Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố

89 trang Đức Chiến 05/01/2024 1560

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_3_d.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố

LÝLÝ THUYTHUYẾẾTT XXÁÁCC SUSUẤẤTT VVÀÀ THTHỐỐNGNG KÊKÊ TOTOÁÁNN HHỌỌCC PhanPhan VVăănn TânTân BBộộ mômô KhKhíí ttưượợngng 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định tính bởi sự kiện ngẫu nhiên o Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp } • Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Các định nghĩa: o Một đại lượng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đógọi là đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà khi tiến hành một loạt phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần nhận được giá trị này hoặc giá trị khác hoàn toàn không biết trước được 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Cách gọi: o Nhiều khi đại lượng ngẫu nhiên còn được gọi là biến ngẫu nhiên Î Hai cách gọi tương đương nhau • Ký hiệu: o Thông thường các đại lượng ngẫu nhiên (hay các biến ngẫu nhiên) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in hoa: X, Y, Z, , hoặc các ký tự Hylạp: ξ, η, ζ, o Các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in thường tương ứng: x, y, z, 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Phân loại: Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được • Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2, , x6=6 o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức nó là tập hợp vô hạn và không đếm được • Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí (oC) đo được ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]} 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà các giá trị có thể của nó là tập {x1, x2, , xn, } với P(X=xi) = pi, i=1,2, o Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn o Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2, • Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt nhau. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy lập bảng phân bố của X o Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2} o Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5 A A o Sự kiện X=0: A 1 A 2 X=1: A 1 A 2 hoặc A 1 A 2 Sự kiện X=2: 1 2 o Vì các Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 X 0 1 2 Î P 0.25 0.5 0.25 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 2: Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn từng phát cho tới khi hoặc trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Hãy lập bảng phân bố xác suất của số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích ở mỗi phát là 0.8 o Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí. Vậy X={ 1, 2, 3 } o Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î P(X=1) = p1= 0.8 o Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng, P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16 o Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đócần bắn phát thứ 2 ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8) = 0,04 X 1 2 3 P 0.8 0.16 0.04 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A ở mỗi phép thử không đổi bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X. o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3, , n } o Xác suất của sự kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức Bernoulli k k n−k pk = P(X = k) = Pn (k) = Cn p (1− p) , k = 0,1, ,n o Từ đó X 0 1 k n 0 0 n−0 1 1 n−1 k k n−k n n n−n P Cn p q Cn p q Cn p q Cn p q (q = 1-p) ta có đẳng thức n n n Để ý đến hệ thức n k k n−k k k n−k n (a + b) = ∑Cn a b ∑ pk = ∑Cn p q = ( p + q) = 1 nhị thức Newton k=0 k=0 k=0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng hoặc cả trục số. Khi đóX là đại lượng ngẫu nhiên liên tục o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất) o Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) f ( x) ≥ 0, ∀x∈ (−∞ , + ∞) + ∞ 2) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a,b) được xác định bởi b P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx a 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng ⎧c khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ ⎩0 khi x b Hãy xác định giá trị của c. +∞ o Giải: Theo định nghĩa, ∫ f ( x)dx = 1 −∞ +∞ b b o Ta có: ∫∫∫f (x)dx = f (x)dx = cdx = c(b − a) = 1 −∞ a a 1 o Vậy, c = b − a 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x được xác định bởi F(x) = P(X < x) o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng F(x) = ∑ P(X = xi ) = ∑ pi xxii<<x x o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x (hình vẽ) x 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Các tính chất của hàm phân bố 1) Hàm phân bố xác định với ∀x∈(-∞, +∞) 2) 0 ≤ F(x) ≤ 1; F(-∞) = 0; F(+∞) = 1 3) Hàm phân bố là một hàm không giảm: Nếu x1<x2 thì F(x1) ≤ F(x2) 4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) • Chứng minh: o Các tính chất 1) và 2) suy ra từ định nghĩa: F(x)=P(X<x) F(-∞) = P(X< -∞) ∼ P(V)=0; F(+∞) = P(X< +∞) ∼ P(U)=1 o Tính chất 3): Nếu x1<x2 Î {X<x2}={X<x1}+{x1≤X<x2}: Tổng 2 sự kiện xung khắc Î P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) (*) Hay F(x2) = F(x1) + P(x1≤X<x2) Î F(x1) ≤ F(x2) o Tính chất 4): Thay vai trò của x1 và x2 trong (*) bởi a và b ta được P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 1. Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng đích của mỗi phát bằng 0.4. Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng bia. o Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khi đó: 0 0 3 o p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.216 1 1 2 o p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.432 X 0 1 2 3 2 2 1 o p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.288 P 0.216 0.432 0.288 0.064 3 3 0 o p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.064 ⎧0 khi x ≤ 0 F(x) = p ⎪0.216 khi0 3 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Đồ thị hàm phân bố ⎧0 khi x ≤ 0 ⎪0.216 khi 0 3 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng ⎧0 khi x ≤1 ⎪ 2 F(x) = ⎨a(x −1) khi1 3 a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x); b) Tính xác suất P(1 3 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc F(x) = ∑ pi i o Các pi lập thành bảng phân bố xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên liên tục F(x) = P(X < x) o P(x≤X<x+Δx) = F(x+Δx)-F(x) Được gọi là xác suất trung P(x < X < x + Δx) F(x + Δx) − F(x) o Lập tỷ số = bình để X nhận giá trị trên một Δx Δx đơn vị độ dài của khoảng Δx o Nếu hàm F(x) khả vi, lấy giới hạn đẳng thức trên khi Δx→0 P(x < X < x + Δx) F(x + Δx) − F(x) lim = lim = F′(x) Δx→0 Δx Δx→0 Δx o Giới hạn này, nếu tồn tại, được gọi là hàm mật độ xác suất f (x) = F′(x) dF(x) x f (x) = F(x) = ∫ f (x)dx dx −∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Tính chất: 1) f(x) ≥ 0 (theo định nghĩa) +∞ 2) ∫ f ( x ) dx = 1 (theo định nghĩa) −∞ b 3) P(a ≤ X < b) = ∫ f (x)dx a Chứng minh: b ab P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) = ∫ f (x)dx − ∫∫f (x)dx = f (x)dx −∞ −∞ a 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng ⎧c khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ ⎩0 khi x b Hãy xác định f(x), F(x) và vẽ đồ thị của f(x), F(x) +∞ b b 1 o Giải: Từ ví dụ mục trước ∫∫∫f (x)dx = f (x)dx = cdx = c(b − a) = 1 c = −∞ a a b − a o Do đó: ⎧ 1 ⎪ khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ b − a ⎩⎪0 khi x b ⎧0 khi x b 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đồ thị hàm mật độ và hàm phân bố ⎧0 khi x b ⎩⎪1 khi x > b Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố nhị thức: o Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử không đổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A trong n phép thử. Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức k k n−k Pn (k) = P(X = k) = Cn p (1− p) , k = 0,1, ,n • Phân bố Poisson o Trong phân bố nhị thức, nếu giả thiết rằng, xác suất xuất hiện sự kiện A phụ thuộc vào số lần thử n sao cho khi n→∞ mà P(A)=p→0 và np→λ=const, thì phân bố nhị thức sẽ tiệm cận đến phân bố Poisson: e−λλk P(k) = P(X = k) = , k = 0,1,2 k! Nhận thấy: λ>0 Tham số λ được gọi là trung bình số lần xuất hiện 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị của hân bố nhị thức và phân bố Poisson: 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố chuNn: o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng 2 1⎛ x−μ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ f (x) = e 2⎝ σ ⎠ σ 2π o Trong đó(-∞<x<+∞), μ và σ là các tham số của phân bố o Î Ký hiệu X∈N(μ,σ) o Đồ thị hàm mật độ là một đường cong đối xứng qua trục x=μ và có cực đại bằng 1 fmax = σ 2π x2 1 − o Trường hợp riêng, X∈N(0,1), khi đóhàm mật có dạng ϕ(x) = e 2 2π o và biến X được gọi là có phân bố chuẩn chuẩn hóa 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế o Đồ thị 