›
›

Toán học - Chương 3: Định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính

pdf 57 trang vanle 3070
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương 3: Định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_hoc_chuong_3_dinh_thuc_ma_tran_he_phuong_trinh_tuyen_ti.pdf

Nội dung text: Toán học - Chương 3: Định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính

  1. Ch−ơng 3: Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 3.1.1. Định nghĩa: Cho mn, ∈ . Một bảng gồm mnì số (thực hoặc phức) sắp thành m dòng, n cột, kí hiệu: ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎡ aa11 12 a 1n ⎤ ⎜⎟aa a ⎢aa a⎥ A = ⎜⎟21 22 2n hoặc A = ⎢ 21 22 2n ⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝⎠aamm12 a mn ⎣aamm12 a mn⎦ đ−ợc gọi là một ma trận cỡ (,)mn(hoặc mnì ). Trong đó: +) aij với mọi 1,1≤≤im ≤ jn ≤ đ −ợc gọi là phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j của ma trận A. i, j đ−ợc gọi t−ơng ứng là chỉ số dòng và chỉ số cột của phần tử aij . +) m, n đ−ợc gọi t−ơng ứng là số dòng, số cột của ma trận A Ma trận A cỡ (m, n) có phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j đ−ợc ký hiệu là Aa==()ij mì n () a ij(,) m n . +) Nếu mn≠ thì A đ−ợc gọi là ma trận (chữ nhật) cỡ (m, n). mn= thì A đ−ợc gọi là ma trận vuông cấp n. m=1 thì A đ−ợc gọi là ma trận dòng. n =1 thì A đ−ợc gọi là ma trận cột. +) Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận thực. Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận phức. Kí hiệu: Mat(m,n) là tập các ma trận cỡ (m,n). ⎛⎞102 *) Ví dụ: +) A = ⎜⎟ là một ma trận chữ nhật cỡ (2,3) với các phần tử ⎝⎠−−23 1 aaaa11==1; 12 0; 13 = 2; 21 =−= 2; aa 22 3; 23 =− 1. 40
  2. ⎛⎞13 +) A = ⎜⎟ là ma trận vuông cấp 2 với các phần tử aa11==1; 12 3; ⎝⎠24 aa21==2; 22 4 . +) A =−()1203 là ma trận dòng cỡ (1, 4). ⎛⎞0 ⎜⎟ +) A = ⎜⎟1 là ma trận cột cỡ (3,1). ⎜⎟ ⎝⎠2 Từ đây về sau ta chỉ xét các ma trận thực. 3.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt a) Ma trận không Định nghĩa: Một ma trận mà mọi phần tử đều bằng không đ−ợc gọi là ma trận không, kí hiệu: 0. ⎛⎞0 0 ⎛⎞0 ⎛⎞0 0 0 Ví dụ: A = ⎜⎟, B = ⎜⎟, C = ⎜⎟ ⎝⎠0 0 ⎝⎠0 ⎝⎠0 0 0 b) Ma trận chéo Định nghĩa: Một ma trận vuông cấp n A = ()aij đ−ợc gọi là ma trận chéo nếu ⎛⎞a11 0 0 ⎜⎟ 0 a 0 a = 0 ∀≠ij, tức là A có dạng A = ⎜⎟22 . Đ−ờng thẳng đi qua a ij ⎜⎟ ii ⎜⎟ ⎝⎠ 0 0 ann đ−ợc gọi là đ−ờng chéo, các phần tử aii đ−ợc gọi là phần tử chéo của ma trận A. ⎛⎞100 ⎛⎞1 0 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟; A = ⎜⎟000 ⎝⎠0 -1 ⎜⎟ ⎝⎠002 c) Ma trận đơn vị Định nghĩa: Một ma trận chéo mà mọi phần tử chéo aii đều bằng 1 đ−ợc gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I (hoặc In nếu muốn chỉ rõ cấp của I ). 41
  3. Nói cách khác: ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử aii đều bằng 1, mọi phần tử aij , ∀≠ij đều bằng 0 đ−ợc gọi là ma trận đơn vị. ⎛⎞1 0 0 ⎛⎞1 0 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟, B = ⎜⎟0 1 0 , C = (1) . ⎝⎠0 1 ⎜⎟ ⎝⎠0 0 1 d) Ma trận tam giác Định nghĩa: Ma trận vuông cấp n A = ()aij đ−ợc gọi là ma trận tam giác trên (d−ới) nếu aij = 0, ∀>ij (∀<ij) ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎛⎞a11 0 0 0 ⎜⎟⎜⎟ 0aa aa 0 0 ⎜⎟22 2n ⎜⎟21 22 Tổng quát: AA==⎜⎟ ; ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ aa 0 ⎜⎟0 0 aa(1)(1)nn−− (1) nn − ⎜⎟(1)1nnn−−− (1)(1) ⎜⎟⎜⎟aa a a ⎝⎠0 0 0 ann ⎝⎠nn12 nnnn (1)− Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác d−ới ⎛⎞1 2 1 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟0 2 -1 là ma trận tam giác trên. ⎜⎟ ⎝⎠0 0 3 ⎛⎞ 1 0 0 ⎜⎟ B = ⎜⎟-1 2 0 là ma trận tam giác d−ới. ⎜⎟ ⎝⎠ 4 1 -2 3.1.3. Hai ma trận bằng nhau a) Định nghĩa Hai ma trận A, B đ−ợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí đều bằng nhau, tức là Aa= ()ij mì n , Bb= () ij mì n và aij = bij ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . Kí hiệu: A = B . b) Ví dụ ⎛⎞⎛⎞1 2 -3 1 2 a ⎜⎟⎜⎟ AB==⎜⎟⎜⎟0 1 - 2 ; 0 1 b thì A = Ba⇔=−=−=−3; b 2; c 1. ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠3 0 -1 3 0 c 42
  4. 3.1.4. Cộng ma trận a) Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cỡ Aa= ()ij mì n , Bb= () ij mì n . Tổng của hai ma trận A, B kí hiệu là A + B là ma trận Cc= ()ij mì n xác định bởi: cabij=+ ij ij ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . Nhận xét: Tổng hai ma trận cùng cỡ là một ma trận cùng cỡ đó mà phần tử ở dòng thứ i cột j bằng tổng của các phần tử ở dòng i cột j của hai ma trận đã cho. ⎛⎞⎛⎞⎛⎞10 21 31 b) Ví dụ: +) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟+=. ⎝⎠⎝⎠⎝⎠−13 42 35 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞12−− 1 2 10 31 − 1 +) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟+= ⎝⎠⎝⎠⎝⎠034−−− 312 322 c) Tính chất : Với A, B, C là các ma trận cùng cỡ, dễ thấy: +) A + B = B + A, +) A + 0 = 0 + A = A. +) Cho Aa= ()ij mì n . Kí hiệu −Aa=−()ij mì n ⇒ A + (- A) = (- A) + A = 0 +) A + (B + C) = (A + B) + C. Chú ý. Tập Mat (m,n) cùng với phép cộng hai ma trận là một nhóm giao hoán. 3.1.5. Nhân một số với một ma trận a) Định nghĩa: Cho ma trận Aa= ()ij mì n và k ∈ . Ma trận (.kaij ) mì n đ−ợc gọi là tích của ma trận A với số k kí hiệu là kA mà các phần tử là ka. ij , ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . *) Nhận xét: Nhân một ma trận với một số ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó. ⎛⎞⎛⎞12 48 b) Ví dụ: 4.⎜⎟⎜⎟= ⎝⎠⎝⎠−−10 40 c) Tính chất: ∀A, B cùng cỡ, kh, ∈ , từ tính chất của các phép toán trên tập các số thực ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau: +) k.(A + B) = k.A + .kB. 43
  5. +) (k + h).A = k.A + h.A. +) k.(h.A) = (k.h).A. +) 1.A = A, 0.A = 0 (ma trận không cùng cỡ với A). +) k.0 = 0 (ma trận không). 3.1.6. Nhân ma trận với ma trận a) Định nghĩa: Cho hai ma trận Aa= ()ij mì n , Bb= ( jk ) nì p . Ma trận Cc= ()ik mì p n xác định bởi cabimkpik=∀==∑ ij jk ,1,;1, đ−ợc gọi là tích của hai ma trận A, B j=1 theo thứ tự đó và kí hiệu A.B hoặc Aì B . * Nhận xét: +) Phần tử ở dòng i cột k của ma trận tích A.B bằng tổng của các tích của các phần tử trên dòng i của ma trận A t−ơng ứng với các phần tử trên cột k của ma trận B. +) Để có tích A.B số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B. b) Ví dụ ⎛⎞10 ⎛⎞ 10 ⎛⎞ 12 ⎜⎟⎛⎞12 ⎜⎟ ⎛⎞ 12 ⎜⎟ +) AB==⇒==⎜⎟2 1,⎜⎟ AB . ⎜⎟ 2 1 ⎜⎟ ⎜⎟ 1 7 . ⎜⎟⎝⎠−−13 ⎜⎟ ⎝⎠ 13 ⎜⎟ ⎝⎠-1 1 ⎝⎠ -1 1 ⎝⎠ -2 1 Không có tích B.A vì số cột của B là 2 khác số dòng của A là 4. ⎛⎞⎛⎞10 0− 2 ⎛⎞ 0−− 2 ⎛ 2 4 ⎞ +) AB==⇒==⎜⎟⎜⎟;.;. ABBA ⎜⎟ ⎜ ⎟. ⎝⎠⎝⎠−−12 1 3 ⎝⎠ 2 8 ⎝ 2 6 ⎠ ⎛⎞⎛12 2−−− 6 ⎞ ⎛⎞ 00 ⎛ 1020 ⎞ +) AB==⇒==⎜⎟⎜;.;. ⎟ ABBA ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠⎝24− 1 3 ⎠ ⎝⎠ 00 ⎝ 5 10 ⎠ c) Chú ý +) Có thể có tích A.B nh−ng ch−a chắc có tích B.A. +) Có cả tích A.B và B.A nh−ng ch−a chắc A.B = B.A. +) Có những ma trận A ≠ 0 , B ≠ 0 nh−ng A.B = 0. +) Tập hợp các ma trận vuông cùng với phép cộng hai ma trận và phép nhân nhân hai ma trận tạo thành một vành không giao hoán. 44
  6. d) Tính chất +) A.(B.C) = (A.B).C. +) A.(B + C) = A.B + A.C. +) (A + B).C = A.C + B.C. +) I.A = A; A.I = A. 3.1.7. Ma trận chuyển vị của một ma trận a) Định nghĩa Cho A = (aij ) là ma trận cỡ (m, n). Một ma trận B = ()bji cỡ (n, m) mà aij = b ji ∀i = 1,m , ∀ j = 1,n (phần tử ở dòng j cột i của ma trận B bằng phần tử ở dòng i cột j của ma trận A) đ−ợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A và kí hiệu B = At . Hay nói cách khác: Cho A là một ma trận cỡ (m,n). Một ma trận B cỡ (n,m) có đ−ợc từ ma trận A bằng cách đổi dòng thành cột (và do đó cột thành dòng) đ−ợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. ⎛1 −1⎞ t ⎛ 1 0⎞ b) Ví dụ : +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A = ⎜ ⎟ . ⎝0 2 ⎠ ⎝−1 2⎠ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ t ⎛1 2 3⎞ +) A = ⎜2 5⎟ ⇒ A = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝4 5 6⎠ ⎝3 6⎠ ⎛⎞1 ⎜⎟ t +) AA=⇒=⎜⎟2123() ⎜⎟ ⎝⎠3 3.1.8. Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n. A đ−ợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho A.B = B.A = In. Khi đó ma trận B đ−ợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu: B = A−1 . b) Ví dụ 45
  7. +) Ma trận đơn vị I là khả nghịch và ma trận nghịch đảo của I chính là I. ⎛ 1 2⎞ ⎛ 0 −1⎞ +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A−1 = ⎜ 1 1 ⎟ . ⎜−1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ c) Các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một ma trận - Đổi chỗ hai dòng của ma trận. - Nhân các phần tử trên một dòng của ma trận với cùng một số khác 0. - Cộng vào các phần tử của một dòng của ma trận các phần tử t−ơng ứng của dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số thực khác 0. d) Hai ma trận t−ơng đ−ơng Ma trận B đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng với ma trận A nếu B có đ−ợc từ A sau một số kế tiếp các phép biến đổi sơ cấp. Kí hiệu: A ∼ B. e) Cách tìm ma trận nghịch đảo *) Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp Cho A là một ma trận vuông cấp n, để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm nh− sau: - Viết ma trận đơn vị cùng cấp bên cạnh ma trận A. - Dùng các phép biến đổi sơ cấp tác động đồng thời lên các dòng của ma trận A và ma trận đơn vị. - Khi các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận A thành ma trận đơn vị thì chúng đồng thời biến ma trận đơn vị thành ma trận nghịch đảo của ma trận A. ⎛ 1 4⎞ *) Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ ⎟ . ⎝−1 2⎠ ⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0 ⎞ ⎜1 0 − ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ 1 1 ⎟ → ⎜ 6 6 ⎟ ⎜−1 2 0 1⎟ ⎜0 6 1 1⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜0 1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6 6 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ ⎛ 2 4 ⎞ ⎜ − ⎟ ⇒ A−1 = ⎜ 6 6 ⎟ . ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ f) Tính chất 46
  8. i) Cho A, B là các ma trận vuông cấp n, khả nghịch. Khi đó A.B cũng khả nghịch và ()A BBA−1 = −11− . ii) Cho A là ma trận vuông cấp n, khả nghịch. Khi đó: +) A−1 cũng khả nghịch và ()A−−11= A. m * m −−11m +) A (m∈ ) cũng khả nghịch và ()AA= ( ) . +) Với mọi số kk∈ ;0≠ ta có kA cũng khả nghịch và 1 (.kA )−11= . A− . k iii) Cho A là một ma trận khả nghịch. Khi đó At cũng khả nghịch và −1 t ()AAt = ( −1 ) . 3.2. Định thức 3.2.1. Ma trận con ứng với một phần tử a) Định nghĩa: Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu M ij là ma trận có đ−ợc từ ma trận A khi bỏ đi dòng thứ i, cột thứ j . Khi đó M ij là ma trận vuông cấp n – 1. M ij đ−ợc gọi là ma trận con của ma trận A ứng với phần tử aij . ⎛ a11 a12 ⎞ b) Ví dụ : +) A = ⎜ ⎟ ⇒ M 11 = (a22 ) , M 21 = (a12 ) , M 12 = (a21 ) , M 22 = (a11 ) . ⎝a21 a22 ⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛a22 a23 ⎞ ⎛⎞aa11 12 +) A = ⎜a21 a22 a23 ⎟ ⇒ M 11 = ⎜ ⎟ ; M = ; ⎜a a ⎟ 23 ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 32 33 ⎠ ⎝⎠aa31 32 ⎝a31 a32 a33 ⎠ 3.2.2. Định thức của một ma trận vuông a) Định nghĩa: Định thức của ma trận vuông A cấp n kí hiệu là detA hoặc A đ−ợc định nghĩa nh− sau: +) Nếu A là ma trận vuông cấp 1 tức A = (a11 ) thì det A = a11 . ⎛ a11 a12 ⎞ +) Nếu A là ma trận vuông cấp 2 tức A = ⎜ ⎟ thì ⎝a21 a22 ⎠ 47
  9. detA =−=−aMaMaaaa11 det 11 12 det 12 11 22 12 21 . +) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì n+1 det A = a11 det M 11 − a12 det M 12 + a13 det M 13 − a14 det M 14 + + (−1) a1n det M 1n (*) Định thức của ma trận vuông cấp n đ−ợc gọi là định thức cấp n, ký hiệu aa11 12 a 1n aa a 21 22 2n aann12 a nn Chú ý: +) Định thức của một ma trận vuông là một số. +) Trong công thức nêu trên các phần tử a11 ,a12 , ,a1n là các phần tử cùng nằm trên dòng thứ nhất của ma trận A và công thức (*) đ−ợc gọi là công thức khai triển định thức theo dòng 1. +) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng i, 1≤≤inlà n ij+ detA =−∑ ( 1) .aMij .det ij . i=1 ⎛⎞aaa11 12 13 ⎜⎟ A = aaa +) Nếu A là ma trận vuông cấp 3, ⎜⎟21 22 23 thì từ (*) ta có: ⎜⎟ ⎝⎠aaa31 32 33 det A =++−−−aaa11 22 33 aaa 12 23 31 aaa 13 32 21 aaa 11 23 32 aaa 22 13 31 aaa 33 12 21 *) Các quy tắc nhớ công thức tính định thức cấp 3 - Quy tắc tam giác: aaa11 12 13 aaa11 12 13 aaa21 22 23 aaa21 22 23 aaa31 32 33 aaa31 32 33 - Quy tắc hình bình hành aaa11 12 13 aaaaa11 12 13 11 12 aaaa21 22 23 21 aaaa21 22 23 21 aaaaa31 32 33 31 32 aaa31 32 33 - Ngoài ra để tính định thức cấp 3 ta có thể khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột hoặc dùng công thức hạ bậc: 48
  10. detM .detMMM− det .det det A = 11 33 13 31 . a22 b) Ví dụ +) AA=⇒=()3 det 3, =−⇒=−( 1) det 1 ⎛⎞11− +) AA=⇒=−−=⎜⎟det 1.3 2.( 1) 5 ⎝⎠23 ⎛⎞124− ⎜⎟ +) AA=⇒=+−+−−−−−−⎜⎟0 3 1 det 1.3.0 ( 2).1.2 4.0.( 1) 2.3.4. 1.1.( 1) ( 2).0.0 ⎜⎟ ⎝⎠210− =−4241 − + =− 27 c) Tính chất của định thức +) det A = det At Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu đối với dòng của định thức thì cũng đúng khi trong phát biểu đó ta thay chữ dòng bằng chữ cột. +) Đổi chỗ hai dòng của một định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. +) Một định thức có hai dòng bằng nhau (hoặc tỉ lệ) thì định thức bằng 0. +) Nếu ta nhân vào các phần tử của cùng một dòng của định thức với cùng một hệ số k thì ta đ−ợc định thức mới bằng k định thức lần định thức đã cho. Hệ quả: Khi định thức có một dòng có một thừa số chung thì có thể đ−a thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức. +) Một định thức có một dòng hay một cột gồm toàn số 0 thì định thức đó bằng 0. +) Khi tất cả các phần tử trên một dòng của một định thức đều có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích đ−ợc thành tổng của hai định thức cùng cấp. Tức là: aa11 1n aaaa11 1nn 11 1 Da=+i11 a i′′ a in + a in thì Da=+iiniin11 a a′ a′ aannn1 aaaannnnnn11 49
  11. +) Nếu một định thức có một dòng là tổng của một số dòng khác (của định thức đó) thì định thức đó bằng 0. +) Nếu ta cộng vào một dòng của định thức một dòng khác sau khi đã nhân với một số k thì định thức không thay đổi. d) Cách tính định thức Công thức (*) trong định nghĩa định thức còn đ−ợc gọi là công thức khai triển theo một dòng của định thức. Từ tính chất a) ta có công thức khai triển theo cột của định thức. +) Cách 1: khai triển theo một dòng (cột) để đ−a việc tính định thức về việc tính các định thức cấp thấp hơn. 13− 1 Ví dụ: Tính định thức D =−10 4 220− Khai triển định thức theo dòng 2 ta đ−ợc: 31−− 11 13 D =−(1).(1).21+++ − +− (1).0. 22 +− (1).4. 23 −−20 20 2 2 =−24.(8)30 − − = *) Cách 2: dùng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a định thức về dạng tam giác từ đó dễ dàng tính đ−ợc định thức. 13−−− 1131131 Ví dụ: D =−10 4 = 03 3 = 0331.3.1030 = = 2200820010−− 3.2.3. Ma trận phụ hợp ~ a) Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A = (Aij ) trong đó i+ j Aij = (−1) M ij đ−ợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. ⎛ −1 1⎞ 2 3 b) Ví dụ: +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A11 = (1)3−= 3, A12 =−(1) − 2 = 2, ⎝− 2 3⎠ 3 4 ~ ⎛ 3 2 ⎞ A21 =−(1)1 =− 1, A22 =−(1) − 1 =− 1 ⇒ A = ⎜ ⎟ ⎝−1 −1⎠ 50
  12. ⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ +) A = ⎜−1 2 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 3 −1⎠ 21 −11 −12 A =−(1)2 =− 5; A = (1)−=−3 1; A = (1)−=−4 3 11 31− 12 01− 13 03 42− 12− 14 A =−(1)3 =− 2; A = (1)−=−4 1; A = (1)−=−5 3 21 31− 22 01− 23 03 42− 12− 14 A =−(1)4 = 8; A = (1)−=5 1; A = (1)−=6 6 31 21 32 −11 33 −12 ⎛ − 5 −1 − 3⎞ ~ ⎜ ⎟ ⇒ A = ⎜− 2 −1 − 3⎟ ; A = −3 ⎜ ⎟ ⎝ 8 1 6 ⎠ 3.2.4. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng ph−ơng pháp định thức a) Định lí: Cho A là ma trận vuông cấp n. A khả nghịch khi và chỉ khi det A ≠ 0 . 1 ~ Khi đó, A−1 = At . det A b) Các b−ớc tìm ma trận nghịch đảo bằng ph−ơng pháp định thức - B−ớc 1: Tìm det A +) Nếu detA =⇒ 0 A không khả nghịch ⇒∃A−1 . +) Nếu detA ≠⇒∃ 0 A−1 chuyển sang b−ớc 2. - B−ớc 2: Tìm A%%, At . 1 - B−ớc 3: Tìm A−1 = .A% t det A c) Ví dụ ⎛⎞−12 −1 i) A = ⎜⎟ ⇒ A = −≠10 ⇒ ∃ A . ⎝⎠−13 51
  13. 2 3 3 +) A11 =−(1)3 = 3, A12 = (1)−−= 1 1, A21 = (1)2−=− 2, 4 ⎛⎞31 t ⎛⎞32− A22 =−(1) − 1 =− 1 ⇒ A% = ⎜⎟ ⇒ A% = ⎜⎟ ⎝⎠−21− ⎝⎠11− −1 1 t ⎛⎞⎛⎞32−− 32 +) AA==−=% ⎜⎟⎜⎟ det A ⎝⎠⎝⎠11−− 11 ⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ −1 ii) A = ⎜−1 2 1 ⎟ ; A = −3 ≠ 0 ⇒ ∃ A . Theo ví dụ ở mục 2.2.3 ⎜ ⎟ ⎝ 0 3 −1⎠ ⎛⎞⎛⎞−−−513 −− 528 ⎜⎟⎜⎟t AA%%=−⎜⎟⎜⎟213 − − ⇒ =− 111 − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠816−− 336 ⎛⎞⎛⎞−−5285/32/38/3 − −1 1 ⎜⎟⎜⎟ ⇒=A ⎜⎟⎜⎟ −−1111/31/31/3 = − −3⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−336 1 1 − 2 3.2.5. Hạng của ma trận a) Định nghĩa: Cho A∈ Mat(m,n) , cấp của định thức con cấp cao nhất khác 0 có đ−ợc từ ma trận A đ−ợc gọi là hạng của ma trận A. Kí hiệu: hgA. b) Ví dụ ⎛1 1⎞ A = ⎜ ⎟ ⇒ A ==≠0, 2 2 0 ⇒ hgA = 1. ⎝2 2⎠ ⎛1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 11 A = ⎜3 − 4 0 ⎟ ⇒ A = 0 , = −≠70 ⇒ hgA = 2. ⎜ ⎟ 34− ⎝0 −1 − 6⎠ c) Định nghĩa; Hai ma trận A, B ∈ Mat(m,n) đ−ợc gọi là hai ma trận t−ơng đ−ơng nếu chúng cùng hạng. d) Định lý: Nếu ta tác động lên các dòng (cột) của một ma trận những phép biến đổi sơ cấp thì ta đ−ợc một ma trận mới t−ơng đ−ơng với ma trận đã cho. e) Cách tìm hạng của ma trận Từ định lí trên ta có cách tìm hạng của ma trận nh− sau: 52
  14. +) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a ma trận đã cho về một ma trận mới (có nửa d−ới đ−ờng chéo chính bằng 0 tất cả) khi đó dễ dàng tính đ−ợc hạng của ma trận này. +) Hạng của ma trận đã cho bằng hạng của ma trận vừa tìm đ−ợc. Ví dụ: Tính hạng của ma trận ⎛1 -1 4 3⎞ ⎛⎞1-14 3 ⎛⎞13 4 -1 ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟ A = ⎜2 5 0 7⎟ → ⎜⎟0 7 -8 1 → ⎜⎟0 1 -8 7 ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝1 7 - 4 4⎠ ⎝⎠08-81 ⎝⎠01-88 ⎛⎞13 4 -1 13− 1 ⎜⎟ → ⎜⎟01-8 7⇒=≠01 7 10 ⇒ hgA = 3. ⎜⎟ ⎝⎠00 0 1 00 1 3.3. Hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.3.1. Hệ ph−ơng trình tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa: Hệ ph−ơng trình: ⎧a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ⎨ (1) ⎪ ⎪ ⎩am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm Trong đó aij , bi (i = 1,m , j = 1,n ) là các số (thực hoặc phức) cho tr−ớc; x j ( j = 1,n ) là các ẩn số đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính (tổng quát) gồm m ph−ơng trình, n ẩn số; aij đ−ợc gọi là các hệ số của ẩn; bi đ−ợc gọi là hệ số tự do. Ph−ơng trình (1) có thể viết d−ới dạng tổng quát: n ∑ aij x j = bi ; i = 1,m (2) j=1 ⎛ a a a ⎞ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ a21 a22 a2n ⎟ Ma trận A = đ−ợc gọi là ma trận các hệ số của hệ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝am1 am2 amn ⎠ ph−ơng trình tuyến tính (1). 53
  15. ⎛ a a a b ⎞ ⎜ 11 12 1n 1 ⎟ ⎜ a21 a22 a2n b 2 ⎟ Ma trận Abs = có đ−ợc từ ma trận A bằng cách ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝am1 am2 amn b m ⎠ thêm vào A cột hệ số tự do đ−ợc gọi là ma trận bổ sung của (1). ⎛ x ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ Ma trận X = đ−ợc gọi là ma trận các ẩn số. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎛ b ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜b2 ⎟ Ma trận b = đ−ợc gọi là ma trận các hệ số tự do. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝bn ⎠ Khi đó hệ ph−ơng trình (1) (hay (2)) có thể viết đ−ợc d−ới dạng ma trận: AX = b (3) Mỗi nghiệm của một hệ ph−ơng trình tuyến tính n ẩn số là một bộ sắp thứ tự gồm n số (cc1 , ,n ) mà khi thay các ci vào các xi thì mỗi ph−ơng trình trong hệ (1) đều trở thành đẳng thức. b) Ví dụ ⎧2x − 3y = 1 +) ⎨ hệ ph−ơng trình tuyến tính 2 ph−ơng trình 2 ẩn. ⎩x + y = 2 ⎧21xyzt−++= ⎪ +) ⎨xyz++−32 t = hệ ph−ơng trình tuyến tính 3 ph−ơng trình 4 ẩn. ⎪ ⎩320x −−+yz t = 3.3.2. Hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame a) Định nghĩa: Hệ ph−ơng trình tuyến tính n ph−ơng trình, n ẩn số có định thức của ma trận các hệ số khác 0 đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame (hệ Crame). ⎧2x − 3y = 1 2 − 3 Ví dụ:+) ⎨ (*), A = = 5 ≠ 0 (*) là hệ Crame. ⎩x + y = 2 1 1 54
  16. ⎧21xyz−+= 211 − ⎪ +) ⎨xyz++=2( ) ⇒ A = 1 1 1 =−≠ 8 0 ⇒ ( ) là hệ Crame. ⎪ ⎩30xyz−−= 311 − − b) Định lí: Hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame có một và chỉ một nghiệm D (cc , , ) xác định bởi công thức: c = i (i = 1,n ). 1 n i D Trong đó: D là định thức của ma trận các hệ số. Di là định thức của ma trận có đ−ợc từ ma trận các hệ số bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. Ví dụ: Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x1 + x2 − x3 = 1 ⎪ ⎨2x1 + x2 + x3 = 0 (*) ⎪ ⎩− x1 + 2x2 + 2x3 = −1 ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 1 ⎟ ⇒ A = −10 ≠ 0 ⇒ (*) là hệ Crame ⇒ (*) có nghiệm duy nhất. ⎜ ⎟ ⎝−1 2 2 ⎠ 1 1 −1 1 1 −1 D = A = −10 , D1 = 0 1 1 = −2 , D2 = 2 0 1 = −2, −1 2 2 −1 −1 2 1 1 −1 − 2 1 − 2 1 6 − 3 D = 2 1 0 = 6 ⇒ x = = , x = = , x = = . 3 1 −10 5 2 −10 5 3 −10 5 −1 2 −1 11 3 Nghiệm của (*) là (;;− ). 55 5 3.3.3. Định lí về sự tồn tại nghiệm của hệ ph−ơng trình tuyến tính a) Định lý (Định lí Gauss hoặc định lý Kronecke – Kapelli) Một hệ ph−ơng trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận các hệ số bằng hạng của ma trận bổ sung. b) Ví dụ: Giải và biện luận hệ ph−ơng trình tuyến tính sau theo λ : 55
  17. ⎧λx1 + x2 + x3 = 1 ⎪ ⎨x1 + λx2 + x3 = 1 (1) ⎪ ⎩x1 + x2 + λx3 = 1 ⎛λ 1 1 ⎞ λ 11λλ 1 0 1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 λ 1 ⎟ ⇒ A ==−−=−−111101λλλλλ 10 ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 λ ⎠ 11λλ 1− 0 λ−−− 1 0 1 λλ 1 λ 1 λ 1 = (λ −1) + (λ −1) = (λ −1)(λ −1) + (λ −1)[λ(λ −1) + (λ −1)]. 1− λ 0 1− λ λ −1 = (λ −1) 2 (1+ λ +1) = (λ −1) 2 (λ + 2) ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 1 1 1⎟ +) Nếu λ = 1 ⇒ Abs = ⇒ hgAbs = hg A = 1 ⇒ hệ (1) có ⎜1 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 1 1 1⎠ nghiệm. Khi đó (1) ⇔ x1 + x2 + x3 =1 ⇒ x1 = 1− x2 − x3 . (1) có vô số nghiệm, mọi nghiệm có dạng (1− a − b, a,b) a,b ∈ R . +) Nếu λ = −2 ⇒ A = 0 ⇒ hgA = 2. ⎛- 2 1 1 1⎞ − 2 1 1 bs ⎜ ⎟ bs A = ⎜ 1 - 2 1 1⎟ có 1 − 2 1 = 9 ≠ 0 ⇒ hgA = 3 ≠ hgA ⇒ hệ ph−ơng ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 - 2 1⎠ 1 1 1 trình (1) vô nghiệm. +) Nếu λ ≠ −2, λ ≠ 1 ⇒ A ≠ 0 ⇒ (1) là hệ Crame ⇒ (1) có nghiệm duy nhất. 1 1 1 1 1 1 λ 1 1 2 2 2 D1 = 1 λ 1 = (λ −1) , D2 = 1 1 λ = (λ −1) , D3 = 1 λ 1 = (λ −1) 1 1 λ 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ x = x = x = 1 2 3 λ + 2 3.3.4. Hai hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng 56
  18. a) Định nghĩa: Hai hệ ph−ơng trình tuyến tính có cùng số ẩn đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu các tập nghiệm của chúng trùng nhau. b) Định lí: Nếu ta thực hiện trên các dòng của ma trận bổ sung của một hệ ph−ơng trình tuyến tính những phép biến đổi sơ cấp thì ta đ−ợc một hệ ph−ơng trình mới t−ơng đ−ơng với hệ đã cho. 3.3.5. Cách giải hệ ph−ơng trình tuyến tính tổng quát a) Ph−ơng pháp khử dần các ẩn số (Ph−ơng pháp Gauss) +) Lập ma trận bổ sung của hệ ph−ơng trình tuyến tính. +) Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a ma trận bổ sung về dạng có các phần tử nằm d−ới “đ−ờng chéo chính” bằng 0 tất cả. +) Giải hệ ph−ơng trình có ma trận bổ sung là ma trận vừa tìm đ−ợc. +) Nghiệm của hệ ph−ơng trình đã cho chính là nghiệm của hệ mới vừa giải. b) Ví dụ: i) Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎪2x − 3y + z = 1 ⎨ (*) ⎪− x − 6y − 2z = −5 ⎩⎪x − 4y = −1 ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 3 1 1 ⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ Abs = → → ⎜−1 − 6 − 2 − 5⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 4 0 −1⎠ ⎝0 − 5 −1 − 3⎠ ⎝0 0 0 0 ⎠ ⇒ hgA = hgAbs = 2. Hệ (*) có nghiệm. ⎧x + y + z = 2 ⎧xy=−51 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒(*) có vô số nghiệm, mọi nghiệm có ⎩− 5y − z = −3 ⎩zy=−35 dạng (4a −1,a,3 − 5a) , a∈ . ii) Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 ⎪ ⎨4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 ⎪ ⎩2x1 + 7x2 − x3 = −1 57
  19. ⎛1 - 3 2 -1 2⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ bs ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜4 1 3 - 2 1⎟ → ⎜0 13 - 5 2 − 7⎟ → ⎜0 13 - 5 2 − 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 7 -1 0 1⎠ ⎝0 13 - 5 2 5 ⎠ ⎝0 0 0 0 2 ⎠ ⇒ hgA = 2 ≠ 3 = hgAbs ⇒ hệ ph−ơng trình đã cho vô nghiệm. 3.3.6. Hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất (đẳng cấp) a) Định nghĩa Hệ ph−ơng trình tuyến tính mà các hệ số tự do đều bằng 0 gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất. Nh− vậy, hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng: ⎧a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 ⎪ n ⎪a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0 ⎨ hoặc ∑ aij x j = 0 (i = 1,m ). (1) ⎪ j=1 ⎪ ⎩am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0 b) Nhận xét +) Hệ (1) bao giờ cũng có nghiệm, ít nhất là nghiệm (0,0, ,0) đ−ợc gọi là nghiệm tầm th−ờng. +) Nếu hạng của ma trận các hệ số bằng n thì hệ ph−ơng trình (1) chỉ có duy nhất nghiệm là nghiệm tầm th−ờng. +) Nếu hạng của ma trận các hệ số nhỏ hơn n thì hệ ph−ơng trình (1) có vô số nghiệm do đó có nghiệm không tầm th−ờng. Đặc biệt: một hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất n ph−ơng trình, n ẩn có nghiệm không tầm th−ờng khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0. c) Ví dụ: i) Giải hệ ph−ơng trình: ⎧x1 − x2 + x3 = 0 ⎪ ⎨2x1 + x2 + 3x3 = 0 (*) ⎪ ⎩x1 + 2x2 + 2x3 = 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞111−−− 111111 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ A =→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟213 031 031 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠122 031 000 58
  20. ⎧xxx123−+=0 ⎧x12= 4x (*) ⇔⇔⎨⎨ ⎩ 3x23+=x 0 ⎩x32=−3x Nghiệm tổng quát (4a,a,− 3a) ; a∈ . Hệ nghiệm cơ bản {(4,1,− 3)}. ⎧x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 ⎪ ⎪3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 ii) Giải hệ ph−ơng trình: ⎨ (*) ⎪4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 ⎪ ⎩3x1 + 8x8 + 24x3 −19x4 = 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞12 4−−− 3 1 2 4 3 1 2 4 3 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟35 6−−−−− 4 0 1 6 5 0 1 6 5 A =→⎜⎟⎜⎟⎜⎟ → ⎜⎟⎜⎟⎜⎟45−−− 2 3 0 3 1815 0 0 0 0 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠3 8 24−− 19 0 2 12 10 0 0 0 0 ⎧⎧x12++xxx430 3 − 4 = xxx 1 = 87 3 − 4 (*) ⇔⇔⎨⎨ ⎩⎩ -x234−+= 6x 5xxx 0 x 2 =−+ 6 34 5 Nghiệm tổng quát: (8a − 7a,− 6a + 5b,a,b) ab, ∈ . x1 x2 x3 x4 8 -6 1 0 1 5 0 1 Hệ nghiệm cơ bản: {(8;− 6;1;0);(− 7;5;0;1)} Bμi tập ch−ơng 3 ⎡ 1 3⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡2 − 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1. Cho A = ⎢−1 2⎥ , B = ⎢ 3 2⎥ , C = ⎢1 2 ⎥ . Tính: ⎣⎢ 3 4⎦⎥ ⎣⎢− 2 3⎦⎥ ⎣⎢4 −1⎦⎥ a) (A - B) + C c) Attt,,BC b) 3A; -2B d) 2A -3B + 4C 2. Tính : 59
  21. ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) ()1 2 3 ⎜4⎟ b) ⎜1⎟()1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝3⎠ ⎛1 ⎞ ⎛⎞2-14 ⎛2 1 1⎞⎜ ⎟ ⎜⎟ c) ⎜ ⎟⎜2 ⎟ d) ()−132 ⎜⎟12 0 ⎝3 0 1⎠⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝3 ⎠ ⎝⎠0-3-2 ⎛⎞23− ⎜⎟⎛⎞41− ⎛⎞⎛⎞−12 2 4− 2 e) ⎜⎟04− ⎜⎟ f) ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠32 ⎝⎠⎝⎠03− 310 ⎝⎠−11 3. Tính các tích A.B và B.A (nếu có) trong các tr−ờng hợp sau ⎛⎞⎛⎞35 21 ⎛⎞⎛⎞-2 1 0 4 -1 a) AB==⎜⎟⎜⎟; b) AB==⎜⎟⎜⎟ ; ⎝⎠⎝⎠61−− 32 ⎝⎠⎝⎠30 1 32 ⎛⎞31 ⎛⎞⎛⎞311 1 1− 1 ⎛⎞21 1 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ c) AB==⎜⎟ ;⎜⎟ 2 1 d) AB==−⎜⎟⎜⎟212; 2 1 1 ⎝⎠30 1 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠10 ⎝⎠⎝⎠123 1 0 1 4. Tính: 2 ⎛2 1 1⎞ 3 5 ⎜ ⎟ ⎛2 1⎞ ⎛ 3 2 ⎞ a) ⎜2 1 2⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 3⎠ ⎝− 4 − 2⎠ ⎝1 2 3⎠ n n ⎛1 1⎞ ⎛cosϕ − sinϕ ⎞ d) ⎜ ⎟ e) ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝ sinϕ cosϕ ⎠ 5. Tính các định thức cấp hai sau: 2 3 2 1 sinα cosα a) b) c) 1 4 −1 2 − cosα sinα a c + di tgα −1 d) e) c − di b 1 tgα 6. Tính các định thức cấp ba: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 i 1+ i a) −1 0 1 b) 1 0 1 c) 1 2 3 d) − i 1 0 −1 −1 0 1 1 0 1 3 6 1− i 0 1 7. Tính các định thức sau: 60
  22. 12− 30 20− 10 0141− 012 2 a) b) −−2403 −22 1− 1 302− 5 130 3 014− 10 112− 10 11313− 01122− − c) −−12 22 1 d) −−21 31 3 430−− 23 3120− 1 31030− 2− 2030 a b c 8. Cho a′ b′ c′ = Δ . Hỏi các định thức sau bằng bao nhiêu: a′′ b′′ c′′ a′ b′ c′ a′′ b′′ c′′ a) a′′ b′′ c′′ b) a′ b′ c′ a b c a b c 9. Hỏi các ma trận sau có khả nghịch hay không, nếu có tìm ma trận nghịch đảo của nó. ⎛⎞21− ⎛⎞−12 ⎛⎞22− a) ⎜⎟ b) ⎜⎟ c) ⎜⎟ ⎝⎠33 ⎝⎠36− ⎝⎠13− ⎛⎞21− 1 ⎛⎞112− ⎛⎞142 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ c) ⎜⎟01 3 d) ⎜⎟012 e) ⎜⎟−101 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠21 1 ⎝⎠001 ⎝⎠223 10. Giải ph−ơng trình AX = B với: ⎛⎞⎛⎞21−− 42 a) AB==⎜⎟⎜⎟; ⎝⎠⎝⎠−33 10 ⎛⎞⎛⎞011−− 141 ⎜⎟⎜⎟ b) AB=−=−⎜⎟⎜⎟12 1; 201 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−10 1 3 20 ⎛⎞111− ⎛⎞111 -1 ⎜⎟ ⎜⎟ c) A =−⎜⎟121 B = ⎜⎟1 0 2 2 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠−231 ⎝⎠1220− 61
  23. 11. Tìm hạng của các ma trận sau: ⎛⎞101 ⎛⎞11− ⎛⎞42− ⎜⎟ a) A = ⎜⎟ b) B = ⎜⎟ c) C =−⎜⎟242 ⎝⎠31 ⎝⎠−21 ⎜⎟ ⎝⎠312− ⎛⎞221− ⎛⎞2133− ⎜⎟ ⎜⎟ d) D =−⎜⎟103 e) E = ⎜⎟−−321 2 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠014 ⎝⎠−1141 ⎛⎞12132− ⎛⎞12− 13 ⎜⎟−−340 21 ⎜⎟3104− − f) F = ⎜⎟ g) G = ⎜⎟ ⎜⎟21312− − ⎜⎟231− − 7 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠31420− ⎝⎠14111−− 12. Giải các hệ ph−ơng trình sau: ⎧2x − 2y − z = −1 ⎧2x + 5y = 1 ⎧x + 2y = 4 ⎪ a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨ y + z = 1 ⎩4x + 5y = −5 ⎩2x + y = 3 ⎪ ⎩- x + y + z = 1 ⎧x − y + z = 1 ⎧2x1 − x2 − x3 = 4 ⎧3x1 + 2x2 + x3 = 5 ⎪ ⎪ ⎪ d) ⎨ 2x + y + z = 2 e) ⎨3x1 + 4x2 − 2x3 = 11 f) ⎨2x1 + 3x2 + x3 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩3x + y + 2z = 0 ⎩3x1 − 2x2 + 4x3 = 11 ⎩2x1 + x2 + 3x3 = 11 13. Với giá trị nào của a thì hệ ph−ơng trình sau không có nghiệm duy nhất? ⎧x − y + 2z = 3 ⎧xyaz−+ =0 ⎧x − 2y = 5 ⎪ ⎪ a) ⎨ b) ⎨ 2x + ay + 3z = 1 c) ⎨ -x++=ay 2 z 2 ⎩3x + ay = 1 ⎪ ⎪ ⎩3x +3y + z = 4 ⎩2x−+=− 3y 2z 1 14. Giải các hệ ph−ơng trình sau: ⎧xy−+20 z = ⎧230xy− +−= zt ⎪ ⎪ a) ⎨ 2x+−= 3yz 3 0 b) ⎨ x3+ yz−+ 2 t = 0 ⎪ ⎪ ⎩x4y-5z0+= ⎩3x+= 2y+2z+t 0 62
  24. Ch−ơng 4: Số tự nhiên 4.1. Hệ thống số tự nhiên 4.1.1. Hai tập hợp t−ơng đ−ơng a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu tồn tại song ánh từ A tới B, kí hiệu: A ~ B. * b) Ví dụ: +) Tập và = \0{ }là hai tập hợp t−ơng đ−ơng vì tồn tại * song ánh fnfnnn:;()1,a→=+∀∈ . +) 2 vì tồn tại song ánh gnnn:2;2, →∀∈a . +) Cho hai đoạn thẳng AB, CD song song với nhau; CD = 2AB. Khi đó tập hợp các điểm trên AB và tập hợp các điểm trên CD là hai tập t−ơng đ−ơng. Thật vậy, gọi O = AC I BD. Tồn tại f: AB → CD xác định bởi X∈AB: X a X’ = OX I CD. Rõ ràng f là song ánh. *Nhận xét: quan hệ giữa hai tập hợp định nghĩa nh− trên là quan hệ t−ơng đ−ơng. 4.1.2. Bản số của một tập hợp a) Định nghĩa Kí hiệu X là lớp tất cả các tập hợp. Trong X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng định nghĩa nh− trên. Khi đó trong X có sự chia lớp, mỗi lớp gồm các tập hợp t−ơng đ−ơng với nhau. Để biểu thị cho độ lớn của từng lớp ng−ời ta đ−a ra khái niệm bản số. Mỗi tập hợp gán cho một giá trị gọi là bản số sao cho hai tập hợp có cùng lực l−ợng thì có cùng bản số. Hai lớp t−ơng đ−ơng khác nhau sẽ có bản số khác nhau. Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card(A) (Cacdinal của A) hoặc A . Hai tập hợp cùng một lớp t−ơng đ−ơng khi và chỉ khi chúng có cùng bản số ( A ~ B ⇔=A B ). b) Ví dụ 63
  25. Các tập hợp trong mỗi ví dụ của mục 3.1.1 có cùng bản số. 4.1.3. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn a) Định nghĩa: Một tập hợp X đ−ợc gọi là tập vô hạn nếu tồn tại một tập con thực sự Y của X (Y ⊂ X, Y ≠ X) t−ơng đ−ơng với X. Khi đó Y cũng là tập vô hạn. Một tập hợp đ−ợc gọi là tập hữu hạn nếu nó không phải là tập vô hạn. b) Ví dụ +) 2,22,⊂⇒ là những tập vô hạn. * +) ⊂⇒,, là những tập vô hạn. +) X = {ab, } , A = {1, 2, 3, 4}, ∅ là những tập hữu hạn. c) Tính chất +) Hợp, giao, tích đề các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. +) Nếu A, B là những tập hữu hạn, A ⊂ B thì Card(A) ≤ Card(B). +) Mọi tập con của tập hữu hạn là tập hữu hạn. 4.1.4. Số tự nhiên a) Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn đ−ợc gọi là một số tự nhiên. Bản số của tập hợp ∅ đ−ợc gọi là số không, kí hiệu là 0 (Card( ∅ ) = 0). Bản số của tập hợp {a} đ−ợc gọi là số một, kí hiệu là 1 ( {a} = 1). Nếu X là một tập hữu hạn, X kí hiệu n và gọi là số tự nhiên n. Ng−ợc lại, nếu có số tự nhiên n thì tồn tại tập hợp hữu hạn X sao cho Xn= . Nếu n là một số tự nhiên thì tồn tại một tập A hữu hạn sao cho A = n . Gọi B =∪AbbA{ }, ∉, B đ−ợc gọi là số liền sau của n và kí hiệu là n'. Khi đó n đ−ợc gọi là số liền tr−ớc của n'. Nếu A là một tập hợp có Card(A) = n thì ta nói tập hợp A có n phần tử. Tập tất cả các số tự nhiên lập thành một tập hợp kí hiệu là đ−ợc gọi là tập các số tự nhiên. 64
  26. = {0,1,2, } (liệt kê các phần tử). = {các bản số của các tập hữu hạn} (nêu tính chất đặc tr−ng của tập hợp). b) Tính chất +) Tập số tự nhiên là tập vô hạn. +) Tập các số tự nhiên không có số lớn nhất, chỉ có số nhỏ nhất. +) Bất kì một tập con nào của cũng có số nhỏ nhất. 4.1.5. Tiên đề quy nạp Trong tập hợp số tự nhiên ta thừa nhận tiên đề sau gọi là tiên đề quy nạp: Nếu A là một bộ phận của ( A ⊂ ) thoả mãn các điều kiện: i) 0∈ A , ii) Nếu nA∈ thì nA'∈ ( n′ là số liền sau của n) thì A ≡ . 4.1.6. Quy tắc chứng minh bằng quy nạp Để chứng minh tính chất T đúng với mọi số tự nhiên n ta phải chứng minh: i) T đúng với số 0. ii) Nếu T đúng với n thì T đúng với n′ . 4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 4.2.1. Phép cộng a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên. Theo định nghĩa tồn tại hai tập hợp hữu hạn A, B, A I B = ∅ sao cho: Card(A) = a và Card(B) = b. Khi đó: +) Số tự nhiên c = Card(A U B) đ−ợc gọi là tổng của hai số tự nhiên a, b kí hiệu là: c = a + b. +) Phép cho t−ơng ứng hai số tự nhiên với tổng của chúng đ−ợc gọi là phép cộng hai số tự nhiên. b) Ví dụ: A ={abBcdeAB,;} ={ ,,} ⇒∩=∅∪= , AB{ abcde ,,,,} và ta có: 65
  27. ABAB==∪=⇒+=2; 3; 5 2 3 5 c) Một số tính chất +) Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a +) Phép cộng có tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c +) Phép cộng có phần tử trung lập 0: a + 0 = 0 + a = a +) Phép cộng thoả mãn luật giản −ớc: a + b = a + c ⇒ b = c 4.2.2. Phép trừ a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên, nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho b + c = a thì c đ−ợc gọi là hiệu của a trừ b và kí hiệu: c = a – b. Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b với hiệu a – b đ−ợc gọi là phép trừ hai số tự nhiên. b) Chú ý +) Nếu tồn tại c = a – b thì a = b + c, giả sử B = bC; = c với B ∩=∅C ⇒=aBC ∪ (theo định nghĩa của phép cộng). Vì B ⊂∪⇒BC BbaBC =≤=∪. Ng−ợc lại, nếu b ≤ a và aAbB= ; = thì B t−ơng đ−ơng với một bộ phận B''\''\'⊂⇒=∪AABABaAB() ⇒= = ∪( AB) . Đặt cAB= \', Vì B'\'∩=∅⇒=+=+()AB a B '\' AB b c do đó cab= − . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tồn tại hiệu a – b là ba≤ . +) Phép trừ không có tính chất giao hoán, kết hợp. 4.2.3. Phép nhân a) Định nghĩa Giả sử a, b là hai số tự nhiên, aAbB= ; = . Số tự nhiên cAB=ìđ−ợc gọi là tích của hai số tự nhiên a và b. Kí hiệu: c = a.b hoặc c = aìb. 66
  28. Phép toán cho t−ơng ứng hai số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c là tích của chúng đ−ợc gọi là phép nhân hai số tự nhiên. Khi đó a, b đ−ợc gọi là các thừa số của phép nhân. b) Ví dụ AxyzBuvA==⇒=={ ,,} ;{ ,} 2; B 3, Aì= B{( xu , ),( xv , ),( yu , ),( yv , ),( zu , ),( zv , )} ⇒ì A B = 6 và ta có 23ì= 6 c) Tính chất +) Phép nhân có tính chất giao hoán. +) Phép nhân có tính chất kết hợp. +) Phép nhân có phần tử trung lập là 1. +) aa.0=∀∈ 0, +) Phép nhân thoả mãn luật giản −ớc: a.b = a.c ⇒ b = c (hay nói cách khác mọi số tự nihiên khác không đều là phần tử chính quy đối với phép nhân). +) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c 4.2.4. Phép chia a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên, b ≠ 0. Nếu có một số tự nhiên c sao cho b.c = a thì c đ−ợc gọi là th−ơng của phép chia a cho b. a Kí hiệu: c = a : b hoặc c = . b Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b (b ≠ 0) với th−ơng a : b đ−ợc gọi là phép chia hai số tự nhiên. b) Chú ý +) Phép chia không có tính chất giao hoán, kết hợp. +) Khi c là th−ơng của phép chia ab: và thì b cũng là th−ơng của phép chia ac: . 67
  29. 4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 4.3.1. Lịch sử phát triển số tự nhiên Thời xa x−a, khi loài ng−ời còn ch−a phát triển để tính thời gian, đếm số thú rừng săn bắt đ−ợc, ng−ời cổ đại phải dùng sỏi, dùng những nút dây hoặc vạch những nét vạch lên đá, thay thế cho các con số. Chẳng hạn một con thú săn đ−ợc là một viên sỏi hoặc là một nút dây, Ng−ời ta chỉ có khái niệm là một và nhiều. Càng về sau, cùng với sự phát triển của loài ng−ời, các con số lần l−ợt 11 ra đời, đầu tiên là số 1, 2, 3, , , , rồi đến -1, -2, . và số 0. 23 4.3.2. Cơ sở lí luận của cách ghi số Cách ghi số dựa trên hai bổ đề cơ bản sau: * Bổ đề 1: Với hai số tự nhiên a, b tuỳ ý, b > 0 , tồn tại một số tự nhiên n sao cho nb > a. Ví dụ: a = 7, b = 2 ⇒ ∃ n = 4 thỏa mãn nb = 4.2 = 8 > 7 = a. * Bổ đề 2: với hai số tự nhiên a, b tuỳ ý, b > 0, tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q, r sao cho: a =q.b + r ; 0 ≤ rb< . *Ví dụ: a =9, b = 4 ⇒ a = 9 = 4.2 + 1, vậy q = 2, r =1. Quy −ớc: aaaaaa01==1, ,n = . { n 4.3.3. Hệ đếm cơ số 10 (hệ thập phân) a) Cách ghi số theo hệ đếm cơ số 10 Ta đã kí hiệu số 0 =∅; số 1 = {a} số kề sau số 1 là 1′ , số kề sau 1′ là (1′′ ) , Nh−ng không thể dùng kí hiệu này với mọi số tự nhiên vì đến một lúc nào đó số dấu ngoặc và số dấu phẩy quá lớn ng−ời ta không thể dễ dàng hiểu nổi đó là số nào. Vì vậy, trong hệ cơ số 10 ng−ời ta chọn ra 10 kí hiệu cho 10 số tự nhiên đầu tiên đó là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và gọi chúng là các chữ số trong hệ đếm cơ số 10. Để biểu diễn một số tự nhiên tuỳ ý trong hệ đếm cơ số 10 ta làm nh− sau: 68
  30. *) Nếu a ≤ 9 thì a đ−ợc biểu diễn bởi 1 trong 10 chữ số trên. *) Nếu a = 9′ (số kề sau số 9) thì a đ−ợc biểu diễn bởi “10”. *) Nếu a >10 thì theo bổ đề 2 tồn tại duy nhất hai số qr11, sao cho aq=+11.10 r. Khi đó: +) Nếu q1 <10 thì a đ−ợc biểu diễn là qr11 trong hệ đếm cơ số 10. +) Nếu q1 ≥10 lại áp dụng bổ đề 2 cho q1 ta đ−ợc: qq12=+.10 r 2 ⇒ 2 aqrrqr=++=++(1022 ).10 1 2 .10 2 .10 r 1 . Khi đó: .) Nếu q2 <10 thì a đ−ợc biểu diễn là qrr221 trong hệ đếm cơ số 10. .) Nếu q2 ≥10 lặp lại t−ơng tự quá trình trên. Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn nn−1 b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: aq= nn.10++++ r .10 r21 .10 r với 0≤<rr12 , , , rqnn , 10 . Kí hiệu số a bởi qrnn rr21 hoặc qrnn rr21 nếu không sợ nhầm lẫn với tích qrnn rr21. Ví dụ: 1572=+++=+ 1000 500 70 2 1.1032 5.10 ++ 7.10 2 . b) Cách đếm Qua cách ghi số nói trên ta dễ thấy quy tắc đếm trong hệ thập phân nh− sau: +) Cho 10 số tự nhiên đầu tiên những tên gọi: không, một, , chín và gọi chúng là những số hàng đơn vị. +) Số 10: đ−ợc gọi là một chục. +) M−ời và 1 đ−ợc gọi là m−ời một. +) M−ời chục (10.10= 102 ) đ−ợc gọi là một trăm. +) M−ời trăm (10.1023= 10 ) gọi là một nghìn Ví dụ: Số 1235 đọc là một nghìn hai trăm ba chục năm đơn vị (hay một nghìn hai trăm ba m−ơi lăm) (vì 1235= 1.1000+++ 2.100 3.10 5 ). Nh− vậy, ta đọc lần l−ợt số lần của 10n , 10n−1 , , của 10 và số đơn vị và phép đếm chẳng qua là phép cộng. 69
  31. c) Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia (nh− đã học ở tr−ờng phổ thông). 4.3.4. Cách ghi số trong hệ đếm cơ số g (1< g ≤ 9) Các kí tự trong hệ đếm cơ số g là 0,1,2,3, , g-1. Để ghi một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số g tuỳ ý ta làm nh− sau: *) Nếu ag< thì trong cơ số g a cũng đ−ợc biểu diễn là a. *) Nếu ag≥ chia a cho g đ−ợc th−ơng là q1, số d− r1 ⇒ aqgr= 11+ . Khi đó: +) Nếu qg1 < thì a đ−ợc biểu diễn là qr11 trong hệ đếm cơ số g. +) Nếu qg1 ≥ lại chia q1 cho g đ−ợc th−ơng là q2 ,số d− r2 2 ⇒ aqgrgr=++221. Khi đó .) Nếu qg2 < thì a đ−ợc biểu diễn là qrr221 trong hệ đếm cơ số g. .) Nếu qg2 ≥ lại tiếp tục chia chia q2 cho g Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: nn−1 aqgrg=+nn +++ rgr21,qgn < . Khi đó, a đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: qrnn rr21 trong cơ số g. *) Ví dụ: Ghi số tự nhiên a = 87 trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 5. a = 87=++ 3.52 2.5 2 ⇒ a = 322 trong cơ số 5. 4.3.5. Hệ đếm và cách ghi số trong hệ đếm cơ số 2 (hệ nhị phân) a) Các kí tự: 0, 1 b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 2 *) Cách tiến hành: Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 2 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 2. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 2 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 2 trong khai triển đó. 70
  32. *) Ví dụ: +) a = 30 trong hệ đếm cơ số 10 ⇒=a 30 = 15.2 = (2.7 + 1).2 = 7.22 + 1.2 = (2.3++=++ 1).2232 1.2 3.2 1.2 1.2 =+(2.1 1).232 ++=+++ 1.2 1.2 1.2 432 1.2 1.2 1.2 ⇒=a 11110 trong hệ đếm cơ số 2. +) a = 99 trong hệ đếm cơ số 10 ⇒=a 99 = 45.2 += 1 (22.2 + 1).2 += 1 22.22 + 1.2 + 1 =++=+++=+++11.23343 1.2 1 (5.2 1).2 1.2 1 5.2 1.2 1.2 1 =+(2.2 1).243 +++=++++ 1.2 1.2 1 1.2 643 1.2 1.2 1.2 1 ⇒=a 1011011 trong hệ đếm cơ số 2. Quy trình trên có thể tóm tắt nh− sau: +) Chia liên tiếp a cho 2, cho đến khi đ−ợc th−ơng là 0. +) Viết các số d− từ trái qua phải bắt đầu từ số d− cuối cùng cho đến số d− đầu tiên, đó chính là sự biểu diễn của a trong hệ đếm cơ số 2. *) Ví dụ: kí hiệu số tự nhiên có biểu diễn trong cơ số g là xg +) x10 = 30 +) x10 = 735 30 2 735 2 0 25 2 1 367 2 1 12 2 1 183 2 0 6 2 1 91 2 0 3 2 1 45 2 1 1 2 1 22 2 1 0 0 11 2 ⇒=x2 110010 1 5 2 1 2 2 0 1 2 1 0 ⇒=x2 1011011111 71
  33. Cơ số 10 Cơ số 2 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 . . 99 1011011 c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 2 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 2 - Đếm tổng số chữ số trong số a, giả sử a có n chữ số. - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 2, bắt đầu từ 2n-1 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu aaaaa= nn−121 nn−−12 trong hệ đếm cơ số 2 thì aa= nn.2++++ a−121 .2 a .2 a trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: 432 +) xx210=⇒=++++=++++=10111 1.2 0.2 1.2 1.2 1 16 0 4 2 1 23 +) x2 =100101 5432 ⇒x10 =1.20.20.21.20.21320040137 + + + + += +++++= d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 2 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 1 thì ta phải chuyển nó về cơ số 2 bằng cách chia tổng đó cho 2, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng 72
  34. ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 10111 1010101 10111011 + 111 + 111011 + 101111 11110 10010000 11101010 2 Thử lại: (111)210=++= 1.2 1.2 1 (7) 42 ⇒ (10111)210= 1.2 + 1.2 + 1.2 += 1 16 +++= 4 2 1 (23) 23+= 7 (30)10 = (11110) 2 . *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 2. *) Ví dụ: 110101 1010101 10111011 - 1111 - 111011 - 101111 100110 0011010 10001100 54 32 Thử lại: (110101)210=+++++= 1.2 1.2 0.2 1.2 0.2 1 (53) 32 ⇒ (1111)210=+++=+++= 1.2 1.2 1.2 1 8 4 2 1 (15) 53−= 15 (38)10 = (100110) 2 . *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc nhân nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện phép cộng nhiều số. 110111 1010101 1011 ì 111 ì 101 ì 11 110111 1010101 1011 + 110111 + 0000000 + 1011 110111 1010101 100001 101111001 110101001 Thử lại: (1011)22ì= (11) (100001) 2; (11)210= (3) 3 (1011)210=++=⇒ 1.2 1.2 1 (11) 11ì 3== (33)10 (100001) 2 73
  35. *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc chia nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép chia trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện một số phép trừ. 1010111 111 1110101 101 - 111 1100 - 101 10111 00111 01001 - 111 - 101 00011 01000 - 101 00111 - 101 010 65432 Thử lại: (1010111)2 =++++++= 1.2 0.2 1.2 0.2 1.2 1.2 1 (87)10 2 ⇒ (111)210=++=++= 1.2 1.2 1 4 2 1 (7) 87 : 7= (12)10 d− 3. (12)10= (1100) 2 ;(3) 10= (11) 2 4.3.6. Hệ đếm cơ số 8 (hệ bát phân) a) Các kí tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 8 Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 8 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 8. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 8 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 8 trong khai triển đó. 1918 8 1455 8 6 239 8 7 181 8 7 29 8 5 22 8 5 3 8 6 2 8 3 0 2 0 74
  36. 191810= 3576 8 145510= 2657 8 96510= 1705 8 78610= 1422 8 c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 8 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 8 - Đếm tổng số chữ số trong số số a - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 8 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu aaaaa= nn−121 trong hệ đếm cơ số 8 thì nn−−12 ⇒=aann.8 + a−121 .8 ++ a .8 + a trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: 4321 (67523)8 =++++ 6.8 7.8 5.8 2.8 3 =++++=24576 3584 320 16 3 (28499)10 321 (5327)8 = 5.8+++=+++ 3.8 2.8 7 5.512 3.64 2.8 7 =+++=2560 192 16 7 (2775)10 d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 8 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong cơ hệ đếm số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 6732 2345 5436 + 1456 + 4127 + 4353 10410 6474 12011 3457 2476 3457 2746 + 4365 + 7654 + 4365 + 5672 10044 12352 6726 7646 16765 20506 *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 8. 75
  37. *) Ví dụ: 4765 4365 5672 - 1567 - 457 - 2746 3176 3706 2724 *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc nhân trong hệ đếm cơ số 10, trong quá trình nhân phải sử dụng bảng cửu ch−ơng của hệ cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. (Có thể lập bảng bát ch−ơng của hệ cơ số 8). 367 1035 3745 ì 23 ì 42 ì 52 1345 2072 7712 + 756 + 4164 + 23571 11125 43732 245622 1235 7045 ì 763 ì 652 3727 16012 + 7656 + 43271 11113 52336 1214007 5704522 (6754)88ì (57)= (507124) 8 *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc chia trong hệ đếm cơ số 10. 56743 145 23510 436 - 457 356 - 2170 43 1104 1610 - 771 - 1532 01133 056 - 771 0142 76
  38. Đối với hệ đếm theo các cơ số khác các phép toán đ−ợc thực hiện hoàn toàn t−ơng tự nh− trong hệ đếm theo các cơ số 2, 8 đã trình bày ở trên. Bài tập ch−ơng 4 1. Chứng minh tập hợp số tự nhiên chẵn và tập hợp số tự nhiên lẻ có cùng bản số. 2. Chứng minh X= {} abc,, là tập hữu hạn. 3. Chứng minh 3 là tập vô hạn. 4. Chứng minh 6 là tập vô hạn. 5. A = {abc,,} , Xxyztu= { ,,,,} ; m = card(A), n = card(X). Chứng minh: m < n. 6. X hữu hạn và khác rỗng. a ∈ X. Chứng minh a) na=−X { } là số tự nhiên kề tr−ớc m. b) Mỗi số tự nhiên m ≠ 0 có một số kề tr−ớc duy nhất. 7. Chứng minh rằng nếu X là một tập hữu hạn khác rỗng, a ∈ X thì X \ {a} cũng là một tập hợp hữu hạn. 8. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng: a) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ∪ B cũng là một tập hợp hữu hạn. b) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ì B cũng là một tập hợp hữu hạn. 9. Gọi y' là số tự nhiên kề sau số tự nhiên y. Chứng minh rằng x + y' = (x + y)', ∀x, y ∈ . 10. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng phép cộng thoả mãn luật giản −ớc, tức là: với x, y, z ∈ , nếu x + y = x + z thì y = z. H−ớng dẫn: * Với x = 1, chứng minh rằng nếu 1 + y = 1 + z thì y = z * Giả sử từ n + y = n + z suy ra y = z Hãy chứng minh: (n + 1) + y = (n + 1) + z → y = z. 11. Dùng đẳng thức A ì (B ∪ C) = (A ì B) ∪ (A ì C), chứng minh rằng phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, (b + c).a = b.a + c.a. 77
  39. 12. Giả sử a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng: a) Nếu ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0 b) Nếu ab = 1 thì a = 1 và b = 1. 13. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 sau sang hệ đếm cơ số g (g=2, 3, , 9). a) 50 b) 128 c) 1088 14. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số g sau sang hệ đếm cơ số 10. a) (10101111)2 b) (120212)3 c) (132101)4 d) (201043)5 e) (310524)6 f) (4016)7 h) (1735) 8 i) (1082) 9 15. Cho xy10==1725; 2 10101111. Hãy tính: xg + yxgg;;.;:− yxyx gggg y g với g = 2,3, ,9. 78
  40. Ch−ơng 5: Đại Số véc tơ vμ hình học giải tích 5.1. Véc tơ 5.1.1. Véc tơ tự do a) Định nghĩa: Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự của 2 điểm mút gọi là một véc tơ (hay một đoạn thẳng có h−ớng). Điểm mút thứ nhất gọi là điểm gốc, uuur điểm mút thứ hai gọi là điểm ngọn. Kí hiệu véc tơ có gốc A ngọn B là AB . uuur - Đ−ờng thẳng đi qua A, B đ−ợc gọi là giá của véc tơ AB . r - Véc tơ có gốc và ngọn trùng nhau đ−ợc gọi là véc tơ không, kí hiệu 0. uuur uuur - Độ dài đoạn thẳng AB đ−ợc gọi là môdun của véc tơ AB , kí hiệu AB . - Véc tơ có môdun bằng 1 đ−ợc gọi là véc tơ đơn vị. - Hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau đ−ợc gọi là hai véc tơ cộng tuyến hay cùng ph−ơng. uuur uuur - Hai véc tơ ABCD, đ−ợc gọi là cùng h−ớng (ng−ợc h−ớng) nếu khi uuur tịnh tiến CD sao cho C đến trùng với A thì B và D ở về cùng một phía (hai phía khác nhau) đối với A. * Chú ý: i) Từ đây về sau ta sẽ gọi hai véc tơ cùng ph−ơng, cùng h−ớng là hai véc tơ cùng h−ớng và hai véc tơ cùng ph−ơng, ng−ợc h−ớng là hai véc tơ ng−ợc h−ớng. ii) Véc tơ không có môdun bằng 0 và h−ớng tùy chọn. b) Định nghĩa: Hai véc tơ đ−ợc gọi là bằng nhau nếu chúng cùng h−ớng và có môdun bằng nhau. uuur uuur uuur uuur Nếu AB bằng CD thì ta kí hiệu: AB = CD . * Chú ý: Quan hệ bằng nhau giữa hai véc tơ là một quan hệ t−ơng đ−ơng. c) Khái niệm véc tơ tự do: Các véc tơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí của gốc véc tơ. Trong nhiều tr−ờng hợp ng−ời ta chỉ chú ý đến ph−ơng, h−ớng và mô đun của các véc tơ mà không cần quan tâm đến vị trí của gốc của nó. Từ đó ta có: Một véc tơ mà gốc có thể đặt tùy ý trong không gian đ−ợc gọi là véc tơ tự do. 79
  41. r rur Véc tơ tự do th−ờng đ−ợc kí hiệu: ax, ,α , 5.1.2. Cộng véc tơ r r a) Định nghĩa: Tổng của hai véc tơ ab, là một véc tơ xác định nh− sau: Từ một uuurr uuurr điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ OA= a rồi dựng véc tơ ABb= . Véc r uuur r r rrr tơ cOB= đ−ợc gọi là véc tơ tổng của hai véc tơ ab, , kí hiệu cab=+. ur uuruur Mở rộng định nghĩa trên ta có thể định nghĩa tổng của n véc tơ aa12, , , an uuur ur nh− sau: Từ một điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ OA11= a rồi dựng uuuur uur uuuuuur uur ruuuur véc tơ A12Aa= 2, từ điểm An−1 dựng véc tơ Ann−1Aa= n. Véc tơ aOA= n đ−ợc uruuruur r ur uuruur gọi là véc tơ tổng của n véc tơ aa12, , , an , kí hiệu aa= 12+++ a an . b) Tính chất r rrr +) Phép cộng véc tơ có tính chất giao hoán: abba+ =+. r rrrrr +) Phép cộng véc tơ có tính chất kết hợp: ()ab+ +=+ ca () bc + . rrr +) aa+=0 +) Hai véc tơ có môdun bằng nhau nh−ng ng−ợc h−ớng đ−ợc gọi là hai véc r r r rr tơ đối nhau. Kí hiệu véc tơ đối của véc tơ a là −a . Ta có aa+ ()0−=. 5.1.3. Trừ véc tơ r r r rrr a) Định nghĩa: Hiệu của hai véc tơ ab, là một véc tơ x sao cho bxa+=. Véc r r r r rrr r tơ x đ−ợc gọi là véc tơ hiệu của hai véc tơ ab, , kí hiệu x = aba−=+−() b b) Chú ý +) Phép trừ véc tơ không có tính chất giao hoán, kết hợp. rr r r r r +) ab+≤ a + b, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab, cùng h−ớng. rr r r r r +) ab−≥ a − b, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab, cùng h−ớng và rr ab≥ . 80
  42. 5.1.4. Nhân một véc tơ với một số r r a) Định nghĩa: Tích của một véc tơ a với một số k là một véc tơ kí hiệu ka. có r r r môđun bằng ka. , cùng h−ớng với a nếu k > 0, ng−ợc h−ớng với a nếu k < 0. b) Tính chất rr +) 1.aa= . rr +) (1).−=−aa. rr +) kla()()= kla (tính chất kết hợp đối với phép nhân). rr r r +) ka()+= b ka + kb (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng véc tơ). rrr +) ()klakala+=+ (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số). 5.1.5. Tích vô h−ớng của hai véc tơ r r r r a) Định nghĩa: Cho hai véc tơ ab, . Số ab cosϕ , trong đó ϕ là góc giữa hai rr r r rr véc tơ ab, đ−ợc gọi là tích vô h−ớng của hai véc tơ ab, , kí hiệu ab. . rr r r Nh− vậy: ab cos.= a b ϕ rr * Chú ý: +) Hai véc tơ ab. đ−ợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng rr rr rrr bằng 900, kí hiệu ab⊥ . Từ định nghĩa của tích vô h−ớng ta có: ab⊥⇔ ab.0 = rr r r 2 +) aa. đ−ợc gọi là bình ph−ơng vô h−ớng của véc tơ a , kí hiệu a . r r r 2 r 2 ab. Từ định nghĩa ta có: aa= , cosϕ = r r . ab. b) Tính chất rr rr +) Tích vô h−ớng của hai véc tơ có tính chất giao hoán ab = ba. rr r r r r +) kab(.)== ( kab ). a .(.) kb. rr r rrrr +) ab.(+= c ) abac . + . . 81
  43. rr r +) a.0= 0 . 5.1.6. Tích có h−ớng của hai véc tơ uuur uuur uuur a) Định nghĩa i) Tam diện tạo bởi 3 véc tơ OA,, OB OC không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy đ−ợc gọi là thuận (nghịch) nếu một ng−ời đứng trên mặt phẳng uuuruuur uuur uuur chứa OA, OB theo h−ớng của véc tơ OC thấy h−ớng quay từ véc tơ OA đến véc uuur tơ OB theo góc nhỏ nhất là ng−ợc chiều quay của kim đồng hồ (cùng chiều quay của kim đồng hồ). rr r ii) Cho hai véc tơ ab, , véc tơ c thỏa mãn ba điều kiện sau đ−ợc gọi là tích rr có h−ớng của hai véc tơ ab, : rrrr +) cacb⊥⊥, rrr r r +) cab= sinϕ , ϕ là góc giữa hai véc tơ ab, rrr +) abc,, tạo thành một tam diện thuận. rrr Kí hiệu: cab=∧. *) Hệ quả: +) Trong không gian, hai véc tơ cùng ph−ơng khi và chỉ khi tích có h−ớng của chúng bằng véc tơ không. +) Môdun của tích có h−ớng của hai véc tơ bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai véc tơ ấy. b) Tính chất rr rr +) ab∧=−∧ ba rr rrr r +) ka()∧= b ka ∧=∧ b a kb . rrrrrrrrrrrrrr +) abcabacabcacbc∧+=∧+∧()()();() +∧=∧+∧ ()() 5.1.7.Tích hỗn tạp của ba véc tơ r rr rr a) Định nghĩa: Cho ba véc tơ abc,, . Lấy tích có h−ớng của hai véc tơ ab, ta rr r r r r rr đ−ợc véc tơ ab∧ , nhân vô h−ớng ab∧ với c ta đ−ợc số ().abc∧ gọi là tích 82
  44. rrr r rr r rr r r r hỗn tạp của ba véc tơ abc,, , kí hiệu: (,,)abc . Ta có: (,,)abc=∧ ( a b ). c. r rr b) Định lý: Tích hỗn tạp của ba véc tơ không đồng phẳng abc,, là một số có giá trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba véc tơ đó. Số ấy là d−ơng nếu rrr r rr abc,, tạo thành một tam diện thuận, là âm nếu abc,, tạo thành một tam diện nghịch. rrrrrrrrr Chú ý: Từ định lý ta có: ().().().abcbcacab∧=∧=∧. c) Định lý: Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúng bằng 0. 5.2. Tọa độ trên đ−ờng thẳng 5.2.1. Trục Định nghĩa: Một đ−ờng thẳng trên đó đã chọn một véc tơ đơn vị gọi là một trục. H−ớng của véc tơ đơn vị đ−ợc gọi là h−ớng của trục. 5.2.2. Điểm chiếu, véc tơ chiếu a) Định nghĩa: Cho một trục Δ , một mặt phẳng P không song song với Δ và ruuur một véc tơ aAB= tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng song song với P cắt Δ ở A1 và B1 . +) Các điểm A1 , B1 gọi là các điểm chiếu của các điểm A, B trên Δ theo ph−ơng P. uuuur uuur +) A11B gọi là véc tơ chiếu của véc tơ AB trên Δ theo ph−ơng P. uuuur uuur uuur uuuur +) Giả sử A11BkOE= . (OE là véc tơ đơn vị trên Δ ), k > 0 nếu A11B và uuur uuuur uuur OE cùng h−ớng, k < 0nếu A11B và OE ng−ợc h−ớng. Số đại số k đ−ợc gọi là uuur uuur chiếu của véc tơ AB trên trục Δ theo ph−ơng P và ta viết kprAB= Δ hay r kpra= Δ . Số k còn đ−ợc gọi là độ dài đại số của A11B và kí hiệu kAB= 11. b) Tính chất +) Các véc tơ bằng nhau có chiếu (trên cùng một trục, theo cùng một 83
  45. r rrr ph−ơng) bằng nhau, tức là ab=⇔ praprbΔ = Δ . +) Chiếu của véc tơ tổng bằng tổng các chiếu của các véc tơ thành phần, rr r r nghĩa là prΔΔΔ() a+⇔ b pr a + r b . rr +) prΔΔ(.) k a= k . pr a . +) Khi mặt phẳng P vuông góc với Δ , phép chiếu lên Δ theo ph−ơng P đ−ợc gọi là phép chiếu vuông góc và ta có: Định lý: Chiếu vuông góc của một véc tơ trên một trục bằng môdun của véc tơ r r nhân với cosin của góc giữa trục và véc tơ: prΔ a= a .cosϕ . 5.3. Ph−ơng pháp tọa độ trên mặt phẳng 5.3.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng gồm hai đ−ờng thẳng ur uuur vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy trên đó chọn hai véc tơ đơn vị eOE11= , ur uuuur eOE22= , th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy. - Hai đ−ờng thẳng x’Ox và y’Oy gọi là hai trục tọa độ, trục x’Ox gọi là trục hoành, y’Oy gọi là trục tung. ur ur - Hai véc tơ đơn vị e1 , e2 gọi là hai véc tơ cơ sở. - Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ. - Hại trục tọa độ chia mặt phẳng ra làm 4 miền, mỗi miền gọi là một góc tọa độ. Ta có 4 góc tọa độ I, II, III, IV. - Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy gọi là thuận nếu h−ớng quay từ ur ur e1 đến e2 theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại. 5.3.2. Tọa độ của điểm Để định nghĩa tọa độ của điểm trong mặt phẳng ta cần định lý sau: ur ur r *) Định lý: Cho hai véc tơ không cùng ph−ơng e1 , e2 . Bất kì một véc tơ a nào 84
  46. ur ur đồng phẳng với e1 , e2 cũng có thể khai triển theo các véc tơ ấy, nghĩa là: rurur axeye=+12 và sự khai triển ấy là duy nhất. Mặt phẳng trên đó có chọn một hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy quy −ớc gọi vắn tắt là mặt phẳng Oxy. Giả sử M là một điểm bất kì trong mặt phẳng uuuururur Oxy. Theo định lý trên ta có: OM=+ xe12 ye . - Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, x đ−ợc gọi là hoành độ, y đ−ợc gọi là tung độ của điểm M. Kí hiệu: M(x;y) uuuur - OM đ−ợc gọi là bán kính véc tơ của điểm M. - Nh− vậy mỗi điểm M trong mặt phẳng Oxy t−ơng ứng với một và chỉ một cặp sắp thứ tự hai số (x;y). Ng−ợc lại với mỗi cặp sắp thứ tự hai số (x;y), tồn tại một và chỉ một điểm M nhận (x;y) làm tọa độ của nó. Do đó có sự t−ơng ứng 1:1 giữa tập các điểm trong mặt phẳng và tập các cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y). 5.3.3. Tọa độ của véc tơ a) Tọa độ của véc tơ tự do r *) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véc tơ tự do a , theo định lý ta có rurur r axeye=+12. Cặp sắp thứ tự gồm hai số (x;y) đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ a đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy. rr *) Tính chất: Giả sử axybxy==(;11 );(; 2 2 ) rr +) ab+=(; x1212 + xy + y ). rr +) ab−=(; x1212 − xy − y ). r +) ka.(.;.)= kx11 ky . rr +) ab =+ x12 x y 12 . y . rr x y +) ab, cùng ph−ơng khi và chỉ khi 11= . x22y b) Tọa độ của véc tơ buộc 85
  47. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(;xy11 ),(; Bxy 2 2 ). Ta tìm tọa độ của uuur uuuruuuruuur véc tơ buộc AB . Ta có ABOBOA= − . Mặt khác theo định nghĩa tọa độ của điểm: uuur ur ur uuurururuuur uuuruuururur OA=+ x11 e y 12 e; OB =+ x 21 e y 2 e 2⇒=−=−ABOBOAx()()211212 xe +− y ye Cặp sắp thứ tự gồm hai số (;x2121− xy− y )đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ uuur uuur AB đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, kí hiệu ABxxyy=−(;2121 − ). 5.3.4. Ph−ơng trình đ−ờng thẳng a) Ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng r Cho một đ−ờng thẳng d. Một véc tơ v đ−ợc gọi là véc tơ chỉ ph−ơng của d r nếu giá của v song song hoặc trùng với d. Trong mặt phẳng Oxy cho đ−ờng thẳng d đi qua điểm M 000(;xy ) cho r tr−ớc và nhận véc tơ vab= (;) làm véc tơ chỉ ph−ơng. Giả sử M (;xy ) là một uuuuur r điểm tùy ý nằm trên d. Khi đó M 0M cùng ph−ơng với v , nghĩa là uuuuur r ⎧⎧x −=xtaxxta00 =+ MM0 =⇔ tv. ⎨⎨ ⇔ (1) ⎩⎩y−= y00 tb y =+ y tb Ng−ợc lại, giả sử điểm M (;xy ) có tọa độ thỏa mãn ph−ơng trình (1). Từ (1) ta có: ⎧x −=xta0 ⎨ . ⎩yy−=0 tb uuuuur r Điều này có nghĩa là M 000Mxxyy=−(; − ) cùng ph−ơng với vab= (;), do đó M (;xy ) nằm trên đ−ờng thẳng d. Ph−ơng trình (1) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng, trong đó t là tham số. x − xyy− *) Chú ý: +) Nếu ab≠≠0, 0 thì từ (1) ta có: 00= (2) ab (2) đ−ợc gọi là ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng thẳng. 86
  48. ⎧xx= 0 +) Nếu ab=≠0, 0 thì (1) trở thành: ⎨ đây là đ−ờng thẳng song ⎩yy= 0 + tb song với trục tung, cắt trục hoành tại điểm (;0)x0 . ⎧x = xta0 + +) Nếu ba=≠0, 0 thì (1) trở thành: ⎨ đây là đ−ờng thẳng song ⎩yy= 0 song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm (0;y0 ) . b) Ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng thẳng r Cho một đ−ờng thẳng d. Một véc tơ n đ−ợc gọi là véc tơ pháp tuyến của d r nếu giá của n vuông góc với d. Trong mặt phẳng Oxy cho đ−ờng thẳng d đi qua điểm M 000(;xy ) cho r tr−ớc và nhận véc tơ nAB= (;) làm véc tơ pháp tuyến. Giả sử M (;xy ) là một uuuuur r điểm tùy ý nằm trên d. Khi đó M 0M vuông góc với n , do đó: r uuuuur nM.0()()0000 M=⇔−+ A x x B y −=⇔++−− y Ax By ( Ax 00 By )0 = Đặt −−AxByC00 = thì ph−ơng trình trên trở thành AxByC++=0 (3) Ng−ợc lại, giả sử điểm M (;xy ) có tọa độ thỏa mãn ph−ơng trình (3). Từ (3) ta có: Ax()()0−+ x00 By −= y . uuuuur r Điều này chứng tỏ M 000Mxxyy=−(; − ) vuông góc với nAB= (;). Ph−ơng trình (3) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng thẳng. *) Các tr−ờng hợp riêng i) A ≠≠=0;BC 0; 0 ph−ơng trình (3) trở thành AxBy+=0. Đây là ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua gốc tọa độ. ii) A ≠=0;B 0 +) C ≠ 0ph−ơng trình (3) trở thành AxC+ = 0. Đây là ph−ơng trình đ−ờng thẳng song song với trục tung. +) C = 0 ph−ơng trình (3) trở thành x = 0. Đây chính là trục tung. iii) Tr−ờng hợp A =≠0;B 0 xét t−ơng tự nh− trên. 87
  49. 5.3.5. Ph−ơng trình đ−ờng tròn a) Ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng tròn Giả sử đ−ờng tròn (C) tâm I(a,b) bán kính R. Điểm M(x;y) nằm trên đ−ờng tròn (C) khi và chỉ khi: uuur2 IM=⇔ R IM = R2222 ⇔()() x − a + y − a = R (4) Ph−ơng trình (4) đ−ợc gọi là ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng tròn. b) Ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng tròn Ph−ơng trình (4) có thể viết d−ới dạng x22+− y22 ax − by ++−= a 222 b R 0 Đặt A =a, B=b, C=abR22+ − 2, khi đó ph−ơng trình trên trở thành x22+− y22 Ax − By += C 0 (5) (5) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng tròn. Ng−ợc lại mọi ph−ơng trình có dạng (5) trong đó abC22+−>0 là ph−ơng trình của một đ−ờng tròn. 5.4. Ph−ơng pháp tọa độ trong không gian 5.4.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian gồm ba đ−ờng thẳng đôi một vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy, z’Oz trên đó chọn ba véc tơ đơn vị ur uuur ur uuuur ur uuuur eOE11= , eOE22= , eOE33= , th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz. - Ba đ−ờng thẳng x’Ox, y’Oy và z’Oz gọi là các trục tọa độ. ur ur ur - Các véc tơ đơn vị e1 , e2 , e3 gọi là các véc tơ cơ sở. - Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ. - Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz gọi là thuận nếu đứng trên mặt ur ur phẳng Oxy theo h−ớng của trục Oz nhìn thấy h−ớng quay từ e1 đến e2 theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng quay ng−ợc chiều của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại. 88
