Quản lý dự án xây dựng - Động lực học công trình

154 trang vanle 2270

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Quản lý dự án xây dựng - Động lực học công trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

quan_ly_du_an_xay_dung_dong_luc_hoc_cong_trinh.pdf

Nội dung text: Quản lý dự án xây dựng - Động lực học công trình

2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI KHOA CÔNG TRÌNH BỘ MÔN KẾT CẤU ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Nguyễn Trung Kiên HÀ NỘI 01-2012
Mục lục 1 Khái niệm cơ bản 1 1.1 Khái niệm về động lực học công trình . . . . . . . . . . . . . .1 1.2 Tải trọng động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.2.2 Tải trọng không có chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.3 Bậc tự do của hệ dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.4 Phân loại dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.5 Phương pháp lập phương trình vi phân dao động . . . . . . .5 1.5.1 Phương pháp trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.5.2 Phương pháp công khả dĩ . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.5.3 Phương pháp năng lượng-Nguyên lý Hamilton . . . . .7 1.6 Mô hình hóa bài toán động lực học . . . . . . . . . . . . . . .7 1.6.1 Phương pháp khối lượng tập trung . . . . . . . . . . .7 1.6.2 Phương pháp chuyển vị tổng quát (phương pháp Rayleigh- Ritz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . .9 2 Dao động hệ một bậc tự do 13 2.1 Mô hình hệ dao động một bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương trình vi phân dao động tổng quát . . . . . . . . . . . 14 2.3 Phương pháp giải phương trình vi phân dao động . . . . . . . 15 2.3.1 Phương pháp cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Tích phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Phương pháp biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.4 Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Dao động tự do của hệ một bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.1 Dao động tự do không lực cản . . . . . . . . . . . . . . 17 i
ii MỤC LỤC 2.4.2 Dao động tự do có lực cản . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.3 Độ suy giảm logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Dao động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung . 27 2.6 Dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 Trường hợp không có lực cản . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.2 Trường hợp có lực cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do 43 3.1 Mô hình hệ hữu hạn bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự do . . . . . 44 3.3 Dao động tự do hệ hữu hạn bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Ý nghĩa vật lý của tần số dao động riêng và dạng dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3 Dạng dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.4 Tính chất trực giao các dạng dao động . . . . . . . . . 54 3.3.5 Chuẩn hóa dạng dao động . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động . . . . 57 3.3.7 Phương trình dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Dao động cưỡng bức hệ hữu hạn bậc tự do . . . . . . . . . . . 61 4 Hệ vô hạn bậc tự do - Dao động của thanh thẳng 65 4.1 Phương trình vi phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Dao động tự do của thanh thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 Phương trình dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng . . . . 68 4.3 Dao động tự do của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng chịu tải trọng bất kỳ - Khai triển theo dạng dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Dao động của hệ phức tạp 81 5.1 Phương pháp chuyển vị tính dao động của khung . . . . . . . 81 5.1.1 Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.1.2 Dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 Phương pháp gần đúng tính dao động của khung . . . . . . . 88
MỤC LỤC iii 5.3 Phương pháp chuyển vị tính dao động của dầm liên tục . . . . 89 5.4 Dao động của dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6 Phương pháp tích phân theo thời gian trong phân tích bài toán động lực học 93 6.1 Hệ tuyến tính một bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.1 Phương pháp sai phân đúng tâm . . . . . . . . . . . . 94 6.1.2 Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Hệ phi tuyến một bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2.1 Phương trình cân bằng động dưới dạng gia số . . . . . 104 6.2.2 Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2.3 Giảm sai số bằng thuật toán Newton-Raphson . . . . . 109 6.3 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3.1 Phương pháp sai phân đúng tâm . . . . . . . . . . . . 113 6.3.2 Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3.3 Phương pháp Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3.4 Phương pháp HHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.4 Hệ phi tuyến nhiều bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.4.1 Phương trình cân bằng động dưới dạng gia số . . . . . 119 6.4.2 Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7 Tính kết cấu chịu tác dụng động đất 121 7.1 Khái niệm về động đất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.1.1 Nguồn gốc của động đất . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.1.2 Lan truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.1.3 Chuyển động của mặt đất . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.1.4 Cường độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2 Tính kết cấu chịu tác dụng của động đất . . . . . . . . . . . . 125 7.2.1 Hệ một bậc tự do tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 126 8 Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán động lực học133
iv MỤC LỤC
Danh sách hình vẽ 1.1 Tải trọng điều hòa 2 1.2 Tải trọng có chu kỳ bất kỳ 2 1.3 Tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn-Tải trọng xung 3 1.4 Tải trọng dài hạn 3 1.5 Hệ có khối lượng tập trung: (a) hệ một bậc tự do, (b) hệ hai bậc tự do, (c) hệ bốn bậc tự do 4 1.6 Mô hình khối lượng tập trung 8 1.7 Mô hình Rayleigh-Ritz 8 1.8 Mô hình phần tử hữu hạn 10 2.1 Mô hình hệ dao động một bậc tự do (a), Các lực tác dụng lên khối lượng (b) 13 2.2 Các thành phần của dao động điều hòa: (a) thành phần phụ thuộc vào u(0), (b) thành phần phụ thuộc vào u(0), (c) dao động điều hòa: tổng của (a) và (b) 18 2.3 Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay 19 2.4 Ví dụ hệ một bậc tự do 20 2.5 Dao động của hệ khi có lực cản, trường hợp tham số tắt dần ξ 1 25 2.8 Xác định tham số tắt dần ξ 26 2.9 Tải trọng xung (a), dao động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung khi không xét đến lực cản (b) 27 2.10 Sự phụ thuộc của biên độ dao động điều hòa vào tần số tải trọng tác động ω 30 2.11 Sự thay đổi của hệ số động Rd và góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω 32 v
vi DANH SÁCH HÌNH VẼ 2.12 Ví dụ hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa . 33 2.13 Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa 34 2.14 Sự thay đổi của hệ số động Rt theo thời gian khi xẩy ra hiện tượng cộng hưởng 35 2.15 Dao động điều hòa khi xét đến lực cản 36 2.16 Biên độ ở trạng thái dao động ổn định 37 2.17 Sự thay đổi hệ số động Rd và góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω và tham số tắt dần ξ 39 2.18 Sự thay đổi hệ số động Rt theo tham số tắt dần ξ khi β = 1 . 41 3.1 Mô hình hệ dao động hữu hạn bậc tự do 44 3.2 Lực tác dụng lên các khối lượng 44 3.3 Chuyển động của hệ với điều kiện ban đầu bất kỳ 47 3.4 Dạng dao động thứ nhất của hệ 47 3.5 Dạng dao động thứ hai của hệ 48 3.6 Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung ở hai sàn 50 3.7 Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai 52 3.8 Hệ dao động hai bậc tự do 53 3.9 Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai 54 3.10 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động 58 3.11 Hệ dao động hai bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa 62 4.1 Quy luật đạo hàm của Akx, Bkx, Ckx và Dkx 72 4.2 Dầm một đầu ngàm một đầu tự do (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) 74 4.3 Dầm hai đầu khớp (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) 75 5.1 Khung chịu tác dụng của tải trọng động (a), Hệ cơ bản (b) 84 5.2 Biểu đồ moment uốn động của khung 88 5.3 Khung có khối lượng phân bố (a), Khung có khối lượng tập trung (b) 88 5.4 Dầm liên tục (a), Dạng dao động đối xứng của dầm liên tục (b) 90 5.5 Dàn có khối lượng tập trung tại nút dàn (a), Chuyển khối lượng về đường biên có xe chạy (b) 92
DANH SÁCH HÌNH VẼ vii 6.1 Phương pháp sai phân đúng tâm 94 6.2 Trụ cầu chịu tác dụng của tải trọng động (a), Tải trọng động (b) 97 6.3 So sánh nghiệm chính xác và nghiệm tính theo phương pháp sai phân đúng tâm với các bước thời gian khác nhau 98 6.4 Phương pháp gia tốc trung bình (a), Phương pháp gia tốc tuyến tính (b) 101 6.5 So sánh nghiệm chính xác với nghiệm tính theo phương pháp gia tốc tuyến tính và gia tốc trung bình 104 6.6 Hệ một bậc tự do (a), Tải trọng động (b), Độ cứng phi tuyến (c), Lực cản phi tuyến (d) 105 6.7 Quan hệ lực-chuyển vị 109 6.8 Thuật toán Newton-Raphson (a), Thuật toán Newton-Raphson cải tiến (b) 110 6.9 Phương pháp Wilson 116 7.1 Các khái niệm về động đất 122 7.2 Sóng Rayleigh và sóng Love 123 7.3 Thành phần gia tốc của đất theo hướng Bắc-Nam được ghi lại tại El Centro, California trong trận động đất ngày 18 tháng 5 năm 1940. Vận tốc và chuyển vị của đất được xác định bằng cách tích phân gia tốc của đất 126 7.4 (a) Hệ một bậc tự do chịu ảnh hưởng của động đất, (b) Các lực tác dụng lên khối lượng 127 7.5 (a) Nghiệm chuyển vị của hệ một bậc tự do với ba chu kỳ dao động riêng khác nhau, (b) Phổ chuyển vị 129 7.6 (a) Phổ chuyển vị, (b) Phổ giả vận tốc, (c) Phổ giả gia tốc 131 7.7 Kết hợp phổ nghiệm D-V-A, trường hợp ξ = 2 132
viii DANH SÁCH HÌNH VẼ
Ký hiệu dùng trong bài giảng • Các ký hiệu chung u chuyển vị của hệ, u˙ vận tốc của hệ, u¨ gia tốc của hệ, m khối lượng của hệ, k độ cứng của hệ, c hệ số cản nhớt, ω tần số lực cưỡng bức, ω tần số dao động riêng, T chu kỳ dao động, f tần số riêng, θ góc pha, • Ký hiệu chương 1 ub chuyển vị khả dĩ, Pi(ub) công khả dĩ của nội lực, Pe(ub) công khả dĩ của ngoại lực, A(ub) công khả dĩ của lực quán tính, T động năng của hệ, V thế năng của hệ, Wnc công của các lực không bảo toàn, ix
x DANH SÁCH HÌNH VẼ • Ký hiệu chương 2 fI lực quán tính, fD lực cản nhớt, fS lực đàn hồi, p(t) tải trọng động, F biến đổi Fourier, ξ tham số tắt dần, I xung lượng của tải trọng xung, • Ký hiệu chương 3 M ma trận khối lượng, K ma trận độ cứng, C ma trận hệ số lực cản, • Ký hiệu chương 4 E module đàn hồi của vật liệu, I(x) momen quán tính của thanh, M moment uốn nội lực, Q lực cắt, p(n) đạo hàm bậc n của p, ∂y ∂x đạo hàm riêng của y theo x, • Ký hiệu chương 5 Z biên độ chuyển vị tại các nút của kết cấu, R biên độ phản lực tại các liên kết đặt thêm vào,
DANH SÁCH HÌNH VẼ xi
xii DANH SÁCH HÌNH VẼ
Chương 1 Khái niệm cơ bản Bài giảng Động lực học công trình này được viết dành cho sinh viên các trường kỹ thuật, xây dựng dân dụng. Nó đề cập đến vấn đề cơ bản của lý thuyết dao động công trình, từ dao động hệ một bậc tự do đến hệ hữu hạn bậc tự do và hệ vô hạn bậc tự do. Phần cuối của bài giảng đề cập đến cách vận dụng các lý thuyết để tính toán một số kết cấu thường gặp trong xây dựng dân dụng cũng như trong các công trình giao thông như dầm, khung, dàn. 1.1 Khái niệm về động lực học công trình Động lực học công trình nghiên cứu dao động của kết cấu gây ra bởi các tải trọng động là các tải trọng biến đổi theo thời gian. Tải trọng động này gây ra các chuyển vị, nội lực, phản lực và ứng suất cũng phụ thuộc thời gian. Do vậy, trong bài toán động không tồn tại nghiệm duy nhất như trong bài toán tĩnh. Trong bài toán động lực học, cần phải xác định các giá trị liên tiếp của chuyển vị theo thời gian trước khi đi xác định giá trị lớn nhất của lực, phản lực hay ứng suất được dùng để thiết kế và kiểm tra kết cấu. Mặc dù sự khác nhau của việc phân tích động lực học kết cấu và phân tích tĩnh học được thể hiện thông qua thông số thời gian nhưng về bản chất là do lực quán tính. Đặc trưng động lực học của bài toán được xét đến nếu lực quán tính đóng vai trò quan trọng so với các lực tác dụng lên kết cấu. Ngược lại, bài toán sẽ được giải quyết như bài toán tĩnh học nếu như tải trọng tác dụng chỉ gây ra các lực quán tính mà ta có thể bỏ qua trong khi tính toán. 1
2 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Hình 1.1: Tải trọng điều hòa Hình 1.2: Tải trọng có chu kỳ bất kỳ 1.2 Tải trọng động Tải trọng động là tải trọng mà giá trị, phương chiều hay điểm tác dụng của nó thay đổi theo thời gian. Nếu sự thay đổi theo thời gian của tải trọng được biểu diễn bằng một hàm số nào đó, người ta gọi đó là tải trọng xác định. Nếu sự thay đổi không được biểu diễn bằng một hàm cụ thể mà chỉ được biểu diễn qua các số liệu thống kê thì gọi là tải trọng bất kỳ. Để phân tích kết cấu dưới tác dụng của loại tải trọng này cần dùng đến lý thuyết xác suất. Trong phạm vi của bài giảng này sẽ chỉ trình bầy các vấn đề liên quan đến tải trọng xác định. Tải trọng động được chia làm hai loại: tải trọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ. 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ Tải trọng có chu kỳ là tải trọng mà sự biến thiên theo thời gian của nó sẽ lặp lại sau một khoảng thời gian T . Tải trọng có chu kỳ lại được chia thành hai loại: tải trọng điều hòa và tải trọng chu kỳ bất kỳ. Hình 1.1 biểu diễn tải trọng điều hòa gây ra do chuyển động quay của động cơ có khối lượng lệch tâm. Hình 1.2 biểu diễn tải trọng có chu kỳ gây ra do
1.3. BẬC TỰ DO CỦA HỆ DAO ĐỘNG 3 Hình 1.3: Tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn-Tải trọng xung Hình 1.4: Tải trọng dài hạn người đi bộ trên cầu gây ra. 1.2.2 Tải trọng không có chu kỳ Tải trọng không có chu kỳ là tải trọng là tải trọng biến đổi một cách bất kỳ theo thời gian. Tải trọng không có chu kỳ được chia thành tải trọng tác dụng ngắn hạn như tải trọng xung và tải trọng tác dụng dài hạn. Hình 1.3 biểu diễn tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn so với chu kỳ dao động của hệ. Nguyên nhân gây ra dạng tải trọng này có thể là do một vụ nổ, va đập hay đứt gãy một cấu kiện trong hệ. Hình 1.4 biểu diễn tải trọng dài hạn gây ra do động đất. 1.3 Bậc tự do của hệ dao động Bậc tự do của hệ dao động là số thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí của tất cả các khối lượng trên hệ đó khi dao động.
4 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Hình 1.5: Hệ có khối lượng tập trung: (a) hệ một bậc tự do, (b) hệ hai bậc tự do, (c) hệ bốn bậc tự do 1. Hệ có các khối lượng tập trung: trong trường hợp này ta chỉ xét đến lực quán tính phát sinh do các khối lượng tập trung và chấp nhận các giả thiết sau: • Các khối lượng tập trung được coi là chất điểm. • Bỏ qua biến dạng dọc trục khi các thanh chịu uốn. Bậc tự do được xác định bằng tổng số các liên kết tối thiểu cần thiết đặt thêm vào hệ tại vị trí các khối lượng để sao cho các khối lượng đó trở thành bất động. 2. Hệ có khối lượng phân bố: trong trường hợp này lực quán tính phụ thuộc vào cả tọa độ và thời gian fI = fI (x, t), do đó phải giải hệ phương trình vi phân với các đạo hàm riêng. Bậc tự do của hệ có khối lượng phân bố là vô cùng. 1.4 Phân loại dao động Do cấu tạo của kết cấu (sự phân bố khối lượng, độ cứng, kích thước) có nhiều hình thái khác nhau cũng như tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau mà ta có nhiều cách để phân loại dao động • Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động - Dao động tự do (dao động riêng): là dao động không có tải trọng động duy trì trên hệ. - Dao động cưỡng bức: là dao động sinh ra bởi các ngoại lực tác dụng theo một quy luật nào đó và tồn tại trong suốt quá trình dao động.
