›
›

Bài tập Xác suất thống kê

pdf 100 trang vanle 8180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_xac_suat_thong_ke.pdf

Nội dung text: Bài tập Xác suất thống kê

  1. Bài tập: Xác suất thống kê
  2. Baøi taäp XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
  3. Chöông 1 ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT A. BAØI TAÄP MAÃU Baøi 1. Cho A, B, C laø ba bieán coá. Chöùng minh P(A∪∪ B C)=++− P(A) P(B) P(C) P(AB) − P(AC) − P(BC) + + P(ABC) Giaûi Ta coù P( A∪∪ B C) ==+− P⎣⎦⎡⎤(AB∪∪) C P(A ∪ B) P(C) P [](A∪ B)C , P(A∪ B)=+− P(A) P(B) P(AB) , PP[](A∪ B)C = []ACBC∪ =+−P(AC) P(BC) P(ABC) neân P( A∪∪ B C) =++− P(A) P(B) P(C) P(AB) −−+P(AC) P(BC) P(ABC). 11 3 Baøi 2. Cho P(A)== , P(B) vaø P(A+ B) = . 32 4 Tính P(AB) , P(AB) , P(A+ B) , P(AB) vaø P(AB) . Giaûi Do P(A+= B) P(A) + P(B) − P(AB) , ta suy ra 1 P(AB)=+−+= P(A) P(B) P(A B) . 12 Do ABAB=+, neân 1 PABPAB1PAB()=+=−+=(). () 4 Töông töï, vì A +=BAB ta suy ra 11 PA()+=− B 1 PAB() =. 12 Xuaát phaùt töø ñaúng thöùc A =+AB AB vaø vì AB , AB laø caùc bieán coá xung khaéc, ta ñöôïc P(A)=+ P() AB P( AB) vaø do ñoù 1 PAB()=− P(A)PAB() =. 4 Töông töï, ta coù 1
  4. 5 PAB()=− P(B)PAB() =. 12 Baøi 3. Tyû leä ngöôøi maéc beänh tim trong moät vuøng daân cö laø 9%, maéc beänh huyeát aùp laø 12%, maéc caû hai beänh laø 7%. Choïn ngaãu nhieân moät ngöôøi trong vuøng. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù a) Bò beänh tim hay bò beänh huyeát aùp. b) Khoâng bò beänh tim cuõng khoâng bò beänh huyeát aùp. c) Khoâng bò beänh tim hay khoâng bò beänh huyeát aùp. d) Bò beänh tim nhöng khoâng bò beänh huyeát aùp. e) Khoâng bò beänh tim nhöng bò beänh huyeát aùp. Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc ngöôøi maéc beänh tim”, B : “nhaän ñöôïc ngöôøi maéc beänh huyeát aùp”, Ta coù P(A)= 0.09 ; P(B)= 0.12 ; P(AB)= 0.07 . a) Bieán coá “nhaän ñöôïc ngöôøi bò beänh tim hay bò beänh huyeát aùp” laø A+B, vôùi P(A+= B) P(A) + P(B) − P(AB) =+−=0.09 0.12 0.07 0.14. b) Bieán coá “nhaän ñöôïc ngöôøi khoâng bò beänh tim cuõng khoâng bò beänh huyeát aùp” laø A.B , vôùi P(A.B)=+==+ P(A B) 1 P(A B) =−1 0.14 = 0.86. c) Bieán coá “nhaän ñöôïc ngöôøi khoâng bò beänh tim hay khoâng bò beänh huyeát aùp” laø A + B , vôùi P(A+= B) P(AB) =− 1 P(AB) =−1 0.07 = 0.93. d) Bieán coá “nhaän ñöôïc ngöôøi bò beänh tim nhöng khoâng bò beänh huyeát aùp” laø A.B , vôùi P(A.B)=− P(A) P(AB) =−=0.09 0.07 0.02. e) Bieán coá “nhaän ñöôïc ngöôøi khoâng bò beänh tim nhöng bò beänh huyeát aùp” laø A.B , vôùi P(A.B)=− P(B) P(AB) =−=0.12 0.07 0.05. Baøi 4. Moät hoäp ñöïng 10 phieáu trong ñoù coù 2 phieáu truùng thöôûng. Coù 10 ngöôøi laàn löôït ruùt thaêm. Tính xaùc suaát nhaän ñöôïc phaàn thöôûng cuûa moãi ngöôøi. Giaûi Goïi T(k1,2, ,10)k = laø bieán coá “ngöôøi thöù k nhaän ñöôïc phieáu truùng thöôûng”. Ta coù 21 P(T )=== 0.2, 1 10 5 P(T2121121 )=⋅ P(T ) P( T T) + P() T ⋅ P() T T 11 42 1 =⋅+⋅==0.2, 59 59 5 2
  5. P(T)3=+ PT( 1) PTT( 21) PTTT( 312) P(T)PTT 1( 21) PTTT( 312) + PT()121312 PTT() PTTT() 421 181 472 1 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==0.2, 598 598 598 5 1 P(T )== 0.2 . 10 5 Baøi 5. Moät baøi thi traéc nghieäm goàm 12 caâu hoûi, moãi caâu coù 5 caâu traû lôøi, trong ñoù chæ coù moät caâu ñuùng. Giaû söû moãi caâu traû lôøi ñuùng, thí sinh ñöôïc 4 ñieåm, moãi caâu traû lôøi sai, thí sinh bò tröø 1 ñieåm. Moät thí sinh laøm baøi baèng caùch choïn ngaãu nhieân caùc caâu traû lôøi. Tìm xaùc suaát ñeå a) thí sinh ñöôïc 13 ñieåm, b) thí sinh bò ñieåm aâm. Giaûi Goïi X laø soá caâu traû lôøi ñuùng trong 12 caâu hoûi ñöôïc traû lôøi moät caùch ngaãu nhieân. Ta coù 1 X ∼ B12;( 5 ) . Xeùt söï töông quan giöõa soá caâu traû lôøi ñuùng vaø soá ñieåm nhaän ñöôïc töông öùng, ta coù Soá caâu ñuùng (X) Soá ñieåm 0 −12 1 −7 2 −2 3 3 4 8 5 13 6 18 7 23 8 28 9 33 10 38 11 43 12 48 a) Bieán coá “thí sinh ñöôïc 13 ñieåm” chính laø bieán coá X = 5 , vôùi xaùc suaát 55 125− PX( == 5) C12 (0.2)(10.2) − 12! 57 =⋅⋅()()0.2 0.8 5!×−() 12 5 ! = 0.0532 b) Bieán coá “thí sinh bò ñieåm aâm” chính laø bieán coá X ≤ 2 , vôùi xaùc suaát PX( ≤= 2) PX( =+ 0) PX( =+ 1) PX( = 2) 012120111210 =⋅+⋅+⋅C12() 0.2 (0.8) C 12 ()() 0.2 0.8 C 12 ()() 0.2 0.8 Baøi 6. Theo doõi döï baùo thôøi tieát =+⋅⋅+⋅⋅=()0.812 12 ()() 0.2 0.8 11 66 ()() 0.2 2 0.8 10 0.558. treân ñaøi truyeàn hình (naéng, söông muø, möa) vaø so saùnh vôùi thôøi tieát thöïc teá xaûy ra, ta coù baûng thoáng keâ sau 3
  6. Döï baùo Naéng Söông muø Möa Thöïc teá Naéng 30 5 5 Söông muø 4 20 2 Möa 10 4 20 nghóa laø coù 30 laàn döï baùo naéng, trôøi naéng, 4 laàn döï baùo naéng, trôøi söông muø; 10 laàn döï baùo naéng, trôøi möa, v.v a) Tính xaùc suaát döï baùo trôøi naéng cuûa ñaøi truyeàn hình. b) Tính xaùc suaát döï baùo cuûa ñaøi truyeàn hình laø ñuùng thöïc teá. c) Ñöôïc tin döï baùo laø trôøi naéng. Tính xaùc suaát ñeå thöïc teá thì trôøi möa ? trôøi söông muø ? trôøi naéng ? Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “Ñaøi truyeàn hình döï baùo trôøi naéng”, A1 : “Thöïc teá trôøi naéng”. B : “Ñaøi truyeàn hình döï baùo trôøi söông muø”, B1 : “Thöïc teá trôøi söông muø”. C : “Ñaøi truyeàn hình döï baùo trôøi möa”, C1 : “Thöïc teá trôøi möa”. a) Do trong 100 laàn theo doõi döï baùo ñaøi truyeàn hình, ta thaáy coù 30++ 4 10 laàn döï baùo trôøi naéng neân xaùc suaát döï baùo trôøi naéng cuûa ñaøi truyeàn hình laø 30++ 4 10 P(A)== 0.44 . 100 b) Do trong 100 laàn theo doõi, ta thaáy coù 30+ 20+ 20 döï baùo cuûa ñaøi truyeàn hình ñuùng so vôùi thöïc teá neân xaùc suaát döï baùo cuûa ñaøi truyeàn hình ñuùng so vôùi thöïc teá laø 30++ 20 20 = 0.7. 100 c) Do trong 44 laàn ñaøi truyeàn hình döï baùo laø trôøi naéng coù 30 laàn thöïc teá trôøi naéng, 4 laàn thöïc teá trôøi söông muø vaø 10 laàn thöïc teá trôøi möa neân xaùc suaát ñeå thöïc teá thì trôøi möa, trôøi söông muø, trôøi naéng laàn löôït laø 30 P() A1 A== 0.682, 44 4 PB()1 A== 0.091, 44 10 P() C1 A== 0.227. 44 Baøi 7. Baïn queân maát soá cuoái cuøng trong soá ñieän thoaïi caàn goïi (soá ñieän thoaïi goàm 6 chöõ soá) vaø baïn choïn soá cuoái cuøng naøy moät caùch ngaãu nhieân. Tính xaùc suaát ñeå baïn goïi ñuùng soá ñieän thoaïi naøy maø khoâng phaûi thöû quaù 3 laàn. Neáu bieát soá cuoái cuøng laø soá leû thì xaùc suaát naøy laø bao nhieâu ? Giaûi Goïi Ai laø bieán coá “goïi ñuùng ôû laàn thöù i”, i= 1,2,3. Ta coù A1 laø bieán coá “goïi ñuùng khi thöû moät laàn” , A12A laø bieán coá “goïi ñuùng khi phaûi thöû hai laàn” vaø A123A A laø bieán coá “goïi ñuùng khi phaûi thöû ba laàn”. Do ñoù bieán coá “goïi ñuùng khi khoâng phaûi thöû quaù ba laàn laø A =+AAAAAA112123 + vôùi 4
  7. P(A)=++ P(A112123 A A A A A ) =+⋅P(A1121121312 ) P(A ) P(A |A ) +⋅ P(A ) P(A |A ) ⋅ P(A |A A ) 1919813 =+⋅+⋅⋅=. 10 10 9 10 9 8 10 Khi ñaõ bieát soá cuoái cuøng laø soá leû thì khi ñoù caùc soá ñeå choïn quay chæ coøn giôùi haïn laïi trong 5 tröôøng hôïp (soá leû) neân coâng thöùc treân trôû thaønh 1414313 P(A)=+⋅+⋅⋅== 0.6. 5545435 Baøi 8. Moät ngöôøi baén bia vôùi xaùc suaát baén truùng laø p= 0.7. a) Baén lieân tieáp 3 phaùt. Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 laàn truùng bia. b) Hoûi phaûi baén ít nhaát maáy laàn ñeå coù xaùc suaát ít nhaát moät laàn truùng bia ≥ 0.9. Giaûi Goïi X laø soá vieân ñaïn truùng bia trong 3 phaùt. Ta coù X ∼ Bn;p( ) , vôùi n= 3 vaø p= 0.7 . a) Xaùc xuaát coù ít nhaát moät laàn truùng bia khi baén lieân tieáp 3 phaùt laø PX( ≥=− 1) 1 PX( = 0) 00 30− =−1C(0.7)(10.7)3 − =−1 (0.3)3 = 0.973. b) Goïi n laø soá laàn baén ñeå xaùc suaát ít nhaát moät laàn truùng bia ≥ 0.9 . Do X ∼ Bn;p( ) vôùi p0.7= , neân xaùc suaát coù ít nhaát 1 laàn truùng bia trong n phaùt laø PX()≥=− 1 1 PX () = 0 00 n0− =−1C(0.7)(10.7)n − =−1(0.3).n Ñeå PX( ≥≥ 1) 0.9, ta giaûi baát phöông trình 1−≥ (0.3)n 0.9 , hay töông ñöông (0.3)n ≤ 0.1. Laáy loâgarít hai veá cuûa baát phöông trình treân, ta ñöôïc nln(0.3)ln(0.1)×≤. Do ln(0.3)< 0, ta suy ra ln(0.1) n1.91≥≈. ln(0.3) Vaäy, caàn phaûi baén ít nhaát 2 phaùt ñaïn ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 laàn truùng bia ≥ 0.9 . Baøi 9. Coù hai hoäp ñöïng bi : - Hoäp H1 ñöïng 20 bi trong ñoù coù 5 bi ñoû vaø 15 bi traéng, - Hoäp H2 ñöïng 15 bi trong ñoù coù 6 bi ñoû vaø 9 bi traéng. 5
  8. Laáy moät bi ôû hoäp H1 , boû vaøo hoäp H2 , troän ñeàu roài laáy ra moät bi. Tính xaùc suaát nhaän ñöôïc bi ñoû ? bi traéng ? Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “Bi nhaän ñöôïc töø hoäp H2 laø bi ñoû”, B : “Bi töø hoäp H1 boû sang hoäp H2 laø bi ñoû”. Do giaû thuyeát, ta coù 51 7 63 PB()==; PAB()= ; PAB= = . 20 4 16 ()16 8 Töø ñoù, suy ra xaùc suaát nhaän ñöôïc bi ñoû 25 P(A)=+= P() A B P(B) P A B P(B) , () 64 vaø xaùc suaát nhaän ñöôïc bi traéng laø 39 P(A)=− 1 P(A) = . 64 Baøi 10. Moät caëp treû sinh ñoâi coù theå do cuøng moät tröùng (sinh ñoâi thaät) hay do hai tröùng khaùc nhau sinh ra (sinh ñoâi giaû). Caùc caëp sinh ñoâi thaät luoân luoân coù cuøng giôùi tính. Caùc caëp sinh ñoâi giaû thì giôùi tính cuûa moãi ñöùa ñoäc laäp vôùi nhau vaø coù xaùc suaát laø 0.5. Thoáng keâ cho thaáy 34% caëp sinh ñoâi laø trai; 30% caëp sinh ñoâi laø gaùi vaø 36% caëp sinh ñoâi coù giôùi tính khaùc nhau. a) Tính tyû leä caëp sinh ñoâi thaät. b) Tìm tyû leä caëp sinh ñoâi thaät trong soá caùc caëp sinh ñoâi coù cuøng giôùi tính. Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc caëp sinh ñoâi thaät”, B : “nhaän ñöôïc caëp sinh ñoâi coù cuøng giôùi tính”. Do caùc caëp sinh ñoâi thaät luoân luoân coù cuøng giôùi tính neân PBA()= 1, vôùi caùc caëp sinh ñoâi giaû thì giôùi tính cuûa moãi ñöùa ñoäc laäp nhau vaø coù xaùc suaát laø 0.5 neân PBA()== PBA() 0.5, vaø do thoáng keâ treân caùc caëp sinh ñoâi nhaän ñöôïc thì P() B=+ 0.3 0.34 = 0.64 vaø PB( ) = 0.36. a) Do coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn, P(B)=+ P( B A) P() A P( B A) P( A) =+⎡−⎤PBAPA()() PBA()⎣ 1 PA()⎦ =+PBA⎡⎤ PBA − PBA PA, ()⎣⎦()()() ta suy ra 6
  9. P(B)− P( B A) 0.64− 0.5 P() A=== 0.28 . PBA()− PBA()10.5− b) Do coâng thöùc Bayes, PBAP(A)( ) 0.28 P() A B=== 0.4375 . P(B) 0.64 Baøi 11. Moät trung taâm chaån ñoaùn beänh duøng moät pheùp kieåm ñònh T. Xaùc suaát ñeå moät ngöôøi ñeán trung taâm maø coù beänh laø 0.8. Xaùc suaát ñeå ngöôøi khaùm coù beänh khi pheùp kieåm ñònh döông tính laø 0.9 vaø xaùc suaát ñeå ngöôøi khaùm khoâng coù beänh khi pheùp kieåm ñònh aâm tính laø 0.5. Tính caùc xaùc suaát a) pheùp kieåm ñònh laø döông tính, b) pheùp kieåm ñònh cho keát quaû ñuùng. Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc ngöôøi coù beänh”, B : “nhaän ñöôïc ngöôøi coù kieåm ñònh döông tính”. Do giaû thieát, ta coù PA()= 0.8; PAB( ) = 0.9; PAB( ) = 0.5. a) Do coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn, PA()=+ PABPB()() PABPB( ) ( ) =+⎡−⎤PABPB()() PAB()⎣ 1 PB()⎦ =+PAB⎡⎤ PAB − PAB PB, ()⎣⎦()()() maø PAB()=− 1 PAB() = 0.5, neân xaùc suaát ñeå pheùp kieåm ñònh laø döông tính cho bôûi PA()− PAB( ) 0.8− 0.5 P() B=== 0.75 . PAB()− PAB()0.9− 0.5 b) Xaùc suaát ñeå pheùp kieåm ñònh cho keát quaû ñuùng laø PABAB( +=) PAB() + PAB( ) =+PABPB()() PABPB()() = 0.7125. Baøi 12. Moät thieát bò goàm 3 cuïm chi tieát, moãi cuïm bò hoûng khoâng aûnh höôûng gì ñeán caùc cuïm khaùc vaø chæ caàn moät cuïm bò hoûng thì thieát bò ngöøng hoaït ñoäng. Xaùc suaát ñeå cuïm thöù nhaát bò hoûng trong ngaøy laø 0.1, cuïm thöù hai laø 0.05 vaø cuïm thöù ba laø 0.15. Tìm xaùc suaát ñeå thieát bò khoâng ngöøng hoaït ñoäng trong ngaøy. Giaûi Xeùt caùc bieán coá A i : “Cuïm chi tieát thöù i bò hoûng”, vôùi i= 1,2,3, 7
  10. B : “thieát bò khoâng ngöøng hoaït ñoäng”. Do giaû thieát, ta coù PA()1 = 0.1, P( A2 ) = 0.05 , vaø P( A3 ) = 0.15 . Do A1 , A2 vaø A3 laø hoï caùc bieán coá ñoäc laäp neân xaùc suaát ñeå thieát bò khoâng ngöøng hoaït ñoäng laø PB()== PAAA PA PA PA ( 123) ( 1) ( 2) ( 3) . =×0.9 0.95 × 0.85 = 0.7267. Baøi 13. Moät phaân xöôûng coù 5 maùy. Xaùc suaát ñeå trong moät ca, moãi maùy bò hoûng laø 0.1. Tìm xaùc suaát ñeå trong moät ca, coù ñuùng 2 maùy bò hoûng. Giaûi Goïi X laø soá maùy bò hoûng cuûa phaân xöôûng trong moät ca. Do bieán coá caùc maùy bò hoûng ñoäc laäp nhau neân X thoûa löôïc ñoà Bernoulli, nghóa laø X ∼ B5;0.1( ) . Do ñoù, xaùc suaát ñeå trong moät ca, coù ñuùng 2 maùy bò hoûng laø 2225223− P( X== 2 ) C55 ()( 0.1 1 − 0.1 ) = C ()() 0.1 0.9 = 0.0729 . Baøi 14. Tính xaùc suaát ñeå gieo con xuùc xaéc 10 laàn, maët moät nuùt xuaát hieän khoâng quaù 3 laàn. Giaûi 1 Goïi X laø soá laàn maët moät nuùt xuaát hieän trong 10 laàn thaûy. Ta coù X ∼ B10;()6 . Do ñoù, xaùc suaát ñeå maët moät nuùt xuaát hieän khoâng quaù 3 laàn laø PX( ≤= 3) PX( =+ 0) PX( =+ 1) PX( =+ 2) PX( = 3) 010192837 0123⎛⎞⎛⎞15 ⎛⎞⎛⎞ 15 ⎛⎞⎛⎞ 15 ⎛⎞⎛⎞ 15 =+++CCCC10⎜⎟⎜⎟ 10 ⎜⎟⎜⎟ 10 ⎜⎟⎜⎟ 10 ⎜⎟⎜⎟ 66 66 66 66 ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ 10 1 9 2 8 3 7 ⎛⎞5151515 ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⎜⎟10 ⎜⎟⎜⎟ 45 ⎜⎟ ⎜⎟ 120 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠6666666 ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ = 0.857. Baøi 15. Tyû leä pheá phaåm cuûa moät loâ haøng (lôùn) laø 1%. Töø loâ haøng naøy, laáy ra n saûn phaåm. Hoûi n ít nhaát phaûi laø bao nhieâu ñeå xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaát moät pheá phaåm lôùn hôn 0.95. Giaûi Goïi X laø soá pheá phaåm nhaän ñöôïc trong n saûn phaåm laáy ra töø loâ haøng. Ta coù X ∼ Bn;0.01( ) . Khi ñoù xaùc suaát ñeå nhaän ñöôïc ít nhaát moät saûn phaåm hoûng laø PX()≥=− 1 1 PX () = 0 00 n0− =−1 Cn (0.01) (1 − 0.01) =−1(0.99).n Ñeå tìm n sao cho xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaát moät saûn phaåm hoûng lôùn hôn 0.95 , nghóa laø PX()≥> 1 0.95, ta giaûi baát phöông trình 1−> (0.99)n 0.95 . Töø ñoù, suy ra n> 298.073. Vaäy caàn phaûi laáy ra ít nhaát 299 saûn phaåm ñeå xaùc suaát trong ñoù coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng lôùn hôn 0.95 . 8
