Bài tập Giải tích 1

365 trang vanle 2380

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Giải tích 1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_giai_tich_1.pdf

Nội dung text: Bài tập Giải tích 1

Mục lục Đoàn Chi Lời nói đầu iii Các ký hiệu và khái niệm vii Bài tập 1 Số thực 3 1.1 Cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 6 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dãy số thực 19 2.1Dãyđơnđiệu 23 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . 37 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới . . . . . . . . 42 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Chuỗi số thực 63 3.1Tổngcủachuỗi 67 3.2Chuỗid−ơng 75 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 99 i
ii Mục lục 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8Tíchvôhạn 111 Lời giải Đoàn Chi 1 Số thực 121 1.1 Cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 Dãy số thực 145 2.1Dãyđơnđiệu 145 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . . 173 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới . . . . . . . . 181 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.2 Chuỗi d−ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 304 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 313 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 3.8Tíchvôhạn 338 Tài liệu tham khảo 354
Lời nói đầu Đoàn Chi Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới . Tr−ớc đây, hầu hết những ng−ời làm toán của Việt Nam th−ờng sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ−ợc dịch ra tiếng Việt): 1. "Bài tập giải tích toán học" của Demidovich (B. P. Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) và 2. "Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập" của Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P. Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola). để giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ−ợc dịch ra tiếng Anh): 3. "Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số" (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pier- wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), 4. "Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân " (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje iii
iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej–Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh: Đoàn Chi 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001. Sách này có các −u điểm sau: • Các bài tập đ−ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. • Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. • Kết hợp đ−ợc những ý t−ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh−, Ameri- can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan). Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh− cho các sinh viên đại học ngành toán. Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong 5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964. Tuy vậy, tr−ớc mỗi ch−ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch−ơng t−ơng ứng. Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân. Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.
Lời nói đầu v Chúng tôi rất biết ơn : - Giáo s− Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, - Giáo s− Nguyễn Hữu Việt H−ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập II của sách này, - Giáo s− Spencer Shaw (Mỹ)Đoàn đã gửi cho Chi chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976, - TS D−ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn sách này. Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr−ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ−ợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đ−ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr−ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, Xuân 2002. Nhóm biên dịch Đoàn Chi
Đoàn Chi
Các ký hiệu vàĐoàn khái Chi niệm • R - tập các số thực • R+ - tập các số thực d−ơng • Z - tập các số nguyên • N - tập các số nguyên d−ơng hay các số tự nhiên • Q - tập các số hữu tỷ • (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b • [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b • [x] - phần nguyên của số thực x • Với x ∈ R, hàm dấu của x là 1 với x>0,  sgn x = −1 với x<0, 0 với x =0. • Với x ∈ N, n!=1ã 2 ã 3 ã ã n, (2n)!! = 2 ã 4 ã 6 ã ã (2n − 2) ã (2n), (2n − 1)!! = 1 ã 3 ã 5 ã ã (2n − 3) ã (2n − 1). • n n! ∈ ≥ Ký hiệu k = k!(n−k)! ,n,k N,n k, là hệ số của khai triển nhị thức Newton. vii
viii Các ký hiệu và khái niệm • Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy −ớc rằng sup A =+∞. • Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn d−ới thì ta ký hiệu inf A là cận d−ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d−ới thì ta quy −ớc rằng inf A = −∞. Đoàn Chi • Dãy {an} các số thực đ−ợc gọi là đơn điệu tăng (t−ơng ứng đơn điệu giảm) nếu an+1 ≥ an (t−ơng ứng nếu an+1 ≤ an) với mọi n ∈ N. Lớp các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng và giảm. • Số thực c đ−ợc gọi là điểm giới hạn của dãy {an} nếu tồn tại một dãy con {ank } của {an} hội tụ về c. • Cho S là tập các điểm tụ của dãy {an}. Cận d−ới đúng và cận trên đúng của dãy , ký hiệu lần l−ợt là lim an và lim an đ−ợc xác định n→∞ n→∞ nh− sau +∞ nếu {an} không bị chặn trên,  lim an = −∞ nếu {an} bị chặn trên và S = ∅, n→∞ sup S nếu {an} bị chặn trên và S =6 ∅, −∞ nếu {an} không bị chặn d−ới,  lim an = +∞ nếu {an} bị chặn d−ới và S = ∅, n→∞ inf S nếu {an} bị chặn d−ới và S =6 ∅, ∞ • Tích vô hạn Q an hội tụ nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho an =06 với n=1 n ≥ n0 và dãy {an0 an0+1 ã ã an0+n} hội tụ khi n →∞tới một giới hạn P0 =06 .SốP = an0 an0+1 ã ã an0+n ã P0 đ−ợc gọi là giá trị của tích vô hạn. • Trong phần lớn các sách toán ở n−ớc ta từ tr−ớc đến nay, các hàm tang và côtang cũng nh− các hàm ng−ợc của chúng đ−ợc ký hiệu là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các n−ớc châu Âu, chúng đ−ợc ký hiệu t−ơng tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu đã đ−ợc chuẩn hoá trên thế giới.
Đoàn Chi Bài tập
Đoàn Chi
Ch−ơng 1 Đoàn Chi Số thực Tóm tắt lý thuyết • Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(−∞, ∞). Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là một cận trên của A nếu a 6 x, ∀x ∈ A. Tập A đ−ợc gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên. Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là một cận d−ới của A nếu a ≥ x, ∀a ∈ A. Tập A đ−ợc gọi là bị chặn d−ới nếu A có ít nhất một cận d−ới. Tập A đ−ợc gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn d−ới. Rõ ràng A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x>0 sao cho |a| 6 x, ∀a ∈ A. • Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(−∞, ∞). Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là giá trị lớn nhất của A nếu x ∈ A, a 6 x, ∀a ∈ A. Khi đó, ta viết x = max{a : a ∈ A} = max a. a∈A 3
4 Ch−ơng 1. Số thực Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là giá trị bé nhất của A nếu x ∈ A, a ≥ x, ∀a ∈ A. Khi đó, ta viết x = min{a : a ∈ A} = min a. Đoàn Chia∈A • Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(−∞, ∞). Giả sử A bị chặn trên. Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A. Tức là, a 6 x, ∀a ∈ A, ∀>o,∃a ∈ A, a >x− . Khi đó, ta viết x = sup{a : a ∈ A} = sup a. a∈A Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R =(−∞, ∞). Giả sử A bị chặn d−ới. Số thực x ∈ R đ−ợc gọi là cận d−ới đúng của A, nếu x là một cận d−ới của A và là cận trên lớn nhất trong tập các cận d−ới của A. Tức là, a ≥ x, ∀a ∈ A, ∀>o,∃a ∈ A, a <x+ . Khi đó, ta viết x = inf{a : a ∈ A} = inf a. a∈A • Tiên đề về cận trên đúng nói rằng nếu A là tập con không rỗng, bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất). Tiên đề trên t−ơng đ−ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn d−ới của tập các số thực, thì A có cận d−ới đúng (duy nhất). Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực, thì A có cận trên đúng, và có cận d−ới đúng. • Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui −ớc sup A =+∞; Nếu tập A không bị chặn d−ới, thì ta qui −ớc inf A = −∞;
Tóm tắt lý thuyết 5 • Cho hai số nguyên a, b. Ta nói rằng b chia hết cho a hoặc a chia b, nếu tồn tại số nguyên c, sao cho b = a.c. Trong tr−ờng hợp đó ta nói a là −ớc của b (hoặc b là bội của a) và viết a|b. Cho hai số nguyên a1,a2. Số nguyên m đ−ợc gọi là −ớc chung của a1,a2 nếu m|a1,m|a2. Số nguyên m đ−ợc gọi là bội chung của a1,a2 nếu a1|m, a2|m. Đoàn Chi Ước chung m ≥ 0 của a1,a2 có tính chất là chia hết cho bất kỳ −ớc chung nào của a1,a2) đ−ợc gọi là −ớc chung lớn nhất của a1,a2 và đuợc ký hiệu là (a1,a2). Bội chung m ≥ 0 của a1,a2 có tính chất là −ớc của bất kỳ bội chung nào của a1,a2 đ−ợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a1,a2 và đuợc ký hiệu là [a1,a2]. Nếu (a, b)=1thì ta nói a, b nguyên tố cùng nhau. Số nguyên d−ơng p ∈ N đ−ợc gọi là số nguyên tố, nếu p chỉ có hai −ớc (tầm th−ờng) là 1 và p. Gỉa sử m là số nguyên d−ơng. Hai số nguyên a, b đ−ợc gọi là đồng d− theo modulo m, nếu m|(a − b). Trong tr−ờng hợp đó ta viết a = b (mod m). • Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số), nếu tồn tại p, q ∈ Z sao cho r = p/q. Phân số này là tối giản nếu (p, q)=1. Số vô tỷ là số thực nh−ng không phải là số vô tỷ. Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực, tức là, giữa hai số thực khác nhau bất ký (a<b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a<r<b). • Phần nguyên của số thực x, đ−ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy nhất) sao cho x − 1 < [x] 6 x. Phần lẻ của số thực x, đ−ợc ký hiệu là {x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x − [x]. x • Các hàm số sơ cấp a , loga x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x đ−ợc định nghĩa theo cách thông th−ờng. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng các ký hiệu tiêu chuẩn quốc tế sau tan x = sin x/ cos x, cot x = cos x/ sin x, ex + e−x ex − e−x cosh x = , sinh x = , 2 2 tanh x = sinh x/ cosh x, coth x = cosh x/ sinh x. T−ơng tự ta có các ký hiệu về hàm ng−ợc arctan x, arccot x.
6 Ch−ơng 1. Số thực 1.1 Cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các số thực. Liên phân số 1.1.1. Chứng minh rằng √ sup{x ∈ Q :Đoànx>0,x2 0 thì 1 1 sup = , A inf A 1 ∞ khi inf A =0thì sup A =+ . Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị chặn thì sup(A ã B) = max {sup A ã sup B, sup A ã inf B, inf A ã sup B, inf A ã inf B} .
1.1. Cận trên đúng và cận d−ới đúng. Liên phân số 7 1.1.5. Cho A và B là những tập con khác rỗng các số thực. Chứng minh rằng sup(A ∪ B)=max{sup A, sup B} và inf(A ∪ B)=minĐoàn{inf ChiA, inf B} . 1.1.6. Tìm cận trên đúng và cận d−ới đúng của A1, A2 xác định bởi n+1 n(n+1) 3 A = 2(−1) +(−1) 2 2+ : n ∈ N , 1 n n − 1 2nπ A = cos : n ∈ N . 2 n +1 3 1.1.7. Tìm cận trên đúng và cận d−ới đúng của các tập A và B, trong đó A = {0, 2; 0, 22; 0, 222; } và B là tập các phân số thập phân giữa 0 và 1 mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1. (n+1)2 1.1.8. Tìm cận d−ới đúng và cận trên đúng của tập các số 2n , trong đó n ∈ N. (n+m)2 1.1.9. Tìm cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các số 2nm , trong đó n, m ∈ N. 1.1.10. Xác định cận trên đúng và cận d−ới đúng của các tập sau: m (a) A = n : m, n ∈ N,m 0 , (b) inf z = x + x−1 : x>0 , x 1 (c) inf nz =2 +2x > 0o .
8 Ch−ơng 1. Số thực 1.1.12. Tìm cận trên đúng và cận d−ới đúng của những tập sau: m 4n (a) A = + : m, n ∈ N , n m mn (b) B = : m ∈ Z,n∈ N , 4m2 +Đoànn2 Chi m (c) C = : m, n ∈ N , m + n m (d) D = : m ∈ Z,n∈ N , |m| + n mn (e) E = : m, n ∈ N . 1+m + n 1.1.13. Cho n ≥ 3,n∈ N. Xét tất cả dãy d−ơng hữu hạn (a1, , an), hãy tìm cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các số n a X k , ak + ak+1 + ak+2 k=1 trong đó an+1 = a1,an+2 = a2. 1.1.14. Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ α và với mỗi n ∈ N tồn tại một số nguyên d−ơng qn và một số nguyên pn sao cho pn 1 α − < . q nq n n Đồng thời có thể chọn dãy {pn} và {qn} sao cho pn 1 α − < . q q 2 n n 1.1.15. Cho α là số vô tỷ. Chứng minh rằng A = {m + nα : m, n ∈ Z} là trù mật trong R, tức là trong bất kỳ khoảng mở nào đều có ít nhất một phần tử của A. 1.1.16. Chứng minh rằng {cos n : n ∈ N} là trù mật trong đoạn [−1, 1]. 1.1.17. Cho x ∈ R \ Z và dãy {xn} đ−ợc xác định bởi 1 1 1 x =[x]+ ,x1 =[x1]+ , , xn−1 =[xn−1]+ . x1 x2 xn
1.1. Cận trên đúng và cận d−ới đúng. Liên phân số 9 khi đó 1 x =[x]+ . 1 [x ]+ 1 1 [x2]+ . 1 + Đoàn Chi 1 [xn−1]+ xn Chứng minh rằng x là số hữu tỷ khi và chỉ khi tồn tại n ∈ N sao cho xn là một số nguyên. Chú ý. Ta gọi biểu diễn trên của x là một liên phân số hữu hạn. Biểu thức 1 a + 0 1 a + 1 1 a2 + . 1 + 1 an−1 + an đ−ợc viết gọn thành 1| 1| 1| a0 + + + + . |a1 |a2 |an 1.1.18. Cho các số thực d−ơng a1,a2, ,an, đặt p0 = a0,q0 =1, p1 = a0a1 +1,q1 = a1, pk = pk−1ak + pk−2,qk = qk−1ak + qk−2, với k =2, 3, , n, và định nghĩa 1| 1| 1| R0 = a0,Rk = a0 + + + + ,k=1, 2, ,n. |a1 |a2 |ak 1| 1| 1| Rk đ−ợc gọi là phần tử hội tụ thứ k đến a0 + + + + . |a1 |a2 |an Chứng minh rằng pk Rk = với k =0, 1, ,n. qk 1.1.19. Chứng minh rằng nếu pk,qk đ−ợc định nghĩa nh− trong bài toán trên và a0,a1, ,an là các số nguyên thì k pk−1qk − qk−1pk =(−1) với k =0, 1, ,n. Sử dụng đẳng thức trên để kết luận rằng pk và qk là nguyên tố cùng nhau.
10 Ch−ơng 1. Số thực 1.1.20. Cho x là một số vô tỷ, ta định nghĩa dãy {xn} nh− sau: 1 1 1 x1 = ,x2 = , , xn = , . x − [x] x1 − [x1] xn−1 − [xn−1] Ngoài ra, chúng ta cho đặt a0 =[x],an =[xn],n=1, 2, ,và 1| 1| 1| Rn = a0 + Đoàn+ + Chi + . |a1 |a2 |ak Chứng minh rằng độ lệch giữa số x và phần tử hội tụ thứ n của nó đ−ợc cho bởi công thức (−1)n x − Rn = , (qnxn+1 + qn−1)qn trong đó pn,qn là đ−ợc định nghĩa trong 1.1.18. Từ đó hãy suy ra rằng x nằm giữa hai phần tử hội tụ liên tiếp của nó. 1.1.21. Chứng minh rằng tập {sin n : n ∈ N} là trù mật trong [−1, 1]. 1.1.22. Sử dụng kết quả trong bài 1.1.20 chứng minh rằng với mọi số vô tỷ x pn tồn tại dãy n o các số hữu tỷ, với qn lẻ, sao cho qn pn 1 x − qn. √ √ − 1.1.26. Khai triển mỗi biểu thức sau thành các liên phân số vô hạn: 2, 5 1 . √ 2 1.1.27. Cho số nguyên d−ơng k, biểu diễn của k2 + k thành liên phân số vô hạn. 1.1.28. Tìm tất cả các số x ∈ (0, 1) mà sự biểu diễn liên tục vô hạn có a1 (xem 1.1.20) t−ơng ứng với số nguyên d−ơng n cho tr−ớc.