1.5. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG 5 • Theo bậc tự do của hệ dao động Theo cách phân loại này, người ta chia hệ thành 3 loại dao động: - Dao động hệ một bậc tự do. - Dao động hệ hữu hạn bậc tự do. - Dao động hệ vô hạn bậc tự do. • Theo sự tồn tại hay không tồn tại của lực cản - Dao động có lực cản (dao động tắt dần) là dao động bị mất một phần năng lượng do ảnh hưởng của hiệu ứng nhiệt, của ma sát trong khi vật rắn biến dạng, ma sát tại mối nối thép hay sự đóng mở các vết nứt trong bê tông. - Dao động không có lực cản (dao động không tắt dần) là dao động mà năng lượng của hệ được bảo toàn. • Theo dạng của phương trình vi phân mô tả dao động - Dao động tuyến tính khi phương trình vi phân mô tả dao động là tuyến tính. - Dao động phi tuyến khi phương trình vi phân mô tả dao động là phi tuyến. • Theo kích thước và cấu tạo của hệ - Dao động của hệ thanh: dầm, dàn, khung. - Dao động của tấm, vỏ. - Dao động của khối đặc. 1.5 Phương pháp lập phương trình vi phân dao động Lập phương trình vi phân dao động là một bước quan trọng trong phân tích dao động của một hệ. Dưới đây sẽ trình bầy một số phương pháp thiết lập phương trình vi phân dao động dựa trên các đại lượng véc-tơ hay đại lượng vô hướng. 1.5.1 Phương pháp trực tiếp Phương pháp này dựa trên việc xác định hợp lực tác dụng lên hệ và viết phương trình cân bằng với biến thiên động lượng của hệ. Đây là kết quả của
6 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN định luật II Newton1 hay còn gọi là định luật cơ bản của động lực học. Một cách tổng quát, hợp lực gồm 6 thành phần, 3 lực theo 3 phương của hệ tọa độ và 3 momen quay quanh 3 trục. du Gọi p(t) là hợp lực tác dụng lên khối lượng m, v = dt là vận tốc của khối du lượng. Động lượng của hệ là m.v = m dt . Theo định luật biến thiên động lượng ta có phương trình sau: d du d2u p(t) = m = m = mu¨ (1.1) dt dt dt2 hay p(t) − mu¨(t) = 0 (1.2) Số hạng mu¨ biểu diễn lực quán tính tác dụng lên hệ. Phương trình cân bằng động của hệ (1.2) được thiết lập dựa trên nguyên lý Alembert2. Phương trình (1.2) là một hệ N phương trình gắn với mỗi bậc tự do của khối lượng m. Tổng quát, N = 6, trong đó gồm 3 chuyển vị đường và 3 góc xoay. Tùy theo bậc tự do được xét, m chỉ khối lượng hoặc là moment quán tính của khối lượng quanh một trục. Phương pháp trực tiếp thích hợp với lập phương trình cân bằng của hệ mà trong đó các khối lượng tập trung tại một số vị trí trên hệ. 1.5.2 Phương pháp công khả dĩ Phương pháp này đặc biệt thích hợp với hệ liên tục mà khối lượng và độ cứng được phân bố trên toàn hệ. Theo định luật cơ bản của động lực học, tổng công khả dĩ của ngoại lực và nội lực bằng công khả dĩ của lực quán tính trên tất cả các chuyển vị khả dĩ ub của hệ: Pi(ub) + Pe(ub) = A(ub) (1.3) trong đó: Pi(ub): công khả dĩ của nội lực Pe(ub): công khả dĩ của ngoại lực A(ub): công khả dĩ của lực quán tính 1Isaac Newton, nhà vật lý, toán học, triết học, sinh ngày 25/12/1642 tại Woolsthorpe, Lincolnshire, Anh, mất ngày 20/03/1727 tại London, Anh 2Jean Le Rond d’Alembert, luật sư, nhà toán học, triết học, sinh ngày 17/11/1717 tại Paris, Pháp, mất ngày 19/10/1783 tại Paris, Pháp
1.6. MÔ HÌNH HÓA BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC 7 Từ biểu thức của nguyên lý này ta tìm được phương trình vi phân chuyển động của hệ. 1.5.3 Phương pháp năng lượng-Nguyên lý Hamilton Phương pháp này khác với phương pháp trực tiếp, nó cho phép thiết lập phương trình vi phân chuyển động dựa trên các đại lượng vô hướng, chính là các hàm năng lượng của hệ. Gọi T và V là động năng và thế năng của hệ, Wnc là công của các lực không bảo toàn (lực cản). Nguyên lý Hamilton được viết như sau: Z t2 Z t2 δ(T − V )dt + δWncdt = 0 (1.4) t1 t1 trong đó δ chỉ biến phân của các đại lượng. 1.6 Mô hình hóa bài toán động lực học Trong bài toán động lực học, lực quán tính là yếu tố đặc trưng của hệ, vì vậy lực quán tính cần được xác định trong mô hình hóa động lực học. Đối với các hệ liên tục như dầm, khối lượng được phân bố trên toàn bộ chiều dài của dầm. Điều đó dẫn đến phải xác định gia tốc và chuyển vị tại mỗi điểm của dầm. Lấy ví dụ phân tích dầm sẽ dẫn đến các phương trình đạo hàm riêng là hàm theo tọa độ “x” dọc theo dầm và thời gian “t”. Chúng ta biết rằng không thể giải tường minh các phương trình vi phân này trừ trường hợp kết cấu và tải trọng tác dụng là đơn giản. Trong trường hợp này, người ta sẽ sử dụng thuật toán rời rạc hóa, nó cho phép thiết lập phương trình của bài toán động lực học và giải bài toán bằng phương pháp số. Chúng ta giới thiệu sau đây một vài phương pháp được dùng để mô hình hóa bài toán động lực học. 1.6.1 Phương pháp khối lượng tập trung Khi tính một hệ phức tạp (vô hạn bậc tự do), người ta có thể đơn giản hóa bài toán bằng cách tập trung khối lượng của hệ tại một số hữu hạn các điểm trên hệ đó. Như vậy lực quán tính sẽ chỉ xuất hiện tại các điểm này. Xét một cây cầu gồm 3 nhịp có mặt cắt thay đổi như hình 1.6. Trong trường hợp tổng quát hệ có vô hạn bậc tự do. Để đơn giản, chúng ta đưa về hệ mà các khối lượng tập trung tại 7 điểm. Nếu chấp nhận giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục và momen quán tính xoay, hệ có 7 bậc tự do.
8 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Hình 1.6: Mô hình khối lượng tập trung Hình 1.7: Mô hình Rayleigh-Ritz
1.6. MÔ HÌNH HÓA BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC 9 1.6.2 Phương pháp chuyển vị tổng quát (phương pháp Rayleigh-Ritz) Đối với các hệ liên tục, chúng ta có thể đơn giản hóa việc phân tích bằng cách giả định dạng biến dạng của hệ. Một cách tổng quát, người ta giả định rằng biến dạng của hệ là tổng một chuỗi các sơ đồ biến dạng (còn gọi là hàm chuyển vị hay hàm nội suy). Các hàm chuyển vị này trở thành các bậc tự do tổng quát của hệ và số các hàm được sử dụng chính là số bậc tự do. Một ví dụ đơn giản để minh họa là biến dạng của một dầm giản đơn được biểu diễn bằng tổng của các hàm điều hòa (hình 1.7): ∞ X iπx u(x) = b sin (1.5) i L i=1 Một cách tổng quát, người ta có thể chọn bất kỳ hàm chuyển vị tổng quát ψi(x) nào thỏa mãn điều kiện hình học tại các liên kết gối. Biểu thức tổng quát cho tất cả các hệ một chiều có thể viết dưới dạng sau: n X u(x, t) = Zi(t)ψi(x) (1.6) i=1 trong đó: Zi(t) được gọi là tọa độ tổng quát, ψi(x) là các hàm chuyển vị tổng quát và n là bậc tự do của hệ. Khi n = 1 ta có phương pháp cổ điển Rayleigh, khi n > 1 ta có phương pháp Rayleigh-Ritz. Như vậy, phương pháp Rayleigh sử dụng hàm nội suy để biểu diễn chuyển vị tại các điểm của hệ theo một bậc tự do. Phương pháp Rayleigh-Ritz sử dụng nhiều hàm nội suy các chuyển vị theo một số hữu hạn bậc tự do dẫn đến việc giải đồng thời các phương trình đại số. Độ chính xác của kết quả khi sử dụng phương pháp Rayleigh phụ thuộc vào hàm nội suy được chọn. Độ chính xác này tăng lên theo số bậc tự do được sử dụng trong phương pháp Rayleigh-Ritz. 1.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn Trong phương pháp phần tử hữu hạn, người ta chấp nhận việc xấp xỉ theo từng phần tử của trường chuyển vị thực. Trong phương pháp Rayleigh-Ritz, người ta sử dụng một hàm chuyển vị duy nhất, thường là đa thức, cho toàn bộ kết cấu. Trong phương pháp phần tử hữu hạn, người ta sử dụng nhiều trường chuyển vị, mỗi trường là một đa thức đơn giản xác định trên một
10 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Hình 1.8: Mô hình phần tử hữu hạn
1.6. MÔ HÌNH HÓA BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC 11 phần của kết cấu. Việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn được minh họa bằng cách xét dầm giản đơn đặt trên hai gối như hình 1.8. Bước đầu tiên là chia dầm thành một số đoạn dầm gọi là phần tử hữu hạn. Đầu mút của mỗi phần tử được gọi là nút, mỗi phần tử dầm trong ví dụ đang xét có hai nút. Chuyển vị của các nút này tạo thành các tọa độ tổng quát Zi = ui. Bên trong mỗi phần tử, chuyển vị được xác định theo công thức: n X u(x, t) = ui(t)ψi(x) (1.7) i=1 Các hàm ψi(x) là các đa thức và được gọi là đa thức nội suy. Để tìm các đa thức này ta đặt một chuyển vị đơn vị lên một bậc tự do (hay tọa độ tổng quát) và giữ cho tất cả các chuyển vị khác bằng không. Tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện liên tục tại nút và bên trong các nút có thể dùng làm hàm nội suy. Đối với kết cấu dầm, người ta thường dùng đa thức bậc ba Hermite như hình vẽ. Ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn: - Số tọa độ tổng quát có thể chọn tùy ý bằng cách chia kết cấu thành một số đoạn hoặc phần tử. - Kết quả thu được càng chính xác khi tăng số phần tử (tăng số bậc tự do). - Hàm nội suy được chọn như nhau cho tất cả các phần tử. - Các thông số tại nút chỉ ảnh hưởng đến các phần tử lân cận. - Áp dụng dễ dàng cho hệ phức tạp bằng cách ghép các phần tử có dạng đơn giản như: đường, tam giác, tứ giác, tứ diện
12 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Chương 2 Dao động hệ một bậc tự do 2.1 Mô hình hệ dao động một bậc tự do Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ dao động một bậc tự do là một khối lượng m chuyển vị theo hướng u không có ma sát. Khối lượng được nối với một vật cố định bằng một lò xo và một “giảm chấn” như hình 2.1a. Chuyển động của hệ này được mô tả bằng ba thông số sau: • chuyển vị của khối lượng u(t) • vận tốc của khối lượng u˙(t) = du(t)/dt • gia tốc của khối lượng u¨(t) = d2u(t)/dt2 Hình 2.1: Mô hình hệ dao động một bậc tự do (a), Các lực tác dụng lên khối lượng (b) 13
14 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.2 Phương trình vi phân dao động tổng quát Khảo sát hệ một bậc tự do như hình vẽ 2.1a. Các lực tác dụng lên khối lương m tại thời điểm t bất kỳ bao gồm tải trọng động p(t), nội lực fS(t), lực cản fD(t) và lực quán tính fI (t). Tại mọi thời điểm, khối lượng cân bằng dưới tác dụng của các lực này theo nguyên lý Alembert. Cân bằng động học được biểu diễn bằng biểu thức sau: fI (t) + fD(t) + fS(t) = p(t) (2.1) Trong phạm vi của bài giảng, chúng ta chỉ nghiên cứu hệ đàn hồi và giả thiết rằng lực cản xuất hiện trong hệ là lực cản nhớt tuyến tính. Do đó, biểu thức của nội lực và lực cản có dạng sau: fS(t) = ku(t) fD(t) = cu˙(t) (2.2) trong đó: k là hệ số đàn hồi có thứ nguyên lực/chiều dài. c là hệ số tắt dần có thứ nguyên (lực × thời gian)/chiều dài. Thay (2.2) vào (2.1) ta có phương trình chuyển động của khối lượng hay phương trình cân bằng động: mu¨(t) + cu˙(t) + ku(t) = p(t) (2.3) Phương trình này có thể viết dưới dạng rút gọn như sau: p(t) u¨(t) + 2ξωu˙(t) + ω2u(t) = (2.4) m trong đó: r k ω = (2.5) m c ξ = (2.6) 2mω lần lượt là tần số riêng và tham số tắt dần.