  11. Baøi 16. Moät ngöôøi vieát n laù thö vaø boû ngaãu nhieân n laù thö naøy vaøo trong n phong bì ñaõ vieát saün ñòa chæ. Tìm xaùc suaát sao cho coù ít nhaát moät laù thö ñöôïc boû vaøo ñuùng phong bì. Giaûi Goïi A j laø bieán coá “laù thö thöù j ñeán ñuùng ngöôøi nhaän”, j = 1, n vaø goïi A laø bieán coá “coù ít n nhaát moät laù thö ñeán ñuùng ngöôøi nhaän”. Ta coù A = A vaø do coâng thöùc coäng toång quaùt cho n ∪ j j1= bieán coá ⎛⎞n n P(A)==− P⎜⎟ A P(A ) P(A A ) + ⎜⎟∪ jjij∑∑ ⎝⎠j1= j1=< i j ⎛⎞n +−+−P(A A A ) () 1n1− P⎜⎟ A ∑ ijk⎜⎟∩ j ijk<< ⎝⎠j1= 1 Do PA( j ) = n , vôùi moïi j, 11 (n− 2)! PAA( ij) === PA( i A j) PA( j) n1− . n n! , vôùi moïi i< j, 111(n− 3)! PAAA( ijk) === PA( i AA jk) PA( j A k) PA() k n2−− . n1 . n n! , vôùi moïi i<< j k , , ta suy ra 11(n2!−−) ( n3!) n1− P(A)=−+−+− n C23 C () 1 nn!n!n!nn n k1− 1 =−∑ ()11e ≈−−1 k1= k! khi n ñuû lôùn. Baøi 17. Moät daây chuyeàn laép raùp nhaän caùc chi tieát töø hai nhaø maùy khaùc nhau. Tyû leä chi tieát do nhaø maùy thöù nhaát cung caáp laø 60%, cuûa nhaø maùy thöù hai laø 40%. Tyû leä chính phaåm cuûa nhaø maùy thöù nhaát laø 90%, cuûa nhaø maùy thöù hai laø 85%. Laáy ngaãu nhieân moät chi tieát treân daây chuyeàn vaø thaáy raèng noù toát. Tìm xaùc suaát ñeå chi tieát ñoù do nhaø maùy thöù nhaát saûn xuaát. Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc saûn phaåm toát”, Bi : “nhaän ñöôïc saûn phaåm do nhaø maùy thöù i saûn xuaát”, vôùi i= 1, 2 . Töø giaû thuyeát, ta coù 60 40 P(B )== 0.6 ; P(B )== 0.4 ; 1 100 2 100 PAB()1 = 0.9; PAB()2 = 0.85. Do B,1 B2 taïo thaønh hoï ñaày ñuû caùc bieán coá neân töø coâng thöùc Bayes, ta ñöôïc xaùc suaát ñeå chi tieát toát nhaän ñöôïc treân daây chuyeàn laø do nhaø maùy thöù nhaát saûn xuaát 9
  12. PAB( 11) PB( ) P() B1 A== 0.614 . PAB()11 PB()+ PAB() 22 PB() Baøi 18. Trong moät vuøng daân cö, cöù 100 ngöôøi thì coù 30 ngöôøi huùt thuoác laù. Bieát tyû leä ngöôøi bò vieâm hoïng trong soá ngöôøi huùt thuoác laù laø 60%, trong soá ngöôøi khoâng huùt thuoác laù laø 30%. Khaùm ngaãu nhieân moät ngöôøi vaø thaáy ngöôøi ñoù bò vieâm hoïng. Tìm xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù huùt thuoác laù. Neáu ngöôøi ñoù khoâng bò vieâm hoïng thì xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù huùt thuoác laù laø bao nhieâu. Giaûi Khaùm ngaãu nhieân moät ngöôøi trong vuøng daân cö, xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc ngöôøi huùt thuoác laù”, B : “nhaän ñöôïc ngöôøi bò vieâm hoïng”. Giaû thieát cho PA( ) = 0.3; PBA( ) = 0.6 vaø PBA( ) = 0.3. Do ngöôøi ñoù ñaõ bò vieâm hoïng neân töø coâng thöùc Bayes, ta suy ra xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù huùt thuoác laù laø PBAPA()( ) PAB()= PBAPA+ PBAPA ()() ()() 0.6× 0.3 ==0.4615. 0.6×+× 0.3 0.3 0.7 Khi ngöôøi ñoù khoâng bò vieâm hoïng thì xaùc suaát ñeå anh ta huùt thuoác laù laø PBAPA( ) () PAB()= PBAPA()()+ PBAPA()() 0.4× 0.3 ==0.1967. 0.4×+× 0.3 0.7 0.7 Baøi 19. a) Cho A, B laø hai bieán coá ñoäc laäp. Chöùng minh raèng A,B; A, B vaø A, B cuõng laø caùc caëp bieán coá ñoäc laäp. b) Cho A12,A , ,A n laø n bieán coá ñoäc laäp. Chöùng minh raèng A1, A2n , , A cuõng laø n bieán coá ñoäc laäp. Suy ra raèng neáu xeùt n bieán coá B12 , B , , B n , vôùi BAii= hay BAi = i , thì B12 , B , , B n , cuõng laø n bieán coá ñoäc laäp. Giaûi Vì BABAB=+, AB vaø AB laø caùc bieán coá xung khaéc neân coâng thöùc coäng cho PAB( ) =− PB() PAB ( ) =−PB() PAPB () () =⎡−⎤⎣⎦ 1 PA () PB () = PAPB,()() vaø do ñoù A vaø B laø hai bieán coá ñoäc laäp. Töông töï 10
  13. PAB( ) =− PA() PAB ( ) =−PA() PAPB () () =⎡−⎤⎣⎦ 1 PB () PA () = PAPB,()() vaø PAB( ) =− PA( ) PAB( ) =−PA() PAPB()() =⎡−⎤⎣⎦ 1 PB () PA() = PAPB.()() Do ñoù, A,B vaø A,B cuõng laø caùc caëp bieán coá ñoäc laäp. b) Ñeå chöùng minh raèng hoï caùc bieán coá A1, A2n , , A laø ñoäc laäp, ta laáy moät hoï con baát kyø goàm k bieán coá khaùc nhau cuûa noù. Neáu hoï con naøy khoâng chöùa bieán coá A1 , ta coù theå vieát noù döôùi daïng A , A , , A , vôùi 2ii in≤ . Tröôøng hôïp k1= ñaõ ñöôïc khaûo saùt trong phaàn ñaàu caâu b). Giaû söû hoï B12 , B , , B n , vôùi BAi = i trong ñoù i thay ñoåi töø 1 ñeán k laø hoï caùc bieán coá ñoäc laäp. Xeùt hoï C12 , C , , C n caùc bieán coá vôùi CAi = i khi i thay ñoåi töø 1 ñeán k1+ , vaø CAii= vôùi ik1>+. Do CBii= vôùi i≠+ k 1, hai hoï C12 , C , , C n vaø B12 , B , , B n chæ khaùc nhau ñuùng moät phaàn töû laø CABAk1++=≠ i k1 = i, vaø do ñoù, nhö trong tröôøng hôïp k= 1 , C12 , C , , C n cuõng laø hoï caùc bieán coá ñoäc laäp. 11
  14. Do ñoù, ta keát luaän raèng hoï caùc bieán coá B12 , B , , B n , vôùi BAii= hay BAi = i cuõng laø n bieán coá ñoäc laäp. Baøi 20. Hai nhaø maùy X, Y cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm. Xaùc suaát nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng ôû nhaø maùy X laø p0.03X = vaø ôû nhaø maùy Y laø pY = 0.05. a) Moät ngöôøi mua 3 saûn phaåm ôû nhaø maùy X. Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng . b) Neáu mua 3 saûn phaåm ôû nhaø maùy X vaø 2 saûn phaåm ôû nhaø maùy Y. Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng . Giaûi Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng cuûa nhaø maùy X”, B : “nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng cuûa nhaø maùy Y”. Döïa theo giaû thieát, ta coù PA()= 0.03 vaø PB( ) = 0.05. a) Goïi X laø soá saûn phaåm hoûng trong 3 saûn phaåm laáy ra töø nhaø maùy X. Ta coù X ∼ Bn;p() vôùi n3= vaø pPA0.03==( ) . Do ñoù, xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng laø PX()≥=− 1 1 PX () = 0 . 00 3 =−1 C3 (0.03) (1 − 0.03) = 0.087327. b) Goïi X laø soá saûn phaåm hoûng trong 3 saûn phaåm laáy ra töø nhaø maùy X vaø Y laø soá saûn phaåm hoûng trong 2 saûn phaåm laáy ra töø nhaø maùy Y, thì X ∼ Bn;p() vôùi n= 3, pPA0.03==( ) , vaø Y ∼ Bn;p() vôùi n= 2 , pPB0.05==( ) . Do “soá saûn phaåm hoûng nhaän ñöôïc töø nhaø maùy X” vaø “soá saûn phaåm hoûng nhaän ñöôïc töø nhaø maùy Y” laø caùc bieán coá ñoäc laäp vaø bieán coá “nhaän ñöôïc ít nhaát moät saûn phaåm hoûng trong 5 saûn phaåm, 3 saûn phaåm töø nhaø maùy X vaø 2 saûn phaåm töø nhaø maùy Y”, X + Y1≥ , coù bieán coá ñoái laäp laø bieán coá “ X = 0 vaø Y = 0” neân xaùc suaát ñeå nhaän ít nhaát 1 saûn phaåm hoûng khi mua 3 saûn phaåm cuûa nhaø maùy X vaø 2 saûn phaåm cuûa nhaø maùy Y laø PX( +≥=− Y 1) 1 PX( = 0;Y = 0) =− 1 PX( = 0PY) ( = 0) . =−1 (0.97)32 (0.95) = 0.1763. Baøi 21. Trong moät loâ thuoác (raát nhieàu) vôùi xaùc suaát nhaän ñöôïc thuoác hoûng laø p= 0.1 . Laáy ngaãu nhieân 3 loï ñeå kieåm tra. Tính xaùc suaát ñeå a) caû 3 loï ñeàu hoûng, b) coù 2 loï hoûng vaø 1 loï toát, c) coù 1 loï hoûng vaø 2 loï toát, d) caû 3 loï ñeàu toát. 12
  15. Giaûi Goïi X laø soá loï hoûng trong 3 loï laáy ra ñeå kieåm tra. Ta coù X ∼ B3;0.1( ) . Do ñoù xaùc suaát ñeå a) caû 3 loï ñeàu hoûng 33 0 3 P() X== 3 C3 (0.1) (1 − 0.1) = (0.1) = 0.001 , b) coù hai loï hoûng vaø moät loï toát 2232− P() X== 2 C3 (0.1) (0.9) =× 3 0.01 × 0.9 = 0.027 , c) coù moät loï hoûng vaø hai loï toát 1131− P() X== 1 C3 (0.1) (0.9) =×× 3 0.1 0.81 = 0.243, d) caû 3 loï ñeàu toát 00 3 3 P() X== 0 C3 (0.1) (1 − 0.1) = (0.9) = 0.729 . B. BAØI TAÄP Baøi toaùn veà bieåu dieãn caùc bieán coá. Baøi 1. Kieåm tra 3 saûn phaåm. Goïi Ak laø bieán coá saûn phaåm thöù k toát. Haõy trình baøy caùc caùch bieåu dieãn qua A k vaø qua giaûn ñoà Venn caùc bieán coá sau ñaây : A : taát caû ñeàu xaáu, B : coù ít nhaát moät saûn phaåm xaáu, C : coù ít nhaát moät saûn phaåm toát, D : khoâng phaûi taát caû saûn phaåm ñeàu toát, E : coù ñuùng moät saûn phaåm xaáu, F : coù ít nhaát 2 saûn phaåm toát. Baøi 2. Ba ngöôøi, moãi ngöôøi baén moät phaùt. Goïi A i laø bieán coá ngöôøi thöù i baén truùng. Haõy bieåu dieãn qua A i caùc bieán coá sau : A : chæ coù ngöôøi thöù nhaát baén truùng, B : ngöôøi thöù nhaát baén truùng coøn ngöôøi thöù hai baén traät, C : coù ít nhaát 1 ngöôøi baén truùng, D : caû 3 ngöôøi ñeàu baén truùng, E : coù ít nhaát 2 ngöôøi baén truùng, F : chæ coù 2 ngöôøi baén truùng, G : khoâng ai baén truùng, H : khoâng coù hôn 2 ngöôøi baén truùng, I : ngöôøi thöù nhaát baén truùng, hoaëc ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba cuøng baén truùng, K : ngöôøi thöù nhaát baén truùng hay ngöôøi thöù hai baén truùng. Baøi 3. Quan saùt 4 sinh vieân laøm baøi thi. Kí hieäu Bj (j= 1,2,3,4) laø bieán coá sinh vieân j laøm baøi thi ñaït yeâu caàu. Haõy bieåu dieãn caùc bieán coá sau ñaây a) coù ñuùng moät sinh vieân ñaït yeâu caàu, 13
  16. b) coù ñuùng 3 sinh vieân ñaït yeâu caàu, c) coù ít nhaát 1 sinh vieân ñaït yeâu caàu, d) khoâng coù sinh vieân naøo ñaït yeâu caàu. Xaùc suaát baèng ñònh nghóa. Baøi 4. Moät hoäp coù 7 bi ñoû vaø 3 bi ñen. a) Laáy ngaãu nhieân 1 vieân bi töø hoäp ra ñeå kieåm tra, tính xaùc suaát nhaän ñöôïc bi ñen. b) Laáy ngaãu nhieân laàn löôït coù hoaøn laïi 2 bi. Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 2 bi ñen. c) Laáy ngaãu nhieân ra 2 vieân bi töø hoäp. Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 2 bi ñen. Ñaùp soá : a) 0.3 . b) 0.09 . c) 0.067 . Baøi 5. Moät coâng ty lieân doanh caàn tuyeån moät keá toaùn tröôûng, moät tröôûng phoøng tieáp thò, coù 40 ngöôøi döï tuyeån trong ñoù coù 15 nöõ. Tính xaùc suaát trong 2 ngöôøi ñöôïc tuyeån coù: a) ít nhaát 1 nöõ, b) 1 nöõ, c) keá toaùn tröôûng laø nöõ. Ñaùp soá : a) 0.616 . b) 0.481 . c) 0.75 . Baøi 6. Moãi sinh vieân ñöôïc thi toái ña 2 laàn moät moân thi. Xaùc suaát ñeå moät sinh vieân ñaäu moân xaùc suaát thoáng keâ ôû laàn thi thöù 1 laø P 1 , laàn thi thöù 2 laø P 2 . Tính xaùc suaát ñeå sinh vieân naøy vöôït qua ñöôïc moân xaùc suaát thoáng keâ. Ñaùp soá : P1PP112+−( ) . Baøi 7. Gieo ñoàng thôøi 2 con xuùc xaéc caân ñoái, ñoàng chaát. Tính xaùc suaát ñeå toång soá nuùt xuaát hieän laø 6. 5 Ñaùp soá : = 0.139 36 Baøi 8. Tröôùc coång tröôøng ñaïi hoïc coù 3 quaùn côn bình daân chaát löôïng ngang nhau. Ba sinh vieân A, B, C ñoäc laäp vôùi nhau choïn ngaãu nhieân moät quaùn côm ñeå aên tröa. Tính xaùc suaát ñeå a) 3 sinh vieân vaøo cuøng moät quaùn. b) 2 sinh vieân vaøo cuøng moät quaùn, coøn ngöôøi kia thì vaøo quaùn khaùc. 1 Ñaùp soá : a) . 9 2 b) . 3 Baøi 9. Moät loâ haøng coù 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 7 saûn phaåm toát, 3 saûn phaåm xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 4 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå 4 saûn phaåm laáy ra coù 3 saûn phaåm toát. Ñaùp soá : 0.5 . Baøi 10. Trong hoäp coù 4 bi traéng, 6 bi ñoû cuøng kích côõ. Ruùt huù hoïa 2 bi. Tính xaùc suaát ñeå trong ñoù coù a) hai vieân bi traéng, 14
  17. b) ít nhaát moät vieân bi ñoû, c) vieân thöù 2 ñoû. Ñaùp soá : a) 0.133 . b) 0.867 . c) 0.867 Baøi 11. Choïn laàn löôït khoâng hoaøn laïi 2 con domino töø boä 28 con. Tính xaùc suaát choïn ñöôïc 2 con domino coù theå saép noái tieáp nhau. Ñaùp soá : 0.238 . Baøi 12. Ruùt ngaãu nhieân töø boä baøi (goàm 52 laù) ra 9 quaân baøi. Tính xaùc suaát sao cho trong 9 quaàn baøi ruùt ra coù a) 3 con AÙt, 2 con 10, 2 con 2, 1 con K, 1 con J, b) 3 con cô, 1 con roâ, 2 con bích, 3 con chuoàn, c) 5 con maøu ñoû, 4 con maøu ñen, d) 4 con chuû baøi (4 con ñoàng chaát naøo ñoù; chaát ñoù ñaõ ñöôïc xaùc ñònh tröôùc, chaúng haïn 4 con cô). Ñaùp soá : a) 6.262× 10−7 . b) 0.02254 . c) 0.2673. d) 0.448 . Coâng thöùc coäng – nhaân – xaùc suaát coù ñieàu kieän. Baøi 13. Trong 100 ngöôøi phoûng vaán coù 40 ngöôøi thích duøng nöôùc hoa A, 28 ngöôøi thích duøng nöôùc hoa B, 10 ngöôøi thích duøng caû 2 loaïi A, B. Choïn ngaãu nhieân 1 ngöôøi trong soá 100 ngöôøi treân. Tính xaùc suaát ngöôøi naøy : a) thích duøng ít nhaát 1 loaïi nöôùc hoa treân, b) khoâng duøng loaïi naøo caû. Ñaùp soá : a) 0.58 . b) 0.42 . Baøi 14. Moät cô quan coù 210 ngöôøi, trong ñoù coù 100 ngöôøi ôû gaàn cô quan, 60 ngöôøi trong 100 ngöôøi laø nöõ, bieát raèng soá nöõ chieám gaáp ñoâi soá nam trong cô quan. Choïn ngaãu nhieân 1 ngöôøi trong cô quan. Tính xaùc suaát : a) ngöôøi naøy laø nam, b) ngöôøi naøy ôû gaàn cô quan, c) ngöôøi naøy phaûi tröïc ñeâm (ngöôøi tröïc ñeâm phaûi ôû gaàn cô quan hoaëc laø nam). 1 Ñaùp soá : a) . 3 b) 0.4762. c) 0.619 . Baøi 15. Coù 3 loaïi suùng beà ngoaøi hoaøn toaøn gioáng nhau, vôùi xaùc suaát baén truùng bia töông öùng laø 0.6, 0.7, 0.8. Loaïi thöù I coù 5 khaåu, loaïi thöù II coù 3 khaåu, loaïi thöù III coù 2 khaåu. Choïn ngaãu nhieân 1 khaåu vaø baén vaøo bia. Tính xaùc suaát baén truùng bia. Ñaùp soá : 0.67 . 15