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 11 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 1.2.1. Chứng minh rằng nếu ak > −1,k=1, ,n là các số cùng d−ơng hoặc cùng âm thì (1 + a1) ã (1 + a2) ã ã (1Đoàn + an) ≥ Chi1+a1 + a2 + + an. Chú ý. Nếu a1 = a2 = = an = a thì ta có bất đẳng thức Bernoulli: (1 + a)n ≥ 1+na, a > −1. 1.2.2. Sử dụng phép qui nạp, hãy chứng minh kết quả sau: Nếu a1,a2, ,an là các số thực d−ơng sao cho a1 ã a2 ã ã an =1thì a1 + a2 + + an ≥ n. 1.2.3. Ký hiệu An,Gn và Hn lần l−ợt là trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hoà của n số thực d−ơng a1,a2, ,an, tức là a1 + a2 + + an An = , √ n n Gn = a1 ã a2 ã ã an , n H = . n 1 + 1 + + 1 a1 a2 an Chứng minh rằng An ≥ Gn ≥ Hn. 1.2.4. Sử dụng kết quả Gn 6 An trong bài toán tr−ớc kiểm tra bất đẳng thức Bernoulli (1 + x)n ≥ 1+nx với x>0. 1.2.5. Cho n ∈ N, hãy kiểm tra các khẳng định sau: 1 1 1 1 2 (a) + + + > , n n +1 n +1 2n 3 1 1 1 1 (b) + + + + > 1, n +1 n +2 n +3 3n +1 1 1 1 1 1 2 (c) 1. n n +1 n +1
12 Ch−ơng 1. Số thực 1.2.6. Chứng minh rằng với mỗi x>0 và n ∈ N ta có xn 1 ≤ . 1+x + x2 + x3 + + x2n 2n +1 1.2.7. Cho {an} là một cấp số cộng với các số hạng d−ơng. Chứng minh rằng √ √Đoàn Chia1 + an a a 6 n a a a 6 . 1 n 1 2 n 2 1.2.8. Chứng minh rằng √ √ n +1 n 6 n n! 6 ,n∈ N. 2 n 1.2.9. Cho ak,k=1, 2, ,n, là các số d−ơng thoả mãn điều kiện P ak 6 1. k=1 Chứng minh rằng n 1 X ≥ n2. ak k=1 n 1.2.10. Cho ak > 0,k =1, 2, ,n (n>1) và đặt s = P ak. Hãy kiểm k=1 tra các khẳng định sau: −1 n a ! 1 n s − a (a) n X k 6 n − 1 6 X k , s − ak n ak k=1 k=1 n s n2 (b) X ≥ , s − ak n − 1 k=1 −1 n a ! (c) n X k ≥ n +1. s + ak k=1 1.2.11. Chứng minh rằng nếu ak > 0,k =1, ,n và a1 ã a2 ã ã an =1 thì n (1 + a1) ã (1 + a2) ã ã (1 + an) ≥ 2 . 1.2.12. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (1): n 2 n n ! 2 2 X akbk 6 X ak X bk. k=1 k=1 k=1 (1)Còn gọi là bất đẳng thức Buniakovskii- Cauchy - Schwarz
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 13 1.2.13. Chứng minh rằng 1 n 2 n 2 2 n  ! !  1 2 2 2 X ak + X bk 6 X a + b .   k k k=1 k=1 k=1 n n Đoàn2 Chi2 1.2.14. Chứng minh rằng nếu P ak = P bk =1thì k=1 k=1 n X akbk 6 1. k=1 1.2.15. Cho ak > 0,k =1, 2, ,n, hãy kiểm tra những khẳng định sau n n 1 2 (a) X ak X ≥ n , ak k=1 k=1 n n n 1 − ak (b) X ak X ≥ n X (1 − ak), ak k=1 k=1 k=1 1 (c) (log a )2 + (log a )2 + + (log a )2 ≥ , a 1 a 2 a n n với điều kiện a1 ã a2 ã ã an = a =16 . 1.2.16. Cho α>0, chứng minh rằng n n n 1 2 α 2 X akbk 6 X ak + X bk. α 4 k=1 k=1 k=1 1.2.17. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 n √ n 2 √ n 2! X |ak| 6 n X ak 6 n X |ak|. k=1 k=1 k=1 1.2.18. Chứng minh rằng 2 n ! n n b2 (a) X a b 6 X ka2 X k , k k k k k=1 k=1 k=1 2 n a ! n n 1 (b) X k 6 X k3a2 X . k k k5 k=1 k=1 k=1
14 Ch−ơng 1. Số thực 1.2.19. Chứng minh rằng n 2 n n p! p+q p−q X ak 6 X ak X ak , k=1 k=1 k=1 với mỗi p, q và mỗi bộ số d−ơng a1Đoàn,a2, , aChin. n n 2 1.2.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P ak với điều kiện P ak =1. k=1 k=1 1.2.21. Cho p1,p2, ,pn là các số d−ơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng n n 2 P pkak với điều kiện P ak =1. k=1 k=1 1.2.22. Chứng minh rằng n 2 n ! 2 ! X ak 6 (n − 1) X ak +2a1a2 . k=1 k=1 1.2.23. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 n 2 n 2 n 2 2! 2! 2! (a) X (ak + bk) 6 X ak + X bk , k=1 k=1 k=1 1 1 n 2 n 2 n 2! 2! (b) X a − X b 6 X |ak − bk|. k k k=1 k=1 k=1 1.2.24. Cho p1,p2, , pn là các số d−ơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của n n 2 2 ! X ak + X ak k=1 k=1 n với điều kiện P pkak =1. k=1 1.2.25. Chứng minh bất đẳng thức Chebyshev. Nếu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn, hoặc a1 6 a2 6 6 an và b1 6 b2 6 6 bn,
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 15 thì n n n X ak X bk 6 n X akbk. k=1 k=1 k=1 1.2.26. Giả sử ak ≥ 0,k=1, 2, ,n và p ∈ N, chứng minh rằng p 1 n Đoàn! 1 Chin X a 6 X ap. n k n k k=1 k=1 1.2.27. Chứng minh bất đẳng thức 1 (a + b)2 6 (1 + c)a2 + 1+ b2 c với số d−ơng c và số thực a, b bất kỳ. √ √ 1.2.28. Chứng minh rằng a2 + b2 − a2 + c2 6 |b − c|. 1.2.29. Cho các số d−ơng a, b, c, kiểm tra các khẳng định sau: bc ac ab (a) + + ≥ (a + b + c), a b c 1 1 1 1 1 1 (b) + + ≥ √ + √ + √ , a b c bc ca ab 2 2 2 9 (c) + + ≥ , b + c a + c a + b (a + b + c) b2 − a2 c2 − b2 a2 − c2 (d) + + ≥ 0, c + a a + b b + c 1 (a − b)2 a + b √ 1 (a − b)2 (e) 6 − ab 6 với b 6 a. 8 a 2 8 b 1.2.30. Cho ak ∈ R,bk > 0,k=1, 2, ,n, đặt a m = min k : k =1, 2, ,n bk và a M = max k : k =1, 2, , n . bk Chứng minh rằng a + a + + a m 6 1 2 n 6 M b1 + b2 + + bn
16 Ch−ơng 1. Số thực π 1.2.31. Chứng minh rằng nếu 0 1 thì sin α1 + sin α2 + + sin αn tan α1 0,bk > 0,k=1, 2, ,n, đặt a M = max k : k =1, 2, , n . bk Chứng minh rằng a + a2 + + an 1 2 n 6 M. 2 n−1 n b1 + Mb2 + + M bn 1.2.34. Chứng minh rằng nếu x là một số thực lớn hơn các số a1,a2, , an thì 1 1 1 n + + + ≥ . − − − − a1+a2+ +an x a1 x a2 x an x n n 1.2.35. Đặt ck = k,k=0, 1, 2, ,n. Chứng minh bất đẳng thức √ √ √ n c1 + c2 + + cn 6 pn(2 − 1). 1.2.36. Cho n ≥ 2, chứng minh rằng n n 2n − 2 n−1 Y 6 . k n − 1 k=0 1.2.37. Cho ak > 0,k=1, 2, ,nvà ký hiệu An là trung bình cộng của chúng. Chứng minh rằng n p n X Ap 6 X Ap−1a k p − 1 k k k=1 k=1 với mỗi số nguyên p>1.
1.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp 17 1.2.38. Cho ak > 0,k=1, 2, , n, đặt a = a1 +a2 + +an. Hãy chứng minh rằng − n 1 a2 X a a 6 . k k+1 4 k=1 1.2.39. Chứng minh rằng với mỗiĐoàn hoán vị bChi1,b2, , bn của các số d−ơng a1,a2, , an ta đều có a a a 1 + 2 + + n ≥ n. b1 b2 bn 1.2.40. Chứng minh bất đẳng thức Weierstrass. Nếu 0 <ak < 1,k=1, 2, ,n và a1 + a2 + + an < 1 thì n n 1 (a) 1+X ak < Y (1 + ak) < n , k=1 k=1 1 − P ak k=1 n n 1 (b) 1 − X ak < Y (1 − ak) < n . k=1 k=1 1+P ak k=1 1.2.41. Giả sử 0 <ak < 1,k =1, 2, , n, đặt a1 + a2 + + an = a. Chứng minh rằng n a na X k ≥ . 1 − ak n − a k=1 1.2.42. Cho 0 <ak 6 1,k=1, 2, , n và n ≥ 2. Kiểm tra bất đẳng thức sau: n n n P ak 1 k=1 X 6 n n . 1+ak k=1 P ak + n Q ak k=1 k=1 1.2.43. Cho ak,k=1, 2, , n không âm sao cho a1 + a2 + + an =1, chứng minh rằng n n n (a) Y (1 + ak) ≥ (n +1) Y ak, k=1 k=1 n n n (b) Y (1 − ak) ≥ (n − 1) Y ak. k=1 k=1
18 Ch−ơng 1. Số thực n 1.2.44. Chứng minh rằng nếu a > 0,k=1, 2, ,n và 1 = n − 1 k P 1+an k=1 thì n 1 Y ≥ (n − 1)n. ak k=1 1.2.45. Chứng minh rằng với giảĐoàn thiết cho trong Chi bài 1.2.43 ta có n n Q (1 + ak) Q (1 − ak) k=1 ≥ k=1 ,n>1. (n +1)n (n − 1)n 1.2.46. Cho a1,a2, , an là các số d−ơng, chứng minh rằng a a a a a n 1 + 2 + + n−2 + n−1 + n ≥ . a2 + a3 a3 + a4 an−1 + an an + a1 a1 + a2 4 1.2.47. Cho t và a1,a2, ,an là các số thực bất kỳ. Chứng minh bất đẳng thức n n p|ak − t| p|ak − a1| X ≥ X . 2k 2k k=1 k=2 1.2.48. Cho a1,a2, ,an và b1,b2, ,bn là các số d−ơng, chứng minh rằng √ n n n p(a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn) ≥ a1a2 an + pb1b2 bn. 1.2.49. Giả sử rằng 0 <a1 <a2 < <an và p1,p2, ,pn là các số n không âm mà P pk =1. Chứng minh bất đẳng thức k=1 n ! n 1 ! A2 X p a X p 6 , k k k 2 ak G k=1 k=1 1 √ trong đó A = 2 (a1 + an) và G = a1an. 1.2.50. Cho số nguyên d−ơng n, đặt t−ơng ứng σ(n) và τ(n) là tổng các −ớc √ σ(n) ≥ số d−ơng của n và số các −ớc số đó. Chứng minh rằng τ(n) n.
Ch−ơng 2 Đoàn Chi Dãy số thực Tóm tắt lý thuyết • Dãy số là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên (hoặc các số nguyên không âm) vào tập các số thực f : N −→ R. Đặt an = f(n),n ∈ N, và dùng ký hiệu {an} để chỉ dãy số. Dãy số {an} đ−ợc gọi là - d−ơng (âm) nếu an > 0(an an (an+1 0 cho tr−ớc bé tùy ý, tồn tại n ∈ N sao cho |an − a| 0 cho tr−ớc lớn tùy ý, tồn tại n∆ ∈ N sao cho an > ∆, ∀n ≥ n∆. 19
20 Ch−ơng 2. Dãy số thực Trong tr−ờng hợp nh− thế, ta viết lim an =+∞; n→∞ - phân kỳ ra −∞, nếu với mọi số ∆ > 0 cho tr−ớc lớn tùy ý, tồn tại n∆ ∈ N sao cho Đoàn Chi an 0 cho tr−ớc bé tùy ý, tồn tại n ∈ N sao cho |am − an| <, ∀m, n ≥ n. • Định lý hội tụ đơn điệu nói rằng dãy số đơn điệu (tăng hoặc giảm) và bị chặn có giới hạn hữu hạn. • Tiêu chuẩn Cauchy nói rằng dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. • Các tính chất cơ bản của giới hạn là - Một dãy hội tụ thì bị chặn. - Bảo toàn các phép tính số học, tức là, nếu lim an = a, lim bn = b, n→∞ n→∞ thì lim (αan ± βbn)=αa ± βb,∀α, β ∈ R; n→∞ lim (anbn)=ab; lim (an/bn)=a/b với b =06 . n→∞ n→∞ - Bảo toàn thứ tự theo nghĩa sau: nếu lim an = a, lim bn = b, an 6 bn; với n ≥ n0 nào đó, n→∞ n→∞ thì a 6 b. - Định lý kẹp: Cho ba dãy số thực {an}, {bn}, {cn}. Nếu lim an = a, lim bn = a, an 6 cn 6 bn, với n ≥ n0 nào đó n→∞ n→∞
Tóm tắt lý thuyết 21 thì lim cn = a. n→∞ • Cho {an} là dãy số thực và {nk} là dãy cac số tự nhiên tăng ngặt, tức là n1 0 và tồn tại số n0 ∈ N sao cho |an| 6 C|bn|, ∀n ≥ n0.
22 Ch−ơng 2. Dãy số thực Trong tr−ờng hợp đó ta viết an = O(bn). - Dãy {an} không đáng kể so với {bn}, nếu với mọi >0 tồn tại số n ∈ N sao cho Đoàn Chi |an| 6 |bn|, ∀n ≥ n, tức là a lim n =0. n→∞ bn Trong tr−ờng hợp đó ta viết an = ◦(bn). - Dãy {an} t−ơng đ−ơng với {bn}, nếu an − bn = ◦(bn), tức là a lim n =1. n→∞ bn Trong tr−ờng hợp đó ta viết an ∼ bn.
2.1. Dãy đơn điệu 23 2.1 Dãy đơn điệu 2.1.1. Chứng minh rằng: (a) Nếu {an} là dãy đơn điệu tăng thì lim an = sup {an : n ∈ N}, Đoànn→∞ Chi (b) Nếu {an} là dãy đơn điệu giảm thì lim an = inf {an : n ∈ N} . n→∞ 2.1.2. Giả sử a1,a2, , ap là những số d−ơng cố định. Xét các dãy sau: n n n a1 + a2 + + ap √ s = và x = n s ,n∈ N. n p n n Chứng minh rằng {xn} là dãy đơn điệu tăng. Gợi ý. Tr−ớc tiên xét tính đơn điệu của dãy n sn o ,n≥ 2. sn−1 { } n 2.1.3. Chứng minh rằng dãy an , với an = 2n ,n > 1, là dãy giảm ngặt và tìm giới hạn của dãy. { } ≥ − 1 ∈ 2.1.4. Cho an là dãy bị chặn thoả mãn điều kiện an+1 an 2n ,n N. Chứng minh rằng dãy {an} hội tụ. − 1 Gợi ý. Xét dãy an 2n−1 . 2.1.5. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau: √ 1 1 1 (a) an = −2 n + √ + √ + + √ ; 1 2 n √ 1 1 1 (b) bn = −2 n +1+ √ + √ + + √ . 1 2 n Gợi ý. Tr−ớc tiên thiết lập bất đẳng thức: √ 1 1 1 √ 2( n +1− 1) < √ + √ + + √ < 2 n, n ∈ N. 1 2 n 2.1.6. Chứng minh rằng dãy {an} đ−ợc xác định theo công thức truy hồi 3 a1 = ,an = p3an−1 − 2, với n ≥ 2 2 hội tụ và tìm giới hạn của nó.
24 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.1.7. Cho c>2, xét dãy {an} đ−ợc xác định theo công thức truy hồi 2 2 a1 = c ,an+1 =(an − c) ,n≥ 1. Chứng minh dãy {an} tăng ngặt. 2.1.8. Giả sử dãy {an} thoả mãnĐoàn điều kiện Chi 1 0 với n ∈ N. n n n+1 4 Thiết lập sự hội tụ của dãy và tìm giới hạn của nó. 2.1.9. Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy đ−ợc xác định theo biểu thức √ a1 =0,an+1 = 6+an với n ≥ 1. 2.1.10. Chứng minh dãy đ−ợc cho bởi 1 1 a =0,a= ,a = (1 + a + a3 ) với n>1 1 2 2 n+1 3 n n−1 hội tụ và xác định giới hạn của nó. 2.1.11. Khảo sát tính đơn điệu của dãy n! a = ,n≥ 1, n (2n + 1)!! và xác định giới hạn của nó. 2.1.12. Hãy xác định tính hội tụ hay phân kỳ của dãy (2n)!! a = ,n≥ 1. n (2n + 1)!! 2.1.13. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau 1 1 1 (a) a =1+ + + ,n∈ N. n 22 32 n2 1 1 1 (b) a =1+ + + ,n∈ N. n 22 33 nn 2.1.14. Cho dãy {an} có số hạng tổng quát 1 1 1 an = + + + ,n∈ N. pn(n +1) p(n + 1)(n +2) p(2n − 1)2n Chứng minh rằng dãy hội tụ.
2.1. Dãy đơn điệu 25 2.1.15. Cho p ∈ N,a>0 và a1 > 0, định nghĩa dãy {an} bởi 1 a an+1 = (p − 1)an + p−1 ,n∈ N. p an Tìm lim an. n→∞ Đoàn Chi 2.1.16. Dãy {an} đ−ợc cho theo công thức truy hồi √ q √ a1 = 2,an+1 = 2+ an với n ≥ 1. Chứng minh dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nó. 2.1.17. Dãy {an} đ−ợc xác định theo công thức truy hồi 2(2an +1) a1 =1,an+1 = với n ∈ N. an +3 Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy {an}. 2.1.18. Tìm các hằng số c>0 sao cho dãy {an} đ−ợc định nghĩa bởi công thức truy hồi c 1 a = ,a = (c + a2 ) với n ∈ N 1 2 n+1 2 n là hội tụ. Trong tr−ờng hợp hội tụ hãy tìm lim an. n→∞ 2.1.19. Cho a>0 cố định, xét dãy {an} đ−ợc xác định nh− sau a2 +3a a > 0,a = a n với n ∈ N. 1 n+1 n 2 3an + a Tìm tất cả các số a1 sao cho dãy trên hội tụ và trong những tr−ờng hợp đó hãy tìm giới hạn của dãy. 2.1.20. Cho dãy {an} định nghĩa truy hồi bởi 1 an+1 = với n ≥ 1. 4 − 3an Tìm các giá trị của a1 để dãy trên hội tụ và trong các tr−ờng hợp đó hãy tìm giới hạn của dãy.
