›
›

Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn

pdf 20 trang vanle 2060
Download
Bạn đang xem tài liệu "Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfphuong_phap_sai_so_ung_dung_chuong_8_phan_tu_thanh_dam_chiu.pdf

Nội dung text: Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn

  1. TRƯỜNGPHƯƠNG ĐẠI HỌC PHÁP BÁCH SỐKHOA ỨNG TP. DỤNG HCM PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG KhoaChương Kỹ Thuật8: Phần Xây tử thanhDựng dầm - BM chịu KTTNN uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm. CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở. CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp. Phần tử hũu hạn. CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn. Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG CHƯƠNG 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến Web: dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu 1 uốn) 2 PGS. TS. Nguyễn Thống Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 2. Water Resources systems analysis. Mohamad Karamouz and all. 2003 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB LÝ THUYẾT KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. CƠ BẢN VỀ DẦM 5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 1997 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.3 4 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Xét dầm đơn chịu tải phân bố q(x): khoảng cách từ trục trung hồ đến tâm O của cung cong vi phân. y Chiều dài cung cong vi phân ds tại vị trí y x bất kỳ: x q(x) ds = ( - y)d Biến dạng dài dọc trục tương đối do uốn: y d Đoạn dầm chiều dài ds dx y d d y vi phân dx chịu uốn  x dx d 5 6 PGS. TS. Nguyễn Thống Trục trung hịa, dx PGS. TS. Nguyễn Thống 1
  2. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Quan hệ giữa chuyển vị dv(x) và gĩc Quan hệ giữa bán kính cong và chuyển xoay : vị v: dx C A x  Chuyển vị dv d B dx Trục trung hịa dv dl sau khi chuyển vị d dv(x) d/2 (gĩc BAC) (x) Trục trung hịa trước dx khi chuyển vị 7 Ta cĩ dl = dx / cos(d/2) = d 8 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Kết quả trước: Tĩm lại: d2v(x) 1 dv(x) d(x) d2v(x) (x) dx2 dx dx dx2 Ngồi ra: Từ đĩ: 2 d 1 1 y d v(x)  2 x y dx cos(d / 2) 1 d / 2 / 2 dx2 1 1 d / 2 2 / 2 1 dv / dx 2 /8 1  9 10 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Định luật Hooke 1D cho phép viết: Từ đĩ xác định moment uốn M(x) tại một mặt cắt bất kỳ xác định như sau: 2 d v(x) 2 d v(x) 2 x Ex Ey M(x) y dA E y dA 2 x 2 dx A dx A Phương trình trên cho thấy ứng suất d2v(x) EI pháp biến đổi tuyến tính theo Z dx2 khoảng cách tính từ trục trung hịa Với IZ chỉ momen quán tính của tiết diện (y). 3 ( hình chữ nhật IZ=bh /12). 11 12 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 2