  18. Baøi 16. Cho 3 bieán coá A, B, C sao cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6; P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2 vaø P(ABC) = 0,1. a) Tìm xaùc suaát ñeå caû 3 bieán coá A, B, C ñeàu khoâng xaûy ra. b) Tìm xaùc suaát ñeå coù ñuùng 2 trong 3 bieán coá ñoù xaûy ra. c) Tìm xaùc suaát ñeå chæ coù ñuùng 1 bieán coá trong 3 bieán coá ñoù xaûy ra. Ñaùp soá :a) 0 . b) 0.6 . c) 0.3 . 1 1 1 Baøi 17. Cho A vaø B laø 2 bieán coá sao cho P(A) = , P(B) = , P(AB) = . Haõy tính : 2 3 6 1) P(A∪ B) , 8) P(A B) , 2) P(A∪ B) , 9) P(A B) , 3) P(A∪ B) , 10) P(AB B), 4) P(AB) , 11) P(AB B), 5) P(AB) , 12) P(AB B), 6) P(AB) , 13) P(A∪ B AB) , 7) P(A∪ B) , 14) P(AB A∪ B) . 2 1 1 1 Ñaùp soá : 1) . 5) . 9) . 14) . 3 3 2 4 5 1 1 2) . 6) . 10) . 6 6 2 1 2 11) 0 . 3) . 7) . 3 3 1 12) . 5 1 4) . 8) . 2 6 2 13) 1 . Baøi 18. Ñoäi tuyeån boùng baøn cuûa Khoa Kinh Teá coù 3 vaän ñoäng vieân, moãi vaän ñoäng vieân thi ñaáu moät traän. Xaùc suaát thaéng traän cuûa caùc vaän vieân A, B, C laàn löôït laø : 0.7; 0.8; 0.9. Tính xaùc suaát : a) ñoäi tuyeån thaéng ít nhaát 1 traän, b) ñoäi tuyeån thaéng 2 traän, c) C thua, bieát raèng ñoäi tuyeån thaéng 2 traän. Ñaùp soá : a) 0.994 . b) 0.398 . c) 0.0621. Baøi 19. Trong 1 khu phoá, tyû leä ngöôøi maéc beänh tim laø 6%; maéc beänh phoåi laø 8% vaø maéc caû hai beänh laø 5%. Choïn ngaãu nhieân 1 ngöôøi trong khu phoá ñoù. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù khoâng maéc caû 2 beänh tim vaø beänh phoåi. Ñaùp soá : 0.91 . 16
  19. Baøi 20. Moät ngöôøi coù 5 con gaø maùi, 2 con gaø troáng nhoát chung trong moät caùi loàng. Moät ngöôøi ñeán mua, ngöôøi baùn gaø baét ngaãu nhieân 1 con. Ngöôøi mua chaáp nhaän con ñoù. a) Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù mua ñöôïc con gaø maùi. Ngöôøi thöù hai laïi ñeán mua, ngöôøi baùn gaø laïi baét ngaãu nhieân ra 1 con. b) Tìm xaùc suaát ñeå ngöôøi thöù hai mua ñöôïc con gaø troáng. c) Xaùc suaát naøy seõ baèng bao nhieâu neáu ngöôøi baùn gaø queân maát raèng con gaø baùn cho ngöôøi thöù nhaát laø gaø troáng hay gaø maùi. Ñaùp soá : a) 0.7143. 1 b) = 0.33. 3 2 c) = 0.2857 7 Baøi 21. Hai coâng ty A, B cuøng kinh doanh moät maët haøng. Xaùc suaát ñeå coâng ty A thua loã laø 0,2; xaùc suaát ñeå coâng ty B thua loã laø 0,4. Tuy nhieân treân thöïc teá, khaû naêng caû 2 coâng ty cuøng thua loã laø 0,1. Tìm xaùc suaát ñeå a) coù ít nhaát moät coâng ty laøm aên khoâng thua loã, b) chæ coù moät coâng ty thua loã. Ñaùp soá : a) 0.9 . b) 0.4 . Baøi 22. Moät thuû quyõ coù moät chuøm chìa khoùa goàm 12 chieác beà ngoaøi gioáng heät nhau, trong ñoù coù 4 chieác môû ñöôïc cöûa chính cuûa thö vieän. Coâ ta thöû töøng chìa moät moät caùch ngaãu nhieân, chìa naøo khoâng truùng thì boû ra. Tìm xaùc suaát ñeå coâ ta môû ñöôïc cöûa chính cuûa thö vieän ôû laàn môû thöù 5. Ñaùp soá : 0.0707 . Baøi 23. Moät chaøng trai vieát 4 laù thö cho 4 coâ gaùi; nhöng vì ñaõng trí neân anh ta boû 4 laù thö vaøo 4 phong bì moät caùch ngaãu nhieân, daùn kín roài môùi ghi ñòa chæ göûi, a) tính xaùc suaát ñeå khoâng coù coâ naøo nhaän ñuùng thö vieát cho mình, b) tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 1 coâ nhaän ñuùng thö cuûa mình, c) toång quaùt hoùa vôùi n coâ gaùi. Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 coâ nhaän ñuùng thö. Xaáp xæ giaù trò xaùc suaát naøy khi cho n →∞. Baøi 24. Trong 1 loâ haøng 10 saûn phaåm coù 2 saûn phaåm xaáu, choïn khoâng hoaøn laïi ñeå phaùt hieän ra 2 saûn phaåm xaáu, khi naøo choïn ñöôïc saûn phaåm xaáu thöù 2 thì döøng laïi. a) Tính xaùc suaát döøng laïi ôû laàn choïn thöù 4. b) Bieát raèng ñaõ choïn ñöôïc saûn phaåm xaáu ôû laàn choïn thöù nhaát, tính xaùc suaát döøng laïi ôû laàn choïn thöù 4. c) Neáu vieäc kieåm tra döøng laïi ôû laàn choïn thöù 3, tính xaùc suaát laàn choïn ñaàu ñöôïc saûn phaåm xaáu. Ñaùp soá : a) 0.067 . 1 b) = 0.143 . 7 c) 0.044 . Baøi 25. Ñoäi tuyeån boùng baøn Thaønh phoá coù 4 vaän ñoäng vieân A, B, C, D . Moãi vaän ñoäng vieân thi ñaáu 1 traän, vôùi xaùc suaát thaéng traän laàn löôït la ø: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Tính 17
  20. a) xaùc suaát ñoäi tuyeån thaéng ít nhaát 1 traän, b) xaùc suaát ñoäi tuyeån thaéng 2 traän, c) xaùc suaát ñoäi tuyeån thaéng 3 traän, d) xaùc suaát D thua, trong tröôøng hôïp ñoäi tuyeån thaéng 3 traän. Ñaùp soá : a) 0.9976. b) 0.2144 . Baøi 26. Trong moät hoäp coù 12 boùng ñeøn trong ñoù coù 3 boùng hoûng. Laáy ngaãu nhieân coù thöù töï khoâng hoaøn laïi 3 boùng ñeå duøng. Tìm xaùc suaát ñeå a) caû 3 boùng ñeàu hoûng, b) caû 3 boùng ñeàu khoâng hoûng, c) coù ít nhaát 1 boùng khoâng hoûng, d) chæ coù boùng thöù 2 hoûng. Ñaùp soá : a) 0.004545 . b) 0.3818. c) 0.9954 . d) 0.1636. Baøi 27. ÔÛ moät cô quan noï coù 3 chieác oâtoâ. Khaû naêng coù söï coá cuûa moãi xe oâtoâ laàn löôït laø 0.15 ; 0.20 ; 0.10. a) Tìm khaû naêng 3 oâtoâ cuøng bò hoûng. b) Tìm khaû naêng coù ít nhaát 1 oâtoâ hoaït ñoäng toát. c) Tìm khaû naêng caû 3 oâtoâ cuøng hoaït ñoäng ñöôïc. d) Tìm xaùc suaát coù khoâng quaù 2 oâtoâ bò hoûng. Ñaùp soá : a) 0.003 , b) 0.997 . c) 0.612 , d) 0.997 . Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû – Coâng thöùc Bayeøs. Baøi 28. Moät hoäp coù 15 quaû boùng baøn, trong ñoù coù 9 môùi 6 cuõ, laàn ñaàu choïn ra 3 quaû ñeå söû duïng, sau ñoù boû vaøo laïi, laàn hai choïn ra 3 quaû. a) Tính xaùc suaát 3 quaû boùng choïn laàn hai laø 3 boùng môùi. b) Bieát raèng laàn hai choïn ñöôïc 3 boùng môùi, tính xaùc suaát laàn ñaàu choïn ñöôïc 2 boùng môùi. Ñaùp soá : a) 0.0025. b) 0.4091. Baøi 29. Moät nhaø maùy saûn xuaát boùng ñeøn, maùy A saûn xuaát 25%, maùy B: 35%, maùy C: 40% soá boùng ñeøn. Tæ leä saûn phaåm hoûng cuûa moãi maùy treân soá saûn phaåm do maùy ñoù saûn xuaát laàn löôït laø 3%, 2%, 1%. Moät ngöôøi mua 1 boùng ñeøn do nhaø maùy saûn xuaát. a) Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm naøy do maùy A saûn xuaát. b) Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm naøy toát. c) Bieát raèng saûn phaåm naøy laø xaáu. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm do maùy C saûn xuaát. Ñaùp soá : a) 0.25 . b) 0.9815. c) 0.22 . 18
  21. Baøi 30. Coù 8 bình ñöïng bi, trong ñoù coù : 2 bình loaïi 1: moãi bình ñöïng 6 bi traéng 3 bi ñoû, 3 bình loaïi 2: moãi bình ñöïng 5 bi traéng 4 bi ñoû, 3 bình loaïi 3: moãi bình ñöïng 2 bi traéng 7 bi ñoû. Laáy ngaãu nhieân moät bình vaø töø bình ñoù laáy ngaãu nhieân 1 bi. a) Tính xaùc suaát ñeå bi laáy ra laø bi traéng. b) Bieát raèng bi laáy ra laø bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå bình laáy ra laø bình loaïi 3. Ñaùp soá : a) 0.458 . b) 0.182 . Baøi 31. Moät boä ñeà thi coù 20 caâu hoûi. Sinh vieân gioûi seõû traû lôøi ñuùng heát caû 20 caâu. Sinh vieân khaù traû lôøi ñuùng 15 caâu. Sinh vieân trung bình traû lôøi ñuùng 10 caâu. Sinh vieân keùm traû lôøi ñuùng 5 caâu. Tyû leä sinh vieân gioûi, khaù, trung bình vaø keùm laàn löôït laø 10%, 20%, 30%, 40%. Moät sinh vieân leân baét thaêm 3 caâu töø 20 caâu treân. Giaùm khaûo thaáy anh traû lôøi ñuùng caû 3 caâu. Tính xaùc suaát anh ta laø sinh vieân khaù hoaëc trung bình. Ñaùp soá : 0.5184 . Baøi 32. Coù 2 loâ haøng cuõ. Loâ I coù 10 caùi toát, 2 caùi hoûng. Loâ II coù 12 caùi toát, 3 caùi hoûng. Töø moãi loâ laáy ngaãu nhieân ra 1 caùi. Tìm xaùc suaát ñeå : a) nhaän ñöôïc 2 caùi toát, b) nhaän ñöôïc 2 caùi cuøng chaát löôïng, c) neáu laáy töø cuøng 1 loâ ra 2 caùi thì neân laáy töø loâ naøo ñeå ñöôïc 2 caùi toát vôùi khaû naêng cao hôn. Ñaùp soá : a) 0.67 . b) 0.7 . c) Laáy töø loâ I. Baøi 33. Coù 3 hoäp bi; hoäp moät coù 10 bi trong ñoù coù 3 bi ñoû; hoäp hai coù 15 bi trong ñoù coù 4 bi ñoû; hoäp ba coù 12 bi trong ñoù coù 5 bi ñoû. Gieo moät con xuùc xaéc. Neáu xuaát hieän maët 1 thì choïn hoäp moät, xuaát hieän maët hai thì choïn hoäp 2, xuaát hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp ba. Töø hoäp ñöôïc choïn, laáy ngaãu nhieân 1 bi a) tính xaùc suaát ñeå ñöôïc bi ñoû, b) giaû söû laáy ñöôïc bi ñoû. Tính xaùc suaát ñeå bi ñoû naøy thuoäc hoäp hai. Ñaùp soá : a) 0.372 . b) 0.1194 . Baøi 34. Coù 2 hoäp aùo; hoäp moät coù 10 aùo trong ñoù coù 1 pheá phaåm; hoäp hai coù 8 aùo trong ñoù coù 2 pheá phaåm. Laáy huù hoïa 1 aùo töø hoäp moät boû sang hoäp hai; sau ñoù töø hoäp naøy choïn huù hoïa ra 2 aùo. Tìm xaùc suaát ñeå caû 2 aùo naøy ñeàu laø pheá phaåm. Ñaùp soá : 0.033 . Baøi 35. Coù 3 xaï thuû cuøng baén vaøo moät con moài, moãi ngöôøi baén 1 vieân ñaïn, vôùi xaùc suaát baén truùng laàn löôït laø 0,6; 0,7; 0,8. Bieát raèng neáu truùng 1 phaùt ñaïn thì xaùc suaát ñeå con thuù bò tieâu dieät laø 0,5; truùng 2 phaùt thì xaùc suaát ñeå con thuù bò tieâu dieät laø 0,8; coøn neáu truùng 3 phaùt ñaïn thì chaéc chaén con thuù bò tieâu dieät. a) Tính xaùc suaát con thuù bò tieâu dieät. b) Haõy tính xaùc suaát con thuù bò tieâu dieät do truùng 2 phaùt ñaïn. 19
  22. Ñaùp soá : a) 0.7916. b) 0.3616. Baøi 36. Coù 2 chuoàng thoû. Chuoàng thöù nhaát coù 5 con thoû ñen vaø 10 con thoû traéng. Chuoàng thöù hai coù 3 con thoû traéng vaø 7 con thoû ñen. Töø chuoàng thöù hai, baét ngaãu nhieân 1 con thoû cho vaøo chuoàng moät vaø sau ñoù laïi baét ngaãu nhieân moät con thoû ôû chuoàng moät ra thì ñöôïc 1 con thoû traéng. Tính xaùc suaát ñeå con thoû traéng naøy laø cuûa chuoàng moät. Ñaùp soá : 0.973 . Baøi 37. Moät chuoàng gaø coù 9 con gaø maùi vaø 1 con gaø troáng. Chuoàng gaø kia coù 1 con maùi vaø 5 con troáng. Töø moãi chuoàng laáy ngaãu nhieân 1 con ñem baùn. Caùc con gaø coøn laïi ñöôïc doàn vaøo chuoàng thöù ba. Neáu ta laïi baét ngaãu nhieân 1 con gaø nöõa töø chuoàng naøy ra thì xaùc suaát ñeå baét ñöôïc con gaø troáng laø bao nhieâu ? Ñaùp soá : 0.362 . Baøi 38. Hai nhaø maùy cuøng xaûn suaát 1 loaïi linh kieän ñieän töû. Naêng suaát nhaø maùy hai gaáp 3 laàn naêng suaát nhaø maùy moät. Tyû leä hoûng cuûa nhaø maùy moät vaø hai laàn löôït laø 0,1% vaø 0,2%. Giaû söû linh kieän baùn ôû Trung taâm chæ do hai nhaø maùy naøy saûn xuaát. Mua 1 linh kieän ôû Trung taâm. a) Tính xaùc suaát ñeå linh kieän aáy hoûng. b) Giaû söû mua linh kieän vaø thaáy linh kieän bò hoûng. Theo yù baïn thì linh kieän ñoù do nhaø maùy naøo saûn xuaát. Ñaùp soá : a) 0.00025 . b) 0.857 , linh kieän do nhaø maùy 2 saûn xuaát. Baøi 39. Bieát raèng p0,041 = laø xaùc suaát ñeå moãi saûn phaåm ñöôïc saûn xuaát ra töø daây chuyeàn 1 laø pheá phaåm. Töông töï, ñoái vôùi daây chuyeàn 2 thì xaùc suaát ñoù laø p0,032 = , vôùi daây chuyeàn 3 laø p0,053 = vaø vôùi daây chuyeàn 4 laø p0,0584 = . Töø moät loâ goàm 8 saûn phaåm cuûa daây chuyeàn 1; 12 saûn phaåm cuûa daây chuyeàn 2; 10 saûn phaåm cuûa daây chuyeàn 3 vaø 5 saûn phaåm cuûa daây chuyeàn 4, laáy ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå nhaän ñöôïc saûn phaåm xaáu ? nhaän ñöôïc saûn phaåm toát ? Ñaùp soá : 0.042 , 0.958 . Baøi 40. Treân maët baøn coù 5 ñoàng xu, trong ñoù coù 3 ñoàng xu xaáp vaø 2 ñoàng xu ngöûa. Gieo tieáp leân maët baøn 2 ñoàng xu vaø sau ñoù khoanh ngaãu nhieân 4 ñoàng xu. Tính xaùc suaát ñeå trong 4 ñoàng xu naøy coù 3 ñoàng xu xaáp. Ñaùp soá : 0.343 . Baøi 41. Coù 3 caùi thuøng. Thuøng 1 coù 6 bi traéng, 4 bi ñoû; thuøng 2 coù 5 bi traéng, 5 bi ñoû vaø thuøng 3 coù 10 bi traéng. Giaû söû ngöôøi ta laáy ngaãu nhieân 2 bi töø thuøng 1 boû vaøo thuøng 2. Sau ñoù, laïi laáy ngaãu nhieân 1 bi töø thuøng 2 boû vaøo thuøng 3 roài töø thuøng 3 laáy ngaãu nhieân ra 1 bi. Tìm xaùc suaát ñeå bi laáy ra laø ñoû. Ñaùp soá : 0.4833. Coâng thöùc Bernoulli Baøi 42. Moät baùc só chöõa khoûi beänh A cho moät ngöôøi vôùi xaùc suaát laø 95%. Giaû söû coù 10 ngöôøi bò beänh A ñeán chöõa moät caùch ñoäc laäp nhau. Tính xaùc suaát ñeå a) coù 8 ngöôøi khoûi beänh, b) coù nhieàu nhaát 9 ngöôøi khoûi beänh. Ñaùp soá : a) 0.0746. b) 0.4013. 20
