Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số
32 trang
3290
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- toan_cao_cap_chuong_1_ham_so_mot_bien_so.pdf
Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Chu ỗi s ố TO ÁN CAO C P A1 TO ÁN CAO C P A1 Ch ươ ng 5. Đạ i s ố tuyến tớnh CAO Đ NG Tài li ệu tham kh ảo PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRèNH 1. Nguy ễn Phỳ Vinh – Giỏo trỡnh Toỏn cao c ấp PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRèNH (b ậc Cao đẳ ng) S ti t: 45 – ĐH Cụng nghi ệp TP. HCM. 2. Nguy ễn Đỡnh Trớ – Toỏn cao c ấp T ập 1, 2 (Dựng cho SV Cao đẳ ng) Ch ươ ng 1. Hàm s ố một bi ến số –NXB Giỏo d ục. Ch ươ ng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm m ột bi ến s ố Biờn so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyờn Ch ươ ng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm m ột bi ến s ố T i Slide bài gi ng To ỏn A 1 CĐ t i dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đ1. B ổ tỳc v ề hàm s ố – N ếu fx()= fx () ⇒ x = x thỡ f là đơ n ỏnh . Đ2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố 1 2 12 Đ3. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ – vụ cựng l ớn – N ếu f(X) = Y thỡ f là toàn ỏnh . Đ4. Hàm s ố liờn t ục – N ếu f v ừa đơ n ỏnh v ừa toàn ỏnh thỡ f là song ỏnh . . VD 1. Đ1. B Ổ TÚC V Ề HÀM S Ố a) Hàm s ố f : ℝ→ ℝ th ỏa y= f( x ) = 2 x là đơ n ỏnh. 1.1. Khỏi ni ệm c ơ b ản b) Hàm s ố f :ℝ → [0; +∞ ) th ỏa f( x ) = x 2 là toàn ỏnh. 1.1.1. Đị nh ngh ĩa hàm s ố ℝ • Cho X, Y ⊂ ℝ khỏc r ỗng. c) Hsố f : (0;+∞ ) → th ỏa f( x )= ln x là song ỏnh. Ánh x ạ f: X→ Y v ới x֏ y= fx( ) là m ột hàm s ố. • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm ch ẵn n ếu: Khi đú: fx()−= fx (), ∀∈ x D f . – Mi ền xỏc đị nh (MX Đ) c ủa f, ký hi ệu Df, là t ập X. – Mi ền giỏ tr ị (MGT) c ủa f là: • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm l ẻ n ếu: fx()− =− fx (), ∀∈ xD . G={ y = fxx( ) ∈ X }. f Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Nh ận xột 1.1.3. Hàm s ố ng ượ c – Đồ thị c ủa hàm s ố ch ẵn đố i x ứng qua tr ục tung. – Đồ th ị c ủa hàm s ố l ẻ đố i x ứng qua g ốc t ọa độ . • Hàm s ố g đượ c g ọi là hàm s ố ng ượ c c ủa f, ký hi ệu g= f −1, n ếu x= gy( ), ∀ y ∈ G . 1.1.2. Hàm s ố h ợp f Nh ận xột • Cho hai hàm s ố f và g th ỏa điều ki ện Gg⊂ D f . −1 Khi đú, hàm s ố hx()= ( f gx )() = fgx [()] đượ c g ọi là – Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) hàm s ố h ợp c ủa f và g. đố i x ứng v ới đồ th ị của hàm s ố y= f( x ) qua Chỳ ý đườ ng th ẳng y= x . (fgx )()≠ ( gfx )(). x VD 2. Hàm s ố y=2( x2 + 1) 2 −− x 2 1 là hàm h ợp c ủa VD 3. Cho f( x )= 2 thỡ 2 2 f−1 x x fx( )= 2 x − x và g( x )= x + 1 . ( )= log 2 , m ọi x > 0. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 1
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 1.2. Hàm s ố l ượ ng giỏc ng ượ c 1.2.2. Hàm s ố y = arccos x 1.2.1. Hàm s ố y = arcsin x • Hàm s ố y= cos x cú hàm ng ượ c trờn [0;π ] là π π • Hàm s ố y= sin x cú hàm ng ượ c trờn − ; là f −1 : [− 1; 1] → [0; π ] 2 2 π π x֏ y x . f −1 : [− 1; 1] → − ; = arccos 2 2 π VD 5. arccos 0 = ; x֏ y= arcsin x . 2 arccos(− 1) = π ; VD 4. arcsin0= 0 ; 3 π −1 2 π π arccos = ; arccos = . arcsin(− 1) = − ; 2 6 2 3 2 Chỳ ý 3 π π arcsin = . arcsinx+ arccos x = , ∀∈− x [ 1; 1]. 2 3 2 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 1.2.3. Hàm s ố y = arctan x 1.2.4. Hàm s ố y = arc cot x π π • Hàm s ố y= tan x cú hàm ng ượ c trờn − ; là • Hàm s ố y= cot x cú hàm ng ượ c trờn (0;π ) là 2 2 −1 π π −1 f :ℝ → − ; f :ℝ → (0; π ) 2 2 x֏ y arc x x֏ y= arctan x . = cot . π VD 6. arctan 0= 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(− 1) = − ; 3π 4 arc cot(− 1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . 6 π π Quy ướ c. arctan(+∞=) , arctan( −∞=−) . Quy ướ c. arccot(+∞= ) 0, arc cot( −∞=π ) . 2 2 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đ2. GI ỚI H ẠN C ỦA HÀM S Ố Đị nh ngh ĩa 3 (gi ới h ạn t ại vụ cựng) • Ta núi f(x) cú gi ới h ạn là L (h ữu h ạn) khi x , 2.1. Cỏc định ngh ĩa → +∞ ký hi ệu limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tỡm Đị nh ngh ĩa 1 x →+∞ • Cho hàm s ố f(x) xỏc đị nh trờn ( a; b ). Ta núi f(x) cú gi ới đượ c N > 0 đủ l ớn sao cho khi x > N thỡ f( x ) − L 0 cho limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tỡm đượ c δ > 0 x →−∞ x→ x 0 tr ướ c ta tỡm đượ c N 0 lớn tựy ý cho tr ướ c ta x→ x 0 limf ( x ) = L , n ếu mọi dóy { xn} trong (a ; b )\{ x 0 } mà x→ x 0 tỡm đượ c δ > 0 sao cho khi 0 M . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 2
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s • T ươ ng t ự, ký hi ệu limf ( x ) = −∞ , n ếu ∀M 0 sao cho Cho limf ( x ) = a và limg ( x ) = b . Khi đú: x→ x 0 x→ x 0 khi 0 x 0 thỡ ta núi f(x) cú gi ới h ạn ph ải t ại x0 (h ữu hạn), ký hi ệu limf ( x ) = L ho ặc limf ( x ) = L . 3) lim[fxgx ( ) ( )] = ab ; + x→ x 0 x→ x 0 + 0 x→ x 0 f( x ) a • N ếu f(x) cú gi ới h ạn là L (cú th ể là vụ cựng) khi x→ x 0 4) lim= , b ≠ 0 ; x→ x g( x ) b với x 0, lim vxb () = thỡ: m m xx→ xx → x→∞ −1 0 0 bxbxm+ m −1 + + b 0 v( x ) b lim[()]u x= a . an x→ x 0 a) L = n ếu n= m ; 2x bn x 2x −1 b) L = 0 n ếu n m . sinαx tan α x A. L = 9; B. L = 4; C. L = 1; D. L = 0. 3) lim= lim = 1 . αx →0αx α x → 0 α x 4) S ố e: Cỏc kết quả cần nhớ x 1 1 1 1 1) lim= −∞ , lim = +∞. lim1 + = lim1() +xx = e . − + x x x→0x x → 0 x →±∞x →0 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2x Đ3. ĐẠ I L ƯỢ NG Vễ CÙNG Bẫ – Vễ CÙNG L ỚN 3x VD 2. Tỡm gi ới h ạn L =lim 1 + . x→∞ x 2 2+ 1 3.1. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ A. L = ∞; B. L= e 3; C. L= e 2; D. L = 1. a) Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố α(x ) đượ c g ọi là đại lượng vụ cựng bộ (VCB ) 1 khi x→ x 0 n ếu limα (x ) = 0 ( x0 cú th ể là vụ cựng). x→ x 0 VD 3. Tỡm gi ới h ạn L=lim 1 + tan 2 x 4x . x→0+ ( ) 3 − A. L = ∞; B. L = 1; C. L= 4 e ; D. L= e . VD 1. α(x ) = tan( sin 1 − x ) là VCB khi x → 1 ; 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞. ln 2 x Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 3
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s c) So sỏnh cỏc VCB b) Tớnh ch ất c ủa VCB • Đị nh ngh ĩa x 1) Nếu α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x thỡ α( ) 0 Cho α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x 0, lim = k . x→ x 0 β(x ) α()x ± β () x và α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. Khi đú: – Nếu k , ta núi x là VCB cấp cao h ơn x , 2) N ếu α(x ) là VCB và β(x ) b ị ch ận trong lõn c ận x0 = 0 α( ) β( ) ký hi ệu α(x ) = 0( β ( x )) . thỡ α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. – Nếu k = ∞, ta núi α(x ) là VCB cấp th ấp h ơn β(x ) . 3) lim()fx= a ⇔ fx () =+α a () x , trong đú α(x ) là x→ x 0 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB VCB khi x→ x 0. cựng c ấp. – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB tươ ng đươ ng , ký hi ệu α()x∼ β () x . Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s VD 2. • Tớnh ch ất c ủa VCB t ươ ng đươ ng khi x → x0 2 1) xx∼ xx x x . • 1− cos x là VCB cựng c ấp v ới x khi x → 0 vỡ: α() β () ⇔α () −β () =α 0(()) =β 0(()) 2) Nếu α()x∼ β (), x β() x ∼ γ () x thỡ α()x∼ γ () x . 2 x 2 sin ∼ ∼ 1− cosx 1 3) Nếu α1()x β 1 (), x α 2 () x β 2 () x thỡ lim= lim 2 = . 2 2 αα()xx ()∼ ββ ()() xx . x→0x x → 0 2 12 12 x 4 4) N ếu α(x ) = 0( β ( x )) thỡ α()x +β () x∼ β () x . 2 • sin2 3(x− 1)∼ 9( x − 1) 2 khi x → 1. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCB c ấp cao Cho α(x ), β ( x ) là tổng cỏc VCB khỏc c ấp khi x→ x 0 α(x ) thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCB cấp th ấp x→ x 0 β(x ) nh ất của t ử và m ẫu. Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s x3 −cos x + 1 ln(1− 2x sin2 x ) VD 3. Tỡm gi ới h ạn L = lim . VD 4. Tớnh gi ới h ạn L = lim . x→0 x4+ x 2 x→0 sinx2 .tan x • Cỏc VCB t ươ ng đươ ng c ần nh ớ khi x → 0 sin( x+− 1 1) + x2 − 3tan 2 x 1) sin x∼ x ; 2) tan x∼ x ; VD 5. Tớnh L = lim . 3 x→0 sinx+ 2 x 3) arcsin x∼ x ; 4) arctan x∼ x Chỳ ý x 2 Quy t ắc VCB t ươ ng đươ ng khụng ỏp d ụng đượ c cho 5) 1− cos x ∼ ; 6) ex −1 ∼ x ; 2 hi ệu ho ặc t ổng của cỏc VCB nếu chỳng làm tri ệt tiờu tử ho ặc m ẫu c ủa phõn th ức. n x 7) ln(1+ x ) ∼ x ; 8) 1+x − 1 ∼ . eexx+−−2 ( e x −+− 1) ( e − x 1) n VD 6. lim= lim x→0x2 x → 0 x 2 Chỳ ý. Nếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta cú th ể thay x x+( − x ) bởi u( x ) trong 8 cụng th ức trờn. =lim = 0 ( Sai!). x→0 x 2 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 4