26 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.1.21. Cho a là một số cố định bất kỳ và ta định nghĩa {an} nh− sau: 2 2 a1 ∈ R và an+1 = an +(1− 2a)an + a với n ∈ N. Xác định a1 sao cho dãy trên hội tụ và trong tr−ờng hợp nh− thế tìm giới hạn của nó. Đoàn Chi 2.1.22. Cho c>0 và b>a>0, ta định nghĩa dãy {an} nh− sau: a2 + ab a = c, a = n với n ∈ N. 1 n+1 a + b Với những giá trị của a, b và c dãy trên sẽ hội tụ ? Trong các tr−ờng hợp đó hãy xác định giới hạn của dãy. 2.1.23. Chứng minh rằng dãy {an} đ−ợc định nghĩa bởi công thức 1+an a1 > 0,an+1 =6 ,n∈ N 7+an hội tụ và tìm giới hạn của nó. 2.1.24. Cho c ≥ 0 xét {an} đ−ợc cho hởi công thức √ a1 =0,an+1 = c + an,n∈ N. Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó. 2.1.25. Khảo sát sự hội tụ của dãy đ−ợc cho bởi công thức √ √ a1 = 2,an+1 = 2an,n∈ N. 2.1.26. Cho k ∈ N, khảo sát sự hội tụ của dãy {an} đ−ợc cho bởi công thức truy hồi sau √ √ k k a1 = 5,an+1 = 5an,n∈ N. 2.1.27. Khảo sát sự hội tụ của dãy {an} sau 2 1 6 a1 6 2,an+1 =3an − 2,n∈ N. 2.1.28. Với c>1, định nghĩa dãy {an} và {bn} nh− sau: (a) a1 = pc(c − 1),an+1 = pc(c − 1) + an,n≥ 1, √ (b) b1 = c, bn+1 = pcbn,n≥ 1. Chứng minh rằng cả hai dãy đều có giới hạn là c.
2.1. Dãy đơn điệu 27 2.1.29. Cho a>0 và b>0, định nghĩa dãy {an} bởi rab2 + a2 0 <a <b, a = n với n ≥ 1. 1 n+1 a +1 Tìm lim an. n→∞ Đoàn Chi 2.1.30. Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} đ−ợc cho bởi công thức truy hồi 1 a =2,a =2+ với n ≥ 1 1 n+1 3+ 1 an và tìm giới hạn của nó. 2.1.31. Dãy {an} đ−ợc cho bởi √ √ a1 =1,a2 =2,an+1 = an−1 + an, với n ≥ 2. Chứng minh dãy trên bị chặn và tăng ngặt. Hãy tìm giới hạn của dãy này. 2.1.32. Dãy {an} đ−ợc xác định theo công thức truy hồi √ √ a1 =9,a2 =6,an+1 = an−1 + an, với n ≥ 2. Chứng minh rằng dãy trên bị chặn và giảm ngặt. Tìm giới hạn của dãy này. 2.1.33. Dãy {an} và {bn} đ−ợc cho bởi công thức an + bn 0 <b <a,a = và b = pa b với n ∈ N. 1 1 n+1 2 n+1 n n Chứng minh rằng {an} và {bn} cùng tiến tới một giới hạn. (Giới hạn này đ−ợc gọi là trung bình cộng - nhân của a1 và b1). 2.1.34. Chứng minh rằng cả hai dãy {an} và {bn} xác định theo công thức 2 2 an + bn an + bn 0 <b1 <a1,an+1 = và bn+1 = với n ∈ N an + bn 2 đều đơn điệu và có cùng giới hạn. 2.1.35. Hai dãy truy hồi {an} và {bn} đ−ợc cho bởi công thức an + bn 2anbn 0 <b1 <a1,an+1 = và bn+1 = với n ∈ N. 2 an + bn Chứng minh tính đơn điệu của hai dãy trên và chỉ ra rằng cả hai dãy đều tiến tới trung bình cộng - nhân của a1 và b1. (Xem bài toán 2.1.33).
28 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.1.36. Chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy {an} với n +12 22 2n a = + + + với n ∈ N. n 2n+1 1 2 n 2.1.37. Giả sử có một dãy bị chặn {a } thoả mãn Đoànn Chi 1 2 a 6 a + a với n ≥ 1. n+2 3 n+1 3 n Chứng minh rằng dãy trên hội tụ. 2.1.38. Cho {an} và {bn} định nghĩa bởi: n n+1 1 1 a = 1+ ,b= 1+ với n ∈ N. n n n n Sử dụng bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng, nhân và điều hoà chứng minh rằng (a) an 0 thì dãy {an} bị chặn và tăng ngặt. (b) Giả sử x là một số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng dãy {an} bị chặn và tăng ngặt với n>−x. ex đ−ợc định nghĩa là giới hạn của dãy này. 2.1.40. Giả sử có x>0,l∈ N và l>x.Chứng minh rằng dãy {bn} với x l+n b = 1+ với n ∈ N, n n là dãy giảm ngặt.
2.1. Dãy đơn điệu 29 2.1.41. Thiết lập tính đơn điệu của các dãy {an} và {bn}, với 1 1 a =1+ + + − ln n với n ∈ N, n 2 n − 1 1 1 1 bn =1+ + + + − ln n với n ∈ N. 2 nĐoàn− 1 n Chi Chứng minh rằng cả hai dãy trên cùng tiến đến cùng một giới hạn γ, gọi là hằng số Euler. 1 n 1 n+1 Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức (1 + n ) 0 và đặt an = x, n ∈ N. Chứng tỏ rằng dãy {an} bị chặn. Đồng thời chứng minh rằng dãy này tăng ngặt nếu x 1. Tính lim an. n→∞ Hơn nữa, đặt n n 1 cn =2 (an − 1) và dn =2 1 − với n ∈ N. an Chứng minh rằng {cn} là dãy giảm, còn {dn} là dãy tăng và cả hai dãy cùng có chung giới hạn.
30 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ 2.2.1. Tính: √ (a) lim n 12 +22 + + n2, n→∞ n + sin n2 Đoàn Chi (b) lim , n→∞ n + cos n 1 − 2+3− 4+ +(−2n) (c) lim √ , n→∞ 2 √ √ √n +1√ √ √ (d) lim ( 2 − 3 2)( 2 − 5 2) ( 2 − 2n+1 2), n→∞ n (e) lim √ , n→∞ 2 n n! (f) lim , n→∞ 2n2 1 1 1 1 (g) lim √ √ √ + √ √ + + √ √ , n→∞ n 1+ 3 3+ 5 2n − 1+ 2n +1 1 2 n (h) lim + + + , n→∞ n2 +1 n2 +2 n2 + n n 2n nn (i) lim + + + . n→∞ n3 +1 n3 +2 n3 + n 2.2.2. Cho s>0 và p>0. Chứng minh rằng ns lim =0. n→∞ (1 + p)n 2.2.3. Cho α ∈ (0, 1), tính lim ((n +1)α − nα). n→∞ 2.2.4. Cho α ∈ Q, hãy tính lim sin(n!απ). n→∞ 2.2.5. Chứng minh rằng không tồn tại lim sin n. n→∞ 2.2.6. Chứng minh rằng với mọi số vô tỷ α, lim sin nαπ không tồn tại. n→∞
2.2. Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ 31 2.2.7. Với α ∈ R, hãy tính 1 1 2 2 2 n − 1 2! lim a + + a + + + a + . n→∞ n n n n 2.2.8. Giả sử an =16 với mọi n và lim an =1. Cho k nguyên d−ơng, hãy Đoànn→∞ Chi tính a + a2 + + ak − k lim n n n . n→∞ an − 1 2.2.9. Tính 1 1 1 lim + + + . n→∞ 1.2.3 2.3.4 n.(n + 1)(n +2) 2.2.10. Tính n k3 − 1 lim Y . n→∞ k3 +1 k=2 2.2.11. Tính n i j lim X X . n→∞ n3 i=1 j=1 2.2.12. Tính 2 2 2 lim 1 − 1 − 1 − . n→∞ 2.3 3.4 (n +1).(n +2) 2.2.13. Tính n k3 +6k2 +11k +5 lim X . n→∞ (k + 3)! k=1 2.2.14. Cho x =6 −1 và x =16 , hãy tính n x2k−1 lim X . n→∞ 1 − x2k k=1 2.2.15. Với giá trị x ∈ R nào thì giới hạn n lim Y(1 + x2k ). n→∞ k=0 tồn tại và tìm giá trị của giới hạn này.
32 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.2.16. Tìm tất cả x ∈ R sao cho giới hạn n 2 lim Y 1+ . n→∞ x2k + x−2k k=0 tồn tại và tìm giá trị của giới hạnĐoàn này. Chi 2.2.17. Với giá trị x ∈ R nào thi giới hạn n lim Y(1 + x3k + x2.3k ). n→∞ k=1 tồn tại và tìm giá trị của giới hạn này. 2.2.18. Tính 1.1! + 2.2! + + n.n! lim . n→∞ (n + 1)! 2.2.19. Với x ∈ R nào sao cho đẳng thức sau n1999 1 lim = n→∞ nx − (n − 1)x 2000 đ−ợc thực hiện 2.2.20. Cho a và b sao cho a ≥ b>0, định nghĩa dãy {an} nh− sau: ab a1 = a + b, an = a1 − ,n≥ 2. an−1 Hãy xác định số hạng thứ n của dãy và tính lim an. n→∞ 2.2.21. Định nghĩa dãy {an} bởi a1 =0,a2 =1và an+1 − 2an + an−1 =2 với n ≥ 2. Hãy xác định số hạng thứ n của dãy và tính lim an. n→∞ 2.2.22. Cho a>0,b>0, xét dãy {an} cho bởi ab a1 =√ và a2 + b2 aan−1 an = ,n≥ 2. 2 2 pa + an−1 Tìm số hạng thứ n của dãy và tính lim an. n→∞
2.2. Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ 33 2.2.23. Cho dãy truy hồi {an} định nghĩa bởi a +3 a =0,a= n−1 ,n≥ 2. 1 n 4 Tìm số hạng thứ n và giới hạn của dãy. 2.2.24. Hãy xét tính hội tụ của dãyĐoàn cho bởi Chi a1 = a, an =1+ban−1,n≥ 2. 2.2.25. Ta đinh nghĩa dãy Fibonacci {an} nh− sau: a1 = a2 =1,an+2 = an + an+1,n≥ 1. Chứng minh rằng αn − βn a = , n α − β 2 √ trong đó α và β là nghiệm của ph−ơng trình x = x +1. Tính lim n an. n→∞ 2.2.26. Cho hai dãy {an} và {bn} theo công thức sau: a1 = a, b1 = b, a + b a + b a = n n ,b = n+1 n . n+1 2 n+1 2 Chứng minh rằng lim an = lim bn. n→∞ n→∞ 2.2.27. Cho a ∈{1, 2, , 9}, hãy tính n số hạng a + aa + + aa a lim z }| { . n→∞ 10n 2.2.28. Tính √ n lim n n − 1 . n→∞ n 2.2.29. Giả sử rằng dãy {an} hội tụ tới 0. Hãy tìm lim an. n→∞ 2.2.30. Cho p1,p2, , pk và a1,a2, , ak là các số d−ơng, tính p an+1 + p an+1 + + p an+1 lim 1 1 2 2 k k . n→∞ n n n p1a1 + p2a2 + + pkak
34 Ch−ơng 2. Dãy số thực a 2.2.31. Giả sử rằng lim n+1 = q. Chứng minh rằng: an n→∞ (a) Nếu q 1 thì lim |an| = ∞. n→∞ Đoàn Chi n 2.2.32. Giả sử có lim p|an| = q. Chứng minh rằng: n→∞ (a) Nếu q 1 thì lim |an| = ∞. n→∞ 2.2.33. Cho α là một số thực và x ∈ (0, 1), hãy tính lim nαxn. n→∞ 2.2.34. Tính m(m − 1) ã ã (m − n +1) lim xn, với m ∈ N và |x| < 1. n→∞ n! 2.2.35. Giả sử lim an =0và {bn} một dãy bị chặn. Chứng minh rằng n→∞ lim anbn =0. n→∞ 2.2.36. Chứng minh rằng nếu lim an = a và lim bn = b thì n→∞ n→∞ lim max {an,bn} = max {a, b} . n→∞ 2.2.37. Cho an ≥−1 với n ∈ N và lim an =0. Cho p ∈ N, hãy tìm n→∞ √ p lim 1+an. n→∞ 2.2.38. Giả sử có dãy d−ơng {an} hội tụ tới 0. Cho số tự nhiên p ≥ 2, hãy xác định √ p 1+a − 1 lim n . n→∞ an
2.2. Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ 35 2.2.39. Cho các số d−ơng a1,a2, , ap, hãy tính p lim q(n + a1)(n + a2) (n + ap) − n . n→∞ 2.2.40. Tính Đoàn Chi 1 1 1 lim √ + √ + + √ . n→∞ n2 +1 n2 +2 n2 + n +1 2.2.41. Cho a1,a2, , ap là các số d−ơng, hãy tìm san + an + + an lim n 1 2 p . n→∞ p 2.2.42. Tính r n1999 n1999 lim n 2sin2 + cos2 . n→∞ n +1 n +1 2.2.43. Tính 1 lim (n +1+n cos n) 2n+n sin n . n→∞ 2.2.44. Tính n r k ! lim X 1+ − 1 . n→∞ n2 k=1 2.2.45. Hãy xác định n r k2 ! lim X 3 1+ − 1 . n→∞ n3 k=1 2.2.46. Cho các số d−ơng ak,k=1, 2, , p, hãy tính p p 1 √ ! n lim X ak . n→∞ p k=1 2.2.47. Cho α ∈ (0, 1). Hãy tính − n 1 1 k lim X α + . n→∞ n k=0
36 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.2.48. Cho số thực x ≥ 1, hãy chứng tỏ rằng √ lim (2 n x − 1)n = x2. n→∞ 2.2.49. Chứng minh rằng √ (2Đoànn n − 1)n Chi lim =1. n→∞ n2 2.2.50. Trong những dãy d−ới đây, dãy nào là dãy Cauchy ? tan 1 tan 2 tan n (a) a = + + + , n 2 22 2n 1 22 n2 (b) a =1+ + + + , n 4 42 4n 1 1 1 (c) a =1+ + + + , n 2 3 n 1 1 1 (d) a = − + +(−1)n−1 , n 1.2 2.3 n(n +1) 1 2 n (e) an = α1q + α2q + + αnq , với |q| < 1, |αk|≤M, k =1, 2, , 1 2 n (f) a = + + + . n 22 32 (n +1)2 2.2.51. Cho dãy {an} thoả mãn điều kiện |an+1 − an+2| <λ|an − an+1|. với λ ∈ (0, 1). Chứng minh rằng {an} hội tụ . 2.2.52. Cho dãy {an} các số nguyên d−ơng, định nghĩa 1 1 1 Sn = + + + a1 a2 an và 1 1 1 σn = 1+ 1+ 1+ . a1 a2 an Chứng minh rằng nếu {Sn} hội tụ thì {ln σn} cũng hội tụ. 2.2.53. Chứng minh rằng nếu dãy {Rn} hội tụ đến một số vô tỷ x (định nghĩa trong bài toán 1.1.20) thì nó là dãy Cauchy.
2.3. Định lý Toeplitz, định lý Stolz 37 2.2.54. Cho một dãy cấp số cộng {an} với các số hạng khác 0, hãy tính 1 1 1 lim + + + . n→∞ a1a2 a2a3 anan+1 2.2.55. Cho một dãy cấp số cộng Đoàn{an} với các Chi số hạng d−ơng, hãy tính 1 1 1 1 lim √ √ √ + √ √ + + √ √ . n→∞ n a1 + a2 a2 + a3 an + an+1 2.2.56. Tính 1 2 n √ e n + e n + + e n (a) lim n( n e − 1), (b) lim . n→∞ n→∞ n 2.2.57. Cho dãy {an} định nghĩa nh− sau: a1 = a, a2 = b, an+1 = pan−1 +(1− p)an,n=2, 3, Xác định xem với giá trị a, b và p nào thì dãy trên hội tụ. 2.2.58. Cho {an} và {bn} định nghĩa bởi a1 =3,b1 =2,an+1 = an +2bn và bn+1 = an + bn. Hơn nữa cho an cn = ,n∈ N. bn √ 1 √ (a) Chứng tỏ rằng |c − 2| < |c − 2|,n∈ N. n+1 2 n (b) Tính lim cn. n→∞ 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng 2.3.1. Chứng minh định lý Toeplitz sau về phép biến đổi chính qui từ dãy sang dãy.