  3. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn d2v(x) EI M(x) Z dx2 PHẦN TỬ Đây là phương trình cơ bản trong sức bền vật liệu. CHỊU UỐN Kết hợp với định luật Hooke ở (Chịu lực cắt & trước, ta cũng cĩ thể viết: Momen ở 2 đầu mút) M.y x 13 14 PGS. TS. Nguyễn Thống IZ PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Biến quan tâm trong pp. PTHH: Các giả thiết: độ võng dầm, v(x) Phần tử cĩ chiều dài L giới hạn gĩc xoay của dầm,  bởi 2 nút ở hai đầu mút. ! Chú ý đến tính tương thích tại các nút. Phần tử nối với nhau tại các nút.  M1 M2 F Xét trường hợp tải chỉ tác dụng F1 2 v v2 lên tại nút 1 15 16 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Quy ước về dấu của chuyển vị và gĩc Hàm chuyển vị: Chuyển vị tại vị trí x bất kỳ xoay: y trong thanh xác định bởi: v v2 1 x v(x) a a x a x 2 a x3 1 0 1 2 3 x 2 2 1 L Với 4 tham số cần xác định ai a xác định từ các điều kiện biên:  > 0 khi xét với 1 điểm trong dầm nĩ quay i theo ngược chiều kim đồng hồ & ngược v(x 0) v1 a0 lại. v(x L) v a a L a L2 a L3 17 2 0 1 2 318 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 3
  4. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Các điều kiện biên (tt): 4 pt cho phép xác định 4 ẩn số ai : 3x2 2x3 2x2 x3 dv v(x) 1 v x  a  L2 L3 1 L L2 1 dx 1 1 x 0 3x2 2x3 x2 x3 v  2 3 2 2 2 dv 2 L L L L 2 a1 2a 2L 3a 3L dx x L v(x) N1(x)v1 N2 (x)1 N3(x)v2 N4 (x)2 19 20 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn v1  Ni Gọi là hàm hình dạng 1 Từ kết quả trước ta đã cĩ: v(x) N N N N N   1 2 3 4      2 v2 d v(x) NI HÀM HERMITE  E Ey  x x 2 TRỰC GIAO NHAU) 2  dx 3x 2 2x3 2x 2 x3 N 1 ; N x 2 1 2 3 2 2 d N L L L L   x Ex Ey 2  3x 2 2x3 x 2 x3 dx N ; N 3 2 3 4 2 21 22 PGS. TS. Nguyễn Thống L L L L PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Về momen Thay đổi tuyến tính theo chiều Bài tập 1: dài dầm với giả thiết chỉ cĩ ngoại lực ở đầu 1. Hãy kiểm nghiệm tính chất của các hàm nút: F 1 F2 Ni: N (0) = N (L) = 1; dN2 (0) dN4 (L) M1 M 1 3 1 2 dx dx (F1L - M1+M2) Mz (F L - M ) 1 1 2. Biểu diễn định tính (lưu ý các giá trị đạo hàm ở biên) các hàm Ni lên đồ thị. -M1 23 24 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 4
  5. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Từ kết quả Chương 6, ma trận độ cứng phần THIẾT LẬP tử ke được xác định như sau: T k B D B .dV MA TRẬN  e       Vi ĐỘ CỨNG Trong đĩ [B] được định nghĩa (xem B ở sau): PHẦN TỬ (e) x B u  CHỊU UỐN Biến dạng Chuyển vị 25 26 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ta cĩ: [D] ma trận biểu diễn định d2v d2 N  y y  luật Hooke. x dx2 dx2 2 2 2 2 d N1 x d N2 x d N3 x d N4 x Bài tốn 1D [D] = E (module y 2 v1 2 1 2 v2 2 2 dx dx dx dx đàn hồi Young) v1  Xem xác định ma trận [B] ở y 1  12x 6L L 6x 4L 12x 6L L 6x 2L   L3 v sau 2 2  27 28 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS.B Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Thay vào và tích phân ta cĩ: Thể tích k  T e L L L L k  B DB.dV 2 e N1 dx N1 N2dx N1 N3dx N1 N4dx 0 0 0 0 L L L L Vi 2 Tiết diện N 2 N1 dx N 2 dx N 2 N 3 dx N 2 N 4 dx 0 0 0 0 EI L L L L L  2 T N 3 N1 dx N 3 N 2 dx N 3 dx N 3 N 4 dx 0 0 0 0 B DBdAdx L L L L 0 2 N 4 N1 dx N 4 N 2 dx N 4 N 3 dx N 4 dx A  0 0 0 0 Chiều dài 29 30 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 5