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 3.2. Đạ i l ượ ng vụ cựng l ớn b) So sỏnh cỏc VCL a) Đị nh ngh ĩa • Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là đạ i lượng vụ cựng lớn (VCL ) f( x ) Cho fx( ), gx ( ) là cỏc VCL khi x→ x 0, lim = k . khi x→ x 0 n ếu limf ( x ) = ∞ ( x0 cú th ể là vụ cựng). x→ x x→ x 0 g( x ) 0 Khi đú: cosx + 1 VD 7. là VCL khi x → 0; – N ếu k = 0, ta núi f( x ) là VCL cấp th ấp h ơn g( x ) . 2x3 − sin x 3 – N ếu k , ta núi f x là VCL cấp cao h ơn g x . x+ x − 1 = ∞ ( ) ( ) là VCL khi x → +∞. x2 −cos 4 x + 3 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL cựng c ấp. Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) là VCL khi x→ x thỡ 0 – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL 1 là VCB khi x→ x . tươ ng đươ ng . Ký hi ệu fx()∼ gx () . f( x ) 0 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s VD 8. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCL c ấp th ấp Cho f(x) và g(x) là tổng cỏc VCL khỏc c ấp khi x→ x 3 1 0 • là VCL khỏc c ấp v ới khi x → 0 vỡ: f( x ) x 3 2x3 + x thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCL cấp cao nh ất x→ x g( x ) 3 0 3 1 2 x+ x x của t ử và m ẫu. lim : = 3 lim = 3 lim = ∞. x→0xxx332 + x → 0 x 3 x → 0 x 3 VD 9. Tớnh cỏc gi ới h ạn: • 2x3+ x − 1∼ 2 x 3 khi x → +∞. x3 −cos x + 1 x3−2 x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x→∞ 3x+ 2 x x→+∞ 2x7− sin 2 x Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đ4. HÀM S Ố LIấN T ỤC 4.2. Đị nh lý • T ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa cỏc hàm s ố liờn t ục t ại 4.1. Đị nh ngh ĩa x0 là hàm s ố liờn t ục t ại x0. • Hàm s ố s ơ c ấp xỏc đị nh ở đõu thỡ liờn t ục ở đú. • S ố x0 ∈ D f đượ c g ọi là điểm cụ l ập c ủa f(x) n ếu • Hàm s ố liờn t ục trờn m ột đoạn thỡ đạ t giỏ tr ị l ớn nh ất và nh ỏ nh ất trờn đoạn đú. ∃ε>0: ∀∈xx (0 −ε ; x 0 +ε )\{} x 0 thỡ x∉ D f . 4.3. Hàm s ố liờn t ục m ột phớa • Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại x0 n ếu limfx ()= fx (0 ) . • Đị nh ngh ĩa x→ x 0 Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là liờn t ục trỏi (ph ải) t ại x0 n ếu • Hàm s ố f(x) liờn t ục trờn t ập X n ếu f(x) liờn t ục t ại m ọi limfx ()= fx (0 ) ( limfx ()= fx (0 ) ). x→ x − x→ x + điểm x∈ X . 0 0 0 • Đị nh lý Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại x n ếu Quy ướ c 0 limfx ()= lim fx () = fx ( ). − + 0 • Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại m ọi điểm cụ l ập c ủa f(x). xx→0 xx → 0 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 5
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2 2 3tanx+ sin x 4.4. Phõn lo ại điểm giỏn đoạn ,x > 0 VD 1. Cho hàm s ố f( x ) = . 2x • Nếu hàm s ố f( x ) khụng liờn t ục t ại x thỡ x đượ c g ọi α,x ≤ 0 0 0 là điểm giỏn đoạn c ủa f( x ) . Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: • N ếu t ồn t ại cỏc gi ới h ạn: 1 3 A. α = 0; B. α = ; C. α = 1; D. α = . limfx ( )= fx (− ) , limfx ()= fx (+ ) 2 2 − 0 + 0 x→ x 0 x→ x 0 ln(cosx ) x nh ưng f( x − ) , f( x + ) và f( x ) khụng đồng th ời b ằng ,≠ 0 0 0 0 VD 2. Cho hàm s ố f( x ) = 2x x 2 . arctan+ 2 nhau thỡ ta núi x là điểm giỏn đoạn lo ại m ột. 2α − 3,x = 0 0 Ng ượ c l ại, x là điểm giỏn đoạn lo ại hai . Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: 0 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . 12 12 2 2 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ1. Đạ o hàm Nh ận xộ t. Do x = x − x nờn: Đ2. Vi phõn 0 Đ3. Cỏc đị nh lý c ơ b ản v ề hàm kh ả vi – C ực tr ị fx()− fx ( ) ′ 0 Đ4. Cụng th ức Taylor f( x 0 )= lim . x→ x 0 x− x Đ5. Quy t ắc L’Hospital 0 Đ1. ĐẠ O HÀM b) Đạ o hàm m ột phớa 1.1. Cỏc định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận ph ải a) Đị nh ngh ĩa đạ o hàm fx()− fx (0 ) (x0 ; b ) c ủa x0. Gi ới h ạn lim (n ếu cú) Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận (a ; b ) c ủa x→ x + x x 0 − 0 x0 ∈ ( a ; b ) . Giới h ạn: đượ c g ọi là đạ o hàm bờn ph ải của y= f( x ) t ại x . y fx(+ x )() − fx 0 lim= lim 0 0 Ký hi ệu là f′( x + ) . T ươ ng t ự, f′( x − ) . x →0 x x → 0 x 0 0 Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) cú đạ o hàm t ại x0 khi và ch ỉ khi (n ếu cú) đượ c g ọi là đạ o hàm của y= f( x ) t ại x 0. − + ′ ′ fx′()= fx ′ () = fx ′ (). Ký hi ệu là f( x 0 ) hay y( x 0 ) . 0 0 0 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s c) Đạ o hàm vụ cựng 1.2. Cỏc quy t ắc tớnh đạ o hàm y • N ếu t ỉ s ố → ∞ khi x → 0 thỡ ta núi y= f( x ) cú 1) Đạ o hàm t ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa hai hàm s ố: x (uv± ) ′ = u ′ ± v ′ ; (uv ) ′= uv ′ + uv ′ ; đạ o hàm vụ cựng t ại x . 0 ′ ′ k − kv ′ u u′ v− uv ′ • Tươ ng t ự, ta c ũng c ú cỏc khỏi ni ệm đạ o hàm vụ cựng =, k ∈ ℝ; = . 2 2 một phớa. v v v v 3 2) Đạ o hàm c ủa hàm s ố h ợp fx()= yux [()] : VD 1. Cho fx( )= x ⇒ f ′ (0) = ∞, fx( )= x ⇒ f ′ (0+ ) = +∞. fx′()= yuux ′ ().() ′ hay yx′()= yuux ′ ().() ′ . Chỳ ý 3) Đạ o hàm hàm s ố ng ượ c c ủa y= y( x ) : Nếu f( x ) liờn t ục và cú đạ o hàm vụ cựng t ại x thỡ ti ếp 1 0 x′( y ) = . y f x tuy ến t ại x0 c ủa đồ th ị = ( ) song song v ới tr ục Oy . y′( x ) Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 6
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s ′ ′ Đạo hàm c ủa một s ố hàm s ố s ơ c ấp 7) (ex) = e x ; 8) (ax) = a x .ln a ; α′ α− 1 ′ 1 1) x= α . x ; 2) x = ; ( ) ( ) ′ 1 ′ 1 2 x 9) ln x = ; 10) log x = ; ( ) x ( a ) x.ln a 3) sinx′ = cos x ; 4) cosx′ = − sin x ; ( ) ( ) ′ 1 ′ −1 11) (arcsinx) = ; 12)(arccosx) = ; x 2 x 2 1 1 1 − 1 − 5) (tan x)′ = 6) (cot x)′ = − ; 2 x 2 x cos sin ′ 1 ′ −1 =1 + tan 2 x ; 13) (arctan x) = ; 14) (arccot x ) = . 1 + x 2 1 + x 2 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 1.3 . Đạ o hàm hàm s ố cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố 1.4. Đạ o hàm c ấp cao • Cho hàm s ố y= f( x ) cú ph ươ ng trỡnh d ạng tham s ố • Gi ả s ử f( x ) cú đạ o hàm f′( x ) và f′( x ) cú đạ o hàm thỡ ′ x= xt(), y = yt () . Gi ả s ử x= x( t ) cú hàm s ố ng ượ c (fx′()) = fx ′′ () là đạ o hàm c ấp hai c ủa f( x ) . và hàm s ố ng ượ c này cú đạ o hàm thỡ: • Tươ ng t ự ta cú: ′ y′( t ) yt ′ yx′( )= hayy ′ = . (n ) ( n − 1) ′x ′ fx()= f () x là đạ o hàm c ấp n c ủa f( x ) . x( t ) x t ( ) 2 x=2 t − 1 VD 2. Tớnh y′( x ) c ủa hàm s ố cho b ởi ,t ≠ 0 . VD 4. Cho hàm s ố f( x )= sin 2 x . Tớnh đạ o hàm f (6) (0) . y= 4 t 3 A. f (6) (0)= 32 ; B. f (6) (0)= − 32 ; t x= e C. f (6) (0)= − 16 ; D. f (6) (0)= 0 . VD 3. Tớnh y′(1) c ủa hàm s ố cho b ởi . x y= t2 − 2 t Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s (n ) n+1 1.5 . Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn VD 5. Tớnh f( x ) c ủa hàm s ố f( x )= (1 − x ) . • Cho ph ươ ng trỡnh F(,) x y = 0 (*). Nếu y= y( x ) là hàm số xỏc đị nh trong 1 kho ảng nào đú sao cho khi th ế y( x ) vào (*) ta đượ c đồ ng nh ất th ức thỡ y( x ) đượ c g ọi là hàm s ố ẩn xỏc đị nh b ởi (*). n 1 VD 6. Tớnh y( ) c ủa hàm s ố y = . F′ F ′ y ′ 2 • Đạ o hàm hai vế (*) theo x , ta đượ c x+ y. x = 0 . x−3 x − 4 F ′ Vậy y′= −x , F ′ ≠ 0. x′ y Fy ′ ′ y( x ) = y x đượ c g ọi là đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn y( x ) . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 7
