Sức bền vật liệu - Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh

Nội dung text: Sức bền vật liệu - Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh

1. Ch−¬ng 10. TÝnh chuyÓn vÞ cña hÖ thanh I. C¸c Kh¸i niÖm chung ⇒ Ch−¬ng nμy sÏ tr×nh bμy mét ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó tÝnh chuyÓn vÞ cña c¸c thanh cã d¹ng bÊt kú (nh− khung, thanh cong, ) chÞu lùc bÊt kú. Nh÷ng ph−¬ng ph¸p nμy dùa trªn c¸c nguyªn lý vÒ n¨ng l−îng ®−îc gäi lμ ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng. ⇒ Mét sè c¸c ph−¬ng ph¸p hay sö dông ®èi víi hÖ thanh ®μn håi tuyÕn tÝnh: ph−¬ng ph¸p dùa trªn ®Þnh lý Castigliano, ®Þnh lý t−¬ng hç Betti hoÆc Maxwell, c«ng thøc Maxwell-Mohr, ⇒ Khi nghiªn cøu c¸ch x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ cña hÖ thanh ®μn håi tuyÕn tÝnh ta thõa nhËn mét sè gi¶ thiÕt sau: - T¶i träng g©y ra chuyÓn vÞ lμ t¶i träng t¸c dông tÜnh. - ChuyÓn vÞ cña hÖ tu©n theo nguyªn lý céng t¸c dông. ⇒ §Ó x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ cña hÖ thanh ta cã thÓ tiÕn hμnh theo mét trong hai h−íng: - XuÊt ph¸t tõ nguyªn lý b¶o toμn n¨ng l−îng, x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ theo thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®μn håi. - XuÊt ph¸t tõ nguyªn lý c«ng kh¶ dÜ cña hÖ thanh. II. TÍNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 1. C«ng cña ngo¹i lùc, néi lùc – thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®μn håi ⇒ Dưới tác dụng của ngoại lực ⇒ vật thể bị biến dạng, làm dịch chuyển điểm đặt của lực ⇒ ngoại lực sẽ sinh công - đó là công của ngoại lực. Công của ngoại lực, ký hiệu là Ang, là công dương vì gây ra các chuyển vị. ⇒ Công của các nội lực sinh ra trên những biến dạng đàn hồi của hệ được gọi là Công của nội lực, ký hiệu là An, là công âm vì ngăn cản chuyển vị. ⇒ Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng thì một hệ biến dạng đàn hồi ở trạng thái cân bằng sẽ thoả mãn điều kiện: Ang = - An (10-1) ⇒ Nếu lực tác dụng lên vật là tĩnh, vật làm việc trong giới hạn đàn hồi và bỏ qua các mất mát năng lượng do các hiện tượng nhiệt, điện từ, , trong quá trình lý tưởng, theo nguyên tắc bảo toàn năng lượng ta có thể coi: toàn bộ công của ngoại lực Ang được chuyển hóa thành thế năng biến dạng đàn hồi U tích lũy trong vật thể: Ang = U = - An (10-2) Thế năng biến dạng đàn hồi được tính như sau: 1