  23. Baøi 43. Moät caàu thuû ñaù thaønh coâng quaû phaït 11m vôùi xaùc suaát 80%. - Ñaù 4 thaønh coâng 2. - Ñaù 6 thaønh coâng 3. Coâng vieäc naøo deã thöïc hieän ? Ñaùp soá : Ñaù 4 quaû deã hôn. Baøi 44. Trong moät thaønh phoá coù 70% daân cö thích xem boùng ñaù. Choïn ngaãu nhieân 10 ngöôøi, tính xaùc suaát coù : a) 5 ngöôøi thích xem boùng ñaù, b) ít nhaát 2 ngöôøi thích xem boùng ñaù. Ñaùp soá : a) 0.103 . b) 0.999856 . Baøi 45. Moät nhaø toaùn hoïc coù xaùc suaát giaûi ñöôïc moät baøi toaùn khoù laø 0,9. Cho nhaø toaùn hoïc naøy 5 baøi toaùn khoù ñöôïc choïn moät caùch ngaãu nhieân. a) Tính xaùc suaát ñeå nhaø toaùn hoïc naøy giaûi ñöôïc 3 baøi. b) Tính xaùc suaát ñeå nhaø toaùn hoïc naøy giaûi ñöôïc ít nhaát 1 baøi. c) Tính soá baøi coù khaû naêng nhaát maø nhaø toaùn hoïc naøy giaûi ñöôïc. Ñaùp soá : a) 0.0729. b) 0.99999 . c) 5. Baøi 46. Tyû leä maéc beänh Basedow ôû moät vuøng röøng nuùi naøo ñoù laø 7%. Trong ñôït khaùm tuyeån söùc khoeû ñeå xuaát caûnh, ngöôøi ta khaùm cho 100 ngöôøi. Tìm xaùc suaát ñeå a) trong 100 ngöôøi coù 6 ngöôøi bò Basedow, b) trong 100 ngöôøi coù 95 ngöôøi khoâng bò Basedow, c) trong 100 ngöôøi coù ít nhaát moät ngöôøi bò Basedow. Ñaùp soá : a) 0.153 , b) 0.1283. c) 0.999295 . Baøi 47. Moät loâ haøng vôùi tyû leä pheá phaåm laø 5%. Caàn phaûi laáy maãu côõ bao nhieâu sao cho xaùc suaát ñeå bò ít nhaát moät pheá phaåm khoâng beù hôn 0,95. Ñaùp soá : Côõ maãu lôùn hôn hay baèng 59. Baøi 48. Hai ñaáu thuû A, B thi ñaáu côø. Xaùc suaát thaéng cuûa ngöôøi A trong moät vaùn laø 0,6 (khoâng coù hoøa). Traän ñaáu bao goàm 5 vaùn, ngöôøi naøo thaéng moät soá vaùn lôùn hôn laø ngöôøi thaéng cuoäc. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi B thaéng cuoäc. Ñaùp soá : 0.31744 . Baøi 49. Moät maùy saûn xuaát laàn löôït töøng saûn phaåm. Xaùc suaát saûn xuaát ra moät pheá phaåm cuûa maùy laø 0,01. a) Cho maùy saûn xuaát 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå coù 2 pheá phaåm. b) Maùy caàn saûn xuaát ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chính phaåm treân 0,99. Ñaùp soá : a) 0.00415 . b) Caàn saûn xuaát ít nhaát 459 saûn phaåm. 21
  24. Chöông 2 BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN A. BAØI TAÄP MAÃU Baøi 1. Coù hai thuøng thuoác A vaø B, trong ñoù : - thuøng A coù 20 loï goàm 2 loï hoûng vaø 18 loï toát, - thuøng B coù 20 loï goàm 3 loï hoûng vaø 17 loï toát. a) Laáy ôû moãi thuøng 1 loï. Goïi X laø soá loï hoûng trong hai loï laáy ra. Tìm haøm maät ñoä cuûa X. b) Laáy ôû thuøng B ra 3 loï. Goïi Y laø soá loï hoûng trong 3 loï laáy ra. Tìm haøm maät ñoä cuûa Y. Giaûi a) Xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc loï hoûng töø thuøng A”, B : “nhaän ñöôïc loï hoûng töø thuøng B”, vaø goïi X laø soá loï hoûng trong hai loï laáy ra. Ta coù X laáy caùc giaù trò 0, 1 vaø 2. Chuù yù raèng A, B laø caùc bieán coá ñoäc laäp. Ta coù 18 17 306 P(X== 0) P(AB) = P(A)P(B) = ⋅ = = 0.765 , 20 20 400 P(X== 1) P(AB + AB) = P(A)P(B) + P(A)P(B) 217183 88 =⋅+⋅= =0.22, 20 20 20 20 400 23 6 P(X== 2) P(AB) = P(A)P(B) = ⋅ = = 0.015 . 20 20 400 Töø ñoù, ta ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát X 0 1 2 P 0.765 0.22 0.015 vaø haøm maät ñoä cuûa X ⎧0.765 khi x= 0 ⎪ ⎪0.22 khi x= 1 f(x) = ⎨ ⎪0.015 khi x= 2 ⎩⎪0khix0,1,2≠ b) Goïi Y laø soá loï hoûng trong 3 loï laáy ra töø thuøng B. Ta coù YH2033∼ (,,), nghóa laø k3k− CC317 P(Y== k) 3 C20 vaø ta nhaän ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát Y 0 1 2 3 P 0.596 0.358 0.045 0.001 cuõng nhö haøm maät ñoä cuûa Y 22
  25. ⎧0.596 khi x= 0 ⎪0.358 khi x= 1 ⎪ f(x)==⎨ 0.045 khi x 2 ⎪0.001 khi x= 3 ⎪ ⎩⎪0 khix≠ 0,1,2,3 Baøi 2. Moät xaï thuû baén bia vôùi xaùc suaát baén truùng bia laø p= 0.6 . Coù 5 vieân ñaïn ñöôïc baén laàn löôït vaø xaï thuû döøng baén khi heát ñaïn hay ngay khi coù moät vieân ñaïn truùng bia. Goïi X laø soá laàn baén. Tìm haøm maät ñoä cuûa X. Tính trung bình μ vaø phöông sai σ2 . Giaûi Xeùt caùc bieán coá Ti : “baén truùng bia ôû laàn baén thöù i”, vôùi i= 1,2,3,4,5. Goïi X soá laàn baén, ta coù X = 1, 2, 3, 4, 5 vaø PX( == 1) PT( 1 ) = 0.6, PX()== 2 PTT( 12) = PT( 1) PT() 2 = 0.40.6 × , PX()== 3 PTTT( 123) = PT( 1) PT( 2) PT( 3) =×()0.42 0.6, PX()== 4 PTTTT( 12341234) = PT( ) PT( ) PT( ) PT( ) =×()0.43 0.6, PX()== 5 PTTTT( 1234) = PT( 1) PT( 2) PT( 3) PT( 4) = ()0.44 . Töø ñoù, ta ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát X 1 2 3 4 5 P 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 vaø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X ⎧ 0.6 khi x= 1 ⎪ ⎪ 0.24 khi x= 2 ⎪ 0.096 khi x= 3 f(x) = ⎨ ⎪0.0384 khi x= 4 ⎪0.0256 khi x= 5 ⎪ ⎩⎪ 0 khi x≠ 0,1,2,3,4,5 Ta coù trung bình cuûa X μ=x f x =× 1 0.6 +× 2 0.24 + +× 5 0.0256 Xii∑ () i = 1.6496, vaø phöông sai laø ⎛⎞ σ=2222EX −μ=⎜⎟ xf(x) −μ 2 XX() ⎜⎟∑ X ⎝⎠x =×122 0.6 +× 2 0.24 ++× 5 2 0.0256 − (1.6496) 2 = 0.95722. 23
  26. Baøi 3. Moät thuøng ñöïng 10 loï thuoác trong ñoù coù 1 loï hoûng. Ta kieåm tra töøng loï (khoâng hoaøn laïi) cho tôùi khi phaùt hieän ñöôïc loï hoûng thì döøng. Goïi X laø soá laàn kieåm tra. Tìm haøm maät ñoä cuûa X. Tính trung bình μ vaø phöông sai σ2 . Giaûi Xeùt caùc bieán coá Tk : “laáy ñöôïc loï hoûng ôû laàn laáy thöù k”, k= 1, 2, ,10 . Goïi X laø soá laàn kieåm tra. Ta coù, X = 1, 2, ,10 . Hôn nöõa, goïi Yk laø bieán coá “khoâng laáy ñöôïc loï hoûng trong k laàn laáy ñaàu tieân”, vôùi k= 1, 2, ,10 . Ta ñöôïc ()X ==kYTk1− k vaø Ykk1k= YT− . 1 9 PX()()== 1 PT1 = ; PY()11== PT() ; 10 10 19 1 PX()()== 2 PYT12 = PTY() 2 1 PY() 1 = . = ; 91010 89 8 PY()212211== PYT() PTY() PY() == . ; 91010 18 1 PX()()== 3 PYT23 = PTY() 3 2 PY() 2 = . = ; 81010 78 7 PY()323322== PYT() PTY() PY() == . ; 81010 17 1 PX()()== 4 PYT34 = PT() 4 Y 3 PY() 3 = . = ; 71010 1 Töông töï, ta coù PX()== k , vôùi moïi k= 1, 2, ,10 . 10 Töø ñoù, ta ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 vaø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X ⎧ 1 ⎪ khi x∈ {} 1, 2, 3, , 10 f(x) = ⎨10 ⎪ ⎩0khix1,2,3, ,10∉ {} Suy ra trung bình vaø phöông sai cuûa X 1 μ=()1 +++ 2 10 = 5.5 . X 10 2222221 2 σ=XXE(X ) −μ=() 1 + 2 ++ 10 −() 5.5 = 8.25 . 10 Baøi 4. Goïi X laø tuoåi thoï cuûa con ngöôøi. Moät coâng trình nghieân cöùu cho bieát haøm maät ñoä cuûa X laø ⎧cx22 (100−≤≤ x) khi 0 x 100 f(x) = ⎨ ⎩0 khi x<> 0 hay x 100 a) Xaùc ñònh haèng soá c. 24
  27. b) Tính trung bình vaø phöông sai cuûa X. c) Tính xaùc suaát cuûa moät ngöôøi coù tuoåi thoï ≥ 60 . d) Tính xaùc suaát cuûa moät ngöôøi coù tuoåi thoï ≥ 60 , bieát raèng ngöôøi ñoù hieän nay ñaõ 50 tuoåi. Giaûi a) Ñeå f (x) laø haøm maät ñoä, ta caàn +∞ ∫ f(x)dx= 1. −∞ maø +∞ 100 102 345 2422 ⎛⎞xxx f (x)dx=−=−+ cx() 100 x dx c⎜⎟ 10 2.10 , ∫∫ 345 −∞ 0 ⎝⎠0 neân ta ñöôïc phöông trình 102 345 ⎛⎞42xxx c10⎜⎟− 2.10+= 1. 345 ⎝⎠0 Giaûi phöông trình naøy, ta ñöôïc c3.10= −9 . b) Ta coù trung bình +∞ 100 μ=E(X) = xf (x)dx = c x3 () 100 − x2 dx X ∫∫ −∞ 0 100 =−+c(10x2.10xx)dx∫ 43 24 5 0 102 456 ⎛⎞42xxx =−+=c10⎜⎟ 2.10 50, 456 ⎝⎠0 vaø phöông sai +∞ 100 σ=2222E(X ) −μ= x f (x)dx − 50 2 = c x 4() 100 − x2 dx − 2500 XX∫∫ −∞ 0 100 =−+−c∫ (1044 x 2.10 25 x x 6 )dx 2500 0 102 567 ⎛⎞42xxx =−+−c⎜⎟ 10 2.10 2500 567 ⎝⎠0 14 5 −9 ⎛⎞10 10 2500 =−=−=3.10⎜⎟ 2500 2500 . ⎝⎠105 35 7 c) Xaùc suaát cuûa moät ngöôøi coù tuoåi thoï ≥ 60 laø 25
  28. +∞ 100 P(X≥= 60)∫∫ f (x)dx = cx2 () 100 − x2 dx 60 60 100 =−+c(10x2.10xx)dx∫ 42 23 4 60 102 345 ⎛⎞42xxx =−+c10⎜⎟ 2.10 345 ⎝⎠60 10 ⎡⎤⎛⎞105 ⎛⎞ 216 1296 7776 =−c⎢⎥⎜⎟ 10⎜⎟ 100. −+ 20. ⎣⎦⎝⎠30⎝⎠ 3 4 5 4 −95⎛⎞10 11376 992 =−==3.10 10⎜⎟ 0.31744. ⎝⎠3 5 3125 d) Ñeå tính xaùc suaát cuûa moät ngöôøi coù tuoåi thoï ≥ 60 , khi bieát ngöôùi ñoù ñaõ 50 tuoåi, ta tính xaùc suaát coù ñieàu kieän PX(( ≥≥ 60X) ( 50)) PX()≥≥= 60X 50 PX()≥ 50 PX()≥ 60 0.31744 ===0.63548, P() X≥ 50 0.5 vôùi PX( ≥ 50) ñöôïc tính nhö ôû phaàn c vaø baèng 0.5. Baøi 5. Cho bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä x ⎧1 − ⎪ ekhix0λ > f(x) = ⎨λ vôùi λ > 0 ⎪ ⎩0khix0≤ a) Tính trung bình μ phöông sai σ2 . b) Tìm haøm ñaëc tröng M(t). Duøng haøm ñaëc tröng, tính laïi trung bình μ vaø phöông sai σ2 . Giaûi a) Ta coù +∞ +∞ x 1 − μ=EX() = xf(x)dx = xedxλ , (1) ∫∫λ −∞ 0 Duøng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn, vôùi ux= , dv= e−λx/ dx , ta ñöôïc du= dx , ve=−λ −x/λ vaø bieåu thöùc (1) cho xx+∞ +∞ −− μ=−λxeλλ +∫ e dx 0 0 x +∞ − =−λe λ =λ 0 Phöông sai σ2 cho bôûi 222 σ=EX( ) −μX , 26
  29. +∞ +∞ x 1 − vôùi EX()22== xf(x)dx xe 2λ dx. ∫∫λ −∞ 0 Cuõng do coâng thöùc tích phaân töøng phaàn, ta coù xx+∞ +∞ +∞ x −−1 − EX()22=− xeλλ + 2 xedx2 = λ⋅ xedx λ ∫∫λ 0 00 =λ2.2 222222 Töø ñoù suy ra σ=EX( ) −μ=λ−λ=λX 2 . b) Haøm ñaëc tröng M( t) cuûa bieán soá ngaãu nhieân X cho bôûi +∞ +∞ 1 tX tx 1 ()tx− M(t)== E() e e f (x)dx = eλ dx ∫∫λ −∞ 0 +∞ ⎛⎞1 11⎜⎟tx− ==e.⎝⎠λ λ−t1 1 −λ t 0 Vôùi haøm ñaëc tröng M() t naøy, ta nhaän ñöôïc trôû laïi giaù trò trung bình λ μ=M(0)′ = =λ, []1(0)−λ× 2 vaø phöông sai 2 2 ⎛⎞ 2 2λλ σ=2 M′′ (0) −[] M ′ (0) = −⎜⎟ 32⎜⎟ []1−λ (0)⎝⎠[] 1 −λ× (0) =λ−λ=λ2.22 2 Baøi 6. Cho vectô ngaãu nhieân coù baûng phaân phoái xaùc suaát Y 1 2 3 X 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.2 0.2 a) Tìm caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn f(x),f(y)XY. 22 b) Tìm caùc trung bình μμX ,,Y caùc phöông sai σX , σY vaø heä soá töông quan ρ (X, Y) . Giaûi a) Haøm maät ñoä thaønh phaàn f(x)X cho bôûi f(0)P(X0)PX0Y1X ===+==+==() PX0Y2() PX0Y3( ) =++=0.1 0.2 0.1 0.4, f(1)P(X1)PX1Y1PX1Y2X ===+==+==()() PX1Y3( ) vaø f(x)0X = khi x≠ 0,1 . =++=0.2 0.2 0.2 0.6, Töông töï, haøm maät ñoä thaønh phaàn f(y)Y cho bôûi f(1)P(Y1)PYY ===+==() 1X 0 PY( 1X 1) =+=0.1 0.2 0.3, 27
  30. f(2)P(Y2)PY2X0PY2X1Y ===+==()( ) =+=0.2 0.2 0.4, f(3)P(Y3)PY3X0PY3X1Y ===+==()( ) =+=0.1 0.2 0.3. vaø f(y)0Y = , vôùi y≠ 1, 2, 3 . b) Töø caùc haøm maät ñoä, ta suy ra μ=xf (x) =⋅ 0 0.4 +⋅ 1 0.6 = 0.6 , XX∑ x μ=yf (y) =⋅ 1 0.3 +⋅ 2 0.4 +⋅ 3 0.3 = 2 , YY∑ y σ=22x f (x) −μ= 222 0 ⋅ 0.4 + 1 ⋅ 0.4 − (0.4) 2 = 0.24 , XXX∑ x σ=22yf(y) −μ= 222 10.320.430.32 ⋅ + ⋅ + 2 ⋅ − 2 = 0.6. Yyy∑ y Do cov(X, Y) EXY()− μμ . ρ=(X, Y) = X Y , σσXY σσ XY vaø E() XY==++=∑ xyf (x, y) 0.2 0.4 0.6 1.2 , x,y ta suy ra cov(X, Y)EXY()−μ . μ 1.2−× 0.6 2 ρ=(X, Y) =XY = = 0 . σσXY σσ XY 0.24× 0.6 Baøi 7. Cho vectô ngaãu nhieân coù haøm maät ñoä 2 ⎪⎧c(x+∈× y) khi ()x, y [][]0, 1 0, 1 f(x,y) = ⎨ ⎩⎪0khi()x.y ∉×[][]0, 1 0, 1 a) Tìm caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn f(x),f(y)XY. 22 b) Tìm caùc trung bình μμX ,,Y caùc phöông sai σX , σY vaø heä soá töông quan ρ (X, Y) . Giaûi Tröôùc heát, ta caàn xaùc ñònh haèng soá c. Do tính chaát haøm maät ñoä, ta coù +∞ +∞ ∫∫f (x, y)dxdy= 1 . −∞ −∞ Maø +∞ +∞ 11 1 232c3⎛⎞ 7c f (x, y)dxdy=+ c (x y) dxdy =++=⎜⎟ x x x , ∫∫ ∫∫ 32⎝⎠ 6 −∞ −∞ 00 0 6 neân ta suy ra c = . Khi ñoù, caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn cho bôûi 7 28
  31. +∞ 1 1 23⎛⎞c f(x)X ==+=+ f(x,y)dy c(xy)dy⎜⎟ (xy) ∫∫ ⎝⎠3 −∞ 0 0 2 =++()3x2 3x 1 , 7 +∞ 1 1 23⎛⎞c f(y)f(x,y)dxc(xy)dxY ==+=+⎜⎟ (xy) ∫∫ ⎝⎠3 −∞ 0 0 2 =++()3y2 3y 1 . 7 b) Töø haøm maät ñoä f (x, y) , ta suy ra +∞ +∞ 11 1 1 6223 μ=X xf (x, y)dxdy = x(x + y) dxdy =() x(x + y) dx ∫∫77 ∫∫ ∫ 0 −∞ −∞ 00 0 1 1 2 223x932⎛⎞ 43 =++=++=()3x 3x x dx⎜⎟ x x , 774214∫ 0 ⎝⎠0 +∞ +∞ 11 6 μ=yf (x, y)dxdy = y(x + y)2 dxdy Y ∫∫7 ∫∫ −∞ −∞ 00 11 221 =+()y(x y)332 dy =++() 3y 3y y dy 77∫∫0 00 1 2 23⎛⎞43 y 9 =++=⎜⎟yy , 74 2 14 ⎝⎠0 +∞ +∞ σ=2 ()xf(x,y)dxdy −μ 2 XX∫∫ −∞ −∞ 1 1⎛⎞ 58854 168 317 32 9 199 =−−−+=⎜⎟x x x x 81x , 686⎝⎠ 5 4 3 20 2940 +∞ +∞ 2 199 σ=2 ()yf(x,y)dxdy −μ = , YY∫∫ 2940 −∞ −∞ +∞ +∞ 11 6 E() XY==+ xyf (x, y)dxdy xy(x y)2 dxdy ∫∫7 ∫∫ −∞ −∞ 00 1 61⎛⎞32 11 =++⎜⎟x2xxdx 72∫ ⎝⎠ 34 0 1 6x⎛⎞432 2x x 17 =++=⎜⎟, 78 9 8 42 ⎝⎠0 cov(X, Y) EXY()−μ μ ρ=(X, Y) = XY σσXY σσ XY 17 9 9 5 −⋅ − 25 ===−=−42 14 14 588 0.127. 199 199 199 199 ⋅ 2940 2940 2940 29
  32. Baøi 8. Cho vectô ngaãu nhieân V = (X,Y) , vôùi X, Y ñoäc laäp. Giaû söû X, Y coù trung bình μX , μY vaø 2 2 phöông sai σX , σY Ñaët ZXY=α +β . Chöùng minh raèng a) μ=αμ+βμZXY, 22222 b) σ=ασ+βσZXY. Giaûi Ta chöùng minh cho tröôøng hôïp X, Y laø caùc bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. Tröôøng hôïp X vaø Y laø caùc bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc ñöôïc chöùng minh töông töï. a) Goïi f(x,y) laø haøm maät ñoä (ñoàng thôøi) cuûa V. Ta coù E() Z= E ( α X +β Y ) =∑ ( α x +β y)f (x, y) x,y =α∑∑xf(x, y) +β yf(x,y) = E(X) + E(Y), x,y x,y nghóa laø μ=μ+μZXY. b) Do ñònh nghóa, 2 σ2 =z −μ2 f(x, y) = α x +β y − αμ +βμ f(x, y) ZZ∑∑()( ( )( XY )) zx,y 2 =⎡α−μ+β−μ⎤xyf(x,y) ∑ ⎣⎦()()XY x,y =α22xf(x,y)yf(x,y) −μ22 +β −μ + ∑∑()XY () x,y x,y +αβ2xy)f(x,y). −μ −μ ∑ ()(XY ) x,y Maø X vaø Y ñoäc laäp neân x−μ y −μ )f(x, y) = E X −μ Y −μ = 0, ∑ ()(XY )()()( X Y) x,y vaø do ñoù σ=α22xf(x,y)yf(x,y) −μ22 +β 2 −μ ZX∑∑() () Y x,y x,y 22 22 =ασXY +βσ . Baøi 9. Cho vectô ngaãu nhieân V = (X,Y) . Ñaët Z= X+ Y . Chöùng minh raèng 22 2 μ=μ+μZXY vaø σ=σ+ρZX2(X,Y) σσ+σ XYY. 222 Suy ra raèng, neáu X vaø Y khoâng töông quan, nghóa laø ρ (X, Y)= 0 , thì σ=σ+σZXY. Giaûi Töông töï baøi 8, ta chöùng minh cho tröôøng hôïp X, Y laø bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. μ=zf(x, y) = xf(x, y) + yf(x, y) =μ+μ, Z ∑∑∑ xy zx,yx,y 30
