiệm nh− sau đối với hệ số a: ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ A ⎞ ⎤ ⎢ ⎜1−γ 0 ⎟(N − Z) ⎥ ⎢ π A ⎥ π 2 a = α −βsin⎢ ⎥ cos⎢ ⎝ ⎠ ⎥ 0 ⎢ 2 ⎥ (4.31) ⎢20 ⎛ A−A0 ⎞⎥ 20 ⎛ A ⎞ ⎢ ⎜1+γ ⎟⎥ ⎢ ⎜1+γ 0 ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ở đây các thông số α0 = 0,0380; β = 0,0125; γ = 0,0067 đối với A > Ao ≥ 80 (với A < 80 thì γ = 0) đ−ợc lựa chọn để giá trị thực nghiệm atn phù hợp nhất với các giá trị a tính theo công thức (4.20). Sự phân loại các thông số mật độ mức do Mal−sep đ−a ra liên quan tới các thông số đồng nhất. Các thông số nh− vậy có thể đ−ợc sử dụng khi mô tả mật độ mức gần năng l−ợng kích thích mà ở đó các thông số đ−ợc hệ thống hóa và trong tr−ờng hợp đã cho là năng l−ợng liên kết của nơtron với hạt nhân. 4.4 Mẫu khí Fermi với sự dịch chuyển ng−ợc. Các tác giả [33] đã đ−a ra ph−ơng pháp phân đoạn đơn giản và có hiệu quả để mô tả mật độ mức hạt nhân trong khoảng năng l−ợng kích thích từ 0 - 10 MeV. Các hệ thức của mẫu khí Fermi với dịch chuyển ng−ợc đ−ợc dùng làm cơ 90
17. sở của ph−ơng pháp. Mật độ mức của hạt nhân có năng l−ợng kích thích U và mômen góc J đ−ợc viết nh− sau: 2J +1 ⎡ J(J+1) ⎤ ρ()U,J = 1 exp⎢2 a(U−∆) − 2 ⎥ (4.32) 24 2σ3a 4 (U−∆+ t)5 / 4 ⎣ 2σ ⎦ với mật độ mức toàn phần: exp[2 a(U −∆)] ρ()U = 1 (4.33) 12 2σ a 4 (U −∆ + t)5 / 4 Nhiệt độ t lấy từ ph−ơng trình: U − ∆ = at2 −t (4.34) Thông số phụ thuộc spin σ2 đ−ợc xác định nh− sau: 2 6 2 2 σ = 2 am t = ℑt / h (4.35) π ở đây ℑ là mômen quán tính của hạt nhân. Nói một cách chặt chẽ, các biểu thức (4.32) - (4.35) ngay cả khi giả thiết ∆ = 0 cũng không phải là các biểu thức của mẫu khí Fermi: chúng khác với các biểu thức thu đ−ợc trong Đ2.3 [xem các công thức (2.47) và (2.48)]. Trong khi đó các biểu thức (4.32) - (4.35) th−ờng đ−ợc sử dụng để mô tả mật độ mức. Chúng thu đ−ợc trong [67] khi sử dụng trực tiếp ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa theo các biến khác nhau cuả tích phân. Nh− vậy các giá trị tiệm cận của tích phân loại (1.87) bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa là không chính xác [11,26] bởi vì giá trị tích phân khi đó phụ thuộc vào bậc tích phân. Các công thức (4.32) - (4.34) cũng không thuận tiện hơn khi sử dụng vì chúng dù khác rất ít so với các hệ thức bình ph−ơng a, ∆, ℑ trong (4.32) - (4.35) là các thông số đ−ợc xác định từ sự mô tả tốt nhất và khoảng cách trung bình D giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s ở năng l−ợng liên kết Sn của nơtron trong hạt nhân đ−ợc sử dụng làm thông tin thực nghiệm trong [37]. Số liệu D đ−ợc đ−a ra trong bảng 1 phần phụ lục. Vì không có số liệu đáng tin cậy về mô men quán tính nên việc xác định các thông số a và ∆ đ−ợc thực hiện ở hai giá trị mômen quán tính ℑtb và ℑ 2 = ℑtb /2 ở đây ℑtb = 2/5 MR - mô men quán tính vật rắn. Nếu giả thiết rằng bán kính hạt nhân R = 1,25A1/2 φm thì σ2 có thể thu đ−ợc nh− sau : 2 2 5 / 3 σtb = ℑtb t / h =0,0150A t (4.36) Việc làm khớp đ−ợc thực hiện bằng cách sau: Nhờ biểu thức (4.33) đã tính số mức toàn phần N có năng l−ợng kích thích từ 0 tới U0: U0 N = ρ(U)dU 0 ∫ (4.37) 0 Hệ thức thứ 2 để xác định a và ∆ đ−ợc rút ra từ (2.50) có dạng sau: 91
18. ⎧ ⎛ ∆Ε 1 ⎞ ⎛ ∆Ε 1 ⎞ ⎪ρ⎜Sn + ; I 0 + ⎟+ ρ⎜Sn + ; I 0 − ⎟ I 0 ≠ 0 2 ⎪ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ = ⎨ (4.38) D ⎪ ⎛ ∆Ε 1 ⎞ ρ⎜S n + ; ⎟ I 0 = 0 ⎩⎪ ⎝ 2 2 ⎠ ở đây Sn- năng l−ợng liên kết của nơtron, I0 - spin của hạt nhân bia, ∆E 70 nhỏ hơn 0,1 MeV. Các giá trị a rất nhạy với cách lựa chọn ℑ : Sự thay đổi của chúng vào khoảng 15% đối với hạt nhân nhẹ và gần 8 % đối với hạt nhân nặng. Các số liệu thực nghiệm [69] đã khẳng định cách lựa chọn bằng mô 92
19. men quán tính của vật rắn đối với những hạt nhân A < 100; đối với các hạt nhân nặng hơn thì khó có kết luận cụ thể về sự lựa chọn giá trị mômen quán tính. Vì thế, độ bất định hệ thống chủ yếu trong các thông số của hạt nhân nặng là do sự bất định trong việc l−ạ chọn mômen quán tính. 4. Các giá trị a và ∆ nh− là một hàm của số khối A nằm gần một đ−ờng cong trơn. Độ lệch của a khỏi a = f(A) không lớn hơn 10%, còn của ∆ vào khoảng 0,5 MeV. Điều này cho phép đủ tin cậy để tiên đoán các giá trị a và ∆ đối với những hạt nhân mà ch−a có số liệu thực nghiệm. Trong những tr−ờng hợp nh− vậy, các thông số a và ∆ có thể đ−ợc xác định nhanh và đơn giản nhờ phép nội suy giữa các giá trị t−ơng ứng của các hạt nhân bên cạnh. Cụ thể, đối với những hạt nhân có 40 < A < 63 không có số liệu thực nghiệm, có thể sử dụng bộ thông số sau để mô tả mật độ mức: −13 F = Ftb , r0 = 1,25 .10 cm ⎫ ⎪ a = 2,40 + 0,067 A ⎬ (4.40) −1 ⎪ ∆ = − 130 A + P ⎭ ở đây a và ∆ đ−ợc tính trong đơn vị MeV-1, còn P đ−ợc xác định từ hệ thức (4.39). Trên các hình 4.6 đến 4.9 là các kết quả tính toán mật độ mức đối với các hạt nhân có chẵn lẻ khác nhau 41Ca, 55Mn, 56Fe và 60Co so với các giá trị thực nghiệm trong vùng 0 đến 20 MeV. Ngoại trừ một vài sai khác trong việc mô tả ρ(U) đối với 55Mn, mẫu khí Fermi hai thông số có sự dịch chuyển ng−ợc đã cho sự phù hợp ρ(U) tốt giữa lý thuyết và số liệu thực nghiệm trong tất cả các vùng năng l−ợng. Trong các tr−ờng hợp khác sự phù hợp nói chung không kém hơn so với việc sử dụng công thức tổ hợp phức tạp Djinber – Cameron. Hình 4.6: Mật độ mức hạt nhân 41Ca [33]: Hình 4.7: Mật độ mức hạt nhân 55Mn [33] 93
20. Hình 4.8: Mật độ mức hạt nhân 56Fe [33]. Hình 4.9: Mật độ mức hạt nhân 60Co. 94
21. Ch−ơng 5 Mật độ trạng thái khi cố định số giả hạt kích thích 5.1. Khí các hạt Bolzman. Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái hạt nhân khi cố định số giả hạt kích thích. Nói một cách chặt chẽ, từ các định luật bảo toàn không thể suy ra số giả hạt kích thích là tích phân chuyển động. Tuy nhiên có thể đ−a vào một đại l−ợng vật lý (ký hiệu là n) của các mẫu hạt độc lập và mẫu hạt nhân siêu chảy mà giá trị của nó đ−ợc xác định bằng số giả hạt kích thích, toán tử của nó giao hoán với Hamilton của hệ. Với quan điểm này có thể gọi đại l−ợng vật lý n đó là tích phân chuyển động. Điều khẳng định này cho phép phân loại trạng thái theo số kích thích tức là chúng ta có quyền tách ra và tính lại chỉ những trạng thái với n đã cho từ tập hợp đầy đủ các trạng thái. Trong mẫu các hạt độc lập thì đó là tổng số hạt và lỗ trống bị kích thích còn trong mẫu siêu chảy là số các giả hạt bị kích thích t−ơng ứng. Mật độ trạng thái khi số giả hạt bị kích thích cố định th−ờng đ−ợc gọi là mật độ trạng thái hạt - lỗ trống. Sự quan tâm đến mật độ trạng thái hạt - lỗ trống xuất hiện do phát triển giả thiết về sự đốt nóng tiền cân bằng các hạt [74, 75]. Tr−ớc hết chúng ta nghiên cứu mật độ trạng thái khí gồm các hạt Bolzman. Mẫu này không tính đến nguyên lý Pauli đối với số trạng thái một hạt bị lấp đầy đ−ợc sử dụng rộng rãi khi mô tả các quá trình tiền cân bằng. Vấn đề là chỉ trong mẫu này mới thu đ−ợc các biểu thức phân tích đơn giản thuận tiện đối với các đặc tr−ng thống kê khi cố định n. Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái của hệ gồm n hạt Bolzman. Để làm vậy, chúng ta phải thu đ−ợc tổng thống kê [10] mà nó đ−ợc xác định theo biểu thức (1.9) có dạng: Q(β) = ∑exp(−βEi ) i ở đây việc lấy tổng đ−ợc thực hiện theo tất cả các trạng thái i có năng l−ợng Ei của hệ. Khi viết năng l−ợng Ei d−ới dạng tổng các năng l−ợng một hạt εν, có thể thay việc lấy tổng các trạng thái của hệ thành lấy tổng theo tất cả các trạng thái của từng hạt riêng biệt. Mỗi trạng thái của hệ đ−ợc xác định bằng bộ n giá trị εν (n - số hạt trong hệ) mà các giá trị εn trong tr−ờng hợp khí Bolzman đ−ợc giả thiết là khác nhau. Khi viết exp(-βEi) d−ới dạng tích các thừa số exp(-βEν) đối với mỗi một hạt và tổng theo các trạng thái khả dĩ của từng hạt một cách riêng biệt chúng ta thu đ−ợc biểu thức: n ⎛ ⎞ ⎜∑exp(−βε ν )⎟ (5.1) ⎝ ν ⎠ 95
