Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Mục tiêu của môn học Toán 1 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.
3. Giới hạn và liên tục Đạo hàm và vi phân Tích phân hàm một biến Phương trình vi phân
4. Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.
5. liệu tham khảo Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm một biến NXBGD, 2005 Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.
6. Nội dung 0.1 – Giới hạn của dãy số thực 0.2 – Giới hạn của hàm số 0.3 – Liên tục của hàm số
7. nghĩa trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A được gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA, supremum của A) trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA, infimum của A) Nguyên lý supremum. Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng. Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
8. I. Giới hạn của dãy số thực Định nghĩa Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập thực R. u: N R n u() n Thường dùng ký hiệu: u hay đơn giản u n n 1 n un được gọi là số hạng thứ n của dãy.
9. Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số theo thứ tự: u1, u 2 , , un ,  dụ: ( 1)n u n n 1 Ghi ở dạng tường minh, ta có n 1 1 1 1  u , , , , ,  n 2 3 4n 1 
10. Định nghĩa Số a được gọi là giới hạn của dãy số un , nếu  0, n0 n n 0 un a  n lim un a u a Ký hiệu: n hay n Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi dãy hội tụ. Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.
11. dụ: n Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1 n n 1 n 1 1  0 1   n 1 n 1 n 1  1 Chọn số tự nhiên n 1 0  n 1 1 Khi đó n n0 :| un 1| 1  n 1 n 1 n0 1 n lim 1 (theo định nghĩa) n n 1
12. Số a không là giới hạn của dãy số un , nếu  0, n N  n n & u a  0 1 0 n1 a không là giới hạn của dãy un , nếu tồn tại số dương  0 để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự n n sao cho u a . 1 0 n1
13. dụ: n 1 Chứng tỏ rằng dãy 1 không có giới hạn n n 1 Chứng tỏ: |un u n 1 | 1 Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 1 1 u2k 1 1 u 1 0 |un u n 1 | 1 2k 2k 1 2k 1 1 1 a R Xét khoảng a , a 2 2 Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn.
14. Định nghĩa Ta nói un tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn) khi và chỉ khi: A 0,  n0 N n n 0 un A n Ký hiệu: lim un hay u  n n nói un tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn) khi và chỉ khi: B 0,  n0 N n n 0 un B n Ký hiệu: lim un hay u  n n
15. Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn) Nếu dãy un hội tụ đến hai số a và b, thì a = b. lim un a n a b Giả sử và a b . Đặt  lim un b 3 n na:  n n a u n a  Đặt n0 Max na, n b nb:  n n b u n b  a b a un u n b u n a u n b 2 a b   2  | a b | Mâu thuẫn. 3
16. Tính chất của giới hạn Nếu các dãy un , v n hội tụ và un a, v n b , thì un  các dãy un v n; u n  v n ;  , ( v n 0 & b 0); u n vn  đều hội tụ. Ta có un a 1) lim un v n a b 3) lim n n vn b 4) limu | a | 2) lim un v n a  b n n n
17. Định nghĩa nói dãy un bị chặn trên, nếu A R:,  n N un A nói dãy un bị chặn dưới, nếu B R:,  n N un B Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy chặn.