2. n li N2 dz ⇒ Khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm: U1 = ∑∫ (10-3) i1= 0 2EF ⇒ Khi thanh chịu uốn ngang phẳng: nnlliiMQ22 dz+η dz U2 = ∑∑∫∫ (10-4) i1==002EJ i1 2GF trong đó η là hệ số điểu chỉnh, kể tới sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Hệ số này phụ thuộc vào hình dạng của tiết diện, ví dụ, mặt cắt tròn η = 1,18; mặt cắt hình chữ nhật η = 1,2; tiết diện hình ống mỏng η = 2. n li M2 z dz ⇒ Khi thanh chịu xoắn: U3 = ∑∫ (10-5) i1= 0 2GJp ⇒ Tæng qu¸t thế năng biến dạng ®μn hồi : l l n i 2 nnllii22n i 2 N MQ Mz U = ∑∫ dz + ∑∑∫∫dz+η dz + ∑∫ dz (10-6) i1= 0 2EF i1==002EJ i1 2GF i1= 0 2GJp ⇒ Ðối với bài toán phẳng, trên các MCN của thanh chỉ có 3 thành phần nội lực: N, Q, M nên: li 2 n N nnllii22 dz MQ U = ∑∫ + ∑∑∫∫dz+η dz (10-7) i1= 0 2EF i1==002EJ i1 2GF 2. Xác định chuyển vị trực tiếp theo thế năng biến dạng đàn hồi ⇒ Phương pháp này chỉ sử dụng khi trên hệ có một lực tác dụng, ví dụ lực P. Yêu cầu xác định chuyển vị Δ có vị trí và phương tương ứng với lực P: 1 2U Ang = PΔ = U Æ Δ= (10-8) 2 P ⇒ Chú ý đến (10-7), ta có thể xác định Δ theo công thức sau: 2U 2⎡⎤nnllii N2 MQ22 n l i Δ= =⎢⎥dz + dz + η dz PP∑∑∫∫ 2EF 2EJ ∑ ∫ 2GF (10-9) ⎣⎦⎢⎥i1==00 i1x i1 = 0 ⇒ Ví dụ 10.1. Xác định độ võng tại đầu tự P z do của dầm cho trên hình 10-1. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. Trong trường hợp này ta có: l 21llM(Pz)P223l Δ=∫∫dz = dz = H×nh 10.1 P00 2EJ P EJ 3EJ 2
3. 2. Xác định chuyển vị theo định lý Castigliano ⇒ Định lý Castigliano: “Ðạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi theo một lực nào đó bằng chuyển vị theo phương tác dụng của lực đặt tại điểm đó”. ∂U Δ=k (10-10) ∂Pk ⇒ Chứng minh (hình 10-2) ⇒ Giả sử tăng lượng P lên k P1 P2 Pk Pn một lượng vô cùng bé dPk thì độ võng của dầm tại các điểm Δ1 Δ Δ đặt lực sẽ tăng lên các lượng 2 Δk n dΔ1, dΔ2, ,dΔk, ,dΔn ⇒ thế năng biến dạng đàn hồi cũng sẽ H×nh 10-2 tăng lên một lượng là dU. ⇒ Nếu vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi thì thế năng biến dạng là một hàm của tải trọng, do đó dU cũng là một hàm của tải trọng. U = f(Pi) => dU = df(Pi) ⇒ Thế năng biến dạng U sẽ tăng một lượng là: ∂U dU= dP ∂P k k (10-11) ⇒ Sau khi biến dạng, lực dPk thực hiện một công là: dA = dPk .Δk ⇒ Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: dA = dU ⇒ (đpcm) ⇒ Giả sử trên dầm có mômen tập trung tác dụng, tương tự ta có biểu thức của định lý Castigliano viết cho góc xoay tại vị trí mômen tập trung là: ∂U θ=k (10-12) ∂Mk Với U biểu diễn trong (10-7), ta có: nnlliiNN∂∂ MM n l i QQ ∂ Δ=dz + dz + η dz k ∑∑∫∫ ∑ ∫ (10-13) i1==00EF∂∂ Pkxkk i1 EJ P i1 = 0 GF ∂ P ∂∂UNNMMQQnnllii ∂ n l i ∂ θ= =dz + dz + η dz k ∑∑∫∫ ∑ ∫ (10-14) ∂∂Mkkxkki1==00 EFM i1 EJM ∂ i1 = 0 GFM ∂ ⇒ Chú ý: định lý Castigliano chỉ xác định được độ võng và góc xoay ở điểm có đặt lực tập trung và mômen tập trung ⇒ muốn xác định độ võng và góc xoay tại một điểm bất kỳ không có lực tập trung và mômen tập trung thì ta đặt vào đó lực tập trung giả tạo Pgt=0 và mômen tập trung giả tạo Mgt=0. 3
