Toán học - Bài 2: Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ

Nội dung text: Toán học - Bài 2: Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ

1. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng a0, a1, a2, là hằng số n Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0) (1) hoặc n un(x)=anx (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
2. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Miền HT của chuỗi lũy thừa là tập D nếu chuỗi số HT Ví dụ: Chuỗi Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1 Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
3. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi xác định với mọi x Khi |x| 1: Cho Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
4. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa HT tại x=x0, tức là chuỗi số HT. Theo đkccsht ta được Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: Nếu |x|<|x0| thì chuỗi HT Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh. Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.
5. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : Nếu chuỗi lũy thừa HT tại thì nó HTTĐ tại mọi điểm Hệ quả: Nếu chuỗi PK tại x1 thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): Số R>0 sao cho chuỗi HT với mọi x: |x| R được gọi là BKHT của chuỗi
6. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa Đặt: Thì BKHT là Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
7. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n : BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 2. Khi x=2: là chuỗi số dương HT Khi x=-2: là chuỗi HTTĐ Vậy MHT [-2,2]
8. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: 1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5) → R=5 Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
9. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 2. Chuỗi lũy thừa với → R=2 Ta chỉ xét X=2: Chuỗi PK theo đkccsht vì Suy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
10. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 3. Chuỗi lũy thừa với → R=0 Vậy BKHT R=0, MHT là {0}
11. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với → R=e Khi X=e: Tuy nhiên, vì Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert
12. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với , R=e Khi X=-e: Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi -1 1 Vậy BKHT R=e, MHT (-∞, /e)U( /e,+ ∞)
13. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Tính chất của chuỗi lũy thừa: Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
14. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau 1. Chuỗi có Dễ dàng suy ra R=1. Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt Vậy:
15. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, ta đặt
16. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, ta đặt Vậy:
17. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, ta đặt Sử dụng kết quả câu 1. Vậy :
18. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x).
19. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n thì Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint
20. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
21. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
22. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm: 1. Vậy: MHT: (-2,2) Chuỗi HT nếu ↔ -2<x<2
23. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) MHT: (-1,1) Chuỗi HT nếu
24. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: Ta tính Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):
25. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Hàm khai triển được nếu Suy ra: MHT :
26. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm Đặt X=x-3 MHT: (1,5)
27. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt
28. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Vậy:
29. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
30. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
31. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phân Ta có: Thay vào tích phân trên Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2+ +un và tổng S
32. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Vậy
33. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau 1. 2.
34. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 3.
35. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 4.