2.3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG 15 2.3 Phương pháp giải phương trình vi phân dao động 2.3.1 Phương pháp cổ điển Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính (2.3) hoặc (2.4) là tổng của nghiệm tổng quát uc(t) của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng up(t) của phương trình không thuần nhất, u(t) = uc(t) + up(t). Vì đây là phương trình vi phân bậc hai nên cần xác định hai hằng số tích phân từ điều kiện ban đầu. Phương pháp cổ điển là phương pháp chính mà chúng ta sẽ sử dụng để giải các phương trình vi phân dao động tự do hay dao dao động dưới tác dụng của các lực điều hòa hay xung lực. 2.3.2 Tích phân Duhamel Một phương pháp khác xác định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dựa trên việc biểu diễn lực tác dụng lên hệ như là tổng của các xung lực vô cùng ngắn. Dao động của hệ chịu tác dụng của lực p(t) tại thời điểm t = 0 được xác định bằng cách cộng các dao động do các tải trọng xung gây ra đến thời điểm đó. Ví dụ, dao động của hệ một bậc tự do không xét đến lực cản được xác định theo công thức sau: 1 Z t u(t) = p(τ) sin[ω(t − τ)]dτ (2.7) mω 0 Biểu thức (2.7) được gọi là tích phân Duhamel1. Cùng với phương pháp cổ điển, tích phân Duhamel được sử dụng nếu lực tác dụng p(t) là các hàm đơn giản cho phép tính chính xác các tích phân. Đối với các tải trọng phức tạp được xác định bằng các giá trị số hóa tại các thời điểm khác nhau thì tích phân Duhamel được xác định bằng phương pháp số. 1Jean-Marie Duhamel, nhà toán học, sinh ngày 05/02/1797 tại Saint Malo, Pháp, mất ngày 29/04/1872 tại Paris, Pháp
16 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.3.3 Phương pháp biến đổi Fourier Biến đổi Fourier2 là một công cụ mạnh để giải phương trình vi phân tuyến tính, đặc biệt là phương trình chuyển động của hệ dao động tuyến tính một bậc tự do. Biến đổi Fourier của hàm tải trọng p(t) được định nghĩa như sau: Z ∞ −iωt pb(iω) = F[p(t)] = e p(t)dt (2.8) −∞ Theo cách giải phương trình vi phân dao động bằng phương pháp biến đổi Fourier, bước đầu tiên là biến đổi phương trình vi phân với biến số t thành phương trình đại số với biến số phức iω. Giải phương trình đại số này tìm được ub(iω) là biến đổi Fourier của u(t). Cuối cùng, nghiệm u(t) của phương trình vi phân được xác định bởi biến đổi ngược của ub(iω) Z ∞ 1 iωt u(t) = H(iω)pb(iω)e dω (2.9) 2π −∞ trong đó hàm phức H(iω) biểu diễn nghiệm tần số của hệ chịu tác dụng của tải trọng xung. 2.3.4 Phương pháp số Ba phương pháp trên được dùng cho các hệ tuyến tính. Đối với các hệ phi tuyến, cách tiếp cận duy nhất là dùng tích phân theo thời gian. Các tích phân này được đánh giá bằng phương pháp số. Chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề này trong chương 6. 2.4 Dao động tự do của hệ một bậc tự do Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do và đưa ra khái niệm tần số dao động riêng-thông số quan trọng nhất trong dao động của kết cấu cũng như ảnh hưởng của tham số tắt dần đối với hệ một bậc tư do. Một hệ được gọi là dao động tự do khi nó bị tách ra khỏi vị trí cân bằng rồi 2Baron Jean-Baptiste Joseph Fourier, nhà toán học và vật lý, sinh ngày 21/03/1768 tại Auxerre, Pháp, mất ngày 16/05/1830 tại Paris, Pháp
2.4. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 17 cho dao động mà không có tải trọng ngoài nào tác dụng lên nó. Dao động tự do được mô tả bằng nghiệm của phương trình đồng nhất sau: u¨(t) + 2ξωu˙(t) + ω2u(t) = 0 (2.10) Tại thời điểm ban đầu t = 0 khối lượng m có chuyển vị u(0) và vận tốc u˙(0). Dễ nhận thấy (2.10) là phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính, thuần nhất với hệ số là hằng số. Theo lý thuyết phương trình vi phân, nghiệm của (2.10) có dạng: u = est (2.11) hằng số s là ẩn số cần xác định. Thay (2.11) vào phương trình (2.10) ta có: s2 + 2ξωs + ω2est = 0 (2.12) Do est 6= 0 với mọi giá trị của t nên ta có phương trình sau: s2 + 2ξωs + ω2 = 0 (2.13) Nghiệm của phương trình đặc trưng(2.13) có dạng: p 2 s1,2 = −ξω ± ω ξ − 1 (2.14) Vậy nghiệm tổng quát của (2.10) là: √ √ (−ξω+ω ξ2−1) (−ξω−ω ξ2−1) u(t) = A1e + A2e (2.15) Hai hằng số A1 và A2 được xác định từ điều kiện ban đầu. 2.4.1 Dao động tự do không lực cản Khi bỏ qua ảnh hưởng của lực cản fD = 0 hay c = 0 dẫn đến tham số tắt dần ξ = 0. Nghiệm của phương trình vi phân có dạng đơn giản sau: iω −iω u(t) = A1e + A2e (2.16) √ trong đó: i = −1. Theo công thức Euler3 e±iθ = cos θ±i sin θ phương trình (2.16) có thể viết như sau: u(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (2.17) 3Leonhard Euler, nhà toán học và vật lý, sinh ngày 15/04/1707 tại Bâle, Thụy Sỹ, mất ngày 18/09/1783 tại Saint-Petersbourg, Nga
18 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.2: Các thành phần của dao động điều hòa: (a) thành phần phụ thuộc vào u(0), (b) thành phần phụ thuộc vào u(0), (c) dao động điều hòa: tổng của (a) và (b)
2.4. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 19 Hình 2.3: Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay Thay điều kiện ban đầu u(0) và u˙(0) ta có thể xác định 2 hằng số A và B: u˙(0) A = u(0),B = (2.18) ω Tóm lại, dao động của hệ là tổng của hai hàm điều hòa: u˙(0) u(t) = u(0) cos(ωt) + sin(ωt) (2.19) ω và được biểu diễn như trên hình vẽ 2.2 Trong công thức trên, ω được gọi là tần số dao động riêng của hệ. Khi bỏ qua ảnh hưởng của lực cản, hệ sẽ dao động vô hạn theo thời gian với chu kỳ T: 2π T = (2.20) ω Thứ nguyên của T là giây (s). Số chu kỳ dao động của hệ trong một giây được gọi là tần số riêng f 1 ω f = = (2.21) T 2π Thứ nguyên của f là Hertz4, kí hiệu là Hz. Nghiệm (2.19) có thể biểu diễn dưới dạng một véc tơ có biên độ u0 quay với 4Heinrich Hertz, nhà vật lý, sinh ngày 22/02/1857 tại Hambourg, Đức, mất ngày 01/01/1894 tại Bonn, Đức
20 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO vận tốc góc ω (hình 2.3) u(t) = u0 cos(ωt − θ) (2.22) trong đó s u˙(0)2 u = u(0)2 + (2.23) 0 ω u˙(0) θ = tan−1 (2.24) ωu(0) Người ta gọi θ là góc trễ pha của u0 so với u(0). Ví dụ 2.1: Xét một dầm giản đơn có một khối lượng tập trung tại giữa dầm (hình 2.4). Giả sử bỏ qua khối lượng của dầm so với khối lượng tập trung m. Độ cứng chống uốn của dầm là EI. Tính tần số dao động riêng ω của hệ. Viết phương trình dao động biết rằng ở thời điểm ban đầu t = 0, hệ có chuyển vị u0 và vận tốc v0. Hình 2.4: Ví dụ hệ một bậc tự do Lời giải: Độ cứng của hệ 5 48EI k = L3 Tần số dao động riêng: r r k 48EI ω = = m mL3 5Để xác định k, ta cho lực "k" chưa biết tác dụng lên hệ tại vị trí khối lượng tập trung và có phương trùng với phương dao động. Tính chuyển vị của khối lượng do "lực" k gây ra. Từ điều kiện chuyển vị này bằng 1 sẽ xác định được k.
2.4. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 21 Thay vào (2.19) ta có phương trình dao động của hệ: r ! r r ! 48EI mL3 48EI u(t) = u cos t + v sin t 0 mL3 0 48EI mL3 2.4.2 Dao động tự do có lực cản Khi xét đến ảnh hưởng của lực cản, nghiệm của phương trình vi phân dao động được xác định bằng công thức (2.15). Tùy theo giá trị của ξ, ba dạng chuyển động có thể xảy ra: • Nếu ξ = 1 hệ quay trở lại vị trí cân bằng mà không dao động. • Nếu ξ > 1 hệ cũng không dao động và trở lại vị trí cân bằng của nó. • Nếu ξ < 1 hệ dao động xung quanh vị trí cân bằng với biên độ giảm dần. Sự rẽ nhánh giữa dao động và không dao động tương ứng với giá trị ξ = 1. Theo công thức (2.6), khi ξ = 1, hệ số tắt dần tới hạn được viết như sau: √ 2k c = 2mω = 2 km = (2.25) cr ω Sở dĩ ccr được gọi là hệ số tắt dần tới hạn vì nó là giá trị nhỏ nhất của hệ số tắt dần c mà tại đó dao động hoàn toàn bị hạn chế. Nó biểu thị đường ranh giới giữa dao động và không dao động. Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu các trường hợp ứng với các giá trị khác nhau của ξ 2.3.2.1 Trường hợp ξ < 1 Với giá trị ξ < 1, nghiệm của phương trình đặc trưng là nghiệm phức: s1 = −ξω + iωD, s2 = −ξω − iωD (2.26) trong đó: p 2 ωD = ω 1 − ξ (2.27)
22 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO là tần số dao động riêng khi tính đến lực cản. Nghiệm tổng quát của hệ: −ξωt+iωDt −ξωt−iωDt −ξωt iωDt −iωDt u(t) = A1e + A2e = e A1e + A2e (2.28) Áp dụng công thức Euler ta có chuyển vị của hệ: −ξωt u(t) = e A cos ωDt + B sin ωDt (2.29) Vận tốc của hệ: −ξωt u˙(t) = −e (ξωA − ωDB) cos ωDt + (ξωB − ωDA) sin ωDt (2.30) Thay các điều kiện ban đầu, ta tìm được hai hằng số tích phân: ξωu(0) +u ˙(0) A = u(0),B = (2.31) ωD Vậy chuyển vị và vận tốc của hệ được xác định: −ξωt ξωu(0) +u ˙(0) u(t) = e u(0) cos ωDt + sin ωDt (2.32) ωD 2 −ξωt ξωu˙(0) + ω u(0) u˙(t) = e u˙(0) cos ωDt − sin ωDt (2.33) ωD Chuyển vị u(t) có thể được biểu diễn dưới dạng sau: −ξωt u(t) = u0e cos(ωDt − θ) (2.34) trong đó: s 2 2 ξωu(0) +u ˙(0) u0 = (u(0)) + (2.35) ωD ξωu(0) +u ˙(0) θ = tan−1 (2.36) ωDu(0) T Hệ dao động với tần số ωD T . 1−ξ2 Trong quá trình dao động của hệ, biên độ dao động giảm theo hàm mũ trong mỗi chu kỳ (hình 2.5). Từ phương trình (2.27) ta thấy rằng đồ thị của tỉ số ωD/ω theo ξ là một đường tròn bán kính bằng 1. Trong thực tế hầu hết các kết cấu có tham số tắt dần ξ nằm trong khoảng 0 < ξ < 0, 2. Trên hình 2.6 ta thấy đối với những giá trị này của ξ thì tỉ số ωD/ω có thể coi bằng 1.
2.4. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 23 Hình 2.5: Dao động của hệ khi có lực cản, trường hợp tham số tắt dần ξ < 1 Hình 2.6: Ảnh hưởng tham số tắt dần ξ đến tần số dao động
24 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.3.2.2 Trường hợp ξ = 1 Khi ξ = 1, hệ số tắt dần c = ccr. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép: s1 = s2 = −ω (2.37) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc hai là tổng của 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính. Do phương trình đặc trưng có nghiệm kép nên ta mới biết một nghiệm riêng: −ωt u1(t) = e (2.38) Chúng ta đi tìm nghiệm riêng thứ hai dưới dạng sau: −ωt u2(t) = te (2.39) Vậy nghiệm tổng quát là: −ωt u(t) = (A1 + A2t)e (2.40) Từ các điều kiện ban đầu, ta tìm được các hằng số tích phân: A1 = u(0),A2 = ωu(0) +u ˙(0) (2.41) Thay các hằng số tích phân vào nghiệm tổng quát ở trên, ta thu được phương trình chuyển động của hệ: u(t) = u(0)(1 + ωt) +u ˙(0)te−ωt (2.42) Hình 2.7 biểu diễn sự biến thiên của chuyển vị theo thời gian. Dễ dàng thấy rằng u(t) là hàm không có chu kỳ và hệ không có dao động. 2.3.2.3 Trường hợp ξ > 1 Trong trường hợp này, phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt. Nghiệm của hệ có dạng (2.15), ta có thể viết gọn lại như sau: ωt −ωt −ξωt −ξωt u(t) = A1eb + A2e b e = A cosh ωtb + B sinh ωtb e (2.43) p 2 trong đó: ωb = ω ξ − 1, A = A1 + A2 và B = A1 − A2 Từ điều kiện ban đầu ta tìm được 2 hằng số tích phân A và B: ξωu(0) +u ˙(0) A = u(0) B = (2.44) ωb
2.4. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 25 Hình 2.7: Sự thay đổi của chuyển vị và vận tốc của hệ theo thời gian trong trường hợp ξ = 1 và ξ > 1 Sau khi thay vào phương trình trên, ta có nghiệm tổng quát như sau: −ξωt ξωu(0) +u ˙(0) u(t) = e u(0) cosh ωtb + sinh ωtb (2.45) ωb Đồ thị của chuyển vị u(t) được biểu diễn trên hình vẽ 2.7. Chúng ta thấy rằng biểu thức của chuyển vị u(t) tương tự như trong trường hợp ξ < 1 nhưng các hàm lượng giác được thay bằng các hàm siêu việt “ cosh ” và “ sinh ”. Đây là các hàm không điều hòa, do đó hệ không có dao động xung quanh vị trí cân bằng. 2.4.3 Độ suy giảm logarithme Xét chuyển vị của hệ tại thời điểm t và t + TD. Tỉ lệ giữa hai chuyển vị: −ξωt u(t) u0e cos(ωDt − θ) = −ξω(t+T ) u(t + TD) u0e D cos(ωD(t + TD) − θ) e−ξωt = = eξωTD (2.46) e−ξω(t+TD) Lấy logarithme cả hai vế của phương trình trên ta có: u(t) 2πξ δ ≡ ln = ξωTD = p (2.47) u(t + TD) 1 − ξ2
26 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.8: Xác định tham số tắt dần ξ Đại lượng δ được gọi là độ suy giảm logarithme. Đối với trường hợp lực cản nhỏ ω ≈ ωD thì độ suy giảm logarithme được xấp xỉ bằng δ ≈ 2πξ (2.48) Khi ξ 1, chuyển vị u(t) rất gần với u(t + TD) làm cho việc đánh giá δ không chính xác. Để tăng độ chính xác, người ta đo các biên độ cách nhau m chu kỳ. Gọi un và un+m là biên độ tương ứng với các thời điểm tn và tn +mTD (m là một số nguyên). Xét tỉ lệ giữa hai biên độ: un un un+1 un+m−1 = = (eξωTD )m = emξωTD (2.49) un+m un+1 un+2 un+m Thay (2.47) vào biểu thức trên ta có: u n = emδ (2.50) un+m hay 1 u δ = ln n (2.51) m un+m Từ (2.48) và (2.51) ta suy ra: δ 1 u ξ ≈ = ln n (2.52) 2π 2mπ un+m
2.5. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG XUNG27 2.5 Dao động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung Tải trọng xung là tải trọng tác dụng lên hệ trong thời gian rất ngắn (hình 2.9a). Người ta định nghĩa xung lượng của tải trọng xung là diện tích phía dưới đường cong tải trọng Hình 2.9: Tải trọng xung (a), dao động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung khi không xét đến lực cản (b) Z td I = p(t)dt (2.53) 0 Nếu thời gian tác dụng của tải trọng xung ngắn hơn nhiều so với chu kỳ dao động của hệ (td T ) ta có thể giả định rằng cường độ của tải trọng xung rất lớn so với các lực khác, do đó có thể bỏ qua lực đàn hồi và lực cản. Trong thời gian tác dụng của tải trọng xung không có sự thay đổi đáng kể nào về chuyển vị nhưng có sự thay đổi về vận tốc ∆u ˙. Theo định luật II Newton6 6Biến thiên động lượng của hệ bằng tổng các lực tác dụng lên hệ
28 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO ta có: Z td m∆u ˙ = p(t)dt (2.54) 0 hay 1 Z td ∆u ˙ = p(t)dt (2.55) m 0 Sau thời điểm td hệ dao động tự do với điều kiện ban đầu: u(0) = u(td) = 0 1 R td (2.56) u˙(0) =u ˙(td) = ∆u ˙ = m 0 p(t)dt Thay các điều kiện ban đầu (2.56) vào (2.19) ta thu được dao động của hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung khi không xét đến lực cản (hình 2.9b): 1 Z td u(t) = u(t − td) = p(t)dt sin ωt (2.57) mω 0 Tương tự, thay (2.56) vào (2.32) ta tìm được dao động của hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng xung có xét đến lực cản: Z td 1 −ξωt u(t) = u(t − td) = p(t)dt e sin ωDt (2.58) mωD 0 2.6 Dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do Nghiên cứu hệ dao động chịu tác dụng của tải trọng điều hòa là bài toán cổ điển trong động lực học công trình không chỉ bởi loại tải trọng này hay gặp trong thực tế mà nếu hiểu cách tính hệ dưới tác dụng của loại tải trọng này chúng ta có thể hiểu cách tính cho các loại tải trọng khác. Phương trình chuyển động của hệ có dạng: mu¨(t) + cu˙(t) + ku(t) = p0 sin ωt (2.59) Nghiệm của (2.59) là tổng của nghiệm tổng quát uc(t) của phương trình thuần nhất (p(t) = 0) và nghiệm riêng up(t) của phương trình không thuần nhất u(t) = uc(t) + up(t) (2.60) Sau đây, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải phương trình (2.59) trong hai trường hợp: không có lực cản và có lực cản.
