Sức bền vật liệu - Chương 9: Sự ổn định của hệ đàn hồi

Nội dung text: Sức bền vật liệu - Chương 9: Sự ổn định của hệ đàn hồi

1. Ch−ơng 9. sự ổn định của hệ đμn hồi I. Khái niệm ⇒ Thực tế có nhiều tr−ờng hợp nếu chỉ tính độ bền vμ độ cứng vẫn ch−a đủ đảm bảo an toμn cho kết cấu, vì nó có thể bị phá hỏng do sự mất ổn định ⇒ cần phải chú ý đến sự ổn định. ⇒ Khái niệm về ổn định của hệ đμn hồi: Ví dụ, một vật nặng hình cầu đặc trên một mặt lõm (hình 9.1a), quả cầu ở trạng thái cân bằng ổn định. Nếu ta đặt quả cầu trên một mặt lồi (hình 9.1b), quả cầu ở trạng thái cân bằng không ổn định (mất ổn định) b) a) Hình 9.1 ⇒ Xét một thanh thẳng mảnh chịu lực nh− hình 9.2a. Khi lực r r P còn nhỏ. Nếu ta dùng một lực ngang rất nhỏ K đẩy thanh chệch khỏi vị trí cân bằng, thanh trở lại vị r trí thẳng đứng ban đầu sau khi bỏ K . Đó gọi lμ trạng thái ổn định của thanh. r ⇒ Nh−ng khi lực P v−ợt quá một giới hạn nhất định Pth (tải trọng tới hạn) thì thanh sẽ dời vị trí cân bằng ban đầu với biến dạng ngμy cμng tăng ngay cả sau khi lực ngang triệt tiêu, cho đến khi cong hẳn về một phía, không trở về dạng thẳng ban đầu nữa. Lúc nμy ta nói rằng trạng thái cân bằng (d−ới a) b) dạng thẳng) của thanh không ổn định. Hình 9.2 ⇒ Đối với các chi tiết máy hoặc công trình, ngoμi việc bảo đảm an toμn về độ bền vμ độ cứng còn phải bảo đảm cả ổn định nữa. P P ≤ th Điều kiện ổn định: , nôđ − hệ số an toμn về ổn định. nôd Ví dụ một thanh ngμm dμi có mặt cắt ngang chữ nhật hẹp r (hình 9.3a) bị uốn phẳng bởi lực P song song với chiều dμi của
2. r r mặt cắt, khi P lớn hơn lực tới hạn Pth dễ bị mất ổn định: thanh bị vênh đi vμ bị uốn − xoắn đồng thời. Một ống tròn mỏng bị xoắn thuần tuý (hình 9.3b) khi mômen xoắn M > Mth, thμnh ống sẽ bị méo vì mất ổn định. Hình 9.3 ⇒ Khi mất ổn định, biến dạng của hệ tăng rất nhanh so với mức tăng của tải trọng. Chẳng hạn, với thanh thẳng chịu nén nh− hình 9.2: khi P=1,010 Pth thì f=9%l; P=1,015 Pth thì f=22%l. Bμi toán ổn định lμ xác định tải trọng tới hạn. Bμi toán đơn giản nhất lμ xác định lực tới hạn của thanh bị nén đúng tâm (bμi toán uốn dọc thanh thẳng hay bμi toán Ơle (Euler). II. bμi toán ơle (EULER, 1774) 1. Công thức Ơle về lực tới hạn ⇒ Xét một thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm P. Khi P đạt tới giá trị tới hạn Pth thanh sẽ bị uốn cong trong mặt phẳng mμ thanh có độ cứng nhỏ nhất (hình 9.4). ⇒ Giả thiết: ứng suất trong thanh do Pth gây ra ch−a v−ợt giới hạn tỉ lệ (đμn hồi tuyến tính). D−ới tác dụng của Pth trục của thanh bị cong với chuyển vị (độ võng) tại mặt cắt có tọa độ z lμ y(z) rất bé. Mômen uốn trên mặt cắt đó lμ: Hình 9.4 M(z) = Pth. y(z) (a)