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 7. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi xy− ex + e y = 0. Đ2. VI PHÂN Tớnh y′( x ) . 2.1. Vi phõn c ấp m ột • Hàm s ố y f x đượ c g ọi là kh ả vi t ại x D n ếu VD 8. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: = ( ) 0 ∈ f x cú th ể bi ểu di ễn d ướ i xy− e +ln y = 0 (*). Tớnh y′(0) . fx()0 = fx ( 0 + − x )() fx 0 dạng: fx( ) = + Ax . 0( x ) VD 9 . Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: 0 y với A là h ằng s ố và 0( x ) là VCB khi x → 0. lnx2+ y 2 = arctan . Tớnh y′( x ) . x Khi đú, đạ i l ượ ng A. x đượ c g ọi là vi phõn c ủa hàm s ố Chỳ ý y= f( x ) tại x0. Ký hi ệu df( x ) hay dy( x ) . Ta cú th ể xem hàm ẩn y( x ) nh ư hàm h ợp u( x ) và th ực 0 0 hi ện đạ o hàm nh ư hàm s ố h ợp. Nh ận xột f( x ) 0( x ) VD 10. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: • fx( ) = + Ax . 0( x ) ⇒0 =A + 0 x x y3+( x 2 + 1) yx + 4 = 0 . Tớnh y′( x ) . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s f( x ) 2.2. Vi phõn c ấp cao ⇒0 →⇒ x →0 A fx′( ) = A . x 0 • Gi ả s ử y= f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp n thỡ ⇒df( x ) = f′ ( x ). x hay df( x )= f′ ( x ). x . n n−1 ( nn ) 0 0 dy= dd( y ) = y dx • Ch ọn fx()= x ⇒ dfx () = ⇒ x dx = x . đượ c g ọi là vi phõn c ấp n c ủa hàm y= f( x ) . Vậy dfx()()= f′ xdxhaydy = ydx ′ . VD 4. Tớnh vi phõn c ấp 2 c ủa hàm s ố y= ln(sin x ) . 2 3 x VD 5. Tớnh vi phõn c ấp n c ủa hàm số y= e 2x . VD 1. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa fx( ) = xe t ại x0 = − 1. π VD 6. Tớnh vi phõn c ấp 2 c ủa f( x )= tan x t ại x = . VD 2. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa y=arctan( x 2 + 1) . 0 4 Chỳ ý ln(arcsinx ) Khi x là m ột hàm s ố độ c l ập v ới y thỡ cụng th ức VD 3. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa hàm s ố y = 2 . dyn= y( n ) dx n khụng cũn đỳng n ữa. Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ3. CÁC ĐỊ NH Lí C Ơ B ẢN V Ề HÀM KH Ả VI 3.1.3. Đị nh lý Cauchy CỰC TR Ị C ỦA HÀM S Ố Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) liờn t ục trong [a ; b ] , kh ả vi 3.1. Cỏc đị nh lý trong (a ; b ) và gx′()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: 3.1.1. B ổ đề Fermat fb()− fa () fc′ () Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trong (a ; b ) và cú đạ o hàm tại = . x∈ ( a ; b ) . N ếu f( x ) đạ t giỏ tr ị lớn nh ất (ho ặc bộ nh ất) gb()− ga () gc′ () 0 ′ tại x0 trong (a ; b ) thỡ f( x 0 )= 0 . 3.1.4. Đị nh lý Lagrange Cho hàm s ố f x liờn t ục trong a b , kh ả vi trong a b . 3.1.2. Đị nh lý Rolle ( ) [ ; ] ( ; ) Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong [a ; b ] và kh ả vi trong fb()− fa () (a ; b ) . N ếu fa()= fb () thỡ ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho f′( c )= 0 . = f′( c ). b− a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 8
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 3.2. C ực tr ị c ủa hàm s ố • Nếu f( x ) đơ n điệu trong (a ; b ) và liờn t ục trong (a ; b ] thỡ 3.2.1. Hàm s ố đơ n điệu f( x ) đơ n điệu trong (a ; b ] (tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự). a) Đị nh ngh ĩa b) Đị nh lý Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong trong (a ; b ) . Khi đú: Cho hàm s ố f( x ) kh ả vi trong trong (a ; b ) . Khi đú: • f( x ) đượ c g ọi là tăng (đồ ng bi ến) trong (a ; b ) n ếu • N ếu fx′()> 0, ∀ x ∈ (;) ab thỡ f( x ) tăng trong (a ; b ) . fx()− fx () • N ếu fx′() 0, ∀xx, ∈ (;) ab và x≠ x . 1 2 1 2 2 x1− x 2 VD 1. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa y=ln( x + 1) . • f( x ) đượ c g ọi là gi ảm (ngh ịch bi ến) trong (a ; b ) n ếu x 2 + 1 VD 2. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa f( x ) = . fx()− fx () (x − 1) 2 1 2 , xx ab và x x . () ∀ ∈ ( ; )\{0 } ( ) • S ố M đượ c g ọi là giỏ tr ị lớn nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: hay cực đạ i tại x . x Xfx M 0 ∃0 ∈: ( 0 ) = và fx()≤ M , ∀ x ∈ X . b) Đị nh lý Ký hi ệu là: M= max f ( x ) . Cho f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp 2n trong (a ; b ) ch ứa x x∈ X 0 • S ố m đượ c g ọi là giỏ tr ị nhỏ nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: th ỏa fx′ f(2n− 1) x và f(2n ) x . (0 )= = ( 0 ) = 0 (0 )≠ 0 x Xfx m ∃0 ∈: ( 0 ) = và fx()≥ m , ∀ x ∈ X . • N ếu f(2n ) ( x )> 0 thỡ f( x ) đạ t cực ti ểu t ại x . Ký hi ệu là: m= min f ( x ) . 0 0 x∈ X • N ếu f(2n ) ( x )< 0 thỡ f( x ) đạ t cực đạ i tại x . 0 0 Chỳ ý VD 5. Tỡm c ực tr ị (nếu cú) c ủa f( x ) = x 4, f( x ) = x 3. • Hàm s ố cú th ể khụng đạ t max ho ặc min trờn X⊂ D . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s • N ếu M= max f ( x ) và m= min f ( x ) thỡ: VD 6. Tỡm giỏ tr ị l ớn nh ất, giỏ tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố x∈ X x∈ X 3 m≤ fx( ) ≤ M , ∀∈ x X . fx( )= x4 − x 2 −+ x 3 trờn đoạn [0; 2] . 2 b) Ph ươ ng phỏp tỡm max – min Chỳ ý Hàm s ố liờn t ục trờn đoạn [a; b] • N ếu đề bài ch ưa cho đoạn [a ; b ] thỡ ta ph ải tỡm MX Đ Cho hàm s ố y= f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] . của hàm s ố tr ướ c khi làm b ướ c 1. Để tỡm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện cỏc b ướ c sau: • Cú th ể đổ i bi ến s ố t= t( x ) và vi ết y= fx() = gtx (()) . x∈[ a ; b ] x∈[ a ; b ] Gọi T là mi ền giỏ tr ị c ủa hàm t( x ) thỡ: • Bướ c 1. Gi ải ph ươ ng trỡnh f′( x )= 0 . Gi ả s ử cú n maxfx ( )= max gt () , minfx ( )= min gt () . a b xX∈ tT ∈ xX∈ tT ∈ nghi ệm x1, , xn ∈ [; ab ] (lo ại cỏc nghi ệm ngoài [ ; ] ). • Bướ c 2. Tớnh fa(), fx ( ), , fx ( ), fb () . 2 1 n VD 7. Tỡm max, min c ủa fx()= − x + 56 x + . • Bướ c 3. Giỏ tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất trong cỏc giỏ tr ị đó sinx + 1 tớnh ở trờn là cỏc giỏ tr ị max, min tươ ng ứng c ần tỡm. VD 8. Tỡm max, min c ủa y = . sin2 x+ sin x + 1 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 9
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s fx fx LL Hàm s ố liờn t ục trờn kho ảng (a; b) 2) N ếu min{ (1 ), , (n )} max{ LL , } thỡ x 1n 1 2 VD 10. Tỡm max, min c ủa f( x ) = . 2 maxf= max{ fx ( ), , fx (n )} . x +2 − 1 x∈( a ; b ) 1 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ4. CễNG TH ỨC TAYLOR Vậy: n f (k ) (0) 4.1. Cụng th ức khai tri ển Taylor fx()=∑ xOxk + (). n a) Khai tri ển Taylor v ới ph ần d ư Peano k=0 k ! • Cho hàm f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] cú đạ o hàm đế n c ấp • Khai tri ển Maclaurin đượ c vi ết l ại: n + 1 trờn (a ; b ) v ới xx,0 ∈ (;) ab ta cú: f/(0) f // (0) n f(k ) ( x ) fxf( )=+ (0) x + x 2 + fx0 xxk Oxx n ()=∑ ( −+−0 ) (( 0 )). 1! 2! k (n ) k=0 ! f (0) +xn + O ( x n ). b) Khai tri ển Maclaurin n ! • Khai tri ển Taylor với phần dư Peano t ại x = 0 đượ c 0 3 gọi là khai tri ển Maclaurin . VD 1. Khai tri ển Maclaurin c ủa f( x )= tan x đế n x . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 4.2. Cỏc khai tri ển Maclaurin c ần nh ớ Chỳ ý 1 • N ếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta thay x trong cỏc 1) =++1xx2 + + xn + 0() x n . 1 − x cụng th ức trờn b ởi u( x ) . x x2 x n 2) ex =+1 + ++ + 0( x n ) . 1 VD 2. Khai tri ển Maclaurin hàm s ố y = đế n x 6. 1! 2!n ! 2 xx2 x 3 x 4 1+ 3 x 3) ln(1+=−x ) + − ++ 0( x n ) . 1 2 3 4 VD 3. Khai tri ển Maclaurin của y=ln(1 − 2 x 2 ) đế n x 6. 2 4 6 x x x n 4) cosx=− 1 + − ++ 0() x . x 4 2! 4! 6! VD 4. Khai tri ển Maclaurin của hàm s ố y = 2 đế n x . 3 5 7 xx x x n 5) sinx=− + − ++ 0( x ) . (7) 1! 3! 5! 7! VD 5. Cho hàm s ố fx( )= x cos 2 x . Tớnh f (0) . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 10
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ5. QUY TẮC L’HOSPITAL 2 2 x− sin x Đị nh lý ( quy t ắc L’Hospital ) VD 2. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→0 x2 2 x Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) kh ả vi trong lõn cận của điểm .arctan 1 1 x và g′( x )≠ 0 trong lõn c ận c ủa x (cú th ể g′( x )= 0 ). A. L = 0; B. L = ∞; C. L = ; D. L = . 0 0 0 2 3 f( x ) 0 ∞ Nếu lim cú d ạng ho ặc thỡ: x→ x 0 g( x ) 0 ∞ 3 fx fx′ VD 3. Tỡm gi ới h ạn L= lim x ln x (d ạng 0ì∞). () () + ( ) lim= lim . x→0 xx→0gx() xx → 0 gx′ () Chỳ ý 1 Ta c ú th ể ỏp d ụng quy t ắc L’Hospital nhi ều l ần. VD 4. Tỡm gi ới h ạn L= lim x x−1 (d ạng 1∞). ex+ e − x − 2 x→1 VD 1 . Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→0 x 2 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Đ1. Tớch phõn b ất đị nh Tớnh ch ất Đ2. Tớch phõn xỏc đị nh Đ3. Ứng d ụng c ủa tớch phõn xỏc đị nh 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdxk (), ∈ ℝ Đ4. Tớch phõn suy r ộng 2) ∫ fxdx′()= fx () + C Đ1. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH d 3) ∫ fxdx()= fx () 1.1. Đị nh ngh ĩa dx • Hàm s ố F( x ) đượ c g ọi là một nguyờn hàm c ủa f( x ) trờn 4) ∫[()fx+ gxdx ()] = ∫ fxdx () + ∫ gxdx () . khoảng (a ; b ) n ếu Fx′()= fx (), ∀ x ∈ (;) ab . MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ Ký hi ệu f( x ) dx ( đọ c là tớch phõn). ∫ 1) adx.= ax + C , a ∈ ℝ Nh ận xộ t ∫ • N ếu F( x ) là nguyờn hàm c ủa f( x ) thỡ F( x ) + C cũng là x α+ 1 2) xdxα = + C , α≠− 1 nguyờn hàm c ủa f( x ) . ∫ α + 1 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s dx dx 3) =ln x + C ; 4) =2 x + C dx1 x− a ∫ x ∫ 13) =ln + C x ∫ x2− a 2 2a x+ a x x x x a 5) ∫ e dx= e + C ; 6) ∫ a dx= + C dx x ln a 14) ∫ =ln tan + C 7) cosxdx= sin x + C ; 8) sinxdx= − cos x + C sinx 2 ∫ ∫ dx dx dx x π 9) =tan x + C ; 10) = −cot x + C 15) =ln tan + + C ∫ cos 2 x ∫ sin 2 x ∫ cosx 2 4 dx1 x 11) =arctan + C dx 2 ∫ x2 a 2 a a 16) =ln x + x ++ a C + ∫ 2 dx x x+ a 12) ∫ =arcsin +C , a > 0 a2− x 2 a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 11
