Toán học - Chương IV: Chuỗi

Nội dung text: Toán học - Chương IV: Chuỗi

1. CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1.CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.CHUỖI ĐAN DẤU 3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1.CHUỖI LŨY THỪA 2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
2. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) là chuỗi số Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+ +un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
3. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi Tính u5? Tính u6
4. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ Khi |q| 1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
5. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có Vậy:
6. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của Tổng riêng: Ta có: Tổng của chuỗi:
7. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Tổng riêng: Ta có: Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
8. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi hội tụ thì un→0 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
9. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ Các chuỗi sau hội tụ với tổng Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
10. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Chuỗi số với tất cả các số hạng không âm thì gọi là chuỗi không âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2.Tiêu chuẩn so sánh 3.Tiêu chuẩn Cauchy 4.Tiêu chuẩn d’Alembert
11. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). Khi ấy, chuỗi HT khi và chỉ khi tp HT Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi * Khi α 0: Xét hàm thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
12. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vì tích phân hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên Chuỗi Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi Xét hàm trên [2,+∞), ta có f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
13. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác Vậy chuỗi HT khi β>1 và PK khi β≤1
14. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho 2 chuỗi số không âm thỏa Khi ấy: Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
15. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta so sánh Vì là chuỗi hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
16. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho 2 chuỗi số không âm thỏa Khi ấy: 1. Nếu K=∞ thì 2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK 3. Nếu K=0 thì
17. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: Hội tụ khi |q| 1 Phân kỳ khi α≤1
18. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ Khi n→∞ thì Tức là (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) Mà là chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
19. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Khi n→∞ thì Mà chuỗi hội tụ Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT
20. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta có : Do Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi
21. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Khi n→∞ thì Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm Vậy khi n→∞ thì Mà chuỗi HT Nên chuỗi đã cho HT
22. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Khi n →∞ : Suy ra Mà chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
23. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn d’Alembert : Xét chuỗi số dương: Đặt : •  q 1 : phân kỳ • D = 1 : không có kết luận
24. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương: Đặt : •  q 1 : phân kỳ • C = 1 : không có kết luận
25. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ • R < 1 : phân kỳ • R = 1 : không có kết luận
26. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
27. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert
28. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy
29. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm không dùng tc D’A được
30. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
31. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm và và (Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert) Biến đổi Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e
32. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số gọi là chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : Nếu thì chuỗi hội tụ Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
33. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1/Ta có : đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz 2/ đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz
34. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Số hạng tổng quát của chuỗi không thể viết được dưới dạng Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu Ta có
35. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK
36. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Chuỗi đan dấu với Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz
37. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: Nếu chuỗi hội tụ Thì chuỗi hội tụ Khi đó: Và ta gọi chuỗi là chuỗi hội tụ tuyệt đối
38. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi không suy ra chuỗi hội tụ Khi chuỗi HT và chuỗi PK thì ta gọi chuỗi là chuỗi bán hội tụ Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi PK thì chuỗi cũng PK
39. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1/ Xét Chuỗi HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ 2/ Xét → chuỗi đã cho HTTĐ
40. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì Tức là chuỗi PK Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT
41. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta có Vậy chuỗi PK theo t/c Cauchy nên chuỗi đã cho cũng PK
42. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Vì Nên Vậy chuỗi đã cho HTTĐ
43. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi Và Vậy tổng của chuỗi Chuỗi HT