  33. 2 σ2 =z −μ2 f(x, y) = x −μ + y −μ f (x, y) ZZ∑∑() () xy zz 2 =−μ+−μ+xf(x,y)yf(x,y)2 ∑∑()Xy() x,y x,y +−μ−μ2x y f(x,y) ∑ ()Xy() x,y 22 22 =σX +σYXYXY +2cov(X, Y) =σ +σ + 2 ρ (X, Y) σ σ . Khi X vaø Y khoâng töông quan, thì ρ(X, Y)= 0 vaø do ñoù 222 σ=σ+σZXY. Baøi 10. Cho vectô ngaãu nhieân V = ()X, Y coù baûng phaân phoái xaùc suaát Y 0 1 X −1 1/3 0 0 0 1 / 3 1 1/3 0 a) Tính trung bình vaø phöông sai cuûa X vaø Y. b) Tính heä soá töông töông quan ρ(X, Y) . c) X vaø Y coù ñoäc laäp khoâng ? Giaûi a) Ta coù caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn ⎧1/3 khi x=− 1,0,1 f(x)X = ⎨ ⎩0khix1,0,1≠− ⎧2/3 khi y= 0 ⎪ f(y)Y ==⎨ 1/3khiy 1 ⎪ ⎩0khiy0,1≠ Töø ñoù suy ra 111 μ=xf (x) =−⋅+⋅+⋅= 1 0 1 0 , XX∑ x 333 211 μ=yf (y) =⋅ 0 +⋅ 1 = , YY∑ y 333 111 2 σ=22xf (x) −μ=−⋅+ 22222 ( 1) 0 ⋅+ 1 ⋅− 0 =, XXX∑ x 333 3 2 2112⎛⎞ σ=22yf(y) −μ= 222 0 ⋅ + 1 ⋅ − = . Yyy∑ ⎜⎟ y 3339⎝⎠ b) Do E() XY==∑ xyf (x, y) 0 , x,y ta suy ra 31
  34. cov(X, Y) EXY( ) −μ . μ ρ=(X, Y) =XY = 0. σσXY σσ XY c) Vôùi haøm maät ñoä ñoàng thôøi f(x,y), ta coù 2 f(0,0)=≠ 0 f (0)f (0) =. XY 9 Do ñoù, X vaø Y khoâng ñoäc laäp. Baøi 11. Chöùng minh raèng neáu vectô ngaãu nhieân V = (X,Y) coù X, Y ñoäc laäp, thì ρ=(X, Y) 0 . Giaûi Vì X, Y ñoäc laäp neân EXY( ) = EX.EY( ) ( ) . Töø ñoù suy ra cov(X, Y) EXY( ) −μ . μ ρ=(X, Y) = XY σσ σσ XY XY EX.EY() ()− EX.EY () () ==0. σσXY. Baøi 12. Chöùng minh raèng vôùi moïi vectô ngaãu nhieân V = (X,Y) , ta coù heä soá töông quan ρ (X, Y) thoûa −≤ρ 1 (X, Y) ≤ 1. Giaûi Ta chöùng minh cho tröôøng hôïp X, Y laø caùc bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. Tröôøng hôïp bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc ñöôïc chöùng minh töông töï. Vôùi f (x, y) chæ haøm maät ñoä (ñoàng thôøi) cuûa V = (X,Y) , ta coù cov(X, Y) E ()(X −μXY) (Y −μ ) ρ=(X, Y) = , σσXY σσ XY vaø EXY−μ −μ =−μ−μ (X )(Y )f(x, y) ()()()XY∑ XY x,y =−μ−μ(X ) f(x, y)(Y ) f(x, y). ∑ XY x,y neân töø baát ñaúng thöùc Cauchy Schwarz, ta coù E(X)f(x,y)(Y)f(x,y)XY−μ −μ ≤−μ22 −μ ()()()XY∑∑XY x,y x,y =σXY σ . Do ñoù EX(()()−μXY Y −μ ) ρ(X, Y) =≤1 , σσXY nghóa laø −≤ρ 1 (X, Y) ≤ 1. 32
  35. B. BAØI TAÄP Xaùc ñònh bieán ngaãu nhieân. Baøi 1. Xaùc suaát chöõa khoûi beänh A cuûa 1 baùc só laø 0,8. a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa soá ngöôøi ñöôïc chöõa khoûi beänh trong 1 nhoùm beänh nhaân goàm 5 ngöôøi do baùc só ñoù ñieàu trò. b) Goïi X laø soá beänh nhaân chöõa khoûi beänh. Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Ñaùp soá : a) X 0 1 2 3 4 5 P 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768 b) ⎧ 0khix0< ⎪ ⎪0.00032 khi 0≤ x< 1 ⎪0.00672 khi 1≤ x< 2 ⎪ Fx()= ⎨0.05792 khi 2≤ x< 3 ⎪0.26272 khi 3≤ x< 4 ⎪ ⎪0.67232 khi 4≤ x< 5 ⎪ ⎩ 1khix5≥ Baøi 2. Coù 2 caùi hoäp. Hoäp moät chöùa 10 bi goàm 3 bi ñoû vaø 7 bi ñen. Hoäp hai chöùa 5 bi goàm 2 bi ñoû vaø 3 bi ñen. Laáy ngaãu nhieân 1 bi töø hoäp moät boû vaøo hoäp hai; roài töø hoäp hai laáy ngaãu nhieân 1 bi. a) Tính xaùc suaát ñeå bi laáy ra töø hoäp hai laø bi ñoû. b) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho soá bi ñoû coù trong hoäp hai sau khi boû vaøo 1 bi laáy töø hoäp moät. Ñaùp soá : a) 0.383 . b) X 2 3 7 3 P 10 10 Baøi 3. Moät thieát bò goàm 3 boä phaän hoaït ñoäng ñoäc laäp vôùi nhau, xaùc suaát trong khoaûng thôøi gian t caùc boä phaän hoûng töông öùng baèng 0.2; 0.3; 0.25. Goïi X laø soá boä phaän bò hoûng trong khoaûng thôøi gian t. a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Vieát bieåu thöùc haøm phaân phoái cuûa X. c) Tính P0()<≤ X 4 theo hai caùch. Ñaùp soá : a) X 0 1 2 3 P 0.42 0.425 0.14 0.015 b) ⎧ 0khix0< ⎪ 0.42 khi 0≤ x< 1 ⎪ Fx()= ⎨0.845 khi 1≤ x< 2 ⎪0.985 khi 2≤ x< 3 ⎪ ⎩⎪ 1khix3≥ c) 0.58 . 33
  36. Baøi 4. Moãi caàu thuû coù 3 quaû boùng. Hai caàu thuû laàn löôït neùm boùng vaøo roå cho ñeán khi coù ngöôøi neùm truùng hoaëc heát boùng thì ngöng. Bieát xaùc suaát neùm truùng cuûa caàu thuû thöù nhaát laø 0,7, cuûa caàu thuû thöù hai laø 0,8 vaø caàu thuû 1 neùm tröôùc. a) Goïi X i laø soá laàn caàu thuû thöù i neùm. Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X1 vaø X2 . b) Goïi Yi laø soá laàn caàu thuû thöù i neùm truùng. Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa Y1 vaø Y2 . Ñaùp soá : a) X1 1 2 3 P 0.94 0.0564 0.0036 X2 0 1 2 3 P 0.7 0.282 0.016920.00108 b) Y1 0 1 P 0.25548 0.74452 Y2 0 1 P 0.744736 0.255264 Tham soá ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân. Baøi 5. Tung moät ñoàng xu xaáp ngöûa 2 laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn ñöôïc maët xaáp. a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X. b) Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät laàn ñöôïc maët xaáp. c) Tính kyø voïng, phöông sai. d) Tính Mod[X], Me[X]. e) Tính heä soá baát ñoái xöùng, heä soá nhoïn. Ñaùp soá : a) X 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 b) 0.75 . 2 c) μ=X 1 , σ=X 0.5 . d) Mod[] X= 1, Me[ X] = 1. e) γ=1 ()X 0 , γ=2 (X) 8 . Baøi 6. Goïi X laø soá laàn maët nhaát xuaát hieän sau ba laàn tung moät con xuùc xaéc. a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät laàn ñöôïc maët nhaát. c) Tính xaùc suaát coù toái ña hai laàn maët nhaát. 2 d) Tính μX , σX . Ñaùp soá : a) X 0 1 2 3 P 0.579 0.347 0.069 0.005 b) 0.421 . c) 0.995 . 34
  37. 2 d) μ=X 0.5 , σ=X 0.417 . Baøi 7. Coù 3 xaï thuû cuøng baén vaøo moät muïc tieâu, moãi ngöôøi baén 1 vieân, trong cuøng moät soá ñieàu kieän nhaát ñònh. Xaùc suaát ñeå moãi xaï thuû baén truùng muïc tieâu laàn löôït laø 0,6; 0,7; 0,9. Goïi X laø soá vieân ñaïn truùng muïc tieâu. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Tính trung bình ( μX ), phöông 2 sai ( σX ) vaø Mod[X]. Ñaùp soá : X 0 1 2 3 P 0.012 0.154 0.456 0.378 2 μX = 2.2 , σ=X 0.54 , Mod[ X] = 2 . Baøi 8. Moät phaân xöôûng coù ba maùy M,M,M123. Trong moät giôø, moãi maùy saûn xuaát ñöôïc 10 saûn phaåm, trong ñoù soá saûn phaåm khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa M1, M2, M3 laàn löôït laø 1, 2, 1. Laáy ngaãu nhieân töø moãi maùy moät saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm khoâng ñaït tieâu chuaån trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. a) Laäp baûng phaân phoái saûn xuaát cuûa X. 2 b) Tìm μX , σX , Mod[X]. c) Tính PX()≤ 1. Ñaùp soá : a) X 0 1 2 3 P 0.648 0.306 0.044 0.002 2 b) μX = 0.4 , σ=X 0.34 , Mod[ X] = 0 . c) 0.954 . Baøi 9. Xeùt troø chôi, tung moät con xuùc xaéc ba laàn: neáu caû ba laàn ñöôïc 6 nuùt thì lónh 6 ngaøn ñ, neáu hai laàn 6 nuùt thì lónh 4 ngaøn ñ, moät laàn 6 nuùt thì lónh 2 ngaøn ñ, vaø neáu khoâng coù 6 nuùt thì khoâng lónh gì heát. Moãi laàn chôi phaûi ñoùng A ngaøn ñ. Hoûi : a) A laø bao nhieâu thì ngöôøi chôi veà laâu veà daøi hueà voán (goïi laø troø chôi coâng baèng), b) A laø bao nhieâu thì trung bình moãi laàn ngöôøi chôi maát 1 ngaøn ñ. Ñaùp soá : a) A = 1000 . b) A = 2000 . Baøi 10. Moät nhaø ñaàu tö coù 3 döï aùn. Goïi Xi(i=1, 2, 3) laø soá tieàn thu ñöôïc khi thöïc hieän döï aùn thöù i (giaù trò aâm chæ soá tieàn bò thua loã). Xi laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Qua nghieân cöùu, giaû söû coù soá lieäu nhö sau : (Ñôn vò tính : 10 trieäu ñoàng ) X1 -20 30 60 P 0.3 0.2 0.5 X2 -20 -10 100 P 0.4 0.2 0.4 X3 -25 -30 80 P 0.2 0.3 0.5 Theo anh (chò), ta neân choïn döï aùn naøo ? Ñaùp soá : Neân choïn döï aùn 1. 35
  38. Baøi 11. Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái xaùc suaát nhö sau X 0 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 PX 0 a 2a 2a 3a a 2a 7a+ a a) Xaùc ñònh a. b) Tính PX[]≥ 5, PX[ π π2 b) A = 0.5 , μ= , σ=2 −2 , X 2 X 4 ⎧1 ()1cosxkhi0−≤≤π x ⎪2 ⎪ Fx()= π ⎪ ⎩ 11 π − 3 c) A = π , μ= − , σ=2 , X 2 π X π2 ⎧ 1 sin()π≤≤ x khi 0 x ⎪ 2 ⎪ Fx()= ⎩ 2 36
  39. 3 3 d) A = 3, μ= , σ2 = , X 2 X 4 ⎧ 1 ⎪1khix1−≥ Fx()= ⎨ x3 . ⎩⎪ 0khix1 ⎪ ⎩⎪ (iii) 0.2 . 37
  40. Baøi 15. Cho haøm maät ñoä cuûa bieán ngaãu nhieân X coù daïng ⎧ π π ⎪acosx khi x∈−⎣⎡ 22 , ⎦⎤ f(x) = ⎨ ∉−π π ⎩⎪ 0khix,⎣⎡ 22⎦⎤ a) Tìm a vaø xaùc ñònh haøm phaân phoái xaùc suaát F(x) cuûa X. ⎛⎞π b) Tính xaùc suaát ñeå X nhaän giaù trò trong khoaûng ⎜⎟, π . ⎝⎠4 1 Ñaùp soá : a) a = , 2 ⎧sin x+ππ 1 khi− ≤≤ x ⎪ 222 ⎪ ⎪ π Fx()= ⎩ 2 b) 0.1465. Baøi 16. Cho bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X coù haøm phaân phoái ⎧ π 0khix, ⎩ 2 vôùi a, b laø haèng soá. a) Tìm a vaø b. ⎡⎤π b) Vôùi a vaø b tìm ñöôïc ôû caâu a), tính haøm maät ñoä f(x) cuûa X; Mod[ x] ; Me[] x ; PX⎢⎥> . ⎣⎦4 1 1 Ñaùp soá : a) a = , b = . 2 2 ⎡⎤π b) Mod[ x] = 0 , Me[ x] = 0 , P⎢⎥ X>= 0.1465 , ⎣⎦4 ⎧1 ⎡ π π⎤ ⎪ cos x khi x∈−⎢ , ⎥ ⎪222⎣⎦ fx()= ⎨ ⎪ ⎡ π π⎤ 0khix,∉−⎢ ⎥ ⎩⎪ ⎣ 22⎦ Vectô ngaãu nhieân. Baøi 17. Soá treû em sinh ra trong moät tuaàn ôû moät laøng A naøo ñoù laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân boá xaùc suaát laø X 0 1 2 3 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Soá ngöôøi cheát trong moät tuaàn ôû laøng A laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân boá xaùc suaát laø Y 0 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giaû söû raèng X vaø Y ñoäc laäp. 38
  41. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa X vaø Y. b) Tính P(X > Y). Ñaùp soá : a) Y 0 1 2 3 4 X 0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02 1 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015 2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01 3 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005 b) 0.19 . Baøi 18. Cho baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa X, Y nhö sau : Y 4 5 X 1 0,1 0,06 2 0,3 0,18 3 0,2 0,16 a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát thaønh phaàn cuûa X vaø Y. b) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa X vaø Y. c) Tính covariance vaø heä soá töông quan cuûa X vaø Y. Ñaùp soá : a) X 1 2 3 PX 0.16 0.48 0.36 Y 4 5 PY 0.6 0.4 b) Y 4 5 X 1 0.17 0.15 2 0.5 0.45 3 0.33 0.4 X 1 2 3 Y 4 0.625 0.6250.56 5 0.375 0.3750.44 c) cov(X, Y)= 0.02 , ρ=(X, Y) 0.059 . Tham soá ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân. Baøi 19. Caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y coù baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi nhö sau Y 1 2 3 X 1 0,12 0,15 0,03 2 0,28 0,35 0,07 a) Chöùng minh raèng X vaø Y ñoäc laäp. 39
  42. b) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa Z = XY. Töø ñoù tính E(Z) vaø kieåm tra raèng E(Z)= E(X)E(Y) . Ñaùp soá : b) Z 1 2 3 4 6 P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07 EZ( ) = 2.89, EX( ) = 1.7, EY( ) = 1.7. Baøi 20. Cho X, Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân boá xaùc suaát ñoàng thôøi nhö sau Y -1 1 X -1 1 1 6 4 0 1 1 6 8 1 1 1 6 8 Haõy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) vaø ρ(X, Y) . 1 Ñaùp soá : μ =− , μ = 0 , cov(X, Y)= − 0.125 , ρ=−(X, Y) 0.1502 . X 8 Y Baøi 21. Cho X,Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân boá xaùc suaát ñoàng thôøi nhö sau Y -1 0 1 X -1 4 1 4 15 15 15 0 1 2 1 15 15 15 1 0 2 0 15 a) Tìm μX , μY , cov(X,Y) vaø ρ (X, Y) . b) X vaø Y coù ñoäc laäp khoâng ? Ñaùp soá : a) μX =−0.467 , μY = 0 , cov(X, Y)= 0, ρ(X, Y)= 0 . b) X vaø Y ñoäc laäp. Baøi 22. Coù hai hoäp, moãi hoäp ñöïng 6 bi. Trong hoäp moät coù : 1 bi mang soá 1, 2 bi mang soá 2, 3 bi mang soá 3. Trong hoäp hai coù : 2 bi mang soá 1, 3 bi mang soá 2, 1 bi mang soá 3. Ruùt töø moãi hoäp 1 bi. Goïi X laø soá ghi treân bi ruùt ra töø hoäp moät, Y laø soá ghi treân bi ruùt ra töø hoäp hai. a) Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa V = (X, Y) . b) Baûng phaân phoái xaùc suaát leà cuûa X , Y. c) Kyø voïng, phöông sai cuûa X , Y. d) Hieäp phöông sai, heä soá töông quan. Ñaùp soá : a) Y 1 2 3 X 1 2 3 1 36 36 36 40
  43. 2 4 6 2 36 36 36 3 6 9 3 36 36 36 b) X 1 2 3 PX 1 2 3 36 36 36 Y 1 2 3 PY 2 3 1 36 36 36 2 2 c) μX = 2.33 , μY = 1.83 , σ=X 0.555, σ=Y 0.472 . d) cov(X, Y)= 0.0139 , ρ=(X, Y) 0.027 . Baøi 23. Tung ba laàn ñoäc laäp moät con xuùc xaéc. Goïi X laø soá laàn maët chaün xuaát hieän vaø Y laø soá laàn maët leû xuaát hieän. a) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X vaø Y. b) Tính heä soá töông quan ρ (X, Y) . Nhaän xeùt? Ñaùp soá : a) X 0 1 2 3 PX 0.125 0.375 0.375 0.125 Y 0 1 2 3 PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) ρ(X, Y)=− 1 , X vaø Y phuï thuoäc chaët, nghòch bieán. 41
  44. Chöông 3 PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT A. BAØI TAÄP MAÃU 1 Baøi 1. Giaû söû tyû leä sinh con trai vaø con gaùi laø baèng nhau vaø baèng . Moät gia ñình coù 4 ngöôøi 2 con. Tính xaùc suaát ñeå 4 ñöùa con ñoù goàm a) 2 trai vaø 2 gaùi, b) 1 trai vaø 3 gaùi, c) 4 trai. Giaûi Goïi X laø soá con trai trong moät gia ñình coù 4 con thì X ∼ B4;0.5( ) . a) Xaùc suaát ñeå coù hai trai vaø hai gaùi trong boán ñöùa con laø 223 P(X== 2) C2 ()() 0.5 0.5 = 4 8 = 0.375. b) Xaùc suaát ñeå coù moät con trai trong soá boán ñöùa con laø 131 P(X== 1) C1 ()() 0.5 0.5 = 4 4 = 0.25. c) Xaùc suaát ñeå caû boán ñeàu laø trai 401 P(X== 4) C4 ()() 0.5 0.5 = 4 16 = 0.0625. Baøi 2. Moät nhaø maùy saûn xuaát vôùi tyû leä pheá phaåm laø 7% a) Quan saùt ngaãu nhieân 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå i) coù ñuùng moät pheá phaåm, ii) coù ít nhaát moät pheá phaåm, iii) coù nhieàu nhaát moät pheá phaåm. b) Hoûi phaûi quan saùt ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm ñeå xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaát moät pheá phaåm ≥ 0.9. Giaûi a) Goïi X laø soá pheá phaåm nhaän ñöôïc trong 10 saûn phaåm thì X ∼ B( 10; 0.07) . i) Xaùc suaát ñeå coù ñuùng 1 pheá phaåm trong 10 saûn phaåm laø P(X== 1) C1 ()() 0.071101 1 − 0.07 − 10 =⋅10 0.07 ⋅() 0.939 = 0.3643. ii) Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät pheá phaåm laø 42