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 29 2.6.1 Trường hợp không có lực cản Phương trình chuyển động có dạng: mu¨(t) + ku(t) = p0 sin ωt (2.61) Dựa vào kết quả nghiên cứu ở trên, ta đã biết nghiệm tổng quát của hệ dao động tự do (nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất) uc(t) = A cos ωt + B sin ωt (2.62) Dưới tác dụng của tải trọng điều hòa, chúng ta giả định hệ cũng dao động điều hòa cùng tần số và cùng pha với tải trọng. Nghiệm riêng của hệ được tìm dưới dạng sau: up(t) = C sin ωt (2.63) Hằng số tích phân C sẽ được xác định sao cho phương trình (2.61) thỏa mãn với mọi giá trị của ω và t. Đạo hàm hai lần (2.63), ta thu được biểu thức của gia tốc: 2 u¨p(t) = −ω C sin ωt (2.64) Thay biểu thức chuyển vị up(t) và gia tốc u¨p(t) vào (2.61) ta có: 2 −mω C sin ωt + kC sin ωt = p0 sin ωt (2.65) Đơn giản sin ωt ở cả hai vế của phương trình, ta tìm được hằng số tích phân C: p p 1 p 1 C = 0 = 0 = 0 (2.66) k − mω2 k mω2 k ω2 1 − k 1 − ω2 Hình 2.10 cho thấy sự thay đổi của C theo tỉ số ω/ω. Ta thấy rằng C thay đổi đột ngột từ giá trị dương vô cùng lớn thành giá trị âm vô cùng lớn khi ω = ω, người ta gọi đây là hiện tượng cộng hưởng. Khi ω ω, C có giá trị âm, chuyển vị và tải trọng ngược dấu nhau. Ta nói rằng chuyển vị ngược pha so với tải trọng. Thay biểu thức của C vào (2.63), ta có: p 1 u (t) = 0 sin ωt (2.67) p k ω2 1 − ω2
30 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.10: Sự phụ thuộc của biên độ dao động điều hòa vào tần số tải trọng tác động ω Nghiệm của (2.61) là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng: p 1 u(t) = 0 sin ωt + A cos ωt + B sin ωt (2.68) k ω2 1 − ω2 Hai hằng số A và B được xác định từ điều kiện ban đầu. Từ phương trình mô tả chuyển vị của hệ, ta thấy u(t) bao gồm 2 thành phần dao động riêng biệt: • Thành phần chứa sin ωt: dao động do tải trọng điều hòa gây ra. • Thành phần chứa sin ωt và cos ωt: dao động tự do của hệ. Thành phần thứ nhất còn gọi là dao động cưỡng bức hay trạng thái dao động ổn định vì lực tác dụng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Thành phần thứ hai mô tả trạng thái dao động tạm thời, trạng thái này phụ thuộc vào chuyển vị và vận tốc ban đầu. Trong thực tế, đối với các hệ dao động, lực cản luôn tồn tại và nó làm cho dao động tự do tắt dần theo thời gian. Đó chính là lí do mà trạng thái thứ hai được gọi là trạng thái dao động tạm thời. Trạng thái dao động ổn định có thể được viết lại dưới dạng dao động điều hòa với biên độ u0 và pha θ tại thời điểm ban đầu t = 0: up(t) = u0 sin(ωt − θ) (2.69)
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 31 trong đó u0 luôn có giá trị dương, được gọi là biên độ của dao động u0 = (ust)0Rd (2.70) (ust)0 là chuyển vị tĩnh lớn nhất, do tải trọng tĩnh p = p0 tác dụng trên hệ gây ra p (u ) = 0 (2.71) st 0 k Rd gọi là hệ số động 1 R = (2.72) d ω2 |1 − ω2 | Dễ dàng nhận thấy u0 = |C|, góc pha θ nhận một trong hai giá trị sau: 0 nếu ω ω Trên hình 2.11 biểu diễn sự thay đổi của hệ số động Rd theo tỉ số ω/ω. Khi ω/ω nhỏ thì Rd xấp xỉ√ bằng 1, biên độ của dao động cũng xấp xỉ bằng biến dạng tĩnh. Khi ω/ω > 2 thì Rd < 1, biên độ dao động nhỏ hơn biến dạng tĩnh. Khi tỉ số ω/ω ngày càng tăng thì Rd càng nhỏ đi và tiệm cận tới 0 khi ω/ω → ∞. Khi tỉ số ω/ω gần với giá trị 1 thì Rd lớn hơn nhiều lần so với 1, hay nói cách khác, biên độ dao động lớn hơn nhiều lần so với biến dạng tĩnh. Ví dụ 2.2: Xét dầm một đầu ngàm có khối lượng tập trung tại đầu tự do như hình 2.12. Bỏ qua khối lượng của dầm so với khối lượng tập trung m. Dầm có chiều dài l và độ cứng chống uốn EI. Khối lượng chịu tác dụng của tải trọng động p(t) = p0 sin ωt. Viết phương trình dao động ở trạng thái ổn định. Xác định độ võng lớn nhất của dầm. Lời giải: Độ cứng của hệ: 3EI k = L3 Tần số dao động riêng: r r k 3EI ω = = m mL3
32 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.11: Sự thay đổi của hệ số động Rd và góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω Hệ số động: 1 1 Rd = = 2 3 1 − ω2 1 − ω mL ω2 3EI Phương trình dao động ở trạng thái ổn định: p L3 u (t) = 0 R sin ωt p 3EI d Độ võng lớn nhất của dầm (tại vị trí khối lượng m) mgL3 p L3 u = u + ud = + 0 R max m p 3EI 3EI d
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 33 Hình 2.12: Ví dụ hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa Ví dụ 2.3: Xét hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng động như hình 2.13a. Khối lượng m có trọng lượng 30kN. Tải trọng động có biên độ p0 = 10kN, tần số của tải trọng điều hòa ω = 30rad/s. Module đàn hồi Young E = 2, 1 × 108kN/m2, moment quán tính I = 78 × 10−6m4. Vẽ biểu đồ moment uốn động của khung. Lời giải: Độ cứng của hệ: Cho "lực" k tác dụng tại vị trí khối lượng theo phương dao động. Biểu đồ moment như hình 2.13b. Tính chuyển vị của khối lượng do "lực" k gây ra bằng cách nhân biểu đồ moment Mb và Mc. Cho chuyển vị này bằng 1 ta xác định được độ cứng k: 24EI k = 23 Tần số dao động riêng: r r k 24EI ω = = m 23m r9, 81 × 24 × 2, 1 × 108 × 78 × 10−6 = = 74, 76rad/s 23 × 30 Hệ số động: 1 1 Rd = = = 1, 192 2 2 ω 30 1 − 2 1 − ω 74,76 Tải trọng tĩnh tương đương 7 peq = p0 × Rd = 10 × 1, 192 = 11, 92kN 7Tải trọng tĩnh tương đương là tải trọng gây ra biến dạng bằng biến dạng lớn nhất do tải trọng động gây ra. Khi đã xác định được tải trọng tĩnh tương đương, bài toán được tính như bài toán tĩnh chịu tác dụng của peq.
34 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.13: Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa Biểu đồ moment uốn động được biểu diễn trên hình 2.13d. Hiện tượng cộng hưởng: Tần số cộng hưởng được định nghĩa là tần số của tải trọng tác dụng mà ứng với tần số đó Rd đạt giá trị cực đại. Đối với hệ không xét đến lực cản, tần số cộng hưởng bằng tần số dao động riêng ω và Rd = ∞. Tuy nhiên, chuyển vị của hệ không trở thành vô cùng lớn ngay lập tức. Nếu ω = ω, dạng nghiệm (2.63) không còn đúng nữa vì nó là một phần của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Chúng ta tìm nghiệm riêng dưới dạng sau: up(t) = Ct cos ωt. Thay vào (2.61) và giải phương trình ta tìm được hằng số tích phân p C = − 0 ω (2.73) 2k
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 35 Hình 2.14: Sự thay đổi của hệ số động Rt theo thời gian khi xẩy ra hiện tượng cộng hưởng Nghiệm riêng bây giờ có dạng: p u (t) = − 0 ωt cos ωt (2.74) p 2k Nghiệm của phương trình với trạng thái ban đầu u(0) =u ˙(0) = 0: 1 p u(t) = − 0 ωt cos ωt − sin ωt (2.75) 2 k Gọi R(t) là hệ số động theo thời gian, được xác định là tỉ số giữa chuyển vị động và giá trị lớn nhất của chuyển vị tĩnh: u(t) u(t) 1 R(t) = = = − ωt cos ωt − sin ωt (2.76) (ust)0 p0/k 2 Hình 2.14 biểu diễn đồ thị của R(t) theo thời gian khi xẩy ra cộng hưởng. Chu kỳ dao động vẫn là T = 2π/ω. Biên độ của R(t) tăng tuyến tính và nó trở thành vô cùng lớn sau một khoảng thời gian rất dài. Thực tế, hiện tượng cộng hưởng gây ra quá trình dẻo hóa vật liệu trước khi đạt đến chuyển vị cực đại. 2.6.2 Trường hợp có lực cản Phương trình (2.59) mô tả dao động cưỡng bức điều hòa khi xét đến lực cản. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là nghiệm của dao động tự
36 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hình 2.15: Dao động điều hòa khi xét đến lực cản do có lực cản, được xác định bởi biểu thức (2.29). Nghiệm riêng của phương trình: up(t) = C sin ωt + D cos ωt (2.77) trong đó: p 1 − (ω/ω)2 C = 0 k [1 − (ω/ω)2]2 + [2ξ(ω/ω)]2 p −2ξω/ω D = 0 (2.78) k [1 − (ω/ω)2]2 + [2ξ(ω/ω)]2 Nghiệm của phương trình (2.59) là tổng của (2.78) và (2.29): p 1 u(t) = e−ξωtA cos ω t + B sin ω t + 0 × D D k [1 − (ω/ω)2]2 + [2ξ(ω/ω)]2 × 1 − (ω/ω)2 sin ωt − 2ξ(ω/ω) cos ωt (2.79) Số hạng thứ nhất tương ứng với trạng thái dao động tạm thời, trạng thái này sẽ nhanh chóng mất đi do ảnh hưởng của hàm mũ e−ξωt. Số hạng thứ hai tương ứng với trạng thái dao động ổn định. Hình 2.15 biểu diễn dao động của hệ. Ta thấy rằng dao động tạm thời tắt
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 37 Hình 2.16: Biên độ ở trạng thái dao động ổn định dần rất nhanh theo một tỉ lệ phụ thuộc vào ω và ξ. Sau một thời gian, chỉ còn lại dao động ổn định với tần số của lực tác dụng nhưng lệch pha so với tải trọng. Trong phần tiếp theo, chúng ta chỉ xét đến dao động ổn định tuy nhiên cần lưu ý rằng giá trị chuyển vị lớn nhất có thể xuất hiện trước khi hệ đạt đến trạng thái dao động ổn định. Phương trình dao động ổn định có dạng: p 1 h i u (t) = 0 (1 − β2) sin ωt − 2ξβ cos ωt (2.80) p k (1 − β2)2 + (2ξβ)2 trong đó: ω β = (2.81) ω hoặc có thể viết dưới dạng véc tơ quay (hình 2.16): up(t) = u0 sin(ω(t) − θ) (2.82) Biên độ u0 và góc trễ pha θ của chuyển vị so với tải trọng tác dụng được xác định bởi biểu thức: √ 2 2 p0 1 u0 = C + D = (2.83) k p(1 − β2)2 + (2ξβ)2 D 2ξβ θ = tan−1 = tan−1 (2.84) C 1 − β2
38 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hệ số động Rd là tỉ số giữa biên độ dao động u0 và chuyển vị tĩnh (ust)0 = p0/k do lực p0 tác dụng tĩnh gây ra: u0 1 Rd = = p (2.85) po/k (1 − β2)2 + (2ξβ)2 Ta thấy rằng, góc trễ pha θ và hệ số động Rd phụ thuộc vào β và tham số tắt dần ξ. Hình 2.17 biểu diễn đồ thị của Rd và θ theo β với các giá trị khác nhau của tham số tắt dần ξ. Hệ số động theo thời gian R(t) được xác định bằng tỉ số giữa chuyển vị động và chuyển vị tĩnh gây ra bởi biên độ p0: up(t) u0 sin(ω(t) − θ) R(t) = = = Rd sin(ω(t) − θ) (2.86) p0/k p0/k Hiện tượng cộng hưởng: Hệ số động Rd đạt giá trị cực đại khi mẫu số của phương trình (2.85) đạt giá trị cực tiểu d 1/2 −2β(1 − β2) + 2β(2ξ2) (1 − β2)2 + (2ξβ)2 = = 0 (2.87) dβ p(1 − β2)2 + (2ξβ)2 hay β(β2 − 1 + 2ξ2) = 0 (2.88) p 2 Nghiệm khác không β = 1 − 2ξ cho giá trị lớn nhất của Rd 1 (Rd)max = (2.89) 2ξp1 − ξ2 Tần số cộng hưởng tương ứng: p ω = ω 1 − 2ξ2 (2.90) Khi β = 1 thì hệ số động Rd có dạng: 1 (R ) = (2.91) d β=1 2ξ Đối với những hệ có tham số tắt dần nhỏ (ξ 1) thì (Rd)max ' (Rd)β=1. Để hiểu rõ hiện tượng cộng hưởng, ta nghiên cứu phương trình dao động
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 39 Hình 2.17: Sự thay đổi hệ số động Rd và góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω và tham số tắt dần ξ
40 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO tổng quát của hệ. Khi β = 1 hay ω = ω, phương trình (2.79) có thể viết như sau: p cos ωt u(t) = e−ξωt(A cos ω t + B sin ω t) − 0 (2.92) D D k 2ξ Thay điều kiện ban đầu t = 0: u(0) =u ˙(0) = 0, ta xác định được các hằng số A và B: p p A = 0 B = 0 (2.93) 2ξk 2kp1 − ξ2 Vậy phương trình dao động của hệ: p0 −ξωt ξ u(t) = e cos ωDt + sin ωDt − cos ωt (2.94) 2ξk p1 − ξ2 Trong trường hợp thực tế, tham số tắt dần ξ rất nhỏ và số hạng chứa sinus có thể bỏ qua, phương trình dao động có thể viết 8 p u(t) ≈ 0 e−ξωt − 1 cos ωt (2.95) 2ξk Hệ số động theo thời gian R(t) có dạng: u(t) 1 R(t) ≈ = e−ξωt − 1 cos ωt (2.96) p0/k 2ξ Hình 2.18 biểu thị quá trình dẫn đến trạng thái dao động ổn định khi cộng hưởng của hệ có lực cản. Dễ thấy rằng số chu kỳ cần thiết để biên độ đạt đến giá trị lớn nhất phụ thuộc vào tham số tắt dần ξ. 8 Khi đó ωD ≈ ω = ω
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 41 Hình 2.18: Sự thay đổi hệ số động Rt theo tham số tắt dần ξ khi β = 1
42 CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG HỆ MỘT BẬC TỰ DO
