Đề cương bài giảng Toán cơ sở

Nội dung text: Đề cương bài giảng Toán cơ sở

1. Tr−ờng đại học s− phạm Khoa đμo tạo giáo viên mầm non Nguyễn Thị Tuyết Mai Đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non Trình độ đại học Thái Nguyên - 2009 1
2. Mục lục Lời nói đầu Ch−ơng 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 4 1.2. Các phép toán trên tập hợp 7 1.3. ánh xạ 10 1.4. Quan hệ 13 1.5. Giải tích tổ hợp 18 Bài tập ch−ơng 1 20 Ch−ơng 2. Cấu trúc đại số 2.1. Phép toán hai ngôi 24 2.2. Cấu trúc nhóm 28 2.3. Cấu trúc vành 32 2.4. Cấu trúc tr−ờng 35 Bài tập ch−ơng 2 37 Ch−ơng 3. Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 40 3.2. Định thức 47 3.3. Hệ ph−ơng trình tuyến tính 53 Bài tập ch−ơng 3 59 Ch−ơng 4. Số tự nhiên 4.1. Hệ thống số tự nhiên 64 4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 66 4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 69 Bài tập ch−ơng 4 78 Ch−ơng 5. Đại số véc tơ và hình học giải tích 5.1. Véc tơ 80 5.2. Toạ độ trên đ−ờng thẳng 84 5.3. Ph−ơng pháp toạ độ trên mặt phẳng 85 5.4. Ph−ơng pháp toạ độ trong không gian 87 Bài tập ch−ơng 5 95 Tài liệu tham khảo 96 2
3. lời nói đầu Một trong những nhiệm vụ của ng−ời giáo viên mầm non là hình thành cho trẻ những biểu t−ợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ng−ời giáo viên mầm non cần phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ. Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần ph−ơng pháp hình thành biểu t−ợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d- −ỡng, ph−ơng pháp nghiên cứu khoa học, Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đang trên con đ−ờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đ−ợc một tài liệu học tập, đ−ợc sự phê duyệt của Ban Giám hiệu tr−ờng Đại học S− phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên soạn đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại học. Đề c−ơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của toán học nh− số học, đại số, hình học và đ−ợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội dung đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích và giải tích tổ hợp. Tác giả mong nhận đ−ợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả về nội dung cũng nh− việc trình bày để đề c−ơng bài giảng này đ−ợc hoàn thiện hơn. 3
4. Ch−ơng 1: Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 1.1.1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không đ−ợc định nghĩa, d−ới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp. Những vật, những đối t−ợng toán học, đ−ợc tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập những tập hợp. Ng−ời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong một tr−ờng, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỷ, tập hợp các số thực, tập hợp các nghiệm của một ph−ơng trình, Các vật trong tập hợp X đ−ợc gọi là các phần tử của tập hợp X. Kí hiệu x∈ X đọc là “ x là một phần tử của tập X” hoặc “x thuộc X”. Nếu x không thuộc tập X, kí hiệu x∉ X . 1.1.2. Ph−ơng pháp biểu diễn một tập hợp a) Ph−ơng pháp liệt kê Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp. Các phần tử đ−ợc viết trong dấu ngoặc { . }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc dấu ;). Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đ−ợc viết d−ới dạng liệt kê là A = {abcd,,,}. Ph−ơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử. Trong tr−ờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết đ−ợc một đối t−ợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên = {0,1,2,3, }. +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2 = { 0,2,4,6, }. +) Tập hợp cácc −ớc của 20: 2 = { 1,2,4,5,10,20} . 4
5. Chú ý: Một tập hợp đ−ợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử của nó. b) Ph−ơng pháp nêu tính chất đặc tr−ng Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất đặc tr−ng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có thể xác định đ−ợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không. Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu diễn X nh− sau: Xx={| x có tính chất P} hoặc XxPx= { |()}. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2|2, = {xx=∈ nn }. +) Tập hợp các −ớc của 15: Xxx= { |;15∈ M x}. +) Tập hợp các bội của 3: Xxxnn= { |3,=∈ } . 1.1.3. Các tập hợp đặc biệt a) Tập hợp rỗng Một tập hợp không chứa phần tử nào đ−ợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:∅ Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của ph−ơng trình x2 +10= là tập rỗng. +) Tập các đ−ờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng. b) Tập hợp một, hai phần tử Giả sử x là một vật hay một đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là {x} chỉ gồm một phần tử x đ−ợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử). Giả sử x, y là hai vật hay hai đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là {x, y} chỉ gồm 2 phần tử x, y đ−ợc gọi là tập hợp hai phần tử. T−ơng tự nh− trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, phần tử, các tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đ−ợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợp khác đ−ợc gọi là các tập vô hạn. Ví dụ: +) Tập các −ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử). +) Tập các bội của 3 là tập vô hạn. +) tập các số tự nhiên là tập vô hạn. +) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn. 5