4. ⇒ Ví dụ 10.2: xác định độ võng và góc xoay tại đầu B của dầm chịu lực như hình 10.3. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. Giải: vì không kể đến ảnh hưởng của lực cắt Q nên: l MM∂ Δ= dz P Độ võng: B ∫ . 0 EJ∂ P Mgt ∂M A EJ Do M= -P.z => =−z ∂P GF z B Thay vào biểu thức trên ta được độ l Pl3 H×nh 10.3 Δ= võng: B 3EJ Ðể tính góc xoay ta thêm vào mômen giả tạo Mgt. ∂M = 1 Ta có: M = Mgt - P.z Æ ∂Mgt ∂∂UMMll 1 Pl2 θ= =dz = M − P.z .1.dz =− Bgt∫∫() ; vì Mgt = 0. ∂∂Mgt00 EJ M gt EJ EJ Dấu (-) chứng tỏ góc xoay tại B ngược chiều Mgt . Ghi chú: nếu kể đến ảnh hưởng của lực cắt Q thì: llMM∂∂ Q Q Δ=dz +η dz B ∫∫. 00EJ∂∂ P GF P ∂Q PPll3 Với Q = P ⇒ = 1 ⇒ Δ=B +η ∂P 3EJ GF iii. tÝnh chuyÓn vÞ theo nguyªn lý c¤NG KH¶ DÜ 3.1. C«ng kh¶ dÜ cña ngo¹i lùc, néi lùc, nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ 3.1.1 ChuyÓn vÞ kh¶ dÜ ⇒ ChuyÓn vÞ kh¶ dÜ P hoÆc biÕn d¹ng kh¶ dÜ 1 P2 M ®−îc hiÓu lμ bÊt cø mét d¹ng chuyÓn vÞ hay biÕn A ϕ B Δ1 Δ2 d¹ng nμo ®¶m b¶o ®−îc c¸c ®iÒu kiÖn liªn kÕt cña hÖ (c¸c ®iÒu kiÖn H×nh 10-4 biªn h×nh häc cña hÖ). ⇒ VÝ dô víi hÖ h×nh 10.4, nh÷ng chuyÓn vÞ theo ®−êng ®μn håi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lμ ®é vâng t¹i hai gèi tùa b»ng kh«ng lμ nh÷ng chuyÓn vÞ kh¶ dÜ. 4
5. 3.1.2 Công khả dĩ của ngoại lực ⇒ Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên các chuyển vị và biến dạng khả dĩ do một nguyên nhân bất kỳ gây ra (có thể là tải trọng, nhiệt độ, ). ⇒ Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ứng với hai trạng thái “k” chịu lực Pk và “m” chịu lực Pm như hình 10.5. P Pm “k” k “m” dz dz Δkm H×nh 10-5 ⇒ Ký hiệu Δkm là chuyển vị khả dĩ tương ứng với lực Pk (có vị trí và phương tương ứng với lực Pk) do nguyên nhân ở trạng thái “m” gây §−êng ®μn håi do lùc P t¸c dông ra. k Pk ⇒ Ví dụ trên hình 10.6: Δkk là Pm chuyển vị theo phương của lực Pk Δkk do lực Pk gây ra chuyển vị này. Δmm là chuyển vị theo phương của Δkm Δmm lực P do lực P gây ra chuyển vị m m §−êng ®μn håi do lùc P vμ P t¸c dông này. k m ng ⇒ Ký hiệu Akm là công khả dĩ H×nh 10-6 của ngoại lực ở trạng thái “k” sinh ra trên các chuyển vị tương ứng ở trạng thái “m”. Ta có: ng AP.km=Δ k km (10-16) ⇒ Trong trường hợp có nhiều lực tác dụng, công khả dĩ của ngoại lực có dạng: ng AP.km=Δ∑ ik km (10-17) i 3.1.3 Nguyên lý công khả dĩ ⇒ Nếu hệ biến dạng đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các lực thì tổng ng công khả dĩ Akm của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng n và công khả dĩ của các nội lực Akm trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ tương ứng phải bằng không, có nghĩa: ng n P.Δ += An 0 A km + Akm = 0 hay ∑ ik km km (10-18) i 5