  6. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ma trận độ cứng phần tử thanh chịu lực Trong đĩ: (momen) ở 2 đầu (ma trận đối xứng, symétric): I y2dA 12 6L 12 6L A 2 2 EI sym 4L 6L 2L Momen quán tính của tiết k e  L3 sym sym 12 6L diện đối với trục 2 sym sym sym 4L 31 32 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Tĩm lại, phương trình cân bằng lực của phần tử F F trong hệ tọa độ địa phương của thanh dầm là: 1 2 (e) (e) ke    f  M2 F M1 v1  1  M Loại phần tử dầm chỉ 1 (e) 1 (e) f   Vectơ lực nút   F chịu lực ở 2 đầu nút v2 2 M 2  2  33 34 PGS. TS. Nguyễn Thống Vectơ chuyển vị nút PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ví dụ: Cho dầm chịu tải trọng như Ma trận độ cứng phần tử: P sau: (1) (2) ke  ke  L/2 L/2 12 3L 12 3L 2 2 v1  v v3 EI sym L 3L L / 2  2 3 1 2 3 3 L sym sym 12 3L 1 (1) (2) 2 2 35 sym sym sym L 36 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 6
  7. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Hệ phương trình tổng thể: Các điều kiện biên: v1 v3 1 0 Chuyển vị trong C/vị nút pt. (1) C/vị nút pt. (2) 96 24L 96 24L 0 0 v  F  hệ tọa độ chung trong địa phương trong địa phương 1 1 . 8L2 24L L2 0 0  M 1 (v1) 1 1 1 2 (1) 2 EI . . 192 0 96 24L v2 P 3 2 2   3 (v2) 3 1 L . . . 16L 24L 4L 2 M2 4 (2) 4 2 . . . . 96 24L v F 3 3 5 (v ) 3 2 3 . . . . . 8L 3  M3  6 (3) 4 37 38 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Đưa các điều kiện biên vào: Thay vào trên xác định phản lực nút: 192 0 24L v  P EI 11P 2 F 96v 24L EI 1 3 2 2 0 16L2 4L2  0 L 16 3 2   L EI 3PL 24L 4L2 8L2  0 M 24Lv 4L2 3   1 L3 2 2 16 7PL3 PL2 PL2 EI 5P v ; ; F3 3 96v2 24L2 24L3 2 2 3 L 16 768EI 128EI 3239 EI 40 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Lực nút thanh (1) xác định bởi: Lực nút thanh (2) xác định bởi: (1) F(2)  12 3L 12 3L F1  12 3L 12 3L 1 (1) 2 2 (2) 2 2 M . L 3L L / 2 M 8EI . L 3L L / 2 1 (1) (1) 8EI 1 (2) (2)  k e    *  ke    * (1) 3 . . 12 3L (2) 3 . . 12 3L F2 L F2 L M(1) . . . L2 (2) 2 2  M 2  . . . L 11P  7PL3  5P  0  16 768EI 16 0 3PL 2 3 PL 5PL 7PL 16    32  768EI 11P 128EI 2 0 5P PL 16 2 PL 5PL 16 128EI 41 0 42 PGS. TS. Nguyễn Thống 32  PGS. TS. Nguyễn 128EI Thống  7
  8. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn CHÚ Ý BÀI TẬP DẦM F(1) F(2) P 2 1 CHỊU LỰC 2 ĐẦU 43 44 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 2: Xác định: Bài tập 2bis: Xác định: 1. Ma trận độ cứng phần tử 1. Ma trận độ cứng phần tử 2. Ma trận độ cứng tồn kết cấu 2. Ma trận độ cứng tồn kết cấu 3. Chuyển vị nút. 3. Chuyển vị nút các phản lực tại 1,3,5. P=5kN P 1 M 1 2 3 3 4 5 2 6m 2m L L L L E=2.105MPa, I=4.10-6m4 45 46 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 3: Xác định chuyển vị nút cho các Bài tập 4: Xác định chuyển vị nút cho các kết cấu sau: 5kN kết cấu sau: (a) 5kN (b) 5kN 5kN (b) 5kN-m 3m 1m 1m (a) 2m 1m 1m 1m -6 4 -6 4 E=200GPa, I=4.10 m E=200GPa, I=4.10-6m4 E=200GPa, I=4.10 m E=200GPa, I=4.10-6m4 (c) 5kN (d) 5kN (c) 5kN (d) 5kN-m 2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 E=200GPa, I=4.10-6m4 E=200GPa, I=4.10-6m4 E=200GPa, I=4.10-6m4 47 48 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 8
  9. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Xét sơ đồ dầm chịu lực sau: DẦM CHỊU Y q(x) TẢI PHÂN BỐ X x Cơng của ngoại lực phân bố: Chuyển vị L W q(x).v(x).dx 49 0 50 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Cơng của lực nút tương đương: Sử dụng kết quả: v1  L 1 W q(x).v(x).dx F1q v1 M1q1 F2q v2 M2q2 with v(x) N N N N N  0  1 2 3 4      v2 Lực nút tương 2  đương tại nút 1 Chuyển vị tịnh 3x 2 2x3 2x 2 x3 N 1 ; N x tiến tại nút 2 1 2 3 2 2 Momen tương L L L L đương tại nút 1 Chuyển vị xoay 3x 2 2x3 x 2 x3 N ; N tại nút 2 51 3 2 3 4 2 52 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống L L L L PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Và cân bằng 2 vế ta cĩ: Xét trường hợp đặc biệt với phân bố đều: L q F1q q(x).N1(x)dx 0 1 2 L L qL/2 qL/2 F2q q(x).N3(x)dx 0 L qL2/12 qL2/12 M1q q(x).N2 (x)dx 0 L M2q q(x).N4 (x)dx 53 54 PGS. TS. Nguyễn Thống 0 PGS. TS. Nguyễn Thống 9
  10. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ta cĩ: L 2 2 3 3 XÁC ĐỊNH F1q q 1 3x / L 2x / L dx qL / 2 0 L 2 3 2 2 M1q q 1 2x / L x / L dx qL /12 NỘI LỰC 0 L 2 2 3 3 F2q q 3x / L 2x / L dx qL / 2 0 TRONG DẦM L 3 2 2 2 M2q q x / L x / L dx qL /12 0 55 56 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Xét trường hợp tổng quát, phương trình cân Về nguyên tắc một khi ta đã quy bằng tổng thể cĩ dạng: đổi lực phân bố về lực nút tương đương (Momen & lực F K U F0 cắt) Ta trở về bài tốn dầm F0 lực nút tương đương (tải phân bố cơ bản như đã đề cập ở phần hoặc tải tập trung tác dụng lên vị trí khơng trước. trùng với nút phần tử) được viết trong hệ tọa độ chung. F ngoại lực tác dụng trực tiếp lên nút 57 58 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Trong từng phần tử (e) phương trình trên Do đĩ, nội lực tại hai nút phần tử xác định cĩ dạng: bởi: (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) f  fr  f0  k    fr  k    f0  Vectơ lực nút tương Vectơ lực nút do các phần đương do tải TRÊN cịn lại kết cấu tác dụng phần tử tạo ra lên phần tử (e) xem xét Vectơ lực nút cân bằng tác dụng lên phần tử (e) tạo ra chuyển vị 59 60 PGS. TS. Nguyễn Thống (e) PGS. TS. Nguyễn Thống 10
  11. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Hướng dẫn Xác định chuyển vị nút và phản lực gối tựa. P=1kN q=4000N/m v 9 / 640m F1 20.68kN 3 2 1 [1] 2 [2] M 33.5kNm 2 67 / 38400rad 1 4m 4m F 12.32kN 3 67 / 9600rad 3 bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 61 62 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối Xác định chuyển vị nút và phản lực gối tựa. tựa. q=4000N/m M=1000N-m q=4000N/m [1] [2] [1] [2] 3 3 1 2 1 2 4m 4m 4m 4m bxh=0.3x0.4m bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 E=4.109 N/m2 63 64 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối và MA TRẬN ngàm. q=1000N/m M =500N-m M =1000N-m 2 3 ĐỘ CỨNG [1] [2] 3 PHẦN TỬ 1 2 4m 4m CHỊU UỐN & bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 LỰC DỌC TRỤC 65 66 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 11
  12. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Về nguyên tắc đây là phần tử chịu lực cĩ [Ma trận độ cứng phần tử] dạng tổ hợp (cộng tác dụng) của hai loại dầm chịu lực mà ta đã giới thiệu: = Thanh dàn (chịu lực dọc trục, lị xo!) [Ma trận độ cứng cấu kiện chịu lực Thanh dầm với Momen và lực cắt ở hai dọc trục (thanh dàn)] đầu mút (đã quy đổi lực tác dụng trong + thanh về lực nút tương đương) [Ma trận độ cứng cấu kiện chịu uốn (dầm)] 67 68 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Mơ tả bởi đồ thị: Vectơ chuyển vị nút sẽ cĩ 3 v2  X thành phần: Y 2 u v 2 u: chuyển vị dọc trục 1 u1   v v: chuyển vị thẳng gĩc trục 1 u1 1 1 : chuyển vị xoay.   u 2 Vec tơ chuyển vị v2 69 70 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 2  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ma trận độ cứng phần tử chịu uốn nén (kéo): MA TRẬN AE AE Phần tử 0 0 0 0 L L dàn (lị xo) ĐỘ CỨNG 12EI 6EI 12EI 6EI . 0 L3 L2 L3 L2 4EI 6EI 2EI PHẦN TỬ . . 0 2 k(e) L L L   AE CHỊU UỐN & . . . 0 0 L 12EI 6EI LỰC DỌC TRỤC TRONG . . . . Phần tử dầm L3 L2 4EI HỆ TỌA ĐỘ CHUNG . . . . . 71 72 PGS. TS. Nguyễn Thống L PGS. TS. Nguyễn Thống 12
  13. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Xét hệ tọa độ địa phương & tọa độ chung Ta cĩ: u1 U1 cos U2 sin sau: v U sin U cos x U5 1 1 2 v2 y U6 Y  U u 1 3 u1 2 2 U2 U4 v1 u u 2 U4 cos U5 sin 1 U3 X 1 U1 v2 U4 sin U5 cos Tọa độ địa phương Tọa độ chung 73  U 74 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống2 6 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Dạng ma trận: Thay vào pt. cân bằng phần tử trong hệ u1  C S 0 0 0 0 U1  tọa độ địa phương: v S C 0 0 0 0 U 1 2 (e) (e) 1 0 0 1 0 0 0 U3 k R U f   R U       u 2 0 0 0 C S 0 U4 v 0 0 0 S C 0 U Vectơ lực 2 5 trong tọa độ địa phương 2  0 0 0 0 0 1 U6  75 76 PGS. TS. Nguyễn Thống C=cos & S=sin PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ma trận độ cứng phần tử thanh dầm trong hệ Biến đổi ta cĩ: tọa độ chung: E K x T (e) T (e) L R k R U R f  F 2 12I 2 12I 6I 2 12I 2 12I 6I AC 2 S A 2 CS S AC 2 S A 2 CS S L L L L L L 12I 6I 12I 12I 6I Vectơ lực trong tọa . AS2 C2 S A CS AS2 C2 S L2 L L2 L2 L độ chung 6I 6I . . 4I S S 2I T (e) L L 2 12I 2 12I 6I . . . AC S A CS S K U R f  F 2 2 L L L 2 12I 2 6I T . . . . AS 2 C S (e) L L 77 78 with K R k R . . . . . 4I PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống 13
  14. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Cho khung chịu lực sau: 10lb/in U8 U5 U U B 4 9 U 20in 6 [2] U7 [1] VÍ DỤ 20in U2 U3 U1 O Y 79 X 80 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Số liệu: Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ Tiết diện ngang: A=b*h=1.*1=1 inch2 địa phương: Momen quan tính đối với trục z: k (1)  k (1)  I=bh3/12=0.083inch4 5.105 0 0 5.105 0 0 Độ cứng dọc trục: . 1250.4 12504 0 1250.4 12504 AE/L=1.107/20=lb/inch . . 166720 0 12504 83360 5 Độ cứng chịu uốn: . . . 10 0 0 3 7 3 . . . . 1250.4 12504 EI/L =10 *0.083/20 =104.2 lb/inch 81 . . . . . 16672082 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ Ma trận độ cứng phần tử [1] trong chung: hệ tọa độ chung: 0 Phần tử [1] xoay +90 K(1)  RT k(e) R Phần tử [2] cĩ hai tọa độ địa phương và chung trùng nhau. Ma trận xoay [K(2)] =[k(2)] 83 84 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 14
  15. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Ta cĩ: Quan hệ chuyển vị 2 hệ tọa độ: Toạ độ chung Phần tử [1] Phần tử [2] K (1)   1 1 1250.4 0 12504 1250.4 0 12504 2 2 . 5.105 0 0 5.105 0 3 3 4 4 1 . . 166720 12504 0 83360 5 5 2 . . . 1250.4 0 12504 6 6 3 . . . . 5.105 0 7 4 8 5 . . . . . 16672085 86 PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống PGS. TS. Nguyễn9 Thống 6 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Tổng hợp ta xác định ma trận độ Biến đổi tương đương lực phân bố trên phần cứng tổng: tử [2] về các nút: L K 2 2 3 3 F1q q 1 3x / L 2x / L dx 100 1250.4 0 12504 12504 0 12504 0 0 0 0 5 5 . 5.10 0 0 5.10 0 0 0 0 L 2 3 2 . . 166720 12504 0 833360 0 0 0 M1q q 1 2x / L x / L dx 333.3 5 0 . . . 501250.4 0 12504 5.10 0 0 . . . . 501250.4 12504 0 1250.4 12504 L 2 2 3 3 . . . . . 333440 0 12504 83360 F2q q 3x / L 2x / L dx 100 ĐX 0 . . . . . . 5.105 0 0 L . . . . . . . 1250.4 12504 3 2 2 87 M2q q x / L x / L dx 333.3 88 PGS Dr.TS. Nguyễn Nguyễn. Thống Thống . . . . . 166720 PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống 0Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Hệ p/trình cân bằng: Phản lực tại ngàm O Đưa các điều kiện biên: U1=U2=U3=U7=U7=U9=0 Ta cĩ: U1  R X1  0  R X1  U R 0 R 501250.4 0 12504 U4  0  2 Y1 Y1 U M 0 M 3 R1 R1 . 501250.4 12504 U5  100  U4 0 0 0 . . 333440 U6  333.3 K U5  0  100  100  5 U 0 333.3 333.3 U4 2.48*10 inch 6 4 U7 R X3 0 R X3 U 1.75*10 inch 5 U R 100 R 100 8 Y3 Y3 U 9.94*10 4 rad 89 6 90 PGS. Dr.TS.U Nguyễn 9Nguyễn Thống ThốngMR3  333.3  M R3 333.3 PGS. TS. Nguyễn Thống 15
  16. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn ừ đĩ chuyển vị nút phần tử 1: T Cĩ Ui (kể cả điều kiện biên) Phản lực gối u1  0 1 0 0 0 0 0  tựa: v 1 0 0 0 0 0 0 1 (Nhân ma trận độ cứng tổng & vectơ Ui) 1 0 0 1 0 0 0 0  5  u 2 0 0 0 0 1 0 2.48.10 R X1  12.46  4 v2 0 0 0 1 0 0 1.75.10 4 R Y1 87.35 2  0 0 0 0 0 1 9.94.10  0  M R1 82.55 0   R 12.4 0 X3 4  1.75.10 R Y3 112.65 2.48.10 5 4 91 92 PGS. TS. Nguyễn9.94. 10Thống PGS. TS. Nguyễn Thống M R3  418.38 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn (1) (2) R  R x1  Nội lực x1 Nội lực (1) (2) =0 R y1 R y1 trong (1) trong (2) M M1 (2) (2) (2) 1 (1) (1) (1) k  f  k    f0  (2)     0  phần (1) phần tử [2]: R R x2 x2 tử [1]: (1) (2) R R y2 y2 (1) M(2) M 2  2  0  87.35  2.48.10 5  0  12.4  4 0 12.4 1.75.10 100 87.35 4 (1) 0 83.17 (2) 9.9.10 333.3 165.42 k  4   k     1.75.10 87.35 0 0 12.4 2.48.10 5 12.4 0 100 112.65 4 93 94 PGS. TS. Nguyễn Thống 9.9.10  165.42  PGS. TS. Nguyễn Thống 0  333.3  418.38  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn (*) Bài tập 3 : Tìm vectơ tải nút tương đương: Bài tập 4: Tìm vectơ tải nút tương đương: q y y P L x x a L 95 96 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 16
  17. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu, Bài tập: Cho khung chịu lực sau: 10lb/in U8 U5 U U chuyển vị nút, phản lực gối tựa : B 4 9 y w 20in U6 U x [2] 7 A [1] B 20in L U2 U U O 3 1 Y X Xác định: Chuyển vị tại B, phản lực gối tựa. 97 98 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập: Cho khung chịu lực sau: Bài tập: Cho khung chịu lực sau: b*h=0.3*0.4m q=5kN/m q=5kN/m E=8.109N/m2 M=2kN-m M=2kN-m 3 2 [2] 3 [2] L=4m 2 b*h=0.3*0.4m2 L=4m L=4m L=4m E=8.109N/m2 [1] [3] [1] 450 1 4 1 Xác định:Chuyển vị, phản lực gối tựa. 99 Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa. 100 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập: Cho khung chịu lực sau: q=5kN/m M=2kN-m 3 [2] L=4m 2 b*h=0.3*0.4m HƯỚNG DẪN E=8.109N/m2 [1] 450 1 Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa. 101 102 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 17