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố chuNn: o Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X có phân bố chuNn được xác định bởi 2 x 1⎛ x−μ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ F(x) = ∫ e 2⎝ σ ⎠ dx σ 2π −∞ 2 o Với phân bố chuNn chuNn hóa ta có: x x 1 − φ(x) = ∫ e 2 dx 2π −∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố mũ: o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố mũ nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng ⎧0 khi x ≤ 0 f (x) = (λ > 0) ⎨ −λx ⎩λe khi x > 0 o Và hàm phân bố có dạng ⎧0 khi x ≤ 0 F(x) = ⎨ −λx ⎩1− λe khi x > 0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế 2 • Phân bố χ (Khi bình phương) n χ 2 (n) = X 2 o N ếu Xi∈N (0,1), i=1 n, khi đóbiến ngẫu nhiên ∑ i được gọi là có phân bố χ2 i=1 o Hàm mật độ và hàm phân bố xác suất của phân bố χ2 có dạng ⎧0 khi x ≤ 0 +∞ ⎪ n −t x−1 −1 x Γ(x) = e t dt ⎪ 2 − f (x) = x 2 ∫ ⎨ e khi x > 0 0 ⎪ n ⎛ n ⎞ Tham số n ⎪2 2 Γ⎜ ⎟ Γ(x +1) = xΓ(x) ⎩ ⎝ 2 ⎠ được gọi là x n t số bậc tự do Γ(1) =1 1 −1 − F(x) = t 2 e 2 dt ⎛ 1 ⎞ n ⎛ n ⎞ ∫ Γ⎜ ⎟ = π 2 2 Γ⎜ ⎟ 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị hàm mật độ của phân bố χ2 Phụ thuộc vào số bậc tự do n 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố Student (phân bố t): χ(n) o N ếu X ∈ N(0,1), X ∈ 1 2 n o thì biến ngẫu nhiên X X = 1 X 2 được gọi là có phân bố Student hay phân bố t o Hàm mật độ của phân bố t có dạng ⎛ n +1⎞ n+1 Γ − ⎜ ⎟ 2 2 Tham số n được gọi ⎝ 2 ⎠ ⎛ x ⎞ f (x) = ⎜1+ ⎟ là số bậc tự do ⎛ n ⎞ ⎜ n ⎟ Γ⎜ ⎟ nπ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ Hàm mật độ là một hàm chẵn 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế o Đồ thị hàm mật độ của phân bố t - Đối xứng qua trục tung -Phụ thuộc vào tham số n 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố F (Fisher) 2 2 o N ếu χ (n1) χ (n2 ) X1 ∈ , X 2 ∈ n1 n2 2 X1 χ (n1) / n1 o thì biến ngẫu nhiên X = = 2 X 2 χ (n2 ) / n2 o được gọi là có phân bố F (hay phân bố Fisher) o Hàm mật độ xác suất của nó có dạng n1 n2 n1 + n2 n1 n 2 n 2 Γ ( ) −1 1 2 x 2 Các tham số f (x) = 2 n1+n2 n1 n2 n , n được gọi Γ ( )Γ ( ) (n x + n ) 2 1 2 2 2 1 2 là các bậc tự do ≡ f (x) ≡ f (x,n ,n ) n1,n2 1 2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị hàm mật độ của phân bố F (Fisher) Phụ thuộc vào hai tham số n1, n2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Một số khả năng ứng dụng các phân bố lý thuyết • Đã xét các phân bố: o Phân bố nhị thức Dùng để xấp xỉ các o Phân bố Poisson phân bố thực nghiệm o Phân bố chuNn o Phân bố chuNn chuNn hóa Dùng làm phân bố o Phân bố mũ mẫu trong các bài toán 2 o Phân bố χ (Khi bình phương) kiểm nghiệm giả thiết o Phân bố Student (t) thống kê o Phân bố F (Fisher) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Sử dụng EXCEL để xác định các phân bố o Phân bố nhị thức: BINOMDIST(k, n, p, Cumulative) o Phân bố Poisson: POISSON(k, Lamda, Cumulative) o Phân bố chuNn: NORMDIST(x, μ, σ, Cumulative) o Phân bố chuNn chuNn hóa: NORMDIST(x, 0, 1, Cumulative) o Phân bố mũ: EXPONDIST(x, Lamda, Cumulative) o Phân bố χ2 (Khi bình phương): CHIDIST(x, n) o Phân bố Student (t): TDIST(x, n, Tails) (Tails=1 hoặc 2) o Phân bố F (Fisher): FDIST(x, n1, n2) Đối với các phân bố χ2, t và F, để nhận được đồ thị phân bố cần xử lý thêm 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Ghi chú: o Đối với các hàm trên đây, tham số Cumulative nhận giá trị TRUE hoặc FALSE • Khi Cumulative=TRUE, kết quả trả về là hàm phân bố • Khi Cumulative=FALSE, kết quả trả về là hàm mật độ o Các hàm CHIDIST(x, n) và FDIST(x, n1, n2) đều trả về kết quả là xác suất P(X≥x) = 1–F(x) o Hàm TDIST(x, n, Tails) có tham số Tails=1 hoặc 2 • N ếu Tails=2, kết quả trả về là xác suất P(|X|>x), x≥0 • N ếu Tails=1, kết quả trả về là xác suất P(X>x), x≥0 • Vì hàm mật độ đối xứng qua trục tung Î suy ra nhánh x<0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Tại sao lại phải xét các đặc trưng số? • Mô tả biến ngẫu nhiên đầy đủ nhất là các hàm phân bố hoặc hàm mật độ o Biểu thị được dáng điệu o Mức độ tập trung, mức độ phân tán, o Tính xác suất các sự kiện o • N hiều trường hợp trong thực tế việc xác định các hàm này rất khó và hầu như không thể • Thay cho các hàm này ta sẽ xét một số đặc điểm quan trọng của nó thông qua những đặc trưng số • Các đặc trưng số có thể được sử dụng để mô tả những nét khái quát nhất của biến ngẫu nhiên 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Định nghĩa: Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên X là một số có cùng thứ nguyên với X, được ký hiệu bởi mx và được xác định bởi mx = M[X], trong đó M là ký hiệu toán tử lấy kỳ vọng • N ếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc mx = M[X ] = ∑ xi pi i với pi = P(X=xi) • N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục +∞ m = M[X ] = xf (x)dx x ∫ −∞ với f(x) là hàm mật độ xác suất của X 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố xác suất được cho như trong bảng dưới đây. Hãy xác định kỳ vọng của X X 1 2 5 p 0.2 0.5 0.3 3 Giải: mx = M[X ] = ∑ xi pi = i=1 =1×0.2 + 2×0.5 + 5×0.3 ⇒ mx = 0.2 +1.0 +1.5 = 2.7 0 1 2 3 4 5 Kỳ vọng như là Trọng tâm của hệ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Ví dụ: Cho X là đại lượng có phân bố đều trên đoạn [a,b]. Hãy xác định kỳ vọng của X 1 Giải: f (x) = b − a +∞ b 1 1 b 1 1 b m = M[X ] = xf (x)dx = x dx = xdx = x2 x ∫ ∫ ∫ −∞ a b − a b − a a b − a 2 a 1 1 a + b m = (b − a)2 = x b − a 2 2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Các tính chất của kỳ vọng 1) N ếu X=C là một hằng số thì M[X]=M[C] = C 2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X] 3) M[X ± Y] = M[X] ± M[Y] 4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y] 5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)], trong đó ⎧∑ g(xi ) pi NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiª n rêi r¹c ⎪ i M[Y ] = ⎨+∞ ⎪ ∫ g(x) f (x)dx NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiª n liª n tôc ⎩⎪−∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 1) N ếu X=C là một hằng số thì M[X]=M[C] = C Vì C=Const nên P(X=C)=1 Î M[X]=1.C=C 2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X] X – rời rạc M[CX ] = ∑Cxi pi = C∑ xi pi = CM[X ] i i +∞ +∞ X – liên tục M[CX ] = ∫ Cxf (x)dx = C ∫ xf (x)dx = CM[X ] −∞ −∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 3) M[X ± Y] = M[X] ± M[Y] Î M[X + Y] = M[X] + M[Y] Để đơn giản, ta xét X, Y là rời rạc có phân bố tương ứng: pi = P(X=xi), qj = P(Y=yj) Đặt Z=X+Y Î zij = xi+yj Î Phân bố của Z: rij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=yj) M[Z] = ∑∑ zij rij = ∑∑(xi + y j )rij = ∑∑ xirij + ∑∑ y j rij iijj ij ij M[Z] = ∑ xi ∑ rij + ∑ y j ∑ rij = ∑ xi pi + ∑ y j q j = M[X ]+ M[Y ] ijj i i j 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y] Để đơn giản, ta xét X, Y là rời rạc có phân bố tương ứng: pi = P(X=xi), qj = P(Y=yj) Đặt Z=XY Î zij = xiyj Î Phân bố của Z: rij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=yj) Vì X và Y độc lập nên P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj)= pi.qj M[Z] = ∑∑ zij rij = ∑∑ xi y j rij = ∑∑ xi y j piq j iijj ij M[Z] = ∑ xi pi ∑ y j q j = M[X ].M[Y ] ij 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)] o N ếu X là rời rạc: pi = P(X=xi) Î P(Y=yi)=P(Y=g(xi))=pi M[Y ] = ∑ g(xi ) pi i o N ếu X là liên tục có mật độ f(x): F(y)=P(Y<y)=P(g(X)<g(x))=P(X<x)=F(x) Î f(y)=f(x) +∞ M[Y ] = ∫ g(x) f (x)dx −∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Các tính chất của kỳ vọng: Phát biểu tóm tắt 1) N ếu X=C là một hằng số thì M[X]=M[C] = C Kỳ vọng của một hằng số bằng chính hằng số đó 2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X] Kỳ vọng của tích hằng số với ĐL ngẫu nhiên bằng tích của hằng số đóvàkỳ vọng của ĐL ngẫu nhiên 3) M[X ± Y] = M[X] ± M[Y] Kỳ vọng của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các kỳ vọng 4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y] Kỳ vọng của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng của chúng 5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)] 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 2. Trung vị (Median) • Định nghĩa: Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X là một số có cùng thứ nguyên với X, ký hiệu là Mex và được xác định bởi: P(X < Mex ) = P(X ≥ Mex ) • N hận thấy P(X < Mex )+ P(X ≥ Mex ) = F(∞) =1 • Do đó F(Mex)=0.5 • N ói cách khác: Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X chính là nghiệm của phương trình F(x)=0.5 Như vậy, Trung vị là điểm phân đôi khối lượng xác suất của X thành hai phần bằng nhau 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 2. Trung vị (Median) Mex 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 3. Mốt (Mode) • Định nghĩa: Mốt của đại lượng ngẫu nhiên X là số có cùng thứ nguyên với X, tại đóhàm mật độ xác suất đạt cực đại. • Ký hiệu là Mox • N ếu f(x) khả vi hai lần, có thể xác định mốt bởi ⎧ df ( x ) = 0 ⎪ dx ⎪ x = Mo x ⎨ d 2 f ( x ) ⎪ < 0 ⎪ dx 2 ⎩ x = Mo x X có thể có một mốt, nhiều mốt, hoặc có thể không có mốt 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 3. Mốt (Mode) Phân bố không có mode Phân bố có một mode 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai • Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là một số không âm được ký hiệu bởi Dx và được xác định bởi 2 Dx= M[(X-mx) ], trong đó M là ký hiệu toán tử lấy kỳ vọng • N ếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc 2 2 Dx = M[(X − mx ) ] = ∑(xi − mx ) pi i với pi = P(X=xi) • N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục +∞ D = M[(X − m )2 ] = (x − m )2 f (x)dx x x ∫ x −∞ với f(x) là hàm mật độ xác suất của X 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai 2 • Từ biểu thức định nghĩa: Dx= M[(X-mx) ], suy ra: 2 2 2 Dx = M[(X − mx ) ] = M[X − 2Xmx + mx ] = 2 2 = M[X ]− 2mx M[X ]+ mx 2 2 2 2 Dx = M[X ]− 2mxmx + mx = M[X ]− (M[X ]) 2 2 ⎛ ⎞ X rời rạc: Dx = ∑ xi pi − ⎜∑ xi pi ⎟ i ⎝ i ⎠ 2 +∞ ⎛ +∞ ⎞ X liên tục: D = x2 f (x)dx − ⎜ xf (x)dx⎟ x ∫ ⎜ ∫ ⎟ −∞ ⎝ −∞ ⎠ Ký hiệu khác: Dx = D[X] 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai 2 • Từ biểu thức định nghĩa: Dx= M[(X-mx) ] mx là tâm phân bố (trọng tâm) (X-mx) là độ lệch của các giá trị của X khỏi tâm phân bố Î Có thể âm, có thể dương 2 (X-mx) là bình phương các độ lệch này 2 Dx=M[(X-mx) ] là trung bình các bình phương độ lệch của X khỏi tâm phân bố • Từ đó suy ra ý nghĩa của phương sai: • Phương sai của đại lương ngẫu nhiên là một số không âm đặc trưng cho mức độ phân tán của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng của nó (thước đo độ phân tán của X) • Dx càng lớn sự phân tán càng lớn, và ngược lại 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai • Các tính chất 1) N ếu X=C=Const thì D[X]=D[C]=0 2) N ếu C=Const thì D[CX] = C2.D[X] 3) N ếu X và Y độc lập với nhau thì D[X±Y]=D[X]+D[Y] • Phát biểu 1) Phương sai của hằng số bằng 0 2) Phương sai của tích một hằng số với một đại lượng ngẫu nhiên bằng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên và bình phương của hằng số 3) Phương sai của tổng (hiệu) hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai của chúng 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai • Chứng minh: 1) N ếu X=C=Const thì D[X]=D[C]=M[(C-M[C])2]=M[(C-C)2]=0 2) N ếu C=Const thì D[CX] = M[(CX-M[CX])2] =M[(CX-CM[X])2]= =M[C2(X-M[X])2]=C2M[(X-M[X])2]= C2D[X] 3) N ếu X và Y độc lập với nhau thì D[X±Y]=M[(X±Y-M[X ±Y])2 = M[{(X-M[X]±(Y-M[Y])}2]= =M[(X-M[X])2 + (Y-M[Y])2 ± 2(X-M[X])(Y-M[Y])] = = M[(X-M[X])2] + M[(Y-M[Y])2] ± 2M[(X-M[X])(Y-M[Y])] =D[X] =D[Y] =0 do X và Y độc lập Î D[X±Y] = D[X] + D[Y] 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai 2 • Từ định nghĩa: Dx= D[X] = M[(X-mx) ] • N hận thấy: o mx = M[X] có thứ nguyên cùng thứ nguyên với X o Dx = D[X] có thứ nguyên bằng bình phương thứ nguyên của X o Để có thể so sánh giữa tập các giá trị của X, mx với mức độ phân tán của X, thay cho Dx người ta dùng căn bậc hai của Dx gọi là độ lệch chuNn và ký hiệu bằng σx σx = Dx = D[X] 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai • Ví dụ 1 o Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố được cho trong bảng sau. Hãy tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuNn của X. X 1 2 3 p 0.3 0.5 0.2 o Giải: o mx = 1x0.3 + 2x0.5 + 3x0.2 = 2.3 3 2 2 2 2 Dx = ∑()xi − mx pi = (1− 2.3) × 0.3 + (2 − 2.3) × 0.5 + (3 − 2.3) × 0.2 i=1 Dx = 2.01 σ x = Dx = 2.01 ≈ 1.42 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 4. Phương sai • Ví dụ 2 o Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X tuân theo luật phân bố nhị thức k k n−k pn (k) = Cn p q với X = {0, 1, 2, , k, ,n}, q=1−p. Hãy tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuNn của X o Giải: Ta có n n k k n−k mx = M[X ] = ∑kpn (k) = ∑kCn p q k=0 k=0 2 2 2 2 Dx = M[X ] − (M[X ]) = M[X ] − mx n n 2 2 2 k k n−k M[X ] = ∑k pn (k) = ∑k Cn p q k=0 k=0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên n k k n−k mx = ∑kCn p q = ??? k=0 n n ( p + q)n = C k pk qn−k Đạo hàm n( p + q)n−1 = kC k pk−1qn−k ∑ n theo p ∑ n k=0 k=0 n N hân hai vế với p (chú ý p+q=1) n−1 k k n−k pn( p + q) = ∑kCn p q = pn = mx k=0 n Đạo hàm n(n −1)(p + q)n−2 = k(k −1)Ck pk−2qn−k theo p ∑ n k=0 n N hân hai vế với p2 2 n−2 k k n−k p n(n −1)(p + q) = ∑k(k −1)Cn