Chương 3 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do Trong chương này, chúng ta sẽ thiết lập phương trình vi phân dao động của một hệ nhiều bậc tự do. Từ đó dẫn đến khái niệm về ma trận khối lượng, ma trận ảnh hưởng độ cứng và ma trận ảnh hưởng lực cản. Phần tiếp theo sẽ đưa ra cách xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động tương ứng. Một tính chất quan trọng của các dạng dao động là tính chất trực giao cũng được giới thiệu. Phần cuối của chương trình bầy cách xác định phương trình dao động dựa trên khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động. 3.1 Mô hình hệ hữu hạn bậc tự do Để việc trình bầy được đơn giản, dễ hiểu, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình đơn giản nhất của hệ dao động hữu hạn bậc tự do: kết cấu khung nhà hai tầng chịu tác dụng của các tải trọng pi(t). Giả thiết rằng dầm và sàn nhà là tuyệt đối cứng (không bị uốn), ta bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng dọc trục trong dầm và cột cũng như ảnh hưởng của lực dọc trong các cột. Thực tế, khối lượng phân bố trên toàn kết cấu nhưng chúng ta giả định khối lượng trong các cột là không đáng kể và chỉ tập trung tại các sàn. Mặc dù khá xa so với thực tế nhưng mô hình này thuận tiện cho việc thiết lập phương trình chuyển động hệ nhiều bậc tự do. 43
44 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.1: Mô hình hệ dao động hữu hạn bậc tự do Hình 3.2: Lực tác dụng lên các khối lượng 3.2 Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự do Xét hệ như hình vẽ 3.1. Các lực tác dụng lên hai khối lượng được biểu diễn trên hình 3.2. Viết phương trình cân bằng cho hai khối lượng: fI1 + fD1 + fS1 = p1(t) fI2 + fD2 + fS2 = p2(t) (3.1) Giả thiết hệ dao động tuyến tính, các lực đàn hồi fSi là hàm của chuyển vị tương đối ui i s fS1 = f + f = k1u1 + k2(u1 − u2) S1 S1 (3.2) i fS2 = fS2 = k2(u2 − u1)
3.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO45 Lực cản fDi là hàm của vận tốc u˙ i i s fD1 = f + f = c1u˙ 1 + c2(u ˙ 1 − u˙ 2) D1 D1 (3.3) i fD2 = fD2 = c2(u ˙ 2 − u˙ 1) Lực quán tính trong các khối lượng mi fI1 = m1u¨1 fI2 = m2u¨2 (3.4) Thay các biểu thức (3.2), (3.3) và (3.4) vào phương trình (3.1), ta có: m1u¨1 + c1u˙ 1 + c2(u ˙ 1 − u˙ 2) + k1u1 + k2(u1 − u2) = p1(t) m2u¨2 + c2(u ˙ 2 − u˙ 1) + k2(u2 − u1) = p2(t) Viết lại dưới dạng ma trận: m 0 u¨ c + c −c u˙ 1 1 + 1 2 2 1 + 0 m2 u¨2 −c2 c2 u˙ 2 k + k −k u p (t) + 1 2 2 1 = 1 (3.5) −k2 k2 u2 p2(t) Phương trình (3.5) có thể viết gọn lại như sau: M¨u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = p(t) (3.6) trong đó: u u = 1 (3.7) u2 m 0 M = 1 (3.8) 0 m2 c + c −c C = 1 2 2 (3.9) −c2 c2 k + k −k K = 1 2 2 (3.10) −k2 k2 Chúng ta thấy rằng (3.6) có dạng tương tự như (2.3) nhưng các đại lượng được biểu diễn bằng các ma trận. Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa về ma trận độ cứng, ma trận hệ số lực cản và ma trận khối lượng:
46 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Ma trận độ cứng 1. Hệ số ảnh hưởng độ cứng kij là lực tại tọa độ thứ i gây ra bởi chuyển vị đơn vị tại tọa độ thứ j trong khi giữ các chuyển vị tại các tọa độ khác bằng không. Ma trận các hệ số ảnh hưởng độ cứng K được gọi là ma trận độ cứng. Ma trận hệ số lực cản 2. Hệ số ảnh hưởng lực cản cij là lực tại tọa độ thứ i gây ra bởi vận tốc đơn vị tại tọa độ thứ j trong khi giữ các vận tốc tại các tọa độ khác bằng không. Ma trận các hệ số ảnh hưởng lực cản C được gọi là ma trận ảnh hưởng lực cản. Ma trận khối lượng 3. Hệ số ảnh hưởng khối lượng mij là lực tại tọa độ thứ i gây ra bởi gia tốc đơn vị tại tọa độ thứ j trong khi giữ các gia tốc tại các tọa độ khác bằng không. Ma trận các hệ số ảnh hưởng khối lượng M được gọi là ma trận khối lượng. 3.3 Dao động tự do hệ hữu hạn bậc tự do Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động hệ hữu hạn bậc tư do khi không có tải trọng ngoài tác động. Giả sử bỏ qua anh hưởng của lực cản, phương trình vi phân có dạng: M¨u(t) + Ku(t) = 0 (3.11) Phương trình (3.11) gồm n phương trình vi phân thuần nhất có liên hệ với nhau qua ma trận khối lượng, ma trận độ cứng. Mục đích của chúng ta là tìm nghiệm của (3.11) thỏa mãn điều kiện ban đầu: u = u(0) và u˙ = u˙ (0) tại t = 0. 3.3.1 Ý nghĩa vật lý của tần số dao động riêng và dạng dao động riêng Xét một hệ hai bậc tự do như hình 3.3a. Nếu đặt vào các khối lượng những chuyển vị ban đầu bất kỳ, hệ sẽ dao động quanh vị trí cân bằng của nó. Chúng ta nhận thấy rằng chuyển động của mỗi khối lượng của hệ không còn là dao động điều hòa như trong trường hợp hệ một bậc tự do nữa (hình 3.3c). Mặt khác, dạng đường đàn hồi của hệ (tỉ lệ u1/u2) cũng thay đổi theo thời gian. Ngược lại, nếu đặt vào các khối lượng của hệ những chuyển bị ban đầu thích
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 47 Hình 3.3: Chuyển động của hệ với điều kiện ban đầu bất kỳ Hình 3.4: Dạng dao động thứ nhất của hệ hợp, hệ sẽ dao động điều hòa với dạng đường đàn hồi không thay đổi theo thời gian. Đối với hệ hai bậc tự do, tồn tại hai dạng đường đàn hồi đặc trưng.
48 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Dạng đặc trưng thứ nhất tương ứng với trạng thái chuyển vị 1 trên hình 3.4b tại thời điểm t = 0. Dễ nhận thấy rằng chuyển động của hai khối lượng là dao động điều hòa với cùng chu kỳ T1 và cùng pha (hình 3.4c) hay nói cách khác chuyển vị của hai khối lượng luôn cùng hướng. Tỉ lệ giữa hai chuyển vị u1/u2 là hằng số. Ta cũng nhận thấy có một điểm của hệ mà chuyển vị tại đó luôn bằng không trong quá trình dao động. Người ta gọi điểm đó là nút. Dạng đặc trưng thứ hai tương ứng với trạng thái chuyển vị 1 trên hình 3.5b tại thời điểm t = 0. Một lần nữa chúng ta lại thấy hai khối lượng dao động điều hòa với chu kỳ T2 nhưng ngược pha (hình 3.5c) hay chuyển vị của các khối lượng luôn ngược hướng. Tỉ lệ u1/u2 vẫn là hằng số. Trong dạng đặc trưng này có hai điểm nút mà tại đó các chuyển vị bằng không trong suốt quá trình dao động. Mỗi đường đàn hồi đặc trưng được gọi là dạng dao động riêng của hệ hữu Hình 3.5: Dạng dao động thứ hai của hệ hạn bậc tự do và các véc tơ chứa các chuyển vị của mỗi dạng dao động riêng được gọi là φ. Với mỗi dạng dao động, chuyển vị của các khối lượng đạt đến giá trị cực trị tại cùng thời điểm và cũng đi qua vị trí cân bằng cùng thời điểm. Tương ứng với mỗi dạng dao động có một chu kỳ dao động Ti và tần số fi 2π 1 ωi Ti = fi = = (3.12) ωi Ti 2π
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 49 Tần số dao động riêng bé nhất được ký hiệu là ω1, do đó chu kỳ dài nhất được ký hiệu là T1. Trường hợp tổng quát có n dạng dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do ω1 ≤ ω2 ≤ ≤ ωn (3.13) T1 ≥ T2 ≥ ≥ Tn (3.14) Các đại lượng ω1,T1 và φ1 lần lượt được gọi là tần số cơ bản, chu kỳ cơ bản và dạng dao động cơ bản của hệ. 3.3.2 Tần số dao động riêng Theo phân tích ở phần trước, chúng ta biết rằng chuyển động của hệ là điều hòa với một vài điều kiện. Véc tơ chuyển vị có thể viết như sau: u(t) = φ sin(ωt − θ) (3.15) trong đó: φ là các dạng dao động có thể của hệ, θ là góc lệch pha. Đạo hàm 2 lần véc tơ chuyển vị ta thu được véc tơ gia tốc như sau: ¨u(t) = −ω2φ sin(ωt − θ) = −ω2u(t) (3.16) Thay biểu thức của chuyển vị và gia tốc vào (3.11): −ω2Mφ sin(ωt − θ) + Kφ sin(ωt − θ) = 0 (3.17) Phương trình này thỏa mãn với mọi giá trị của t nên ta có: Kφ = ω2Mφ (3.18) hoặc có thể viết dưới dạng sau: K − ω2M φ = 0 (3.19) Nghiệm tầm thường của phương trình φ = 0 tương ứng với trạng thái hệ không có chuyển động nên ta không xét ở đây. Phương trình chỉ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận hệ số [K − ω2M] bằng không det K − ω2M = 0 (3.20) Phương trình (3.20) được gọi là phương trình tần số hay phương trình đặc 2 trưng của hệ. Khai triển định thức này ta thu được một đa thức bậc n của ωj ,
50 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.6: Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung ở hai sàn trong đó n là bậc tự do của hệ. Phương trình này có n nghiệm thực, dương 2 đối với ωj vì ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng K là các ma trận xác định dương. n nghiệm của phương trình xác định n tần số dao động riêng ωj (j = 1, 2, . . . n) của hệ. Khi đã biết tần số dao động riêng ωj, ta có thể giải phương trình (3.19) để tìm dạng dao động riêng tương ứng φj. Trong lý 2 thuyết đại số tuyến tính, cặp véc tơ (ωj , φj) được gọi là giá trị riêng và véc tơ riêng của bài toán giá trị riêng ma trận. Như vậy, một hệ dao động n bậc tự do có n tần số riêng ωj (j = 1, 2, . . . n) được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn (ω1 < ω2 < . . . < ωn) tương ứng với chu kỳ dao động riêng Ti và dạng dao động riêng φj. Thuật ngữ "riêng" được dùng ở đây nhằm nhấn mạnh rằng đó là các tính chất riêng của hệ dao động, nó chỉ phụ thuộc vào các khối lượng và độ cứng của hệ. Ví dụ 3.1: Xác định tần số dao động riêng của kết cấu trên hình 3.6 biết rằng khối lượng của mỗi tầng là m = 20000kg, độ cứng ngang tổng cộng của mỗi tầng k = 18 × 106N/m. Lời giải: Hệ có 2 bậc tự do, ma trận khối lượng có dạng sau: 1 0 M = 20 × 103 kg 0 1 Ma trận độ cứng: 2 −1 2 −1 K = k = 18 × 106 N/m −1 1 −1 1
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 51 Các tần số dao động riêng được xác định từ phương trình đặc trưng: 6 3 2 2 36 × 10 − (20 × 10 )ω −1 det K − ω M = = 0 −1 18 × 106 − (20 × 103)ω2 Đặt x = ω2/900, ta có phương trình bậc hai đối với x: x2 − 3x + 1 = 0 Hai nghiệm của phương trình là: x1 = 0, 38197 và x2 = 2, 61803. Ta tính được các tần số riêng: ω1 = 18, 54rad/s ω2 = 48, 54rad/s 3.3.3 Dạng dao động riêng Thay giá trị của ωj vào phương trình (3.19) ta có: 2 K − ωj M φj = 0 (3.21) trong đó φj là dạng dao động riêng ứng với tần số riêng ωj. 2 Do det K − ωj M = 0, ta không thể xác định các phần tử của véc tơ φj. Tuy nhiên, dạng tổng quát ứng với một tần số có thể được xác định bằng cách biểu thị các chuyển vị theo một chuyển vị được chọn làm chuẩn. Ta có thể giả định phần tử đầu tiên φ1j hay phần tử cuối cùng φnj của véc tơ φj có giá trị bằng 1. Như vậy ta có thể xác định được tất cả các phần tử khác φij,(i = 2, 3, . . . , n) và (j = 1, 2, . . . , n). Các phần tử của véc tơ φj của dạng dao động thứ j được gọi là φij, nó tương ứng với chuyển vị thứ i trong n bậc tự do của dạng dao động thứ j. Việc sử dụng hai chỉ số cho phép chúng ta xác định dạng dao động và chuyển vị của các bậc tự do. Cách ký hiệu này sẽ rõ ràng hơn khi chúng ta sắp xếp các véc tơ φj vào một ma trận Φ chứa các véc tơ riêng   φ11 φ12 . . . φ1n  φ φ . . . φ   21 22 2n  Φ =  . . .   . . . .  φn1 φn2 . . . φnn trong đó mỗi cột thứ j biểu diễn dạng dao động φj. Ma trận Φ gọi là ma trận dạng dao động.
52 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.7: Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Ví dụ 3.2: Xác định dạng dao động riêng của kết cấu trong ví dụ 3.1 (hình 3.6). Lời giải: Thay tần số riêng thứ nhất ω1 = 18, 54 vào (3.19) và cho φ21 = 1, ta có: 2 − 0, 38197 −1 φ 11 = 0 −1 1 − 0, 38197 1 Giải phương trình trên, ta tìm được φ11 = 0, 61803. Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 = 48, 54 vào (3.19) và cho φ22 = 1, ta có: 2 − 2, 61803 −1 φ 12 = 0 −1 1 − 2, 61803 1 Giải phương trình ta có φ12 = −1, 61803. Dạng dao động của kết cấu (hình 3.7): 0, 61803 −1, 61803 Φ = φ φ = 1 2 1, 00000 1, 00000 Ví dụ 3.3: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của hệ như hình 3.8. Biết rằng độ cứng chống uốn của cả hai thanh đều là EI, giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục thanh. Khối lượng của hệ tập trung tại hai nút.