3. ⇒ Do các giả thiết trên ta có thể dùng công thức tính mômen uốn theo ph−ơng trình vi phân gần đúng đ−ờng đμn hồi: dy2 Mz()=− EJ (b) dz2 Thay (a) vμo (b) ta đ−ợc: y(z)′′ + α=2 y(z) 0 (9.1) 2 Pth trong đó: α= (c) EJ Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình trên lμ: y(z)=α+α C12 sin z C cos z Các hằng số tích phân đ−ợc xác định theo điều kiện biên: khi z = 0 thì y = 0 (d) khi z = 1 thì y = 0 (e) Từ (d) ta có ngay C2 = 0. Từ (e) ta có: y(l) = C1sinαl = 0 (9.2) Nh− vậy hoặc C1 = 0 hoặc sinαl = 0. Tuy nhiên vì C2 = 0, nên nếu C1 = 0 thì y(z) = 0, khi đó thanh ch−a bị uốn cong hay ch−a mất ổn định. Vậy chỉ còn lại điều kiện nπ sinαl= 0 ⇒ αl = nπ (n = 1, 2, ) ⇒α= (n = 1, 2, ) (f) l Thay giá trị của α vμo (c) ta có giá trị lực tới hạn: nEJ22π Pth = (n = 1, 2, 3 ) (g) l2 Pth lμ giá trị nhỏ nhất trong các giá trị (g), ứng với n = 1, khi thanh bắt đầu mất ổn định, với độ cứng nhỏ nhất nên J trong (g) nhỏ nhất Jmin của MCN. Do đó, lực tới hạn bằng: π2EJ P = min th l2 (9.3) Công thức nμy do Ơle tìm ra năm 1774. Đối với các thanh thẳng khác, bằng những suy diễn t−ơng tự nh− trên, ta đ−ợc công thức Euler d−ới dạng tổng quát sau: 2 π2EJ 2 π EJmin min Pm= hay Pth = 2 (9.4) th l2 ()μl
4. trong đó μ vμ m = 1 lμ các hệ μ số phụ thuộc vμo dạng liên kết ở hai mút thanh (hình 9.5). Có thể thấy m bằng số nửa b−ớc sóng hình sin của đ−ờng đμn hồi của thanh sau khi thanh bị mất ổn định. 2. ứng suất tới hạn ứng suất tới hạn trong thanh chịu nén đúng tâm bởi Hình 9.5 lực Pth: PEJπ2 PEiπ22 σ=th = min th min th 2 hay: σ=th = 2 F ()μlF F ()μl J trong đó, i2 = min lμ bán kính quán tính cực tiểu của MCN. min F μl Đặt: λ= - đ−ợc gọi lμ độ mảnh của thanh (9.5) imin π2E Công thức tính ứng suất tới hạn sẽ có dạng: σ=th 2 (9.6) λ 3. Giới hạn áp dụng của công thức Ơle ⇒ Các công thức Ơle đ−ợc thμnh lập với giả thiết vật liệu đμn hồi tuyến tính ⇒chúng chỉ dùng khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỉ lệ σtl ⇒ điều kiện áp dụng các công thức Ơle: π2E π2E λ≥ σ≤σth tl hay 2 ≤ σtl ⇒ (9.7) λ σtl ⇒ Nh− vậy công thức Ơle chỉ đúng với các thanh có độ mảnh π2E lớn hơn độ mảnh giới hạn: λ=0 (9.8) σtl 25 5 2 2 π .2.10 Với thép, E ≈ 2.10 N/mm , σ = 200N/mm ⇒ λ=0 ≈100 tl 200 Với gỗ λ0 ≥ 70, với gang λ0 ≥ 80.
5. ⇒ Những thanh có độ σth mảnh λ>λ0 đ−ợc gọi lμ những thanh có độ mảnh lớn. ⇒ Những thanh có λ1<λ<λ0 đ−ợc gọi lμ những thanh có σ0 Đ−ờng I-a-xin-xki độ mảnh vừa vμ bé. σ ⇒ Đối với những thanh có tl Hypecbôn Ơle độ mảnh vừa vμ bé, th−ờng dùng công thức kinh nghiệm sau đây của E.S. Yaxinxky: 0 λ1 λ0 λ σ=−λth ab (9.9) Hình 9.6 trong đó a vμ b lμ các hằng số phụ thuộc vật liệu của thanh, đ−ợc xác định bằng thực nghiệm vμ tra Sổ tay kĩ thuật. Ví dụ với thép số 3: a = 336 MN/m2, b = 2,47 MN/m2, với gỗ: a = 29,3 MN/m2, b = 0,194 MN/m2. Đối với thanh có độ mảnh bé quá (0≤λ≤λ1) khi chịu nén thanh không thể bị cong, sự mất ổn định của thanh thực tế không xẩy ra, khi đó trạng thái tới hạn của thanh cũng lμ trạng thái phá hoại của vật liệu: σth = σ0 (9.10) với σ=σ0ch đối với vật liệu dẻo, σ0B=σ đối với vật liệu giòn. III. Ph−ơng pháp thực hμnh để tính ổn định Nh− đã biết, điều kiện bền của thanh bị nén đúng tâm lμ: P σ σ= ≤σ = 0 n []n Fnthực trong đó, [σ]n lμ ứng suất nén cho phép. Trong khi đó điều kiện P Pth ổn định của thanh lμ: σôđ = ≤ [σ]ôđ = (9.11) Fng nôđ trong đó [σ]ôđ lμ ứng suất cho phép về ổn định. [σ] n σ ϕ=ôđ = th Để tiện cho việc tính toán, ta đặt: σ n σ (9.12) []n ôđ 0 ϕ đ−ợc gọi lμ hệ số giảm ứng suất cho phép hay hệ số uốn dọc, ϕ ≤ 1 vì thông th−ờng [σ]ôđ ≤ [σ]n. Hệ số ϕ phụ thuộc vμo vật liệu, độ mảnh của thanh vμ các hệ số an toμn về bền vμ ổn định. Bằng
6. thực nghiệm, ng−ời ta đã lập đ−ợc bảng tra trị số ϕ theo độ mảnh vμ vật liệu, vμ cho trong các Sổ tay kĩ thuật. Thay (9.12) vμ (9.11) suy ra công thức kiểm tra ổn định các thanh bị uốn dọc: P ≤ϕ σ []n (9.13) Fng Vì ϕ ≤ 1 nên nếu điều kiện ổn định đã đ−ợc bảo đảm thì điều kiện bền cũng đ−ợc đảm bảo. Hình 9.7 Thực nghiệm cho thấy những lỗ khuyết trên mặt cắt ngang (nh− lỗ đinh, rãnh chêm, v.v ) ảnh h−ởng rất ít đến độ ổn định của thanh, nên khi kiểm tra ổn định theo công thức (9.32) vẫn dùng diện tích nguyên của mặt cắt. Hình 9.7 mô tả một MCN bị giảm yếu cục bộ, khi đó Fth = F1 + F2, còn Fng lμ diện tích của hình tròn. Từ công thức cơ bản trên, có thể xác định lực nén cho phép: PF≤ ϕσ [ ] ng [ ]n (9.14) IV. Ví dụ áp dụng P Ví dụ 9.1. Tính lực tới hạn vμ ứng suất tới hạn của một thanh chịu nén đúng tâm nh− hình 9.8. Cho biết vật liệu thanh lμ đuya-ra: E = 0.71.105 MN/m2; 2 σtl=180 MN/m ; l = 2 m; D = 4 cm; d = 3 cm. l Giải Mômen quán tính của MCN hình vμnh khăn lμ: ππ175 JDd=−=()44 (cm4) 64 64 d π 7π Diện tích MCN của thanh: FDd=−=()22 (cm2) 44 D Hình 9.8 Bán kính quán tính của mặt cắt (imin = imax = i) J175.45π i == = (cm) F 64.7π 4 Hệ số liên kết μ = 0,7, do đó độ mảnh của thanh lμ:
