Toán học - Các phương pháp toán kinh tế

pdf

188 trang vanle 3400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Các phương pháp toán kinh tế", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_hoc_cac_phuong_phap_toan_kinh_te.pdf

Nội dung text: Toán học - Các phương pháp toán kinh tế

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O TR ƯNG ðA H C NƠNG NGHI P HÀ N I PGS. TS. NGUY N H I THANH CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TỐN KINH T Giáo trình cho ngành Tin h c và Cơng ngh thơng tin HÀ N I, 2008
MC L C Trang LI NĨI ð U 7 CH ƯƠ NG I. M ð U 11 1. CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TỐN KINH T TRONG KINH T TỐN 11 1.1. Khái ni m v kinh t tốn 11 1.2. Phân lo i các ph ươ ng pháp tốn kinh t 12 1.3. So sánh kinh t tốn v i kinh t l ưng 13 2. CÁC Y U T C A MƠ HÌNH KINH T TỐN 14 2.1. Khái ni m v mơ hình kinh t 14 2.2. Bi n, h ng s và tham s 15 2.3. Các lo i ph ươ ng trình 16 CH ƯƠ NG II. PHÂN TÍCH CÂN B NG T ĨNH 18 1. PHÂN TÍCH CÂN B NG TRONG KINH T 18 1.1. Khái ni m v tr ng thái cân b ng 18 1.2. M t s ví d v phân tích cân b ng t ĩnh 19 2. CÁC MƠ HÌNH TUY N TÍNH TRONG PHÂN TÍCH CÂN B NG T ĨNH 21 2.1. Mơ hình cân b ng th tr ưng t ng quát 21 2.2. Mơ hình thu nh p qu c dân 23 2.3. Mơ hình đu vào – đu ra Leontief 25 BÀI T P CH ƯƠ NG II 30 CH ƯƠ NG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH T ĨNH 34 1. PHÂN TÍCH SO SÁNH T ĨNH TRONG KINH T 34 1.1. Khái ni m phân tích so sánh t ĩnh 34 1.2. ðo hàm và t c đ bi n thiên c a các bi n kinh t 35 1.3. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình th tr ưng riêng 38 1.4. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình thu nh p qu c dân 39 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 2
1.5. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình cân đi liên ngành 40 2. PHÂN TÍCH SO SÁNH T ĨNH CHO MƠ HÌNH KINH T TNG QUÁT 42 2.1. H s co giãn 42 2.2. M t s ví d tìm vi phân tồn ph n và đo hàm hàm n 44 2.3. Mơ hình th tr ưng t ng quát 47 2.4. Mơ hình thu nh p qu c dân t ng quát 54 2.5. M t s đim h n ch c a phân tích so sánh t ĩnh 57 BÀI T P CH ƯƠ NG III 58 CH ƯƠ NG IV. M T S MƠ HÌNH T I ƯU TRONG KINH T 61 1. PHÂN TÍCH CÂN B NG THƠNG QUA MƠ HÌNH TI ƯU KHƠNG RÀNG BU C 61 1.1. Mơ hình t i ưu m t bi n khơng ràng bu c 61 1.2. Hàm t ăng tr ưng và t c đ t ăng tr ưng c a bi n kinh t 65 1.3. Phân tích cân b ng thơng qua mơ hình t i ưu nhi u bi n khơng ràng bu c 68 2. PHÂN TÍCH CÂN B NG THƠNG QUA MƠ HÌNH TI ƯU CĨ RÀNG BU C 79 2.1. Ph ươ ng pháp nhân t Lagrange 79 2.2. ðiu ki n đ t t i tr ng thái cân b ng 83 2.3. C c đ i hố hàm tho d ng c a ng ưi tiêu dùng 85 3. HÀM S N XU T VÀ V N ð PHÂN B ð U VÀO T I ƯU 89 3.1. Các tính ch t c a hàm đng c p 89 3.2. Hàm s n xu t d ng Cobb – Douglas 92 3.3. Xác đnh các t h p đ u vào v i chi phí t i thi u 96 3.4. Hàm s n xu t d ng CES 100 BÀI T P CH ƯƠ NG IV 104 CH ƯƠ NG V. PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 107 1. KHÁI NI M PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 107 1.1. M t s đ nh ngh ĩa 107 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 3
1.2. Mt s ng d ng c a phép tính tích phân và ph ươ ng trình vi phân 108 2. MƠ HÌNH T ĂNG TR ƯNG DOMAR 112 2.1. Phát bi u mơ hình 112 2.2. Tìm đưng cân b ng b n cho mơ hình t ăng tr ưng Domar 113 3. PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG ð I V I GIÁ C TH TRƯNG 114 3.1. B sung v ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p m t 114 3.2. Phát bi u mơ hình cân b ng đ ng 115 3.3. Kh o sát tính n đ nh đ ng c a m c giá cân b ng 117 4. MƠ HÌNH T ĂNG TR ƯNG SOLOW 118 4.1. B sung thêm v ph ươ ng trình vi phân c p m t 118 4.2. Ti p c n đ nh tính gi i ph ươ ng trình vi phân phi tuy n c p m t 122 4.3. Phát bi u mơ hình t ăng tr ưng Solow 126 4.4. Phân tích đnh tính trên bi u đ pha 127 4.5. Phân tích đnh l ưng 129 5. MƠ HÌNH TH TR ƯNG V I K Ỳ V NG GIÁ ðƯC D BÁO TR ƯC 129 5.1. B sung v ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p hai vi h s h ng 129 5.2. Phát bi u mơ hình 133 5.3. Xác đnh đưng bi n đ ng giá và điu ki n n đ nh đ ng 134 6. MƠ HÌNH KINH T V Ĩ MƠ V L M PHÁT VÀ TH T NGHI P 139 139 6.1. Phát bi u mơ hình 140 6.2. Kh o sát đưng bi n đ ng l m phát, giá c và th t nghi p BÀI T P CH ƯƠ NG V 143 CH ƯƠ NG VI. ÁP D NG PH ƯƠ NG TRÌNH SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG 147 1. MT S D NG PH ƯƠ NG TRÌNH SAI PHÂN 147 1.1. Khái ni m v ph ươ ng trình sai phân 147 1.2. Ph ươ ng trình sai phân tuy n tính c p m t 148 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 4
1.3. Ph ươ ng trình sai phân tuy n tính c p hai 150 1.4. Kh o sát tính n đ nh c a nghi m c a các ph ươ ng trình sai phân tuy n tính c p m t và c p hai 152 2. PHÂN TÍCH CÂN B NG ð NG TRONG M T S MƠ HÌNH KINH T 154 2.1. Mơ hình Cobweb cân b ng cung c u 154 2.2. Mơ hình th tr ưng cĩ hàng t n kho 155 2.3. Mơ hình th tr ưng v i giá tr n 156 3. MƠ HÌNH THU NH P QU C DÂN V I NHÂN T T ĂNG T C SAMUELSON 159 3.1. Phát bi u mơ hình 159 3.2. Kh o sát tính n đ nh đ ng c a mơ hình 160 4. MƠ HÌNH KINH T V Ĩ MƠ V L M PHÁT VÀ TH T NGHI P VI TH I GIAN R I R C 163 4.1. Phát bi u mơ hình 163 4.2. Phân tích các đưng bi n đ ng c a giá c và l m phát 164 5. ÁP D NG H PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH T 166 5.1. H ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p m t 166 5.2. H ph ươ ng trình sai phân tuy n tính c p m t 169 5.3. Mơ hình cân đi liên ngành đng 171 5.4. Mơ hình t ươ ng tác l m phát và th t nghi p 176 5.5. Bi u đ pha hai bi n và ng d ng 179 BÀI T P CH ƯƠ NG VI 185 TÀI LI U THAM KH O 189 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 5
LI NĨI ðU Nh ng v n đ kinh t trong các ho t đ ng kinh t th ưng r t đa dng và ph c t p. Tốn h c là m t cơng c h t s c hi u qu giúp cho vi c phát bi u, phân tích và gi i quy t các v n đ nh ư v y m t cách ch t ch và h p lí, mang l i các l i ích thi t th c. Vi c bi t cách mơ t các v n đ kinh t d ưi d ng mơ hình tốn h c thích h p, v n d ng các ph ươ ng pháp tốn h c đ gi i quy t chúng, phân tích và chú gi i c ũng nh ư ki m nghi m các k t qu đ t đưc m t cách logic luơn là m t yêu cu c p thi t đ i v i các chuyên gia làm vi c trong l ĩnh v c phân tích kinh t . Trong các th p k g n đây, nhi u gi i Nobel kinh t đưc trao cho các cơng trình cĩ v n d ng m t cách m nh m các lí thuy t và ph ươ ng pháp tốn h c nh ư t i ưu hĩa, lí thuy t trị ch ơi, h ph ươ ng trình vi phân và sai phân, lí thuy t xác su t và th ng kê. Nhà kinh t hc ng ưi Na Uy Trygve Haavelmo, trong l nh n gi i th ưng Nobel kinh t n ăm 1989, đã t ng phát bi u: “N u khơng cĩ tốn h c kinh t làm trung tâm cho các nghiên c u kinh t h c, mơn khoa h c kinh t cĩ th v n ch ưa v ưt quá gi i h n nh ng bài nĩi chuy n chung chung ch ng cĩ k t qu th c s h u ích nào”. Hi n nay, các mơn h c trang b ki n th c c ơ s v kinh t – qu n lí nĩi chung và các ph ươ ng pháp tốn h c áp d ng trong phân tích kinh t nĩi riêng đưc đưa vào gi ng d y trong nhi u ch ươ ng trình đào t o đ i hc trong và ngồi n ưc. ð i v i sinh viên các ngành Tin h c, Cơng ngh thơng tin và Tốn – Tin ng d ng, kh i ki n th c v kinh t – qu n lí là th c s c n thi t cho các c ươ ng v làm vi c sau này, đc bi t là cươ ng v CIO (Chief Information Officer – Giám đc Thơng tin). Trong ch ươ ng trình đào t o ngành Tin h c c a Khoa Cơng ngh thơng tin, Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i, kh i ki n th c trên bao g m T i ưu hĩa, Phân tích s li u, Qu n tr h c, V n trù h c và Các ph ươ ng pháp tốn kinh t . Giáo trình “Các ph ương pháp tốn kinh t ” này v i th i lưng t 45 t i 60 ti t đưc biên so n l n đ u v i m c đích cung c p cho sinh viên n ăm th ba ngành Tin h c m t s ki n th c c ơ b n v các Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 6
ph ươ ng pháp tốn kinh t (mathematical methods for economics) đưc ng d ng r ng rãi trong phân tích các mơ hình kinh t (economic models). Qua giáo trình này, sinh viên c n n m đưc m t s mơ hình kinh t cơ b n, bi t cách v n d ng các ph ươ ng pháp tốn kinh t thích h p đ phân tích các mơ hình đĩ, bi t cách rút ra các k t lu n ph n nh b n ch t c a v n đ kinh t đưc xem xét. T đĩ, sinh viên s ti p thu đưc các v n đ kinh t c ơ b n làm c ơ s cho vi c ti p t c t hồn thi n các ki n th c v kinh t vi mơ c ũng nh ư v ĩ mơ. Giáo trình c ũng giúp cho sinh viên ngành Tin h c, Cơng ngh Thơng tin, Tốn – Tin ng d ng cĩ m t cách ti p c n h th ng đ sau này cĩ th xây d ng các h th ng x lí thơng tin và các ph n m m tính tốn trong l ĩnh v c Tin h c kinh t . Nh ư vy, ưu tiên c a giáo trình là t p trung trình bày m t cách logic m t s ph ươ ng pháp tốn kinh t c ơ b n và các ng d ng c a chúng trong vi c phân tích các lo i mơ hình kinh t (các ph ươ ng pháp khác đưc trình bày trong các h c ph n cịn l i c a kh i ki n th c v kinh t – qu n lí thu c ch ươ ng trình đào t o nh ư đã đ c p trên đây). ðây là m t v n đ m i so vi các giáo trình v Tốn kinh t đã đưc biên so n và gi ng d y t i mt s tr ưng đ i h c trong n ưc. Ch ươ ng I c a giáo trình gi i thi u t ng quan và ng n g n v l ĩnh v c Kinh t tốn (Mathematical Economics) và các ph ươ ng pháp tốn kinh t cơ b n th ưng đưc s d ng trong l ĩnh v c này, c ũng nh ư gi i thi u v các y u t c ơ b n c a mơ hình kinh t tốn. Ch ươ ng II đ c p t i khái ni m phân tích cân b ng kinh t bao g m cân b ng t ĩnh c ũng nh ư cân bng cĩ m c đích và ph ươ ng pháp đi s ma tr n đ phân tích m t s mơ hình cân b ng kinh t nh ư mơ hình th tr ưng, mơ hình thu nh p qu c dân và mơ hình đu vào – đu ra Leontief (cịn g i là mơ hình cân đi liên ngành). Các ph ươ ng pháp tốn kinh t nh ư phép tính đo hàm, c ũng nh ư mt trong các cơng c m nh và đp c a tốn h c là ðnh lí hàm n đưc vn d ng trong Ch ươ ng III nh m th c hi n vi c phân tích so sánh t ĩnh cho các mơ hình th tr ưng, mơ hình cân đi liên ngành và mơ hình thu nh p qu c dân t ng quát (bao g m c th tr ưng hàng hĩa và th tr ưng ti n t ). Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 7