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 53 Hình 3.8: Hệ dao động hai bậc tự do Lời giải: Hệ có hai bậc tự do. Ma trận khối lượng và ma trận độ cứng1 3m 6EI 8 −3 M = K = m 7L3 −3 2 Ta đặt: 7mL3 x = ω2 6EI phương trình đặc trưng có dạng: 2 2 mω 8 − 3x −3 det K − ω M = = 0 x −3 2 − x hay viết dưới dạng phương trình bậc hai đối với x: 3x2 − 14x + 7 = 0 Hai nghiệm của phương trình: x1 = 0, 5695 và x2 = 4, 0972. Ta tính được các tần số riêng: r r EI EI ω = 0, 6987 ω = 1, 874 1 mL3 2 mL3 1 Để xác định các hệ số ảnh hưởng độ cứng kij, ví dụ k11 và k21 ta lập biểu thức tính chuyển vị theo phương bậc tự do thứ nhất và bậc tự do thứ hai do các "lực" chưa biết k11 và k21 gây ra rồi cho các chuyển vị này lần lượt bằng 1 và 0, ta sẽ thu được 2 phương trình để giải ra k11 và k21
54 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.9: Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Thay tần số riêng thứ nhất ω1 vào (3.19) và cho φ11 = 1, ta có: 8 − 3 × 0, 5695 −3 1 = 0 −3 2 − 0, 5695 φ21 Giải phương trình trên ta tìm được φ21 = 2, 097. Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 vào (3.19) và cho φ12 = 1, ta có: 8 − 3 × 4, 0972 −3 1 = 0 −3 2 − 4, 0972 φ22 Giải phương trình ta có φ22 = −1, 431. Dạng dao động của hệ (hình 3.9): 1, 000 1, 000 Φ = φ φ = 1 2 2, 097 −1, 431 3.3.4 Tính chất trực giao các dạng dao động Tính chất cơ bản của các dạng dao động là tính chất trực giao. Xét hai tần số riêng phân biệt ωi, ωj và các dạng dao động tương ứng φi, φj. Viết lại phương trình (3.18) với các tần số ωi, ωj: 2 Kφi = ωi Mφi (3.22)
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 55 2 Kφj = ωj Mφj (3.23) T T Nhân trái phương trình (3.22) với φj và phương trình (3.23) với φi , ta thu được: T 2 T φj Kφi = ωi φj Mφi (3.24) T 2 T φi Kφj = ωj φi Mφj (3.25) Chuyển trí các véc tơ và ma trận trong phương trình (3.25), ta có: T T 2 T T φj K φi = ωj φj M φi (3.26) Do các ma trận M và K đối xứng nên M = MT , K = KT . Điều đó dẫn đến: T 2 T φj Kφi = ωj φj Mφi (3.27) Từ các phương trình (3.24) và (3.27), ta có đẳng thức sau: 2 T 2 T ωi φj Mφi = ωj φj Mφi (3.28) hay 2 2 T (ωj − ωi )φj Mφi = 0 (3.29) 2 Với điều kiện ωj 6= ωi , ta có tính chất trực giao thứ nhất: T φj Mφi = 0, i 6= j (3.30) Thay phương trình (3.30) vào (3.27), ta có tính chất trực giao thứ hai: T φj Kφi = 0, i 6= j (3.31) Ý nghĩa của tính chất trực giao: Công của các lực quán tính và lực đàn hồi của dạng dao động thứ j trên những chuyển vị theo dạng dao động thứ i bằng không. Để chứng minh kết quả này, xét một hệ ở dạng dao động thứ j với chuyển vị uj(t) = φj sin(ωjt − θj) (3.32) Lực quán tính của dạng dao động 2 (fI )j = −Mu¨j(t) = −ω Mφj sin(ωjt − θj) (3.33) 2 Giải thích trường hợp ωj = ωi
56 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Xét chuyển vị của hệ ở dạng dao động thứ i ui(t) = φi sin(ωit − θi) (3.34) Công của lực quán tính ở dạng dao động thứ j trên các chuyển vị ở dạng dao động thứ i: T 2 T (fI )j ui = −ω φj Mφi sin(ωit − θi) sin(ωjt − θj) (3.35) Công này bằng không do tính chất trực giao (3.30). Một cách tương tự, lực đàn hồi của dạng dao động thứ j (fS)j = Kuj(t) = Kφj sin(ωjt − θj) (3.36) Công của lực đàn hồi ở dạng dao động thứ j trên các chuyển vị ở dạng dao động thứ i: T T (fS)j ui = φj Kφi sin(ωit − θi) sin(ωjt − θj) (3.37) Dễ dàng thấy công này bằng không do tính chất trực giao (3.31). Nếu M là ma trận khối lượng bất kỳ, đối xứng, xác định dương thì ma trận được xác định bởi biểu thức: M˜ = ΦT MΦ (3.38) là ma trận đường chéo. Các phần tử trên đường chéo được tính theo công thức: T m˜ i = φi Mφi (3.39) Tương tự ta có: K˜ = ΦT KΦ (3.40) với K˜ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo: ˜ T ki = φi Kφi (3.41) 3.3.5 Chuẩn hóa dạng dao động Nếu véc tơ φ là dạng dao động riêng của hệ thì bất cứ véc tơ nào tỉ lệ với φ cũng là dạng dao động riêng vì nó thỏa mãn phương trình (3.19). Người ta có thể dùng hệ số tỉ lệ trong các dạng dao động riêng để chuẩn hóa các biên
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 57 độ của các bậc tự do. Quá trình đó gọi là chuẩn hóa dạng dao động. Trong tính toán, thuận tiện nhất là chuẩn hóa các dạng dao động sao cho các khối lượng tổng quát bằng một đơn vị m˜ i = 1 với i = 1, 2, . . . n. Điều kiện trực giao được biểu diễn như sau: T φi Mφj = δij (3.42) T 2 φi Kφj = ωi δij (3.43) với δij là ký hiệu Kronecker. Điều kiện trực giao có thể viết dưới dạng ma trận như sau: ΦT MΦ = I (3.44) ΦT KΦ = Ω (3.45) trong đó I là ma trận đơn vị bậc n và Ω gọi là ma trận phổ gồm n bình 2 phương các tần số riêng ωi . 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Người ta có thể dùng một tập hợp bất kỳ n véc tơ độc lập làm cơ sở để biểu diễn một véc tơ bất kỳ bậc n. Tương tự, các dạng dao động riêng được dùng để biểu diễn véc tơ chuyển vị. Khai triển theo dạng dao động của một véc tơ chuyển vị u có dạng: n X u = φiqi = Φq (3.46) i=1 trong đó: qi gọi là tọa độ dạng dao động. Đối với một véc tơ chuyển vị u cho trước, khi biết φi, người ta có thể đánh T giá qi bằng cách nhân cả hai vế của (3.46) với φj M n T X T φj Mu = (φj Mφi)qi (3.47) i=1 Do tính chất trực giao, các số hạng vế phải bằng không ngoại trừ số hạng i = j. Từ đó suy ra: T T φj Mu = φj Mφjqj (3.48) Cả hai vế của phương trình trên đều là đại lượng vô hướng nên ta tìm được qj theo biểu thức: T T φj Mu φj Mu qj = T = (3.49) φj Mφj m˜ j
58 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.10: Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Ví dụ 3.4: Xác định khai triển theo dạng dao động của véc tơ chuyển vị u = [1 1]T đối với hệ trong ví dụ 3.1 (hình 3.6) T Lời giải: Thay véc tơ chuyển vị u vào biểu thức (3.49) với φ1 = [0, 618 1] T và φ2 = [−1, 618 1] ta có: m 1 [0, 618 1] m 1 1, 618m q = = = 1, 17 1 m 0, 618 1, 382m [0, 618 1] m 1 m 1 [−1, 618 1] m 1 −0, 618m q = = = −0, 17 2 m −1, 618 3, 618m [−1, 618 1] m 1 Kết quả khai triển được biểu diễn trên hình 3.10 3.3.7 Phương trình dao động Trong phần này sẽ trình bầy cách tìm nghiệm của (3.11) với điều kiện ban đầu . Từ (3.46) ta tính được véc tơ gia tốc u¨(t): u¨(t) = Φq¨(t) (3.50) Thay u(t) và u¨(t) vào (3.11) ta có: MΦq¨(t) + KΦq(t) = 0 (3.51)
3.3. DAO ĐỘNG TỰ DO HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 59 Nhân trái cả hai vế với ΦT thu được: M˜ q¨(t) + Kq˜ (t) = 0 (3.52) Theo tính chất trực giao, phương trình trên có thể viết như sau: ˜ m˜ iq¨i(t) + kiqi(t) = 0 với i = 1, 2, . . . n (3.53) Đây là phương trình vi phân dao động của mô hình một bậc tự do đối với 2 dạng dao động thứ i. Từ phương trình (3.22) ta biết rằng Kφi = ωi Mφi, T nhân trái hai vế với φi ta có: T 2 T φi Kφi = ωi φi Mφi (3.54) ˜ Từ đó ta tìm được quan hệ giữa ki và m˜ i: ˜ 2 ki = ωi m˜ i (3.55) Thay (3.55) vào (3.53) và chia hai vế cho m˜ i, ta được phương trình: 2 q¨i(t) + ωi qi(t) = 0 (3.56) Nghiệm của (3.56) có dạng tương tự (2.19): q˙i(0) qi(t) = qi(0) cos(ωit) + sin(ωit) (3.57) ωi trong đó: qi(0) và q˙i(0) được xác định bởi: T T φi Mu(0) φi M ˙u(0) qi(0) = q˙i(0) = (3.58) m˜ i m˜ i với u(0) và u˙ (0) là điều kiện ban đầu. Thay (3.57) vào (3.46) ta được phương trình dao động của hệ: n X q˙i(0) u(t) = φ q (0) cos(ω t) + sin(ω t) (3.59) i i i ω i i=1 i Ví dụ 3.5: Viết phương trình dao động của hệ trong ví dụ 3.3 biết rằng ở thời điểm ban đầu t = 0 hệ có các điều kiện: 0 1 u(0) = và u˙ (0) = v 0 2 0
60 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Lời giải: Trong ví dụ 3, ta đã xác định được các tần số riêng: r r EI EI ω = 0, 6978 ω = 1, 874 1 mL3 2 mL3 và các dạng dao động riêng: 1, 000 1, 000 φ = φ = 1 2, 097 2 −1, 431 T Ta sẽ xác định qi(0) và q˙i(0) theo biểu thức (3.58). Do u(0) = [0 0] nên qi(0) = 0. T φ1 Mu˙ (0) q˙1(0) = T φ1 Mφ1 3m 1 [1 2, 097] v m 2 0 7, 194mv = = 0 = 0, 973v 3m 1 7, 397m 0 [1 2, 097] m 2, 097 T φ2 Mu˙ (0) q˙2(0) = T φ2 Mφ2 3m 1 [1 − 1, 431] v m 2 0 0, 138mv = = 0 = 0, 027v 3m 1 5, 048m 0 [1 − 1, 431] m −1, 431 Thay q˙1(0) và q˙2(0) vào (3.59) ta có: r r 1 0, 973v mL3 1 0, 027v mL3 u(t) = 0 sin ω t + 0 sin ω t 2, 097 0, 6978 EI 1 −1, 431 1, 874 EI 2 hay viết gọn lại: r 3 1, 394 sin ω1t + 0, 014 sin ω2t mL u(t) = v0 2, 924 sin ω1t − 0, 021 sin ω2t EI
3.4. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 61 3.4 Dao động cưỡng bức hệ hữu hạn bậc tự do Phương trình vi phân dao động của hệ: M¨u(t) + Ku(t) = p(t) (3.60) Điều kiện ban đầu: u = u(0) và u˙ = u˙ (0) tại t = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình (3.60) gồm nghiệm của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Nghiệm thuần nhất ta đã biết cách xác định như phần trên. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu cách tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất. Ta có thể thực hiện tương tự như đối với phương trình thuần nhất, biến đổi phương trình vi phân dao động trong hệ tọa độ hình học thành phương trình vi phân dao động trong hệ tọa độ các dạng dao động. Bằng cách thay (3.46) vào phương trình (3.60), ta có: MΦq¨(t) + KΦq(t) = p(t) (3.61) Nhân trái cả hai vế với ΦT thu được: ΦT MΦq¨(t) + ΦT KΦq(t) = ΦT p(t) (3.62) Theo tính chất trực giao các dạng dao động riêng, phương trình trên có thể đơn giản như sau: T T T φi Mφiq¨i(t) + φi Kφiqi(t) = φi p(t) với i = 1, 2, . . . n (3.63) hay ˜ m˜ iq¨i(t) + kiqi(t) =p ˜i(t) với i = 1, 2, . . . n (3.64) trong đó: T ˜ T T m˜ i = φi Mφi ki = φi Kφi p˜i = φi p(t) (3.65) lần lượt gọi là khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát và lực tổng quát đối với dạng dao động riêng thứ i. Chia 2 vế của phương trình cho m˜ i và sử dụng đẳng thức (3.55) ta có: 2 p˜i(t) q¨i(t) + ωi qi(t) = với i = 1, 2, . . . n (3.66) m˜ i Như vậy, hệ phương trình (3.60) trở thành n phương trình độc lập. Mỗi phương trình trong (3.64) hoặc (3.66) là phương trình dao động hệ một bậc tự do đối với qi, i = 1, 2, . . . n. Khi biết được q ta có thể xác định được phương trình dao động u(t) của hệ trong hệ tọa độ hình học từ phương trình (3.46).
