Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân

1. Trường Đại học Bỏch khoa tp. Hồ Chớ Minh Bộ mụn Toỏn Ứng dụng Giải tớch 1 Chương 3: Tớch phõn • Giảng viờn Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Nội dung 1 – Tớch phõn bất định. 2 – Tớch phõn xỏc định. 3 – Tớch phõn suy rộng. 4 – Ứng dụng của tớch phõn. Tài liệu: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу, Том 2, 2003.
3. I. Tớch phõn bất định Định nghĩa Hàm số y = F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm hàm y f() x trong [a,b], nếu y = F(x) liờn tục, cú đạo tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và F' ()() x f x . Hai nguyờn hàm sai khỏc nhau một hằng số. Tập hợp tất cả cỏc nguyờn hàm của y = f(x) được gọi là tớch phõn bất định của hàm y = f(x), ký hiệu f()() x dx F x C
4. I. Tớch phõn bất định Tớnh chất ' 1. f ( x ) dx f ( x ) 2. d f ( x ) dx f ( x ) dx ' 3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thỡ f()() x dx f x C 4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thỡ df()() x f x C 5. f ( x ) dx f ( x ) dx 6. f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
5. Tớch phõn của một số hàm cơ bản 1. sinhxdx cosh x c coshxdx sinh x c dx dx 2. tanh x c coth x c cosh2 x sinh2 x dx1 x 3. arctan c x2 a 2 a a dx x x 4. arcsin c arccos c a2 x 2 a a dx 2 2 5. ln x x a C a 0 x2 a 2
6. Phương phỏp đổi biến Nếu tồn tại hàm hợp f( ( x )) và hàm t () x liờn tục trờn đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thỡ f( ( x )) ' ( x ) dx f ( t ) dt t () x Nếu tồn tại hàm hợp x 1() t của hàm t () x , thỡ ' f( t ) dt f ( ( x )) ( x ) dx x 1() t ' f( x ) dx f ( ( t )) ( t ) dt t 1() x
7. dx Vớ dụ Tớnh I sin x dx sin xdx dcos x dt I sin x sin2 x 1 cos2 x 1 t 2 1 dt dt 1 cosx 1 1 x ln C ln tan C 2 t 1 t 1 2 cosx 1 2 2 ln(arccosx ) dx Vớ dụ Tớnh I 1 x2  arccos x dx t ln(arccos x ) dt 1 x2 arccos x ln(arccosx ) dx t 2 1 I tdt C ln2 arccos x C 1 x2  arccos x 2 2
8. Phương phỏp tớch phõn từng phần. Giả sử hai hàm u u( x ), v v ( x ) liờn tục trờn đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b). ' ' Nếu tồn tại v u dx , thỡ tồn tại u v dx . Ngoài ra: '' u v dx u  v v  u dx u dv u  v v  du
9. Phương phỏp tớch phõn từng phần. dx u ln ax du x Pn ( x )ln ax dx đặt dv Pn()() x dx v P n x dx ax Pn () x e  dx Pn ( x ) cos ax  dx Pn ( x ) sin ax  dx đặt u Pn () x Pn ( x ) arcsin ax  dx dv phaàn coứn laùi. Pn ( x ) arccos ax  dx Pn ( x ) arctan ax  dx Pn () xarccot ax  dx 
10. Vớ dụ Tớnh I arccos2 xdx 2arccos xdx Đặt u arccos2 x du dv dx v x 1 x2 2x arccos x 2 xarccos2 x I I xarccos x dx 1 1 x2 dx u arccos x du 1 x2 xdx xdx dv v 1 x2 C 2 1 x 1 x2 2 1 x2 arccos x x C I1 1 x arccos x dx 2
11. Tớch phõn của hàm hữu tỷ Pn () x PQn, m cỏc đa thức bậc n và dx m với hệ số thực. Qm () x 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tớch phõn phõn thức đỳng. 2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phõn tớch ra thừa số bậc nhất và bậc hai. t t s1 sk 21 2 v Qxm( ) xa 1 xa k  xpxq 1 1  xpxq v v
12. Tớch phõn của hàm hữu tỷ. Pn()() x P n x 3. Phõn tớch: t s1 2 1 Qm () x x a1 x p 1 x q 1 AA A 1 2  s1 x a 2 s1 1 x a1 x a 1 B x C B x C B x C 1 1 2 2  t1 t 1 x2 p x q 22 2 t1 1 1 x p1 x q 1 x p 1 x q 1 4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tỡm cỏc hệ số. 5. Đưa tớch phõn cần tớnh về cỏc tớch phõn cơ bản sau.