  18. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 1: Biểu diễn định tính lên đồ thị. Bài tập 2: (1) 5kN(2) N1 N2 1 2 3 1 12 6L 12 6L 2 2 x tg( )=1 x EI sym 4L 6L 2L k  e L3 sym sym 12 6L N3 N 2 4 sym sym sym 4L 1 x x 12 36 12 36 tg( )=1 0.8.10 6 sym 144 36 72 k (1)  e 63 sym sym 12 36 103 sym sym sym 144 104 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn (1) 5kN(2) Bài tập 2: Ma trận (1) 5kN(2) 1 2 3 1 2 3 12 12 12 12 0.044 0.133 0.044 0.133 0 0 6 sym 16 12 8 . 0.533 0.133 0.266 0 0 (2) 0.8.10 k e  6 . . 1.244 1.067 1.2 1.2 23 sym sym 12 12 K 10 . . . 2.133 1.2 0.8 sym sym sym 16 . . . . 1.2 1.2 . . . . . 1.6 105 106 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn 5kN 5kN Bài tập 2: Ma trận (1) (2) Bài tập 2: Với v1=v3=1= 3=0 (1) (2) 1 2 3 1 2 3 0.044 0.133 0.044 0.133 0 0 v  F  3 1 1 6 1.244 1.067 v2  5.10  . 0.533 0.133 0.266 0 0  M 10 1 1   3 1.067 2.133  0 6 . . 1.244 1.067 1.2 1.2 v2 5.10 2   10   . . . 2.133 1.2 0.8  0 2 v 0.007037m ;  0.00352rad 2 2 . . . . 1.2 1.2 v3 F3 Dùng kết qủa chuyển vị xác định các phản lực . . . . . 1.6  M 3  3  gối tựa. 107 108 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 18
  19. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 3: Bài tập 2bis: P M P v ; v2 45/ EI(m) 5kN 2 2 2 (a) 5kN (b) 96 8L 96L 2 22.5/ EI(rad) P 3m 4 2m 1m 3 2 0.3125.10 (rad) 24L 4 v 0.521.10 (m) 3 5kN 5P P 4 5kN (d) 3 0.625.10 (rad) v4 ;4 96 96L 2m 1m 1m 1m (c) 109 110 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 3: Bài tập 3: q y M2 R1  N1  qL / 2  L 2 M1 x M1 L N2 qL /12  ( q)dx  R1 R 0 2 R 2 N3 qL / 2 3x 2 2x3 2x 2 x3 2 N 1 ; N x M2 N4 qL /12 1 2 3 2 2    L L L L 3x 2 2x3 x 2 x3 N ; N 3 L2 L3 4 L L2 111 112 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Bài tập 4: Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu, chuyển vị nút, phản lực gối tựa : a 2 a 3  1 3 2 P 2 3 y L L w 2 3 R1  N1(a) a a x a 2 P A 2 B M1 N2 (a) L L  ( P)  R N (a) a 2 a 3 L 2 3 3 2 2 3 P 12 6L 12 6L M N (a) L L 2  4  2 2 2 3 sym 4L 6L 2L a a EI P k e  3 2 L sym sym 12 6L L L  113 2 114 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống sym sym sym 4L 19
  20. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chuyển vị nút: Cĩ 1, 2 thay vào trên xác định RA và RB: 12 6L 12 6L v1  R A  3wL / 20 R A  12 6L 12 6L 0  3wL / 20  2 2 2 2 2 2 EI sym 4L 6L 2L 1 MA 0 wL / 30 M 0 sym 4L 6L 2L  wL / 30 A EI 1 3     3   L sym sym 12 6L v2 R B 7wL / 20 R B L sym sym 12 6L 0 7wL / 20 2 2 2 2 sym sym sym 4L 2  MB 0 wL / 20  MB 0 sym sym sym 4L 2  wL / 20 wL / 6 v1 v2 0 0 7w   EI 4L2 2L2   wL2 / 30   L3 wL / 3 1 1 360 3 2 2  2   w  0  L 2L 4L 2 wL / 20 2 EI    115 116 PGS. Dr.TS. Nguyễn Nguyễn Thống Thống 45  PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8:8: Phần tử thanh dầm chịu uốn HẾT 117 PGS. TS. Nguyễn Thống 20