38 Ch−ơng 2. Dãy số thực Cho {cn,k :1≤ k ≤ n, n ≥ 1} là một bảng các số thực thoả mãn: (i) cn,k −→ 0 với mọi k ∈ N, n→∞ n (ii) X cn,k −→ 1, n→∞ k=1 Đoàn Chi (iii) tồn tại hằng số C>0 sao cho với mọi số nguyên d−ơng n thì n X |cn,k|≤C. k=1 Khi đó với mọi dãy hội tụ {an} thì dãy biến đổi {bn} đ−ợc cho bởi công thức n bn = P cn,kak,n≥ 1, cũng hội tụ và lim bn = lim an. k=1 n→∞ n→∞ 2.3.2. Chứng minh rằng nếu lim an = a thì n→∞ a + a + + a lim 1 2 n = a. n→∞ n 2.3.3. (a) Chứng minh rằng giả thiết (iii) trong định lý Toeplitz (bài toán 2.3.1) có thể bỏ qua nếu tất cả cn,k là không âm. (b) Cho {bn} là dãy đ−ợc định nghĩa trong định lý Toeplitz (xem bài 2.3.1) với cn,k > 0, 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1. Chứng minh rằng nếu lim an =+∞ thì n→∞ lim bn =+∞. n→∞ 2.3.4. Chứng minh rằng nếu lim an =+∞ thì n→∞ a + a + + a lim 1 2 n =+∞. n→∞ n 2.3.5. Chứng minh rằng nếu lim an = a thì n→∞ na +(n − 1)a + +1.a a lim 1 2 n = . n→∞ n2 2 2.3.6. Chứng minh rằng nếu dãy d−ơng {an} hội tụ tới a thì √ n lim a1 an = a. n→∞
2.3. Định lý Toeplitz, định lý Stolz 39 an+1 2.3.7. Cho dãy d−ơng {an}, chứng minh rằng nếu lim = a thì n→∞ an √ n lim an = a. n→∞ 2.3.8. Cho lim an = a và lim bn = b. Chứng minh rằng n→∞ n→∞ Đoàn Chi a b + a b + + a b lim 1 n 2 n−1 n 1 = ab. n→∞ n 2.3.9. Cho {an} và {bn} là hai dãy thoả mãn (i) bn > 0,n∈ N, và lim (b1 + b2 + + bn)=+∞, n→∞ a (ii) lim n = g. n→∞ bn Chứng minh rằng a + a + + a lim 1 2 n = g. n→∞ b1 + b2 + + bn 2.3.10. Cho {an} và {bn} là hai dãy thoả mãn (i) bn > 0,n∈ N, và lim (b1 + b2 + + bn)=+∞, n→∞ (ii) lim an = a. n→∞ Chứng minh rằng a b + a b + + a b lim 1 1 2 2 n n = a. n→∞ b1 + b2 + + bn 2.3.11. Sử dụng các kết quả của bài tr−ớc, hãy chứng minh định lý Stolz. Cho {xn} , {yn} là hai dãy thoả mãn: (i) {yn} tăng thực sự tới + ∞, x − x − (ii) lim n n 1 = g. n→∞ yn − yn−1 Khi đó x lim n = g. n→∞ yn
40 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.3.12. Tính 1 1 1 (a) lim √ 1+√ + + √ , n→∞ n 2 n n a2 an (b) lim a + + + ,a>1, n→∞ an+1 2 Đoànn Chi 1 (k + 1)! (k + n)! (c) lim k!+ + + ,k∈ N, n→∞ nk+1 1! n! 1 1 1 1 (d) lim √ √ + √ + √ , n→∞ n n n +1 2n 1k +2k + + nk (e) lim ,k∈ N, n→∞ nk+1 1+1.a +2.a2 nan (f) lim ,a>1, n→∞ nan+1 1 n (g) lim (1k +2k + + nk) − ,k∈ N. n→∞ nk k +1 2.3.13. Giả sử rằng lim an = a. Tìm n→∞ 1 a2 a3 an lim √ a1 + √ + √ + + √ . n→∞ n 2 3 n 2.3.14. Chứng minh rằng nếu dãy{an} thoả mãn lim (an+1 − an)=a, n→∞ thì a lim n = a. n→∞ n 2.3.15. Cho lim an = a. Hãy tính n→∞ a a a lim n + n−1 + + 1 . n→∞ 1 2 2n−1 2.3.16. Giả sử rằng lim an = a. Hãy tính n→∞ a a a (a) lim n + n−1 + + 1 , n→∞ 1.2 2.3 n.(n +1) a a − a (b) lim n − n 1 + +(−1)n−1 1 . n→∞ 1 21 2n−1
2.3. Định lý Toeplitz, định lý Stolz 41 2.3.17. Cho k là một số tự nhiên cố định bất kỳ lớn hơn 1. Hãy tính s nk lim n . n→∞ n 2.3.18. Cho một cấp số cộng d−ơngĐoàn{an}, tính Chi 1 n(a a ) n lim 1 n . n→∞ a1 + a2 + + an 2.3.19. Cho dãy {an} sao cho dãy {bn} với bn =2an + an−1,n≥ 2, hội tụ tới b. Hãy xét tính hội tụ của {an} . x 2.3.20. Cho dãy {an} thoả mãn lim n an = a với số thực x nào đó. Chứng n→∞ minh rằng x 1 x lim n (a1.a2 an) n = ae . n→∞ 2.3.21. Tính 1+ 1 + + 1 + 1 (a) lim 2 n−1 n , n→∞ ln n 1+1 + 1 + + 1 (b) lim 3 5 2n−1 . n→∞ ln n 2.3.22. Giả sử {an} tiến tới a. Chứng minh rằng 1 a a a lim 1 + 2 + + n = a. n→∞ ln n 1 2 n 2.3.23. Tính 1 1 n! n (n!)3 n (a) lim , (b) lim , n→∞ nne−n n→∞ n3ne−n 1 1 (n!)2 n n3n n (c) lim , (d) lim , n→∞ n2n n→∞ (n!)3 √ k n (e) lim √ ,k∈ N. n→∞ n n!
42 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.3.24. Chứng minh rằng nếu lim an = a thì n→∞ 1 n a lim X k = a. n→∞ ln n k k=1 { } { } a1+a2+ +an 2.3.25. Cho dãy an , xét dãy AĐoànn các trung Chi bình cộng An = n . Chứng minh rằng nếu lim An = A thì n→∞ 1 n a lim X k = A. n→∞ ln n k k=1 2.3.26. Chứng minh điều ng−ợc lại của định lý Toeplitz trong 2.3.1. Cho {cn,k :1≤ k ≤ n, n ≥ 1} là một bảng số thực bất kỳ. Nếu với mỗi dãy {an} hội tụ bất kỳ, dãy biến đổi {bn} cho bởi công thức n bn = X cn,kak,n≥ 1 k=1 cũng hội tụ đến cùng một giới hạn thì (i) cn,k −→ 0 với mọi k ∈ N, n→∞ n (ii) X cn,k −→ 1, n→∞ k=1 (iii) tồn tại hằng số C>0 sao cho với mọi số nguyên d−ơng n, ta có n X |cn,k|≤C. k=1 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới 2.4.1. Cho {an} là dãy thoả mãn {a2k} , {a2k+1} và {a3k} hội tụ. (a) Chứng minh rằng dãy {an} cũng hội tụ. (b) Liệu từ sự hội tụ của hai trong ba dãy con trên có suy ra đ−ợc sự hội tụ của {an}?
2.4. Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới 43 2.4.2. Từ sự hội tụ của tất cả các dãy con của dãy {an} d−ới dạng {as.n} ,s> 1, có suy ra đ−ợc sự hội tụ của {an}? 2.4.3. Cho {apn} , {aqn } , ,{asn } là các dãy con của dãy {an} sao cho {pn} , {qn} , ,{sn} rời nhau từng cặp và hợp thành dãy {n}. Chứng minh rằng nếu S, S ,S, ,S t−ơng ứng là các tập các điểm giới hạn (1) của các p q s Đoàn Chi dãy {an} , {apn } , {aqn} , ,{asn } thì S = Sp ∪ Sq ∪ ∪ Ss. Chứng minh rằng nếu mỗi dãy con {apn } , {aqn } , , {asn } hội tụ tới a thì dãy {an} cũng hội tụ tới a. 2.4.4. Định lý trên (bài toán 2.4.3) có đúng trong tr−ờng hợp số l−ợng các dãy con là vô hạn không ? 2.4.5. Chứng minh rằng, nếu mọi dãy con {ank } của dãy {an} đều chứa một dãy con nan o hội tụ tới a thì dãy {an} cũng hội tụ tới a. kl 2.4.6. Xác định tập các điểm giới hạn của dãy {an}, với (−1)n (a) an = p4 +2, 1 n − 1 n − 1 (b) a = n − 2 − 3 n − 3 − 3 , n 2 3 3 (1 − (−1)n)2n +1 (c) a = , n 2n +3 (1 + cos nπ)ln3n +lnn (d) a = , n ln 2n nπ n (e) a = cos , n 3 2n2 2n2 (f) a = − . n 7 7 2.4.7. Tìm tập hợp các điểm giới hạn của dãy {an} cho bởi công thức (a) an = nα − [nα],α∈ Q, (b) an = nα − [nα],α6∈ Q, (c) an = sin πnα, α ∈ Q, (d) an = sin πnα, α 6∈ Q. (1)Còn gọi là các giới hạn riêng hay các điểm tụ của dãy.
44 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.4.8. Cho {ak}√là một√ dãy sinh ra từ cách đánh số một-một bất kỳ các phần tử của ma trận { 3 n − 3 m} ,n,m∈ N. Chứng minh rằng mọi số thực đều là điểm giới hạn của dãy này. 2.4.9. Giả sử {an} là dãy bị chặn. Chứng minh rằng tập các điểm giới hạn của nó là đóng và bị chặn. Đoàn Chi 2.4.10. Xác định lim an và lim an với: n→∞ n→∞ 2n2 2n2 (a) a = − , n 7 7 n − 1 nπ (b) a = cos , n n +1 3 n (c) an =(−1) n, (−1)nn (d) an = n , nπ (e) a =1+n sin , n 2 n 1 n nπ (f) a = 1+ (−1) + sin , n n 4 n n(−1)n (g) an = p1+2 , 2nπ n (h) a = 2 cos , n 3 ln n − (1 + cos nπ)n (i) a = . n ln 2n 2.4.11. Tìm giới hạn trên và giới hạn d−ới của các dãy sau: (a) an = nα − [nα],α∈ Q, (b) an = nα − [nα],α6∈ Q, (c) an = sin πnα, α ∈ Q, (d) an = sin πnα, α 6∈ Q. 2.4.12. Với dãy {an} bất kỳ chứng minh rằng: (a) nếu tồn tại k ∈ N sao cho với mọi n>k, bất đẳng thức an ≤ A luôn đúng thì lim an ≤ A, n→∞ (b) nếu với mọi k ∈ N tồn tại nk >kđể ank 6 A thì lim an 6 A, n→∞
2.4. Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới 45 (c) nếu tồn tại k ∈ N sao cho bất đẳng thức an ≥ a đúng với mọi n>kthì lim an ≥ a, n→∞ (d) nếu với mọi k ∈ N tồn tại nk >ksao cho an ≥ a thì lim an ≥ a. k n→∞ 2.4.13. Giả sử dãy {an} tồn tại giớiĐoàn hạn trên Chi và giới hạn d−ới hữu hạn. Chứng minh rằng (a) L = lim an khi và chỉ khi n→∞ (i) Với mọi ε>0 tồn tại k ∈ N sao cho an kvà (ii) Với mọi ε>0 và k ∈ N tồn tại nk >ksao cho L − ε 0 tồn tại k ∈ N sao cho an >l− ε nếu n>kvà (ii) Với mọi ε>0 và k ∈ N tồn tại nk >ksao cho ank <l+ ε Hãy phát biểu những khẳng địng t−ơng ứng cho giới hạn trên và giới hạn trong tr−ờng hợp vô hạn. 2.4.14. Giả sử tồn tại một số nguyên n0 sao cho với n ≥ n0,an 6 bn. Chứng minh rằng (a) lim an 6 lim bn, n→∞ n→∞ (b) lim an 6 lim bn. n→∞ n→∞ 2.4.15. Chứng minh các bất đẳng thức sau (trừ tr−ờng hợp bất định +∞−∞ và −∞ + ∞): lim an + lim bn 6 lim (an + bn) 6 lim an + lim bn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 6 lim (an + bn) 6 lim an + lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ Hãy đ−a ra một số ví dụ sao cho dấu “ 6 ” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bằng dấu “ < ”. 2.4.16. Các bất đẳng thức sau lim an + lim bn 6 lim (an + bn), n→∞ n→∞ n→∞ lim (an + bn) 6 lim an + lim bn. n→∞ n→∞ n→∞
46 Ch−ơng 2. Dãy số thực có đúng trong tr−ờng hợp có vô hạn dãy không ? 2.4.17. Lấy {an} và {bn} là các dãy số không âm. Chứng minh rằng (trừ tr−ờng hợp 0.(+∞) và (+∞).0) các bất đẳng thức sau: lim an ã lim bn 6 lim (an ã bn) 6 lim an ã lim bn n→∞ n→∞ n→∞Đoàn Chin→∞ n→∞ 6 lim (an ã bn) 6 lim an ã lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ Hãy đ−a ra một số ví dụ sao cho dấu “ 6 ” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bằng dấu “ 0, và tồn tại một số n→∞ nguyên d−ơng n0 sao cho bn ≥ 0 với n ≥ n0, khi đó lim (an.bn)=a. lim bn, n→∞ n→∞ lim (an.bn)=a. lim bn, n→∞ n→∞ 2.4.21. Chứng minh rằng lim (−an)=− lim an, lim (−an)=− lim an. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 2.4.22. Chứng minh rằng với dãy số d−ơng {an} ta có 1 1 lim = , n→∞ an lim an n→∞
2.4. Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d−ới 47 1 1 lim = . n→∞ an lim (an) n→∞ 1 1 ∞ (ở đây +∞ =0, 0+ =+ .) 2.4.23. Chứng minh rằng nếu dãy {a } là dãy số d−ơng thoã mãn Đoànn Chi 1 lim (an) ã lim =1, n→∞ n→∞ an thì dãy {an} hội tụ. 2.4.24. Chứng minh rằng nếu {an} là dãy thoã mãn với bất kỳ dãy {bn} , lim (an + bn) = lim an + lim bn, n→∞ n→∞ n→∞ và lim (an + bn)= lim an + lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ thì dãy {an} hội tụ. 2.4.25. Chứng minh rằng, nếu {an} là một dãy d−ơng thoả mãn với bất kì dãy d−ơng {bn}, lim (an ã bn) = lim an ã lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ hoặc lim (an.bn)= lim an lim bn, n→∞ n→∞ n→∞ vì vậy {an} hội tụ. 2.4.26. Chứng minh rằng với bất kì dãy d−ơng {an}, a √ √ a n+1 n n n+1 lim 6 lim an 6 lim an 6 lim . n→∞ an n→∞ n→∞ n→∞ an 2.4.27. Cho dãy {an} , lấy dãy {bn} xác định nh− sau 1 b = (a + a + + a ),n∈ N. n n 1 2 n Chứng minh rằng lim an 6 lim bn 6 lim bn 6 lim an. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
48 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.4.28. Chứng minh rằng (a) lim (max {an,bn}) = max n lim an, lim bno , n→∞ n→∞ n→∞ (b) lim (min {an,bn})=min lim an, lim bn , n→∞ Đoànn →∞Chin→∞ Kiểm tra các bất đẳng thức sau: (a) lim (min {an,bn}) = min n lim an, lim bno , n→∞ n→∞ n→∞ (d) lim (max {an,bn})=max lim an, lim bn n→∞ n→∞ n→∞ có đúng không? 2.4.29. Chứng minh rằng mọi dãy số thực đều chứa một dãy con đơn điệu. 2.4.30. Sử dụng kết quả bài tr−ớc để chứng minh định lí Bolzano-Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ. 2.4.31. Chứng minh rằng với mọi dãy số d−ơng {an}, a + a + + a + a lim 1 2 n n+1 ≥ 4. n→∞ an Chứng minh rằng 4 là đánh giá tốt nhất. 2.5 Các bài toán hỗn hợp 2.5.1. Chứng minh rằng nếu lim an =+∞ hay lim an = −∞ thì n→∞ n→∞ 1 an lim 1+ = e. n→∞ an 2.5.2. Với x ∈ R chứng minh rằng x n lim 1+ = ex. n→∞ n
2.5. Các bài toán hỗn hợp 49 2.5.3. Với x>0 hãy kiểm chứng bất đẳng thức x 0. x +2 x +2 2.5.4. Chứng minh rằng √ (a) lim n( n a − 1) = ln a, a > 0, n→∞ √ (b) lim n( n n − 1)=+∞. n→∞ 2.5.5. Lấy {an} là dãy số d−ơng với các số hạng khác 1, chứng minh rằng nếu lim an =1thì n→∞ ln a lim n =1. n→∞ an − 1 2.5.6. Lấy 1 1 1 a =1+ + + + ,n∈ N. n 1! 2! n! Chứng minh rằng 1 lim an = e và 0 <e− an < . n→∞ nn! 2.5.7. Chứng minh rằng x x2 xn lim 1+ + + + = ex. n→∞ 1! 2! n! 2.5.8. Chứng minh rằng (a) 1 1 1 lim + + + =ln2, n→∞ n n +1 2n (b) 1 1 1 ! lim + + + =ln2. n→∞ pn(n +1) p(n + 1)(n +2) p2n(2n +1)
50 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.9. Tìm giới hạn của dãy {an} ,trong đó 1 2 n a = 1+ 1+ 1+ ,n∈ N. n n2 n2 n2 2.5.10. Lấy {an} là dãy đ−ợc xácĐoàn định qui nạp Chi nh− sau a1 =1,an = n(an−1 +1) với n =2, 3, Tính n 1 lim Y 1+ . n→∞ ak k=1 2.5.11. Chứng minh rằng lim (n!e − [n!e])=0. n→∞ 2.5.12. Cho các số d−ơng a và b, chứng minh rằng √ √ n n a + n b! √ lim = ab. n→∞ 2 2.5.13. Cho {an} và {bn} là các dãy d−ơng thỏa mãn n n lim an = a, lim bn = b, trong đó a, b > 0, n→∞ n→∞ và giả sử các số d−ơng p, q thỏa mãn p + q =1. Chứng minh rằng n p q lim (pan + qbn) = a b . n→∞ 2.5.14. Cho hai số thực a và b, xác định dãy {an} nh− sau n − 1 1 a = a, a = b, a = a + a ,n≥ 2. 1 2 n+1 n n n n−1 Tìm lim an. n→∞ 2.5.15. Cho {an} là một dãy đ−ợc xác định nh− sau a1 =1,a2 =2,an+1 = n(an + an−1),n≥ 2. Tìm công thức hiển của các số hạng tổng quát của dãy.