13. Tớch phõn của hàm hữu tỷ. dx 1 1. C, n 1 ()x a n n 1 x a n 1 Mx n dx M2 x p Mp dx 2. 2 2dx N 2 x px q2 x px q 2 x px q dx 1 2nxdx 3. I u du n n n n 1 x2 a 2 x2 a 2 x2 a 2 dv dx v x x x2 dx I 2 n n n n 1 x2 a 2 x 2 a 2
14. Tớch phõn của hàm hữu tỷ. 2 2 2 x x a a dx I 2 n n n n 1 x2 a 2 x 2 a 2 x dx dx I 2 n 2 na2 n n n n 1 x2 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 x 2 In n 2 nI n 2 na I n 1 x2 a 2 1 x Hệ thức truy hồi: In 1 2 n 2 n 1 I n 2na x2 a 2 dx1 x IC arctan 1 x2 a 2 a a
15. dx Vớ dụ Tớnh I (x 2)3 d( x 2) I (x 2) 3 d ( x 2) (x 2)3 1 3 1 1 x 2 C C 2 2(x 2)2 dx Vớ dụ Tớnh I x2 2 x 5 dx d x 1 1x 1 I arctan C (x 1)2 2 2 (x 1)2 2 2 2 2
16. (x 4) dx Vớ dụ Tớnh I (x 2)( x 1) x 4 A B (x 2)( x 1) x 2 x 1 (*) Qui đồng, đồng nhất hai vế, tỡm được A = 2, B = -1. 2dx dx (x 2)2 I 2ln(x 2) ln( x 1) C ln C x 2 x 1 x 1 Chỳ ý. Cỏch tỡm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tỡm A, nhõn hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào. Để tỡm B, nhõn hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào.
17. 2x3 x 2 5 x 1 Vớ dụ Tớnh I dx (x2 3)( x 2 x 1) 2x3 x 2 5 x 1 Ax B Cx D (x2 3)( x 2 x 1) x 2 3 x 2 x 1 Qui đồng, đồng nhất, tỡm cú: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. dx2 xdx dx 2x 1 1 I dx x2 3 x 2 x 1 x2 3 x 2 x 1 1x 2 2 x 1 arctan ln(x2 x 1) arctan C 3 3 3 3
18. 4x2 8 x Vớ dụ Tớnh I dx (x 1)2 ( x 2 1) 2 P() x A B Cx D Ex F 2 2 2 2 2 2 (*) (x 1) ( x 1)x 1 x 1 x 1 x2 1 Tỡm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4. ( 2x 4) dx 2 xdx 4 dx 2 2 2 x2 1 x 2 1 x 2 1 4dx I Dựng hệ thức truy hồi, tớnh 2 2 qua I1. x2 1
19. Để tỡm cỏc hệ số A, B, C, nhanh, cú thể sử dụng khai triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toỏn tử, giảng viờn Đặng Văn Vinh. Từ (*), ta cú: 4x2 8 x A ( x 1)( x 2 1) 2 B ( x 2 1) 2 (Cx D )( x 1)2 ( x 2 1) ( Ex F )( x 1) 2 Thay x = 1, tỡm được B = -1. Thay x = -1, cõn bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tõm số hạng khỏc 0 khi x = i Thay x = i, tỡm được C= -2, D = -1.
20. Tớch phõn của hàm hữu tỷ: Phương phỏp Ostrogradskii P()()() x P1 x P 2 x dx dx (*) Q()()() x Q1 x Q 2 x Q2 () x đa thức chỉ cú nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), P( x ), P ( x ) là hai đa thức với cỏc hệ Q() x 1 2 Q1() x Q2 () x số cần tỡm, cú bậc tương ứng nhỏ hơn bậc của Q1( x ), Q 2 ( x ). Để tỡm cỏc hệ số của P1( x ), P 2 ( x ), đạo hàm hai vế (*), Qui đồng, đồng nhất hai vế, tỡm cỏc hệ số.
21. 4x2 8 x Vớ dụ Tớnh I dx (x 1)2 ( x 2 1) 2 Sử dụng phương phỏp Ostrogradskii (*) 4x2 8 x P P I dx 1 2 dx 2 2 2 (x 1) ( x 1) QQ1 2 2 2 Q2 ( x 1)( x 1) P2 ax bx c bậc nhỏ hơn bậc Q2 2 2 Q1 ( x 1)( x 1) Q / Q 2 P1 Ax Bx C 2 ' 4x 8 x P1 P 2 Đạo hàm hai vế (*) 2 2 2 (x 1) ( x 1) QQ1 2 Đồng nhất hai vế, tỡm A, B, C, a, b, c.