6. 1.1.4. Hai tập hợp bằng nhau a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ng−ợc lại. Nh− vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh− nhau. ⎧∀∈x AxB ⇒ ∈ Hay AB=⇔⎨ . ⎩∀∈x BxA ⇒ ∈ b) Ví dụ: +) XxxxYxxxxXY=∈{ |,6;|,2,3M} =∈{ M M} ⇒=. +) X là tập hợp các hình bình hành có một góc vuông, Y là tập các hình chữ nhật thì X = Y. 1.1.5. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X. Một tập hợp A đ−ợc gọi là tập con (hay bộ phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X. Kí hiệu A ⊂ X (hoặc XA⊃ ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của X, hoặc A là một tập con của X. Quan hệ A ⊂ X đ−ợc gọi là quan hệ bao hàm. b) Ví dụ: +) 2 ⊂ N +) Tập hợp các hình vuông là tập con của tập hợp các hình chữ nhật. c) Tính chất +) ∅⊂A, ∀A +) A ⊂ A +) Nếu A ⊂⊂⇒⊂BB, C A C +) Nếu A ⊂ B và B ⊂⇒=AAB 1.1.6. Họ các tập con của một tập hợp a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập hợp, kí hiệu P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm ít nhất một phần tử chính là tập X. 6
7. b) Ví dụ: +) Nếu X =∅ thì P(X) = {∅}. +) Nếu Xa= { } thì P(X) = {∅,{a}}. +) Nếu Xab= { , } thì P(X) = {∅,,,,{abab} { } { }}. Chú ý: Ta có thể chứng minh đ−ợc rằng nếu X là một tập hợp hữu hạn gồm n phần tử thì P(X) là một tập hợp hữu hạn gồm 2n phần tử. 1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.1. Hợp của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp X, Y đ−ợc gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu XY∪ . Theo định nghĩa XY∪={| xxX ∈ hoặc x∈Y}. Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A12,AA , , n . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong n tập hợp A12,AA , , n đ−ợc gọi là hợp của các tập hợp A12,AA , , n , kí hiệu A12∪∪∪AA n . b) Ví dụ: +) X==⇒∪={ abcd,,,} , Y{ def ,,} X Y{ abcdef ,,,,,} . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY∪ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∪=AA, A ∪∅= A +) Nếu B ⊂ A thì A ∪=BA +) A ∪=∪BB A +) ()A ∪∪=∪∪BCABC( ) 1.2.2. Giao của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai 7
8. tập hợp (phần tử chung của) X, Y đ−ợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu XY∩ . Theo định nghĩa XY∩={| xxX ∈ và x∈Y}. Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A12,AA , , n . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất cả n tập hợp A12,AA , , n đ−ợc gọi là giao của các tập hợp A12,AA , , n , kí hiệu A12∩∩∩AA n . b) Ví dụ: +) XabcdYdefXYd==⇒∩={ ,,,} ,{ ,,} { } . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY∩ là tập các số tự nhiên chia hết cho 6. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∩=AA, A ∩∅=∅ +) Nếu B ⊂ A thì A ∩ BB= +) A ∩=∩BB A +) ()A ∩∩=∩∩BCABC( ) 1.2.3. Hiệu của hai tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp X nh−ng không thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là hiệu của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu XY\ . Theo định nghĩa XY\{|=∈ xxX và x∉Y}. b) Ví dụ: +) X==⇒=={ abcd,,,} , Y{ de ,, f} X \ Y{ abc ,,} , Y \ X{ e , f} . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY\ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 3, YX\ =∅. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A \,\AA=∅ ∅= A. +) Nếu B ⊂ A thì B \;\AAB= ∅ đ−ợc gọi là phần bù của B trong A và kí hiệu A \ BCB= A . 8
9. +) B \(BA \ )= A. +) Nếu B ⊂ A thì CA\\⊂ CB. 1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp. a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đ−ợc gọi là một cặp sắp thứ tự, kí hiệu (a, b). +) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là tích Đề Các của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu XYì . Theo định nghĩa XYì={( xyxXyy , ) | ∈ , ∈ }. Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho tr−ờng hợp nhiều tập hợp: Định nghĩa: Cho các tập hợp A12,AA , , n . Ta định nghĩa A123ìì=AA(), AA 12 ì ì A 3 AAAA1234ì ìì=( AAA 123 ìì ) ì A 4 , , A12ììì=AAAAAA nnn ( 12 ìì − 1 ) ì. Tích Đề Các XXììì X của n tập hợp X kí hiệu X n . Tích Đề Các XXì= X2 còn đ−ợc gọi là bình ph−ơng Đề Các của tập hợp X. b) Ví dụ: XabcY==⇒ì={ , ,} ,{ 1,2} XYaabbcc{ ( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2)} ; YXì = {(1, a ), (1, b ), (1, c ), (2, a ), (2, b ), (2, c )}. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: Aì ∅=∅ +) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các XYì bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y. *) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nh−ng có tính chất kết hợp. 1.2.5. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp a) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∩∪=∩∪∩()()()BC AB AC +) A ∪∩=∪∩∪()()()BC AB AC Hệ quả: Với các tập A, B bất kỳ ta có: 9
10. +) A ∩∪=()AB A +) ()A ∩∪=BBB b) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A \(BC∪= ) ( AB \ ) ∩ ( AC \ ) +) A \(BC∩= ) ( AB \ ) ∪ ( AC \ ) 1.3. ánh xạ 1.3.1. Khái niệm ánh xạ a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một quy tắc cho t−ơng ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu f : XY→ hoặc XY⎯⎯f → x a fx() x a fx() Tập hợp X đ−ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đ−ợc gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. b) Ví dụ: +) XabcdYdef=={ ,,,} ,{ ,, } t−ơng ứng: ada bd a cea dfa là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) XabY=={ ,,} { 1,2,3} t−ơng ứng: a 1 a b a 2 là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) Xét tập hợp các số tự nhiên, t−ơng ứng: nna 2 là một ánh xạ từ đến . 2 +) Xét tập hợp các số thực, t−ơng ứng: x a xx− 32+ là một ánh xạ từ đến . 10