2.5. Các bài toán hỗn hợp 51 2.5.16. Cho a và b xác định {an} nh− sau 1 2n − 1 a = a, a = b, a = a + a ,n≥ 2. 1 2 n+1 2n n−1 2n n Tìm lim an. n→∞ Đoàn Chi 2.5.17. Cho n 1 a =3− X ,n∈ N. n k(k + 1)(k + 1)! k=1 (a) Chứng minh rằng lim an = e. n→∞ − 1 (b) Chứng minh rằng 0 <an e<(n+1)(n+1)! . 2.5.18. Tính lim n sin(2πn!e). n→∞ 2.5.19. Giả sử {an} là dãy thoả mãn an <n,n=1, 2, , và lim an =+∞. n→∞ Hãy xét tính hội tụ của dãy a n 1 − n ,n=1, 2, n 2.5.20. Giả sử dãy {bn} d−ơng hội tụ tới +∞. Xét tính hội tụ của dãy b n 1+ n ,n=1, 2, n 2.5.21. Cho dãy truy hồi {an} định nghĩa nh− sau 0 <a1 < 1,an+1 = an(1 − an),n≥ 1, chứng minh rằng (a) lim nan =1, n→∞ n(1 − a ) (b) lim n =1, n→∞ ln n 2.5.22. Xét dãy truy hồi {an} nh− sau 0 <a1 <π, ,an+1 = sin an,n≥ 1. √ √ Chứng minh rằng lim nan = 3. n→∞
52 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.23. Cho 1 a1 =1,an+1 = an + n ,n≥ 1. P ak k=1 Chứng minh rằng a lim √ n =1. n→∞Đoàn2lnn Chi 2.5.24. Cho {an} nh− sau a1 > 0,an+1 = arctan an,n≥ 1, tính lim an. n→∞ 2.5.25. Chứng minh rằng dãy đệ qui 0 0. Tìm lim (an+1 − an). n→∞ | | π ∈ { } 2.5.28. Cho a 6 2 và a1 R. Nghiên cứu tính hội tụ của dãy an cho bởi công thức sau: an+1 = a sin an,n≥ 1. 2.5.29. Cho a1 > 0, xét dãy {an} cho bởi an+1 = ln(1 + an),n≥ 1. Chứng minh rằng (a) lim nan =2, n→∞ n(na − 2) 2 (b) lim n = . n→∞ ln n 3
2.5. Các bài toán hỗn hợp 53 2.5.30. Cho dãy {an} nh− sau a 1 n a =0 và a = ,n≥ 1. 1 n+1 4 Hãy nghiên cứu tính hội tụ của dãy. Đoàn Chi 2.5.31. Cho a1 > 0, định nghĩa dãy {an} nh− sau: 1−an an+1 =2 ,n≥ 1. Khảo sát tính hội tụ của dãy. 2.5.32. Tìm giới hạn của dãy cho bởi √ an a1 = 2,an+1 =22 ,n≥ 1. 2.5.33. Chứng minh rằng nếu lim (an − an−2)=0thì n→∞ a − a lim n n−1 =0. n→∞ n 2.5.34. Chứng minh rằng nếu với dãy d−ơng {an} bất kỳ thoả mãn a lim n 1 − n+1 n→∞ an tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn) thì ln 1 lim an n→∞ ln n cũng tồn tại và cả hai giới hạn bằng nhau. 2.5.35. Cho a1,b1 ∈ (0, 1), Chứng minh rằng dãy {an} và {bn} cho bởi công thức an+1 = a1(1 − an − bn)+an,bn+1 = b1(1 − an − bn)+bn,n≥ 1 hội tụ và tìm giới hạn của chúng. 2.5.36. Cho a và a1 d−ơng, xét dãy {an} nh− sau an+1 = an(2 − nan),n=1, 2, Khảo sát sự hội tụ của dãy.
54 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.37. Chứng minh rằng nếu a1 và a2 là hai số d−ơng và √ √ an+2 = an + an+1,n=1, 2, thì dãy {an} hội tụ. Tìm giới hạn của dãy. k 2.5.38. Giả sử f : R+ −→ R− là một hàm tăng với mỗi biến và tồn tại a>0 sao cho Đoàn Chi f(x, x, , x) >xvới 0 a. Cho các số d−ơng a1,a2, ,ak, định nghĩa dãy truy hồi {an} nh− sau: an = f(an−1,an−2, , an−k), với n>k. Chứng minh rằng lim an = a. n→∞ 2.5.39. Cho a1 và a2 là hai số d−ơng. Xét tính hội tụ của dãy {an} đ−ợc định nghĩa truy hồi nh− sau an−an−1 an+1 = ane với n ≥ 1. x 2.5.40. Cho a>1 và x>0, định nghĩa {an} bởi a1 = a ,an+1 = aan ,n∈ N. Hãy xét tính hội tụ của dãy. 2.5.41. Chứng minh rằng r √ π 2+q2+ + 2 = 2 cos . 2n+1 | n -{z căn } Sử dụng kết quả trên để tính giới hạn của dãy truy hồi cho bởi √ √ a1 = 2,an+1 = 2+an,n≥ 1. 2.5.42. Cho {εn} là dãy sao cho các số hạng chỉ nhận một trong ba giá trị −1, 0, 1. Thiết lập công thức r √ π n ε ε ε ! ε 2+ε q2+ããã+ ε 2=2sin X 1 2 k ,n∈ N. 1 2 n 4 2k−1 k=1 và chứng tỏ rằng dãy √ r q an = ε1 2+ε2 2+ããã+ εn 2 hội tụ.
2.5. Các bài toán hỗn hợp 55 2.5.43. Tính 1 1 1 lim arctan + arctan + + arctan . n→∞ 2 2.22 2n2 √ 2.5.44. Tính lim sin(π n2 + n). n→∞ Đoàn Chi 2.5.45. Xét tính hội tụ của dãy truy hồi d−ới đây √ √ q q √ a1 = 2,a2 = 2+ 3,an+2 = 2+ 3+an với n ≥ 1. 2.5.46. Chứng minh rằng v u s √ u r q lim t1+2 1+3 1+ 1+(n − 1) 1+n =3. n→∞ 2.5.47. Cho a>0, cho dãy {an} bởi a a1 0, xét dãy {an} : a a1 > 0,an+1 = với n ∈ N. an +1 Chứng minh rằng dãy hội tụ tới nghiệm d−ơng của ph−ơng trình x2 + x = a. 2.5.49. Cho {an} là dãy truy hồi cho bởi công thức sau 2+an a1 =1,an+1 = với n ∈ N. 1+an Chứng minh rằng {an} là dãy Cauchy và tìm giới hạn của nó. 2.5.50. Chứng minh rằng dãy định nghĩa bởi 1 a1 > 0,an+1 =2+ ,n∈ N, an là dãy Cauchy và tìm giới hạn của dãy.
56 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.51. Cho a>0, định nghĩa {an} nh− sau: a a1 =0 an+1 = với n ∈ N. 2+an Hãy xét tính hội tụ của dãy {an} . Đoàn Chi1−n 2.5.52. Giả sử rằng a1 ∈ R và an+1 = |an − 2 | với n ∈ N. Hãy xét tính hội tụ của dãy và trong tr−ờng hợp hội tụ hãy tìm giới hạn đó. 2.5.53. Chứng minh rằng (a) Nếu 0 1 thì n n bj−1 1 lim X = . n→∞ bn j b − 1 j=1 2.5.54. Tính π π π lim sin + sin + + sin . n→∞ n +1 n +2 2n 2.5.55. Tính n k2 (a) lim Y 1+ , với c>0, n→∞ cn3 k=1 n k2 (b) lim Y 1 − , với c>1. n→∞ cn3 k=1 2.5.56. Xác định √ n3n n k lim Y sin √ . n→∞ n! n n k=1
2.5. Các bài toán hỗn hợp 57 2.5.57. Cho dãy {an} định nghĩa theo công thức sau: n n −1 a = X ,n≥ 1, n k k=0 Chứng minh rằng lim an =2. n→∞ Đoàn Chi 2.5.58. Tìm giá trị α sao cho dãy 1 α 2 α n − 1 α a = 1 − 1 − 1 − ,n≥ 2, n n n n hội tụ. √ 2.5.59. Với x ∈ R, định nghĩa {x} = x − [x]. Tính lim (2 + 3)n . n→∞ 2.5.60. Cho {an} là một dãy d−ơng và đặt Sn = a1 + a2 + + an,n≥ 1. Giả sử ta có 1 an+1 ≤ ((Sn − 1)an + an−1),n>1. Sn+1 Hãy tính lim an. n→∞ 2.5.61. Cho {an} là dãy d−ơng thoả mãn a a + a + + a lim n =0, lim 1 2 n < ∞. n→∞ n n→∞ n Tính a2 + a2 + + a2 lim 1 2 n . n→∞ n2 2.5.62. Xét hai dãy d−ơng {an} và {bn} thoả mãn a b lim n = 0 lim n =0. n→∞ a1 + a2 + + an n→∞ b1 + b2 + + bn Định nghĩa dãy {cn} nh− sau: cn = a1bn + a2bn−1 + + anb1,n∈ N. Chứng minh rằng c lim n =0. n→∞ c1 + c2 + + cn
58 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.63. Tính 2 1 n lim 1+ e−n. n→∞ n 2.5.64. Giả sử dãy {an} bị chặn trên và thoả mãn điều kiện 1 a − aĐoàn> − ,n Chi∈ N. n+1 n n2 Hãy thiết lập sự hội tụ của dãy {an} . 2.5.65. Giả sử dãy {an} bị chặn thoả mãn điều kiện √ 2n an+1 2 ≥ an,n∈ N. Hãy thiết lập sự hội tụ của dãy {an} . 2.5.66. Ký hiệu l và L t−ơng ứng là giới hạn d−ới và giới hạn trên của dãy {an} . Chứng minh rằng nếu lim (an+1 − an)=0thì mỗi điểm trong khoảng n→∞ mở (l, L) là điểm giới hạn của {an} . 2.5.67. Ký hiệu l và L t−ơng ứng là giới hạn d−ới và giới hạn trên của dãy {an} . Giả sử rằng với mọi n, an+1 − an > −αn, với αn > 0 và lim αn =0. n→∞ Chứng minh rằng mỗi điểm trong khoảng mở (l, L) là điểm giới hạn của {an} . 2.5.68. Cho {an} là dãy d−ơng và đơn điệu tăng. Chứng minh rằng tập các điểm giới hạn của dãy a n ,n∈ N, n + an là một khoảng, khoảng này suy biến thành một điểm trong tr−ờng hợp hội tụ. 2.5.69. Cho a1 ∈ R, xét dãy {an} nh− sau: ( an 2 nếu n chẵn, an+1 = 1+an 2 nếu n lẻ. Tìm các điểm giới hạn của dãy trên. √ 2.5.70. Liệu 0 có phải là một điểm giới hạn của dãy { n sin n} ? 2.5.71. Chứng minh rằng với dãy d−ơng {an} ta có a + a n lim 1 n+1 ≥ e. n→∞ an
2.5. Các bài toán hỗn hợp 59 2.5.72. Chứng minh kết quả tổng quát của bài toán trên: Cho số nguyên d−ơng p và dãy d−ơng {an}, Chứng minh rằng a + a n lim 1 n+p ≥ ep. n→∞ an 2.5.73. Chứng minh với dãy d−ơngĐoàn{an} ta cóChi 1+a lim n n+1 − 1 ≥ 1. n→∞ an Chứng minh 1 là hằng số tốt nhất có thể đ−ợc của bất đẳng thức trên. 2.5.74. Cho r q √ an = 1+ 1+ + 1 | n -{z căn } Tìm lim an. n→∞ 2.5.75. Cho {an} là dãy với các phần tử lớn hơn 1 . Giả sử ta có ln ln a lim n = α, n→∞ n Xét dãy {bn} nh− sau: √ r q bn = a1 + a2 + + an,n∈ N. Chứng minh rằng nếu α<ln 2 thì {bn} hội tụ, ng−ợc lại nếu α<ln 2 thì dãy phân kì tới ∞. 2.5.76. Giả sử các số hạng của dãy của dãy {an} thoả mãn điều kiện 0 ≤ an+m ≤ an + am với n, m ∈ R. Chứng minh rằng giới hạn lim an tồn tại. n→∞ n 2.5.77. Giả sử các số hạng của dãy của dãy {an} thoả mãn điều kiện 0 ≤ an+m ≤ an ã am với n, m ∈ R. √ Chứng minh rằng giới hạn lim n an tồn tại. n→∞
60 Ch−ơng 2. Dãy số thực 2.5.78. Giả sử các số hạng của dãy của dãy {an} thoả mãn điều kiện |an|≤1, an + am − 1 ≤ an+m ≤ an + am +1 với n, m ∈ N. Đoàn Chi (a) Chứng minh rằng giới hạn lim an tồn tại. n→∞ n (b) Chứng minh rằng nếu giới hạn lim an = g thì n→∞ n ng − 1 ≤ an ≤ ng +1với n ∈ N. 2.5.79. Cho {an} là dãy d−ơng và đơn điệu tăng thoả mãn điều kiện an.m ≥ nam với n, m ∈ N. an ∈ ∞ an Chứng minh rằng nếu sup n : n N 0, xét hai dãy {an} và {bn} cho bởi công thức truy hồi: an + bn a = ,b = pa b với n ∈ N. n+1 2 n+1 n+1 n Chứng minh rằng cả hai dãy đều hội tụ tới cùng một giới hạn. 2.5.82. Cho ak,n,bk,n,n∈ N, k =1, 2, , n, là hai bảng tam giác các số thực ak,n với bk,n =06 . Giả sử rằng −→ 1 đều đối với k, có nghĩa là với mọi ε>0, bk,n n→∞ luôn tồn tại một số d−ơng n0 sao cho ak,n − 1 n0 và k =1, 2, , n. Chứng minh rằng nếu lim P bk,n tồn tại n→∞ k=1 thì n n lim X ak,n = lim X bk,n. n→∞ n→∞ k=1 k=1
2.5. Các bài toán hỗn hợp 61 2.5.83. Cho a =06 , tìm n (2k − 1)a lim X sin . n→∞ n2 k=1 2.5.84. Với a>0, tính Đoàn Chi n k lim X a n2 − 1 . n→∞ k=1 2.5.85. Tính n k lim Y 1+ . n→∞ n2 k=1 2.5.86. Với p =06 và q>0, hãy tính n 1 kq−1 p ! lim X 1+ − 1 . n→∞ nq k=1 2.5.87. Cho các số d−ơng a, b và d với b>a,tính a(a + d) (a + nd) lim . n→∞ b(b + d) (b + nd)
Đoàn Chi
Ch−ơng 3 Đoàn Chi Chuỗi số thực Tóm tắt lý thuyết • Cho chuỗi hình thức ∞ (A) X an. n=1 an đ−ợc gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuỗi (A). Dãy các tổng riêng của chuỗi (A) đ−ợc định nghĩa là n sn = X ak,n∈ N. k=1 sn đ−ợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (A). Nói rằng chuỗi (A) hội tụ và có tổng bằng s, nếu lim sn = s. n→∞ Trong tr−ờng hợp này, phần d− của chuỗi (A) đ−ợc định nghĩa là ∞ rn = s − sn = X ak,n∈ N. k=n+1 Nói rằng chuỗi (A) phân kỳ, nếu giới hạn nói trên không tồn tại 63
64 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực • Điều kiện cần để chuỗi (A) hội tụ là lim an =0. n→∞ • Điều kiện cần và đủ để chuỗi (A) hội tụ là: với >cho tr−ớc, tồn tại n ∈ N sao cho Đoàn Chi n+p X ak n, ∀p ∈ N. k=n • (A) đ−ợc gọi là chuỗi d−ơng nếu an ≥ 0 với mọi n. • Tiêu chuẩn so sánh. Cho hai chuỗi d−ơng (A) và (B) ∞ (B) X bn. n=1 Giả sử an 6 bn ∀n ∈ N. Khi đó, nếu chuỗi (B) hội tụ, thì chuỗi (A) cũng hội tụ; nếu chuỗi (A) phân kỳ, thì chuỗi (B) cũng phân kỳ. Đặc biệt, nếu a lim n = k =06 , n→∞ bn thì hai chuỗi (A), (B) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. • Tiêu chuẩn tỷ số (D'Alembert). Cho chuỗi d−ơng (A). Nếu a lim n+1 1, n→∞ an thì chuỗi (A) phân kỳ.