p q k=0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên n k k n−k mx = ∑kCn p q = ??? mx = np k=0 n n 2 n−2 2 k k n−k k k n−k 2 p n(n −1)(p + q) = ∑k Cn p q − ∑kCn p q = n(n −1)p k=0 k=0 n 2 2 k k n−k 2 2 M[X ] = ∑k Cn p q ⇒ M[X ] = n(n −1) p + np k=0 2 2 2 2 2 ⇒ Dx = M[X ] − mx = n(n −1) p + np − n p 2 2 2 2 2 Dx = n p − np + np − n p = np(1− p) = npq Dx = npq σ x = npq 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 5. Phân vị • Định nghĩa: Phân vị cấp p của đại lượng ngẫu nhiên X là một số có cùng thứ nguyên với X, ký hiệu là xp, và được xác định bởi F(xp) = p, trong đó F(x) là hàm phân bố của X • N ếu p=0.5: F(x0.5) = 0.5 Î x0.5 = Mex = Trung vị Khi p=0.25: x0.25 Khi p=0.5: x0.5 Khi p=0.75: x0.75 Các phân vị này chia tập các giá trị của X thành 4 khoảng có cùng xác suất 0.25 Chúng được gọi là tứ vị x0.25 x0.5 x0.75 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 5. Phân vị • Ví dụ: Biến ngẫu nhiên X phân bố đều có hàm mật độ và hàm phân bố được cho bởi: ⎧0 khi x b ⎩⎪1 khi x > b Hãy xác định các tứ vị của X. • Giải: Ta có • x0.25: F(x0.25)=(x0.25-a)/(b-a)=0.25 Î x0.25=a+(b-a)/4 • x0.5: F(x0.5)=(x0.5-a)/(b-a)=0.5 Î x0.5=a+(b-a)/2 • x0.75: F(x0.75)=(x0.75-a)/(b-a)=0.75 Î x0.75=a+3(b-a)/4 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 5. Phân vị •Với a=1, b=5: •x0.25=1+(5-1)/4=2 •x0.5=1+2(5-1)/4=3 •x0.75=1+3(5-1)/4=4 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 6. Mômen • Định nghĩa 1: Mômen gốc bậc k của đại lượng ngẫu nhiên X là k một số ký hiệu là mk, và được xác định bởi mk=M[X ] • Từ đó ⎧ k ∑ xi pi nÕu X lµ rêi r¹c ⎪ i k ⎪ mk = M[X ] = ⎨+∞ ⎪ ∫ xk f (x)dx nÕu X lµ liª n tôc ⎩⎪−∞ N ếu k=1: m1 = M[X] = mx Î Kỳ vọng là mômen gốc bậc 1 2 N ếu k=2: m2 = M[X ] Î Thường dùng trong tính toán trung gian 2 2 2 2 Ví dụ: Dx = D[X] = M[X ] – (M[X]) = m2 –m1 = m2 –mx 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 6. Mômen • Định nghĩa 2: Mômen trung tâm bậc k của đại lượng ngẫu nhiên k X là một số ký hiệu μk, và được xác định bởi μk=M[(X-M[X]) ] Từ đó ⎧ k ∑(xi − mx ) pi nÕu X lµ rêi r¹c ⎪ i k ⎪ μk = M[(X − M[X ]) ] = ⎨+∞ ⎪ (x − m )k f (x)dx nÕu X lµ liª n tôc ∫ x ⎩⎪−∞ k = 1:μ1 = M [( X − mx )] = mx − mx = 0 2 2 k = 2 :μ2 = M [( X − mx ) ] = Dx = σ x 3 k = 3:μ3 = M [( X − mx ) ] 4 k = 4 :μ4 = M [( X − mx ) ] 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 6. Mômen • Liên hệ giữa mômen gốc và mômen trung tâm • Sử dụng nhị thức N ewton k k ⎡ i i k−i i ⎤ μk = M[(X − mx ) ] = M ⎢∑(−1) Ck X mx ⎥ = ⎣ i=0 ⎦ k k i i i k−i i i i = ∑(−1) Ck m1M []X = ∑(−1) Ck m1mk−i i=0 i=0 k i i i μk = ∑(−1) Ck m1mk−i i=0 2 2 2 Ví dụ: Với k=2 ta có μ2 = m2 -2(m1) + (m1) = m2 -(m1) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 6. Mômen • N hận thấy: Khi r=2k-1, k=1,2, +∞ ⎧0 nÕu f(x - m )lµ hµm ch½n μ = (x − m )r f (x)dx = x r ∫ x ⎨ −∞ ⎩≠ 0 nÕu ng−îc l¹i • Î N ếu X có phân bố đối xứng đối với kỳ vọng thì mọi mômen trung tâm bậc lẻ đều bằng không (vì tích phân của hàm lẻ trên khoảng đối xứng). • Do đó người ta sử dụng mômen trung tâm bậc ba để đặc trưng cho mức độ bất đối xứng của phân bố 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 6. Mômen 3 μ3 =M[(X −mx) ] 3 • Î Thứ nguyên của μ3 bằng thứ nguyên của X Î Không so sánh được giữa các phân bố với nhau • Î Thay cho μ3 người ta dùng đại lượng vô thứ nguyên 3 μ3 μ3 M[(X −mx) ] Gọi là độ bất đối A= 3 = 3 = 3 xứng hay hệ số 2 σx D ()x ( M[(X −mx) ) bất độ xứng μ • Đại lượng E = 4 gọi là độ nhọn, đặc trưng cho mức độ 4 “nhọn” hơn hay “tù” hơn phân bố chuNn σx 10:10:14
ÝÝ nghnghĩĩaa ccủủaa đđộộ bbấấtt đđốốii xxứứngng μ3 A = 3 σ x 0.45 0.4 A>0 0.35 A<0 0.3 0.25 0.2 A=0 0.15 0.1 0.05 0 0246810 10:10:14
ÝÝ nghnghĩĩaa ccủủaa đđộộ nhnhọọnn μ4 E = 4 − 3 σ x Nhọn hơn “chuẩn” hay tù hơn “chuẩn” ! 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Ví dụ: Cho X∈N (μ,σ). Hãy xác định kỳ vọng, phương sai của X. Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). Giải: 2 +∞ +∞ 1⎛ x−μ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ x − μ m = xf (x)dx = xe 2⎝ σ ⎠ dx Đặt t = x ∫ ∫ σ −∞ σ 2π −∞ +∞ t2 +∞ t2 ⇒ x = μ +σt, dx =σdt 1 − 1 − m = μe 2 dt + σte 2 dt x ∫ ∫ +∞ t2 2π 2π 1 − −∞ −∞ m = (μ +σt)e 2 σdt x ∫ σ 2π −∞ =0 do t/p hàm lẻ +∞ t2 μ − μ m = e 2 dt = 2π = μ x ∫ mx = μ 2π −∞ 2π 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 2 +∞ 1⎛ x−μ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ D = M[X 2 ] − m2 = x2e 2⎝ σ ⎠ dx − m2 x − μ x x ∫ x Đặt t = σ 2π −∞ σ +∞ t2 +∞ t2 1 − 1 − M[X 2 ] = ∫ (μ + σt)2 e 2 σdt = ∫ (μ 2 + 2μσt +σ 2t2 )2 e 2 σdt σ 2π −∞ σ 2π −∞ 2 +∞ t2 +∞ t2 2 +∞ t2 2 +∞ t2 μ − 2μσ − σ − σ − = ∫ e 2 dt + ∫ te 2 dt + ∫ t2e 2 dt = μ 2 + ∫ t2e 2 dt 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ +∞ +∞ t2 +∞ t2 +∞ t2 +∞ t2 t2 − =0 do t/p− hàm lẻ − − − ∫ t2e 2 dt = − ∫ tde 2 = − ∫ d(te 2 ) + ∫ e 2 dt = te 2 + 2π −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ =0 2 2 2 2 mx = μ Dx = μ +σ −μ =σ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Ý nghĩa của hai tham số μ và σ của phân bố chuNn: • μ là kỳ vọng của X, σ là độ lệch chuNn của X μ=1, σ=2 μ=1, σ=1 μ=2, σ=2 μ=1, σ=2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). 2 b b 1⎛ x−μ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ x − μ x = μ +σt, P(a ≤ X < b) = ∫ f (x)dx = ∫ e 2⎝ σ ⎠ dx Đặt t = a σ 2π a σ dx =σdt a − μ b − μ x = a ⇒t = , x = b ⇒t = σ σ b−μ b−μ σ 1 σ 1 1 − t2 1 − t2 ⎛ b − μ ⎞ ⎛ a − μ ⎞ P(a ≤ X < b) = ∫ e 2 σdt = ∫ e 2 dt = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ σ 2π a−μ 2π a−μ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ σ σ P( X − μ < α) = P(μ −α < X < μ + α) = ⎛ μ + α − μ ⎞ ⎛ μ −α − μ ⎞ ⎛ α ⎞ ⎛ −α ⎞ ⎛ α ⎞ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = 2Φ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝σ ⎠ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|<3σ). ⎛ α ⎞ ⇒ P( X − μ < α) = 2Φ⎜ ⎟ ⎝σ ⎠ ⎛ σ ⎞ ⇒ P( X − μ < σ ) = 2Φ⎜ ⎟ = 2Φ()1 ≈ 0.68 ⎝ σ ⎠ ⎛ 2σ ⎞ ⇒ P( X − μ < 2σ ) = 2Φ⎜ ⎟ = 2Φ()2 ≈ 0.95 ⎝ σ ⎠ ⎛ 3σ ⎞ Qui tắc ba ⇒ P( X − μ < 3σ ) = 2Φ⎜ ⎟ = 2Φ()3 ≈ 0.9973 ⎝ σ ⎠ xicma (3σ) Nếu X có phân bố chuẩn thì hầu như chắc chắn X sẽ nhận trị số trong khoảng (μ−3σ ; μ+3σ) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ • 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên Nếu X có phân bố chuẩn thì hầu như chắc chắn X sẽ nhận trị số trong khoảng (μ−3σ ; μ+3σ) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Định nghĩa: Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y = e i λ X trong đó λ là một biến số thực g(λ) = M[Y]= M[eiλX ] • N ếu X là rời rạc: iλxk g(λ) = ∑e pk pk = P(X = xk ),k =1,2, k • N ếu X là liên tục +∞ g(λ) = eiλx f (x)dx có mật độ f(x) ∫ −∞ Công thức này được gọi là phép biến đổi Fourier hàm f(x) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: 1. N ếu gx(λ) là hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X, thì hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Y=aX+b bằng ibλ gy(λ) =e gx(aλ) •Chứng minh: Ta có iλY iλ(aX+b) iλb iλaX gy(λ) = M[e ]= M[e ]= M[e e ]= iλb i(aλ)X iλb =e M[e ]=e gx(aλ) 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: 2. Hàm đặc trưng của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm đặc trưng của từng hạng tử •Chứng minh: • N ếu X1, X2, , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có các hàm đặc trưng g (λ), g (λ), , g (λ) n x1 x2 xn Giả sử X = ∑ X k Khi đó: k=1 n ⎡ ⎤ n n n iλ ∑ X k ⎡ ⎤ g (λ) = M ⎢e k =1 ⎥ = M eiλX k = M eiλX k = g (λ) x ⎢∏ ⎥ ∏ []∏ xk ⎢ ⎥ ⎣ k=1 ⎦ k=1 k=1 ⎣ ⎦ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các tính chất: 3. Giá trị của hàm đặc trưng bằng đơn vị khi λ=0 •Chứng minh: Ta có +∞ g()0 = ∫ f (x)dx = 1 −∞ 4. Hàm đặc trưng xác định duy nhất hàm mật độ • Ta có +∞ 1 +∞ g(λ) = ∫eiλx f (x)dx f (x) = ∫e−iλxg(λ)dλ −∞ 2π −∞ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 1) Tìm hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có phân bố được cho bởi X 0 1 p 1–p p •Giải: Ta có iλX iλxk iλ×0 iλ×1 g(λ) = M[e ]=∑e pk =e (1− p)+e p = k =1− p+ peiλ = peiλ − p+1 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 2) Cho các biến ngẫu nhiên Xk độc lập có phân bố: Xk 0 1 p 1–p p n Tìm hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X =∑Xk k=1 •Giải: Theo tính chất 2, hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm đặc trưng thành phần, do đó iλXk iλ gk (λ) = M[e ]= pe − p+1,k =1,2, ⇒g(λ) = g =(peiλ − p+1)n Π k k 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.7 Hàm đặc trưng • Các ví dụ 3) Cho X là biến ngẫu nhiên có phân bố chuNn chuNn hóa. Tìm hàm đặc trưng của X 1 1 − x2 •Giải: Vì X∈N (0,1) nên f (x) = e 2 2π +∞ 1 +∞ 1 +∞ 1 1 − x2 1 − (x2−iλx) 1 − (x2−iλx)−λ2+λ2 ⇒g(λ) = M[eiλX ]= ∫eiλxe 2 dx= ∫e 2 dx= ∫e 2 dx 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2 2 +∞ 1 2 2 λ +∞ 1 2 λ +∞ 1 2 1 − [](x−iλ) +λ 1 − − (x−iλ) 1 − − u = ∫e 2 dx= e 2 ∫e 