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s dx 1.2. Ph ươ ng phỏp đổ i bi ến VD 1. Tớnh I = . ∫ 2 a) Đị nh lý 4 − x 1 2 + x 1 2 − x N ếu fxdx()= Fx () + C với ϕ(t ) kh ả vi thỡ: A. I=ln + C ; B. I=ln + C ; ∫ 4 2 − x 4 2 + x ∫ f(())()ϕϕ t′ tdt =ϕ F (()) t + C . 1x − 2 1x + 2 C. I=ln + C ; D. I=ln + C . dx 2x + 2 2x − 2 VD 3. Tớnh I = ∫ . xln x + 1 dx VD 4. Tớnh I = . dx ∫ 2 VD 2. Tớnh I = . x3− ln x ∫ 2 x− x − 6 dx VD 5. Tớnh I = . ∫ x( x 3 + 3) Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 1.3. Ph ươ ng phỏp t ừng ph ần VD 8. Tớnh I3 xe sin x dx . a) Cụng th ức = ∫ cos ∫uxvxdx()()′= uxvx ()() − ∫ uxvxdx ′ ()() b) Cỏc d ạng tớch phõn t ừng ph ần th ườ ng g ặp hay udv= uv − vdu . ∫ ∫ αx • Đố i v ới dạng tớch phõn ∫ P( x ) e dx , ta đặ t: VD 6. Tớnh I= ∫ xln xdx . u= Px(), dv = eαx dx . x VD 7. Tớnh I= dx . • Đố i v ới dạng tớch phõn P( x )ln α x dx , ta đặ t: ∫ x ∫ 2 Chỳ ý uα xdv Pxdx Đố i v ới nhi ều tớch phõn khú thỡ ta ph ải đổ i bi ến tr ướ c =ln, = (). khi lấy t ừng ph ần. Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH Tớnh ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa. Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ] . b b 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdx (), k ∈ ℝ Ta c hia đoạn [a ; b ] thành n đoạn nh ỏ b ởi cỏc điểm chia a a b b b xax0=<<< 1 xn− 1 < xb n = . 2) ∫[()fx± gxdx ()] = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () Lấy điểm ξk ∈ [x k ; x k ] tựy ý (k= 1, n ). −1 n a a a Lập t ổng tớch phõn: σ=f()( ξ x − x ) . a b a ∑ k k k −1 3) fxdx()= 0; fxdx () = − fxdx () k=1 ∫ ∫ ∫ a a b Gi ới h ạn h ữu h ạn (n ếu cú) I =lim σ đượ c g ọi b c b max(x− x ) → 0 k k k −1 4) ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdxc (), ∈ [;] ab là tớch phõn xỏc đị nh c ủa f( x ) trờn đoạn [a ; b ] . a a c b b Ký hi ệu là I= ∫ f( x ) dx . 5) fx()0,≥∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≥ 0 a a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 12
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b b 2.2. Cụng th ức Newton – Leibnitz 6) fx()≤ gx (), ∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≤ ∫ gxdx () • Nếu f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] và F( x ) là m ột nguyờn hàm a a b b tựy ý của f( x ) thỡ: 7) a< b ⇒ fxdx() ≤ fxdx () b ∫ ∫ b a a fxdx()= Fx () = Fb () − Fa (). ∫ a 8) m≤ fx() ≤ M , ∀∈ x [;] ab a b Nh ận xột ⇒−≤mb() a∫ fxdx () ≤− Mb () a 1) Cú hai ph ươ ng phỏp tớnh tớch phõn nh ư Đ1. a 2) Hàm s ố f( x ) liờn t ục và lẻ trờn [−α ; α ] thỡ 9) N ếu f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] thỡ α b f( x ) dx = 0 . ∃∈c[;]: ab fxdx () =− fcb ()( a ) . ∫ ∫ −α a Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 3 3) Hàm s ố f( x ) liờn t ục và ch ẵn trờn [−α ; α ] thỡ: dx α α VD 1. Tớnh I = . ∫ x2 −2 x + 5 ∫fxdx()= 2 ∫ fxdx () . 1 −α 0 b π 4) Để tớnh f( x ) dx ta dựng b ảng xột d ấu c ủa f( x ) để ∫ VD 2. Tớnh I= xcos xdx . a ∫ 0 tỏch f( x ) ra thành cỏc hàm trờn t ừng đoạn nh ỏ. Đặc bi ệt 1 b b I x2 3 xdx f() x dx= f () x dx n ếu fx()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . VD 3. Tớnh =∫ + 1.sin . ∫ ∫ −1 a a Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s • Cụng th ức Walliss Đ3. ỨNG D ỤNG C ỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH π π (n − 1)!! , n leỷ 3.1. Tớnh di ện tớch S của hỡnh ph ẳng 2 2 n n n !! a) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt sinxdx= cos xdx = ∫ ∫ π (n − 1)!! 0 0 . , n chaỹn 2n !! Trong đú: 0!!= 1!! = 1 ; 2!!= 2;3!! = 3;4!! = 2.4 ; 5!!= 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; π S S 2 7!!π 105 π VD 4. sin8 x dx = . = . ∫ 8!! 2 768 0 π b d 2 3 2 S= fx() − fxdx () S= gy() − gydy () VD 5. Tớnh I=∫ (cos x − 1)cos xdx . ∫ 2 1 ∫ 2 1 0 a c Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 13
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s VD 2. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 1. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi cỏc đườ ng x= y 2 và y= x − 2. cỏc đườ ng y= x 2 và y= x 4. 1 2 A. S = ; B. S = 15 15 4 8 C. S = ; D. S = . 15 15 VD 3. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi cỏc đườ ng y= e x − 1, y= e 2x − 3 và x = 0. 1 ln 4− 1 1− ln 2 1 A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − 2 2 2 2 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 3.2. Tớnh độ dài l c ủa đườ ng cong b) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố Hỡnh ph ẳng gi ới h ạn b ởi đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh a) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt x= xt(), y = yt () v ới t ∈[ α ; β ] thỡ: Cho cung AB cú ph ươ ng trỡnh y= fx(), x ∈ [;] ab thỡ: β b 2 S= ytxtdt( ).′ ( ) . l =1 + [()] fxdx′ . ∫ AB ∫ α a x 2 VD 5. Tớnh độ dài cung parabol y = từ gốc t ọa độ x2 y 2 2 VD 4. Tớnh di ện tớch hỡnh elip S :+ ≤ 1 . 2 2 1 a b O(0; 0) đế n điểm M 1; . 2 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh tham s ố 3.3. Tớnh th ể tớch v ật th ể trũn xoay Cho cung AB cú phươ ng trỡnh tham s ố a) Vật th ể quay quanh Ox Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x= x( t ) ,t ∈ [;] α β thỡ: y= fx(), y = 0 , x= a , x= b quay quanh Ox là: y = y( t ) b 2 β V= π ∫ [()] fxdx . 2 2 l =[ xt′ ()] + [ ytdt ′ ()] . a AB ∫ α VD 7. Tớnh th ể tớch V do hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 6 . Tớnh độ dài cung C cú ph ươ ng trỡnh : y=ln x , y = 0 , x=1, x = e quay xung quanh Ox . x= t 2 + 1 2 2 ,t ∈ 0; 1 . x y 2 VD 8. Tớnh V do ():E + = 1 quay quanh Ox . y=ln t + t + 1 2 2 a b Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 14
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b ) Vật th ể quay quanh Oy Gi ải. Phươ ng trỡnh parabol y=2 x − x 2 đượ c vi ết l ại: Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi yxxx=2 −2 ⇔ ( − 1) 2 =− 1 y x= g( y ) , x = 0, y= c và y= d quay quanh Oy là: d x=+1 1 − y , x ≥ 1 2 ⇔ . V= π ∫ [()] gydy . x=−1 1 − y , x 1 sỏt sự hội tụ và tớnh giỏ trị hội tụ (thường là khú). =lim()b − 1 = α − 1 1 − α b→+∞ + ∞, α < 1. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 15
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Chỳ ý Vậy • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( +∞ ) , ta dựng cụng th ức: 1 x→+∞ Với α > 1: I = (hội tụ). +∞ α − 1 +∞ fxdx()= Fx () . Với α ≤ 1: I = +∞ (phõn kỳ). ∫ a a • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( −∞ ) , ta dựng cụng th ức: x→−∞ 0 dx b VD 2. Tớnh tớch phõn I = . b ∫ 2 f() x dx= F () x . (1− x ) ∫ −∞ −∞ −∞ • Tương tự: +∞ +∞ dx +∞ VD 3. Tớnh tớch phõn I = . fxdx()= Fx () . ∫ 2 ∫ −∞ −∞ 1 + x −∞ Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 4.1.2. Cỏc tiờu chu ẩn h ội t ụ b) Tiờu chu ẩn 2 a) Tiờu chu ẩn 1 +∞ +∞ • Nếu 0≤fx () ≤ gx (), ∀ x ∈ [; a +∞ ) và • Nếu ∫ f( x ) dx h ội t ụ thỡ ∫ f( x ) dx h ội t ụ (ng ượ c l ại a a +∞ +∞ khụng đỳng). g x dx h ội t ụ thỡ f x dx h ội t ụ. ∫ ( ) ∫ ( ) • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. a a • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. +∞ VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I= e−x cos 3 xdx . +∞ ∫ 10 1 VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I= ∫ e−x dx . 1 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s c) Tiờu chu ẩn 3 k = +∞ +∞ • Cho fx( ), gx ( ) liờn t ục, luụn d ươ ng trờn [a ;+∞ ) +∞ Nếu thỡ f( x ) dx phõn k ỳ. g( x ) dx phaõn ky ứ ∫ f( x ) ∫ a và lim = k . Khi đú: a x→+∞ g( x ) • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. +∞ Nếu 0 <k < +∞ thỡ: dx +∞ +∞ VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I = . ∫ 1+x2 + 2 x 3 ∫ f( x ) dx và ∫ g( x ) dx cựng h ội t ụ ho ặc phõn k ỳ. 1 a a Chỳ ý • N ếu fx∼ gx x thỡ +∞ +∞ () ()(→ +∞ ) Nếu k = 0 và g( x ) dx hội t ụ thỡ f( x ) dx hội t ụ. +∞ +∞ ∫ ∫ f x dx và g x dx cú cựng tớnh ch ất. a a ∫ ( ) ∫ ( ) a a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 16
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s +∞ dx 4.2. Tớch phõn suy r ộng loại 2 VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I = . 4.2.1. Đị nh ngh ĩa ∫ 1+ sin x + x 1 • Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ) và khụng xỏc đị nh tại b, khả tớch trờn m ọi đoạn a b . +∞ [ ;−ε ] ( ε> 0) dx VD 8. Điều ki ện c ủa α để I = h ội t ụ là: b−ε ∫ 3 α Gi ới h ạn (n ếu cú) c ủa f x dx khi đượ c g ọi là 1 x. ln x + 1 ∫ ( ) ε → 0 3 1 a A. α > 3; B. α > ; C. α > 2; D. α > . tớch phõn suy r ộng loại 2 c ủa f( x ) trờn [a ; b ) . 2 2 Ký hi ệu: +∞ b b −ε (x2 + 1) dx VD 9. Điều kiện c ủa α để I = h ội t ụ? fxdx( )= lim fxdx ( ) . ∫ α 4 ∫ε→0 ∫ 1 2x+ x − 3 a a Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s • Định nghĩa tươ ng t ự: • Tr ườ ng h ợp α khỏc 1: b b b b b ∫fxdx()= lim ∫ fxdx () (suy r ộng t ại a ); dx −α1 1 −α ε→0 I=lim = lim xdx = lim x a a +ε ε→0∫x α ε→ 0 ∫ 1 − α ε→ 0 ε b b −ε ε ε 1−α ∫fxdx()= lim ∫ fxdx () (suy r ộng t ại a , b ). b ε→0 1 1−α 1 −α ,α 1. hội t ụ, ng ượ c l ại là tớch phõn phõn k ỳ. b dx Vậy VD 10. Kh ảo sỏt s ự h ội t ụ c ủa I=, b > 0 . 1−α ∫ α b x Với α − ; D. α ∈ ℝ. 1 2 2 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 17
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 1 x α + 1 I → −∞(phaõn ky ứ ) I → +∞(phaõn ky ứ ) VD 15. Tớch phõn suy r ộng I= dx 2) 1 ho ặc 1 ∫ 2 I ≤ 0 I ≥ 0 0 (x+ 1)sin x 2 2 phõn k ỳ khi và ch ỉ khi: thỡ I phõn k ỳ. 1 1 I phaõn ky ứ I phaõn ky ứ 1 → −∞( ) 1 → +∞( ) A. α ≤ − 1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ. 3) ho ặc 2 2 I > 0 I 1 thỡ n → +∞ ⇒ chu ỗi phõn k ỳ. • N ếu chu ỗi un hội t ụ thỡ limun = 0 , ∑ n→∞ ∞ n=1 V ậy ∑aq n−1 h ội t ụ ⇔q < 1. ∞ ng ượ c l ại nếu limun ≠ 0 thỡ un phõn k ỳ. n=1 n→∞ ∑ ∞ 1 n=1 VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n( n + 1) ∞ n 4 ∞ VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . 1 ∑ 4 VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ln 1 + . n=1 3n+ n + 2 ∑ n=1 n ∞ 5 ∞ n 1 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 ∑ n=1 n + 1 n=1 n Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 18
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Đ2. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG 1.3. Tớnh ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ • N ếu u, v hội t ụ thỡ: u u n ∑n ∑ n • ∑ n đượ c g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu n ≥0, ∀ . n=1 n = 1 n=1 ∞ ∞ ∞ Khi u>0, ∀ n thỡ chu ỗi số là d ươ ng th ực s ự. uv u v n ∑(nn+ ) = ∑ n + ∑ n . 2.2. Cỏc đị nh lý so sỏnh n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Đị nh lý 1. Cho hai chu ỗi s ố d ươ ng ∑un, ∑ v n th ỏa: • N ếu ∑un hội t ụ thỡ: ∑αun = α ∑ u n . n=1 n = 1 n=1 n=1 n = 1 0≤u ≤ v , ∀≥ nn . n n 0 • Tớnh ch ất h ội t ụ hay phõn k ỳ c ủa chu ỗi s ố khụng đổ i ∞ ∞ • N ếu ∑ vn hội t ụ thỡ ∑ un hội t ụ. nếu ta thờm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. n =1 n =1 ∞ ∞ • N ếu ∑ un phõn k ỳ thỡ ∑ vn phõn k ỳ. n =1 n =1 Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i ∞ 1 Đị nh lý 2 VD 1. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∞ ∑ n n=1 n.2 u v Cho hai chuỗi số ∑n, ∑ n th ỏa: n=1 n = 1 un un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k . n→∞ vn ∞ 1 ∞ ∞ VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hũa bằng cỏch k u v ∑ • N ếu = 0 thỡ ∑ n phõn k ỳ ⇒ ∑ n phõn k ỳ. n=1 n n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 1 so sỏnh v ới ln 1 + . • N ếu k = +∞ thỡ u h ội t ụ ⇒ v h ội t ụ. ∑ n ∑ n ∑ n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ k u v • N ếu 0 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. ∞ 1 • N ếu D = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. Chu ỗi h ội t ụ khi α > 1 và phõn k ỳ khi α ≤ 1. ∑ α ∞ n n=1 n 1 1 VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 + . ∑ n n=1 3 n ∞ n + 1 VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ n 2 ∑ 5 5 (n !) n=1 2n + 3 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 (2n )! Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 19
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i 2.3.2. Tiờu chu ẩn Cauchy 2.3.3. Tiờu chu ẩn Tớch phõn Maclaurin – Cauchy ∞ Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục, khụng õm và gi ảm trờn nửa n Cho chu ỗi s ố d ươ ng un và lim un = C . ℕ ∑ n khoảng [;k+∞ ), k ∈ . Khi đú: n=1 →∞ +∞ • N ếu C 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. ∑ ∫ n k • N ếu C = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. = k n2 ∞ ∞ 1 1 VD 9. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 ∑ n=1 2 n=12 n ∞ nn ∞ 1 VD 8. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 10. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n ∑ 3 n=1 3 n=2 nln n Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Đ3. CHU ỖI S Ố Cể D ẤU TÙY í ∞ (− 1) n VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . 3.1. Chu ỗi đan d ấu n=1 n ∞ Đị ĩ n u a) nh ngh a. Chu ỗi s ố ∑(− 1) n đượ c g ọi là n=1 chu ỗi s ố đan d ấu n ếu u>0, ∀ n . ∞ 2n + 1 n VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) n . ∞ n ∞ n ∑ n+1 (− 1) 2+ 1 n 2 VD 1. , (− 1) n+1 là cỏc chu ỗi đan dấu. =1 ∑ ∑ n+1 n=1 n n=1 2 b) Đị nh lý Leibnitz Nếu dóy {u } gi ảm nghiờm ng ặt và u → 0 thỡ chuỗi ∞ n n n ∈ℕ n (− 1) ∞ VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n ∑ n n=2 n +( − 1) ∑(− 1) un h ội t ụ. Khi đú, ta g ọi là chu ỗi Leibnitz . n=1 Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i 3.2. Chu ỗi cú d ấu tựy ý b) Đị nh lý a) Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ Nếu ∑ un h ội t ụ thỡ chu ỗi cú d ấu tựy ý ∑un hội t ụ. ℝ • Chu ỗi ∑un, u n ∈ đượ c g ọi là chu ỗi cú d ấu tựy ý . n=1 n=1 ∞ n=1 ∞ • u đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu u hội t ụ. ∑ n ∑ n ∞ cos(nn ) n=1 n=1 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∞ ∑ 2 u u n=1 n • ∑ n đượ c g ọi là bỏn hội t ụ nếu ∑ n hội t ụ và n=1 ∞ n=1 u phõn k ỳ. ∞ (− 1)n + ( − 2) n +1 ∑ n VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n=1 ∑ n n=1 3 ∞ (− 1) n VD 5. Chu ỗi s ố là bỏn h ội t ụ. ∑ n=1 n Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 20
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Đ1. Ma tr ận a a a 11 12 1 n Đ2. Đị nh th ức Đ3. H ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh a a a 21 22 2 n Đ4. Khụng gian vector A = . Đ1. MA TR ẬN a a a m1 m 2 mn 1.1. Cỏc định ngh ĩa • Cỏc s ố aij đượ c g ọi là cỏc ph ần t ử của A ở dũng th ứ i a) Đị nh ngh ĩa ma tr ận và c ột th ứ j . • Ma tr ận A c ấp mì n trờn ℝ là 1 h ệ th ống g ồm • C ặp s ố (m , n ) đượ c g ọi là kớch th ướ c c ủa A. mì n s ố a ∈ ℝ (i= 1, mj ; = 1, n ) và đượ c s ắp ij • Khi m = 1, ta g ọi: thành bảng gồm m dũng và n c ột: Aaa= (11 12 a 1 n ) là ma tr ận dũng. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh a • Ma tr ận vuụng 11 • Khi n = 1, ta g ọi A = là ma tr ận c ột. Khi m= n , ta g ọi A là ma tr ận vuụng c ấp n . a Ký hi ệu là A= ( a ) . m1 ij n • Khi m= n = 1, ta g ọi: Đườ ng chộo ch ứa cỏc ph ần A= ( a ) là ma tr ận g ồm 1 ph ần t ử. 11 tử a a a đượ c g ọi 11, 22 , , nn 1 2 3 4 là đườ ng chộo chớnh c ủa 56 7 8 • Ma tr ận O = (0ij ) mì n cú t ất c ả cỏc ph ần t ử đề u b ằng 0 A= ( a ) , đượ c g ọi là ma tr ận khụng . ij n 76 5 4 đườ ng chộo cũn l ại đượ c g ọi • T ập h ợp cỏc ma tr ận A đượ c ký hi ệu là M ℝ , để là đườ ng chộo ph ụ. 3 2 1 0 m, n ( ) A a cho g ọn ta vi ết là = (ij ) mì n . Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh • Cỏc ma tr ận vuụng đặ c bi ệt Ma tr ận ma tr ận vuụng cấp n cú tất c ả cỏc ph ần t ử nằm phớa dướ i ( trờn ) đườ ng chộo chớnh đề u bằng Ma tr ận vuụng cú t ất c ả cỏc −1 0 0 0 đượ c g ọi là ma tr ận tam giỏc trờn ( dướ i). ph ần t ử n ằm ngoài đườ ng 0 5 0 chộo chớnh đề u bằng 0 đượ c 1 0− 2 3 0 0 0 0 0 gọi là ma tr ận chộo . B A =0 − 1 1 = 4 1 0 0 0 0 −1 5 2 Ma tr ận chộo c ấp n g ồm t ất 1 0 0 cả cỏc ph ần t ử trờn đườ ng Ma tr ận vuụng cấp n cú tất c ả chộo chớnh đề u bằng 1 đượ c I = 0 1 0 3 cỏc cặp ph ần t ử đố i xứng 3 4 −1 gọi là ma tr ận đơ n v ị c ấp n . 0 0 1 nhau qua đườ ng chộo chớnh 4 1 0 Ký hi ệu là I . n bằng nhau ( a= a ) đượ c ij ji −1 0 2 gọi là ma tr ận đố i x ứng . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 21