18. Định nghĩa nói dãy un là dãy tăng, nếu n N, un 1 u n nói dãy un là dãy giảm, nếu n N, un 1 u n Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
19. Mệnh đề 2 Nếu dãy un hội tụ, thì un bị chặn. Giả sử lim un a n:  n n | u a | 1 n 0 0 n a 1 un a 1 Đặt: M Max u, u , , u ,1 | a | u M 1 2 n0  n Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội Ví dụ. ( 1)n n 1
20. Mệnh đề 3 (định lý kẹp) Cho 3 dãy un ,, v n w n sao cho n0,  n n 0 un v n w n n và un , w n cùng hội tụ đến a, khi đó vn  a Cho  0. Vì un , w n hội tụ đến a, nên n1,: n 2 N Đặt n0 Max n 1, n 2 n n1 | un a |  n n2 | wn a |  Khi đó n n0 , ta có |un a |   un a v n a w n a  |vn a |  |wn a |  n Vậy vn  a
21. un vn wn a n n u dụ: Tìm giới hạn của dãy n  2 k 1 n k n n n2 u  n 1 n  2 2 k 1 n 1 n 1 lim un 1 n n n n u  n 1 n  2 k 1 n n n 1
22. dụ. 5n Tìm lim n nn n 5n 5 có 0 , n 6 nn 6 0 5n lim 0 n nn
23. dụ. n Chứng tỏ lima 1,  a 0. n n n 1. a 1 Đặt a 1 n 0 a n 1 n n a 0 n lim n 0 n n limn a 1 0 n 1 1 TH2. 0 a 1 limn a , b 1 n lim n b a n n Sử dụng TH1, limb 1. n
24. Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass) Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Cho un tăng và bị chặn trên. Tập S u1, u 2 ,  khác rỗng và bị chặn trên. Theo nguyên lý Supremum, có supS = a. Theo định nghĩa của supS:  0, n a  u a 0 n0 u tăng nên n n u u n 0 n n0 lim un a a  un a a  un a  n
25. dụ. Chứng tỏ dãy truy hồi un , u1 2; u n 1 2 u n là dãy tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. Dùng qui nạp, chứng tỏ un 2 Giả sử n k: un 2 Khi đó với n k 1 uk 1 2 u k 2 2 2 Vậy dãy bị chặn trên. 2 un 1 2 u n u n u n u n u n Vậy dãy tăng. 2 limun a a 2 a a a 2 0 a
26. dụ. n! Chứng tỏ dãy u , u n n 2n 1 !! là dãy giảm và bị chặn dưới. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. un 1 n 1 1 un un 1 u n Vậy dãy giảm. un 2 n 3 2 2 0 un Vậy dãy bị chặn dưới. limun a n 1 n 1 un 1  u n a a  lim 2n 3n 2 n 3 n! 1 lim 0 a a a 0 2n 1 !!
27. Định nghĩa (dãy con) Cho dãy un u1, u 2 , , u n ,  Dãy con của dãy là một dãy u mà các phần tử un nk của nó được lấy từ dãy un theo một cách chọn bất kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải. (-1)n n 1 3 1 5 1  -1, , - , , - , , n  2 2 8 4 32 14  1 1 1  Một dãy con là: vn , , ,  2 4 14 
28. Mệnh đề 5 Nếu dãy un có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a.  0 lim un a n,  n n | u a |  n 0 0 n Với dãy con u , tồn tại n n . Khi đó nk k0 0 k k0 | un a |  lim un a k n k
29. Chú ý Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tại giới hạn của dãy: / Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu. 2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu phân kỳ.
30. dụ: n 2n 1 Chứng tỏ rằng dãy 1 không có giới hạn 3n 2 n 1 Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k 4k 1 4 k 1 4 2 u ( 1)k  k 2k 6k 2 6 k 2 6 3 Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1 4k 3 4 k 3 4 2 u ( 1)2k 1  k 2k 1 6k 5 6 k 5 6 3 Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau Vậy dãy đã cho không có giới hạn.
31. n Số e 1 Xét dãy: u 1 n n Sử dụng nhị thức Newton: n 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 1 1 1 . n! n n n s s 1 1 , nên un u n 1 n n 1 Vậy dãy tăng.
32. s 1 1 e Ta có 1 1 và , n 1,2,3, n n! 2n 1 1 1 1 1 1 1 un 2 2 2! 3!n ! 2 4 2n 1 1 1 un 2 1 3 3 2n 1 2 n 1 Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ. Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người chứng minh được e là số vô tỷ, e 2.718281828 n 1 lim 1 e n n
33. Một số giới hạn cơ bản n p 1 6) lim 0 1) lim 0, 0 n n n n e 1 2) lim 0, 0 7) limqn 0,| q | 1 n ln n n n 1 1 8) lim 1 e 3) lim 0 n n n n e a a n p 9) lim 1 e ,  a 4) limn 1,  p n n n ln p n n 10) lim 0, p , 0 5) lima 1, a 0 n n n
34. tắc: ln n a n (a 1) n! 5 dụ. ln n 4n lim 0 lim 0 n n n n! n100 5 lim 0 log4 n n lim 0 n 2 n 2n
35. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy: Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử dụng các đẳng thức quen biết, ) Dùng định lý kẹp Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu chặn. Dùng giới hạn của số e. Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại.