22. Bộ các giá trị khả dĩ εν đối với tất cả các hạt giống nhau là nh− nhau và tổng ∑exp(−βε ν )cũng nh− vậy. Tất cả các bộ n giá trị εν khác nhau chỉ ở phân bố ν các hạt theo trạng thái εν khác nhau t−ơng ứng với chỉ một trạng thái l−ợng tử của hệ. Vì thế cần chia biểu thức (5.1) theo số chuyển hoá khả dĩ n hạt với nhau tức là n!. Nh− vậy ta có: 1 ⎛ −βεν ⎞ n Q n (β) = ⎜ ∑ e ⎟ (5.2) n! ⎝ ν ⎠ Đối với hệ có phổ một hạt phân bố đều mật độ g trong gần đúng liên tục khi chuyển từ tổng sang tích phân với Qn(β) ta thu đ−ợc: ∞ n n 1 ⎛ −β ε ⎞ g Q n ()β = ⎜g ∫ e dε⎟ = n (5.3) n! ⎝ 0 ⎠ n!β Nếu xem xét các hạt bị kích thích đối với hệ Fermi vừa tạo thành mà các hạt bị kích thích lấp đầy các trạng thái một hạt cao hơn năng l−ợng Fermi và cả các lỗ trống nằm d−ới năng l−ợng Fermi nh− là các hạt Bolzman, tổng năng l−ợng của chúng là năng l−ợng kích thích U của hệ thì có thể tính đ−ợc mật độ trạng thái của hệ nh− vậy với số hạt kích thích p và số lỗ trống n đã biết trong gần đúng phổ một hạt liên tục [76]. Sử dụng biểu thức (1.10) chúng ta có: g ()g U p+h −1 ω ( U) = (5.4) ph p!h!(p + h −1)! Chúng ta nhận thấy rằng công thức (5.4) vừa nhận đ−ợc một cách chính xác nhờ lý thuyết tổ hợp [5, 6] mà không sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Nếu sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa, đối với ωph(v) ta sẽ có : g ( g U ) p+h −1 ⎛ 1 ⎞ ω ph ( U ) = ⎜ 1+ ⎟ (5.5) p!h!(p + h −1)! ⎝ 12( p + h ) ⎠ Do vậy trong tr−ờng hợp này đối với mật độ trạng thái, ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa cho độ chính xác đủ cao. Đối với hệ nh− trên cũng có thể khảo sát sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào mômen góc [77]. Đối với p hạt có thể viết: p 1 ⎡ ⎤ Q p ()β,à = ⎢∑ exp()−βεν +à m υ ⎥ (5.6) p! ⎣ ν ⎦ ở đây mν - hình chiếu mômen góc của trạng thái một hạt thứ ν. Thế hoá học à đ−ợc xác định từ điều kiện bảo toàn giá trị hình chiếu mômen góc của hệ. Nếu giả thiết phổ một hạt của hệ là rời rạc và các trạng thái bị phân tách theo dấu hình chiếu nh−ng giá trị tuyệt đối của hình chiếu của các trạng thái là nh− 96
23. nhau tức là đối với tất cả các hình chiếu mν = ± m, tổng thống kê (5.6) có thể viết d−ới dạng : p p 1 ⎛ g ⎞ k à m ( p − 2 k ) Q p ()β,à = ⎜ ⎟ ∑ C p e (5.7) p! ⎝ 2β ⎠ k = 0 k ở đây C p = p! /[k ! (p-k)!]. Tổng thống kê đối với hệ gồm h lỗ trống cũng đ−ợc viết t−ơng tự (5.7). Mật độ trạng thái ωph(U,M) thu đ−ợc từ sự biến đổi Laplax của tổng thống kê: β' + i∞ à' + i∞ 1 βU−àM ω ph (U,M) = ∫∫dβ dà e Qp (β,à)Qh (β,à) (2πi) ' ' β −i∞ à −i∞ (5.8) g(gU) p+h−1 = C()p+h −M/ m / 2 2 p+h p!h!(p+h−1)! p+h Rõ ràng là trong mẫu này mỗi hình chiếu mô men góc suy biến bậc m (có m giá trị) và thay đổi với b−ớc ∆M = 2m. Trong tổng (5.8), theo các giá trị khả dĩ M ta thu đ−ợc biểu thức nh− đối với mật độ trạng thái (5.4). Ngoài ra từ (5.8) ta suy ra rằng hình chiếu M bị giới hạn: M max = m ( p + h ) (5.9) Trong gần đúng mô men nhỏ M << Mmax theo công thức Stirling đối với các giai thừa, biểu thức (5.8) có thể chuyển sang dạng đơn giản hơn nh− sau: 2 ⎡ M 2 ( p + h +1)⎤ ωph ( U , M ) = ωph ( U ) exp ⎢ − 2 2 ⎥ (5.10) π(p + h ) ⎣ 2 m ( p + h ) ⎦ Nếu chuyển sang mật độ trạng thái trên khoảng năng l−ợng đơn vị của giá trị M tức là chia ωph(U,M) cho 2m , ta thu đ−ợc: 2 ωph ( U ) ⎛ M ⎞ ω ( U , M ) = exp⎜ − ⎟ (5.11) ph ⎜ 2 σ2 ⎟ 2 π σ ph ⎝ ph ⎠ 2 ở đây thông số phụ thuộc spin σ ph bằng : ( p + h ) 2 σ2 = m 2 ≈ m 2 ( p + h ) (5.12) ph p + h −1 Hệ thức (5.11) có dạng t−ơng tự dạng phụ thuộc spin của các trạng thái của mẫu khí Fermi (2.44a). 5.2 Các đặc tr−ng hạt - lỗ trống của hạt nhân độc lập. 97
24. Chúng ta khảo sát đặc tr−ng hạt - lỗ trống trong mẫu các hạt độc lập. Tr−ớc hết là tính mật độ trạng thái với tổng n của p hạt bị kích thích và h lỗ trống (n = p + h). Đối với hệ Fermi của một loại hạt, toán tử số kích thích nˆ có dạng [78]: ˆ nˆ = N + ∑ q ν nˆ ν (5.13) ν ở đây Nˆ là toán tử số hạt. ⎧ −1 khi ε ν ≤ ε F q ν = ⎨ (5.14) ⎩ +1 khi ε ν > ε F nˆν là các toán tử lấp đầy trạng thái một hạt thứ ν. Sử dụng các biểu thức (2.1a) và (2.1b) đối với toán tử Hamilton Hˆ và số hạt Nˆ dễ dàng chứng minh rằng toán tử nˆ giao hoán với Hˆ và Nˆ và nh− vậy nó là tích phân chuyển động. Khi đó t−ơng tự ở Đ 2.1 đối với mật độ trạng thái ω(E, N, M, n) t−ơng ứng với (1.102) ta sẽ có tổng thống kê d−ới dạng: lnQ(β,α,κ,γ)= γ N + ∑ ln[1+exp(−βεν +a + κ mν + γ q ν )] (5.15) ν exp[S(β ,α ,κ , γ )] ω()E, M, N,n = 0 0 0 0 (5.16) ( 2π2 ) D 1 / 2 ở đây S=β0 E − β0 N − κ 0 M − γ 0 n + ln Q (β0 ,α0 , κ 0 , γ 0 ) (5.17) là entropy của hệ. Các toạ độ điểm yên ngựa β0, α0, κ0, γ0 đ−ợc tìm ra bằng cách giải hệ ph−ơng trình: E = ∑εν n ν ⎫ ν ⎪ N = n ∑ ν ⎪ ν ⎬ (5.18) M = ∑ m ν n ν ν ⎪ ⎪ n = N + ∑ q ν n ν ν ⎭⎪ −1 ở đây: n ν =[]1+exp()βεν −α− κ m ν − γ q ν (5.19) là trung bình số giả hạt lấp đầy của trạng thái một hạt thứ ν. Chúng ta không đ−a vào các đạo hàm bậc hai để tính định thức D. Chúng sẽ đ−ợc tính dễ dàng trong các b−ớc tính ω đã đ−ợc đ−a ra trong mục Đ1.4. 98
25. Chúng ta hãy khảo sát kỹ hơn các đặc tr−ng hạt lỗ trống của hệ có phổ các mức một hạt, mật độ g/2 suy biến bậc 2 theo dấu hình chiếu mômen quỹ đạo một hạt m. Trong tr−ờng hợp này khi lấy tổng theo ν, rất dễ dàng tách tổng theo dấu của hình chiếu m và cả khi xác định qν theo (5.14), tổng theo ν đ−ợc thực hiện từ 0 đến εF với qν = -1 và từ εF đến ∞ với qν=1. Khi đó trong gần đúng liên tiếp với hệ ph−ơng trình (5.18) ta có: g ⎡ εF − + ∞ − + ⎤ ⎫ U = E − E 0 = ⎢ ∫ ε (n + + n + − 2)dε + ∫ (n − + n − )dε ⎥ ⎪ 2 0 ε ⎣ F ⎦ ⎪ g ⎡ εF − + ∞ − + ⎤ ⎪ N = ⎢ ∫ (n + + n + )dε + ∫ (n − + n − )dε⎥ 2 0 ε ⎪ ⎣ F ⎦ (5.20) ε ∞ ⎬ gm ⎡ F − + − + ⎤ ⎪ M = ⎢ ∫ (n + − n + )dε + ∫ (n − − n − )dε⎥ 2 ⎣ 0 εF ⎦ ⎪ ε ⎪ g ⎡ F − + ∞ − + ⎤ + − − ⎪ n = N + ⎢ − ∫ (n + + n )dε + ∫ (n + n )dε⎥ 2 ⎣ 0 εF ⎦ ⎭⎪ +,− −1 ở đây: n +,− []1+exp(βε − α ± κm ± γ (5.21) Trong công thức (5.21), dấu chỉ số trên tuỳ thuộc dấu của km, dấu chỉ số d−ới tuỳ thuộc dấu của γ. Thực hiện các tích phân ở (5.20) trong vùng gần đúng năng l−ợng thấp βεF >>1 đối với việc xác định β0, κ 0 và γ0 ta thu đ−ợc: 2 2 κ0 m + γ0 2 π ()κ 0 m + γ 0 − x Uβ0 = g + g + g ∫ ln ()1+ e dx (5.22a) 6 2 κ0 m − γ0 m g M = [ln ()1+ e γ0 + κ0 m − ln (1+ e γ0 − κ0 m )] (5.22b) β0 g γ − κ m n = [ln (1+ e γ0 + κ0 m ) + ln (1+ e 0 0 )] (5.22c) β0 Ph−ơng trình để xác định α0 trong gần đúng nói trên bị triệt tiêu, tức là trong tr−ờng hợp này mật độ trạng thái không phụ thuộc vào số hạt N của hệ. Entrôpi S có dạng: S= 2β0 U − γ 0 n − κ 0 M (5.23) Hệ các ph−ơng trình (5.22) có thể làm hệ cơ bản cho các tính toán khác. Chúng ta xem xét gần đúng mômen nhỏ. Giả thiết κm << 1 và ph−ơng trình (5.22) đ−ợc khả triển theo chuỗi κm chúng ta sẽ có: 99
26. 2 2 2 γ0 2 π κ 0 m Uβ0 = g + 2g ∫ ln ()1+ exp x dx + (5.24a) 6 0 1+ exp( − γ 0 ) 2 κ m 2 g M = 0 (5.24b) β0 []1+ exp( − γ 0 ) 2 2 2g g κ 0 m exp( − γ 0 ) n = ln ()1+ exp γ 0 + 2 (5.24c) β0 β0 []1+ exp()− γ 0 Từ đó, để xác định β0 và γ0 ta thu đ−ợc: 2 π γ0 g + 2 g ∫ ln ()1+ exp x dx 2 6 0 β 0 = 2 2 (5.25a) U − M []1+ exp ()− γ 0 / ()4 m g 2 2 M β 0 exp ( − γ 0 ) n = g ln ()1+ exp γ 0 + 2 (5.25b) β 0 4 m g Mật độ trạng thái ω(U, M,n) trong gần đúng này thu đ−ợc nh− sau [79]: ⎛ M 2 ⎞ ω U, n exp⎜− ⎟ ()⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 σ n ⎠ ω()U, M,n = (5.26) 2 n σ n 2 ở đây σ n - thông số phụ thuộc spin. 2 2 2 m g σ n = (5.27) β 0 []1+ exp ()− γ 0 expS ω()U, n = g Φ ()U, n n (5.28) 1 ()g U 5 / 4 3 / 2 ⎡ ln ()1+ exp γ 0 ⎤ 1+ exp ( − γ 0 ) và Φ 1 ()U, n = ⎢ ⎥ 2 π n / g U 2 1/ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ [1−[]1+ exp(− γ 0 )n / (4g U )] (5.29) Sn = 2β0 U − γ 0 n (5.30) các đại l−ợng β0 và γ0 trong (5.27) - (5.30) đ−ợc xác định bằng hệ ph−ơng trình (5.25) khi M = 0. Các hệ thức (5.28) - (5.30) đối với mật độ các trạng thái hạt- lỗ trống không tính đến mômen góc đ−ợc đ−a ra trong [78]. Cũng nh− trong bài toán về mật độ trạng thái không cố định số kích thích, trong tr−ờng hợp này 100
27. chúng ta có thể đ−a vào khái niệm mômen quán tính mà nó đ−ợc xác định nh− sau: 2 2 2 m g ℑn = σ0 β 0 = (5.31) 1+ exp ()− γ 0 khi γ = 0, các hệ thức (5.25) - (5.31) chuyển thành các ph−ơng trình của mẫu khí Fermi không cố định số kích thích mà chúng ta đã khảo sát trong ch−ơng 2. Khi đó, ph−ơng trình (5.25b) với M = 0 xác định số hạt và lỗ trống bị kích thích trung bình nh− sau: n = 2g t ln 2 ≈1,08 g U (5.32) con số này trùng với kết quả đã thu đ−ợc (2.19). Khi M = 0 tỷ số của các đặc 2 tr−ng thống kê Sn, σ n, Jn với các đặc tr−ng t−ơng tự khi γ = 0 phụ thuộc chỉ vào tỷ số n và do vậy các tỷ số này có dạng chung không phụ thuộc vào các thông n 2 σ n ℑn số của hệ đ−ợc khảo sát. Trên hình 5.1 biểu thị tỷ số Sn/ S , , và cả σ ℑTB gía trị thừa số tr−ớc hàm e mũ φ1 và thế hoá học γ t−ơng ứng với quy luật bảo toàn số hạt và lỗ trống kích thích n. Rõ ràng rằng khi n << n thì γ →- ∞ còn khi n → nmax thì γ → ∞. Các thông tin trên hình 5.1 là đủ để tính giá trị mật độ mức khí Fermi ở gần đúng mômen nhỏ. Hình 5.1. Các đặc tr−ng hạt – lỗ trống của Hình 5.2. Trung bình số lấp đầy n(ε/εF) mẫu khí Fermi [78,79]. trong hệ Fermi với số hạt kích thích xác định đ−ợc tính ở nhiệt độ t = εF/15 đối với các giá trị γ khác nhau. Chúng ta nhận thấy trong hệ với n cố định tồn tại các đặc tr−ng xác định khi biểu thị số lấp đầy trung bình n theo năng l−ợng trạng thái một hạt ε. Trên hình 5.2 chỉ ra sự phụ thuộc n(ε/εF). Trên hình vẽ thấy rõ sự thay đổi ngột ngột khi ε 101
28. = εF mà giá trị của chúng không phụ thuộc vào t mà chỉ xác định bằng giá trị γ tức là bằng tỷ số n/ n: γ lim[n ()ε F + δ − n ()ε F − δ ] = th (5.32) δ → 0 2 γ π2 ∫ ln ()1+ e x dx ≈ − + e γ ; ln ()1+ e γ ≈ e γ (5.33) 0 12 Chúng ta khảo sát tr−ờng hợp ng−ỡng của sự phụ thuộc của đặc tr−ng hạt lỗ trống vào n/ n. Nh− đã nhận thấy khi n / n = 1, đại l−ợng γ = 0, entropy Sn, thông 2 số phụ thuộc spin σn , mômen quán tính ℑTB bằng các giá trị t−ơng ứng của mẫu khi Fermi không cố định số kích thích. n/ n << 1 t−ơng ứng với tr−ờng hợp γ → - ∞. Một cách gần đúng có thể coi là thay thế (5.33) vào (5.25) khi M = 0 ta thu đ−ợc: n 2 λ n γ ≈ ln = 2ln ; λ ≈ 1,08 (5.34a) 2 g U 2 n β −1 = t = U / n (5.34b) Từ (5.34) thấy rằng trong tr−ờng hợp này nhiệt độ mang ý nghĩa cổ điển nh− 2 năng l−ợng tạo nên một kích thích. Đối với Sn, σn và ℑn ta có: Sn = 2nln[en 2 / ( nλ )] (5.35a) 2 2 σ n = m n (5.35b) 2 2 ℑn =m g()λn /n (5.35c) 2 Biểu thức (5.35b) đối với σn trùng với (5.12) của hệ khí của các hạt Bolzman. Trong [78] đã chứng minh rằng ở ng−ỡng n/n << 1, mật độ trạng thái hạt lỗ trống ω(U, M, n) có dạng giống nh− mật độ trạng thái đối với khí các hạt Bolzman. Do vậy khi n/ n << 1 nguyên lý cấm Pauli không có ý nghĩa thực tế và để tính ω(U, M, n) có thể sử dụng các hệ thức (5.4) và (5.11). Khi trừ ph−ơng trình (5.22c) cho (5.22b) ta thu đ−ợc: ln [1+ exp ()γ − κ m ]= (β / 2 g )( n − M / m ) (5.36) Từ đó mômen cực đại của hệ lý t−ởng bằng: ' M max = m n (5.37) 102
29. hơn nữa giới hạn này đạt đ−ợc khi γ → - ∞ tức là khi n/ n > 1. Khi đó γ → ∞ và có thể viết một cách gần đúng: γ π2 γ 2 ∫ ln ()1+ e x dx ≈ + ; ln ()1+ e x ≈ γ (5.38) 0 6 2 Thay thế (5.38) vào (5.25) khi M = 0 ta thu đ−ợc: γ = π n / 3()4g U − n 2 (5.39a) β = 2πg / 3()4g U − n 2 (5.39b) Do vậy trong mẫu khí Fermi để xuất hiện kích thích n hạt trong hệ cần mất năng l−ợng cực tiểu là: 2 U min = n / ( 4g ) (5.40) Khi đó β→ ∞ và do vậy t = β-1→ 0 Chúng ta chứng minh rằng biểu thức (5.40) đối với Umin mà ta thu đ−ợc bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa trong giải pháp thống kê trùng với biểu thức tính tổ hợp. Trên hình 5.3 là sơ đồ kích thích của hệ Fermi với phổ một hạt phân bố đều của mật độ g. Bên d−ới εF xuất hiện các lỗ trống, bên trên εF là các hạt, hơn nữa trong tr−ờng hợp kích thích có năng l−ợng cực tiểu, các hạt và lỗ trống đ−ợc sinh ra gần năng l−ợng Fermi εF. Rõ ràng là năng l−ợng cực tiểu để kích thích p hạt và h lỗ trống trong hệ (p = h = n/2) bằng: 1 3 2n − 1 n / 2 2k − 1 n 2 U min = + + = ∑ = (tổng có n/2 số hạng) g g g k=1 g 4g 103
30. Hình 5.3. Phân bố hạt trong hệ Fermi với n cố định khi t = 0. • Phân bố hạt các mức bị các hạt lấp đầy. o Phân bố các mức bị lấp đầy bằng lỗ trống. Dựa trên (5.40) có thể tính số kích thích cực đại có thể xuất hiện trong hệ ở năng l−ợng đã cho: n max = 2 g U ≈ 1,86n (5.41) Khi thay thế γ và β từ (5.39) vào các hệ thức (5.30), (5.27) và (5.31) đối với Sn, 2 σn và ℑ n ta thu đ−ợc: π 2 Sn = 3[()1,86n / n − 1 ] (5.42a) 3 2 2 m 2 σn = n 3[()1,86n / n − 1 ] (5.42b) π 2 ℑn = 2 m g = 2 ℑtb (5.42c) 2 ở đây ℑ tb= m g. ở trên đã nghiên cứu đặc tr−ng thống kê đối với các tr−ờng hợp ng−ỡng ở gần đúng mômen nhỏ. Bây giờ chúng ta cần xem xét vấn đề mômen cực đại mà nó có thể xuất hiện trong hệ và cả vùng giá trị M mà các gần đúng mômen nhỏ đủ để mô tả các đặc tr−ng hạt – lỗ trống của hệ. Ta đã thu đ−ợc hệ thức (5.37) đối với Mmax. Hệ thức này đ−ợc tìm ra khi γ→-∞ tức là n n ở giới hạn γ→-∞ các hệ thức (5.22) có thể đ−ợc biểu diễn nh− sau: β M β n ⎫ κ = ; γ = 2 ⎪ 2 g m 2 g ⎪ (5.43) π 2 n 2 M 2 ⎬ 2 2 2 ⎪ U β = g + β + 2 β 3 4 g 4 m g ⎭⎪ ở giới hạn t = 0 (β → ∞) từ ph−ơng trình cuối cùng của (5.43) ta thu đ−ợc: 104
31. U = n 2 / ()4 g + M 2 / (4g m 2 ) (5.44) từ đó suy ra rằng trong tr−ờng hợp này năng l−ợng kích thích phân bố nh− sau: 2 Umin = n /4g - năng l−ợng cực tiểu để kích thích n hạt và lỗ trống trong hệ; 2 2 M / (2 ℑ n ) = U - n /4g - năng l−ợng quay khi các hạt và lỗ trống chiếm các 2 trạng thái một hạt khả dĩ thấp nhất khi đó ℑ T = 2gm = 2 ℑ tb phù hợp với biểu thức (5.42c) mà ta đã thu đ−ợc. Ngoài ra từ (5.44) suy ra rằng giá trị khả dĩ cực đại của mômen trong hệ bằng: ' ' 2 M max = 2 m g U − n / 4 (5.45) Do vậy khi n n thì mômen cực đại bằng M”max. Chúng ta hãy tìm giá trị n/n sao cho cả hai biểu thức (5.37) ' và (5.45) bằng nhau. Thay thế chỗ M”max trong (5.45) bằng giá trị Mmax = mn ta có: n / n ≈ 1,31 (5.46) Nh− vậy, ta thu đ−ợc vùng tác động của các hệ thức (5.37) và (5.45) chính xác hơn với n/ n 1,31 thì bằng biểu thức (5.45). Cuối cùng từ (5.37) và (5.45) suy ra rằng giá trị cực đại khả dĩ của hình chiếu mômen góc trong hệ bằng: M max = 1,31 m n (5.47) Nghiệm hệ ph−ơng trình (5.22) theo các vùng thay đổi khả dĩ của mômen góc đã đ−ợc tìm theo ph−ơng pháp số. Trên hình 5.4 biểu thị tỷ số Sn(M)/S(M=0) (S = 2 aU ). Rõ ràng rằng gần đúng mômen nhỏ mô tả chính xác entrôpy của hệ ở M và n/ n bất kỳ, kể cả vùng mômen lớn đối với n > n tức là khi M gần bằng M”max. Bởi vì dạng mật độ trạng thái đ−ợc xác định bằng sự phụ thuộc của entrôpy S vào tích phân chuyển động nên có thể giả thiết rằng mật độ trạng thái hạt lỗ trống sẽ đ−ợc mô tả đủ tốt bằng gần đúng mômen nhỏ trong tất cả các vùng của giá trị M. Hình 5.4. Tỷ số Sn/S phụ thuộc vào M/mn [77] Vùng giới hạn của các giá trị cho phép M ; - Tính theo công thức (5.24) Tính trong gần đúng mômen nhỏ. 105
32. Phần mô tả dạng đặc tr−ng hạt lỗ trống của hệ Fermi với phổ rời rạc chúng ta xem hình 5.5. Hình 5.5. Sự phụ thuộc năng l−ợng của mật độ trạng thái và thông số phụ thuộc spin đ−ợc tính cho mẫu khí Fermi theo công thức 5.27 ; 5.28 (đ−ờng cong liền nét) và đối với mẫu khí Bolzman theo công thức (5.4) và (5.12) (đ−ờng đứt nét) khi số hạt kích thích cố định. Các con số ở các đ−ờng cong là n = p+h - số hạt và lỗ trống bị kích thích. Các đ−ờng cong đ−ợc tính với hệ có g=12,2MeV-1, m2 =1. 2 Trên hình là sự phụ thuộc năng l−ợng của lnωn và σ n. Rõ ràng là mẫu khí các 2 hạt Bolzman mô tả khá tốt ωn và σ n ở n nhỏ. Sự khác biệt rõ xuất hiện ở vùng năng l−ợng kích thích nhỏ đối với n lớn là do ảnh h−ởng của nguyên lý cấm Pauly còn có tác dụng. Để xem vai trò nguyên lý Pauly đến đâu, th−ờng sử dụng công thức gần đúng thu đ−ợc trong [80] để tính ω(U,n): p + h −1 g (g U * ) ω ( U ) = (5.48) ph p!h!()p + h −1 ! ở đây năng l−ợng kích thích hiệu dụng U* trong tr−ờng hợp p=h=n/2 có dạng: n ( n − 2 ) U * = U − (5.49) 8 Biểu thức (5.48) khi n nhỏ mô tả tốt mật độ trạng thái hạt lỗ trống của hệ Fermi trong tất cả dải năng l−ợng kích thích. Khi n tăng thì độ chính xác của sự mô tả giảm xuống đặc biệt gần ng−ỡng xuất hiện n kích thích hạt - lỗ trống. Chúng ta xem xét ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt tới các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân nguyên tử khi số giả hạt kích thích cố định. ở đây sẽ không tìm cách đ−a ra các hệ thức cần thiết để tính các đặc tr−ng thống kê này vì rất dễ dàng thu đ−ợc chúng. Chúng hoàn toàn t−ơng tự các biểu thức (2.53) - (2.60). Chỉ duy nhất bổ sung một ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa γ và t−ơng ứng là entrôpy S và định thức của ma trận các đạo hàm bậc hai D sẽ phức tạp hơn. Các hiệu ứng lớp xuất hiện mạnh nhất ở các tính chất của hạt nhân hai lần magic. Trên hình 5.6 và 5.7 là các đặc tr−ng hạt - lỗ trống của hạt nhân Pb208 thu 106
33. đ−ợc với phổ một hạt của thế Xăcxon - Wud [16], khi so sánh với các tính toán không cố định số kích thích và với mẫu khí Fermi. ảnh h−ởng của cấu trúc lớp tỏ ra rất mạnh khi so sánh với các tính toán các đặc tr−ng trong mẫu có phổ một hạt phân bố rời rạc (hình 5.7). Rõ ràng là đối với phổ cấu trúc lớp, dạng các đ−ờng cong trên hình phụ thuộc nhiều vào năng l−ợng kích thích. Khi tăng năng l−ợng kích thích, ảnh h−ởng của hiệu ứng lớp giảm yếu và các đ−ờng cong sẽ gần với dạng tính cho mẫu khí Fermi. Tuy nhiên dễ nhận thấy sự suy yếu của hiệu ứng lớp xuất hiện chủ yếu với n ≤ n tức là khi sự suy biến lớp không áp đặt các giới hạn lên sự phân bố năng l−ợng kích thích của hệ theo các trạng thái khả dĩ của các hạt và lỗ trống. Đối với n > n các hiệu ứng lớp luôn tồn tại và sự khác biệt với các đ−ờng cong của khí Fermi là lớn cả khi năng l−ợng kích thích cao. Trong [81] đã chứng minh rằng nếu đ−a vào các đại l−ợng a, m 2 t−ơng ứng với (2.63), (2.62) mà trong mẫu khí Fermi chúng là hằng số thì sự phụ thuộc năng l−ợng của chúng còn tỏ ra mạnh hơn so với trong giải pháp không cố định số kích thích. 5.3 ảnh h−ởng của các hiệu ứng t−ơng quan tới các đặc tr−ng thống kê khi số giả hạt kích thích cố định. Chúng ta hãy nghiên cứu các đặc tr−ng thống kê trong mẫu hạt nhân siêu chảy. Để đơn giản, chúng ta giới hạn việc khảo sát hệ hạt Fermi cho một loại hạt với Hamilton có dạng (5.1). Dựa trên phép biến đổi Khatri-Phok-Bôgôlibôv có thể chuyển từ Hamilton của các hạt t−ơng tác sang Hamilton của các giả hạt độc lập. Cách chuyển này đã đ−ợc thực hiện ở mục Đ3.1 Nh− vậy chúng ta sẽ khảo sát hệ với Hamilton: ˆ H = U0 + ∑ Eν nˆ ν (5.50) ν + + ở đây nˆ = a νaν ; a ν và aν - là các toán tử sinh và huỷ giả hạt trong các trạng thái 2 2 có năng l−ợng E ν = ()ε ν − λ + ∆ ; εν - năng l−ợng của trạng thái một hạt, λ - thế hoá học đ−ợc xác định từ điều kiện bảo toàn số hạt toàn phần trong hệ ; ∆ - hàm t−ơng quan. Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái của hệ gồm N hạt Fermi có năng l−ợng kích thích U đã cho, hình chiếu mômen góc M và số giả hạt kích thích đã biết n. Các toán tử hình chiếu mômen góc Mˆ và số giả hạt kích thích có dạng: ˆ + M = ∑∑mν aν aν = mν nν νν + nˆ = ∑∑aν aν = nˆν νν Rõ ràng là các toán tử Mˆ và nˆ giao hoán với Hˆ (5.50) và do vậy các toán tử này là tích phân chuyển động. 107
34. 2 Hình 5.6. Sự phụ thuộc năng l−ợng của các n - σ 208 Hình 5.7. Sự phụ thuộc của S / S , n đặc tr−ng hạt – lỗ trống của hạt nhân Pb σ 2 [81]. Các con số ở các đ−ờng cong là n = và γ vào đối với Pb208 [77, 81] ở các p+h là số hạt và lỗ trống kích thích. n / n năng l−ợng kích thích khác nhau U(đ−ờng liền nét). Sự phụ thuộc t−ơng tự trong mẫu khí Fermi đ−ợc thể hiện bằng các đ−ờng đứt nét. Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đ−ợc đ−a ra trong Đ1.2 và Đ1.4 cho phép viết các hệ thức tổng quát để tính toán mật độ trạng thái của hệ với N, U, M và n đã biết. Để mô tả chính xác nhất ảnh h−ởng của các hiệu ứng cặp tới các đặc tr−ng thống kê, chúng ta giả thiết rằng hệ có mật độ g/2 và phổ một hạt rời rạc suy biến bậc 2 theo hình chiếu của mômen góc m. Ngoài ra chúng ta sẽ sử dụng gần đúng nhiệt độ thấp t << εF và gần đúng phổ liên tục. Các tính toán sẽ bớt phức tạp hơn rất nhiều khi giả thiết nh− vậy vì điều kiện bảo toàn số hạt toàn phần sẽ tự động thoả mãn do tính đối xứng của phổ một hạt đối với λ và các đặc tr−ng khác của hệ đ−ợc tính đến trong hàm mật độ trạng thái thông qua các thông số g, m và ∆0. Trong các gần đúng này, t−ơng ứng với phân tích trong ch−ơng 3, đối với entrôpi S của hệ có thể viết [77]: ω~ 2 2 2 2 S=g∫ { ()β ε +∆ −γ−κm n+ +(β ε +∆ −γ+κm) n− + 0 (5.52) + ln[]1+exp(−β ε 2 +∆2 +γ+κm) + ln[1+exp(−β ε 2 +∆2 +γ− κm)]}dε Các ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa β, γ và κ có dạng : ω~ 2 2 2 2 2 2 ∆ −∆0 U=g∫ []ε +∆ − ε − ∆ ()1−n+ −n− dε + (5.53a) 0 G 108
35. ω~ n = g ∫ ()n + −n − dε (5.53b) 0 ω~ M = mg ∫ ()n + −n − dε (5.53c) 0 ở đây: − 1 2 n ± = [1+ exp (β ε + ∆ − γ m κ m )] (5.54) là trung bình số lấp đầy các trạng thái giả hạt ; ∆0 và ∆ - hàm t−ơng quan của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích mà chúng đ−ợc xác định từ các ph−ơng trình: 2 ω~ dε = g (5.55a) ∫ 2 2 G 0 ε + ∆ ω~ 2 1 + n + − n − = g dε (5.55b) ∫ 2 2 G 0 ε + ∆ ở đây G - hằng số t−ơng tác t−ơng quan. Sau khi tích phân theo năng l−ợng trong (5.52), (5.55) ta cho ω tiến đến ∞. Chúng ta nhận thấy rằng ∆ = 0 thì các hệ thức (5.52) - (5.54) chuyển thành các hệ thức (5.22), (5.23) của mẫu khí Fermi với 2 năng l−ợng kích thích hiệu dụng U* = U - g∆ 0/4. Các ph−ơng trình (5.53) và (5.55) chuyển thành: 2 2 ω~ ⎛ 2 ⎞ ∆0 −∆ ⎜ 2 2 ∆ ⎟ U=g− +g∫ ε +∆ − ()n+ +n− dε (5.56a) ⎜ 2 2 ⎟ 4 0 ⎝ 2 ε +∆ ⎠ ω~ n + M / m=2g ∫ n + dε (5.56b) 0 ω~ n − M / m=2g ∫ n − dε (5.56c) 0 ω~ ∆ n + +n − ln 0 = dε (5.56d) ∫ 2 2 ∆ 0 ε + ∆ Từ ph−ơng trình (5.56c) suy ra rằng trong hệ không thể có mômen góc với hình chiếu lớn hơn M’ = mn. Chúng ta sẽ giải hệ ph−ơng trình (5.56) đối với một loạt các tr−ờng hợp ng−ỡng. Giả thiết rằng t = 0 (β→∞). Trong tr−ờng hợp này hệ nằm ở trạng thái thấp nhất với U, M, n đã biết. Chúng ta tìm ∆ và U từ hai tr−ờng hợp ng−ỡng M = mn và M = 0. 109
36. Từ các ph−ơng trình (5.56) thấy rằng tr−ờng hợp t = 0 và M = mn t−ơng ứng với n− = 0 và: ⎧1 khi ε≤ n / g ⎪ n + ()ε = ⎨ (5.57) ⎩⎪0 khi ε〉 n / g Nghiệm của các ph−ơng trình có dạng: 1/ 2 ∆ = ∆ 0 []1 −2n / (g ∆ 0 ) (5.58a) U min( M = mn ) = n ∆ 0 [1 − n / (2g ∆ 0 )] (5.58b) Trong tr−ờng hợp t = 0 và M = 0 chúng ta có: ⎧1 khiε ≤ n / ( 2 g ) n + ( ε) = n − ( ε) = ⎨ (5.59) ⎩0 khiε〉 n / ( 2g ) Các ph−ơng trình (5.56) có thể đ−ợc viết d−ới dạng: 3 2 2 2 ∆ − 2∆ 0 ∆ + ∆ 0 ∆ − ∆ 0 ( n / g ) = 0 (5.60a) 2 ⎡ 2 2 ⎤ g ∆ ⎛ ∆ ⎞ n ⎛ n ⎞ ⎛ ∆ ⎞ U ()M = 0 = 0 ⎢1− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 4⎜ ⎟ ⎥ (5.60b) min 4 ⎢ ⎜ ∆ ⎟ g ∆ ⎜ g ∆ ⎟ ⎜ ∆ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ 0 ⎠ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎦ Nghiệm của các ph−ơng trình (5.58) và (5.60) đ−ợc biểu diễn ở hình 5.8. Ph−ơng trình (5.60a) có hai kết quả đ−ợc phép về mặt vật lý: Trên hình 5.8a, ∆ giảm khi n tăng trên đ−ờng liền nét và tăng trên đ−ờng đứt nét. Khi n g∆0/3 tr−ờng hợp khi kích thích có ∆ > 0 tỏ ra phức tạp hơn. Tuy nhiên cần xem xét với ∆n = 0. Khi đó thực hiện tích phân trong (5.56a) với t = 0, ∆n = 0 và M = 0 dễ dàng thu đ−ợc: 2 2 U min = g ∆ 0 / 4 + n / ( 4g ) (5.61) Trên hình 5.8b cho thấy khi n > g∆0/3 hệ dễ dạng bị kích thích ngay cả với ∆n= 0. Do vậy có thể tách hai vùng giá trị n: 110
37. - Vùng với n g∆0/3 trong đó ∆n= 0 và năng l−ợng cực tiểu có dạng (5.61). Hình 5.8. Năng l−ợng cặp và năng l−ợng cực tiểu phụ thuộc vào số giả hạt [77]: 1 - Đối với M = mn ; 2 - Đối với M= 0 ; 3 - Nghiệm với ∆ =0 thu đ−ợc từ công thức (5.61). ý nghĩa vật lý của kết quả này khá rõ ràng: Khi số giả hạt kích thích nhỏ, hệ dễ dàng bị kích thích với sự phá vỡ cặp và phần năng l−ợng để phá vỡ từng cặp là khoảng 2∆0. Từ hệ thức (5.58b) rõ ràng là năng l−ợng cực tiểu của cấu hình n hạt cách Umin đối với cấu hình n+2 hạt một l−ợng 2∆0. Nhân tử trong các dấu ngoặc vuông của (5.58a) mà nó dẫn tới sự giảm của ∆n liên quan tới hiệu ứng nhóm lại các mức [12, 21] ở chỗ hàm t−ơng quan giảm khi xuất hiện giả hạt đơn lẻ gần năng l−ợng Fermi (năng l−ợng giả hạt gần bằng năng l−ợng Fermi). Cụ thể hơn chúng ta nhận thấy rằng giải pháp thống kê với số giả hạt kích thích cố định cho phép thu đ−ợc khe hẹp cỡ 2∆0 trong phổ của hệ chẵn - đây là kết quả rất tốt khi mô tả vi mô một hệ có t−ơng tác t−ơng quan mà không thu đ−ợc bằng giải pháp thống kê truyền thống. Từ (5.58b) suy ra rằng: U min ( n = 2) = 2 ∆ 0 [1−1/ ( g ∆ 0 ) ] (5.62) Cùng lúc đã thu đ−ợc là theo chiều tăng của n khi n lớn hơn g∆0/3, hệ bắt đầu bị kích thích với ∆ = 0 sau khi tốn một năng l−ợng cực tiểu (5.61). Hệ quả đầu tiên của (5.61) - đó là năng l−ợng liên kết (3.42), hệ quả thứ 2 là nó trùng với biểu thức (5.40) đối với năng l−ợng cực tiểu khi kích thích n hạt trong mẫu khí Fermi. Nh− vậy, theo kiểu kích thích này, hệ mất một phần năng l−ợng liên kết để chuyển từ trạng thái siêu chảy sang trạng thái bình th−ờng sau đó bị kích thích nh− khí các hạt Fermi. Kết quả quan trọng thứ hai là: các năng l−ợng cặp ∆n khi M = mn và khi M = 0 trùng nhau khi t = 0. Trong [77] đã chứng minh rằng với n bất kỳ, hàm t−ơng quan thực tế không phụ thuộc vào hình chiếu mômen góc. Điều đó có nghĩa rằng số giả hạt kích thích cố định có ảnh h−ởng mạnh tới hàm t−ơng quan của hệ và sự cố định của hình chiếu mômen góc không dẫn tới sự thay đổi bất kỳ của ∆n. Vì vậy sự phụ thuộc mômen góc của 111
38. mật độ trạng thái của hệ với số giả hạt kích thích đã cho đ−ợc mô tả tốt trong cả mẫu siêu chảy lẫn mẫu các hạt độc lập ở gần đúng mômen nhỏ. Chúng ta xem xét các đặc tr−ng thống kê khi M = 0 và nhiệt độ t = β-1 > 0. Nghiệm của các ph−ơng trình (5.55) và (5.56a) khi γ = 0 trùng với các nghiệm của các ph−ơng trình (3.46) và (3.55) trong giải pháp thống kê không cố định số kích thích. Khi γ = 0, dễ dàng tính đ−ợc trung bình số giả hạt kích thích: ∞ ∞ 2 2 2 ν +1 n = n(γ =0) = g ∫ ch (β ε + ∆ / 2 )dε =2g ∆ ∑ ( −1) K1 ()νβ∆ (5.63) 0 ν =1 ở đây K1(x) - Hàm Macdoman [9]. Chúng ta nghiên cứu đặc tr−ng của hệ khi n < n ở nhiệt độ đã cho. Trong tr−ờng hợp này γ < 0 và trung bình số lấp đầy có thể đ−ợc khai triển thành chuỗi [46 – 48]. Khi đó hệ ph−ơng trình (5.56) có dạng: ∞ 2 ν +1 γ ν g 2 2 U = g ∆ n ∑ ()−1 e K 2 (νβ ∆ )+ ()∆ 0 − ∆ n (5.64a) ν =1 4 ∞ ν +1 n = 2g∆ n ∑ ()−1 K1 (νβ∆ n ) (5.64b) ν =1 ∞ ∆ n ν +1 γ ν ln = − 2 ∑ ()−1 e K 0 (νβ∆ n ) (5.64c) ν =1 ∆ 0 2 Đối với entrôpy Sn và thông số phụ thuộc spin σ n ta thu đ−ợc: ⎡ g 2 2 ⎤ Sn = 2β U − ()∆ 0 − ∆ n − γ n 5.65a) ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ∞ 2 2 ν +1 γ ν σn = 2g m ∑ ()−1 e K1 (νβ∆ n ) (5.65b) ν =1 Nếu số giả hạt kích thích n nhỏ hơn n rất nhiều thì γ → -∞ , và trong các đa thức (5.64) và (5.65) có thể giới hạn chỉ ở những số đầu tiên. Khi đó có thể thu đ−ợc sự phụ thuộc rõ ràng của các đặc tr−ng thống kê vào n: ∆ n K (β∆ ) ln n = − 0 n (5.66a) ∆ 0 g ∆ n K1 ()β∆ n * 2 2 n ∆ n K 2 (β∆ n ) U = U − g()∆ 0 − ∆ n / 4 = (5.66b) 2 K1 (β∆ ) * Sn = 2βU − nln[n / (2g∆ n K1 (nβ∆ n ) ) ] (5.66c) 112
39. 2 2 σ n = m n (5.66d) Các hệ thức (5.66) có dạng rất đơn giản ở vùng nhiệt độ cao (∆nβ → 0) khi đó trong các chuỗi khai triển của hàm Macđoman có thể giới hạn chỉ ở những số hạng không bị triệt tiêu đầu tiên [9], từ đó: ∆ nβ 2 ln n = − ln (5.67a) ∆ 0 g Cβ∆ n U * = n /β (5.67b) 2 * Sn = 2n − nln[n / (2g U )] (5.67c) ở đây C = 0,5722 - Hằng số Ơle. Từ (5.67a) suy ra rằng trong hệ có số giả hạt kích thích cố định khi tăng năng l−ợng kích thích t → ∞ (β → 0), hàm t−ơng quan ∆n tiến tới ∆0. Sự thay đổi nh− vậy của hàm t−ơng quan có thể đ−ợc giải thích nh− sau : giá trị hàm t−ơng quan cực đại và bằng ∆ ở trạng thái cơ bản, với việc tạo ra các giả hạt gần năng l−ợng Fermi, hàm t−ơng quan giảm xuống làm phá vỡ hiệu ứng nhóm mức [12,21]. Trên hình 5.2 chỉ ra rằng đối với khí Fermi khi γ = -2 t−ơng ứng với tr−ờng hợp n g∆0/3) hàm t−ơng quan ở vùng năng l−ợng thấp bằng không và sự thay đổi của các đặc tr−ng thống kê của hệ đ−ợc mô tả bằng các ph−ơng trình của mẫu khí Fermi với năng l−ợng kích thích hiệu dụng U* = U - g∆0/4. Tuy nhiên khi năng l−ợng kích thích tăng thì hàm t−ơng quan xuất hiện trong hệ, nh− vậy tức là xảy ra sự dịch chuyển pha từ trạng thái bình th−ờng sang trạng thái siêu chảy và khi U rất lớn, hệ trở thành hệ khí các hạt Bolzman. Để mô tả định l−ợng các đặc tr−ng thống kê của hệ, cần giải hệ các ph−ơng trình (5.56) khi M = 0. Nghiệm của hệ này đã đ−ợc tính bằng số. Các kết quả thu đ−ợc nh− sau : 113
40. 2 2 t k p = 0,567∆ 0 ; U k p = 0,778g ∆ 0 ; Sk p = (π / 3 )g t k p (5.68) 2 2 σk p = m g t k p ; n k p = 2(ln2)g t k p Các đại l−ợng trên chỉ ra các đặc tr−ng thống kê của điểm chuyển pha từ trạng thái siêu chảy sang trạng thái bình th−ờng đối với hệ không cố định số giả hạt kích thích. Sự phụ thuộc đẳng nhiệt của các đặc tr−ng thống kê của hệ vào số giả hạt kích thích đ−ợc biểu diễn trên hình 5.9. Bên phải của đ−ờng cong chuyển pha là hệ nằm ở pha bình th−ờng (∆0 = 0), bên trái là pha siêu chảy (∆n > 0). Sự phụ thuộc năng l−ợng của các đặc tr−ng thống kê của hệ khi n cố định đ−ợc đ−a ra trên hình 5.10 và 5.11. Các kết quả tính toán đ−ợc đ−a ra khẳng định các kết luận ở phần trên về các dạng thay đổi chung của các đặc tr−ng thống kê của hệ có số giả hạt cố định. 2 2 Hình 5.9. Sự phụ thuộc của Un/Uc, ,Sn/Sc và σ n/σ c vào n/nc [82] Đ−ờng cong chuyển pha từ trạng thái siêu chảy sang trạng thái th−ờng. Năng l−ợng cực tiểu (5.58b), (5.61) t−ơng ứng với t = 0. Chúng ta xem xét bài toán tính mật độ trạng thái của hệ. Sự khác biệt của lnω so với entrôpy đ−ợc giải thích là do có các thừa số tr−ớc hàm e mũ và vì thừa số này là hàm phụ thuộc yếu vào năng l−ợng kích thích nên vài trò của nó là chỉ để thu đ−ợc chính xác giá trị tuyệt đối của ω. Sự phụ thuộc năng l−ợng của mật độ trạng thái đ−ợc xác định nhờ sự thay đổi entrôpi của hệ. Dễ dàng tính đ−ợc hoặc khảo sát đ−ợc thừa số tr−ớc e mũ [82]. Những tính toán nh− vậy rất tỷ mỉ vì vậy rất cần những hệ thức thật đơn giản để tính mật độ trạng thái. Từ những kết quả đ−ợc biểu diễn trên hình 5.10 và 5.11 dễ dàng thấy rằng đối với hệ có n > g∆0/3, sự thay đổi các đặc tr−ng thống kê ở nhiệt độ kích thích thấp đ−ợc mô tả bằng các ph−ơng trình của mẫu khí Fermi. Vì thế ở vùng này mật độ trạng thái sẽ có dạng hàm của mẫu khí 2 Fermi với năng l−ợng kích thích hiệu dụng là U* = U-g∆ 0/4. Trong [80] đã chứng minh rằng đối với mẫu khí Fermi, mật độ trạng thái có thể viết d−ới dạng (5.48) với năng l−ợng hiệu dụng (5.49). Do vậy khi xác định chính xác năng l−ợng kích thích hiệu dụng, hệ thức (5.48) sẽ mô tả tốt mật độ trạng thái của hệ cả ở vùng năng luợng kích thích thấp lẫn vùng năng l−ợng kích thích cao. Vì thế có thể coi hệ thức (5.48) là sự gần đúng tốt để tính mật độ trạng thái của hệ có 114
41. số giả hạt kích thích cố định đối với các biến U và n nếu coi năng l−ợng hiệu dụng có dạng nh− sau: g n ( n − 2) U * = U − ()∆2 − ∆2 − (5.69) 4 0 n 8g và sử dụng các kết quả nghiệm số đã thu đ−ợc để tính ∆n(ν). Các tính toán trong [82] đã chỉ ra rằng độ chính xác của sự gần đúng nh− vậy là đủ cao và sai số trở nên nhận biết đ−ợc chỉ ở gần ng−ỡng xuất hiện cấu hình giả hạt. Vì thế để xác định ng−ỡng, tốt nhất là sử dụng các hệ thức chính xác (5.58b) và (5.61) chứ không sử dụng hệ thức gần đúng suy ra từ (5.69). Hình 5.10. Sự phụ thuộc ∆n/∆0 vào nhiệt độ và năng l−ợng kích thích [82] (đ−ờng đứt nét – các kết quả của nghiệm (5.58) khi t = 0). Hình 5.11. Sự phụ thuộc 2 2 năng l−ợng của Sn/Sc và σ n/σ c [82] sự chuyển pha - . - sự thay đổi của các đại l−ợng trung bình khi γ = 0 5.4 Mô tả hạt  lỗ trống các đặc tr−ng trung bình của hạt nhân. Các đặc tr−ng trung bình và sự chuyển pha trong mẫu siêu chảy. Có thể thu đ−ợc mật độ trạng thái toàn phần ω(U) của hạt nhân bằng cách cộng mật độ của giả hạt thứ n theo tất cả n khả dĩ về mặt năng l−ợng [54]: ω( U ) = ∑ ωn ( U ) (5.70) n Rõ ràng là đối với hệ có số hạt toàn phần N là chẵn, các số giả hạt kích thích n sẽ nhận những giá trị lẻ: n = 1,3,5 Có thể tính đặc tr−ng trung bình bất kỳ A(ν) theo công thức: A( U ) = ∑ A n ωn ( U )/ ω( U ) (5.71) n 115
42. Để đơn giản tính toán chúng ta hãy khảo sát hạt nhân nh− một hệ hạt Fermi gồm một loại hạt với phổ một hạt rời rạc suy biến bậc hai. Đối với hệ nh− vậy các đặc tr−ng trung bình hoàn toàn xác định bằng mật độ trạng thái một hạt g, trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt m 2 và năng l−ợng cặp ở trạng thái cơ bản ∆0. Trên hình 5.12 đã đ−a ra các kết quả tính toán các đặc tr−ng hạt - lỗ trống trung bình đối với hệ có các thông số g = 18,3MeV và ∆0= 0,85 MeV (các thông số này t−ơng ứng với hạt nhân vùng các nguyên tố vận chuyển) và cả các kết quả tính toán mật độ toàn phần và các đặc tr−ng trung bình dựa trên các hệ thức giải pháp thống kê truyền thống thu đ−ợc trong ch−ơng 3 mà không chú ý tới sự thay đổi trạng thái kích thích theo số giả hạt. Trong mẫu siêu chảy ở cách tiếp cận truyền thống, năng l−ợng cặp ∆(U) giảm khi năng l−ợng kích thích tăng và bằng không khi năng l−ợng kích thích 2 lớn hơn Uc = 0,778g∆ 0 - điểm chuyển pha (hình 3.3). Cao hơn năng l−ợng chuyển pha, các đặc tr−ng thống kê của hệ đ−ợc mô tả bằng các ph−ơng trình 2 của mẫu các hạt độc lập với U*= U- g∆ 0/4. Khi U = Uc, trong biểu diễn phụ thuộc cả năng l−ợng của entrôpy thông số phụ thuộc spin và các đặc tr−ng thống kê khác của hệ có sự gãy góc (hình 3.3) đặc tr−ng cho sự chuyển pha loại hai. Trong mô tả thống kê với số giả hạt cố định, năng l−ợng cặp với n g∆0/3 hệ có thể nằm ở pha siêu chảy cũng nh− các pha bình th−ờng, nh−ng vùng trạng thái bình th−ờng (∆ = 0) nằm ở vùng năng l−ợng kích thích thấp hơn so với vùng các trạng thái siêu chảy (∆ ≠ 0). Khi đó chuyển pha có h−ớng ng−ợc về mặt năng l−ợng so với chuyển pha bình th−ờng. Đối với trạng thái có n bất kỳ khi tăng năng l−ợng kích thích, các năng l−ợng cặp ∆n(U) tăng và tiến đến ∆0 khi U →∞ (Hình 5.10). Nếu tính mật độ trạng thái toàn phần và các đặc tr−ng thống kê trung bình dựa trên các hệ thức (5.70) và (5.71) thì không có một sự thay đổi đột biến nào 2 khi U = Uc trong đ−ờng biểu diễn mật độ trạng thái toàn phần và thông số σ theo năng l−ợng nh− đã thấy trên hình 5.12. Năng l−ợng liên kết cặp trung bình giảm khi năng l−ợng kích thích tăng nh−ng không bằng 0 khi U = Uc. Các kết quả này chỉ ra rằng đối với các đặc tr−ng thống kê trung bình của hệ, sự chuyển pha nói một cách chặt chẽ là không có. 116
43. Hình 5.12a. Sự phụ thuộc năng l−ợng của các đặc tr−ng hạt – lỗ trống trung bình của hệ [54] : Kết quả với n cố định cho hệ chẵn hạt. ⎯ • ⎯ Giới hạn cho phép của ∆n(U) Hình 5.12b. Sự phụ thuộc năng l−ợng của các đặc tr−ng hạt – lỗ trống trung bình của hệ [54] : Kết quả với n cố định cho hệ lẻ hạt. ⎯⋅ • ⎯⋅ Giới hạn cho phép của ∆n(U) Hình 5.12c – Tính toán các đặc tr−ng trung bình [ - đối với hệ chắn, đối với hệ lẻ ; -.- tính toán không giới hạn số giả hạt ]. Sự xuất hiện quá trình chuyển pha trong mô tả thống kê truyền thống các đặc tr−ng của hạt nhân bị kích thích là “cái giá” phải trả cho sự rút gọn đ−ợc sử dụng để giải quyết vấn đề. Sự chuyển pha trong tr−ờng hợp này chỉ phản ánh một hiện t−ợng là hàm t−ơng quan bằng 0 đối với cấu hình n giả hạt khả dĩ nhất khi năng l−ợng lớn hơn năng l−ợng chuyển pha. Trong các chất siêu dẫn, trạng thái của hệ đ−ợc xác định hoàn toàn bằng cấu hình khả dĩ nhất (xác suất lớn nhất và đặc tr−ng trung bình thực tế là trùng nhau) và sự phụ thuộc nhiệt độ của hàm t−ơng quan ∆(t) đ−ợc quan sát trực tiếp trong thí nghiệm. Đối với hạt nhân, các cấu hình khác với cấu hình khả dĩ nhất đóng góp vào mật độ trạng thái toàn phần của hệ và điều này đ−ợc quan sát ở sự khác nhau rõ rệt giữa các đặc tr−ng khả dĩ nhất của hệ với các đặc tr−ng trung bình (hình 5.12). Tính toán mật độ trạng thái toàn phần dựa trên biểu thức (5.71) t−ơng ứng với mô tả chính xác hơn các tính chất thống kê của hệ đ−ợc khảo sát. Sự chính xác thu đ−ợc chủ yếu thuộc về vấn đề khác biệt nguyên tắc của nhiệt 117