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh b) Ma tr ận b ằng nhau 1.2. Cỏc phộp toỏn trờn ma tr ận a) Phộp c ộng và tr ừ hai ma tr ận Hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) đượ c g ọi là bằng ij ij Cho hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) , ta cú: nhau , ký hi ệu A= B , khi và chỉ khi chỳng cựng ij mì n ij mì n AB± =( aij ± b ij ) mì n . kớch th ướ c và aij= b ij , ∀ ij , . −102 202 104 1 x y 1 0− 1 VD 2. + = ; VD 1. Cho A = và B = . 23− 4 5 − 31 70 − 3 z2 t 2u 3 −102 202 − 300 Ta cú: − = . ABx=⇔=0; y =− 1; z = 2; u = 2; t = 3 . 234− 531 − −− 365 Nh ận xột Phộp c ộng ma tr ận cú tớnh giao hoỏn và k ết h ợp. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh b) Phộp nhõn vụ h ướ ng c) Phộp nhõn hai ma tr ận ℝ Cho ma tr ận A= ( a ij ) mì n và λ ∈ , ta cú: Cho hai ma tr ận A= ( a ij ) mì n và B= ( b jk ) nì p , ta cú: λA= ( λ a ij ) mì n . AB= ( c ik ) mì p . −110 3 − 30 n Trong đú, c= abi = 1, mk ; = 1, p . VD 3. −3 = ; ik∑ ij jk ( ) −20 − 4 6 0 12 j=1 −1 264 132 = 2 . VD 4. Th ực hi ện phộp nhõn 1 2 3 2 . −408 − 204 ( ) Chỳ ý −5 • Phộp nhõn vụ h ướ ng cú tớnh phõn ph ối đố i v ới phộp 1− 1 0 c ộng ma tr ận. VD 5. Th ực hi ện phộp nhõn (1 2 ) . • Ma tr ận −1. A = − A đượ c g ọi là ma tr ận đố i c ủa A. −1 0 3 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 1 0− 1 −1 − 2 1 2 0 1 1− 1 VD 7. Cho A =2 − 2 0 và B = 0 − 3 1 . VD 6. Tớnh 1− 1 . −2 0 3 3 0− 3 2− 1 0 −1 3 Th ực hi ện phộp tớnh: a) AB ; b) BA . VD 8. Th ực hi ện phộp nhõn: Tớnh ch ất 1− 120 1 32 − 12 − 1 1) (AB )C = A(BC ); 2) A(B + C ) = AB + AC ; A =−−−2 301 2110 − 21 . 3) (A + B )C = AC + BC ; 4) λ(AB ) = ( λA)B = A (λB); −1142 −− 1 331 0 − 2 ℝ 5) AIn= A = IA m , v ới A∈ M m, n ( ) . Chỳ ý • Phộp nhõn ma tr ận khụng cú tớnh giao hoỏn. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 22
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh • Đặ c bi ệt, khi A= ( a ) và p ∈ ℕ*, ta cú: 2 0 ij n 2009 VD 10. Cho B = , giỏ tr ị c ủa (I2 − B ) là: p 1 0 In= I n và A0= IA,p = () A p− 1 AAA = () p − 1 −1 0 −1 0 −1 0 1 0 n A. ; B. ; C. ; D. . (l ũy th ừa ma tr ận). −1 1 −1 − 1 1 1 −1 − 1 VD 11. Cho A= ( a ij ) là ma tr ận vuụng c ấp 100 cú 1− 1 2010 VD 9. Cho ma tr ận A = , giỏ tr ị c ủa A là: i 0 1 cỏc ph ần t ử ở dũng th ứ i là (− 1) . −1 − 2010 1− 2010 b B A 2 Tỡm ph ần t ử 36 c ủa ma tr ận = . A. ; B. ; 0 1 0 1 VD 12. Cho A= ( a ij ) là ma tr ận vuụng c ấp 40 cú cỏc i+ j 2 1− 2010 −1 − 2010 ph ần t ử a =( − 1) . Phần t ử a c ủa A là: C. ; D. . ij 25 0− 1 0− 1 A. a25 = 0; B. a25 = − 40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = − 1. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh d) Phộp chuy ển v ị Tớnh ch ất T T T T T Cho ma tr ận A= ( a ) . 1) (A + B ) = A + B ; 2) (λA) = λA ; ij mì n 3) (AT)T = A ; 4) ( AB )T = B TAT; T T Khi đú, A= ( a ji ) nì m đượ c g ọi là ma tr ận chuy ển v ị 5) A= A ⇔ A đố i x ứng. của A (ngh ĩa là chuy ển t ất c ả cỏc dũng thành c ột). 1− 1 0 1− 2 1 4 VD 14. Cho A= 0 2 , B = . 1 2 3 −1 0 − 3 T VD 13. Cho A= ⇒ A = 2 5 . −3 − 2 4 5 6 T 3 6 a) Tớnh (AB ) . b) Tớnh BT A T và so sỏnh k ết qu ả v ới (AB ) T . Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 1.3. Phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn dũng c ủa ma tr ận VD 1 5. Dựng PB ĐSC trờn dũng để đư a ma tr ận (Gauss – Jordan ) 2 1− 1 1− 2 3 Cho ma tr ận A= ( a ) (m ≥ 2) . Cỏc phộp bi ến đổ i ij mì n A =1 − 2 3 v ề B =0 1 − 7/5 . sơ c ấp (PB ĐSC) dũng e trờn A là: 3− 1 2 0 0 0 d↔ d 1) e Hoỏn v ị hai dũng cho nhau Ai k A ′. (1 ) : → Gi ải. Ta cú: d→λ d i i ′′ 1− 2 3 1− 2 3 2) (e2 ) : Nhõn 1 dũng v ới s ố λ ≠ 0, A→ A . d↔ d d→ d − 2 d 1 2 2 2 1 A →2 1 − 1 →d→ d − 3 d 0 5 − 7 3) (e ) : Thay 1 dũng b ởi t ổng c ủa dũng đú v ới λ lần 3 3 1 3 d→ d + λ d 3− 1 2 dũng khỏc, A→i i k A ′′′ . 0 5− 7 Chỳ ý 1− 2 3 d→ d + λ d i i k d→ d − d 1) Trong th ực hành ta th ườ ng làm A→ B . 3 3 2 →1 0 1 − 7/5 = B . d→ d 2) Tươ ng t ự, ta c ũng cú cỏc phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn 2 2 5 c ột c ủa ma tr ận. 0 0 0 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 23
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 1.4. Ma tr ận b ậc thang VD 1 6. Cỏc ma tr ận b ậc thang: 1 0 0 • Một dũng c ủa ma tr ận cú t ất c ả cỏc ph ần t ử đề u b ằng 1 0 2 0 1 2 3 0 đượ c g ọi là dũng b ằng 0 (hay dũng khụng ). 0 1 0 I 0 0 3, 0 0 4 5, n = . • Ph ần t ử khỏc 0 đầ u tiờn tớnh t ừ trỏi sang c ủa 1 dũng 0 0 0 0 0 0 1 trong ma tr ận đượ c g ọi là ph ần t ử cơ s ở c ủa dũng đú. 0 0 1 • Ma tr ận b ậc thang là ma tr ận khỏc khụng c ấp mì n Cỏc ma tr ận khụng ph ải là b ậc thang: (m , n ≥ 2) th ỏa hai điều ki ện: 0 0 0 0 2 7 1 3 5 1) Cỏc dũng b ằng 0 (nếu cú) ở phớa dướ i cỏc dũng 3 1 4 , 0 3 4 , 0 0 4 . khỏc 0; 2) Ph ần t ử c ơ s ở c ủa 1 dũng b ất k ỳ n ằm bờn ph ải 0 0 5 0 0 5 2 1 3 ph ần t ử c ơ s ở c ủa dũng ở phớa trờn dũng đú. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch 2 5 3− 5 a) Đị nh ngh ĩa VD 17. A = và B = là hai ma tr ận 1 3 −1 2 • Ma tr ận A∈ M (ℝ ) đượ c g ọi là kh ả ngh ịch n ếu t ồn n ngh ịch đả o c ủa nhau vỡ AB= BA = I . tại ma tr ận B M ℝ sao cho: 2 ∈ n ( ) Chỳ ý 1) N ếu ma tr ận A cú 1 dũng (hay cột) b ằng 0 thỡ AB= BA = I n . khụng kh ả ngh ịch. • Ma tr ận B đượ c g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o của A. 2) (AB ) −1= BA − 1 − 1 . 3) N ếu ac− bd ≠ 0 thỡ: Ký hi ệu B= A −1. Khi đú: −1 AAAA−1= − 1 = IA;( −− 11 ) = A . VD 1 8. Cho hai ma tr ận: ab1 cb− n 2 5 2 1 = . . Chỳ ý dcac− bd − da A = , B = . N ếu B là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A thỡ B là duy nh ất 1 3 3 2 và A cũng là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa B . Thực hi ện phộp tớnh: a) (AB ) −1; b) B−1 A − 1 . Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh b) Tỡm ma tr ận ngh ịch đả o b ằng phộp bi ến đổ i 1− 1011000 sơ c ấp trờn dũng (tham kh ảo) 0− 1100100 ℝ −1 Cho A∈ M n ( ) kh ả ngh ịch, ta tỡm A nh ư sau: Gi ải. Ta cú: A I = ( 4 ) 0 0 110010 Bướ c 1. L ập ma tr ận A I (ma tr ận chia kh ối) b ằng ( n ) 0 0 010001 cỏch ghộp ma tr ận In vào bờn ph ải của A. 10001− 11 − 2 Bướ c 2. Dựng phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn dũng để đư a A I v ề d ạng I B . d→ d − d 01000− 11 − 1 ( n ) ( n ) 3 3 4 1− 101 d→→ d − d . −1 2 3 2 00100 0 1− 1 Khi đú: A= B . d1→ d 1 + d 2 − d 4 0− 110 VD 19. Tỡm ngh ịch đả o c ủa A = . 00010 0 0 1 0 0 11 I A−1 0 0 01 4 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 24