11. +) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ). +) T−ơng ứng từ tập các con ng−ời trên trái đất đến tập các con ng−ời trên trái đát theo quy tắc mỗi ng−ời phụ nữ t−ơng ứng với con đẻ của mình không phải là một ánh xạ vì một ng−ời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con. Nh−ng nếu theo quy tắc mỗi ng−ời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ng−ời đều có một và chỉ một mẹ đẻ. Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà ta đã học trong ch−ơng trình phổ thông. Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn và tập đích là tập hợp số thực hoặc bộ phận của nó và số f(x) t−ơng ứng với x đ−ợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức l−ợng giác, chẳng hạn fx()=−+ 3 x2 2 x 4 hay f ()xx= 2sin+ 4cos2 x. +) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f(x) t−ơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức đại số, không bắt buộc là số. 1.3.2. ảnh và tạo ảnh a) Định nghĩa: Giả sử f : XY→ là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất kỳ của Y. Ta gọi: +) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x. +) f ()AyYxA=∈∃∈ { | sao cho f ()xy= } là ảnh của tập hợp A bởi f. +) f −1()BxXfxB=∈ { | () ∈ } là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f. b) Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp X= { abcd,,,} đến tập hợp Ydef= { ,, }xác định bởi: adbdcedfaaaa;;; A =⊂=⊂{abc,,} X , B {,} e f Y. Ta có f ()Ade= {,}, f −1()Bcd= {,}. 11
12. Nhận xét: +) f ()∅=∅ với mọi ánh xạ f. +) A ⊂ ffA−1(()) với mọi bộ phận A của X. +) B ⊃ ff(())−1 B với mọi bộ phận B của Y. 1.3.3. Đơn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi x,'x thuộc X, nếu f ()xfx= (') thì x = x' hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay định nghĩa t−ơng đ−ơng: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi x,'x thuộc X, nếu x ≠ x' thì f ()xfx≠ ('). Một đơn ánh còn đ−ợc gọi là ánh xạ một đối một. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một đơn ánh. 3 +) ánh xạ f :,a→ xx là một đơn ánh. 2 +) ánh xạ fxxx:,a→−+ 32 không là đơn ánh vì có f(1) = f(2) = 0 mà rõ ràng 12≠ . +) ánh xạ XXxx→ , a là một đơn ánh và gọi là ánh xạ đồng nhất của X, kí hiệu idx hoặc 1x . +) Nếu XY⊂ thì ánh xạ XYxx→ , a là một đơn ánh và gọi là đơn ánh chính tắc từ X đến Y hay ánh xạ nhúng chính tắc X vào Y. 1.3.4. Toàn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một toàn ánh nếu với mọi phần tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu f ()XY= . Một toàn ánh còn đ−ợc gọi là một ánh xạ lên. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn 12
13. ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ XXxx→ , a là một toàn ánh. +) ánh xạ f :2,2a→ nn là một toàn ánh. 2 +) ánh xạ fxxx:,a→−+ 32 không là toàn ánh vì chẳng hạn có −∈2 mà không có phần tử x nào thuộc sao cho f(x) = -2. +) Nếu XY⊂ thì ánh xạ XYxx→ , a không là một toàn ánh. 1.3.5. Song ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 – 1) nếu nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ f : XY→ là một song ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X sao cho f(x) = y. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ đồng nhất là một song ánh. +) ánh xạ f :2,2a→ nn là một song ánh. * +) ánh xạ f :,1a→+nn là một song ánh. 1.4. Quan hệ 1.4.1. Quan hệ hai ngôi a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng. Mỗi tập con S của tập tích Đề Các XYì đ−ợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên XYì . Nếu (,x yS )∈ ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy . Nếu (,x yS )∉ ta nói x không có quan hệ S với y và viết x$y . Một quan hệ hai ngôi trên XXì đ−ợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp X. b) Ví dụ: +) Tập con Sxy= {(, )∈ì | xy =} xác định quan hệ bằng nhau trên . 13
14. +) Tập con Sxy=∈ì≤{(, ) | xy} xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng n trên . c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi x∈ X , x có quan hệ S với chính nó. +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi x, yX∈ mà x có quan hệ S với y thì y có quan hệ S với x. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi x, yX∈ mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y. +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi x,,yz∈ X mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z. Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn: +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu ∀x∈ XxSx, . +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu ∀x,,yXxSyySx∈⇒. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu ∀∈x,,,yXxSyySxxy ⇒=. +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu ∀x,,yz∈⇒ XxSyySz , , xSz. Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 có các tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. 1.4.2. Quan hệ t−ơng đ−ơng a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ−ợc gọi là quan hệ t−ơng đ−ơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 14
15. Quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập X th−ờng ký hiệu , nếu x, yX∈ , x t−ơng đ−ơng với y thì ta viết xy . Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một quan hệ t−ơng đ−ơng. b) Lớp t−ơng đ−ơng *) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng . a là một phần tử thuộc X. Tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a đ−ợc gọi là lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a trên quan hệ t−ơng đ−ơng , kí hiệu [a]. Theo định nghĩa [axXxa] =∈{ | } , nh− vậy lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a. *) Ví dụ: +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau. Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a là [a] = {a} +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập các học viên của lớp mầm non là quan hệ cùng họ thì lớp t−ơng đ−ơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất cả các học viên có họ Nguyễn. +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9, }. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10, }. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14, }. *) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng , a, b, x, y là các phần tử thuộc X. Ta có: +) aa∈[ ]. +) [a] ≠∅. +) Nếu x, ya∈⇒[ ] xy . +) Nếu x∈⇒∈[ay],[] x y a. 15