Ch ươ ng IV xem xét vi c v n d ng m t s ph ươ ng pháp tốn t i ưu c ơ b n khơng ràng bu c và ràng bu c d ng đ ng th c đ phân tích các mơ hình ti ưu trong kinh t , bao g m các mơ hình th tr ưng đ c quy n và phân bi t giá c , mơ hình c c đi hàm th a d ng c a ng ưi tiêu dùng, các mơ hình phân b đ u vào t i ưu v i các d ng hàm s n xu t hi u su t khơng đi, Cobb – Douglas, CES (H s co giãn thay th khơng đ i). Các ph ươ ng pháp gi i ph ươ ng trình và h ph ươ ng trình vi phân c ũng nh ư sai phân đưc nghiên c u trong Ch ươ ng V và Ch ươ ng VI đ th c hi n các phân tích cân b ng đ ng trong các mơ hình kinh t đ ng nh ư mơ hình t ăng tr ưng Domar, mơ hình t ăng tr ưng Solow, mơ hình n đ nh đ ng c a giá c th tr ưng khi khơng cĩ ho c cĩ k ỳ v ng giá đưc d báo tr ưc, mơ hình cân b ng đ ng l m phát – giá c – th t nghi p, mơ hình thu nh p qu c dân Samuelson, mơ hình cân đi liên ngành đng. M t s n i dung ca Ch ươ ng V và Ch ươ ng VI cĩ th đưc l ưc b t tùy theo th i l ưng mơn hc và trình đ ti p thu c a ng ưi h c. Khi biên so n, chúng tơi luơn cĩ m t nguy n v ng là làm sao vi c trình bày các ph ươ ng pháp tốn kinh t đưc đ c p t i trong giáo trình ph i cơ đ ng và d hi u, vi c ng d ng các ph ươ ng pháp này trong phân tích các d ng mơ hình kinh t ph i ch t ch và logic. Chính vì v y, các ph ươ ng pháp tốn kinh t luơn đưc trình bày m t cách c th và t ươ ng đi hồn ch nh thơng qua các ví d tính tốn và các mơ hình kinh t t d ti khĩ. Ph n bài t p giúp sinh viên c ng c các ki n th c đã h c và th c hành áp d ng các ph ươ ng tốn h c trong phân tích mơ hình kinh t . Mt s tài li u ng ưi h c cĩ th tham kh o thêm là: Alpha C. Chiang , Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright , Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005; Michael W. Klein , Mathematical methods for economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hồng ðình Tu n, Lí thuy t mơ hình tốn kinh t (dành cho sinh viên ngành tốn kinh t và tốn tài chính), Nxb. Khoa h c và K ĩ thu t, 2003; Nguy n Quang Dong – Ngơ V ăn Th – Hồng ðình Tu n, Giáo trình mơ hình tốn kinh Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 8
t (dành cho sinh viên ngành kinh t ), Nxb. Giáo d c, 2002; Tơ C m Tú , Mt s ph ươ ng pháp t i ưu hĩa trong kinh t , Nxb. Khoa h c và K ĩ thu t, 1997. Trong quá trình biên so n giáo trình này, tác gi ch y u d a vào các tài li u tham kh o b ng ti ng Anh. Nh ng sinh viên khá cĩ th t h c sâu thêm b ng cách thu th p tài li u liên quan qua nhi u ngu n, đ c bi t trên Internet và vi t các ti u lu n. “Các ph ươ ng pháp tốn kinh t ” là m t mơn h c v m t lí thuy t đang đưc ti p t c phát tri n, v m t th c hành đang ngày càng cĩ nhi u ng d ng r ng rãi trong h u h t các l ĩnh v c phân tích kinh t , ch c ch n s gây cho ng ưi h c nhi u h ng thú tìm tịi, sáng t o. Khi đ n th ăm Vi t Nam, nhà tốn h c và kinh t h c Robert Aumann, ng ưi nh n gi i th ưng Nobel kinh t n ăm 2005 đã nĩi: “Cĩ m t cơng th c chung trong các ho t đ ng kinh t là t t c m i ng ưi s giàu cĩ h ơn n u m i ng ưi đ u đưc làm vi c theo kh n ăng và s yêu thích c a mình”. Trong quá trình biên so n, tuy r t c g ng, nh ưng cĩ l tác gi khơng tránh kh i sai sĩt. Tác gi xin chân thành c m ơn các ý ki n đĩng gĩp ch nh s a b n th o bài gi ng mơn h c c a các đ ng nghi p và sinh viên ngành Tin h c các khĩa K47, K48, K49 và K50 c a Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i, và luơn mong ti p t c nh n đưc nhi u gĩp ý c a các gi ng viên và sinh viên, đ cho giáo trình đưc hồn ch nh h ơn, chính xác h ơn và sinh đng h ơn. Hà N i, ngày 19 tháng 8 n ăm 2008 Tác gi Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 9
Ch ươ ng I M ð U 1. Các ph ươ ng pháp tốn kinh t trong kinh t tốn 1.1. Khái ni m v kinh t tốn Khơng gi ng nh ư tài chính cơng hay th ươ ng m i qu c t , kinh t tốn (mathematical economics ) khơng ph i là l ĩnh v c riêng bi t c a kinh t . Cĩ th coi kinh t tốn là m t cách ti p c n nh m th c hi n các phân tích kinh t . Trong kinh t tốn, các nhà kinh t s d ng các kí hi u tốn h c đ phát bi u bài tốn và d a vào các đnh lí tốn h c đ suy lu n, áp d ng và ti p t c phát tri n các ph ươ ng pháp và k ĩ thu t tốn h c đ mơ t và phân tích các v n đ kinh t . Nhà kinh t h c ng ưi M ĩ Paul Samuelson đưc coi là ng ưi đ t n n mĩng cho l ĩnh v c nghiên c u và ng d ng kinh t tốn. Mt s sách kinh t h c đi c ươ ng hi n nay v n dùng các ph ươ ng pháp hình h c trên m t ph ng (hay khơng gian hai chi u) đ minh h a và rút ra các k t lu n cĩ tính ch t lí thuy t. Trong khi đĩ, đ nghiên c u các bài tốn kinh t v i nhi u bi n kinh t c n ph i cĩ s hi u bi t sâu sc v tốn h c. Kinh t tốn cho phép mơ t các v n đ kinh t c n kh o sát v i các cơng c tốn h c đa d ng nh ư đi s ma tr n và ph ươ ng pháp gi i h ph ươ ng trình tuy n tính, phép tính đ o hàm và tích phân, ph ươ ng trình vi phân và sai phân, các ph ươ ng pháp t i ưu hố, lí thuy t trị ch ơi Trong các phân tích kinh t , vi mơ c ũng nh ư v ĩ mơ, các ph ươ ng pháp tốn h c này cịn đưc g i là các ph ươ ng pháp tốn kinh t ( mathematical methods for economics ). Hi n nay các ph ươ ng pháp tốn kinh t ngày càng đưc s d ng r ng rãi v i các k t qu n i bt đưc cơng b trong các tài li u chuyên kh o, các t p chí chuyên ngành kinh t và các t p chí liên ngành khác. Cn nh n m nh r ng, dù cĩ s d ng các ph ươ ng pháp tốn kinh t hay khơng, quy trình c ơ b n c a vi c phân tích kinh t v n là c ăn c vào các gi thi t, các đ nh đ hay các nguyên lí đ đưa ra các k t lu n hay các Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 10
đnh lí thơng qua m t quá trình suy lu n hay l p lu n. Nh ưng khác v i các phân tích kinh t đ nh tính, trong kinh t tốn các gi thi t c ũng nh ư các k t lu n đưc phát bi u b ng các kí hi u tốn h c c ũng nh ư các ph ươ ng trình tốn h c. H ơn n a, các suy lu n hay l p lu n đưc đưa ra da trên các đnh lí tốn h c. ðiu này giúp cho quá trình suy lu n tr nên thu n l i và ch t ch h ơn, c ũng nh ư giúp cho vi c phát bi u các k t lu n tr nên chính xác h ơn. Tĩm l i, các m t m nh c a vi c s d ng kinh t tốn trong các phân tích kinh t là: – Cho phép s d ng ngơn ng chính xác h ơn. – Cho phép s d ng các đ nh lí tốn h c r t đa d ng nh m gia t ăng tc đ suy lu n. – B t bu c ph i phát bi u các gi thi t m t cách rõ ràng, khơng hàm ch a n ý, đa ngh ĩa, do đĩ tránh đưc các gi thi t khơng mong mu n cĩ th phát sinh. – Giúp x lí các bài tốn kinh t nhi u bi n m t cách hi u qu trong vi c phân tích kinh t vi mơ c ũng nh ư v ĩ mơ. Cĩ th cĩ ý ki n (ch ng h n ý ki n tr ưc đây c a tr ưng phái kinh t hc Vienna, Áo) cho r ng: Kinh t tốn s d ng các suy lu n và các phân tích cĩ tính ch quan và hình th c d a vào các đnh lí và ph ươ ng pháp tốn h c đ đưa ra các k t lu n nên ít cĩ tính th c ti n. Tuy nhiên, ý ki n phê phán ki u này khơng nên áp d ng ngay c đ i v i các lí thuy t kinh t nĩi chung, ch khơng ch đ i v i lí thuy t kinh t tốn. Th t v y, là s khái quát hĩa c a th gi i th c, m i lí thuy t nĩi chung v n luơn ch xét ti m t s y u t và m i liên quan b n ch t nh t. Ch ng h n, khơng th phê phán lí thuy t v l i nhu n c a cơng ty trong điu ki n c nh tranh hồn h o hay khơng hồn h o là khơng th c ti n, dù lí thuy t này cĩ đưc đưa ra d a trên các cơng c tốn h c hay khơng. 1.2. Phân lo i các ph ươ ng pháp tốn kinh t Vi c phân lo i các ph ươ ng pháp tốn kinh t là khơng đơ n gi n và th m chí cịn ch ưa đưc th ng nh t. M c đích c a giáo trình này, v i dung l ưng th i gian t 45 t i 60 ti t, là nh m gi i thi u cho ng ưi h c Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 11
làm quen v i các ph ươ ng pháp tốn kinh t c ơ b n th ưng đưc áp d ng trong kinh t tốn trong khuơn kh các cơng c tốn h c đã nêu, bao g m đi s ma tr n, phép tính đ o hàm và tích phân, m t s ph ươ ng pháp t i ưu, ph ươ ng trình vi phân và sai phân. Các cơng c sâu s c và ph c t p hơn c a tốn kinh t nh ư quy ho ch phi tuy n, quy ho ch đa m c tiêu, quy ho ch đ ng, ph ươ ng trình tích phân, mơ ph ng ng u nhiên, phân tích Markov, lí thuy t trị ch ơi, s khơng đưc đ c p trong giáo trình này. Cn chú ý r ng, tuy các ph ươ ng pháp tốn xác su t, tốn th ng kê khi áp d ng trong các phân tích kinh t c ũng đưc coi là các ph ươ ng pháp tốn kinh t , nh ưng trong giáo trình này chúng ta c ũng khơng đ c p t i. Các ph ươ ng pháp này th ưng đưc trình bày chi ti t trong các mơn h c nh ư Kinh t l ưng ( Econometrics ), V n trù h c ( Operations Research ), hay Các ph ươ ng pháp đnh l ưng trong qu n lí – kinh doanh ( Quantitative Methods for Management and Business ). Ngồi ra, do th i l ưng mơn h c, giáo trình khơng gi i thiu các ph ươ ng pháp gi i tích ng u nhiên là c ơ s cho mơn h c Tài chính tốn (Mathematical Finance) cĩ r t nhi u ng dng trong phân tích tài chính. Khi nghiên c u các ph ươ ng pháp tốn kinh t đưc đ c p t i trong giáo trình, c n t p trung vào vi c nên s d ng chúng nh ư th nào trong phân tích các v n đ kinh t , mà khơng nên quá chú tr ng vào c ơ s tốn h c c a các ph ươ ng pháp này. 1.3. So sánh kinh t tốn v i kinh t l ưng Thu t ng “kinh t tốn” và “kinh t l ưng” đơi khi đưc s d ng mt cách nh m l n. Th t ra, kinh t tốn đi sâu vào phân tích các mơ hình kinh t , các lí thuy t kinh t b ng cách s d ng các cơng c tốn hc. Trong khi đĩ, kinh t l ưng l i liên quan đn vi c đ nh giá, đo l ưng các s li u kinh t hay các bi n kinh t , t c là liên quan đn các nghiên cu d a trên các kh o sát th c nghi m cĩ s d ng các ph ươ ng pháp th ng kê v ưc l ưng, ki m đ nh, d báo, phân tích h i quy và phân tích nhân t M t trong nh ng ng ưi đ t n n mĩng cho l ĩnh v c nghiên c u và áp d ng kinh t l ưng là nhà kinh t h c ng ưi Na Uy Ragnar Frisch. Nh ư v y, kinh t tốn cĩ tính ch t suy lu n, lí thuy t cịn kinh t lưng cĩ tính ch t quy n p, th c nghi m. T t nhiên, các phân tích kinh t Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 12
dù là mang tính lí thuy t hay mang tính th c nghi m đ u quan tr ng. Chúng luơn là s b sung c n thi t cho nhau và làm t ăng c ưng hi u qu ln nhau. Tr ưc khi đưc đưa vào áp d ng, các lí thuy t c a kinh t tốn cn đưc ki m đ nh v tính phù h p c ăn c các s li u th c nghi m thu đưc. M t khác, đ xác đ nh đưc các h ưng nghiên c u liên quan m t cách h p lí, các kh o sát th ng kê trong kinh t l ưng s đưc ti n hành da trên m t lí thuy t kinh t ch đ o. M i liên quan này đưc th hi n khá rõ, ch ng h n, trong các nghiên c u v hàm tiêu dùng t ng h p và nhi u nghiên c u kinh t khác. 2. Các y u t c a mơ hình kinh t tốn 2.1. Khái ni m mơ hình kinh t Nh ư đã trình bày trên đây, m i lí thuy t kinh t là s khái quát hĩa cn thi t c a th gi i th c. ð nghiên c u v m t v n đ kinh t th c t , khơng th xét đ ng th i t t các các y u t c ũng nh ư các m i liên quan n i ti ( điu này quá ph c t p, đơi khi v ưt quá s hi u bi t c a chúng ta). Hơn n a, các y u t hay các m i liên quan c ũng khơng ph i là cĩ t m quan tr ng nh ư nhau cho vi c tìm hi u bài tốn kinh t đ t ra. B i v y, bng cách này hay cách khác, chúng ta c n l a ch n ra đưc các y u t và các m i liên quan c ơ b n nh t đ xem xét. Vi c l a ch n nh ư v y trong nhi u tr ưng h p là khá nh y c m. Mt mơ hình kinh t ( economic model ) là m t khung lí thuy t, là m t s di n đ t (hay mơ t , th hi n) cĩ tính khái quát m t v n đ kinh t th c t . Khi xây d ng mơ hình c n chú tr ng tính phù h p, tính kh thi, tính th c ti n và tính m c đích . ðiu này cho phép mơ hình đưc đ xu t phù h p v i các đ c đim c ơ b n c a v n đ nghiên c u và các thơng tin thu th p đưc, đ ng th i cĩ th đưc phân tích b i các ph ươ ng pháp hay cơng c thích h p nh m tìm hi u và nh n th c th c ti n m t cách sâu sc. Trên c ơ s phân tích mơ hình ph i đưa ra đưc các tác đ ng điu khi n h p lí nh m đ t đưc các mc tiêu đ ra. Mt mơ hình kinh t cĩ th ch a ho c khơng ch a các y u t tốn hc, cĩ th là m t mơ hình tốn h c hay khơng ph i là m t mơ hình tốn Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 13
hc. N u m t mơ hình kinh t là mơ hình tốn h c thì nĩ cịn đưc g i là mơ hình kinh t tốn (m t s tác gi g i là mơ hình tốn kinh t ). Mơ hình kinh t tốn bao g m các ph ươ ng trình (các h th c tốn h c nĩi chung) mơ t c u trúc c a mơ hình. Các ph ươ ng trình ph n ánh m i liên quan gi a các bi n kinh t d ưi d ng tốn h c m t cách phù h p v i các gi thi t c a mơ hình. Nh ư v y, các bi n, h ng s , tham s và các lo i ph ươ ng trình là các y u t c ơ b n c a m t mơ hình kinh t tốn. Nh áp dng các phép tốn, các đ nh lí tốn h c, chúng ta s đưa ra đưc các k t lu n đưc suy ra m t cách logic t các gi thi t đã nêu. 2.2. Bi n, h ng s và tham s Bi n là m t đ i l ưng mà đ l n và d u c a nĩ cĩ th bi n thiên, t c là nĩ cĩ th nh n các giá tr khác nhau. Ch ng h n, trong các phân tích kinh t th ưng g p các lo i bi n sau đây: – P: giá c ( price ), – Π: l i nhu n ( profit ), – R: doanh thu ( revenue ), – C: chi phí ( cost ), – Y: thu nh p ( income ), – Trong các mơ hình kinh t tốn, các bi n đưc phân lo i nh ư sau: – Bi n n i sinh. N u m t mơ hình kinh t đưc xây d ng m t cách chính xác thì thơng qua vi c gi i quyt mơ hình cĩ th xác đ nh đưc các giá tr c a m t s bi n, ch ng h n nh ư xác đnh đưc m c giá c làm cân bng th tr ưng hay m c s n ph m đ u ra làm t i đa hĩa l i nhu n. Các bi n nh ư v y đưc g i là bi n n i sinh, giá tr c a chúng đưc xác đ nh t các m i liên quan n i t i c a mơ hình. – Bi n ngo i sinh. Bi n ngo i sinh là các bi n v i các giá tr đưc xác đnh b i các y u t , các l c l ưng xu t hi n ngồi mơ hình. Vì v y, đ l n c a các bi n ngo i sinh đưc coi nh ư các s li u cho tr ưc. Mt bi n kinh t cĩ th là n i sinh hay ngo i sinh tùy theo mơ hình hay lí thuy t kinh t đang đưc xem xét. Ch ng h n, khi nghiên c u mơ Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 14
hình cân b ng th tr ưng thì giá c P c a m t lo i hàng hĩa là bi n n i sinh. Nh ưng n u nghiên c u lí thuy t v chi phí c a ng ưi tiêu dùng thì P li là bi n ngo i sinh, vì P đưc coi là s li u đ u vào cho mơ hình này. Ng ưc l i so v i bi n, h ng s là m t đ i l ưng cĩ giá tr khơng thay đi. H ng s cĩ th đưc kí hi u b i các s ho c, m t cách t ng quát hơn, b i các ch . Trong các tr ưng h p khi h ng s đưc kí hi u b i các ch , chúng ta cĩ các h ng s d ng tham s , cịn đưc g i m t cách ng n gn h ơn là các tham s . Giá tr c a các tham s đưc coi là h ng s ch sau khi chúng đưc xác đ nh. Các tham s th ưng đưc kí hi u b i các ch cái th ưng a, b, c hay α, β, γ Cịn các bi n n i sinh đưc kí hi u b i các ch in nh ư P, Q, R, C hay Π, Λ Bi n ngo i sinh đưc phân bi t v i bi n n i sinh b i ch s dưi “0” , ch ng h n nh ư P 0, C 0 2.3. Các lo i ph ươ ng trình Mi liên quan gia các bi n, h ng hay tham s đưc th hi n thơng qua các ph ươ ng trình. Chúng ta xét các lo i ph ươ ng trình th ưng g p trong mơ hình kinh t nh ư sau: – Ph ươ ng trình đnh ngh ĩa ( definitional equation ). – Ph ươ ng trình hành vi ( behavioral equation ). – Ph ươ ng trình cân b ng ( equilibrium equation ). Ph ươ ng trình đnh ngh ĩa là m t đ ng th c mà hai bi u th c thay th hai v c a nĩ cĩ cùng m t ý ngh ĩa. Nh ư v y, d u “=” trong ph ươ ng trình đnh ngh ĩa ph i đưc hi u nh ư d u ≡ ( đng nh t th c). Ví d 1. L i nhu n đưc đ nh ngh ĩa thơng qua ph ươ ng trình đnh ngh ĩa sau: Π = R – C, t c là l i nhu n thu đưc chính là ph n dơi ra c a doanh thu sau khi đã tr đi chi phí. Ph ươ ng trình hành vi ph n ánh cách th c m t bi n thay đ i ph thu c vào s thay đ i giá tr c a các bi n khác. Nĩ cĩ th bao hàm các hành vi cĩ ý th c c a con ng ưi (ch ng h n, khi xét m i liên quan c a tiêu dùng t ng h p ph thu c vào thu nh p qu c dân) ho c các hành vi Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 15
vơ th c (ch ng h n, khi xem xét m i liên quan gi a t ng chi phí s n xu t và m c s n ph m đu ra). Tuy nhiên, đ thi t l p m t ph ươ ng trình hành vi c n tuân theo các gi thi t nh t đ nh. Nh ư v y, d u “=” trong ph ươ ng trình hành vi ph i đưc hi u nh ư m t m i liên quan ph thu c. Ví d 2. Xét các ví d sau đây v ph ươ ng trình hành vi v i C là chi phí và Q là m c s n ph m đ u ra: – Chi phí C = 75 + 10Q. – Chi phí C = 110 + Q 2. Các điu ki n s n xu t đưc mơ t trong hai ph ươ ng trình trên là khác nhau. Trong ph ươ ng trình th nh t chi phí c đ nh là 75, cịn trong ph ươ ng trình th hai chi phí c đ nh là 110. S bi n thiên c a chi phí C cũng là khác nhau trong hai ph ươ ng trình trên. Trong ph ươ ng trình th nh t khi Q t ăng lên m t đơn v thì C t ăng 10 đơ n v , cịn trong ph ươ ng trình th hai khi Q t ăng m t đơn v thì C t ăng lên m t l ưng là: (Q + 1) 2 – Q2 = 2Q + 1. Ch ng h n n u Q t ăng t 12 lên 13 thì C t ăng lên 25 đơ n v . Ph ươ ng trình cân b ng mơ t điu ki n cân b ng, nĩi đúng h ơn là các điu ki n c n thi t đ đ t t i tình tr ng cân b ng. Ví d 3. Xét các ví d sau đây v ph ươ ng trình cân b ng: – Q d = Qs: L ưng c u ph i b ng l ưng cung. – S = I: T ng ti t ki m ph i b ng t ng đ u t ư. Ph ươ ng trình th nh t mơ t điu ki n cân b ng trong mơ hình th tr ưng, cịn ph ươ ng trình th hai mơ t điu ki n cân b ng trong mơ hình thu nh p qu c dân. V b n ch t, ph ươ ng trình cân b ng khác v i ph ươ ng trình đnh ngh ĩa và ph ươ ng trình hành vi. Ph ươ ng trình cân bng cĩ m t ý ngh ĩa quan tr ng trong các phân tích kinh t đ tìm ra các tr ng thái cân b ng. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 16
Ch ươ ng II PHÂN TÍCH CÂN B NG T ĨNH 1. Phân tích cân b ng trong kinh t 1.1. Khái ni m v tr ng thái cân b ng Cân b ng hay tr ng thái cân b ng cĩ th đưc hi u là m t t p h p cĩ cu trúc c a các bi n đưc l a ch n, cĩ liên quan n i t i và đưc điu ch nh thích h p v i nhau, sao cho trong mơ hình mà chúng t o nên, khuynh h ưng thay đ i khơng ti m n m t cách đáng k . Cm t “các bi n đưc l a ch n” đưc nêu trên cĩ ngh ĩa là, theo s la ch n c a nhà phân tích kinh t , đã cĩ m t s bi n khơng đưc đưa vào mơ hình. Nh ư v y, tr ng thái cân b ng ch liên quan t i các bi n đưc la ch n và đưc đưa vào xem xét mà thơi. N u mơ hình đưc m rng đ bao g m c các bi n khác thì cĩ th tr ng thái cân b ng trên s khơng cịn duy trì đưc n a. C m t “cĩ liên quan n i t i” cĩ ngh ĩa là đ đt t i tình tr ng cân b ng, các bi n đưc l a ch n đ u ph i trong tr ng thái d ng. H ơn n a tr ng thái d ng c a các bi n c ũng ph i t ươ ng thích vi nhau. N u trái l i, vi c m t s bi n thay đ i cĩ th kéo theo vi c các bi n khác thay đ i theo ph n ng dây chuy n, do đĩ tr ng thái cân b ng cĩ th khơng cịn t n t i n a. C m t “ti m n” “trong mơ hình” nĩi lên rng trong tr ng thái cân b ng, các tr ng thái d ng c a các bi n đưc thi t l p d a trên vi c cân b ng các bi n n i sinh trong khi các bi n ngo i sinh đưc coi là khơng đi. Cĩ th nĩi, tr ng thái cân b ng là tr ng thái mà v i giá tr cho tr ưc c a các bi n ngo i sinh, c a các tham s , giá tr ca các bi n n i sinh đưc xác đ nh và khơng thay đi theo th i gian. Nh ư v y, tr ng thái cân b ng là tình tr ng đưc đ c tr ưng b i vi c khơng phát hi n th y cĩ khuynh h ưng thay đ i. Do đĩ, phân tích cân b ng đ tìm ra các tr ng thái nh ư v y cịn đưc g i là phân tích t ĩnh hay phân tích cân b ng t ĩnh ( static – equilibrium ). Tuy nhiên, vi c khơng phát hi n th y cĩ khuynh h ưng thay đ i hay đ ng l c thay đ i khơng đng ngh ĩa vi vi c nh t thi t c n coi tình tr ng cân b ng là lí t ưng. ð i v i nhi u Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 17
cơng ty, tình tr ng cân b ng cung c u hi n t i v s n ph m cĩ th c n đưc thay đi ch khơng th coi là lí t ưng. Tình tr ng cân b ng, b i v y, cĩ th đưc hi u nh ư tình hu ng, mà các bi n n i sinh cĩ khuynh h ưng duy trì ch ng l i các thay đ i t phía ngồi, t phía các bi n ngo i sinh. Mt ki u cân b ng khác là cân b ng cĩ m c đích ( goal – equilibrium ), hay cân b ng t i ưu, đưc phân tích thơng qua các bài tốn ti ưu. Tr ng thái cân b ng nh ư v y cĩ th đưc coi là lí t ưng, hay ít nh t đưc coi là tr ng thái “mong mu n” trong điu ki n hi n cĩ. Trong nh ng tr ng thái cân b ng nh ư v y, các bi n đưc l a ch n, cĩ liên quan ni t i v i nhau và đưc điu ch nh thích h p v i nhau, sao cho trong mơ hình mà chúng t o nên, tr ng thái lí t ưng hay mong mu n x y ra. Trong ch ươ ng này, chúng ta s ch gi i h n trong vi c nghiên c u cân b ng t ĩnh khơng cĩ tính m c đích. 1.2. M t s ví d v phân tích cân b ng t ĩnh Trong các mơ hình cân b ng t ĩnh, bài tốn đt ra là c n xác đ nh các giá tr c a các bi n n i sinh sao cho ph ươ ng trình cân b ng c a mơ hình đưc th a mãn. M t khi các giá tr đĩ đưc xác đ nh, tr ng thái cân b ng cũng s đưc thi t l p. Chúng ta hãy minh h a v n đ này qua mơ hình (tuy n tính c ũng nh ư phi tuy n) phân tích cân b ng th tr ưng riêng, t c là cân b ng th tr ưng đ i v i m t m t hàng. Ví d 1. Mơ hình tuy n tính cân b ng th tr ưng riêng. Trong mơ hình này chúng ta ch xét m t m t hàng v i các bi n: Q d là lưng c u, Q s là l ưng cung và P là giá c c a m t hàng. Lúc đĩ c n xác đnh nghi m ( P , Q ) sao cho Qd = Qs = Q và P th a mãn h ph ươ ng trình tuy n tính sau: Qd = Q s (2.1) Qd = a – bP (v i điu ki n a > 0, b > 0) (2.2) Qs = – c + dP (v i điu ki n c > 0, d > 0 ). (2.3) Trong h trên, ph ươ ng trình (2.1) là ph ươ ng trình cân b ng xác đ nh điu ki n cân b ng gi a c u và cung. Ph ươ ng trình (2.2) và (2.3) là các Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 18
ph ươ ng trình hành vi mơ t s bi n thiên c a c u và cung ph thu c vào P. ð đơn gi n, các m i liên quan này đưc coi là tuy n tính. Các tham s a, b, c, d xác đ nh các m i liên quan này. Trong ph ươ ng trình (2.3) ta cĩ Q s = – c + dP v i c > 0, d > 0. ðiu ki n này cĩ ngh ĩa là cung Q s ch xu t hi n (Q s > 0) m t khi giá c P c a m t hàng v ưt qua m t ng ưng dươ ng t i thi u P 1 = c/d. Nghi m ( P , Q ) đưc g i là tr ng thái cân b ng, Qd = Qs = Q là mc cân b ng cung c u và P là m c cân b ng giá. Trên hình II.1, nghi m ( P , Q ) chính là giao đim c a các đưng c u và đưng cung. Qd Qs a Qd = a – bP Qs = –c + dP Q (P,Q ) O P1 P P –c Hình II.1 D th y r ng t h trên đây ta cĩ: Q = a – b P Q = – c + d P . Do đĩ m c cân b ng giá và m c cân b ng cung c u đưc xác đnh nh ư sau: a+ c P = b+ d ad− bc Q = . b+ d Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 19
ð mơ hình cĩ ý ngh ĩa th c t , các tham s a, b, c và d đu ph i l y giá tr d ươ ng và th a mãn điu ki n ad – bc > 0. Ví d 2. Mơ hình phi tuy n cân b ng th tr ưng riêng. Các m i ph thu c c a c u hay cung vào giá c khơng nh t thi t ph i là tuy n tính. Nĩi chung, các m i liên quan này là phi tuy n. Xét ví d sau: Qd = Q s 2 Qd = 4 – P Qs = 4P – 1. T đĩ cĩ ph ươ ng trình P 2 + 4P – 5 = 0. Trong hai nghi m c a ph ươ ng trình này: P 1 = 1 và P 2 = –5, chúng ta ch l y nghi m P 1 = 1. Thay vào, s tìm đưc Qd = Qs = Q = 3. Hình II.2 minh h a các đưng cu và đưng cung c ũng nh ư tr ng thái cân b ng. Qd Q s 4 Qs = 4P – 1 3 (P,Q ) 2 Qd = 4 – P O 1 2 P –1 Hình II.2 2. Các mơ hình tuy n tính trong phân tích cân b ng t ĩnh 2.1. Mơ hình cân b ng th tr ưng t ng quát Xét ví d đơn gi n v mơ hình cân b ng th tr ưng tuy n tính v i hai mt hàng: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 20
Qd1 = Q s1 Qd1 = a 0 + a 1 P1 + a 2P2 Qs1 = b 0 + b 1P1 + b 2P2 Qd2 = Q s2 Qd2 = α0 + α1P1 + α2P2 Qs2 = β0 + β1P1 + β2P2. Cn xác đ nh tr ng thái cân b ng c a th tr ưng v i hai m t hàng (P12 ,P ,Q 1 ,Q 2 ) th a mãn h ph ươ ng trình trên v i Q1d = Q1s = Q1 và Q2d = Q2s = Q2 . Kí hi u: c i = a i – b i , γi = αi – βi v i i = 0, 1, 2, ta cĩ: c1P1 + c 2P2 = – c 0 γ1P1 + γ2P2 = – γ0. Do đĩ: c20γ − c 02 γ P 1 = c12γ − c 21 γ c01γ − c 10 γ P 2 = . c12γ − c 21 γ T đĩ s tìm đưc các l ưng c u cung cân b ng đ i v i hai m t hàng: Q 1 = Q d1 = Q s1 , Q 2 = Q d2 = Q s2 . Xét ví d tính tốn v i các giá tr c th c a các tham s sau đây: Qd1 = Q s1 Qd1 = 10 – 2P 1 + P 2 Qs1 = – 2 + 3P 1 Qd2 = Q s2 Qd2 = 15 + P 1 – P 2 Qs2 = –1 + 2 P 2. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 21
ðư a h điu ki n trên v h ph ươ ng trình tuy n tính v i 4 n, d dàng xác đnh đưc các giá tr cân b ng: 26 46 P 1 = , P 2 = 7 7 64 85 Q 1 = , Q 2 = . 7 7 Chú ý r ng, trong tr ưng h p mơ hình cân b ng th tr ưng hai m t hàng là h ph ươ ng trình phi tuy n, c n áp d ng dùng các ph ươ ng pháp tốn h c và / ho c ph n m m tính tốn thích h p đ tìm các giá tr cân bng c a giá c , c u và cung. Trong tr ưng h p t ng quát, mơ hình cân b ng th tr ưng v i n m t hàng cĩ phát bi u tốn h c nh ư sau: Qdi (P 1, P 2, P 3 , , P n) = Q si (P 1, P 2, P 3 , , P n) i = 1, 2, , n. Trong đĩ, Q di và Q si cĩ th là các hàm tuy n tính hay phi tuy n c a P1, P 2, P 3 , , P n. Các giá c cân b ng xác đ nh đưc t h điu ki n trên s ph thu c vào các tham s c a mơ hình Pi = Pi (a 1, a 2, , a m) , i = 1, 2, , n. 2.2. Mơ hình thu nh p qu c dân Xét mơ hình thu nh p qu c dân Keynes Y = C + I 0 + G 0 (đây là ph ươ ng trình cân b ng) C = a + bY (v i điu ki n a > 0, 0 < b < 1). Trong đĩ: Y: thu nh p qu c dân, là bi n n i sinh, C: m c tiêu dùng qu c dân, là bi n n i sinh, I0: tng đ u t ư qu c gia, là bi n ngo i sinh, G0: tng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc, là bi n ngo i sinh. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 22
Các tham s a, b l n l ưt là chi phí tiêu dùng c đ nh ( autonomous consumption expenditure ) và h s tiêu dùng biên ( marginal propensity to consume ). T mơ hình trên cĩ th xác đ nh đưc các m c cân b ng c a thu nh p qu c dân và m c tiêu dùng qu c dân ph thu c vào giá tr c a các bi n ngo i sinh I 0 và G 0: a+ I + G Y = 0 0 1− b a+ b(I + G ) C = 0 0 . 1− b Hay, n u vi t d ưi d ng véc t ơ, thì cĩ:   Y 1 I0+ G 0 + a    =   . C  1− b b(I0+ G 0 ) + a  Các m c cân b ng thu nh p qu c dân hay tiêu dùng qu c dân cĩ th là cao hay th p ph thu c vào I 0, G 0, a và b theo cơng th c trên. Ch ng hn, n u c đ nh I 0, G0 và a, thì v i b càng l n sát 1, Y và C càng cao. Do đĩ, đ t ăng thu nh p qu c dân, cĩ th áp d ng chính sách kích c u (t ăng h s tiêu dùng biên). Cn chú ý r ng mơ hình thu nh p qu c dân Keynes là m t mơ hình khá đơ n gi n. Mơ hình thu nh p qu c dân sau đây coi chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc là bi n n i sinh ph thu c vào m c thu nh p qu c dân: Y = C + I 0 + G C = a + b(Y – T 0) (v i điu ki n: a > 0, 0 <b < 1) G = gY (v i điu ki n: 0 < g < 1). Trong đĩ: Y: thu nh p qu c dân, C: tiêu dùng qu c dân, Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 23
G: t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc, T0: t ng thu thu qu c gia, I0: t ng đ u t ư qu c gia, g: h s thu . Cĩ th xác đ nh đưc các m c cân b ng cho thu nh p qu c dân, tiêu dùng qu c dân và chi phí cho b máy nhà n ưc, c ăn c vào giá tr c a các bi n ngo i sinh và các tham s a, b, g. 2.3. Mơ hình đu vào – đu ra Leontief Phân tích t ĩnh đ u vào – đu ra Leontief nh m tr l i câu h i: M i mt trong n ngành cơng nghi p c a m t n n kinh t ph i đ m b o m t mc s n xu t hàng hĩa đu ra b ng bao nhiêu đ v a v n đ th a mãn tng c u v lo i hàng hĩa đĩ, t c là th a mãn đưc chính các ngành cơng nghi p đĩ và nhu c u chung c a xã h i. Cm t đ u vào – đu ra cĩ ngh ĩa là: đu ra c a m t ngành cơng nghi p A l i cĩ th là đu vào c n thi t cho m t ho c m t s ngành cơng nghi p B, C, D nào đĩ. Do đĩ, m c đ u ra h p lí c a ngành cơng nghi p A (khơng b thi u h t hay th ng d ư) là ph thu c vào nhu c u đ u vào c a các ngành cơng nghi p B, C, D và nhu c u chung c a xã h i, bao g m các nhu c u v tiêu dùng, tích l ũy tài s n và xu t kh u. M t cách t ng quát cĩ th nĩi, m c đ u ra h p lí c a m i ngành cơng nghi p ph thu c vào chính các nhu c u đ u vào c a các ngành cơng nghi p. Vi c xác đ nh đúng các m c đu ra h p lí c a các ngành cơng nghi p đ “cân b ng” các đ u vào giúp cho n n kinh t gi đưc n đ nh và phát tri n, khơng đ x y ra các tình tr ng “nút th t c chai” ( bottleneck ), khi đu ra c a m t s lo i hàng hĩa quá khan hi m khơng đ dùng làm đu vào cho các ngành cơng nghi p khác. Chính vì v y, mơ hình đu vào – đu ra Leontief c ũng cĩ th đưc coi là m t mơ hình phân tích cân b ng. ð nghiên c u v c u trúc c a mơ hình đu vào – đu ra Leontief, chúng ta c n xét đ n các gi thi t sau đây c a mơ hình: – M i m t ngành cơng nghi p j ch s n xu t m t lo i hàng hĩa j. Tuy nhiên, gi thi t này cho phép xem xét vi c hai ho c nhi u h ơn Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 24
lo i hàng hĩa đưc s n xu t v i các t l c đ nh (b n đ c cĩ th t tìm hi u điu này). – M i ngành cơng nghi p s d ng m t t l đ u vào c đ nh đ s n xu t hàng hĩa đu ra. – Vi c s n xu t m i lo i hàng hĩa cĩ tính ch t hi u su t khơng đ i (constant return to scale ), t c là n u m r ng đ u vào k l n thì đu ra s tăng k l n . Theo gi thi t th hai trên đây, v i m i j = 1, 2, , n, đ ngành cơng nghi p j s n xu t ra m t đơn v hàng hĩa lo i j c n cĩ các t l đ u vào c đnh a ij các hàng hĩa lo i i, i = 1, 2, , n. Ch ng h n, a 32 = 0,35 cĩ ngh ĩa là đ s n xu t ra m t l ưng hàng hĩa lo i 2 cĩ giá tr b ng 1 đơn v ti n t (ch ng h n nh ư 1 tri u đ ng, đây đơn v s n ph m đưc tính theo đơn v ti n t ) c n cĩ m t l ưng s n ph m lo i 3 làm đu vào cĩ giá tr 0,35 tri u đng. Các t l đ u vào a ij đưc g i là các h s đ u vào, cịn ma tr n A = [a ij ]n×n đưc g i là ma tr n h s đ u vào hay ma tr n đ u vào: ðu ra: 1 2 N 1 a11 a 12 a 1n    2 a a a ðu vào 21 22 2n  = A     N an1 a n2 a nn  Trong mơ hình Leontief, nhu c u chung c a xã h i d j v lo i hàng hĩa j đưc coi là nhu c u cu i cùng ( final demand ) đ phân bi t v i các nhu c u đ u vào ( input demand ) s d ng cho s n xu t. Nhu c u chung là nhu c u dành cho “thành ph n m ” ( open sector ), là n ơi cung c p dch v , l c l ưng lao đ ng cho các ngành cơng nghi p, t c là cung c p “đu vào c ơ b n” ( primery input ). Ma tr n đ u vào A ph i cĩ tính ch t: t ng các ph n t c a c t j là n ∑aij < 1, ∀ j = 1, 2, , n, t c là đ t o ra m t l ưng hàng hĩa lo i j cĩ i= 1 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 25
giá tr 1 đơn v ti n t , t ng giá tr các đ u vào c n thi t ph i ít h ơn 1 đơ n v ti n t . Ph n dơi ra trên 1 đơ n v (tính theo đơn v ti n t ) đ u ra c a hàng hĩa lo i j sau khi tr đi t t c chi phí do s d ng các lo i hàng hĩa n đu vào là 1 – ∑aij là m t l ưng (ti n) lãi đưc dành tồn b đ tr i= 1 lươ ng cho đu vào c ơ b n (thành ph n m c a n n kinh t ). T các phân tích trên, chúng ta đi t i h ph ươ ng trình sau đây: x1 = a 11 x1 + a 12 x2 + + a 1n xn + d 1 x2 = a 21 x1 + a 22 x2 + + a 2n xn + d 2 (2.4) xn = a n1 x1 + a n2 x2 + + a nn xn + d n , hay: (1 – a 11 )x 1 – a 12x2 – – a 1n xn = d 1 – a 21 x1 + (1 – a 22 )x 2 – – a 2n xn = d 2 (2.5) – a n1 x1 – a n2 x2 – + (1 – a nn )x n = d n. Trong đĩ: di: nhu c u chung c a xã h i v s n ph m lo i i, xi: m c s n xu t đ u ra c a ngành cơng nghi p i. Gi i thích: H (2.4) là h cĩ n n, n ph ươ ng trình. Xét ph ươ ng trình th nh t c a h (2.4), m c s n xu t đ u ra c a hàng hĩa lo i 1 là x 1 ph i va v n b ng t ng l ưng hàng hĩa lo i 1 c n thi t cho đ u vào khi s n xu t các lo i hàng hĩa lo i 1, 2, 3, , n và cho nhu c u chung (nhu c u cu i cùng) c a xã h i v hàng hĩa lo i 1. Các ph ươ ng trình khác đưc gi i thích t ươ ng t . Chúng ta s d ng các kí hi u tốn h c sau đây: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 26
x1  d1      x2   d2  x =   là véc t ơ đu ra, d = là véc t ơ c u,         dn  xn  A = [a ij ]n×n là ma tr n h s đ u vào, T = I – A đưc g i là ma tr n cơng ngh . Cĩ th ki m tra đưc r ng T là ma tr n khơng suy bi n do điu ki n n 1 – ∑aij > 0, ∀ j = 1, 2, , n. i= 1 H (2.4) đưc vi t d ưi d ng ma tr n nh ư sau: x − Ax = d ⇔ (I − A)x = d ⇔ Tx = d ⇔ x = T –1d. Ví d 3. Xét mơ hình đu vào – đu ra Leontief v i ma tr n đ u vào: 0,2 0,3 0,2    A = 0,4 0,1 0,2  0,1 0,3 0,2  Cĩ th th c hi n các phân tích sau: a) Ý ngh ĩa c a a ij : Ch ng h n a 12 = 0,3, a 22 = 0,1, a 32 = 0,3 cĩ ngh ĩa là đ s n xu t ra 1 đơn v (tính b ng giá tr ti n t , ch ng h n 1 tri u đ ng) hàng hĩa lo i 2, c n cĩ các l ưng đ u vào là 0,3 tri u đ ng hàng hĩa lo i 1, 0,1 tri u đ ng hàng hĩa lo i 2 và 0,3 tri u đ ng hàng hĩa lo i 3. 3 b) Tính ch t 1 – ∑aij > 0, ∀j = 1, 2, 3 là đúng đi v i ma tr n A. i= 1 3 Ch ng h n, v i j = 2 ta cĩ 1 – ∑ai2 = 1 – (a 12 + a 22 + a 32 ) = 0,3 = a 02 > 0. i= 1 Vy 0,3 (tri u đ ng) là s ti n lãi khi s n xu t 1 tri u đ ng l ưng hàng hĩa lo i 2, và đưc dành đ tr l ươ ng cho đu vào c ơ b n (d ch v , lao đng s d ng trong ngành cơng nghi p 2 cho vi c s n xu t ra đưc 1 tri u đ ng hàng hĩa lo i 2). T ươ ng t , ta cĩ a 01 = 0,3 và a 03 = 0,4. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 27
0,8− 0,3 − 0,2    c) T = I – A = −0,4 0,9 − 0,2  ⇒ detT = 0,384 ≠ 0. −0,1 − 0,3 0,8  d) Gi i h ph ươ ng trình Tx = d v i véc t ơ d là véc t ơ tham s ta cĩ x = T –1d v i 0,66 0,30 0,24  1   T–1 = 0,34 0,62 0,24 . 0,384   0,21 0,27 0,60  Vi c tính ma tr n ngh ch đ o T –1 cĩ th th c hi n theo cơng th c thơng th ưng (như cơng th c trên), ho c cĩ th tính g n đúng theo cơng th c sau: T–1 = (I – A) –1 = I + A + A 2 + + A m + ≈ I + A + A 2 + + A m. ðiu này là do v i ma tr n A cĩ tính ch t nh ư đã bi t: các ph n t đu khơng âm và t ng các ph n t trên m i c t đ u nh h ơn 1, cĩ th ch ng minh đưc A m s d n ti n t i ma tr n 0 khi m → ∞ (b n đ c t tìm hi u điu này trong các giáo trình ði s tuy n tính). 10    e) Gi s véc t ơ c u đã đưc xác đ nh d = 5  ( ×100 t đ ng). Áp 6  dng cơng th c tính nghi m c a h Cramer dùng ma tr n ngh ch đ o, ta cĩ: x1  0,66 0,30 0,24  10    1     x = T –1d ⇔ x = 0,34 0,62 0,24 5 2  0,384           x3  0,21 0,27 0,60  6  24,84    = 20,68  ( ×100 t đ ng). 18,36  Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 28
Ch ng h n, cĩ th tính 1 9,54 x = (0,66 ×10 + 0,30 ×5 + 0,24 ×6) = = 24,84. 1 0,384 0,384 Ngồi ra cĩ th tìm đưc x 1, x 2 và x 3 theo cơng th c Cramer. Tuy nhiên cách tìm x theo cơng th c x = T –1d t ra thu n ti n h ơn trong tr ưng h p ma tr n đ u vào A khơng thay đi mà ch cĩ véc t ơ c u d thay đi. g) Cĩ th xác đ nh đưc m c l ươ ng tr cho đ u vào c ơ b n c a t ng ngành cơng nghi p c ăn c vào các phân tích t i m c b). Ch ng h n, đ s n xu t ra 24,84 ×100 t đ ng hàng hĩa lo i 1, c n m t l ưng lao đ ng (k c dch v ) cho ngành cơng nghi p 1 t ươ ng ng v i m c l ươ ng là a 01 × 24,84 ×100 = 0,3 × 24,84 ×100 = 8,65 ×100 t đng. V y đ đ m b o cho n n kinh t v i ba ngành cơng nghi p nh ư trong ví d này đáp ng đưc véc t ơ cu d đã cho, c n cĩ m t l ưng lao đ ng t ươ ng ng v i m c l ươ ng là: 3 ∑a0 j x j = (0,3 × 24,84 + 0,3 × 20,68 + 0,4 × 18,36) ×100 j= 1 = 21 ×100 t đ ng. Bài t p Ch ươ ng II Bài 1. Gi s các hàm cung và hàm c u đã bi t: a) Q d = 51 – 3P, Q s = 6P – 10; b) Q d = 30 – 2P, Q s = 5P – 6. Hãy tìm các m c cân b ng cung c u Q và m c cân b ng giá P . Bài 2. Tìm nghi m cân b ng c a các mơ hình cân b ng th tr ưng sau: 2 a) Q d = Q s, Q d = 3 – P , Q s = 6P – 4; 2 2 b) Q d = Q s, Q d = 8 – P , Q s = P – 2. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 29
Bài 3. Cho bi t các hàm c u và hàm cung trong mơ hình th tr ưng v i hai m t hàng: Qd1 = 18 – 3P 1 + P 2, Q s1 = –2 + 4P 1; Qd2 = 12 + P 1 – 2P 2, Q s2 = –2 + 3P 2. Tìm các m c cân b ng cung c u và cân b ng giá c a hai m t hàng Qi , Pi , i =1, 2. Bài 4. Xét mơ hình sau: Y = C + I 0 + G 0, C = a + b(Y – T) (v i điu ki n a > 0, 0 0, 0 0, 0 < b < 1), G = gY (0 < g < 1). Trong đĩ Y, C, G l n l ưt là thu nh p qu c dân, tiêu dùng qu c dân và t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc đ u là các bi n n i sinh, cịn I 0 và T 0 là t ng đ u t ư qu c gia và t ng thu thu qu c gia đ u là các bi n ngo i sinh. a) Hãy cho bi t ý ngh ĩa c a tham s g. b) Tìm các m c cân b ng Y , C và G . Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 30
Bài 6. Tìm Y và C t các điu ki n sau: Y = C + I 0 + G 0, C = 25 + 6Y 1/2 , I0 = 16, G 0 = 14. Bài 7. Xét mơ hình đu vào – đu ra Leontief v i ma tr n đ u vào: 0,2 0,3 0,2    A = 0,4 0,1 0,2  . 0,1 0,3 0,2  Cho bi t d 1 = 30, d 2 = 15 và d 3 = 10 ( đơ n v là 100 t đ ng). a) Hãy xác đnh các m c đ u ra c n thi t c a các ngành cơng nghi p. b) Hãy xác đnh m c ti n l ươ ng tr cho đ u vào c ơ b n đ i v i t ng ngành cơng nghi p và cho c ba ngành cơng nghi p. Bài 8. Xét m t n n kinh t v i hai ngành cơng nghi p (ch đ o). Cho bi t ngành cơng nghi p 1 s d ng m t l ưng s n ph m lo i hàng hĩa 1 tr giá 0,1 tri u đ ng và m t l ưng s n ph m lo i hàng hĩa 2 tr giá 0,6 tri u đng làm đu vào đ s n xu t ra đưc m t l ưng s n ph m lo i hàng hĩa 1 tr giá 1 tri u đ ng. Trong khi đĩ, ngành cơng nghi p 2 ch s d ng m t lưng s n ph m lo i hàng hĩa 1 tr giá 0,5 tri u đ ng làm đu vào đ s n xu t ra đưc m t l ưng s n ph m lo i hàng hĩa 2 tr giá 1 tri u đ ng. a) Hãy thi t l p ma tr n đ u vào, ma tr n cơng ngh và ph ươ ng trình ma tr n xác đ nh các m c đ u ra cho n n kinh t trên. b) Hãy tìm các m c đ u ra c n thi t th a mãn đưc các nhu c u đ u vào s d ng cho s n xu t c ũng nh ư nhu c u c a thành ph n m . Bài 9. a) Ch ng minh r ng: (I – A)(I + A + A 2 + A 3 + + A m) = I – A m+1 , trong đĩ A là ma tr n vuơng c p n, I là ma tr n đơn v cùng c p. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 31
b) Gi s t t c các ph n t c a A đ u khơng âm. G i N(A) là chu n ca A đưc đ nh ngh ĩa b i giá tr l n nh t c a t ng t ng c t c a A. Hãy ch ng t r ng N(A m) ≤ [N(A)] m, t đĩ suy ra v i m l n: A m ≈ O (ma tr n vi t t c các ph n t b ng 0). V y cĩ th tính g n đúng ma tr n ngh ch đ o: T–1 = (I – A) –1≈ I + A + A 2 + A 3 + + A m. Bài 10. Xét mơ hình đu vào – đu ra Leontief v i ma tr n đ u vào: 0,05 0,25 0,34    A = 0,33 0,10 0,12  0,19 0,38 0  Cho d 1 = 1800, d 2 = 200 và d 3 = 900 ( đơ n v là 100 t đ ng). a) Cho bi t ý ngh ĩa c a các ph n t a 21 = 0,33 và a 33 = 0 trong ma tr n A. b) Cho bi t ý ngh ĩa c a t ng các ph n t trên c t th ba c a ma tr n A. c) Hãy xác đnh các m c đ u ra c n thi t c a các ngành cơng nghi p. d) Hãy xác đnh m c ti n l ươ ng tr cho đ u vào c ơ b n đ i vi t ng ngành cơng nghi p và cho c ba ngành cơng nghi p. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 32
Ch ươ ng III PHÂN TÍCH SO SÁNH T ĨNH 1. Phân tích so sánh t ĩnh trong kinh t 1.1. Khái ni m phân tích so sánh t ĩnh Phân tích so sánh t ĩnh ( comparative statics ) th c ch t là vi c so sánh các tr ng thái cân b ng khác nhau c a m t mơ hình kinh t nào đĩ. ðĩ là các tr ng thái cân b ng đ t đưc v i các giá tr khác nhau c a các tham s và c a các bi n ngo i sinh c a mơ hình. Ch ng h n trong mơ hình th tr ưng riêng, gi s tr ng thái cân b ng đã đt đưc, t c là đã xác đnh đưc m c giá cân b ng và m c cung c u cân b ng là P và Q . M t s y u t m t cân b ng s xu t hi n khi các giá tr c a m t s bi n ngo i sinh hay m t s tham s c a mơ hình thay đi. ðiu này d n t i vi c các giá tr cân b ng c a các bi n n i sinh (là P và Q ) s thay đ i và trong mơ hình xu t hi n tr ng thái cân b ng m i. Tươ ng t , trong mơ hình thu nh p qu c dân, khi giá tr c a các tham s hay c a các bi n ngo i sinh thay đ i, thì mơ hình s đ t t i tr ng thái cân bng m i, xác đ nh b i các m c cân b ng m i c a thu nh p qu c dân Y và tiêu dùng qu c dân C . V y chúng ta cĩ th nghiên c u so sánh các tr ng thái cân b ng m i và c ũ theo cách th c nào? ðĩ chính là v n đ c n th o lu n trong ch ươ ng này. Ví d 1. Xét mơ hình thu nh p qu c dân sau đây: Y = C + I 0+ G 0 C = a + bY (v i điu ki n: a > 0, 0 < b <1). Lúc đĩ các m c cân b ng c a thu nh p qu c dân và tiêu dùng qu c dân là: a+ I0 + G 0 Y = = Y (a, b, I 0, G 0) 1− b a+ b(I0 + G) 0 C = = C ( a, b, I 0, G 0). 1− b Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 33
Vì v y, vi c thay đ i các giá tr c a a, b, I 0, G 0 s d n t i tr ng thái cân b ng ( Y , C ) thay đi. V n đ c n phân tích đây là: các m c cân bng Y , C s thay đ i th nào v h ưng (t ăng lên hay gi m đi?) c ũng nh ư v biên đ (t c đ thay đ i là nhanh hay ch m?). ðây chính là các ni dung c ơ b n c a phân tích so sánh t ĩnh. ð nghiên c u l ĩnh v c này, tr ưc h t c n phân tích ý ngh ĩa c a đ o hàm, m t khái ni m n n t ng c a Gi i tích tốn h c, đ t đĩ tìm hi u khái ni m t c đ bi n thiên c a các bi n kinh t 1.2. ðo hàm và t c đ bi n thiên c a các bi n kinh t Cho hàm s y = f(x) xác đ nh và kh vi trong m t mi n D ⊂ R. Lúc đĩ, ∀ x ∈ D đo hàm c a f(x) đưc xác đ nh và k ĩ hi u nh ư sau: dy f(x+∆− x) f(x) ∆ y y’ = f’(x) = = lim= lim . dx ∆→x0∆x ∆→ x0 ∆ x dy ∆y Do đĩ cĩ th th y r ng: ≈ khi ∆x đ nh . dx ∆x ∆y Mt khác ta th y: chính là t c đ bi n thiên trung bình c a hàm s ∆x dy ∆y y khi đi s x ch y t x t i x + ∆x . Cịn y' = = lim là t c đ dx ∆x → 0 ∆x thay đi t c th i c a hàm s y = f(x) t i x. V y cĩ th nĩi r ng t c đ thay đi t c th i c a hàm s là x p x b ng t c đ thay đ i trung bình c a nĩ khi s gia đ i s ∆x đ nh . dy ∆y Chú ý. T c đ thay đ i t c th i c a y theo x là y' = = lim dx ∆x → 0 ∆x ∆y ≈ khi ∆x nh nh t cĩ th đưc. Thơng th ưng ta ch n ∆x = 1 ( đơ n ∆x ∆y v nh nh t cĩ th ). Lúc đĩ y’ ≈ đưc g i là t l biên hay t c đ thay ∆x đi biên hay hàm biên ( marginal function ). V y t c đ thay đ i t c th i ca hàm s cĩ th đưc l y x p x b i t l biên. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 34
Minh ho hình h c y B y + ∆y y A β α O x x + ∆x x Hình III.1 ∆y Trên hình III.1, ta th y y’ = tg α ≈ tg β = . ∆x Ví d 2. Xét hàm t ng chi phí C ph thu c vào m c s n xu t đ u ra Q nh ư sau: C = Q 3 – 4Q 2 + 10Q + 75 ( đây 75 là chi phí c đ nh). dC ⇒ C’ = = 3Q 2 – 8Q + 10 là chi phí biên ( marginal cost MC). dQ ∆C ⇒ C' = 13 ≈ t i Q = 3 v i ∆Q = 1. Q= 3 ∆Q ⇒ hàm biên = 13 t i m c Q =3. ⇒ t i m c Q = 3, n u m c s n xu t đ u ra t ăng thêm 1 đơ n v s n ph m thì t ng chi phí C ph i t ăng thêm kho ng 13 đơn v . Phân tích t ươ ng t , t i m c Q = 2, n u m c s n xu t đ u ra t ăng thêm 1 đơ n v s n ph m thì t ng chi phí C ph i t ăng thêm kho ng 6 đơn v. So sánh hai k t qu trên ta th y: t c đ t ăng t c th i c a chi phí t i Q = 3 là cao h ơn t c đ t ăng t c th i c a chi phí t i Q = 2. Ví d 3. Xét tr ưng h p cơng ty s n xu t m t lo i s n ph m v i các bi n AR là doanh thu trung bình ( average revenue ), Q là lưng s n ph m Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 35
đu ra ( quantity output ). Gi s doanh thu trung bình ph thu c vào lưng s n ph m đ u ra theo m i quan h : AR = 15 – Q (trong tr ưng h p tng quát AR cĩ th là hàm phi tuy n). Lúc đĩ t ng doanh thu R = AR ×Q = 15Q – Q 2 nên doanh thu biên (marginal revenue ) MR = R’ = 15 – 2Q. Trong tr ưng h p t ng quát, n u AR = f(Q) thì R = f(Q) ×Q và MR = R PQ R’ = f(Q) + Q ×f’(Q). V y MR – AR = Q ×f’(Q) . Do AR = = = P Q Q nên doanh thu trung bình c ũng chính là giá P c a m t đơn v s n ph m. Do đĩ P = AR = f(Q). ðây chính là m i quan h gi a m c s n xu t đ u ra Q và giá P, cịn g i là “hàm c u ng ưc”, vì Q = f –1(P) là hàm c u đ i v i s n ph m c a cơng ty. Trong điu ki n c nh tranh hồn h o, AR là m t h ng s nên f’(Q) = 0, do đĩ MR – AR = 0 đi v i m i m c đ u ra Q, nên các đưng doanh thu trung bình AR và doanh thu biên MR là trùng nhau. Trong điu ki n c nh tranh khơng hồn h o, thơng th ưng hàm AR cĩ đo hàm âm hay đưng AR cĩ đ d c âm (xem hình III.2). ðĩ là vì khi Q t ăng thì AR gi m hay f’(Q) 0 MR MR O Q Q Hình III.2 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 36
1.3. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình th tr ưng riêng Xét mơ hình th tr ưng th tr ưng riêng (v i m t lo i hàng hĩa): Qd = a – bP (v i a, b > 0) Qs = – c + dP (v i c, d > 0) Qs = Q d. Tr ng thái cân b ng đưc xác đ nh b i các m c giá cân b ng và cung cu cân b ng nh ư sau: a+ c P = b+ d ad− bc Q = . b+ d ð phân tích so sánh t ĩnh v m t đ nh tính c ũng nh ư đnh l ưng mơ hình trên, c n tính đ o hàm riêng c a P và Q theo a, b, c, d: – Trong phân tích đnh tính, ph i xác đ nh đưc d u c a các đ o hàm riêng đ bi t đưc xu h ưng P và Q là t ăng hay gi m khi các tham s a, b, c và d c a mơ hình thay đi. – Trong phân tích đnh l ưng, c n xác đ nh đưc đ l n ( magnitude ) ca các đ o hàm riêng đ t đĩ xác đ nh đưc các t c đ thay đ i biên. ∂P 1 Ch ng h n, ta cĩ = > 0 nên khi a t ăng thì P t ăng. Gi s ∂a b+ d b = 2 và d = 3 là các giá tr đã cho c a các tham s b và d. Lúc đĩ ∂P 1 ∆P = ≈ . V y v i b, c, d đưc coi là c đ nh thì khi a t ăng thêm ∂a 5 ∆a 1% s kéo theo P t ăng thêm kho ng 0,2%. ∂Q ab+ bc Tươ ng t , do = > 0 nên khi cho a, b, c c đ nh thì d ∂d (b+ d) 2 tăng s kéo theo Q t ăng. Cịn t c đ t ăng biên c a Q theo d là do các giá Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 37
tr c a các tham s a, b, c và d quy t đ nh. Minh h a hình h c ∂P 1 Xét hàm biên c a P theo a: = . Hình III.3 minh h a s ∂a b+ d thay đi tr ng thái cân b ng t (P,Q ) sang (P ',Q' ) khi a t ăng, cịn b, c, d đưc coi là c đ nh. T ươ ng t , chúng ta cĩ th xét minh h a hình h c cho các tr ưng h p khác. Qd Q s ðưng cung Q = – c + dP a’ (P,Q ) s a (P ',Q ' ) ðưng c u Q d = a + bP O P Hình III.3 1.4. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình thu nh p qu c dân Xét mơ hình thu nh p qu c dân v i các bi n n i sinh Y, C và T l n lưt là thu nh p qu c dân, tiêu dùng qu c dân và thu ; các bi n ngo i sinh I 0, G 0 là m c t ng đ u t ư và chi phí cho b máy nhà n ưc. Y = C + I 0 + G 0 (v i điu ki n: α > 0, 0 0) T = γ + δY (v i điu ki n: 0 < δ < 1). D dàng tìm đưc m c thu nh p qu c dân cân b ng theo cơng th c sau: α−βγ+I + G Y = 0 0 . 1−β +βδ Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 38
Th c hi n vi c tính các đ o hàm riêng c a Y theo G 0, I 0, α, β, γ và δ, chúng ta cĩ: ∂Y ∂Y ∂Y 1 = = = > 0 ∂G0 ∂I0 ∂α 1−β + βδ ⇒ Nu G 0 ho c I 0 ho c α t ăng thì Y t ăng. ∂Y −β = γ /(1 −δ ) thì vi c β t ăng d n t i Y t ăng. ∂Y ∂Y Chú ý. đưc g i là h s chi phí nhà n ưc, đưc g i là h ∂G0 ∂γ ∂Y s thu ngồi thu nh p, cịn đưc g i là h s thu thu nh p. Cĩ th ∂δ th y các phân tích so sánh t ĩnh trên đây cho ta các k t lu n khơng ph i là hồn tồn hi n nhiên. 1.5. Phân tích so sánh t ĩnh mơ hình cân đi liên ngành Cho A ma tr n h s đ u vào A= [a ij ]3×3 trong mơ hình đu vào – đu ra Leontief, cịn g i là mơ hình cân đi liên ngành, v i ba ngành cơng nghi p. ð tìm các m c s n xu t ( đ u ra) cân b ng, tr ưc h t chúng ta tìm ma tr n T= I– A và xét ph ươ ng trình ma tr n Tx = d, trong đĩ Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 39
x1  d1      x = x2  là véc t ơ s n xu t, và d = d2  là véc t ơ nhu c u (cu i cùng).     x3  d3  Do đĩ m c cân b ng c a véc t ơ s n xu t là x = T –1d. ðt B = T –1 ta cĩ x = Bd, trong đĩ b11 b 12 b 13    B = [b ij ]3×3 = b21 b 22 b 23  .   b31 b 32 b 33  Vy: x1  b11 b 12 b 13  d1        x2  = b21 b 22 b 23  d2        x3  b31 b 32 b 33  d3  x1 = b11 d1 + b 12 d2 + b 13 d3 ⇔ x2 = b 21 d1 + b 22 d2 + b 23 d3 (3.1) x3 = b 31 d1 + b 32 d2 + b 33 d3 . ∂x1 ∂xi Do đĩ: = b 11 , , = b ij , ∀i, j = 1, 2, 3. ∂d1 ∂d j Chúng ta s d ng các kí hi u: ∂x  1  ∂d1  b11  b11 b 12 b 13  ∂x   ∂x  ∂x   = b = 2  và = b b b = B. ∂d 21  ∂d ∂d 21 22 23  1   1    b  b31 b 32 b 33  31 ∂x  3  ∂d1  Ý ngh ĩa c a ma tr n B = T –1 trong vi c phân tích so sánh t ĩnh: Chúng ta mu n tr l i câu h i, ch ng h n khi t ăng d 1 lên thêm 1 đơ n v thì x 1, Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 40
x 2 và x 3 thay đi nh ư th nào? Gi s b 11 = 2, b 12 = 1, b 31 = 0,5 thì x 1 tăng thêm 2 đơ n v , x 2 t ăng thêm 1 đơ n v cịn x 3 t ăng thêm 0,5 đơ n v . d(x ,x ,x ) Chú ý. T (3.1) ta th y đ nh th c Jacoby J= 1 2 3 = B, d(d1 ,d 2 ,d 3 ) nên n u J ≠ 0 thì các ph ươ ng trình c a h (3.1) là đc l p tuy n tính. 2. Phân tích so sánh t ĩnh cho mơ hình kinh t t ng quát 2.1. H s co giãn Xét hàm c u Q = f(P) v i Q là nhu c u ph thu c vào giá P. Chúng ta hãy tính h s co giãn ( point elasticity ) c a c u đưc kí hi u là εd khi giá c bi n thiên. Ta cĩ: dQ / Q dQ / dP ε = = v i dQ = Q’dP (theo cơng th c tính vi phân). d dP / P Q / P Mt cách t ng quát, n u y = f(x) thì h s co giãn c a y theo x là: dy / y dy / dx ε = = = hàm biên / hàm trung bình. yx dx / x y / x dy / y H s co giãn cĩ ý ngh ĩa nh ư sau: Gi s ε = 2 thì = 2. N u yx dx / x dx/x = 1% thì dy/y = 2%, t c là n u x t ăng thêm 1% thì y t ăng thêm 2%. Vy h s co giãn εyx bi u th m c gia t ăng tính theo % c a y tính theo mc gia t ăng 1% c a x. V m t h ưng bi n thiên, xét các tr ưng h p sau đây: dy εyx = 0 ⇔ = 0 (y cĩ th đ t c c tr ). dx εyx > 0 ⇔ x t ăng thì y t ăng. εyx 1 thì y là giãn. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 41
εyx = 1 thì cĩ đ co giãn đơ n v (y khơng giãn khơng co). εyx  1 ⇔ P > 25. Gi s giá P t ăng, điu này s d n t i c u gi m. Tuy nhiên, khi P 25 thì t c đ gi m c u x y ra cao h ơn t c đ t ăng giá (giá t ăng 1% dn t i c u gi m nhi u h ơn 1%). Ví d 5. a) Cho M = f(Y) v i Y là thu nh p qu c dân và M là m c nh p kh u. Hãy tính h s co giãn εMY và phân tích ý ngh ĩa. b) Cho C = a + bY v i C là m c tiêu dùng và Y là thu nh p qu c dân (điu ki n: a > 0, 0 0, Pn n > 0). Hãy tính h s co giãn εQP và phân tích ý ngh ĩa. Xét b) ch ng h n. Gi s b = 0,5 thì hàm tiêu dùng biên C’ = MC = 0,5 (cĩ ngh ĩa là: n u Y t ăng thêm 1 đơ n v ( ∆y =1) thì C t ăng thêm 0,5 đơ n v (∆C = 0,5). Ngồi ra: ∆C / ∆Y ∆C / C b bY εCY = = = = > 0. C / Y ∆Y / Y a( + bY /) Y a + bY Gi s thêm r ng a = 1, Y = 10 thì ta cĩ εCY = 5/6 < 1. Tĩm l i khi thu nh p qu c dân Y t ăng thì m c tiêu dùng C t ăng. Tuy nhiên v i các tham s a = 1, b = 0,5 ( đưc điu ti t theo các chính sách thích h p) thì C Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 42
tăng ch m h ơn Y. M t cách t ng quát cĩ th ch ng minh đưc εCY 0, 0 tg θm nên OA d c h ơn ti p tuy n t i A. V y εyx < 1. 2.2. M t s ví d v tìm vi phân tồn ph n và đo hàm hàm n Ví d 6. Xét hàm ti t ki m S ph thu c vào thu nh p qu c dân Y và lãi xu t i: S = S(Y, i) dS = S′Y dY+ S ′i di Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 43
∂S ∂S ⇒ dS = dY + di là vi phân tồn ph n c p c a S. ∂Y ∂i T cơng th c trên cĩ th tính đưc các h s co giãn riêng: S′Y ∂S/ ∂ Y S′i ∂S/ ∂ i εSY = = và εSi = = S/ Y S/ Y S/ i S/ y Mt cách t ng quát, xét hàm n bi n, ch ng h n hàm th a d ng U: ∂U / ∂x U = U( x , x , , x ) ⇒ ε = i ∀i = 1, 2, , n. 1 2 n U,x i U x/ i Ví d 7. Mt s ng d ng c a đ o hàm hàm h p. a) Xét hàm th a d ng U = U(C, S) ph thu c vào l ưng cà phê C và lưng đưng S. ∂U ∂U Gi s r ng S = g(C). Lúc đĩ U′ = + × g′(C) . C ∂C ∂S b) Xét hàm s n xu t Q = f(K, L, t) v i Q là m c s n xu t đ u ra, K là vn ( capital ), L là l ưng lao đ ng ( labor ), t là th i gian. Coi K = K(t) và L = L(t) thì cĩ: dQ∂ Q dK ∂ Q dL ∂ Q = × + × + . dt∂ K dt ∂ L dt ∂ t Vi t cách khác ta cĩ: dQ ∂Q = Q × K′ )t( + Q × L′ )t( + . dt K L ∂t Trong cơng th c trên, c n phân bi t đưc “ đ o hàm tồn ph n” dQ/dt vi đ o hàm riêng ∂Q/ ∂t. Ví d 8. Thơng th ưng hàm s n xu t đưc cho d ưi d ng t ưng Q = f(K, L), đây m c s n xu t đ u ra Q ph thu c vào m c v n K và l ưng lao đng L. ðơi khi hàm s n xu t đưc cho d ưi d ng n: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 44
F(Q, K, L) = 0, (3.2) vi Q đưc coi là hàm n c a K, L. Xét các đ o hàm riêng c a Q theo K và theo L: ∂Q = MPP K là hàm s n xu t biên theo v n ( marginal physical ∂K product of capital ). ∂Q = MPP L là hàm s n xu t biên theo lao đng ( marginal physical ∂L product of labor ). Ly vi phân tồn ph n bi u th c (3.2) ta cĩ: F QdQ + F KdK + F LdL = 0. Xét m t m c s n xu t Q c đ nh nào đĩ: Q = const ⇒ dQ = 0. V y F KdK dK FL + F LdL = 0 ⇔ = − . dL FK dK/dL đưc g i là t l thay th k ĩ thu t biên, cho bi t: n u mu n duy trì m c s n xu t Q nh ư hi n t i nh ưng L hay K thay đi, thì c n gi t l thay th gi a K và L theo t s F L/F K, L t ăng thì K gi m, L gi m thì K t ăng. K K = K(L) Q = Q 0 (dQ = 0) O L Hình III.5 Trên hình III.5, ta th y ng v i m i m c Q c đ nh cĩ m t đưng đng m c, mà t t c các t h p (L, K) trên đĩ đu cho cùng m t m c Q. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 45
ð d c c a ti p tuy n t i m t đim b t k ỳ trên đưng đ ng m c đưc dK F tính theo cơng th c: = − L . dL F K ∆K dK F Kt lu n: N u gi đưc ≈ = − L thì Q luơn đưc duy trì ∆L dL FK FL mc Q = Q 0. Ch ng h n, n u cho = – 4 thì t l thay th c n th c hi n FK là 4 đơ n v lao đ ng b ng1 đơn v v n đ gi nguyên m c s n xu t đ u ra. Ví d 9. Xét hàm s n xu t d ng Cobb – Douglas: Q = K 0,8 L0,2 hay F = Q – K 0,8 L0,2 = 0. Lúc đĩ t l thay th k ĩ thu t gi a K và L đưc tính theo cơng th c: 0,8− 0,8 dKFL 0,2K L K =− =−−0,2 0,2 =− . dL FK 0,8K L 4L Xét đưng đ ng m c Q = Q 0 = 162. T i L = 32, K = 243 ta cĩ: dK 243 = − = –1,898438. dL 4× 32 Vy t l thay th k ĩ thu t gi a K và L là –1,898438 cho bi t: n u gi m 1 đơn v L thì c n t ăng 1,898438 đơn v K, n u t ăng 1 đơn v L thì cn gi m 1,898438 đơn v K. Lúc đĩ Q s đưc duy trì m c Q 0 = 162. 2.3. Mơ hình th tr ưng t ng quát Xét mơ hình th tr ưng t ng quát, trong đĩ c u Q d ph thu c vào giá c P và thu nh p qu c dân Y 0 (bi n ngo i sinh), cung Q s ch ph thu c vào P, các m i ph thu c này đưc coi là cĩ d ng t ng quát (tuy n tính hay phi tuy n): Qd = Q s ∂D ∂D Qd = D(P, Y 0) (v i điu ki n: 0 ) ∂P ∂Y0 dS Qs = S(P) (v i điu ki n: > 0 ). dP Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 46
Th các ph ươ ng trình th hai và th ba vào ph ươ ng trình cân b ng, ta cĩ: F(P, Y 0) = D(P, Y 0) – S(P) = 0. Gi s tr ng thái cân b ng đưc bi u di n b i t h p c a m c giá cân bng và m c cung c u cân b ng ( P , Q ). Ta th y P là hàm c a Y 0 nên cĩ th vi t P = P (Y 0). L p lu n t ươ ng t Q = Q (Y 0). ð phân tích so sánh dP dQ tĩnh c n đánh giá đưc d u c a c ũng nh ư d u c a . dY 0 dY 0 Ph ươ ng pháp 1. S d ng đ o hàm hàm n hay vi phân tồn ph n. T F( P , Y 0) = D( P , Y 0) – S( P ) = 0 l y đ o hàm theo Y 0, ta cĩ: ∂F ∂ D dP ∂ D dS dP = × + −× = 0. ∂Y0 ∂ P dY 00 ∂ Y dP dY 0 dP ∂D / ∂ Y Vy: = − 0 > 0 (do t s cĩ d u d ươ ng cịn m u dY0 ∂ D/ ∂ P − dS/dP s cĩ d u âm). dQ dS dP Ta cũng cĩ: = × > 0. dY0 dP dY 0 Ph ươ ng pháp 2. S d ng đ nh lí hàm n. Tr ưc h t, chúng ta nghiên c u đ nh lí hàm n. Xét hàm n: F(y, x 1, x 2, ,x n) = 0, (3.3) trong đĩ y cĩ quan h ph thu c hàm đi v i x 1, x 2, , x n, t c là cĩ th coi y = f(x 1, x 2, ,x n). L y vi phân (3.3) ta cĩ: dF = F′ dy+ F ′ dx ++ F ′ dx = 0 . (3.4) y x11 xn n ∂y Tính khi x 2, , x n khơng đi. Lúc này dx2= dx 3 == dx n = 0 . ∂x1 Vy t (3.4) suy ra: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 47
dy ∂y F′ F F′ dy+ F ′ dx = 0 ⇒ = = − x1 = − 1 . y x1 1 dx 1 ∂x1 Fy′ Fy ∂x ∂xF F Tính 1 : 1=−x2 =− 2 . ∂x ∂x F F 2 2 x1 1 Tươ ng t cĩ th ch ng minh đưc: dy∂ y F′ F ∂x F' x F = =−xi =− i và i =−j =− j , ∀i, j = 1, 2, , n, i ≠ j. dxi∂ x i F y′ F y ∂xj F' xi F i Ví d 10. áp d ng cho hàm s n xu t Q = f(K, L) cho d ưi d ng n F(Q, K, L) = Q – f(K, L) = 0. T các cơng th c trên, ta cĩ: ∂Q FK ∂Q FL dK FL MPP K = = − , MPP L = = − , = − . ∂K F Q ∂L F Q dL F K Ví d 11. áp d ng các phân tích trên cho mơ hình th tr ưng t ng quát ta cĩ: F D dP Y0 Y 0 dP ∂D / ∂ Y = − = hay = − 0 > 0, do đĩ dY0 FP D P− S P dY0 ∂ D / ∂ P − dS/ dP dQ dS dP = × > 0. dY0 dP dY 0 dP dQ ð đánh giá đng th i và cĩ th xét đ nh lí hàm n t ng dY 0 dY 0 quát sau đây: ðnh lí hàm n. Xét h ph ươ ng trình 1 F ( y 1, y 2, ,y n, x 1, x 2, , x m) = 0 2 F ( y 1, y 2, ,y n, x 1, x 2, , x m) = 0 (3.5) n F ( y 1, y 2, ,y n, x 1, x 2, , x m) = 0. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 48