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Đ2. ĐỊ NH TH ỨC 1 2 3 2.1. Đị nh ngh ĩa VD 1. Ma tr ận A = 4 5 6 cú cỏc ma tr ận con ứng a) Ma tr ận con c ấp k 7 8 9 với cỏc ph ần t ử aij là: Cho A= a ∈ M (ℝ ) . ( ij) n n 5 6 4 6 4 5 M = , M = , M = , • Ma tr ận vuụng c ấp k đượ c lập t ừ cỏc ph ần t ử n ằm 11 8 9 12 7 9 13 7 8 trờn giao c ủa k dũng và k c ột c ủa A đượ c g ọi là ma tr ận con c ấp k c ủa A. 2 3 1 3 1 2 M = , M = , M = , 21 8 9 22 7 9 23 7 8 • Ma tr ận Mij cú cấp n −1 thu đượ c t ừ A b ằng cỏch bỏ đi dũng th ứ i và c ột th ứ j đượ c g ọi là ma tr ận con 2 3 1 3 1 2 M = , M = , M = . của A ứng v ới ph ần t ử aij . 31 32 33 5 6 4 6 4 5 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh b) Đị nh th ức (Determinant ) Chỳ ý ℝ Đị nh th ức c ủa ma tr ận vuụng A∈ M n ( ) , ký hi ệu 1) detIn= 1, det O n = 0 . det A hay A , là 1 s ố th ực đượ c đị nh ngh ĩa: a11 a 12 a 13 Nếu A= ( a ) thỡ det A= a . 11 11 2) Tớnh a21 a 22 a 23 . a a 11 12 a a a Nếu A = thỡ det A= aa − aa . 31 32 33 a a 11 22 12 21 21 22 a a aa a a11 a 12 a 13 Nếu A= ( a ) (cấp n ≥ 3) thỡ: 11 12 13 11 12 ij n a a aa a ho c a a a AaA aA aA 21 22 23 21 22 21 22 23 det=1111 + 1212 ++ 1n 1 n a a aa a a31 a 32 a 33 trong đú, A=( − 1)i+ j det M và s ố th ực A đượ c 31 32 33 31 32 ij ij ij (T ổng c ủa tớch cỏc ph ần t ử trờn đườ ng chộo nột li ền tr ừ gọi là ph ần bự đạ i s ố c ủa ph ần t ử a . ij đi t ổng c ủa tớch cỏc ph ần t ử trờn đườ ng chộo nột đứ t). Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 2 . Tớnh đị nh th ức c ủa cỏc ma tr ận sau: 2.2. Cỏc tớnh ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức 1 2− 1 Cho ma tr ận vuụng A= a ∈ M (ℝ ) , ta cú cỏc 3− 2 ( ij)n n A B = , =3 − 2 1 . tớnh ch ất c ơ b ản sau: 1 4 2 1 1 a) Tớnh ch ất 1 detAT = det A . VD 3 . Tớnh đị nh th ức c ủa ma tr ận: ( ) 003− 1 1 32 12− 1 412− 1 A = . VD 4. 2− 21 = 3 − 21 =− 12 . 3 1 0 2 −111 21 1 2 3 3 5 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 25
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh b) Tớnh ch ất 2 c) Tớnh ch ất 3 Nếu hoỏn v ị hai dũng (ho ặc hai cột) cho nhau thỡ Nếu nhõn 1 dũng (ho ặc 1 cột) v ới s ố th ực λ thỡ đị nh th ức đổ i d ấu. đị nh th ức t ăng lờn λ l ần. 1 3 2 −1 1 1 1− 1 1 VD 5. 2− 2 1 = −2 − 2 1 = − 2 2 1. 3.1 0 3.(1)− 1 0 − 1 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 VD 7. 21− 2 = 321 − 2 ; 31 7 317 Hệ qu ả. Nếu định th ức cú ớt nh ất 2 dũng (ho ặc 2 cột) gi ống nhau thỡ b ằng 0. 3 3 x+ 1 xx 1 xx 3 3 1 x x2 x 3 x+1 yy3 = ( x + 1) 1 yy 3 . VD 6. 2 2 1 = 0; 1 y2 y 5 = 0. x+ 1 zz3 1 zz 3 1 1 7 1 y2 y 5 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Hệ qu ả d) Tớnh ch ất 4 Nếu đị nh th ức cú 1 dũng (ho ặc 1 cột) mà m ỗi ph ần 1) Nếu định th ức cú ớt nh ất 1 dũng (ho ặc 1 cột) tử là t ổng c ủa 2 s ố h ạng thỡ ta cú th ể tỏch thành t ổng bằng 0 thỡ b ằng 0. 2 đị nh th ức. 2) Nếu định th ức cú 2 dũng (ho ặc 2 cột) t ỉ l ệ v ới VD 9. xxx +1 − 1 110 − xxx nhau thỡ b ằng 0. x y y3= xyy 3 + xyy 3 ; 1zz3 1 zz 3 1 zz 3 x 0 1 6− 6 − 9 2 VD 8. x0 y = 0 ; 2 2− 30 = . cos2x 2 3 sin 2 x 2 3 1 2 3 3 2 x0 y −8 − 3 12 sin2x 56+ cos 2 x 56 = 156. sin2x 89 cos 2 x 89 1 8 9 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh e) Tớnh ch ất 5 2.3. Đị nh lý (khai tri ển Laplace ) Đị nh th ức s ẽ khụng đổ i nếu ta c ộng vào 1 dũng ℝ Cho ma tr ận vuụng A=( aij) ∈ M n ( ) , ta cú cỏc (ho ặc 1 cột) v ới λ l ần dũng (ho ặc cột) khỏc. n khai tri ển Laplace c ủa đị nh th ức A: VD 10 . Sử d ụng tớnh ch ất 5 để đư a đị nh th ức sau v ề a) Khai tri ển theo dũng thứ i 1 2 3 n AaA aA aA aA det=ii11 + ii 22 ++ inin = ∑ ijij . dạng b ậc thang: =−1 2 − 1 . j=1 2 3 4 i+ j Trong đú, Aij=( − 1) det( M ij ) . x 2 2 b) Khai tri ển theo c ột th ứ j VD 11. Sử d ụng tớnh ch ất 5 để tớnh = 2x 2 . n detAaA= + aA ++ aA = aA . 11jj 22 jj njnj∑ ijij 2 2 x i=1 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 26
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 1 0 0 2 Cỏc k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ 1) Dạng tam giỏc 2 0 1 2 aa a a 0 0 VD 12. Tớnh đị nh th ức b ằng hai cỏch 11 12 1n 11 1 3 2 3 0a a aa 0 22 2n = 21 22 = a a a . 3 0 2 1 11 22 nn khai tri ển theo dũng 1 và khai tri ển theo cột 2. 0 0 ann aa n1 n 2 a nn VD 1 3. Áp d ụng tớnh ch ất và đị nh lý Laplace, hóy tớnh 2) Dạng tớch: det(AB )= det A .det B . 1 1 1 2 3) D ạng chia kh ối 2− 1 1 3 A⋮ B đị nh th ức . 1 2− 12 ℝ = detA .det C , v ới ABC,,∈ M n () . 3 3 2 1 On ⋮ C Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh T VD 1 4 . Tớnh đị nh th ứ c: VD 1 5. Tớnh đị nh th ức: 11− 1214 − 314 1 2 3 4 0 0 3 4 VD 1 7. Tớnh detD = 20 32130 12. 0− 2 7 19 3− 2 7 19 12− 3121 1 21 det A = . det B = . 0 0 3 0 1 2 3 7 0 0 0− 1 0 0 8− 1 x 1 0 0 1x 0 0 VD 18. Ph ươ ng trỡnh = 0 cú nghi ệm 2x x − 2 11− 1214 3 8 2 x VD 16. Tớnh detC = 20 3 213 . x = ± 1 12− 3121 là: A. x = ± 1; B. x = 1; C. x = − 1; D. . x = ± 2 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 2.4. Ứng d ụng đị nh th ức tỡm ma tr ận ngh ịch đả o b) Thu ật toỏn tỡm A–1 a) Đị nh lý • Bướ c 1. Tớnh det A. N ếu detA = 0 thỡ k ết lu ận A Ma tr ận vuụng A kh ả ngh ịch khi và ch ỉ khi: khụng kh ả ngh ịch. Ngượ c l ại, ta làm ti ếp b ướ c 2. detA ≠ 0. • Bướ c 2. L ập ma tr ận A, A= ( − 1)i+ j det M . VD 1 9. Giỏ tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận ( ij)n ij ij T Suy ra ma tr ận ph ụ h ợp (adjunct matrix ) c ủa A là: m1 m 0 m −1 0 T A = 2 m m adjA= ( A ij ) . 0 1− 1 1 m n kh ả ngh ịch là: • Bướ c 3. Ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A là: m m = 0 ≠ 0 −1 1 A. ; B. ; C. m ≠ 0; D. m ≠ 1. A= . adjA . m = 1 m ≠ 1 det A Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 27
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 20 . Tỡm ma trận ngh ịch đả o (nếu cú) c ủa: 11 01 01 A= =1, A =− = 1, A = =− 1, 1123 12 13 13 12 1 2 1 A = 1 1 2 . 21 11 12 A A A 21=− =−4, 22 = = 2, 23 =− = 0, 3 5 4 23 13 12 21 11 12 A= =1, A =− =− 1, A = = 1. 31 32 33 1 2 1 11 01 01 −1 VD 21. Cho ma tr ận A = 0 1 1 . Tỡm A . 1− 4 1 1− 4 1 1 2 3 −1 1 ⇒adjA = 1 2 − 1 ⇒A = 1 2 − 1. 2 Gi ải. Ta cú: detA= 2 ≠ 0 ⇒ A kh ả ngh ịch. −1 0 1 −1 0 1 Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 2.5. H ạng c ủa ma tr ận Chỳ ý • N ếu A= a khỏc 0 thỡ 1≤rA ( ) ≤ min{ mn , }. a) Đị nh th ức con c ấp k ( ij )mì n Cho ma tr ận A= a . Đị nh th ức c ủa ma tr ận con • N ếu A là ma tr ận khụng thỡ ta quy ướ c r( A )= 0 . ( ij )mì n cấp k của A đượ c g ọi là đị nh th ức con c ấp k c ủa A. c) Thu ật toỏn tỡm h ạng c ủa ma tr ận Đị nh lý • B ướ c 1. Đư a ma tr ận c ần tỡm h ạng v ề b ậc thang. Nếu ma tr ận A cú t ất c ả cỏc đị nh th ức con c ấp k đề u bằng 0 thỡ cỏc đị nh th ức con c ấp k + 1 c ũng b ằng 0. • B ướ c 2. Số dũng khỏc 0 c ủa ma tr ận b ậc thang chớnh là h ạng c ủa ma tr ận đó cho. b) H ạng c ủa ma tr ận • Đặ c bi ệt Cấp cao nh ất c ủa đị nh th ức con khỏc 0 c ủa ma tr ận A N ếu A là ma vuụng c ấp n thỡ: đượ c g ọi là hạng c ủa ma tr ận A. Ký hi ệu là r( A ) . rA( )= n ⇔ det A ≠ 0. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Chỳ ý VD 22 . Điều ki ện c ủa tham s ố m để ma tr ận Ta cú th ể hoỏn v ị c ột c ủa ma tr ận r ồi đư a v ề b ậc thang. m −1 − 2 m = − 2 VD 2 5. Giỏ tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận A = 0 3 2 cú h ạng b ằng 3 là: A. ; m = 1 m + 1 1 3 0 1 1 B. m = 1; A= 2 m + 2 0 cú r( A )= 2 là: A. m ≠ 1; B. m ≠ − 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ 0. C. m = − 2; 2m 1 3 m = − 1 VD 23 . Cho ma tr ậ n: VD 24. Tỡm r( A ) . Bi ết: D. . m = 0 1− 342 21− 13 VD 26. Tựy theo −12 1 − 11 A =2 − 514 . 0− 10 0 giỏ tr ị m , tỡm A . m −11 − 1 − 1 = hạng c ủa ma tr ận: A = 3− 856 01 2 0 1m 011 Tỡm r( A ) . 0− 11 − 4 1 22− 11 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 28
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Đ3. H Ệ PH ƯƠ NG TRèNH TUY ẾN TÍNH a a 11 1 n 3.1. Đị nh ngh ĩa Đặ t: A= = () a ij , mì n x i n a a Hệ gồm n ẩn i (= 1, , ) và m ph ươ ng trỡnh: m1 mn ax+ ax ++ ax = b T T 111 122 1n n 1 B= b b và X= x x ( 1 m ) ( 1 n ) ax211+ ax 222 ++ ax 2n n = b 2 (I ) l ần l ượ t là ma tr ận h ệ s ố, ma tr ận c ột hệ s ố tự do và ma tr ận c ột ẩn. axax+ ++ ax = b m11 m 22 mn n m Khi đú, h ệ (I ) tr ở thành AX= B . T trong đú, cỏc h ệ s ố a∈ℝ ( i = 1, , nj ; = 1, , m ) , • B ộ s ố α= α α ho ặc α= α; ; α ij ( 1 n ) ( 1 n ) đượ c g ọi là hệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh . đượ c g ọi là nghi ệm c ủa (I ) n ếu Aα = B . Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 1. Cho h ệ ph ươ ng trỡnh: 3.2. Đị nh lý Crocneker – Capelli xx x x Cho h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B . Gọi ma tr ận 12−+2 3 + 4 4 = 4 2x+ x + 4 x =− 3 aa ab 1 2 3 11 12 1n 1 x x mở r ộng là A= A B = . 22− 7 3 = 5. () aa ab Hệ ph ươ ng trỡnh đượ c vi ết l ại d ướ i d ạng ma tr ận: m1 m 2 mn m Đị nh lý x 1 1124− 4 Hệ AX= B cú nghi ệm khi và ch ỉ khi rA()= rA (). x 2 2140 = − 3 Trong tr ườ ng h ợp hệ AX= B cú nghi ệm thỡ: x 3 02− 70 5 Nếu r( A )= n : kết lu ận hệ cú nghi ệm duy nh ất; x 4 Nếu r( A )< n : kết lu ận hệ cú vụ s ố nghi ệm và α =(1; − 1; − 1; 1) là 1 nghi ệm c ủa h ệ. ph ụ thu ộc vào n− r tham s ố. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 2 . Tựy theo điều ki ện tham s ố m , hóy bi ện lu ận s ố 3.3. Ph ươ ng phỏp gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trỡnh: a) Ph ươ ng phỏp ma tr ận (tham kh ảo) x+ my −3 z = 0 Cho h ệ phươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B , với A là 2 ma tr ận vuụng c ấp n kh ả ngh ịch. (1−m ) z = m − 1. Ta cú: VD 3. Điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trỡnh: −1 AX= B ⇔ X = AB . mx + 8 z − 7 t = m − 1 VD 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh sau b ằng 3x+ my + 2 z + 4 t = m 2 ph ươ ng phỏp ma tr ận: mz+ 5 t = m − 1 2x+ y − z = 1 5z− mt = 2 m + 2 y+ 3 z = 3 cú nghi ệm duy nh ất là: 2x+ y + z =− 1. A. m ≠ 0; B. m ≠ 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ ± 5. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 29