62 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Hình 3.11: Hệ dao động hai bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa Ví dụ 3.6: Xét hệ trên hình 3.11 chịu tác dụng của tải trọng điều hòa p(t) = p0 sin ωt đặt vào khối lượng m1. Bằng cách khai triển theo các dạng dao động, xác định phương trình dao động của hệ trên, biết rằng: m1 = 2m, m2 = m, k1 = 2k, k2 = k. Lời giải: Ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của hệ: 2m 3k −k M = K = m −k k Phương trình đặc trưng có dạng: 2 2 3k − 2mω −k det K − ω M = = 0 −k k − mω2 hay : 2m2ω4 − 5kmω2 + 2k2 = 0 2 2 Hai nghiệm của phương trình: ω1 = k/2m và ω2 = 2k/m. Ta tính được các tần số riêng: r r k 2k ω = ω = 1 2m 2 m Thay tần số riêng thứ nhất ω1 vào (3.19) và cho φ21 = 1, ta có: 2k −k φ 11 = 0 −k k/2 1
3.4. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 63 Giải phương trình trên ta tìm được φ11 = 1/2. Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 vào (3.19) và cho φ22 = 1, ta có: −k −k φ 12 = 0 −k −k 1 Giải phương trình ta có φ12 = −1. Ma trận dạng dao động của hệ: 1 −1 Φ = φ φ = 2 1 2 1 1 Từ (3.65) ta xác định được khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát và lực tổng quát: 1 2m 1 3m m˜ = φT Mφ = 1 2 = 1 1 1 2 m 1 2 2m −1 m˜ = φT Mφ = [−1 1] = 3m 2 2 2 m 1 1 3k −k 1 3k k˜ = φT Kφ = 1 2 = 1 1 1 2 −k k 1 4 3k −k −1 k˜ = φT Kφ = [−1 1] = 6k 2 2 2 −k k 1 1 p p p˜ = φT p(t) = 1 0 sin ωt = 0 sin ωt 1 1 2 0 2 p p˜ = φT p(t) = [−1 1] 0 sin ωt = −p sin ωt 2 2 0 0 Thay các đại lượng trên vào phương trình (3.64) ta thu được 2 phương trình đối với q1 và q2 p m˜ q¨ + k˜ q = 0 sin ωt 1 1 1 1 2 ˜ m˜ 2q¨2 + k2q2 = −p0 sin ωt Nghiệm của phương trình có dạng: 2p0 2p0 q1(t) = 2 sin ωt = Rd1 sin ωt 3k[1 − (ω/ω1) ] 3k p0 p0 q2(t) = − 2 sin ωt = − Rd2 sin ωt 6k[1 − (ω/ω2) ] 6k
64 CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Phương trình dao động của hệ: u(t) = φ1q1(t) + φ2q2(t) Thay các biểu thức của q1, q2 và các dạng dao động riêng ta có: 1 2p p u1(t) 2 0 −1 0 = Rd1 sin ωt − Rd2 sin ωt u2(t) 1 3k 1 6k 2R + R p = d1 d2 0 sin ωt 4Rd1 − Rd2 6k
Chương 4 Hệ vô hạn bậc tự do - Dao động của thanh thẳng 4.1 Phương trình vi phân dao động Xét thanh thẳng có khối lượng phân bố. Dao động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ được biểu diễn bằng đường đàn hồi của hệ đó. Phương trình đường đàn hồi là hàm của tọa độ x và thời gian t y = y(x, t) (4.1) Theo kết quả trong Sức bền vật liệu, giữa độ võng và nội lực trong dầm có liên hệ vi phân: ∂2y EI(x) = −M(x, t) (4.2) ∂x2 trong đó: EI(x) là độ cứng của dầm, M là momen nội lực trong dầm. Giữa nội lực và tải trọng phân bố cũng có sự liên hệ: ∂2M(x, t) = f(x, t) (4.3) ∂x2 Thay (4.2) vào phương trình (4.3), ta có biểu thức của lực đàn hồi: ∂2 ∂2y(x, t) EI(x) = −f (x, t) (4.4) ∂x2 ∂x2 S Lực cản có chiều ngược với chiều của chuyển động và có cường độ: ∂y(x, t) f (x, t) = c (4.5) D ∂t 65
66CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG Lực quán tính phân bố hướng theo chiều của chuyển vị: ∂2y(x, t) f (x, t) = −m(x) (4.6) I ∂t2 Tải trọng động tác dụng lên hệ có cường độ: p(x, t) Theo nguyên lý Alembert ta có phương trình cân bằng: −fI (x, t) + fD(x, t) − fS(x, t) = p(x, t) (4.7) Thay các biểu thức của lực quán tính, lực cản và lực đàn hồi vào (4.7) ta có: ∂2 ∂2y(x, t) ∂2y(x, t) ∂y(x, t) EI(x) + m(x) + c = p(x, t) (4.8) ∂x2 ∂x2 ∂t2 ∂t Phương trình (4.8) được gọi là phương trình vi phân dao động tổng quát của thanh thẳng chịu tải trọng bất kỳ. Khi dầm có độ cứng EI không đổi thì (4.8) có dạng đơn giản như sau: ∂4y(x, t) m(x) ∂2y(x, t) c ∂y(x, t) p(x, t) + + = (4.9) ∂x4 EI ∂t2 EI ∂t EI 4.2 Dao động tự do của thanh thẳng 4.2.1 Phương trình dao động tự do Phương trình vi phân dao động tự do của thanh thẳng khi không xét đến lực cản có dạng sau: ∂2 ∂2y(x, t) ∂2y(x, t) EI(x) + m(x) = 0 (4.10) ∂x2 ∂x2 ∂t2 Nghiệm tổng quát của (4.10) là tổng của các nghiệm riêng: ∞ X y(x, t) = yi(x, t) (4.11) i=1 trong đó mỗi nghiệm riêng yi(x, t) được biểu diễn là tích của hai hàm số, một hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, hàm còn lại chỉ phụ thuộc thời gian t: yi(x, t) = Xi(x)Ti(t) (4.12)
4.2. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH THẲNG 67 Thay (4.12) vào phương trình (4.10) ta có: 2 ∂ 00 EI(x)X (x)T (t) + m(x)X (x)T¨ (t) = 0 (4.13) ∂x2 i i i i Chia hai vế phương trình trên cho tích m(x)Xi(x)Ti(t) ta thu được: ∂2 00 ¨ 2 EI(x)X (x) T (t) ∂x i = − i (4.14) m(x)Xi(x) Ti(t) Từ phương trình trên ta thấy vế trái chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t. Như vậy cả hai vế của phương trình phải bằng 2 một đại lượng không đổi, kí hiệu bằng ωi . Ta có hai phương trình sau: ¨ Ti(t) 2 = −ωi (4.15) Ti(t) ∂2 00 ∂x2 EI(x)Xi (x) 2 = ωi (4.16) m(x)Xi(x) hay ¨ 2 Ti(t) + ωi Ti(t) = 0 (4.17) 00 h 00 i 2 EI(x)Xi (x) − m(x)ωi Xi(x) = 0 (4.18) Ta thấy phương trình (4.17) tương tự phương trình vi phân dao động hệ một bậc tự do. Nghiệm của phương trình này có dạng: Ti(t) = Ai sin(ωit + θi) (4.19) Phương trình (4.18) là phương trình vi phân dạng dao động của thanh thẳng. Giải phương trình vi phân này ta tìm được dạng dao động riêng Xi(x) ứng với tần số riêng ωi. Vậy mỗi nghiệm riêng yi(x, t) biểu thị một dạng dao động riêng thay đổi theo quy luật điều hòa với tần số riêng ωi: yi(x, t) = Xi(x)Ai sin(ωit + θi) (4.20) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (4.10): ∞ ∞ X X y(x, t) = yi(x, t) = Xi(x)Ai sin(ωit + θi) (4.21) i=1 i=1
68CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG Trường hợp xét đến lực cản, phương trình vi phân dao động có dạng: ∂2 ∂2y(x, t) ∂2y(x, t) ∂y(x, t) EI(x) + m(x) + c = 0 (4.22) ∂x2 ∂x2 ∂t2 ∂t Khi đó phương trình (4.17) trở thành: ¨ ˙ 2 Ti(t) + 2ξiωiTi(t) + ωi Ti(t) = 0 (4.23) Nghiệm của phương trình này có dạng: −ωiξit Ti(t) = e Ai sin(ωDit + θi) (4.24) p 2 trong đó: ωDi = ωi 1 − ξi Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dao động tự do có xét đến lực cản: ∞ ∞ X X −ωiξit y(x, t) = yi(x, t) = e Xi(x)Ai sin(ωDit + θi) (4.25) i=1 i=1 4.2.2 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng Xét hai tần số riêng ωi và ωj và các dạng dao động riêng tương ứng Xi, Xj. Phương trình chuyển động ứng với dạng dao động riêng thứ i và thứ j: yi(x, t) = Xi(x)Ai sin(ωit + θi) (4.26) yj(x, t) = Xj(x)Aj sin(ωjt + θj) (4.27) Lực quán tính phân bố có cường độ: 2 (fI )i(x, t) = ωi m(x)Xi(x)Ai sin(ωit + θi) (4.28) 2 (fI )j(x, t) = ωj m(x)Xj(x)Aj sin(ωjt + θj) (4.29) Công của lực quán tính ở dạng dao động thứ i trên chuyển vị ở dạng dao động thứ j: Z l Z l 2 (fI )i(x, t)yj(x, t)dx = ωi m(x)Xi(x)Xj(x)AiAj sin(ωit+θi) sin(ωjt+θj)dx 0 0 (4.30)
4.3. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH THẲNG CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ ĐỀU VÀ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI69 Công của lực quán tính ở dạng dao động thứ j trên chuyển vị ở dạng dao động thứ i: Z l Z l 2 (fI )j(x, t)yi(x, t)dx = ωj m(x)Xi(x)Xj(x)AiAj sin(ωit+θi) sin(ωjt+θj)dx 0 0 (4.31) Theo nguyên lý công tương hỗ Betti hai công này bằng nhau. Sau khi đơn giản hai vế cho AiAj sin(ωit + θi) sin(ωjt + θj) ta thu được: Z l 2 2 ωi − ωj m(x)Xi(x)Xj(x)dx = 0 (4.32) 0 Với hai dao động riêng khác nhau thì ωi 6= ωj nên ta có: Z l m(x)Xi(x)Xj(x)dx = 0 với i 6= j (4.33) 0 Phương trình (4.33) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động riêng qua khối lượng của hệ. Tính chất trực giao cũng có thể được biểu diễn qua độ cứng của thanh như sau. Phương trình (4.18) viết cho dạng dao động thứ i: 00 h 00 i 2 EI(x)Xi (x) = ωi m(x)Xi(x) (4.34) Nhân hai vế phương trình trên với Xj(x) và lấy tích phân từ 0 đến l ta có: Z l 00 Z l h 00 i 2 Xj EI(x)Xi (x) dx = ωi m(x)Xi(x)Xj(x)dx (4.35) 0 0 Thay (4.33) vào phương trình trên ta thu được: l 00 Z h 00 i Xj EI(x)Xi (x) dx = 0 (4.36) 0 4.3 Dao động tự do của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi Khi thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi m(x) = m = const và EI(x) = EI = const, phương trình vi phân dao động tự do
70CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG (4.10) được đơn giản thành: ∂4y(x, t) m ∂2y(x, t) + = 0 (4.37) ∂x4 EI ∂t2 Phương trình (4.18) viết lại như sau: mω2 X(4)(x) − i X (x) = 0 (4.38) i EI i hay (4) 4 Xi (x) − ki Xi(x) = 0 (4.39) trong đó: mω2 k4 = i (4.40) i EI Phương trình đặc trưng của (4.39) có dạng: 4 4 s − ki = 0 (4.41) Phương trình này có 4 nghiệm: 2 s1,2 = ±ki s3,4 = ±iki với i = −1 (4.42) Vậy nghiệm của phương trình (4.39) như sau: kix −kix Xi(x) = a1e + a2e + a3 sin(kix) + a4 cos(kix) (4.43) hoặc có thể viết dưới dạng: Xi(x) = b1 cosh(kix) + b2 sinh(kix) + b3 sin(kix) + b4 cos(kix) (4.44) trong đó sinh(x) và cosh(x) là các hàm siêu việt được xác định bởi: ex + e−x ex − e−x cosh(x) = sinh(x) = 2 2 Phương trình (4.44) biểu diễn dạng dao động riêng thứ i1 ứng với tần số dao động ωi. 1Để viết phương trình được đơn giản, trong phần sau ta sẽ bỏ đi chỉ số dưới i
4.3. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH THẲNG CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ ĐỀU VÀ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI71 Ta có thể đặt các hàm:  h i  Akx = cosh(kx) + cos(kx) /2   h i  Bkx = sinh(kx) + sin(kx) /2 h i (4.45)  Ckx = cosh(kx) − cos(kx) /2   h i  Dkx = sinh(kx) − sin(kx) /2 Phương trình (4.44) được viết lại dưới dạng sau: X(x) = C1Akx + C2Bkx + C3Ckx + C4Dkx (4.46) Các hằng số Ci (i = 1, , 4) và bi (i = 1, , 4) trong (4.44) có quan hệ: C1 = b1 + b3; C2 = b2 + b4 C3 = b1 − b3; C4 = b2 − b4 (4.47) Để việc tính toán được thuận tiện, giá trị các hàm số Akx,Bkx,Ckx và Dkx theo các biến số kx được lập sẵn thành các bảng trong phụ lục 2. Các hàm này có tính chất sau:  0 Akx = kDkx  0  Bkx = kAkx 0 (4.48)  Ckx = kBkx  0 Dkx = kCkx A(0) = 1; B(0) = 0; C(0) = 0; D(0) = 0 (4.49) Các hằng số Ci (i = 1, , 4) được xác định từ điều kiện biên. Giả sử tại x = 0 ta có:  X(0) = X0  0  X (0) = θ0 00 (4.50) X (0) = −M0/EI  000  X (0) = −Q0/EI Từ phương trình (4.46) ta có các đạo hàm của X(x): 0 X (x) = k(C1Dkx + C2Akx + C3Bkx + C4Ckx) 00 2 X (x) = k (C1Ckx + C2Dkx + C3Akx + C4Bkx) (4.51) 000 3 X (x) = k (C1Bkx + C2Ckx + C3Dkx + C4Akx) 2Xem bảng 1
72CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG k - Akx Dkx 6 k k ? Bkx Ckx k Hình 4.1: Quy luật đạo hàm của Akx, Bkx, Ckx và Dkx Thay các điều kiện biên (4.50) vào ta xác định được các hằng số: θ C = X C = 0 1 0 2 k M Q C = − 0 C = − 0 (4.52) 3 k2EI 4 k3EI Thay lại các giá trị này vào các biểu thức (4.46) và (4.51) ta tìm được các phương trình biến dạng và phương trình nội lực 3: θ M Q X(x) = X A + 0 B − 0 C − 0 D (4.53) 0 kx k kx k2EI kx k3EI kx 0 M Q X (x) = X kD + θ A − 0 B − 0 C (4.54) 0 kx 0 kx kEI kx k2EI kx Q M(x) = −EIX k2C − EIθ kD + M A + 0 B (4.55) 0 kx 0 kx 0 kx k kx 3 2 Q(x) = −EIX0k Bkx − EIθ0k Ckx + M0kDkx + Q0Akx (4.56) Các phương trình trên cho phép xác định các đại lượng cần nghiên cứu trong dao động riêng của thanh thẳng. Từ các điều kiện biên về biến dạng và nội lực ta sẽ lập được hệ phương trình xác định các thông số chưa biết. Xét điều kiện tồn tại dao động riêng ta sẽ lập được phương trình xác định thông số k, từ đó sẽ tính được tần số dao động riêng: r EI ω = k2 (4.57) m 0 00 000 3Theo Sức bền vật liệu: θ = X (x),M(x) = X (x),Q(x) = X (x)
4.3. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH THẲNG CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ ĐỀU VÀ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI73 Phương trình để xác định k là phương trình siêu việt nên sẽ có vô số nghiệm ki (i = 1, 2, ) nghĩa là có vô số tần số riêng ωi (i = 1, 2, ). Điều này phù hợp với ý nghĩa của bài toán có vô số bậc tự do. Ví dụ 4.1: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của thanh thẳng như hình 4.2a , thanh có chiều dài l, đầu bên trái được ngàm chặt, đầu bên phải tự do. Khối lượng của thanh là m Lời giải: Điều kiện biên: Tại x = 0: X(0) = 0 (4.58) θ(0) = 0 (4.59) Tại x = l: M(l) = 0 (4.60) Q(l) = 0 (4.61) Thay (4.60), (4.61) vào (4.55) và (4.56) ta có hệ phương trình: Q M A + 0 B = 0 (4.62) 0 kl k kl M0kDkl + Q0Akl = 0 (4.63) Điều kiện để tồn tại dao động M0 6= 0 và Q0 6= 0 là định thức của hệ phương trình trên bằng không Akl Bkl/k 2 = Akl − BklDkl = 0 (4.64) kDkl Akl hay cosh kl cos kl + 1 = 0 (4.65) Phương trình siêu việt này được giải bằng phương pháp thử dần. Ta tìm được nghiệm thứ nhất k1l = 1.875, nghiệm thứ hai k2l = 4.68 Thay vào (4.57) ta tính được các tần số dao động riêng r r 1, 8752 EI 3, 515 EI ω = = 1 l2 m l2 m
74CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG Hình 4.2: Dầm một đầu ngàm một đầu tự do (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) r r 4, 6802 EI 21, 90 EI ω = = 2 l2 m l2 m Thay các giá trị kil vào hệ phương trình ta xác định được M0 và Q0. Từ đó tìm được các phương trình chuyển vị và nội lực của thanh ứng với tần số ωi. Ba dạng dao động của thanh ứng với ba tần số dao động riêng đầu tiên ω1, ω2 và ω3 lần lượt được biểu diễn trên hình 4.2b, 4.2c và 4.2d. Ví dụ 4.2: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của thanh thẳng như hình 4.3a, thanh có chiều dài l, hai đầu được đặt lên hai gối cố định. Khối lượng của thanh là m Lời giải: Điều kiện biên: Tại x = 0: X(0) = 0 (4.66) M(0) = 0 (4.67)