  45. P(X≥=− 1) 1 P(X = 0) 0 01010 =−1 C10 ()() 0.07 0.93 =− 1 () 0.93 = 0.516. iii) Vaø xaùc suaát ñeå coù nhieàu nhaát moät pheá phaåm laø P(X≤= 1) P(X =+ 0) P(X = 1) 0101019 =+C10()()()() 0.07 0.93 C 10 0.07 0.93 = 0.8483. b) Goïi n laø soá saûn phaåm quan saùt ñeå xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaát moät pheá phaåm ≥ 0.9. Vôùi bieán soá X chæ soá pheá phaåm nhaän ñöôïc trong n laàn quan saùt naøy thì X ∼ Bn;0.07( ) . Do P(X≥=− 1) 1 P(X = 0) 0 0n =−1 Cn ()() 0.07 0.93 =−10.93.()n Töø P(X≥≥ 1) 0.9 , ta ñöôïc baát phöông trình 1−≥() 0.93n 0.9. Giaûi baát phöông trình treân, ta nhaän ñöôïc giaù trò n≥ 31.73 . Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 32 saûn phaåm. Baøi 3. Moät trung taâm böu ñieän nhaän ñöôïc trung bình 3 cuoäc ñieän thoaïi trong moãi phuùt. Tính xaùc suaát ñeå trung taâm naøy nhaän ñöôïc 1 cuoäc, 2 cuoäc, 3 cuoäc goïi trong 1 phuùt, bieát raèng soá cuoäc goïi trong moät phuùt coù phaân phoái Poisson. Giaûi Goïi X laø soá cuoäc goïi nhaän ñöôïc trong 1 phuùt thì X coù phaân phoái Poisson vôùi trung bình 3, nghóa laø X ∼ P(3) . Xaùc suaát ñeå trung taâm böu ñieän nhaän ñöôïc 1 cuoäc, 2 cuoäc vaø 3 cuoäc goïi trong 1 phuùt laàn löôït laø 31 P(X== 1) e−3 = 0.1494 , 1! 32 P(X== 2) e−3 = 0.224 , 2! 33 vaø P(X== 3) e−3 = 0.224 . 3! Baøi 4. Khi tieâm truyeàn moät loaïi huyeát thanh, trung bình coù moät tröôøng hôïp phaûn öùng treân 1000 tröôøng hôïp. Duøng loaïi huyeát thanh naøy tieâm cho 2000 ngöôøi. Tính xaùc suaát ñeå a) coù 3 tröôøng hôïp phaûn öùng, b) coù nhieàu nhaát 3 tröôøng hôïp phaûn öùng, c) coù nhieàu hôn 3 tröôøng hôïp phaûn öùng. Giaûi 1 Do xaùc suaát ñeå moät ngöôøi bò phaûn öùng vôùi loaïi huyeát thanh naøy laø 1000 neân vôùi X chæ soá ngöôøi bò phaûn öùng vôùi loaïi huyeát thanh naøy trong 2000 ngöôøi thì X ∼ B(2000; 0.001) . 43
  46. Vì p= =− 3) 1 P(X ≤ 3) 19 =−1e0.14.−2 = 3 Baøi 5. Tyû leä moät loaïi beänh baåm sinh trong daân soá laø p= 0.01. Beänh naøy caàn söï chaêm soùc ñaëc bieät luùc môùi sinh. Moät nhaø baûo sinh thöôøng coù 20 ca sinh trong moät tuaàn. Tính xaùc suaát ñeå a) khoâng coù tröôøng hôïp naøo caàn chaêm soùc ñaëc bieät, b) coù ñuùng moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät, c) coù nhieàu hôn moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät. Tính baèng quy luaät nhò thöùc roài duøng quy luaät Poisson ñeå so saùnh keát quaû khi ta xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc B(n; p) baèng phaân phoái poisson P(np) . Giaûi Goïi X laø soá tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät trong 20 ca sinh. Ta coù X ∼ B(20; 0.01) . a) Xaùc suaát ñeå khoâng coù tröôøng hôïp naøo caàn chaêm soùc ñaëc bieät laø P(X== 0) C0 ()( 0.01020 1 − 0.01) ) 20 ==()0.9920 0.8179. b) Xaùc suaát ñeå coù ñuùng moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät laø P(X== 1) C1 ()( 0.011201 1 − 0.01) )− 20 =⋅20()() 0.01 ⋅ 0.9919 = 0.1652. c) Xaùc suaát coù nhieàu hôn moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät laø P(X>=− 1) 1[] P(X =+ 0) P(X = 1) =−1 (0.8179 + 0.1652) = 0.0168. Khi xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân phoái Poisson, nghóa laø X ∼ P(20⋅= 0.01) P(0.2) , ta nhaän ñöôïc P(X== 0) e−0.2 = 0.8187 , 44
  47. (0.2)1 P(X== 1) e−0.2 = 0.1637 , 1! vaø P(X>=− 1) 1[] P(X =+ 0) P(X = 1) =−1 (0.8187 + 0.1637) = 0.01755. Keát luaän : Vôùi côõ maãu 20 vaø tyû leä beänh p= 0.01 thì keát quaû cuûa hai loaïi phaân phoái naøy xaáp xæ nhö nhau. Baøi 6. Cho vectô ngaãu nhieân V = ()X,Y , vôùi X, Y ñoäc laäp, X ∼ P(μX ) vaø Y ∼ P(μY ) . a) Tính xaùc suaát PX()+= Y n, b) Tính xaùc suaát PX()=+= kX Y n. Giaûi a) Ta coù n PXYn()(+= =∑ PXk;Ynk = =− ). k0= Do X, Y ñoäc laäp, X ∼ P(μX ) vaø Y ∼ P(μY ) , neân PX( ==−== k;Y n k) PX( kPY) ( =− n k) μμknk− = ee−μXYXY −μ k!() n− k ! Töø ñoù suy ra n μμknk− P(X+= Y n) =∑ e−μXYXY e −μ = k0= k!() n− k ! nnknk− −μ()XY +μ −μ() +μ μμ e kk nk− ==μμeCXY XY ∑∑nXY k0==k!() n− k ! n! k0 n −μ() +μ ()μ+μXY = e.XY n! b) Töø coâng thöùc xaùc suaát coù ñieàu kieän PX()=+= k;X Y n PX( ==− k;Y n k) PX()=+== kX Y n = PX()+= Y n PX() += Y n PX()()==− kPY n k = , PX()+= Y n ta ñöôïc μμknk− ee−μXYXY⋅ −μ k! (n− k)! PX()=+== kX Y n n −μ +μ ()μ+μ e ()XY XY n! nk− k k ⎛⎞⎛⎞μμYX =⋅C.n ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠μ+μXY μ+μ XY 45
  48. Baøi 7. Ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy do moät maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình μ= 50 mm vaø ñoä leäch chuaån σ = 0.05 mm. Chi tieát maùy ñöôïc xem laø ñaït yeâu caàu neáu ñöôøng kính khoâng sai quaù 0.1mm. a) Tính tyû leä saûn phaåm ñaït yeâu caàu. b) Laáy ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm ñaït yeâu caàu. Giaûi Goïi X laø ñöôøng kính cuûa chi tieát maùy thì X ∼ N(μ ;σ2 ) , vôùi μ = 50 mm vaø σ=0.05 mm. a) Xeùt bieán coá A : “nhaän ñöôïc saûn phaåm ñaït yeâu caàu”, ta coù PA()=≤≤ P49.9X( 50.1) . X −μX50 − Maët khaùc, neáu ta ñaët Y == , thì Y ∼ N(0;1) . Do ñoù σ 0.05 ⎛⎞49.9−− 50 X 50 50.1 − 50 P() 49.9≤≤ X 50.1 = P ⎜⎟ ≤ ≤ ⎝⎠0.05 0.05 0.05 =−≤≤=ϕ−ϕ−=ϕP2Y2( ) () 2 ( 2 ) 22 () = 0.9544. Vaäy xaùc suaát ñeå nhaän ñöôïc saûn phaåm ñaït yeâu caàu laø 95.44%. b) Goïi X laø soá saûn phaåm ñaït yeâu caàu trong 3 saûn phaåm laáy ra thì X ∼ B( 3; 0.9544) . Suy ra xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät saûn phaåm ñaït yeâu caàu laø PX( ≥=− 1) 1 PX( = 0) 3 0 0 =−1 C3 ()() 0.9544 1 − 0.9544 =−1() 0.04563 = 0.9999. Baøi 8. Troïng löôïng X (tính baèng gam) moät loaïi traùi caây coù phaân phoái chuaån N(μ ;σ2 ) , vôùi μ=500(gam) vaø σ=2216(gam ) . Traùi caây thu hoaïch ñöôïc phaân loaïi theo troïng löôïng nhö sau : a) loaïi 1 : treân 505 gam, b) loaïi 2 : töø 495 ñeán 505 gam, c) loaïi 3 : döôùi 495 gam. Tính tyû leä moãi loaïi. Giaûi X − 500 Goïi X laø troïng löôïng traùi caây thì X ∼ N(μσ ;22) = N( 500; 4 ) . Vôùi Y = thì 4 Y ∼ N0;1(). Do ñoù a) Tyû leä traùi caây loaïi 1 laø ⎛⎞X −−500 505 500 P() X>= 505 P ⎜⎟ > ⎝⎠44 =>P()()()() Y 1.25 =ϕ+∞−ϕ=−ϕ 1.25 0.5 1.25 = 0.10565. b) Tyû leä traùi caây loaïi 2 laø 46
  49. ⎛⎞495−− 500 X 500 505 − 500 P() 495≤≤ X 505 = P ⎜⎟ ≤ ≤ ⎝⎠444 =−P() 1.25 ≤≤ Y 1.25 = 0.7887. c) Vaø tyû leä cuûa loaïi 3 laø X −−500 495 500 P() X<= 495 P( < ) 44 =<−=ϕ−−ϕ−∞P()()() Y 1.25 1.25 =−ϕ()1.25 + 0.5 = 0.10565. Vaäy, traùi caây thu hoaïch ñöôïc coù khoaûng 11% loaïi 1, 78% loaïi 2 vaø 11% loaïi 3. B. BAØI TAÄP. Baøi 1. Coù 8000 saûn phaåm trong ñoù coù 2000 saûn phaåm khoâng ñaït tieâu chuaån kyõ thuaät. Laáy ngaãu nhieân (khoâng hoaøn laïi) 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 10 saûn phaåm laáy ra coù 2 saûn phaåm khoâng ñaït tieâu chuaån. Ñaùp soá : 0.282 . Baøi 2. Ñöôøng kính cuûa moät loaïi chi tieát do moät maùy saûn xuaát coù phaân phoái chuaån, kyø voïng 20mm, phöông sai (0, 2mm)2 . Laáy ngaãu nhieân 1 chi tieát maùy. Tính xaùc suaát ñeå a) coù ñöôøng kính trong khoaûng 19,9mm ñeán 20,3mm, b) coù ñöôøng kính sai khaùc vôùi kyø voïng khoâng quaù 0,3mm. Ñaùp soá : a) 0.6247 . b) 0.8664 . Baøi 3. Moät maùy deät coù 4000 oáng sôïi. Xaùc suaát ñeå moãi oáng sôïi bò ñöùt trong 1 phuùt laø 0,0005. Tính xaùc suaát ñeå trong 1 phuùt a) coù 3 oáng sôïi bò ñöùt, b) coù ít nhaát 2 oáng sôïi bò ñöùt. Ñaùp soá : a) 0.18 . b) 0.595 . Baøi 4. Moät cöûa haøng cho thueâ xe oâtoâ nhaän thaáy raèng soá ngöôøi ñeán thueâ xe oâtoâ vaøo ngaøy thöù baûy cuoái tuaàn laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù phaân phoái Poisson vôùi tham soá λ=2 . Giaû söû cöûa haøng coù 4 chieác oâtoâ. Haõy Tìm xaùc suaát ñeå a) khoâng phaûi taát caû 4 chieác oâtoâ ñeàu ñöôïc thueâ, b) taát caû 4 chieác oâtoâ ñeàu ñöôïc thueâ, c) cöûa haøng khoâng ñaùp öùng ñöôïc yeâu caàu, d) trung bình coù bao nhieâu oâtoâ ñöôïc thueâ, e) cöûa haøng caàn coù ít nhaát bao nhieâu oâtoâ ñeå xaùc suaát khoâng ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu thueâ beù hôn 2%. Ñaùp soá : a) 0.857 . b) 0.1429. c) 0.0527 . d) 2 . e) 5. 47
  50. Baøi 5. Moät toång ñaøi böu ñieän coù caùc cuoäc ñieän thoaïi goïi ñeán xuaát hieän ngaãu nhieân, ñoäc laäp vôùi nhau vaø coù toác ñoä trung bình 2 cuoäc goïi trong 1 phuùt. Tìm xaùc suaát ñeå a) coù ñuùng 5 cuoäc ñieän thoaïi trong 2 phuùt, b) khoâng coù cuoäc ñieän thoaïi naøo trong khoaûng thôøi gian 30 giaây, c) coù ít nhaát 1 cuoäc ñieän thoaïi trong khoaûng thôøi gian 10 giaây. Ñaùp soá : a) 0.1563. b) 0.3679. c) 0.284 . Baøi 6. Tyû leä cöû tri uûng hoä öùng cöû vieân A trong moät cuoäc baàu cöû laø 60%. Ngöôøi ta hoûi yù kieán 20 cöû tri ñöôïc choïn moät caùch ngaãu nhieân. Goïi X laø soá ngöôøi boû phieáu cho A trong 20 ngöôøi ñoù. a) Tìm giaù trò trung bình, ñoä leäch chuaån vaø Mod cuûa X. b) Tìm PX( ≤ 10) . c) Tìm PX( > 12) . d) Tìm PX( = 11) . Ñaùp soá : a) μX = 12 , σ=X 2.191, Mod[ X] = 12 . b) 0.245 . c) 0.416 . d) 0.16 . Baøi 7. Xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát ra pheá phaåm laø 0.02. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 10 saûn phaåm do maùy saûn xuaát coù khoâng quaù 1 pheá phaåm. b) Moät ngaøy maùy saûn xuaát ñöôïc 250 saûn phaåm. Tìm soá pheá phaåm trung bình vaø soá pheá phaåm tin chaéc nhaát cuûa maùy ñoù trong moät ngaøy. Ñaùp soá : a) 0.98 . b) Soá pheá phaåm trung bình = 5, soá pheá phaåm tin chaéc nhaát = 5. Baøi 8. Moät maùy saûn xuaát ra saûn phaåm loaïi A vôùi xaùc suaát 0.485. Tính xaùc suaát sao coù trong 200 saûn phaåm do maùy saûn xuaát ra coù ít nhaát 95 saûn phaåm loaïi A. Ñaùp soá : 0.6103. Baøi 9. Xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát ra saûn phaåm loaïi A laø 0.25. Tính xaùc suaát ñeå trong 80 saûn phaåm do maùy saûn xuaát ra coù töø 25 ñeán 30 saûn phaåm loaïi A. Ñaùp soá : 0.0936. Baøi 10. Gieo 100 haït gioáng cuûa moät loaïi noâng saûn. Xaùc suaát naûy maàm cuûa moãi haït laø 0.8. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 90 haït naûy maàm. Ñaùp soá : 0.0062. Baøi 11. Moät soït cam coù 10 traùi trong ñoù coù 4 traùi hö. Laáy ngaãu nhieân ra 3 traùi. a) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 3 traùi hö. b) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1 traùi hö c) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc ít nhaát 1 traùi hö. d) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc nhieàu nhaát 2 traùi hö. 48
  51. Ñaùp soá : a) 0.033 . b) 0.5 . c) 0.83 . d) 0.967 . Baøi 12. Giaû söû tyû leä daân cö maéc beänh A trong vuøng laø 10%. Choïn ngaãu nhieân 1 nhoùm 400 ngöôøi. a) Vieát coâng thöùc tính xaùc suaát ñeå trong nhoùm coù nhieàu nhaát 50 ngöôøi maéc beänh A. b) Tính xaáp xæ xaùc suaát ñoù baèng phaân phoái chuaån. Ñaùp soá : a) 0.9564 . b) 0.9525. Baøi 13. Moät nhaø xaõ hoäi hoïc cho raèng 12% soá daân cuûa thaønh phoá öa thích moät boä phim A môùi chieáu treân tivi. Ñeå khaúng ñònh döï ñoaùn naøy, oâng ta choïn moät maãu ngaãu nhieân goàm 500 ngöôøi ñeå hoûi yù kieán vaø thaáy 75 ngöôøi traû lôøi öa thích boä phim ñoù. Tính xaùc suaát ñeå trong moät maãu ngaãu nhieân goàm 500 ngöôøi, soá ngöôøi öa thích boä phim ít nhaát laø 75 neáu giaû thuyeát p = 12% laø ñuùng. Ñaùp soá : a) 0.0233. b) 0.9525. Baøi 14. Cho X vaø Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp. 1 1 a) Giaû söû X ∼ B1;( 5 ) ; Y ∼ B2;( 5 ) . Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X + Y vaø kieåm tra 1 raèng ()X + YB3;∼ ( 5 ) . 1 1 b) Giaû söû X ∼ B1;( 2 ) ; Y ∼ B2;()5 . Tìm phaân boá xaùc suaát cuûa X + Y. Chöùng minh raèng X + Y khoâng coù phaân boá nhò thöùc. Ñaùp soá : a) X+Y 0 1 2 3 64 48 12 1 P 125 125 125 125 b) Z 0 1 2 3 16 24 9 1 P 50 50 50 50 Baøi 15. Xaùc suaát ñeå moät con gaø ñeû trong ngaøy laø 0,6. Nuoâi 5 con. 1) Tính xaùc suaát ñeå trong moät ngaøy : a) khoâng con naøo ñeû, b) caû 5 con ñeû, c) coù ít nhaát 1 con ñeû, d) coù ít nhaát 2 con ñeû. 2) Neáu muoán moãi ngaøy coù trung bình 100 tröùng thì phaûi nuoâi bao nhieâu con gaø. Ñaùp soá : 1) a) 0.01024 , b) 0.07776 , c) 0.98976 , d) 0.91296 . 2) 167 con. Baøi 16. Saûn phaåm sau khi hoaøn taát ñöôïc ñoùng thaønh kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm vôùi tyû leä thöù phaåm laø 20%. Tröôùc khi mua haøng, khaùch haøng muoán kieåm tra baèng caùch töø moãi kieän choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. a) Tìm luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa soá saûn phaåm toát trong 3 saûn phaåm laáy ra. 49