44. động học hạt nhân so với nhiệt động học siêu dẫn. Sự khác biệt này là không có sự chuyển pha và t−ơng đ−ơng với việc không có sự chuyển pha là không có sự thay đổi đột ngột các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân theo năng l−ợng. Tuy nhiên trên hình 5.12 cho thấy rằng nếu không coi cấu trúc ở vùng nhiệt độ thấp và sự thay đổi đột ngột theo năng l−ợng có ý nghĩa quan trọng thì việc sử dụng các hệ thức của giải pháp truyền thống thu đ−ợc trong ch−ơng 3 là sự gần đúng đủ tốt để mô tả các đặc tr−ng thống kê trung bình của hệ. Cấu trúc nhẩy bậc của các đặc tr−ng trung bình của hạt nhân. Vì các cấu hình với số giả hạt xác định xuất hiện chỉ khi năng l−ợng kích thích v−ợt giá trị cực tiểu: ⎧ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ n ∆ 0 ⎜ 1− ⎟ khin ≤g ∆ 0 / 3 ⎪ ⎝ 2g ∆ 0 ⎠ U min = ⎨ 2 2 (5.72) ⎪ g ∆ 0 n + khin〉 g ∆ 0 / 3 ⎩⎪ 4 4g nên ng−ỡng kích thích n giả hạt phải có mặt trong mật độ trạng thái toàn phần và trong các đặc tr−ng thống kê trung bình của hệ d−ới dạng cấu trúc nhảy bậc. Khi mật độ trạng thái một hạt g nhỏ, các cấu trúc này thể hiện không rõ ràng [54], và do vậy nó không tồn tại ở các hạt nhân có số khối trung bình, nh−ng trong vùng hạt nhân nặng ở năng l−ợng kích thích không lớn, cấu trúc nhảy bậc của các đặc tr−ng thống kê thể hiện khá rõ ràng (hình 5.12). Cấu trúc nh− vậy 2 2 đ−ợc phát hiện ở thông số K 0 thay đổi theo năng l−ợng - thông số K 0 xác định phân bố góc của các sản phẩm phân hạch. Nó liên quan tới các đặc tr−ng phân chia của hạt nhân bằng hệ thức [83]: 2 2 K 0 = ℑef t / h (5.73) ở đây t là nhiệt độ hạt nhân, còn ℑ ef – mômen quán tính hiệu dụng và bằng: ℑ// ℑ⊥ ℑef = (5.74) ℑ⊥ −ℑ// ở đây ℑ // và ℑ ⊥ là các mômen quán tính của hạt nhân ở điểm yên ngựa đối với trục đối xứng song song và vuông góc. Khi đ−a vào đại l−ợng 2 2 2 K =ℑ// t / h , có thể biểu diễn K 0 d−ới dạng: 2 2 K K 0 = (5.75) 1− ℑ// / ℑ⊥ ở đây thông số K2 rất quan trọng đối với thông số phụ thuộc spin σ2 đ−ợc khảo sát ở phần trên. 118
45. Trong công trình [84] đã nghiên cứu sự bất đối xứng góc của các mảnh phân hạch của hạt nhân 239Pu do nơtron gây nên trong khoảng năng l−ợng kích 2 thích đủ rộng (từ 0 tới 30 MeV). Số liệu thực nghiệm về dạng K 0(U) trong vùng năng l−ợng kích thích thấp [84] đ−ợc đ−a ra trên hình 5.13. Từ những số 2 liệu này có thể rút ra hai kết luận chính về sự phụ thuộc vào U của K 0 : 1. Trong tất cả vùng năng l−ợng kích thích đ−ợc khảo sát, số liệu thực nghiệm nói chung đ−ợc mô tả tốt bằng các hệ thức của mẫu hạt nhân siêu chảy không cố định số kích thích. 2. ở vùng năng l−ợng kích thích thấp đã phát hiện cấu trúc nhảy bậc của 2 K 0 theo năng l−ợng. Việc mô tả cấu trúc này không thể thiếu sự bổ chính ph−ơng pháp thống kê có số kích thích cố định. Đ−ờng cong biểu diễn trên hình 5.13 thu đ−ợc nhờ hệ thức (5.75). Các -1 2 thông số cần thiết cho mô tả nó là g = 18,3 MeV , ∆0 = 0,85 MeV và m = 4,2 2 đã đ−ợc lựa chọn [84]. Trong công thức (5.75) để tính K 0 chỉ còn xác định tỷ số ℑ // /ℑ ⊥. Hệ thức này có thể viết lại d−ới dạng: ℑ ℑ / ℑ ℑ // = // // tb // tb ℑ⊥ ℑ⊥ / ℑ⊥ tb ℑ⊥ tb ở đây ℑ //tb và ℑ ⊥tb là giá trị của mômen quán tính vật rắn t−ơng ứng. Để mô tả sự phụ thuộc năng l−ợng của các tỷ số ℑ ///ℑ //tb và ℑ ⊥/ℑ ⊥tb , ng−ời ta đã sử dụng các kết quả tính toán mẫu hạt nhân siêu chảy truyền thống đ−ợc đ−a ra trên hình 5.13. Hình 5.13. Sự phụ thuộc năng 2 l−ợng của thông số K 0 [54]: o – Giá trị thực nghiệm; Tính theo công thức (5.75). 2 Tỷ số các mômen vật rắn ℑ ⊥tb/ℑ //tb = 3 đã đ−ợc tìm ra từ sự phân tích K 0 trong [84]. Trên hình 5.13 thấy rõ rằng đ−ờng cong lý thuyết thu đ−ợc mô tả đủ tốt số liệu thực nghiệm trong mọi khoảng năng l−ợng kích thích. Để mô tả số liệu thực nghiệm chính xác hơn cần tính đến cấu trúc lớp của phổ một hạt trong các biến dạng t−ơng ứng điểm yên ngựa. Hiệu ứng chẵn lẻ trong mật độ mức hạt nhân. 119
46. Sự tồn tại những khác biệt lớn trong mật độ trạng thái kích thích của những hạt nhân mà số nơtron và prôton của chúng khác nhau bằng số chẵn là một hiệu ứng thực nghiệm đã đ−ợc xác định. Để mô tả những khác nhau này trong mẫu khí Fermi, ng−ời ta đ−a vào năng l−ợng kích thích hiệu dụng U*=U- δ ở đây δ th−ờng đ−ợc đồng nhất với năng l−ợng tạo cặp đối với các thành phần nơtron hoặc proton chẵn t−ơng ứng (xem Đ2.4). Sự đánh giá hiện t−ợng luận nh− vậy mô tả khá tốt số liệu thực nghiệm trong khoảng năng l−ợng kích thích hẹp, ví dụ nh− mật độ các cộng h−ởng nơtron sóng s, nh−ng chính việc đ−a vào sự dịch chuyển năng l−ợng nh− vậy cần phải đ−ợc giải thích. Sự khác biệt về độ chẵn lẻ ở trạng thái cơ bản của hạt nhân đ−ợc giải thích chính xác trong mẫu các giả hạt độc lập [12, 21]. Chúng đ−ợc giải thích bằng ảnh h−ởng của hạt đơn lẻ lên năng l−ợng tích tụ của hệ có số hạt lẻ. Trong [15] đã chú ý tới mối liên hệ chặt chẽ của hiệu ứng này với sự khác biệt chẵn - lẻ trong mật độ mức hạt nhân. Trong [15] việc tính toán mật độ trạng thái trong mẫu giả hạt đã đ−ợc thực hiện chỉ với những hạt nhân chẵn chẵn và ảnh h−ởng của hạt đơn lẻ tới các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân bị kích thích ch−a đ−ợc khảo sát. Những khó khăn chính trong nghiên cứu vấn đề này là ở chỗ bằng cách nào có thể tách ra ảnh h−ởng của giả hạt đơn lẻ trên nền các giả hạt kích thích chính trong mô tả thống kê bình th−ờng. Sử dụng giải pháp thống kê với số giả hạt cố định cho phép thu đ−ợc lời giải chính xác của bài toán này. Các kết quả tính toán mật độ trạng thái toàn phần theo công thức (5.70) đối với hệ có số nucleon chẵn và lẻ đ−ợc đ−a ra trên hình 5.12. Rõ ràng rằng trong lựa chọn điểm mốc của năng l−ợng kích thích (năng l−ợng kích thích bằng không t−ơng ứng không có giả hạt), sự khác biệt chẵn lẻ trong mật độ trạng thái toàn phần chỉ tồn tại ở vùng năng l−ợng kích thích thấp. Mật độ trạng thái đ−ợc lấy trung bình theo cấu trúc này đối với cả hạt nhân chẵn cũng nh− hạt nhân lẻ phù hợp tốt với các kết quả tính toán thống kê bình th−ờng của mật độ trạng thái (xem ch−ơng 3). Đối với hệ có số hạt là chẵn, năng l−ợng của trạng thái cơ bản trong mẫu các giả hạt độc lập trùng với năng l−ợng chân không giả hạt (không có giả hạt), còn với hệ có số lẻ, trạng thái cơ bản có năng l−ợng của trạng thái một giả hạt thấp nhất. Vì thế khi xác định năng l−ợng kích thích, thang năng l−ợng của hệ lẻ phải dịch đi một khoảng bằng hiệu số năng l−ợng của mức thấp nhất và chân không giả hạt. Đối với hệ có phổ rời rạc t−ơng ứng với (5.58b), hiệu số này bằng: U1 min = ∆ 0 [1−1/ ( 2 g ∆ 0 )] (5.76) và có thể chỉ ra rằng trong tr−ờng hợp chung, nó là hiệu số của năng l−ợng tích tụ đ−ợc tính cho trạng thái cơ bản của hệ có số hạt lẻ khi không tính và có tính đến sự nhóm lại hạt lẻ của mức một hạt gần năng l−ợng Fermi nhất. Nh− vậy, sự khác biệt chẵn lẻ trong mật độ mức đ−ợc xác định chỉ bằng sự dịch chuyển của điểm mốc năng l−ợng kích thích và trong lựa chọn t−ơng ứng điểm xuất phát sự mô tả truyền thống mật độ mức của hệ chẵn cũng nh− của hệ lẻ (hình 5.12). 120
47. Những kết luận trên dễ dàng áp dụng đ−ợc cho hệ hai thành phần (proton và nơtron). Trong mô tả thống kê truyền thống cho tr−ờng hợp này cần chú ý tới ảnh h−ởng của những hạt lẻ tới năng l−ợng tích tụ của cả thành phần nơtron lẫn proton. Bởi vì phổ một hạt của hạt nhân có cấu trúc không đồng nhất nên các tính toán năng l−ợng tích tụ cần đ−ợc thực hiện với các sơ đồ mức một hạt cụ thể. Các kết quả tính toán năng l−ợng tích tụ của hệ với số nucleon chẵn và lẻ đã đ−ợc đ−a ra trên hình 3.2 mà trên đó cho thấy rằng dọc theo các số magic hiệu số năng l−ợng tích tụ của hệ chẵn và lẻ bằng khoảng 1MeV, và kết quả này phụ thuộc rất ít vào việc lựa chọn phổ một hạt. Các số liệu thực nghiệm thu đ−ợc đối với những hạt nhân nhẹ về mật độ mức trong khoảng năng l−ợng kích thích đủ rộng [71, 72] đ−a lại khả năng kiểm tra trực tiếp việc sử dụng mẫu đ−ợc nghiên cứu. Các kết quả tính toán mật độ mức đối với các hạt nhân nhẹ có độ chẵn nucleon khác nhau đ−ợc đ−a ra trên hình 5.14 cùng với số liệu thực nghiệm t−ơng ứng. Chúng ta nhận thấy rằng hiện nay khá nhiều thông tin thực nghiệm về mật độ mức hạt nhân ở vùng năng l−ợng kích thích thấp đ−ợc tập hợp trong [85]. Trên hình vẽ, các đ−ờng cong lý thuyết thu đ−ợc theo mẫu các giả hạt độc lập không cố định số giả hạt kích thích đối với sơ đồ mẫu một hạt của hố thế Xacxon – Wud. Hằng số t−ơng tác cặp đ−ợc xác định từ đóng góp vào mật độ mức năng l−ợng thấp của hạt nhân chẵn - chẵn 56Fe và nó không thay đổi khi tính với các hạt nhân khác. Các đ−ờng cong thu đ−ợc mô tả tốt sự khác biệt trong mật độ mức của các hạt nhân có độ chẵn số nucleon khác nhau. Phù hợp với điều nói trên, trong hàm ρ(U) đối với những hạt nhân có độ chẵn nucleon khác nhau phải quan sát đ−ợc sự dịch chuyển các đ−ờng cong lý thuyết đi một l−ợng Umin. Hiệu ứng này trên hình 5.14 đ−ợc giải thích là do ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt. Sự phân tích trên chứng tỏ là việc sử dụng giải pháp thống kê với số giả hạt kích tích cố định cho phép mở rộng khả năng mô tả thống kê các tính chất của các hạt nhân bị kích thích. Hình 5.14. Sự phụ thuộc năng l−ợng của mật độ mức hạt nhân 55Mn, 56Mn và 56Fe [54] (Đ−ờng liền nét : Kết quả tính toán). Tài liệu tham khảo 1 Cubo P. Cơ học thống kê: Dịch từ tiếng Anh. Biên tập D.N. Dubarev Nhà xuất bản Mir. 1967. 121