Vi các gi thi t: a) F 1, F 2, , F n cĩ các đo hàm riêng liên t c đ i v i t t c các bi n yj, x i ( ∀j = 1, 2, , n, ∀i = 1, 2, , n). 0 b) Cĩ đim M = (y 10 , y 20 , , y n0 , x 10 , x 20 , , x m0 ) tho mãn (3.5). c) ðnh th c Jacoby ∂F1 ∂ F 1 ∂ F 1 ∂y1 ∂ y 2 ∂ y n ∂(F1 ,F 2 , ,F n ) J = = ≠ 0 t i M 0. ∂(y1 ,y 2 , ,y n ) ∂Fn ∂ F n ∂ F n ∂y1 ∂ y 2 ∂ y n Lúc đĩ cĩ các k t lu n: m a) T n t i m t lân c n N c a đim (x 10 , x 20 , , x m0 ) ∈ R , mà trong lân c n đĩ các bi n y 1, y 2, , y n là các hàm n c a (x 1, x 2, , x m). b) Các hàm y j = f j(x 1, x 2, , x m), tho mãn: y j0 = f j0 (x 10 , x 20 , , x m0 ), ∀ j = 1, 2, , n. c) Các hàm đĩ c ũng th a mãn (3.5) m t cách đ ng nh t th c cho m i đim (x 1, x 2, , x m) trong lân c n N. Ch ng minh. ðnh lí trên đây đã đưc ch ng minh ch t ch trong mơn h c Tốn gi i tích ho c Gi i tích hàm. B n đ c quan tâm cĩ th tìm hi u thêm. Ví d 12. Xét hàm n cho b i : x 2 y 2 x 2 y 2 + = 1 ⇔ F(y, x) = + −1= 0. 9 4 9 4 Xét các gi thi t c a đ nh lí hàm n: a) Fx′ , F y ′ t n t i và liên t c. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 49
  2 2 0 2 5 x y b) Xét đim M = (y 0, x 0) = , 2  tho mãn + = 1. 3  9 4 y c) J= ≠ 0 t i (y 0, x 0). 2 x 2 Kt lu n: T n t i hàm n y = f(x) = 2 1− trong lân c n N nào đĩ 9 dyFx 2x/9 4x ca đim x 0 = 2 tho mãn y 0 = f(x 0) và =− =− =−× . dx Fy y/2 9y 2 5 4 2 4 Ngồi ra, t i y 0 = , x 0 = 2 ta cĩ y(x′ 0 ) =−× =− 3 9 25/3 35 T đĩ tìm đưc ph ươ ng trình ti p tuy n t i (x 0, y 0) là 2 5 4 y− =− (x − 2) . 3 3 5 Vn đ tìm các đo hàm riêng ∂∂∂yj/∂∂∂xi T (3.5) ta cĩ dF j = 0, ∀j = 1, 2, , n, ∂F j ∂F j ∂Fj ∂ F j ∂ F j ⇒ dy 1 + + dy n + dx1+ dx 2 + + dx m , ∂y1 ∂y n ∂x1 ∂ x 2 ∂ x m ∀j = 1, 2, , n. ∂F j ∂F j ∂Fj ∂ F j ∂ F j ⇒ dy 1 + + dy n = −dx1 − dx 2 −− dx m , ∂y1 ∂y n ∂x1 ∂ x 2 ∂ x m ∀j = 1, 2, , n. ∂y Cn tìm j ∀i = 1, 2, , m, ∀j = 1, 2, , n. ∂xi Cho dx 2 = dx 3 = = dx m = 0. Ta cĩ h : Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 50
∂∂FF11∂y ∂ y ∂ F 1 ∂ y ∂ F 1 ×1 + × 2 ++ × n =− ∂∂∂∂yxyx1121 ∂∂ yx n1 ∂ x 1 ∂∂FFnn∂y ∂ y ∂ F n ∂ y ∂ F n ×1 + × 2 ++ × n =− ∂∂∂∂yxyx1121 ∂∂ yx n1 ∂ x 1 ∂F1 ∂ F 1 ∂ F 1  ∂y  ∂F1    1   ∂∂yy ∂ y ∂ x  ∂x 12 n   1  1  ⇔   ×   = –       n n n   n ∂F ∂ F ∂ F  ∂yn  ∂F    ∂x    ∂yn ∂ y 2 ∂ y n  1  ∂x1  ∂y  ∂F1  1  −  ∂x1  ∂x1  ⇒   = J –1×   .     n ∂yn  ∂F    −  ∂x1  ∂x1  (1) ∂y J j Áp d ng cơng th c Cramer, ta cĩ: j = , ∀j = 1, 2, , n. Trong ∂x1 J (1) đĩ J j là đnh th c thu đưc t đ nh th c Jbng cách thay c t j b i ct đ o hàm riêng c a –F1, –F2, , –Fn theo x 1. (i) ∂y J j Tươ ng t ta cĩ: j =, ∀= j 1,2, ,n, ∀= i 1,2, ,m. ∂xi J Ví d 13. Quay l i mơ hình th tr ưng t ng quát: F(P,Q,Y)1 = D(P,Y) − Q = 0  0 0 (3.6) 2 F (P,Q,Y)0 = S(P) − Q = 0. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 51
Ta coi: y 1 = P, y 2 = Q, x 1 = Y 0 và đi tính các đo hàm n. Tr ưc h t cn ki m tra các gi thi t c a đ nh lí hàm n: ∂∂FF11 ∂ F 1 ∂ F 2 ∂ F 2 ∂ F 2 a) Các đo hàm riêng ,, , , , đưc coi là t n ∂∂∂P QY0 ∂ P ∂∂ QY 0 ti và liên t c t i (P,Q, Y 0 ) . b) ðim (P,Q, Y 0 ) th a mãn (3.6). ∂D −1 ∂(F,F)1 2 ∂P dS ∂ D c) J= = =−> 0 . ∂(P,Q)dS dP ∂ P −1 dP Kt lu n: T i lân c n nào đĩ c a (P,Q, Y 0 ) t n t i các hàm P= P(Y),Q0 = Q(Y) 0 và các hàm này th a mãn (3.6) m t cách đ ng nh t th c. Ta cĩ h : ∂D  dP    ∂D  −1  − ∂P dY 0      × = ∂Y0  . dS  dQ  −1   0      dP dY 0  Chúng ta s tính đưc đ ng th i: −∂D −∂ D −∂ D −1 ∂P ∂ Y 0 ∂Y0 ∂D dS dS∂ D 0 × dP 0− 1 ∂Y dQ dP∂ Y = =0 > 0 , =dP =0 > 0. dY ∂D dS∂ D dY ∂D dS∂ D 0 −1 − 0 −1 − ∂P dP∂ P ∂P dD∂ P dS dS −1 −1 dP dP Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 52
Ví d 14. Hãy phân tích so sánh t ĩnh mơ hình sau đây: Q d = D(P, Y 0) (v i điu kiên: D P 0) Q s = S(P, T 0) (v i điu ki n: S P > 0, S T0 0, 0 < S Y < 1, S Y đưc g i là khuynh h ưng ti t ki m biên). − Ph ươ ng trình nh p kh u: M = M(Y) (v i 0 < M’ < 1). − M c xu t kh u: X = X 0 là bi n ngo i sinh do nhà n ưc quy t đ nh. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 53
b) Th tr ưng ti n t − L ưng c u v ti n M d = M d(Y, i) = L(Y, i), trong đĩ L là hàm thanh kho n v i các điu ki n L Y > 0 (l ưng ti n luân chuy n biên), L i 0, 0 0, L i < 0) Ms = M s0 . Chú ý. I, S, M S, X, Y là khái ni m dịng ( flow concept ) đưc tính theo t ng chu k ỳ th i gian. Cịn M d, M S là khái ni m tích tr ( stock concept ) đưc tính t i t ng th i đim. T t c các hàm này đu đưc gi s là cĩ đo hàm liên t c. Xét các điu ki n cân b ng v th tr ưng hàng hĩa và th tr ưng ti n t : I + X 0 = S + M Md = M s0 , hay I(i) + X 0 = S(Y, i) + M(Y) L(y, i) = M s0 . Các điu ki n trên đưc vi t v d ng sau: 1 F (Y, i, X 0, M s0 ) = I(i) +X 0 – S(Y, i) – M(Y) = 0 2 F (Y, i, X 0, M s0 ) = L(Y,i) – M s0 = 0. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 54
1 2 Chúng ta gi s các hàm F và F đu cĩ các đ o hàm riêng liên t c, 0 cũng nh ư gi s r ng t n t i đim M ( Y , i , X 0, M s0 ) th a mãn các ph ươ ng trình cân b ng trên. C n tìm các hàm n Y(X0 ,M so ) và i(X0 ,M s0 ) ti lân c n c a đim (X 0 , Ms0 ) và các đo hàm riêng c a các hàm này theo X 0 và M s0 . Tr ưc h t chúng ta ki m tra gi thi t cịn l i trong đnh lí hàm n (hai gi thi t khác đã đưc coi là đưc th a mãn): ∂S ∂ S − −M' I' − ∂Y ∂ i J = ≠ 0. ∂L ∂ L ∂Y ∂ i Th t v y: −SY − M' I'S − i J = = −L(SiY +− M)′ L(I Y ′ −> S) i 0 LY L i (do I’ 0, S i > 0, L Y > 0, L i 0. Do đĩ n u X 0 tăng thì Y t ăng. ∂X0 J J Tươ ng t , c ũng cĩ th tính đưc: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 55
(1) (2) ∂ i J2 L ∂Y J1 −I' + S = =Y > 0 , = =i > 0, ∂X0 J J ∂Ms0 J J (2) ∂ i J2 −S − M ′ = =Y 0. ðiu này ch ng t n u X 0 t ăng, t c là m c xu t ∂X0 ∂ X 0 kh u t ăng, thì Y t ăng và do đĩ M t ăng, t c là m c nh p kh u cân b ng cũng ph i t ăng. T ươ ng t , c ũng cĩ th tìm đưc d u c a các đ o hàm riêng c a M , I , S và L theo X 0 và M s0 và phân tích ý ngh ĩa c a chúng. 2.5. M t s đim h n ch c a phân tích so sánh t ĩnh Phân tích so sánh t ĩnh là m t l ĩnh v c nghiên c u quan tr ng trong phân tích kinh t . Nĩ cho bi t bi n đ ng phá v tr ng thái cân b ng hi n t i c a mt tham s hay c a m t bi n ngo i sinh s nh h ưng nh ư th nào đn tr ng thái cân b ng. Tuy nhiên, phân tích so sánh t ĩnh cĩ m t s đim h n ch nh ư sau: – Phân tích so sánh t ĩnh khơng ch ra đưc quá trình hi u ch nh đ đi t tr ng thái cân b ng c ũ v tr ng thái cân b ng m i. – Phân tích so sánh t ĩnh c ũng khơng xét đ n y u t th i gian trong quá trình đi t tr ng thái cân b ng c ũ t i tr ng thái cân b ng m i. – Vi nh ng s b t n trong mơ hình kinh t ch ưa ch c tr ng thái cân bng m i (theo tính tốn phân tích) đt đưc trong th c t . ð kh c ph c nh ng đim h n ch trên, chúng ta c n nghiên c u m t lĩnh v c khác trong phân tích kinh t . ðĩ là phân tích cân b ng đ ng trong l ĩnh v c kinh t đ ng ( economic dynamics ). Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 56
Bài t p Chươ ng III Bài 1. Xét hàm t ng chi phí C ph thu c vào m c s n xu t đ u ra Q nh ư sau: C = Q 3 – 5Q 2 + 14Q + 75 ( đây 75 là chi phí c đ nh). a) Vi t bi u th c c a hàm chi phí bi n thiên VC. b) Tìm đo hàm c a hàm VC và cho bi t ý ngh ĩa c a nĩ. Bài 2. Cho bi t hàm chi phí trung bình AC = Q 2 – 4Q + 214. Hãy tìm hàm chi phí biên MC và cho bi t hàm chi phí biên là thích h p đ i v i phân tích ng n h n hay dài h n. Bài 3. Cho bi t hàm doanh thu trung bình AR = 60 – 3Q. a) V đưng doanh thu trung bình AR, sau đĩ v đưng doanh thu biên MR theo ph ươ ng pháp đã bi t (d a vào hình III.2). b) T bi u th c c a hàm doanh thu trung bình hãy xác đnh các hàm tng doanh thu và hàm doanh thu biên. Hãy ki m nghi m r ng hàm doanh thu biên tìm đưc thơng qua ph ươ ng pháp đ th trong câu a) và thơng qua ph ươ ng pháp gi i tích trong câu b) là trùng nhau. c) Hãy so sánh các đưng doanh thu trung bình và doanh thu biên và so sánh đ d c c a chúng t i m i m c s n ph m đ u ra Q. Bài 4. Xét hàm tiêu dùng C = a + bY v i a > 0 và 0 < b < 1. a) Hãy vi t bi u th c c a hàm tiêu dùng biên và hàm tiêu dùng trung bình. b) Tìm h s co giãn đim εCY c a thu nh p Y theo m c tiêu dùng C. Hãy đư a ra nh n xét v d u và đ l n c a εCY . Bài 5. Xét hàm c u cĩ bi u th c Q = k/P n v i k và n là các h ng s d ươ ng. a) Hãy cho bi t h s co giãn c a c u Q theo giá c P cĩ ph thu c vào giá c hay khơng? b) V đ th c a đưng c u khi n = 1 và cho bi t cơng th c tìm h s co giãn đim c a c u trong tr ưng h p này. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 57
Bài 6. Gi s hàm cung c a m t lo i hàng hĩa cĩ d ng sau: Q = a + bP 2 + R 1/2 (a 0), trong đĩ R là l ưng m ưa (m c cung hàng ph thu c vào th i ti t). Hãy tìm các h s co giãn đim εQP và εQR và phân tích ý ngh ĩa c a các bi u th c thu đưc. Bài 7. Xét mơ hình thu nh p qu c dân (v i Y, C, I 0, G 0 và T theo th t là thu nh p qu c dân, tiêu dùng qu c dân, t ng đ u t ư qu c gia, t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc và t ng thu thu qu c gia): Y−−− C I G = 0  0 0 C−α−β (Y − T) = 0  T−γ−δ Y = 0. a) Hãy phân tích ý ngh ĩa c a các tham s α, β, δ và γ. b) Áp d ng đ nh lí hàm n đ th c hi n phân tích so sánh t ĩnh mơ hình trên. Bài 8. Xét điu ki n cân b ng trong mơ hình thu nh p qu c dân: S(Y) + T(Y) = I(Y) + G 0 (S’, T’, I’ > 0; S’ + T’ > I’), trong đĩ S, Y, T, I và G l n l ưt là m c ti t ki m qu c dân, thu nh p qu c dân, t ng thu thu qu c gia, t ng đ u t ư qu c gia và t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc. Gi s các đ o hàm c a các hàm S, T, I đu liên t c. a) Hãy phân tích ý ngh ĩa c a các đ o hàm S’, T’ và I’. b) Hãy ki m nghi m các gi thi t c a đ nh lí hàm n. c) Tìm dY / dG 0 và cho bi t ý ngh ĩa kinh t c a nĩ. Bài 9. Xét mơ hình cân b ng th tr ưng v i m t m t hàng sau đây: Qd = D(P, t 0) ( ∂D / ∂ P 0), Qs = Q s0 , Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 58
trong đĩ t 0 là s thích c a ng ưi tiêu dùng, cịn các đo hàm riêng c a D theo P và theo t 0 đu liên t c. a) Hãy cho bi t đ nh lí hàm n cĩ th áp d ng đưc hay khơng? b) T đĩ cho bi t v khuynh h ưng bi n đ ng c a m c cân b ng cung c u ph thu c vào s thích c a ng ưi tiêu dùng. Bài 10. Xét mơ hình thu nh p qu c dân sau đây: Y – C(Y) – I(i) – G 0 = 0 (0 < C’ < 1, I’ < 0), kY + L(i) – M s0 = 0 (k là h ng s d ươ ng; L’ < 0), trong đĩ Y, C, I, i, L, G 0 và M s0 ln l ưt là thu nh p qu c dân, tiêu dùng qu c dân, t ng đ u t ư qu c gia, lãi su t ngân hàng, hàm thanh kho n, t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc và m c cung ti n t . Các bi n Y, I là các bi n n i sinh, cịn các bi n G 0 và M s0 là các bi n ngo i sinh. a) Hãy cho bi t các ph ươ ng trình trên cĩ mơ t các điu ki n cân bng hay khơng? b) Cho bi t l ưng c u ti n t trong mơ hình trên đưc tính theo cơng th c nào? c) Hãy th c hi n phân tích so sánh t ĩnh khi l ưng cung ti n t M s0 (chính sách ti n t ) và t ng chi phí cho b máy hành chính nhà n ưc G 0 (chính sách cơng kh ) thay đ i. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 59