  52. b) Neáu caû 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra ñeàu laø saûn phaåm toát thì khaùch haøng seõ ñoàng yù mua kieän haøng ñoù. Tính xaùc suaát ñeå khi kieåm tra 100 kieän coù ít nhaát 60 kieän ñöôïc mua. Ñaùp soá : a) Goïi X laø soá saûn phaåm toát trong 3 saûn phaåm laáy ra, X ∼ H( 10; 8; 3) , X 0 1 2 3 P 0 0.066 0.467 0.467 b) 0.0038. Baøi 17. Xaùc suaát truùng soá laø 1%. Moãi tuaàn mua moät veù soá. Hoûi phaûi mua veù soá lieân tieáp trong toái thieåu bao nhieâu tuaàn ñeå coù khoâng ít hôn 95% hy voïng truùng soá ít nhaát 1 laàn. (cho lg 99== 1, 9956; lg 5 0, 6990) Ñaùp soá : 296 tuaàn. Baøi 18. Böu ñieän duøng moät maùy töï ñoäng ñoïc ñòa chæ treân bì thö ñeå phaân loaïi töøng khu vöïc gôûi ñi, maùy coù khaû naêng ñoïc ñöôïc 5000 bì thö trong 1 phuùt. Khaû naêng ñoïc sai 1 ñòa chæ treân bì thö laø 0,04% (xem nhö vieäc ñoïc 5000 bì thö naøy laø 5000 pheùp thöû ñoäc laäp). a) Tính soá bì thö trung bình moãi phuùt maùy ñoïc sai. b) Tính soá bì thö tin chaéc nhaát trong moãi phuùt maùy ñoïc sai. c) Tính xaùc suaát ñeå trong moät phuùt maùy ñoïc sai ít nhaát 3 bì thö. Ñaùp soá : a) 2. b) 2. c) 0.3233. Baøi 19. Xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát ra moät pheá phaåm laø 0.001. Tính xaùc suaát ñeå trong 4000 saûn phaåm do maùy naøy saûn xuaát ra coù khoâng quaù 5 pheá phaåm. Ñaùp soá : 0.7851. Baøi 20. Taïi moät ñieåm baùn veù maùy bay, trung bình trong 10 phuùt coù 4 ngöôøi ñeán mua veù. Tính xaùc suaát ñeå: a) Trong 10 phuùt coù 7 ngöôøi ñeán mua veù. b) Trong 10 phuùt coù khoâng quaù 3 ngöôøi ñeán mua veù. Ñaùp soá : a) 0.0596. b) 0.4335. Baøi 21. Laõi suaát (%) ñaàu tö vaøo moät döï aùn naêm 2000 ñöôïc coi nhö 1 ñaïi löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo quy luaät chuaån. Theo ñaùnh giaù cuûa uyû ban ñaàu tö thì laõi suaát cao hôn 20% coù xaùc suaát 0,1587, vaø laõi suaát cao hôn 25% coù xaùc suaát laø 0,0228. Vaäy khaû naêng ñaàu tö maø khoâng bò thua loã laø bao nhieâu?. Ñaùp soá : 0.5 . Baøi 22. Ñoä daøi cuûa moät chi tieát maùy ñöôïc tieän ra coù phaân phoái chuaån N(μ cm; (0, 2cm)2 ) . Saûn phaåm coi laø ñaït neáu ñoä daøi sai leäch so vôùi ñoä daøi trung bình khoâng quaù 0,3cm. a) Tính xaùc suaát choïn ngaãu nhieân 1 saûn phaåm thì ñöôïc saûn phaåm yeâu caàu. b) Choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát coù ít nhaát 2 saûn phaåm ñaït yeâu caàu . Ñaùp soá : a) 0.8664 . b) 0.9512. Baøi 23. Troïng löôïng cuûa 1 loaïi traùi caây coù quy luaät phaân phoái chuaån vôùi troïng löôïng trung bình laø 250g, ñoä leäch chuaån veà troïng löôïng laø 5g. Moät ngöôøi laáy 1 traùi töø trong soït traùi caây ra. a) Tính xaùc suaát ngöôøi naøy laáy ñöôïc traùi loaïi 1 (traùi loaïi 1 laø traùi coù troïng löôïng > 260g). 50
  53. b) Neáu laáy ñöôïc traùi loaïi 1 thì ngöôøi naøy seõ mua soït ñoù. Ngöôøi naøy kieåm tra 100 soït, tính xaùc suaát mua ñöôïc 6 soït. Ñaùp soá : a) 0.1587 . b) 0.0029. Baøi 24. Moät coâng ty kinh doanh maët haøng A döï ñònh seõ aùp duïng moät trong 2 phöông aùn kinh doanh. Kyù hieäu X1 laø lôïi nhuaän thu ñöôïc khi aùp duïng phöông aùn thöù 1, X2 laø lôïi nhuaän thu ñöôïc khi aùp duïng phöông aùn thöù 2. X1 , X2 ñeàu ñöôïc tính theo ñôn vò trieäu ñoàng/ thaùng) vaø X1 ∼ N() 140, 2500 , X2 ∼ N() 200, 3600 . Neáu bieát raèng, ñeå coâng ty toàn taïi vaø phaùt trieån thì lôïi nhuaän thu ñöôïc töø maët haøng kinh doanh A phaûi ñaït ít nhaát 80 trieäu ñoàng/thaùng. Haõy cho bieát coâng ty neân aùp duïng phöông aùn naøo ñeå kinh doanh maët haøng A? Vì sao?. Ñaùp soá : P( X1 ≥= 80) 0.8849, P( X2 ≥= 80) 0.9772 , neân ta choïn phöông aùn thöù 2. Baøi 25. Coù hai thò tröôøng A vaø B, laõi suaát cuûa coå phieáu treân hai thò tröôøng naøy laø caùc bieán ngaãu nhieân phaân phoái chuaån, ñoäc laäp vôùi nhau, coù kyø voïng vaø phöông sai ñöôïc cho trong baûng döôùi ñaây: Trung bình Phöông sai Thò tröôøng A 19% 36 Thò tröôøng B 22% 100 Neáu muïc ñích laø ñaït laõi suaát toái thieåu baèng 10% thì neân ñaàu tö vaøo loaïi coå phieáu naøo? Ñaùp soá : Neân ñaàu tö vaøo loaïi coå phieáu treân thò tröôøng A. Baøi 26. Nghieân cöùu chieàu cao cuûa nhöõng ngöôøi tröôûng thaønh, ngöôøi ta nhaän thaáy raèng chieàu cao ñoù tuaân theo quy luaät phaân boá chuaån vôùi trung bình laø 175cm vaø ñoä leäch tieâu chuaån 4cm. Haõy xaùc ñònh : a) tyû leä ngöôøi tröôûng thaønh coù taàm voùc treân 180cm, b) tyû leä ngöôøi tröôûng thaønh coù chieàu cao töø 166cm ñeán 177cm, c) Tìm h0 , neáu bieát raèng 33% ngöôøi tröôûng thaønh coù taàm voùc döôùi möùc h0 , d) giôùi haïn bieán ñoäng chieàu cao cuûa 90% ngöôøi tröôûng thaønh xung quanh giaù trò trung bình cuûa noù. Ñaùp soá : a) 0.1056. b) 0.6793. c) 173.24 . d) 6.6 . Baøi 27. Chieàu daøi cuûa chi tieát ñöôïc gia coâng treân maùy töï ñoäng laø bieán ngaãu nhieân tuaân theo quy luaät phaân phoái chuaån vôùi ñoä leäch tieâu chuaån laø 0.01mm. Chi tieát ñöôïc coi laø ñaït tieâu chuaån neáu kích thöôùc thöïc teá cuûa noù sai leäch so vôùi kích thöôùc trung bình khoâng vöôït quaù 0.02mm. a) Tìm tyû leä chi tieát khoâng ñaït tieâu chuaån. b) Xaùc ñònh ñoä ñoàng ñeàu (phöông sai) caàn thieát cuûa saûn phaåm ñeå tyû leä chi tieát khoâng ñaït tieâu chuaån chæ coøn 1%. Ñaùp soá : a) 0.9544 . b) 0.032 . Baøi 28. Troïng löôïng X cuûa moät loaïi traùi caây ôû noâng tröôøng ñöôïc bieát coù kyø voïng 250gr vaø phöông sai 81 ()gr 2 . Traùi caây ñöôïc ñoùng thaønh soït, moãi soït 100 traùi. Moãi soït ñöôïc goïi laø loaïi A neáu troïng löôïng khoâng döôùi 25kg. Kieåm tra ngaãu nhieân 100 soït. Tính xaùc suaát : 51
  54. a) coù nhieàu nhaát 30 soït loaïi A, b) ít nhaát 10 soït loaïi A. Ñaùp soá : a) 0.8413. b) 0.9987 . Baøi 29. Moät traïm cho thueâ xe Taxi coù 3 chieác xe. Haøng ngaøy traïm phaûi noäp thueá 8USD cho 1 chieác xe (baát keå xe ñoù coù ñöôïc thueâ hay khoâng). Moãi chieác ñöôïc cho thueâ vôùi giaù 20USD. Giaû söû soá xe ñöôïc yeâu caàu cho thueâ cuûa traïm trong 1 ngaøy laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái Poisson vôùi μ=2, 8 . a) Tính soá tieàn trung bình traïm thu ñöôïc trong moät ngaøy. b) Giaûi baøi toaùn treân trong tröôøng hôïp traïm coù 4 chieác xe. c) Theo baïn, traïm neân coù 3 hay 4 chieác xe ? 52
  55. Chöông 4 MAÃU THOÁNG KEÂ & ÖÔÙC LÖÔÏNG THAM SOÁ A. BAØI TAÄP MAÃU Baøi 1. Ño löôïng cholesterol (ñôn vò mg%) cho moät soá ngöôøi, ta ñöôïc X(mg%) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Soá ngöôøi 2 4 5 6 4 3 a) Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch chuaån SX . b) Moät maãu thöù nhì Y coù 30 ngöôøi cho Y = 180 mg% , S16Y = mg% . Nhaäp hai maãu laïi, tính trung bình vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu nhaäp. Giaûi a) Tính trung bình maãu μX vaø ñoä leäch chuaån S.X X(mg%) 155 165 175 185 195 205 Soá ngöôøi 2 4 5 6 4 3 X =μX =181.25 , SX = 14.98 , n= 24 . b) Moät maãu thöù nhì Y coù 30 ngöôøi cho μY = 180mg% , S16mg%Y = . Nhaäp hai maãu laïi vaø goïi Z laø maãu nhaäp. Ta coù côõ maãu nhaäp laø N243054= += ngöôøi vaø trung bình cuûa maãu nhaäp laø 24μ+ 30 μ 24×+× 181.25 30 180 μ=XY = =180.55 . Z 54 54 Ñeå tính ñoä leäch chuaån maãu nhaäp, ta duøng coâng thöùc 1 SZNZ222=−, Z N1− (∑ ) trong ñoù Z=μ = 180.55 vaø ZXY222=+. Z ∑∑∑ Maët khaùc, töø maãu cuûa X, ta coù ∑ X2 = 793598,71. Vôùi maãu Y, do 1 SYnY222=−, YY()∑ n1Y − ta suy ra Y222=−n 1 S + n Y =×+× 29 1622 30 180 = 979424 . ∑ ()YYY () ( ) Do ñoù 1 2 S2 =+−×=()() 793598,71 979424 54 180.55 239.89 , Z 53 ( ) neân S15,48mg%Z = . 53
  56. Baøi 2. Coù 3 maãu quan saùt söùc naëng con ngöôøi, keát quaû ghi nhaän Laàn quan saùt Trung bình Ñoä leäch Maãu 1 70 55kg 8.30kg Maãu 2 75 57kg 8.60kg Maãu 3 90 54kg 8.50kg Nhaäp chung 3 maãu laïi, tính trung bình vaø ñoä leäch maãu nhaäp. Döïa vaøo maãu nhaäp ñeå öôùc löôïng trung bình cuûa toång theå ôû ñoä tin caäy 95% vaø 99%. Giaûi Goïi X1 , X2 vaø X3 laàn löôït laø bieán soá ngaãu nhieân cho bôûi caùc maãu 1, 2 vaø 3. Ta coù Maãu 1 coù côõ maãu n70= , trung bình X = 55 , ñoä leäch S8.3= , 1 1 X1 Maãu 2 coù côõ maãu n75= , trung bình X = 57 , ñoä leäch S8.6= , 2 2 X2 Maãu 3 coù côõ maãu n90= , trung bình X = 54 , ñoä leäch S8.5= . 3 3 X3 Töø ñoù, vôùi X chæ maãu nhaäp, ta coù côõ maãu n= n123++= n n 235, trung bình 11 X ==XXXX ++ nn∑∑∑∑( 123) 1 =++()nX11 nX 22 nX 33 n 70×+×+× 55 75 57 90 54 ==55.25. 235 Ñeå tính ñoä leäch cho X, ta duøng coâng thöùc 1 SXnX222=−, X n1− (∑ ) trong ñoù X2222=++XXX. ∑∑∑∑123 Maø X222=−()n1SnX + , ∑ ii Xiii vôùi i= 1,2,3, neân ta coù X222=×69 (8.3) +× 70 55 = 216503.41 , ∑ 1 X222=×74 (8.6) +× 75 57 = 249148.04 , ∑ 2 X 222=×89 (8.5) +× 90 54 = 268870.25 . ∑ 3 Töø ñoù suy ra ()()216503.41++ 249148.04 268870.25 −× 235 55.25 2 S2 = X 234 = 73.37. Ñoä leäch : S8.56kgX = . 54
  57. Goïi μ laø trung bình toång theå caàn öôùc löôïng. Ta coù ()Xn−μ TSt(n1)=−∼ , SX nghóa laø (55.25−μ) 235 T=≡∼ St(234) N() 0;1 . 8.56 8.56 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta ñöôïc C= 1.96 , vaø μ=55.25 ± 1.96 × . Neân ta coù khoaûng öôùc 235 löôïng cho μ laø []54.364;56.136 8.56 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.99 , ta tìm ñöôïc C= 2.58 , vaø μ=55.25 ± 2.58 × , neân ta tìm ñöôïc 235 khoaûng öôùc löôïng cho μ laø []53.81;56.69 . Baøi 3. Ño ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy do moät maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát, ta ghi nhaän ñöôïc soá lieäu nhö sau: X 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40 N 2 3 7 9 10 8 6 5 3 vôùi N chæ soá tröôøng hôïp tính theo töøng giaù trò cuûa X (mm). a) Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch chuaån SX cuûa maãu. b) Öôùc löôïng ñöôøng kính trung bình μ ôû ñoä tin caäy 0.95. c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε = 0.02mm ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp. Giaûi a) Ta ñöôïc côõ maãu n53= , trung bình X = 12.21 , ñoä leäch S0.103X = . b) Ta duøng thoáng keâ (Xn−μ) TStn1=−∼ (). SX Vôùi soá lieäu maãu, ta coù (12.21−μ) 53 TSt52N0;1=≡∼ () ( ). 0.103 ÔÛ ñoä tin caäy γ= 0.95, ta tìm ñöôïc C1.96= . Do ñoù öôùc löôïng ñöôøng kính trung bình μ cho bôûi S 0.103 μ=X ± CX = 12.21 ± 1.96 × , n53 vaø ta nhaän ñöôïc khoaûng öôùc löôïng []12.18;12.24 . c) Do sai soá cuûa öôùc löôïng laø CSX neân neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε=0.02mm , n ta phaûi coù 55
  58. S C X ≤ε. n Vôùi ñoä tin caäy 0.95, thì C= 1.96 vaø ta nhaän ñöôïc baát phöông trình 2 2 ⎛⎞SX ⎛⎞0.103 n≥=⎜⎟ C⎜⎟ 1.96 = 101.89 . ⎝⎠ε ⎝⎠0.02 Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 102 tröôøng hôïp. Baøi 4. Ñem caân moät soá traùi caây vöøa thu hoaïch, ta ñöôïc keát quaû sau X (gam) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 Soá traùi 12 17 20 18 15 a) Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa troïng löôïng trung bình μ cuûa traùi caây vôùi ñoä tin caäy 0.95 vaø 0.99 b) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε = 2gam ôû ñoä tin caäy 99% thì phaûi quan saùt ít nhaát bao nhieâu traùi ? c) Traùi caây coù khoái löôïng X ≥ 230gam ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. Haõy tìm khoaûng öôùc löôïng cho tyû leä p cuûa traùi caây loaïi A ôû ñoä tin caäy 0.95 vaø 0.99. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.04 ôû ñoä tin caäy 0.99 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp ? Giaûi a) Töø soá lieäu cuûa maãu, ta coù n82= , X = 225.854 , SX = 13.259 . Ñeå tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình toång theå μ khi chöa bieát phöông sai toång theå, ta duøng thoáng keâ ()Xn−μ TStn1=−∼ (). SX Nhaän ñöôïc töø boä soá lieäu cuûa maãu, ta coù (225.854−μ) 82 TSt81N0;1=≡∼ () ( ). 13.259 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta nhaän ñöôïc C1.96= . Neân öôùc löôïng cuûa troïng löôïng trung bình μ cho bôûi S 13.259 μ=X ± CX = 225.854 ± 1.96 × . n82 Ta coù khoaûng öôùc löôïng laø []222.98; 228.72 . Töông töï, vôùi ñoä tin caäy γ= 0.99, ta tìm ñöôïc C= 2.58 . Töø ñoù ta suy ra khoaûng öôùc löôïng laø []222.08; 229.63 . S b) Do sai soá cuûa öôùc löôïng laø C X neân neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε= 2 gam, ta n phaûi coù S C X ≤ε . n ÔÛ ñoä tin caäy 99% thì C2.58= , ta coù baát phöông trình 56
  59. 22 ⎛⎞SX ⎛⎞ 13.259 n≥=⎜⎟ C⎜⎟ 2.58 = 292.551. ⎝⎠ε ⎝⎠2 Nhö vaäy, caàn phaûi quan saùt ít nhaát 293 traùi. c) Töø boä soá lieäu, ta coù taàn soá traùi caây loaïi A laø 18+ 15 f== 0.4024 . 82 Ñeå öôùc löôïng tyû leä p traùi caây loaïi A cuûa toång theå, ta duøng thoáng keâ (fpn− ) TSt(n1)=−∼ , f(1− f) nghóa laø (0.4024− p) 82 TSt(81)N(0;1)=≡∼ . 0.4024× 0.5976 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta tìm ñöôïc C= 1.96 vaø do ñoù 0.4024× 0.5976 p=±× 0.4024 1.96 . 82 Ta ñöôïc khoaûng öôùc löôïng cho tyû leä p cuûa traùi caây loaïi A []0.296; 0.509 . Ta coù sai soá cuûa öôùc löôïng laø f(1− f) ε=C . n Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.99 , ta ñöôïc C= 2.58 neân vôùi döõ lieäu cho, ñeå sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε=0.04 ôû ñoä tin caäy 0.99, ta nhaän ñöôïc baát phöông trình 0.4024× 0.5976 2.58×≤ 0.04 . n Töø ñoù suy ra n≥ 1000.43 , nghóa laø phaûi quan saùt ít nhaát 1001 tröôøng hôïp. Baøi 5. Ngöôøi ta ño ion Na+ treân moät soá ngöôøi vaø ghi nhaän laïi ñöôïc keát quaû nhö sau 129, 132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140 2 a) Tính trung bình maãu X vaø phöông sai maãu SX . b) Öôùc löôïng trung bình μ vaø phöông sai σ2 cuûa toång theå ôû ñoä tin caäy 0.95. c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng trung bình khoâng quaù ε = 1 vôùi ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùt maãu goàm ít nhaát maáy ngöôøi ? Giaûi a) Töø caùc soá lieäu nhaän ñöôïc cuûa maãu, ta coù 2 n12= , X = 137.83, SX = 19.42 , vaø S4.41X = . b) Ñeå öôùc löôïng trung bình μ , ta duøng thoáng keâ (Xn−μ) TStn1=−∼ (), SX 57