6. 3.1.4 Công khả dĩ của nội lực ⇒ Tính công khả dĩ của nội lực trên toàn chiều dài của hệ: tách khỏi hê một đoạn chiều dài dz và biểu diễn các thành phần nội lực như trên hình 10.7 “k” “m” Δdϕ γtb Qk Mk Mm Mm N m Nm Qm Qm Nk Nk Mk dz Qk dz+Δdz dz dz Δds a) b) c) d) H×nh 10.7 ⇒ Ở trạng thái “k”, trên phân tố có các lực dọc Nk, mômen uốn Mk, lực cắt Qk (hình 10.7a). Đối với phân tố đang xét các thành phần này là ngoại lực. ⇒ Ở trạng thái “m” tại vị trí tương đương cũng tách ra phân tố có chiều dài dz. Các thành phần nội lực ký hiệu là Nm, Mm, Qm chúng gây ra các biến dạng khả dĩ (hình 10.7b,c,d). ⇒ Công khả dĩ phân tố của các lực ở trạng thái “k” trên các biến dạng khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m” là: ng ⎡ Nkm N dz M k M m dz Q km Q dz ⎤ dAkm=Δ+Δϕ+Δ= N k dz M k d Q k ds ⎢ + +η ⎥ ⎣ EF EJ GF ⎦ (10-19) ⇒ Theo (10-18), ta có: ng n dAkm=− dA km (10-20) ⇒ Do đó công khả dĩ phân tố của các nội lực: n ⎡⎤Nkm N dz M k M m dz Q km Q dz dAkm =−⎢⎥ + +η (10-21) ⎣⎦EF EJ GF ⇒ Trên toàn hệ, công khả dĩ của nội lực sẽ là: n ⎡⎤Nkm N dz M k M m dz Q km Q dz Akm =−⎢⎥∑∑ + + ∑ η (10-22) ⎣⎦∫∫EF EJ ∫ GF ⇒ Từ (10-22), (10-20) và (10-17) ta có: N N dz M M dz Q Q dz P.Δ=km + k m + η km ∑∑ik km ∫∫ ∑ ∑ ∫ (10-22) i EF EJ GF ⇒ Công thức trên biểu thị sự cân bằng giữa công khả dĩ của ngoại lực tác dụng lên hệ ở trạng thái “k” trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m” với công khả dĩ của nội lực ở trạng thái “k” trên những biến dạng khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m”. 6
7. 3.2 Các định lý tương hỗ 3.2.1 Định lý Betti về sự tương hỗ của công khả dĩ của ngoại lực (1872) ⇒ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “k” trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m”: N N dz M M dz Q Q dz P.Δ=km + k m + η km ∑∑ik km ∫∫ ∑ ∑ ∫ (a) i EF EJ GF ⇒ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “m” trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “k”: N N dz M M dz Q Q dz P.Δ=mk + m k + η mk ∑∑jm mk ∫∫ ∑ ∑ ∫ (b) j EF EJ GF ⇒ So sánh (a) và (b) ta được: ∑∑P.ikΔ= km P jm . Δ mk (10-24) ij ⇒ “Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, công khả dĩ của ngoại lực tác dụng lên hệ ở trạng thái “k” trên những chuyển vị khả dĩ ở trạng thái “m” sẽ bằng công khả dĩ của ngoại lực tác dụng lên hệ ở trạng thái “m” trên những chuyển vị khả dĩ ở trạng thái “k”. 3.2.2 Định lý Maxwell về sự tương hỗ của các chuyển vị đơn vị (1864) ⇒ Nếu hệ ở trạng thái “k” ta chỉ đặt một lực đơn vị theo phương k, ký hiệu Pk = 1 và nhận được Pk=1 chuyển vị δmk theo phương m. Nếu hệ ở trạng thái “m” ta chỉ A B đặt một lực đơn vị Pm = 1 theo δmk phương m và nhận được chuyển vị δkm theo phương k Pm=1 (hình 10-8). ⇒ Theo định lý Betti ta có: A B δkm δkm = δmk (10-25) ⇒ Như vậy chuyển vị đơn H×nh 10-8 vị theo phương của lực Pk do lực Pm = 1 gây ra bằng chuyển vị đơn vị theo phương của lực Pm do lực Pk gây ra. ⇒ Dựa vào thế năng biến dạng đàn hồi người ta có thể giải được nhiều bài toán sức bền vật liệu như tính chuyển vị của các hệ thanh phức tạp, giải hệ siêu tĩnh, xác định lực tới hạn trong ổn định Các phương pháp giải trên được gọi chung là phương pháp năng lượng. 7
8. 3.3. Công thức MAXWELL - MOHR ⇒ Bài toán phẳng: trạng thái chịu lực của khung như đã cho là trạng thái “m”, lực và chuyển vị của trạng thái này có kèm theo chỉ số m (hình 10.9). ⇒ Xác định chuyển vị theo q phương k của trọng tâm MCN tại A. Muốn vậy tạo một trạng thái P chịu lực “k” mới bằng cách bỏ tất “m” “k” cả ngoại lực ban đầu tác dụng lên A A hệ và đặt theo phương k một lực Pk k P có giá trị và chiều tuỳ ý. Để đơn k giản ta thường chọn Pk = 1 và trạng thái này được gọi là trạng Hình 10.9 thái đơn vị. ⇒ Công Akm của lực Pk trên chuyển vị Δkm là: Nkm N dz M k M m dz Q km Q dz A = P.kkmΔ= + + η (10-26) km ∑∑∫∫EF EJ ∑ ∫ GF ⇒ Chia cả hai vế của biểu thức này cho Pk, đồng thời ký hiệu: Nk Mk Qk Nk = ; Mk = ; Qk = Pk Pk Pk trong đó Nk , Mk , Q k - nội lực do Pk = 1 gây ra ở trạng thái “k”. ⇒ Công thức tổng quát tính chuyển vị hệ đàn hồi tuyến tính: Nkk Nmm dz M M dz Qk Q m dz Δ=km + + η (10-27) ∑∑∫∫EF EJ ∑ ∫ GF Công thức Mo giúp ta xác định chuyển vị theo các phương của thanh có dạng bất kỳ. Muốn xác định chuyển vị thẳng tại một điểm nào đó của trục thanh, ta đặt tại điểm đó một lực tập trung đơn vị, còn muốn xác định chuyển vị góc (góc xoay) thì ta đặt mômen tập trung đơn vị. ⇒ Muốn xác định chuyển vị tương đối giữa Mk=1 các điểm hoặc giữa các mặt cắt khác nhau của thanh, ta đặt hai lực đơn vị có phương trùng với Pk=1 đường thẳng nối hai điểm đó nhưng ngược chiều nhau. Muốn xác định góc xoay tương đối giữa Pk=1 hai mặt cắt đó thì ta đặt hai mômen đơn vị ngược chiều nhau, các lực đơn vị trong trường hợp này được gọi là lực đơn vị tổng quát, các chuyển vị Mk=1 tương đối gọi là chuyển vị tổng quát (hình Hình 10.10 10.10). 8
9. ⇒ Tóm lại, chuyển vị của thanh theo công thức Mo xác định như sau: 1. Viết biểu thức nội lực Mm , Nm, Qm do tải trọng gây ra trên thanh 2. Ðặt các lực đơn vị theo các phương cần tính chuyển vị. Nếu chuyển vị cần tính là chuyển vị thẳng thì lực đơn vị là lực tập trung, nếu chuyển vị cần tính là góc xoay thì lực đơn vị là mômen tập trung. 