2 dx= e 2 ∫e 2 du 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ Trong đó: u=x–iλ, dx=du 2 2 +∞ 1 2 λ λ − u 1 − − Vì∫e 2 du= 2π nên g(λ) = e 2 2π =e 2 −∞ 2π 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen •Từ hệ thức định nghĩa hàm đặc trưng, g(λ) = M[eiλX ] Lần lượt lấy đạo hàm hai vế một cách hình thức theo λ đến bậc k: iλX g′(λ) = M[iXe ] g′(0) = M[iX]=im1 g′′(λ) = M[(iX)2eiλX ] g′′(0) = M[(iX)2]=−m Cho λ=0 ta được 2 (k) g(k)(λ) = M[(iX)k eiλX ] g (0) g(k)(0) M[(iX)k ] ikm m = ,k =1,2, = = k k ik N hân hai vế của biểu thức g(λ) với e − i λ m x rồi lấy đạo hàm lần lượt theo λ, sau đó đặt λ=0, ta được (k) −iλmx k [e g(λ)] =i μk, k =1,2, λ=0 (k) 1 −iλmx ⇒μk = k []e g(λ) , k =1,2, i λ=0 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen •Vídụ: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuNn, ta có: ()x−m 2 − x 1 2 f (x) = e 2σ x 2 2πσ x ()x−m x2 xm m2 +∞ − x +∞ − +iλx+ x − x 1 2 1 2 2 2 g()λ = ∫ eiλxe 2σ x dx = ∫ e 2σ x σ x 2σ x dx 2πσ x −∞ 2πσ x −∞ 2 2 1 iλσ x + mx mx Ký hiệu A = 2 , B = 2 ,C = 2 2σ x 2σ x 2σ x +∞ AC−B2 AC−B2 1 2 1 1 π − − ⇒ g()λ = e−Ax +2Bx−Cdx = e A = e A ∫ 2 2πσ x −∞ π 2σ x A 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 AC − B B mx (iλσ x + mx ) 2iλσ x mx − λ σ x λ σ x − = −C + = − 2 + 2 = 2 = iλmx − A A 2σ x 2σ x 2σ x 2 2 2 λ σ x iλmx − ⇒ g()λ = e 2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.8 Liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mômen 2 2 •Vídụ: λ σ x iλmx − g()λ = e 2 1 im Mômen gốc bậc 1: m = g′(λ) = x e0 = m 1 i λ=0 i x (k ) 1 −iλmx Mômen trung tâm: μk = k [e g(λ)] , k = 1,2, i λ=0 2 2 2 2 λ σ x λ σ x iλmx − − −iλmx −iλmx 2 2 Khai triển thành chuỗi Macloren: e g()λ = e e = e ∞ 2k ∞ 2k 2k −iλmx k σ x 2k i σ x 2k e g()λ = ∑ (−1 ) k λ = ∑ k λ k=0 2 k! k=0 2 k! ⇒ μ2k−1 = 0 i2k i2kσ 2k (2k)! μ = x ⇒ μ = σ 2k ,k = 1,2, (2k)! 2k 2k k! 2k 2k k! x 2 4 μ2 = σ x , μ4 = 3σ x 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn 1. Bất đẳng thức Tchebychev: N ếu đại lượng ngẫu nhiên X có kỳ vọng và phương sai hữu hạn thì với mọi số ε>0 bất kỳ cho trước ta có D[X] trong đómx=M[X] P()X −m <ε ≥1− x ε2 ⇒P X −m ≥ε = f (x)dx •Chứng minh: Giả sử X liên tục có f(x) ( x ) ∫ 2 |x−mx|≥ε 2 2 (x−mx) x−mx ≥ε ⇒(x−mx) ≥ε ⇒ 2 ≥1 ε 2 (x−mx) ⇒P()X −m ≥ε ≤ f (x)dx x ∫ ε2 |x−mx|≥ε 1 +∞ D[X] ≤ (x−m )2 f (x)dx= 2 ∫ x 2 ε −∞ ε D[X] ⇒P()X −m <ε ≤1−P()X −m ≥ε ≥1− x x ε2 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn 2. Định lý Tchebychev: N ếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai bị chặn bởi một hằng số C nào đó thì với mọi số ε>0 bất kỳ cho trước ta có ⎛ 1 n 1 n ⎞ limP⎜ Xi − M[Xi ] <ε⎟ =1 n→∞ ⎜ ∑ ∑ ⎟ ⎝ n i=1 n i=1 ⎠ •Chứng minh: Đặt 1 n 1 n 1 n D[X] D[X ] X = ∑Xi ⇒M[X]= ∑M[Xi ] = 2 ∑ i n i=1 n i=1 n i=1 1 C Áp dụng bất đẳng thức Tchebychev: Vì D[Xi ]≤C,∀i ⇒D[X]≤ 2 nC= n n D[X] C P(| X −M[X]|<ε) ≥1− 2 ≥1− 2 ⇒limP(| X −M[X]|<ε) ≥1 ε nε n→∞ ⎛ 1 n 1 n ⎞ Hay limP⎜ Xi − M[Xi ] <ε⎟ =1 n→∞ ⎜ ∑ ∑ ⎟ ⎝ n i=1 n i=1 ⎠ 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn 3. Định lý Bernoulli: N ếu mỗi phép thử trong n phép thử Bernoulli, sự kiện A xuất hiện với xác suất p không đổi thì xác suất để trị số tuyệt đối của độ lệch giữa tần suất và xác suất của số lần xuất hiện A trong n phép thử bé hơn một số dương tùy ý ε cho trước sẽ dần tới 1 khi n→∞, tức ⎛ m ⎞ limP⎜ − p <ε⎟ =1 n→∞ ⎝ n ⎠ •Chứng minh: Gọi Xi là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện sự kiện A trong lần thử thứ i (Xi={0,1}). Khi đóXi có phân bố Xi 0 1 p 1–p p n N ếu trong n phép thử A xuất hiện m lần thì ∑Xi =m i=1 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn 3. Định lý Bernoulli: ⇒M[Xi ]=0×(1− p)+1× p = p 2 2 2 2 2 D[Xi ]= M[Xi ]−()M[Xi ] =0 ×(1− p)+1 × p− p = p(1− p) <1≡C Î Các Xi độc lập, có cùng kỳ vọng và có phương sai hữu hạn Î Áp dụng định lý Tchebychev: ⎛ m ⎞ limP⎜ − p <ε⎟ =1 n→∞ ⎝ n ⎠ Người ta gọi đây là “hội tụ theo xác suất”, và ký hiệu: m ⎯⎯→X⎯.S. p n (n→∞) Định lý Bernoulli còn được gọi là luật số lớn dạng Borel 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.9 Các định luật số lớn 4. Định lý Markov: N ếu X1, X2, , Xn là dãy các đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ có D[X ] ∑ i →0 khin→∞ n2 ⎛ 1 n 1 n ⎞ thì limP⎜ Xi − M[Xi ] ε) ≤ = ∑ i →0 khi n →∞ ε2 n2ε2 1 1 Do đó limP( Xi − M[Xi ] <ε) =1 n→∞ ∑ ∑ n i n i 10:10:14
ChChươươngng 3.3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ HẾT CHƯƠN G 3 10:10:14