  60. nghóa laø (137.83−μ) 12 TSt11= ∼ (). 4.41 11 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta coù C== t0.05 2.201. Ta deã daøng tìm ñöôïc khoaûng öôùc löôïng cho trung bình μ laø []135.01;140.63 . Ñeå öôùc löôïng phöông sai toång theå khi chöa bieát trung bình cuûa toång theå, ta duøng thoáng keâ (n− 1)S2 Y =χ−X ∼ 2 (n 1) , σ2 nghóa laø 11× ( 19.42) Y =χ∼ 2 ()11 . σ2 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95, ta tìm ñöôïc a vaø b sao cho 1 −γ PY()()≤= a PY ≥= b . 2 Töø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa phaân phoái Chi-Bình phöông, ta tìm ñöôïc 2 2 a≡χ1+γ = 3.816 , vaø b≡χ1−γ = 21.92 . 2 2 Do ñoù (n− 1)S2 3.816≤≤X 21.92 , σ2 vaø ta nhaän ñöôïc baát ñaúng thöùc 11××() 19.42 11( 19.42) ≤σ2 ≤ 21.92 3.816 Töø ñoù suy ra öôùc löôïng cho phöông sai toång theå laø [9.76;56.1] . S c) Sai soá cuûa öôùc löôïng trung bình cho bôûi C X , neân ñeå sai soá naøy khoâng quaù ε= 1 , ta giaûi n baát phöông trình S C1X ≤ε= . n Suy ra 2 2 ⎛⎞SX ⎛⎞4.41 n≥=⎜⎟ C⎜⎟ 2.201 = 94.2 . ⎝⎠ε ⎝⎠1 Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 95 ngöôøi. Baøi 6. Quan saùt tuoåi thoï X (giôø) cuûa moät soá boùng ñeøn do xí nghieäp A saûn xuaát, ta ghi nhaän X 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 N 10 14 16 17 18 16 16 12 9 vôùi N chæ soá tröôøng hôïp theo töøng giaù trò cuûa X. a) Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch chuaån maãu S.X 58
  61. b) Öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn ôû ñoä tin caäy 0.95. c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε = 30 giôø vôùi ñoä tin caäy 0.99 thì phaûi quan saùt maãu goàm ít nhaát maáy boùng ñeøn ? Giaûi a) Töø baûng soá lieäu cuûa maãu, ta coù n= 128 , X = 1391.41 vaø SX = 234.45 . b) Ñeå öôùc löôïng trung bình tuoåi thoï cuûa boùng ñeøn, ta duøng thoáng keâ ()Xn−μ TStn1=−∼ (). SX Döïa theo boä soá lieäu cuûa thoáng keâ, ta nhaän ñöôïc (1391.41−μ) 128 T=≡∼ St() 127 N () 0;1 . 234.45 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta tìm ñöôïc C= 1.96 vaø do ñoù öôùc löôïng cuûa trung bình cho bôûi S 234.45 μ=X ± CX = 1391.41 ± 1.96 × . n 128 Ta ñöôïc khoaûng öôùc löôïng cho tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn laø []1350.79;1432.03 . S c) Sai soá cuûa öôùc löôïng cho bôûi C X , neân ñeå sai soá khoâng quaù 30 giôø, ta coù n S 234.45 CX =× 1.96 ≤ 30 , nn Giaûi baát phöông trình treân, ta tìm ñöôïc n= 234.63. Vaäy, phaûi quan saùt ít nhaát 235 boùng ñeøn. Baøi 7. Ta muoán öôùc löôïng tyû leä vieân thuoác bò söùc meû p trong moät loâ thuoác lôùn. a) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.01 vôùi ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân ? b) Quan saùt ngaãu nhieân 200 vieân, thaáy coù 18 vieân bò söùt meû. Haõy öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy 0.95. Khi ñoù, neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.01 vôùi ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân ? Giaûi a) Ñeå öôùc löôïng tyû leä thuoác, p, bò söùt meû trong toång theå, ta duøng thoáng keâ (fpn− ) TSt(n1)=−∼ , f(1− f) nghóa laø f1f()− pfC=± n . 1 1 Hôn nöõa, töø nhaän xeùt raèng haøm soá yx1x= ( − ) ñaït giaù trò lôùn nhaát laø 4 taïi ñieåm x = 2 , ta coù theå vieát 59
  62. 1 2 2 Cf12 − f C C ()≤=4 . ε2 ε224ε Do ñoù, ta coù theå choïn côõ maãu C2 n ≥ . 4ε2 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta tìm ñöôïc C= 1.96 vaø do ñoù 2 C1.962 ⎛⎞ n≥=2 ⎜⎟ = 9604 . 420.01ε⋅⎝⎠ Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 9604 vieân thuoác. 18 b) Theo giaû thuyeát, ta coù taàn soá cuûa thuoác bò söùt meû laø f0.09==. Vôùi ñoä tin caäy 200 γ=0.95 , ta coù f (1−⋅ f ) 0.09 0.91) p=± f C = 0.09 ± 1.96 . n 200 Vaø ta coù khoaûng öôùc löôïng p vôùi ñoä tin caäy 0.95 laø [0.051; 0.13] f(1− f) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.01 , ta coù baát phöông trình C ≤ε. Suy ra n 2 0.09(1− 0.09) n≥=() 1.96 3146.27 . ()0.01 2 Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 3147 vieân thuoác. Baøi 8. Quan saùt chieàu cao X (cm) cuûa moät soá ngöôøi, ta ghi nhaän X(cm) 140-145 145-150150-155 155-160 160-165 165-170 Soá ngöôøi 1 3 7 9 5 2 2 a) Tính X vaø S.X b) Öôùc löôïng μ vaø σ2 ôû ñoä tin caäy 0.95. Giaûi a) Ta coù baûng taàn soá xuaát hieän soá lieäu nhö sau X(cm) 142.5 147.5152.5 157.5 162.5 167.5 Soá ngöôøi 1 3 7 9 5 2 Do ñoù, ta nhaän ñöôïc 2 n27= , X = 156.2 , S37.68X = , vaø S6.14X = . b) Ñeå öôùc löôïng trung bình μ , ta duøng thoáng keâ (Xn−μ) TStn1=−∼ (), SX nghóa laø 60
  63. (156.2−μ) 27 TSt26= ∼ (). 6.14 26 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95, ta coù C== t0.05 2.056 . Vaø do ñoù öôùc löôïng cuûa trung bình cho bôûi S 6.14 μ=X ± CX = 156.2 ± 2.056 × . n27 Ta tìm ñöôïc khoaûng öôùc löôïng cho trung bình μ laø [153.77;158.63] . Ñeå öôùc löôïng phöông sai toång theå khi chöa bieát trung bình cuûa toång theå, ta duøng thoáng keâ (n− 1)S2 Y =χ−X ∼ 2 (n 1) , σ2 nghóa laø 26× (37.68) Y =χ∼ 2 ()26 . σ2 Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95, ta tìm ñöôïc a vaø b sao cho 1 − γ PY()()≤= a PY ≥= b . 2 Töø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa phaân phoái Chi-Bình phöông, ta tìm ñöôïc 2 2 a≡χ1+γ = 13.844 , vaø b≡χ1−γ = 41.923. 2 2 Do ñoù (n− 1)S2 3.816≤≤X 21.925, σ2 vaø ta nhaän ñöôïc baát ñaúng thöùc 26×× (37.68) 26 (37.68) ≤σ2 ≤ . 41.923 13.844 Töø ñoù suy ra öôùc löôïng cho phöông sai toång theå laø [23.38;70.80] . Baøi 9. Moät loaïi thuoác môùi ñem ñieàu trò cho 50 ngöôøi bò beänh B, keát quaû coù 40 ngöôøi khoûi beänh. a) Öôùc löôïng tyû leä khoûi beänh p neáu duøng thuoác ñoù ñieàu trò vôùi ñoä tin caäy 0.95 vaø 0.99. b) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp ? Giaûi 40 a) Theo giaû thuyeát, ta coù taàn soá khoûi beänh laø f0.8==. 50 Ñeå öôùc löôïng tyû leä khoûi beänh p cuûa toång theå, ta duøng thoáng keâ (fpn− ) TSt(n1)=−∼ , f(1− f) nghóa laø ()0.8− p 50 TSt(49)N(0;1)=≡∼ . 0.8× 0.2 61
  64. Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95, ta tìm ñöôïc C= 1.96 vaø do ñoù 0.8× 0.2 p=± 0.8 1.96 × . 50 Ta ñöôïc khoaûng öôùc löôïng cho tyû leä khoûi beänh p laø [0.69; 0.91] . Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.99 , ta tìm ñöôïc C= 2.58 . Töông töï, ta coù khoaûng öôùc löôïng cho tyû leä khoûi beänh vôùi ñoä tin caäy 99% laø []0.65; 0.946 . b) Ta coù sai soá cuûa öôùc löôïng laø f(1− f) ε=C . n Vôùi ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta ñöôïc C= 1.96 neân vôùi döõ lieäu cho, ñeå sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ε=0.02 , ta nhaän ñöôïc baát phöông trình 0.8× 0.2 1.96×≤ 0.02 . n Töø ñoù suy ra n≥ 1536.64 , nghóa laø phaûi quan saùt ít nhaát 1537 tröôøng hôïp. Baøi 10. Moät loaïi beänh coù tyû leä töû vong laø 0.01. Muoán chöùng toû moät loaïi thuoác coù hieäu nghieäm (nghóa laø haï thaáp ñöôïc tyû leä töû vong nhoû hôn 0.005) ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi thöû thuoác ñoù treân ít nhaát bao nhieâu ngöôøi? Giaûi Theo giaû thuyeát, taàn soá töû vong laø f= 0.01. Ñeå öôùc löôïng tyû leä khoûi beänh p cuûa toång theå, ta duøng thoáng keâ (fpn− ) TSt(n1)=−∼ , f(1− f) nghóa laø ()0.01− p n TSt(n1)=−∼ . 0.01× 0.99 f(1− f) Vaø ta coù sai soá cuûa öôùc löôïng naøy laø ε=C . n Vôùi ε=0.005 , ñoä tin caäy γ= 0.95 , ta ñöôïc C= 1.96 . Ñeå haï thaáp ñoä töû vong nhoû hôn 0.005, f(1− f) ta giaûi baát phöong trình C ≤ε. Suy ra n 2 0.01(1− 0.01) n≥=() 1.96 1521.27 . ()0.005 2 Vaäy phaûi thöû thuoác ít nhaát 1522 ngöôøi. 62
  65. B. BAØI TAÄP Baøi 1. Ño löôïng huyeát töông cuûa 8 ngöôøi maïnh khoeû, ta coù 2,86 3,37 2,75 2,62 3,50 3,25 3,12 3,15 Haõy xaùc ñònh caùc ñaëc tröng maãu. 2 Ñaùp soá : n8= , X = 3.0775 vaø SX = 0.096 . Baøi 2. Quan saùt thôøi gian caàn thieát ñeå saûn xuaát moät chi tieát maùy, ta thu ñöôïc soá lieäu cho baûng sau : Khoaûng thôøi gian (phuùt) Soá laàn quan saùt 20-25 2 25-30 14 30-35 26 35-40 32 40-45 14 45-50 8 50-55 4 2 Tính trung bình maãu X, phöông sai maãu coù hieäu chænh S.X 2 Ñaùp soá : n= 100 , X = 36.6 vaø S45.14X = . Baøi 3. Ño ñoä daøi cuûa moät loaïi truïc xe, ta coù keát quaû Nhoùm 18,4-18,6 18,6-18,8 18,8 -19 19 -19,2 19.2-19.4 19,4-19,6 19,6-19,8 1 4 20 41 19 8 4 ni Haõy öôùc löôïng ñoä daøi trung bình vaø phöông sai. 2 Ñaùp soá : n97= , X = 19.133 vaø SX = 0.054 . Baøi 4. Ño söùc beàn chòu löïc cuûa moät loaïi oáng thí nghieäm, ngöôøi ta thu ñöôïc boä soá lieäu sau 4500 6500 5200 4800 4900 5125 6200 5375 Töø kinh nghieäm ngheà nghieäp, ngöôøi ta cuõng bieát raèng söùc beàn ñoù coù phaân phoái chuaån vôùi ñoä leäch chuaån σ= 300 . Haõy xaây döïng khoaûng tin caäy 90% cho söùc beàn trung bình cuûa loaïi oáng treân. Ñaùp soá : []5151;5499 . Baøi 5. Tröôùc baàu cöû, ngöôøi ta phoûng vaán ngaãu nhieân 2000 cöû tri thì thaáy coù 1380 ngöôøi uûng hoä moät öùng cöû vieân K. Vôùi ñoä tin caäy 95%, hoûi öùng cöû vieân ñoù thu ñöôïc toái thieåu bao nhieâu phaàn traêm phieáu baàu ? Ñaùp soá : 66.97% . Baøi 6. Giaû söû quan saùt 100 ngöôøi thaáy coù 20 ngöôøi bò beänh soát xuaát huyeát. Haõy öôùc löôïng tyû leä beänh soát xuaát huyeát ôû ñoä tin caäy γ= 97% . Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 3% ôû ñoä tin caäy 95% thì phaûi quan saùt ít nhaát bao nhieâu ngöôøi ? Ñaùp soá : 683 . Baøi 7. Ñeå öôùc löôïng xaùc suaát maéc beänh gan vôùi ñoä tin caäy 90% vaø sai soá khoâng vöôït quaù 2% thì caàn phaûi khaùm ít nhaát bao nhieâu ngöôøi, bieát raèng tyû leä maéc beänh gan thöïc nghieäm ñaõ cho baèng 0,9. Ñaùp soá : 606 . 63
  66. Baøi 8. Muoán bieát trong ao coù bao nhieâu caù, ngöôøi ta baét leân 2000 con, ñaùnh daáu xong laïi thaû xuoáng hoà. Sau moät thôøi gian, ngöôøi ta baét leân 500 con vaø thaáy coù 20 con caù coù ñaùnh daáu cuûa laàn baét tröôùc. Döïa vaøo keát quaû ñoù, Haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 95%. Ñaùp soá : Soá caù trong hoà trong khoaûng []34965; 87719 . Baøi 9. Ñeå coù theå döï ñoaùn ñöôïc soá löôïng chim thöôøng nghæ taïi vöôøn nhaø mình, ngöôøi chuû baét 89 con, ñem ñeo khoen cho chuùng roài thaû ñi. Sau moät thôøi gian, oâng baét ngaãu nhieân ñöôïc 120 con vaø thaáy coù 7 con coù ñeo khoen. Haõy döï ñoaùn soá chim giuùp oâng chuû vöôøn ôû ñoä tin caäy 99%. Ñaùp soá : Soá chim trong khoaûng []784; 28400 . Baøi 10. Treân taäp maãu goàm 100 soá lieäu, ngöôøi ta tính ñöôïc X =σ=0,1;n1− 0, 014 . Xaùc ñònh khoaûng tin caäy 95% cho giaù trò trung bình thaät. Ñaùp soá : []0.0973; 0.103 . Baøi 11. Saûn löôïng moãi ngaøy cuûa moät phaân xöôûng laø bieán ngaãu nhieân tuaân theo luaät chuaån. Keát quaû thoáng keâ cuûa 9 ngaøy cho ta : 27 26 21 28 25 30 26 23 26 Haõy xaùc ñònh caùc khoaûng tin caäy 95% cho saûn löôïng trung bình vaø cho phöông sai töông öùng. Ñaùp soá : μ∈[23.755; 27.81] , σ∈2 []3.17; 25.48 . Baøi 12. Caân thöû 100 quaû cam, ta coù boä soá lieäu sau : Khoái löôïng (g) 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Soá quaû 2 3 15 26 28 6 8 8 4 a) Haõy öôùc löôïng khoái löôïng trung bình caùc quaû cam ôû ñoä tin caäy 95%. b) Cam coù khoái löôïng döôùi 34g ñöôïc coi laø cam loaïi 2. Tìm öôùc löôïng khoâng cheäch cho tyû leä loaïi 2 vôùi khoaûng tin caäy 90%. Ñaùp soá : a) μ∈[]35.539; 36.241 . b) p∈ [] 0.0143; 0.0857 . Baøi 13. Chieàu daøi cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc xuaát khaåu haøng loaït laø bieán ngaãu nhieân phaân phoái chuaån vôùi μ=100mm vaø σ222 = 4 mm . Kieåm tra ngaãu nhieân 25 saûn phaåm. Khaû naêng chieàu daøi trung bình cuûa soá saûn phaåm kieåm tra naèm trong khoaûng töø 98mm ñeán 101mm laø bao nhieâu. Ñaùp soá : 88.82% . Baøi 14. Choïn ngaãu nhieân 36 coâng nhaân cuûa xí nghieäp thì thaáy löông trung bình laø 380 ngaøn ñ/thaùng. Giaû söû löông coâng nhaân tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi σ = 14 ngaøn ñoàng. Vôùi ñoä tin caäy γ=95% , haõy öôùc löôïng möùc löông trung bình cuûa coâng nhaân trong toaøn xí nghieäp. Ñaùp soá : μ∈[]375.427; 384.573 . Baøi 15. Ñieåm trung bình moân toaùn cuûa 100 thí sinh döï thi vaøo KKT laø 5 vôùi ñoä leäch chuaån laø 2.5 . a) Öôùc löôïng ñieåm trung bình moân toaùn cuûa toaøn theå thí sinh vôùi ñoä tin caäy laø 95%. b) Vôùi sai soá öôùc löôïng ñieåm trung bình ôû caâu a) laø 0.25 ñieåm, haõy xaùc ñònh ñoä tin caäy. Ñaùp soá : a) μ∈[4.51;5.49] . b) 68.26% . Baøi 16. Tuoåi thoï cuûa moät loaïi boùng ñeøn ñöôïc bieát theo quy luaät chuaån vôùi ñoä leäch chuaån 100 giôø. 64