36. dụ. Tìm giới hạn của dãy limn n2 1 n HD. Nhân lượng liên hiệp
37. dụ. Tìm giới hạn của dãy 1 1 1 lim n 1 2 2  3n  ( n 1) 1 1 1 HD. Phân tích n( n 1) n n 1
38. dụ. Tìm giới hạn của dãy sin2n cos 3 n lim n n HD. Sử dụng định lý kẹp
39. dụ. Tìm giới hạn của dãy n lim 24 2 8 2  2 2 n HD. Phân tích, biến đổi số mũ.
40. dụ. Tìm giới hạn của dãy 3 n2 sin( n !) lim n n 1 HD. Dùng định lý kẹp.
41. dụ. Tìm giới hạn của dãy 3n2 1 n2 3 lim 2 n n 5 HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
42. dụ. Tìm giới hạn của dãy 1 2 3 n lim n 3n2 n 5 n( n 1) HD. Sử dụng đẳng thức 1 2 n 2
43. dụ. Tìm giới hạn của dãy 3 ( 1)n n lim n n 1 HD. Tìm hai dãy con
44. tập. I) Tìm các giới hạn sau: n n n 2 n n 2 3 1) limn 3 4 4 6) lim 0 n n 2 n 3 n 2 n 1 n ln(n n 1) 2) limn ( 1) 1 7) lim n n ln(n10 n 1) 2n 2 3 n 3 n2 n 3 3) lim 27 8) lim n n 2 n 2 3 n n 1 n 1 5 2n 3  5 n 1 15 (n 1)4 ( n 1) 4 4) lim 9) lim n 100 2n 2  5 n 2 n (n2 1) 2 ( n 2 1) 2 ( 1)n 6 n 5 n 1 1 lg2 10n 5) lim 10) lim 1 n 5n ( 1) n  6 n 1 6 n lg2 n
45. 3 11) lim n 1 n 3/n 3/ n2 1/ n 3 23 2 3 n 3 n 4 n 3 n 4 2 12) lim 3 3 n n2 5 n 6 n 2 5 n 6 3 (2 n )100 n 100 200  n 99 13) lim 19800 n n98 10 n 2 1 ( 1)n 1/ n 14) lim 1 n 1/n2 ( 1)n lg n2 2 n cos n 1 15) lim 2 n 1 lg(n 1)
46. 16) lim 2 2 5n 1 n n n 1 n 21) lim n 1 n n 5 n2 1 n n 3 17) lim 0 n n 7 1 n n 1 n 22) lim n 3n n2 n 3 n 2 n2 1 n 18) lim 2n2 5 n 3 n n3 1 n n 23) lim n n n5 1 4 n3 n n n2 4n 24) lim n 4 19) lim 0 n n n 2 n 1 n n 5 5 n 2008 log2 (n 3) 20) lim 0 25) lim 0 n n n n 1/3
47. II) Cho un 1, lim u n 1. Tìm lim vn n n 2un 1 a) vn 1 un 2 u 1 1 b) v n n 2 un 1 2 2 un u n 2 c) vn 3 un 1 u2 3 u 2 1 d) v n n n 2 un 1 2
48. Tìm lim un n n2 n3 /(1 n ) 2n 1 3n2 n 1 1) un 0 5)u 5n 1 n 2 2n n 1 (n 1) /( n 1) n2 2) u nsin n ! n 2 1 6) 0 n 1 n n n 1 (1 n ) /(1 n ) n 1 n! 3) 7) 0 n 2 1 nn 1 narctan n 4) un 8) 0 n n! 0 n2 2
49. Tìm lim un n 1 1 1 1 1) u n 13 35  (2n 1)(2  n 1) 2 1 1 1 1 1 2) un n 1 3 3 5 2 n 1 2 n 1 1 1 1 1 3) 1 2  3 2  3  4n  ( n 1)  ( n 2) 4 n 1 4) un  1 k 1 k( k 1)
50. Chứng tỏ rằng các dãy sau đây có giới hạn và tìm hạn này 1) u1 13; un 1 12 u n 4 k k k 1 2) u1 5, un 1 5 u n ; k N 5 k k k 1 3) u1 a , un 1 au n ; k N , a 0 a 1 4 2 1 4) u1 , un 1 u n u n 2 3 3 1 1 5 5) u1 1, un 1 1 un 2 Xét hai dãy con u2k và u2k 1
51. CMR không tồn tại các giới hạn lim sinn , lim cos n n n