16. +) [ab] =⇔[ ] ab . +) Nếu a không t−ơng đ−ơng với b thì [ab] ∩[ ] =∅. c) Tập th−ơng *) Định nghĩa: Giả sử trên tập X khác rỗng xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng . Tập hợp tất cả các lớp t−ơng đ−ơng của X trên qua hệ t−ơng đ−ơng đ−ợc gọi là tập th−ơng của X trên qua hệ t−ơng đ−ơng , kí hiệu X . Theo định nghĩa: XaaX=∈| . Nh− vậy mỗi phần tử của tập {[ ] } th−ơng X là một lớp t−ơng đ−ơng của một phần tử a của X, tức là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của X mà t−ơng đ−ơng với a. *) Ví dụ: +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3. = 0,1,2 . {[ ] [ ] [ ]} +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập X các học viên của lớp mầm non là quan hệ cùng họ thì tập th−ơng X ={[Nguyễn], [Trần], [Lê], [Phạm], }. 1.4.3. Quan hệ thứ tự a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Tập hợp X đ−ợc gọi là tập sắp thứ tự nếu trên X có một quan hệ thứ tự. Quan hệ thứ tự trên tập X th−ờng ký hiệu ≤, nếu x, yX∈ , x có quan hệ thứ tự ≤ với y thì ta viết x ≤ y . *) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ thứ tự. +) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ tự. *) Chú ý: Trong một tập sắp thứ tự X có thể xảy ra 2 tr−ờng hợp: 16
17. +) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. +) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. *) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự toàn phần. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ * thứ tự bộ phận bởi vì chẳng hạn 2, 3 thuộc nh−ng không nằm trong quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia hết cho 2. +) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ phận. Chẳng hạn XY= {1,2,3} ⊂= ,{ 4,5,6,7} ⊂ nh−ng XY⊄ và YX⊄ . b) Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất *) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự. +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử lớn nhất của X nếu với mọi x ∈ X , ta có x ≤ a . +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử nhỏ nhất của X nếu với mọi x ∈ X , ta có ax≤ . * *) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 là quan hệ chia hết cho. * +) Tập chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1, không có phần tử lớn nhất. * +) Tập A =⊂{1, 2, 5, 7, 35, 70} có phần tử lớn nhất là 70 vì 70 chia hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A đều chia hết cho 1. * +) Tập B =⊂{2,5,7,35,70} chỉ có phần tử lớn nhất là 70. * +) Tập C =⊂{1,2,3,5,7,9,10,25} chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1. 17
18. * +) Tập D =⊂{2,3,4,5,7,35} không có phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất. c) Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu *) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự. +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗi x ∈ X , quan hệ x ≥ a kéo theo x = a . +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi x ∈ X , quan hệ x ≤ a kéo theo x = a . * *) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 là quan hệ chia hết cho. * +) Tập chỉ có phần tử tối tiểu là 1, không có phần tử tối đại. * +) Tập A =⊂{1,2,5,7,35,70} có phần tử tối tiểu là 1, phần tử tối đại là 70. * +) Tập B =⊂{2,5,7,35,70} có các phần tử tối tiểu là 2,3,5,7, phần tử tối đại là 70. * +) Tập C =⊂{1,2,3,5,7,9,10,25} chỉ có phần tử tối tiểu là 1, các phần tử tối đại là 7, 9, 10, 25. *) Chú ý: +) Một tập hợp có nhiều nhất một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ nhất. +) Một tập hợp có thể có nhiều phần tử tối đại và nhiều phần tử tối tiểu. 1.5. Giải tích tổ hợp 1.5.1. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Mỗi tập hợp con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau của một tập hợp gồm n phần tử đ−ợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh k hợp chập k của n phần tử kí hiệu là An . 18
19. b) Công thức Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập gồm k phần tử khác nhau sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Nh− vậy số các chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là số các cách chọn k phần tử sắp thứ tự. Vì Chọn phần tử thứ nhất có n cách. Chọn phần tử thứ hai có n - 1 cách. Chọn phần tử thứ ba có n - 2 cách Chọn phần tử thứ k -1 có n - k +2 cách. Chọn phần tử thứ k có n – k + 1 cách. Do đó có tất cả n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1) cách chọn. n! Vậy Ak = n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1)= . n (n-k)! 1.5.2. Hoán vị a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử đ−ợc gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn . b) Công thức Vì mỗi hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử nên số các hoán vị của n phần tử chính là số các chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó, số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n.(n-1).(n-2) (n-n+2)(n-n+1) = n.(n-1).(n-2) 2.1 = n! 1.5.3. Tổ hợp a) Định nghĩa: Một tập hợp con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của một tập hợp gồm n phần tử đ−ợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Cn . b) Công thức Vì mỗi hoán vị của k phần tử trong một tổ hợp chập k của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập k của n phần tử nên mỗi tổ hợp chập k của n phần tử có k! chỉnh 19
20. hợp chập k của n phần tử . Do đó số các tổ hợp chập k của n phần tử bằng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho số các hoán vị của k phần tử n! Vậy số các tổ hợp của n phần tử là: C k = . n ()!!nkk− 1.5.4. Nhị thức Newton a) Công thức nhị thức Newton Với mọi số tự nhiên n ≥1 ta có: n 01122211nn−− n nnnn −− ()ab+= CaCabCabnn + + n ++ CabCb n + n . b) Ví dụ: +) Với n = 2, 3 ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ: 23 (ab+=++) a222; abb( ab +=+) a 3223 33 ababb + + +) Với n = 4: 4 04 141−−−− 2422 41 41 44 ()ab+= CaCabCab44 + + 4 + CabCb 4 + 4 =+aabababb4346 + 2234 + 4 + 4 +) Với n = 5: (ab+=+++++) a54510105 ab ab 322345 ab abb. Bμi tập ch−ơng 1 1. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp a) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 3. b) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 15. c) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. d) Tập hợp các số tự nhiên là −ớc của 15. e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3. f) Tập hợp các chữ số x sao cho 13x 8 chia hết cho 3. 2. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc tr−ng a) A = {1,2,4,8,16,32} 20
21. b) B = {1,4,9,16,25,36, } c) A = {1,4,7,10,13,16,19} 3. Tìm tập hợp P(X) các tập con của tập hợp X sau: a) X = {1, 3, 5} b) Xabcd= { ,,,} 4. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp A,B, A ∪∩BA,,\,\, BA BB AA ì B trong các tr−ờng hợp sau: a) A là tập các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục, B là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8. b) A =={xx| 6 7MM 9} ; B{ x | 325 x 3} c) A là tập các −ớc của 18, B là tập các −ớc của 24. 5. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 22 học sinh thích bóng đá, 18 học sinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bóng đá và bơi, 13 học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thíc bóng đá và cầu lông, 9 học sinh thích cả 3 môn và 12 học sinh không thích môn nào. Hãy tính xem lớp đó có bao nhiêu học sinh. 6. Giả sử X là tập tất cả con ng−ời trên trái đất, trên X ta xác định các quan hệ sau: a) xSy1 nếu ng−ời x không nhiều tuổi hơn ng−ời y. b) xSy2 nếu ng−ời x cùng giới tính với ng−ời y. c) xSy3 nếu ng−ời x là con của ng−ời y. Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 7. Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ t−ơng đ−ơng, tìm tập th−ơng trên các quan hệ t−ơng đ−ơng đó. a) Quan hệ S trên tập các số nguyên nh− sau: ∀x,,yxSy∈ nếu x + y chia hết cho 2. 21
22. b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên nh− sau: ∀x,,yxSy∈ nếu x, y có cùng chữ số hàng đơn vị. c) Quan hệ S trên tập các số thực nh− sau: ∀x,,yxSyxy∈⇔= 8. Xét quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên . Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau: a) A = {1, 2, 4, 8,16, 32} b) B = {3,6,12,24,36,48} c) C = {1,2,4,8,12,16,18,24,32} d) D = {2,3,4,8,12,16,18,24} 9. Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không? a) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi ng−ời với mẹ đẻ của mình. b) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi ng−ời với anh cả của mình. c) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi tam giác với đ−ờng tròn ngoại tiếp nó. d) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi đ−ờng tròn với tam giác nội tiếp nó. e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đ−ợc bao nhiêu trừ đi 15. 10. Cho các ánh xạ: −−11 a) f :,25a→+nn. Tìm fff(1), (3), (15); f (1), f (20). 2 b) f :;a→−+xx 54 x.Tìm: ffff(0), (1), (5);−−11 (10), f (− 3). * 11. Cho ánh xạ: f :,31a→−nn, và các tập A = {1,2,4,8} , B = {2,8,14,10,47}. Hãy tìm: f (),Af−1 () B. 12. Trong các ánh xạ d−ới đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. a) f :,43a→+nn b) f :;43a→+xx c) f :;Tx→ a+ diện tích tam giác x (T là tập các tam giác). 13. Có thể xếp đ−ợc bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5? 22
23. 14. Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻ chơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đ−ợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngang nhau và việc chọn là vô t− không thiên vị). 14. Tìm khai triển Newton của: 1 1 a) (2x − )6 b) (1)x − 10 c) ()xy − 6 2 y 15. Tính : 7!9 10!5 a) 1, 9 6 b) 995 c) d) 9!2! 8!4! 23
24. Ch−ơng 2: Cấu trúc đại số 2.1. Phép toán hai ngôi 2.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ T: XìX → X đ−ợc gọi là một phép toán hai ngôi trên X. Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) đ−ợc gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu xTy. 2.1.2. Ví dụ +) Phép cộng, phép nhân thông th−ờng trên các tập số là các phép toán hai ngôi. +) Phép trừ trên tập số tự nhiên không là phép toán hai ngôi vì phép trừ không là ánh xạ từ ì tới . Ví dụ: (3,5)∈ ì , 35− =− 2 ∉ . Nh−ng phép trừ trên tập số nguyên , tập số hữu tỉ , tập số thực là phép toán hai ngôi. +) ánh xạ T: ()()ììì→ì ((a, b), (c, d)) a (a + c, b + d) là phép toán hai ngôi trên ì . 2.1.3. Các tính chất a) Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) T đ−ợc gọi là có tính chất kết hợp nếu ∀a, b, c∈ X ta có (aT b)T c = aT(bTc). +) T đ−ợc gọi là có tính chất giao hoán nếu ∀a, b∈ X ta có aT b = bTa. Ví dụ: +) Phép cộng, nhân thông th−ờng trên các tập số có tính chất giao hoán, kết hợp. +) Phép trừ trên tập số nguyên không có tính chất giao hoán, kết hợp. b) Giả sử T và R là hai phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) T đ−ợc gọi là phân phối bên phải đối với R nếu ∀a, b, c∈ X ta có 24
25. (aR b)T c = (aTc)R(bTc). +) T đ−ợc gọi là phân phối bên trái đối với R nếu ∀a, b, c∈ X ta có aT(bR c) = (aTb)R(aTc). +) T đ−ợc gọi là phân phối đối với R nếu nó vừa phân phối phải vừa phân phối trái đối với R. Ví dụ: Xét tập hợp số tự nhiên , với hai phép toán cộng, nhân thông th−ờng. +) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: ∀a,b, c∈ ta có: ()abcacbc+=+; ab()+ c=+ ab ac +) Phép cộng không phân phối đối với phép nhân: abcabac+≠++()( )(). 2.1.4. Phần tử trung lập a) Định nghĩa Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) Một phần tử et ∈X đ−ợc gọi là phần tử trung lập trái của T nếu và chỉ nếu ∀∈x X; extT = x. +) Một phần tử ep ∈X đ−ợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉ nếu ∀∈x X; xeT p = x. +) Nếu e∈X vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải của T thì e đ−ợc gọi là phần tử trung lập của T. b) Ví dụ Với phép cộng và phép nhân trên các tập số ,,,số 0 là phần tử trung lập của phép cộng (phần tử không). Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần tử đơn vị). c) Định lý Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau. Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T có các phần tử trung lập trái et , trung lập phải ep . Theo định nghĩa 25
26. extpT,T,==∀∈ xxe x x X. Vì eetp,X;T;T∈ e t e p==⇒= e pt e e p e t e t e p. * Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập. Chứng minh: Giả sử e, e′ là hai phần tử trung lập của phép toán hai ngôi T trên tập hợp X. Khi đó, vì e là phần tử trung lập eeTT′ = e′′ e= e (1) . Mặt khác e′ là phần tử trung lập nên ee′TT= ee′ = e (2). Từ (1) và (2) ta có ee= ′. 2.1.5. Phần tử đối xứng a) Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X, e là phần tử trung lập của T và a∈X . Một phần tử a′∈X đ−ợc gọi là: +) Phần tử đối xứng phải của a nếu aaT ′ = e. +) Phần tử đối xứng trái của a nếu aa′T = e. +) Phần tử đối xứng của a nếu a' vừa là phần tử đối xứng phải vừa là phần tử đối xứng trái của a. Tức là a' thoả mãn: aa′TT= aa′ = e. b) Ví dụ: +) Đối với phép cộng trên , mọi phần tử đều có phần tử đối xứng đó chính là các phần tử đối của nó. Ví dụ: 2 có phần tử đối xứng là -2. +) Đối với phép nhân trên , mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng, 1 đó chính là phần tử nghịch đảo của nó. Ví dụ: 3 có phần tử đối xứng là . 3 +) Đối với phép nhân trên , chỉ có hai phần tử thuộc có phần tử đối xứng đó là 1 và -1 vì 1.1 = 1; (-1).(-1) = 1 nên phần tử đối xứng của 1 là 1, của -1 là -1. c) Định lí: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X và giả sử T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập. Khi đó: i) Nếu a′ và a" t−ơng ứng là các phần tử đối xứng trái và đối xứng phải của một phần tử a∈X thì aa′ = ′′ . ii) Một phần tử a∈X có nhiều nhất một phần tử đối xứng. Chứng minh: i) Giả sử e là phần tử trung lập của T. Theo định nghĩa aaTT′′==⇒== a ′ a e a ′ a ′ TT(T)(T)TT e a ′ aa ′′ = a ′ a a ′′ == ea ′′ a ′′ . 26
27. ii) Giả sử a∈X có hai phần tử trung lập là a′ và a". Theo chứng minh trên aa′′′= . 2.1.6. Phần tử chính quy a) Định nghĩa: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X, a∈X . +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên trái đối với T nếu ∀∈bc, X từ abTT= ac⇒= b c. +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên phải đối với T nếu ∀∈bc, X từ baTTa= c⇒= b c. +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy nếu nó vừa là phần tử chính quy bên trái vừa là phần tử chính quy bên phải đối với T. b) Ví dụ +) Mọi phần tử thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép cộng trên các tập đó. +) Mọi phần tử khác 0 thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép nhân trên các tập đó. +) Giả sử phép toán hai ngôi T trên tập X có phần tử trung lập e và có tính chất kết hợp. Khi đó mọi phần thuộc X có phần tử đối xứng đều là phần tử chính quy. Thật vậy, giả sử a∈X có phần tử đối xứng axy′ ⇒∀,X ∈ , giả sử axTT=⇔ ay a′′ T(T)T(T)(T)T(T)T ax = a ay ⇔ a ′′ a x = a a y⇔ exTT= ey ⇔= x y . 2.1.7. Tập con ổn định đối với một phép toán hai ngôi a) Định nghĩa Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và Y là một tập con của X. Tập hợp Y đ−ợc gọi là tập con ổn định đối với phép toán hai ngôi T trên X nếu ∀∈ab,Y, aTY b ∈. Khi đó Y còn đ−ợc gọi là tập con của X đóng kín đối với phép toán T. Nh− vậy phép toán hai ngôi trong X cảm sinh một phép toán hai ngôi trong A. 27
28. b) Ví dụ +) Tập các số tự nhiên chẵn là ổn định đối với phép cộng và phép nhân trên . +) Tập các số tự nhiên lẻ chỉ ổn định đối với phép nhân trên . 2.1.8. Cấu trúc đại số Một tập hợp trên đó có trang bị một hay nhiều phép toán hai ngôi đ−ợc gọi là một cấu trúc đại số. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên cùng với phép toán cộng xác định trên nó là một cấu trúc đại số. +) Tập hợp các số thực cùng với phép toán cộng và phép toán nhân xác định trên nó là một cấu trúc đại số. 2.2. Cấu trúc nhóm 2.2.1. Nửa nhóm a) Định nghĩa +) Một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp trên X đ−ợc gọi là một nửa nhóm. +) Một nửa nhóm đ−ợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán hai ngôi có tính chất giao hoán. +) Một nửa nhóm đ−ợc gọi là một vị nhóm nếu phép toán hai ngôi có phần tử trung lập. +) Một nửa nhóm có số phần tử hữu hạn đ−ợc gọi là nửa nhóm hữu hạn. b) Ví dụ : +) Tập các số tự nhiên cùng với phép cộng là một vị nhóm giao hoán. Phần tử trung lập là 0. +) Tập các số tự nhiên cùng với phép nhân là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là 1 (còn gọi là phần tử đơn vị). +) Tập P(X) các tập con của tập hợp X cùng với phép hợp là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là ∅ . 28
29. +) Tập P(X) cùng với phép giao là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là X. +) 3 cùng với phép cộng abab+ =+ là một vị nhóm giao hoán, hữu hạn. 2.2.2. Nhóm a) Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi là một nhóm nếu: i) X là một vị nhóm. ii) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X. Cách khác: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi là một nhóm nếu: i) Phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. ii) Phép toán hai ngôi có phần tử trung lập. iii) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X. Nếu phép toán hai ngôi trên X là giao hoán thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel). Nếu X là tập hữu hạn phần tử thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm hữu hạn và số phần tử của X đ−ợc gọi là cấp của nhóm X. b) Ví dụ +) Tập các số nguyên cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán. +) Tập các số nguyên cùng với phép nhân không là một nhóm (vì có những phần tử thuộc không tồn tại phần tử đối xứng thuộc , chẳng hạn 2∈ không có phần tử nào thuộc để 2 nhân với nó bằng 1). +) Tập chỉ gồm một phần tử {0} cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán, hữu hạn. +) Tập chỉ gồm một phần tử {1}cùng với phép nhân là một nhóm giao hoán hữu hạn. +) Tập hợp {1,−− 1,ii , }với i2 = −1 cùng phép toán nhân đ−ợc cho bởi bảng 29