7. μl 0,7.120.4 λ= = =67,2 i5 Độ mảnh λ0 t−ơng ứng với σtl lμ: E 0,71.105 λ=π0 =3,14 = 62 σtl 180 Do λ > λ0, nên ta áp dụng công thức Ơle để tính lực tới hạn 2 π EJ 3 Pth ==2 85,3.10 N = 85,3kN ()μl ứng suất tới hạn: P π2EJ σ=th = =155.1062 N / m = 155MN / m 2 th 2 F ()μlF Ví dụ 9.2. Tính lực tới hạn vμ ứng suất tới hạn của một cột lμm bằng thép CT3 chịu liên kết khớp ở hai đầu, MCN hình chữ I số 22a. Xét hai tr−ờng hợp: a) Cột cao 3 m. b) Cột cao 2,25 m. Giải 2 Mặt cắt ngang hình chữ I số 22a có F = 32,4 cm vμ imin = 2,5cm a) Khi cột cao 3m độ mảnh của cột lμ: μl 1.3 λ= = =120 imin 0,025 Với thép CT3 ta có λ0 = 100 nên ta thấy λ > λ0, do đó ta có thể sử dụng công thức Ơle. ứng suất tới hạn: 2 π E 2 σ=th =14,3kN / cm λ2 Lực tới hạn của thanh lμ: Pth = σth.F = 14,3.32,4 = 463,32 kN
8. μl 1.2,25 b) Khi cột cao 3m độ mảnh của cột lμ: λ == =<λ90 0 i0,025min Vì λ < λ0, nên ta phải dùng công thức Yaxinxki để tính lực tới hạn với thép số 3, ta có: 2 σ=−λ=th a b 336 − 1,47.90 = 20,4kN / cm Khi đó lực tới hạn lμ: Pth = σth. F = 20,4 . 32,4 = 660 kN Ví dụ 9.3. Cho cột chữ I lμm từ thép số 3. Biết [σ]=16 kN/cm2, P=400kN, l=2 m. Xác định số hiệu mặt cắt ngang? P Giải Ta giải bμi toán theo ph−ơng pháp đúng dần. a) Chọn lần thứ nhất Chọn ϕ0=0,60 l 2 Khi đó [σ]ôđ = ϕ.[σ] = 0,6.16 = 9,6 kN/cm . P 400 Diện tích MCN: F41,7kN/cm==≈ 2 σ 9,6 []od Tra bảng thép chữ I thấy có loại thép I N027 có 3 F= 40,2 cm ; imin=2,54cm. Độ mảnh của cột lμ: μl 1.200 λ= = =78,8 Hình 9.9 i2,54min Đối với thép số 3, khi λ = 70 thì ϕ = 0,758, khi λ = 80 thì ϕ = 0,75. Dùng phương pháp nội suy ta có hệ số ϕ1 = 0,81− 0,75 0,75+ .1,3 =0,758 t−ơng ứng với λ = 78,8. 10 Hệ số ϕ1 nμy khác nhiều so với hệ số giảm ứng suất ta chọn lúc đầu nên ta phải chon lần hai. b) Chọn lầm thứ hai: ϕ + ϕ Ta lấy: ϕ = 0 1 = 0,679; 2 2
9. 2 Khi đó: [σ]ôđ = ϕ.[σ] = 0,679.16 = 10,86 kN/cm 400 Diện tích MCN: F = = 36,8cm2 10,86 Tra bảng ta chọn thép chữ I N024 có diện tích gần nhất F = 3 34,8 cm ; imin=2,37cm. μl 1.200 Độ mảnh của cột: λ= = =84,5 i2,37min Tra bảng đối với thép số 3 ta có: khi λ = 80 thì ϕ = 0,75, khi λ = 90 thì ϕ = 0,69. Dùng nội suy ta có với λ = 84,5 thì hệ số giảm ứng suất lμ: 0,75− 0,69 ϕ3 = 0,69+ .5,5 = 0,723; 10 Kiểm tra lại điều kiện ổn định: ứng suất cho phép ổn định: 2 [σ]ôđ = ϕ3.[σ] = 0,723.16 = 11,57 kN/cm ứng suất thực tế trong cột: P 400 σ = = = 11,5kN / cm2 ≤ []σ = 11,57 kN / cm2 F 34,8 od ứng suất ít hơn lμ: [σ−σ] [ ] 0,07 ôd .100%==≈ .100% 0,8% []σôd 11,57 ⇒ chọn I N024 thì cột ổn định. Vì λ = 84,5 < λ0 = 100, nên theo công thức Yaxinxki ta có: σ 2 n1,85==th σth = a − bλ = 21,37kN / cm ; ôd σôd