  50. 5.4.2. Tọa độ của điểm Để định nghĩa tọa độ của điểm trong không gian ta cần định lý sau: ur ur ur r *) Định lý: Cho ba véc tơ không cùng ph−ơng e1 , e2 , e3 . Bất kì một véc tơ a nào trong không gian cũng có thể khai triển theo các véc tơ ấy, nghĩa là: rururur axeyeze=+123 + và sự khai triển ấy là duy nhất. Không gian trên đó có chọn một hệ trục tọa độ Đề Cac vuông góc Oxyz quy −ớc gọi vắn tắt là không gian Oxyz. Giả sử M là một điểm bất kì trong không uuuurururur gian Oxy. Theo định lý trên ta có: OM=+ xe123 ye + ze . - Bộ sắp thứ tự gồm ba số (x;y;z) đ−ợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz, x đ−ợc gọi là hoành độ, y đ−ợc gọi là tung độ, z đ−ợc gọi là cao độ của điểm M. Kí hiệu: M(x;y;z). uuuur - OM đ−ợc gọi là bán kính véc tơ của điểm M. - T−ơng tự nh− trong mặt phẳng có sự t−ơng ứng 1:1 giữa tập các điểm trong không gian và tập các bộ sắp thứ tự gồm 3 số (x;y;z). 5.4.3. Tọa độ của véc tơ a) Tọa độ của véc tơ tự do r *) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho véc tơ tự do a , theo định lý ta có rururur axeyeze=+123 +. Bộ sắp thứ tự gồm ba số (x;y;z) đ−ợc gọi là tọa độ của véc tơ r a đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz. rr *) Tính chất: Giả sử axyzbxyz==(;;);(;111 2 22 ; ) rr +) ab+=(; x121212 + xy + yz ;) + z. rr +) ab−=(; x121212 − xy − yz ;) − z. r +) ka.(.;.;.)= kx111 ky kz . rr +) ab =++ x12 x y 12 . y zz 12. rr x yz +) ab, cùng ph−ơng khi và chỉ khi 111= = . x222yz 89
  51. b) Tọa độ của véc tơ buộc Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(;;),(;xyz111 Bxyz 2 22 ; ). Ta tìm tọa độ uuur uuur uuuruuur của véc tơ buộc AB . Ta có ABOBOA= − . Mặt khác theo định nghĩa tọa độ của điểm: uuururururuuurururur OA=+ x11 e y 12 e + z 13 e; OB =+ x 21 e y 2 e 2 + z 2 e 3 uuur uuuruuurururur ⇒=−=−ABOBOAx()()()211212213 xe +− y ye +− z ze Bộ sắp thứ tự gồm ba số (;x212121− xy−− yz ;) zđ−ợc gọi là tọa độ của véc uuur uuur tơ AB đối với hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz, kí hiệu ABxxyyzz= (;212121−−− ;). 5.4.4. Ph−ơng trình của mặt phẳng trong không gian a) Ph−ơng trình tham số của mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm M 0000(;;)xyz và hai véc tơ không cùng rr ph−ơng aaaabbbb==(;;);(;;)123 123. Ta lập ph−ơng trình mặt phẳng P đi qua r r điểm M0 và song song với hai giá của hai véc tơ ab; . Điểm M (;;)xyz nằm trên mặt phẳng P khi và chỉ khi các véc tơ uuuuur r r r r M 0Mab,, đồng phẳng. Khi đó vì hai véc tơ ab; không cùng ph−ơng nên véc tơ uuuuur r r M 0M khai triển đ−ợc một cách duy nhất theo các véc tơ ab, , nghĩa là ⎧⎧x −=xuavb011 + xxuavb =+ 011 + uuuuur r r ⎪⎪ M 0022022Muavbyyuavbyyuavb=+⇔−=+⇔=++. ⎨⎨ (1) ⎪⎪ ⎩⎩z−= z033 ua + vb z =+ z 033 ua + vb (1) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tham số của mặt phẳng P, trong đó u, v r r là tham số. Hai véc tơ không cùng ph−ơng ab, đ−ợc gọi là các véc tơ chỉ ph−ơng của mặt phẳng P. uuuuur r r uuuuur r r *) Chú ý: Ba véc tơ M 0Mab,, đồng phẳng khi và chỉ khi (,,)0MMab0 = . Do đó ph−ơng trình của mặt phẳng P là 90
  52. xx−−−000 yy zz aaa123= 0 (2) bbb123 ⎛⎞aaa123 rr trong đó hạng của ma trận X = ⎜⎟ bằng 2 vì hai véc tơ ab, không ⎝⎠bbb123 cùng ph−ơng. b) Ph−ơng trình tổng quát của mặt phẳng aa23 aa 31 aa12 Từ (2) ta có .(xx−+000 ) .( yy −+ ) .( zz −= ) 0 bb23 bb 31 bb12 aa23 aa 31 aa12 Đặt A ===−−−,,,BC DAxByCz000 thì ph−ơng trình bb23 bb 31 bb12 trên trở thành: AxByCzD+++=0 (3) trong đó các hệ số A,B,C không đồng thời bằng 0 vì hạng của ma trận X bằng 2. Ng−ợc lại dễ dàng chứng minh đ−ợc rằng mọi ph−ơng trình có dạng (3) trong đó các hệ số A,B,C không đồng thời bằng 0 đều là ph−ơng trình của một mặt phẳng. Ph−ơng trình (3) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của mặt phẳng. *) Các tr−ờng hợp riêng i) A ≠≠≠=0;BCD 0; 0; 0 ph−ơng trình (3) trở thành AxByCz++=0. Đây là ph−ơng trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. ii) Một trong 3 hệ số A, B, C triệt tiêu, chẳng hạn C = 0 . +) D ≠ 0ph−ơng trình (3) trở thành AxByD+ +=0. Đây là ph−ơng trình mặt phẳng song song với Oz. +) D = 0 ph−ơng trình (3) trở thành AxBy+ = 0. Đây là ph−ơng trình mặt phẳng chứa trục Oz. Tr−ờng hợp A = 0 hoặc B = 0 xét t−ơng tự. iii) Hai trong 3 hệ số A, B, C triệt tiêu, chẳng hạn BC= 0;=≠ 0( A 0). +) D ≠ 0ph−ơng trình (3) trở thành AxD+ = 0. Đây là ph−ơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz. 91
  53. +) D = 0 ph−ơng trình (3) trở thành x = 0. Đây là ph−ơng trình mặt phẳng Oyz. Tr−ờng hợp A =≠0;B 0 xét t−ơng tự nh− trên. 5.4.5. Ph−ơng trình đ−ờng thẳng trong không gian a) Ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng Trong không gian Oxyz cho đ−ờng thẳng d đi qua điểm M 0000(;;)xyz cho r tr−ớc và nhận véc tơ a= (;;) abc cho tr−ớc làm véc tơ chỉ ph−ơng. Giả sử uuuuur r M (;;)xyz là một điểm tùy ý nằm trên d. Khi đó M 0M cùng ph−ơng với a , do ⎧⎧x −=xtaxxta00 =+ uuuuur r ⎪⎪ đó: M 000Mta=⇔−=⇔=+. ⎨⎨ yy tbyy tb (4) ⎪⎪ ⎩⎩z−= z00 tc z =+ z tc (4) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng trong không gian, trong đó t là tham số. x −−−xyyzz Từ (4) ta có 000== (5) abc (5) đ−ợc gọi là ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng thẳng trong không gian. b) Ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua hai điểm cho tr−ớc Cho hai điểm M1111(;;),(;xyz M 2 xyz 2 22 ; ). Đ−ờng thẳng d đi qua M12,M uuuuuuur nhận M12,M làm véc tơ chỉ ph−ơng nên từ (5) ta có ph−ơng trình của d là: x −−−xyyzz 111== (6) x21−−−xyyzz 21 21 c) Ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng thẳng Mỗi đ−ờng thẳng trong không gian đ−ợc xem nh− là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. Vì vậy ph−ơng trình đ−ờng thẳng trong không gian Oxyz có dạng: ⎧Ax11+++= By Cz 1 D 10 ⎨ (7) ⎩Ax22+++= By Cz 2 D 20 92
  54. ⎛⎞A111BC trong đó ma trận ⎜⎟ có hạng bằng 2. (7) đ−ợc gọi là ph−ơng trình ⎝⎠A222BC tổng quát của đ−ờng thẳng trong không gian. 5.4.5. Ph−ơng trình mặt cầu Mặt cầu là tập hợp những điểm trong không gian cách đều một điểm cố định cho tr−ớc. Ta lập ph−ơng trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R. Giả sử M (;;)xyz là một điểm tùy ý nằm trên mặt cầu. Khi đó: IM=⇔ R()()() x − a222 + y − b +− z c = R ⇔−()()()x aybzcR2222 +− +− = (8) (8) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của mặt cầu. Mặt khác ta có thể xem mặt cầu là một mặt tạo nên bởi một đ−ờng tròn quay một vòng xung quanh đ−ờng kính của nó. Trong không gian Oxyz, xét đ−ờng tròn tâm O, bán kính a nằm trong mặt phẳng Oxy: ⎧x222+=ya ⎨ . ⎩z = 0 Quay đ−ờng tròn này một vòng xung quanh trục Oz ta nhận đ−ợc mặt cầu tâm O, bán kính a. Ta có : ⎪⎧yax222=− ⎨ 2 ⎩⎪z = 0 Cộng vế với vế của hai ph−ơng trình này ta đ−ợc: yzax22+=−⇔++= 22 xyza 2 22 2 (8) Đây là ph−ơng trình của mặt cầu tâm O bán kính a. 93
  55. Bμi tập ch−ơng 5 rrrr r r 1. Cho abab==+=13, 19, 24 . Tính ab− . rr 2. Các véc tơ ab, phải thoả mãn điều kiện gì để : rr rr a) ab+=− ab. rr rr b) abkab+=() + . rr r r c) ab+= a + b. 3. Cho tam giác ABC. Tìm điểm G trên mặt phẳng chứa tam giác ấy sao cho: uuuruuur uuur r OA++= OB OC 0 ur ur r r r r r r 4. Chứng minh rằng pabcbac=−.( . ) ( . ) vuông góc với c . r rr 5. Trong mặt phẳng cho ba véc tơ ab= (2;4),=− ( 3;1), c = (5, − 2) . Tìm véc tơ: rrr a) 235abc+− rrr b) abc−+24 14 r rr 6. Trong không gian cho ba véc tơ abc= (5;7;2),==−− (3;0;4), ( 6;1; 1) . Tìm véc tơ: rrr a) abc−+2 rrr b) 564abc++ rr 7. Tìm toạ độ của véc tơ ab∧ trong mỗi tr−ờng hợp sau: rr a) ab==(2;3;1), (5;6;4) rr b) ab=−(5; 2;1), = (4;0;6) rr ab=−( 2;6; − 4), = (3; − 9;6) rr r 8. Cho ba véc tơ ab==(3;1;2), (2;7;4), c = (1;2;1). Tìm: rrr a) (,,)abc rr r b) ()ab∧∧ c rrr c) abc∧∧() 94
  56. 9. Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua điểm A(3;-5) và nhận véc tơ r v =−(4; 2) làm véc tơ chỉ ph−ơng. 10. Lập ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng cắt các trục Ox, Oy tại các điểm (3;0), (0; -5). 11. Lập ph−ơng trình của đ−ờng thẳng đi qua điểm A(7;4) và vuông góc với đ−ờng thẳng 3x - 2y + 4 = 0. 12. Tìm tâm và bán kính của các đ−ờng tròn sau: a) xy22++−=68 xy 0 b) xy22+ −+10 x 24 y −= 56 0 c) 336410xyxy22+−−−= d) Đ−ờng tròn đi qua 3 điểm (1;4), (-7;4), (2;-5). 13. Lập ph−ơng trình đ−ờng tròn: a) Đi qua (9;9) và tiếp xúc với trục Ox tại (6;0). b) Đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc với hai đ−ờng thẳng: 2x + y – 1 = 0, 2x – y – 2 = 0. 14. Lập ph−ơng trình mặt phẳng P trong các tr−ờng hợp sau: a) P đi qua điểm (3; 5;-7) và nhận các véc tơ (-4; 2; -1); (0; 5; 3) làm cặp véc tơ chỉ ph−ơng. b) P đi qua ba điểm (3; 5;-7), (1; 0; 3), (0; 0; 1). 15. Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng: ⎧x = 2 + 4t ⎪ a) Đi qua điểm (3;5;1) và song song với đ−ờng thẳng ⎨y = -3t . ⎪ ⎩z = -3 ⎧x = 2y +6 = 0 b) Đi qua điểm (0;-5;4) và song song với đ−ờng thẳng ⎨ . ⎩z = 5 95
  57. Tμi liệu tham khảo [1] Lê Khắc Bảo, Hình học giải tích, NXB Giáo dục, 1982 [2] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Số học và lôgic toán, NXB Giáo dục, 1996 [3] Bùi Huy Hiền, Bài tập đại số đại c−ơng, NXB Giáo dục, 1997 [4] Nguyễn Duy Thuận – Nguyễn Mạnh Trinh, Đại số, NXB Giáo dục, 1999 [5] Nguyễn Duy Thuận, Đại số và giải tích, NXB Giáo dục, 1996 [6] Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Hữu Hoan, Số học, NXB Giáo dục, 1999 [7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại c−ơng, NXB Giáo dục, 1994 96