4.3. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH THẲNG CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ ĐỀU VÀ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI75 Hình 4.3: Dầm hai đầu khớp (a), dạng dao động thứ nhất (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) Tại x = l: X(l) = 0 (4.68) M(l) = 0 (4.69) Thay (4.68), (4.69) vào (4.53) và (4.55) ta có hệ phương trình: θ Q 0 B − 0 D = 0 (4.70) k kl k3EI kl Q −θ EIkD + 0 B = 0 (4.71) 0 kl k kl Điều kiện để tồn tại dao động Q0 6= 0 và θ0 6= 0 là định thức của hệ phương trình trên bằng không 2 2 Bkl − Dkl = 0 (4.72) hay sinh kl sin kl = 0 (4.73) Do sinh kl 6= 0 nên sin kl = 0. Vậy ta tìm được kil = iπ với i = 1, 2, (4.74)
76CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG Thay vào (4.57) ta xác định được các tần số dao động riêng r (iπ)2 EI ω = (4.75) i l2 m Do sin kl = 0 nên ta có Bkl = Dkl. Từ phương trình (4.70) ta rút ra đẳng thức: θ Q 0 = 0 (4.76) k k3EI Dạng dao động riêng thứ i được xác định theo biểu thức: θ Q Q X(x) = 0 B − 0 D = 0 (B − D ) (4.77) k kx k3EI kx k3EI kx kx Thay biểu thức các hàm Bkx và Dkx vào phương trình trên ta có: Q Q iπx X(x) = 0 sin kx = 0 sin (4.78) k3EI k3EI l Các dạng dao động riêng được biểu diễn trên hình 4.3b, 4.3c và 4.3d. 4.4 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi chịu tác dụng của tải trọng điều hòa p(x, t) = p(x) sin ωt. Phương trình vi phân dao động điều hòa có dạng: ∂4y(x, t) m ∂2y(x, t) p(x) sin ωt + = (4.79) ∂x4 EI ∂t2 EI Ta đã biết nghiệm tổng quát của (4.79) gồm nghiệm của phương trình thuần nhất (dao động tự do) và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Nghiệm của phương trình thuần nhất đã được nghiên cứu ở phần trên. Ta sẽ khảo sát nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Giả định rằng
4.4. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA THANH THẲNG CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ ĐỀU VÀ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI77 ở giai đoạn ổn định, thanh thẳng dao động với tần số của lực cưỡng bức. Nghiệm riêng được tìm dưới dạng sau: y(x, t) = X(x) sin ωt (4.80) Thay (4.80) vào (4.79) và biến đổi ta có: p(x) X(4)(x) − k4X(x) = (4.81) EI trong đó: mω2 k4 = (4.82) EI Nếu p(x) là một đa thức thì nghiệm riêng của (4.81) có dạng: p(x) p(4)(x) p(8)(x) X (x) = + + + (4.83) p k4EI k8EI k12EI Vậy nghiệm tổng quát của (4.81) được viết như sau: p(x) p(4)(x) X(x) = C A + C B + C C + C D + + + (4.84) 1 kx 2 kx 3 kx 4 kx k4EI k8EI Trường hợp p(x) = p = const thì nghiệm X(x) có dạng đơn giản: p X(x) = C A + C B + C C + C D + (4.85) 1 kx 2 kx 3 kx 4 kx k4EI Từ đó ta tính được các đạo hàm của X(x). Kết quả thu được tương tự (4.51). Các hằng số Ci (i = 1, , 4) được xác định từ điều kiện biên: p θ C = X − C = 0 1 0 k4EI 2 k M Q C = − 0 C = − 0 (4.86) 3 k2EI 4 k3EI trong đó: X0, θ0,M0 và Q0 là các giá trị của X(x) và các đạo hàm của nó tại x = 0. Thay các hằng số này vào (4.85) và (4.51) ta có phương trình biên độ chuyển
78CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG vị và nội lực của thanh thẳng khi dao động cưỡng bức: θ M Q p X(x) = X A + 0 B − 0 C − 0 D − (A − 1) 0 kx k kx k2EI kx k3EI kx k4EI kx 0 M Q p X (x) = X kD + θ A − 0 B − 0 C − D (4.87) 0 kx 0 kx kEI kx k2EI kx k3EI kx Q p M(x) = −EIX k2C − EIθ kD + M A + 0 B + C 0 kx 0 kx 0 kx k kx k2EI kx p Q(x) = −EIX k3B − EIθ k2C + M kD + Q A + B 0 kx 0 kx 0 kx 0 kx k kx 4.5 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng chịu tải trọng bất kỳ - Khai triển theo dạng dao động Giả sử đã xác định được tần số dao động riêng và dạng dao động riêng từ phương trình (4.18). Khi đó nghiệm của phương trình vi phân (4.8) (bỏ qua lực cản) là tổ hợp tuyến tính của các dạng dao động: ∞ X y(x, t) = Xi(x)qi(t) (4.88) i=1 Phương trình vi phân dao động (4.8) được biến đổi thành một tập hợp vô hạn các phương trình vi phân mà trong mỗi phương trình đó tọa độ dạng dao động qi(t) đóng vai trò là ẩn số. Thay (4.88) vào (4.8) ta có: ∞ ∞ 00 X X h 00 i m(x)Xi(x)¨qi(t) + EI(x)Xi (x) qi(t) = p(x, t) (4.89) i=1 i=1 Nhân cả hai vế với Xj(x) rồi tích phân trên toàn bộ chiều dài thanh, ta có: Z l ∞ Z l ∞ 00 X X h 00 i q¨i(t)m(x)Xi(x)Xj(x)dx + qi(t)Xj(x) EI(x)Xi (x) dx 0 i=1 0 i=1 Z l = p(x, t)Xj(x)dx (4.90) 0
4.5. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA THANH THẲNG CHỊU TẢI TRỌNG BẤT KỲ - KHAI TRIỂN THEO DẠNG DAO ĐỘNG79 Thay đổi thứ tự lấy tích phân và tổng các số hạng ta thu được: ∞ Z l ∞ Z l 00 X X h 00 i q¨i(t) m(x)Xi(x)Xj(x)dx + qi(t) Xj(x) EI(x)Xi (x) dx i=1 0 i=1 0 Z l = p(x, t)Xj(x)dx (4.91) 0 Theo tính chất trực giao các dạng dao động (4.33) và (4.36), tất cả các số hạng trong dấu tổng đều bằng không trừ số hạng mà chỉ số i = j. Do đó ta có: Z l Z l 00 Z l 2 h 00 i q¨i(t) m(x)Xi (x)dx+qi(t) Xi(x) EI(x)Xi (x) dx = p(x, t)Xi(x)dx 0 0 0 (4.92) Phương trình trên có thể viết lại như sau: Miq¨i(t) + Kiqi(t) = Pi(t) (4.93) trong đó: Z l 2 Mi = m(x)Xi (x)dx 0 l 00 Z h 00 i Ki = Xi(x) EI(x)Xi (x) dx 0 Z l Pi(t) = p(x, t)Xi(x)dx 0 gọi là khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát và lực tổng quát của dạng dao động thứ i. Các đại lượng này chỉ phụ thuộc vào dạng dao động thứ i. Khối lượng tổng quát Mi và độ cứng tổng quát Ki có liên hệ với nhau bởi biểu thức: 2 Ki = ωi Mi (4.94) Như vậy, phương trình dao động y(x, t) của hệ có thể được xác định bằng cách giải phương trình (4.92) đối với qi(t). Phương trình của mỗi dạng dao động là độc lập với các phương trình của các dạng dao động khác, do đó có thể được giải một cách độc lập. Hơn nữa, các phương trình này có dạng giống phương trình vi phân dao động hệ một bậc tự do nên có thể sử dụng các kết quả trong chương 2 để xác định nghiệm qi(t) của phương trình (4.92).
80CHƯƠNG 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO - DAO ĐỘNG CỦA THANH THẲNG Một khi qi(t) được xác định, ta tìm được chuyển vị là tổ hợp của tất cả các dạng dao động: ∞ ∞ X X y(x, t) = ui(x, t) = Xi(x)qi(t) (4.95) i=1 i=1 Moment uốn và lực cắt tại mặt cắt bất kỳ được xác định bởi các biểu thức sau: ∞ 00 X 00 M(x, t) = EI(x)y (x, t) = EI(x)Xi (x)qi(t) (4.96) i=1 0 ∞ 0 h 00 i X h 00 i Q(x, t) = EI(x)y (x, t) = EI(x)Xi (x) qi(t) (4.97) i=1
Chương 5 Dao động của hệ phức tạp Chương này sẽ trình bày cách tính dao động của các hệ phức tạp thường gặp trong xây dựng dân dụng như: khung, dầm liên tục và dàn. Có hai phương pháp tính dao động của hệ phức tạp: phương pháp chính xác và phương pháp gần đúng. Trong phương pháp chính xác ta xem kết cấu có khối lượng phân bố hay nói một cách khác xem kết cấu có bậc tự do bằng vô cùng. Đồng thời, quá trình tính toán được thực hiện theo sơ đồ biến dạng, có kể đến tất cả các dạng biến dạng. Để việc tính toán được đơn giản người ta đưa vào những giả thiết như: tính toán hệ theo sơ đồ không biến dạng, bỏ qua biến dạng dọc trục và biến dạng trượt của các tiết diện khi xác định các chuyển vị. Trong phương pháp gần đúng, người ta có thể thay thế các khối lượng phân bố bằng một số khối lượng tập trung nghĩa là biến hệ có bậc tự do bằng vô cùng thành hệ có số bậc tự do hữu hạn. Trong phạm vi bài giảng, ta sẽ nghiên cứu phương pháp chuyển vị để tính các kết cấu dầm và khung đồng thời sẽ giới thiệu cách vận dụng phương pháp gần đúng để giải quyết bài toán. 5.1 Phương pháp chuyển vị tính dao động của khung 5.1.1 Dao động cưỡng bức Xét khung siêu động chịu tác dụng của các tải trọng pi sin ωt. Ta chọn kết cấu cơ bản bằng cách thêm các liên kết để ngăn cản chuyển vị của nút. Ẩn số là các chuyển vị thẳng hoặc chuyển vị góc tại vị trí các liên kết đặt thêm 81
82 CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHỨC TẠP vào. Giả thiết dưới tác dụng của các tải trọng thay đổi điều hòa p(t) = p sin ωt, các phản lực, nội lực và chuyển vị cũng thay đổi theo quy luật sin ωt. Do đó chuyển vị tại các nút và phản lực trong các liên kết đặt thêm vào được viết như sau: Zi(t) = Zi sin ωt (5.1) Rik(t) = Rik sin ωt (5.2) trong đó: • Zi là trị số biên độ chưa biết của các chuyển vị thẳng hoặc chuyển vị góc tại vị trí các liên kết đặt thêm vào. • Rik là trị số biên độ phản lực tại liên kết phụ thứ i do biên độ chuyển vị Zk ở liên kết phụ thứ k gây ra trong hệ cơ bản. Để hệ cơ bản làm việc giống hệ thực thì phản lực tại các liên kết phụ đặt thêm vào do các ẩn số cơ bản và do tải trọng gây ra phải bằng không. Ri(t) = Ri1 sin ωt + Ri2 sin ωt + + Rin sin ωt + Rip sin ωt = 0 (5.3) Phương trình (5.3) có thể viết lại dưới dạng sau: ri1Z1 + ri2Z2 + + rinZn + Rip = 0 với (i = 1, 2, . . . n) (5.4) trong đó: • rik là trị số biên độ phản lực tại liên kết phụ thứ i do chuyển vị động Zk(t) = 1 sin ωt tại liên kết phụ thứ k gây ra trong hệ cơ bản. • RiP là trị số biên độ phản lực tại liên kết phụ thứ i do các tải trọng động gây ra trên kết cấu cơ bản. Từ (5.4) ta có n phương trình chính tắc với n ẩn số Zi. Các hệ số và số hạng tự do trong (5.4) được xác định bằng các phương trình cân bằng như trong phần tĩnh học. Các biểu đồ moment do các giá trị biên độ của chuyển vị đơn vị và các giá trị biên độ tải trọng gây ra được vẽ tương tự như trong phương pháp chuyển vị. Để thuận tiện cho việc tính toán, các giá trị biên độ moment uốn và lực cắt tại đầu các thanh do các chuyển vị đơn vị và do tải trọng gây
5.1. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ TÍNH DAO ĐỘNG CỦA KHUNG 83 ra được cho trong các bảng. Sau khi giải hệ phương trình chính tắc (5.4), tìm được các trị số biên độ chuyển vị nút Zi ta có thể tìm được biên độ biểu đồ moment uốn động theo nguyên lý cộng tác dụng: M = M1Z1 + M2Z2 + + MnZn + Mp (5.5) 5.1.2 Dao động riêng Khi cho RiP = 0 trong (5.4) ta có phương trình chính tắc của dao động riêng:  r Z +r Z + +r Z = 0  11 1 12 2 1n n  r21Z1 +r22Z2 + +r2nZn = 0 . . . (5.6)  . . . .   rn1Z1 +rn2Z2 + +rnnZn = 0 Để khung có dao động riêng nghĩa là các chuyển vị Zi 6= 0 thì định thức của (5.6) phải bằng không. r11 r12 . . . r1n r r . . . r 21 22 2n . . . = 0 (5.7) . . . . rn1 rn2 . . . rnn Khai triển định thức ta sẽ được phương trình xác định thông số λ = kl, từ đó tính được tần số dao động theo công thức: r r EI λ2 EI ω = k2 = i (5.8) i i m l2 m Ví dụ 5.1: Xác định tần số dao động riêng và vẽ biểu đồ moment uốn động của khung chịu tác dụng của tải trọng động P sin ωt như hình 5.1a. Biết rằng tần số dao động cưỡng bức ω = 10s−1, trọng lượng mỗi thanh là 62,4kN và EI = 4 × 104kNm2. Lời giải: 1. Xác định tần số dao động riêng Chọn hệ cơ bản như hình 5.1b. Phương trình dao động riêng có dạng: r11Z1 + r12Z2 = 0 r21Z1 + r22Z2 = 0
84 CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHỨC TẠP Hình 5.1: Khung chịu tác dụng của tải trọng động (a), Hệ cơ bản (b) trong đó: r11 = EIµ1(λAB) + EIµ1(λBC ) EI r = µ (λ ) = r 12 2 2 BC 21 r22 = EIµ1(λBC ) + EIµ1(λCD) + EIµ5(λCE) Chọn I0 = I. Ta có: I 3 0 = ICE 4 q q 4 3 4 3 nên kCE = 4 k0. Như vậy: λAB = λBC = λCD = λ0 và λCE = 4 λ0. Ta tính được các hệ số rij: λ0 cosh λ0 sin λ0 − sinh λ0 cos λ0 r11 = 2 1 − cosh λ0 cos λ0 λ0 sinh λ0 + sin λ0 r12 = = r21 4 1 − cosh λ0 cos λ0 λ0 cosh λ0 sin λ0 − sinh λ0 cos λ0 r22 = + 2 1 − cosh λ0 cos λ0 r3 2λ sinh(0, 9306λ ) sin(0, 9306λ ) + 4 0 0 0 4 3 cosh(0, 9306λ0) sin(0, 9306λ0) − sinh(0, 9306λ0) cos(0, 9306λ0) Điều kiện để tồn tại dao động Zi 6= 0 là định thức các hệ số bằng không: r11 r12 = 0 r21 r22
5.1. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ TÍNH DAO ĐỘNG CỦA KHUNG 85 Thay các biểu thức của r11, r12 và r22 vào phương trình trên ta thu được phương trình đối với λ0. Giải phương trình này sẽ tìm được thông số k0. Từ đó sẽ tính được các tần số dao động riêng. 2. Biểu đồ moment uốn động Hệ cơ bản được chọn như khi tính các tần số riêng. Phương trình chính tắc: r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0 Đặc trưng cơ bản: r 2 r 2 4 mω 62, 4 × 10 k = = 4 = 0, 25m−1 EI 10 × 4 × 4 × 104 Thông số λ của các thanh: λAB = λBC = λCD = λCE = λ = 0, 25 × 4 = 1 Từ đó ta tính được các hệ số và số hạng tự do: r11 = 2EIµ1(1) = 2EI × 0, 99761 = 1, 99522EI EI EI r = µ (1) = × 1, 00358 = 0, 50179EI 12 2 2 2 r22 = 2EIµ1(1) + EIµ5(1) = 1, 99522EI + 0, 99363EI = 2, 98885EI P CλDλ/2 − DλCλ/2 P C1D0,5 − D1C0,5 R1P = 2 = 2 = −0, 501155P k Cλ − BλDλ 0, 25 C1 − B1D1 R2P = −R1P Thay vào phương trình chính tắc và giải hệ phương trình ta tìm được hai ẩn số cơ bản: 0, 306279P Z = 1 EI −0, 219095P Z = 2 EI Phương trình biểu diễn moment động trong các thanh của kết cấu:
86 CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHỨC TẠP • Thanh AB: chọn gốc ở A Thông số ban đầu: X(0) = 0 θ(0) = 0 2EI M(0) = µ (1)Z = 0, 153688P 4 2 1 3EI Q(0) = − ε (1)Z = −0, 115448P 8 2 1 Thay các giá trị trên vào (4.55) ta được phương trình biểu diễn moment trong thanh AB: M(x) = 0, 153688PAkx − 0, 461792PBkx • Thanh CD: chọn gốc ở D Thông số ban đầu: X(0) = 0 θ(0) = 0 2EI M(0) = µ (1)Z = −0, 10994P 4 2 2 3EI Q(0) = − ε (1)Z = 0, 082585P 8 2 2 Thay các giá trị trên vào (4.55) ta được phương trình biểu diễn moment trong thanh CD: M(x) = −0, 10994PAkx + 0, 33034PBkx • Thanh CE: chọn gốc ở C Thông số ban đầu: X(0) = 0 0, 219095P θ(0) = Z = − 2 EI M(0) = EIµ5(1)Z2 = −0, 217699P EI Q(0) = − ε (1)Z = 0, 053203P 4 5 2