Toán học - Bài 1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Nội dung text: Toán học - Bài 1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

1. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó π π D là miền giới hạn bởi : /4≤max{|x|,|y|} ≤ /2 Miền D được chia thành 4 phần D3 D1 D4 D2
2. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ
3. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 D1 D2 D2
4. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ: Tính tích phân Với D là miền giới hạn bởi Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. 1 Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy 1
5. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau Ta vẽ miền lấy tích phân 2 D: D2 Chiếu miền D vừa vẽ xuống D1 trục Ox -2 2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2
6. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa M(x,y) độ Descartes. r Đặt : φ Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là
7. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng 2. cách đặt : x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ Thì ta được pt r = 1 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 ↔
8. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Công thức đổi biến sang tọa độ cực Trong đó = r Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse
9. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. π Ta được φ đi từ 0 đến /2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên.
10. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy :
11. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi y π y=√3x ↔ /x = √3 ↔ φ = /3 Suy ra: Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a
12. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi 3π y > 0, x+y=0 ↔ φ = /4 3π Suy ra : /4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ
13. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân
14. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm 1 hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. 1 2 Thực hiện 2 việc trên bằng 1 -1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt
15. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, miền D giới hạn bởi Vậy :
16. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi Ta đổi biến sang tọa độ cực b mở rộng bằng cách đặt a Thì D giới hạn bởi