Tóm tắt lý thuyết 65 Đặc biệt, giả sử tồn tại giới hạn a a = lim n+1 , n→∞ an khi đó, nếu a 1 thì chuỗi (A) phân kỳ. • Tiêu chuẩn căn (Cachy).ĐoànCho chuỗi Chi d−ơng (A). Giả sử tồn tại giới hạn √ n c = lim an, n→∞ khi đó, nếu c 1 thì chuỗi (A) phân kỳ. • Tiêu chuẩn Raabe. Cho chuỗi d−ơng (A). Nếu a lim n n − 1 > 1, n→∞ an+1 thì chuỗi (A) hội tụ. Nếu a lim n n − 1 1 thì chuỗi (A) hội tụ; nếu r<1 thì chuỗi (A) phân kỳ. • Nói rằng chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi (gồm các trị số tuyệt đối) ∞ X |an| n=1 hội tu. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Điều ng−ợc lại, nói chung, không đúng. • Nói rằng chuỗi (A) hội tụ có điều kiện hay bán hội tụ, nếu chuỗi nó hội tụ nh−ng không hội tụ tuyệt đối. • Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng n−1 b1 − b2 + b3 −ããã+(−1) + ããã ,bn ≥ 0.
66 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực • Tiêu chuẩn Leibniz nói rằng, nếu dãy số {bn} đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. • Phép biến đổi Abel Cho hai chuỗi bất kỳ (A) và (B). Đặt n n n An = X ak,Bn = X bk,Cn = X akbk. k=1 Đoànk=1 Chik=1 Khi đó ta có n−1 Cn = anBn − X(ak+1 − ak)Bk. k=1 • Tiêu chuẩn Abel. Cho hai chuỗi bất kỳ (A) và (B). Xét chuỗi (C) nh− sau ∞ (C) X anbn. n=1 Nếu chuỗi (B) hội tụ và dãy {an} đơn điệu và bị chặn thì chuỗi (C) hội tụ. • Tiêu chuẩn Dirichlet. Nếu dãy {An} bị chặn, dãy {bn} đơn điệu và có giới hạn bằng 0 thì chuỗi (C) hội tụ.
3.1. Tổng của chuỗi 67 3.1 Tổng của chuỗi 3.1.1. Tìm các chuỗi và tổng của chúng nếu dãy {Sn} các tổng riêng của chúng đ−ợc cho nh− sau: n +1 2n − 1 (a) S = ,n∈ N, (b) S = ,n∈ N, n n Đoàn Chin 2n (−1)n (c) S = arctan n, n ∈ N, (d) S = ,n∈ N, n n n 3.1.2. Tìm tổng của các chuỗi ∞ ∞ 2n +1 n (a) X , (b) X , n2(n +1)2 (2n − 1)2(2n +1)2 n=1 n=1 ∞ √ ∞ n − n2 − 1 1 (c) X , (d) X , 4n2 − 1 n=1 pn(n +1) n=1 ∞ 1 (e) X √ √ . n=1 ( n + n +1)pn(n +1) 3.1.3. Tính các tổng sau ∞ 1 (n + 1)(3n +1) (a) ln + X ln , 4 n(3n +4) n=1 ∞ (2n +1)n (b) X ln . (n + 1)(2n − 1) n=1 3.1.4. Tìm tổng của các chuỗi ∞ 1 (a) X ,m∈ N, n(n +1) (n + m) n=1 ∞ 1 (b) X ,m∈ N, n(n + m) n=1 ∞ n2 (c) X . (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n +4) n=1 3.1.5. Tính ∞ ∞ n!π 1 ln n (a) X sin , (b) X . 720 n n − ln n n=1 n=1
68 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.1.6. Tính ∞ 1 3 X sin cos . 2n+1 2n+1 n=1 3.1.7. Tìm ∞ 1 X . nĐoàn!(n4 + n2 +1) Chi n=0 3.1.8. Chứng minh rằng ∞ n 1 X = . 3 ã 5 ã ã (2n +1) 2 n=1 3.1.9. Giả sử {an} là một dãy thoả mãn lim ((a1 + 1)(a2 +1) (an + 1)) = g, 0 2,an+1 = an − 2 với n ∈ N. Chứng minh rằng ∞ √ 1 a − a 2 − 4 X = 1 1 . a ã a ã ã a 2 n=1 1 2 n
3.1. Tổng của chuỗi 69 3.1.12. Với b>2, kiểm tra rằng ∞ n! 1 X = . b(b +1) (b + n − 1) b − 2 n=1 3.1.13. Cho a>0 và b>a+1,Đoàn chứng minh Chi đẳng thức ∞ a(a +1) (a + n − 1) a X = . b(b +1) (b + n − 1) b − a − 1 n=1 3.1.14. Cho a>0 và b>a+2, kiểm tra đẳng thức sau ∞ a(a +1) (a + n − 1) a(b − 1) X = . b(b +1) (b + n − 1) (b − a − 1)(b − a − 2) n=1 ∞ 3.1.15. Cho 1 là chuỗi phân kỳ với các số hạng d−ơng. Cho tr−ớc b>0, P an n=1 tìm tổng ∞ a ã a ã ã a X 1 2 n . (a + b)(a + b) (a + b) n=1 2 3 n+1 3.1.16. Tính ∞ cos3 3nx X(−1)n . 3n n=0 3.1.17. Cho các hằng số khác không a, b và c, giả sử các hàm f và g thoả mãn điều kiện f(x)=af(bx)+cg(x). (a) Chứng minh rằng nếu lim anf(bnx)=L(x) tồn tại thì n→∞ ∞ f(x) − L(x) X ang(bnx)= . c n=0 (b) Chứng minh rằng nếu lim a−nf(b−nx)=M(x) tồn tại thì n→∞ ∞ M(x) − af(bx) X a−ng(b−nx)= . c n=0
70 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực x − 3 x 3.1.18. Dùng đồng nhất thức sin x = 3 sin 3 4 sin 3 , chứng minh rằng ∞ x x − sin x (a) X 3n sin3 = , 3n+1 4 n=0 ∞ 1 x 3 x (b) X sin3 = sin . 3n Đoàn3−n+1 Chi4 3 n=0 6 π ∈ 3.1.19. Dùng đồng nhất thức cot x = 2 cot(2x) + tan x với x = k 2 ,k Z, chứng minh rằng ∞ 1 x 1 X tan = − 2 cot(2x). 2n 2n x n=0 (1−b)x 3.1.20. Dùng đồng nhất thức arctan x = arctan(bx) + arctan 1+bx2 , thiết lập các công thức sau: ∞ (1 − b)bnx (a) X arctan = arctan x với 0 1. 1+b2n+1x2 n=0 3.1.21. Cho {an} là dãy Fibonacci đ−ợc xác định bởi a0 = a1 =1,an+1 = an + an−1,n≥ 1 n 2 và đặt Sn = P ak . Tìm k=0 ∞ (−1)n X . S n=0 n 3.1.22. Với dãy Fibonacci {an} trong bài trên, tính ∞ (−1)n X . a a n=0 n n+2 3.1.23. Với dãy Fibonacci {an} trong bài trên, xác định tổng ∞ 1 X arctan . a n=1 2n
3.1. Tổng của chuỗi 71 3.1.24. Tìm tổng ∞ ∞ 2 1 (a) X arctan , (b) X arctan , n2 n2 + n +1 n=1 n=1 ∞ 8n (c) X arctan . n4 − 2n2 +5 n=1 Đoàn Chi 3.1.25. Cho {an} là dãy d−ơng phân kỳ tới vô cùng. Chứng minh rằng ∞ a − a 1 X arctan n+1 n = arctan . 1+a a a n=1 n n+1 1 3.1.26. Chứng minh rằng với bất kỳ hoán vị nào của các số hạng của chuỗi d−ơng, tổng của chuỗi nhận đ−ợc không thay đổi. 3.1.27. Chứng minh đồng nhất thức ∞ ∞ 1 3 1 X = X . (2n − 1)2 4 n2 n=1 n=1 3.1.28. Chứng minh rằng ∞ 1 π2 (a) X = , n2 6 n=1 ∞ 1 π4 (b) X = , n4 90 n=1 ∞ 1 π (c) X(−1)n = 2n +1 4 n=0 3.1.29. Cho dãy {an} đ−ợc xác định bởi 2 a1 =2,an+1 = an − an +1 với n ≥ 1. ∞ Tìm 1 . P an n=1 3.1.30. Cho dãy {an} đ−ợc xác định nh− sau ean − 1 a1 > 0,an+1 =ln với n ≥ 1, an ∞ và đặt bn = a1 ã a2 ã ã an. Tìm P bn. n=1
72 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.1.31. Cho dãy {an} đ−ợc xác định bởi 1 √ a1 =1,an+1 = − 2 với n ≥ 1. a1 + a2 + + an ∞ Tìm tổng của chuỗi P an. n=1 Đoàn Chi 3.1.32. Tìm tổng của các chuỗi sau ∞ 1 (a) X(−1)n−1 , n n=1 ∞ 2n +1 (b) X(−1)n−1 , n(n +1) n=1 ∞ 1 1 1 (c) X + − ,x=6 −1, −2, . x +2n − 1 x +2n x + n n=1 3.1.33. Tính ∞ 1 X(−1)n−1 ln 1+ . n n=1 3.1.34. Tính ∞ 1 X(−1)n−1 ln 1 − . (n +1)2 n=1 3.1.35. Xác định tổng của các chuỗi ∞ 1 1 X − ln 1+ . n n n=1 3.1.36. Giả sử hàm f khả vi trên (0, +∞), sao cho đạo hàm f 0 của nó đơn điệu trên một khoảng con (a, +∞),và lim f 0(x)=0. Chứng minh rằng giới x→∞ hạn 1 1 n lim f(1) + f(2) + f(3) + + f(n − 1) + f(n) − Z f(x)dx → ∞ n + 2 2 1 1 tồn tại. Xét các tr−ờng hợp đặc biệt của khi hàm f(x) có dạng f(x)= x và f(x)=lnx.
3.1. Tổng của chuỗi 73 3.1.37. Xác định tổng của chuỗi ∞ ln n X(−1)n . n n=1 3.1.38. Tìm ∞ Đoàn2n +1 Chi X n ln − 1 . 2n − 1 n=1 3.1.39. Cho tr−ớc số nguyên k ≥ 2, chứng minh rằng chuỗi ∞ 1 1 1 x X + + + − (n − 1)k +1 (n − 1)k +2 nk − 1 nk n=1 hội tụ đối với duy nhất một giá trị của x. Tìm giá trị này và tổng của chuỗi. 3.1.40. Cho dãy {an} đ−ợc xác định bởi 3+(−1)n a =2,a = a + , 0 n+1 n 2 tính ∞ n+1 1 X(−1)[ 2 ] . a2 − 1 n=0 n 3.1.41. Chứng minh rằng tổng của các chuỗi ∞ ∞ 1 1 (a) X , (b) X n! (n!)2 n=1 n=1 là vô tỷ. 3.1.42. Cho {εn} là dãy với εn nhận hai giá trị 1 hoặc −1. Chứng minh rằng ∞ εn tổng của chuỗi P n! là số vô tỷ. n=1 3.1.43. Chứng minh rằng với mọi số nguyên d−ơng k , tổng của chuỗi ∞ (−1)n X (n!)k n=1 là vô tỷ.
74 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.1.44. Giả sử rằng {nk} là dãy đơn điệu tăng các số nguyên d−ơng sao cho n lim k =+∞. k→∞ n1n2 ã ã nk−1 ∞ Đoàn Chi Chứng minh rằng 1 là vô tỷ. P ni i=1 3.1.45. Chứng minh rằng nếu {nk} là dãy các số nguyên d−ơng thoả mãn nk nk lim =+∞ và lim > 1, k→∞ n1n2 ã ã nk−1 k→∞ nk−1 ∞ thì 1 là vô tỷ. P ni i=1 3.1.46. Giả sử rằng {nk} là dãy đơn điệu tăng các số nguyên d−ơng sao cho ∞ √k 1 lim 2 nk = ∞. Chứng minh rằng là vô tỷ. P nk k→∞ k=1 ∞ 3.1.47. Giả sử chuỗi pn ,p ,q ∈ N là chuỗi hội tụ và giả sử P qn n n n=1 p p p n − n+1 ≥ n . qn − 1 qn+1 − 1 qn Ký hiệu A là tập tất cả các số n sao cho bất đẳng thức trên có dấu >.Chứng ∞ minh rằng pn vô tỷ khi và chỉ khi A là vô hạn. P qn n=1 3.1.48. Chứng minh rằng với mọi dãy tăng ngặt các số nguyên d−ơng {nk}, ∞ n tổng của chuỗi 2 k là vô tỷ. P nk! k=1
3.2. Chuỗi d−ơng 75 3.2 Chuỗi d−ơng 3.2.1. Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ ∞ √ √ ∞ 2 3 n +1 2 (a) X( n2 +1− n3 +1), (b) X( )n , n2 + n +1 n=1 Đoàn Chin=1 ∞ ∞ (2n − 3)!! n (c) X , (d) X( )n(n+1), (2n − 2)!! n +1 n=2 n=1 ∞ ∞ √ 1 n n (e) X 1 − cos , (f) X( n − 1) , n n=1 n=1 ∞ √ (g) X( n a − 1),a>1. n=1 3.2.2. Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi sau đây ∞ ∞ 1 1 1 n +1 (a) X ln 1+ , (b) X √ ln , n n n n − 1 n=1 n=2 ∞ ∞ 1 1 (c) X , (d) X , n2 − ln n (ln n)ln n n=1 n=2 ∞ 1 (e) X . (ln n)ln ln n n=2 ∞ ∞ 3.2.3. Cho P an, P bn là các chuỗi d−ơng thoả mãn n=1 n=1 an+1 bn+1 ≤ với n ≥ n0. an bn ∞ ∞ Chứng minh rằng nếu P bn hội tụ, thì P an cũng hội tụ. n=1 n=1 3.2.4. Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi sau đây ∞ ∞ nn−2 nn (a) X , (b) X . enn! enn! n=1 n=1
76 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.2.5. Tìm giá trị của α để các chuỗi sau hội tụ ∞ ∞ √ α √ α (a) X n a − 1 ,a>1, (b) X n n − 1 , n=1 n=1 ∞ n+1 α ∞ α 1 ! 1 (c) X 1+ −Đoàne , (d)ChiX 1 − n sin . n n n=1 n=1 ∞ 3.2.6. Chứng minh rằng nếu chuỗi d−ơng P an hội tụ thì n=1 ∞ X (aan − 1) ,a>1 n=1 cũng hội tụ. 3.2.7. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau ∞ ∞ 1 a ln n+b (a) X − ln cos , (b) X e c ln n+d , a, b, c, d ∈ R n n=1 n=1 ∞ n2n (c) X ,a,b>0. (n + a)(n+b)(n + b)(n+a) n=1 ∞ 3.2.8. Giả sử chuỗi P an với các số hạng không âm hội tụ. Chứng minh rằng n=1 ∞ √ P anan+1 cũng hội tụ. Chứng minh rằng điều ng−ợc lại là không đúng, tuy n=1 nhiên nếu dãy {an} đơn điệu giảm thì điều ng−ợc lại đúng. ∞ 3.2.9. Giả sử rằng chuỗi d−ơng P an phân kỳ. Nghiên cứu sự hội tụ các chuỗi n=1 sau đây ∞ ∞ an an (a) X , (b) X , 1+a 1+na n=1 n n=1 n ∞ ∞ an an (c) X , (d) X . 1+n2a 1+a2 n=1 n n=1 n
3.2. Chuỗi d−ơng 77 ∞ 3.2.10. Giả sử chuỗi d−ơng P an phân kỳ, ký hiệu dãy các tổng riêng của nó n=1 là {Sn} . Chứng minh rằng ∞ an X phân kỳ, S n=1 Đoànn Chi và ∞ an X hội tụ. S2 n=1 n 3.2.11. Chứng minh rằng với các giả thiết nh− của bài tr−ớc, chuỗi ∞ an X β n=2 SnSn−1 hội tụ với mọi β>0. 3.2.12. Chứng minh rằng các giả thiết cho ở bài tập 3.2.10 , chuỗi ∞ a X n Sα n=2 n hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α 6 1. ∞ ∞ 3.2.13. Cho chuỗi P an hội tụ, ký hiệu rn = P ak,n ∈ N là dãy các n=1 k=n+1 phần d− của nó. Chứng minh rằng ∞ an (a) X phân kỳ, r − n=2 n 1 ∞ an (b) X √ hội tụ. r − n=2 n 1 3.2.14. Chứng minh rằng với các giả thiết đ−ợc cho ở bài tr−ớc , chuỗi ∞ a X n rα n=2 n−1 hội tụ nếu α<1 và phân kỳ nếu α ≥ 1.