Ch ươ ng IV M T S MƠ HÌNH T I ƯU TRONG KINH T 1. Phân tích cân b ng thơng qua mơ hình t i ưu khơng ràng bu c 1.1. Mơ hình t i ưu m t bi n khơng ràng bu c ðnh ngh ĩa 1. Xét hàm s m t bi n y = f(x) v i x ∈ D ⊂ R 1. D đưc gi là mi n xác đ nh c a hàm s . – ðim x ∈ D đưc g i là đim c c đ i đ a ph ươ ng c a hàm s , n u ∀x ∈ D Ι Nε( x ) (trong đĩ N ε( x ) là m t lân c n ε nào đĩ c a x ) thì luơn cĩ f( x )≥ f(x). – ðim x ∈ D đưc g i là đim c c đ i tồn c c c a hàm s , n u ∀x ∈ D thì luơn cĩ f( x )≥ f(x). Tươ ng t , cĩ th đ nh ngh ĩa khái ni m c c ti u đ a ph ươ ng và c c ti u tồn c c. Các đim c c ti u hay c c đ i đưc g i chung là đim c c tr . Ví d 1. Xét hàm s y= f(x) v i mi n xác đ nh [a, b] ⊂ R 1 cĩ đ th cho trên hình IV.1. Hàm s cĩ m t s đim c c đ i và c c ti u đ a ph ươ ng, trong s đĩ x 0 là đim c c đ i tồn c c duy nh t, cịn x 1 là đim cc ti u tồn c c duy nh t. y y = f(x) O a x1 x0 b x Hình IV.1 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 60
ðiu ki n c c tr khơng cĩ ràng bu c c a hàm m t bi n 1 Xét hàm m t bi n y = f(x) xác đnh trong mi n D ≡ R . Gi s t i x 0, tn t i f’(x 0). Lúc đĩ ta cĩ khai tri n Taylor đ n vi phân c p m t: f(x) = f(x 0) + f’(x 0)(x – x 0) + o( x – x 0) ⇔ f(x) = f(x 0) + dy + o( x – x 0). Trong cơng th c trên, kí hi u o( α) đ ch l ưng vơ cùng bé b c cao hơn α. Do đĩ, n u x 0 là đim c c tr thì ta ph i cĩ f’(x 0) = 0. Th t v y, gi s x 0 là đim c c ti u và f’(x 0) ≠ 0, ch ng h n f’(x 0) > 0. Lúc đĩ, t n ti các đim x thu c vào lân c n N ε(x 0) th a mãn điu ki n x 0 thì x o là c c ti u f’’(x 0) > 0 thì x o là c c ti u. Chú ý. Khi f’’(x 0) = 0 thì ta khơng đư a ra đưc k t lu n v vi c x 0 cĩ ph i là đim c c tr hay khơng. Mu n cĩ đưc k t lu n, c n ph i kh o sát du c a đ o hàm c p cao h ơn t i x 0. Ví d 2. ðiu ki n đ t l i nhu n t i đa. Xét các hàm doanh thu và chi phí R = R(Q), C = C(Q) ph thu c vào Q là m c s n xu t đ u ra. Các hàm doanh thu và chi phí tính theo đơ n v ti n t (ch ng h n USD), cịn Q tính theo đơ n v s n ph m (ch ng h n, bng t n). Lúc đĩ, hàm l i nhu n cĩ d ng: Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 61
π=−=R C R(Q) − C(Q) . ðiu ki n c n đ cĩ l i nhu n c c đ i là: π′(Q) =⇔ 0 R(Q) ′ = C(Q) ′ . ðiu ki n đ : π′(Q) =⇔ 0 R(Q) ′ = C(Q) ′ π′′ < 0 ⇔ R′′(Q) < C′′(Q) Xét các hàm: R(Q) = 1200Q– 2Q 2 C(Q) = Q 3 – 61,25Q 2 + 1528,5Q + 2000 3 2 π(Q) = – Q + 59,25Q – 328,5Q – 2000. 2 Ta cĩ π′ (Q) = –3Q + 118,5Q – 328,5 = 0 t i Q 1 = 3 và Q 3 = 36,5. Các đim này th a mãn điu ki n c n R’(Q) = C’(Q) hay các hàm doanh thu biên MR = R’ và MC = C’ cĩ giá tr b ng nhau. π′′ (Q) = – 6Q + 118,5 cĩ d u d ươ ng t i Q 1 = 3 và cĩ d u âm t i Q3 = 36,5. R C C(Q) MR MC N MC R(Q) L MR K Q Q Q5 Q1 Q2 Q3 O Q1 Q 2 3 4 Q O Q R R Π =R –C M Hình IV.2 Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 62
Trên hình IV.2, đim Q 3 chính là đim làm hàm l i nhu n đ t c c đi. V y m c s n xu t t i ưu là Q 3 = 36,5 t n cho l i nhu n c c đ i là 16318,44 USD. R Ví d 3. Xét hàm doanh thu trung bình ( average revenue ) AR= f(Q) = Q Vy R = Q ×f(Q), do đĩ hàm doanh thu biên là: R′ = MR = (f Q) + Qf ′(Q) . Trong ví d 3 c a Ch ươ ng III, đ th c a hàm doanh thu biên MR hay R’ là đưng th ng. Trong các tr ưng h p t ng quát, cĩ th x y ra là MR cĩ đ th lõm lên ho c lõm xu ng nh ư minh h a trên hình IV.3. R′′ > 0 R′′ < 0 Hình IV.3 d Ta cĩ: R ′′ = MR = f2 ′(Q) + Qf ′′(Q) . dQ Xét tr ưng h p f ′(Q) < 0 , t c là khi Q t ăng thì doanh thu trung bình gi m trong điu ki n c nh tranh khơng hồn h o. Tuy nhiên, s h ng th hai Qf’’(Q) cĩ th cĩ d u tùy ý (d ươ ng, âm hay b ng 0) tùy theo đưng AR = f(Q) là lõm lên hay lõm xu ng. Do đĩ R’’ cĩ th cĩ d u trùng v i d u c a f’’(Q). Ch ng h n, qua kh o sát th ng kê chúng ta cĩ m i quan h sau đây: AR = f(Q) = 8000 – 23Q + 1,1Q 2 – 0,018Q 3. Vy R = Q ×f(Q) = 8000Q – 23Q 2 + 1,1Q 3 – 0,018Q 4 ⇒ R’ = MR = 8000 – 46Q + 3,3Q 2 – 0,072Q 3 ⇒ R’’ = – 46 + 6,6Q – 0,216Q 2. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 63
Q1 = 10,76 ðiu ki n R′′ = 0 ⇔  Q2 = 19,79. R’’ O Q1 Q2 Q Hình IV.4 Xét Q∈( Q,Q1 2 ) . Lúc này R’’(Q) > 0, nên MR c ũng nh ư AR tăng khi Q ch y t Q 1 đn Q 2. Tuy nhiên, trong ví d này, vi c doanh thu biên hay doanh thu trung bình t ăng khơng d n t i vi c doanh thu đ t c c đ i. Th t v y, R’’(Q) 1 t ươ ng ng vi vi c tính lãi kép. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 64
– Ta cĩ m = 1 khi tính lãi đơ n (m t năm tính lãi m t l n). Cho r = 2%, l ưng v n đ u t ư ban đu A = 1000 USD, t = 1 thì V 1(1) = 1000(1+2%) 1 = 1020 USD. T c là, sau m t n ăm c ng c v n l n lãi ta cĩ 2 1020 USD. Vi t = 2, ta cĩ V 1(2) = 1000(1,02) = 1040,4 USD. V i t = 3 ta cĩ V 1(3) = 1061,2 USD. 2t – Ta cĩ m = 2 khi tính lãi kép, m t n ăm tính lãi 2 l n: V 2(t) = A(1+ r/2) . 2 Cho A = 1000 USD, r = 2% thì cĩ V 2(1) = 1000(1,01) = 1020,1 USD, 4 6 V2(2) = 1000(1,01) = 1040,6 USD, V 2(3) = 1000(1,01) = 1061,5 USD. – Tính lãi kép liên t c là tr ưng h p gi i h n khi s l n tính lãi trong năm là r t nhi u l n (ta coi m → ∞). mt rt Ta cĩ limVm (t)= limA() 1 + r/m = Ae = V(t). Do đĩ: m→∞ m →∞ t = 1 ⇒ V(1) = Ae r = 1000e 0,02 = 1020,2 USD, t = 2 ⇒V(2) = Ae 2r = 1000e 0,04 = 1040,8 USD, t = 3 ⇒ V(3) = Ae 3r = 1000e 0,06 = 1061,8 USD. Cĩ th nh n xét r ng trong ví d trên vi c tính lãi đơ n, lãi kép r i r c hay lãi kép liên t c khơng nh h ưng t i k t qu c a hàm t ăng tr ưng (v n đ u t ư). Nh ư v y, chúng ta đã xét hai d ng hàm t ăng tr ưng v n đ u t ư:  r  mt a) V )t( = A1+  khi lãi g p hình thành r i r c (ph thu c vào  m  m = 1, 2, 3, ), b) V = Ae rt khi lãi g p hình thành liên t c (m = ∞ ), vi t là th i gian đ u t ư, A v n g c và r là lãi su t / m t n ăm. Rõ ràng r ng vi c hàm t ăng tr ưng t ăng nhanh hay ch m ph thu c vào r. Sau đây chúng ta s bi t r chính là t c đ t ăng tr ưng c a hàm t ăng tr ưng. ðnh ngh ĩa 2. Hàm t ăng tr ưng là m t hàm s đ ng bi n ph thu c vào th i gian t, thơng th ưng đưc kí hi u b i V = V(t). Xét hàm t ăng tr ưng ph thu c vào t m t cách liên t c. Lúc đĩ, n u t n t i r v = V’/V = (lnV)’ thì rv đưc g i là t c đ t ăng tr ưng (hay h s t ăng tr ưng) c a V. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 65
Quay l i ví d 4 trên đây, v i hàm t ăng tr ưng V = Ae rt ta cĩ: V′ (Ae rt )′ rv = = = r . V Ae rt Vy lãi su t / n ăm r chính là t c đ t ăng tr ưng. Ví d 5. Thu nh p qu c dân cĩ t c đ t ăng tr ưng 8% và dân s cĩ tc đ t ăng tr ưng 2%. Hãy xác đnh thu nh p bình quân theo đu ng ưi tăng bao nhiêu % m t n ăm? ðt thu nh p bình quân đu ng ưi là P c, thu nh p qu c dân là Y và dân s là N. T t c các bi n này đu ph thu c vào t. Rõ ràng P c = Y/N. Do đĩ lnP c = lnY – lnN ⇒ (ln Pc )′= (ln Y) ′ − (ln N) ′ P′ Y′ N ′ ⇒ c = − =8% − 2% = 6% . V y thu nh p bình quân theo đu Pc Y N ng ưi t ăng 6% m t n ăm. Ví d 6. Cho t c đ t ăng tr ưng c a v n là r = 2% / n ăm. Hãy xác đnh sau bao nhiêu n ăm thì t v n đ u t ư ban đu 1000 USD s cĩ 1500USD. Theo đnh ngh ĩa r = V’/V = 2%. Gi i ph ươ ng trình vi phân này ta cĩ: V= Aert = 1000e 0,02t (v i V(0) = 1000). Tìm t t 1000e 0,02t = 1500 thì cĩ t = (ln1,5)/0,02 = 20,27326 năm (kho ng 20 n ăm 3 tháng). ðnh ngh ĩa 3. Hàm gi m tr ưng là hàm ngh ch bi n ph thu c vào th i gian t. Hàm kh u hao trong kinh t c ũng cĩ th coi là hàm gi m tr ưng, hay hàm t ăng tr ưng v i t c đ t ăng tr ưng âm. Ví d 7. Cho A 1 = 1000 USD là giá m t máy tính khi m i mua v i t l kh u hao r = 10% / n ăm. Hãy tính giá tr c a máy tính sau t n ăm s t −0,1 × t dng. Ta cĩ xét hàm V 1(t) = 1000(1 – 10%) ≈1000e . Do đĩ sau kho ng 30 n ăm, giá tr c a máy tính sau khi tính kh u hao s cịn l i kho ng 50 USD. Nh ư v y, hàm kh u hao V 1(t) chính là hàm gi m tr ưng vi t c đ t ăng tr ưng âm x p x – 10%/ n ăm. Ví d 8. Xét hàm t ăng tr ưng V(t)= A × 2t = Ae t ln 2 trong m t cơng vi c kinh doanh nào đĩ (ch ng h n, kinh doanh b t đ ng s n). Gi Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 66
s r = 5% là lãi su t ngân hàng. H i khi nào thì nên d ng cơng vi c kinh doanh trên? ln 2 2 Cách 1: Xét điu ki n r v = > r c = 0,05 ⇔ t 0 nên điu ki n đ c a đim c c đ i đưc th a mãn. V y sau kho ng 48 n ăm thì cơng vi c kinh doanh trên nên k t thúc. 1.3. Phân tích cân b ng thơng qua mơ hình t i ưu nhi u bi n khơng ràng bu c ðnh ngh ĩa 4. Cho hàm s n bi n f: D ⊂ R n → R. – ðim x ∈ R n đưc g i là đim c c đ i đ a ph ươ ng n u x ∈ D và t n t i m t lân c n N ε đ nh c a đim x sao cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ D Ι Nε( x ). – ðim x ∈ R n đưc g i là đim c c đ i tồn c c n u x ∈ D và t n ti m t lân c n N ε đ nh c a đim x sao cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ D. Tươ ng t , cĩ th đ nh ngh ĩa khái ni m cc ti u đ a ph ươ ng và c c ti u tồn c c. Các đim c c đ i hay c c ti u đưc g i chung là đim c c tr . D th y, m i đim c c đ i (c c ti u) tồn c c c ũng là đim c c đ i (c c ti u) đ a ph ươ ng, trong khi đĩ điu ng ưc l i khơng nh t thi t luơn x y ra. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 67
ðiu ki n c c tr khơng ràng bu c c a hàm hai bi n Xét hàm hai bi n: z = f(x, y) xác đ nh trong mi n D ≡ R 2 vi điu ki n vi phân tồn ph n c p m t: dz = z′x x( 0 y, 0 )dx + z′y x( 0 y, 0 )dy t n t i ti (x 0, y 0). Lúc đĩ ta cĩ khai tri n Taylor cho hàm f(x, y) đn vi phân c p m t ti (x 0, y 0) t ươ ng ng v i các s gia riêng ∆x và ∆y là: x(f 0 + ∆ y,x 0 + ∆ )y = x(f 0 y, 0 ) + z′x dx + z′y dy + (o ρ) , vi ρ = (∆ )x 2 + (∆ )y 2 . Cĩ th th y z = x(f 0 y, 0 ) + z′x dx + z′ydy là ph ươ ng trình c a m t ph ng ti p xúc v i m t cong z = f(x, y) t i (x 0, y 0). Ngồi ra, điu ki n cn đ hàm z = f(x, y) cĩ c c tr t i (x 0, y 0) là dz = 0. 2 Nu t n t i vi phân tồn ph n c p hai d z t i (x 0, y 0), thì khai tri n Taylor t i vi phân c p hai đưc vi t nh ư sau: d 2 z x(f + ∆ y,x + ∆ )y = x(f y, ) + dz + + (o ρ2 ) . 0 0 0 0 2! Trong đĩ: 2 d z = d(dz) = z(d ′x dx + z′y dy ) = z( ′xx′ dx + z′xy′ dy )dx + z( ′yx′ dx + z′yy′ dy )dy z′′2 z ′′xy  dx  = z′′ dx2+ 2z ′′ dydx + z ′′ dy 2 = dx dy x  . x2xy y 2 []   z′′ z ′′ 2  dy xy y    Vy điu ki n đ đ z = f(x,y) cĩ c c tr t i (x 0,y 0) là: z′x  z′x = 0 dz = [dx dy]   = 0 ∀ dx, dy ⇔  z′y  z′y = 0 2 d z > 0 ∀ dx, dy khơng đng th i b ng 0 ⇒ (x 0, y 0) là đim c c ti u 2 d z < 0 ∀ dx, dy khơng đng th i b ng 0 ⇒ (x 0, y 0) là đim c c đ i. Tr ưng ði h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Các ph ương pháp tốn kinh t 68