30. sau là một nhóm giao hoán, hữu hạn: 1 -1 i -i Phần tử đơn vị là 1 1 1 -1 i -i Phần tử nghịch đảo của 1 là 1 -1 -1 1 -i i Phần tử nghịch đảo của -1 là -1 i i -i -1 1 Phần tử nghịch đảo của i là -i -i -i i 1 -1 Phần tử nghịch đảo của –i là i +) p =−{0,1,2, ,p 1} cùng với phép cộng abab+ =+ là một nhóm giao hoán. 2.2.3. Một số tính chất a) Mệnh đề Giả sử G là một nhóm, R là phép toán hai ngôi trên G. Khi đó: a) Giả sử ab,G∈ có phần tử đối xứng là ab′, ′ . Khi đó abR có phần tử đối xứng là ba′′R . b) Mọi phần tử đều là phần tử chính quy hay ∀∈abc,, G: abRR=⇒==⇒= ac b cbaca ;RR b c. Nói cách khác, phép toán hai ngôi R trong G thoả mãn luật giản −ớc. Chứng minh a) Thật vậy, chỉ cần chứng minh ba′R ′ là phần tử đối xứng của abR . Giả sử e là phần tử trung lập của G (baabbaabbebbbe′′ R )R( R )=== ′ R( ′ R )R ′ R( R ) ′ R . T−ơng tự, (R)R(Rab b′ a′′′ )= e⇒ b R a là phần tử đối xứng của abR . b) Nếu abR=⇔ ac R a′ R( ab R ) = a′′′ R( ac R ) ⇔ ( a R a )R b = ( a R a )R c ⇔=⇔=ebRR ec b c. T−ơng tự, baRR=⇒= ca b c. b) Định lí 1 Cho G là một nửa nhóm. Các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: 30
31. a) G là một nhóm. b) G có phần tử trung lập trái và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng trái. c) G có phần tử trung lập phải và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng phải. Chứng minh: (a ⇒ b) Hiển nhiên vì nếu G là một nhóm thì G có phần tử trung lập do đó G có phần tử trung lập trái và vì mọi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng nên chúng có phần tử đối xứng trái. (b ⇒ c) Giả sử G có phần tử trung lập trái et và a∈G có phần tử đối xứng trái a′, a′ có phần tử đối xứng trái là a′′. Khi đó: aaeeaaaa′′′′R;R;R==tt = e. ⇒=aaeaaaaaaaaaaaR′t R(R) ′ = (R)R(R) ′′ ′ ′ = ′′ R(R)R ′ ′ = ′′ R(eR)t aaae ′ = ′′ R ′ = ⇒ a′ cũng là phần tử đối xứng phải của a ⇒ aeRR(R)(R)RRtt=== a a′′ a aa a e a a ⇒ et cũng là phần tử trung lập phải của R. (c ⇒ a) Hoàn toàn t−ơng tự (b ⇒ c) ta chứng minh đ−ợc G có phần tử trung lập và mọi phần tử đều có phần tử đối xứng ⇒ G là một nhóm. b) Định lí 2 Cho G là một nửa nhóm khác rỗng. G là một nhóm khi và chỉ khi các ph−ơng trình axR = b và ybRa = , ∀ab,G∈ có nghiệm. Chứng minh: (⇒) Giả sử G là một nhóm và e là phần tử trung lập của G và mọi ∀∈ab,G, tồn tại ab′′, t−ơng ứng là phần tử đối xứng của ab, . Khi đó, từ axbRR(R)R(R)RRRRR=⇒ a′′′′ ax =⇔ ab aa xab =⇔=⇔= exab ′ xab ′ T−ơng tự, yba= R ′ . Do đó các ph−ơng trình axR = b và ybRa = , ∀∈ab,G có nghiệm. (⇒) Giả sử các ph−ơng trình axR = b và ybRa = có nghiệm với mọi ∀∈ab,G. Khi đó, vì G ≠∅⇒ với a∈G ph−ơng trình axR = a có nghiệm. Giả 31
32. sử x = e . Khi đó, với mỗi b∈G vì ph−ơng trình yaR = b có nghiệm ⇒ beR(R)RR(R)R=== ya e y ae ya b, ∀be∈⇒G là phần tử trung lập phải của G. Với mỗi a∈G ph−ơng trình axR = e có nghiệm ⇒ ∃∈c G sao cho acR =⇒ e a có phần tử đối xứng phải là c. Theo định lí 1, G là một nhóm. 2.2.4. Nhóm con a) Định nghĩa: Một tập con A của một nhóm X đ−ợc gọi là nhóm con của X nếu A ổn định đối với phép toán trên X và A cùng với phép toán trên X cảm sinh trên nó là một nhóm. b) Ví dụ : Tập các số nguyên cùng với phép cộng là nhóm con của nhóm các số thực với phép cộng. c) Định lý Giả sử A là một tập con của một nhóm X, T là phép toán hai ngôi trong X. A là nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi các điều kiện sau đ−ợc thỏa mãn: i) Với mọi ab,,∈∈ AaTb A . ii) eA∈ , với e là phần tử trung lập của X iii) Với mọi aAaA∈∈,.' 2.3. Cấu trúc vành 2.3.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: +) X cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán. +) X cùng với phép nhân là một vị nhóm. + Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . 32
33. yx.(+= z ) yxyz . + . Phần tử trung lập của phép cộng th−ờng kí hiệu là 0 và đ−ợc gọi là phần tử không. Phần tử trung lập của phép nhân th−ờng kí hiệu là 1 và đ−ợc gọi là phần tử đơn vị. Phần tử đối xứng của một phần tử x (đối với phép cộng) th−ờng kí hiệu là -x và đ−ợc gọi là phần tử đối của x. Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì vành X đ−ợc gọi là vành giao hoán. * Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập. 3) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán. 5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập. 7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . yx.(+= z ) yxyz . + . 2.3.2. Ví dụ +) Tập hợp các số nguyên với phép cộng và phép nhân thông th−ờng là một vành giao hoán và gọi là vành các số nguyên. +) Vành các số hữu tỉ . +) Vành các số thực . +) Vành các số phức . 33
34. 2.3.3. Định lí Cho X là một vành, với mọi x,,yz∈ X ta có: i) x()yz−= xyxzyzxyxzx − ;() − = −. ii) 0x = x0 = 0. iii) x(−y) = (−x)y = −xy, (−x)(−y) = xy . Chứng minh: i) x(y − z) = xy − xz . Thật vậy, theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có: xyxy=+=+−=−+=−+(0)(( xyzz ))(())( xyz z xyzxz ) ⇒−=xy xz x() y −+−⇒−= z xz xz xy xz x () y − z . ii) Theo i) ta có 0x = (y − y)x = yx − yx = 0 = xy − xy = x(y − y) = x0 . iii) Từ i) và ii) ta có: x(−=yx ) (0 −=−=−=−=−=− yxxyxyxyyxyxyxy ) 0 0 0 (0 ) =− ( ) ⇒−()()()x −yxyxyxy =−− =−− ( ) = . Đặc biệt với mọi số nguyên n, (−x) n = x n nếu n chẵn và (−x) n = −x n nếu n lẻ. 2.3.4. Ước của không a) Định nghĩa 1 Giả sử X là một vành giao hoán. a, b là các phần tử của X. a đ−ợc gọi là bội của b (hay a chia hết cho b) nếu ∃c ∈ X sao cho a = bc, kí hiệu: aMb . Khi đó b đ−ợc gọi là −ớc của a, kí hiệu: b a . b) Định nghĩa 2 X là một vành. Một phần tử aXa∈ ,0≠ đ−ợc gọi là −ớc của 0 nếu ∃∈bXb,0 ≠ sao cho ab = 0. c) Ví dụ: 6 = {0,1,2,3,4,5}cùng với 2 phép toán a + b = a + b , ab = ab là một vành giao hoán. 2, 3 là −ớc của 0 trong vành 6 . 34
35. 2.3.5. Miền nguyên a) Định nghĩa: Một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, không có −ớc của 0 đ−ợc gọi là miền nguyên. b) Ví dụ +) là một miền nguyên. +) p với mọi p là số nguyên tố là một miền nguyên. 2.3.6. Vành con a) Định nghĩa: Cho X là một vành, A là một tập con của X ổn định đối với 2 phép toán trong X (tức là abAabAabA+ ∈∈∀∈,. , , ). A đ−ợc gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. b) Ví dụ: Tập các số nguyên là một vành con của vành các số thực . c) Định lý: Giả sử A là một tập con khác rỗng của một vành X. Các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: i) A là vành con của X. ii) Với mọi ab,,∈+∈∈−∈ Aa b Aab ,., A a A . iii) Với mọi ab,,∈−∈∈ Aa b Aab , A 2.4. Cấu trúc tr−ờng 2.4.1. Phần tử nghịch đảo a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành. Một phần tử x ∈ X đ−ợc gọi là khả nghịch nếu ∃ y ∈ X : xy = 1. Khi đó y đ−ợc gọi là phần tử nghịch đảo của x và th−ờng kí hiệu là y = x −1 . b) Ví dụ: Tập các số thực với các phép toán cộng và nhân thông th−ờng là 1 một vành giao hoán. ∀∈xx,0, ≠ là phần tử nghịch đảo của x. x 2.4.2. Tr−ờng a) Định nghĩa: Một vành X giao hoán có nhiều hơn một phần tử, đ−ợc gọi là 35
36. một tr−ờng nếu X - {}0 là một nhóm đối với phép nhân trong X. Nói cách khác: Cho X là một miền nguyên. Nếu mọi phần tử khác 0 trong X đều có phần tử nghịch đảo thì X đ−ợc gọi là một tr−ờng. * Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp có nhiều hơn một phần tử trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một tr−ờng nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập. 3) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán. 5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập. 7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . yx.(+= z ) yxyz . + . 8) Phép nhân có tính chất giao hoán. 9) Mọi phần tử khác 0 thuộc X đều có phần tử nghịch đảo. b) Ví dụ +) Tập hợp số thực, tập hợp số phức, tập hợp số hữu tỷ cùng với các phép toán cộng và nhân đều là tr−ờng. +) Vành 5 là tr−ờng. ( p , với p nguyên tố là tr−ờng). +) 4 không là tr−ờng vì phần tử 2∈ 4 không khả nghịch. 2.4.3. Tr−ờng con a) Định nghĩa: Giả sử K là một tr−ờng, L ⊂ K. L đ−ợc gọi là tr−ờng con của K nếu: +) L ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K. +) L cùng với hai phép toán của K cảm sinh trên nó là một tr−ờng. 36
37. b) Định lí: Giả sử K là một tr−ờng, L ⊂ K, L có nhiều hơn hai phần tử. Khi đó các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: i) L là một tr−ờng con của K ii) ∀x, y ∈ L , x + y ∈ L , xy ∈ L , − x ∈ L , x −1 ∈ L . iii) ∀x, y ∈ L , x − y ∈ L , xy −1 ∈ L nếu y ≠ 0. Bμi tập ch−ơng 2 1. Xét xem các quy tắc d−ới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp số tự nhiên không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử đối xứng? a) T: (x, y) a x + 3y +1 2 2 b) R: (x, y) a x + 2xy + y c) S: (x, y) a x 2. Xét xem các quy tắc d−ới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp số thực không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử đối xứng? x + y a) T: (x, y) a 2 b) R: (x, y) a x − y +1 2 c) S: (,x yxxy )a −+ 1 3. Xác định các phần tử trung lập trái (phải) đối với các phép toán hai ngôi cho ở các bảng sau và tìm các phần tử đối xứng của các phần tử (nếu có). a b c d x y z t a a b c d x x x x x 37
38. b a b c d y x y z t c d d d d z x z x z d d d d d t x t t x 4. Trên tập các số nguyên cho phép toán ⊕ xác định bởi ∀∈ab, a ⊕ b = a + b + ab . Hãy tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng của mỗi phần tử thuộc . 5. Những tập hợp nào sau đây cùng với phép toán cho trong đó lập thành một nhóm? a) Tập các số nguyên bội k với phép cộng. b) Tập các số thực d−ơng với phép nhân. c) Tập các số thực với phép trừ. m d) Tập các số hữu tỉ có dạng a ; am, ∈ với phép nhân. e) Tập hợp các đa thức một ẩn bậc n với phép cộng đa thức. f) M(,):,,=∈≠{ ab ab a 0} với phép toán (*) cho bởi: (a,b) *(c,d) = (ac,ad + b). ⎡⎤ g) ⎣⎦22:,=+{ab ab ∈} với phép cộng. h) P(X) , X ≠ ∅ với phép toán hiệu đối xứng: X1 ữ X 2 = (X 2 \ X1 ) U (X1 \ X 2 ) . 6. Tập M = {}a,b,c cùng với một trong hai phép toán T1, T2 cho trong các bảng d−ới đây có lập thành một nhóm không? T1 a b c T2 abc a b a c a a b c b b c a b c a b c c a b c b c a 7. Chứng minh rằng: Tập các số hữu tỉ , tập số thực , tập số phức là những vành giao hoán có đơn vị. 8. Chứng minh rằng: 38
39. a) 66z,z=∈{ } không là một vành. ⎡⎤ b) ⎣⎦22:,=+{ab ab ∈} là một vành giao hoán. 9. Chứng minh rằng: ì với hai phép toán: (,)abcd+=++ (, ) ( acbd , ) (,)(,ab cd )= ( acbd , ) là một vành giao hoán. 10. Chứng minh rằng: 7 là một tr−ờng. 39
40. Ch−ơng 3: Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 3.1.1. Định nghĩa: Cho mn, ∈ . Một bảng gồm mnì số (thực hoặc phức) sắp thành m dòng, n cột, kí hiệu: ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎡ aa11 12 a 1n ⎤ ⎜⎟aa a ⎢aa a⎥ A = ⎜⎟21 22 2n hoặc A = ⎢ 21 22 2n ⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝⎠aamm12 a mn ⎣aamm12 a mn⎦ đ−ợc gọi là một ma trận cỡ (,)mn(hoặc mnì ). Trong đó: +) aij với mọi 1,1≤≤im ≤ jn ≤ đ −ợc gọi là phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j của ma trận A. i, j đ−ợc gọi t−ơng ứng là chỉ số dòng và chỉ số cột của phần tử aij . +) m, n đ−ợc gọi t−ơng ứng là số dòng, số cột của ma trận A Ma trận A cỡ (m, n) có phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j đ−ợc ký hiệu là Aa==()ij mì n () a ij(,) m n . +) Nếu mn≠ thì A đ−ợc gọi là ma trận (chữ nhật) cỡ (m, n). mn= thì A đ−ợc gọi là ma trận vuông cấp n. m=1 thì A đ−ợc gọi là ma trận dòng. n =1 thì A đ−ợc gọi là ma trận cột. +) Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận thực. Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận phức. Kí hiệu: Mat(m,n) là tập các ma trận cỡ (m,n). ⎛⎞102 *) Ví dụ: +) A = ⎜⎟ là một ma trận chữ nhật cỡ (2,3) với các phần tử ⎝⎠−−23 1 aaaa11==1; 12 0; 13 = 2; 21 =−= 2; aa 22 3; 23 =− 1. 40