78 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực ∞ 2 3.2.15. Chứng minh rằng với giả thiết nh− ở bài 3.2.13, chuỗi P an+1 ln rn n=1 hội tụ. ∞ 3.2.16. Cho chuỗi d−ơng P an. Giả sử rằng n=1 a lim Đoànn ln n = Chig. n→∞ an+1 ∞ Chứng minh rằng P an hội tụ nếu g>1 và phân kỳ nếu g 0, 3ln n aln n n=1 n=1 ∞ 1 (e) X ,a>0. aln ln n n=2 3.2.18. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∞ 1+ 1 + + 1 X a 2 n ,a>0. n=1 3.2.19. Dùng kết quả của bài toán 3.2.16, chứng minh dạng giới hạn của Tiêu chuẩn Raabe. Cho an > 0,n∈ N, đặt a lim n n − 1 = r. n→∞ an+1 ∞ Chứng minh rằng P an hội tụ nếu r>1 và phân kỳ nếu r<1. n=1 3.2.20. Cho dãy {an} đ−ợc xác định bởi 1 a = a =1,a = a + a − với n ≥ 2. 1 2 n+1 n n2 n 1 ∞ Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi 1 . P an n=1
3.2. Chuỗi d−ơng 79 3.2.21. Cho a1 và α là các số d−ơng. Dãy {an} đ−ợc xác định nh− sau α −an an+1 = ane , với n =1, 2, . ∞ β Hãy xác định α và β để chuỗi P an hội tụ. n=1Đoàn Chi 3.2.22. Xác định a để chuỗi ∞ n! X (a + 1)(a +2)ã ã (a + n) n=1 hội tụ. 3.2.23. Cho a là số d−ơng tuỳ ý và {bn} là dãy số d−ơng hội tụ tới b. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ n!an X . (a + b )(2a + b ) ã ã (na + b ) n=1 1 2 n 3.2.24. Chứng minh rằng nếu dãy các số d−ơng {an} thoả mãn a 1 γ n+1 =1− − n , an n n ln n ∞ trong đó γn ≥ Γ > 1, thì P an hội tụ. Mặt khác, nếu n=1 a 1 γ n+1 =1− − n , an n n ln n ∞ trong đó γn 6 Γ 1,và{ϑn} là dãy bị chặn, thì P an hội tụ khi α>1 và phân n=1 kỳ nếu α 6 1.
80 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.2.26. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∞ α(α +1)ã ã (α + n − 1) β(β +1)ã ã (β + n − 1) X ã n! γ(γ +1)ã ã (γ + n − 1) n=1 ở đây α, β và γ là các hằng số d−ơng.Đoàn Chi 3.2.27. Tìm giá trị của p để chuỗi ∞ (2n − 1)!! p X (2n)!! n=1 hội tụ. 3.2.28. Chứng minh tiêu chuẩn cô đặc của Cauchy. Cho {an} là dãy đơn điệu giảm các số không âm. Chứng minh rằng chuỗi ∞ ∞ n P an hội tụ khi và chỉ khi chuỗi P 2 a2n hội tụ. n=1 n=1 3.2.29. Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi sau đây ∞ ∞ 1 1 (a) X , (b) X . n(ln n)α n ã ln n ã ln ln n n=2 n=3 3.2.30. Chứng minh định lý Schlomilch (suy rộng của định lý Cauchy, xem bài tâp 3.2.28). Nếu {gk} là dãy tăng ngặt các số nguyên d−ơng sao cho với c>0 nào đó và với mọi k ∈ N,gk+1 − gk 6 c(gk − gk−1) và với dãy d−ơng {an} giảm ngặt, ta có ∞ ∞ X an < ∞ khi và chỉ khi X(gk+1 − gk)agk < ∞. n=1 n=1 ∞ 3.2.31. Cho {an} là dãy đơn điệu giảm các số d−ơng. Chứng minh chuỗi P an n=1 hội tụ khi và chỉ khi các chuỗi sau hội tụ ∞ ∞ ∞ n 2 (a) P 3 a3n, (b) P nan2 , (c) P n an3 , n=1 n=1 n=1 (d) Sử dụng tiêu chuẩn trên hãy nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi trong bài tập 3.2.17.
3.2. Chuỗi d−ơng 81 ∞ 3.2.32. Giả sử {an} là dãy d−ơng. Chứng minh rằng chuỗi P an hội tụ nếu n=1 1 1 lim (an) ln n < . n→∞ e 3.2.33. Giả sử {an} là dãy d−ơng.ChứngĐoàn minh Chi rằng 1 1 lim (nan) ln ln n < n→∞ e ∞ kéo theo sự hội tụ của P an. n=1 3.2.34. Cho {an} là dãy d−ơng, đơn điệu giảm thoả mãn n 2 a n 2 6 g<1. an ∞ Chứng minh rằng P an hội tụ. n=1 3.2.35. Cho {an} là dãy không âm, đơn điệu giảm. Chứng minh rằng nếu ∞ P an hội tụ, thì lim nan =0. Chứng minh rằng đây không là điều kiện đủ n=1 n→∞ cho sự hội tụ của chuỗi. 3.2.36. Hãy nêu một ví dụ chuỗi d−ơng hội tụ nh−ng điều kiện lim nan =0 n→∞ không thoả mãn. ∞ 3.2.37. Giả sử P an là chuỗi d−ơng hội tụ. Tìm điều kiện cần và đủ để tồn n=1 tại dãy d−ơng {bn} sao cho các chuỗi ∞ ∞ an X b và X n b n=1 n=1 n đều hội tụ. 3.2.38. Tồn tại hay không một dãy d−ơng {an} sao cho các chuỗi ∞ ∞ 1 X b và X n n2a n=1 n=1 n đều hội tụ.
82 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.2.39. Chứng minh rằng ∞ 1 1+a X ã n+1 n a n=1 n phân kỳ với mọi dãy d−ơng {an}. Đoàn Chi ∞ 3.2.40. Giả sử {an} và {bn} đơn điệu giảm tới không sao cho các chuỗi P an n=1 ∞ ∞ và P bn phân kỳ. Có thể nói gì về sự hội tụ của chuỗi P cn, trong đó cn = n=1 n=1 min{an,bn}? ∞ { } an 3.2.41. Cho an là dãy đơn điệu giảm, không âm sao cho P n phân kỳ. n=1 Giả sử rằng 1 b = min a , . n n ln(n +1) ∞ bn Chứng minh rằng chuỗi P n cũng phân kỳ. n=1 3.2.42. Cho {an} là dãy d−ơng , bị chặn và đơn điệu tăng. Chứng minh rằng ∞ an X 1 − hội tụ. a n=1 n+1 3.2.43. Cho {an} là dãy d−ơng, tăng và phân kỳ ra vô cực. Chứng minh rằng : ∞ an X 1 − phân kỳ. a n=1 n+1 3.2.44. Cho {an} là dãy d−ơng đơn điệu tăng. Chứng tỏ rằng với mọi α>0 ta có ∞ an+1 − an X hội tụ. a aα n=1 n+1 n ∞ 3.2.45. Chứng tỏ rằng với chuỗi d−ơng phân kỳ P an bất kỳ, tồn tại một dãy n=1 ∞ {cn} đơn điệu giảm tới 0 sao cho P ancn phân kỳ. n=1
3.2. Chuỗi d−ơng 83 ∞ 3.2.46. Chứng tỏ rằng với chuỗi d−ơng hội tụ P an bất kỳ, tồn tại một dãy n=1 ∞ {cn} đơn điệu tăng ra vô cực sao cho P ancn hội tụ. n=1 ∞ 3.2.47. Cho P an là một chuỗi d−ơng hội tụ và kí hiệu {rn} là dãy phần d− n=1 ∞Đoàn Chi của nó. Chứng minh rằng nếu Pn=1 rn hội tụ thì lim nan =0. n→∞ 3.2.48. Cho {an} là dãy d−ơng, phân kỳ ra vô cực. Có thể nói gì về sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ ∞ ∞ 1 1 1 (a) X , (b) X , (c) X ? an alnn aln ln n n=1 n n=1 n n=1 n ∞ 3.2.49. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi P an, ở đây : n=1 a1 =1,an+1 = cos an với n ∈ N. 3.2.50. Cho p là một số không âm cố định. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ P an, ở đây : n=1 −p a1 =1,an+1 = n sin an với n ∈ N. 3.2.51. Cho {an} là dãy các nghiệm d−ơng liên tiếp của ph−ơng trình tan x = ∞ 1 x. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi P a2 . n=1 n 3.2.52. Cho {an} là dãy các nghiệm d−ơng liên tiếp của ph−ơng trình √ ∞ tan x = x. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi 1 . P an n=1 3.2.53. Cho a1 là một số d−ơng tuỳ ý và an+1 = ln (1 + an) với n ≥ 1. Nghiên ∞ cứu sự hội tụ của chuỗi P an . n=1 ∞ 3.2.54. Cho dãy d−ơng đơn điệu giảm {an} sao cho chuỗi P an phân kỳ. n=1 Chứng minh rằng: a + a + + a lim 1 3 2n−1 =1. n→∞ a2 + a4 + + a2n
84 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 1 1 1 3.2.55. Cho Sk =1+2 + 3 + + k và kí hiệu kn là số nguyên d−ơng nhỏ nhất để Sk ≥ n. Tìm k lim n+1 . n→∞ kn 3.2.56. Cho A là tập tất cả các số nguyên d−ơng sao cho trong biểu diễn thập phân của chúng không chứa chữ sốĐoàn 0. Chi 1 (a) Chứng tỏ rằng P n hội tụ. n∈A 1 (b) Tìm tất cả các giá trị α sao cho P nα hội tụ. n∈A ∞ 3.2.57. Cho P an là một chuỗi số với các số hạng d−ơng và cho n=1 ln 1 lim an = g. n→∞ ln n Chứng minh rằng nếu g>1 thì chuỗi hội tụ, còn nếu g<1 thì chuỗi phân kỳ (ở đây g có thể bằng ±∞). Cho ví dụ chứng tỏ rằng trong tr−ờng hợp g =1thì ch−a thể có kết luận gì. 3.2.58. Chứng tỏ rằng tiêu chuẩn Raabe (xem 3.2.19) và tiêu chuẩn cho trong bài tập 3.2.16 là t−ơng đ−ơng. Hơn nữa, chứng tỏ rằng khẳng định trong bài tập trên là mạnh hơn các tiêu chuẩn đó. ∞ 3.2.59. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi P an với các số hạng đ−ợc cho bởi : n=1 v √ u r √ a = 2,a= u2 − 2+q2+ + 2,n≥ 2. 1 n u u t | (n − 1){z - căn } 3.2.60. Cho {an} là một dãy đơn điệu giảm tới 0. Chứng tỏ rằng nếu dãy số có số hạng tổng quát là (a1 − an)+(a2 − an)+ +(an−1 − an) ∞ bị chặn thì chuỗi P an phải hội tụ. n=1
3.2. Chuỗi d−ơng 85 3.2.61. Tìm chuỗi số có số hạng an thoả mãn các điều kiện sau: 1 a = ,a= a + a + với n =1, 2, 3, . 1 2 n n+1 n+2 ∞ 3.2.62. Giả sử các số hạng của một chuỗi hội tụ P an có tổng S thoả mãn các Đoàn Chin=1 điều kiện sau: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ và 0 <an 6 an+1 + an+2 + , n∈ N. Chứng tỏ rằng có thể biểu diễn tất cả các số s bất kỳ trong khoảng nửa đóng ∞ (0,S] bởi một tổng hữu hạn các số hạng của chuỗi P an hoặc bởi một chuỗi n=1 ∞ con vô hạn P ank , ở đây {ank } là một dãy con của {an}. k=1 ∞ 3.2.63. Giả sử P an là một chuỗi có các số hạng d−ơng đơn điệu giảm. Chứng n=1 tỏ rằng nếu mỗi số trong khoảng (0,S), S là tổng chuỗi, đều có thể biểu diễn bởi ∞ { } một tổng hữu hạn các số hạng của an hoặc bởi một chuỗi con vô hạn P ank k=1 , trong đó {ank } là một dãy con của {an}, thì bất đẳng thức sau đúng: an 6 an+1 + an+2 + , với mỗi n ∈ N. ∞ 3.2.64. Cho một chuỗi d−ơng a phân kỳ, giả thiết rằng lim an =0, P n Sn n=1 n→∞ trong đó Sn = a1 + a2 + + an. Chứng minh rằng: a S−1 + a S−1 + + a S−1 lim 1 1 2 2 n n =1. n→∞ ln Sn 3.2.65. Sử dụng bài tập trên chứng minh rằng 1+ 1 + 1 + + 1 lim 2 3 n =1. n→∞ ln n ∞ 3.2.66. Cho P an là một chuỗi hội tụ với các số hạng d−ơng. Có thể nói gì về n=1 sự hội tụ của ∞ a + a + + a X 1 2 n ? n n=1
86 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực n { } 1 ≥ 3.2.67. Chứng minh rằng nếu an là một dãy d−ơng sao cho n P ak k=1 2n ∞ P ak với n ∈ N, thì P an 6 2ea1 . k=n+1 n=1 3.2.68. Chứng minh bất đẳng thức Carleman: Đoàn∞ Chi Nếu {an} là một dãy d−ơng và chuỗi P an hội tụ thì n=1 ∞ √ ∞ n X a1 ã ã an <eX an. n=1 n=1 3.2.69. Chứng minh rằng nếu {an} là dãy số d−ơng thì với mọi số nguyên d−ơng k ∞ ∞ n √ 1 n + k X n a a a 6 X a . 1 2 n k n n n=1 n=1 3.2.70. Cho {an} là dãy số d−ơng. Chứng minh rằng từ sự hội tụ của chuỗi ∞ 1 suy ra sự hội tụ của chuỗi P an n=1 ∞  n −2 2 ! X n an X ak .   n=1 k=1 ∞ 3.2.71. Cho {a } là dãy số d−ơng đơn điệu tăng sao cho 1 phân kỳ. Chứng n P an n=1 minh rằng chuỗi ∞ 1 X na − (n − 1)a − n=2 n n 1 cũng phân kỳ. 3.2.72. Cho {pn} là dãy tất cả các số nguyên tố liên tiếp. Hãy nghiên cứu sự ∞ hội tụ của chuỗi 1 . P pn n=1 3.2.73. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ 1 X , np − (n − 1)p − n=2 n n 1 trong đó pn là số nguyên tố thứ n.