22. Tớch phõn của hàm vụ tỷ p p 1 2 q q ax b 1 ax b 2 R x,,,  dx cx d cx d ax b Cỏch giải: đổi biến t n , cx d n là Bội số chung nhỏ nhất của q1, q 2 ,
23. dx Vớ dụ Tớnh I 2x 1 4 2 x 1 Đổi biến: 2x 1 t 4 2dx 4 t3 dt 3 2 2t dt 2t dt 1 2 I 2 t 1 dt t 2 t ln | t 1| C t2 t t 1 t 1 x 1 3 ( x 1)2 6 x 1 Vớ dụ Tớnh I dx (x 1)(1 3 x 1) Đổi biến: x 1 t 6 dx 6 t5 dt ()t6 t 4 t t 5 dt dt 3 I 6 6t3 dt 6 3 x2 6arctan 6 x C t6(1 t 2 ) t 2 1 2
24. Tớch phõn của hàm vụ tỷ: Tớch phõn Euler 2 R x, ax bx c dx a 0, b2 4 ac 0 Cỏch giải: Đổi biến Euler a 0 : ax2 bx c ax t c 0: ax2 bx c xt c 2 ax bx c () x x1 t 2 Trong đú x1 là một nghiệm thực của ax bx c 0
25. Vớ dụ 1 1 x x2 Tớnh I dx x1 x x2 Tớch phõn Euler: 1 x x2 tx 1 2t 1 Đổi biến: 1 x x2 t 2 x 2 2 tx 1 x 1 t 2 1 t t 2 dx 2 2 dt 1 t 2 2 2 2 1 t t 1 1 x x 1 x x t 1 t2 x 2 2 2t 1 x x 1 I dt ln 1 t2 C ln 1 C 2 x 1 t
26. Tớch phõn của hàm vụ tỷ: Tớch phõn Trờbưsev p xm ax n b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả cỏc số khỏc 0. Trường hợp 1: p là số nguyờn. Đặt x t N, với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n m 1 Trường hợp 2: là số nguyờn. n Đặt axn b t s , với s là mẫu của p. m 1 Trường hợp 3: p là số nguyờn. n Đặt a bx n t s , với s là mẫu của p.
27. dx Vớ dụ Tớnh I x23 ( x 3 2) 5 5/ 3 Tớch phõn Trờbưsev: I x 2 x 3 2 dx m 1 2 1 5 m 2, n 3, p 5/3 p 2 Z n 3 3 Đổi biến: 1 2x 3 t 3 6x 4 dx 3 t 2 dt 5/3 5/3 x3 2 x3 2 I x 2 x 4x 5 x 4 dx x 3. x 4 dx 3 3 x x 2 t3 1 t 1 t 5  dt 1 t 3 dt 2 2 4
28. dx Vớ dụ Tớnh I 3x 1 6 x 1 Tớch phõn Trờbưsev: I x 1/ 3 1 x 1/ 6 dx m 1/3, n 1/ 6, p 1 p Z BSCNN của mẫu m, n là 6 Đổi biến: x t 6 dx 6 t5 dt 3 1 t I t 2. 1 t 6 t 5 dt 6 dt 1 t 1 6t2 t 1 dt 6 dt 1 t
29. Vớ dụ Tớnh 3 1 4 x I dx x 1/3 Tớch phõn Trờbưsev: I x 1/ 2 1 x 1/ 4 dx m 1 1/ 2 1 m 1/2, n 1/4, p 1/3 2 Z n 1/ 4 BSCNN của mẫu m, n là 4 1 Đổi biến: 1 x1/ 4 t 3 x1/ 4 t 3 1 x 3/ 4 dx 3 t 2 dt 4 1/ 3 1/ 3 I x 1/ 2 x3/ 4  1 x 1/ 4 x 3/ 4 dx x1/ 4 1 x 1/ 4 x 3/ 4 dx I 4 t3 1  t  3 t 2 dt 4 3t6 3 t 3 dt
30. Tớch phõn của hàm lượng giỏc R sin x ,cos x dx Trong đú: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. x Cỏch giải chung: đặt t tan , x , 2 dt x 2arctan t dx 2 1 t 2 2t 1 t 2 sinx ,cos x Tớch phõn hàm 1 t2 1 t 2 hữu tỷ 2t 1 t2 dt Rsin x ,cos x dx 2 R , 2 2 2 1 t 1 t 1 t Trong nhiều trường hợp, cỏch giải trờn rất cồng kềnh.