48. 2 Ericson T. // Advances Phys. 1960. Vol. 9,N 36.P. 425-511 3 Born O., Mottenxon B. Cấu trúc hạt nhân nguyên tử : Dịch từ tiếng Anh. Biên tập L.A.Sliva. M.: Mir.1971. T.1: Chuyển động một hạt. 4 Landao L.D, Lipfsif E.M. Cơ học l−ợng tử. Nhà xuất bản Khoa học 1963 5 Sidorov Iu.V., Phegoriu M.V, Xabunhin M.I. Tập bài giảng về lý thuyết hàm biến phức: Giáo trình cao học. Nhà xuất bản Khoa học, 1982. 6 Svexnhicov A.G., Tikhonov A.N. Lý thuyết hàm biến phức. Giáo trình cao học. Nhà xuất bản Khoa học. 1979. 7 Xneddov I. Biến đổi Furier. Dịch từ tiếng Anh A. N. Matveva. Biên tập Iu. L. Rabinovich. Nhà xuất bản Khoa học.1955. 8 Naiphe A. Nhập môn ph−ơng pháp nhiễu loạn. Dịch từ tiếng Anh. Biên tập R. G .Baransev. Nhà xuất bản Hoà bình. 1984. 9 Gradstien I.C., R−gik I.M. Bảng tích phân, tổng chuỗi và đạo hàm. Nhà xuất bản Giphmn, 1962. 10 Landao L.D, Lipfsif E.M. Vật lý thống kê. Nhà xuất bản Khoa học 1964 11 Pheđoriuk M.V. Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Nhà xuất bản Khoa học 1977 12 Xoloviev V.G. Lý thuyết hạt nhân nguyên tử: Các mẫu hạt nhân. Maxcova Nhà xuất bản Năng l−ợng nguyên tử. 1981 13 Vật lý vi mô. 1980 trang 498 - 524 14 Nilxon C. Các trạng thái liên kết của các nucleon trong hạt nhân biến dạng nặng. // Sự biến dạng của hạt nhân nguyên tử: Tuyển tập các bài báo: Dịch từ tiếng Anh// Chủ biên: L.A. Xliva, Nhà xuất bản Ngoại văn 1958 Trang 232 - 304 15 Ignatiuk A.V., Stavinsky V.X., Subin Iu.N. Nuclear Data for Reactors. IAEA-CN-26/76. Vienna, 1970. Vol. 2, P. 885-907; Stavinsky V.S . // Các hạt cơ bản của hạt nhân nguyên tử 1972. Tập 3 phần 4 trang 832-893 16 Nemirovxky P. E , Trepyrnov V. A .// Vật lý hạt nhân ,1966. Tập 3, trang 998-1010. 17 Nemirovxky P.E . Các mẫu hạt nhân nguyên tử hiện đại Nhà xuất bản nguyên tử. 1960. 18 Beliaev S.T. Mat.- fys. medd. Kgl.danske vid. selskab. 1959. Bd.31, N11 19 Xoloviev V.G. // Tạp chí vật lý thực nghiệm và lý thuyết. 1958. Tập 35 Trang 823 - 825; 1959 Tập 36. Trang 1869 - 1874. Báo cáo của Viện hàn lâm khoa học Liên xô. 1958. Tập 123. Trang 652 - 656; Vật lý hạt nhân 1958/59 phần 9 trang 655 - 664. 20 Xoloviev V.G. ảnh h−ởng của t−ơng tác cặp dạng siêu chảy lên các tính chất của hạt nhân nguyên tử. Nhà xuất bản nguyên tử. 1963. 21 Xoloviev V.G. Lý thuyết hạt nhân phức tạp. Nhà xuất bản Khoa học 1971 122
49. 22 Kholl M. Sự tổ hợp: Dịch từ tiếng Anh/ Chủ biên A.O. Genphond và V.E. Tarakanov Nhà xuất bản Hoà bình, 1970. 23 Hardy G.H, Ramanajan S : Proc. Lodon. Math. Soc.(2).1918. Phần 17, trang 75 - 115. 24 Bethe H. // Phys. Rev. 1936. Phần 50, trang 332 - 341. 25 Bete G. Vật lý hạt nhân Dịch từ tiếng Anh Nhà xuất bản Goxte 1948 Phần 2 Động học hạt nhân lý thuyết. 26 Gilbert A, Cameron A.G.W : Canad. J. Phys. 1965. Vol. 43, P. 1446 - 1496. 27 Mal−uxep A.V.// Tạp chí vật lý thực nghiệm và lý thuyết. 1963. Tập 45. Trang 316 - 324. 28 Niuton T.D. Canad. J. Phys. 1965. Vol.34, P.804 -829. 29 Kravsov V.A. Khối l−ợng nguyên tử và năng l−ợng liên kết hạt nhân. Nhà xuất bản Nguyên tử. 1974. 30 Linn J. E. The Theory of Neutron Resonance Reactions . oxfoxd : Claredon Press. 1968. 31 Mal−uxev A.V.// Mật độ mức và cấu trúc hạt nhân nguyên tử. Nhà xuất bản Nguyên tử. 1969. 32 Baba H. Nucl. Phys. A. 1970. Vol. 159, P. 625 - 641. 33 Dilg W, Schantl W, Vonach H . Nucl. Phys. A.1973. Vol. 217, P. 269 - 298. 34 Mughabghab S.F, Divadeeam M, Holden N.E . Neutron Gross Section. NiuYock-Lond. Academic Press, 1981. Vol.1. Pt.A: Z= 1 –60. 35 Mughabghab S.F Neutron Gross Section. N.Y. Lond.: Academic Press, 1984 Vol.1. Pt.B: Z= 61 –100. 36 Erba E, Facchini U, E. Saetta - Manichella:// Nuovo cimento 1961. Vol.22, P. 1237 - 1260. 37 Lang D.W Nucl. Phys. 1966. Vol. 77, P. 545 - 558. 38 Ignatiuk A.V. Subin Iu.N. // Vật lý hạt nhân, 1968 Tập 8 trang 1135 - 1141 39 Ignatiuk A.V. Xtavinxki V.X. Subin Iu.N. // Vật lý hạt nhân 1970. Tập 11 trang 1213 - 1220. 40 Ignatiuk A.V. Xtavinxki V.X. // Vật lý hạt nhân 1970. Tập 11 trang 1012 - 1015. 41 Decowski P, Grochulski W, Marcinkowski A. : Nucl. Phys. 1968. Vol. 110, P. 129 - 141. 42 Rubtsenia V.A. //Vật lý hạt nhân 1970. Tập 11 trang 1028 - 1033. 43 Ignatiuk A.V. Tính chất thống kê của các hạt nhân bị kích thích. Nhà xuất bản Năng l−ợng nguyên tử 1983. 44 Bardeen I., Cooper L., Schriffer I. : Phys. Rev. 1957. Vol. 108, P. 1175 - 1204. 45 Bogoliubov N.N. Báo cáo của Viện hàn lâm khoa học Liên xô 1958. tập 123
50. 119 trang 52 - 55; Các thành tựu của khoa học vật lý. 1959 tập 67 trang 549 - 580. 46 Lang D.W. Nucl. Phys. 1963. Vol. 42, P. 353 - 366. 47 Sano M., Yamasaki S. : Progr. Theoret. Phys. 1963. Vol. 29, P. 397 - 414. 48 Grin Iu.T. Xtructinxki V.M. // Vật lý hạt nhân 1965. Tập 1. Trang 420 - 425. 49 Moretto L.G. Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 185, P. 145 - 165. 50 Huizenga J.R., Behkami A.N., Atcher R. W. : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 223, P. 577 - 588; Huizenga J.R, Behkami A.N, Atcher R. W : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 223, P. 589 - 598. 51 Dossing T., Jensen A.S. : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 222, P. 493 - 511. 52 Ignatiuk A. V . Vật lý hạt nhân. 1973. Phần 17, trang 502-518. 53 Muhlschlegel B. // Z. Physics 1959 Vol. 155. P. 313 - 327 54 Ignatiuk A. V . Xokolov Iu.V. // Vật lý hạt nhân. 1974. Phần 19, trang 1229 - 1238. 55 Rothowart A. R. Phys. Lett. A. 1967. Vol. 24, P. 307 - 308. 56 Subin Iu.N. // Các hạt cơ bản của hạt nhân nguyên tử 1974. Tập 5 phần 4 Trang 1023 - 1074. 57 Ignatiuk A.V. Subin Iu.N. // Thông tin Viện hàn lâm khoa học Liên xô ngành Vật lý. 1973. Tập 37 trang 1947 - 1952. 58 Blokhin A.V. Xokolov Iu.V. // Vật lý hạt nhân 1981. Tập 34 trang 33 - 44 59 Ignatiuk A.V. Ixtekov K.K. Xmirenkin G.N. // Vật lý hạt nhân 1979 Tập 29 trang 875 - 883 60 Ignatiuk A.V.// Thông tin Viện hàn lâm khoa học Liên xô ngành Vật lý. 1974. Tập 38 trang 2612 - 2617. 61 Ignatiuk A.V.// Vật lý hạt nhân 1975. Tập 21 trang 20 - 30 62 Cameron A. G. W, Elkin R.M. // Canad. J. Phys. 1965 .Vol 43. P. 1288 - 1311 63 Klinkenbec P. F. A. : Rev. Mod. Phys. 1952. Vol 29. P. 63 - 73 64 Cameron A. G. W. : Canad. J. Phys. 1958. Vol. 36, P. 1040 - 1057. 65 Nemirovsky P.E., Adamchuck Yu.V. : Nucl. Phys. 1962. Vol. 39, P. 553 - 562. 66 Abdelmalek N.N., Stavinsky B. S. : Nucl. Phys. 1964. Vol. 58, P. 601 - 610. 67 Lang J. M. B., LeCouter K. J. : Proc. Phys. Soc.1954. Vol. 67, P. 586 - 597. 68 Vonach H., Hille M. : Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 127, P. 289 - 304. 69 Bormann M., Bissem H. H., Magiera E. : Nucl. Phys. A. 1970. Vol. 157, P. 481 - 496. 70 Kopsch D., Cierjacks S. Statistical properties of nuclei / Ed. J . Grag 124
51. NiuYock: Plenum Press, 1972, P. 455 - 470. 71 Katsanos A. A., Shaw R. W., Jr., Vandenbosch R. : Phys. Rev .C. 1970. Vol. 1, P. 594 - 601. 72 Huizenga J.R., Vonach H. K., Katsanon A. A. : Phys. Rev. 1969. Vol. 182, P. 1149 - 1164. 73 Lu C. C., Vaz L. C., Huizenga J.R. : Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 90, P. 229 - 260. 74 Griffin J. J. Phys. Rev. Lett. 1966. Vol. 17, P. 478 - 481. 75 Cline C. K., Blann M. : Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 172, P. 225 - 259. 76 Structinsky V. M. : Intern. Conf. on Nucl. Phys. Paris: IAEA, 1958. P. 617 - 623. 77 Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // Vật lý hạt nhân, 1978 Tập 28 trang 914 - 925 78 Bohning M. : Nucl. Phys. A. 1970. Phần 152, trang 529 - 546. 79 Sokholop Iu. V. Vật lý hạt nhân 1972 Tập 16 trang 27 - 33 80 Wiliams P. G. : Nucl. Phys. A. 1973. Phần 166, trang 231 - 240. 81 Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // Vật lý hạt nhân, 1972 Tập 16 trang 277 - 283 82 Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // Vật lý hạt nhân. 1973 Tập 17 trang 723 - 283 83 Halpern I., Struntinsky V. M. : Second V.N. Intern. Conf. on the peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva, 1958, Paper P/1513, P. 408 - 417. 84 Slak Đ.L., Oxtapenko Iu.B., Xmirenki G.N. // Vật lý hạt nhân. 1971 Tập 13 trang 950 - 962. 85 Lederer C. M., Shirley V. S. : Tables of Isotopes. NiuYock, J. Wiley and Sons Inc, 1978. Vol.1. 125
52. Phụ lục Bảng 1. Khoảng cách trung bình giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 20F 1/2+ 6.60 - - - 55000 - 41000 24Na 3/2+ 6.96 - - - 66000 270000 - 25Mg 0+ 7.33 - - - 170000 - - 28Al 5/2+ 7.73 - - - 26000 54000 55000 32P 1/2+ 7.94 - - - 21000 - - 33S 0+ 8.64 - - - 87000 350000 200000 36Cl 3/2+ 8.58 - 13300 - 40000 5600 13500 38Cl 3/2+ 6.11 - - - 37000 - 13500 41Ar 0+ 6.10 - - 90000 - - - 40K 3/2+ 7.80 - 10000 - 10000 - 10000 42K 3/2+ 7.53 - 10000 - 10000 - 10000 41Ca 0+ 8.36 45000 50000 45000 50000 49000 50000 43Ca 0+ 7.93 - - 28000 28500 28500 28000 44Ca 7/2- 11.13 - 4000 3300 2900 - 3300 45Ca 0+ 7.42 - - 33000 55000 50000 33300 46Sc 1/2- 8.76 1300 2200 1100 1600 - 2200 47Ti 0+ 8.88 20000 28000 22000 45000 30000 30000 48Ti 5/2- 11.63 2200 - 1600 2820 - 2600 49Ti 0+ 8.14 13000 - 25000 20000 15000 22000 50Ti 1/2- 10.94 5000 - 6000 3600 - 5600 51Ti 0+ 6.37 125000 - - 18000 12000 123000 51V 6+ 11.05 - - 1300 2610 1100 1400 52V 7/2- 7.31 2700 3700 4900 4390 3600 3300 51Cr 0+ 9.26 15000 - 21000 19000 16500 19000 53Cr 0+ 7.94 42000 44000 47000 46000 44000 44000 54Cr 3/2- 9.72 7100 - 5700 3200 - 3000 55Cr 0+ 6.25 26000 - 66000 48000 23500 50000 56Mn 5/2- 7.27 2700 2100 1900 2970 2100 3300 55Fe 0+ 9.30 13000 25000 20000 21000 25000 25000 57Fe 0+ 7.65 17000 29000 25000 21000 29000 29000 58Fe 1/2- 10.04 6000 - - 5900 - 10000 59Fe 0+ 6.58 35000 - - - - - 60Co 7/2- 7.49 1100 2500 1300 1530 960 2500 126
53. Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 59Ni 0+ 9.00 13700 24000 22000 21000 27000 22000 61Ni 0+ 7.82 16000 21000 17000 21000 23000 20000 62Ni 3/2- 10.66 1800 - 1400 2300 - 2400 63Ni 0+ 6.84 19100 - 19000 19500 19500 23500 65Ni 0+ 6.10 19900 - 28000 28500 28500 36000 64Cu 3/2- 7.92 320 1000 580 1060 1200 1200 66Cu 3/2- 7.07 510 1700 1000 1170 2000 1250 65Zn 0+ 7.98 3440 - 360 3400 1800 - 67Zn 0+ 7.05 4700 6500 6000 5600 5000 6500 68Zn 5/2- 10.2 510 - 600 720 - 700 69Zn 0+ 6.48 5770 - 10000 20000 - 8600 71Zn 0+ 5.84 6900 - - - - - 70Ga 3/2- 7.66 181 - 320 320 340 250 72Ga 3/2- 6.52 225 - 370 190 170 200 71Ge 0+ 7.42 930 1000 1330 2000 1700 2000 73Ge 0+ 6.78 960 3000 1550 3900 2100 2600 74Ge 9/2+ 10.20 82 77 62 77 - 77 75Ge 0+ 6.51 3000 - 3900 8500 8500 - 77Ge 0+ 6.07 3750 - 4200 8000 8000 - 76As 3/2- 7.33 75 87 87 87.3 87 70 75Se 0+ 8.03 420 - 370 200 250 - 77Se 0+ 7.42 667 1500 700 1200 1200 1500 78Se 1/2- 10.5 146 140 120 - 100 1300 79Se 0+ 6.96 1390 3300 1000 4500 3700 3300 81Se 0+ 6.70 3500 3300 1200 1600 4300 5000 83Se 0+ 5.90 6700 - 6700 6900 7000 - 80Br 3/2- 7.89 47 55 60 61 57 55 82Br 3/2- 7.59 94 65 80 52 51 75 79Kr 0+ 8.36 230 - - - - - 81Kr 0+ 7.88 200 - - - 530 - 83Kr 0+ 7.47 382 - - - - - 84Kr 9/2+ 10.52 326 - - - 200 - 85Kr 0+ 7.11 242 - - - - - 86Rb 5/2- 8.65 200 - - 1100 130 1000 88Rb 3/2- 6.08 2640 - - 1800 1200 2000 85Sr 0+ 8.52 383 - 400 350 - 1500 127
54. Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 87Sr 0+ 8.43 500 - 1000 2100 - 6000 88Sr 9/2+ 11.11 121 - 250 210 - 255 89Sr 0+ 6.36 25000 - - 12000 55000 55000 90Y 1/2- 6.86 4000 2000 3000 1600 1000 4500 91Zr 0+ 7.19 6400 4500 5000 3300 4500 13000 92Zr 1/2+ 8.64 570 290 - 250 315 300 93Zr 0+ 6.73 2600 1300 2500 3400 1200 3300 95Zr 0+ 6.47 3600 2500 2400 3300 2400 6800 97Zr 0+ 5.57 13000 - - 1100 - 3000 94Nb 9/2+ 7.23 44 55 64 36 70 95 93Mo 0+ 8.07 2100 - - - - 2400 95Mo 0+ 7.37 - - - - - 1000 96Mo 5/2+ 9.15 55 100 102 100 - 150 97Mo 0+ 6.83 850 - - 1200 - 1000 98Mo 5/2+ 8.64 32 140 80 120 170 160 99Mo 0+ 5.93 970 - - 790 - 270 101Mo 0+ 5.40 400 - - 400 - 430 100Tc 9/2+ 6.76 107 21 - 26 24 25 100Ru 5/2+ 9.67 25 - 34 200 - - 102Ru 5/2+ 9.22 - 17 18 15 16 17 104Rh 1/2- 7.06 16 35 27 10.3 19 17 106Pd 5/2+ 9.55 - - - 11.1 13 9.5 109Pd 0+ 6.15 - - - - - 45 108Ag 1/2- 7.27 16 31 23 50 14 20 110Ag 1/2- 6.81 14 22 18 19.1 13 22 107Cd 0+ 7.93 135 - - - - - 109Cd 0+ 7.36 120 - - - - - 111Cd 0+ 6.98 155 - - - - - 112Cd 1/2+ 9.39 20 33 26 34 26 33 113Cd 0+ 6.54 190 - 198 200 200 - 114Cd 1/2+ 9.04 21 27 25 27 25 27 115Cd 0+ 6.15 235 - 157 - 160 - 117Cd 0+ 5.77 390 - - - - - 114In 9/2+ 7.27 - 6.5 11 7.1 6.5 6.5 116In 9/2+ 6.78 9.4 6.5 10.7 9.5 6.7 7.0 113Sn 0+ 7.75 - 25 - 140 108 100 115Sn 0+ 7.55 - 150 300 320 150 600 116Sn 1/2+ 9.56 - 50 - 50 50 50 128
55. 117Sn 0+ 6.94 - 180 250 250 180 700 Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 118Sn 1/2+ 9.33 - 25 45 65 25 60 119Sn 0+ 6.49 870 180 600 730 180 750 120Sn 1/2+ 9.11 - 30 70 62 30 180 121Sn 0+ 6.17 1400 - - 240 200 1000 123Sn 0+ 5.95 - - - 400 - 1600 125Sn 0+ 5.73 - - 2500 250 400 1600 122Sb 5/2+ 6.81 18 12 12.5 13 - 12.5 124Sb 7/2+ 6.47 38 29 25 30 - 29 123Te 0+ 6.93 132 - 132 130 - 140 124Te 1/2+ 9.42 25 22 26 33 - 20 125Te 0+ 6.57 130 - 147 - - 220 126Te 1/2+ 9.12 38 60 38 46 - 50 127Te 0+ 6.29 210 - 207 - - - 129Te 0+ 6.09 260 - 262 550 - 2000 131Te 0+ 5.92 870 5500 872 5700 - 3500 128I 5/2+ 6.83 9.7 13.3 13.5 19 13 12 130I 7/2+ 6.46 - 27 - 21 18 17.5 130Xe 1/2+ 9.26 - - 35 - 82 30 132Xe 3/2+ 8.94 - 25 35 31 31 40 136Xe 3/2+ 7.99 - - - 500 - - 134Cs 7/2+ 6.89 20.65 18.5 20.5 20.7 20 17 131Ba 0+ 7.49 - - 55 120 - - 135Ba 0+ 6.97 - - 140 380 - - 136Ba 3/2+ 9.11 40 50 36 35 51 50 137Ba 0+ 6.90 430 - 600 3800 8000 - 138Ba 3/2+ 8.61 290 - 230 460 200 - 139Ba 0+ 4.72 6300 - 10000 9600 10000 14000 139La 5- 8.79 - - 23 41 23 46 140La 7/2+ 5.16 208 - 260 110 73 - 137Ce 0+ 7.49 50 - 58 - - - 141Ce 0+ 5.43 3200 3000 3000 3000 - 3000 143Ce 0+ 5.15 - 1000 - 1000 1000 1000 142Pr 5/2+ 5.84 88 90 90 83.8 51 65 143Nd 0+ 6.12 440 - 415 - - - 144Nd 7/2- 7.82 45 40 36 19 72 50 145Nd 0+ 5.76 430 - 537 - - - 146Nd 7/2- 7.56 22 22 19 25 33 25 129
56. 147Nd 0+ 5.29 235 - 211 - - - 149Nd 0+ 5.04 140 - - - - - Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 151Nd 0+ 5.33 174 - 121 - - - 148Pm 7/2+ 5.90 3.6 42 - 5.7 5.2 4 148Sm 7/2- 8.14 5.7 7.7 7.3 7.9 8.0 7.0 150Sm 7/2- 7.99 2.2 2.8 2.3 3.22 - 3.00 151Sm 0+ 5.60 55 - 68 24 - - 152Sm 5/2- 8.26 1.2 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 153Sm 0+ 5.90 51.8 45 52 60 - 45 155Sm 0+ 5.81 115 - 115 - - - 152Eu 5/2+ 6.31 0.73 0.65 0.7 0.72 0.75 0.85 154Eu 5/2 6.44 1.3 1.25 1.1 1.3 1.4 1.10 153Gd 0+ 6.25 15 - 11.5 - - - 155Gd 0+ 6.44 14.5 - 10.2 - - - 156Gd 3/2- 8.54 1.8 1.8 1.9 1.99 2.1 2.0 157Gd 0+ 6.36 37.8 33 47 75 - 33 158Gd 3/2- 7.94 4.9 5.5 6.0 6.1 12 5.5 159Gd 0+ 5.94 85 - 8.5 - - - 161Gd 0+ 5.64 202 - 170 - - - 160Tb 3/2+ 6.38 3.9 5 4.2 4.3 3.9 3.75 157Dy 0+ 6.97 2.7 - 3.4 - - - 161Dy 0+ 6.45 27.3 - 11 - - - 162Dy 5/2+ 8.20 2.67 2.2 2.9 2.55 2.1 2.25 163Dy 0+ 6.27 6.46 42 72 42 130 210 164Dy 5/2- 7.66 6.85 9 9.6 9.6 11 11 165Dy 0+ 5.72 147 - 200 - - - 166Ho 7/2- 6.24 4.6 6.1 5.5 5.67 6.1 6.0 163Er 0+ 6.91 6.9 - 6.9 7.1 - 6.5 165Er 0+ 6.65 20 - 22 17 - - 167Er 0+ 6.44 38 - 38 47 - - 168Er 7/2+ 7.77 4.0 3 4.1 4.0 3 3.8 169Er 0+ 6.00 94 - 95 100 - - 171 Er 0+ 5.68 125 - 155 - - - 170Tm 1/2+ 6.59 7.3 7.1 7.3 6.6 6.0 7.5 169Yb 0+ 6.79 - - - 20 - - 171Yb 0+ 6.61 37 - 37 22 - - 172Yb 1/2- 8.02 5.8 8.7 6.5 7.2 - 5.5 173Yb 0+ 6.38 70 - 63 75 - - 130
57. 174Yb 5/2- 7.46 7.8 12 8.4 7.8 - 7.3 175Yb 0+ 5.82 162 - 164 250 - - 177Yb 0+ 5.57 180 - 185 250 - - Nguyên Sn π D (eV) tố I (Mev) [34.35] [26] [33] [32] [30] [31] 176Lu 7/2+ 6.29 3.45 3.3 3.0 3.61 3.7 3.5 177Lu 7- 7.07 1.74 2.1 2.3 2.37 2.3 2.3 175Hf 0+ 6.79 21 - 16 - - - 177Hf 0+ 6.38 32 - 32 41 - - 178Hf 7/2- 7.63 2.4 3.8 2.4 3.2 2.9 2.80 179Hf 0+ 6.10 62 32 64 55 - 60 180Hf 9/2+ 7.39 4.4 5.6 4.4 5.8 4.0 4.2 181Hf 0+ 5.70 94 125 125 140 - 135 181Ta 8+ 7.58 1.1 - - 1.5 - 3.0 182Ta 7/2+ 6.06 4.17 4.35 4.3 4.33 4.4 4.5 183Ta 3- 6.93 4.7 - - - - 3.0 181W 0+ 6.69 22.5 - 18 - - - 183W 0+ 6.19 66 50 66 56 55 60 184W 1/2- 7.41 12 12.5 12 15.8 15 14 185W 0+ 5.75 81 130 89 93 - 140 187W 0+ 5.47 87 - 123 87 150 100 186Re 5/2+ 6.18 3.1 3.8 3.3 3.2 3.8 3.5 188Re 5/2+ 5.87 4.1 5.5 3.8 6.4 4.5 5 187Os 0+ 6.29 26 - 30 - - - 188Os 1/2- 7.99 4.4 - 9.1 14 - 18 189Os 0+ 5.92 40 - - - - - 190Os 3/2- 7.79 3.3 5.1 4.3 5 - 5 191Os 0+ 5.76 70 - - - - - 193Os 0+ 5.58 115 - - - - - 192Ir 3/2+ 6.20 1.8 3.3 2.8 3.2 3.1 3.1 194Ir 3/2+ 6.07 5.54 7.7 8.0 8.5 8.2 8.0 193Pt 0+ 6.29 - - - 140 - - 195Pt 0+ 6.11 240 - - - - - 196Pt 1/2- 7.92 18 16 12 19.3 18 37 198Au 3/2+ 6.51 16.5 16 16.2 15.8 17 17 199Hg 0+ 6.67 105 83 90 100 99 90 200Hg 1/2- 8.03 100 59 75 84 70 65 201Hg 0+ 6.16 - 1300 1300 1300 2200 1700 202Hg 3/2- 7.76 - 90 90 110 100 85 203Hg 0+ 6.00 - - - - 2400 2500 131