3.2. Chuỗi d−ơng 87 3.2.74. Hãy đánh giá giới hạn ∞ 1 P kn+1 k=2 lim ∞ . n→∞ 1 P kn Đoànk=2 Chi 3.2.75. Cho dãy số {an} thoả mãn điều kiện: 0 6 an 6 1 với mọi n ∈ N và a1 =06 . Đặt Sn = a1 + a2 + + an và Tn = S1 + S2 + + Sn. ∞ an Hãy xác định các giá trị α>0 sao cho chuỗi P T α hội tụ. n=1 n 3.2.76. Cho k là một số nguyên d−ơng tuỳ ý. Giả sử {an} là dãy số d−ơng đơn ∞ điệu tăng sao cho chuỗi 1 hội tụ. Chứng minh rằng hai chuỗi P an n=1 ∞ k ∞ k ln an ln n X và X a a n=1 n n=1 n cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 3.2.77. Giả sử f : N → (0, ∞) là hàm giảm và ϕ : N → N là hàm tăng sao cho ϕ(n) >nvới mọi n ∈ N. Hãy kiểm tra các bất đẳng thức sau: ϕ(n)−1 ϕ(1)−1 n−1 (1) X f(k) X f(ϕ(k))(ϕ(k) − ϕ(k − 1)). k=ϕ(1)−1 k=2 3.2.78. Với giả thiết của bài trên, chứng minh rằng nếu tồn tại số q sao cho với mọi n ∈ N bất đẳng thức sau f(ϕ(n))(ϕ(n +1)− ϕ(n)) 6 q<1 f(n)
88 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực ∞ đúng thì chuỗi P f(n) hội tụ. Mặt khác, nếu n=1 f(ϕ(n))(ϕ(n) − ϕ(n − 1)) ≥ 1,n∈ N f(n) ∞ thì chuỗi P f(n) phân kỳ. Đoàn Chi n=1 3.2.79. Suy ra từ bài trên dấu hiệu sau về sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số d−ơng. ∞ Chuỗi số d−ơng P an với các số hạng đơn điệu giảm sẽ hội tụ nếu n=1 a 1 lim 2n = g . n→∞ an 2 3.2.80. Suy ra từ bài 3.2.78 dấu hiệu sau về sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số d−ơng (so sánh với bài 3.2.34). ∞ Chuỗi số d−ơng P an với các số hạng đơn điệu giảm sẽ hội tụ nếu n=1 n 2 a n lim 2 = g 2. n→∞ an 3.2.81. Sử dụng bài 3.2.77, chứng minh tiêu chuẩn trong bài 3.2.31. 3.2.82. Chứng minh dấu hiệu Kummer. Cho {an} là dãy số d−ơng. (1) Nếu tồn tại một dãy d−ơng {bn} và một hằng số d−ơng c sao cho an bn − bn+1 ≥ c với mọi n ∈ N, an+1 ∞ thì chuỗi P an hội tụ. n=1
3.2. Chuỗi d−ơng 89 ∞ (2) Nếu tồn tại một dãy d−ơng {b } sao cho chuỗi 1 phân kỳ và n P bn n=1 an bn − bn+1 ≤ 0 với mọi n ∈ N, an+1 ∞ thì chuỗi P an phân kỳ. Đoàn Chi n=1 3.2.83. Chứng minh các dấu hiệu d'Alembert, Raabe (3.2.19) và Bertrand (3.2.24) đều là tr−ờng hợp riêng của dấu hiệu Kummer (3.2.82). 3.2.84. Chứng minh chiều ng−ợc lại của dấu hiệu Kummer. Cho {an} là dãy số d−ơng. ∞ (1) Nếu chuỗi P an hội tụ thì tồn tại một dãy d−ơng {bn} và một hằng số n=1 d−ơng c sao cho an bn − bn+1 ≥ c. an+1 ∞ (2) Nếu chuỗi P an phân kỳ thì tồn tại một dãy d−ơng {bn} sao cho chuỗi n=1 ∞ 1 phân kỳ và P bn n=1 an bn − bn+1 ≤ 0. an+1 3.2.85. Chứng minh các dấu hiệu sau về sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số d−ơng. a (a) Cho k là một số nguyên d−ơng và lim n+k = g. Nếu g 1 thì chuỗi P an phân kỳ. n=1 n=1 (b) Cho k là một số nguyên d−ơng và lim n an − 1 = g. Nếu g>kthì n→∞ an+k ∞ ∞ chuỗi P an hội tụ, và nếu g<kthì chuỗi P an phân kỳ. n=1 n=1 { } { } 1 3.2.86. Cho hai dãy số d−ơng an và ϕn . Giả sử rằng ϕn = O( ln n ). Chứng ∞ ∞ 1−ϕn minh rằng nếu chuỗi P an hội tụ thì chuỗi P an cũng hội tụ. n=2 n=2
90 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.3 Dấu hiệu tích phân 3.3.1. Chứng minh dấu hiệu tích phân. Giả sử f là một hàm d−ơng và đơn điệu giảm trên đoạn [1, ∞). Khi đó chuỗi ∞ n P f(n) hội tụ khi và chỉ khi dãy {In} bị chặn, trong đó In = R f(x)dx. n=1 Đoàn Chi 1 3.3.2. Cho f là hàm d−ơng và khả vi trên khoảng (0, ∞) sao cho f 0 đơn điệu giảm tới 0. Chứng minh rằng hai chuỗi ∞ ∞ 0 0 f (n) X f (n) và X f(n) n=1 n=1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 3.3.3. Cho f là hàm d−ơng và đơn điệu giảm trên [1, ∞). Đặt N N Z SN = X f(n) và IN = f(x)dx. n=1 1 Chứng minh rằng dãy {SN − IN } đơn điệu giảm và có giới hạn thuộc vào đoạn [0,f(1)]. 3.3.4. Chứng minh rằng giới hạn của các dãy sau 1 1 (a) 1+ + + − ln n, 2 n 1 1 n 1 1+ + + − Z dx, 0 1 n=1 với n ≥ 1. Hãy kiểm tra các kết quả sau: ∞ an+1 (a) X phân kỳ, S ln S n=1 n n ∞ an (b) X 2 hội tụ. n=1 Sn ln Sn
3.3. Dấu hiệu tích phân 91 3.3.7. Cho f là hàm d−ơng và đơn điệu giảm trên [1, ∞). Giả sử hàm ϕ tăng ngặt, khả vi và thoả mãn ϕ(x) >xvới x>1. Chứng minh rằng nếu tồn tại 0 ∞ ϕ (x)f(ϕ(x)) ≤ q 0 thì chuỗi P f(n) hội tụ. x→∞ n=1 n 0 1 − f (x) − 0 ≤ (b) Nếu dãy R g(x) dx không bị chặn và g(x) f(x) g (x) 0 khi x đủ 1 ∞ lớn thì chuỗi P f(n) phân kỳ. n=1 3.3.9. Cho f là hàm d−ơng, khả vi liên tục trên khoảng (0, ∞). Chứng minh rằng: 0 ∞ − xf (x) (a) Nếu lim f(x) > 1 thì chuỗi P f(n) hội tụ. x→∞ n=1 0 ∞ − xf (x) ≤ (b) Nếu f(x) 1 khi x đủ lớn thì chuỗi P f(n) phân kỳ. n=1 3.3.10. Cho f là hàm d−ơng, khả vi liên tục trên khoảng (0, ∞). Chứng minh rằng: 0 ∞ − f (x) − 1 (a) Nếu lim f(x) x x ln x>1 thì chuỗi P f(n) hội tụ. x→∞ n=1 0 ∞ − f (x) − 1 ≤ (b) Nếu f(x) x x ln x 1 khi x đủ lớn thì chuỗi P f(n) phân kỳ. n=1 3.3.11. Chứng minh chiều ng−ợc lại của định lý cho trong bài 3.3.8. Cho f là hàm d−ơng, đơn điệu giảm, khả vi liên tục trên khoảng (0, ∞). ∞ (a) Nếu chuỗi P f(n) hội tụ thì sẽ tồn tại một hàm g d−ơng, khả vi liên tục n=1 trên khoảng (0, ∞) sao cho f 0(x) lim −g(x) − g0(x) > 0. x→∞ f(x)
92 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực ∞ (b) Nếu chuỗi P f(n) phân kỳ thì sẽ tồn tại một hàm g d−ơng, khả vi liên n=1 n ∞ 1 tục trên khoảng (0, ) sao cho dãy R g(x) dx không bị chặn và khi x 1 đủ lớn thì f 0(x) −g(x) − g0(x) ≤ 0. Đoànf(x) Chi 3.3.12. Với γ ≥ 0, nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ 1 X . (ln n)(ln n)γ n=2 3.3.13. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ 1 X 1 . 1+ ln ln n n=3 n ln n 3.3.14. Cho {λn} là dãy số d−ơng đơn điệu tăng và f là hàm d−ơng, đơn điệu tăng thoả mãn điều kiện ∞ 1 Z dt 0 sao cho λn+1 − λn ≥ M với n ∈ N và nếu tích phân ∞ ∞ R f(t)dt hội tụ thì chuỗi P f(λn) cũng hội tụ. λ1 n=1 (b) Nếu tồn tại M>0 sao cho λn+1 − λn ≤ M với n ∈ N và nếu tích phân ∞ ∞ R f(t)dt phân kỳ thì chuỗi P f(λn) cũng phân kỳ. λ1 n=1 3.3.16. Giả sử rằng f :(0, ∞) → R là hàm d−ơng, khả vi và có đạo hàm ∞ ∞ 1 f −1(n) d−ơng. Chứng minh rằng chuỗi P f(n) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi P n2 n=1 n=1 hội tụ.
3.4. Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz 93 3.3.17. Kí hiệu ln1 x =lnx, lnk x = ln(lnk−1 x) với k>1 và x đủ lớn. Với mỗi n ∈ N, chọn số nguyên d−ơng ϕ(n) thoả mãn 1 ≤ lnϕ(n) n 0. na n=1 3.4.2. Với a ∈ R, nghiên cứu sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∞ an−1 X , nan−1 +lnn n=na n−1 trong đó na là một chỉ số phụ thuộc vào a sao cho na +lnn =06 với n ≥ na. ∞ 3.4.3. Giả sử P an là chuỗi hội tụ với các số hạng khác không. Hãy nghiên n=1 cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ sin a X 1 − n . a n=1 n
94 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực ∞ 3.4.4. Từ điều kiện lim an =1có suy ra đ−ợc rằng sự hội tụ của chuỗi a bn P n n→∞ n=1 ∞ t−ơng đ−ơng với sự hội tụ của chuỗi P bn không? n=1 ∞ |an|+an 3.4.5. Giả sử rằng chuỗi P an hội tụ có điều kiện và đặt pn = 2 ,qn = n=1 Đoàn Chi ∞ ∞ |an|−an 2 . Chứng minh rằng cả hai chuỗi P pn và P qn đều phân kỳ. n=1 n=1 ∞ 3.4.6. Giả sử rằng chuỗi P an hội tụ có điều kiện. Gọi {Pn} và {Qn} lần n=1 ∞ ∞ l−ợt là dãy tổng riêng của chuỗi P pn và chuỗi P qn định nghĩa trong bài n=1 n=1 trên. Chứng minh rằng P lim n =1. n→∞ Qn 3.4.7. Nghiên cứu sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∞ n (−1)[ 3 ] X . n n=1 3.4.8. Với a ∈ R, xác định khi nào chuỗi ∞ √ (−1)[ n] X na n=1 hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hoặc phân kỳ. 3.4.9. Xác định xem chuỗi ∞ (−1)[ln n] X n n=1 hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hay phân kỳ. 3.4.10. Đặt (+1 nếu 22k ≤ n<22k+1, εn = −1 nếu 22k+1 ≤ n<22k+2, trong đó k =0, 1, 2, .Hãy xét sự hội tụ của các chuỗi sau ∞ ∞ εn εn (a) X , (b) X . n n ln n n=1 n=2
3.4. Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz 95 3.4.11. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ √ n 1 X(−1)n √ sin √ . (−1)n + n n n=2 3.4.12. Nghiên cứu sự hội tụ (tuyệtĐoàn đối, có điều Chi kiện) của các chuỗi sau: ∞ √ (a) X(−1)n( n n − 1)n, n=1 ∞ √ (b) X(−1)n( n a − 1),a>1, n=1 ∞ √ (c) X(−1)n( n n − 1), n=1 ∞ n n 1 (d) X(−1) e − 1+ , n n=1 ∞ n+1 n 1 ! (e) X(−1) 1+ − e . n n=1 3.4.13. Cho a, b > 0, hãy xét sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ ∞ (ln n)a (ln n)ln n (a) X(−1)n , (b) X(−1)n . nb nb n=1 n=1 ∞ n−1 3.4.14. Cho P (−1) an là chuỗi đan dấu thoả mãn điều kiện của dấu hiệu n=1 Leibniz, tức là 0 <an+1 ≤ an với mọi n và lim an =0. Đặt rn là phần d− n→∞ ∞ k−1 thứ n của chuỗi, rn = P (−1) ak. Chứng minh rằng rn cùng dấu với số k=n+1 n hạng (−1) an+1 và |rn| <an+1. 3.4.15. Giả sử rằng dãy {an} dần tới 0. Chứng minh rằng hai chuỗi sau ∞ ∞ X an và X(an + an+1) n=1 n=1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
96 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực 3.4.16. Cho dãy {an} hội tụ đến 0 và các số a, b, c thoả mãn a + b + c =06 . Chứng minh rằng hai chuỗi ∞ ∞ X an và X(aan + ban+1 + can+2) n=1 n=1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Đoàn Chi 3.4.17. Cho dãy {an} có các số hạng khác 0 và lim an = a =06 . Chứng minh n→∞ rằng hai chuỗi ∞ ∞ 1 1 X(an+1 − an) và X − an+1 an n=1 n=1 cùng hội tụ tuyệt đối hoặc cùng không hội tụ tuyệt đối. ∞ 3.4.18. Chứng minh rằng nếu dãy {nan} và chuỗi P n(an −an+1) hội tụ thì n=1 ∞ chuỗi P an cũng hội tụ. n=1 3.4.19. Cho dãy {an} đơn điệu giảm tới 0, hãy nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ a + a + a X(−1)n+1 1 2 n . n n=1 3.4.20. Tìm các giá trị của a để chuỗi ∞ a a X(−1)nn! sin a sin ã ã sin 2 n n=1 hội tụ tuyệt đối và tìm các giá trị của a để chuỗi phân kỳ. 3.4.21. Cho a, b và c là các số d−ơng, nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ √ √ √ n b + n c! X n a − . 2 n=1 3.4.22. Hãy nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ ∞ (a) X(cos n)n, (b) X(sin n)n. n=1 n=1
3.4. Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz 97 3.4.23. Cho {an} là dãy số d−ơng. Chứng minh rằng ∞ an n (a) nếu lim n − 1 > 0 thì chuỗi (−1) an hội tụ. an+1 P n→∞ n=1 ∞ an n (b) nếu n − 1 ≤ 0 thì chuỗi (−1) an phân kỳ (đặc biệt, nếu an+1 ĐoànP Chi n=1 ∞ an n lim n − 1 0 và một dãy bị chặn {βn} sao cho a α β n =1+ + n . 1+ε an+1 n n ∞ n Chứng minh rằng chuỗi P(−1) an hội tụ với α>0 và phân kỳ với α ≤ 0. n=1 3.4.25. Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ∞ n!en X(−1)n ,p∈ R. nn+p n=1 ∞ 3.4.26. Giả sử rằng chuỗi P an hội tụ và {pn} là dãy d−ơng đơn điệu tăng n=1 đến +∞. Chứng minh rằng a p + a p + + a p lim 1 1 2 2 n n =0. n→∞ pn 3.4.27. Cho {an} là dãy số d−ơng đơn điệu giảm tới 0. Chứng minh rằng nếu ∞ chuỗi P anbn hội tụ thì n=1 lim an(b1 + b2 + + bn)=0. n→∞ ∞ an 3.4.28. Cho α là một số d−ơng. Chứng minh rằng nếu chuỗi P nα hội tụ thì n=1 a + a + + a lim 1 2 n =0. n→∞ nα
98 Ch−ơng 3. Chuỗi số thực ∞ 3.4.29. Cho {kn} là dãy các số tự nhiên tăng ngặt. Khi đó chuỗi P akn đ−ợc n=1 ∞ gọi là chuỗi con của chuỗi P an. Chứng minh rằng nếu tất cả các chuỗi con n=1 của một chuỗi hội tụ thì chuỗi đó hội tụ tuyệt đối. ∞ 3.4.30. Cho k,l là các số nguyênĐoàn sao cho k ≥Chi1,l≥ 2. Chuỗi P an có hội n=1 tụ tuyệt đối không nếu tất cả các chuỗi con có dạng ∞ X ak+(n−1)l n=1 đều hội tụ? ∞ ∞ 3 3.4.31. Hãy tìm ví dụ một chuỗi P an hội tụ sao cho chuỗi P an phân kỳ. n=1 n=1 ∞ 3.4.32. Có tồn tại hay không chuỗi P an hội tụ sao cho tất cả các chuỗi có n=1 ∞ k dạng P an, trong đó k ∈ N,k≥ 2, đều phân kỳ? n=1 ∞ 3.4.33. Cho {an} là dãy đơn điệu giảm các số d−ơng sao cho chuỗi P an phân n=1 ∞ kỳ. Giả sử rằng chuỗi P εnan hội tụ, trong đó εn bằng 1 hoặc −1. Chứng minh n=1 rằng ε + ε + + ε ε + ε + + ε lim 1 2 n ≤ 0 ≤ lim 1 2 n . n→∞ n n→∞ n ∞ 3.4.34. Giả sử {an} là dãy đơn điệu giảm các số d−ơng và chuỗi P εnan hội n=1 tụ, trong đó εn bằng 1 hoặc −1. Chứng minh rằng lim (ε1 + ε2 + + εn)an =0. n→∞ (Xem 3.2.35.) ∞ 3.4.35. Giả sử rằng chuỗi P bn hội tụ và {pn} là dãy đơn điệu tăng sao cho n=1 ∞ lim p =+∞ và 1 =+∞. Chứng minh rằng n P pn n→∞ n=1 p b + p b + + p b p b + p b + + p b lim 1 1 2 2 n n ≤ 0 ≤ lim 1 1 2 2 n n . n→∞ n n→∞ n
3.5. Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 99 ∞ 1 3.4.36. Chứng minh rằng chuỗi nhận đ−ợc từ chuỗi điều hoà P n bằng cách n=1 cho p số hạng đầu mang dấu “+”, q số hạng tiếp theo mang dấu “ − ”, p số hạng tiếp theo mang dấu “+” , hội tụ khi và chỉ khi p = q. 3.4.37. Chứng minh định lý Toeplitz tổng quát (xem 2.3.1 và 2.3.36). Đoàn Chi Cho {cn,k : n, k ∈ N} là bảng các số thực. Khi đó với mỗi dãy hội tụ {an}, dãy {bn} xác định bởi ∞ bn = X cn,kak,n≥ 1, k=1 sẽ hội tụ và có cùng giới hạn khi và chỉ khi ba điều kiện sau thoả mãn: (i) cn,k −→ 0 với mỗi k ∈ N. n→∞ ∞ (ii) P cn,k =1, k=1 (iii) tồn tại C>0 sao cho với mọi số nguyên d−ơng n đều có ∞ X |cn,k|≤C. k=1 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 3.5.1. Sử dụng tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel, hãy nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ sin2 n (a) X(−1)n , n n=1 ∞ sin n 1 1 (b) X 1+ + + , n 2 n n=1 ∞ 1 n2 (c) X cos π , ln2 n n +1 n=2 ∞ sin nπ (d) X 4 ,a>0. na + sin nπ n=1 4