3. Viết biểu thức nội lực Nk , Mk , Q k do lực đơn vị gây ra (tại các MCN tương ứng với các MCN đã tính Mm, Nm, Qm) 4. Thay các biểu thức Mm , Nm, Qm , Nk , Mk , Q k vào công thức (10-27) ta tính được các chuyển vị cần tìm. 5. Nếu Δkm dương thì chiều của chuyển vị trùng với chiều của lực đơn vị, nếu Δkm âm thì ngược lại. ⇒ Ðối với bài toán không gian, nếu trên MCN của thanh có đầy đủ 6 thành phần nội lực thì công thức Mo sẽ có dạng: Nzk N dz M xk M dz MMyk dz Δ=zm + xm +ym + km ∑∑∫∫ ∑ ∫ EF EJxy EJ (10-28) Q Q dzQQ dz Mzk M dz +ηxk xm +ηyk ym + zm ∑∑∑∫∫∫xy GF GF GJp Mym , Mxm , Mzm , Nzm , Qxm , Qym là các nội lực trên MCN do tải trọng gây ra còn Nzk , M,M,Mxk ykzk, Q,Qxk yk là các nội lực do tải trọng đơn vị gây ra. Ví dụ 10.3: cho dầm chịu lực như hình 10.11. Xác định độ võng ở giữa nhịp. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. q Giải: trạng thái chịu lực của dầm như đã cho là trạng thái “m”. Biểu thức mômen 1 z M =−q(zl z2 ) uốn tại MCN: m ql/2 2 Pk=1 Để tính độ võng tại giữa nhịp ta tạo ra trạng thái “k” bằng cách đặt tại đó lực Pk = z 1 theo chiều chuyển vị cần tính. Biểu thức 1/2 l/2 1 l mômen uốn: Mzk = 2 H×nh 10.11 Thay vào (10-27), ta được (bỏ qua lực ⎛⎞11115ql /2 l 4 y2.q(.zz)z.dz=Δ =l −2 = dọc, cắt): ⎜⎟ km ∫ ⎝⎠20 EJ 2 2 384 EJ (Phải lấy tích phân từ 0 Æ l/2 và từ l/2 Æ l, nhưng do hai tích phân này bằng nhau nên lấy một tích phân rồi nhân cho 2). 9
10. IV. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ÐỒ VÊRÊSAGHIN ⇒ Xác định chuyển vị của các thanh có độ G,F cứng không đổi, theo công thức Mo khá phức G(z) tạp. Đối với hệ thanh thẳng, ta thấy ít nhất một hàm nội lực dưới dấu tích phân là bậc nhất hoặc hằng số. dΩ C ⇒ Nếu một trong hai hàm số dưới dấu tích Ω phân có dạng bậc nhất thì ta có thể thay cách O giải tích phân trên bằng phương pháp nhân z dz z biểu đồ của Vêrêsaghin. zC ⇒ Giả thiết trên đoạn chiều dài l nào đó F(z)=az+b của thanh, hàm số G(z) có dạng bất kỳ còn F(z) có dạng bậc nhất: F(z) = (az + b) F(z ) MMk dz C ⇒ Tích phân m = F(z).G(z)dz , ∫∫EJ O l z Mm trong đó F(z)= Mk còn G(z) = . EJ Hình 10-12 ⇒ Tích phân I của hai hàm số F(z) và G(z): ll I==+∫∫ F(z).G(z)dz (az b).G(z)dz 00 với dΩ = G(z)dz là một diện tích vô cùng nhỏ của biểu đồ G(z), ta có tích phân theo biến mới: I(azb)dazdbdazdb=+Ω=Ω+Ω=Ω+Ω∫∫∫∫ ΩΩΩΩ zdΩ= z Ω ⇒ Ta có ∫ C , trong đó zC là hoành độ trọng tâm của diện tích Ω. Ω Khi đó tích phân I sẽ là: Iaz=Ω+Ω=Ω+CC b (azb) ⇒ Theo hình 10-12, ta có azC + b = F(zC) – tung độ của hàm F(z) ứng với hoành độ zC ⇒ I = ΩF(zC) (10.30) ⇒ Từ kết quả trên ta suy ra: nếu các biểu đồ nội lực Mm, Nm, Qm do tải trọng gây ra có dạng bất kỳ, còn các biểu đồ Nk , Mk , Q k do tải trọng đơn vị có dạng bậc nhất thì: 111 Δ=km Ω(M m )M k (C) + Ω (N m )N k (C) + ηΩ (Q m )Q k (C) (10.31) ∑∑∑EJ EF GF trong đó Ω(Mm), Ω(Nm), Ω(Qm) là diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm. Mkkk (C),N (C),Q (C) là các giá trị của biểu đồ M,N,Qkkk tại những vị trí tương ứng với trọng tâm của diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm. 10
11. Cần chú ý rằng: - Nếu F(z) và G(z) đều là bậc nhất thì phép nhân trên có tính hoán vị. - Nếu chỉ có một biểu đồ là bậc nhất thì giá trị tung độ tương ứng tại trọng tâm bắt buộc phải lấy ở biểu đồ có dạng bậc nhất đó. - Nếu đồ thị bậc nhất bị gãy khúc thì phải chia chiều dài lấy tích phân thành từng đoạn, trên mỗi đoạn đồ thị này là một đường thẳng trơn, để thực hiện phép nhân, sau đó lấy tổng kết quả phép nhân trong các đoạn. - Nếu các biểu đồ có dạng phức tạp thì khi nhân ta chia chúng ra nhiều hình đơn giản, sau đó ta cộng các kết quả lại với nhau. - Kết quả của phép nhân mang dấu (+) khi diện tích và tung độ đều cùng dấu hoặc cùng nằm về một phía của đường chuẩn. - Kết quả của phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản đối xứng sẽ bằng không. Ω Ω 2 2 C2 Ω1 C2 Ω1 C1 Ω3 C1 Ω1 C2 Ω2 C1 C3 y2 y1 y2 y1 y y2 3 y1 a) b) c) Hình 10-13 Bảng 10.1 - diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp Bậc 2 1 1 3 h Ω= hl ; z1 = l z2 = l 3 4 4 z1 z2 Bậc n l 1 1 n1+ Ω= hl ; z1 = l ; z2 = l n1+ n2+ n2+ Bậc 2 2 3 5 h Ω= hl ; z1 = l z2 = l 3 8 8 z1 z2 Bậc n l n n1+ 3n+ 1 Ω= hl ; z1 = l ; z2 = l n1+ 3n+ 2 n2+ 11
12. Ví dụ 10.4: Tìm độ võng tại B và góc xoay tại A của dầm chịu lực như trên hình 10.14a (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt). Giải Trạng thái ″m″ là trạng thái a) chịu lực của dầm (hình 10.14a). Biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra Mm biểu diễn trên hình 10.14b. Để tìm độ võng tại B ta tạo lên b) Mm trạng thái ″k″ (hình 10.14c), biểu B đồ mômen Mk được biểu diễn trên hình 10.14d. Ở đây ta thấy trong hai đoạn B c) AB và BC biểu đồ Mk được biểu diễn bằng những đường thẳng khác nhau, vì vậy để tính B độ võng dùng phương pháp nhân d) Mk biểu đồ Vêrêsaghin ta phải chia biểu đồ Mm theo 2 phần từ A đến B và từ B đến C. Phép nhân Vêrêsaghin cho kết quả như sau: 12q5ll2 l e) y ==2. . . . . B EJ 3 8 2 8 4 x 5ql 4 = 384 EJx f) M A Để tìm góc xoay tại A ta sẽ tạo k trạng thái ″k″ như hình 10.14e. A Hình 10.14 Biểu đồ Mk được biểu diễn như hình 10.14f. Theo phép nhân Vêrêsaghin ta có: 12q1⎛⎞ll22 q θ Akm=Δ = ⎜⎟ −l =− EJxx⎝⎠ 3 8 2 24EJ Kết quả mang dấu (-) chứng tỏ là góc xoay tại A có chiều ngược lại với chiều của Mk đã chọn. 12
13. Ví dụ 10.5: Tìm độ võng tại B của dầm chịu lực như trên hình 10.15a (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt). Giải Biểu đồ mômen của trạng thái ″m″ được biểu diễn trên hình 10.15b. Để đơn giản khi nhân biểu đồ ta có thể xem biểu đồ Mm trong khoảng AC là tổng cộng của một biểu đồ bậc nhấ và một đường bậc 2 (hình 10.15c). Điều đó cũng giống như chúng ta xem rằng trạng thái ″m″ là tổng cộng của hai trạng thái: trạng thái chỉ có một mình lực P tác dụng và trạng thái chỉ có một mình lực q tác dụng (hình 10.15d). Để tìm chuyển vị tại B ta tạo ra trạng thái ″k″ như trên hình 10.15e, biểu đồ mômen cũng được biểu diễn trên hình đó. Với cách đó ta có thể thực hiện phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin một cách dễ dàng: Hình 10.15 yBkm=Δ = 1112122q1⎛⎞lllllll2 =yyy()Ω+Ω+Ω=11 2 2 33 ⎜⎟ P P +ll − EJxx EJ⎝⎠ 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 8 2 3 4Pll34 q = − 81EJxx 72EJ 13
14. Ví dụ 10.6: Tìm chuyển vị ngang tại A, D (điểm giữa AB) và góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa B và C của khung chịu lực như hình 10.16a. Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt đến chuyển vị của khung. Giải Ta xem trạng thái chịu lực của khung là trạng thái ″m″. Biểu đồ Mm được biểu diễn trên hình 10.16b. Hình 10.16 Để tìm chuyển vị ngang tại A ta lập trạng thái ″k″ như trên hình 10.16c. Chuyển vị ngang tại A: MM ydz=Δ = km Akm∑∫ EJx 11q2⎛⎞lll22 2q5 3q 4 y A ==⎜⎟ll+ ll EJxx⎝⎠ 2 2 3 3 2 8 8EJ Để tìm góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt B và C ta tao nên trạng thái ″k″ như hình 10.16d. Bằng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin ta có: MM θ=Δ= kmdz BC km ∑∫ EJx 11q⎛⎞lll223 2q 7q θ=BC ⎜⎟ l+ l . = EJxx⎝⎠ 2 2 3 2 12EJ 14
15. Để tính chuyển vị ngang tại D ta tạo nên trạng thái ″k″ như hình 10.16e. Ta nhận thấy phép nhân biểu đồ trong đoạn AB sẽ trở nên phức tạp, vì ta phải chia biểu đồ Mm đó thành hai phần trên hai đoạn AD và DB mà trọng tâm của mỗi phần ta chưa xác định. Để tránh khó khăn này ta xem biểu đồ Mm trên đoạn AB như tổng hai biểu đồ như trên hình 10.16e. Với cách đó ta thực hiện được phép nhân Vêrêsaghin một cách dễ dàng: MM ydz=Δ = km Dkm∑∫ EJx 11q2⎡ lll22 q12 llllll⎛⎞ q 22 2q1 y 2 D =+++⎢ l+ ⎜⎟ EJx 2 2 32 2 2322⎝⎠ 2 8 222 ⎣ 2qlll22 2q ll 5 l⎤ 89q l 4 ++ . . ⎥ = 3822 38282⎦ 384EJx Ví dụ 10.7: Cho khung chịu lực như hình vẽ (10.17a). Tính độ dịch gần tương đối giữa các trọng tâm MCN A và B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt; EJx=const Giải Biểu đồ Mm như hình vẽ 10.17b. Hình 10.17 Ðể tìm chuyển vị thẳng tương đối Δkm giữa A và B, đặt hệ lực đơn vị Pk = 1 ngược chiều nhau như trên hình 10.17c. Biểu đồ mômen uốn Mk như trên hình 10.17d n M 11 1 Pa3 Δ =Mk dz =− Pa.a. 0,707a. =− 0,118 km∑ m EJ 2 3 EJ EJ i1= xxx Dấu (-) ở đây chứng tỏ sau biến dạng các điểm A và B xa nhau hơn so với vị trí ban đầu của chúng (ngược chiều với các lực Pk=1). 15