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 211− − 112 − b) Ph ươ ng phỏp đị nh th ức (hệ Cramer ) −1 1 Gi ải. A=013 ⇒= A 323 − . Cho h ệ AX= B , với A là ma tr ận vuụng c ấp n . 2 211 − 101 • Bướ c 1. Tớnh cỏc đị nh th ức: −1 a a a Hệ ph ươ ng trỡnh ⇔X = A B 11 1j 1 n x −1121 − x − 3 =detA = , 1 a a a ⇔=y3233 − ⇔= y 6 . n1 nj nn 2 z−1011 − z − 1 a11 b1 a 1 n x = − 3, = ,j = 1, n j Vậy h ệ đó cho cú nghi ệm y = 6, a .b a n1 n nn z = − 1. (thay c ột th ứ j trong b ởi c ột t ự do). Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh • Bướ c 2. K ết lu ận: VD 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh sau bằng đị nh th ức: Nếu ≠ 0 thỡ h ệ cú nghi ệm duy nh ất: 2x+ y − z = 1 x=j , ∀ j = 1, n . y+ 3 z = 3 j 2x+ y + z =− 1. Nếu = 0 thỡ ch ưa cú k ết lu ận. Khi đú, ta gi ải tỡm tham s ố và thay vào h ệ để gi ải tr ực ti ếp. Gi ải. Ta cú: Chỳ ý (m− 7) x + 12 y − 6 zm = 2 1− 1 1 1− 1 Khi m = 1 thỡ h ệ −10xm ++ ( 19) y − 10 z = 2 m =01 3 = 4 , =3 1 3 = − 12 , 1 −12x + 24 ym +− ( 13) z = 0 2 1 1 −1 1 1 cú = 1 = 2 = 3 = 0 nh ưng h ệ vụ nghi ệm. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 21 − 1 2 1 1 c) Ph ươ ng phỏp ma tr ận b ậc thang ươ =03 3 = 24 , =0 13 = − 4 . (ph ng phỏp Gauss ) 2 3 Xột h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B . 2 −1 1 2 1 −1 • Bướ c 1. Đư a ma tr ận m ở r ộng A B v ề d ạng b ậc ( ) Vậy x=1 =−3, y = 2 = 6, z = 3 =− 1. thang b ởi PB ĐSC trờn dũng. • Bướ c 2. Gi ải ng ượ c t ừ dũng cu ối cựng lờn trờn. (m+ 1) x += y m + 2 VD 6. Hệ ph ươ ng trỡnh Chỳ ý . Trong quỏ trỡnh th ực hi ện b ướ c 1, n ếu: x+( m + 1) y = 0 cú 2 dũng t ỉ l ệ thỡ xúa đi 1 dũng; cú nghi ệm khi và ch ỉ khi: A. m = − 2; B. m≠−2 ∧ m ≠ 0 ; cú dũng nào b ằng 0 thỡ xúa dũng đú; C. m ≠ 0; D. m ≠ − 2. cú 1 dũng d ạng (0 0b) , b ≠ 0 thỡ hệ vụ nghi ệm. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 30
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 7. Gi ải h ệ sau b ằng ph ươ ng phỏp Gauss: VD 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh: x y z x x x x 2+ − = 1 51− 2 2 + 5 3 − 3 4 = 3 y+ 3 z = 3 4xx++ 32 x − x = 1 12 3 4 Gi ải. Ta cú: 2x+ y + z =− 1. 2x+ 7 x − x = − 1. 1 2 3 2 1− 11 2 1− 11 VD 9. Tỡm nghi ệm c ủa h ệ x4+y + 5 z =− 1 d d d 3→ 3 − 1 A B = 01 3 3 →01 3 3. ( ) A. x=15, y =− 4, z = 0 ; 2x+ 7 y − 11 z = 2 21 1− 1 00 2− 2 B. H ệ cú vụ s ố nghi ệm; 3x+ 11 y − 6 z = 1. 2xyz+−= 1 x =− 3 x =15 − 79 α x =15 + 79 α Hệ ⇔ y += 3 z 3 ⇔= y 6 . C. y = −4 − 21 α; D. y = −4 − 21 α. 2z=− 2 z =− 1 z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 3x− y + 2 z = 3 Đ4. KHễNG GIAN VECTOR VD 10. Tỡm nghi ệm c ủa h ệ . 4.1. Đị nh ngh ĩa 1 2x+ y − 2 z = 7 Cho t ập V khỏc r ỗng, xột hai phộp toỏn sau: x = 2 x = 2 x+ yxy( , ∈ V ) và λx( λ ∈ℝ , x ∈ V ) . A. y =7 − 2 α; B. y =3 + 2 α Ta núi V cựng v ới hai phộp toỏn trờn là m ột khụng gian vector n ếu th ỏa 8 tớnh ch ất sau: z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ 1) (x++=++ y ) z x ( yz ),,, ∀ xyzV ∈ ; C. Hệ cú vụ s ố nghi ệm; D. H ệ vụ nghi ệm. 2) ∃∈θVx: +=+= θ θ xxxV , ∀∈ ; 3) ∀∈xV,() ∃−∈ xV :() −+=+−= xxx () x θ ; m VD 11 . Giỏ tr ị c ủa tham s ố để h ệ ph ươ ng trỡnh 4) x+=+ y y x, ∀ xyV , ∈ ; x+2 y +− (7 mz ) = 2 5) λ()xy+= λλ x + yxyV ,,, ∀ ∈ ∀∈ λ ℝ ; A. m = ± 1; 2x+ 4 y − 5 z = 1 B. m = 1; 6) ()λ +x = λ x + xxV , ∀∈∀ ,, λ ∈ ℝ ; 7) ()λ x= λ (), x ∀∈∀ xV ,, λ ∈ ℝ ; 3x+ 6 y + mz = 3 C. m = − 7; 8) 1 .x= x , ∀ x ∈ V . D. m = 7. cú vụ s ố nghi ệm là: Trong đú, θ ∈ V đượ c g ọi là vector khụng . Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 4.2. Đị nh ngh ĩa 2 VD 1 . • Trong ℝ2, h ệ g ồm 2 vector: Trong kgvt V , cho n vector ui ( i= 1, , n ) . n u=1;–1 , u = 2; 3 • λu λ ℝ đượ c g ọi là một t ổ h ợp tuy ến tớnh { 1( ) 2 ( )} ∑ i i, i ∈ i=1 là độc l ập tuy ến tớnh. của n vector u . i • Trong ℝn , h ệ gồm n vector : • H ệ u u u đượ c g ọi là độ c l ập tuy ến tớnh u=(0; ;α ; ; 0); i = 1, , n ; α ≠ 0 {1 , 2 , ,n } { i } n (thành ph ần th ứ i c ủa u là α) là đltt. (đltt ) nếu cú λu = θ thỡ λ =0, ∀i = 1, n . i ∑ i i i 3 i=1 • Trong ℝ , h ệ gồm 3 vector: • H ệ {u , u , , u } khụng là độ c l ập tuy ến tớnh thỡ u=–1; 3; 2 , u = 2; 0; 1 , u = 0; 6; 5 1 2 n { 1( ) 2( ) 3 ( )} đượ c g ọi là ph ụ thu ộc tuy ến tớnh ( pttt ). là phụ thu ộc tuy ến tớnh. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 31
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh 4.3. Đị nh ngh ĩa 3 n 4.4. H ệ vector trong ℝ • Trong kgvt V , h ệ A uu u đượ c g ọi là a) Đị nh ngh ĩa = { 1, 2 , , n } ℝn một cơ s ở c ủa V n ếu h ệ A độc l ập tuy ến tớnh và m ọi Trong , cho m vector ui=( a i1 , , ai in ), = 1, m . V A vector c ủa đề u bi ểu di ễn tuy ến tớnh qua . Ta g ọi A= a là ma tr ận dũng c ủa m vector u . ( ij )mì n i • Nếu k gvt V cú m ột c ơ s ở g ồm n vector thỡ V đượ c gọi là kgvt cú n chi ều. Ký hi ệu là dim V = n . b) Đị nh lý • Trong ℝn , h ệ u, u , , u đltt ⇔ r( A ) = m Khi đú, trong kgvt V , mọi hệ cú nhi ều hơn n vector { 1 2 m } đề u phụ thu ộc tuy ến tớnh. (hạng c ủa A bằng s ố ph ần t ử c ủa h ệ). • Trong ℝn , h ệ u u u pttt r( A ) < m . 2 { 1, 2 , , m } ⇔ VD 2. Trong ℝ , h ệ A= u =1;–1 , u = 2; 3 { 1( ) 2 ( )} • Trong ℝn , h ệ u, u , , u là c ơ s ở ⇔ r( A ) = n . là một cơ s ở. { 1 2 n } Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 4. Đ i s tuy n tớnh VD 3. Trong ℝ3 , xột s ự đltt hay pttt c ủa h ệ sau: c) T ọa độ c ủa vector u=−( 1; 2; 0), u = (1; 5; 3), u = (2; 3; 4) . Trong kgvt ℝn , cho c ơ s ở F uu u . { 1 2 3 } ={,1 2 , ,n } Vector x∈ V tựy ý cú bi ểu di ễn tuy ến tớnh m ột cỏch 3 VD 4. Trong ℝ , tỡm điều ki ện m để h ệ sau là c ơ s ở: n duy nh ất qua c ơ s ở F là x=α u , α ∈ ℝ. um=( ; 1; 1), u = (1; mu ; 1), = (1; 1; m ) . ∑ i i i { 1 2 3 } i=1 Ta núi x cú tọa độ đố i v ới cơ s ở F là (;α α ; ; α ) . VD 5. Trong ℝ4 , điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ sau 1 2 n Ký hi ệu là [x ] . {(1;2;1;4), (2;3;m ;7), (5;8;2 m+ 1;19), (4;7; m + 2;15 )} F ph ụ thu ộc tuy ến tớnh là: Đặ c bi ệt, E={ u1 = (1;0; ;0), , u n = (0; ;0;1)} A. m = 2; B. m = − 2; C. m = 4; D. m ∈ ℝ. n đượ c g ọi là cơ s ở chớnh t ắc c ủa ℝ . Khi đú, t ọa độ c ủa 1 vector đượ c vi ết theo d ạng quen thu ộc. Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh Ch ươ ng 5. Đ i s tuy n tớnh VD 6. Trong ℝ2 , cho x =(3; − 5) và 1 c ơ s ở: P= [ uuu ][ ] [ ] Đặ c bi ệt. Ta cú: E→ B( 1 2 n ) 1 F={ u1 =− (2; 1), u 2 = (1; 1)} . (ma tr ận c ột c ủa cỏc vector trong B ). T ỡm t ọa độ c ủa vector x trong c ơ s ở F ? 1 d) Tọa độ c ủa vector trong cỏc c ơ s ở khỏc nhau Cụng th ức tỡm ma tr ận chuy ển −1 Ma tr ận chuy ển c ơ s ở P= PP = P P . BB→ BEEB → →( EB →) EB → Trong kgvt ℝn , cho 2 c ơ s ở: 121 2 1 2 2 BuBvi1={i }, 2 = { i }, = 1,2, , n . VD 7. Trong ℝ , cho 2 c ơ s ở: B=={ u (1; 0), u =− (0; 1)} , Ma tr ận [v ] [ v ] [ v ] đượ c g ọi là ma tr ận 1 1 2 ( 1B 2 B nB ) 1 1 1 B={ v =− (2; 1), v = (1; 1)} . chuy ển c ơ s ở t ừ B sang B . Ký hi ệu là: P . 2 1 2 1 2 B1→ B 2 Cho bi ết [x ]B = (1; 2) . Hóy tỡm [x ] B ? Cụng th ức đổ i t ọa độ : []x= P .[]. x 2 1 B1 BB 12→ B 2 H t Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 32
