Phương pháp tính - Chương 6: Giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng

Nội dung text: Phương pháp tính - Chương 6: Giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng

1. BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006)
2. NỘI DUNG 1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN 2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TỐN LAPLACE 3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN
3. BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN 2u 2u Phương trình elliptic (tĩnh – static): + = f (x, y) x2 y2 u 2u Phương trình parabolic (truyền nhiệt): − a2 = 0 t x2 2u 2u Phương trình hyperbolic (truyền sĩng): − a2 = 0 t2 x2 (x,t + t) u u(x,t + t)− u(x,t) Xấp xỉ đạo hàm riêng: (x,t) t t t (x,t) 2u u(x + x, y)− 2u(x, y)+ u(x − x, y) x (x, y) x2 ( x)2 x − x x x + x P 2u 2u u(P )+ u(P )+ u(P )+ u(P )− 4u(P) P 4 P + 1 2 3 4 1 P 3 x2 y2 ( x)2 P2
4. BÀI TỐN ELLIPTIC Ptrình Poisson (f  0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet 2 2  u  u 2 u = (x, y) + (x, y) = f (x, y), (x, y)   R x2 y2 u(x, y) = g(x, y), (x, y)  =  2u 2u Tốn tử Laplace: u = u(x, y) u = + x2 y2 Giải bằng sai phân hữu : u = f (x, y) hạn: Chia nhỏ . Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u  :u = g(x, y) tại các điểm chia
5. MINH HỌA Ý TƯỞNG Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài tốn sau: 2u 2u u = + = 2y + 4x,1 x 4,1 y 3 x2 y 2 Điều Kiện Biên : 2 u(x,1) = x + 2x, 1 x 4 (*) u(4, y) = 8y 2 +16y, 1 y 3 u(x,3) = 3x2 +18x, 1 x 4 2 u(1, y) = 2y + y, 1 y 3 tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều x = y = 1
6. GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN ELLIPTIC Phân hoạch : Chia nhỏ  bởi các đường thẳng // Ox, Oy x = y = h: Tạo lưới bước chia P2 cách đều h. Ký hiệu: P1, P2, P3, P4 P1 P P3 − 4 điểm kề P P y 4 Cơng thức xấp xỉ Laplacian u (cơng thức đạo hàm hướng tâm!) x u(P ) + u(P ) + u(P ) + u(P ) − 4u(P) u(P) 1 2 3 4 (*) h2 Lần lượt thay Pk(x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trị u trên biên) Hệ phương trình ẩn uk= u(Pk)
7. VÍ DỤ 2u x2 + 2u y2 = 0, 0 x 1, 0 y 1 Giải bài tốn u(x,0) = 0, u(x,1) = x 0 x 1 u(0, y) = 0, u(1, y) = y, 0 y 1 bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy Lưới 4 nút ẩn 4 giá trị cần tìm. Đánh số, tính giá trị biên: Nút 1: 1 3+ u3 + u2 − 4u1 = 0 P P 0 1 2 2 3 Nút 2: 2 3+u4 +u1 + 2 3− 4u2 = 0 1 3 Nút 3: u1 + u4 − 4u3 = 0 P3 P4 Nút 4: u2 + u3 +1 3− 4u4 = 0 u = 0
8. KẾT QUẢ Hệ phương trình Au = b với 4 −1 −1 0 0.33 0.2208 −1 4 0 −1 1.33 0.4429 Ab= u = −1 0 4 −1 0 0.1104 0 −1 −1 4 0.33 0.2208 Chú ý: Phương trình Poisson u = f(x, y) ( Laplace: u = 0) 2u 2u u = + = x + y u(P ) = f (P ) P P x2 y2 1 1 0 1 2 2 3 1 0 + + u + u − 4u 1 3 3 2 3 1 1 2 P P = f , =1 3 4 1 3 3 9 u = 0
9. PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Bài tốn truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu) u 2u (x,t) − a2 (x,t) = f (x,t), 0 x 1, t 0 t x2 u(0,t) = u(1,t) = 0,t 0 u(x,0) = u0(x), 0 x 1 t u = 0 u = 0 Miền  = (x,t)  0 x 1 , t 0   Phân hoạch  : Lưới theo x độ t dài x, theo t độ dài t Các x đường thẳng x = i x, t = k t x u0 (x) 1 Xấp xỉ u/t, u/ x & ĐK biên, đầu Giá trị u tại điểm chia
10. MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN u  2u (x,t) − (x,t) = xt, 0 x 1.5, t 0 t x2 u(0,t) = u(1.5,t) = 0, t 0; u(x,0) = x 1.5 − x , 0 x 1.5  ( )  Điều Kiện Biên:x=0 & x=1.5 Điều Kiện Đầu:t=0 Xây dựng cơng thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0 t 1 1 1 u u 0 u u1 − 0.5 1 2 Tiến: (0.5,0) 0.2 t 0.2 u(0) 0 0.5 2u 0.5 − 2 0.5 + 0 2 (0.5,0) 2 x = 0 x = 0.5 x =1.0 x =1.5 x (0.5) u 2u u1 − 0.5 − 0.5 (0.5,0) − (0.5,0) = 0.5 0 1 − = 0 u1 = 0.1 t x2 0.2 0.52 1
11. MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI u  2u (x,t) − (x,t) = xt, 0 x 1.5, t 0 t x2 u(0,t) = u(1.5,t) = 0, t 0; u(x,0) = x 1.5 − x , 0 x 1.5  ( )  Điều Kiện Biên:x=0 & x=1.5 Điều Kiện Đầu:t=0 Xây dựng cơng thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1 t 1 1 1 u u 0 u 0.5 − u1 1 2 Lùi: (0.5,0.2) 0.2 t − 0.2 (0) 2 1 1 1 u 0 0.5  u u2 − 2u1 + u0 2 (0.5,0.2) 2 x = 0 x = 0.5 x =1.0 x =1.5 x (0.5) u 2u 0.5 − u1 u1 − 2u1 (0.5,0.2) − (0.5,0.2) = 0.5 0.2 1 − 2 1 = 0.1 t x2 − 0.2 0.52