31. dx Vớ dụ Tớnh I 3sinx 4cos x 5 Đổi biến: t tan( x / 2), x , dt 2t 1 t 2 dx 2 sinx ,cos x 1 t 2 1 t2 1 t 2 dt dt I 2 2 6t 4(1 t2 ) 5(1 t 2 ) t2 6 t 9 2 2 2 (t 3) 2 d ( t 3) C C t 3 tan(x / 2) 3
32. Tớch phõn của hàm lượng giỏc R sin x ,cos x dx 1) R sin x ,cos x R sin x ,cos x đặt t cos x , x , 2 2 2) R sin x , cos x R sin x ,cos x đặt t sin x , x 0, 3) R sin x , cos x R sin x ,cos x đặt t tan x , x , 2 2 p q 4) sinx cos x  dx đặt t sin x hoặc t cos x Hoàn toàn tương tự cho cỏc hàm Hyperbolic: coshx, sinhx
33. (2sinx 3cos x ) dx Vớ dụ Tớnh I sin2x cos x 9cos 3 x R sin x , cos x R sin x ,cos x dx Đổi biến: t tan( x ), x / 2, / 2 dt cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2tanx 3) d (tan x ) 2t 3 2t 3 I dt dt dt tan2 x 9 t 2 9 t2 9 t 2 3 2 t tan x ln(t2 9) arctan C ln(tan2 x 9) arctan C 3 3
34. Vớ dụ Tớnh I cos3 x  sin 8 xdx Đổi biến: t sin x dt cos xdx I cos2 x  sin 8 x cos xdx 1 sin2x sin 8 x cos xdx t9 t 11 sin9x sin 11 x (1 t2 ) t 8 dt C C 9 11 9 11 dx Vớ dụ Tớnh I sinx cos2 x 2 2 sinx cos x dx sin xdx dx I sinx cos2 x cos2 x sin x d(cos x ) d (cos x ) 1 1 1 cos x ln C cos2x 1 cos 2 x cosx 2 1 cos x
35. Vớ dụ Tớnh I (sinh2 x  cosh 3 x ) dx R sinh x , cosh x R sinh x ,cosh x Đổi biến: t sinh( x ) dt cosh xdx I (sinh2 x cosh 2 x )(cosh xdx ) sinh2 x(sinh2 x 1) (cosh xdx ) 6 3 6 3 2 2 t t sinhx sinh x t( t 1) dt C C 6 3 6 3
36. Tớch phõn của hàm lượng giỏc asin x b cos x I 1 1 dx asin x b cos x Phõn tớch ' a1sin xb 1 cos xAaxb sin cos x Baxb sin cos x (Aa Bb )cos x ( Ab aB )sin x Ab aB a1 Đồng nhất hai vế: giải tỡm A, B. Aa Bb b1 A( a sin x b cos x )' dx I Bdx asin x b cos x Aln( a sin x b cos x ) Bx C
37. (2sinx 3cos x ) dx Vớ dụ Tớnh I sinx 4cos x Phõn tớch: 2sinx 3cos x A (sin x 4cos x ) B (sin x 4cos x )' 2sinx 3cos x ( A 4 B )sin x (4 A B )cos x AB 4 2 A 1 4AB 3 B 1/ 4 A(sin x 4cos x ) B (sin x 4cos x )' I dx dx sinx 4cos x sin x 4cos x Bd(sinx 4cos x) I A dx Ax Bln sin x 4cos x C sinx 4cos x
38. Tớch phõn của hàm lượng giỏc asin x b cos x c I 1 1 1 dx asin x b cos x c Phõn tớch ' a1sin xb 1 cos xcAaxb 1 sin cos xc Baxb sin cos xcC (Aa Bb )cos x ( Ab aB )sin x Bc C Ab aB a1 Đồng nhất hai vế: Aa Bb b1 giải tỡm A, B, C. Bc C c1 Cdx I Aln( a sin x b cos x c ) Bx asin x b cos x c Tớch phõn cuối tớnh bằng cỏch đổi biến chung: t = tan(x/2)
39. (2sinx cos x 3) dx Vớ dụ Tớnh I 3sinx 4cos x 5 Phõn tớch: 2sinx cos x 3 A (3sin x 4cos x 5) B (3sin x 4cos x 5)' C 2sinx cos x 3 (3 A 4 B )sin x (4 A 3 B )cos x (5 A C ) 3AB 4 2 A 2/5 4AB 3 1 B 1/5 5AC 3 C 1 d(3sin x 4cos x 5) Cdx I A dx B 3sinx 4cos x 5 3sin x 4cos x 5 I Ax ln(3sin x 4cos x 5) I1 với I1 đó tớnh ở vớ dụ trước
40. Tớch phõn của hàm Hyperbolic R sinh x ,cosh x dx Trong đú: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. x Cỏch giải chung: đặt t tanh 2 2t 1 t 2 sinx 2 ,cos x 2 Tớch phõn hàm 1 t 1 t hữu tỷ 2t 1 t2 dt Rsinh x ,cosh x dx 2 R , 2 2 2 1 t 1 t 1 t Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx.